Monografia Manoel Matemática 2008

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE EDUCACcedilAtildeO CAMPUS VII

LICENCIATURA EM MATEMAacuteTICA

A ESCOLA DOS SONHOS UMA ANAacuteLISEGEOMEacuteTRICA

MANOEL BONFIM FRANCcedilA DE JESUS

SENHOR DO BONFIM 2008

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Monografia apresentada ao Departamento deEducaccedilatildeo ndash Campus VII da Universidade doEstado da Bahia como parte dos requisitosnecessaacuterios agrave obtenccedilatildeo do grau de licenciado emMatemaacutetica

Professora Maria Celeste S Castro

Orientadora

Professor Gilberto Alves dos Reis

Co-orientador



Dedico este trabalho agrave minha famiacutelia que foram sempre meus fatildes

incondicionais alicerce para a minha formaccedilatildeo Aos meus verdadeiros amigos que

sempre torceram pela minha vitoacuteria e a minha ascendecircncia como ser humano A

uma mulher que sempre estaacute do meu lado namorada amiga irmatilde companheira

futura matildee dos meus filhos meu grande amor Jandaiacutera S Garcez Ao meu maior

heroacutei e minha heroiacutena meus pais Benedito M de Jesus e Eutaacutelia F de Jesus


Inicialmente venho agradecer a Deus o nosso criador por sempre estar me dandosabedoria para realizar com sucesso os meus objetivos

Venho tambeacutem agradecer as pessoas que foram de fundamental importacircncia para aconstruccedilatildeo deste trabalho agrave minha orientadora Maria Celeste S de Castro quesempre teve a sabedoria para mostrar-me o caminho a seguir ao meu co-orientadorGilberto A dos Reis que foi de um valor incalculaacutevel a sua colaboraccedilatildeo pois teve ahumildade de mostrar-me o caminho que deveria trilhar este trabalho agrave sua enormepaciecircncia de passar algumas noites em claro para que pudeacutessemos discutir econstruir novas ideacuteias

Aos meus amigos e as pessoas que torceram por mim Em especial aos meusirmatildeos Edvando e a Simone que tenho grande amor e sempre mesmo com adistacircncia incentivou-me as pessoas que moraram na residecircncia universitaacuteria daUneb no periacuteodo de 2004 a 2006 onde tambeacutem residi e deixei alguns amigos emespecial a uma pessoa que fiz uma amizade verdadeira Joseacute Cleub aos meussegundo pais Joseacute Garcez e Paula aos meus amigos da turma e em especial aosmeus amigos e irmatildeo de espiacuterito Gilberto Reis e Roberto Rayala

Agradeccedilo a todos os funcionaacuterios do Campus VII ao professores o pessoal daadministraccedilatildeo as pessoas que trabalham na organizaccedilatildeo e limpeza aos meusamigos da seguranccedila

Por fim agradeccedilo a todas as pessoas que contribuiacuteram para a minha formaccedilatildeo deuma forma direta ou indireta


Na maior parte das ciecircncias uma geraccedilatildeo potildeeabaixo o que a outra construiu e o que aoutra estabeleceu a outra desfaz Somente naMatemaacutetica eacute que cada geraccedilatildeo constroacutei umnovo andar sobre a antiga estrutura

(Hermann Hankel)


RESUMO

O presente estudo apoiada em uma experiecircncia de estaacutegio procura mostraras principais dificuldades encontradas para o ensino e a aprendizagem degeometria bem como os principais motivos que nos levam hoje a tal situaccedilatildeoDificuldades estas relativas agrave assimilaccedilatildeo de conceitos geomeacutetricos agravecontextualizaccedilatildeo dos conteuacutedos e tambeacutem quanto agrave metodologia utilizada Utilizadentre outros autores Maria Sallet Biembengut e Ubiratan DrsquoAmbroacutesio comargumentos sobre a importacircncia da utilizaccedilatildeo da modelagem matemaacutetica comometodologia no intuito de conseguir uma aprendizagem significativa com o objetivode refletir sobre as dificuldades encontradas e apontar caminhos que se proponhama sanaacute-las Dessa maneira mostramos a Modelagem Matemaacutetica como metodologiaeficaz em busca da construccedilatildeo de conceitos matemaacuteticos e que proporciona umaaprendizagem significativa O resultado deste trabalho sugere a necessidade deuma abordagem diferente das tradicionais Uma abordagem voltada para asnecessidades cotidianas dos nossos educandos

Palavras-chave Geometria Estaacutegio Modelagem Matemaacutetica


SUMAacuteRIO

INTRODUCcedilAtildeO08

1 O papel da Geometria na formaccedilatildeo do indiviacuteduo 11

2 A Modelagem Matemaacutetica como ferramenta em busca de uma aprendizagem

significativa 16

3 Estaacutegio o primeiro contato com a docecircncia 19

4 Vivenciando a praacutetica da docecircncia 21

41 O primeiro encontro22

42 Empecilhos encontrados 25

43 O segundo encontro 25

44 Mais empecilhos26

45 O recomeccedilo 27

46 O uacuteltimo encontro 28

CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS31

REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8

INTRODUCcedilAtildeO

Na grade curricular da licenciatura em Matemaacutetica (anexo 1) Existem varias

disciplinas como os Caacutelculos I II III e IV as Matemaacuteticas I II e III as Informaacuteticas I

e II a Poliacutetica Educacional os Estaacutegios I II III e IV e o Laboratoacuterio de Ensino da

Matemaacutetica dentre outras onde estatildeo divididas em blocos por aacutereas afins com isso

temos em um determinado bloco todas as disciplinas de Exatas Pedagoacutegicas

Didaacuteticas e outras Pressupotildee-se uma integraccedilatildeo entre estas mas nem sempre isto

acontece

Diante desta diversidade de disciplinas haacute o Estaacutegio que estudamos do quinto ao

oitavo semestre e que tem uma dinacircmica diferente das demais disciplinas o contato

com a profissatildeondashprofessor de matemaacutetica Na grade curricular haacute os Estaacutegios I II III

e IV com cargas horaacuterias e objetivos diferentes Segundo as ementas temos no

Estaacutegio I estudado no quinto semestre uma carga horaacuteria de 75 horas aulas

objetivando o primeiro contato do aluno estagiaacuterio com a sua futura profissatildeo onde

teraacute um caraacuteter investigativo sendo o seu objetivo principal analisar o tipo de praacutetica

pedagoacutegica exercida pela escola e confrontaacute-la com teorias e praacuteticas educativas de

estudiosos da aacuterea

O Estagio II uma disciplina do sexto semestre com uma carga horaacuteria de 90

horas aulas teve como objetivo propiciar ao aluno estagiaacuterio o contato com a

docecircncia denominado de estaacutegio de intervenccedilatildeo os futuros licenciados tiveram

contato com os alunos sem assumir uma sala de aula identificando problemas

deixando soluccedilotildees uma investigaccedilatildeo que culmina com a abordagem metodoloacutegica

realizada atraveacutes de um minicurso abordagem esta que estava consoante com as

necessidades da clientela e aos anseios do estagiaacuterio Este referencial norteou o

trabalho que foi desenvolvido utilizando a Modelagem Matemaacutetica trabalhando

conteuacutedos da Geometria Plana para uma clientela de alunos na oitava serie do

Ensino Fundamental e primeira serie do Ensino Meacutedio com a finalidade de resgatar

nos alunos o gosto pela Matemaacutetica e mostrar-lhes a sua importacircncia


9

Nos Estaacutegios III e IV com carga horaacuterias de 120 horas aula por semestre

ocorreu o encontro educativo Sala de aula espaccedilo assumido pelos licenciados

numa dinacircmica de ensino que traz a profissatildeo ser professor

No Estaacutegio III por orientaccedilatildeo do professor orientador do Estaacutegio foi trabalhado

com a abordagem exploratoacuterio-investigativa sendo a principal funccedilatildeo detectar as

deficiecircncias e construir uma dinacircmica metodoloacutegica em que os alunos satildeo sujeitos

que participam e constroem os conhecimentos

Dessa forma a valorizaccedilatildeo do conhecimento o respeito ao aluno e agraves

instituiccedilotildees foram agraves marcas deste componente curricular dando subsidio para

complementaacute-lo e ateacute mesmo construir novos conceitos ou ideacuteias

O Estaacutegio IV foi construiacutedo a partir da experiecircncia anterior acreditando que o

ensino de Matemaacutetica com esta abordagem contribui para o envolvimento do aluno

de forma atraente

Este resgate da dinacircmica do estagio serviu para mostrar o papel que esta

disciplina desempenhou na elaboraccedilatildeo desse estudo e para contextualizar o curso

de licenciatura em matemaacutetica para que possa haver o entendimento da

problemaacutetica que norteou a pesquisa

Assim entende-se que os Estaacutegios tecircm um papel fundamental na construccedilatildeo

acadecircmica e profissional de um licenciado pois eacute deles que se tem o primeiro

contanto com a profissatildeo professor onde se pode confrontar a teoria vista na

academia e a encontrada no espaccedilo educativo Numa dinacircmica consoante com Silva

(2007) que a apresenta como uma superaccedilatildeo da dicotomia teoria e praacutetica

Esta dinacircmica de Estagio levou-nos a perceber que o seu objetivo eacute propiciar ao

futuro professor uma vivecircncia que o leve a uma visatildeo geral dos conteuacutedos

matemaacuteticos que se desenvolvem no Ensino Baacutesico bem como sobre as praacuteticas

docentes usuais e a proposta de alternativas sobre a realidade das atuais escolas

do ponto de vista de seus professores seus alunos e das comunidades que as

constituem e as cercam

Com esse cenaacuterio de formaccedilatildeo eacute que foi realizado o estaacutegio em dois ambientes

educacionais que traz a articulaccedilatildeo entre Geometria e Modelagem


10

Estas concepccedilotildees e a pratica vivenciada levou-nos a desenvolver o projeto ldquoA

escola dos sonhos uma Analise Geomeacutetricardquo e a perguntar ao final do mesmo se

ele culminou em aprendizagem para os alunos e colegas participantes e se houve a

superaccedilatildeo da dicotomia teoria e praacutetica Diante destas questotildees surgiu o principal

objetivo de pesquisa Analisar as contribuiccedilotildees da Modelagem Matemaacutetica no

ambiente da educaccedilatildeo baacutesica a partir da visatildeo dos alunos que participaram da

proposta

Sendo assim o presente trabalho que eacute um relato de experiecircncia que foi

realizado nas escolas Coleacutegio Estadual de Senhor do Bonfim na cidade de Senhor

do Bonfim e Coleacutegio Estadual Joatildeo Francisco da Silva na cidade de Itiuacuteba ambos no

estado da Bahia serviraacute como referencial para compreender as relaccedilotildees de

aprendizagem produzida a partir da Modelagem Matemaacutetica e a Geometria Plana

Para tanto o elaboramos e organizamos em cinco capiacutetulos No primeiro

capiacutetulo O papel da geometria na formaccedilatildeo do indiviacuteduo apresenta a geometria

desde os primoacuterdios ateacute os dias de hoje salientando a sua importacircncia na formaccedilatildeo

escolar e na construccedilatildeo de uma visatildeo criacutetica No segundo capiacutetulo A modelagem

matemaacutetica como ferramenta em busca de uma aprendizagem significativa

discutimos a Modelagem Matemaacutetica como metodologia eficaz em busca da

construccedilatildeo de conceitos matemaacuteticos e principalmente geomeacutetricos O terceiro

capiacutetulo Estaacutegio o primeiro contato com a docecircncia traz o estaacutegio supervisionado

como o componente curricular que coloca o licenciando em matemaacutetica em contato

com a profissatildeo professor No quarto capiacutetulo Vivenciando a praacutetica da docecircncia

descrevemos passo a passo a experiecircncia vivenciada em sala de aula durante o

periacuteodo do Estaacutegio Nas consideraccedilotildees finais destacamos as conclusotildees a que

chegamos com este trabalho E por fim listamos os autores que referendaram

nossos argumentos e os questionaacuterios necessaacuterios para iniciar as nossas

atividades


11

1 O PAPEL DA GEOMETRIA NA FORMACcedilAtildeO DO INDIVIacuteDUO

A formaccedilatildeo do professor envolve diversos momentos e espaccedilos O espaccedilo

universitaacuterio o espaccedilo escolar o encontro com teoacutericos e o confronto teoria e

praacutetica Este uacuteltimo visto a partir do estaacutegio que segundo Piconez e HEIN (1994) eacute

considerado uma parte importante da relaccedilatildeo trabalho-escola teoria-praacutetica e eles

podem representar em certa medida o elo de articulaccedilatildeo orgacircnica com a proacutepria

realidade

Esta compreensatildeo de Estaacutegio como elo que integra os conceitos aprendidos

no espaccedilo universitaacuterio com a realidade resulta em uma experiecircncia em que foi

utilizada a Modelagem matemaacutetica para trabalhar conteuacutedos da Geometria Plana

Para conceituar este estudo foram utilizados os conceitos envolvendo

Estaacutegio Modelagem Matemaacutetica e a Geometria Plana utilizando os seguintes

autores Piconez Bertholo e Fazenda (1994) Bianchini e Paccola (1998) Lorenzato

(1995) Fainguelernt (1995) Pavanello (1993) Pavanello (1989) Pavanello (1993)

Ribeiro (1997) Drsquo Ambrosio (2003)

Articular estaacutegio com Modelagem Matemaacutetica e Geometria Plana nos leva a

historicizar a Geometria Plana pois segundo Pavanello (1989) a referecircncia mais

antiga desta aacuterea do conhecimento vem dos antigos Egiacutepcios por volta do ano 3000

aC que desenvolveram meacutetodos de medir terras atraveacutes de aacutereas de figuras

geomeacutetricas simples arcos e ciacuterculos a partir daiacute adquiriu conhecimentos de

Geometria necessaacuterios para reconstituir as marcaccedilotildees de terrenos destruiacutedos pelas

cheias do rio Nilo bem como para construir as ceacutelebres piracircmides

Segundo Bianchini e Paccola (1998) a Geometria vem sendo construiacuteda haacute

seacuteculos poreacutem tudo parece ter comeccedilado no Egito no seacuteculo VIII aC ao longo do

rio Nilo anualmente esse rio transbordava e as inundaccedilotildees apagavam as

demarcaccedilotildees das aacutereas de plantio e apoacutes cada enchente era necessaacuterio remarcar

essas aacutereas foram praacuteticas como essa de demarcar terras que deram origem agraves

primeiras ideacuteias da Geometria Por volta no ano 624-548 aC um grego considerado

um dos sete saacutebios da Antiguumlidade Tales de Milleto numa viagem pelo o Egito

estudou a Geometria ali encontrada e levou esse conhecimento para a Greacutecia


12

No seacuteculo III aC Euclides que era grego e passou a ser considerado o pai

da Geometria escreveu uma obra em 13 volumes chamada Os Elementos onde se

encontram os princiacutepios da Geometria chamada agora de Geometria Euclidiana

partido de definiccedilotildees e postulados onde ele construiu uma estrutura de forma

rigorosa e loacutegica

Sendo assim nota-se que os registros com relaccedilatildeo agrave geometria estatildeo

presentes nos legados de quase todas as civilizaccedilotildees mais antigas natildeo se

restringido apenas os egiacutepcios onde podemos citar babilocircnios gregos chineses

hindus e os aacuterabes que utilizaram as formas geomeacutetricas em seu cotidiano

Percebe-se que desde as civilizaccedilotildees mais antigas a Geometria vem tendo

uma grande importacircncia na sociedade No contexto escolar poacutes modernidade1 o

ensino da Geometria passou por um periacuteodo de esquecimento no curriacuteculo escolar

no Brasil e tambeacutem em outros paiacuteses e isto vem sendo questionado por alguns

autores

Na concepccedilatildeo de Lorenzato (1995) o ensino da Geometria tem uma funccedilatildeo

essencial na formaccedilatildeo dos indiviacuteduos pois possibilita uma interpretaccedilatildeo mais

completa do mundo uma comunicaccedilatildeo mais abrangente de ideacuteias e uma visatildeo mais

equilibrada da Matemaacutetica Fainguelernt (1995) complementa sobre o papel da

Geometria acreditando que desempenha um papel fundamental no ensino porque

as estruturas mentais na passagem de dados concretos e experimentais para os

processos de abstraccedilatildeo e generalizaccedilatildeo eacute tema integrador entre as diversas partes

da Matemaacutetica

Os autores acima citados nos apresentam informaccedilotildees de fundamental

importacircncia para o desenvolvimento espacial a compreensatildeo e uma visatildeo ampla da

geometria no aspecto conceitual e funcional Ao estudar a historia da Geometria

observa-se que as civilizaccedilotildees mais antigas que dominavam essa ciecircncia jaacute

conheciam o seu valor e isso eacute notaacutevel de diversas como por exemplo na

arquitetura navegaccedilatildeo e astronomia

1 Para Ferreira (1999 p1615) poacutes modernidade foi um periacuteodo do seacuteculo XX em que a sociedade passa por umatransiccedilatildeo onde adota uma postura descompromissada independente em faces das transformaccedilotildees profundasocorridas na ordem socioeconocircmica


