36 MÓDULO IV: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN OBJETIVO: Analiza e interpreta las característica o propiedades de los datos numéricos (tendencia central y variación) y sus mediciones descriptivas de resumen. COMPETENCIAS A LOGRAR: I. Comprende las propiedades de la tendencia central. II. Interpreta las diferencias entre las diversas medidas de tendencia central como: rango medio, eje medio, la media, la moda, la mediana. III. Comprende las propiedades de la tendencia no central. IV. Interpreta los cuartiles y percentiles. V. Comprende las propiedades de la variación. VI. Interpreta las diferencias entre las diversas medidas de variación el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación CONTENIDOS: Medidas de Tendencia Central o Ubicación Es un valor típico descriptivo en la que un conjunto de datos muestra una tendencia bien determinada a agruparse o aglomerarse alrededor de cierto punto central. Tipos de promedios que se utilizan como medidas de Tendencia Central (datos no agrupados): 1. Media Aritmética. Media ponderada. 2. Mediana. 3. Moda. 4. Eje Medio. 5. Rango Medio. Media Aritmética (Media o Promedio) Es la suma de todas las observaciones en un conjunto de datos, dividida entre el número de elementos involucrados Ejemplo: El gerente de un Mercal, quién desea estudiar la concurrencia a la tienda, encuentra que 295,1.002, 941, 768, y 1.283 personas entraron a la tienda durante los pasados cinco días. Obtenga la media de personas que entró al Mercal durante esos cinco días.
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MÓDULO IV: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DEDISPERSIÓN
OBJETIVO: Analiza e interpreta las característica o propiedades de los datosnuméricos (tendencia central y variación) y sus mediciones descriptivas deresumen.
COMPETENCIAS A LOGRAR:
I. Comprende las propiedades de la tendencia central.II. Interpreta las diferencias entre las diversas medidas de tendencia
central como: rango medio, eje medio, la media, la moda, lamediana.
III. Comprende las propiedades de la tendencia no central.IV. Interpreta los cuartiles y percentiles.V. Comprende las propiedades de la variación.VI. Interpreta las diferencias entre las diversas medidas de variación
el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente devariación
CONTENIDOS:
Medidas de Tendencia Central o Ubicación
Es un valor típico descriptivo en la que un conjunto de datos muestrauna tendencia bien determinada a agruparse o aglomerarse alrededor de ciertopunto central.
Tipos de promedios que se utilizan como medidas de Tendencia Central(datos no agrupados):
1. Media Aritmética.Media ponderada.
2. Mediana.3. Moda.4. Eje Medio.5. Rango Medio.
Media Aritmética (Media o Promedio)
Es la suma de todas las observaciones en un conjunto de datos, divididaentre el número de elementos involucrados
Ejemplo: El gerente de un Mercal, quién desea estudiar la concurrencia a latienda, encuentra que 295,1.002, 941, 768, y 1.283 personas entraron a latienda durante los pasados cinco días. Obtenga la media de personas queentró al Mercal durante esos cinco días.
x i1
El total de personas que entro al Mercal durante los cinco días anteriores es de:295+1.002+941+768+1.283 = 4.289. La media o promedio de personas queentró en la tienda por día es 4289 ÷personas.
Interpretación: Esto significa que en promedio aproximadamente 858personas entró diario en esos cinco días.
Formulación de la Media:
n
Del ejemploX1 = 295 perX2 = 1.002 pX3 = 941persX4 = 768 perX5 = 1.283 p
x = (X1 + X2 +
857,58 ≈ 85
¿Cuando uDebido a qextremo afafectada po
¿Diga si eextremos?Conteste la
Media ponponderaciónlas pondera
Ejemplo: E18 de segu40%, los deen promedi
CursosPrimer GradSegundo GTercer GradTotal
El total de personas que entro al Mercal durante los cinco días anteriores es de:295+1.002+941+768+1.283 = 4.289. La media o promedio de personas queentró en la tienda por día es 4289 ÷ 5 = 857,8 que es aproximadamente 858
Esto significa que en promedio aproximadamente 858personas entró diario en esos cinco días.
Formulación de la Media:
Del ejemplo
¿Cuando uDebido a qextremo afafectada po
¿Diga si e
Conteste la
ponderación
E18 de segu40%, los deen promedi
El total de personas que entro al Mercal durante los cinco días anteriores es de:295+1.002+941+768+1.283 = 4.289. La media o promedio de personas que
5 = 857,8 que es aproximadamente 858
Esto significa que en promedio aproximadamente 858
Debido a qextremo af
ponderación
E18 de segu40%, los de
n
xi
(X1 + X2 + X3 +..............
anterior de Mercalsonasersonasonassonasersonas
X3 + X4 + X5 ) -8 personas
sar media aritmética?ue su cálculo se basa en todas las observaciones, cualquier valorecta mucho la media aritmética. Se debe usar cuando no ester los valores extremos.
n el ejemplo de Mercal la
respuesta en su portafolio.
derada: Es la suma de los productos obtenidos de cada dato por sude acuerdo al fenómeno estudiado, dividido entre la suma de todas
ciones.
n una clase de un colegio público hay 20 alumnos de primer grado,ndo y 12 de tercero. Si los estudiantes de primero representan elsegundo el 36% y los de tercero el 24%. Cuantos estudiantes hay
o en los tres s
Alumnoso 20
rado 18o 12
..............+ X n ) ÷ n
anterior de Mercaln = 5 observaciones o datos
- 5 = (295+1.002+941+768+1.283) - 5 x =
sar media aritmética?ue su cálculo se basa en todas las observaciones, cualquier valorecta mucho la media aritmética. Se debe usar cuando no ester los valores extremos.
n el ejemplo de Mercal la media está afectada por los valores
respuesta en su portafolio.
Es la suma de los productos obtenidos de cada dato por sude acuerdo al fenómeno estudiado, dividido entre la suma de todas
n una clase de un colegio público hay 20 alumnos de primer grado,ndo y 12 de tercero. Si los estudiantes de primero representan elsegundo el 36% y los de tercero el 24%. Cuantos estudiantes hay
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media está afectada por los valores
Es la suma de los productos obtenidos de cada dato por sude acuerdo al fenómeno estudiado, dividido entre la suma de todas
n una clase de un colegio público hay 20 alumnos de primer grado,ndo y 12 de tercero. Si los estudiantes de primero representan elsegundo el 36% y los de tercero el 24%. Cuantos estudiantes hay
Alumnos x Porcentaje
6,482.8817,36
Se ordenan los datos u observaciones de menor a mayor:
El promedio de alumnos por clase = Suma Total de (Alumnos x porcentaje) ÷Suma Total de Porcentajes = 17,36 que es un promedio de aproximadamente17 alumnos
Interpretación: Esto significa que en promedio aproximadamente 17 alumnosestudian en los tres primeros grados.
x p = (20×0,40 + 18×0,36 + 12×0,24 ) ÷ (0,40 +0,36 + 0,24 ) = 17,36 ≈ 17 alumnos
Mediana: Es el valor medio de un conjunto o arreglos de datos ordenados demenor a mayor; tal que 50% de las observaciones son menores y 50% sonmayores.
REGLAS PARA ENCONTRAR LA MEDIANA DE ACUERDO LA POSICION DELA OBSERVACION O DATO ORDENADO (datos no agrupados):
REGLA 1: Si el número de los datos es impar, entonces la mediana estárepresentada por el valor numérico que corresponde a la posición (n+1)/2 de lasobservaciones ordenadas, donde n = número de datos.
REGLA 2: Si el número de los datos es par, entonces la posición se encuentraentre las dos observaciones que están a la mitad del conjunto de datosordenados. La Mediana es el promedio de los valores numéricos de estas dosobservaciones.
Ejemplo cuando el número de datos es impar: Los tiempos que necesitaronvarios pacientes para ser atendidos en las diferentes consultas en un hospitalpúblico de la ciudad de Caracas fueron (en minutos): 50, 52, 57, 135, 78, 50,212, 50, 120. ¿Cuál es la mediana de los tiempos?..
Pasos a seguir:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
50 50 50 52 57 78 120 135 212
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39
Se establece la posición de la mediana de acuerdo al numero dedatos: n = 9 (n +1) /2 =(9+1) ÷ 2= (10) ÷ 2 = 5El valor de la observación correspondiente a la mediana será, laobservación que esta ubicado en el quinto lugar o posición de losdatos ordenados: ese valor es 57 minutos.
Formulación:MD = X(n +1)/2 =MD= Mediana X(n +1)/2 = observación ordenada en la posiciónDatos u observaciones ordenados: X1 , X2 , X3 ,............. , Xn
Del ejemplo anterior de los pacientes:MD = X (9 + 1)/2 = X 5 = 57 minutosX1 = 50 minutos
X2 = 50 minutos
X3 = 50 minutos
X4 = 52 minutos
MEDIANAX5 = 57 minutos
X6 = 78 minutos
X7 = 120 minutos
X8 = 135 minutos
X9 = 212 minutos
Interpretación: Esto significa que el 50% de los pacientes fueron atendidosaproximadamente en un tiempo menor a 57 minutos en promedio o que el 50%de los pacientes fueron atendidos aproximadamente en un tiempo mayor a 57minutos en promedio
1) S
Ejemplo cuando el número de datos es par: Los tiempos que necesitaronvarios pacientes para ser atendidos en las diferentes consultas en un hospitalpúblico de la ciudad de Caracas fueron (en minutos): 50, 52, 57, 135, 78, 50,212, 50, 60, 120. ¿Cuál es la mediana de los tiempos e interprete?
nterpretación: Esto significa que el 50% de los pacientes fueron atendidosproximadamente en un tiempo menor a 58,5 minutos en promedio o que el
41
1) S
50% de los pacientes fueron atendidos aproximadamente en un tiempo mayora 58,5 minutos en promedio
¿Cuándo usar la Mediana?Siempre que una observación extrema esté presente, es adecuado usar lamediana en lugar de la media para describir el conjunto de datos.
MODA: La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjuntode datos.
¿Cuándo usar la Moda?
La moda se usa sólo para fines descriptivos, porque varía más entre muestrasque otras medidas de tendencia central. La ocurrencia de algún valor extremono afecta a la moda.
Tomando el mismo Ejemplo utilizado en la mediana: Los tiempos quenecesitaron varios pacientes para ser atendidos en las diferentes consultas enun hospital público de la ciudad de Caracas fueron (en minutos): 50, 52, 57,135, 78, 50, 212, 50, 60, 120. ¿Cuál es la moda de los tiempos e interprete?
2) Se observa cual es el dato que más se repite y ese valor es lamoda en este ejemplo es: 50 minutos
Formulación:Mo= ModaMo = 50 minutos.
Interpretación: Significa que el mayor tiempo de espera de los pacientes, esde aproximadamente 50 minutos en promedio.
EJE MEDIO: El eje medio es una medida de resumen que se usa para superarposibles problemas que introducen los valores extremos de los datos, seobtiene con la suma del primer y tercer cuartil dividido entre 2.
Formulación: EM = (Q1 + Q3 ) ÷ 2
EM =Eje MedioQ1 = Primer CuartilQ3 = Tercer Cuartil
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CUARTILES: Son medidas descriptivas de posición no central, que parten losdatos ordenados en cuatro cuartos.
¿Cuándo usar el cuartil?
Se utilizan con mayor frecuencia y emplean sobre todo para resumir o describirlas propiedades de conjuntos grandes de datos numéricos.
TIPOS DE CUARTILES:
Primer Cuartil: Es un valor tal que 25% de las observaciones o datos sonmenores y 75% son mayores
Formulación: Q1 = ( n + 1) ÷ 4
Q1 = Primer Cuartiln = Total de observaciones o datos.
Segundo Cuartil: Es un valor tal que 50% de las observaciones o datos sonmenores y 50% son mayores
Formulación: Q2 = 2 X ( n + 1) ÷ 4 = Mediana
Q2 = Segundo Cuartil = Mediana n =Total de observaciones o datos.
Tercer Cuartil: Es un valor tal que 75% de las observaciones o datos sonmenores 25% son mayores
Formulación: Q3 = 3 X ( n + 1) ÷ 4 =
Q2 = Tercer Cuartil =n = Total de observaciones o datos.
REGLAS PARA OBTENER LOS VALORES DE LOS CUARTILES DEACUERDO LA POSICION DE LA OBSERVACIONES O DATOSORDENADO( datos no agrupados):
REGLA 1: Si la posición obtenida es un número entero, se elige como cuartil laobservación numérica específica en ese lugar.
REGLA 2: Si la posición obtenida se encuentra en el justo medio de dosnúmeros entero, se selecciona el promedio de sus valores correspondientes.
REGLA 3: Si la posición obtenida no es un número entero o el valor medioentre dos números enteros, una regla sencilla para aproximar al cuartil
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específico, consiste en redondear hacia arriba o hacia abajo a la posición enteramás cercana y elegir el valor numérico de esa observación o dato.
Ejemplo: Suponga un conjunto de datos ordenados que corresponden a lastasas anuales de interés, establecidas por el BCV, para el rendimiento quereciben los trabajadores por el fideicomiso de sus prestaciones sociales. Acontinuación detalles de las tasas:
2) Se establece la posición del primer cuartil de acuerdo al numerode datos: n = 17
3) (n +1) /4 =(17+1) ÷ 4= (18) ÷ 2 = 4,5
Observación o dato ordenado en la posición 4,5Usando la Regla 2, Q1 puede aproximarse mediante el promediode los valores de la observación 4 y 5.
4) Se obtiene el primer cuartil utilizando la formula:
Q1 = ( 28,6 + 29,4) ÷ 2 = 29%
Interpretación del primer cuartil: El 25% de las personasreciben una tasa menor en promedio del 29% por elfideicomiso de sus prestaciones sociales o el 75% de laspersonas reciben una tasa mayor en promedio del 29%
5) Se establece la posición del tercer cuartil de acuerdo al numero dedatos: n = 17
3 × ( n + 1) ÷ 4 = 3 × (17+1) ÷4 = 13, 5
Observación o dato ordenado en la posición 13,5Usando la Regla 2 , Q1 puede aproximarse mediante elpromedio de los valores de la observaciones 13 y 14.
44
6) Se obtiene el tercer cuartil utilizando la formula:
Q3 = ( 32,4 + 33 ) ÷ 2 = 32,7%
Interpretación del tercer cuartil: El 75% de las personasreciben una tasa menor en promedio del 32,7% por elfideicomiso de sus prestaciones sociales o El 25% de laspersonas reciben una tasa de Interés mayor en promediodel 32,7%
7) Una vez obtenido los valores del primer y tercer cuartil se procedea obtener el eje medio sumando los dos valores y dividiendo entre2:
Eje Medio = (29%+32,7%) ÷ 2 = 30,85%
Formulación:
EM = (Q1 + Q3 ) ÷ 2= ( 29% + 32,7) ÷ 2 =30,85%
EM =Eje MedioQ1 = Primer Cuartil = 29%Q3 = Tercer Cuartil = 32,7%
Interpretación del EJE MEDIO: Todas las personas reciben por elfideicomiso de sus prestaciones sociales una tasa promedioaproximada de 30,85%
RANGO MEDIO:El rango medio se obtiene con la suma del valor más pequeño y el valor másgrande de un conjunto de datos dividida entre dos.
Ejemplo: Los números de visitantes durante los últimos 10 años a la cueva delGuacharo fueron los que se presentan a continuación. Determine rango mediodel número de visitantes:
690, 610, 540, 690, 560,630, 690, 670, 690, 670.
Pasos a seguir:1) Se ordenan los datos u observaciones de menor a mayor: 540,
560, 610, 630, 670, 670, 690,690, 690, 690.
2) Se busca el menor y el mayor valor del conjunto de datos: 540 y690.
3) Se obtiene el rango medio sumando (540+690) y dividiendo entre2= 615 visitantes
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Formulación:RM= Rango Medio
RM= ( X más pequeño + X más grande) ÷ 2 =
X más pequeño = 540 visitantesX más grande = 690 visitantes
RM= ( 540 + 690 ) ÷ 2 = 615 visitantes
¿Cuándo usar el rango medio ?Cuando se procesan datos donde no se presente un valor extremo, lo que haceque se utilice poco este promedio
ACTIVIDADES PROPUESTASIndividual
Lea con cuidado los contenidos presentados en relación a medidas detendencia central para datos no agrupados y consulte la bibliografía a finde ampliar sus conocimientos y considerar la opinión de otros autoressobre el tema.
Grupal CooperativoDel análisis de las evolución de enfermedades endémicas de una
región del país se encontró que los casos de Dengue hemorrágico en losúltimos quince años varió: 1650, 1475,.1510, 1670, 1540, 1495, 1590,1629, 1510 , 1930, 2300, 1890, 2345, 3500, 1250
¿Calcule la Mediana, El Rango Medio, El Eje Medio. Interpretecada una de las Medidas?
Durante un Diagnostico realizado en una comunidad de los paramosdel Estado Mérida, se aplicó una encuesta con el fin de conocer la edaddelos habitantes de una comunidad y encontraron los siguientes datos77 18 63 84 38 54 52 59 54 56 362650 34 44 41 58 58 53 51 62 63 6262
¿Calcule el primer cuartil e interprete?
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El siguiente cuadro muestra a las personas Pobres Extremos porEntidad Federal correspondientes al primer semestre del 2004.
Entidades Federales Personas Pobres ExtremosZulia 905.332Carabobo 504.884Miranda 479.470Lara 641.034Aragua 350.651Bolívar 423.549Distrito Capital 252.287Sucre 440.327Táchira 315.286Portuguesa 299.222Anzoátegui 198.597Mérida 212.517Falcón 242.757Barinas 282.831Guárico 211.126Trujillo 196.845Monagas 199.024Apure 179.149Yaracuy 166.633Cojedes 82.257Vargas 75.408Nueva Esparta 49.713Delta Amacuro 27.201Amazonas 40.293 Nota: Ordenada por el total de pobresFuente: INE/Unidad de Medición de Condiciones de Vida
1. ¿Cuál es la cantidad media de personas pobres por entidadfederal?, ¿La Mediana?, ¿El Rango Medio?, ¿El Eje Medio?
2. ¿Diga cual de las promedios refleja la realidad de las personaspobres extremos?
3. ¿De acuerdo a los valores descritos en el cuadro, la media de laspersonas pobres extremos está afectado por algunas entidadesfederales?¿es la mejor medida?
4. ¿Que medidas tomaría para ir disminuyendo el número de personasen pobreza extrema que se encuentran en las grandes entidadesFederales?
Comunitaria
Con los datos recopilados en su trabajo de campo correspondiente aProyecto I siga el siguiente tratamiento:
1. Revíselos2 Agrúpelos ordenados de mayor a menor
47
3. Calcule Media, Mediana, Rango Medio, Primer Cuartil,Tercer Cuartil y Eje Medio. Interprete los resultados yagréguelo a su portafolio.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL PARA DATOSAGRUPADOS:
1. Media Aritmética.2. Mediana.3. Moda.4. Cuartiles
El desarrollo del las medidas de tendencia central y no central como ayuda parael análisis e interpretación de los datos numéricos se realizará a través de unejemplo que ilustre como se obtienen e interpretan cada una de las medidas
Ejemplo: Las edades de los asistentes a un centro ambulatorio de BarrioAdentro en una de las parroquias caraqueñas se agruparon en la siguientetabla de distribución de frecuencias. Determine la media aritmética, la mediana,la moda y los cuartiles de las edades de los asistentes.
Pasos a seguir para el cálculo de la Media Aritmética (Ver Cuadro N° 2):
1.1 Realice el cálculo de la Edad Promedio ( Columna II).
1.2 Realice el cálculo el número de asistentesacumulados en cada clase de edades. ( Columna IV )
1.3 Se procede al cálculo de la Media Aritmética como lasuma del producto de la edad promedio de cadaclase por el número de asistentes de dichas clases yresultado que da se divide entre el total deasistentes, obteniéndose el resultado de la media =(9770 )/200 = 48,85 años que es aproximadamente49 años.. ( Columna V ÷ Columna III )
mética donde existen clases abiertas (ejemplo:70puede calcular, lo recomendable es usar la Mediana
el cálculo de la Mediana (Ver Cuadro N°3):
2.1Se procede a obtener la clase mediana, que es laclase en que está situada la mediana, la cual seobtiene dividiendo el Total de Datos u observacionesentre dos (n/2) = (200/2) =100. En el ejemplo queestamos analizando se puede observar que la clase (50– 59) ubicada en la (Columna I) fila 4 contiene lamediana ya que dentro de esta clase caen los datos uobservaciones 93 y 172 de la Columna III que incluyeel número 100
2.2 Una vez hallada la clase, el paso siguiente es estimarla posición de la mediana dentro de la clase, lo cual sehace restando n/2 =(200/2) =100 la frecuenciaacumulada de la clase inferior siguiente (fa =92) yexpresando esta diferencia, dividida por la frecuencia de
49
dicha clase (fi = 80), como una fracción del intervalo declase. Esta fracción multiplicada por la longitud delintervalo de clase (ic = 59-50=9), da la posición de lamediana dentro de la clase.
2.3 Calculada la posición de la mediana, el valor asíencontrado se suma al límite inferior de la clase con locual se determina el valor de la mediana
Interpretación de la Mediana: Significa que el 50% de las personas queasistieron al ambulatorio de barrio adentro tienen una edad promedio menor de51 años aproximadamente.
Formulación de la Mediana: n / 2 fa
Med = (200/2) – 92 × 9 + 50 = 0,90 + 50 = 50,90≈51 añosic l ifi
80Med = Mediana = 51añosn = Total de datos u observaciones = 200fa = frecuencia acumulada bajo el límite inferior de la clase mediana =92fi = frecuencia absoluta de la clase mediana = 80li = límite inferior de la clase mediana =50ic = longitud del intervalo de clase = 59 -50 =9.
Pasos a seguir para el cálculo de la Moda (Ver Cuadro N° 4):
3.1 Para hallar el valor de la moda en una distribución defrecuencias, hay que encontrar primero la clase modalen la cual esta situada la moda, en general la clasemodal es la clase que tiene la máxima frecuenciaabsoluta ( fi )= 80, en nuestro ejemplo de la distribución
del Cuadro Nº 4 la clase modal es (50 – 59) (Columna I)fila 4
3.2 Una vez hallada la clase modal, el paso siguiente esestimar la posición de la moda dentro de la clase, lo cualse hace calculando dos diferencias, una primeradiferencia d1 que se obtiene como la diferencia entre lafrecuencia absoluta de la clase modal y la frecuenciaque le antecede y una segunda diferencia d2 que seobtiene como la diferencia entre la frecuencia absolutade la clase modal y la posterior, donde d1 = 80 – 51=31 yd2 = 80 – 20 = 60 (Columna II)
Calculo de la posición de la moda, se procede a dividir d1 ÷ (d1 + d2 )= 31 ÷(31 + 60 )= 0,34 la fracción así obtenida se multiplica por la longitud delintervalo de clase ic = 59 -50 =9, el cual nos da el valor obtenido da la posiciónde la Moda = 0,34 x 9 = 3,06Cuadro Nº4
Edades(años)
Número deasistentes
I II20-29 1630-39 2540-49 5150-59 8060-69 2070-79 8
Totales n =200
3.4 Calculada la posición de la Moda, el valor asíencontrado se suma al límite inferior de la clase con locual se determina el valor de la moda
Calculo de la Moda:
31÷ (31 + 60) x 9Interpretación dtienen una edad
Formulación ded 1Mo icd d1 2
Mo = Moda = 53.d1 = diferencia abque le antecede =d2 = diferencia abposteror = 80 – 2
+ 50 = 53, 06 ≈ 53 años.
50
e la Moda: La mayoría de los asistentes al centro ambulatoriopromedio de 53 años aproximadamente.
la Moda:
li
soluta entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia80 – 51=31.
soluta entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia0 = 60.
51
ic = longitud del intervalo de clase = 59 -50 =9.li = límite inferior de la clase modal =50
Pasos a seguir para el cálculo de los Cuartiles (Ver Cuadro N°5):En el caso de los cuartiles que son tres: Q1, Q2, Q3 se realizará el cálculosolamente para el caso de Q1, los demás serán resueltos por el estudiante comouna actividad a ser presentada en su portafolio.
2.1Se procede a obtener la clase del primer cuartil, quees la clase en que está ubicado el primer cuartil, la cualse obtiene dividiendo el Total de Datos u observacionesentre cuatro (n/4) = (200/4) =25. En el ejemplo queestamos analizando se puede observar que la clase (30– 39) ubicada en la (Columna I) fila 2 contiene le primercuartil ya que dentro de esta clase caen los datos uobservaciones 17 y 41 de la Columna III que incluye elnúmero 25
2.2 Una vez hallada la clase, el paso siguiente esestimar la posición del primer cuartil dentro de la clase,lo cual se hace restando n/4 =(200/4) =25 la frecuenciaacumulada de la clase inferior siguiente (fa =16) yexpresando esta diferencia, dividida por la frecuencia dedicha clase(fQ1 = 25), como una fracción del intervalo declase. Esta fracción multiplicada por la longitud delintervalo de clase (ic=39-30=9), da la posición de lamediana dentro de la clase.
2.3 Calculada la posición del primer cuartil, el valor asíencontrado se suma al límite inferior de la clase con locual se determina el valor del primer cuartil.
Calculo del primer cuartil: [(200/4) – 16 ] x 9 + 30 = 3,24 +30 = 33,24 ≈ 33años 25
Interpretación del Prime cuartil: Significa que el 25% de las personas queasistieron al ambulatorio de barrio adentro tienen una edad promedio menor de33 años aproximadamente.
Q1 = 1
Formulación General para el cálculo de los Cuartiles:
QK K n fa ic ( ( / 4)
fQK
QK = CQ1 =Pn = Tofa = frefQK =li = límic = lon
ACTIV
Ind
Gru
Formulación General para el cálculo de los Cuartiles:
fa ic li)
Tofre
= lím= lo
fre
x (200/4) – 16 x25
siguientes
uartil para K =rimer Cuartiltal de datos u ocuencia acumu
fQ1 frecuencia aite inferior de lagitud del interv
IDADES
ividual
Lea con cuidadtendencia centampliar sus conel tema.
pal Cooperativo
Los sueldos de
Su
xK =
tal de datos u ocuencia acumu
frecuencia aite inferior de la
ngitud del interv
Lea con cuidadtendencia centampliar sus con
Los sueldos de
S
cuencia acumu
Lea con cuidadtendencia centampliar sus con
Los sueldos de
9 + 33 = 3,24 + 33 = 33,241, 2 y 3
bservaciones = 200lada bajo el límite inferior de la clase del primer cuartil =16bsoluta de la clase del primer cuartil = 25clase del primer cuartil =30
alo de clase = 39
o los contenidos presentados en relación a medidas deral para datos agrupados y consulte la bibliografía a fin deocimientos y considerar la opinión de otros autores sobre
una muestra de la población de Caracas revelaron los
eldo (miles de Bs.)
