34
Advanced Numerical Methods 79 روشﻫﺎي ﻋﺪدي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﭘﺎرهايPartial differential equations (PDE)
Advanced Numerical Methods 79
روش هاي عددي حل معادلات دیفرانسیل پاره ايPartial differential equations (PDE)
Advanced Numerical Methods 80
مقدمهدهنده یک تابع با تعدادي متغیر استمعادلات دیفرانسیل جزئی، نشان.
معادله لاپلاس دو بعدي
معادله موج یک بعدي
يیک بعد) دیفیوژن(معادله نفوذ
اشد،ببیشترهامتغیرتعدادحالتی کهدر.دهدمینشانرامتغیردوبامعادلاتفوق،معادلات.کرداستفادهدیفرانسیلمعادلاتبیاندرجبرياپراتورهايازتوانمی
اپایغیربعديسهدیفیوژنمعادله
Advanced Numerical Methods 81
دسته بندي معادلات دیفرانسیل پاره اي: مقدمهگویندمعادله دیفرانسیل به بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله میمرتبه.
اولمرتبهدیفرانسیلمعادله
چهارممرتبهدیفرانسیلمعادله
خطیرادیفرانسیلمعادله)Linear(رمقادیازتابعیمشتقات،ضرایبتمامصورتی کهدرگویند.نباشدوابسته
Linear
Non Linear
هستندهمگنمعادلاتقبل،صفحهمعادلات.
.باشدمی) Poisson(این معادله همان معادله پوآسون . اي غیرهمگن استمعادله فوق، معادله
Advanced Numerical Methods 82
مشخصه معادلات دیفرانسیل پاره اي: مقدمهدادنشانزیربه صورتتوانمیرامتغیردوبادیفرانسیلمعادلهیککلی،حالتدر:
ضرایببهتوجهبادیفرانسیلمعادله)مشخصه(نوعA،BوCشودمیتعیین.
.استمخروطیمقاطعبنديطبقهبهشبهبسیاربنديطبقهاین
ACB 42 −=∆
GFfEfDfCfBfAf yxyyxyxx =+++++
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx
Advanced Numerical Methods 83
مقدمهبیضويمعادلات
oگذاردمیتأثیردیگرنقاطبروبودهنقاطسایرازمتاثرمیدانازنقطههر.oدارداثرحلمیداندربالادست،همودستپایینهماطرافمرزهاي.oهستندبیضويمعادلاتلزج،سیالبرحاکماستوکس-ناویرمعادلهولاپلاسمعادلات.oبعديسهودوبعديدائمحرارتانتقالمعادلهمانند.oندارندحقیقیمشخصهمنحنیبیضويمعادلات.
يمیدان بیضو
مرز میدان محیط اطراف
y
x
Advanced Numerical Methods 84
مقدمه
)زمانی(شرط اولیه
شرط مرزي)مکانی(
شرط مرزي)مکانی(
زمانزمان
محیط اطراف
سهمويمعادلاتoهستنددائمغیربه صورتعمدتاًمسائل.oاستمتأثراطرافمرزهاياززمانیگامهردروشودمیبرداشتهگامزمانجهتدر.oاستسهموينوعازحرارتانتقالدائمغیرمعادلهمثالعنوانبه.oداردمضاعفحقیقیمشخصهمنحنییکمعادلهاین.
Advanced Numerical Methods 85
مقدمههذلولیمعادلات
oمثال متداول این نوع معادلات، حرکت امواج و سیستم هاي ارتعاشی است .oودها به توسعه ناپیوستگی منجر شتواند در یک سو بی تأثیر باشد و انتقال ویژگیمرزها می.oمعادله موج، دو منحنی مشخصه حقیقی دارد.
Advanced Numerical Methods 86
)Elliptic(معادلات بیضوي ودائمهدایتحرارتانتقالدرمعادلهاین.استلاپلاسمعادلهبیضوي،معادلاتشکلترینرایج
.داردکاربرددائمجرمینفوذ
زیرشکلبه)انرژيتولیدبدونو(دائمحرارتانتقالمعادله،فوریهحرارتیهدایتقانونبهتوجهبا:است
02 =∇ f
0=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
zTk
zyTk
yxTk
x
:داریم،kحرارتی،هدایتضریببودنثابتفرضبا
02 =∇=++ TTTT zzyyxx
:می شودنوشتهزیربه صورتبعديدوفضايدرمعادلهاینهمچنین
0=+ yyxx TT ( )( ) 0 411404 22 ⟨−=−=− ACB
Advanced Numerical Methods 87
)Elliptic(معادلات بیضوي تولیدابدائمهدایتحرارتانتقال.استپوآسونمعادلهبیضوي،پرکاربردمعادلاتازدیگریکی
.استمعادلهنوعاینازاينمونهداخلی،حرارت
حرارتیهدایتضریببودنثابتفرضبا:
kQTTTT zzyyxx
−=∇=++ 2
0=+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ Q
zTk
zyTk
yxTk
x
Advanced Numerical Methods 88
)Parabolic(معادلات سهموي ائمدغیردیفیوژنمعادله.استسهمويمعادلاتازنوعیکدائم،غیرهدایتحرارتانتقالمعادله:شودمینوشتهزیربه صورتکلیحالتدر
شودمینوشتهزیربه صورتدائمغیرحالتدرحرارتیهدایتحرارتانتقالمعادله:
:نوشتزیرصورتبهتوانمیرامعادلهاینحرارتی،خواصبودنثابتفرضبا
:داریممعادلهاینبراي
fft2∇= α
( )
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂zTk
zyTk
yxTk
xtCTρ
( ) TTTTT zzyyxxt2 ∇=++= αα
( )( ) 00404 22 =−=− αACB
Advanced Numerical Methods 89
)Hyperbolic(معادلات هذلولوي داردکاربرد...وارتعاشاتگازها،دینامیکدرکهاستمسائلاینترینرایجموج،معادله.