13

O estudo da Geometria Plana foi relegado a um segundo plano por vaacuterios

motivos entre os quais podemos citar de ordem poliacutetica ideoloacutegica de problemas

de formaccedilatildeo do professor de ordens relacionadas agraves abordagens nos livros

didaacuteticos como omissatildeo de toacutepicos de geometria pelas lacunas deixadas pelo

movimento da Matemaacutetica Moderna entre outras Para Carvalho (1988)

O Movimento da Matemaacutetica Moderna foi o maior experimento jaacute feitoem educaccedilatildeo matemaacutetica Assim qualquer pessoa que se interesse peloensino da matemaacutetica quer do ponto de vista acadecircmico de pesquisaquer do ponto de vista histoacuterico quer como professor de matemaacuteticaengajado pessoalmente no ensino deveria tomar conhecimento desseassunto Sua compreensatildeo eacute essencial para entender por que se ensinamatemaacutetica como hoje em dia

Na deacutecada de 70 (setenta) o Brasil vivia um monemto uacutenico na sua historia o

periacuteodo da ditadura militar que intensificou o descaso com a Geometria entretanto

Ribeiro (1997) acredita que a geometria foi abolida do curriculo escolar desse

periacuteodo no Brasil por que os governantes temiam que os jovens que natildeo

concordavam com a situaccedilatildeo poliacutetica da eacutepoca viessem a utilizar nocotildees

geometricas nas guerrilhas2 com isso a Geometria foi abolida das escolas e

universidades

As consequecircncias deste periodo satildeo vivenciadas ateacute os dias atuais Alguns

estudantes daquela eacutepoca satildeo professores hoje e foram frutos de uma formaccedilatildeo

debilitada foram vitimas do sistema politico daquele periodo sendo assim natildeo

tiveram a optunidade de conhecer os conteuacutedos de Geometria de uma maneira que

viessem a ter um amplo domiacutenio de seus conteuacutedos

Segundo Pavanello (1993) a influencia do movimento da Matematica

Moderna na decada de 70 causou um redirecionamento maior ao ensino da

Aacutelgebra podendo-se mesmo afirmar que nessa tendecircnca natildeo soacute no Brasil o ensino

da Geometria foi relegado a segundo plano De maneira geral os livros reservaram

aos conteudos referentes a esse campo os ultimos capitulos e em consequecircncia

disso raramente os mesmos satildeo abordados em funccedilatildeo de falta de tempo

Ainda de acordo com Pavanello (1989p6)

2 Segundo Ferreira (1999 p 1020) guerrilha eacute um tipo de luta armada realizada por meio de pequenos gruposconstituiacutedos irregularmente sem obediecircncia agraves normas estabelecidas nas convenccedilotildees internacionais e quepossuem extrema mobilidade e grande capacidade de atacar de surpresa as tropas inimigas


14

Este costume de programar a geometria para o final do ano letivo eacute deoutro modo reforccedilado pelos livros didaticos que pelo que podeobservar abordam temas quase sempre por uacuteltimo

No entedimento de DrsquoAmbrosio (2003) apoacutes quase duas deacutecada no

esquecimento a Geometria daacute os primeiros sinais de valorizaccedilatildeo voltando a fazer

parte do curriculo escolar na deacutecada de 80 com o final da ditadura militar

Pavanello (1993) aborda a questatildeo metodoloacutegica afirmando que a Geometria

eacute vista nas escolas quase sempre do ponto de vista analitica sem levar em conta a

sua aplicaccedilatildeo na praacutetica cotidiana tornando-se muitas vezes monoacutetona e sem

utilidade no ponto de vista do educando

Com base nos autores estudados conclui-se que a Geometria nas instituicotildees

de ensino quase nunca eacute ensinada para os alunos de uma maneira adequada por

varios motivos entre os quais pode-se citar o livro didaacutetico que na maioria da vezes

aborda os conteuacutedos geomeacutetricos apenas nos uacuteltimos capiacutetulos imposibilitado o

estudo de uma forma mais minuciosa

No retorno da Geometria aos curriculos escolares tecircm-se definido propostas

de reflexatildeo e interaccedilatildeo com o objetivo de estudo Nos Paracircmetros Curriculares

Nacionais documento norteador das accediloes pedagoacutegicas tecircm-se

O ensino de Geometria no ensino fundamental estaacute estruturado parapropiciar uma primeira reflexatildeo dos alunos atraveacutes da experimentaccedilatildeo ede deduccedilotildees informais sobre as propriedades relativas a lados acircngulose diagonais de poliacutegonos bem como o estudo de congruecircncia esemelhanccedila de figuras planas Para alcanccedilar um maior desenvolvimentodo raciociacutenio loacutegico eacute necessaacuterio que no ensino meacutedio haja umaprofundamento dessas ideacuteias no sentido de que o aluno possaconhecer um sistema dedutivo analisando o significado de postulados eteoremas e o valor de uma demonstraccedilatildeo para fatos que lhe satildeofamiliares (PCNrsquos 2004 p 169)

Nas Orientaccedilotildees Curriculares Estaduais (2005 p156) para o ensino meacutedio o

objetivo eacute o de ldquoaprofundar o conhecimento do curso fundamental desenvolver o

estudo baseado nas formas do cotidiano da interseccedilatildeo e da composiccedilatildeo de

diferentes formas e construir modelos para resolver problemas de matemaacutetica e de

outras aacutereasrdquo


15

Estes objetivos satildeo consoantes com Freudenthal (1973 p 92-93) Para ele

A Geometria eacute uma das melhores oportunidades que existem paraaprender como matematizar a realidade Egrave uma oportunidade de fazerdescobertas como muitos exemplos mostraratildeo Com Certeza osnuacutemeros satildeo tambeacutem um domiacutenio aberto as investigaccedilotildees e pode-seaprender a pensar atraveacutes da realidade de caacutelculos mas as descobertasfeitas peles proacuteprios olhos e matildeo Satildeo mais surpreendentes econvincentes Ateacute que possa de algum modo ser dispensadas as formasno espaccedilo satildeo um guia insubstituiacutevel para pesquisa e a descoberta

Para Pavanello (1995) a Geometria eacute vista como sendo o ramo da

Matemaacutetica mais adequada para o desenvolvimento de capacidades intelectuais

tais como a percepccedilatildeo espacial a criatividade o raciociacutenio hipoteacutetico-dedutivo

Destaca ainda a autora que

A Geometria oferece um maior nuacutemero de situaccedilotildees nas quais o alunopode exercitar sua criatividade ao interagir com as propriedades dosobjetos ao manipular e construir figuras ao observar suascaracteriacutesticas comparaacute-las associaacute-las de diferentes modos aoconceber maneiras de representaacute-las (P13)

Com uma abordagem compactuada com Pavanello e Freudenthal Clements

e Battista (1991) destacam a importacircncia do raciociacutenio geomeacutetrico no ensino da

Matemaacutetica mencionando ldquoEntendimentos planos e espaciais satildeo necessaacuterio para

interpretar compreender e apreciar nosso inerente mundo geomeacutetricordquo (p135)

Sendo assim para os autores ldquoGeometria eacute captar o estrito espaccedilo no qual a crianccedila

vive respira e se movimenta O Espaccedilo que deve aprender para conhecer explorar

conquistar para viver respirar e se movimentar nelerdquo (p142)

Entende-se que o ensino de geometria eacute marcado por vaacuterias questotildees tais

como o movimento da matemaacutetica moderna os seus conteuacutedos deixando de ser

abordados em certo periacuteodo histoacuterico entre outras Mas como superar Qual o

caminho


16

2 A MODELAGEM MATEMAacuteTICA COMO FERRAMENTA EM BUSCA

DE UMA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

As reflexotildees ateacute aqui apontadas nos remetem a uma importante questatildeo

para o contexto da sala de aula como fazer para ensinar Geometria de uma forma

significativa

A busca para esta resposta nos traz a Modelagem Matemaacutetica como

abordagem que contempla a indagaccedilatildeo da realidade a construccedilatildeo e o exerciacutecio da

criatividade Um resgate histoacuterico e bibliograacutefico a sobre a modelagem nos

encaminha para a deacutecada de 80 onde segundo Burak (2005) o inicio foi na

Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho ndash UNESP ndash Campus de Rio

Claro SP

Os teoacutericos que contribuiacuteram com a sua divulgaccedilatildeo foram Drsquo Ambrosio e

