Principios de Incertidumbre de Medida

Regional meeting on technical requirements, method validation and uncertainty estimation

Principios de Principios de incertidumbres de incertidumbres de

medidamedida

Normas utilizadasNormas utilizadas

Guide to the expression of uncertainty in Guide to the expression of uncertainty in measurement – ISOmeasurement – ISO

Quantifying uncertainty in analytical Quantifying uncertainty in analytical measurement – Eurachemmeasurement – Eurachem

International vocabulary of basic and general International vocabulary of basic and general terms in Metrology - ISO terms in Metrology - ISO


Definición de Definición de incertidumbreincertidumbre

Un parámetro asociado con el resultado Un parámetro asociado con el resultado de una medida, que caracteriza la de una medida, que caracteriza la dispersión de los valores que dispersión de los valores que razonablementerazonablemente podría ser atribuida al podría ser atribuida al mensurandomensurando

En la mayoría de los casos en análisis En la mayoría de los casos en análisis químicos, el mensurando sería la químicos, el mensurando sería la concentración de un analito, aunque concentración de un analito, aunque existen otro tipo de mensurandos en existen otro tipo de mensurandos en análisis químicos (color, pH,..)análisis químicos (color, pH,..)


Expresión de la Expresión de la incertidumbreincertidumbre

El parámetro incertidumbre puede ser una desviación El parámetro incertidumbre puede ser una desviación típica (o un múltiplo de ella) o la amplitud de un típica (o un múltiplo de ella) o la amplitud de un intervalo de confianzaintervalo de confianza

La incertidumbre de una medida comprende, La incertidumbre de una medida comprende, generalmente, muchos componentes. Algunos generalmente, muchos componentes. Algunos componentes pueden ser evaluados a partir de la componentes pueden ser evaluados a partir de la distribución estadística de una serie de resultados (y distribución estadística de una serie de resultados (y caracterizarlos por sus desviaciones típicas) y otros caracterizarlos por sus desviaciones típicas) y otros evaluados por distribuciones asumidas a partir de la evaluados por distribuciones asumidas a partir de la experiencia o por cualquier otra información (y experiencia o por cualquier otra información (y caracterizarlos también como desviaciones típicas) caracterizarlos también como desviaciones típicas)


Fuentes de Fuentes de incertidumbreincertidumbre

En la práctica, la incertidumbre de un En la práctica, la incertidumbre de un resultado puede proceder de muchas resultado puede proceder de muchas posibles fuentes, como por ejemplo la posibles fuentes, como por ejemplo la definición incorrecta del problema, definición incorrecta del problema, muestreo, efectos de matriz e muestreo, efectos de matriz e interferencias, condiciones ambientales, interferencias, condiciones ambientales, incertidumbres de los instrumentos de incertidumbres de los instrumentos de medida de masa y volumen, valores de medida de masa y volumen, valores de referencia, aproximaciones o asunciones referencia, aproximaciones o asunciones que se llevan a cabo en el método de que se llevan a cabo en el método de medida y en el procedimiento, y en medida y en el procedimiento, y en variaciones aleatorias. variaciones aleatorias.


Componentes de la Componentes de la incertidumbreincertidumbre

Para estimar la incertidumbre global, es Para estimar la incertidumbre global, es necesario tomar cada fuente de necesario tomar cada fuente de incertidumbre de forma individual y incertidumbre de forma individual y tratarla independientemente del resto.tratarla independientemente del resto.

Cada contribución a la incertidumbre se Cada contribución a la incertidumbre se denomina denomina componente de incertidumbre.componente de incertidumbre.

Cuando se expresa como desviación típica, Cuando se expresa como desviación típica, un componente de incertidumbre se un componente de incertidumbre se denomina denomina incertidumbre estándar.incertidumbre estándar.

Si hay correlación entre algunos de los Si hay correlación entre algunos de los componentes, es necesario considerar la componentes, es necesario considerar la covarianzacovarianza entre las dos fuentes de entre las dos fuentes de incertidumbreincertidumbre


Incertidumbre Incertidumbre combinadacombinada

Para un determinado resultado de Para un determinado resultado de medida medida yy, la incertidumbre total, , la incertidumbre total, denominada denominada incertidumbre estándar incertidumbre estándar combinadacombinada y que se expresa como y que se expresa como uucc(y)(y), , es una desviación típica estimada igual es una desviación típica estimada igual a la raiz cuadrada de la varianza total a la raiz cuadrada de la varianza total obtenida combinando todos los obtenida combinando todos los componentes de la incertidumbre, componentes de la incertidumbre, usando la ley de propagación de usando la ley de propagación de incertidumbreincertidumbre


Incertidumbre expandidaIncertidumbre expandida

En la mayoría de las ocasiones, se debería En la mayoría de las ocasiones, se debería expresar la expresar la incertidumbre expandidaincertidumbre expandida, , UU..

La incertidumbre expandida proporciona un La incertidumbre expandida proporciona un intervalo en que debe encontrarse el valor intervalo en que debe encontrarse el valor del mensurando, pora un elevado nivel de del mensurando, pora un elevado nivel de confianza.confianza.

U se calcula multiplicando la incertidumbre U se calcula multiplicando la incertidumbre combinada por un combinada por un factor de coberturafactor de cobertura, , kk, que , que se elige de acuerdo con el nivel de confianza se elige de acuerdo con el nivel de confianza deseado.deseado.

Así, para un nivel de confianza del 95%, Así, para un nivel de confianza del 95%, k=2k=2


Error e incertidumbreError e incertidumbre El error se define como la diferencia entre un El error se define como la diferencia entre un

valor individual y el valor verdadero del valor individual y el valor verdadero del mensurando. Por lo tanto, el error es un único mensurando. Por lo tanto, el error es un único valor y, en principio, el valor de un error conocido valor y, en principio, el valor de un error conocido puede ser aplicado como una corrección al puede ser aplicado como una corrección al resultado.resultado.

Sin embargo, la incertidumbre tiene la forma de Sin embargo, la incertidumbre tiene la forma de un intervalo y, si se estima para un determinado un intervalo y, si se estima para un determinado procedi-miento y un determinado tipo de procedi-miento y un determinado tipo de muestras, puede ser aplicado a todas las muestras, puede ser aplicado a todas las determinaciones que se efectuen de esta forma. determinaciones que se efectuen de esta forma. En general, la incertidumbre no debe ser En general, la incertidumbre no debe ser empleada para corregir un resultado de medida.empleada para corregir un resultado de medida.


Error e incertidumbre Error e incertidumbre (II)(II) Un procedimiento puede tener un error grande y una Un procedimiento puede tener un error grande y una

incertidumbre pequeña o viceversa.incertidumbre pequeña o viceversa. La incertidumbre nunca debe ser interpretada como La incertidumbre nunca debe ser interpretada como

la representación del error en sí mismo, no del error la representación del error en sí mismo, no del error que queda después de la corrección.que queda después de la corrección.

Un error tiene siempre dos componentes: el aleatorio Un error tiene siempre dos componentes: el aleatorio y el sistemático.y el sistemático.

El error aleatorio procede generalmente de El error aleatorio procede generalmente de variaciones no predecibles de las variables que variaciones no predecibles de las variables que afectan al proceso Estos efectos aleatorios provocan afectan al proceso Estos efectos aleatorios provocan variaciones en observaciones repetidas del variaciones en observaciones repetidas del mensurando. Se puede minimizar aumentando el nº mensurando. Se puede minimizar aumentando el nº de observaciones.de observaciones.

El error sistemático se define como el componente El error sistemático se define como el componente del error que permanece constante o varía de forma del error que permanece constante o varía de forma predecible, para una serie de análisis del mismo predecible, para una serie de análisis del mismo mensurandomensurando


Error e incertidumbre Error e incertidumbre (III)(III)

Los errores sistemáticos constantes, tales Los errores sistemáticos constantes, tales como la no sustracción del blanco o las como la no sustracción del blanco o las inexactitudes en un calibrado con múltiples inexactitudes en un calibrado con múltiples patrones, son constantes para un patrones, son constantes para un determinado valor del mensurando pero determinado valor del mensurando pero pueden variar con el valor del mismo.pueden variar con el valor del mismo.

Los efectos que cambian sistemáticamente de Los efectos que cambian sistemáticamente de magnitud durante una serie de análisis dan magnitud durante una serie de análisis dan lugar a errores sistemáticos no constantes.lugar a errores sistemáticos no constantes.

El resultado de una medida debería ser El resultado de una medida debería ser corregido para todos los efectos sistemáticos corregido para todos los efectos sistemáticos conocidos.conocidos.


Errores espúreosErrores espúreos Por ejemplo, debidos a fallos humanos o mal Por ejemplo, debidos a fallos humanos o mal

funcionamiento de la instrumentación.funcionamiento de la instrumentación. Algunos casos: mala trascripción de un dato, mala Algunos casos: mala trascripción de un dato, mala

identificación de una muestra, falta de agitación de una identificación de una muestra, falta de agitación de una muestra, mala selección de la temperatura de una mufla,muestra, mala selección de la temperatura de una mufla,….….

Dependiendo del tipo de error, deben ser eliminados Dependiendo del tipo de error, deben ser eliminados totalmente o corregidos (mala trascripción de un número)totalmente o corregidos (mala trascripción de un número)

No son siempre obvios y, si se efectúa un número No son siempre obvios y, si se efectúa un número suficiente de réplicas pueden ser detectados mediante suficiente de réplicas pueden ser detectados mediante técnicas estadísticas, confirmadas con la actuación técnicas estadísticas, confirmadas con la actuación llevada a cabo en el procedimiento.llevada a cabo en el procedimiento.

El cálculo de incertidumbres no permite eliminar la El cálculo de incertidumbres no permite eliminar la posibilidad de valores anómalos o errores espúreos.posibilidad de valores anómalos o errores espúreos.


El proceso para la El proceso para la estimación de la estimación de la

incertidumbre de medidaincertidumbre de medida Paso 1: Especificar el mensurando Paso 1: Especificar el mensurando

de forma clara, incluyendo la de forma clara, incluyendo la relación entre el mensurando y las relación entre el mensurando y las cantidades de entrada (magnitudes cantidades de entrada (magnitudes medidas, constants, valores de los medidas, constants, valores de los patrones de calibrado, .) de las que patrones de calibrado, .) de las que depende. Si se conocen, se deben depende. Si se conocen, se deben introducir las correcciones por introducir las correcciones por errores sistemáticos conocidos.errores sistemáticos conocidos.



incertidumbre de medidaincertidumbre de medida Paso 2: Identificar las fuentes de Paso 2: Identificar las fuentes de

incertidumbre: hacer una lista con incertidumbre: hacer una lista con todas las posibles fuentes, todas las posibles fuentes, incluyendo las que afectan a los incluyendo las que afectan a los parámetros de la relación del paso 1. parámetros de la relación del paso 1. Puede (y debe) haber muchas otras Puede (y debe) haber muchas otras fuentes, así como las que provengan fuentes, así como las que provengan de asunciones químicas.de asunciones químicas.



incertidumbre de medidaincertidumbre de medida Paso 3: Cuantificar los componentes de Paso 3: Cuantificar los componentes de

incertidumbre: Medir o estimar cúanto es la incertidumbre: Medir o estimar cúanto es la incertidumbre asociada con cada una de las incertidumbre asociada con cada una de las fuentes de incertidumbre anteriores. A menudo fuentes de incertidumbre anteriores. A menudo es posible determinar o estimar una contribución es posible determinar o estimar una contribución única a la incertidumbre asociada con un única a la incertidumbre asociada con un conjunto de fuentes separadas. También es conjunto de fuentes separadas. También es importante considerar si hay datos disponibles importante considerar si hay datos disponibles para todas las fuentes de incertidumbre y, si no, para todas las fuentes de incertidumbre y, si no, hay que plantear los experimentos necesarios hay que plantear los experimentos necesarios para calcular todos los componentes de la para calcular todos los componentes de la incertidumbreincertidumbre



incertidumbre de medidaincertidumbre de medida Paso 4: Calcular la incertidumbre Paso 4: Calcular la incertidumbre

combinada: Se agrupan las incertidumbres combinada: Se agrupan las incertidumbres anteriores dependiendo si son anteriores dependiendo si son componentes individuales o conjuntos de componentes individuales o conjuntos de fuentes. Las contribuciones se expresan fuentes. Las contribuciones se expresan como desviaciones típicas y se agrupan, de como desviaciones típicas y se agrupan, de acuerdo con las reglas apropiadas, para acuerdo con las reglas apropiadas, para calcular la incertidumbre combinada, que calcular la incertidumbre combinada, que multiplicada por el factor de cobertura multiplicada por el factor de cobertura escogido, proporciona finalmente la escogido, proporciona finalmente la incertidumbre expandida.incertidumbre expandida.


Paso 1: Especificar el Paso 1: Especificar el mensurandomensurando

En el caso de métodos empíricos, es En el caso de métodos empíricos, es posible que determinados efectos, posible que determinados efectos, que pueden aportar grandes que pueden aportar grandes incertidumbres, no sean relevantes, incertidumbres, no sean relevantes, dado que se están llevando a cabo dado que se están llevando a cabo en unas condiciones en las cuales en unas condiciones en las cuales estos efectos sean propios del estos efectos sean propios del método empírico empleado. método empírico empleado.


Paso 2. Identificación de las Paso 2. Identificación de las fuentes de incertidumbrefuentes de incertidumbre

Es necesario confeccionar una lista Es necesario confeccionar una lista exhaustiva de todas las fuentes de exhaustiva de todas las fuentes de incertidumbre relevantes.incertidumbre relevantes.

En este momento, no es necesario llevar a En este momento, no es necesario llevar a cabo la cuantificación de los componentes cabo la cuantificación de los componentes individuales, esto se hará en el paso 3.individuales, esto se hará en el paso 3.

Si existe una determinada función de la que Si existe una determinada función de la que dependa el mensurando, los términos de esa dependa el mensurando, los términos de esa función serán los primeros a considerar, así función serán los primeros a considerar, así como los efectos que contribuyen a dichos como los efectos que contribuyen a dichos términos.términos.


Paso 2. Identificación de las Paso 2. Identificación de las fuentes de incertidumbrefuentes de incertidumbre

Es conveniente llevar a cabo un desglose de Es conveniente llevar a cabo un desglose de lo que es nuestro procedimiento de medida, lo que es nuestro procedimiento de medida, por ejemplo:por ejemplo: MuestreoMuestreo Preparación de muestraPreparación de muestra Análisis de materiales de referenciaAnálisis de materiales de referencia Calibración del equipoCalibración del equipo Adquisición de datos (medida física)Adquisición de datos (medida física) Proceso de datosProceso de datos Presentación de resultadosPresentación de resultados Interpretación de resultadosInterpretación de resultados


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en el muestreoen el muestreo

HomogeneidadHomogeneidad Efectos de la estrategia de muestreoEfectos de la estrategia de muestreo Efectos del movimiento de la masa de Efectos del movimiento de la masa de

muestra (segregación por densidad)muestra (segregación por densidad) Estado físico de la muestraEstado físico de la muestra Efectos de la temperatura y la presiónEfectos de la temperatura y la presión ¿Afecta el proceso de muestreo a la ¿Afecta el proceso de muestreo a la

composicíón? (adsorción, composicíón? (adsorción, segregación,..)segregación,..)


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en la preparación de la en la preparación de la

muestramuestra Efectos de la homogeneización o de la toma de Efectos de la homogeneización o de la toma de

muestra para análisismuestra para análisis SecadoSecado MoliendaMolienda DisoluciónDisolución ExtracciónExtracción Posibles contaminaciones externas o cruzadasPosibles contaminaciones externas o cruzadas Derivatización o reacción del mensurandoDerivatización o reacción del mensurando Errores de diluciónErrores de dilución PreconcentraciónPreconcentración Efectos de posible especiaciónEfectos de posible especiación


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en la medida del material en la medida del material

de referenciade referencia Incertidumbre del material de Incertidumbre del material de

referenciareferencia Similitud entre el material de Similitud entre el material de

referencia y la muestra a analizarreferencia y la muestra a analizar


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en la calibración del en la calibración del

instrumentoinstrumento Errores de calibración utilizando Errores de calibración utilizando

materiales de referencia o patronesmateriales de referencia o patrones Patrón empleado y su incertidumbrePatrón empleado y su incertidumbre Similitud entre el patrón empleado y Similitud entre el patrón empleado y

la muestra a analizarla muestra a analizar Precisión del instrumento de medidaPrecisión del instrumento de medida


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en el análisisen el análisis

Transporte en autoanalizadoresTransporte en autoanalizadores Efectos debido al operario (paralaje Efectos debido al operario (paralaje

en matraces, distinción de colores, …)en matraces, distinción de colores, …) Interferencias debido a la matriz, los Interferencias debido a la matriz, los

reactivos u otros analitosreactivos u otros analitos Pureza del reactivoPureza del reactivo Valores ajustados de los parámetros Valores ajustados de los parámetros

del instrumentodel instrumento Precisión entre análisisPrecisión entre análisis


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en el proceso de datosen el proceso de datos

Cálculo de la mediaCálculo de la media Redondeo o truncamientoRedondeo o truncamiento EstadísticaEstadística Algoritmos de proceso de datos (p.ej. Algoritmos de proceso de datos (p.ej.

ajustes lineales mediante mínimos ajustes lineales mediante mínimos cuadrados)cuadrados)


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en la presentación de en la presentación de

resultadosresultados Resultado finalResultado final Estimación de la incertidumbreEstimación de la incertidumbre Nivel de confianzaNivel de confianza


Fuentes de incertidumbre Fuentes de incertidumbre en la interpretación de en la interpretación de

resultadosresultados Comparación con valores máximos o Comparación con valores máximos o

mínimos aceptablesmínimos aceptables Cumplimiento una determinada Cumplimiento una determinada

legislación o normalegislación o norma Ajuste al propósito deseadoAjuste al propósito deseado


Paso 3. Cuantificación de la Paso 3. Cuantificación de la incertidumbreincertidumbre

Puede ser hecha de dos formas:Puede ser hecha de dos formas: Evaluar la incertidumbre procedente de Evaluar la incertidumbre procedente de

cada una de las fuentes individuales y cada una de las fuentes individuales y luego combinarlas, como se mencionará luego combinarlas, como se mencionará mas tarde, omas tarde, o

Determinar directamente la contribución Determinar directamente la contribución combinada a la incertidumbre, a partir de combinada a la incertidumbre, a partir de algunas o todas las fuentes.algunas o todas las fuentes.

A menudo, generalmente se llevan a A menudo, generalmente se llevan a cabo ambas metodologíascabo ambas metodologías


Procedimiento para la Procedimiento para la evaluación de las evaluación de las incertidumbresincertidumbres

Mirar qué datos ya existen para la lista Mirar qué datos ya existen para la lista de las fuentes de incertidumbre, tales de las fuentes de incertidumbre, tales como precisión de matraces, datos de como precisión de matraces, datos de incertidumbre en materiales de incertidumbre en materiales de referencia o patrones, o algunos datos referencia o patrones, o algunos datos que se dispongan durante el desarrollo que se dispongan durante el desarrollo del método.del método.

Llevar a cabo el planteamiento de Llevar a cabo el planteamiento de nuevos experimentos para obtener nuevos experimentos para obtener datos para fuentes de incertidumbre de datos para fuentes de incertidumbre de la lista, de los que no se disponga la lista, de los que no se disponga ninguna informaciónninguna información


Procedimiento para la Procedimiento para la evaluación de las evaluación de las incertidumbresincertidumbres

Es importante, al menos la primera vez, Es importante, al menos la primera vez, considerar todas las fuentes de considerar todas las fuentes de incertidumbre y no solo aquellas que incertidumbre y no solo aquellas que consideremos que van a tener una consideremos que van a tener una mayor contribución.mayor contribución.

Una vez calculado, es posible eliminar Una vez calculado, es posible eliminar aquellas fuentes que no tengan aquellas fuentes que no tengan contribuciones significativas (un orden contribuciones significativas (un orden de magnitud menor que la de magnitud menor que la incertidumbre de las que sean incertidumbre de las que sean importantes).importantes).


Paso 4. Cálculo de la Paso 4. Cálculo de la incertidumbre combinadaincertidumbre combinada

Antes de combinar todas las Antes de combinar todas las incertidumbres, es necesario incertidumbres, es necesario expresarlas todas como expresarlas todas como incertidumbres estándar, es decir, incertidumbres estándar, es decir, mediante desviaciones típicas.mediante desviaciones típicas.

Esto puede hacer necesario Esto puede hacer necesario convertir otro tipo de medidas de convertir otro tipo de medidas de dispersión.dispersión.


