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U N A C Facultad de Ingeniera Qumica
Universidad nacional del callao
FACULTAD: Ingeniera QumicaMTODOS NUMRICOSProfesor:Mg. Ronald PortalesIntegrantes:
Antezana Vergara, Miguel ngel. Huanca Ortiz, Elvis. Nuez Zumaeta, Mercedes. Pillaca Quispe, Elizabeth. Ponte Valverde, Erick. Vidal Villarreal, Edward. Villafuertes Pelayo, Joselyn.
Ciclo: 2016-V Bellavista Callao, 18 de enero del 2016
TRABAJO N 1GRUPO 5
I. DETERMINAR LAS RACES DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
5.1. Determine las races reales de f(x) = -0.5x2 + 2.5x + 4.5:
a) Grficamente
De la tabla y de la grfica, observamos que existen 2 races, una se encuentra entre los valores de x de -2 y -1 y la otra entre los valores de 6 y 7.
b) Utilizando el mtodo de la biseccin con tres iteraciones para determinar la raz ms grande. Emplee como valores iniciales xi = 5 y xu = 10. Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteracin.De acuerdo a la tabla y la grfica de la parte (a), la raz ms grande se encuentra entre los valores de x de 6 y 7.Para ste mtodo, usaremos:1. Primera iteracin:
(NEGATIVO) Nuevo intervalo: Inferior o izquierdo.
2. Segunda iteracin:
(POSITIVO) Nuevo intervalo: Superior o derecho
3. Tercera iteracin:
(NEGATIVO) Nuevo intervalo: Inferior o izquierdo.
En Excel:
Raz= 6.40563965
c) Utilizando el mtodo de la secante con tres iteraciones para determinar la raz ms grande. Emplee como valores iniciales xi = 5 y xu = 10. Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteracin.
De acuerdo a la frmula:
Primera iteracin:
== 5.9
Segunda iteracin:
== 6.2385
Tercera iteracin:
== 6.4169
En Excel:
Raz= 6.405124451
5.2. Determine las races reales de f(x) = 5x3-5x2+6x-2:
a. Grficamente
delta de x1
xf(x)
0-2
14
230
3106
4262
5528
6934
71510
82286
93292
De la tabla y de la grfica, observamos que las tres races se encontrarn entre 0 y 1.
b. Utilizando mtodo de la biseccin para localizar la raz ms pequea. Use los valores iniciales xi = 0 y xu = 1. Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteracin.
De acuerdo a la tabla y la grfica de la parte (a), la raz se encuentra entre los valores de x de 0 y 1.Entonces, haciendo los respectivos clculos, se tendr los siguientes resultados:
Resolviendo en Excel
iX1X2Xrf(X1)f(Xr)f(X1)*f(Xr)error ABS
0010.5-20.375-0.75
100.50.25-2-0.7343751.468750.25
20.250.50.375-0.734375-0.189453130.139129640.125
30.3750.50.4375-0.189453130.08666992-0.016419890.0625
40.3750.43750.40625-0.18945313-0.052459720.009938660.03125
50.406250.43750.421875-0.052459720.01678085-0.000880320.015625
60.406250.4218750.4140625-0.05245972-0.017913340.000939730.0078125
70.41406250.4218750.41796875-0.01791334-0.000585621.049E-050.00390625
80.417968750.4218750.41992188-0.000585620.00809266-4.7392E-060.00195313
90.417968750.419921880.41894531-0.000585620.0037523-2.1974E-060.00097656
100.417968750.418945310.41845703-0.000585620.00158304-9.2705E-070.00048828
110.417968750.418457030.41821289-0.000585620.00049864-2.9201E-070.00024414
120.417968750.418212890.41809082-0.00058562-4.3509E-052.548E-080.00012207
130.418090820.418212890.41815186-4.3509E-050.00022756-9.9009E-096.1035E-05
140.418090820.418151860.41812134-4.3509E-059.2023E-05-4.0039E-093.0518E-05
150.418090820.418121340.41810608-4.3509E-052.4257E-05-1.0554E-091.5259E-05
160.418090820.418106080.41809845-4.3509E-05-9.6263E-064.1883E-107.6294E-06
170.418098450.418106080.41810226-9.6263E-067.3152E-06-7.0418E-113.8147E-06
180.418098450.418102260.41810036-9.6263E-06-1.1556E-061.1124E-111.9073E-06
190.418100360.418102260.41810131-1.1556E-063.0798E-06-3.5589E-129.5367E-07
200.418100360.418101310.41810083-1.1556E-069.6212E-07-1.1118E-124.7684E-07
Raz = 0.418100
c. Mediante el mtodo de la secante
De acuerdo a la frmula:
Aplicando la frmula anterior, se tiene:
Mtodo de la secante utilizando Excel
00
1114-21CONTINUA
20.33333333-0.66666667-0.3703703740.66666667CONTINUA
30.389830510.05649718-0.1246476-0.370370370.05649718CONTINUA
40.418489790.028659280.00172854-0.12464760.02865928CONTINUA
50.41809779-0.000392-1.2544E-050.001728540.000392CONTINUA
60.418100622.8243E-06-1.3997E-09-1.2544E-052.8243E-06FIN
Raz =0.41810062
5.3. Determine las races reales de f(x) = -25182x-90x2+44x3-8x4+0.7x5.xf(x)
-1048820
-993449,7
-8117462,4
-7125799,1
-6122536,8
-5110972,5
-493707,2
-372729,9
-249501,6
-125039,3
00
1-25235,3
2-50477,6
3-75645,9
4-100683,2
5-125472,5
6-149752,8
7-173035,1
a) Grficamente
Observando se nota que una raz se encuentra entre 0 y 1, y otra de ellas entre x=16 y x=17. Hallaremos tales races por los diferentes mtodos ya estudiados.
b) Usando el mtodo de Newton Raphson.
X=15-122917,5
X=16-148099.5Existe raz
X=1787797,9
X=18257061,6
POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON, NOS ACERCAMOS POR 16 (RAIZ SUPERIOR)
1RA ITERACION: X17 = X16 - X17 = 16 - X17 = 17.4235
2DA ITERACION:X18 = X17 - X18 = 17.4235 - s = = 0.0563X18 = 16.49411
3RA ITERACION:X19 = X18 - X18 = 16.49411 - s = = 0.009963X18 = 16.3314
4TA ITERACION:X20 = X19 - X20 = 16.3314 - s = = 0.00028 = 0,0001 aprox X20 = 16.32682
5TA ITERACION:X21 = X20 - X21 = 16.32682 - s = = 0.000000612X21 = 16.32681
En Excel:
ixF(x)F(x)%ErEa
016-36012,8104034
116,346163752261,19192117260,95716,92646770,34616375
216,326880347,35852544116498,276-306,288727-0,01928342
316,326817177,8738E-05116495,783-93454,3183-6,3164E-05
raz
c) Usando el mtodo de la secante.Sabiendo que una de las races es 0, simplificamos x y la ecuacin queda asi:F(x) = -25182 90x+44x2-8x3+0.7x4Nos dan como valores iniciales:X0 = 0.5X1 = 1Por iteraciones y hasta tener un error absoluto de 0.1xn+1 = xn - . F(xn)x0 = 0.5x1 = 1
x2 = x1 - . F(x1) = 1 - . F(X2 = -686.8446Error = 1.001 x3 = x2 - . F(x2) = -686.8446- . F(-686.8446)x3 = 0.99989Error =687.9199
x4 = x3 - . F(x3) = 0.99989- . F(0.99989)x4 = 0.999781nxnxn-1error
110.5-25216.95625-25235.31.001456
2-686.84461-25235.39.22337687.9199
30.99781-686.84469.22337-25235.29751.0961
Error =1.09607En Excel: Mediante iteraciones se obtiene que el valor de X es 0.99978083423
d) Usando el mtodo de la Biseccin:
Usando el mtodo de la biseccin para localizar la raz ms grande con s = 10 % Utilic como valores iniciales X1 = 0.5 y X2 = 1.0,SOLUCION:1ra Iteracin: = 0.5 = 1.0 = = 0.75
Evaluando en la funcin el valor de = 0.75 f(0.75) = -25216.42764
Multiplicamos nuestro = 0.5 y nuestro = 0.75 evaluados en la funcion = (-25216.42764) ( -25199.47813 ) = 635440816.7Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 0.75 ; = 1.0 >
2da Iteracin: = 0.75 = 1.0 = = 0.875
Evaluando en la funcin el valor de = 0.875 f(0.875) = -25225.7601
Multiplicamos nuestro = 0.75 y nuestro = 0.875 evaluados en la funcion = (-25225.7601) ( -25216.42764) = 636103553.3Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 0.875; = 1.0 >
3ra Iteracin: = 0.875 = 1.0 = = 0.9375
Evaluando en la funcin el valor de = 0.9375 f(0.9375) = -25230.51955
Multiplicamos nuestro = 0.875 y nuestro = 0.9375 evaluados en la funcion = (-25230.5195) (-25225.76) = 636459033.4Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 0.9375 ; = 1.0 >Y seguimos iterando hasta obtener un error menor al 1 %
En Excel:#iterXaXbXrf(Xa)f(Xr)f(Xa)*f(Xb)intervEa(%)
10.510.75-25199.47813-25216.427635440816Super.-
20.7510.875-25216.427-25225.76014.4767Super.14.28
30.87510.9375-25225.7601-25230.5195636459033Super.6.67
40.937510.96875-25230.5195-25232.9089636639403Super.3.22
50.9687510.98437-25232.9089-25234.1045636729862Super.1.58
60.9843710.9921875-25234.1045-25234.70636775115Super.0.787
5.4. Calcule las races reales de f(x) = -12 - 21x + 18x2 2.75x3. Adems, determine la primera raz de la funcin con los mtodos de biseccin, Newton-Raphson y secante. Utilice los valores iniciales de x0=-1 y x1=0 y un criterio de detencin de 1%.a) Grficamente
Grficamente las races de la ecuacin son x1= -0.414689, x2=2.2198183 y x3=4.7403257.Hallaremos la primera raz (x1= -0.414689) con los diversos mtodos.
b) Usando el mtodo de la biseccin.
1. Primera iteracin:
(POSITIVO) Nuevo intervalo: superior o derecho.
2. Segunda iteracin:
(NEGATIVO) Nuevo intervalo: inferior o izquierdo.
3. Tercera iteracin:
(NEGATIVO) Nuevo intervalo: inferior o izquierdo.
4. Cuarta iteracin:
(POSITIVO) Nuevo intervalo: superior o derecho.
5. Quinta iteracin:
(NEGATIVO) Nuevo intervalo: inferior o izquierdo.
6. Sexta iteracin:
(NEGATIVO) Nuevo intervalo: superior o derecho.
En ExcelXaXbXrF(Xa)F(Xb)F(Xr)F(Xa)*F(Xr)DECIDIREr (%)Ea
-10-0,529,75-123,3437599,4765625SUPERIOR
-0,50-0,253,34375-12-5,58203125-18,66491699INFERIOR1000,25
-0,5-0,25-0,3753,34375-5,58203125-1,44873047-4,844192505INFERIOR33,333330,125
-0,5-0,375-0,43753,34375-1,448730470,863098142,885984421SUPERIOR14,285710,0625
-0,4375-0,375-0,406250,86309814-1,44873047-0,3136673-0,270725662INFERIOR7,6923070,03125
-0,4375-0,40625-0,4218750,86309814-0,31366730,269471170,232580066SUPERIOR3,703700,01562
-0,421875-0,40625-0,41406250,26947117-0,3136673-0,02340519-0,006307025INFERIOR1,8867920,00781
-0,421875-0,4140625-0,417968750,26947117-0,023405190,122705710,033065652SUPERIOR0,9345790,003906
-0,41796875-0,4140625-0,416015630,12270571-0,023405190,04956850,006082338SUPERIOR0,4694830,001953
-0,41601563-0,4140625-0,415039060,0495685-0,023405190,013061220,000647425SUPERIOR0,2352940,000976
-0,41503906-0,4140625-0,414550780,01306122-0,02340519-0,00517709-6,76192E-05INFERIOR0,1177850,000488
-0,41503906-0,41455078-0,414794920,01306113-0,005177140,003940725,14702E-05SUPERIOR0,058850,000244
-0,41479492-0,41455078-0,414672850,00394072-0,00517714-0,00061853-2,43745E-06INFERIOR0,0294370,000122
Raz:-0,41467285
c) Usando el mtodo de Newton Raphson.
Usando la siguiente frmula:
-12-21x+18x2-2.75x3 -21+36x-8.25x2
1. Primera iteracin: x1 = 0
2. Segunda iteracin: x2 = -0.57142857
3. Tercera iteracin: x3 = -0.427055
4. Cuarta iteracin: x4 = -0.414776
En Excel:
1era raz= -0.414689416
d) Usando el mtodo de la secante.
1) Haciendo uso del Mtodo de la Secante :
y
2) Iterandoa) K=1
b) K=2
c) K=3
d) K=4
e) K=5
f) K=6
g) K=7
Y as sucesivamente hasta que k=12 donde se tiene el valor de la raz ms prxima a 0 teniendo en cuenta E= 0.001
En Excel:IteracinXiXi - Xi-1f(xi)f(xi-1)EaObservacion
00
111-17,75-121Continuar
2-2,08695652-3,08695652135,219199-17,753,08695652Continuar
30,641800582,7287571-18,7904661135,2191992,7287571Continuar
40,30886941-0,33293117-16,8500842-18,79046610,33293117Continuar
5-2,58227181-2,89114122209,606032-16,85008422,89114122Continuar
60,093746182,67601799-13,8127451209,6060322,67601799Continuar
7-0,07169719-0,16544337-10,4008167-13,81274510,16544337Continuar
8-0,57602961-0,504332426,59481812-10,40081670,50433242Continuar
9-0,380333440,19569617-1,257938566,594818120,19569617Continuar
10-0,41168215-0,03134871-0,11212021-1,257938560,03134871Continuar
11-0,41474967-0,003067520,00225066-0,112120210,00306752Continuar
12-0,414689316,0365E-05-3,887E-060,002250666,0365E-05Fin
1era raz= -0.41468931
II. EJERCICIOS DE INGENIERA QUMICA:
1. La concentracin de saturacin de oxgeno disuelto en agua dulce se calcula con la ecuacin (APHA 1992)
Donde
Recuerde el lector que
Donde T= Temperatura (). De acuerdo con esta ecuacin, la saturacin disminuye con el incremento de la temperatura. Para aguas naturales comunes en climas templados, la ecuacin se usa para determinar que la concentracin de oxigeno varia de 14.621 mg/L a 0 a 6.413 mg/L a 40 . Dado un valor de concentracin de oxgeno, puede emplearse esta frmula y el mtodo de biseccin para resolver para la temperatura en SOLUCIN POR EL MTODO DE LA SECANTENos dan las temperaturas iniciales: = 0 + 273.15 = 273.15 K = 14.621 mg/L = 40 + 273.15 = 313.15 K = 6.413 mg/ LPor iteraciones y hasta tener un error absoluto de 0.05xn+1 = xn - . F(xn)x0 = 273.15Kx1 = 313.15K x2 = x1 - . F(x1) = 313.15 - . F(X2 = 416.5086Error = 0.10311446673 x3 = x2 - . F(x2) = 416.5086 - . F(416.5086)x3 = 401.4785Error = 0.03629667967nxnxn-1error
2416.5086313.152.682440.805310.103114
3401.4786416.50860.805309-0.414260.036297
Mediante iteraciones se obtiene que el valor de la temperaturA es 401.4786K.
En grado Celsius se obtiene 128.3285C
SOLUCIN POR EL MTODO DE LA BISECCIN
a) Si los valores iniciales son de 0 y 40 , con el mtodo de la biseccin, Cuantas iteraciones se requeriran para determinar la temperatura con un error absoluto de 0.05 .Solucin :Nos dan las temperaturas iniciales: = 273 K = 14.621 mg/L = 313 K = 6.413 mg/ LAplicamos el mtodo de la biseccin :
1ra Iteracin: = 273 K = 313 K = = 293 KEvaluando en la funcin el valor de = 293 K =
Multiplicamos nuestro = 273 K y nuestro = 293 K evaluados en la funcion = (14.621) (2.2104) = 32.3182Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 293 K ; = 313 K >
2da Iteracin: = 293 K = 313 K = = 303 KEvaluando en la funcin el valor de = 303 K = Multiplicamos nuestro = 293 K y nuestro = 303 K evaluados en la funcion = (2.2104) (2.025305) = 4.4767Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 303 K ; = 313 K >3ra Iteracin: = 303 K = 313 K = = 308 KEvaluando en la funcin el valor de = 308 K = Multiplicamos nuestro = 303 K y nuestro = 308 K evaluados en la funcin: = (2.025305) (1.941104) = 3.93132
Como nos sale positivo (+) tomamos para la siguiente iteracin el rango de < = 308 K ; = 313 K >
Y as consecutivamente hasta encontrar un error absoluto de 0.05 A continuacin mostraremos una tabla para apreciar mejor esto: En Excel
2. Mediante el Mtodo de Newton Raphson (R=0.082), determinar el volumen molar.
Determinar el volumen molar del oxigeno mediante la ecuacin de Van Der Waals:
Por la ecuacin del gas ideal:
La forma desarrollada de la ecuacin de Van Der Waals es la siguiente:
Reemplazando datos anteriores se tiene:
Quedando:
Derivando la ecuacin anterior:
Por el mtodo de Newton Raphson:
Luego:
iXiF(Xi)F(Xi)ErEa
00,574-0,003103420,3065696
10,584123040,000115420,329475711,73303240,01012304
20,583772721,4067E-070,328672750,06000920,00035032
30,58377232,0983E-130,328671777,3313E-054,2798E-07
40,58377237,0473E-190,328671771,0935E-106,3838E-13
50,58377237,0473E-190,3286717700
Mediante Excel:
3. La ecuacin de estado Redlich-Kwong es:
Donde :
a. Mtodo grfico:
delta x0.2
vf(v)
0-0.00067644
0.2-0.03230547
0.4-0.09749716
0.6-0.14825152
0.8-0.13656855
1-0.01444824
1.20.2661094
1.40.75310438
1.61.49453668
1.82.53840632
Las races se encontrarn entre 1 y 1.2, como se muestra en la tabla y la grfica.
b. Mtodo de la Secante
Sea la ecuacin:
Mtodo de la secante por medio de clculos
En Excel:
01
11.20.20.2661094-0.014448240.2continua
21.01029966-0.18970034-0.004280430.26610940.18970034continua
31.013302720.00300307-0.00123574-0.004280430.00300307continua
41.014521570.001218851.0387E-05-0.001235740.00121885continua
51.01451141-1.016E-05-2.4841E-081.0387E-051.016E-05fin
Raz = 1.01451141
4. Resolver:En un proyecto de ingeniera qumica se requiere que se determine exactamente el volumen molar y factor de comprensibilidad del amoniaco a una presin de 120atm y 500K mediante La siguiente ecuacin.
DATOS: Tc = 405.5K Pc = 111.3atmR = 0.082
=
a. MTODO DE LA SECANTE
La forma desarrollada de la ecuacin de Van Der Waals es la siguiente:
Reemplazando los datos tenemos:
Resolviendo por el mtodo de la secante, tenemos:
GRAFICA DE LA FUNCION
TABLA INTERACION(EXCEL)Ix(i-1)F(xi-1)X(i)F(xi)Xerror
10-0.001310.65459740.001986502.5314
210.65460.001986-0.0012350.0038640.902734
30.001986-0.0012350.003865-0.00117330.039740.902734
40.003865-0.0011730.039736-4.51491660.0621730.360879
50.039736-4.51491660.062173-3.57451550.14745770.578365
60.062173-3.57451550.1474577-0.001190.02559764.760599
70.1474577-0.001190.0255976-6.4080547-0.11634961.220006
80.0255976-6.4080547-0.1163496-0.0255976-0.01206894.467217
9-0.1163496-0.0255976-0.0120689-5.20453860.04031290.167586
10-0.0120689-5.20453860.0403129-4.46090180.08083980.501323
110.0403129-4.46090180.0808398-4.29789551.14938860.929667
120.0808398-4.29789551.14938861.05656570.081274313.14210
131.14938861.05656570.0812743-4.3275730.08171160.005351
140.0812743-4.3275730.0817116-4.35795840.01899183.302476
150.0817116-4.35795840.0189918-7.69638E-40.16358570.8839
160.0189918-7.69638E-40.1635857-0.001358-0.170151.961420
170.1635857-0.001358-0.17015-0.02313930.1843931.922756
18-0.17015-0.02313930.184393-0.00148400.2086910.116428
190.184393-0.00148400.208691-0.00143660.94349580.778811
200.208691-0.00143660.94349580.534130740.21066183.478723
210.94349580.534130740.2106618-0.00142110.21260640.009146
220.2106618-0.00142110.2126064-0.00140390.37124950.427322
230.2126064-0.00140390.37124950.01058580.2311810.605876
240.37124950.01058580.231181-0.00113450.24474020.0553986
250.231181-0.00113450.2447402-8.030288E0.27758680.118328
260.2447402-8.030288E0.27758685.7084082E0.2639390.051708
270.27758685.7084082E0.263939-1.067119E0.266088530.008078
280.263939-1.067119E0.26608853-1.05932E0.266325428.8947909E
Mediante el mtodo de la secante nos sale que el volumen molar es: 0.26632542 litros/mol.
a. MTODO DE NEWTON RAPSHON
Datos: Tc=405.5k; Pc=111.3atm; R=0.082Entonces reemplazando datos:
Desarrollando:
En Excel:Sea la ecuacin:
Graficando y tabulando:
vf(v)
0-0,156501177
178,55304271
2786,3000529
32843,084529
46968,906472
513883,76588
624307,66276
De:
kVkf(v)f'(v)| Vk-Vk-1 |
0178,5530427273,228277
10,71250031823,1452503122,136390,28749968
20,5229970076,7613625355,08699070,18950331
30,4002572731,9293631825,45651360,12273973
40,3244667230,5142012712,5768110,07579055
50,2835818540,11102687,346207210,04088487
60,2684683680,012516045,717343030,01511349
70,2662792320,000243955,495043750,00218914
80,2662348389,9282E-085,490571324,4395E-05
90,266234821,6404E-145,490569491,8082E-08
100,2662348205,490569492,9976E-15
Por lo tanto el volumen molar es: Vm= 0.26623482Lmol-1
El factor de compresibilidad es:
1Mtodos Numricos