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M MA AU UR RE EN N A AU UR RI IC CH H S SI IM MU UL LA A O O C CO OM MP PU UT TA AC CI IO ON NA AL L D DO O C CO OM MP PO OR RT TA AM ME EN NT TO O D DO O C CO ON NC CR RE ET TO O N NA AS S P PR RI IM ME EI IR RA AS S I ID DA AD DE ES S Tese apresentada EscolaPolitcnica da Universidade de So Paulo para a obteno do ttulo de Doutor em Engenharia. So Paulo 2008 M MA AU UR RE EN N A AU UR RI IC CH H S SI IM MU UL LA A O O C CO OM MP PU UT TA AC CI IO ON NA AL L D DO O C CO OM MP PO OR RT TA AM ME EN NT TO O D DO O C CO ON NC CR RE ET TO O N NA AS S P PR RI IM ME EI IR RA AS S I ID DA AD DE ES S Tese apresentada EscolaPolitcnica da Universidade de So Paulo para a obteno do ttulo de Doutor em Engenharia. rea de concentrao: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Livre-Docente Tlio Nogueira Bittencourt So Paulo 2008 FICHA CATALOGRFICA Aurich, Mauren Simulao computacional do comportamento do concreto nas primeiras idades / M. Aurich. -- So Paulo, 2008. 190 p. Tese (Doutorado ) - Escola Politcnica da Universidade deSo Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotec-nica. 1.Concreto 2.Anlise numrica 3.Anlise trmica 4.Anlisemecnica I.Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica II.t. D De ed di ic co o e es st te e t tr ra ab ba al lh ho o a a m me eu us s p pa ai is s p pa au ul li is st ta as s, , r ri ic ca a e e G Gu us st ta av vo o, ,p pe el lo o i in nc ce en nt ti iv vo o, , p pa ac ci i n nc ci ia a e e a am mo or r i im me en ns su ur r v ve ei is s. . A AG GR RA AD DE EC CI IM ME EN NT TO OS S Desejo externar meu sincero reconhecimento e agradecimento por todo apoio que me foi dispensado no decorrer deste perodo de estudo. AgradeoaoProfessorTlioNogueiraBittencourtpelasuaorientao.Suas valiosassugesteseensinamentostransmitidosforamfundamentaisparao desenvolvimento desta teseAgradeo ao Professor Amrico Campos Filho pela permanente colaborao, amizade e constante estmulo, imprescindveis para a realizao deste trabalho.Demodomuitoespecial,agradeoaoProfessorSurendraP.Shah,porseu incentivo,valiososensinamentose,principalmente,peloseuexemplocomo professor e pesquisador. AosProfessoresdoProgramadePs-GraduaoemEngenhariadaUSP pelos ensinamentos ministrados e, em especial, Janete Santana, pela amizade.AosamigosdoACBMedaNorthwesternUniversity,RaissaeMarc,Kwon, Nathan,RichardeKim,Stefan,Peter,pelapacincia,apoio,conselhoseamizade, indispensveis no ano que passei em Chicago.Aos Professores Maria Regina Leggerini, Almir Schffer e Henrique Gutfreind pelopermanenteestmuloeapoio.Emespecial,aoProfessorEduardoTodt,pela amizade e incansvel incentivo, importantssimo para o trmino deste trabalho. samigasPatrciaNeveseHeloisaFernandespelocompanheirismo, amizadeerisadascompartilhadasnesteperodo.D,MarcusViniciuseKaren, obrigada pela fora e amizade. E, ngela, pela ajuda inicial e imenso incentivo. Deformamuitoespecialagradeospessoasmaisimportantesdaminha vida, pelo infinito apoio e amor... pai e me, Tas e v Ilza! Isabela, Samir, L, tio Leo e Inez, tia Helena, Su e Ric, Dri e Dia, muitssimo obrigada pela fora e carinho. PUCRS,aoCNPqeCAPESporterempossibilitadoarealizaodeste doutorado. E, a Deus, por iluminar meu caminho. N Na ad da a v ve er rd da ad de ei ir ro o e en nq qu ua an nt to o n n o o f fo or r e ex xp pe er ri im me en nt ta ad do o K Ke ea at ts s R RE ES SU UM MO O Oestudodocomportamentodoconcretonasprimeirasidadesestse tornandocadavezmaisimportante,poisosefeitostrmicosederetraodo concreto,nesteperodoinicial,geramfissuras,aumentandoapermeabilidadedas estruturasepodendoinduzirproblemasdedurabilidadeefuncionalidadedas mesmas. Um detalhado estudo da evoluo das tenses durante as primeiras idades pode ser decisivo para manter baixos os nveis de fissurao.Nestetrabalhofoiimplementadoummodelocomputacional,baseadono mtododoselementosfinitos,paraasimulaodocomportamentodepeasde concreto nas primeiras idades, tendo, em especial, o propsito de avaliar o potencial riscodefissurao.Aanliseporelementosfinitosabrangeamodelagem computacionaldosfenmenosqumicos,trmicos,dedifusodeumidadee mecnicosqueocorremnosprimeirosdiasapsolanamentodoconcreto.Na anlisequmicadeterminadoocalorgeradopelasreaesexotrmicasde hidrataodocimento.Naanlisetrmicaoprogramaconsideraaindaofluxode calor devido diferena de temperatura entre o corpo e o ambiente. Em funo das propriedadestrmicasegeomtricasdocorpoemestudosodeterminadasas temperaturasnodais.Naseqncia,realiza-seaanlisededifusodeumidade. Aproveitandoasemelhanaentreasequaesqueregemosfenmenosde transfernciadecaloredifusodeumidade,empregam-seosmesmos procedimentosdaanlisetrmicaparaadeterminaodovalornodaldaumidade relativa dos poros. Na anlise mecnica, por sua vez, so calculados os estados de tensesdecorrentesdasvariaesdetemperaturaeumidadedeterminadasnas etapasanterioresedosfenmenosderetraoeflunciadoconcreto.Quandoo estado de tenso de determinado ponto de integrao atinge a superfcie de ruptura, opontopassaaserconsideradofissurado.Oprogramaconsideraafissurao atravs de um modelo de fissuras distribudas com fisssura fixa.Osresultadosdestamodelagemcomputacionalforamcomparadoscom valoresexperimentaisencontradosnaliteratura,demonstrandoexcelente aproximao em todas as etapas de soluo implementadas. Palavras-chave:Concreto.PrimeirasIdades.AnliseTrmica.AnlisedeDifuso de Umidade. Anlise Mecnica. A AB BS ST TR RA AC CT T The study of the early age properties of concrete is becoming more important, becausethethermaleffectsandtheshrinkage,eveninthefirsthours,could generate cracks, increasing the permeability of the structure and being able to induce problemsofdurabilityandfunctionalityinthesameones.Thedetailedstudyofthe stressesdevelopmentduringtheconstructionprocesscanbedecisivetokeeplow the cracking levels.Inthisworkacomputationalmodel,basedonthefiniteelementmethodwas implemented,tosimulatetheearlyageconcretebehavior,havingasaspecial feature,theevaluation of the cracking risk. The finite element analysis encloses the computational modeling of the following phenomena: chemical, thermal, diffusion and mechanicalwhichoccuratthefirstdaysaftertheconcretecast.Inthechemical analysis,theheatgeneratedbytheexothermicreactionsofcementhydrationis evaluated.Inthethermalanalysistheprogramstillconsiderstheheatflowdueto differences in temperatures between the body and the environment. Considering the thermalandgeometricpropertiesofthebody,thenodaltemperaturesare determined.Thefollowinganalysisisthehumiditydiffusion.Usingthesimilarity betweentheequationsthatdescribethephenomenaofheattransferandhumidity diffusion,thesamethermalanalysisproceduresareusedtoevaluatethepore relativehumiditysnodalvalues.Inthelastanalysis,mechanical,thestressstates due to temperature and humidity variations, evaluated in the previous steps, and also duetoshrinkageandcreeparecalculated.Whenthestressstateinadetermined samplepointreachestherupturesurface,thepointisconsideredcracked.The program evaluates cracking through a smeared fixed crack model.Thedevelopedsoftwareresultswerecomparedwithexperimentalvalues foundintheliterature,demonstratinganexcellentapproachforalltheimplemented analysis. Keywords:Concrete.Earlyage.Thermalanalysis.Diffusionanalysis.Mechanical Analysis. L LI IS ST TA A D DE E I IL LU US ST TR RA A E ES S Captulo 2 Comportamento do Concreto nas Primeiras Idades Figura 2.1Fatoresqueinfluenciamnocomportamentoestruturaldo concreto nas primeiras idades (Prato, 1999)36 Figura 2.2Processodemicrodifusodagualivreatravsdas camadas de hidratos j formados37 Figura 2.3Modelagem do concreto, segundo Ulm e Coussy (1995)40 Figura 2.4Resistnciatraoemfunodograudehidratao (Rostsy et al. 2001)59 Figura 2.4Deformaoporretraoautgena(estimada)pelos modelosdeTazawaeMiyazawa(1997)eporDilger, NiitanieWang(1997)segundoosresultadosdaanlise desenvolvida por Cusson e Repette (2000)63 Captulo 3 Anlise do problema qumico Figura 3.1 Exemplo de elevao adiabtica de temperatura, conforme Witasse (2003) 67 Captulo4Anlisedeelementosfinitosaplicadatransfernciade calor Figura 4.1Transferncia de calor por conduo e conveco71 Figura 4.2Associaodatransfernciadecalorporconduo difuso de energia provocada pela atividade molecular73 Figura 4.3Transfernciaconvectivadecalorentreumasuperfcie limitante e um fluido em movimento74 Captulo 6 Anlise da etapa de soluo do problema mecnico Figura 6.1Modelo elasto-viscoplstico 96 Figura 6.2Analogia da tcnica de camadas em duas dimenses105 Figura 6.3Evoluodadeformaoporflunciaparaumatenso constante aplicada em t106 Figura 6.4Curva de deformao por retrao107 Figura 6.5Modelo reolgico do concreto112 Figura 6.6a. Meridianos da superfcie de ruptura b. Sees tranversais da superfcie de ruptura129 Figura 6.7Relao bilinear da tenso-abertura de fissuras129 Captulo7Algoritmopropostoparaanlisedoconcretonas primeiras idades Figura 7.1Elementos isoparamtricos quadrangulares133 Figura 7.2Fluxograma bsico do algoritmo de soluo do EACB136 Figura 7.3Propriedades da malha de elementos finitos137 Figura 7.4Opes gerais do programa138 Figura 7.5Anlise qumica140 Figura 7.6Anlise trmica140 Figura 7.7Anlise de difuso de umidade142 Figura 7.8Anlise mecnica143 Figura 7.9Tela de gravao do arquivo de dados144 Captulo 8 Aplicaes numricas Figura 8.1Dimenses dos anis ensaiados (cotas em cm)146 Figura 8.2Dimenses do corpo de prova usado para determinao da retrao livre147 Figura 8.3Dimenses do corpo de prova usado para determinao dos parmetros de fratura147 Figura 8.4Dimenses do corpo de prova usado para determinao da resistncia compresso147 Figura 8.5Forma para o anel de concreto, posio dos strain-gages no anel de ao e o anel de concreto finalizado para ser ensaiado147 Figura 8.6Malhas de elementos finitos utilizadas: (a) 42 elementos (b) 168 elementos148 Figura 8.7Condies de contorno para a anlise trmica149 Figura 8.8Condies de contorno para a anlise de difuso de umidade149 Figura 8.9Condies de contorno para a anlise mecnica149 Figura 8.10Evoluo da temperatura nos pontos P1 e P2, utilizando a malha 1 (42 elementos)151 Figura 8.11Evoluo da temperatura nos pontos P1 e P2, utilizando a malha 2 (168 elementos)151 Figura 8.12Evoluo das temperaturas [C]152 Figura 8.13Evoluo da difuso de umidade nos pontos P1 e P2, utilizando a malha 1 (42 elementos)153 Figura 8.14Evoluo da difuso de umidade nos pontos P1 e P2, utilizando a malha 2 (168 elementos)153 Figura 8.15Evoluo difuso de umidade [%]154 Figura 8.16Abertura de fissuras para anel 1 (Shah, 1994), resultados para a malha 1155 Figura 8.17Abertura de fissuras para anel 1 (Shah, 1994), resultados para a malha 2155 Figura 8.18Abertura de fissuras para anel 1 (Shah, 1993), resultados para a malha 1156 Figura 8.19Abertura de fissuras para anel 1 (Shah, 1993), resultados para a malha 2156 Figura 8.20Evoluo das tenses circunferenciais [kN/cm2],resultados para a malha 1158 Figura 8.21Evoluo das tenses circunferenciais [kN/cm2],resultados para a malha 2159 Figura 8.22Anel fissurado aps a realizao do ensaio159 Figura 8.23Dimenses do prisma ensaiado (cotas em cm)160 Figura 8.24Ensaio do prisma161 Figura 8.25Malha de elementos finitos utilizada162 Figura 8.26Condies de contorno para a anlise trmica162 Figura 8.27Condies de contorno para a anlise de difuso de umidade163 Figura 8.28Condies de contorno para a anlise mecnica163 Figura 8.29Evoluo das temperaturas [C]165 Figura 8.30Evoluo difuso de umidade [%]166 Figura 8.31Tenses atuantes para o prisma 1167 Figura 8.32Tenses atuantes para o prisma 2167 Figura 8.33Evoluo das tenses [kN/cm2]168 Figura 8.34Execuo dos tetrpodes nos Molhes de Rio Grande RS169 Figura 8.35Colocao dos tetrpodes nos Molhes de Rio Grande RS169 Figura 8.36Caractersticas geomtricas dos tetrpodes170 Figura 8.37Malha de elementos finitos utilizada170 Figura 8.38Condies de contorno para a anlise trmica171 Figura 8.39Condies de contorno para a anlise de difuso de umidade171 Figura 8.40Condies de contorno para a anlise mecnica172 Figura 8.41Evoluo das temperaturas [C]173 Figura 8.42Evoluo difuso de umidade [%]174 Figura 8.43Evoluo das tenses principais [kN/cm2]175 Figura 8.44Tetrpodes fissurados176 L LI IS ST TA A D DE E T TA AB BE EL LA AS S Captulo 2 Comportamento do Concreto nas Primeiras Idades Tabela 2.1Variveis de Estado Externas, macroscopicamente42 Tabela 2.2Variveis de Estado Internas, macroscopicamente42 Tabela 2.3Variveis de Estado Externas e foras associadas 45 Captulo 3 Anlise do problema qumico Tabela 3.1Valores de calor especfico (Breugel, 1980)69 Captulo 5 Anlise de elementos finitos aplicada difuso de umidade Tabela 5.1Propriedades qumicas do concreto95 Captulo 6 Anlise da etapa de soluo do problema mecnico Tabela 6.1Expresses para a matriz constitutiva D98 Tabela 6.2Expresses para o vetor de fluxo plstico99 Tabela 6.3Expressesparaamatrizderelaesdeformaes-deslocamentos B101 Tabela 6.4Representao das solues das equaes 7.23 e 7.27111 Tabela 6.5Valores do coeficiente oF e |F131 Captulo7Algoritmopropostoparaanlisedoconcretonas primeiras idades Tabela 7.1Propriedades dos materiais requeridas para cada anlise138 Captulo 8 Aplicaes numricas Tabela 8.1Propriedades trmicas dos materiais150 Tabela 8.2Propriedades de difuso de umidade dos materiais150 Tabela 8.3Propriedades mecnicas dos materiais150 Tabela 8.4Propriedades trmicas do concreto163 Tabela 8.5Propriedades de difuso de umidade do concreto164 Tabela 8.6Propriedades mecnicas do concreto 164 Tabela 8.7Propriedades trmicas do concreto171 Tabela 8.8Propriedades de difuso de umidade do concreto171 Tabela 8.9Propriedades mecnicas do concreto172 L LI IS ST TA A D DE E S S M MB BO OL LO OS S Letras romanas maisculas Area da seo transposta Acrea da seo transversal Bmatriz de relaes deformaes-deslocamentos B(m)matriz de interpolao dos gradientes de temperatura no elemento Ccontedo em cimento do concreto tensor de rigidez elstica (tangente) CHcalor de hidratao do cimento obtido no ensaio de calorimetria Dmatriz constitutiva do material tensor do calor latente para deformaes elsticas D(H)coeficiente de difuso do material D0mnimo valor de D(H) para H = 0 D1mximo valor de D(H) para H = 1 Eaenergia de ativao Emdulo de elasticidade longitudinal Ecmdulo de elasticidade tangente Fiparmetros que descrevem a influncia da temperatura GFenergia de fratura Hmdulo de endurecimento umidade relativa do poro H(m)matriz de temperaturas no elementoH(S)matriz de interpolao das temperaturas na superfcie Hcumidade relativa do poro com D(H) = 0,5.D1 Heumidade relativa nos poros junto superfcie do slido HSumidade relativa do ambiente J(t,t)funo de fluncia Jmatriz Jacobiana do elemento 0K fator bsico de velocidade de reao Kcmatriz de conveco Kkmatriz de condutividade Knmatriz de rigideztangente global Lmcalor latente de hidratao Nifunes de interpolao ou de forma Pnvetor de incrementos de cargas nodais equivalentes P1, P2parmetros especficos dependentes do grau de hidratao Qfuno de potencial plstico calor gerado pelo corpo Qpotcalor potencial at a hidratao completa Qt t A + vetor nodal de fluxo de calor nodal dado ao sistema e t tQA + contribuio do fluxo de calor nodal devido conveco Rconstante universal de gases perfeitos RHumidade relativa do ar Screa da superfcie com conveco TTemperatura Tmaxtemperatura mxima obtida pelo cimento no ensaio de calorimetria Tadiabtemperatura adiabtica UEnergia Vvolume de gua Wparte da energia livre Letras romanas minsculas avetor de fluxo plstico tensor dos coeficientes de dilatao trmica (tangente) btensor dos coeficientes de dilatao qumica (tangente) ccapacidade trmica do material cecalor especfico caggcalor especfico do agregados cccalor especfico do concreto ccemcalor especfico do cimento cwcalor especfico do gua ei jespessura no ponto de integrao fcresistncia compresso fckvalor caracterstico da resistncia compresso fcmresistncia mdia compresso do concreto aos 28 dias fcm(t)resistncia mdia compresso do concreto idade t fctresistncia trao fctmvalor mdio da resistncia trao g(o,,)potencial plstico hcoeficiente de convecoespessura fictcia h(o,,)potencial de endurecimento kcondutividade trmica (m)elemento considerado nvetor unitrio normal superfcie do corpo ngnmero de pontos de integrao em cada direo do elemento qBtaxa de calor gerado por unidade de volume qsfluxo de calor prescrito qx, qyfluxos de calor por unidade de rea sifinura relativa da componente i expressa em funo do valor do ndice de Blaine tTempo unvetor de incrementos dos deslocamentos nodais w/crelao gua/cimento w1abertura da fissura wcabertura da fissura para oct = 0 wcem, wpeso dos constituintes do concreto wi, wjfatores de peso Letras gregas maisculas AVariao Oi parmetrosquerelacionamosefeitosdaguasobreosmecanismos de hidratao+energia livre (Helmholtz) Letras gregas minsculas ograu de hidratao varivel interna arbitrriaoFcoeficiente que depende do tamanho mximo do agregado omfator de transferncia de massa |varivel interna arbitrria c| descreve o desenvolvimento da fluncia com o tempo |Fcoeficiente que depende do tamanho mximo do agregado |cc(t)coeficiente que depende da idade do concreto|E(t)coeficiente que descreve a evoluo de Eci com o tempo s(t)funo que descreve a evoluo no tempo da retrao autgena _massa de esqueleto de hidratos _ valor final de _ em condies ideais otr espessura limite de transio jo aumento da profundidade de penetrao nHcc gradiente de umidade na superfcie n cu c gradiente trmico na superfcie ctensor de deformaes totais c(t,)extenso de fluncia durante o perodo t, com incio em c0valor final da retrao autgena cctdeformao de trao csretrao autgena para a idade t cs0coeficiente de retrao autgena cedeformao elstica cpdeformao plstica ) t , t (,|coeficiente de fluncia |0 coeficiente de fluncia nominal dimetro mnimo dos poros capilares |pordimetro mximo dos poros capilares da pasta |watdimetro mximo dos poros capilares completamente preenchidos por gua coeficiente de fluidezcoeficiente que tem em conta o tipo de cimento qcoordenada normalizada qiespessurafictciadacamadadeprodutoshidratadosemtornodas partculas anidras qcoeficientes de viscosidade dissipaocdissipao qumica pdissipao plsticamultiplicador plstico permetro de contato com a atmosfera ucoeficiente de Poisson ( ) T u densidade dos produtos de hidratao para a temperaturaT u20densidadedosprodutosdereaoparaumacuraisotrmica temperatura de 20C utemperaturauetemperatura na superfcie do slido uStemperatura ambiente temperatura conhecida na superfcie S uA + t t vetor das temperaturas nodais Densidade ccapacidade calorfica do material otensor das tenses macroscpicas ( ) ' t o tenso aplicada no instante t ttempo de relaxao coordenada normalizada S SU UM M R RI IO O CAPTULO 1 INTRODUO 1.1 Consideraes gerais ................................................................................. 30 1.2 Objetivos e justificativa do trabalho ............................................................. 32 1.3 Estrutura do trabalho .................................................................................. 33 CAPTULO2COMPORTAMENTODOCONCRETONAS PRIMEIRAS IDADES 2.1 Introduo ................................................................................................... 35 2.2 Hidratao ................................................................................................... 36 2.2.1 Modelo proposto por Ulm e Coussy ................................................ 39 2.2.1.1 Potencial Termodinmico ..................................................... 43 2.2.1.2 Isotropia ............................................................................... 48 2.2.1.3 Leis de Evoluo .................................................................. 49 2.2.1.4 Cintica da Hidratao ......................................................... 52 2.2.2 Modelo proposto por Cervera .......................................................... 54 2.2.3 Modelo proposto por Mang .............................................................. 55 2.3 Endurecimento ............................................................................................ 56 2.4 Propriedades mecnicas do concreto ......................................................... 57 2.4.1 Resistncia trao ........................................................................ 57 2.4.2 Resistncia compresso............................................................... 58 2.4.3 Mdulo de elasticidade .................................................................... 59 2.5 Fluncia ...................................................................................................... 60 2.5.1 Coeficiente e funo de fluncia ...................................................... 60 2.5.2 Fluncia com histria de tenso varivel ......................................... 61 2.6 Retrao ..................................................................................................... 62 CAPTULO 3 ANLISE DO PROBLEMA QUMICO 3.1 Consideraes gerais ................................................................................. 64 3.2 Modelos microestruturais ............................................................................ 65 3.2.1 Modelo de van Breugel .................................................................... 65 3.2.2 Modelo de Maekawa et al. ............................................................... 66 3.2.3 Modelo de Bentz .............................................................................. 66 3.3 Implementao computacional ................................................................... 66 3.3.1 Curva de elevao adiabtica de temperatura JSCE ................... 67 3.3.2 Estimativa da elevao adiabtica de temperatura ......................... 68 CAPTULO 4ANLISE DE ELEMENTOS FINITOS APLICADA TRANSFERNCIA DE CALOR 4.1 Introduo ................................................................................................... 70 4.2 Fundamentao bsica ............................................................................... 70 4.2.1 Conduo ........................................................................................ 72 4.2.2 Conveco....................................................................................... 73 4.3 Resoluo numrica do problema trmico .................................................. 75 4.4 Equaes clssicas de transferncia de calor ............................................ 76 4.5 Equaes incrementais ............................................................................... 80 4.5.1 Soluo para o problema estacionrio ............................................ 80 4.5.2 Soluo para o problema transiente ................................................ 82 4.6 Discretizao das equaes de transferncia de calor ............................... 83 4.6.1 Condio estacionria: linear .......................................................... 84 4.6.2 Condio estacionria: no linear ................................................... 85 4.6.3 Condio estacionria: transiente ................................................... 86 CAPTULO 5ANLISE DE ELEMENTOS FINITOS APLICADA DIFUSO DE UMIDADE 5.1 Consideraes gerais ...............................................................................89 5.2 Primeira Lei da Difuso de Fick ................................................................90 5.3 Lei de Fick aplicada a concreto .................................................................90 5.4 Resoluo numrica de um problema de difuso de umidade .................92 5.4.1 Analogia entre transferncia de calor e difuso de umidade .........93 CAPTULO6ANLISEDAETAPADESOLUODO PROBLEMA MECNICO 6.1 Modelo para um material elasto-viscoplstico ..........................................96 6.1.1 Formulao do comportamento elasto-viscoplstico .....................97 6.1.1.1 Incremento de deformao viscoplstica ...........................100 6.1.1.2 Incremento de tenso ........................................................100 6.1.1.3 Equaes de equilbrio .......................................................101 6.2 Modelo para um material viscoelstico .....................................................103 6.3 Modelo de camadas ..................................................................................104 6.4 Propriedades dos materiais dependentes do tempo .................................106 6.4.1 Fluncia .........................................................................................106 6.4.2 Retrao ........................................................................................107 6.5 Relaes constitutivas uniaxiais para o concreto ......................................108 6.5.1 Hiptese bsica .............................................................................108 7.5.1.1 Lei do tipo integral para fluncia ........................................108 7.5.1.2 Lei do tipo integral para relaxao .....................................109 7.5.1.3Discussodasleisdotipointegralparaflunciae relaxao ...........................................................................110 6.5.2 Incluso da fluncia no modelo .....................................................112 6.5.2.1 Formulao matemtica do modelo de Maxwell ................113 6.5.2.2 Determinao da funo de relaxao a partir da funo fluncia ..............................................................................114 6.5.2.3 Determinao dos parmetros E(t) e q(t) ........................117 6.5.2.4 Determinao dos parmetros da funo de fluncia ........119 6.5.2.4.1 Equao bsica ......................................................119 6.5.2.4.2 Coeficiente de fluncia ...........................................121 6.5.2.4.3Efeitodotipodecimentoevariaode temperatura ..........................................................122 6.5.3 Incluso da retrao no modelo ....................................................123 6.5.3.1 Determinao dos parmetros de retrao ........................124 6.6 Critrio de fissurao ................................................................................126 6.6.1 Critrio de ruptura ..........................................................................126 6.6.2 Comportamento ps-fissurao .....................................................129 CAPTULO 7 ALGORITMO PROPOSTO PARA ANLISE DO CONCRETO NAS PRIMEIRAS IDADES 7.1 Consideraes gerais ...............................................................................132 7.2 Elementos finitos .......................................................................................133 7.3 EACB Programa Early Age Concretes Behavior ...................................136 7.3.2 Entrada de dados ..........................................................................137 7.3.3 Anlise qumica .............................................................................139 7.3.4 Anlise trmica ..............................................................................140 7.3.5 Anlise de difuso de umidade ......................................................141 7.3.6 Anlise mecnica ..........................................................................142 7.3.7 Sada dos resultados .....................................................................143 CAPTULO 8 APLICAES NUMRICAS 8.1 Introduo .................................................................................................145 8.2 Anis de concreto .....................................................................................146 8.2.1 Descrio geral ..............................................................................146 8.2.2Geometriaeparmetrosutilizadosnamodelagem computacional ............................................................................148 8.2.3 Resultados do modelo trmico ......................................................141 8.2.4 Resultados do modelo de difuso de umidade ..............................153 8.2.5 Resultados do modelo mecnico ...................................................154 8.3 Prismas de concreto .................................................................................160 8.3.1 Descrio geral ..............................................................................160 8.3.2Geometriaeparmetrosutilizadosnamodelagem computacional ............................................................................161 8.3.3 Resultados do modelo trmico ......................................................164 8.3.4 Resultados do modelo de difuso de umidade ..............................165 8.3.5 Resultados do modelo mecnico ...................................................166 8.4 Tetrpode..................................................................................................168 8.4.1 Descrio geral ..............................................................................168 8.4.2Geometriaeparmetrosutilizadosnamodelagem computacional ............................................................................170 8.4.3 Resultados do modelo trmico ......................................................173 8.4.4 Resultados do modelo de difuso de umidade ..............................174 8.4.5 Resultados do modelo mecnico ...................................................174 CAPTULO 9 CONCLUSES 9.1 Disposies finais .....................................................................................176 9.2 Desenvolvimentos futuros .........................................................................180 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................181 30 C CA AP P T TU UL LO O 1 1 I IN NT TR RO OD DU U O O 1.1 Consideraes gerais Nosltimossessentaanosoconcretotemsidoomaterialestruturalmais utilizadonomundo.empregadoemtodosostiposdeconstruoporsuas inmerasvantagens.Estasincluem,porexemplo,ofatodomesmoserfacilmente moldvel,adaptando-seaqualquertipodeforma,serresistenteaofogo,s influnciasatmosfricaseaodesgastemecnico,e,principalmente,porseruma alternativa econmica, uma vez que constitudo de matria prima barata. Todavia,ocomportamentodoconcretobastantecomplexo,oquevema criardificuldadesnaanlisedasestruturasexecutadascomestematerial.Estas dificuldades so decorrentes, entre outros fatores, da significativa diferena entre as resistnciastraoecompressodoconcreto,dano-linearidadedarelao tenso-deformao j para nveis de tenso relativamente baixos, dos fenmenos de flunciaeretraoquedependem,porexemplo,daumidadeetemperatura ambientes e das dimenses do elemento estrutural, da fissurao do concreto,que podeocorrerjnasprimeirasidades,edatransmissodeesforosatravsdas fissuras. 31 Aanlisetradicionaldeestruturasdeconcretobaseadaemensaiosde estruturas ou de peas estruturais em laboratrio. Os resultados obtidos nessa forma de anlise so limitados e, s vezes, de difcil interpretao. necessrio, portanto, odesenvolvimentodemodelosmatemticosparacomplementaraanlise experimental e possibilitar a generalizao dos resultados para diferentes estruturas e formas de carregamento. Nestaslacunasencaixa-seasimulaonumrica.Estapodeserdefinida comoacapacidadedeprever,computacionalmente,ocomportamentoqueseria observado numa estrutura ou elemento estrutural. O Mtodo dos Elementos Finitos seguramenteoprocessonumricoquemaistemsidousadoparaaanlisedeste tipodeestrutura.Asualargautilizaosedeveaoavanadograude desenvolvimentoalcanadopelomtodonaanlisedeestruturasdeconcreto armado, aliada analogia fsica direta que se estabelece, com o seu emprego, entre o sistema fsico real, a estrutura em anlise, e o modelo, malha de elementos finitos. Atravsdelepode-sesimularnumericamenteofuncionamentodasestruturasde concreto armado. Oestudodaevoluodaspropriedadesdoconcretonasprimeirasidades est se tornando cada vez mais importante, pois a liberao do calor de hidratao e a retrao do concreto, logo nas primeiras horas, podem gerar fissuras, aumentando apermeabilidadedaestruturaeinduzindoproblemasdedurabilidadee funcionalidadedasmesmas.Narealidade,humlimitadoentendimentodo comportamento do concreto nas idades iniciais e questionamentos sobre a validade dos modelos utilizados. Um detalhado estudo da evoluo das tenses durante este perodo pode ser decisivo para manter baixos os nveis de fissurao. Oempregodatcnicadeanliseporelementosfinitospodepropiciar avaliaesmaisprecisasdocomportamentodoconcretonasprimeirasidades.A possibilidade de integrao dos efeitos trmicos e da retrao, ambos dependentes dascondiesdecontornoedaspropriedadesdosmateriaisutilizados,fazdo empregodoMtododosElementosFinitosumaferramentapotencialmente econmicaetecnicamenteadequadaparaaanlisedestaquesto,podendovira substituircomvantagensosmtodosdedimensionamentousuaisqueno consideram os efeitos trmicos e da retrao. 