Péndulo Simple Richard Esteban Espín López

Universidad Central del Ecuador

Quito-Ecuador

Noviembre 16 del 2014

Ricky.sk8@hotmail.com

Abstract- This article will treat the simple harmonic motion in the fisicpendulum, concept, description of motion, formulas that perfectly describe this movement

I. INTRODUCCION

¿Qué es el Péndulo?

El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente), es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.

Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, péndulo físico, etcétera.

¿Qué es Péndulo Físico?

Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un

eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.

Se describe el movimiento del sólido rígido como la composición de dos tipos de movimiento, traslación del centro de masas y rotación en torno a un eje que pasa por dicho punto. Como caso particular, examinaremos el movimiento de rodar sin deslizar.

¿Qué es el Centro de Masa?

Los términos "centro de masa", y "centro de gravedad", se utilizan como sinónimos en un campo gravitatorio uniforme, para representar el punto único de un objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuesta del sistema a las fuerzas y pares externos. El concepto de centro de masa es el de un promedio de las masas, factorizada por sus distancias a un punto de referencia. En un plano, es como el punto de equilibrio o de pivote de un balancín respecto de los pares producidos.

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m.

Teorema de los Ejes Paralelos

El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa está dado por la expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo.

RADIO DE GIRO

Se define como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.

Deducción del periodo

El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′. La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el

eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.

Llamaremos h\, a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo \theta\,, actúan sobre él dos fuerzas (mg\, y N\,) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo; i.e.,

Si es IO el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos ö a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

Que podemos escribir de la forma

Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.

En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma

Que corresponde a un movimiento armónico simple.

El periodo de las oscilaciones es:

Péndulo simple equivalente

Es siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico o compuesto dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico.

Deducción de la longitud reducida

Si llamamos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de suspensión ZZ′ y es IO el momento de inercia del péndulo respecto a dicho eje, el periodo de las oscilaciones del Péndulo físico o compuesto, es

La expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ es

Igualando ambas expresiones obtenemos

Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión)

oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ.