MTODOS NUMRICOS PARA LA SOLUCIN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES HIPERBLICAS MTODO DE LAX-WENDROFF:

La idea bsica es ampliar u (x, t) en serie de Taylor de segundo orden en el tiempo para x fijo, utiliza la ecuacin diferencial parcial (EDP) para sustituir a las derivadas del tiempo con las derivadas espaciales, y las diferencias de uso de centrales para aproximar la derivada espacial resultante de segundo orden. La ecuacin en diferencias finitas resultante es entonces de segundo orden debido a su construccin ser la matriz de Jacobi para la funcin de flujo.

Entonces podemos expandir de la siguiente manera:

Si hacemos

simplificando se obtiene (a)

Utilizando las ecuaciones de onda

La ecuacin (a) puede ser escrita como:

(b) Finalmente si se sustituye por segundo orden las expresiones de diferencias centrales en el conocido esquema de Lax-Wendroff. se obtiene la ecuacin explcita: Mtodo explicito: Este mtodo es de gran inters por sus propiedades de orden y estabilidad. Se obtiene, usando el desarrollo de Taylor de u(x, t) respecto de la variable t en (x, t) y teniendo en cuenta que, de la E.D.P. se tiene la igualdad:

Propiedades: El metodo es consistente y de orden (2,2). El factor de neuman sera:

El mtodo es estable si:

este esquema explcito, el primer paso es la segunda Orden exacta con un error de truncamiento de y es estable cuando.

La modificacin de esta ecuacin para este mtodo es:

El factor de amplificacion: .. (e) Y el error de fase relativa (f)

El esquema de Lax-Wendroff tiene un error de fase predominantemente de retraso, excepto para los nmeros de

Metodo de Lax-Wendroff ( dos pasos) Para las ecuaciones no lineales tales como las ecuaciones de flujo no viscoso, una variacin de dos pasos del original mtodo Lax-Wendroff. Puede ser utilizado cuando se aplica a la ecuacin de onda, esta explcita, dos - tres veces el paso nivel de mtodo se convierte en:

este esquema es la segunda Orden exacta con un error de truncamiento de y es estable siempre que sea ). paso 1 es el mtodo lax aplicada en el punto medio ( ) para un paso de tiempo medio y el paso 2 se aplica en el medio tiempo restante. cuando se aplica a la ecuacin de onda lineal, el esquema de dos pasos laxWendroff es equivalente a la original lax-Wendroff rgimen.

Para el sistema de leyes de conservacin En la prctica el mtodo de Lax-Wendroff se implementa como un mtodo de dos pasos que es idntica a la frmula para flujos donde A constante, y es tambin de segundo orden en general.

Donde:

para todos Este mtodo de Lax-Wendroff es estable, siempre que los valores propios de A constante. Se puede demostrar. A continuacin se enumeran dos modificaciones de los flujos de LaxWendroff que han demostrado ser tiles en la prctica.

Viscosidad artificial lineal: Se modifican los flujos de Lax-Wendroff mediante la adicin de un trmino que imita la trmino difusivo aadido a la parte derecha de la ley de conservacin.

El coeficiente de viscosidad artificial una podra tomar la forma Dnde: X:es un parmetro numrico. S: es la velocidad de la onda mxima.

Lapidus viscosidad artificial: Para dinmica de los gases, es un mtodo ms adaptable de la viscosidad artificial que incrementa la viscosidad en regiones de gran gradiente y la reduceen las regiones lisas. Fue propuesto por Lapidus.

Los coeficientes interpolacin:

, k = 0, 1, 2. Sern elegidos por las frmulas de

A continuacin, el modificado Lapidus viscosidad artificial de Lax-Wendroff mtodo es:

Donde

Observacin: Para este mtodo la condicin de estabilidad es modificada: