Matemática I Lic. en Geología | Lic. en Paleontología 2013 49 ¿QUÉ TAN GRANDE ES UNA TONELADA DE ROCA? De una idea de Len Vacher – University of South Florida, Tampa FL, para la SSAC. Modificado por: Dr Barbieri Rubén y Mg Garelik Claudia – Cátedra: Matemática I, UNRN. CONTENIDO: Conversiones de unidades; Proporcionalidad; Uso de ecuaciones; Media ponderada; Escalas; Sólidos geométricos; Resolución del problema inverso mediante prueba y error. Introducción La densidad de las rocas varía entre 2.7 y 3 g/cm 3 . ¿Cómo influye la densidad con respecto al peso y a las dimensiones de las rocas? En esta actividad se compararán las densidades de diversos tipos de sustancias y de rocas y se determinarán las dimensiones métricas que ocupa una tonelada de ese material. Conocimientos físicos previos Una definición de la densidad de un cuerpo dice que “es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa”. En términos matemáticos: Por otra parte el peso específico de un cuerpo es la razón entre el peso de un cuerpo y el volumen que ocupa. El Volumen de una tonelada de roca depende de la densidad de la roca. La densidad de una roca en cambio, depende del tipo y cantidad relativa de minerales que la constituyen y de la porosidad de la roca. ¿Qué tan grande es un cubo de una tonelada de hielo considerando que su densidad es de 0.917 g/cm 3 ? Completa la Tabla 1 y contesta. Tabla 1 Una tonelada de hielo Densidad (g/cm 3 ) 0.917 Conversión a Kg/m 3 Peso (t) 1 Volumen (m 3 ) Arista (m)
Transcript
Matemática I Lic. en Geología | Lic. en Paleontología
2013
49
¿QUÉ TAN GRANDE ES UNA TONELADA DE ROCA?
De una idea de Len Vacher – University of South Florida, Tampa FL, para la SSAC.
Modificado por: Dr Barbieri Rubén y Mg Garelik Claudia – Cátedra: Matemática I, UNRN.
CONTENIDO: Conversiones de unidades; Proporcionalidad; Uso de ecuaciones; Media ponderada;
Escalas; Sólidos geométricos; Resolución del problema inverso mediante prueba y error.
Introducción
La densidad de las rocas varía entre 2.7 y 3 g/cm3. ¿Cómo influye la densidad con respecto al peso y a las
dimensiones de las rocas? En esta actividad se compararán las densidades de diversos tipos de sustancias y de
rocas y se determinarán las dimensiones métricas que ocupa una tonelada de ese material.
Conocimientos físicos previos
Una definición de la densidad de un cuerpo dice que “es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen
que ocupa”. En términos matemáticos:
Por otra parte el peso específico de un cuerpo es la razón entre el peso de un cuerpo y el volumen que ocupa.
El Volumen de una tonelada de roca depende de la densidad de la roca. La densidad de una roca en cambio,
depende del tipo y cantidad relativa de minerales que la constituyen y de la porosidad de la roca.
¿Qué tan grande es un cubo de una tonelada de hielo considerando que su densidad es de 0.917
g/cm3? Completa la Tabla 1 y contesta.
Tabla 1
Una tonelada de hielo
Densidad (g/cm3) 0.917
Conversión a Kg/m3
Peso (t) 1
Volumen (m3)
Arista (m)
Matemática I Lic. en Geología | Lic. en Paleontología
2013
50
Compara el resultado anterior averiguando qué tan grande es un cubo de una tonelada de una veta de
cuarzo si su densidad es de 2.67 g/cm3. Completa la tabla 2.
Tabla 2
Una tonelada de hielo Una tonelada de cuarzo
Densidad (g/cm3) 0.917
Densidad (g/cm
3) 2.67
Conversión a Kg/m3
Conversión a Kg/m
3
Peso (t) 1 Peso (t) 1
Volumen (m3) Volumen (m
3)
Arista (m) Arista (m)
Dibuja 2 cubos en escala cuyos lados sean los lados del hielo y del cuarzo respectivamente.