32 Emboraodesenvolvimentodeinmerossoftwaresnareadeelementos finitos tenha difundido esta tcnica, exige-se uma adequao destes programas para aincorporaodosprincipaisfatorestransientesrelacionadosretraoe deformaodoconcretonasprimeirasidades,paraamodelagemdosistemade maneira adequada. Neste aspecto, os resultados obtidos computacionalmente sero comparadoscomresultadosdeensaioscontroladosemmodelosrealizadosno laboratrio, com o objetivo de validar a modelagem. Como conseqncia, busca-se o melhor entendimento do comportamento do concreto armado nas idades iniciais e o desenvolvimentodeumaferramentaquevisaocombatefissuraodoconcreto nessas idades.Apropostadopresentetrabalhodesenvolverestratgiasdemodelagem computacionaldosfenmenosqumicos,trmicos,dedifusodeumidadee mecnicosqueenglobamohistricodoconcretonasprimeirasidades,parauma melhor interpretao dos resultados experimentais e avaliao de diferentes tipos de solicitaes, com objetivo de avaliar a fissurao inicial do concreto. Com este intuito, se faz necessrio, inicialmente, o estudo de leis constitutivas apropriadaspara a modelagem da hidratao, retrao e fissurao no concreto. A partirdaseroabordadasastcnicasdemodelagemeefetuadassimulaes,a serem validadas por meio de comparao com resultados de experimentao fsica j realizada por outros pesquisadores. Aps o decorrer dessas avaliaes, pretende-seinterpretardemaneiramaisconsistenteosresultadosexperimentaisdisponveis na literatura e oriundos de outros programas. 1.2 Objetivos e justificativa do trabalho Duranteosltimosanosvmsendodesenvolvidasdiversasferramentas numricascomoobjetivodeavaliarasmedidasadotadasparadiminuiroriscode fissurao(Lura,2000;Morabito,1998;Shah,1994).Oestudonumricodeum problema to complexo quanto o da fissurao nas primeiras idades, deve se basear emummodelomatemtico,quesejacapazdedescreveroacoplamentotrmico, 33 hdrico, qumico e mecnico. Apresentam-se, nos primeiros captulos deste trabalho, modelosquedescrevemosprincipaisaspectosdahidratao,retrao,flunciae fissuraodoconcreto,afimdeserimplementadoatravsdoMtododos Elementos Finitos. O objetivo principal do presente trabalho desenvolver uma metodologia que sejacapazdeavaliaropotencialriscodefissuraodeumaestruturadeconcreto nas primeiras idades, para poder assim propor, estudar e avaliar medidas para obter um projeto estrutural adequado e um conjunto de estratgias para facilitar o controle de qualidade das obras.Paratanto,pretende-seque,aofimdapesquisa,estejamestabelecidos subsdiosquepermitam,pormeiodeanlisenumrica,desenvolvermetodologias deanliseemodelagemparaummelhorentendimentodocomportamentode estruturasdeconcretonasprimeirasidades.Metodologiasestasquepermitam avaliaes tcnicas necessrias para o estabelecimento de um conjunto de tcnicas e processos de construo e projeto, a fim de diminuir o risco de fissurao. Alm disso, almeja-se avaliar o emprego da modelagem por elementos finitos, na anlise do efeito da hidratao,retrao e fissurao em estruturas de concreto nasprimeirasidadeseverificaranecessidadedeaprimoramentodasferramentas numricas em questo, de acordo com o observado em ensaios experimentais. 1.3 Estrutura do trabalho O presente estudo descreve as etapas envolvidas na resoluo do problema damodelagemdoconcretonasprimeirasidades,atravsdoacoplamentodos fenmenosqumicos,trmicosemecnicos,utilizandooMtododosElementos Finitos.O captulo 2 aborda o comportamento do concreto nas primeiras idades. So discutidosaspectoscomohidratao,endurecimento,retraoefluncia,ea importncia dos mesmos dentro do referido tpico. 34 Ocaptulo3descreveasoluodoproblemaqumico.Faz-seumaanlise de outros programas computacionais que utilizam a composio qumica do concreto e a validade de utiliz-los no Brasil. Apresenta-se ainda a curva elevao adiabtica detemperaturacomometodologiaalternativaparadeterminaodocalorgerado pelas reaes de hidratao do cimento. Nocaptulo4descreve-seaimplementaocomputacionaldoproblema trmico,resultadodareaoexotrmicadehidrataodoconcreto.Destaca-sea modelagemdofluxodecalornointeriordocorpodeconcreto,bemcomoas solues adotadas para condutividade e conveco.O captulo 5 apresenta aterceira etapa do algoritmo proposto pela presente tese, a difuso de umidade no interior do corpo de concreto. Omodelomecnicodescritonocaptulo6.Soapresentadasas formulaesparaaconsideraodeummaterialviscoelsticonoprograma,as relaes constitutivas para o concreto e critrio de fissurao. Ocaptulo7dedicadodescriodaimplementaocomputacionaldo comportamento do concreto nas primeiras idades, atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. Modelagem esta inovadora, que prope o acoplamento de quatro diferentes etapasemseqncia.Descrevem-seasquatroetapasdeanlisepropostaspela presente tese: qumica, trmica, difuso de umidade e mecnica. Osresultadosobtidosatravsdoprogramacomputacional,desenvolvido nestatese,soconfrontadoscomvaloresexperimentaisnocaptulo8, demonstrandoacapacidadedosmodelosimplementadosdesimularo comportamento real do concreto nas primeiras idades. O captulo 9 encerra o presente estudo com o delineamento das concluses e sugestes para novas pesquisas. 35 C CA AP P T TU UL LO O 2 2 COMPORTAMENTO DO CONCRETO NAS PRIMEIRAS IDADES 2.1 Introduo Entreosvriosfenmenosqueseproduzemnasprimeirasidadesdo concreto,pode-sedestacar,comosendoosmaisimportantes:ahidrataodo cimento, a retrao devida secagem, s retraes autgena e plstica, os efeitos trmicos,qumicosedehidratao,afluncia,oenvelhecimentoeafissurao. Cabesalientarqueestesfenmenosinteragementresi,portanto,nopodemser analisados isoladamente, a menos que se considerem hipteses simplificadoras bem fundamentadas.Afigura2.1,baseadaemPrato(1999),esquematiza,demaneira resumida,osfatoresfundamentaisqueinfluemnocomportamentodoconcretonas primeiras idades. 36 Figura 2.1 Fatores que influenciam no comportamento estrutural do concreto nas primeiras idades (Prato, 1999) Opresentecaptulotemcomoobjetivoapresentaroquetemsido estudadodentrodoassuntoPrimeirasIdadesdoConcreto,analisandoaspectos comohidratao,endurecimento,retraoefluncia,eaimportnciadosmesmos dentro do referido tpico. 2.2 Hidratao A hidratao do cimento uma reao altamente exotrmica (reao qumica queocorreemumsistemaemquehliberaodecalorparaomeioexterno), Material: tipo e quantidade de cimento; agregados; aditivos; etc.Modelo Qumico Envelhecimento HidrataoFissuraoFlunciaRetrao Modelo Matemtico Temperatura e Tenses Risco de fissurao Medidas para oControle de Qualidade Medidas para o Projeto Estrutural Modelo TrmicoModelo Mecnico Condies ambientais Condies de execuo Restrio estrutural 37 durante a qual o calor gerado pode provocar um aumento de temperatura de at 50-60C em condies adiabticas (processo de transformao de um sistema em que no ocorrem trocas trmicas com o exterior).Oprocessodehidrataoseapresenta,desdeonvelmacroscpico,como umareaoqumicaemqueagualivre,nafasereativa,secombinacomo cimento,paraformar,comoproduto,guacombinadanoshidratos.Afigura2.2 mostra o processo de formao dos hidratos (Ulm e Coussy, 1996). Figura 2.2 Processo de microdifuso da gua livre atravsdas camadas de hidratos j formados A baixa condutividade do concreto e os fenmenos de radiao e conveco comomeioambientepodemgerargradientestrmicosimportantes.Arestrio externa,aliadaaoprocessoevolutivodeconstruoeabaixaresistnciatrao nas primeiras idades, podem produzir fissuras. Por outro lado, as caractersticas de deformabilidadedoconcreto,variamcomotempo.Estesefeitosreolgicosno podemserdesprezadosesodeumanaturezaextremamentecomplexa.A consideraodestesefeitosadquireparticularimportnciaquandoseestudao comportamentodeestruturasprotendidas,esbeltasoucomgrandevolumede concreto. Asrazesmencionadasnopargrafoanteriorpememevidnciaqueas solicitaesmaisprejudiciaisaquesepodeversubmetidooconcretosoasde origemtrmica.DeacordocomPrato(1999),parapoderquantificarcorretamente estetipodeao,necessrioconheceremdetalhestrsaspectosbsicos:as gua livre Cimento anidro Hidratos Microdifuso 38 propriedades trmicas da mistura utilizada, as condies ambientais e as condies de execuo da obra.Apropriedade maisimportantequesedeveter emconta acapacidade de liberaodecalorduranteoprocessodehidrataodocimento.Avelocidadede hidratao, a velocidade de liberao de calor e a quantidade total de calor gerado durante o processo de cura dependem basicamente do tipo e quantidade de cimento utilizado e da temperatura inicial ambiente na obra. A capacidade de dissipar o calor geradodependedaspropriedadestrmicas(calorespecficoecondutividade)do concretoefundamentalmentedascondiesambientaisedeexecuodaobra.A temperaturaambiente,avelocidadedovento,ograudeisolaoeainclusoda umidaderelativadoarpodemcondicionarofluxodecalordirigidoaoexteriorda estrutura devido aos fenmenos de conduo, radiao e conveco. Por outro lado, avelocidadedeconstruoouotipodemoldeutilizadosofatoresqueesto relacionados com o processo de execuo e podem influir de maneira importante na determinao da ao (carga) trmica a ser considerada. Para controlar o efeito prejudicial das aes trmicas sobre o comportamento estruturalnecessriotentardiminuirastemperaturasmximaseosgradientes trmicosquepodemgerar-sedentrodamassadeconcreto.Paraisso,duranteas ltimasdcadastm-sedesenvolvidodiferentestcnicas.Podecitar-se,por exemplo,adiminuiodatemperaturainicialatravsdoresfriamentodos aglomerados.Umatemperaturainferiorencontradaemobrapermitedesaceleraro processodehidrataoe,portanto,permitedissiparmaisfacilmenteocalor medida que ele vai sendo gerado, diminuindo assim, consideravelmente, o risco de fissurao. Emrelaoscondiesdeexecuoquepodemdiminuirtantoas temperaturas mximas quanto os gradientes de temperatura no interior da massa de concreto,podecitar-seautilizaodecanaisderefrigeraoeousodeisolantes trmicos nas formas.Muitosdosfatoresanteriormentemencionadosafetamdiretamenteo processo de hidratao do cimento e, por conseqncia, a ao trmica a que ser submetidaestrutura.Contudo,ahidrataodocimentoaresponsvelpelo 39 processo de endurecimento, aumento de resistncia e rigidez do concreto, ou seja, responsvel tambm pela capacidade do concreto para resistir s citadas aes de origem trmica.Nos ltimos tempos notou-se que a evoluo das propriedades mecnicas do concretoestcondicionadanosomenteaograudeavanodareaode hidratao, mas tambm pela cintica da mesma. Foi verificado experimentalmente que o valor da resistncia compresso e, por conseqncia, o valor da resistncia traoeomdulodeelasticidadenofinaldoprocessodecuradependemda temperatura mxima na qual foi curado o material. Doexpostonospargrafosanterioressededuzqueareaodehidratao docimentodefinede maneira fundamentaltanto asaesquanto acapacidadede resistnciadoconcretonasprimeirasidades.porissoqueopresenteestudo analisa, em detalhes, o fenmeno de hidratao e o conseqente endurecimento do concreto. 2.2.1 Modelo proposto por Ulm e Coussy Olivier Coussy e Franz-Josef Ulm publicaram diversos trabalhos em conjunto, sobreamodelagemcomputacionaldocomportamentodoconcretonasprimeiras idades. O modelo proposto por eles, publicado no Journal of Engineering Mechanics (ASCE) nos anos de 1995 e 1996, serviu de base para as publicaes de Cervera et al. (2002) e de Mang et al. (2003).NomodelopropostoporUlmeCoussy,comopodeserobservadonafigura 2.3,oconcretomodeladocomoummeioporosoquimicamentereativo.Nafase fluida h presena de gua livre,esqueleto de hidratos e cimento anidro. medida queguareagecomocimento,gualivrereduzeesqueletoaumentanamesma medida.Resistnciaerigidez(macroscopicamente)aumentamproporcionalmente aomontantedeprodutosdehidratao,masnonvelmicrodamatria,estas propriedades no se alteram. O concreto um sistema composto pela superposio 40 de um esqueleto slido e de uma soluo intersticial contnua dentro de um sistema poroso associado. Figura 2.3 Modelagem do concreto, segundo Ulm e Coussy (1995). Paraamodelagemconstitutiva,ateoriatermodinmicadosmeiosporosos reativos (Coussy, 1995) aplicada ao estudo de concreto nas primeiras idades (Ulm eCoussy,1995e1997),queconsideramoconcretocomoummeioporoso quimicamentereativoeapresentamlinhasconceituaisdateoriadosacoplamentos termo-qumico-mecnicos para a descrio da reao e hidratao de sua interao comaevoluodatemperatura(acoplamentotermo-qumico),deformao (acoplamento qumico-mecnico) e endurecimento (acoplamento plasto-qumico).Para isso utiliza-se a segunda Lei da Termodinmica: TQdtdS> (2.1) onde: t: tempo T: temperatura absoluta do sistema Q: calor trocado com o exterior S:entropia(formadeenergiaquenopodesertransformadaemtrabalho,ou seja,osistemanopodetransformaraentropiaemenergiautilizvel,pode somente produzir entropia dissipando energia livre utilizvel).esqueleto poros com guameio poroso 41 A desigualdade (3.1) decorre deste fenmeno interno dissipativo: + = QdtdST (2.2) sendo>0,querepresentaadissipaoatribudaadeformaesplsticasea evoluo da reao de hidratao. A forma padro da dissipao para sistemas fechados (desigualdade de ClausiusDuhem) : 0 T S : > + c o = (2.3) onde: o-tensordastensesmacroscpicas,relacionadocomoequilbriodasforas externas c - tensor de deformaes totais (observvel) : - produto escalar entre tensores - energia livre (Helmholtz) unitria associada ao sistema que define os estados energticos, em termos das variveis de estado externas e internas. O mtodo, para a deduo das equaes constitutivas acopladas do material, postula que o estado termodinmico de um determinado meio material em um dado pontoeinstantedefinidopeloconhecimentodeumcertonmerodevariveis naqueleinstante,dependentesdaposioondesoconsideradas.Adescrio precisadefenmenosfsicosdependedaescolhadonmeroedanaturezadas variveis de estado ou das variveis termodinmicas. E o processo admissvel se,acadainstantedaevoluodomaterial,adesigualdadedeClaussiusDuhem for satisfeita. A tabela 2.1 mostra a dependncia das variveis de estado externas e a tabela 2.2 a dependncia das variveis de estado internas. 42 Tabela 2.1 Variveis de Estado Externas, observveis macroscopicamente Para estudo de:Dependem de: elasticidade viscoelasticidade plasticidade viscoplasticidade dano fratura fenmenos reversveis T (temperatura) c (deformao total) Tabela 2.2 Variveis de Estado Internas, observveis macroscopicamente Para estudo de:Dependem de: fenmenos dissipativostodo histrico do material plasticidade viscoplasticidade deformao plstica ou viscoplstica e Pc + c = ccp = deformao plsica ce = deformao elstica endurecimento dano fratura (variveis que representam oestado interno do material) densidade de deslocamento micro estrutura cristalina configurao de micro fraturas 43 2.2.1.1 Potencial termodinmico Postulado a partir das variveis de estado, a partir da qual so deduzidas as LeisdeEstado.Sendo+,aenergiaespecficalivrequedependedevariveisde estadointernaseexternasparaformularasequaesconstitutivasparaaanlise termo-qumico-mecnica do concreto. ( ) _ c c c + = + , m , , , , Tp e(2.4) onde: m: massa de esqueleto de hidratos j formado por unidade de volume (medida do avano da reao hidratao) _:conjuntodevariveisplsticasinternasassociadasamudanasna microestrutura dos hidratos ( ) ( ) _ + c c = + , m U m , , T Wp(2.5) onde: W: parte da energia livre que considera os acoplamentos com a deformao c U:energiabloqueada,queconsideraosacoplamentoscomvariveisinternase deformaes irreversveis Derivando a equao 2.4 em relao ao tempo: __ c+ c+c+ c+c+ c+ cc c+ c+ cc c+ c= + mmTT: :pp(2.6) E, substituindo-se a equao 2.6 na equao 2.3: ( )__ ccc + c |.|
