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M13/5/MATME/SP2/ENG/TZ1/XX– 2 –

0212

Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be supported by working and/or explanations. In particular, solutions found from a graphic display calculator should be supported by suitable working, for example if graphs are used to find a solution, you should sketch these as part of your answer. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working.

Section a

Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines if necessary.

1. [Maximum mark: 7]

An arithmetic sequence is given by 5, 8, 11,….

(a) Write down the value of d . [1 mark]

(b) Find

(i) 100u ;

(ii) 100S . [4 marks]

(c) Given that 1502nu = , find the value of n . [2 marks]

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turn over 0312


Consider the following cumulative frequency table.

x Frequency cumulative frequency5 2 215 10 1225 14 2635 p 3545 6 41

(a) Find the value of p . [2 marks]

(b) Find

(i) the mean;

(ii) the variance. [4 marks]

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0412


In the expansion of 12(3 2)x − , the term in 5x can be expressed as 12

(3 ) ( 2)p qxr

× × − .

(a) Write down the value of p , of q and of r . [3 marks]

(b) Find the coefficient of the term in 5x . [2 marks]

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turn over 0512


Consider the system of equations 2.5

12 2 3

x y zx y

x y z

− − + =+ =

− − + = −

This system can be represented by the matrix equation =AX B , where xyz

=X .

(a) (i) Write down the matrix A .

(ii) Write down the matrix 1−A . [3 marks]

(b) Hence, find X . [3 marks]

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0612


The velocity of a particle in 1ms − is given by sine 1tv = − , for 0 5t≤ ≤ .

(a) On the grid below, sketch the graph of v . [3 marks]

v

t

–1

1

–2

1

2

–1 2 3 4 50

(b) (i) Write down the positive t-intercept.

(ii) Find the total distance travelled by the particle in the first five seconds. [5 marks]

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turn over 0712


Let f and g be functions such that ( ) 2 ( 1) 5g x f x= + + .

(a) The graph of f is mapped to the graph of g under the following transformations:

vertical stretch by a factor of k , followed by a translation pq

.

Write down the value of

(i) k ;

(ii) p ;

(iii) q . [3 marks]

(b) Let ( ) (3 )h x g x= − . The point A(6, 5) on the graph of g is mapped to the point A′ on the graph of h . Find A′ . [3 marks]

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0812


A random variable X is normally distributed with 150µ = and 10σ = .

Find the interquartile range of X .

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Turn over 0912

Do NOT write solutions on this page.

Section B

Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page.


The diagram shows a circle of radius 8 metres. The points ABCD lie on the

circumference of the circle.

BC = 14 m, CD = 11.5 m, AD = 8 m, ÂDC = 104F= , and ˆBCD F=

(a) Find AC. [3 marks]

(b) (i) Find ÂCD .

ii ence find ÂCB . [5 marks]

(c) Find the area of triangle ADC. [2 marks]

d ence or other ise find the total area o the shaded re ions. [4 marks]

ÂDC = 104F ˆBCD F

73!

104!

11.5

14

8

A

B

C

D


1012



Let ( )0.2

100( )1 50e xf x

−=

+. Part of the graph of f is shown below.

y

x50

(a) Write down (0)f . [1 mark]

(b) Solve ( ) 95f x = . [2 marks]

(c) Find the range of f . [3 marks]

(d) Show that ( )

0.2

20.2

1000e( )1 50e

x

xf x

−

−′ =

+. [5 marks]

(e) Find the maximum rate of change of f . [4 marks]


1112

diagram not to scale



A Ferris wheel with diameter 122 metres rotates clockwise at a constant speed. The wheel completes 2.4 rotations every hour. The bottom of the wheel is 13 metres above the ground.

ground13

122

A seat starts at the bottom of the wheel.

(a) Find the maximum height above the ground of the seat. [2 marks]

After t minutes, the height h metres above the ground of the seat is given by

74 cosh a bt= + .

(b) (i) Show that the period of h is 25 minutes.

(ii) Write down the exact value of b . [2 marks]

(c) Find the value of a . [3 marks]

(d) Sketch the graph of h , for 0 50t≤ ≤ . [4 marks]

(e) In one rotation of the wheel, find the probability that a randomly selected seat is at least 105 metres above the ground. [5 marks]

M09/5/MATME/SP2/ENG/TZ1/XX

2209-7304

– 3 –

Turn over

Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be supported by working and/or explanations. In particular, solutions found from a graphic display calculator should be supported by suitable working, e.g. if graphs are used to find a solution, you should sketch these as part of your answer. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working.

SECTION A

Answer all the questions in the spaces provided. Working may be continued below the lines, if necessary.


Inanarithmeticseries,thefirsttermis–7andthesumofthefirst20termsis620.

(a) Findthecommondifference. [3 marks]

(b) Findthevalueofthe78thterm. [2 marks]

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ThecircleshownhascentreOandradius3.9cm.

PointsAandBlieonthecircleandangleAOB is1.8radians.

(a) FindAB. [3 marks]

(b) Findtheareaoftheshadedregion. [4 marks]

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2209-7304

– 5 –

Turn over


Let f xx( ) 3

21, g x

x( ) cos43

1.Let h x g f x( ) ( ) ( ) .

(a) Findanexpressionfor h x( ) . [3 marks]

(b) Writedowntheperiodof h . [1 mark]

(c) Writedowntherangeof h . [2 marks]

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ArandomvariableX isdistributednormallywithmean450andstandarddeviation20. (a) FindP ( 475)X . [2 marks]

(b) GiventhatP (X a) .0 27 ,finda. [4 marks]

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Turn over


Two lines with equations r1

231

53

2s and r2

922

351

t intersect at the

pointP.FindthecoordinatesofP.

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2209-7304

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Inageometricseries,u1181

andu 413.

(a) Findthevalueofr. [3 marks]

(b) Findthesmallestvalueofnforwhich Sn 40 . [4 marks]

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Inanygivenseason,asoccerteamplays65%oftheirgamesathome.Whentheteamplaysathome,theywin83%oftheirgames.Whentheyplayawayfromhome,theywin26%oftheirgames.

Theteamplaysonegame.

(a) Findtheprobabilitythattheteamwinsthegame. [4 marks]

(b) Iftheteamdoesnotwinthegame,findtheprobabilitythatthegamewasplayedathome. [4 marks]

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Do NOT write on this page.

SECTION B

Answer all the questions on the answer sheets provided. Please start each question on a new page.


Afishermancatches200fish tosell. Hemeasures the lengths, l cmof thesefish,and theresultsareshowninthefrequencytablebelow.

Length l cm 0 10l 10 20l 20 30l 30 40l 40 60l 60 75l 75 100l

Frequency 30 40 50 30 33 11 6

(a) Calculateanestimateforthestandarddeviationofthelengthsofthefish. [3 marks]

(b) Acumulativefrequencydiagramisgivenbelowforthelengthsofthefish.

(This question continues on the following page)

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2209-7304

– 11 –

Turn over


(Question 8 (b) continued)

Usethegraphtoanswerthefollowing.

(i) Estimatetheinterquartilerange.

(ii) Given that 40% of the fish have a length more than k cm, find the valueofk. [6 marks]

Inordertosellthefish,thefishermanclassifiesthemassmall,mediumorlarge.

Smallfishhavealengthlessthan20cm.Mediumfishhavealengthgreaterthanorequalto20cmbutlessthan60cm.Largefishhavealengthgreaterthanorequalto60cm.

(c) Writedowntheprobabilitythatafishissmall. [2 marks]

Thecostofasmallfishis$4,amediumfish$10,andalargefish$12.

(d) Copyandcompletethefollowingtable,whichgivesaprobabilitydistributionforthecost$X .

Cost $X 4 10 12

P ( )X x 0.565

[2 marks]

(e) FindE ( )X . [2 marks]

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2209-7304

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Let f x ax bx c( ) 2 wherea, bandcarerationalnumbers.