Bassanezi ambos do Instituto de Matemaacutetica Estatiacutestica e Ciecircncias da Computaccedilatildeo

ndash IMECC da Universidade Estadual de Campinas que difundiram sob forma de

livros cursos de especializaccedilatildeo artigos palestras e orientaccedilatildeo de trabalho de

conclusatildeo de mestrado e doutorado essa alternativa para o ensino da Matemaacutetica

No entanto na mesma deacutecada na Faculdade Estadual de Guarapuava hoje

UNICENTRO comeccedilou a difusatildeo dessa alternativa para o ensino de Matemaacutetica

com o curso de especializaccedilatildeo para professores de matemaacutetica dos trecircs niacuteveis de

ensino a forma de trabalho procurava romper com o meacutetodo usual de ensinar

Matemaacutetica conteuacutedo teoacuterico e exerciacutecios de aplicaccedilatildeo

Com a consolidaccedilatildeo da Modelagem Matemaacutetica em todo o paiacutes surgem

outros estudiosos onde podemos citar Bassanei (2002) Niss (1989) DrsquoAmbroacutesio

(2002) Almeida e Brito (2003) e BIEMBENGUT e HEIN (2003)

Na concepccedilatildeo de Bassanei (2002) a Modelagem Matemaacutetica consiste na arte

de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los

interpretando suas soluccedilotildees na linguagem do mundo real Esta ideacuteia estaacute a

concordar com Niss (1989) onde afirma que uma atividade de Modelagem

Matemaacutetica pode apoiar os alunos na aquisiccedilatildeo e compreensatildeo dos conteuacutedos

matemaacuteticos como tambeacutem promover atividades e habilidades que estimulem a

criatividade e a soluccedilatildeo de problemas


17

Para Almeida e Brito (2003) A modelagem matemaacutetica pode ser entendida

como uma abordagem de um problema natildeo matemaacutetico por meio da matemaacutetica

onde as caracteriacutesticas pertinentes de um objeto satildeo extraiacutedas com a ajuda de

hipoacuteteses e aproximaccedilotildees simplificadoras e representaccedilotildees em termos matemaacuteticos

satildeo determinadas No entanto a modelagem matemaacutetica como estrateacutegia de ensino

e aprendizagem oferece contribuiccedilotildees que vatildeo aleacutem da possibilidade de interaccedilatildeo

da matemaacutetica com a realidade

Segundo BIEMBENGUT e HEIN (2003)

A modelagem no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno ointeresse por toacutepicos matemaacuteticos que ele ainda desconhece ao mesmotempo em que aprende a arte de modelar matematicamente Issoporque eacute dada ao aluno a oportunidade de estudar situaccedilotildees-problemapor meio de pesquisa desenvolvendo seu interesse e aguccedilando seusenso criacutetico

A Modelagem Matemaacutetica eacute um meacutetodo que proporciona ao aluno uma

anaacutelise global da realidade em que ele vivencia Eacute uma estrateacutegia de accedilatildeo que

propicia ao aluno a chance para pensar criar e estabelecer relaccedilotildees tendo

liberdade para procurar suas proacuteprias alternativas de soluccedilatildeo desenvolvendo

atitudes positivas pela aprendizagem da Matemaacutetica e ateacute mesmo de outras aacutereas

do ensino O aluno vai gerando conhecimento a partir de uma situaccedilatildeo problema

relacionado a um tema especiacutefico desenvolvendo tambeacutem a aprendizagem da

linguagem matemaacutetica e compreendendo a necessidade do uso rigoroso dos termos

e siacutembolos matemaacuteticos

Segundo Bassanezi (2002) A Modelagem pode ser encarada tanto como um

meacutetodo cientiacutefico de pesquisa quanto como uma estrateacutegia de ensino e

aprendizagem que por diversas vezes tem se mostrado bastante eficaz ldquoA

modelagem matemaacutetica consiste na arte de transformar problemas da realidade em

problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando suas soluccedilotildees na linguagem do

mundo real (BASSANEZI 2002p 16)rdquo


18

Com ideacuteia semelhante afirma BIEMBENGUT e HEIN (2003)

Modelagem matemaacutetica eacute a arte de expressar por intermeacutedio dalinguagem matemaacutetica situaccedilotildees-problemas de nosso meio tem estadopresente desde os tempos mais primitivos com isso natildeo eacute uma ideacuteianova sua essecircncia esteve presente na criaccedilatildeo das teorias cientificas eem especial nas teorias matemaacuteticas a historia da ciecircncia testemunhaimportantes momentos em que a modelagem matemaacutetica se fezpresente

Contudo afirma DrsquoAmbroacutesio (2002 p31) ldquoo ciclo de aquisiccedilatildeo de

conhecimento eacute deflagrado a partir da realidade que eacute plena de fatosrdquo Uma das

tendecircncias que viabiliza a interaccedilatildeo da matemaacutetica com a realidade eacute a modelagem

matemaacutetica

A visatildeo de integraccedilatildeo investigaccedilatildeo e interaccedilatildeo com o conhecimento

matemaacutetico foi o eixo norteador do Estaacutegio Consoante com a proposta de

proporcionar aos discentes caminhos metodoloacutegicos que desmistificassem o ensino

tradicional como sendo o uacutenico e certo e como forma de buscar alternativas para

contribuir com a superaccedilatildeo dos problemas ateacute aqui apontados


19

3 ESTAacuteGIO O PRIMEIRO CONTATO COM A DOCEcircNCIA

O Estaacutegio eacute uma forma de superar a dicotomia teoria e pratica Deve fornecer

subsiacutedios para a formaccedilatildeo do futuro professor tanto no aspecto teoacuterico quanto

praacutetico a fim de que possa desenvolver um trabalho docente competente (Silva

2007 Teixeira 1994)

Estes autores apresentam uma dinacircmica em que deveraacute ter tambeacutem como

foco de discussatildeo a escola como ambiente educativo do trabalho e da formaccedilatildeo do

professor tematizando sobre os principais aspectos da gestatildeo escolar (o Projeto

Poliacutetico Pedagoacutegico e o Regimento escolar a gestatildeo dos recursos o processo de

avaliaccedilatildeo e a organizaccedilatildeo dos ambientes de ensino) as situaccedilotildees de trabalho

coletivo na escola (conselhos de classe e de seacuterie situaccedilotildees de conflito com os pais

comunidade) os diferentes documentos organizadores do trabalho escolar

(Curriacuteculo plano de gestatildeo plano de ensino) entre outros

Contudo eacute oportuno afirmar que os estaacutegios profissionalizantes de qualquer

aacuterea profissional satildeo regulamentados pela Lei nordm 6944 de 07121977 e pelo

Decreto Lei nordm 87497 de 18081982 Segundo a primeira os estaacutegios devem

propiciar a complementaccedilatildeo do ensino e da aprendizagem e ser planejados

executados acompanhados e avaliados em conformidade com os curriacuteculos

programas e calendaacuterios escolares e de acordo com o Decreto supra mencionado

no seu artigo 2ordm ldquoo estaacutegio curricular representa as atividades de aprendizagem

social profissional e cultural proporcionadas ao estudante pela participaccedilatildeo em

situaccedilotildees reais de vida e trabalho de seu meiordquo sendo que na condiccedilatildeo de

procedimento didaacutetico pedagoacutegico eacute atividade de competecircncia e responsabilidade

da instituiccedilatildeo de ensino

O Estaacutegio supervisionado encontra apoio na resoluccedilatildeo CNECP de 18 de

fevereiro de 2002 que institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a formaccedilatildeo de

professores da Educaccedilatildeo Baacutesica em niacutevel superior curso de licenciatura de

graduaccedilatildeo plena


20

Segundo Fernandes e Silveira (2007)

A inserccedilatildeo do professor em formaccedilatildeo no campo profissional desde oiniacutecio do curso e a realizaccedilatildeo do estaacutegio curricular supervisionado apartir da metade do curso rompe com uma visatildeo de que a teoriaantecede agrave praacutetica e esta a praacutetica reduz-se agrave aplicaccedilatildeo de teoriascompreensatildeo de conhecimento e de ciecircncia arraigada em nossoscurriacuteculos e em nossas concepccedilotildees Pensar essa inserccedilatildeo exigeenfrentar o desafio de situar-se em outra matriz teoacuterica e societalcriando outras territorialidades (FERNANDES 1999) ndash ocupaccedilatildeocirculaccedilatildeo e apropriaccedilatildeo de outros territoacuterios como lugares tambeacutem deformaccedilatildeo superando a ideacuteia de Universidade como a detentora dossaberes vaacutelidos e estabelecendo uma outra relaccedilatildeo entre a Universidadee a Escola que se complementam na necessidade de interaccedilatildeo entre ocampo da formaccedilatildeo e o campo profissional desde o iniacutecio do curso emoutras configuraccedilotildees

