Optimizacion y Programacion Lineal

Metodo Simplex: Minimizacion

31 de enero de 2011

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 1 / 14

Minimizacion

Minimizacion

En la definicion del Simplex, este se vio para maximizar un PL. Es facil utilizarlopara minimizar. Existen dos estrategias posibles.

Cambiar la funcion objetivo z por −z y utilizar el Simplex sin modificacion.

Min z = f (x) Max w = −f (x)

Modificar la estrategia de seleccion de la variable entrante: aquella con elcoeficiente negativo mas grande, por: aquella con el coeficiente positivo masgrande. En este caso, se corresponde con aquella variable con el factor dedisminucion mas grande. Para determinar la variable basica saliente se sigueel mismo proceso que en el Simplex de maximizacion.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 2 / 14

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia 1:

Minimice z = −3 x1 + 8 x2

sujeto a4 x1 + x2 ≤ 132 x1 + 3 x2 ≤ 6

con x1, x2 ≥ 0.

SolucionLa forma estandar queda:

Maximice w = −z = −(−3 x1 + 8 x2)

sujeto a4 x1 + x2 + s1 = 132 x1 + 3 x2 + s2 = 6

con x1, x2, s1, s2 ≥ 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 3 / 14

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia 1:

Minimice z = −3 x1 + 8 x2

sujeto a4 x1 + x2 ≤ 132 x1 + 3 x2 ≤ 6

con x1, x2 ≥ 0.Solucion

La forma estandar queda:

Maximice w = −z = −(−3 x1 + 8 x2)

sujeto a4 x1 + x2 + s1 = 132 x1 + 3 x2 + s2 = 6

con x1, x2, s1, s2 ≥ 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 3 / 14

Ejemplo 1

La version matricial de

Maximice w = −z = −(−3 x1 + 8 x2)

sujeto a4 x1 + x2 + s1 = 132 x1 + 3 x2 + s2 = 6

con x1, x2, s1, s2 ≥ 0, queda:w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1

0 2 3 0 1 6 s2

la ventaja de tener los lados derechos mayores o iguales que cero y desigualdades

del tipo ≤ es que tenemos una SBF: w = 0, s1 = 13, s2 = 6, x1 = 0 y x2 = 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 4 / 14

Ejemplo 1

Revisando la Tabla Simplexw x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1

0 2 3 0 1 6 s2

observamos que en el renglon cero hay una variable no basica (x1) con coeficiente

negativo (−3): esto indica que si se aumenta el valor de x1, entonces el valor de w

aumentara: por consiguiente la solucion basica factible que se tiene no es optima.

Escogemos la variable no basica que tiene el coeficiente negativo mayor en el

renglon cero (En caso de empate, podemos romperlo escogiendo la mas a la

izquierda). En nuestro caso x1 es la variable no basica entrante.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 5 / 14

Ejemplo 1

Revisando la Tabla Simplexw x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1

0 2 3 0 1 6 s2

observamos que en el renglon cero hay una variable no basica (x1) con coeficiente

negativo (−3): esto indica que si se aumenta el valor de x1, entonces el valor de w

aumentara: por consiguiente la solucion basica factible que se tiene no es optima.

Escogemos la variable no basica que tiene el coeficiente negativo mayor en el

renglon cero (En caso de empate, podemos romperlo escogiendo la mas a la

izquierda). En nuestro caso x1 es la variable no basica entrante.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 5 / 14

Ejemplo 1

Nuestra meta es subir el valor de x1 lo mas posible conservando una SBF. Paraello debemos escoger cual es la variable basica a salir. Revisando la Tabla Simplex

w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1 13/40 2 3 0 1 6 s2 3

siendo x2 variable no basica (x2 = 0), vemos que los renglones 1 y 2 representan:

4 x1 + s1 = 12 → s1 = 13− 4 x1

2 x1 + s2 = 6 → s2 = 6− 2 x1

Por tanto, de la primera relacion se tiene que x1 puede subir hasta 3.25 = 13/4

mientras que de la segunda vemos que x1 puede subir hasta 3 = 6/2. Elegimos

subir x1 hasta 3 lo que hara que s2 valga 0. s2 es la variable basica saliente.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 6 / 14

Ejemplo 1

Nuestra meta es subir el valor de x1 lo mas posible conservando una SBF. Paraello debemos escoger cual es la variable basica a salir. Revisando la Tabla Simplex

w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1 13/40 2 3 0 1 6 s2 3

siendo x2 variable no basica (x2 = 0), vemos que los renglones 1 y 2 representan:

4 x1 + s1 = 12 → s1 = 13− 4 x1

2 x1 + s2 = 6 → s2 = 6− 2 x1

Por tanto, de la primera relacion se tiene que x1 puede subir hasta 3.25 = 13/4

mientras que de la segunda vemos que x1 puede subir hasta 3 = 6/2. Elegimos

subir x1 hasta 3 lo que hara que s2 valga 0. s2 es la variable basica saliente.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 6 / 14

Ejemplo 1

Para cambiar la variable basica s2 por la variable no basica x1 hacemos sobre laTabla Simplex

w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1

0 2 3 0 1 6 s2

las operaciones: 1.- R3 ← 1

2R3, 2.- R1 ← R1 − 3R3, 3.- R2 ← R2 − 4R3 paraobtener:

w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 0 252 0 3

2 9 w0 0 −5 1 −2 1 s1

0 1 32 0 1

2 3 x1

La cual representa la SBF w = 9, x1 = 3, x2 = 0, s1 = 1, s2 = 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 7 / 14

Ejemplo 1

Para cambiar la variable basica s2 por la variable no basica x1 hacemos sobre laTabla Simplex

w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 −3 8 0 0 0 w0 4 1 1 0 13 s1

0 2 3 0 1 6 s2

las operaciones: 1.- R3 ← 1

2R3, 2.- R1 ← R1 − 3R3, 3.- R2 ← R2 − 4R3 paraobtener:

w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 0 252 0 3

2 9 w0 0 −5 1 −2 1 s1

0 1 32 0 1

2 3 x1

La cual representa la SBF w = 9, x1 = 3, x2 = 0, s1 = 1, s2 = 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 7 / 14

Ejemplo 1

Al revisar la Tabla del Simplex:w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 0 252 0 3

2 9 w0 0 −5 1 −2 1 s1

0 1 32 0 1

2 3 x1

observamos que las variables no basicas tienen coeficiente positivo en el rengloncero: es decir, que aumentando su valor harıan que w disminuyera. Por tanto, laSBF es optima.

La regla es que: si las variables no basicas tienen coeficiente positivo en el

renglon cero de la tabla Simplex, entonces la SBF actual es optima (En problemas

de maximizacion)

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 8 / 14

Ejemplo 1

Al revisar la Tabla del Simplex:w x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 0 252 0 3

2 9 w0 0 −5 1 −2 1 s1

0 1 32 0 1

2 3 x1

observamos que las variables no basicas tienen coeficiente positivo en el rengloncero: es decir, que aumentando su valor harıan que w disminuyera. Por tanto, laSBF es optima.

La regla es que: si las variables no basicas tienen coeficiente positivo en el

renglon cero de la tabla Simplex, entonces la SBF actual es optima (En problemas

de maximizacion)

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 8 / 14

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia 2:

Minimice z = −2 x1 − 3 x2

sujeto ax1 + x2 ≤ 15x1 + 2 x2 ≤ 20

con x1, x2 ≥ 0.

SolucionLa forma estandar queda:

Minimice z = −2 x1 − 3 x2

sujeto ax1 + x2 + s1 = 15x1 + 2 x2 + s2 = 20

con x1, x2, s1, s2 ≥ 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 9 / 14

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia 2:

Minimice z = −2 x1 − 3 x2

sujeto ax1 + x2 ≤ 15x1 + 2 x2 ≤ 20

con x1, x2 ≥ 0.Solucion

La forma estandar queda:

Minimice z = −2 x1 − 3 x2

sujeto ax1 + x2 + s1 = 15x1 + 2 x2 + s2 = 20

con x1, x2, s1, s2 ≥ 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 9 / 14