9 + 33 = 3,24 + 33 = 33,24≈33 años 1, 2 y 3
bservaciones = 200lada bajo el límite inferior de la clase del primer cuartil =16bsoluta de la clase del primer cuartil = 25clase del primer cuartil =30
alo de clase = 39 -30 =9.
o los contenidos presentados en relación a medidas deral para datos agrupados y consulte la bibliografía a fin deocimientos y considerar la opinión de otros autores sobre
una muestra de la población de Caracas revelaron los
lada bajo el límite inferior de la clase del primer cuartil =16
o los contenidos presentados en relación a medidas deral para datos agrupados y consulte la bibliografía a fin deocimientos y considerar la opinión de otros autores sobre
una muestra de la población de Caracas revelaron los
a) Determine: media aritmética, mediana, moda, primercuartil, tercer cuartil.b) ¿Interprete media aritmética, mediana, moda, primercuartil, tercer cuartil?.c) ¿Qué sueldo menor en promedio gana el 50% de lapoblación?d) Compare la media aritmética, mediana y moda, ydiga algunas conclusiones.
Se tiene de una muestra de los tiempos que necesitaron 42 personas deuna coopera
MEDIDAS DE VAAgrupados)
RANGO (Datos noconjunto de observ
RANGO (Datos Agclase menos el. lím
Desventajas:
No utiliza to
Se puede v
El rango aumigual. En cua
Formulación:
R = X más grande - X m
R = li inferior última clas
Tiempo (enminutos)
Número depersonas
1-3 44-6 87-9 16
10-12 913-15 5
53
16-18 2
Determine e Interprete, la media aritmética, mediana,moda y primer cuartil.
RIABILIDAD O DISPERSION (Datos no Agrupados y
Agrupados): Se obtiene restando el valor más bajo de unaciones del valor más alto.
rupados): Se obtiene restando límite inferior de la ultimaite superior de la primera clase
das las observaciones (sólo dos de ellas).
er muy afectada por alguna observación extrema.
enta con el número de observaciones, o bien se quedalquier caso nunca disminuye.
ás pequeño ( Datos no Agrupados)
e – li superior primera clase ( Datos Agrupados)
54
VARIANZA (Datos no Agrupados y Agrupados): Es otra de las variacionesabsolutas y la misma se define como el cuadrado de la desviación típica; vieneexpresada con las mismas letras de la desviación típica pero elevadas alcuadrado, así S2 y σ 2. Las formulas para calcular la varianza son las mismasutilizadas por la desviación típica, exceptuando las respectivas raíces, lascuales desaparecen al estar elevados el primer miembro al cuadrado
DESVIACION TIPICA O ESTANDAR(Datos no Agrupados y Agrupados):Es la medida de dispersión más utilizada en las investigaciones por ser la másestable de todas, ya que para su cálculo se utilizan todos los desvíos conrespecto a la media aritmética de las observaciones, y además, se toman encuenta los signos de esos desvíos. Se le designa con la letra castellana Scuando se trabaja con una muestra y con la letra griega (Sigma=σ ) cuando se trabaja con una población.
COEFICIENTE DE VARIACION (Datos no Agrupados y Agrupados): Es unamedida que se emplea fundamentalmente con el objeto:
1. Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos adistintos sistemas de unidades de medida. Ejemplo: Kilogramos yCentímetros.
2. Comparar dos grupos de datos que tienen distinta media3. Determinar si cierta media es consistente con cierta varianza
Ejemplo1 (Datos no Agrupados):Los pesos de una muestra de cajas de frutas de una cooperativa, listas paraembarcarse a Francia son (en kilogramos): 102, 97, 101, 106, y 103.Determine el Rango.
1. Se ordenan los datos:97, 101, 102, 103, 1062. Se calcula el Rango R = 106 – 97 = 9 Kg.
Interpretación: La variación de los pesos con respecto a todos los pesos de lacaja es de 9 Kg.
Ejemplo 2 (Datos no Agrupados): Tomando el ejemplo 1 procedemos adeterminar la varianza y la desviación típica.
Pasos a seguir para el cálculo de la Varianza (Ver Cuadro Nº 6):
1. La columna I uno representa los datos pesos en Kg. de las cajasde frutas.
2. La columna II se obtiene restando de la columna I el valor de lamedia o promedio que es igual a 102 para cada dato de la columaI.