Esta formaccedilatildeo universitaacuteria e reflexiva norteou o Estaacutegio que foi desenvolvido

na licenciatura e apresenta uma articulaccedilatildeo na teoria-metodologia geometria Plana

e Modelagem Matemaacutetica

Nesse sentido eacute de suma importacircncia compreender o Estaacutegio como

componente curricular que fornece subsiacutedios para a formaccedilatildeo profissional

fomentando reflexotildees importantes para o estagiaacuterio promovendo conhecimento e

aprimoramento desta etapa formativa Dessa forma conclui-se que o Estaacutegio pode

se constituir como um espaccedilo que oportuniza ao futuro professor apropriar-se de

conhecimentos da docecircncia Por meio de observaccedilotildees anaacutelises e reflexotildees da

realidade escolar e da regecircncia o futuro professor pode vivenciar uma experiecircncia

profissional ainda durante o Curso de Licenciatura

Nesse contexto o Estaacutegio supervisionado se constituiu como a base

conceitual sobre a qual foi construiacutedo o projeto A escola dos sonhos uma anaacutelise

geomeacutetrica


21

4 VIVENCIANDO A PRAacuteTICA DA DOCEcircNCIA

No intuito de conseguir alcanccedilar ecircxito em relaccedilatildeo ao objetivo principal do projeto

entramos em contato com a escola e obtivemos permissatildeo para convidar os alunos

a participarem Como o nuacutemero de pessoas interessadas ultrapassou em muito as

nossas expectativas resolvemos fazer uma pesquisa de caraacuteter qualitativo visando

conhecer melhor o tipo de aluno que teriacuteamos e dentre eles selecionar os que

melhor se enquadravam nos objetivos do projeto

Segundo Colin (1996)

A expressatildeo pesquisa qualitativa designa uma pesquisa empiacuterica emciecircncias humanas e sociais que possui as cinco caracteriacutesticasseguintes eacute concebida principalmente numa perspectiva compreensivaonde seu objeto de estudo eacute abordado de maneira aberta e ampla suacoleta de dados eacute baseada nos meacutetodos qualitativos que natildeo implicamnenhuma quantificaccedilatildeo ou mesmo nenhum tratamento tais como aentrevista a observaccedilatildeo livre ou a coleta de documentos Ela permiteuma analise qualitativa dos dados onde as palavras satildeo analisadasdiretamente por outras palavras sem a mediaccedilatildeo de uma operaccedilatildeonumeacuterica e conduz a uma narraccedilatildeo ou uma teoria

A pesquisa segundo Kilpatrick (1994 p 2)

Eacute uma indagaccedilatildeo metoacutedica ou estudo sistemaacutetico e consistente de umproblema O termo indagaccedilatildeo sugere que o trabalho esteja direcionadopara responder uma questatildeo especiacutefica e o termo metoacutedica significa quea investigaccedilatildeo por um lado eacute guiada por conceitos e meacutetodos e poroutros e aberta de modo que a linha de inqueacuterito possa ser examinada everificada

Para essa pesquisa utilizamos um questionaacuterio estruturado (anexo 2) como

ferramenta que foi distribuiacutedo aos alunos e um outro (anexo 3) que foi respondido

pelo professor de matemaacutetica

Para Boni e Quaresma (2005 p 7)

As entrevistas estruturadas satildeo elaboradas mediante questionaacuteriototalmente estruturado ou seja eacute aquela onde as perguntas satildeopreviamente formuladas e tem-se o cuidado de natildeo fugir a elas Oprincipal motivo deste zelo eacute a possibilidade de comparaccedilatildeo com omesmo conjunto de perguntas e que as diferenccedilas devem refletirdiferenccedilas entre os respondentes e natildeo diferenccedila nas perguntas []Algumas das principais vantagens de um questionaacuterio eacute que nem sempreeacute necessaacuterio a presenccedila do pesquisador para que o informante respondaas questotildees Aleacutem disso o questionaacuterio consegue atingir vaacuterias pessoasao mesmo tempo obtendo um grande nuacutemero de dados podendo


22

abranger uma aacuterea geograacutefica mais ampla se for este o objetivo dapesquisa Ele garante tambeacutem uma maior liberdade das respostas emrazatildeo do anonimato evitando vieacuteses potenciais do entrevistadorGeralmente atraveacutes do questionaacuterio obtecircm-se respostas raacutepidas eprecisas

Apoacutes analise das respostas foram selecionados 30 (trinta) alunos entre os que

apresentaram maior dificuldade em absorver e entender conceitos relacionados agrave

Geometria

As 30 (trinta) horas de regecircncia que inicialmente aconteceria apenas no

Coleacutegio Estadual de Senhor do Bonfim foram divididas em quatro encontros que

aconteceriam em quatro saacutebados consecutivos Sendo que cada encontro teria a

duraccedilatildeo de um dia inteiro o equivalente a 8 (oito) horas-aula

41 O PRIMEIRO ENCONTRO

O primeiro encontro aconteceu no Coleacutegio Estadual Senhor do Bonfim com o

objetivo de evidenciar a utilidade do estudo das figuras geomeacutetricas planas e suas

propriedades bem como despertar no educando o gosto pela geometria Para

tanto a abordagem metodoloacutegica utilizada foi a modelagem matemaacutetica

Foi desenvolvida uma dinacircmica de apresentaccedilatildeo que utilizava crachaacutes no

verso dos quais continha uma figura geomeacutetrica plana com o objetivo de perceber

os conhecimentos geomeacutetricos que possuiacuteam e de ter uma referecircncia para

identificar os alunos Foi pedido que se dividissem em grupos de acordo com a

figura que cada um recebeu e que em seguida cada grupo imaginasse a escola dos

seus sonhos e anotasse os dados para depois socializar com os demais grupos

As ideacuteias foram as mais diversas Teve grupo que imaginou uma escola com

duzentas salas de aula quartos para alunos que desejassem morar na escola

restaurante pracinha de alimentaccedilatildeo amplos jardins piscina entre outras coisas

Natildeo sabiam eles qual seria a segunda etapa do dia

Com todas essas ideacuteias no papel foi lhes pedido que cada grupo

desenhasse a planta da estrutura imaginada sem ter ainda a preocupaccedilatildeo com


23

bases matemaacuteticas Aiacute comeccedilaram os problemas Como colocar no papel a planta

de uma escola com duzentas salas de aula Natildeo haveria tempo suficiente

Esta observaccedilatildeo estaacute de acordo com Lorenzato (2005) onde afirma que ldquoSem

conhecer geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta a

comunicaccedilatildeo das ideacuteias fica reduzida e a visatildeo da Matemaacutetica torna-se

distorcidardquoFoi necessaacuterio aconselhaacute-los a diminuir a quantidade de salas Nem todo

sonho eacute faacutecil de ser colocado em praacutetica Essa tarefa durou toda a manhatilde

Percebeu-se que muitos natildeo tinham sequer a ideacuteia de proporccedilatildeo ndash a maioria das

quadras desenhadas eram quase do mesmo tamanho do resto da escola e alguns

campos de futebol menores que as quadras ou do mesmo tamanho da piscina ndash o

que dificulta a aprendizagem da geometria

Segundo Cedro e Jacinto (2006)

A ideacuteia de proporccedilatildeo e sua ampliaccedilatildeo em geometria satildeo bastanteantigas e descritas como um corpo de conhecimento fundamental para acompreensatildeo do mundo e participaccedilatildeo ativa do homem na sociedadepois facilita a resoluccedilatildeo de problemas de diversas aacutereas doconhecimento e desenvolve o raciociacutenio visual

O curso teve inicio com um nuacutemero de 30 alunos com o desenvolvimento das

atividades constatou-se que houve um aumento o que causou surpresa levando o

grupo a ter mais seguranccedila de que o caminho escolhido foi o certo deu tambeacutem as

boas vindas a eles e iniciou os trabalhos da tarde com aproximadamente 40 alunos

Cada grupo socializou as plantas desenhadas com os demais e identificou as figuras

geomeacutetricas planas que compunham o desenho O primeiro obstaacuteculo identificado

foi com referecircncia ao reconhecimento das figuras Sempre acabavam confundindo

os nomes A grande maioria natildeo sabia a diferenccedila entre um quadrado e um

retacircngulo Sabiam que existia diferenccedila entre um triangulo e um retacircngulo mas natildeo

sabiam expressar isso matematicamente ficaram surpresos em ver que podiam

estudar geometria apenas observando a planta de uma construccedilatildeo o que indica que

a matemaacutetica ensinada na escola muitas vezes natildeo faz qualquer relaccedilatildeo com o

mundo real o concreto

Utilizando o referencial da modelagem que diz que o aluno possui liberdade

para procurar suas proacuteprias alternativas de soluccedilatildeo optou-se por levar o aluno a


