MODUL IV PEMBELAJARAN MATEMATIKA · PEMBELAJARAN MATEMATIKA ... Unit 2 Operasi Bilangan Bulat 17...

MODUL IV

PRAKTIK YANG BAIK DI SEKOLAH MENENGAH

PERTAMA/MADRASAH TSANAWIYAH (SMP/MTs) – PEMBELAJARAN MATEMATIKA

[Training Module IV - Good Practices in The Junior Secondary

School: Teaching Mathematics]

Contract AID-497-C-12-00003

March 2017

Prepared for

USAID/Indonesia

Prepared by

RTI International

3040 Cornwallis Road

Post Office Box 12194

Research Triangle Park, NC 27709-2194

RTI International is a registered trademark and a trade name of Research Triangle Institute.

The authors’ views expressed in this publication do not necessarily reflect the views of the United

States Agency for International Development or the United States Government.

USAID Prioritizing Reform, Innovation, and

Opportunities for Reaching Indonesia’s Teachers,

Administrators, and Students (USAID PRIORITAS)

PRAKTIK YANG BAIK

DI SEKOLAH MENENGAH

PERTAMA dan

MADRASAH TSANAWIYAH

(SMP dan MTs)

Modul Pelatihan 4: Matematika

Maret 2017

Modul pelatihan ini dikembangkan dengan dukungan penuh rakyat Amerika melalui United

States Agency for International Development (USAID). Isi dari materi pembelajaran ini

merupakan tanggung jawab konsorsium Program USAID Prioritizing Reform, Innovation, and Opprtunities for Reaching Indonesia’s Teachers, Administrators, and Students (PRIORITAS) dan

tidak mencerminkan pandangan USAID atau pemerintah Amerika Serikat.

v

Pengantar

Pengantar

Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV

Daftar Isi

Halaman

Unit 1 Garis Tinggi Segitiga 1

Unit 2 Operasi Bilangan Bulat 17 Unit 3 Persamaan Garis Lurus 31

Unit 4 Pembagian Pecahan 49

Unit 5 Penyajian Data dalam Statistika 65 Unit 6 Bentuk Aljabar 81

vi

Pengantar

Pengantar


Pengantar

Kata Pengantar

Program Prioritizing Reform, Innovation and Opportunities for Reaching Indonesia’s Teachers,

Administrators and Students (PRIORITAS) yang didanai oleh USAID bekerja sama dengan

Pemerintah Indonesia dilaksanakan untuk mendukung Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan serta Kementerian Agama dalam meningkatkan akses pendidikan dasar yang

bermutu. Untuk mencapai tujuan tersebut, PRIORITAS mengembangkan dan melaksanakan

program pengembangan kapasitas yang terdiri dari pelatihan, pendampingan, kegiatan

kelompok kerja di tingkat sekolah maupun gugus. Sasaran program pengembangan kapasitas

ini adalah guru dan dosen Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan (LPTK), kepala

sekolah, komite sekolah, serta pengawas dan staf Dinas Pendidikan terkait di kabupaten

terpilih di tujuah propinsi mitra PRIORITAS, yaitu: Aceh, Sumatra Utara, Banten, Jawa

Barat, Jawa Tengah, Jawa Timur, Sulawesi Selatan. Pelatihan bagi dosen dilaksanakan

melalui kerja sama dengan sejumlah LPTK terpilih untuk pengembangan peran LPTK

sebagai penyedia layanan untuk pendidikan dalam jabatan.

Modul IV yang digunakan dalam pelatihan ini berfokus pada isi/materi mata pelajaran

daripada metodologi seperti modul-modul sebelumnya (Modul I, II, dan III). Materi tersebut

meliputi mata pelajaran: Literasi kelas awal, IPA, dan Matematika (SD/MI); Bahasa Indonesia,

IPA, dan Matematika (SMP/MTs) dan tertuang dalam modul terpisah untuk tiap mata

pelajaran dan jenjang sekolah tersebut. Jadi, modul IV ini berjumlah 6 modul, 3 buah untuk

SD/MI dan 3 buah untuk SMP/MTs.

Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Sekolah Menengah tingkat Pertama dan Madrasah

Tsanawiyah ini memuat materi yang terkait Bilangan, Geomentri, Aljabar, dan Statistika.

Pemilihan materi dalam modul Matematika ini pada umumnya berdasar pada miskonsepsi

(salah paham), kesulitan siswa dalam memahami, dan/atau kesulitan guru dalam mengajarkan

konsep dalam materi tersebut. Dengan demikian, pelatihan yang menggunakan modul ini

diharapkan dapat memperkaya pengetahuan dan pemahaman guru terkait materi tersebut

sehingga masalah miskonsepsi atau kesulitan yang dialami guru dalam mengajarmateri itu

sedikit demi sedikit dapat diatasi. Secara garis besar, modul ini berisi materi-materi berikut.

Unit 1: Garis Tinggi Segitiga. Pada unit ini peserta diminta untuk berurun pengalaman

tentang miskonsepsi siswa yang pernah mereka alami pada siswa mereka. Selanjutnya,

mereka diminta mengamati hasil kerja siswa dan menganalisis apa saja miskonsepsi yang

terlihat, memperkirakan penyebabnya, dan merumuskan kegiatan untuk mengatasi atau

menghindari miskonsepsi tersebut. Peserta juga diminta menggambar garis tinggi berbagai

segitiga, termasuk segitiga tumpul, dan dengan berbagai posisi segitiga. Di akhir mereka

diminta merumuskan definisi garistinggi segitigan yang berlakuk untuk semua jenis segitiga.

vii

Pengantar

Pengantar


Unit 2: Operasi Bilangan Bulat. Unit ini membahas kesulitan siswa dalam memahami

dan kesulitan guru dalam mengajarkan operasi bilangan yang melibatkan bilangan bulat

negatif. Pada unit ini diperkenalkan cara/peragaan ‘hadap kiri/kanan’ dan ‘maju/mundur’ pada

garis bilangan untuk menyelesaikan operasi bilangan yang melibatkan bilangan bulat negatif.

Peserta menyimulasikan bagaimana proses menjumlah/mengurang yang melibatkan bilangan

bulat negatif dengan meneapkan cara ‘hadap kiri/kanan’ dan ‘maju/mundur’ pada garis

bilangan yang mereka buat di lantai atau dinding.

Unit 3: Persamaan Garis Lurus. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait gradien

atau koefisien arah garis lurus dan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis

tertentu. Kemungkinan penyebab dan cara mengatasi/menghindari miskonsepsi tersebut

juga diidentifikasi dan dirumuskan. Peserta diminta menggambar grafik dari persamaan garis

lurus yang disediakan, merumuskan kembali pengertian gradient suatu garis lurus,

menemukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan yang melalui dua titik.

Unit 4: Pembagian Pecahan. Unit ini membahas kekurangpahaman siswa terkait

pembagian pecahan, yaitu bagaimana penyelesaian pembagian pecahan oleh pecahan menjadi

proses perkalian dimana pecahan pembagi menjadi pecahan sebaliknya (2/3 : 4/5 = 2/3 x

5/4). Peserta diminta mengungkapkan pengalaman mereka bagaimana mengajarkan

pembagian pecahan. Mereka juga diminta untuk berpendapat tentang apakah model

pecahan berbasis himpunan, garis bilangan, dan luas daerah dapat digunakan untuk

menjelaskan kosep pembagian pecahan. Di akhir, peserta diminta merancang lembar kerja

untuk menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa.

Unit 5: Penyajian Data dalam Statistika. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait

ketepatan penggunaan jenis diagram untuk jenis data tertentu: Diagram batang sering

digunakan untuk menggambarkan keadaan tertentu dimana datanya bersifat kontinyu (hasil

mengukur), misal untuk menggambarkan perkembangan suhu harian pada rentang waktu

tertentu. Demikian sebaliknya, data diskrit (hasil mencacah) digambarkan dengan diagram

garis/grafik. Dalam unit ini dibahas pula penyajian data dalam bentuk table kontingensi.

Unit 6: Bentuk Aljabar. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait variabel,

konstanta, dan koefisien. Siswa masih sering bingung antara variabel dan symbol biasa.

Misal, ketika ada konteks ‘Di ruang kelas ada 20 meja dan 40 kursi’ Siswa menulisnya ’20 m

+ 40 k’. Huruf ‘m’ dan ‘k’ dianggap siswa sebagai variabel, padahal m dan k tidak mewakili

nilai apalagi nilai yang bervariasi. Peserta diminta mendefinisikan kembali arti variabel,

konstanta, dan koefisien. Di akhir, peserta diminta membuat soal cerita yang yang dapat

dimodelkan dalam bentuk a x + b, a dan b ≠ 0 dan x adalah variabel.

viii

Pengantar

Pengantar


Pengantar

JADWAL PELATIHAN

Berikut adalah contoh Jadwal Pelatihan untuk Pelatih (TOT) Provinsi.

Jadwal Pelatihan untuk Pelatih (ToT) Modul 4 Provinsi – Matematika SMP/MTs

Waktu Unit Materi Keterangan

Hari - 0 (Persiapan)

08.00 – 09.00 Penjelasan umum tim penyusun modul dan

fasilitator Pleno

09.00 – 17.00

Tim fasilitator melakukan persiapan ToT: - Bedah modul dan memahami langkah setiap

unit,

- cek kelengkapan hand-out dan Power Point,

- mengatur ruang,

- mengecek perlengkapan lainnya, - Gladi bersih pembukaan, dll.

2 Ruang untuk 2 kelompok

(SD/MI dan SMP/MTs)

(Siang hari peserta check

In)

Hari 1

08.00 – 08.20

Pembukaan

a. Menyanyikan lagu Indonesia Raya (5’)

b. Sambutan Penjelasan program daan modul oleh perwakilan USAID PRIORITAS (10’)

Doa dan penutup (5’)

08.20 – 08.45 - Kontrak belajar

- Penjelasan modul 4 Matematika

SMP/MTs

08.45 – 10.15 Unit 1 Garis Tinggi Segitiga

10.15 – 10.45 Istirahat

10.45 – 11.15 Garis Tinggi Segitiga (lanjutan)

11.15 – 12.15 Unit 2 Operasi Bilangan Bulat

12.15 – 13.15 Isama

13.15 – 14.15 Operasi Bilangan Bulat (lanjutan)

14.15 – 15.15 Unit 3 Persamaan Garis Lurus

15.15 – 15.30 Istirahat

15.30 – 16.30 Unit 3 Persamaan Garis Lurus (lanjutan)

ix

Pengantar

Pengantar


Hari 2

08.00 – 10.00 Unit 4 Pembagian Pecahan

10.00 – 10.15 Istirahat

10.15 – 12.15 Unit 5 Penyajian Data dalam Statistika

12.15 – 13.15 Isama

13.15 – 15.15 Unit 6 Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta

15.15 – 15.45 Penutupan

Catatan:

ATK

Alat tulis kantor (ATK) yang diperlukan dalam pelatihan ini: Kertas plano/flipchart, karton

manila, HVS (putih, biru, hijau, kuning, pink), post-it warna-warni, selotip kertas, lem stick,

gunting sedang, cutter, penggaris plastik 30 cm, dan white-board marker. (Jumlah yang

dibutuhkan untuk tiap butir ATK harus dihitung tersendiri berdasarkan jumlah peserta pelatihan).

TIK

Alat yang perlu ada untuk mendukung sesi presentasi di lokasi pelatihan adalah:

a. Proyektor LCD

b. Laptop atau desktop untuk presentasi

c. Layar proyektor LCD

1

Pembelajaran Aktif – SD/SMP UNIT 1

Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika

UNIT 1

GARIS TINGGI SEGITIGA

1



3 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika

Garis Tinggi Segitiga

UNIT 1

UNIT 1

GARIS TINGGI SEGITIGA

Pendahuluan

Geometri merupakan salah satu pokok bahasan

matematika sekolah yang diajarkan di setiap jenjang

pendidikan. Pembelajaran

geometri di sekolah secara umum dimaksudkan untuk

mengembangkan kemampuan bernalar siswa yang dapat

digunakan untuk memecahkan

masalah.

Pentingnya geometri dipelajari di sekolah (1) geometri

membantu manusia memiliki apresiasi yang utuh tentang dunianya, (2) eksplorasi geometri dapat membantu

mengembangkan keterampilan pemecahan masalah, (3) geometri memainkan peranan

utama dalam bidang matematika lainnya, (4) geometri digunakan oleh banyak orang dalam kehidupan sehari hari, (5) geometri penuh dengan tantangan dan menarik (Thompson dan

Van de Walle, 19851)

Pada kenyataannya, masih ada masalah yang dihadapi dalam materi geometri di sekolah.

Masalah-masalah tersebut dimungkinkan karena beberapa hal, diantaranya (1) Buku pegangan siswa tidak banyak memberikan fasilitas untuk melakukan aktivitas matematika,

tetapi sebatas memberikan informasi rumus, (2) Alat peraga menemukan rumus luas daerah segitiga di samping, seringkali disampaikan dengan cara mendemonstrasikan di

depan kelas oleh guru, sehingga siswa lebih banyak mendengarkan penjelasan guru. Hal ini bertentangan dengan prinsip pembelajaran aktif, yaitu siswa lebih banyak MENGALAMI

atau MELAKUKAN untuk menghasilkan karya (Fink, 19992). Fakta tersebut diperlemah

dengan tidak banyaknya pelatihan atau kegiatan di MGMP yang membantu guru untuk menyampaikan konten.

Kesalahan yang konkret ditampilkan dalam hal ini adalah kekuranglengkapan definisi yang

diberikan dalam buku teks SMP/MTs. kelas 7 yang dimiliki oleh siswa. Contoh definisi yang diberikan adalah sebagai berikut.