3. La columna III se obtiene elevando al cuadrado cada dato de lacolumna II.
4. La varianza: es el resultado de dividir el total de la columna IIIentre el número de datos: 43 ÷ 5= 8,6 Kg.
Calculo de la Varianza y Desviación Típica(cifras redondeadas
n
S 21
n
S 21
i
Pesos ( Kg) Desviacionesrespecto de la
X i I
97101102103106
Total: 509
nX = (97+101+102+103+106) ÷ 5 = 102 Kg.X n/i
i 1
Formulación de la Varianza:
Interpde 9 K
Formu
S
i
1
Interpcorres
Calculo de la Varianza y Desviación Típica(cifras redondeadasCuadro Nº 6
nretación: Esto significa que la variación del peso promedio por cajas esg.
lación de la Desviación Típica o Estándar:
5Esto significa que la variación del peso promedio por cajas es
lación de la Desviación Típica o Estándar:
Esto significa que la variación del peso promedio por cajas es
( X X )
i2
= 43 ÷5 = 8,6 Kg.i
n = √8,6 = 2,93 Kg.2 1
( X X )n
retación: La diferencia con respecto al peso promedio de 102 Kg.pondientes a las 5 cajas es de 3Kg. Aproximadamente
= 43 ÷5 = 8,6 Kg. ≈ 9 Kg.8,6 = 2,93 Kg.≈ 3 Kg.
diferencia con respecto al peso promedio de 102 Kg.pondientes a las 5 cajas es de 3Kg. Aproximadamente
55
diferencia con respecto al peso promedio de 102 Kg.
56
Coeficiente de Variación: Es igual a la desviación típica entre la mediamultiplicado por cien para ser expresado en porcentaje =(3 / 102)x100= 2,94%aproximadamente 3%
Formulación:
C V S 1 0 0x
Interpretación:Ejemplo 2 (Datos Agrupados):El administrador del un hospital Público hizo una investigación acerca del número dedías que 200 pacientes, escogidos al azar, se quedaron en el hospital después de unaoperación.
Estancia en elhospital (en días)
Número depacientes
1-3 184-6 907-9 44
10-12 2113-15 916-18 919-21 422-24 5
Pasos a seguir para el cálculo de la Varianza (Ver Cuadro Nº 7):
1. La columna I, es el número promedio de días de estancia en elhospital por cada clase.
2. La columna III se obtiene restando de la columna I el valor de lamedia o promedio que es igual a 8 días para cada dato de lacolumna I.
3. La columna IV se obtiene elevando al cuadrado cada dato de lacolumna III.
4. La columna V se obtiene multiplicando la columna IV por lacolumna II
5. La varianza: es el resultado de dividir el total de la columna Ventre el número total de pacientes: 4385 ÷ 200= 22 días.
2 ( X i X )S
2 f i
Cuadro Nº 7(cifras redondeadas
Estancia en el
hospital (en días)X i
Número de
pacientes
(fi)
X i X
X i X
2( X i
X 2 f i)
Clases I II III IV V1-3 2 18 -6 33 588
4-6 5 90 -3 7 663
7-9 8 44 0 0 4
10-12 11 21 3 11 227
13-15 14 9 6 40 356
16-18 17 9 9 86 776
19-21 20 4 12 151 604
22-24 23 5 15 234 1168
Total 200 4385
Formulación de la Varianza:
= (4385 ÷ 200)=22días
Interpretacde 22 apro
Formulaci
S (Xi X
Interpretacdías, correaproximad
ACTIVIDADIndividu
Leadebibliotros
Grupal C
Resapre
f i
ión: Esto significa que la variación por estadía promedio por día esximadamente.
ón de la Desviación Típica o Estándar:
57
)2 f i (1 / f i ) = √ 22 = 4,69 ≈ 5 días.
ión: La diferencia en días con respecto al número promedio de 8spondientes a las 200 estadías de los pacientes es de 5 días
amente
ESal
con cuidado los contenidos presentados en relación a las medidasdispersión para datos agrupados y no agrupados consulte laografía a fin de ampliar sus conocimientos y considerar la opinión de
autores sobre el tema.
ooperativo
uelve los siguientes ejercicios e incorpórelos a su portafolio dendizaje:
1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, determine einterprete el rango, la desviación estándar, la varianza, elcoeficiente de variación. Establezca, así mismo, al menos unaconclusión acerca de la dispersión.
147 185101 93
58
2. Una muestra de archivos personales de ocho empleados de unaalcaldía indicó que durante un período de seis meses, tuvieronel siguiente número de inasistencias:2,0,6,3,10,4,1 y 2.
3. A continuación tenemos las ganancias semanales de un grupode 20 taxistas (expresadas en miles de bolívares).
4. El Departamento de Control de Calidad de una afamada marca de atúnmide con un índice la calidad de su producto. Los datos seorganizaron en la tabla siguiente.