24

buscar as informaccedilotildees sobre as figuras que utilizaram em livros que previamente o

grupo de monitores havia reservado

Bittencourt (2001) (apud Neacuteri 2004) ressalta que o contexto no qual vivemos

e fazemos nossa educaccedilatildeo na atualidade natildeo pode mais ser pautado pelos antigos

moldes de ensino extremamente estaacuteticos e nada relacionais que dificultam a

interaccedilatildeo professor-aluno e o processo e aprendizagem Faz-se necessaacuterio o

diaacutelogo e a articulaccedilatildeo da escola com o universo do trabalho para ampliar os

espaccedilos de reflexatildeo conduzindo a novas competecircncias e habilidades

Seguindo essa linha apoacutes a pesquisa sentamos em ciacuterculo e discutimos as

propriedades estudadas bem como a sua importacircncia Fizemos no quadro

demonstraccedilotildees de algumas dessas propriedades Observamos as figuras que

compunham as salas do coleacutegio onde estaacutevamos e imaginamos o porquecirc de

estarem ali com base nas suas propriedades Algueacutem observou que quase sempre

o triangulo era utilizado na estrutura de madeira que sustentava o telhado Quando

perguntado qual seria o porquecirc de se colocar um triangulo e natildeo um retacircngulo

respondeu que para economizar madeira Outro discordou segundo o que havia

pesquisado os acircngulos de um triangulo natildeo se deformam mesmo quando sob o

peso do telhado Disse isso e foi mostrar no quadro que a soma dos acircngulos

internos de um triangulo sempre daacute 180ordm Alguns concordavam outros discordavam

e num instante todos os grupos discutiam em torno das propriedades

Olhaacutevamos uns para os outros nos perguntando como alunos que afirmaram

ateacute entatildeo natildeo entender nada sobre geometria e achar a disciplina de difiacutecil

entendimento discutiam em torno das suas propriedades Estaacutevamos maravilhados

Aquele era mesmo o caminho Tivemos no entanto que intervir O tempo jogava

contra noacutes Tiacutenhamos apenas mais trecircs encontros para cumprir o projeto e se

deixaacutessemos aquela discussatildeo se estenderia por muito tempo Claro que ela estava

sendo proveitosa mas tempo era tudo o que natildeo tiacutenhamos Abordamos as principais

duacutevidas que tinham que anotaacutevamos enquanto discutiam

Lanccedilamos algumas situaccedilotildees-problema que envolviam geometria e que

poderiam ser encontradas no cotidiano como por exemplo o caacutelculo da aacuterea de

uma sala onde se queria colocar determinado tipo de piso Novamente notaacutevamos o

entusiasmo com o qual trabalhavam para resolver antes dos outros grupos


25

Percebiacuteamos entusiasmados que agora jaacute natildeo tinham aquele problema inicial na

identificaccedilatildeo das figuras

Vencida mais esta etapa estaacutevamos jaacute chegando ao final do dia Apoacutes

distribuir caneta e papel entre eles pedimos-lhes que avaliassem o aprendizado do

dia Antes do teacutermino cada grupo foi incumbido de durante a semana pesquisar

preccedilos de pisos e tintas O resultado da pesquisa seria utilizado no encontro

seguinte

42 EMPECILHOS ENCONTRADOS

Trecircs dias antes do encontro marcado os servidores puacuteblicos estaduais

deflagraram greve assim quando chegamos ao coleacutegio natildeo encontramos os alunos

Apoacutes conversar com a professora orientadora do Estaacutegio resolvemos ir em

busca dos alunos Procuramos alguns deles em suas residecircncias e pedimos que

avisassem aos colegas que no saacutebado seguinte fariacuteamos o nosso segundo

encontro

43 O SEGUNDO ENCONTRO

Chovia quando chegamos agrave escola Talvez esse tenha sido um dos motivos

pelo qual apenas sete alunos compareceram Ficamos em duacutevida se deveriacuteamos

iniciar os trabalhos com um nuacutemero tatildeo pequeno de pessoas Decidimos trabalhar

apenas pela manhatilde e ver se chegaria mais algueacutem o que natildeo aconteceu Com as

plantas construiacutedas na aula anterior definimos o nuacutemero de pessoas que devia

comportar cada ambiente da escola Introduzimos aiacute a noccedilatildeo de como se fazer a

estimativa do nuacutemero de pessoas presentes nos eventos que tanto vemos e

ouvimos pelos telejornais


26

Definido o nuacutemero de pessoas calculamos que aacuterea deveria ter cada

ambiente bem como as suas dimensotildees

Terminamos as atividades da manhatilde e marcamos um terceiro encontro para a

semana seguinte Pedimos que reforccedilassem o convite aos colegas que natildeo se

fizeram presentes Teriacuteamos agora mais um encontro extra por conta da tarde que

natildeo trabalhariacuteamos

44 MAIS EMPECILHOS

A greve da Universidade ocorrida em 28 de maio de 2007 com duraccedilatildeo de 53

dias assim como das escolas da rede estadual interrompeu as atividades o que

prejudicou o andamento da proposta uma vez que houve a suspensatildeo imediata

Entre os prejuiacutezos pode-se citar a dispersatildeo dos alunos que eram as peccedilas

fundamentais para o desenvolvimento do projeto

Apoacutes quase dois meses de greve a universidade finalmente retornou agraves suas

atividades normais Juntamente com a professora orientadora o grupo reformulou o

projeto incluindo aiacute uma breve revisatildeo das propriedades geomeacutetricas estudadas

antes de retomar o projeto do ponto em que havia parado

Outro fator foram os jogos interclasses que acontecem com o objetivo de

proporcionar lazer e interaccedilatildeo entre os alunos A data marcada para sua realizaccedilatildeo

coincidiu com a volta das aulas e particularmente com a retomada do projeto jaacute que

seriam realizados no saacutebado Apenas alguns poucos alunos compareceram ao

encontro Foi decepcionante um projeto que tinha tudo para dar certo estava fadado

ao insucesso Pior ainda nos saacutebados seguintes o coleacutegio estaria em aula para

repor os dias que ficaram parados durante a greve o que significava que natildeo teria

salas disponiacuteveis para a conclusatildeo do Estaacutegio

Houve por parte da equipe um breve momento desacircnimo Algumas pessoas

poreacutem haviam visto o projeto e mostrado interesse em que terminado o Estaacutegio o

mesmo fosse desenvolvido em suas escolas Uma delas foi o professor Joatildeo

Batista diretor do Coleacutegio Estadual Joatildeo Francisco da Silva que fica no povoado de


27

Rocircmulo Campos na cidade de Itiuba Apoacutes conversar com a orientadora e adequar

o projeto entrou-se em contato com o citado professor que recebeu a proposta com

imensa satisfaccedilatildeo Junto com ele a proposta do projeto foi apresentada aos alunos

do primeiro ano do ensino meacutedio que se mostraram bastante interessados Somente

natildeo concordavam com o dia da semana Sendo a maioria deles adeptos da Igreja

Adventista do Seacutetimo Dia natildeo poderiam participar de encontros realizados aos

saacutebados Ficou combinado entatildeo que seria realizado em dois encontros segunda e

terccedila feira

45 O RECOMECcedilO

Na proposta de recomeccedilar os trabalhos estava a incerteza e a falta de

empolgaccedilatildeo considerando os inuacutemeros desacertos Porem a receptividade da

turma e o comprometimento levantaram a auto-estima do grupo Contrariando as

expectativas iniciais na segunda-feira a turma inteira compareceu agrave escola Ateacute

alguns alunos do segundo ano compareceram reclamando que a sua turma havia

sido excluiacuteda Foi lhes esclarecido que o projeto estava sendo dirigido para uma

seacuterie especiacutefica mas que podiam juntar-se aos demais mesmo sem compromisso

Como a proposta do projeto jaacute havia sido apresentada agrave turma

confeccionamos os crachaacutes dividimos os grupos e iniciamos os trabalhos do dia

com os mesmos conteuacutedos e objetivos quando do primeiro encontro no Coleacutegio

Estadual Senhor do Bonfim

Quando da reformulaccedilatildeo do projeto algumas etapas julgadas irrelevantes

foram suprimidas jaacute que agora o trabalho seria desenvolvido com alunos do Ensino