1 Thompson, C. S., & Van de Walle, J. (1985). Let's Do It: Patterns and Geometry with

Logo. Arithmetic Teacher, 32(7), 6-13. 2 Fink, L. D. (1999). Active learning. Instructional Development Program. University of Oklahoma.

a

Siswa sedang mengamati contoh-contoh barisan bilangan aritmatika

dan barisan geometri yang terdapat pada tabel dalam lembar kerja.



UNIT 1

Definisi

Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut yang berhadapan

dengan sisi alas

Di samping itu, ilustrasi yang dimunculkan sebagai penjelas definisi belum mampu

mengakomodir keberlakukan secara umum dari definisi yang diberikan. Contoh ilustrasi tersebut dapat dilihat pada gambar 1.1. padahal gambar tersebut akan sering dilihat

sehingga punya peran terhadap terpatrinya konsep yang belum lengkap tentang garis tinggi tersebut. Efek domino dari pemahaman yang belum lengkap ini siswa akan kesulitan

menentukan garis tinggi dari suatu segitiga tumpul, dan berlanjut juga pada problem-

problem berkaitan dengan luas daerah segitiga. Berdasarkan uraian di atas pembelajaran geometri terutama materi segitiga, yaitu tentang konsep tinggi suatu segitiga menjadi

penting untuk dilakukan.

Tujuan

Setelah mengikuti sesi ini, peserta mampu:

1. memahami tentang konsep tinggi suatu segitiga, baik segitiga lancip maupun segitiga tumpul

2. memanfaatkan konsep garis tinggi suatu segitiga dalam menyelesaikan permasalahan matematis tentang segitiga.

Petunjuk Umum

1. Sesi ini dilaksanakan secara pleno atau kelompok mata pelajaran;

2. Untuk menjalankan slide presentasi, fasilitator disarankan untuk menggunakan wireless

mouse/pointer.

Sumber dan Bahan

1. Materi Presentasi Unit I-Menemukan Luas Daerah Segitiga

2. Lembar kerja peserta (LKP) penggalian pengetahuan, LKP 1.1. dan dan LKP 1.2, dan

informasi tambahan.



UNIT 1

Waktu

Waktu yang disediakan untuk kegiatan ini adalah 120 menit. Rincian alokasi waktu dapat dilihat pada Perincian Langkah-langkah Kegiatan.

Garis Besar Kegiatan (120 menit)

Perincian Langkah-langkah Kegiatan

Introduction (5 menit)

(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan yang akan

dilakukan pada unit ini.

I

Introduction

5 menit

Fasilitator

menyampaikan

latar belakang,

tujuan, dan garis besar kegiatan

Connection

15 menit

• Diskusi tentang

penyebab

terjadinya

miskonsepsi ttg

garis tinggi

segitiga.

• Identifikasi

berbagai akibat

miskonsepsi

tersebut.

Application

80 menit

Kegiatan 1:

Memperkirakan

Pengertian Garis

Tinggi Segitiga (15’)

Kegiatan 2:

Memahami Konsep


(25’)

Kegiatan 3:

Merancang LK garis

tinggi segitiga (40’)

Reflection

15 menit

• Peserta

menjawab

pertanyaan

tentang

keberlakukan

rumus luas

segitiga pada

beberapa

segitiga dengan

alas dan tinggi

yang sama

• Penguatan

terkait definisi

garis tinggi

suatu segitiga

Extension

5 menit

Saran untuk

mencobakan LK

dan mencatat

efektivitas LK dalam

menghindarkan

miskonsepsi

siswa tentang

garis tinggi



UNIT 1

Connection (25 menit)

(1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman mereka tentang

miskonsepsi siswa terkait garistinggi segitiga berpandu pada pertanyaan:

Apa saja miskonsepsi yang biasa terjadi pada siswa terkait garis tinggi segitiga?

Apa sajakah penyebab miskonsepsi tersebut?

Apa saja akibat miskonsepsi tersebut?

(2) Fasilitator mencatat pengalaman mereka di atas.

Application (80 menit)

Kegiatan 1: Menuliskan Pengertian Garis Tinggi Suatu Segitiga (40’)

(1) Peserta, secara berpasangan dan menggunakan LKP 1.1, diminta untuk menuliskan

pengertian Garis Tinggi Segitiga, berpandu pada pertanyaan dan tugas berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan garis tinggi suatu segitiga?

Lukis garis tinggi segitiga ABC pada gambar yang diketahui.

(2) Tiap pasangan diminta saling menyampaikan hasil kerja mereka dan mendiskusikannya

terutama dalam hal:

a. Kelengkapan ‘pengertian’ garis tinggi;

b. Ketepatan gambar garis tinggi dikaitkan dengan ‘pengertian’ yang dirumuskannya.

(3) Fasilitator memimpin penyepakatan tentang ‘pengertian’ garis tinggi segitiga

Kegiatan 2: Memahami Konsep Tinggi Suatu Segitiga (15’)

(1) Peserta, secara berpasangan dan menggunakan LKP 1.2, diminta untuk mendiskusikan Garis Tinggi Segitiga, berpandu pada pertanyaan dan tugas berikut: 1. Sebutkanlah pasangan titik dan sisi yang berhadapan dalam segitiga yang diketahui; 2. Lukislah garis tinggi berbagai segitiga pada gambar yang diketahui.

- Apakah ada garis tinggi yang TIDAK bisa Anda lukis? Mengapa?

- Bagaimana Anda mengatasi hal tersebut?

(2) Dengan pengalaman kegiatan 2 ini, peserta diminta melengkapi pengertian Garis Tinggi

yang dirumuskan pada kegiatan 1 (Jika diperlukan)

(3) Secara perorangan, peserta diminta membaca Informasi Tambahan 1.1 terkait garis

tinggi segitiga.

C

A



UNIT 1

Kegiatan 3: Merancang Lembar Kerja (40’)

(1) Peserta, secara berpasangan merancang lembar kerja tentang garis tinggi segitiga yang

‘menjamin’ siswa tidak miskonsepsi;

(2) Dalam kelompok masing-masing, peserta diminta saling berbagai hasil kerja dan

memberikan komentar terutama dalam hal:

- Apakah LK yang dibuat cukup efektif menghindarkan siswa dari miskonsepsi

tentang garis tinggi segitiga.

Reflection (15 menit)

Fasilitator memberikan pertanyaan sebagai berikut.

Coba perhatikan gambar dibawah ini.

Jika rumus luas daerah segitiga adalah ‘alas x ½ tinggi’, diantara daerah segitiga

ABC, ABD, dan EFG di atas, manakah yang memiliki luasan terbesar? Berikan

penjelasan.

Catatan untuk Fasilitator

Pertanyaan ini memberikan tantangan sekaligus memastikan peserta memahami

konsep tinggi dan luas segitiga yang sudah diperoleh dari kegiatan-kegiatan sebelumnya.

R

A E

D C

B

G F



UNIT 1

Jika garis-garis CF dan AE merupakan garis-garis yang sejajar, dengan menganggap

alasnya AB pada segitiga ABC dan ABD, dan GF pada segitiga EFG , maka panjang

garis tinggi dari segitiga ABC, ABD, dan EFG adalah sama. Lihat gambar di bawah ini.

Setelah itu, kita dapat melihat bahwa ketiga segitiga memiliki alas yang sama, yakni pada segitiga ABC alasnya AB, pada segitiga ABD, alasnya AB dan pada segitiga EFG

alasnya FG (AB=FG). Dengan demikian ketiga segitiga memiliki alas yang sama dan tinggi yang sama.

Tanpa melihat bentuknya, dengan rumus yang diperoleh, bahwa

𝐿 =1

2𝑎. 𝑡

Maka segitiga ABC, ABD, dan EFG memiliki luasan yang sama.

(Yang dimaksud luas segitiga adalah luas DAERAH segitiga; a adalah ‘panjang alas’; tinggi adalah ‘panjang garis tinggi’)

Extension (5 menit)

Fasilitator menyarankan agar, sepulang pelatihan, peserta:

a. mencobakan lembar kerja di kelas masing-masing; dan

b. mencatat apakah LK cukup efektif/apakah ada miskonsepsi lain terkait garis tinggi ini.

E



UNIT 1

Lembar Kerja Peserta – 1.1

Tinggi Suatu Segitiga

Kegiatan 1

Perhatikanlah gambar di bawah ini

Setelah memperhatikan gambar tersebut,

1. Menurut Anda, apakah yang dimaksud dengan garis tinggi dari suatu segitiga

2. Lukiskan garis tinggi segitiga ABC pada gambar tersebut

A

C

B



UNIT 1

Kegiatan 2

1. Pada segitiga-segitiga di bawah ini, lukislah garis tinggi dari masing-masing segitiga

jika alas segitiga tersebut adalah sisi yang berlabel a !

a a a

a

a

a

a

a

a

a



UNIT 1


Konsep Garis Tinggi suatu Segitiga

Kegiatan 1 Salah satu definisi Segitiga adalah ‘Suatu polygon yang terdiri dari tiga sisi dan tiga titik

sudut’. Unsur-unsur pada segitiga yang berupa sisi dan titik memiliki letak yang

berpasangan atau berhadapan.

Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga VWX di samping.

Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga STU di samping.

Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga PQR di samping.

P

R

Q

U

T

S

V W

X



UNIT 1

Kegiatan 2

Garis tingggi merupakan salahsatu garis istimewa pada segitiga. Pemahaman yang baik

tentang garis tinggi akan membantu pemahaman selanjutnya pada materi segitiga,

terutama tentang luas segitiga.

Petunjuk: Lukislah garis tinggi segitiga-segitiga di bawah ini dengan sisi alas yang telah ditentukan.

Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi PR.

Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi PQ.

Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi RQ.

P

Q

R

P

Q

R

P

Q

R



UNIT 1

Informasi Tambahan 1.1


Definisi Garis Tinggi suatu Segitiga

Garis Tinggi Segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi atau perpanjangan sisi di depannya .

Jika dilihat dari definisi tersebut maka unsur titik dan sisi adalah dua hal yang berpasangan, atau yang disebut dalam kalimat tersebut adalah berhadapan:

Lihat segitiga di bawah ini.

Gambar 1: Model segitiga ABC

Masing-masing sisi pada segitiga segitiga memiliki ‘hak yang sama’ untuk berperan sebagai

alas. Dengan kata lain alas tidak hanya sisi AB, tetapi kita juga bisa mengatakan segitiga ABC, dengan alasnya BC, segitiga ABC dengan alasnya AC. Hal ini nanti akan

berpengaruh terhadap penentuan garis tinggi suatu segitga, yaitu memilih dan/atau

membuat garis yang tegak lurus dengan alas tersebut. Sekali lagi lihat gambar 1 di atas. Maka kita dapat menentukan pasangan-pasangan antara

titik-titik pada segitiga dengan sisi-sisi pada segitiga tersebut, yakni Titik A berhadapan dengan sisi BC

Titik B berhadapaan dengan sisi AC Titik C berhadapan dengan sisi AB

Hal yang sama juga bisa kita terapkan pada segitiga tumpul. Lihat contoh berikut ini.

Gambar 2: Model segitiga tumpul

A B

C

P

R

Q



UNIT 1

Pada segitiga tersebut, kita dapat mengatakan bahwa

Titik P berhadapan dengan sisi QR Titik Q berhadapaan dengan sisi PR

Titik R berhadapan dengan sisi PQ

Jika definisi serta pasangan titik dan garis tersebut dipahami dengan baik, maka akan menjadi jelas bagaimana menemukan dan melukiskan garsis tingggi yang benar dari suatu

segitiga.

Misalkan kita diminta membuat garis tinggi segitiga dengan alas AB pada segitiga ABC di

bawah ini, kita tentukan titik di hadapan sisi AB adalah titik C, maka kita tinggal menarik garis melalui C yang tegaklurus dengan AB.

Demikian juga ketika kita diminta untuk menentukan garis tinggi dengan alas BC, maka kita tentukan titik yang dihadapan BC adalah A. Pada hal yang demikian, maka kita harus

melakukan perpanjangan sisi BC terlebih dahulu.

Pengetahuan tentang garis tinggi suatu segitiga ini juga akan memiliki pengaruh untuk konsep yang selanjutnya, yaitu pada materi Luas Daerah Segitiga.

(Yang dimaksud ‘tinggi segitiga’ adalah ‘panjang garis tinggi segitiga’)

A

C

B

D

A

C

B

D



UNIT 1

MATERI PRESENTASI UNIT 1



UNIT 1

UNIT 2

OPERASI BILANGAN BULAT

18

Operasi Bilangan Bulat

UNIT 2


19

Operasi Bilangan Bulat UNIT 2


UNIT 2

OPERASI BILANGAN BULAT

Pendahuluan

Siswa sedang bermain domino aljabar

dalam pembelajaran matematika.Pada

umumnya, konsep operasi bilangan

disampaikan dengan metode ceramah

bukan melalui aktivitas konstruksi

sendiri oleh siswa melalui serangkaian

aktivitas pembelajaran. Begitu juga,

strategi komputasi untuk menentukan

hasil operasi bilangan bulat berwujud

prosedur yang hanya dihapal dan

dilatihkan melalui drill and practice.

Bahkan seringkali penggunaan konteks untuk merepresentasikan operasi bilangan yang digunakan

tidak tepat dan tidak konsisten, hal ini menimbulkan kebingunan dan kesulitan dalam

menerapkannya. Sebagai contoh, penggunaan konteks “utang” dan “bayar” untuk

merepresentasikan bilangan negatif dan operasi penjumlahan. Misalkan, operasi −4 − 3 berarti

punya utang 4 kemudian utang lagi 3 maka utangnya menjadi 7 atau (-7), maka hasilnya −4 −

3 = −7 . Akan tetapi, konteks ini menjadi sangat rumit ketika operasinya −4 – (−3), maka

konteksnya menjadi rumit yakni “punya utang 4 kemudian utang lagi sebanyak utang 3”.

