Generación de Variables con Distribución No Uniforme

Gpe. Del Carmen Rodríguez Moreno

21 de mayo de 2015

Índice• Método de la Transformada Inversa

• Método de Rechazo

• Métodos de simulación Directa

• Distribución Normal (Teorema de Límite Central)

• Distribución Bernoulli

• Distribución Binomial

• Distribución Poisson

• Distribución Normal

• Distribución Empírica Discreta

• Distribución Empírica Continua

• Simulación de una Cadena de Markov

Método de la Transformada Inversa

• Este método utiliza la distribución de probabilidad acumulativa F(x). Puesto que eta función siempre se encuentra en el intervalo (0,1), se puede generar un número aleatorio uniforme r y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria x a la que corresponde el valor de r en la función de distribución acumulada.

• En primer lugar, debe construirse la expresión matemática correspondiente a la función de distribución acumulativa:

• Esta función se iguala a un valor aleatorio r entre cero y uno:

r=F(x)

• Y de aquí se despeja el valor de x:

X=F-1(r)

• No siempre resulta sencillo obtener el valor de x de la variable despejada. En algunos casos es imposible como en el caso de la Normal. Cuando esto ocurre se debe utilizar otros métodos.

Método de la Transformada Inversa

• Se sabe que la distribución uniforme es:

• Integrando:

• Igualando al valor aleatorio r:

r=(x-a)/(b-a)

• Despejando x

x=(b-a)r+a

Método de la Transformada InversaEjemplo: Distribución Uniforme Continua

• Ejemplo: Suponga que se esta verificando el llenado de botellas de cierto líquido, se sabe que mínimo tienen 550 mililitros y máximo 650 mililitros. Realizar la simulación de dos posibles cantidades de líquidos.

• Suponga que r1=0.5084 y r2= 0.1787, utilizando x=(b-a)r+a nos queda:

Método de la Transformada InversaEjemplo: Distribución Uniforme Continua

Ri Cantidades de líquido en mililitros de las botellas simuladas

0.5084 600.84

0.1787 567.87

Método del Rechazo

• El primer paso en el método es encerrar la distribución de probabilidad en un rectángulo. Si la distribución es asintótica al eje de las x, es necesario truncar la distribución en algún punto razonable. En seguida, se determina la altura máxima de la curva M, de modo que el rectángulo trazado incluya a toda la distribución. Esta máxima altura se conoce como la probabilidad de la moda.

• Sea f(x) una distribución de probabilidad acotada con rango finito en un intervalo [a,b] con probabilidad de la moda M. Se tienen los siguiente pasos:

1. Generar dos números aleatorios r1 y r2 uniformes.

2. Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación:

x=a+(b-a)r1

Esta ecuación garantiza que el valor generado se encuentre en el intervalo deseado.

1. Evaluar la función de probabilidad en este valor de x.

2. Determinar si se cumple la siguiente desigualdad:

r2≤f(a+(b-a)r1)/M

En caso afirmativo, se utiliza el valor generado de x. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1, tantas veces como sea necesario.

Método del Rechazo

Método del RechazoEjemplo

Suponga la siguiente función de densidad:

f(x)=(x-1)/3 1≤x≤3• a=1 b=3

• M al ser la altura máxima es 2/3• En la tabla se muestran los

resultados:

r1 r2 x=a+(b-a)r1 f(x)=(x-1)/3 f(x)/M Cumple afirmación Valor simulado

0.36054567 0.30307932 1.72109134 0.24036378 0.36054567 si 1.721091342

0.29984436 0.44953764 1.59968871 0.19989624 0.29984436 no

0.67674795 0.1477401 2.3534959 0.4511653 0.67674795 si 2.353495895

0.37919248 0.14944914 1.75838496 0.25279499 0.37919248 si 1.75838496

0.01998962 0.82757042 1.03997925 0.01332642 0.01998962 no

0.61043123 0.3271279 2.22086245 0.40695415 0.61043123 si 2.220862453

0.52858058 0.97619556 2.05716117 0.35238706 0.52858058 no

0.52171392 0.83721427 2.04342784 0.34780928 0.52171392 no

0.35175634 0.57530442 1.70351268 0.23450423 0.35175634 no

0.77666555 0.66069521 2.5533311 0.51777703 0.77666555 si 2.553331095

0.22693564 0.21613208 1.45387127 0.15129042 0.22693564 si 1.453871273

0.79055147 0.48365734 2.58110294 0.52703431 0.79055147 si 2.581102939

Métodos de Simulación Directa

• Una forma de simular una distribución es utilizar las características propias para obtener valores propios. Aquí algunos ejemplos.

• Se basa en el Teorema de Límite Central, que indica que la distribución muestral de una suma, si la muestra es suficientemente grande tiende a ser una normal. Esta distribución normal tiene una media:

∑=n donde n es el tamaño de la muestra y la varianza es:

2∑=2n

• Para este método conviene basarse en la distribución uniforme, de hecho para los números uniformes entre 0 y 1 la media es 0.5 y la desviación

estándar es 1/ 12

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Normal

• Se deben obtener 12 valores uniformes, calcular su suma y restar 6, es decir:

Zs= 𝑖=112 𝑟𝑖 − 6

El resultado será una suma normalmente distribuida con media cero y desviación estándar de 1. Estos resultados corresponden con una distribución normal estándar, se pueden ajustar utilizando:

𝑍𝑠 =𝑥 − 𝜇

𝜎𝑥 = 𝑍𝑠𝜎 + 𝜇

• Ejemplo: Suponga una normal =5 =2.3. Los valores uniformes:

r1=0.27, r2=0.44, r3=0.85, r4=0.71, r5=0.78, r6=0.36 r7=0.77, r8=0.07, r9=0.90, r10=0.37, r11=0.18, r12=0.34

Zs=6.04-6=0.04 el valor simulado x= 5.09

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Normal

• Es sumamente sencilla de simular, se genera un número aleatorio r, se compara con la probabilidad de éxito p, y se toma el valor de la variable aleatoria x=1 si r<p o x=0 si r≥p.

• Ejemplo: Suponga que se quiere simular si lloverá hoy teniendo una probabilidad de 0.80 de que llueva. Considere que r=0.25, haciendo la comparación, nos queda una simulación de un día lluvioso.

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Bernoulli

• Para este caso se realizan n ensayos Bernoulli y se suma el resultado de los n ensayos. La variable aleatoria X es la acumulación de los 1´s (éxitos) obtenidos de los n ensayos.

• Ejemplo: Suponga que se desea simular el número de artículos defectuoso en un paquete de 10, cuando se sabe que la probabilidad de que un paquete sea defectuoso es 0.30. De acuerdo al resultado nuestra variable aleatoria Binomial será x=2

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Binomial

r p=0.3 Defectuosos

0.009643849 Menor 1

0.418591876 Mayor 0

0.769493698 Mayor 0

0.811395611 Mayor 0

0.419049654 Mayor 0

0.844691305 Mayor 0

0.975920896 Mayor 0

0.396435438 Mayor 0

0.076265755 Menor 1

0.559739982 Mayor 0

Total 2

• La mejor forma para simular el número de ocurrencias de un proceso de Poisson en un intervalo es utilizar la distribución exponencial para simular el tiempo entre ocurrencias y luego contar el número de ocurrencias que tuvieron lugar en el intervalo.

• Ejemplo: Suponga que en una central telefónica llegan en promedio 2 llamadas en un intervalo de 5 minutos, es decir, =2. Usando un generador de números exponenciales se obtuvo los siguientes resultados:

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Poisson

Exponencial Tiempo transcurridoLlegada de Llamadas

0.45 0.45 1

0.3 0.75 2

0.13 0.88 3

0.62 1.5

Esta llegó después de la unidad de

tiempo

Valor Simulado 3 llamadas

• Aunque la distribución normal no puede integrarse en forma analítica, es decir, en forma exacta, se han desarrollado un gran número de aproximaciones. Box y Mullerdesarrollaron una que es sencilla de usar y razonablemente rápida, además de que se obtienen valores normales.