:شودمینوشتهزیربه صورتاول،مرتبهخطیموجمعادله
.آوریدبه دسترا2مرتبهموجمعادلهاول،مرتبهخطیموجمعادلهازاستفادهبا:تمرین
fcftt22 ∇=
0=∂∂
+∂∂
xuc
tu
Advanced Numerical Methods 90
)Elliptic(هاي حل معادلات بیضوي روش
Advanced Numerical Methods 91
مقدمه
Domain f(x,y)
BoundaryConditions
x
y
:هدف.استمشخصمرزيشرایطبا)پوآسونیا(لاپلاسمعادلهحل
( )yxFff
ff
yyxx
yyxx
,
0
=+
=+
Advanced Numerical Methods 92
)Finite Difference(روش اختلاف محدود کنیمبنديشبکهرامحاسباتیمیدانکهاستلازمابتداروش،ایندر.
x
y
i i+1 imaxi-1
j-1j
j+1
jmax
11
2
2
ارايدمحاسباتیمیدانکنیممیفرضاینجادراندازه.استyوxراستايدراندازههمشبکه.می باشدΔyوΔxراستا،هردرشبکه
:بگیریدنظردرقرارداديصورتبهرازیرموارد
( )jixji
ji fxf
xyxf
,,,
=∂∂
=∂
∂
( ) jiji fyxf ,, =
( )jixxji
ji fx
fx
yxf,,2
2
2
2 ,=
∂
∂=
∂
∂
Advanced Numerical Methods 93
)Finite Difference(روش اختلاف محدود
نقطهدرتابعدوممشتقبرايمرکزيدوممرتبهتقریبکلی،حالتدرi,jاستزیربه صورت:
:نوشتتوانمیهمyجهتدردوممشتقبراي
2,1,,1
,2
x
ffff jijiji
jixx∆
+−= −+
21,,1,
,2
y
ffff jijiji
jiyy∆
+−= −+
Advanced Numerical Methods 94
)Finite Difference(روش اختلاف محدود :بگیریدنظردررابعديدولاپلاسمعادله
:یمکنمیجایگزینمعادلهدرراهاجملهازیکهربرايمحدوداختلافتقریبازشدهمحاسبهمقادیر
:داریمکنیم،مرتبi,jنقطهدرتابعمقدارحسببررامعادلاتصورتی کهدر
0=+ yyxx ff
022
21,,1,
2,1,,1 =
∆
+−+
∆
+− −+−+
y
fff
x
fff jijijijijiji
( ) 012 ,2
1,2
,11,2
,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ
( )21,
2,11,
2,1
,12 β
ββ
+
+++= −−++ jijijiji
jiffff
f
yx
∆∆
=β
Advanced Numerical Methods 95
)Finite Difference(روش اختلاف محدود استبرابرهمباجهتدودرمحاسباتیشبکهاندازهکهخاصیحالتدر)Δx=Δy(:
هتجدودرمحاسباتیشبکهحالتی کهدردهدمینشانوداردسادهتفسیریکفوقرابطهنقاطدرآنریاضیمتوسطباi,jنقطهدرتابعمقداریعنی.داردايسادهجوابمساله،است،برابر
.استبرابراطراف،میدانمجهولنقاطدرراتابعمقدارتوانمیمحدوداختلافروشرابطهحلبانهایتدر
ادلاتمعدستگاهحلبراي.استمعادلاتدستگاهحلمستلزمکاراین.آوردبه دستمحاسباتی.کرداستفادهشد،تشریحپیشفصولدرکهحلهايروشازتوانمی
چیست؟روشخطايدرمحاسباتیشبکهنقش
( )1,,11,,1,
,1,,11,,1
41
04
−−++
−−++
+++=
=−+++
jijijijiji
jijijijiji
fffff
fffff
Advanced Numerical Methods 96
)Finite Difference(روش اختلاف محدود .بگیریدنظردرراجامدجسمدرهدایتیحرارتانتقالمساله:مثال.استشدهذکرمرزيشرایطبهتوجهباصفحهدردمامحاسبههدف
مراحل حل چیست؟
0=+ yyxx TT
Advanced Numerical Methods 97
)Finite Difference(روش اختلاف محدود
Advanced Numerical Methods 98
)Finite Difference(روش اختلاف محدود
آیا شرط همگرایی براي این ماتریس برقرار است؟
Advanced Numerical Methods 99
اعمال شرط مرزي
Dirichlet Boundary Condition:
Neumann Boundary Condition:
Mixed Boundary Condition:
تفسیر فیزیکی هر یک از این شرایط مرزي در معادله هدایت حرارتی چیست؟در مرز مجهول است؟) مثلا دما در معادله انرژي(در کدام حالت مقدار تابع
جهتدرمشتقصورتایندر.باشدعایقراست،سمتصفحهقبل،مثالدرکنیدفرضxدر:استزیربه صورتFDEکلیمعادله.استصفرراست،سمتصفحهروينقاط
نیم؟توانیم براي نقاط مرزي هم اعمال کآیا این معادله که براي تمام نقاط داخل مرز است را می