Algunos casosAlgunos casos

Cuando el componente de la Cuando el componente de la incertidumbre procede de la incertidumbre procede de la dispersión de medidas repetidas, se dispersión de medidas repetidas, se puede calcular fácilmente la puede calcular fácilmente la desviación típica, pero para desviación típica, pero para resultados van a ser sometidos al resultados van a ser sometidos al cálculo de la media, se debe emplear cálculo de la media, se debe emplear la desviación típica de la mediala desviación típica de la media

1n

)x(xs

n

1i

2i

n

ssx



Cuando el estimador de la Cuando el estimador de la incertidumbre procede de un incertidumbre procede de un intervalo de confianza (por ejemplo intervalo de confianza (por ejemplo ±a para una probabilidad de p%), ±a para una probabilidad de p%), dividir el valor de a por el porcentaje dividir el valor de a por el porcentaje adecuado para una distribución adecuado para una distribución normal, para el intervalo de normal, para el intervalo de confianza indicado.confianza indicado.



Si los valores Si los valores ±a están dados sin un ±a están dados sin un intervalo de confianza y se piensa intervalo de confianza y se piensa que hay la misma probabilidad de que hay la misma probabilidad de obtener un valor en dicho intervalo, obtener un valor en dicho intervalo, se supone una distribución se supone una distribución rectangular, con una desviación rectangular, con una desviación típica detípica de

3

as



Si los valores Si los valores ±a están dados sin un ±a están dados sin un intervalo de confianza, pero no se intervalo de confianza, pero no se piensa que hay la misma piensa que hay la misma probabilidad de obtener un valor en probabilidad de obtener un valor en dicho intervalo, se supone una dicho intervalo, se supone una distribución triangular, con una distribución triangular, con una desviación típica dedesviación típica de

6

as


Cálculo de la incertidumbre Cálculo de la incertidumbre combinadacombinada

La relación general entre la La relación general entre la incertidumbre combinada incertidumbre combinada uucc(y)(y) de un de un valor valor yy y la incertidumbre de los y la incertidumbre de los parámetros independientes parámetros independientes xx11, x, x22, .., x, .., xnn de los que depende esde los que depende es

Donde cDonde cii es el coeficiente de sensibilidad, es el coeficiente de sensibilidad, evaluado como evaluado como

n

ii

n

iiic xyuxucyu

1

2

1

22 ),()(·)(

ii x

yc


Cálculo de la incertidumbre Cálculo de la incertidumbre combinada (2)combinada (2)

En algunos casos, se pueden En algunos casos, se pueden emplear expresiones más sencillasemplear expresiones más sencillas

Cuando el valor y solo es una suma o Cuando el valor y solo es una suma o diferencia de varios efectos, diferencia de varios efectos, entonces:entonces:

Cuando el valor y procede de un Cuando el valor y procede de un producto o cociente, entonces:producto o cociente, entonces:

2)()( ic xuyu

2)(

·)(i

ic x

xuyyu


RecomendacionesRecomendaciones

A menudo, lo más fácil es romper el modelo A menudo, lo más fácil es romper el modelo matemático original en expresiones matemático original en expresiones combinadas de las formas anteriorescombinadas de las formas anteriores

Muchas veces, la incertidumbre es distinta Muchas veces, la incertidumbre es distinta para distintos niveles del analito: en ese caso, para distintos niveles del analito: en ese caso, es importante que la incertidumbre es importante que la incertidumbre combinada puede cambiar con dicho nivel y combinada puede cambiar con dicho nivel y por lo tanto estimar la incertidumbre para por lo tanto estimar la incertidumbre para cada uno de los niveles, o dar una cada uno de los niveles, o dar una incertidumbre relativa (si ello es posible o incertidumbre relativa (si ello es posible o correcto)correcto)


Incertidumbre expandidaIncertidumbre expandida Finalmente, la incertidumbre expandida se Finalmente, la incertidumbre expandida se

calcula mediante la expresión:calcula mediante la expresión:

Para la mayoría de los casos, se Para la mayoría de los casos, se recomienda k=2, pero es insuficiente si las recomienda k=2, pero es insuficiente si las observaciones estadísticas son pocas observaciones estadísticas son pocas (menores de 6), en cuyo caso se sustituye (menores de 6), en cuyo caso se sustituye por el valor del estadístico t para el número por el valor del estadístico t para el número de grados de libertad (n-1) y el nivel de de grados de libertad (n-1) y el nivel de confianza requerido (habitualmente 95%) confianza requerido (habitualmente 95%)

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Principios de Incertidumbre de Medida

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