(a) ThepointP ( , )4 3 liesonthecurveoff .Showthat16 4 3a b c . [2 marks]

(b) ThepointsQ(6, 3) andR ( , )2 1 alsolieonthecurveoff .Writedowntwootherlinearequationsina, bandc. [2 marks]

(c) ThesethreeequationsmaybewrittenasamatrixequationintheformAX B ,

where Xabc

.

(i) WritedownthematricesAandB.

(ii) Writedown A 1 .

(iii) Hence orotherwise,find f x( ) . [8 marks]

(d) Write f x( ) in the form f x a x h k( ) ( )2 , where a, h and k are rationalnumbers. [3 marks]


Let f x x x( ) 3 4 1 .

(a) Expand ( )x h 3 . [2 marks]

(b) Usetheformula f xf x h f x

hh( ) lim ( ) ( )

0toshowthat

thederivativeof f x( ) is 3 42x . [4 marks]

(c) ThetangenttothecurveoffatthepointP ( , )1 2 isparalleltothetangentat apointQ.FindthecoordinatesofQ. [4 marks]

(d) Thegraphoff isdecreasingfor p x q .Findthevalueofpandofq. [3 marks]

(e) Writedowntherangeofvaluesforthegradientoff . [2 marks]

1212

M09/5/MATME/SP2/ENG/TZ2/XX+

2209-7306

– 3 –

Turn over


SECTION A



The following diagram is a box and whisker plot for a set of data.

The interquartile range is 20 and the range is 40.

(a) Write down the median value. [1 mark]

(b) Find the value of

(i) a ;

(ii) b. [4 marks]

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2209-7306

– 4 –


Consider the graph of f shown below.

(a) On the same grid sketch the graph of y f x( ). [2 marks]



2209-7306

– 5 –

Turn over

(Question 2 continued)

The following four diagrams show images of f under different transformations.

Diagram A Diagram B

Diagram C Diagram D

(b) Complete the following table.

Description of transformation Diagram letterHorizontal stretch with scale factor 1.5

Maps f to f x( ) 1

[2 marks]

(c) Give a full geometric description of the transformation that gives the image in Diagram A. [2 marks]

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2209-7306

– 6 –


Solve the equation ex x4sin , for 0 2x .

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2209-7306

– 7 –

Turn over


The diagram below shows a triangle ABD with AB cm13 and AD cm6 5. . Let C be a point on the line BD such that BC AC cm7 .

A

B C D

136.5

7

7

(a) Find the size of angle ACB. [3 marks]

(b) Find the size of angle CAD. [5 marks]

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2209-7306

– 8 –


(a) Expand 24

7r

r

as the sum of four terms. [1 mark]

(b) (i) Find the value of 24

30r

r

.

(ii) Explain why 24

r

r

cannot be evaluated. [6 marks]

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2209-7306

– 9 –

Turn over


Consider the curve y xln ( )3 1 . Let P be the point on the curve where x 2.

(a) Write down the gradient of the curve at P. [2 marks]

(b) The normal to the curve at P cuts the x-axis at R. Find the coordinates of R. [5 marks]

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2209-7306

– 10 –


The quadratic equation kx k x2 3 1 0( ) has two equal real roots.

(a) Find the possible values of k. [5 marks]

(b) Write down the values of k for which x k x k2 3 0( ) has two equal real roots. [2 marks]

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2209-7306

– 11 –

Turn over


SECTION B



Let f x x x( ) ( )5 2 , for 0 6x . The following diagram shows the graph of f .

Let R be the region enclosed by the x-axis and the curve of f .

(a) Find the area of R. [3 marks]

(b) Find the volume of the solid formed when R is rotated through 360D about the x-axis. [4 marks]

(c) The diagram below shows a part of the graph of a quadratic function g x x a x( ) ( ). The graph of g crosses the x-axis when x a.

The area of the shaded region is equal to the area of R. Find the value of a. [7 marks]

R


2209-7306

– 12 –



A van can take either Route A or Route B for a particular journey.

If Route A is taken, the journey time may be assumed to be normally distributed with mean 46 minutes and a standard deviation 10 minutes.

If Route B is taken, the journey time may be assumed to be normally distributed with mean µ minutes and standard deviation 12 minutes.

(a) ForRouteA,findtheprobabilitythatthejourneytakesmore than 60 minutes. [2 marks]

(b) For Route B, the probability that the journey takes less than 60 minutes is 0.85. Find the value of µ . [3 marks]

(c) The van sets out at 06:00 and needs to arrive before 07:00.

(i) Which route should it take?

(ii) Justify your answer. [3 marks]

(d) Onfiveconsecutivedaysthevansetsoutat06:00andtakesRouteB.Findthe

probability that

(i) itarrivesbefore07:00onallfivedays;

(ii) it arrives before 07:00 on at least three days. [5 marks]


2209-7306

– 13 –



Let f x x x( ) sin cos3 4 , for 2 2x .

(a) Sketch the graph of f . [3 marks]

(b) Write down

(i) the amplitude;

(ii) the period;

(iii) the x-intercept that lies between 2

and 0. [3 marks]

(c) Hence write f x( ) in the form p qx rsin ( ). [3 marks]

(d) Write down one value of x such that f x( ) 0. [2 marks]

(e) Write down the two values of k for which the equation f x k( ) has exactly two solutions. [2 marks]

(f) Let g x x( ) ln ( )1 , for 0 x . There is a value of x, between 0 and 1, for which the gradient of f is equal to the gradient of g. Find this value of x. [5 marks]


2210-7304

– 2 –


SECTION A



Let A1 2 31 1 4

2 4 3 and B

23

1.

(a) Write down A 1 . [2 marks]

(b) Solve AX B . [3 marks]

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0 2 1 1


2210-7304

– 3 –

Turn over


Consider the arithmetic sequence 3 9 15 1353, , , ,… .

(a) Write down the common difference. [1 mark]

(b) Find the number of terms in the sequence. [3 marks]

(c) Find the sum of the sequence. [2 marks]

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0 3 1 1


2210-7304

– 4 –


Let f x x x( ) cos , for 0 6x .

(a) Find f x( ) . [3 marks]

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(b) On the grid below, sketch the graph of y f x( ) .

– 3

– 1

– 2

– 4

– 5

– 6

0

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 – 1

[4 marks]

0 4 1 1


2210-7304

– 5 –

Turn over


The following frequency distribution of marks has mean 4.5.

Mark 1 2 3 4 5 6 7Frequency 2 4 6 9 x 9 4

(a) Find the value of x. [4 marks]

(b) Write down the standard deviation. [2 marks]

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0 5 1 1


2210-7304

– 6 –


The graph of y p qx rcos , for 5 14x , is shown below.

y

x

There is a minimum point at ( , )0 3 and a maximum point at ( , )4 7 .

(a) Find the value of

(i) p ;

(ii) q ;

(iii) r. [6 marks]

(b) The equation y k has exactly two solutions. Write down the value of k. [1 mark]

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( , )4 7

( , )0 3

0 6 1 1


2210-7304

– 7 –

Turn over


The acceleration, a ms 2 , of a particle at time t seconds is given by

at

t1 3 2sin , for t 1.

The particle is at rest when t 1.

Find the velocity of the particle when t 5.

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0 7 1 1


2210-7304

– 8 –


Evan likes to play two games of chance, A and B.

For game A, the probability that Evan wins is 0.9. He plays game A seven times.

(a) Find the probability that he wins exactly four games. [2 marks]

For game B, the probability that Evan wins is p . He plays game B seven times.

(b) Write down an expression, in terms of p , for the probability that he wins exactly four games. [2 marks]

(c) Hence, find the values of p such that the probability that he wins exactly four games is 0.15. [3 marks]

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0 8 1 1


2210-7304

– 9 –

Turn over


SECTION B



The diagram below shows a quadrilateral ABCD with obtuse angles ABC and ADC .

30

y

x

A

B

C

D


AB 5 cm , BC 4 cm , CD 4 cm , AD 4 cm , BAC 30 , ABC x , ADC y .

(a) Use the cosine rule to show that AC 41 40cos x . [1 mark]

(b) Use the sine rule in triangle ABC to find another expression for AC. [2 marks]

(c) (i) Hence, find x, giving your answer to two decimal places.

(ii) Find AC . [6 marks]

(d) (i) Find y.

(ii) Hence, or otherwise, find the area of triangle ACD. [5 marks]

0 9 1 1

5

4

4

4


2210-7304

– 10 –



Let f x A k x( ) e 3. Part of the graph of f is shown below.

150

13

y

x

The y-intercept is at ( , )0 13 .

(a) Show that A 10 . [2 marks]

(b) Given that f ( ) .15 3 49 (correct to 3 significant figures), find the value of k. [3 marks]

(c) (i) Using your value of k , find f x( ) .

(ii) Hence, explain why f is a decreasing function.

(iii) Write down the equation of the horizontal asymptote of the graph f . [5 marks]

Let g x x x( ) 2 12 24 .

(d) Find the area enclosed by the graphs of f and g . [6 marks]

1 0 1 1


2210-7304

– 11 –



The weights of players in a sports league are normally distributed with a mean of 76.6 kg, (correct to three significant figures). It is known that 80 % of the players have weights between 68 kg and 82 kg. The probability that a player weighs less than 68 kg is 0.05.

(a) Find the probability that a player weighs more than 82 kg. [2 marks]

(b) (i) Write down the standardized value, z, for 68 kg.

(ii) Hence, find the standard deviation of weights. [4 marks]

To take part in a tournament, a player’s weight must be within 1.5 standard deviations of the mean.

(c) (i) Find the set of all possible weights of players that take part in the tournament.

(ii) A player is selected at random. Find the probability that the player takes part in the tournament. [5 marks]

Of the players in the league, 25 % are women. Of the women, 70 % take part in the tournament.

(d) Given that a player selected at random takes part in the tournament, find the probability that the selected player is a woman. [4 marks]

1 1 1 1


Turn over


SecTion a

Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines if necessary.


The first three terms of an arithmetic sequence are 36 40 44, , ,… .

(a) (i) Write down the value of d .

(ii) Find u8 . [3 marks]

(b) (i) Show that S n nn = +2 342 .

(ii) Hence, write down the value of S14 . [3 marks]

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0316


0416


Let f x x x( ) = − −2 8 92 .

(a) (i) Write down the coordinates of the vertex.

(ii) Hence or otherwise, express the function in the form f x x h k( ) ( )= − +2 2 . [4 marks]

(b) Solve the equation f x( ) = 0 . [3 marks]

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Turn over 0516


Let M = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x xx

212 and N =

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 3 14 2 01 5 1

.

(a) Find detM . [2 marks]

(b) Write down det N . [1 mark]

(c) Find the value of x for which det detM N= . [3 marks]

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The graph of y x x= −( )sin1 , for 0 52

≤ ≤x π , is shown below.

0 1 kπ x

y

The graph has x-intercepts at 0, 1, π and k .

(a) Find k . [2 marks]

The shaded region is rotated 360! about the x-axis. Let V be the volume of the solid formed.

(b) Write down an expression for V . [3 marks]

(c) Find V . [2 marks]

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0616


Turn over


Let M =− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

p

q

1 21 1 21 1

and M − =−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 12

3 5 41 1 01 3 2

.

(a) Find the value of p and of q . [3 marks]

(b) Solve the system of linear equations.

px y zx y zx qy z

− − =+ − =+ − = −

2 72 2

3 [3 marks]

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0716



Consider the expansion of 2 256 307238

24 20 0x bx

x x kx+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +…+ +… .

(a) Find b . [3 marks]

(b) Find k . [3 marks]

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0816


Turn over


The probability of obtaining “tails” when a biased coin is tossed is 0.57. The coin is tossed ten times. Find the probability of obtaining

(a) at least four tails; [4 marks]

(b) the fourth tail on the tenth toss. [3 marks]

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0916



SecTion B

Answer all questions on the answer sheets provided. Please start each question on a new page.


The histogram below shows the time T seconds taken by 93 children to solve a puzzle.

16

14

12

10

4

6

2

8

0 45 55 7565

Time

Frequency

20

18

85 95 105 115 T

f

The following is the frequency distribution for T .

Time 45 55≤ <T 55 65≤ <T 65 75≤ <T 75 85≤ <T 85 95≤ <T 95 105≤ <T 105 115≤ <TFrequency 7 14 p 20 18 q 6

(a) (i) Write down the value of p and of q .

(ii) Write down the median class. [3 marks]

(b) A child is selected at random. Find the probability that the child takes less than 95 seconds to solve the puzzle. [2 marks]


1016


Turn over



Consider the class interval 45 55≤ <T .

(c) (i) Write down the interval width.

(ii) Write down the mid-interval value. [2 marks]

(d) Hence find an estimate for the

(i) mean;

(ii) standard deviation. [4 marks]

John assumes that T is normally distributed and uses this to estimate the probability that a child takes less than 95 seconds to solve the puzzle.

(e) Find John’s estimate. [2 marks]

1 1 1 6


1216



The following diagram shows a triangle ABC.

A

C

B0.7

65p

4p

BC = 6 , CAB radians" = 0 7. , AB = 4p , AC = 5p , where p > 0 .

(a) (i) Show that p2 41 40 0 7 36( cos . )− = .

(ii) Find p . [4 marks]

Consider the circle with centre B that passes through the point C. The circle cuts the line CA at D, and ADB" is obtuse. Part of the circle is shown in the following diagram.

A

D

C

B0.7

6

(b) Write down the length of BD. [1 mark]

(c) Find ADB" . [4 marks]

(d) (i) Show that CBD" =1 29. radians, correct to 2 decimal places.

(ii) Hence, find the area of the shaded region. [6 marks]




The following diagram shows two ships A and B. At noon, ship A was 15 km due north of ship B. Ship A was moving south at 15 km h–1 and ship B was moving east at 11 km h–1.

15

A

B

(a) Find the distance between the ships

(i) at 13:00;

(ii) at 14:00. [5 marks]

Let s t( ) be the distance between the ships t hours after noon, for 0 4≤ ≤t .

(b) Show that s t t t( ) = − +346 450 2252 . [6 marks]

(c) Sketch the graph of s t( ) . [3 marks]

(d) Due to poor weather, the captain of ship A can only see another ship if they are less than 8 km apart. Explain why the captain cannot see ship B between noon and 16:00. [3 marks]

1316


2209-7306

– 3 –

Turn over


SECTION A



The following diagram is a box and whisker plot for a set of data.

The interquartile range is 20 and the range is 40.

(a) Write down the median value. [1 mark]


(i) a ;

(ii) b. [4 marks]

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2209-7306

– 4 –


Consider the graph of f shown below.

(a) On the same grid sketch the graph of y f x( ). [2 marks]



2209-7306

– 5 –

Turn over


The following four diagrams show images of f under different transformations.

Diagram A Diagram B

Diagram C Diagram D

(b) Complete the following table.

Description of transformation Diagram letterHorizontal stretch with scale factor 1.5

Maps f to f x( ) 1

[2 marks]

(c) Give a full geometric description of the transformation that gives the image in Diagram A. [2 marks]

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2209-7306

– 6 –


Solve the equation ex x4sin , for 0 2x .

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2209-7306

– 7 –

Turn over


The diagram below shows a triangle ABD with AB cm13 and AD cm6 5. . Let C be a point on the line BD such that BC AC cm7 .

A

B C D

136.5

7

7

(a) Find the size of angle ACB. [3 marks]

(b) Find the size of angle CAD. [5 marks]

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2209-7306

– 8 –


(a) Expand 24

7r

r

as the sum of four terms. [1 mark]

(b) (i) Find the value of 24

30r

r

.

(ii) Explain why 24

r

r

cannot be evaluated. [6 marks]

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2209-7306

– 9 –

Turn over


Consider the curve y xln ( )3 1 . Let P be the point on the curve where x 2.

(a) Write down the gradient of the curve at P. [2 marks]

(b) The normal to the curve at P cuts the x-axis at R. Find the coordinates of R. [5 marks]

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2209-7306

– 10 –


The quadratic equation kx k x2 3 1 0( ) has two equal real roots.

(a) Find the possible values of k. [5 marks]

(b) Write down the values of k for which x k x k2 3 0( ) has two equal real roots. [2 marks]

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2209-7306

– 11 –

Turn over


SECTION B



Let f x x x( ) ( )5 2 , for 0 6x . The following diagram shows the graph of f .

Let R be the region enclosed by the x-axis and the curve of f .

(a) Find the area of R. [3 marks]

(b) Find the volume of the solid formed when R is rotated through 360D about the x-axis. [4 marks]

(c) The diagram below shows a part of the graph of a quadratic function g x x a x( ) ( ). The graph of g crosses the x-axis when x a.

The area of the shaded region is equal to the area of R. Find the value of a. [7 marks]

R


2209-7306

– 12 –



A van can take either Route A or Route B for a particular journey.

If Route A is taken, the journey time may be assumed to be normally distributed with mean 46 minutes and a standard deviation 10 minutes.

If Route B is taken, the journey time may be assumed to be normally distributed with mean µ minutes and standard deviation 12 minutes.

(a) ForRouteA,findtheprobabilitythatthejourneytakesmore than 60 minutes. [2 marks]

(b) For Route B, the probability that the journey takes less than 60 minutes is 0.85. Find the value of µ . [3 marks]

(c) The van sets out at 06:00 and needs to arrive before 07:00.

(i) Which route should it take?

(ii) Justify your answer. [3 marks]

(d) Onfiveconsecutivedaysthevansetsoutat06:00andtakesRouteB.Findthe

probability that

(i) itarrivesbefore07:00onallfivedays;

(ii) it arrives before 07:00 on at least three days. [5 marks]


2209-7306

– 13 –



Let f x x x( ) sin cos3 4 , for 2 2x .

(a) Sketch the graph of f . [3 marks]

(b) Write down

(i) the amplitude;

(ii) the period;

(iii) the x-intercept that lies between 2

and 0. [3 marks]

(c) Hence write f x( ) in the form p qx rsin ( ). [3 marks]

(d) Write down one value of x such that f x( ) 0. [2 marks]

(e) Write down the two values of k for which the equation f x k( ) has exactly two solutions. [2 marks]

(f) Let g x x( ) ln ( )1 , for 0 x . There is a value of x, between 0 and 1, for which the gradient of f is equal to the gradient of g. Find this value of x. [5 marks]


2210-7306

– 2 –


SECTION A



The following table gives the examination grades for 120 students.

Grade Number of students Cumulative frequency

1 9 9

2 25 34

3 35 p

4 q 109

5 11 120

(a) Find the value of

(i) p ;

(ii) q . [4 marks]

(b) Find the mean grade. [2 marks]

(c) Write down the standard deviation. [1 mark]

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0 2 1 1


2210-7306

– 3 –

Turn over


An arithmetic sequence, u u u1 2 3, , ... , has d 11 and u27 263 .

(a) Find u1 . [2 marks]

(b) (i) Given that un 516 , find the value of n .

(ii) For this value of n , find Sn . [4 marks]

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0 3 1 1


2210-7306

– 4 –


Jan plays a game where she tosses two fair six-sided dice. She wins a prize if the sum of her scores is 5.

(a) Jan tosses the two dice once. Find the probability that she wins a prize. [3 marks]

(b) Jan tosses the two dice 8 times. Find the probability that she wins 3 prizes. [2 marks]

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0 4 1 1


2210-7306

– 5 –

Turn over


Find the term in x4 in the expansion of 3 225

xx

.

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0 5 1 1


2210-7306

– 6 –


Consider f x x( ) 2 2 , for 2 2x and g x x( ) sin e , for 2 2x . The graph of f is given below.

3

2

1

–1

–2

–1–2 1 2

y

x0

(a) On the diagram above, sketch the graph of g. [3 marks]

(b) Solve f x g x( ) ( ) . [2 marks]

(c) Write down the set of values of x such that f x g x( ) ( ). [2 marks]

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0 6 1 1


2210-7306

– 7 –

Turn over


Let f x xx( ) sine 2 10 , for 0 4x . Part of the graph of f is given below.

1 2 3 4

5

–5

y

x0

10

15M

N

A

There is an x-intercept at the point A, a local maximum point at M, where x p and a local minimum point at N, where x q .

(a) Write down the x-coordinate of A. [1 mark]


(i) p ;

(ii) q . [2 marks]

(c) Find f x xp

q( )d . Explain why this is not the area of the shaded region. [3 marks]

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0 7 1 1


2210-7306

– 8 –


The number of bacteria, n , in a dish, after t minutes is given by n t800 0 13e . .

(a) Find the value of n when t 0 . [2 marks]

(b) Find the rate at which n is increasing when t 15 . [2 marks]

(c) After k minutes, the rate of increase in n is greater than 10 000 bacteria per minute. Find the least value of k , where k ] . [4 marks]

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0 8 1 1


2210-7306

– 9 –

Turn over


SECTION B



The diagram below shows a circle with centre O and radius 8 cm.

10

–10

O–10 10

D

E

FA

B

y

x

C

8

The points A, B, C, D, E and F are on the circle, and [AF] is a diameter. The length of arc ABC is 6 cm.

(a) Find the size of angle AOC . [2 marks]

(b) Hence find the area of the shaded region. [6 marks]

The area of sector OCDE is 45 cm2.

(c) Find the size of angle COE . [2 marks]

(d) Find EF . [5 marks]

0 9 1 1

diagramnot to scale


2210-7306

– 10 –



In this question, distance is in metres.

Toy airplanes fly in a straight line at a constant speed. Airplane 1 passes through a point A.

Its position, p seconds after it has passed through A, is given by xyz

p34

0

231

.

(a) (i) Write down the coordinates of A.

(ii) Find the speed of the airplane in m s–1. [4 marks]

(b) After seven seconds the airplane passes through a point B.

(i) Find the coordinates of B.

(ii) Find the distance the airplane has travelled during the seven seconds. [5 marks]

(c) Airplane 2 passes through a point C. Its position q seconds after it passes

through C is given by xyz

qa

a25

8

12 , \ .

The angle between the flight paths of Airplane 1 and Airplane 2 is 40 . Find the two values of a. [7 marks]

1 0 1 1


2210-7306

– 11 –



Consider f x x x( ) ln ( )4 2 , for 2 2x . The graph of f is given below.

1

2

3

4

– 1– 2 1 2

– 2

– 1

– 3

– 4

0

y

x

(a) Let P and Q be points on the curve of f where the tangent to the graph of f is parallel to the x-axis.

(i) Find the x-coordinate of P and of Q.

(ii) Consider f x k( ) . Write down all values of k for which there are exactly two solutions. [5 marks]

Let g x x x( ) ln ( )3 24 , for 2 2x .

(b) Show that g xxx

x x( ) ln ( )24

3 44

22 2 . [4 marks]

(c) Sketch the graph of g . [2 marks]

(d) Consider g x w( ) . Write down all values of w for which there are exactly two solutions. [3 marks]

1 1 1 1

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