Nota: Para cumplir con el último paso requerido tal vez sea necesario que consultes el apéndice al final de la
presente actividad práctica.
Para tener otra mirada de las dimensiones correspondientes a una tonelada de hielo y de cuarzo
respectivamente, repite el procedimiento anterior dibujando unos sólidos esféricos. Recuerda que el volumen
de una esfera es:
V = 4/3 π r3
Con los mismos valores de las tablas anteriores completa la Tabla 3
Tabla 3
Una tonelada de hielo Una tonelada de cuarzo
Densidad g/cm3 0.917
Densidad g/cm
3 2.67
Conversión a Kg/m3
Conversión a Kg/m
3
Peso (t) 1 Peso (t) 1
Volumen (m3) Volumen (m
3)
Diámetro (m) Diámetro (m)
Dibuja 2 esferas en escala cuyos diámetros correspondan a los valores calculados.
Matemática I Lic. en Geología | Lic. en Paleontología
2013
51
A manera de resumen completa la tabla 4 con los valores obtenidos anteriormente.
Tabla 4
DIMENSIONES DE LOS CUBOS
Peso (t) Densidad g/cm3
Volumen(cm3) Arista (m)
Hielo 1 0.917
Cuarzo 1 2.65
DIMENSIONES DE LAS ESFERAS
Peso (t) Densidad g/cm3
Volumen(cm3) Diámetro (m)
Hielo 1 0.917
Cuarzo 1 2.65
Densidad de las Rocas
Generalmente las rocas están compuestas por más de un mineral y para calcular su densidad se debe conocer
la densidad de cada mineral y el porcentaje de cada uno de ellos con que aparece en la roca.
Conocimientos matemáticos previos:
Para calcular la densidad de una roca es necesario recordar o aprender qué es una “media ponderada”, pero
antes es conveniente recordar qué es una media aritmética simple ( ).
Una media aritmética simple se define como “la suma de una serie de valores dividida por el número de
valores”. Así:
Si en esa expresión, se distribuye la división con respecto a la suma, cada término se multiplica por y se
puede escribir:
El factor es conocido como factor de ponderación o más comúnmente como “peso”, y la propiedad
destacada es que la suma de ellos siempre es igual a 1. Además, en el caso de la media aritmética todos los
factores son iguales.
Ejemplo: la media aritmética de 2, 5, 6, 11 será:
Matemática I Lic. en Geología | Lic. en Paleontología
2013
52
Sería posible también calcularla así:
En este caso el “peso” es 1/4 y como hay 4 de ellos efectivamente su suma es igual a 1.
¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 1
Sin embargo los factores de ponderación no tienen por qué ser siempre iguales. Si no son iguales entonces
algunos términos tendrán mayor peso que otros cuando se calcule el promedio de ciertos valores. Esto
sucederá cuando se quieran promediar números que no representan valores individuales sino a grupos de
valores.
Por ejemplo, si se quiere conocer la edad promedio de los estudiantes de un cierto colegio cuya población se
distribuye como se observa en la siguiente tabla:
Clase N° de estudiantes % de la población Edad promedio por año
1° 135 33,75 18,25
2° 107 26,75 19,37
3° 85 21,25 20,83
4° 73 18,25 22,09
Población total 400
La media aritmética no sería apropiada porque otorgaría el mismo peso a cada clase siendo que las mismas no
son iguales. Hay más estudiantes en 1° que no en 4°. Los estudiantes de 1° año, contribuirán más al valor del
promedio que no los de 4°. Para obtener un valor correcto se deberán multiplicar los promedios de cada clase
por la fracción que cada clase representa del total de la población.
En este caso en lugar de usar como factor de ponderación, se usará la fracción del total de cada grupo.
Los “pesos” serán los porcentajes de cada clase de la población del colegio:
