MOUVEMENTS D'UN SOLIDE

7/24/2019 MOUVEMENTS D'UN SOLIDE

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M3 : MOUVEMENTS PARTICULIERS D'UN SOLIDE

I.

NOTION DE SOLIDE

II.

SOLIDE EN TRANSLATION

III.

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE

IV.

EXEMPLES DAPPLICATION

V.

ANALOGIE ENTRE MOUVEMENT LINEAIRE ETROTATION AUTOUR DUN AXE FIXE


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M3 : MOUVEMENTS PARTICULIERS D'UN SOLIDE

I.

NOTION DE SOLIDE

I.1.Dfinition d'un solide= systme indformable: la distance entre deux points quelconques dusolide reste constante au cours du temps.

modle

Ensemble de solides un solide (en gnral)Rsultats tablis pour les systmes matriels applicables aux solides

(= systmes particuliers).


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2

I.2.

Champ des vitesses d'un solide= rfrentiel de lobservateur,

S= rfrentiel li au solide.

( / ) r

S : vecteur rotation de Sdans .

M et P, 2 points du solide (S) : Sv(P / ) v(M / ) ( / ) MP = + r r ur uuur

Torseur des vitesses outorseur cinmatiquedun solide :

*rsultante = vecteur rotation ( / ) r

S ;

*moment en P= ( / )r

v P .Mouvements particuliers :

* Solide en translation

* Solide en rotation autour d'un axe fixe


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I.3.

Energie cintique d'un solide

Systme matriel quelconque : 2c 1E (S/ ) = v (M / )dm2

V

Autre forme pour un solide

B, point quelconque du solide :

Energie cintique du solideS dans = 1/2 comoment des torseurscintique et cinmatique.

Rsultat indpendant du point B choisi.


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I.4.

Puissance reue par un solide

Expression de la puissance

Puissance reue par (S) t : P(t) = V( )

v( ) f ( )S

M d r

r

.

B : point quelconque du solide.

P(t) = R v(B)ur r

+ B uur ur

M pour un solide

Puissance reue par un solide = comoment du torseur cinmatique et du

torseur des actions qui s'exercent sur (S).

(Rsultat indpendant de B)


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Puissance des actions intrieuresSolide par dfinition indformable puissance des actions intrieuresnulle.

La puissance des actions intrieures un solide est nulle dans toutrfrentiel : P int (Solide/ ) = 0

On retrouve ce rsultat en utilisant, Pint,(t) = intR v(B)ur r

+ B,int uur ur

M

pour un solide et B,intintR ,

uurr

M =0 pour tout systme.


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I.5.

Thorme de lnergie cintique

Thorme de la puissance cintique pour un solide :

c/d(E )

dt

= Pext

Thorme de lnergie cintique pour un solide

Dans un rfrentiel Galilen, la variation de lnergie cintique dun

solide (S) entre deux instants est gale la somme des travaux des

actions extrieures sexerant sur (S): c extE W =


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Thorme de lnergie mcanique pour un solide :

Travail des actions intrieures nul, seule une partie des actions

extrieures drivent d'un potentiel.

m ext,ncE W =

Systme conservatif : uniquement des forces conservatives Em= cte


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II.

SOLIDE EN TRANSLATION

II.1.

Champ des vitesses et des acclrations

Champ des vitesses uniforme dans tout le solide.

Et M et P (S), (P / ) (M / ) (S/ )

= = .

Suivant la nature de la trajectoire dun point du

solide, on peut avoir une translation rectiligne,

circulaire ou quelconque.

Exemple : Translation circulaire

A


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II.2.

Elments cintiques

Solide (S) en translation dans : mmes lments cintiques qu'unpoint matriel fictif confondu avec G ( centre d'inertie) o serait

concentre toute la masse de (S).

II.3.Dynamique d'un solide en translation

Thorme de la rsultante cintique :

/

ext

d

Rdt

=

r

r

Gv

M


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Thorme de la puissance cintique:c/d(E )

dt

= Pext

Puissance reue : P(t) = extR v(B)ur r

(B qcq du solide) car

S/ 0 =ur r

extR

: rsultante des actions extrieures s'exerant sur le solide.

2

/

1d( )

2dt

GMv

= extR .v(G / )r

r

Thorme de lnergie cintique :


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III. SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE

Solide en rotation dans autour de l'axe fixe passant par O et dirig par u

r

.

(t) u

=

r

: vecteur rotation du solide dans .

III.1.

Champ des vitesses

Chaque point P du solide dcrit un cercle daxe .


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III.2.Elments cintiques dun solide en rotation autour dun axe fixe

III.2.1.

Rsultante cintique

III.2.2. Moment cintique par rapport

Dfinition: O.u =

ur

r

,

O

ur

: moment cintique de (S) en un point O de .

Solide en rotation autour de :(S/) =

[J] =

Jdpend de la forme du solide et de la rpartition des masses lintrieur du solide ; dautant plus grand que le solide est massif et que

la masse est distribue grande distance de .

Mr

r

d,

dm = (M).d


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2a

a

Exemples :- Cylindre homogne de rvolution, de masse M,

rayon R, hauteur h : J=1

2MR

2

- Barre homogne de longueur 2a :

J=1

3M a

2

-Sphre homogne de rayon R : J=25 M R2

Remarque : Additivit des moments d'inertie

S1et S22 solides disjoints, si S = { S1, S2} est un solide alors :

h

R


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Thorme de Huygens

Relie les moments dinertie Jet JGde S

Gparallle et passant par le centre de masse G du solide.

Enonc:G

2

J = md + J

o d est la distance de G laxe .

