MENENTUKAN PREMI TUNGGAL DAN RISIKO PADA KASUS
MULTISTATE MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU
HOMOGEN
(Skripsi)
Oleh
SUYANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
ABSTRACT
DETERMINING SINGLE PREMIUM AND RISK IN MULTISTATE CASE
BY USING HOMOGENEOUS CONTINOUS TIME MARKOV CHAIN
By
SUYANTI
At the insurance company, single premium calculation and risk are usually based on
two state with survival time probability gets from life table. However, survival time
probability is determined by transition probability from one state to another. This
transition probability is determined by homogeneous continuous time Markov Chain
through Chapman Kolmogorov Forward and Backward Equation. Single Premium
Calculation of Multisate is determined by initial state condition and amount of
benefit, whereas risk calculation can be done with multi state variance according
Hattendrof theorem.
Keyword : Multistate, Single Premium, risk, homogeneous continuous markov chain,
Hattendorf.theorem
ABSTRAK
MENENTUKAN PREMI TUNGGAL DAN RISIKO PADA KASUS
MULTISTATE MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU
HOMOGEN
Oleh
SUYANTI
Pada perusahaan asuransi perhitungan premi tunggal dan risiko biasanya hanya
berdasarkan pada kasus dua state dengan peluang sisa hidup didapatkan dari life
table. Sedangkan pada kasus multistate peluang sisa hidup ditentukan oleh peluang
transisi dari satu state ke state lainnya. Peluang transisi ini ditentukan berdasarkan
rantai Markov waktu kontinu homogen melalui solusi dari persamaan Chapman
Kolmogorov Forward dan Backward. Perhitungan premi tunggal untuk multistate
ditentukan oleh keadaan state awal dan besarnya benefit yang harus dibayarkan,
sedangkan perhitungan risiko dapat dicari dengan menghitung nilai varians pada
multistate berdasarkan teorema Hattendorf.
Kata Kunci : Multistate, Premi Tunggal, Risiko, Rantai Markov Waktu Kontinu
Homogen, teorema Hattendorf.
MENENTUKAN PREMI TUNGGAL DAN RISIKO PADA KASUS
MULTISTATE MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV WAKTU
KONTINU HOMOGEN
Oleh
SUYANTI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Simpang Agung, Lampung Tengah pada tanggal 02 Juli 1994.
Penulis merupakan anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Amad Ngali dan
Wakinah.
Penulis memulai pendidikannya dari TK pada tahun 1999 di Taman Kanak-Kanak
Simpang Agung. Sekolah Dasar di SDN 1 Simpang Agung pada tahun 2000. Sekolah
menengah pertama di SMPN 1 Seputih Agung pada tahun 2006. Sekolah Menengah
Atas di SMAN 1 Terbanggi Besar pada tahun 2009.
Pada tahun 2012, penulis mendaftar sebagai mahasiswi Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
SNMPTN tertulis. Selama menuntut ilmu diperkuliahan penulis aktif dalam
organisasi kemahasiswaan tingkat jurusan yaitu Anggota Gematika 2012-2013,
anggota bidang keilmuan HIMATIKA periode 2013-2014. Pada bulan Januari 2015
penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Dinas Pendapatan Daerah Provinsi
Lampung dibagian umum. Pada bulan Juli-September 2015 penulis melakukan
Kuliah Kerja Nyata (KKN) di desa Murni Jaya, Tulang Bawang Barat.
MOTTO
“Man Jadda Wa Jadda”
“Kecerdasan bukanlah tolak ukur kesuksesan,
tetapi dengan menjadi cerdas kita bisa menggapai
kesuksesan”
“The best sword that you have is a limitless
patience”
“Sebesar apapun usaha yang kamu lakukan tak
akan berarti tanpa do’a”
“maka sesungguhnya bersama kesulitan ada
kemudahan”
PERSEMBAHAN
Dengan rasa syukur kepada Allah SWT atas segala ridho dan berkat-Nya serta kerendahan hati
kupersembahkan karya sederhana ini kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan
mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Ayah, mamas, mbak, adek, yang sangat kusayangi yang dengan tulus memberikan semangat
serta dukungan dan doa demi keberhasilanku.
Mas Budi dan sahabat-sahabat yang selalu hadir. Terimakasih atas kebersamaan, keceriaan, dan
dukungan kepada penulis.
Almamaterku tercinta……”Universitas Lampung”
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT atas izin serta ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul “Menentukan Premi Tunggal dan Risiko pada Kasus Multistate
Menggunakan Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen”. Shalawat teriring salam
kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang
baik bagi kita semua pengikutnya.
Penulisan skripsi ini juga tidak terlepas dari dukungan, bimbingan, kritik dan saran
yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis menyampaikan terimakasih kepada:
1. Bapak Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing pertama yang senantiasa
memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis.
2. Bapak Ir. Warsono, Ph.D., selaku pembimbing kedua yang juga memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang memberikan kritik dan saran
kepada penulis.
4. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik yang selalu
memberikan masukan kepada penulis.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7. Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Untuk keluarga tercinta Ayah, Mamas, Mbak, dan Adik yang telah memberikan
semangat, dukungan dan doa yang tak pernah henti.
9. Sahabat-sahabatku yang telah membantu dan selalu memberikan semangat dalam
meyelesaikan skripsi ini terutama Gerry Alfa Dito, Ernia, Mbed, Anggy, Dwi,
Candra, Anwar, Danar, Jorgi, Rendi, Imah, Riyama, Selvi, Maya, Pras, dan 7edu
(Oma, Mput, Audi, Ute, Ompu, dan Emon).
10. Mas Budi Setyawan yang selalu memberikan doa, dukungan, dan semangat
kepada penulis.
11. Teman-teman angkatan 2012 yang selalu menjadi semangat bagi penulis.
12. Dan seluruh pihak yang terlibat dalam penulisan skripsi ini.
Bandar Lampung, Juni 2016
Penulis,
Suyanti
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................... ix
DAFTAR TABEL .................................................................................................... x
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................ 3
1.3 Tujuan .......................................................................................................... 3
1.4 Manfaat Penelitian ....................................................................................... 4
II TINJUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi Marginal ........................................................................................... 5
2.1.1 Fungsi Peluang Marginal Diskrit ........................................................... 5
2.1.2 Fungsi Densitas Marginal Kontiu .......................................................... 5
2.2 Peluang Bersyarat ........................................................................................ 6
2.2.1 Peluang Bersyarat Diskrit ..................................................................... 6
2.2.2 Peluang Bersyarat Kontinu ................................................................... 7
2.3 Nilai Ekspektasi ........................................................................................... 7
2.3.1 Nilai Ekpektasi Diskrit .......................................................................... 7
2.3.2 Nilai Ekspektasi Kontinu ...................................................................... 8
2.3.3 Sifat-Sifat Nilai Ekspektasi ................................................................... 8
2.4 Ekspektasi Bersyarat .................................................................................... 9
2.4.1 Ekspektasi Bersyarat Diskrit ................................................................. 9
2.4.2 Ekspektasi Bersyarat Kontinu ............................................................... 9
2.5 Fungsi Kelangsungan Hidup ...................................................................... 10
2.6 Waktu Sisa Hidup ...................................................................................... 11
2.7 Laju Kematian ............................................................................................ 13
2.8 Tingkat Suku Bunga .................................................................................. 15
2.9 Premi Tunggal Asuransi Jiwa .................................................................... 17
2.10 Risiko (Varians) dalam Asuransi Jiwa ..................................................... 18
2.11 State .......................................................................................................... 19
2.12 Proses Stokastik ....................................................................................... 19
2.13 Proses Markov ......................................................................................... 20
2.13.1 Rantai Markov Waktu Diskrit ............................................................ 20
2.13.1.1 Peluang Transisi .......................................................................... 20
2.13.1.2 Rantai Markov Homogen ............................................................ 21
2.13.1.3 Peluang Transisi m-Langkah ...................................................... 22
2.13.2 Rantai Markov Waktu Kontinu ........................................................ 22
2.13.2.1 Peluang Transisi .......................................................................... 23
2.13.2.2 Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen .................................. 23
2.13.2.3 Matriks Peluang Transisi ........................................................... 23
2.14 Laju Transisi Rantai Markov ................................................................... 24
2.15 Matriks Infinitesimal Generator ................................................................ 26
2.16 Klasifikasi State ........................................................................................ 26
2.17 Counting Process ...................................................................................... 27
2.18 Multivariate Counting Process ................................................................. 28
2.19 Martingale ................................................................................................. 29
2.20 Diagonalisasi ............................................................................................. 32
2.21 Premi Tunggal dan Risiko Dalam Multistate ............................................ 32
2.22 Risiko dalam Multistate ............................................................................ 33
III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................................... 36
3.2 Metode Penelitian ...................................................................................... 36
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Laju dan Peluang Transisi dalam Persamaan Chapman Kolmogorov ....... 37
4.2 Peluang Transisi Berdasarkan Solusi Persamaan Chapman Kolmogorov
Forward dan Backward .............................................................................. 40
4.3 Menentukan Premi Tunggal untuk Multistate ........................................... 41
4.4 Menentukan Risiko yang harus Dibayarkan oleh Insured ......................... 43
4.5 Aplikasi Perhitungan Premi dan Risiko pada Multistate ........................... 45
V KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Premi Pada Multistate ................................................................................. 47
2. Risiko Pada Multistate ................................................................................ 47
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Model Multistate Perubahan Risiko Manusia ............................................... 2
2. Waktu Sisa Hidup ....................................................................................... 11
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Asuransi jiwa merupakan suatu program atau produk asuransi yang memberikan
benefit pengalihan risiko atas kehilangan nilai ekonomis hidup seseorang dari
tertanggung kepada penanggung (Bowers, et al, 1997).
Dalam asuransi jiwa terdapat premi yang harus dibayarkan oleh tertanggung untuk
benefit yang akan diterima ketika tertanggung meninggal. Untuk menentukan premi
pada asuransi jiwa dipengaruhi oleh tiga faktor, yaitu peluang sisa hidup, bunga, dan
biaya. Dalam premi terdapat risiko yang ditanggung oleh nasabah apabila seorang
nasabah meninggal sebelum pembayaran premi selesai sesuai dengan polis asuransi.
Risiko tersebut dapat dihitung dengan mencari varians dari nilai sekarang pada premi.
Perhitungan premi dan risiko ini biasanya hanya berdasarkan dua state, yaitu dari
seseorang menutup polis asuransi (sehat) sampai dengan meninggal. Namun, pada
kenyataannya keadaan seseorang yang diasuransikan dapat digambarkan sebagai
perubahan risiko yang terjadi pada manusia, yaitu keadaan sehat, sakit, dan
meninggal dengan setiap keadaan merupakan state.
2
Kemungkinan perpindahan dari setiap state dapat diartikan sebagai membaik atau
memburuknya keadaan insured dan merupakan bentuk dari multistate. Kemungkinan
perpindahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 1. Model Multistate Perubahan Risiko Manusia
Perpindahan dari setiap state di atas merupakan bentuk dari proses Markov. Proses
Markov adalah salah satu bentuk khusus dari proses stokastik yang mempunyai sifat
Markov. Sifat Markov adalah perilaku probabilistik dari suatu proses pada waktu
yang hanya dipengaruhi oleh kejadian pada waktu dan tidak dipengaruhi
oleh kejadian sebelum waktu atau .
Proses stokastik merupakan kumpulan peubah acak, yaitu untuk suatu ,
adalah peubah acak dan indeks t yaitu menyatakan waktu , sehingga dapat
dianggap sebagai state dari waktu t (Ross,2010).
meninggal
Sehat
Sakit
1
3
2
3
Perpindahan ini dapat terjadi setiap saat atau dalam sembarang waktu. Keacakan
terjadi pada waktu transisi dan state yang dimasuki pada waktu kemudian,maka
model ini dicirikan oleh state yang ditempati dan transisi yang mungkin terjadi
dengan asumsi Markov waktu homogen.Untuk menentukan premi tunggal dan risiko
perlu diketahui peluang seseorang berpindah (peluang transisi) dari kondisi sehat ke
kondisi sakit lalu kekondisi meninggal sebagai peluang sisa hidup. Untuk
menentukan peluang transisi ini dapat dihitung melalui solusi dari persamaan
Chapman Kolmogorov Forward dan Backward yang diturunkan dari rantai Markov
waktu kontinu homogen.
Berkaitan dengan permasalahan di atas maka penulis akan membahas tentang
bagaimana menentukan premi tunggal asuransi dan menentukan varians sebagai
pengalihan risiko atas hilangnya nilai ekonomis hidup tertanggung pada kasus
multistate menggunakan rantai Markov waktu kontinu homogen.
1.2 Rumusan Masalah
Bagaimana menentukan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate menggunakan
rantai Markov waktu kontinu homogen?
1.3 Tujuan
Menentukan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate menggunakan rantai
Markov waktu kontinu homogen.
4
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Menambah referensi tentang perhitungan premi tunggal dan risiko pada kasus
multistate.
2. Menambah pengetahuan tentang perhitungan premi tunggal dan risiko pada kasus
multistate.
II. TINJUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi Marginal
2.1.1 Fungsi Peluang Marginal Diskrit
Jika dan adalah dua peubah acak diskrit dan adalah nilai dari fungsi
peluang gabungannya di , maka fungsi yang dirumuskan dengan:
∑
Untuk setiap dalam daerah hasil dinamakan fungsi peluang marginal dari .
Adapun fungsi yang dirumuskan dengan:
∑
Untuk setiap dalam daerah hasil dinamakan fungsi peluang marginal dari .
2.1.2 Fungsi Densitas Marginal Kontinu
Jika dan adalah dua peubah acak diskrit dan adalah nilai dari fungsi
peluang gabungannya di , maka fungsi yang dirumuskan dengan:
∫
6
Untuk setiap dalam daerah hasil dinamakan fungsi peluang marginal dari .
Adapun fungsi yang dirumuskan dengan:
∫
Untuk setiap dalam daerah hasil dinamakan fungsi peluang marginal dari .
2.2 Peluang Bersyarat
2.2.1 Peluang Bersyarat Diskrit
Jika adalah nilai fugsi peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit dan
di dan adalah nilai fungsi peluang marginal dari di , maka fungsi
yang dinyatakan dengan :
|
Untuk setiap dalam daerah hasil , dinamakan fungsi peluang bersyarat dari
diberikan .
Jika adalah nilai fungsi peluang marginal dari di , maka fungsi yang
dinyatakan dengan :
|
Untuk setiap dalam daerah hasil , dinamakan fungsi peluang bersyarat dari
diberikan .
7
2.2.2 Peluang Bersyarat Kontinu
Jika adalah nilai fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak kontinu
dan di dan adalah nilai fungsi densitas marginal dari di , maka
fungsi yang dinyatakan dengan :
|
Untuk setiap dalam daerah hasil , dinamakan fungsi densitas bersyarat dari
diberikan .
Jika adalah nilai fungsi densitas marginal dari di , maka fungsi yang
dinyatakan dengan :
|
Untuk setiap dalam daerah hasil , dinamakan fungsi peluang bersyarat dari
diberikan .
2.3 Nilai Ekspektasi
2.3.1 Nilai Ekspektasi Diskrit
Jika adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di adalah ,
maka rataan dari peubah acak , didefinisikan sebagai:
∑
8
2.3.2 Nilai Ekspektasi Kontinu
Jika adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi peluangnya di adalah ,
maka rataan dari peubah acak , didefinisikan sebagai:
∫
2.3.3 Sifat-Sifat Nilai Ekspektasi
i. Jika adalah sebuah konstanta, maka .
ii. Jika adalah sebuah konstanta dan adalah fungsi dari , maka:
[ ] [ ]
iii. Jika dan adalah dua buah konstanta dan dan adalah dua buah
fungsi dari , maka:
[ ] [ ] [ ]
Bukti:
Misalnya adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya adalah .
i. ∑ ∑ (terbukti)
ii. [ ] ∑ ∑ [ ] (terbukti)
iii. [ ] ∑ [ ]
∑ ∑
∑ ∑
[ ] [ ] (terbukti).
9
2.4 Ekspektasi Bersyarat
2.4.1 Ekspektasi Bersyarat Diskrit
Jika dan adalah dua peubah acak diskrit, | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di dan | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di , maka ekspektasi bersyarat dari diberikan
dirumuskan sebagai berikut:
| ∑
|
Dan ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut:
| ∑
|
2.4.2 Ekspektasi Bersyarat Kontinu
Jika dan adalah dua peubah acak kontinu, | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di dan | adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari diberikan di , maka ekspektasi bersyarat dari diberikan
dirumuskan sebagai berikut:
| ∫ |
Dan ekspektasi bersyarat dari diberikan dirumuskan sebagai berikut:
| ∫ |
10
Dalil Ekpektasi Bersyarat
[ | ]
Bukti:
Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat diskrit, maka:
| ∑ |
∑
Sehingga:
[ | ] ∑ |
∑∑
∑
∑
∑
( terbukti)
2.5 Fungsi Kelangsungan Hidup
Misalkan adalah usia seseorang meninggal dan adalah usia seseorang yang hidup
pada saat menutup polis asuransi (sehat), sehingga merupakan peubah acak waktu
meninggal.
Fungsi distribusi dinyatakan dengan :
11
Fungsi kelangsungan hidup (Survival Function) selanjutnya akan disingkat dengan
istilah fungsi hidup dinyatakan dengan:
Jika dituliskan
sehingga dan .
Fungsi dapat disebut fungsi kelangsungan hidup. dapat diartikan sebagai
peluang seseorang yang baru lahir (berusia 0 tahun) akan bertahan hidup sampai
pada usia ke . Dalam ilmu aktuaria dan demografi, fungsi kelangsungan hidup
digunakan sebagai langkah awal perhitungan-perhitungan yang dilakukan. Seperti
untuk menentukan peluang seseorang berusia akan tetap hidup atau peluang
seseorang berusia akan meninggal pada suatu selang waktu tertentu (Bowers, et
al., 1997).
2.6 Waktu Sisa Hidup
Fungsi waktu sisa hidup dilambangkan dengan peubah acak kontinu , yaitu
dimana seseorang yang berusia akan meninggal pada usia . Dapat dinyatakan
sebagai
Gambar 2. Waktu Sisa Hidup
x X
t
x+t
12
Dengan notasi peluangnya
Fungsi distribusi dari adalah
|
|
( ) ( )
Maka,
*
+
13
Dalam ilmu aktuaria, dapat dinyatakan sebagai peluang orang yang berusia
tahun akan meninggal sampai tahun. Sedangkan adalah peluang seseorang
yang berusia tahun akan hidup hingga tahun, sehingga untuk seseorang yang
baru lahir (new born) merupakan survival function bagi dan dituliskan
.
2.7 Laju Kematian
Laju kematian diperlukan untuk memperhitungkan asuransi jiwa, misalnya rata-rata
jumlah kematian yang akan terjadi setiap tahun dalam setiap kelompok usia.
