Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Parte 6. Interpolacion
Gustavo Montero
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2004-2005
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion
2 Interpolacion de Lagrange
3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
El problema de la interpolacion
1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion
2 Interpolacion de Lagrange
3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
El problema de la interpolacion
El problema de la interpolacion
Planteamiento del problemaEncontrar una funcion facil de construir y de evaluar que coincida con una funcion dada en una serie de datosconocidos.
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
El problema de la interpolacion
El problema de la interpolacion
Planteamiento del problemaEncontrar una funcion facil de construir y de evaluar que coincida con una funcion dada en una serie de datosconocidos.
Interpolacion polinomialSupongamos conocidos n + 1 puntos de f (x), planteamos el polinomio de grado n
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
Para que el polinomio pase por los n + 1 puntos
a0 + a1 x0 + a2 x20 + · · · + an xn
0 = f (x0) = f0
a0 + a1 x1 + a2 x21 + · · · + an xn
1 = f (x1) = f1
.
.
. =
.
.
.
a0 + a1 xn + a2 x2n + · · · + an xn
n = f (xn) = fn
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Interpolacion polinomial a trozosResumen
El problema de la interpolacion
El problema de la interpolacion
Planteamiento del problemaEncontrar una funcion facil de construir y de evaluar que coincida con una funcion dada en una serie de datosconocidos.
Interpolacion polinomialLa existencia del polinomio depende que el determinante de Vandermonde no se anule,
∆n =
��������1 x0 x2
0 · · · xn0
1 x1 x21 · · · xn
1· · · · · · · · · · · ·1 xn x2
n · · · xnn
��������=
nYi=1j<i
�xi − xj
�
Si todos los xi son distintos entre sı, entonces ∆n 6= 0.
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Formula de LagrangeFormula de Lagrange para soporte equidistante
1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion
2 Interpolacion de Lagrange
3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Formula de LagrangeFormula de Lagrange para soporte equidistante
Formula de Lagrange
Construccion de los polinomios de LagrangeBuscamos un polinomio de grado n, nulo en todos los puntos xi excepto en un determinado xk donde debe tomarla unidad,
lk (x) = anY
i=0i 6=k
(x − xi )
Para que lk (xk ) = 1,
a =1Qn
i=0i 6=k
(xk − xi )
Por tanto, los polinomios de Lagrange resultan,
lk (x) =nY
i=0i 6=k
(x − xi )
(xk − xi )=
(x − x0) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk − x0) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn)
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Formula de LagrangeFormula de Lagrange para soporte equidistante
Formula de Lagrange
Obtencion de la formula de LagrangeEntonces un polinomio que tome los valores z0, z1, . . . , zn en x0, x1, . . . , xn , respectivamente, sera de la forma
p(x) =nX
k=0
zk lk (x) = z0 l0(x) + z1 l1(x) + · · · + zn ln(x)
y si zk es el valor de una determinada funcion en xk ,
p(x) =nX
k=0
f (xk )lk (x) = f (x0)l0(x) + f (x1)l1(x) + · · · + f (xn)ln(x)
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Interpolacion polinomial a trozosResumen
Formula de LagrangeFormula de Lagrange para soporte equidistante
Formula de Lagrange para soporte equidistante
Formula de Lagrange para soporte equidistanteSi tomamos los xk equiespaciados a una distancia h,
xk = x0 + k h k = 0, 1, ..., n
podemos realizar el cambio de variable x = x0 + s h,
l(x) = lk (x0 + s h) =nY
j=0j 6=k
s − j
k − j
ya quex − xj = (s − j)h
xk − xj = (k − j)h
definiendo entonces,uk (s) =
nYj=0j 6=k
s − j
k − j
La formula de Lagrange resulta,
p(x) = p(x0 + s h) = q(s) =nX
k=0
zkuk (s)
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Interpolacion polinomial a trozosResumen
Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion
2 Interpolacion de Lagrange
3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
DefinicionSi llamamos
A0 = f (x0)
Ak =f (xk )− pk−1(xk )Qk−1
i=0 (xk − xi ), k ≥ 1
entonces
pn(x) = A0 + A1(x − x0) + A2(x − x0)(x − x1) + · · · + An(x − x0) · · · (x − xn−1)
Los coeficientes Ak se denominan diferencias divididas y se suelen representar de la forma,
Ak = f [x0, x1, . . . , xk ]
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
DefinicionSi llamamos
A0 = f (x0)
Ak =f (xk )− pk−1(xk )Qk−1
i=0 (xk − xi ), k ≥ 1
entonces
pn(x) = A0 + A1(x − x0) + A2(x − x0)(x − x1) + · · · + An(x − x0) · · · (x − xn−1)
Los coeficientes Ak se denominan diferencias divididas y se suelen representar de la forma,
Ak = f [x0, x1, . . . , xk ]
Propiedades
f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk
i=0
f (xi )
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1
, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k
f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]
(x0 − xk )
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
x0 f [x0]f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]
x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] :
x3 f [x3] f [x2, x3, x4] : :f [x3, x4] : : :
x4 f [x4] : : : :: : : : : :
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
x0 f [x0]f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]
x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] :
x3 f [x3] f [x2, x3, x4] : :f [x3, x4] : : :
x4 f [x4] : : : :: : : : : :
EjemploConsideremos el caso de
f (x) = Lx
conx0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x2 = 4, x4 = 5
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
1 0f [x0, x1]
2 0.6931 f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]
3 1.0986 f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] :
4 1.6863 f [x2, x3, x4] : :f [x3, x4] : : :
5 1.6094 : : : :: : : : : :
Propiedades
f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk
i=0
f (xi )
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1
, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k
f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]
(x0 − xk )
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
1 00.6931
2 0.6931 f [x0, x1, x2]0.4055 f [x0, x1, x2, x3]
3 1.0986 f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]0.2877 f [x1, x2, x3, x4] :
4 1.3863 f [x2, x3, x4] : :0.2231 : : :
5 1.6094 : : : :: : : : : :
Propiedades
f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk
i=0
f (xi )
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1
, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k
f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]
(x0 − xk )
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
1 00.6931
2 0.6931 −0.14380.4055 f [x0, x1, x2, x3]
3 1.0986 −0.0589 f [x0, x1, x2, x3, x4]0.2877 f [x1, x2, x3, x4] :
4 1.3863 −0.0323 : :0.2231 : : :
5 1.6094 : : : :: : : : : :
Propiedades
f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk
i=0
f (xi )
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1
, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k
f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]
(x0 − xk )
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
1 00.6931
2 0.6931 −0.14380.4055 0.0283
3 1.0986 −0.0589 f [x0, x1, x2, x3, x4]0.2877 0.0089 :
4 1.3863 −0.0323 : :0.2231 : : :
5 1.6094 : : : :: : : : : :
Propiedades
f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk
i=0
f (xi )
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1
, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k
f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]
(x0 − xk )
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias divididas
Calculo de diferencias divididas
1 00.6931
2 0.6931 −0.14380.4055 0.0283
3 1.0986 −0.0589 −0.04850.2877 0.0089 :
4 1.3863 −0.0323 : :0.2231 : : :
5 1.6094 : : : :: : : : : :
Propiedades
f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk
i=0
f (xi )
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1
, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k
f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]
(x0 − xk )
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Formula de Newton
Polinomio de Interpolacion de NewtonUtilizando diferencias divididas, la formula de Newton resulta,
pn(x) =nX
i=0
24f [x0, x1, . . . , xi ]
i−1Yj=0
(x − xj )
35
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Formula de Newton
Polinomio de Interpolacion de NewtonUtilizando diferencias divididas, la formula de Newton resulta,
pn(x) =nX
i=0
24f [x0, x1, . . . , xi ]
i−1Yj=0
(x − xj )
35
Ventajas frente a la formula de Lagrange
En el paso a un polinomio de grado n + 1 todos los calculos realizados para el de grado n sonaprovechables y solo es necesario andir un sumando mas. Esto no es posible con la formula de Lagrange,donde todos los calculos deben volver a realizarse sin poder aprovechar los anteriores.
Se pueden disponer los calculos de forma mas eficiente que en el caso de Lagrange,
b0 = an ; k = 0
bk = an−k + (x − xn−k )bk−1; k ≥ 1
siendo ai = f [x0, . . . , xi ] y bn el valor de pn(x) para un valor de x dado.
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias finitas
Diferencias finitas progresivasCosideraremos un soporte equidistante xj = x0 + j h
∆f (xk ) = f (xk + h)− f (xk ) = f (xk+1)− f (xk )
∆fk = fk+1 − fk
∆2fk = ∆(∆fk ) = ∆fk+1 − ∆fk
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∆n+1fk = ∆n(∆fk ) = ∆nfk+1 − ∆nfk
x0 f0∆f0
x1 f1 ∆2f0∆f1 ∆3f0
x2 f2 ∆2f1 ∆4f0∆f2 ∆3f1 :
x3 f3 ∆2f2 : :∆f3 : : :
x4 f4 : : : :: : : : : :
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias finitas
Diferencias finitas regresivas
∇fk = fk − fk−1
∇n+1fk = ∇nfk −∇nfk−1
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias finitas
Diferencias finitas regresivas
∇fk = fk − fk−1
∇n+1fk = ∇nfk −∇nfk−1
Propiedades de las diferencias finitas
∇fk = ∆fk−1, . . . , ∇nfk = ∆nfk−n
∆nfk = n!hnf [xk , xk+1, . . . , xk+n ]
∆nfk =Pn
i=0(−1)n−i�
ni
�fk+i
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Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas
Diferencias finitas
Polinomio de interpolacion usando diferencias finitasConsiderando un soporte equidistante y utilizando la segunda propiedad en la expresion del polinomio de Newtoncon diferencias divididas resulta la formula de Newton progresiva,
p(x) = p(x0 + th) =nX
i=0
24∆i f0
i!
i−1Yj=0
(t − j)
35 =
nXi=0
�ti
�∆i f0
Si partimos de esta otra expresion de la formula de Newton,
p(x) =nX
i=0
24f [xn, xn−1, . . . , xn−i ]
i−1Yj=0
(x − xn−j )
35
obtenemos la formula de Newton regresiva,
p(x) = p(x0 + th) =nX
i=0
24∇i fn
i!hi
i−1Yj=0
(x − xn−j )
35 =
nXi=0
�t+i−1
i
�∇i fn
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Estudio del error de interpolacion
1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion
2 Interpolacion de Lagrange
3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
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Estudio del error de interpolacion
Estudio del error de interpolacion
Expresion del error de interpolacionDefinimos el error de interpolacion como
E(x) = f (x)− pn(x) = f [x0, x1, . . . , xn, x]nY
i=0
(x − xi )
Si f ∈ Cn [a, b] ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) tal que f [x0, . . . , xn ] =f (n(ξ)
n!
Esto se puede demostrar aplicando sucesivamente el teorema de Rolle.Por tanto,
E(x) = f (x)− pn(x) =f (n+1(ξ)
(n + 1)!
nYi=0
(x − xi )
Si M = maxa≤t≤b
���f (n+1(t)��� ⇒ |E(x)| ≤
M
(n + 1)!max
a≤t≤b
������nY
i=0
(x − xi )
������
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Estudio del error de interpolacion
Estudio del error de interpolacion
Expresion del error de interpolacionDefinimos el error de interpolacion como
E(x) = f (x)− pn(x) = f [x0, x1, . . . , xn, x]nY
i=0
(x − xi )
Si f ∈ Cn [a, b] ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) tal que f [x0, . . . , xn ] =f (n(ξ)
n!
Esto se puede demostrar aplicando sucesivamente el teorema de Rolle.Por tanto,
E(x) = f (x)− pn(x) =f (n+1(ξ)
(n + 1)!
nYi=0
(x − xi )
Si M = maxa≤t≤b
���f (n+1(t)��� ⇒ |E(x)| ≤
M
(n + 1)!max
a≤t≤b
������nY
i=0
(x − xi )
������CorolarioEs enganoso creer que aumentar el numero de puntos de interpolacion (relacionado con el grado del polinomio deinterpolacion) va a hacer que el correspondiente polinomio de interpolacion se aproxime mas a f (x). De hecho, conel aumento del grado del polinomio las oscilaciones de la funcion interpoladora aumentan tambien.
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Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
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3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
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Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion de Lagrange a trozos
Problemas del polinomio unico de interpolacion
Naturaleza oscilatoria de los polinomios
Una pequena variacion en los datos de una zona determinada del intervalo de calculo puede producirgrandes fluctuaciones en todo el intervalo
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
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Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion de Lagrange a trozos
Problemas del polinomio unico de interpolacion
Naturaleza oscilatoria de los polinomios
Una pequena variacion en los datos de una zona determinada del intervalo de calculo puede producirgrandes fluctuaciones en todo el intervalo
Alternativa: interpolacion polinomial a trozosSe trata de dividir el intervalo en varios subintervalos y construir un polinomio de interpolacion diferente en cadauno de ellos preservando algunas propiedades en los puntos del soporte como continuidad, derivabilidad, ...
