3. Induksi MatematikaSource : Rinaldi Munir

Discrete Mathematics 1

Discrete Mathematics

Discrete Mathematics 2

1. Set and Logic

2. Relation

3. Function

4. Induction

5. Boolean Algebra and Number Theory

MID

6. Graf dan Tree/Pohon

7. Combinatorial

8. Discrete Probability

UAS

Previous Study

• Set and Logic– Definition and characteristic of set ; Operation

– Logic operation; Proofing ; Tautology and Contradiction

• Matrix Relation and Function– Definition, Type, Size/Ordo, Operation in matrix

– Representation Relation, Invers, Combination, Composition, Binary Relation

– Type of Function, Invers, Function Composition, Specific Function

Discrete Mathematics 3

INDUKSI MATEMATIKA

Discrete Mathematics 4

Definisi

Prinsip Induksi Sederhana

Prinsip Induksi Kuat

Discrete Mathematics 5

Induksi Matematik• Merupakan

– metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat

– teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.

• Merepresentasikan pembuktian mengenai semua bilanganbulat yang termasuk ke dalam suatu himpunan kebenarandengan hanya menggunakan sejumlah langkah terbatas.

• Contoh :

p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

n(n + 1)/2”.

Buktikan p(n) benar!

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit6

Contoh lainnya: • Setiap bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan

sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. • Untuk semua n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3.• Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n 8)

selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sendolar.

• Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangandengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamumaka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n +1)/2.

• Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk darisebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2n

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit7

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit8

Prinsip Induksi Sederhana• Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif.

• Soal : buktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulatpositif n.

• Langkah Pembuktian dibagi menjadi 2 yaitu:

– basis induksi : melakukan asumsi (hipotesis induksi) dan

membuktikan bahwa p(1) benar, dan

– langkah induksi : jika p(n) benar, maka buktikan bahwa p(n + 1) jugabenar, untuk setiap n 1,

• Jika kedua langkah tersebut benar maka sudah terbukti bahwap(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit9

• Induksi matematik berlaku seperti efek domino.

Contoh 1

• Gunakan induksi matematik untuk membuktikanbahwa jumlah n buah bilangan ganjil positifpertama adalah n2.

• Penyelesaian:– Ganjil= p(n)=(2n-1)

– (i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buahbilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benarkarena jumlah satu buah bilangan ganjil positifpertama adalah 1.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit10

Contoh 1(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

Maka buktikan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)= (n + 1)2

juga benar.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)= n2 + (2n + 1)= n2 + 2n + 1= (n + 1)2

Karena langkah basis dan langkahinduksi keduanya telahdiperlihatkan benar,maka jumlah n buah bilanganganjil positif pertama adalah n2.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit11

Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan

kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semuabilangan bulat n n0. Untuk membuktikan ini, kita hanyaperlu menunjukkan bahwa:

1. p(n0) benar, dan

2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,

untuk semua bilangan bulat n n0,

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit12

Contoh 2• Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan

dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1

- 1

• Penyelesaian:(i) Basis induksi.

n=0 20 = 20+1 – 1. Ini jelas benar, sebabn=0 20 = 20+1 – 1

= 21 – 1 = 2 – 1 = 1 (benar)

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit13

(ii) Langkah induksi.p(n) benar20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1

Buktikan bahwa p(n +1) jugabenar, yaitu

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1

= 2(n+1) + 1 - 1

juga benar.

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1

= (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1

= (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis)= (2n+1 + 2n+1) – 1 = (2 . 2n+1) – 1 = 2n+2 – 1= 2(n+1) + 1 – 1

Karena langkah 1 dan 2 keduanyatelah diperlihatkan benar,maka untuk semua bilangan bulattidak-negatif n, terbukti bahwa20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit14

Latihan

• Buktikan dengan induksi matematik bahwapada sebuah himpunan beranggotakan nelemen, banyaknya himpunan bagian yangdapat dibentuk dari himpunan tersebutadalah 2n.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit15

Contoh

• Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya possebesar n sen (n 8) selalu dapat digunakanhanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.

• Penyelesaian:

• (i) Basis induksi.Untuk membayar biaya pos 8 sen dapatdigunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buahperangka 5 sen saja. Ini jelas benar.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit16

• (ii) Langkah induksi. Andaikan p(n) benar, yaitu untuk membayarbiaya pos sebesar n (n 8) sen dapat digunakan perangko 3 sen dan5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen jugadapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada duakemungkinan yang perlu diperiksa:– Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n

sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satubuah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperolehsusunan perangko senilai n + 1 sen.

– Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen.Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit17

Latihan

• Sebuah ATM (Anjungan Tunai Mandiri) hanyamenyediakan pecahan uang Rp 20.000,- danRp 50.000, -. Kelipatan uang berapakah yangdapat dikeluarkan oleh ATM tersebut?Buktikan jawaban anda dengan induksimatematik.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit18

Prinsip Induksi Kuat• Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan

bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benaruntuk semua bilangan bulat n n0. Untukmembuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkanbahwa:

1. p(n0) benar, dan

2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) jugabenar untuk semua bilangan bulat n n0,.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit19

• Contoh 7. Bilangan bulat positif disebut prima jika danhanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwasetiap bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakansebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

• Penyelesaian:

• Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilanganprima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkaliandari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit20

(ii) Langkah induksi.

• Hipotesis : pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian(satu atau lebih) bilangan prima adalah benar.

• Buktikan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima.

• Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

– Jika n + 1 = bilangan prima, jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu ataulebih bilangan prima.

– Jika n + 1 bukan bilangan prima, terdapat bilangan bulat positif a yang membagihabis n + 1 tanpa sisa.

(n + 1)/ a = b atau (n + 1) = ab, (yang dalam hal ini, 2 a b n)

– Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu ataulebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalianbilangan prima, karena n + 1 = ab.

• Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiapbilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit21

Contoh• [LIU85] Teka-teki susun potongan gambar (jigsaw puzzle)

terdiri dari sejumlah potongan (bagian) gambar (lihatGambar). Dua atau lebih potongan dapat disatukan untukmembentuk potongan yang lebih besar. Lebih tepatnya, kitagunakan istilah blok bagi satu potongan gambar. Blok-blokdengan batas yang cocok dapat disatukan membentuk blokyang lain yang lebih besar. Akhirnya, jika semua potongantelah disatukan menjadi satu buah blok, teka-teki susungambar itu dikatakan telah dipecahkan. Menggabungkan duabuah blok dengan batas yang cocok dihitung sebagai satulangkah. Gunakan prinsip induksi kuat untuk membuktikanbahwa untuk suatu teka-teki susun gambar dengan npotongan, selalu diperlukan n – 1 langkah untukmemecahkan teki-teki itu.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit22

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit23

• Penyelesaian:

• (i) Basis induksi. Untuk teka-teki susun gambardengan satu potongan, tidak diperlukanlangkah apa-apa untuk memecahkan teka-tekiitu.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit24

(ii) Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa untuk teka-teki dengan npotongan (n = 1, 2, 3, …, k) diperlukan sejumlah n – 1 langkah untukmemecahkan teka-teki itu adalah benar (hipotesis induksi). Kita harusmembuktikan bahwa untuk n + 1 potongan diperlukan n langkah.• Bagilah n + 1 potongan menjadi dua buah blok –satu dengan n1 potongan

dan satu lagi dengan n2 potongan, dan n1 + n2 = n + 1. Untuk langkahterakhir yang memecahkan teka-teki ini, dua buah blok disatukan sehinggamembentuk satu blok besar. Menurut hipotesis induksi, diperlukan n1 - 1 langkah untuk menyatukan blok yang satu dan n2 – 1 langkah untukmenyatukan blok yang lain. Digabungkan dengan langkah terakhir yang menyatukan kedua blok tersebut, maka banyaknya langkah adalah

• (n1 – 1) + (n2 – 1) + 1 langkah terakhir = (n1 + n2) – 2 + 1 = n + 1 – 1 = n. • Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar maka terbukti bahwa

suatu teka-teki susun gambar dengan n potongan, selalu diperlukan n - 1 langkah untuk memecahkan teki-teki itu.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit25

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit26

Soal latihan

1. Jika A1, A2, …, An masing-masing adalahhimpunan, buktikan dengan induksimatematik hukum De Morgan rampatanberikut:

nn AAAAAA 2121

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit27

2. Buktikan dengan induksi matematik bahwan5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulatpositif.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit28

3. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabattangan dengan tamu lainnya hanya sekalisaja. Buktikan dengan induksi matematikbahwa jika ada n orang tamu maka jumlahjabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2.

Rinaldi Munir/IF091

Struktud Diskrit29

4. Perlihatkan bahwa [(p1 p2) (p2 p3)

… (pn–1 pn)] [(p1 p2 … pn–1)

pn ] adalah tautologi bilamana p1, p2, …, pn

adalah proposisi.

Discrete Mathematics 30