III.2.3. Energie cintique


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III.3. Dynamique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

suppos galilen.III.3.1. Thorme du moment cintique en projection sur

Rappel pour un systme matriel quelconque(S) en rotation autour dun axe fixe dans .Thorme du moment cintique projet sur :

Cas d'un solide en rotation autour de fixe

Thorme du moment cintique :


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Liaison parfaite :

Deux solides (S) et () en liaison pivot si le seul mouvement possible de

(S) par rapport () est une rotation autour d'un axe li ().

Liaison pivot parfaite(sans frottements) si la composante sur du

moment des actions de contact, en un point A de , est nulle:

MA, contact.

u

= 0 .

Dans ces mmes conditions la puissance des actions mcaniques de

contact de () sur (S) est nulle : Pcontact = 0

Liaison pivot parfaite : M, ext

= moment par rapport des actions

mcaniques extrieures autres que celles de contact.


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Conservation du moment cintique par rapport laxe :

Si M, ext= 0 alorsd

dt

= 0 : le moment cintique du systme par

rapport se conserve.

Moment d'une force par rapport un axe :

Mindpendant de O, point fixe de

F (P) un champ de force : M=

MO. u

= ( OP

F ). u

.

M= F. r

Distance de M laxe : bras de levierComposante orthoradiale de F


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Signification physique

Mdtermine les effets dune force pour ce qui est de la rotation du

solide autour de .

Fr rencontre : sans effet sur la rotation,tend arracher le solide.

Fzparallle : tend souleverle solide.Ftend provoquer la rotationdautant plus

facilement que M est loign de .

Signe de M: M> 0, rotation dans le sens positif de .

Fr

F

Fz

z

u P

H r

Solide mobile autour de


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III.3.2.

Thorme de l'nergie cintique

Rappel :

Thorme de la puissance cintique pour un solide:"Pour un solide, en mouvement dans un rfrentiel galilen , ladrive de l'nergie cintique est gale la puissance des actions

mcaniques extrieures qui s'exercent sur le solide."

dt

dC

E

= Pext

Rappel : B (S), dtd CE

= Pext.= extR .v(B / )

+ B,ext .

M

= ext GR .v

+ G,ext .

M


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Solide en rotation autour d'un axe fixe de :

Puissance des actions extrieures :Cas usuel : liaison parfaite

O point fixe de Thormes de la puissance cintique et du moment cintique en

projection sur mme quation diffrentielle.

Remarque :non galilen, tenir compte dans le moment de toutes les

actions extrieures, y compris les forces d'inertie.

Thorme de lnergie cintique pour un solide en rotation autourdun axe fixe :


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IV.

EXEMPLES DAPPLICATION

IV.1.

PouliePoulie de rayon a = solide de rvolution tournant autour dun axe

et prsentant une gorge dans laquelle peut senrouler un fil.

Hypothses : Poulie tourne sans frottement autour de son axe

Masse du fil ngligeable

Dterminer lacclration angulaire de la poulie.

2T

1T

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IV.2.

Pendule pesant

Solide (S) de forme quelconque, de masse m, de centre de masse G,mobile sans frottement (liaison parfaite) autour daxe horizontal Oz.

Position de (S) repre par = (r

ux ,OG

).

Moment dinertie du solide par rapport Oz = J.

IV.2.1. Equation du mouvement

IV.2.2.

Oscillations de faibleamplitude

IV.2.3. Oscillations de grandeamplitude

G

a

O

r

u x

r

u z

r

u r

r

u m.g

r

r

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IV.3.

Mise en mouvement dun volant par un rotor

Un rotor (S1) et un volant (S2)peuvent tourner sans

frottement autour dun axe de

rotation horizontal commun(zz).

J1et J2leurs moments dinertie

par rapport (zz).

(S1) tourne la vitesse uniforme 0et (S2) est fixe.A t = 0 on met en contact D1et D2solidaires de (S1) et (S2).

Au bout dun certain temps et du fait des frottements entre D1et D2 le

volant et le rotor tournent la mme vitesse .Dterminer .

Faire un bilan dnergie.

S1 S2

D1D2z z

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V.

ANALOGIE ENTRE MOUVEMENT LINEAIRE ETROTATION AUTOUR DUN AXE FIXE

Problmes un degr de libert

x

v =

x

=

v

=

x

= m J

Px= m.v Moment cintique : J= J

2

C

1E mv

2

= E1

2JC

2

=

M(m)xx' x(t)

G

(t)

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Force F Moment MLoi fondamentale de la

Dynamique : m x F

=

Thorme du moment cintique / :

J

=M

Puissance : P F.v = F.x=

r

r

P . .

= = M M

Petits mouvements autour dune position dquilibre stable

Force de rappel : F = - k.x

Modle: k = raideur du ressort, x

longation par rapport la position

dquilibre stable

Moment de rappel : = - C.

Modle:C = constante de torsion, angle de torsion par rapport la

position dquilibre stable

Energie potentielle lastique du

ressort : 2P1

E kx2

=

Energie potentielle lastique de

torsion : 2P1

E C2

=

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nergie potentielle lastique d'un fil de torsion ou ressort spirale

Fil de torsion. Ressort spirale

Fil de torsion li en deux points P et Q deux solides.

Angle de torsion du fil : = P-Q.

Fil exerce sur le solide en P un couple: Pur

= - C ur

C : constante de torsion du fil et ur

, vecteur unitaire donnant

l'algbrisation des angles.

Fil exerce sur le solide en Q un couple: Qur

= - Pur

Travail lmentaire de ces deux couples :

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