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
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Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion de Lagrange a trozos
Problemas del polinomio unico de interpolacion
Naturaleza oscilatoria de los polinomios
Una pequena variacion en los datos de una zona determinada del intervalo de calculo puede producirgrandes fluctuaciones en todo el intervalo
Alternativa: interpolacion polinomial a trozosSe trata de dividir el intervalo en varios subintervalos y construir un polinomio de interpolacion diferente en cadauno de ellos preservando algunas propiedades en los puntos del soporte como continuidad, derivabilidad, ...
Interpolacion a trozos mas simpleEl caso mas simple interpolacion a trozos consiste entrazar la poligonal (lıneas rectas) entre los puntos dados(datos) de la funcion a interpolar,
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Interpolacion polinomial a trozosResumen
Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion de Lagrange a trozos
Problemas del polinomio unico de interpolacion
Naturaleza oscilatoria de los polinomios
Una pequena variacion en los datos de una zona determinada del intervalo de calculo puede producirgrandes fluctuaciones en todo el intervalo
Alternativa: interpolacion polinomial a trozosSe trata de dividir el intervalo en varios subintervalos y construir un polinomio de interpolacion diferente en cadauno de ellos preservando algunas propiedades en los puntos del soporte como continuidad, derivabilidad, ...
Interpolacion a trozos mas simpleEl caso mas simple interpolacion a trozos consiste entrazar la poligonal (lıneas rectas) entre los puntos dados(datos) de la funcion a interpolar,
Interpolacion de Lagrange a trozosEl caso anterior se puede considerar como una interpolacion deLagrange con polinomios de grado 1 (interpolacion lineal).Podemos generalizar esta tecnica tomando mas de dos puntospor intervalo, lo que permite utilizar polinomios de Lagrange deorden mayor a 1.
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Funciones splines
Funcion spline de grado mEs una funcion s(x) definida en [a, b] con nodos en a = t1, t2, . . . , tn−1, tn = b, tal que
La restriccion de s(x) a cada intervalo [ti , ti+1], con i = 1, 2, . . . , n − 1, es un polinomio de grado nomayor que m.
La funcion s(x) y sus derivadas hasta orden m − 1 inclusive son continuas en [a, b].
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Funciones splines
Funcion spline de grado mEs una funcion s(x) definida en [a, b] con nodos en a = t1, t2, . . . , tn−1, tn = b, tal que
La restriccion de s(x) a cada intervalo [ti , ti+1], con i = 1, 2, . . . , n − 1, es un polinomio de grado nomayor que m.
La funcion s(x) y sus derivadas hasta orden m − 1 inclusive son continuas en [a, b].
Propiedades
Las splines de grado impar son mas suaves.
La exigencia de continuidad de las derivadas no conduce a elegir splines de grado superior a 1.
Sin embargo, la eleccion de un grado muy elevado complicarıa en exceso el problema.
Estas tres razones parecen senalar a la spline cubica como la opcion mas factible en general (m = 3).Se trata, por tanto, de una funcion continua con primera y segunda derivadas continuas.
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
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Interpolacion mediante splines cubicas
Continuidad de la funcion spline cubicaSupongamos t1 < t2 < · · · < tn ; fi = f (ti ), hi = ti+1 − ti , i = 1, 2, . . . , n − 1.
Sea si (x) la restriccion de s(x) a [ti , ti+1]. Si si (x) es cubico entonces s′′i es lineal, tal que si s′′i (ti ) = zi y
s′′i (ti+1) = zi+1, podemos escribir,
s′′i (x) = zi+1x − ti
hi
+ ziti+1 − x
hi
Integrando dos veces,
si (x) =zi+1
6hi
(x − ti )3 +
zi
6hi
(ti+1 − x)3 + Ci (x − ti ) + Di (ti+1 − x)
Sabiendo que si (ti ) = fi y si (ti+1) = fi+1, obtenemos Ci y Di ,
si (x) =zi+1
6hi
(x − ti )3 +
zi
6hi
(ti+1 − x)3 +
"fi+1
hi
−zi+1hi
6
#(x − ti ) +
"fi
hi
−zi hi
6
#(ti+1 − x)
Esto garantiza que s(x) es continua y coincide con f en todos los puntos ti , i = 1, 2, . . . , n.