Penggunaan garis bilangan yang diajarkan sebagai strategi komputasi seringkali prinsip/aturannya

tidak konsisten (inkonsinsten) . Hal ini memicu kebingungan dalam menerapkannya. Sebagai

contoh, untuk memperagakan bentuk pengurangan 2-5, diperagakan sebagai berikut:

Gambar 2.1

Inkonsisten tersebut ditunjukkan lambang “operasi bilangan” yang berupa

pengurangan/pembagian menunjukkan arah menghadap atau maju mundunya model yang

digunakan.

Siswa sedang bermain domino aljabar dalam pembelajaran

matematika.

20


UNIT 2


Tujuan

Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu:

1. merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi penjumlahan dan pengurangan

yang melibatkan bilangan bulat negatif

2. merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi perkalian dan pembagian yang

melibatkan bilangan bulat negative.

Sumber dan Bahan

1. Materi Presentasi Unit 8b

2. Lembar Kerja Peserta 2.1


4. ATK: (lihat Pengantar modul)

Waktu – 120 menit

Garis Besar Kegiatan

Introduction

5 menit

Fasilitator

menjelaskan:

Latar belakang

pembahasan topik, tujuan

pembelajaran

dan garis besar

kegiatan.

Connection

15 menit

Ungkap

gagasan

/pengalaman:

- strategi

- media

- kelebihan/ke

kurangan

- kesulitan

untuk

mengajarkan

pengurangan

dan

perkalian yg

melibatkan

bilangan

bulat negatif

Application

85 menit

Kegiatan 1:

Menemukan

aturan operasi

pengurangan

bilangan bulat

negatif

Kegiatan 2:

Menemukan

aturan operasi

perkalian.

Kegiatan 3:

Merancang LK

4056 × (−534)?

Reflection

10 menit

Pertanyaan

efektivitas cara

yang

diperkenalkan

Perlu tidaknya

peragaan/media

ketika siswa

diminta untuk

menyelesaikan

1012 − (−435)?

Extension 5 menit

Saran untuk:

• menemukan cara/media

lain untuk pengurangan

dan

perkalian bil.

negatif

• mencobakan LK yang

dibuat

21



Rincian Langkah Kegiatan


(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu

Konsep/strategi operasi bilangan bulat yang melibatkan bilangan negatif

disampaikan secara ceramah dan bersifat prosedural

Masih terdapat kebingungan pada siswa, terutama pada operasi pengurangan

bilangan bulat negatif dan perkalian bilangan bulat negatif.

Aturan penggunaan garis bilangan yang tidak konsisten dan tidak lengkap dalam

menentukan hasil operasi bilangan bulat

(2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu:

Merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi penjumlahan dan

pengurangan yang melibatkan bilangan bulat negatif.

Merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi perkalian dan pembagian

yang melibatkan bilangan bulat negatif.

(3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan.


Ungkap Pengalaman

(1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman/pengetahuan pribadi

maupun kebiasaan siswanya dalam menggunakan media dan strategi komputasi untuk

menentukan hasil operasi bilangan bulat (Pengurangan dan perkalian yang melibatkan

bilangan negatif);

(2) Fasilitator meminta peserta mengungkapkan kelebihan dan kelemahan dari strategi

komputasi yang biasa dilakukan guru atau yang diajarkannya pada siswa.

(3) Fasilitator meminta peserta mengungkapkan kesulitan-kesulitan yang sering dijumpai

oleh guru atau siswanya dalam mengajarkan maupun menggunakan strategi komputasi

tersebut.

(4) Fasilitator menuliskan pada kertas plano/papan tulis atau pada tayangan kegiatan yang

disebutkan peserta agar dapat dilihat oleh semua peserta.

I

C

22


UNIT 2



A. Operasi Bilangan Bulat

Kegiatan1: Operasi Pengurangan yang Melibatkan Bilangan Bulat Negatif

(20 menit)

(1) Fasilitator menjelaskan bahwa peserta akan menemukan aturan pengurangan bilangan

bulat dan melaporkan cara dan hasil penyelesaian soal tersebut.

(2) Secara berpasangan peserta menyelesaikan soal pada LKP 2.1

(3) Temukan strategi umum operasi pengurangan bilangan bulat negatif.

(4) Presentasikan hasil tiap kelompok secara pleno

(5) Kelompok lain memberikan tanggapan

Kegiatan 2: Operasi Perkalian yang Melibatkan Bilangan Bulat Negatif

(25 menit)

(1) Peserta masih dalam kelompok yang sama dengan kelompok pada kegiatan

sebelumnya.

(2) Fasilitator menggambar/menyiapkan garis bilangan diletakkan di depan.

(3) Fasilitator membagikan Lembar Kerja 2.2, Ayo Mencari Harta Karun.

(4) Fasilitator menjelaskan aturan bermain

Tanda bilangan dari bilangan pertama mengindikasikan menghadapnya si

pencari harta karun. Tanda + (positif) berarti ke kanan atau ke tanda bilangan

positif. Tanda – (negatif) berarti ke kiri atau ke tanda bilangan negatif.

Tanda bilangan dari bilangan kedua mengindikasikan cara melangkah si pencari

harta karun. Tanda + (positif) berarti maju. Tanda – (negatif) berarti mundur.

A

Catatan untuk fasilitator

1. Fasilitator melakukan modeling dengan menggunkaan LK 2.1

2. Fasilitator membagikan Informasi Tambahan – 2.1

23



Bilangan pertama merepresentasikan banyaknya lompatan/langkah si pencari

harta karun.

Bilangan kedua merepresentasikan lebar lompatan/langkah si pencari harta

karun.

(5) Peserta bermain secara simultan/paralel.

Kegiatan 3: Merancang Lembar Kerja (40 menit)

(1) Peserta diminta merancang lembar kerja terkait perkalian atau pengurangan yang

melibatkan bilangan negatif (Kerja berpasangan, dalam kelompok perlu ada

pasangan yang membuat LK pengurangan dan ada pasangan yang membuat LK

perkalian)

(2) Peserta diminta saling bertukar hasil kerja antar pasangan dan memberikan

komentar (LK pengurangan ditukarkan dengan LK pengurangan pada kelompok

lain; demikian juga untuk LK perkalian).

Komentar difokuskan pada:

• Seberapa jauh LK mendorong siswa menemukan pola/cara?

(3) Fasilitator memperlihatkan di pleno LK (yang dibuat peserta) yang dianggap paling

baik dari segi mendorong siswa menemukan pola.


Fasilitator meminta beberapa peserta untuk mengungkapkan jawaban dari pertanyaan:

• Apakah cara dalam menerangkan operasi pengurangan dan perkalian yang melibatkan bilangan negatif seperti di atas sudah efektif?

• Apakah masih diperlukan peragaan/media ketika siswa diminta untuk

menyelesaikan

a) 1012 − (−435)?

b) 4056 × (−534)?

Extension (5 menit)

Fasilitator menyarankan peserta agar, sepulang dari pelatihan, peserta:

1. menemukan cara atau media lain untuk menemukan konsep pengurangan dan

perkalian yang melibatkan bilangan bulat negatif;

2. mencoba LK yang dibuat masing-masing dan mengamati efektivitasnya.

R

E

24


UNIT 2



Salah satu startegi dalam mengajarkan operasi bilangan bulat, khususnya pada operasi

pengurangan bilangan negatif, adalah dengan melihat pola-pola yang terjadi.

Melihat pola pengurangan bilangan

1. Amati hasil operasi bilangan bulat di bawah ini.

5 − 4 = 1 5 − 3 = 2 5 − 2 = 3 5 − 1 = 4 5 − 0 = 5

Dari hasil pengamatan, apa yang dapat Anda simpulkan berkaiatan dengan bilangan

pengurang dan hasilnya?

2. Dari simpulan dan pola tersebut, isikan operasi pengurangan selanjutnya di bawah ini.

5 − (−1) = ⋯ 5 − (−2) = ⋯ 5 − (−3) = ⋯ 5 − (−4) = ⋯ 5 − (−5) = ⋯

3. Coba sekarang bandingkan hasil-hasilnya dalam tabel di bawah ini.

Fakta penjumlahan Fakta Pengurangan

5 + 1 =. .. 5 − (−1) = ⋯ 5 + 2 =. .. 5 − (−2) = ⋯ 5 + 3 =. .. 5 − (−3) = ⋯ 5 + 4 =. .. 5 − (−4) = ⋯ 5 + 5 =. .. 5 − (−5) = ⋯

⋮ ⋮ ... ...

Berdasarkan tabel di atas, jika a dan b adalah bilangan bulat, maka

𝑎 − (−𝑏) =. . ..

25




Sebuah kotak harta karun tersimpan di dalam salah satu gerbong kereta. Setiap gerbong diberi nomor seperti pada gambar.

Serangkaian instruksi berikut akan menuntun Anda menemukan harta karun tersebut.

Yuk kita cari!

Petunjuk : Selesaikan instruksi berikut sesuai aturan yang diberikan oleh fasilitator. Kegiatan 1

Berjalan ke arah 1 x (–2). Hasil pada langkah tersebut kemudian dikalikan dengan (–2).

Kemudian, kalikan dengan 3. Lalu tambahkan dengan (–3). Terakhir kurangkan dengan 8. Pada gerbong berapakah letak harta karun tersebut?

Kegiatan 2

Peta Rahasia Deskripsi Lokasi Harta Karun

4 × 3

−4 × 3 ...

...

4 × (−3)

...

...

(−4) × (−3)

...

...

Berdasarkan kegiatan bermain peran “Mencari Harta Karun”, Tuliskan kesimpulan yang

kalian peroleh terkait konsep dan strategi komputasi operasi perkalian bilangan bulat.

26


UNIT 2


Informasi Tambahan 2.1

Dalam menentukan hasil dari operasi pengurangan bilangan bulat, ada beberapa strategi

yang dapat digunakan selain menggunakan pola bilangan seperti yang sudah dijelaskan dalam aktivitas. Strategi tersebut diantaranya adalah dengan menggunakan garis bilangan.

Pengurangan Bilangan Bulat

Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat menggunakan garis bilangan. 1. Posisikan model di 0 (nol)

2. Bilangan pertama menunjukkan posisi atau letak bilangan pada garis bilangan. 3. Tanda pada bilangan kedua menunjukkan arah menghadap. Tanda + (positif) berarti

model menghadap ke kanan sedangkan tanda – (negatif) berarti model menghadap ke

kiri.

4. Operasi menunjukkan arah. Penjumlahan berarti maju sedangkan pengurangan berarti

mundur.

Contoh peragaan penggunaan garis bilangan pada operasi penjumlahan dan pengurangan

bilangan bulat:

1. 4 − (−3) = ⋯

a. Tempatkan model pada koordinat 0, menghadap ke kanan (karena bilangan

pertama positif.

b. Langkahkan model satu langkah demi satu langkah menuju koordinat 4 (untuk

menunjukkan bilangan pertama yaitu 4)

c. Karena bilangan kedua bernilai negatif (yakni -3) maka model menghadap ke

kiri

27



d. Karena operasinya adalah pengurangan maka model bergerak mundur satu langkah demi satu langkah sebanyak 3 langkah (karena bilangan keduanya

adalah 3)

e. Posisi terakhir pada langkah d menunjukkan berada diatas koordinat 7, berarti

hasil operasi bilangan 4 − (−3) = 7

28


UNIT 2



29



30


UNIT 2


1


Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Workshop PPG

UNIT 3

PERSAMAAN GARIS LURUS

1


Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Workshop PPG

UNIT C


Persamaan Garis Lurus

UNIT 3

UNIT 3

PERSAMAAN GARIS LURUS

Pendahuluan

Banyak persoalan dalam kehidupan

sehari-hari dapat dimodelkan dengan

persamaan garis lurus. Jika persoalan

tersebut telah dimodelkan menjadi

persamaan garis lurus, maka persamaan

tersebut dapat digunakan untuk menaksir

suatu nilai dari sebuah peristiwa. Sebagai

contoh, seseorang dapat menaksir jarak

yang mereka tempuh dengan kecepatan

konstant dalam waktu tertentu. Begitu

pula seseorang mudah memprediksi

kecepatan kendaraannya jika akan

menempuh jarak tertentu dengan waktu

tertentu. Contoh lain di dalam

memprediksi biaya produksi, sebuah

perusahaan dapat membuat persamaan garis lurus dengan memperhitungkan fixed cost dan

biaya produksi perunit untuk menaksir biaya yang harus dikeluarkan untuk memproduksi

sejumlah unit barang.

Berdasarkan pengalaman beberapa guru yang terlibat dalam penulisan buku, masih banyak

ditemukan beberapa bentuk kesalahan konsepsi yang biasa terjadi ketika siswa telah

mempelajari materi persamaan garis lurus, antara lain:

1) Kesalahan menentukan gradien atau koefisien arah garis lurus dari berbagai persamaan

garis lurus yang diberikan, diantaranya:

a. Pada persamaan 3𝑦 = 4𝑥 − 5, siswa menjawab, gradiennya 4.

b. Pada persamaan 3𝑦 − 4𝑥 + 5 = 0 siswa menyebutkan gradien garisnya −4

5 .

c. Pada persamaan 4𝑥 = 3𝑦 − 5, siswa menyebutkan gradiennya3

4 dan 3𝑦 = 4𝑥 − 5 siswa

menjawab gradiennya juga 3

4 .

2) Kesalahan menentukan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis tertentu.