Kompilasi statistika dilakukan selama bertahun-tahun akan menunjukkan jumlah dan
kapan usia orang umumnya diperkirakan meninggal. Hal ini sangat berpengaruh bagi
perusahaan asuransi untuk menentukan taksiran lamanya kehidupan tertanggung,
lama pembayaran premi, dan saat pembayaran manfaat (benefit).
Peluang sesorang yang baru lahir akan meninggal antara usia dan
bersyarat hidup pada usia dapat dinyatakan dengan
|
Jika dinyatakan dalam fungsi limit
Maka
14
Untuk setiap usia persamaan di atas adalah laju kematian seseorang berusia dan
dinyatakan dengan
Karena
Sehingga
Laju kematian untuk usia tahun dinyatakan dengan
Fungsi distribusi dari yaitu , maka fungsi densitas dari adalah
*
+
15
*
+
(
)
2.8 Tingkat Suku Bunga
Untuk menentukan atau menghitung besarnya premi asuransi diperlukan factor suku
bunga. Terdapat 2 tingkat suku bunga yaitu bunga sederhana dan bunga majemuk.
Tingkat suku bunga sederhana dinyatakan dengan :
Sedangkan tingkat suku bunga majemuk dinyatakan dengan:
Dengan
besarnya uang pada saat t
0, 1, 2…..tahun
tingkat suku bunga efektif
Tingkat suku bunga efektif (i) adalah suatu unit uang yang diinvestasikan pada awal
periode akan bertambah sebesar selama periode tersebut (biasanya 1 tahun) yang
akan dibayarkan pada akhir periode. Tingkat suku bunga efektif (i) dirumuskan
dengan
16
Jenis bunga yang akan digunakan dalam kajian ini adalah bunga majemuk.
Nilai sekarang (present value) dari nilai yang akan datang (future value) dari suku
bunga majemuk yaitu
Dan nilai future value dinyatakan dengan
Dalam bunga majemuk didefinisikan faktor diskon yaitu
Dan diskon efektif d, yang didefinisikan dengan
Laju suku bunga dinyatakan dengan
Atau dapat dituliskan dalam bentuk :
17
Maka faktor diskon dari bunga majemuk dapat dituliskan dengan (Bowers,
et al., 1997).
2.9 Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa adalah suatu program atau produk asuransi yang memberikan manfaat
(benefit) pengalihan risiko atas kehilangan nilai ekonomis hidup seseorang dari
tertanggung (nasabah perusahaan asurasi) kepada penanggung (perusahaan asuransi).
Jumlah dan waktu pembayaran benefit dalam kasus dua state dipengaruhi oleh
panjang interval sejak asuransi diterbitkan sampai dengan tertanggung meninggal.
Dalam hal ini, model akan dibentuk dari benefit function dan factor discount
. Nilai diasumsikan sebesar 1 satuan dan adalah faktor diskon dari bunga
majemuk dan diasumsikan laju bunga adalah deterministic sehingga tidak ada
distribusi peluang untuk laju bunga, dan t adalah panjang interval sejak asuransi
dikeluarkan sampai dengan meninggal.
Model atau fungsi present value dinyatakan dengan
18
Dengan adalah fungsi present value atau peubah acak pembayaran benefit pada
saat polis asuransi dikeluarkan.
Jika benefit asuransi tersebut dibayarkan segera pada saat tertanggung meninggal
kapan saja maka benefit asuransi tersebut berbentuk kontinu dan disebut asuransi jiwa
seumur hidup yang kontinu. Premi tunggal bersih (actuaria present value) dari
asuransi jiwa seumur hidup yang kontinu dapat ditentukan dengan rumus berikut:
∫
Selanjutnya, merupakan fungsi densitas dari
∫
(2.1)
Dalam asuransi, premi tunggal bersih dinotasikan dengan
(Bowers, et al., 1997)
2.10 Risiko (Varians) dalam Asuransi Jiwa
Dalam asuransi seseorang membeli asuransi tersebut karena dapat membagi risiko,
membuat risiko tersebut kecil jika jumlah pembeli asuransi tersebut besar. Perusahaan
asuransi berperan dalam mengatur pembagian risiko tersebut. Risiko tersebut dapat
dihitung dengan mencari nilai varians dari premi yang harus dibayarkan oleh insured
(nasabah) (Rotar, 2009).
Varians atau ragam dari suatu data adalah ukuran penyebaran data. Yang diukur
adalah seberapa jauh data tersebar disekitar rata-rata. Artinya apabila nilai varians
tersebut besar maka datanya menyebar dan datanya relatif heterogen.
19
Misalkan peubah acak, nilai rata-rata dari didefinisikan dengan , maka
varians dari didefinisikan dengan [ ] Dan biasanya dinotasikan dengan
atau (Hogg and Craig, 2013).
dapat dinyatakan dengan:
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
2.11 State
State adalah kondisi yang merupakan peubah acak , dimana jika suatu peubah acak
berada pada state tersebut maka dapat berpindah ke state lainnya (Cox and
Miller,1965). Biasanya state dilambangkan dengan bilangan asli, yaitu 1,2,3,…N.
himpunan atau kumpulan dari state-state tersebut membentuk ruang state dan
dinyatakan dengan , maka .
2.12 Proses Stokastik
Proses stokastik adalah kumpulan dari peubah acak yang didefinisikan
dalam ruang peluang bersama dengan nilai di R. T disebut indeks dari proses atau
ruang parameter, yang biasanya himpunan bagian dari R. Himpunan bagian dari nilai
pada peubah acak dapat disebut sebagai ruang state dalam proses dan dinotasikan
dengan S (Ross,2010).
20
2.13 Proses Markov
Misalkan adalah proses stokastik yang didefinisikan dalam ruang peluang
dan ruang state . Dikatakan bahwa adalah Proses markov jika untuk
suatu dan untuk , maka
{ | } { | }
2.13.1 Rantai Markov Waktu Diskrit
Barisan peubah acak dengan ruang state diskrit dikatakan Markov
Chain waktu diskrit jika memenuhi kondisi
{ | } |
Untuk semua dan untuk semua dengan:
2.13.1.1 Peluang Transisi
Misalkan merupakan rantai Markov. Maka peluang
|
Disebut sebagai peluang transisi. Sifat peluang transisi rantai Markov :
∑
21
2.13.1.2 Rantai Markov Homogen
Rantai Markov dikatakan homogen jika peluang transisinya tidak
bergantung pada t
(Castaneda, Arunachalam, dan Dharmaraja, 2012).
Teorema 2.1 (Persamaan Chapman-Kolmogorov)
Jika barisan adalah rantai Markov dan jika , maka untuk
semua :
| ∑ | |
Bukti:
| ∑ |
∑
∑
∑ |
|
∑ |
|
22
2.13.1.3 Peluang Transisi m-Langkah
Peluang
| ,
Adalah peluang transisi -langkah dari ke .
Dengan sifat:
Sedangkan peluang transisi untuk langkah yaitu:
∑
Bukti:
∑ |
∑ |
∑ |
|
∑
2.13.2 Rantai Markov Waktu Kontinu
Misalkan adalah proses stokastik dengan ruang state berhingga .
proses dapat dikatakan sebagai rantai Markov waktu kontinu jika:
( | |
Untuk semua
1, jika 𝑖 𝑗
0, jika 𝑖 ≠ 𝑗
23
2.13.2.1 Peluang Transisi
Peluang
|
Dimana disebut peluang transisi untuk rantai Markov waktu kontinu.
2.13.2.2 Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen
Dikatakan rantai Markov waktu kontinu homogen jika dan hanya jika peluang
| saling bebas terhadap untuk semua .
2.13.2.3 Matriks Peluang Transisi
Peluang transisi rantai Markov dengan waktu kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks:
[
]
Teorema 2.2 (Persamaan Chapman Kolmogorov Waktu Kontinu)
Persamaan Chapman Kolmogorof untuk rantai markov dengan waktu kontinu dengan
dinyatakan:
∑
Bukti :
|
24
∑ |
∑ |
|
∑ | |
∑
2.14 Laju Transisi Rantai Markov
Menurut Jones (1993) laju transisi rantai Markov didefinisikan dengan :
Dengan adalah kronecker delta yaitu :
1 ,
0 , ≠
Sehingga laju transisi untuk didefinisikan dengan :
Sedangkan untuk ≠ laju transisinya adalah :
Laju transisi untuk dapat dinyatakan dalam bentuk:
25
Berdasarkan sifat peluang bahwa:
∑
∑
Jika persamaan di atas diubah dalam bentuk limit maka :
∑
∑
∑
∑
∑
26
2.15 Matriks Infinitesimal Generator
Matriks
[
]
Disebut infinitesimal generator (matriks pembangun) dalam Markov Chain
(Castaneda, Arunachalam, dan Dharmaraja, 2012).
2.16 Klasifikasi State
State dapat diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Accessible
State j dikatakan accessible dari state i jika untuk beberapa . Ini
mengimplikasikan bahwa state j accessible dari state i jika dan hanya jika dimulai
dari state dan akan berakhir di state .
2. Communicate
State dan communicate jika dan . Ini ditulis dengan . Catatan
bahwa ada state yang communicate dengan dirinya sendiri maka didefinsikan :
|
Dua state yang communicate berada dalam class yang sama.
3. Irreducible
Markov chain dikatakan irreducible jika dalam ruang state ada hanya satu class,
yaitu semua state communicate.
27
4. Absorbing state
State disebut absorbing state jika atau equivalen dengan untuk
semua ≠ . Suatu state dikatakan absorbing state jika pada saat masuk ke state
maka dari state tidak akan bisa bertransisi ke state lainnya. Berdasarkan gambar
1 dan 2 maka state 3 adalah absorbing state.
5. Reccurent
State dikatakan recurrent jika
6. Transient
Suatu state dikatakan transient jika peluang pindah dimulai dari state dan akan
kembali lagi ke statae untuk pertama kalinya dalam satu waktu adalah tidak pasti
atau dinotasikan dengan .
Peluang pindah dari state ke state dalam n waktu dinyatakan dengan yaitu :
≠ |
Sehingga untuk state transient
(Ross, 2010).
2.17 Counting Process
Stokastik proses dikatakan counting proses jika menjelaskan total
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu . Dengan harus memenuhi:
i)
ii) merupakan bilangan bulat positif
iii) Jika maka
28
iv) Untuk , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
dalam selang [ ]
(Ross, 2010).
2.18 Multivariate Counting Process
Suatu Multivariate Counting Process adalah stokastik proses dengan transisi
dari ke yang merupakan kejadian counting pada saat dengan ≠ . Parameter
waktu diasumsikan berbeda-beda dalam interval berhingga, yang umumnya yaitu
[ ]. Diasumsikan bahwa setiap proses mempunyai transisi sebesar 1 dan tidak
ada dua kejadian yang dapat terjadi secara simultan.
Pembangun waktu dalam multivariate counting process ditentukan oleh intensity
process , yang diberikan sebagai berikut:
misalkan interval waktu kecil dengan panjang disekitar [ ] , maka
adalah peluang bersyarat bahwa bertransisi pada diberikan semua
kejadian sebelum waktu . Jika dimisalkan adalah increment dari pada
dan misalkan merupakan semua yang telah terjadi sampai waktu tetapi tidak
termasuk , sehingga
{ |
Misalkan merupakan survival time. Dan adalah indicator function.
Untuk survival time didefinisikan:
29
Sehingga dapat didefinisikan bahwa;
|
Dengan adalah laju kematian dari state kestate .
Dari (2.4) dan (2.5) diperoleh bahwa multivariate counting process
[ [ ]] mempunyai intensity process dengan
komponen yang didefinisikan:
2.19 Martingale
Stokastik proses dikatakan martingale proses jika:
[ | ]
Increment dari pada interval kecil yang panjangnya disekitar
waktu adalah variabel. Oleh karena itu dapat didefinisikan:
{ |
Ini berimplikasi bahwa jika didefinisikan stokastik proses ≠ dengan
increment:
Pada (dan diasumsikan , maka
30
{ |
Sehingga proses
∫
≠ [ ]; adalah martingale dengan untuk semua [ ].
Varians bersyarat dari martingale diberikan oleh predictable variation process
(atau variance process) ⟨ ⟩, didefinisikan dalam bentuk increment
⟨ ⟩ |
Untuk martingale didefinisikan:
⟨ ⟩ { |
{ |
Karena adalah predictable yang diberikan pada . Karena adalah
variable dengan nilai , maka
⟨ ⟩
Dan oleh karena itu,
⟨ ⟩ ∫
Misalkan adalah predictable stokastik proses, dan didefinisikan proses baru
adalah stokastik integral yaitu
31
∫
Maka adalah martingale dirinya sendiri, karena increment
pada mempunyai ekspektasi bersyarat nol, yaitu:
| |
Predictable variation process dari (2.12) dapat didefinisikan:
| ⟨ ⟩
Sehingga
⟨ ⟩ ∫ ⟨ ⟩
Suatu predictable covariation process (atau covarians process) ⟨ ⟩
didefinisikan dalam bentuk increment
⟨ ⟩ { |
Pada , dan dan dikatakan orthogonal jika
⟨ ⟩
Untuk dua martingale dan , ≠ yang merupakan multivariate
counting process diperoleh
⟨ ⟩ { |
{ |
32
Ini karena dan adalah predictable, dan fakta bahwa dan tidak dapat
berpindah secara bersamaan. Jadi martingale yang didefinisikan pada (2.10) adalah
orthogonal (Andersen,dkk, 1985).
2.20 Diagonalisasi
Matriks kuadrat dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks yang dapat dibalik
sehingga diagonal; matriks dikatakan mendiagonalisasi . Dalam
pembahasan, bagian ini digunakan untuk menentukan peluang transisi (Anton,2000).
2.21 Premi Tunggal dalam Multistate
Untuk menentukan premi tunggal dari kasus multistate perlu diketahui fungsi
kepadatan peluang yang dapat meliputi semua anggota ruang state. Dengan
memanfaatkan matriks peluang transisi sebagai peluang sisa hidup yang diperoleh
dari solusi persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward, perhitungan
nilai premi tunggal secara simultan dapat ditentukan.
Misalkan menyatakan rangkaian pembayaran premi dengan laju dengan benefit
yang dibayarkan pertahun secara kontinu bila seseorang pada state awal berada di
state , dan pada waktu akan berada di state untuk sedangkan benefit
sebesar akan dibayarkan bila terjadi transisi dari state ke state , untuk nilai
dan . Menurut Jones (1993) nilai premi tunggal dapat dicari dengan
rumus:
33
∑∫
∑∑∫
2.22 Risiko dalam Multistate
Risiko dalam multistate ditentukan dengan mencari varians dari multistate tersebut.
Dalam hal ini varians dari multistate dapat ditentukan berdasarkan Teorema
Hattendorf.
Pada teorema Hattendorf didefinisikan gain obtain (laba yang diperoleh) perusahaan
selama insured berada di state pada [ ], yaitu
∑∫
∑∫
∑∫
∑∫
∑∫
∑∫
Dengan didefinisikan sebagai berikut:
Teorema Hattendorf
Gain process , adalah zero mean square orthogonal martingale,
sehingga varians process sebagai berikut:
34
⟨ ⟩ ∑∫
Bukti:
Diketahui merupakan gain process maka
∑∫
(1) Akan ditunjukkan merupakan zero mean square martingale
( ) ( ∑∫
)
∑∫ ( )
Karena merupakan zero mean martingale
∑∫
Karena ( ) jadi merupakan zero mean square martingale.
(2) Akan ditunjukkan orthogonal
Karena mengandung dimana duturunkan dari multivariate counting
process maka
35
{ } ≠
Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa merupakan zero mean square
orthogonal martingale.
Maka varians process dari dapat didefinisikan
⟨ ⟩ ∑∫ ⟨ ⟩
Persamaan di atas diperoleh dari:
⟨ ⟩
[ ] [ ]
⟨ ⟩
Kemudian dari (2.19) didapat:
⟨ ⟩ ∑∫ ⟨ ⟩
∑∫
(Ramlau-Hansen, 1988).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2015/2016,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis
yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan informasi
sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan peluang transisi secara simultan melalui solusi persamaan Chapman
Kolmogorov Forward dan Backward yang diturunkan dari persamaan (2.2).
2. Menentukan premi tunggal dari semua state secara simultan dengan rumus pada
(2.17).
3. Menentukan varians sebagai risiko yang ada dalam premi tunggal berdasarkan
teorema Hattendorf pada (2.19).
V. KESIMPULAN
Dari hasil dan pembahasan dalam skripsi ini maka dapat disimpulkan bahwa
perhitungan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate ditentukan berdasarkan
fungsi peluang transisi dari rantai markov dengan waktu kontinu homogen. Fungsi
peluang transisi ditentukan berdasarkan solusi persamaan Chapman Kolmogorov
Forward dan Backward, sehingga diperoleh rumus premi tunggal pada (4.6) dan
besarnya risiko diperoleh rumus seperti pada (4.8). Dan untuk matriks laju transisi
pada (4.9) dengan menggunakan rumus (4.6) dan (4.8) diperoleh nilai premi dan
risiko masing-masing sebesar 21,19 dan 8,48 untuk . Sedangkan untuk hasil
lainnya dapat dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2.
DAFTAR PUSTAKA
Andersen, K.P., dkk. 1985. Counting Process Models for Lifes History Data: A
Review (with Discussion and Reply). Scandinavian Journal of Statistics.
Anton, H. 2000. Aljabar Linear Elementer. Ed. Ke-7. Jilid 1. Interaksa, Batam
Center.
Bowers, N.L., et al. 1997. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, Itasca,
Illionis.
Castaneda, L.B., Arunachalam, V., and Dharmaraja, S. 2012. Introduction to
Probability and Stochastic Process with Aplications, First Edition. US.
Cox, D.R., Miller, H.D., 1965. The Theory of Stochastic Process. Chapman and Hall.
London.
Henrik Ramlau-Hansen. 1988. Hattendorff’s Theorem: A Markov Chain and
Counting Process Approach, Scandinavian Actuarial Journal.
Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T. 2013. Introduction to Mathematical
Statistics. US, Pearson Education, Inc.
Jones, B.L. 1993. Modelling Multistate Process Using A Markov Assumption.
ARCH(Proceeding of the 27th
Annual Research Conference), Lowa City.
Promislow, S.D. 2015. Fundamntals of Actuarial Mathematics Third Edition. John
Wiley and Sons.
Ross, S. 1996. Stochastic Processes. John Wiley & Sons Inc. New York
Ross, S. 2010. Introduction to Probability Model. John Wiley & Sons Inc. New York.
Rotar, V.I. 2009. Actuarial Models The Mathematics of Insurance, Second Edition.
CRC Press, Francis.
![[skripsi] Alfansuri](https://static.documents.pub/doc/80x56/55cf96ae550346d0338d19c3/skripsi-alfansuri.jpg)