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion mediante splines cubicas
Continuidad de la primera derivada
Para que la primera derivada sea continua se debe cumplir s′i−1(ti ) = s′i (ti ), i = 2, 3, . . . , n − 1,
s′i (ti ) = −hi
3zi −
hi
6zi+1 +
fi+1 − fi
hi
s′i−1(ti ) =hi−1
6zi−1 +
hi−1
3zi +
fi − fi−1
hi−1
Igualando, resulta
hi−1zi−1 + 2(hi−1 + hi )zi + hi zi+1 =6
hi
(fi+1 − fi )−6
hi−1
(fi − fi−1)
Lo que supone n − 2 ecuaciones para la continuidad de la primera derivada.
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion mediante splines cubicas
Continuidad de la primera derivada
Para que la primera derivada sea continua se debe cumplir s′i−1(ti ) = s′i (ti ), i = 2, 3, . . . , n − 1,
s′i (ti ) = −hi
3zi −
hi
6zi+1 +
fi+1 − fi
hi
s′i−1(ti ) =hi−1
6zi−1 +
hi−1
3zi +
fi − fi−1
hi−1
Igualando, resulta
hi−1zi−1 + 2(hi−1 + hi )zi + hi zi+1 =6
hi
(fi+1 − fi )−6
hi−1
(fi − fi−1)
Lo que supone n − 2 ecuaciones para la continuidad de la primera derivada.
Continuidad de la segunda derivada
La continuidad de la segunda derivada se asegura con la propia definicion de s′′i , ya que s′′i−1(ti ) = s′′i (ti )
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas
Interpolacion mediante splines cubicas
Sistema final de ecuaciones tridiagonalDefinamos,
bi =6
hi
(fi+1 − fi )−6
hi−1
(fi − fi−1)
u2 = 2(h1 + h2), ui = 2(hi−1 + hi )−h2i−1
ui−1
, i = 3, . . . , n − 1
v2 = b2 − hi zi , vi = bi −hi−1
ui−1
vi−1, i = 3, . . . , n − 2, vn−1 = bn−1 − hn−1zn −hn−2
un−2
vn−2
el sistema a resolver es,u2z2 +h2z3 = v2
u3z3 +h3z4 = v3
. . .. . .
.
.
.un−1zn−1 = vn−1
Para z1 = zn = 0 ⇒ Spline Cubico Natural
Otra posibilidad es tomar en los extremos un valor determinado de la pendiente de la curva,
s′1(t1) = f ′(t1)
s′n−1(tn) = f ′(tn)
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion
2 Interpolacion de Lagrange
3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia
4 Error de interpolacion
5 Interpolacion polinomial a trozos
6 Resumen
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Resumen
La formula de interpolacion de Newton tiene mejores prestacionescomputacionales que la de Lagrange.
Cuando se tiene que optar por polinomios de grado elevado en la interpolacionestandar, es preferible utilizar la interpolacion a trozos.
La interpolacion a trozos basada en funciones splines cubicas proporcionafunciones suaves con continuidad en las dos primeras derivadas.
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Resumen
La formula de interpolacion de Newton tiene mejores prestacionescomputacionales que la de Lagrange.
Cuando se tiene que optar por polinomios de grado elevado en la interpolacionestandar, es preferible utilizar la interpolacion a trozos.
La interpolacion a trozos basada en funciones splines cubicas proporcionafunciones suaves con continuidad en las dos primeras derivadas.
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Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Resumen
La formula de interpolacion de Newton tiene mejores prestacionescomputacionales que la de Lagrange.
Cuando se tiene que optar por polinomios de grado elevado en la interpolacionestandar, es preferible utilizar la interpolacion a trozos.
La interpolacion a trozos basada en funciones splines cubicas proporcionafunciones suaves con continuidad en las dos primeras derivadas.
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Resumen
La formula de interpolacion de Newton tiene mejores prestacionescomputacionales que la de Lagrange.
Cuando se tiene que optar por polinomios de grado elevado en la interpolacionestandar, es preferible utilizar la interpolacion a trozos.
La interpolacion a trozos basada en funciones splines cubicas proporcionafunciones suaves con continuidad en las dos primeras derivadas.
Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange
Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion
Interpolacion polinomial a trozosResumen
Resumen
La formula de interpolacion de Newton tiene mejores prestacionescomputacionales que la de Lagrange.
Cuando se tiene que optar por polinomios de grado elevado en la interpolacionestandar, es preferible utilizar la interpolacion a trozos.
La interpolacion a trozos basada en funciones splines cubicas proporcionafunciones suaves con continuidad en las dos primeras derivadas.