Misalnya garis 𝑘 yang tegak lurus dengan garis 𝑙 dengan persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 3

mempunyai gradient 𝑚𝑘 = −1 dengan alasan bahwa hubungan gradien kedua garis itu

adalah 𝑚𝑘.𝑚𝑙 = −1.

Siswa belajar di halaman sekolah untuk membuktikan

penerapan rumus kesebangunan.

34 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

Persamaan Garis Lurus UNIT 3

Dari kesalahan konsepsi tersebut penting untuk dipikirkan pembelajaran yang mampu

mereduksi miskonsepsi pada materi persamaan garis lurus.

Tujuan

Setelah mengikuti sesi ini, peserta mampu:

1. menjelaskan konsep garis lurus, gradien garis lurus, dan persamaan garis lurus.

2. menggambar grafik dan menggunakan persamaan garis lurus untuk menyelesaikan

permasalahan.

3. menjelaskan hubungan antara dua buah garis lurus.

4. mengeleminir miskonsepsi yang dialami siswa SMP/MTs materi persamaan garis lurus.

Petunjuk Umum

1. Sesi ini dilaksanakan secara pleno atau kelompok;

2. Agar pelaksanaan pembelajaran dapat berjalan dengan baik disarankan guru menyediakan/

melengkapi terlebih dahulu bahan dan alat yang dibutuhkan.

3. Jika infocus tidak tersedia, guru dapat terlebih dahulu menuliskan pada kertas plano beberapa

hal penting dari materi yang akan dibelajarkan

Sumber, Bahan, dan Alat

1. Materi Presentasi Unit 3

2. Lembar Kerja Peserta (LKP)

3. Pensil berbagai ukuran panjang, kertas berpetak, kertas plano, post-it, kertas HVS,

penggaris, dan pulpen

4. Buku Guru dan Buku Siswa sesuai Kurikulum 2013, dan buku lainnya yang relevan

Waktu

Waktu yang disediakan untuk kegiatan ini adalah 120 menit. Rincian alokasi waktu dapat

dilihat pada Perincian Langkah-langkah Kegiatan.

UNIT C



UNIT 3

Garis Besar Kegiatan (120 menit)

Perincian Langkah-langkah Kegiatan


(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan yang akan

dilakukan pada unit ini sebagaimana yang terdapat pada slide.


Kegiatan: Urun Gagasan/Pengalaman terkait materi Persamaan Garis Lurus (10’)

(1) Fasilitator mengajak peserta untuk URUN GAGASAN terkait pengertian persamaan

garis lurus, gradien dan contohnya, dengan mengajukan pertanyaan seperti: (a) Apa

yang Saudara ketahui tentang pengertian persamaan garis lurus? Berikan contohnya?

(b) Apa pula yang Saudara ketahui tentang gradien suatu garis lurus? Berikan

contohnya? (c) Berikan beberapa contoh miskonsepsi yang pernah dialami siswa

ketika mempelajari persamaan garis lurus?

C

I

Introduction

5 menit Fasilitator

menyampaikan

latar belakang,

tujuan, dan garis

besar kegiatan

Connection

15 menit

Ungkap gagasan

tentang:

• Pengertian gradien dan

persamaan garis

lurus.

• Membahas contoh kasus

penerapan

persamaan garis

lurus dalam

kehidupan

sehari-hari.

Application

85 menit

• Kegiatan 1: Menggambar

grafik persamaan garis

lurus.

• Kegiatan 2:

Mengkontruksi

pemahaman tentang

gradien suatu garis

lurus.

• Kegiatan 3: Menemukan hubungan

gradien antara dua garis

lurus.

• Kegiatan 4: menemukan

persamaan garis lurus

yang melalui satu titik

dengan gradien m.

• Kegiatan 5: menemukan persamaan garis lurus

yang melalui dua titik.

Reflection

10 menit

Peserta

menjawab

pertanyaan:

• berikan saran-

saran untuk penyesuian

pembelajaran

persamaan garis

lurus untuk

siswa SMP/MTs.

Extension

5 menit

Fasilitator

memberi

penguatan dan saran tindak

lanjut.



(2) Fasilitator menayangkan gambar tentang berbagai kemiringan pencil (garis), dan

mengajukan pertanyaan: Apa yang dapat Saudara katakan tentang berbagai kemiringan

garis tersebut?

(3)

(4) Fasilitator menuliskan jawaban peserta di flipchart/white board.

(Jawaban ini dapat menginspirasi peserta pada kegiatan selanjutnya, yaitu membahas

contoh kasus persamaan garis lurus)

Jawaban yang diberikan peserta dapat dipertegas oleh fasilitator untuk kebenarannya,

misalnya dengan mengajukan kembali kepada peserta lain atau memberi penguatan atas

jawaban peserta tersebut.


Kegiatan 1: Menggambar grafik Persamaan Garis Lurus (10’)

(1) Fasilitator meminta peserta untuk duduk berpasangan; (2) Fasilitator memberikan LKP 3.1 (tentang menggambar grafik persamaan garis lurus)

(3) Fasilitator meminta peserta mencermati LKP 3.1, dan menanyakan hal-hal yang belum dipahami pada LKP 3.1

(4) Fasilitator menayangkan persamaan garis lurus y = 2x – 6 melalui slide; (5) Peserta secara berpasangan menggambar grafik persamaan garis lurus y = 2x – 6 dengan

bantuan menuliskan tabel pasangan berurutan sebagai mana pada tayangan slide atau LKP

3.1; (6) Fasilitator meminta perwakilan pasangan secara pleno untuk mempresentasikan hasil

kerja LKP 3.1

(7) Fasilitator meminta peserta lain untuk memberikan tanggapan terhadap hasil presentasi

(8) Fasilitator memberikan penguatan hasil presentasi menggambar grafik persamaan garis

lurus.

(9) Fasilitator meminta peserta untuk menyelesaikan soal (b) 2y – 4x = 4.

Kegiatan 2: Mengkontruksi Pemahaman tentang Gradien Suatu Garis Lurus (35’)

(1) Fasilitator menayangkan gambar berkenaan dengan berbagai kemiringan pensil dengan

variasi perbadingan panjang ordinat dan absisnya;

(2) Fasilitator meminta peserta secara individu untuk menjawab pertanyaan tentang

perbandingan panjang ruas garis tegak dengan ruas garis mendatar pada gambar.

A

Catatan untuk fasilitator

Jawaban yang diharapkan: ada kemiringan positif, ada kemiringan negatif, ada yang tegak

lurus, dan ada yang sejajar.

UNIT C



UNIT 3

(3) Fasilitator membagikan LKP 3.2 (mengkonstruksi pemahaman tentang gradien), post-it,

dan kertas plano kepada tiap-tiap kelompok.

(4) Secara berkelompok, peserta melengkapi LKP 3.2, dan menuliskan pada kertas plano.

(5) Peserta mempertukarkan hasil kerja kelompoknya dengan kelompok lain, memberikan

komentar melalui post-it.

(6) Peserta memperbaiki kembali hasil kerja kelompok berdasarkan masukan dari kelompok

lain.


1. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (1) dan percobaan

(3), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara

simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut sejajar, dan gradien ke dua

garis tersebut sama yaitu ½.



simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut saling tegak lurus, dan

perkalian gradien garis pertama dengan gradien garis kedua sama

dengan -1 atau m1 x m2 = -1.



simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut saling tegak lurus, dan

perkalian gradien garis pertama dengan gradien garis kedua sama

dengan tak terdefenisi.

Dari catatan (2) dan (3) dapat diambil kesimpulan: jika perkalian gradien

dua garis tersebut sama dengan -1 maka dua garis tersebut saling tegak

lurus, akan tetapi TIDAK SEBALIKNYA: semua garis yang saling tegak lurus

perkalian gradiennya sama dengan -1, misal sumbu x dan sumbu y keduanya

saling tegak lurus namun perkalian gradiennya tidak -1.

(7) Berdasarkan hasil kerja LKP 3.2, fasilitator secara klasikal mengajukan pertanyaan: “apa

yang dimaksud dengan gradien?”

Bimbinglah peserta untuk menyimpulkan bahwa koefisien arah (gradien) garis yang melalui 2 titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah

perbandingan antara : (𝑦2−𝑦1)

(𝑥2−𝑥1).

(x1, y1) dan (x2, y2) adalah dua titik yang dilalui oleh suatu garis

lurus.



Pengertian gradien:

Gradien suatu garis adalah besar tangen sudut yang dibentuk oleh

garis tersebut terhadap garis horizontal.

Kegiatan 3: Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik dengan

Gradien m (20’)

(1) Fasilitator meminta peserta untuk duduk berpasangan;

(2) Fasilitator membagikan kertas plano, spidol, post-it, dan LKP 3.3 tentang (menemukan

persamaan garis lurus yang melalui satu titik dengan gradien m).

(3) Peserta mendiskusikan dengan pasangannya berkenaan dengan LKP 3.3.

(4) Peserta dapat menuliskan penyelesaiannya pada kertas HVS.

(5) Peserta mempertukarkan dengan pasangan lain hasil kerja LKP 3.3.

(6) Peserta mengoreksi hasil pekerjaan pasangan teman Saudara, berikan masukan pada

post-it dan tempelkan pada hasil kerja LKP 3.3 tersebut.

(7) Peserta memeriksa kembali masukan dari pasangan lain, melakukan perbaikan sesuai

dengan masukan tersebut.

(8) Fasilitator memberikan penguatan terhadap hasil kerja peserta.

Kegiatan 4: Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik (25’)

(1) Setiap peserta diskusi dalam kelompok (tiap kelompok 4 orang).

(2) Fasilitator membagikan LKP 3.4 (menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua

titik).

(3) Peserta membacalah LKP 3.4 (menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik).

(4) Secara berpasangan dalam kelompok, peserta mendiskusikan dengan pasangan LKP 3.4.

(5) Peserta dapat menuliskan penyelesaiannya pada kertas HVS.

(6) Peserta mempertukarkan dengan pasangan lain dalam kelompok hasil kerja LKP 3.4.

(7) Peserta mengoreksi hasil pekerjaan pasangan Saudara, berikan masukan pada post-it dan

tempelkan pada hasil kerja LKP 3.4 tersebut.

(8) Berdasarkan masukan tersebut, peserta mendiskusikan dalam kelompok jawaban yang

paling benar, dan tuliskan pada kertas plano.

(9) Salah satu kelompok mempresentasikan di kelas secara pleno.

(10) Kelompok lain memberikan tanggapan.

(11) Fasilitator memberikan penguatan terhadap hasil kerja peserta.

UNIT C



UNIT 3


(1) Fasilitator memeriksa ketercapaian tujuan sesi ini dengan mengajukan pertanyaan berikut:

Manakah pengertian gradien di bawah ini yang paling tepat? Mengapa?

a Gradien atau kemiringan suatu garis adalah ukuran kemiringan garis terhadap sum-X

positif (dari titik pangkal koordinat ke sebelah kanan) yang nilainya sama dengan

perbandingan selisih ordinat dengan selisih absis dua titik yang terletak pada garis

tersebut.

b. Gradien suatu garis lurus merupakan perbandingan antara komponen y (ordinat) dan

komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu.

(Jawab: a)

(2) Fasilitator meminta peserta, secara individual, untuk menentukan persamaan garis yang

melalui titik P (2,4) dan titik Q (3, 9).

(3) Peserta secara individu memberikan tanggapan, peserta lain menyempurnakannya.

Penguatan

(4) Fasilitator memberi penguatan dengan menyampaikan hal berikut.

Persamaan garis dapat dinotasikan dengan , dengan x,y adalah

variabel; a,b adalah koefisien, di mana a dan b tidak sama dengan nol, c adalah

konstanta, dan pangkat dari variabelnya sama dengan satu dan berderajat satu.

Persamaan garis lurus dapat juga dibuat dengan y = mx + b, dalam geometri disebut

persamaan garis lurus karena grafiknya berbentuk garis lurus.

Persamaan garis lurus dapat ditentukan apabila: (a) gradien dan satu titik yang dilalui

diketahui, atau (b) dua titik yang dilalui diketahui.

Extension (5 menit)

(1) Fasilitator memberikan saran kepada peserta untuk:

mempelajari lebih lanjut materi persamaan garis lurus dari sumber lain (buku,

internet) sehingga pemahaman mereka semakin mantap; menerapkan strategi pembelajaran persamaan garis lurus sebagaimana yang telah

dilatihkan dengan melakukan penyesuaian seperlunya sehingga miskonsepsi siswa

terhadap materi tersebut tidak terjadi lagi;

merancang tugas-tugas untuk siswa agar mereka semakin memahami materi

persamaan garis lurus dan tidak mengalami miskonsepsi.

----------------------

E

R



Lembar Kerja Peserta 3.1

Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus

Diberikan persamaan garis lurus: (a) 𝑦 = 2𝑥 − 6 dan (b) 2𝑦 − 4𝑥 = 4

Untuk soal (a) 𝑦 = 2𝑥 − 6, ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah awal yang dapat dilakukan adalah melakukan penghitungan:

Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = −6. Sehingga titiknya adalah (0, -6)

Jika 𝑥 = 1, maka 𝑦 = −4. Sehingga titiknya adalah (..., ....)

Jika 𝑥 = 3, maka 𝑦 =. .. Sehingga titiknya adalah (..., ....)

Jika 𝑥 = 5, maka 𝑦 =. .. Sehingga titiknya adalah (..., ....)

Dan seterusnya.

Buat tabel pasangan berurutan berikut:

𝑥 0 1 2 3 4 5

𝑦 -6 -4 … ... ... ...

Titik (𝑥, 𝑦) (0, -6) (1, -4) (…, …) ... ... ...

Untuk menggambar grafik persamaan garis lurus 𝑦 = 2𝑥 − 6, tandai titik-titik tersebut

pada koordinat Cartesius, kemudian titik-titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus.

Dapatkah dibuat grafik persamaan garis lurus 𝑦 = 2𝑥 − 6 jika hanya

ditentukan dua buah titik tertentu? Mengapa?

Untuk menyelesaikan soal (b) 2𝑦 − 4𝑥 = 4, ikuti langkah-langkah di atas.

Gambar 1 Grafik garis lurus 𝑦 = 2𝑥 − 6

UNIT C



UNIT 3


Mengkonstruksi Pemahaman tentang Gradien suatu Garis Lurus

Peserta dapat kembali memperhatikan kemiringan garis lurus pada sumbu koordinat yang

dimodelkan Gambar 1 di atas. Selain koordinat titik ujung pensil, peserta mengidentifikasi

titik koordinat lain yang dilalui pensil (sebagai garis). Gunakan kertas berpetak yang telah

dilengkapi koordinat Cartesius. Lalu mengisi data hasil pengamatan pada tabel di bawah ini.

Percobaan ke-

Posisi ujung pensil Gradien

Koordinat

Ujung

Koordinat

titik lain

Perbandingan selisih

ordinat dan absis

(1) (6, 3) (4, 2). (3-2)/(6-4) = 1/2 ½

(2) ..... ..... ..... .....

(3) (3,2) (1,1) ..... .....

(4) (5, 2) (4, 3) ..... .....

(5) ..... ..... ..... .....

(6) (....,2) (.....,2) ..... .....

(7) (3, ...) (3, ....) ..... .....

(8) (4, 3) (3, 2) ..... .....

a. Selidikilah jika posisi pensil sejajar dengan sumbu-X, bagaimanakah gradiennya?

b. Selidikilah jika posisi pensil sejajar dengan sumbu-Y, bagaimanakah gradiennya?

c. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (1) dan percobaan (3), berdasarkan

dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan?

d. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (4) dan percobaan (8), berdasarkan


e. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (6) dan percobaan (7), berdasarkan


Berdasarkan hasil di atas, maka gradien adalah .........................................................................................................................................................................

....................................................................................................................... .................. ..............................



Lembar Kerja Peserta 3.3 Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik dengan Gradien m.

Misalkan titik P adalah titik dengan koordinat (𝑥1, 𝑦1 ). Sedangkan Q adalah titik

dengan koordinat sebarang (𝑥, 𝑦), dimana PQ tidak sejajar sumbu 𝑥. Jika gradien garis

yang melalui titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1 ) dan 𝑄(𝑥, 𝑦) dinyatakan dengan 𝑚, berdasarkan LKP 3.2

dapat kita tentukan gradien:

… . −. . .

… . −. . .= 𝑚

Dapatkah Saudara mengubah bentuk di atas menjadi bentuk linier? Tuliskan!

.....................................................................................................

Bentuk aljabar yang Saudara temukan di atas merupakan persamaan garis lurus yang

melalui titik (𝑥1, 𝑦1 ) dengan gradien 𝑚.

Jika gradien garis yang melalui titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄(𝑥, 𝑦) dinyatakan dengan 𝑚,

berdasarkan LKP 3.2 dapat kita tentukan gradien:

… . −. . .

… . −. . .= 𝑚

Dapatkah Saudara mengubah bentuk di atas menjadi bentuk linier? Tuliskan!

.....................................................................................................

Untuk melatihkan pemahaman Anda, selesaikan soal-soal di bawah ini. (1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dengan gradien -3

(2) Berapakah gradien garis lurus yang dinyatakan dengan persamaan 2𝑦 − 5𝑥 = 4

Type equation here.

UNIT C



UNIT 3


Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik

Berdasarkan (LKP 3.3) ditemukan bentuk aljabar:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Jika ditentukan garis PQ melalui dua titik (𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2), maka gradien garis PQ

adalah:

𝑚 =… … … … …

… … … … …

Jika nilai 𝑚 tersebut disubstitusikan pada bentuk 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) maka bentuk

persamaan aljabar baru yang Saudara peroleh adalah:

...................................................................................................

...................................................................................................

Bentuk aljabar tersebut merupakan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik yaitu

melalui titik (𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2).

Untuk melatihkan pemahaman Saudara tentang persamaan garis lurus yang melalui 2

titik, selesaikan soal-soal di bawah ini. (1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan titik (4, 6).

(2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan titik potong antara garis

𝑦 = 2𝑥 + 1 dengan garis 𝑦 = 𝑥 – 1.

(3) Carilah persamaan garis yang melalui (2,3) dan (7,3);



UNIT C



UNIT 3




UNIT C



UNIT 3



UNIT 4

PEMBAGIAN PECAHAN

51

Pembagian Pecahan UNIT 4


UNIT 4

PEMBAGIAN PECAHAN

Pendahuluan

Seorang guru menjelaskan makna 1

2

dengan membagi sebuah kertas

menjadi dua bagian yang sama besar

kemudian membagikan kepada 2

orang siswa. Ketika guru mengajukan

pertanyaan berapa hasil 1 kertas

dibagi dua? Jawaban siswa adalah “2”.

Hal demikian sering muncul dalam

proses pembelajaran.

Dalam beberapa buku matematika

seringkali tidak menanamkan konsep

kepada siswa tetapi lebih pada

prosedural bagaimana menyelesaikan

operasi pembagian pecahan. Misal, soal pembagian pecahan dengan pecahan, diselesaikan

dengan mengganti operasi pembagian dengan operasi perkalian dengan cara mengalikan

bilangan yang dibagi dengan invers bilangan pembaginya dengan kata lain 𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏×

𝑑

𝑐

dan itu tanpa ada penjelasan, kenapa penyelesaiannya demikian.

Pada unit ini akan dibahas terutama bagaimana pecahan pembagi menjadi ‘terbalik’ ketika

operasi perkalian dilakukan.

Tujuan


1. menemukan kembali konsep pembagian pecahan

2. memanfaatkan konsep pembagian pecahan dalam penyelesaian masalah

3. menentukan alternatif lain cara menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa.

Siswa memasukkan pasir dengan ukuran kerucut yang

dimasukkan ke dalam tabung untuk menemukan rumus

volume kerucut.



Sumber dan Bahan


2. Lembar Kerja Peserta 4.1: Pembagian Pecahan

3. Lembar Kerja Peserta 4.2: Representasi Pembagian Pecahan


Waktu – 120 menit


Introduction

5 menit

Fasilitator

menjelaskan:

• Latar

Belakang

• Tujuan

penyampaian

materi

• Garis Besar

Kegiatan

Connection

15 menit

• Ungkap

pengalaman/

gagasan

peserta

tentang:

- pembagian

pecahan

-

kemungkinan

berbagai

representasi

pecahan

untuk

pembagian

pecahan

Application

90 menit

Kegiatan 1:

Mencari

Argumen

dibalik Rumus

Pembagian

Pecahan (25’)

Kegiatan 2:

Representasi

Pembagian

Pecahan (25’)

Kegiatan 3 :

Merancang

Lembar Kerja

(40’)

Reflection

5 menit

• Memeriksa

ketercapaian

tujuan

• Menanyakan

makna ½ : ¼

• Memberi

penguatan

Extension

5 menit

• Saran untuk

mencobakan LK di kelas

masing-

masing dan

mengamati

efektivitasnya

53





(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu

Miskonsepsi tentang pembagian pecahan yang sering muncul dalam proses

pembelajaran.

Beberapa buku matematika seringkali tidak menanamkan konsep, tetapi hanya

sebatas mengajarkan prosedur penyelesaian soal.

(2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu:

Menemukan kembali konsep pembagian pecahan

Memanfaatkan konsep pembagian pecahan dalam penyelesaian masalah.

Menentukan alternatif lain cara menanamkan konsep pembagian pecahan kepada

siswa.

(3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini (Lihat Garis Besar

Kegiatan di atas).


Kegiatan 1: Ungkap Pengalaman/Gagasan tentang Pembagian Pecahan

(1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman mereka terkait

pembagian pecahan, dengan mengajukan pertanyaan:

Bagaimana menyelesaikan pembagian pecahan dengan pecahan? Bagaimana Bapak/ibu

mengajarkannya?

Pecahan dapat direpresentasikan dengan himpunan, garis bilangan, luas daerah,

maupun dengan konsep kuantitas/volum. Apakah representasi tersebut juga dapat

digunakan untuk menjelaskan konsep pembagian pecahan?

(2) Fasilitator menuliskan secara singkat pengalaman/gagasan peserta pada kertas

plano/papan tulis atau pada tayangan kegiatan (power point) yang disebutkan peserta

agar dapat dilihat oleh semua peserta.

(3) Fasilitator menyimpulkan jawaban tiap pertanyaan.

I

C




Kegiatan 1: Mencari Argumen dibalik Rumus Pembagian Pecahan (25’)

(1) Fasilitator meminta peserta, secara berpasangan (dalam kelompok 4 – 6 orang),

menyelesaikan tugas pada LKP 4.1

(2) Tiap pasang diminta untuk saling menyampaikan hasil kerja dan memberikan

komentar atas hasil kerja mereka.

Kegiatan 2: Representasi Pembagian Pecahan (25’)

(1) Fasilitator meminta peserta, secara berpasangan, untuk mengkaji seberapa jauh

efektifitas Refresentasi Pembagian Pecahan (Gunakan LKP 4.2)

(2) Tiap pasangan diminta menyampaikan hasil kerja kepada pasangan lain dalam

kelompok mereka.

(3) Wakil salah satu kelompok menyampaikan hasil kerjanya dan kelompok lain

menanggapi.


Dalam diskusi fasilitator mengarahkan peserta untuk dapat membuat

kesimpulan yang dapat mengeneralisasi rumus dari pembagian

bilangan pecahan.

Kegiatan 3 : Merancang Lembar Kerja (40’)

(1) Peserta diminta merancang lembar kerja terkait pembagian pecahan yang

mendorong siswa MENEMUKAN cara menyelesaikan pembagian pecahan.

(2) Peserta diminta untuk saling bertukar hasil kerja dan memberikan komentar

terutama dalam hal:

Apakah LK benar-benar mendorong siswa MENEMUKAN cara membagi pecahan?

Apakah cara yang ditemukan berlaku untuk sembarang pecahan?

A

55




(1) Fasilitator memberi pertanyaan untuk melihat sejauh mana ketercapaian tujuan

dengan bertanya

Apa makna 1

2 :

1

4 = 2?

(2) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk menjawab.

(3) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk mengungkapkan pengalaman menarik apa

yang diperoleh dari pembelajaran unit ini.

Penguatan

(4) Fasilitator memberi penguatan sebagai berikut:

Jika 𝑎

𝑏 𝑑𝑎𝑛

𝑐

𝑑 adalah suatu bilangan pecahan, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏×

𝑑

𝑐

Extension (5 menit)

Fasilitator menyarankan agar, setelah pelatihan, peserta:

mencobakan di kelas masing-masing lembar kerja yang telah dibuat; dan

mengamati apakah LK tersebut efektif dalam mendorong siswa MENEMUKAN cara

menyelesaikan pembagian pecahan.

R

E




Pembagian Pecahan

Kegiatan 1

Menemukan Konsep Pembagian

Catatan: kemampuan prasyarat yang dimiliki untuk materi ini adalah

1. Siswa telah memahami perkalian Pecahan

2. Konsep perkalian pada bilangan bulat

Informasi:

1. Menemukan fakta hasil dari 4

2÷

1

2.

a. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat

dibuat dari 4

2÷

1

2 adalah ...

b. Jadi nilai dari 4

2÷

1

2= ⋯.


4÷

3

4

4

2

9

4

Satu lingkaran merepresentasikan satu keseluruhan yang

disimbolkan dengan 1

57



a. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat

dibuat dari 9

4÷

3

4 adalah ...

b. Jadi nilai dari 9

4÷

3

4= ⋯


3÷

2

3=

c. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat

dibuat dari

d. 12

3÷

2

3= adalah ...

e. Jadi nilai dari 12

3÷

2

3= ⋯

Dari fakta –fakta pada poin 1), 2), dan 3) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

Fakta Pembagian Fakta Perkalian

4

2÷

1

2= ... 4

2×

2

1= ⋯

9

4÷

3

4= ⋯

9

4×

4

3= ⋯

12

3÷

2

3=

12

3×

3

2= ⋯

12

3



Lihat hasil dari kolom fakta pembagian dan perkalian tersebut, dapat disimpulkan bahwa

Jika 𝑎

𝑏, dan

𝑐

𝑑 adalah suatu pecahan maka

𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑= ⋯ .× …

59




Representasi Pembagian Pecahan

Representasi Pembagian Pecahan dengan Himpunan

Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut.

2

5÷

1

2= ⋯

Permasalahan tersebut dicoba diselesaikan sebagai berikut.

Pilih himpunan yang beranggotakan 10

Sekarang problem tersebut dapat dinyatakan “Berapa banyak himpunan 5

10 an di dalam

4

10?

Berapa banyak himpunan 5-an dari 4 ?

Jadi

2

5÷

1

2=

4

5

Representasi Pecahan dengan Luasan Lingkaran


11

4÷

2

3

4

5 dari himpunan

5

2

5 adalah 4 kancing, jadi

4

10

1

2 adalah 5 kancing, jadi

5

10



persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai “Berapa banyak 2

3-an yang dapat di buat dari

11

4?”

Mengubah semuanya

dalam bentuk 12 an

2

3 𝑑𝑎𝑟𝑖 1 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑢𝑡𝑢ℎ

2

3 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 8 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛

𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑚𝑎

Berapa banyak 8

perduabelasan di dalam

15 perduabelasan

11

4 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 15

perduabelan

2

3 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 8 per

duabelan

1 set 7

8 set

Terdapat 17

8 bagian dari

8

12 di dalam

15

12

61



Representasi Pecahan dengan Luasan Persegi


5

3÷

1

2

5

3÷

1

2 artinya “berapa banyak

1

2 –an di dalam

5

3?

Penyataan tersebut dapat dirubah dengan penyebut yang berbeda:

“Berapa banyak 3

6 –an di dalam

10

6?”

Ingat bahwa 5

3=

10

6

buat himpunan 3

6 𝑑𝑎𝑟𝑖

10

6

Pikirkan “ berapa 3-an di dalam 10?”

31

3 𝑑𝑎𝑟𝑖

3

6

5

3 ÷

1

2=

10

6 ÷

3

6= 10 ÷ 3 = 3

1

3

Baca dan pahami ketiga jenis representasi pembagian pecahan di atas.

Dari representasi 3 bentuk yang telah disajikan, manakah yang diperkirakan lebih

efektif? Mengapa?




63





UNIT 5

PENYAJIAN DATA DALAM

STATISTIKA

66

Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5


67



UNIT 5

PENYAJIAN DATA DALAM STATISTIKA

Pendahuluan

Untuk memahami data yang sudah

dikumpulkan agar mudah dibaca dan

lebih informatif bagi pengguna data,

maka diperlukan penyajian data yang

tepat. Penyajian data dapat

menggunakan tabel, diagram (batang,

lingkaran), dan grafik (diagram garis).

Penyajian data juga sebaiknya

disesuaikan dengan jenis/ karakteristik

data tersebut. Jika pemahaman konsep

penyajian data ini kurang dikuasai oleh

guru akan berdampak kepada

penyampaian di kelas, sehingga penanaman konsep bagi siswa kurang bermakna. Namun,

dalam pembelajaran statistika di sekolah masih dijumpai ketidaksesuaian antara diagram

dengan jenis/ karakteristik data. Misalnya data tentang suhu tubuh manusia disajikan

dengan menggunakan diagram

batang, padahal lebih tepat

menggunakan diagram garis,

karena suhu bersifat kontinyu,

tidak diskrit.

Permasalahan lain yang sering

dijumpai adalah bahan ajar yang

ada hanya menyajikan data

tunggal seperti yang disajikan

dalam cuplikan buku di bawah

ini. Padahal data yang ada dalam

keseharian guru/ siswa tidak

hanya univariat/tunggal tetapi

juga bivariat/jamak.

Dalam unit ini akan dibahas mengenai menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/

grafik yang tepat serta memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi.

Ringkasan hasil wawancara kelompok siswa.

68



Tujuan


1. menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/ grafik yang tepat sesuai

karakteristik jenis data. 2. memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi.

Sumber dan Bahan


2. Bahan Bacaan Unit 5

3. Lembar Kerja Peserta 5.1 4. Lembar Kerja Peserta 5.2

Waktu – 120 menit


Introduction

5 menit

Fasilitator

menjelaskan: Latar

belakang

pembahasan

topik, tujuan

pembelajaran dan garis

besar

kegiatan

Connection

10 menit

Urun

gagasan : jenis data

dan bentuk

penyajiannya

Application

90 menit

Kegiatan 1.

Menentukan

Penyajian Data

(60’)

Kegiatan 2.

Diskusi Tabel

Kontingensi

Dua Dimensi

(30’)

Reflection

10 menit

Peserta

menyampaikan

proses

berdasarkan

kegiatan pada

application

Extension/

Penguatan 5 menit

• Bentuk penyajian data yang dipilih

bergantung pada

jenis data

• Tindak lanjut

menyusun tabel

kontingensi tiga dimensi

69





Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu

(1) Penyajian data khususnya dalam bentuk diagram/grafik masih belum tepat

(2) Data yang ada dalam keseharian guru/siswa tidak hanya univariat/tunggal tetapi juga

bivariat/jamak

(3) Bahan ajar yang ada hanya menyajikan data tunggal

Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu:

(1) Menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/grafik yang tepat sesuai

karakteristik jenis data.

(2) Memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi

Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini.


Kegiatan : Curah pendapat

(1) Fasilitator menyajikan data dan bentuk penyajiannya.

(2) Fasilitator mengajak peserta untuk urun pendapat mengenai 2 data dan bentuk

penyajiannya masing-masing, dengan menanyakan kepada peserta : “Bagaimana

pendapat Bapak/ Ibu tentang bentuk penyajian dari 2 data pada tabel tersebut ?”


Kegiatan urun pendapat ini menunjukkan kepada peserta bahwa memungkinkan

terjadi kesalahan antara jenis data dan cara penyajiannya. Data yang disajikan di sini berupa data diskrit, sehingga seharusnya tidak disajikan dalam bentuk diagram

garis. seperti pada data kedua


Kegiatan 1: Menentukan penyajian data (60’)

(1) Fasilitator meminta peserta untuk mempelajari bahan bacaan tentang penyajian data,

secara perseorangan;

A

C

I

70



(2) Secara berkelompok peserta menyelesaikan tugas pada LKP 5.1.

(3) Peserta diminta menuliskan hasil kerja pada kerta plano.

(4) Peserta diminta melakukan kunjung karya dan memberikan tanggapan terhadap

bentuk penyajian data yang diperoleh.

(5) Salah satu kelompok mempresentasikan dan kelompok lain dapat memberikan

tanggapan.

Kegiatan 2: Menyajikan Data dalam Tabel Kontingensi (30’)

(1) Fasilitator meminta peserta secara berpasangan untuk menyelesaikan tugas pada LKP

5.2.

(2) Peserta saling menukarkan hasil kerja setiap pasangan dengan pasangan lain dalam

kelompok.

(3) Peserta diminta mendiskusikan dan menyamakan hasil diskusi kelompok, serta

menuliskan pada kertas plano.

(4) Salah satu kelompok diminta mempresentasikan dan kelompok lain dapat

memberikan tanggapan.


Peserta diminta untuk mengungkapkan hal-hal yang dipelajari :

Hal-hal yang dapat dipelajari dalam menyajikan data dalam bentuk grafik/diagram yang

sesuai dengan jenis data.

Hal-hal yang masih perlu diperjelas dan dipahami dalam menyajikan data dalam bentuk

tabel kontigensi dua dimensi.

Penguatan

Fasilitator memberikan penguatan sebagai berikut.

Bentuk penyajian data yang dipilih bergantung pada jenis data.

Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk tabel kontingensi Tiga Dimensi.

Extension (5 menit)

Fasilitator memberikan saran agar, sepulang dari pelatihan, peserta mengdentifikasi

kesalahan-kesalahan lain yang mungkin terjadi berkaitan dengan jenis data dan bentuk

penyajiannya.

E

R

71




Menentukan Penyajian Data

Lakukan pencarian data nomor sepatu dan tinggi badan seluruh peserta pelatihan dengan

cara menugaskan perwakilan setiap kelompok untuk mendapatkan data dari kelompok

lain, kemudian sajikan pada tabel di bawah ini.

a. Data Nomor Sepatu

Tabel 5.1.a

Data Nomor Sepatu Seluruh Peserta Pelatihan

No. Nama Peserta Nomor sepatu

Diskusikanlah apa bentuk penyajian data nomor sepatu tersebut dan tuliskan hasilnya

pada kertas plano.

72



b. Data Tinggi Badan

Tabel 5.1.b

Data Tinggi Badan Seluruh Peserta Pelatihan

No. Nama Peserta Tinggi Badan

Diskusikanlah apa bentuk penyajian data tinggi badan tersebut dan tuliskan hasilnya

pada kertas plano.

73




Menyajikan Data dalam Tabel Kontingensi Dua Dimensi

Cermati data banyak siswa di tingkat sekolah berdasarkan jenis kelamin, seperti pada

tabel berikut.

Tabel 5.2

Data Banyaknya Siswa di Tingkat Sekolah Berdasarkan Jenis Kelamin

1. Sajikan data pada tabel di atas dalam bentuk persentase.

2. Hitunglah persentase perempuan di SD.

3. Hitunglah persentase laki-laki di SMA dan SMK.

Tuliskan hasilnya pada kertas plano.

74



BBaahhaann BBaaccaaaann

Statistika : Penyajian Data

Penyajian Data merupakan salah satu materi penting dari Statistika. Penyajian data,

data dibagi menjadi dua bagian yaitu penyajian data tunggal/univariat dan data

jamak/multivariat. Dalam penyajian data juga yang perlu diperhatikan adalah

pengelompokan data yaitu data farik (diskret) dan data malar (kontinu).

Penyajian Data Tunggal/Univariat

Data tunggal dapat disajikan dalam beberapa bentuk seperti: tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun.

Tabel

Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan tabel distribusi frekuensi tunggal.

Nilai Tally (Turus) Frekuensi

5 /// 3

6 //// //// 10

7 //// //// // 12

8 //// 5

Jumlah 30

Diagram Batang

Diagram batang adalah diagram penyajian data dalam bentuk batang atau kotak yang digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data kategori = data cacahan). Data

diskrit diperoleh dengan cara membilang.

Contoh: Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2000 sampai tahun 2000 adalah sebagai

berikut.

Tahun Jumlah Lulusan

2001 20

2002 40

2003 50

2004 70

2005 100

http://konsep-matematika.blogspot.co.id/2015/10/statistika-penyajian-data.html

75



Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.

Penyelesaian :

Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

c). Diagram Garis

Diagram garis disajikan dalam bentuk garis yang digunakan untuk menggambarkan data

tentang keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu/malar). Data kontinu diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, perkembangan berat badan bayi

setiap bulan, suhu badan pasien setiap 10 menit atau pemakaian listrik (KWH) setiap

bulan.

Contoh :

Dalam enam bulan pertama tahun 2016, pemakaian daya listrik dari koperasi ABC seperti

tertuang pada tabel berikut.

Sajikan data diatas ke dalam diagram garis.

http://4.bp.blogspot.com/-sQ8SSvHTZHY/VhdP0aYVZpI/AAAAAAAAB-M/c7-eEkfhHGc/s1600/diagram_batang.PNG

http://4.bp.blogspot.com/-569BgAFrxis/VhdP9NsYPWI/AAAAAAAAB-U/bGvS-R0z1y8/s1600/gambar_tabel_3.PNG

76



Penyelesaian :

d). Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah diagram penyajian data dalam bentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran (juring) menunjukkan bagian bagian atau persen dari

keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor

lingkaran.

Contoh :

Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah

pada tahun 2016.

Tingkat Pendidikan Banyaknya Siswa Persen (%)

SD 175 17,5

SMP 600 60

SMA 225 22,5

Jumlah 1000 100

Berikut diagram lingkarannya :

http://3.bp.blogspot.com/-EjhKAzlNdEE/VhdQFlSPCHI/AAAAAAAAB-c/mZkcKnzvlRg/s1600/diagram_garis.PNG

http://4.bp.blogspot.com/-lXkb6-vQSrU/VhdQZkwVWzI/AAAAAAAAB-s/rWOuzoDjG8w/s1600/diagram_lingkaran.PNG

77



e). Diagram Batang Daun

Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan terlebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram batang daun terdiri dari dua

bagian yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.

Dari pengertian ini, berarti diagram batang daun cocok digunakan untuk data yang besarnya sampai puluhan saja.

Contoh :

Buatlah diagaram batang daun dari data berikut.

45, 10, 20, 31, 48, 20, 29, 27, 11, 8, 25, 21, 42, 24, 22, 36, 33, 22, 23, 13,

34, 29, 25, 39, 32, 38, 50, 5

Penyelesaian :

Diagram batang daunnya adalah

http://2.bp.blogspot.com/-nbXBJ_9LOtM/VhdQiZs7lTI/AAAAAAAAB-0/0d_W7liP1Gg/s1600/diagram_batang_daun.PNG

78



Penyajian Data Jamak/Bivariat

Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut merangkum frekuensi

bersama dari observasi pada setiap kategori variabel.

Dalam proses analisis statistika Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk

mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut

merangkum frekuensi bersama dari observasi pada setiap kategori variabel.

Berikut ini adalah Tabel Kontingensi frekuensi bersama tentang kehadiran siswa pada

upacara bendera 17 Agustus 2016 untuk masing-masing kelas di SMP X

Kelas Status Kehadiran

Total Hadir Tidak Hadir

VII A 37 3 40

V II B 39 1 40

VIII A 31 4 35

VIII B 30 5 35

IX A 32 1 33

IX B 33 1 34

https://parameterd.wordpress.com/2013/05/25/apa-itu-data-kategorik/

79




80



1



UNIT 6

BENTUK ALJABAR:

VARIABEL, KOEFISIEN, DAN

KONSTANTA

UNIT C


Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta

UNIT 6

UNIT C

83


UNIT 6


UNIT 6

BENTUK ALJABAR:

Variabel, Konstanta, dan Koefisien

Pendahuluan

Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-

jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian. Aljabar

(Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan

dan kuantitas.

Di dalam aljabar, kita tidak bekerja

secara langsung dengan bilangan

melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan

elemen-elemen himpunan. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam

aljabar digunakan simbol (biasanya

berupa huruf) untuk

merepresentasikan bilangan secara

umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah.

Salah satu materi dalam aljabar yang sebagian besar siswa masih mengalami miskonsepsi

adalah “Bentuk Aljabar”. Khususnya konsep variabel, konstanta, dan koefisien yang berdampak pada kesulitan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika terkait bentuk

aljabar. Ada beberapa faktor penyebab kondisi ini antara lain: 1) Penyajian Kebanyakan

buku sumber/buku bacaan siswa masih berfokus pada contoh-contoh bentuk aljabar yang

menggiring siswa menghafal tanpa memahami makna dari bentuk aljabar tersebut, 2) Beberapa guru dalam mengajarkan bentuk aljabar belum memberi ruang kepada siswa

untuk mengalami dan berbuat.

Dengan berdasar pada faktor penyebab tersebut di atas, maka dalam unit ini akan

diuraikan cara menemukan konsep variabel,konstanta, dan koefisien, serta cara

mengkonstruk masalah matematika terkait bentuk aljabar.

Tujuan

Setelah mengikuti pelatihan ini peserta diharapkan dapat: 1. memahami konsep variabel, konstanta dan koefisien

2. mengaplikasikan bentuk aljabar dalam menyelesaikan masalah nyata.

Guru matematika sedang mendampingi kelompok siswa yang berdiskusi.

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Arab

UNIT C



UNIT 6

Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit 6




5. Informasi Tambahan


Waktu – 120 menit (2x60’)


Introduction

5 menit

Fasilitator menyampaikan:

Latar

Belakang

• Tujuan

• Garis Besar Kegiatan

Connection

25 menit

Ungkap

gagasan dan

urun

pengalaman

Guru terkait

bentuk aljabar

baik kesulitan

siswa maupun

kesulitan

dalam

mengajarkan

Application 70 menit

Kegiatan 1.

Mendefinisikan

variabel

Kegiatan 2.

Mendefinisikan

konstanta

Kegiatan 3.

Mendefinisikan

koefisien

Kegiatan 4.

Membuat soal

cerita terkait

bentuk aljabar

Reflection 15 menit

Mengajukan

pertanyaan menggali dengan

mengacu pada

kondisi yang

diberikan

Extension/

Penguatan

5 menit

Memberikan

penguatan

dengan memberikan

tugas

lanjutan.

UNIT C

85


UNIT 6




(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu:

a. Kebanyakan siswa masih kesulitan menyelesaikan masalah matematika terkait

bentuk aljabar karena pemahaman konsep yang masih kurang

b. Penyajian beberapa sumber belajar/ buku pegangan siswa berfokus pada bentuk

aljabarnya tanpa ada penjelasan lebih rinci terkait variabel, koefisien dan konstanta.

c. Beberapa Guru dalam mengajarkan bentuk aljabar belum memberi ruang kepada

siswa untuk mengalami atau berbuat.

(2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran, yaitu peserta mampu:

1. Memahami konsep variabel, konstanta dan koefisien

2. Mengaplikasikan bentuk aljabar dalam menyelesaikan masalah nyata

(3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini (Lihat Garis Besar

Kegiatan di Atas)


Curah pendapat

(1). Fasilitator bertanya pada peserta tentang kesulitan siswa dalam memahami terkait konsep variable, konstanta dan koefisien

(2). Fasilitator menggali informasi dari peserta tentang pengalamannya dalam mengajarkan konsep variabel, konstanta dan koefisien

(3). Fasilitator menanyakan pada pesrrta mengenai kesulitan-kesulitan dalam mengajarkan konsep variable, konstanta dan koefisien

Catatan: Fasilitator mencatat gagasan peserta


Peserta duduk dalam kelompok 4-6 orang

Kegiatan1: Mendefinisikan Variabel (15’)

1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.1 secara berpasangan di

dalam kelompoknya.

A

C

I

UNIT C



UNIT 6

2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja dengan pasangan lain

dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran.

3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah

ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah diperbaiki untuk dituliskan

pada kertas plano.

4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan

hasil kerja kelompoknya secara klasikal.

Kegiatan 2: Mendefinisikan Konstanta (15’)


dalam kelompoknya.

2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja dengan pasangan lain

dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran.


ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah direfisi untuk dituliskan

pada kertas plano.



Kegiatan 3: Mendefinisikan Koefisien (15’)


dalam kelompoknya.

2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja nya dengan dengan

pasangan lain dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau

saran-saran.


ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah direfisi untuk dituliskan

pada kertas plano.



Kegiatan 4: Membuat Soal Cerita terkait Bentuk Aljabar (15’)

1. Fasilitator membagikan Informasi Tambahan: Aljabar, dan meminta peserta untuk

membacanya;

2. Fasilitator meminta peserta, secara individual, untuk membuat soal cerita yang

dapat dimodelkan dalam bentuk ax + b , a dan b ≠ 0 dan x adalah variabel;

3. Fasilitator meminta peserta untuk mendiskusikan hasil kerja individual dalam

kelompok;

4. Fasilitator meminta peserta untuk menuliskan hasil diskusi kelompok pada kertas

plano

5. Fasilitator meminta peserta mempresentasikan hasil kerja kelompok secara

klasikal.

UNIT C

87


UNIT 6



(1) Fasilitator memberikan situasi sebagai berikut: .

(2) Fasilitator mengajukan pertanyaan bersifat menggali dengan memilih beberapa

pertanyaan yang disediakan sesuai kondisi

(3) Fasilitator memilih salah seorang peserta untuk mengemukakan jawabannya terkait

pertanyaan yang diajukan

(4) Fasilitator memberikan kesempatan pada peserta lain untuk mengomentari jawaban

dari peserta terpilih.

Penguatan

Fasilitator memberi penguatan yaitu bahwa:

• Variabel adalah suatu lambang dalam aljabar yang mempunyai variasi nilai.

• Buku = X ------- salah, karena buku tidak punya variasi nilai

• Banyaknya buku = X--- benar, karena banyak mempunyai variasi nilai

• Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau menunjuk

anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan

• Koefisien variabel adalah konstanta dari suku-suku yang memuat variabel

Extension (5 menit)

Fasilitator memberikan saran kepada peserta, agar sepulang dari pelatihan, peserta:

1. mengidentifikasi masalah sehari-hari yang alami peserta dan menuliskannya dalam

bentuk aljabar.

2. Berlatihlah membuat soal cerita terkait bentuk-bentuk aljabar

E

R

Sebuah Kontainer memuat sejumlah kardus dan setiap Kardus memuat sejumlah apel

Misalkan,

x = banyaknya apel dalam kardus

y = banyaknya kardus dalam kontainer

1. Apa makna dari yx……..*

2. Apakah y bisa dikatakan koefisien pada simbol xy

3. Apakah simbol xy mempunyai koefisien? Tuliskan.

UNIT C



UNIT 6


Banyaknya pohon jati milik Pak Makmur 10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik Pak Budi.

1. Jika banyak pohon milik Pak Makmur adalah p

a. Berapa banyak pohon milik Pak Budi?

b. Apakah mungkin P mewakili bilangan 9? c. Apakah mungkin P mewakili bilangan satu juta? Jelaskan

jawabanmu d. Tuliskan himpunan semesta Bilangan yang dapat mewakili P?

2. Jika banyak pohon milik Pak Budi adalah k, a. berapa banyak pohon milik Pak Makmur?

b. Apakah k dapat diwakili sembarang bilangan? Beri alasan

c. Tuliskan himpunan bilangan yang dapat mewakili k

Bila p, k, merupakan simbol aljabar yang disebut variabel. Nyatakan dengan

bahasamu sendiri, apa yang dimaksud variabel?

UNIT C

89


UNIT 6



Pak Rahmat memiliki 3 anak berturut-turut Arman, Iwan, dan Susi. Umur Iwan lima tahun

kurangnya dari umur Arman. Umur Susi dua tahun kurangnya dari umur Iwan. Umur mereka antara 5 dan 15 tahun.

a. Berapa umur Arman dan Iwan jika umur Susi p tahun?

b. Apakah jawaban Anda dapat dikatakan sebagaii variabel aljabar? Mengapa?

c. Apakah jawaban anda memuat simbol lain selain variabel? Tuliskan simbol lain

tersebut? d. Dapatkan simbol lain tersebut diwakili oleh sembarang anggota pada semesta

pembicaraan ?Mengapa? e. Apakah simbol lain tersebut menyatakan anggota tertentu pada semesta

pembicaraan?

f. Jika simbol lain tersebut adalah konstanta. Nyatakan dengan bahasa sendiri apa yang dimaksud KONSTANTA

UNIT C



UNIT 6


Tiga diantara puluhan buku milik pak guru mempunyai banyak halaman yang unik. Banyak halaman buku II adalah 5 kali banyak halaman buku 1, sedangkan banyakya halaman buku III

adalah 2 kali banyaknya halaman buku 1. Jika banyak halaman buku 1 adalah h, maka:

a. Berapa banyak halaman buku II dan III?

b. Apakah jawaban anda termasuk variabel? mengapa

c. Apakah jawaban anda memuat konstanta?. Tuliskan

d. Apa makna konstanta tersebut terhadap variabel

e. Jika konstanta pada jawaban anda disebut

koefisien. Nyatakan dengan bahasa sendiri,

Pengertian Koefisien.

UNIT C

91


UNIT 6


Informasi Tambahan

ALJABAR

Aljabar: Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari

penyederhanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan “simbol”.

Simbol adalah huruf atau tanda yang digunakan untuk menyatakan unsur, senyawa,

sifat, atau satuan matematika (KBBI). Simbol bilangan disebut angka. Angka 5

merupakan simbol untuk menyatakan hasil dari mencacah benda sebanyak 5 buah atau

hasil menghitung frekuensi kemunculan suatu peristiwa sebanyak 5 kali.

Simbol Aljabar adalah simbol yang mewakili (menunjuk) sebarang bilangan. Simbol

Aljabar dapat terdiri dari huruf, tanda tertentu, atau bilangan. Pada sebarang

simbol Aljabar dapat diberikan nilai (bilangan) tertentu sesuai persyaratan yang

dikehendaki.

Contoh-1:

”Banyaknya pohon jati milik Pak Amir 10 batang kurangnya dari pohon milik Pak Budi.

Berapakah kemungkinan pohon Pak Amir dan Pak Budi?”. Pembahasan:

a. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dimisalkan banyak pohon Pak Amir

diwakilkan kepada simbol Aljabar p, sehingga p ini adalah banyak pohon milik Pak

Amir. Dengan demikian berarti banyak pohon Pak Budi p + 10 batang.

b. Karena tidak ada petunjuk berapa banyak pohon Pak Amir atau Pak Budi,

maka p dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan banyak pohon.

Boleh jadi p mewakili bilangan 10, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 10 batang

dan pohon Pak Budi ada 10+10 atau 20 batang. Boleh jadi p mewakili 15, sehingga

banyak pohon Pak Amir ada 15 batang dan pohon Pak Budi ada 15+10 atau 25

batang.

c. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh p, dengan syarat p dan p+10

mewakili bilangan banyak pohon yang mungkin dimiliki oleh seseorang. Dalam hal

ini tidak mungkin seseorang sampai memiliki satu triliun pohon.

d. Kesimpulan: p dapat mewakili bilangan tertentu dengan persyaratan bahwa p dan

UNIT C



UNIT 6

p+10 adalah banyak pohon yang memungkinkan untuk dimiliki oleh Pak Amir dan

Pak Budi. Semesta pembicaraan adalah banyak pohon yang memungkinkan dimiliki

oleh Pak Amir dan Pak Budi.

Contoh-2:

”Tahun ini umur Dika dua kali umur Syauki, sedangkan umur Santi 1 tahun lebih tua dari

Dika. Berapakah kemungkinan umur Dika, Syauki, dan Santi tahun ini?”. Pembahasan:

a. Umur seseorang dalam tahun menunjukkan hasil mencacah satu kali dalam

setahun secara berurutan sejak lahir sampai tahun terakhir kehidupan orang

tersebut. Dengan demikian umur menunjukkan bilangan.

b. Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka umur Syauki tahun ini dapat

diwakilkan kepada simbol Aljabar U, sehingga U ini mewakili bilangan umur Syauki.

Ini berarti tahun ini umur Syauki U tahun, umur Dika 2×U atau 2U tahun, sedangkan

umur Santi (2U+1) tahun.

c. Karena tidak ada petunjuk berapa umur Syauki, Dika dan Santi pada tahun ini maka

U dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan umur manusia. Boleh

jadi U mewakili bilangan 1, sehingga tahun ini umur Syauki 1 tahun, umur Dika 2×1

atau 2 tahun, dan umur Santi 2+1 atau 3 tahun. Boleh jadi U mewakili 5, sehingga

tahun ini umur Syauki 5 tahun, umur Dika 2×5 atau 10 tahun dan umur Santi

10+1atau 11 tahun. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh U, dengan

syarat U mewakili bilangan umur manusia dan mengakibatkan U, 2U dan 2U + 1 juga

mewakili bilangan umur manusia.

d. Kesimpulan: U dapat mewakili sebarang bilangan dengan persyaratan bahwa U,

2U, 2U+1 adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini Semesta

pembicaraan kejadian tesebut adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan

saat ini.

Contoh-3:

Toko buah KURNIA milik Pak Arif mengemas apel dalam kotak-kotak. Setiap kotak berisi

beberapa biji apel yang sama banyak. Beberapa kotak apel dikemas dalam satu dos

besar. Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam satu kotak ? Berapa banyak butir apel

UNIT C

93


UNIT 6


yang mungkin dalam satu dos besar? Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam dua

dos besar? Pembahasan:

a. Misalkan banyak apel dalam satu kotak ada a apel, maka dalam dua kotak ada a +

a atau 2a

apel, dalam 3 kotak ada a+a+a atau 3a apel. Jika satu kotak berisi 10 apel, dua kotak berisi 20 apel, dan 3 kotak berisi 30 apel. Ini berarti a mewakili 10 apel.

b. Bila ada a2 apel, berarti ada a kotak apel yang masing-masing kotak berisi a apel.

Alasan: a2

berarti a×a atau (a+a+a+a+...+a) sebanyak a. Jika tiap satu kotak berisi 10 apel, berarti ada

10 kotak apel, sehingga banyaknya apel dalam a2 apel ada 10×10 apel atau ada 100

apel.

c. Misalkan satu dos besar dapat memuat n kotak apel, berarti n mewakili banyak

kotak apel dalam dos besar. Jika ada 2 dos besar berarti dalam 2 dos besar tersebut

ada 2×n kotak apel.

d. Karena dalam satu kotak apel ada a butir apel, dan dalam satu dos besar ada n

kotak apel, maka dalam satu dos besar ada n×a butir apel dan dalam 2 dos besar

ada 2×n×a.

Kesepakatan:

a. Tanda operasi kali tidak ditulis. Contoh: 3×d atau 3.d dan ditulis 3d , A + A =

2. A = 2A

b. Simbol Aljabar yang berdekatan diartikan sebagai perkalian. Contoh: pq berarti

p×q atau berarti p.q

c. p2 berarti p×p atau berarti p.p, dan dapat ditulis pp, dengan p adalah simbol Aljabar.

d. p2p4 berarti p2×p4 atau berarti p2.p4, atau berarti (p.p).(p.p.p.p) atau berarti

(p×p)×(p×p×p×p), dan dapat ditulis (pp)(pppp)dengan p adalah simbol Aljabar.

e. Istilah-istilah yang tergolong simbol Aljabar antara lain adalah variabel (peubah),

konstanta, suku, koefisien, dan bentuk Aljabar. Dalam matematika, istilah-istilah

tersebut selanjutnya disebut variabel (peubah), kontanta, bentuk Aljabar, suku,

koefisien.

UNIT C



UNIT 6

3. Variabel (Peubah)

Variabel (peubah) adalah suatu lambang dalam aljabar yang mewakili anggota suatu

himpunan tertentu (mempunyai variasi nilai).

a. Simbol Aljabar p pada contoh-1, U pada contoh-2, dan a pada contoh-3 di atas

adalah contoh variabel karena p mewakili banyak pohon yang mungkin dimiliki Pak

Amir, U mewakili sebarang bilangan umur manusia dan a mewakili banyak butir apel

dalam satu kotak.

b. Variabel (peubah) umumnya disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf besar.

4. Konstanta Aljabar:

Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau

menunjuk anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan.

a. Dalam contoh-1 uraian di atas, p adalah variabel dengan p mewakili

bilangan yang menunjukkan banyak pohon Pak Amir. p+10 adalah simbol aljabar

untuk mewakili bilangan yang menunjukkan banyak pohon milik Pak Budi. Dalam

hal ini 10 disebut konstanta karena

10 tersebut menunjuk banyak pohon tertentu, yaitu

10 pohon.

b. Dalam contoh-2 uraian di atas, U adalah variabel dengan U mewakili bilangan yang

menunjukkan umur Syauki. 2U adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang

menunjukkan umur Dika. 2U+1 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang

menunjukkan umur Santi. Dalam hal ini 1 disebut konstanta karena 1 tersebut

menunjuk umur tertentu, yaitu 1 tahun.

c. Catatan: Bila dijumpai konstanta negatif, misalnya dalam bentuk x 100, dengan konstanta

100, maka konstanta negatif tersebut tidak perlu dikongkretkan. Dalam proses

pembelajaran, konstanta negatif tersebut sudah menjadi ranah pembahasan yaitu

pembahasan tentang konsep matematika secara abstrak.

5. Suku Aljabar:

a. Suku dapat berupa sebuah konstanta atau sebuah variabel. Suku dapat pula berupa

hasil kali atau hasil pangkat atau hasil pernarikan akar konstanta atau variabel,

tetapi bukan penjumlahan dari konstanta atau variabel.

UNIT C

95


UNIT 6


b. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabelnya menggunakan simbol yang

sama, baik dalam huruf maupun pangkatnya. Bila a dan b adalah variabel, maka a,

2a, 10a adalah suku- suku sejenis, a dan 2b suku-suku tidak sejenis.

c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan 10 masing-masing disebut suku. Pada contoh-

2 di atas U,

2U, 1 disebut suku, dengan U dan 2U disebut suku sejenis. Pada contoh-3 di atas,

a, 2a, 3a, an, 2an disebut suku. a, 2a, 3a adalah suku-suku sejenis. an dan 2an juga

suku-suku sejenis.

6. Koefisien Aljabar

Koefisien adalah bagian konstanta dari suku-suku yang memuat atau menyatakan

banyaknya variabel yang bersangkutan. Pada contoh-1 uraian di atas, koefisien dari p

adalah 1 (satu). Pada contoh-2, koefisien dari U adalah 1, koefisien dari 2U adalah 2

dan koefisien 3U adalah 3. Pada contoh-3, koefisien dari 3 adalah 3.

7. Bentuk Aljabar

a. Bentuk aljabar adalah semua huruf dan angka atau gabungannya yang

merupakan simbol aljabar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,

perpangkatan atau penarikan akar dari satu atau lebih simbol aljabar juga

merupakan bentuk aljabar.

b. Bentuk Aljabar dalam x berarti bentuk Aljabar dengan variabel x, sehingga

simbol lainnya (huruf atau angka) bukan merupakan variabel. Contoh:

1) 3x +5 adalah bentuk aljabar dalam x. 2) 5 − y adalah bentuk aljabar dalam y. 3) ax +bx +c adalah bentuk Aljabar dalam x, dengan a, b, c bukan variabel, tetapi

konstanta.

Dalam hal ini konstanta a dan b disebut koefisien, sedang c disebut konstanta.

4) p2 adalah bentuk aljabar dalam p.

c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan p+10 masing-masing merupakan bentuk

aljabar. Pada contoh-2 di atas, U, 2U, dan 2U+1 masing-masing merupakan bentuk

aljabar. Pada contoh-3, a, 2a, 3a juga merupakan bentuk aljabar.

d. Bentuk Aljabar terdiri satu suku disebut suku satu. Contoh: 3y, x2, - 4x. Bentuk Aljabar terdiri dua suku disebut suku dua (binom). Contoh: x2− 4, 5y+6.

UNIT C



UNIT 6

Kepingan Aljabar

Tujuan: Menyederhanakan bentuk Aljabar

Siapkan kepingan yang dapat terbuat dari logam atau karton dengan berbagai bentuk, misalnya persegi, segitiga, lingkaran, dan sebagainya. Pilihlah kepingan yang berbentuk

lingkaran dengan satu warna, misalnya putih. Pilihlah 2 bentuk kepingan lain, persegi dan segitiga masing-masing dengan dua warna berbeda, misalnya merah dan biru.

Andaikan kita akan menyederhanakan bentuk aljabar yang melibatkan 2 variabel, katakan 𝑥

dan 𝑦, maka dapat disediakan kepingan sebagaimana gambar di bawah ini.

Merepresentasikan konstanta bertanda positif

Merepresentasikan konstanta bertanda negatif

Merepresentasikan variable 𝑥 bertanda positif

Merepresentasikan variable 𝑥 bertanda negatif

Mepresentasikan variable 𝑦 bertanda positif

Merepresentasikan variable 𝑦 bertanda negatif

Selanjutnya dapat dibuat kesepakatan tentang penggunaan operasi aljabar bahwa operasi

penjumlahan bentanda “+” merepresentasikan penambahan kepingan dan operasi

pengurangan bertanda “ – “ merepresentasikan pengurangan kepingan dari yang tersedia. Serta penggabungan kepingan dalam bentuk yang sama dengan warna yang berbeda

merepresentasikan “nol” (saling mengeliminasi).

Selanjutnya pada saat hendak memulai bermain kepingan aljabar untuk menyederhanakan bentuk

aljabar, berikan persediaan kepingan sesuai bentuk yang diperlukan secara berpasangan

warna, merah dan biru.

Sebagai contoh: Penyederhanaan bentuk aljabar dengan dua variabel:

2𝑥 + 𝑦 + 4 + (−3𝑥) − 2𝑦 − (−2) dapat diselesaikan dengan bermain kepingan aljabar sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

(Persediaan 𝑥) (Penambahan: 2𝑥) (Penambahan: −3𝑥) Hasil: −𝑥

Saling mengeliminasi

UNIT C

97


UNIT 6


(Persediaan 𝑦: bernilai 0) (Penambahan: 𝑦) Hasil: −𝑦

Saling

Mengeliminasi Saling

mengeliminasi

Pengambilan +2𝑦

(Persediaan konstanta) (Penambahan: 4) (Hasil: +6)

Pengambilan -2

Berdasarkan permainan kepingan aljabar yang ditunjukkan pada gambar di atas, maka

bentuk sederhana dari 2𝑥 + 𝑦 + 4 + (−3𝑥) − 2𝑦 − (−2) adalah −𝑥 − 𝑦 + 6.

Daftar Bacaan

Krismanto.Al. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Di Kelas VII SMP. Modul Matematika SMP Program BERMUTU. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.

Sri Wardhani.2004. Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Paket

Pembinaan Penataran Bagi Alumni Diklat Guru Matematika SMP oleh PPPPG

Matematika Tahun 2004. Yogyakarta: PPPPG Matematika

Saling

mengeliminasi

Gambar. Representasi penyederhanaan bentuk aljabar dengan bermain kepingan.

UNIT C



UNIT 6

LAMPIRAN

JAWABAN LKP 1

Banyaknya pohon jati milik Pak Makmur 10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik Pak Budi.

1. Jika banyak pohon milik Pak Makmur adalah p a. Berapa banyak pohon milik Pak Budi?

Jawab: p - 10

b. Apakah mungkin P mewakili bilangan 9?

Jawab: Tidak, karena kalau mewakili bilangan 9 berarti banyaknya pohon pak budi jadi -1

c. Apakah mungkin P mewakili bilangan satu juta? Jelaskan jawabanmu

Jawab: mungkin saja. d. Tuliskan himpunan semesta Bilangan yang dapat mewakili P?

Jawab: 11 dst

2. Jika banyak pohon milik Pak Budi adalah k, a. Berapa banyak pohon milik Pak Makmur?

Jawab: k + 10

b. Apakah k dapat diwakili sembarang bilangan? Beri alasan

Jawab: Tidak, misal -12, tidak mungkin pohon jatinya -2

c. Tuliskan himpunan bilangan yang dapat mewakili k

Jawab: Bilangan bulat positif atau bilangan asli

Bila p, k, merupakan simbol aljabar yang disebut variabel. Nyatakan dengan bahasamu sendiri, apa yang dimaksud variabel?

Jawab: Variabel (peubah) adalah suatu lambang dalam aljabar yang mewakili anggota suatu himpunan tertentu (mempunyai variasi nilai).

UNIT C

99


UNIT 6


JAWABAN LKP 2

JAWABAN LKP 3

Pak Rahmat memiliki 3 anak berturut-turut Arman, Iwan, dan Susi. Umur Iwan lima tahun

kurangnya dari umur Arman. Umur Susi dua tahun kurangnya dari umur Iwan. Umur mereka antara 5 dan 15 tahun.

a. Berapa umur Arman dan Iwan jika umur Susi p tahun? Jawab: iwan p+2, arman p +7.

b. Apakah jawaban Anda dapat dikatakan sebagai variabel aljabar? Mengapa? Jawab: bukan, karena p +2 adalah simbol yang mewakili umur iwan, sedangkan p +

7 suatu simbol yang mewakili umur arman.

c. Apakah jawaban anda memuat simbol lain selain variabel? Tuliskan simbol lain tersebut?

Jawab: iya, 2 dan 7 d. Dapatkan simbol lain tersebut diwakili oleh sembarang anggota pada semesta

pembicaraan ?Mengapa?

Jawab: tidak, karena 2 dan 7 menunjuk pada bilangan tertentu. e. Apakah simbol lain tersebut menyatakan anggota tertentu pada semesta

pembicaraan?

Jawab: iya

Tiga diantara puluhan buku milik pak guru mempunyai banyak halaman yang unik. Banyak

halaman buku II adalah 5 kali banyak halaman buku 1, sedangkan banyakya halaman buku III adalah 2 kali banyaknya halaman buku 1. Jika banyak halaman buku 1 adalah H, maka:

a. Berapa banyak halaman buku II dan III?

Jawab: buku 2 5H, buku 3 2H b. Apakah jawaban anda termasuk variabel? Mengapa

Jawab: Bukan, karena memuat simbol lain.

c. Apakah jawaban anda memuat konstanta?Tuliskan

Jawab: iya, 5 dan 2 d. Apa makna konstanta tersebut terhadap variabel

Jawab: sebagai faktor

e. Jika konstanta pada jawaban anda disebut koefisien. Nyatakan dengan bahasa sendiri, Pengertian Koefisien.

Jawab:

Ciri-ciri koefisien 1 adalah konstanta dan menyatakan banyaknya variabel

UNIT C



UNIT 6

JAWABAN REFLECTION

1. Apa makna dari yx……..?

Jawab: Makna dari xy adalah: y+y+……..+y sebanyak x faktor atau x+x+…..+x

sebanyak y faktor.

2. Apakah y bisa dikatakan koefisien pada simbol xy?

Jawab: Tidak, karena y menunjuk pada anggota tertentu

3. Apakah simbol xy mempunyai koefisien? Tuliskan.

Jawab: ya, yaitu 1 dan 1 adalah koefisien dari simbol xy

UNIT C

101


UNIT 6



UNIT C



UNIT 6

USAID PRIORITAS: Prioritizing Reform, Innovation, and Opportunities for Reaching Indonesia’s Teachers, Administrators, and Students

Modul Pela�han

Prak�k yang Baik di Sekolah Menengah PertamaMadrasah Tsanawiah (SMP/MTs)

Pembelajaran Matema�ka

IV

Date post:	31-Aug-2018
Category:	Documents
Upload:	lytruc
View:	272 times
Download:	1 times

MODUL IV PEMBELAJARAN MATEMATIKA · PEMBELAJARAN MATEMATIKA ... Unit 2 Operasi Bilangan Bulat 17...

Documents