Ejemplo 2

La version matricial deMinimice z = −2 x1 − 3 x2

sujeto ax1 + x2 + s1 = 15x1 + 2 x2 + s2 = 20

con x1, x2, s1, s2 ≥ 0, queda:z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 2 3 0 0 0 z0 1 1 1 0 15 s1

0 1 2 0 1 20 s2

la ventaja de tener los lados derechos mayores o iguales que cero y desigualdades

del tipo ≤ es que tenemos una SBF: z = 0, s1 = 15, s2 = 20, x1 = 0 y x2 = 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 10 / 14

Ejemplo 2

De la matriz z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 2 3 0 0 0 z0 1 1 1 0 15 s1

0 1 2 0 1 20 s2

15 = 15/110 = 20/2

deducimos que: La variable no basica entrante es x2 (La variable no-basica con el

coeficiente positivo mas grande (3) en el renglon cero, en el caso de

minimizacion). Y que la variable basica saliente es s2 (La variable basica que

impone una mayor restriccion al crecimiento de la variable entrante: la deja crecer

solo hasta 10).

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 11 / 14

Ejemplo 2

Para cambiar la variable basica s2 por la variable no basica x2 hacemos sobre laTabla Simplex

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 2 3 0 0 0 z0 1 1 1 0 15 s1

0 1 2 0 1 20 s2

las operaciones: 1.- R3 ← 1

2R3, 2.- R1 ← R1 − 2R3, 3.- R2 ← R2 − R3 paraobtener:

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 12 0 0 − 3

2 −30 z0 1

2 0 1 − 12 5 s1

0 12 1 0 1

2 10 x2

La cual representa la SBF z = −30, x1 = 0, x2 = 10, s1 = 5, s2 = 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 12 / 14

Ejemplo 2

Para cambiar la variable basica s2 por la variable no basica x2 hacemos sobre laTabla Simplex

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 2 3 0 0 0 z0 1 1 1 0 15 s1

0 1 2 0 1 20 s2

las operaciones: 1.- R3 ← 1

2R3, 2.- R1 ← R1 − 2R3, 3.- R2 ← R2 − R3 paraobtener:

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 12 0 0 − 3

2 −30 z0 1

2 0 1 − 12 5 s1

0 12 1 0 1

2 10 x2

La cual representa la SBF z = −30, x1 = 0, x2 = 10, s1 = 5, s2 = 0.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 12 / 14

Ejemplo 2

De la matriz z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 12 0 0 − 3

2 −30 z0 1

2 0 1 − 12 5 s1

0 12 1 0 1

2 10 x2

10 = 5/(1/2)20 = 10/(1/2)

deducimos que la variable no basica entrante es x1 y que la variable basica

saliente es s1.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 13 / 14

Ejemplo 2

Para cambiar la variable basica s1 por la variable no basica x1 hacemos sobre laTabla Simplex

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 12 0 0 − 3

2 −30 z0 1

2 0 1 − 12 5 s1

0 12 1 0 1

2 10 x2

las operaciones: 1.- R2 ← 2R2, 2.- R1 ← R1 − 1/2R3, 3.- R3 ← R3 − 1/2R3 paraobtener:

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 0 0 −1 −1 −35 z0 1 0 2 −1 10 x1

0 0 1 −1 1 5 x2

La cual representa la SBF z = −35, x1 = 10, x2 = 5, s1 = 0, s2 = 0. La cual es

optima.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 14 / 14

Ejemplo 2

Para cambiar la variable basica s1 por la variable no basica x1 hacemos sobre laTabla Simplex

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 12 0 0 − 3

2 −30 z0 1

2 0 1 − 12 5 s1

0 12 1 0 1

2 10 x2

las operaciones: 1.- R2 ← 2R2, 2.- R1 ← R1 − 1/2R3, 3.- R3 ← R3 − 1/2R3 paraobtener:

z x1 x2 s1 s2 RHS VB

1 0 0 −1 −1 −35 z0 1 0 2 −1 10 x1

0 0 1 −1 1 5 x2

La cual representa la SBF z = −35, x1 = 10, x2 = 5, s1 = 0, s2 = 0. La cual es

optima.

Metodo Simplex: Minimizacion () Optimizacion y Programacion Lineal 31 de enero de 2011 14 / 14