• Requiere dos números aleatorios (x1 y x2) que sustituidos en las siguientes expresiones, genera dos valores muestrales de la distribución normal estándar:

• Para obtener un valor con normal media distinta a cero y varianza distinta a uno, se puede usar la siguiente expresión, donde Z puede ser Z1 o Z2:

𝑥𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑍𝜎 + 𝜇

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Normal

• Ejemplo: Suponga que se quiere simular 5 valores normales con =0 =1

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Normal

Muestra X1 X2 2x2 cos (2x2) (-2Inx1) (-2Inx1)^1/2 Z simulado

1 0.89104892 0.33576464 2.109671461 -0.513170859 0.23071189 0.48032478 -0.24648868

2 0.79836421 0.69887387 4.391154013 -0.315738595 0.45038077 0.67110414 -0.21189348

3 0.99575793 0.94491409 5.937070329 0.940697786 0.00850219 0.09220733 0.08673923

4 0.22516556 0.860683 5.407830806 0.640724723 2.98183862 1.72680011 1.10640352

5 0.8333079 0.67281106 4.227396566 -0.466201649 0.36470415 0.6039074 -0.28154263

• Para simular distribuciones empíricas discretas, basta asociar valores aleatorios enteros con las posibles variables, de modo que los números aleatorios asignados a cada variable sean proporcionales a las probabilidad de ocurrencia. Se trabaja con las frecuencias acumuladas relativas. Y se deben a primera instancia generar números aleatorios uniformes (ri) entre 0 y 1.

• Ejemplo: Suponga que se tiene las siguientes probabilidades de caer en cierta cantidad de baches por la ciudad con las siguientes frecuencias relativas:

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Empírica Discreta

Baches F. Relativa F. Acumulada Si ri

0 0.3 0.3 [0,0.3] entonces X=0

1 0.4 0.7 (0.3,0.7] entonces X=1

2 0.1 0.8 (0.7,0.8] entonces X=2

3 0.1 0.9 (0.8,0.9] entonces X=3

4 0.1 1 (0.9,1] entonces X=4

ri Baches simulados

0.25327311 0

0.98113956 4

0.94418165 4

0.47422712 1

0.54979095 1

• Para simular distribuciones empíricas se aproxima la distribución con un número discreto de puntos y realizar una interpolación lineal inversa entre los puntos cuantas veces sea necesario. Como en este caso se realizan una serie de aproximaciones a una curva, es importante notar que, mientras más puntos se tomen, mejor resultara la aproximación.

• Interpolación Lineal Inversa

Supongamos entre cada dos puntos (x1, F(x1)) y (x2, F(x2)) pasa exactamente una recta, cuya ecuación es:

𝑦 − 𝐹 𝑥1 =𝐹 𝑥2 − 𝐹 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

Se sustituye y por un número aleatorio uniforme entre cero y uno llamado r:

r−𝐹 𝑥1 =𝐹 𝑥2 −𝐹 𝑥1

𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

Y se despeja x se obtiene:

x=(𝑥2−𝑥1) 𝑟−𝐹 𝑥1

𝐹(𝑥2)−𝐹(𝑥1)+ 𝑥1

Donde x1≤x≤x2 y F(x1)≤r≤F(x2). Se genera un valor aleatorio uniforme r, seleccionar el intervalo adecuado para F(x), que a su vez indicara el intervalo correspondiente para x y sustituir los valores en la ecuación anterior.

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Empírica Continua

• Ejemplo: Un administrador estima en base a la experiencia pasada, el número de unidades de cierto producto que se venderán el próximo mes. Se utilizaron 11 puntos para aproximar su estimación, de igual manera pudo haberse utilizado otra cantidad de puntos N. Los 11 puntos son las ventas unitarias que corresponden a la probabilidades acumuladas de 0 hasta 1. Es conveniente separar las probabilidades con intervalos iguales, aunque no es estrictamente necesario. Los intervalos iguales simplifican el análisis. Se tiene los siguientes datos:

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Empírica Continua

F(X) Ventas0 10,000

0.1 21,5000.2 25,0000.3 27,5000.4 30,0000.5 32,0000.6 35,0000.7 37,5000.8 40,0000.9 43,000

1 53,000

• Ejemplo: Si queremos simular dos valores suponga que r1=0.78 y r2=0.35.