( ) 012 ,2
1,2
,11,2
,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ
Advanced Numerical Methods 100
اعمال شرط مرزي
بهتوانمیرامرزيگرهدرxراستايدرجزئیمشتق:آوردبه دستFDEروشاززیرصورت
:آیدمیبه دستفوقمعادلاتترکیببامرزدرشدهاصلاحمعادله
( )2,1,1, 2
xOxff
f jijijix ∆+
∆
−= −+
( ) 012 ,2
1,2
,11,2
,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ
xfff jixjiji ∆+= −+ ,,1,1 2
( ) xfffff jixjijijiji ∆−=+−++ −−+ ,,2
1,2
,11,2 2122 βββ
Advanced Numerical Methods 101
معادلات سهمويParabolic Equations
Advanced Numerical Methods 102
مقدمه
هدایتحرارتانتقالمسالهنوعیکروبروشکل.دهدمینشانرادائمغیر
شرط اولیه
شروط مرزي
xxt TT α=
Advanced Numerical Methods 103
مقدمهoمجزاسازيروشبامسالهتحلیلیحل
.آیدمیبه دستمتغیرهاoردرادماتوزیعتوانمیآنازاستفادهبا.آوردبه دستلحظههر
Advanced Numerical Methods 104
مقدمه
شکل کلی معادله سهموي
Advanced Numerical Methods 105
مقدمهآن هارایجنوعدو.داردوجودسهمويمعادلاتبامهندسیدرزیاديمسائلDiffusion
EquationsوAdvection-Diffusion Equationsهستند.
استاولیهشرطیکبهنیازمسائلایندر.
بهمسائلاینinitial-boundary value problemهستندمعروف.
xxxt
xxtfuff
ffα
α=+
=
Advanced Numerical Methods 106
اصول مقدماتیازهمسالشودمیمشاهدهشکلدرکههمان طورسهمويجزئیمشتقاتدیفرانسیلمعادلاتحلدر.ودشمیانجامزمانیجهتدربرداشتنگامبامعادلاتحلواقعدر.استباز)زماناینجادر(سمتیکنقطهحلPگامدرn+1گامدراطرافنقاطسایربهوابستهتواندمیn+1یاnاینبر.باشد
:داردوجودرویکرددواساس1-Implicit)ضمنی(2-Explicit)صریح(
Advanced Numerical Methods 107
اصول مقدماتی
Explicit
Implicit
وشرازسریع ترکلیبه طورصریحروشاهدستگحلبهنیاززیرا.استضمنی
مشکلهاروشایناما.نداردمعادلات.دارنددنبالبهراعدديخطايانتشار
Advanced Numerical Methods 108
روش اختلاف محدود
به صورترازیرموارد.دهدمینشانسهمويمسالهیکبرايرامحاسباتیناحیهزیرشکل:کنیدفرضقراردادي
Advanced Numerical Methods 109
روش اختلاف محدود
ی شودماستفادهجلوبهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:
.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختلافتقریبباتوانمی.شودمحاسبهnزمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض
:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر
tfff
ni
nin
it ∆−
=+1
211 2
xffff
ni
ni
nin
ixx∆
+−= −+
Advanced Numerical Methods 110
روش اختلاف محدود
Diffusion(نفوذعدد Number(
.شودمیشناختهزیرعنوانباتقریباینForward Time Central Space (FTCS)
دهد؟بندي را نشان میاین رابطه چه نوع فرمول
Explicit
Advanced Numerical Methods 111
روش اختلاف محدودفرضبارامسالهاین.بگیریدنظردرراقبلمسالهdکنیممیحل)مختلفزمانیگام(متفاوت..آیدمیبه دستزیرجواب هايحالت،دوایندر
:پایداريشرط
Advanced Numerical Methods 112
روش اختلاف محدودNumerical(عددياطلاعاتتوزیع Information Propagation(روشدرFTCSزیربه صورت:است
.استنفوذعددبهوابستهعدديروشاطلاعاتتوزیعکهدهدمینشانفوقرابطه
.استO(Δx2)وO(Δt)ازروشایندرخطامقدارConditionally(استپایدارشرایطیتحتروشاین Stable(.
کند؟ر میبا کوچک شدن اندازه شبکه براي برقراري شرط پایداري، گام زمانی چگونه تغییاین روش پایدار است؟d<=0.5با توجه به فرمولاسیون روش، به نظر شما چرا براي