Meacutedio que supotildee-se jaacute possuir um conhecimento mais aprofundado e aleacutem disso

seria necessaacuterio fazer em dois encontros as atividades previstas para quatro Assim

juntos as equipes decidiram o nuacutemero de ambientes que deveria ter cada escola e o

nuacutemero de pessoas que deveriam comportar estabelecendo dessa maneira um

padratildeo que seria seguido por todos os grupos


28

Terminada essa atividade assim como feito anteriormente em Senhor do

Bonfim iniciou-se a construccedilatildeo das plantas onde foram exploradas as medidas de

comprimento superfiacutecie escala medidas de acircngulos entre outros conteuacutedos

matemaacuteticos sempre dando um toque real agraves propriedades antes vistas apenas de

forma teoacuterica e muitas vezes sem sentido podendo assim estabelecer um elo de

ligaccedilatildeo entre a matemaacutetica e as questotildees cotidianas que segundo Biembengut e

Hein (2003) eacute o foco principal da modelagem matemaacutetica

Dessa vez natildeo se fez uso de livros para pesquisa Afim de ganhar tempo

levamos slides contendo algumas das principais propriedades geomeacutetricas e

discutimos cada uma delas agrave medida que as iam identificando nas plantas sempre

fazendo relaccedilatildeo com o real o concreto

Nesse ponto resolvemos introduzir algo que natildeo constava do projeto original

Como estaacutevamos no laboratoacuterio de informaacutetica da escola trabalhamos o caacutelculo das

aacutereas das figuras planas com o auxiacutelio do aplicativo Microsoft-Excel Notamos que

isso fez aumentar o interesse da turma e constatamos que a ideacuteia foi vaacutelida

46 O UacuteLTIMO ENCONTRO

Distribuiacutedas entre os grupos as plantas que haviam feito no dia anterior

chegou o momento de colocar as mesmas em escala De iniacutecio natildeo sabiam do que

se tratava Alguns mapas cedidos pela biblioteca da escola justificam a

necessidade de se reduzir medidas para que determinado objeto ou regiatildeo pudesse

ser grafada em uma folha de papel Tudo entendido ficou decidido que cada

centiacutemetro desenhado no papel equivaleria a um metro de medida real Foi iniciada

entatildeo a trabalhosa atividade de redesenhar as plantas agora em escala Essa

atividade durou quase toda a manhatilde Discutiam o designer da escola Quando do

desenho agrave matildeo livre a planta ficara segundo eles perfeita Agora alguns

ambientes por apresentarem medidas diferentes jaacute natildeo se encaixavam tatildeo bem Foi

preciso em um dos grupos mudar toda a planta e ateacute redimensionar alguns

ambientes Quando perguntados se com as novas dimensotildees caberiam mais ou

menos pessoas natildeo soacute sabiam a resposta como sabiam a quantidade exata


29

A visatildeo inicial do recomeccedilo havia mudado Um projeto que teve tudo para natildeo

mais dar certo estava rendendo bons frutos

Com as plantas prontas os grupos foram orientados a sair ateacute o centro do

povoado e pesquisar o preccedilo de alguns tipos de pisos e tintas Como jaacute estava

proacuteximo o fim da manhatilde retornaram apenas no iniacutecio da tarde Tambeacutem os

monitores foram fazer a mesma pesquisa soacute que em outras lojas da cidade

No iniacutecio da tarde a primeira atividade foi recortar papel colorido para dar um

ar mais elegante aos trabalhos Natildeo demorou muito e comeccedilaram a surgir os

resultados Trabalhos lindos Um dos grupos ateacute colou flores naturais nos jardins da

sua escola Muito criativo

Com os resultados da pesquisa em matildeos cada grupo discutiu entre si qual

era o tipo de piso ideal para a sua escola Utilizando-se mais uma vez do

computador e auxiliados pelos monitores do projeto calcularam a aacuterea total da

escola afim de determinar quanto seria gasto na compra do piso Mediram as

dimensotildees das paredes da escola e repetiram o mesmo procedimento para

determinar o quanto se gastaria de tinta e quanto isso iria custar

Nesse momento iniciou-se breve discussatildeo sobre o que se gasta por ano em

uma escola com reformas por causa da depredaccedilatildeo que as mesmas sofrem O

grupo monitor argumentou com todos no sentido de conscientizar de que esse

dinheiro que eacute pago pelos contribuintes poderia ser utilizado em outras melhorias

para a escola como equipar bibliotecas e laboratoacuterios Um aluno fez questatildeo de

dizer que a depredaccedilatildeo acontecia natildeo soacute nas estruturas fiacutesicas mais tambeacutem nos

moacuteveis Relatou que na escola onde fez a oitava seacuterie passou algum tempo

sentando no chatildeo porque a maioria das cadeiras estavam quebradas Aproveitando

a discussatildeo o grupo imaginou quantas aacutervores precisariam ser derrubadas para a

confecccedilatildeo de novas cadeiras ressaltando como isso contribuiacutea para o aquecimento

global Nesse momento comeccedilou uma discussatildeo geral sobre a preservaccedilatildeo do

meio ambiente Um dos alunos cujo pai eacute funcionaacuterio do DNOCrsquoS3 falou sobre a

importacircncia da preservaccedilatildeo das matas ciliares do rio Jacurici que banha a regiatildeo e

de cujas aacuteguas depende a economia do povoado

3 DNOCrsquoS Departamento Nacional de Obras Contra a Seca


30

Um tema acabava puxando outro e todos ficavam satisfeitos vendo que um

simples projeto de geometria acabava dando margem a tanta discussatildeo Nem a

transposiccedilatildeo do Satildeo Francisco ficou fora Eacute claro sempre tentaacutevamos dar um toque

geomeacutetrico em tudo

Apoacutes encerramento das discussotildees os trabalhos ficaram expostos na escola

para o turno noturno Os alunos fizeram questatildeo de mostrar o seu trabalho e mais

uma vez tentar conscientizar os alunos desse turno sobre o ocircnus que a depredaccedilatildeo

causa aos cofres puacuteblicos e sobre a beleza que eacute estudar em uma escola

esteticamente bonita claro que faziam questatildeo de mostrar o seu trabalho em

detalhes


31

CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS

De acordo com Faria (2003) a geometria natildeo eacute soacute um dos ramos mais

fascinantes da matemaacutetica Eacute sobretudo um dos mais notaacuteveis produtos do

intelecto do homem e desempenha um papel importante e abrangente na sua

civilizaccedilatildeo Da roda aacute agrimensura das grandes construccedilotildees agraves artes visuais a

geometria estuda abstrata e idealmente os espaccedilos e as formas Assim como

outras aacutereas do conhecimento matemaacutetico a geometria faz parte do cotidiano do

homem desde os tempos mais remotos

Um dos grandes problemas encontrados para trabalhar com tal aacuterea

matemaacutetica eacute a lacuna deixada pela sua retirada durante alguns anos dos

curriacuteculos escolares Profissionais formados nessa eacutepoca encontram hoje

dificuldades imensas para adequar-se ao contexto educacional em que hoje

vivemos Mesmo profissionais formados apoacutes o retorno da Geometria ao curriacuteculo

queixam-se da capacidade dos seus alunos de abstrair conceitos geomeacutetricos

Esse projeto poreacutem acabou trazendo-nos outra visatildeo Percebemos a partir

das experiecircncias vivenciadas em sala de aula que se tem um aproveitamento

melhor quando passamos a matematizar situaccedilotildees problemas de nosso cotidiano

dando ao aluno a oportunidade de fazer descobertas desenvolver a capacidade de

pensar por si proacuteprio e de enxergar o mundo sob uma nova perspectiva

Dessa maneira a Modelagem Matemaacutetica contribuiu de maneira significativa

para a aprendizagem sendo assim consoante com Biembengut e Hein (2003)

Esta experiecircncia serviu para mostrar que a educaccedilatildeo baacutesica na escola

puacuteblica pode sim voltar a dar certo Eacute preciso apenas empenho por parte dos

profissionais atuantes e antes de tudo criatividade e vontade de pesquisar para

escolher a melhor metodologia a ser aplicada em cada turma

Vimos que as reclamaccedilotildees que muitas vezes fazemos nos referindo agrave falta de

criatividade e argumentaccedilatildeo dos nossos alunos eacute infundada Eles precisam apenas

de algo que lhes decirc uma injeccedilatildeo de animo para poderem despertar algo adormecido

pelo descaso e pela mesmice que muitas vezes a escola lhes imprime


32

Mais que belos planos de aula faz-se necessaacuterio que sejam flexiacuteveis afim de

dar asas agrave imaginaccedilatildeo dos nossos alunos e ateacute se permitir entrar em outros temas

que natildeo o proacuteprio contexto matemaacutetico Eacute preciso fazer algo que chame a atenccedilatildeo

de todos Dar ao aluno a oportunidade de aprender a fazer fazendo Trabalhar uma

matemaacutetica contextualizada e se possiacutevel dentro da realidade de cada um deles

Percebemos que teoria e praacutetica devem caminhar juntas do contraacuterio

teremos cada vez menos alunos interessados e porque natildeo dizer teremos cada vez

menos alunos nas escolas

Eacute claro sabemos que o aprendizado matemaacutetico natildeo acontece no mesmo

niacutevel para todos portanto natildeo podemos esperar que a modelagem matemaacutetica seja

a soluccedilatildeo de todos os problemas mas no desenvolvimento desse projeto mostrou-

se ser um dos caminhos a ser seguido para a formaccedilatildeo de alunos criativos criacuteticos

e conhecedores do mundo que os rodeia


33

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DAMBROacuteSIO Ubiratan Educaccedilatildeo Matemaacutetica da teoria agrave praacutetica - Campinas -SP Papirus 1986

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35

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FERNANDES Cleoni Maria Barboza Sala de aula universitaacuteria ndash rupturamemoacuteria educativa territorialidade ndash o desafio da construccedilatildeo pedagoacutegica doconhecimento Tese de Doutorado PPGEduFACEDUFRGS 1999

FERREIRA Aureacutelio Buarque de Holanda Novo Aureacutelio XXI O dicionaacuterio da liacutengua

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FREIRE P FAUNDEZ A Por uma pedagogia da pergunta 4 ed Rio de JaneiroPaz e Terra 1998 158p

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PAVANELLO Regina M O abandono do ensino de geometria uma abordagemhistoacuterica 1989 195f Dissertaccedilatildeo (Mestrado em Educaccedilatildeo) ndash UNICAMPCampinas Arquivo disponiacutevel emlthttp189116950reunioes25excedentes25elenicezuint19rtfgt Acesso em 25 deset 2007

PAVANELLO Regina M Formaccedilatildeo de possibilidades cognitivas em noccedilotildeesgeomeacutetricas Tese (Doutorado)- Faculdade de Educaccedilatildeo Universidade Estadualde Campinas Campinas 1995 Arquivo Disponiacutevel emlthttpwwwanpedorgbrreunioes23textos1906ppdfgt acesso em 20 set 2008


36

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PICONEZ Stela C Bertholo e FAZENTA Ivani C Arantes A praacutetica de ensino e oestaacutegio supervisionado 2ordf ediccedilatildeo ndash Campinas SP Papirus 1994 ndash (Coleccedilatildeomagisteacuterio formaccedilatildeo e trabalho pedagoacutegico)

PIRES Ceacutelia Maria Carolino Reflexotildees sobre os cursos de Licenciatura emMatemaacutetica tomando como referecircncia as orientaccedilotildees propostas nas DiretrizesCurriculares Nacionais para a formaccedilatildeo de professores de Educaccedilatildeo BaacutesicaIn SBEM Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Educaccedilatildeo Matemaacutetica emRevista Ano 9 n 11ordf ediccedilatildeo especial ndash abril de 2002 pp 44-56

RIBEIRO Marcus Vinicius Brasil vivo A Republica Satildeo Paulo 1997

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SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo matemaacutetica critica Ed Papirus Satildeo Paulo 1990Arquivo disponiacutevel em lthttpbooksgooglecombooksspell=1amphl=pt-BRampq=SKOVSMOSE2C+O+EducaC3A7C3A3o+matemC3A1tica+criticagt Acesso em 19 mar 2008

TEIXEIRA O P B Didaacutetica e Praacutetica de Ensino na licenciatura que conteuacutedo

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37

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wwwsbemcombrfilesix_enemComunicacao_CientificaTrabalhosCC0001682717

1Tdocgt Acesso em 01nov 2008


38

ANEXOS


Anexo 1

Universidade do Estado da Bahia ndash UNEBDepartamento de Educaccedilatildeo Campus VII ndash Senhor do BonfimEstagiaacuterio Manoel Bonfim Franccedila de JesusProjeto de estaacutegio A escola dos sonhos uma anaacutelise geomeacutetricaLoacutecus do estaacutegio Coleacutegio Estadual Senhor do Bonfim

Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO

1 Dentre os conteuacutedos de matemaacutetica estudados ateacute agora com qual vocecircmais se identificou

2 Qual a aacuterea da matemaacutetica que mais te chama a atenccedilatildeo Aacutelgebra Aritmeacuteticaou Geometria

3 Dentre as aacutereas da matemaacutetica acima citadas em qual delas vocecirc tem maisdificuldade para assimilar os conteuacutedos dados

4 Vocecirc consegue resolver problemas no seu dia a dia utilizando os conteuacutedosmatemaacuteticos aprendidos na sala de aula

5 Porque vocecirc gostaria de fazer parte do projeto A escola dos sonhos Umaanaacutelise geomeacutetrica


Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO

1 Como os alunos da oitava seacuterie do Ensino Fundamental encaram osconteuacutedos de geometria

2 Quais as principais dificuldades encontradas hoje para se ensinar geometriano Coleacutegio Estadual Senhor do Bonfim

3 Vocecirc acha que a metodologia empregada pode contribuir para um maior oumenor aprendizado Qual a metodologia que vem utilizando no ensino degeometria

4 As aulas de geometria fazem relaccedilatildeo entre a mesma e o cotidiano Satildeopraacuteticas ou apenas teoacutericas

5 O que vocecirc achou do projeto A escola dos sonhos Uma anaacutelise geomeacutetrica


Anexo 3 Desenvolvimento do projeto no Coleacutegio Estadual Senhor do Bonfim


Anexo 4 Desenvolvimento do projeto no Coleacutegio Estadual Joatildeo F da Silva








Monografia apresentada ao Departamento deEducaccedilatildeo ndash Campus VII da Universidade doEstado da Bahia como parte dos requisitosnecessaacuterios agrave obtenccedilatildeo do grau de licenciado emMatemaacutetica

Professora Maria Celeste S Castro

Orientadora

Professor Gilberto Alves dos Reis

Co-orientador

















(Hermann Hankel)


RESUMO




SUMAacuteRIO




significativa 16










REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









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universidades















14
























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caminho


16





significativa






Claro SP






















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matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


21


















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Geometria























23






























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25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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38

ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO





























(Hermann Hankel)


RESUMO




SUMAacuteRIO




significativa 16










REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO






















(Hermann Hankel)


RESUMO




SUMAacuteRIO




significativa 16










REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























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matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO
















(Hermann Hankel)


RESUMO




SUMAacuteRIO




significativa 16










REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








38

ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















RESUMO




SUMAacuteRIO




significativa 16










REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


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significativa






Claro SP






















17


























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matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















SUMAacuteRIO




significativa 16










REFEREcircNCIAS 33

ANEXO 38


8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















8








acontece






















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















9













de forma atraente



















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























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matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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seguinte







encontro











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44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















10







proposta




















atividades


11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























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matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


21


















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Geometria























23






























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encontro











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44 MAIS EMPECILHOS























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45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















11







realidade

























12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


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significativa






Claro SP






















17


























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matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


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Geometria























23






























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seguinte







encontro











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44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















12














autores








da Matemaacutetica









13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























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matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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seguinte







encontro











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44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















13













universidades















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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seguinte







encontro











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44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















14
























15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















15


















caminho


16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















16





significativa






Claro SP






















17


























18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























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geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








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45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































32















33















34














35














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















17


























18






matemaacutetica







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2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








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45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































32















33















34














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















18






matemaacutetica







19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















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Geometria























23






























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26







44 MAIS EMPECILHOS























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45 O RECOMECcedilO




















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detalhes


31































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33















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















19





2007 Teixeira 1994)

























20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















20
















geomeacutetrica


21


















22




Geometria























23






























24


































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seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























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terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































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detalhes


31































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33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















21


















22




Geometria























23






























24


































25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















22




Geometria























23






























24


































25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















23






























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seguinte







encontro











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44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








38

ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















24


































25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








38

ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















25







seguinte







encontro











26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








38

ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















26







44 MAIS EMPECILHOS























27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














37








38

ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















27








terccedila feira

45 O RECOMECcedilO




















28































29

































30










detalhes


31































32















33















34














35














36














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















28































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detalhes


31































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33















34














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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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detalhes


31































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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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detalhes


31































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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















31































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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















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ANEXOS


Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















Anexo 1


Nome do alunoTurma

QUESTIONAacuteRIO







Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO















Anexo 2


Nome do professor

QUESTIONAacuteRIO







































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Monografia Manoel Matemática 2008

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