• Para r1 se toma el intervalo para F(x) F(x1)=0.7 y F(x2)=0.8, los valores de x1=37,500 y x2= 40,000, estos se sustituyen en la fórmula principal obteniendo:

• X= 39,500 (este será el valor simulado con r1)

• Para r2 se toma el intervalo para F(x) F(x1)=0.3 y F(x2)=0.4, los valores de x1= 27500 y x2=30000

• X=28750 pesos en venta.

Métodos de Simulación DirectaEjemplo: Distribución Empírica Continua

F(X) Ventas0 10,000

0.1 21,5000.2 25,0000.3 27,5000.4 30,0000.5 32,0000.6 35,0000.7 37,5000.8 40,0000.9 43,000

1 53,000

Simulación de una Cadena de Markov

• Un caso interesante es aplicar la simulación a las cadenas de Markov. Son un proceso estocástico en el cual se tiene un espacio de estados discreto y un espacio paramétrico discreto, la característica principal es que la probabilidad de pasar de un estado actual a un estado futuro depende únicamente del estado actual, es decir, no se considera la historia del sistema.

• Sea Xt una cadena de Markov con espacio de estados S y espacio paramétrico T, los estados son n: x1, x2,…xn. La matriz de transición esta dada:

Simulación de una Cadena de Markov

• Para hacer la simulación se toma de forma aleatoria o determinística, según se desee un estado inicial, al cual podemos llamar xi, y que este pertenecerá al conjunto de estados de S. De acuerdo a la matriz de transición, simulamos una variable aleatoria cuya distribución empírica corresponde al renglón del estado xi, esta variable será xj siendo el estado que corresponde a la siguiente unidad de tiempo. De nuevo simulamos una variable aleatoria pero ahora la distribución a utilizar será la del renglón xj. Se puede repetir las veces que sea necesaria.

Simulación de una Cadena de MarkovEjemplo

• Ejemplo: Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: Coca Cola, Pepsi Cola y Big Cola cuando una persona a comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo de el 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre Big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% big cola; si en la actualidad consuma Big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 Pepsi Cola.

Simulación de una Cadena de MarkovEjemplo

• La variable aleatoria es Xt: La preferencia de refresco en el mes t.

• La matriz estocástica es y suponga que una persona empieza el mes con el gusto por las coca colas:

1 0 0𝜋0 =

Simulación de una Cadena de MarkovEjemplo

• Para la simulación se elabora la frecuencia acumulada por renglón y se establecen los rangos:

• Empezamos en el estado E1 de acuerdo a 0

F. Acumulada F. Acumulada F. AcumuladaE1 E2 E3

0.75 0.25 0.30.9 0.85 0.5

1 1 1Para E1 Para E2 Para E3

Si ri Si ri Si ri

[0,0.75] pasa Xj=E1 [0,0.25] pasa Xj=E1 [0,0.3] pasa Xj=E1

(0.75,0.9] pasa Xj=E2 (0.25,0.85] pasa Xj=E2 (0.3,0.5] pasa Xj=E2

(0.9, 1] pasa Xj=E3 (0.85, 1] pasa Xj=E3 (0.5, 1] pasa Xj=E3

Simulación de una Cadena de MarkovEjemplo

• Para esta se puede decir que se pasará 2/10 en el estado 1, 5/10 en el estado 2, 3/10 en el estado 3.

Simulación Ri Xi Xj

1 0.2710654 E1 E1Se usa la función para E1

2 0.80553606 E1 E2

3 0.54979095 E2 E2

Se usa la función para E24 0.78350169 E2 E2

5 0.65520188 E2 E2

6 0.90511795 E2 E3

7 0.3099765 E3 E2 Se usa la función para E3

8 0.88296152 E2 E3 Se usa la función para E29 0.54676962 E3 E3

Se usa la función para E310 0.67036958 E3 E3

Se pueden obtener promedios o hacer diferentes simulaciones considerando diferentes 0

Referencias

• Coss, R. (1996). Simulación: Un enfoque Práctico. 2da. Edición. Noriega.

• González (1996). Modelos y Simulación. UNAM

• Hiller y Lieberman (2010). Introducción a la Investigación de Operaciones. 9na. Edición. Mc Graw Hill.

• Taha, H. (2012). Investigación de Operaciones. 9na. Edición. Pearson.