NEODREĐENI INTEGRAL
Za funkciju F(x) kažemo da je primitivna
funkcija funkcije f(x) ako je
F'(x) = f(x).
Funkcija, na primjer F(x) = x2 je primitivna
funkcija za funkciju f(x) = 2x jer je
(x2)' = 2x.
1
Iz diferencijalnog računa je poznato da je
izvod zbira jednak zbiru izvoda, kao i da je
izvod konstante jednak nuli, tj.
[F(x) + c]' = F'(x)
za proizvoljno c R.
Odatle slijedi zaključak:
Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije
f(x), onda je i F(x) + c primitivna funkcija
za f(x).
2
3
f x dx( )
f x dx F x c( ) ( )
Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x), onda skup
{F(x) c}, gdje je c proizvoljna konstanta zovemo
neodređeni integral funkcije f(x) i označavamo sa
Funkciju f(x), tada, zovemo podintegralnom
funkcijom.
Izračunati neodređeni integral funkcije f(x) znači
odrediti skup {F(x) c}, tako da je F(x) primitivna
funkcija funkcije f(x) i c proizvoljna konstanta.
Primjeri
4
2 2xdx x c
cos sinxdx x c
Primjer 1. Neodređeni integral funkcije f(x) 2x je
jer je (x2 c)' 2x.
Primjer 2.
.
5
f x dx F x c f x( ) ( ) ( )
izvod neodređenog integrala jednak je
podintegralnoj funkciji.
Važi i obratno
f x dx f x c( ) ( )
Tablica
6
dx x c x dxx
ac aa
a
1
11,
dx
xx c ln a dx
a
acx
x
ln
e dx e cx x
cos sinxdx x c
sin cosxdx x c dx
xtg x c
cos2
dx
xctg x c
sin2 dx
xx c
1 2 arcsin
dx
xarctg x c
1 2
7
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
c f x dx c f x dx ( ) ( )
Primjeri
8
x e dxx3 2
cos x x dx23
1
xx dx
a dxx 2
a
xb dx
sin2
Izračunati:
a) e)
b)
c)
d)
METODE INTEGRACIJE
9
Metoda zamjene se sastoji u uvođenju nove
promjenljive, tako da se neodređeni integral funkcije
oblika f[g(x)]g'(x) svodi na neodređeni integral
funkcije f(t):
Uvedimo novu promjenljivu t tako da je
g(x) = t i, dakle, g'(x)dx=dt
f g x g x dx f t dt( ) ' ( ) ( )
tj. ako je F(t) primitivna funkcija za f(t), onda je Fg(x)
primitivna funkcija za fg(x)g'(x).
Primjeri
10
I = x xdx25
3 2
x xdx t dtt
c x c25
56
26
3 26
1
63
2 3x dx
I tdt
t c x c 2
1
2
2
3
1
32 3
3
23
Primjer 1. Izračunati
Podintegralna funkcija je oblika fg(x)g'(x) gdje je
f(x) x5 i g(x) x2 3, pa se zamjenom x2 3 t,
odakle je 2xdx dt, dobija
Primjer 2. Neodređeni integral
zamjenom 2x 3 t i 2dx dt, svodimo na
.
11
Metoda parcijalne integracije se sastoji u tome što se
podintegralni izraz f(x)dx predstavi u obliku proizvoda
funkcije u(x) u i diferencijala funkcije v(x) v:
f(x)dx = u(x)dv(x) = u dv
( ) (*)u dv u v v du f x dx
12
I xe dxx
v x dx e dxx' ( )
v x dx e dxx( )
I xe e dx xe e cx x x x
Primjer 5. Izračunati
Rješenje: Podintegralni izraz xexdx predstavićemo u
obliku u(x)v'(x)dx: u(x) x,
Diferenciranjem prvog i integracijom drugog izraza,
dobijamo:
du(x) dx i
v(x) c1 ex c2, ili v(x) ex c.
No, obzirom na formulu (*) (desna strana već
sadrži proizvoljnu konstantu) možemo uzeti da je
c 0, pa je v(x) ex. Primjenimo li, sada, formulu
(*), imaćemo:
13
Integracija racionalnih funcija • Prvo razmotrimo kako se izvodi integracija racionalne
funkcije oblika
čiji imenilac nema realnih nula(D<0), tj . q - p2/4 > 0.
12x px q
dx
x px q
dx
xp
qp
dt
t a aarctg
t
ac
2 2 2 2 2
2 4
1
Smjena x + p/2 = t dx = dt i q - p2/4 = a2
dx
x px q q parctg
x p
q pc
2 2 2
2
4
2
4
14
• integracija racionalnih funkcija čiji je
imenilac oblika
tt llk
t
kk
n srxxqpxxxxxxxxxP )(...)()(...)()()( 22
21121
xi≠xj, i≠j, i,j{1,2,...,t}, 4q - p2 ≠ 4s - r2,
x1,x2,...,xt, p,q,...,r,sR, k1,k2,...,ktN,
qp
sr
2 2
40
40, ... ,
f xQ x
P x
m
n
( )( )
( ) • Qm(x) – polinom stepena m
• Pn(x) – polinom stepena n
f(x) je prava ako je m<n
15
• Neka je koeficijent uz stepen xn imenioca
Pn(x) broj 1. Tada pravu racionalnu funkciju
možemo predstaviti u obliku zbira prostih
razlomaka, tj. u obliku:
t
t
t
ll
t
k
t
k
k
k
k
k
k
k
n
m
srxx
SRx
qpxx
QPx
xx
L
xx
L
xx
B
xx
B
xx
A
xx
A
xx
A
xP
xQxf
)(...
)(
...)(
......)(
...)()()(
)()(
22
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
A A B B R Sk k1 21 1,..., , ,..., ,..., , Konstante koje se određuju iz
uslova identičnosti dva polinoma
16
Primjer Racionalna funkcija f x
x x( )
1
3 22
je prava jer je stepen brojioca (0) manji od stepena
imenioca (2). Koeficijent uz najveći stepen
imenioca je 1, nule imenioca su x1 = 1, x2 = 2 tj.
realne su i jednostruke, pa datu funkciju možemo
predstaviti u obliku: 1
3 2 1 22x x
A
x
B
x
tj.
1
3 2
2 1
1 22x x
A x B x
x x
( ) ( )
( )( )
Iz identičnosti slijedi da je (A + B)x - (2A + B) =1, odnosno
A + B = 0 i 2A + B = -1, tj. A = -1, B = 1, pa je
1
3 2
1
1
1
22x x x x
17
dxxx
Ak
k
1
1
)( 1
cxxAdxxx
Akk
k
1
1
ln)( 11
1
je tablični. Za k1=1
a za
k1≠1
cxx
AdxxxAdxxx
Ak
k
k
k
kk
k
1
1
11
11
1
1
1
11
1)(
)()(
Razmotrimo integral funkcije lqpxx
QPx
)( 2
gdje x2+px+q nema realnih nula
integral dxqpxx
pxl
)(
22
se odmah rešava smjenom x2+px+q=t,
odakle je (2x+p)dx=dt
18
dxqpxx
PP
QPdx
qpxx
PxP
dxqpxx
P
QP
Pdx
qpxx
PxPdx
qpxx
P
QPPx
P
dxqpxx
P
Qx
Pdx
qpxx
QPx
ll
lll
ll
)(
1)
2(
2)(
2
2
)(
2
2)(
2
2)(
22
2
)(
22
2)(
22
222
22
Slično se i integral može srediti (za P≠0)
Radi se smjenom
(slajd 17)
Razmatramo na
narednim slajdovima
19
dxqpxx
Ill
)(
12
Razmatranjem integrala Il, u potpunosti je
opisana integracija racionalniih funkcija
Za l=1, već je riješeno na slajdu broj 1. Neka je,
sada, l>1. Kako je x2+px+q=(x+p/2)2+(4q-p2)/4
(dobijeno dopunom do potpunog kvadrata), to se
uzimajući istu smjenu kao na slajdu 1:
x + p/2 = t dx = dt i (4q-p2)/4 = a2
dobija
ll
at
dtI
)( 22
20
Riješimo integral
llax
dxI
)( 22
.11
)(
1
)(
1
)(
1
212222
122222
222
2
Ia
Ia
dxax
xx
a
ax
dx
adx
ax
xxa
aI
ll
lll
Kod integrala I primijenimo
parcijalnu integraciju sa u = x, lax
xdxdv
)( 22
Nakon računa (v se računa smjenom x2+a2=t), dobija se
112222
2
)1(2
1
))(1(2)(lll
Ilaxl
xdx
ax
xI
121222 )1(2
32
)()1(2
1
lll I
al
l
ax
x
alI
21
Određeni
integral
Problem određivanja površine krivolinijske figure može
se svesti na određivanje površine ograničene dijelom
grafika neprekidne pozitivne funkcije y = f(x),
odgovarajućim intervalom na Ox osi i ordinatama
funkcije koje odgovaraju krajevima tog intervala. Takvu
figuru zovemo krivolinijskim trapezom
22
Neka je y f(x)
funkcija neprekidna na
intervalu a,b, xi tačke
tog intervala, takve da
je
x0 a < x1 < x2 < ...
< xn1 < xn b
i ci, i 1,2,...,n1
tačke intervala xi,xi1.
Zbir
1 1 1 1
1 1
( ) ( ) ,n n
n i i i i i i i i
i i
I f c x x f c x x x x
zove se n-ta integralna suma funkcije y f(x) na
intervalu a,b.
23
f x dxa
b
( )
f x dx f c x xa
b
ni i
i
n
i( ) lim , max
1
1
0
f x dx f c xa
b
xi i
i
n
i
( ) limmax
0
1
1
Graničnu vrijednost n-te integralne sume funkcije
y f(x) na intervalu a,b kad n , i max xi ,
zovemo određenim integralom funkcije y f(x) na
intervalu a,b i označavamo sa
24
VEZA IZMEĐU ODREĐENOG I
NEODREĐENOG INTEGRALA
Označimo sa P(x) površinu ograničenu grafikom
neprekidne, pozitivne funkcije y = f(x), ordinatama f(a) i
f(x) i intervalom [a,x], x < b i sa P(x) priraštaj te
površine ako se x promijeni za x > 0 (šrafirani dio).
25
Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost
funkcije f(x) na intervalu [x,x+ x], onda je
tj.)( xMxPxm Mx
xPm
)(
)(limlim je Kako00
xfmMxx
)(
)(lim
0xf
x
xP
x
P x f x( ) ( ) P(x) primitivna funkcija funkcije f(x).
F(x) proizvoljna primitivna funkcija za f(x)
P(x) = F(x) + c P(b) = F(b) + c i P(a) = F(a) + c.
26
slijedi )()( Iz x
a
dxxfxP
P(a) = 0 i, dakle, F(a) = -c,
P b f x dx F b F a F xa
b
a
b( ) ( ) ( ) ( ) ( )|
Primjer 1. Izračunati I x dx ( )2 31
11
Jedna od primitivnih funkcija funkcije
f(x) 2x 3 je F(x) x2 3x, pa je
I F x F F ( )| ( ) ( )1
11 11 1 154 4 150
Njutn-Lajbnicova formula
27
Računanje površine
dxxfP
b
a
)(
y
0 x a b
f(x)
28
dxxfP
b
a
)(
y
0 x
a b
f(x)
29
0
y
x a b
f(x)
g(x)
dxxgxfP
b
a
)()(
30 dxxfxfdxxfxfdxxfxf
PPPP
a
a
a
a
a
a
4
3
3
2
2
1
)()()()()()( 323141
321
0
y
x
f4(x)
a4
a3
a2 a1
P3 P2
P1 f3(x)
f2(x)
f1(x)
31
Primjer
P P xdx e xdxOAMN
e e
ln ln
1
2
1
2 2
2
Izračunati površinu ograničenu koordinatnim osama,
paravom y 2 i grafikom funkcije y lnx integracijom:
a) duž Ox-ose, b) duž Oy-ose.
.
ln xdx
e
1
2
ln lnxdx x xx
xdx e e e
ee
e
1
1
1
2 2 2
2
2
2
2 1 1
radimo parcijalnom
integracijom: u lnx; dv dx,
pa je du dx/x i v x. Otuda je:
pa se dobija P 2e2 e2 1 e2 1.
32
.
P f y dy ( )0
2
P e dy e ey y 0
2
0
2 2 1
b) Duž y-ose je za integraciju jednostavniji slučaj jer je
gdje je f(y) ey (iz y lnx x ey). Dakle,
33
Nesvojstveni integral
• Beskonačne granice integracije
• Neograničena podintegralna funkcija
34
Beskonačne granice integracije
• F() and F(-) ne postoje, jer ,- R .
• U tom slučaju primjenjuje se koncept
granične vrijednosti.
f x dxa
( )
b
ba a
b b
a a
f (x)dx lim f (x)dx
f (x)dx lim f (x)dx
35
Neograničena podintegralna
funkcija
• I pored toga što su granice integracije
konačne, integral može biti nesvojstveni
ako je podintegralna funkcija
neograničena na [a, b]. Ponovo
primjenjujemo koncept limesa.
1
0
1dx.
x
Primjeri
36
e dxx
0
1
x e dxx2
0
2
dx
x1
a)
b)
c)
37
Neke ekonomske primjene
integrala
Od granične do ukupne funkcije
Investicije i akumulacija kapitala
38
Od granične do ukupne funkcije
• Diferenciranjem ukupne funkcije (npr.
troškova) dobija se granična funkcija
• Integracijom granične funkcije dobija se
ukupna
39
Investicije i akumulacija kapitala
• Akumuliranje kapitala je proces
uvećavanja datog kapitala
• Kapital = K(t).
tIdt
dK
dttItK