\|cc cc cc c |.|
\|c cc = UmmU WTTWS :W:WSpp(2.7) 44 Considerandoasseguinteshipteses:deformaoelstica,temperatura constante0dtdT= ,deformaesplsticainalteradas0dtdp=c,variveisinternas inalteradas(materialquimicamenteinerte)0dtdm= ,regimeelstico0dtd=_e dissipao nula = 0, a equao 2.7 fica: eWSc cc= (2.8) p ec c+ c =c c+ c=c c+ c= o (2.9) Numaoutrahiptese:deformaotrmica,deformaesplsticainalteradas 0dtdp=c,variveisinternasinalteradas(materialquimicamenteinerte)0dtdm= , regime elstico0dtd=_ e dissipao nula = 0, a equao 2.7 fica: TWScc = (2.10) Operandodamesmaformapodem-seencontrarostermosassociados dissipao em funo das variveis internas, chamadas foras termodinmicas. em relao a m: ( )mU WmAc + c =c+ c = (2.11) em relao a _: ( )_ c + c =_ c+ c = ,U W(2.12) 45 Pode-se, ento, reescrever as Leis de Estado: pc c+ c =c c+ c= oTSc+ c =mAc+ c =_ c+ c = ,pW Wc cc =c cc= oTWScc =( )mU WAc + c =_ cc= ,U (2.13) A tabela 2.3 aponta as variveis de estado externas e suas respectivas foras associadas. Tabela 2.3 Variveis de Estado Externas e foras associadas Variveis de estadoForas associadas Externas co foras termodinmicas, atuam provocando mudanas no sistema atravs de fenmenos de dissipao, isto , transformao de energia em calor. TS cp -o InternasmA _, AafinidadequmicadareaodehidrataorepresentadaporA(fora termodinmicaassociadataxa(dm/dt)deformaodenovoshidratospela combinao de gua e cimento). Macroscopicamente pode-se interpretar A como a expresso do desequilbrio entre gua livre e gua combinada, que atuar forando amicrodifusodaguaatravsdascamadasdehidratosjformados.Otermo, representaaforadeendurecimentoqueestassociadacomaevoluoda resistncia do material, e relacionada com as variveis internas _. Substituindo as leis de estado 2.13 na equao 2.7: c p ppmm: + =c+ c||.|
\|__ c+ c+ cc c+ c = (2.14) 46 onde: dissipao plstica:_ , + c o = p p:dissipao qumica:m Ac= Adissipaoestrelacionadaafenmenosplsticos(relacionacom fenmenossituadosnoesqueletodomeioporoso,ocasionandopordeformaes plsticasquelevamamudanasnamicroestruturadoshidratos)equmicos(que estrelacionadocomamicrodifusodaguaatravsdascamadasdehidratosj formados). Paraexplicarosefeitosdosacoplamentosentreosdiferentesfenmenos representadospelasequaesdeestado,soutilizadasassimetriasdeMaxwell, ondeasderivadasparciaisdesegundaordememrelaosvariveisdeestado so simtricas. o c | c+ c=| c o c+ c2 2onde o e | so variveis internas arbitrrias. O objetivo escrever cada equao de estado em suaforma diferencial para obter relaes constitutivas que governam o problema em questo: dmmWdTTWdWdWWd dSppc|.|
\|c ccc+c|.|
\|c ccc+ cc c|.|
\|c ccc+ cc c|.|
\|c ccc= |.|
\|c cc= (2.15) E, utilizando as simetrias de Maxwell: ( ) dmmWdTTWd d :WdS2 2p e22c c cc+c c cc+ c cc cc= (2.16) Analogamenteparaaentropia(S),foradeendurecimento(,)eafinidade qumica (A): ( ) dmm TWd d :TWdTTWdS2p222c cc c cc c cccc = (2.17) 47 dmmUdUd222c _ cc __ cc = , (2.18) ( )( ) ( )dmmU WdmU WdTT mWd d :mWdA22 2 2p2c+ c __ c c+ cc cc c cc c cc = (2.19) A partir da equao 2.16, obtm-se a equao constitutiva acoplada: dm . b dT . a d dS : C dp 1+ + c + = c(2.20) onde: 22WCc cc= , que o tensor de rigidez elstica (tangente), funo de c, cp, T, m, e _. Segundo Bazant (1995) depende apenas da massa de hidratos formada (m), destaformaCrepresentaoacoplamentoelasto-qumico,ouseja, evoluodarigidezelsticadoconcretocomaevoluodareaode hidratao. ||.|
\|c c cc =TW: C a21, que o tensor dos coeficientes de dilatao trmica (tangente) e representa o acoplamento termo-mecnico, que descreve a variao de temperatura(dT)comadeformaomacroscpicadeorigemtrmica (dcT=dT).Otensordesegundaordem TWA2c c cc= mostraatensopor unidadedevariaodetemperaturainduzidapelarestriodaexpanso trmica ou fissurao. ||.|
\|c c cc =mW: C b21,queotensordoscoeficientesdedilataoqumica (tangente) e representa o acoplamento qumico-mecnico, descrevendo a reaoautgenacomoresultadodaevoluodareaodehidratao:o consumo de gua provoca um desequilbrio de presso entre o esqueleto e o fludo dos poros, o que leva a uma retrao do esqueleto. Aequao2.20corresponderelaousualentredeformaeselsticase inelsticas,ondefoiincludootermob.dm.Oparmetro(tensor)bsimilarao 48 parmetroa,quecorrespondem,respectivamente,aoscoeficientesdedilatao trmica. 2.2.1.2 Isotropia Partindo-se das seguintes consideraes: a=oI;ondeoocoeficientededilataotrmica,determina-seento,parcela de formao decorrente da variao de temperatura. b=|I;onde|coeficientederetraoqumicacorrespondendos deformaes por retrao autgena. Arelaoentre|eaevoluodahidrataonobemconhecida,mas natural que | seja funo da maturidade do concreto, ou seja, da massa de hidratos formada| = |(m). Acoplamento termo-qumico: substituindo-se a equao 2.20 na equao 2.2, obtm-se: ( ) + = c c Q m . Lm : D . T T . Cep(2.21) onde: 22TT Cec + c = , que o calor especfico do material, considerando constante com o avano da reao. c c c+ c=TD2, que o tensor do calor latente para deformaes elsticas. m TT Lm2c c+ c= ,queocalorlatentedehidratao,semprepositivo(devido natureza exotrmica da reao de hidratao). 49 Conduodecalorparaconcretonasprimeirasidades:ocalorlatentepara deformaoelsticaeocalorgeradopeladissipaointernasodesprezados quandocomparadoscomoutrostermos(porexemplo: m . Lm ),obtendo-seassima forma padro da equao do calor: m . Lm Q T . Ce+ + = (2.22) sendoLmoacoplamentodaequaodocalorcomaevoluodareaoqumica porm. 2.2.1.3 Leis de evoluo Paraamodelagemdafissuraonasprimeirasidades,doisfenmenos devemserlevadosemconsiderao:aevoluodaresistnciamecnicado esqueletodeconcreto(levandoemcontadentrodaaproximaoda elastoplasticidade atravs de variveis plsticas, do tensor de deformao plstica oupermanentecp,dasvariveisinternasdeendurecimento/amolecimento,_)e a evoluo da fissurao na superfcie com o avano da hidratao. Astensesplsticasadmissveispodemserlidasdaseguinteforma,no ultrapassando o domnio elstico do material CE para o estado de tenses: ( ) 0 , f CEs , o e o (2.23) onde f ( ) , o, a funo de carregamento. Asleisdeevoluosoutilizadasparadescrevermacroscopicamenteos fenmenos de dissipao ocorridos microscopicamente no material, correlacionando as variveis de estado internas com as respectivas foras termodinmicas. SendoU,partedaenergialivrerelacionadacomofenmenode endurecimento/amolecimento, tem-se: 50 Anlise Plasto-Qumica dmmUdUd222c _ cc __ cc = , (2.24) que mostra a dependncia de , (que est associado resistncia do material) com as variveis internas m e _ ( ) _ , = , , m ,ondeaevoluodaresistnciadomaterialestrelacionadacoma evoluo da massa de hidratos (m) e do estado plstico interno de microfissurao (_). ( ) ( )__ c_ cc _ c_ c = , dm , Udmmm , Ud22 2(2.25) E, admitindo um acoplamento plasto-qumico linear: ( )__ c_ c , = ,dUm dm . d22(2.26) onde: dm ., ,otermoquerepresentaoaumentodaresistnciadevidoao endurecimento, e, ( )__ c_ c dUm22, o termo associado ao endurecimento ou amolecimento plstico. Destaforma,oacoplamentodadopelaequao2.26consideraoefeitoda evoluodahidratao,eoconseqenteaumentodaresistnciamecnicano surgimento de deformaes irreversveis (plsticas) no esqueleto do concreto. Dentro do quadro de plasticidade associada, pode-se escrever: Lei de Fluxo: ( )o c, o c = c, gd dp(2.27) 51 Lei de Endurecimento: ( ), c, o c = _, hd d (2.28) onde: d: multiplicador plstico g(o,,): potencial plstico h(o,,): potencial de endurecimento A condio de consistncia pode ser escrita da seguinte forma: ( )H d f d dm , f0 df = = __ c_ , c, cc =_(2.29) onde: d_f : diferencial da funo de carregamento f sob valores constantes da varivel de endurecimento (_) H: mdulo de endurecimento UtilizandoaLeideendurecimento[equao(2.28)]eaexpresso(2.26),na equaoacima(3.29),obtm-seasseguintesexpressesparaomultiplicados plstico e para o mdulo de endurecimento: ((
||.|
\|_ cc ,, cc+ oo cc= = _dmU fd :fH1Hf dd (2.30) =__ c, c, cc = mHdd. .fH ,( )_ cc((
_ c_ c, cc=h U fH22(2.31) onde: H o mdulo de endurecimento no final da hidratao. 52 Aequao2.31coerentecomadefiniodosinaldomdulode endurecimento,quepositivanocasodeendurecimento(comf d_>0)enegativa nocasodeamolecimento(comf d_ 0). Omodelodeacoplamentoquimo-plstico,descritoacimapodeserutilizado sem nenhuma restrio no que diz respeito superfcie de carga f(o,,), ao potencial plstico g(o,,), e ao potencial de endurecimento h(o,,), alm daquelas impostas pelo modelo plstico. Mesmo quando no h evoluo plstica (d = 0), ou que a varivel interna c permaneaconstante,odomnioelsticoainda envolveadependnciada forade endurecimentozcomamassadehidrataom,easuaevoluodt . m dm= ,no intervalo de tempo dt. Esta evoluo deve ser determinada por uma lei de evoluo, a cintica de hidratao 2.2.1.4 Cintica da hidratao Oconcreto,tantononvelmicroquantonomacroestrutural,podeser explicado atravs de gros (clulas) de cimento anidro circundadas por camadas de hidratos.Estasclulassoconectadasentresiformandooesqueletoeoespao entreelaspreenchidocomgua.Aguadevepenetrarnascamadasdehidrato paracombinar-sematrianocentrodacelularformandonovoshidratos.A formaodoshidratos,quandoaguaentraemcontatocomocimentoanidro, consideradainstantneaemrelaoescaladetempodoprocessode microdifuso.Issoquerdizerqueadifusodaguaatravsdascamadasde hidratos podeserconsideradacomosendo omecanismo dominantenacinticada hidratao. Como mencionado anteriormente, a difuso da gua atravs das camadas de hidratos pode ser considerada o mecanismo dominante da cintica de hidratao. 53 A conservao de massa num sistema fechado pode ser equacionada como: dtdmdtdms l= (2.32) onde: ml a gua livre ms a massa do esqueleto de concreto formada Amassadeguadoesqueletosendosubstitudapelamassadegua combinada no esqueleto permite a equao qumica: massa de gua livre (ml) massa combinada nos esqueleto (ms) A taxa de massampode ser vista como a medida da taxa de difuso. Isto controladopelobalanotermodinmico(afinidadeA)entreagualivreeagua combinadanafaseslida,eamplificadapelaativaotrmicaquandoagualivre secombinacomocimentoparaformarnovoshidratos.Umaleideevoluotipo Arrhenius pode ser adotada: |.|
\|q =RTEaexpdtdmA (2.33) onde: Ea a energia de ativao R, constante universal dos gases T a temperatura absoluta Retomando a equao 2.19, tem-se: ( )( ) ( )dmmU WdmU WdTT mWd d :mWdA22 2 2p2c+ c __ c c+ cc cc c cc c cc = (2.34) que descreve a forma diferencial para a afinidade qumica, e considera os diversos acoplamentos: qumico mecnicos, plasto-qumicos e termo-qumicos. No entanto, 54 deacordocomUlmeCoussy(1995),excetoparacondiesespeciais,pode-se considerar a afinidade qumica como dependente apenas da massa de hidratos m.Ograudehidratao()constituiumparmetroobjetivoparaamedidado avano da reao de hidratao, e definido como uma relao entre a massa total dehidratosnotrmino(terico)dareaodehidratao,quepodeserentendido como uma normalizao da varivel m e definido por: = m) t ( m(2.35) onde: m o valor alcanado por m quando hidratao est completa Fazendo a mudana de m para na equao (2.33), a relao cintica pode ser reescrita de forma a obter a expresso da afinidade normalizada: ( )|.|
\| = RTEaexpdtd (2.36) onde ( )( )( ) q= . mmA ,valoresquepodemserobtidoexperimentalmente,atravsde ensaios adiabticos, ou de compresso uniaxial realizados em diversas idades. 2.2.2 Modelo proposto por Cervera Omodelodehidratao,propostoporCerveraetal(2002),baseadono modeloestudadoporUlmeCoussy(1995,1996),eadotaumadescrio macroscpicaparaestefenmeno,considerandoahidrataocomoumareao exotrmicaetermoativada,quenecessitadeummodelotermoqumicoparasua modelagem.Oprocessodehidrataoseapresenta,desdeonvelmacroscpico, 55 como uma reao qumica em que a gua livre,na fase reativa, se combina com o cimento,paraformar,comoproduto,guacombinadanoshidratos,ouseja,pode considerar-sea(micro)difusodaguaatravsdascamadasdehidratoscomoo mecanismo dominante da cintica da reao. Sodefinidosconceitosdevariveisexternaseinternas,energialivreeleis deevoluoexatamenteiguaisaUlmeCoussy(1995,1996).A diferenaentreos modelospodeserencontradanoclculodograudehidratao().Cerveraetal (2002) consideram que conveniente definir o grau de hidratao como: __= (2.37) onde: _ considerado o nmero de moles de gua combinada por unidade de volume (varivel interna) _ovalorfinalde_emcondiesideais,ouseja,comumarelao gua/cimento (w/c) tal que assegure a hidratao completa do cimento Mas,porrazesprticas,econsiderandoqueovalorfinaldograude hidrataofunodarelaogua/cimentodamistura,omesmopodeser calculado da seguinte forma: c / w 194 , 0c / w 031 , 1+= (2.38) 2.2.3 Modelo utilizado por Mang OmodelopropostoporMangetal(2003)integralmentebaseadono conceitoutilizadoparaocomportamentodoconcretonasprimeirasidades, publicadoporUlmeCoussy(1995,1996).Modeloeste,japlicadocomsucesso 56 empublicaesconjuntasentreFranz-JosefUlmeHerbertMang(1999).Desta forma, no h necessidade de descrev-lo novamente. Narealidade,agrandediferenaentreosautoresestudadosconsistenas simulaesexperimentais,utilizadasparaaadoodevaloresadequadosparaas constantesenvolvidasnoprocessodehidrataoenodeendurecimento(nocaso de Cervera et al 2002). 2.3 Endurecimento Adiferenaentrealgunstermosutilizadosemtecnologiadeconcreto, segundoMehtaeMonteiro(2005),mereceumaexplicaomaiscuidadosa,como, porexemplo,enrijecimento,pegaeendurecimento.Numprimeiroinstante,cabe salientarqueagualivrenapastadecimentoresponsvelpelaplasticidadeda mistura.Dasurgeoconceitodeenrijecimento,queaperdadaconsistnciada pastaplsticadecimento,ouseja,aperdagradualdegualivredosistema devidosreaesiniciaisdehidratao.Estasreaes(jmencionadasnoitem 2.2),aliadasevaporao,causamoenrijecimentodapasta,apegaeo endurecimento. O termo pega implica na solidificao da pasta plstica de cimento. Ocomeodasolidificao,chamadoinciodepega,marcaoponto notempoem que a pasta se torna no trabalhvel, e, transcorrido o tempo necessrio para que a pasta torne-se totalmente rgida, marca-se o tempo de fim de pega. Otermoendurecimentodoconcretoestrelacionadocomaevoluode suas propriedades mecnicas medida que a reao de hidratao avana, ou seja, ofenmenodeganhoderesistnciacomotempo.Oaumentodamassade hidratos e a diminuio dos espaos porosos capilares aumentam as superfcies de contatoentreoshidratoseaconseqenterigidezdomaterial.Assimsedolento processo de endurecimento do concreto acompanhado de variao em sua relao tenso-deformao, e do desenvolvimento de resistncias mecnicas considerveis. Osprimeirosestudosrealizadossobreascaractersticasmecnicasdo concretorelacionavamaresistncialtimadapastadecimentounicamentecoma 57 suarelaogua/cimento.Estudosrecentesmostramquearesistnciadapasta funodamicroestruturaquesedesenvolveduranteoprocessodehidratao,ou seja, que a resistncia de um concreto, com uma determinada relao gua/cimento, depende das caractersticas qumicas e fsicas do cimento, da temperatura com que estehidratadoedaquantidadedeardentrodoconcreto.Porestasrazes considera-senecessriorelacionaraevoluodamicroestruturadapastade cimento com suas propriedades mecnicas.A alterao das tenses e das propriedades fsicas dos constituintes bsicos docimentodevidoreaoqumicadehidrataofazcomque,duranteareao, variemaspropriedadesmecnicasmacroscpicasdoconcretoeprovoca modificaesnaspropriedadestrmicasdomaterial.Destaforma,pode-se considerar,segundoPrato(1999)queoendurecimentosemanifesta macroscopicamentepelavariaodaspropriedadesmecnicasetrmicasdo concreto.Nonvelmicroscpico,oendurecimentoserefleteatravsdatrocadas propriedades fsicas e dos produtos da reao de hidratao do cimento. 2.4. Propriedades mecnicas do concreto Ascurvasdeevoluodaspropriedadesdoconcretoapresentadaspelo CdigoModeloCEB-FIP1990(1993),sobaseadasnoconceitodeidade equivalente. 2.4.1 Resistncia trao DeacordocomomtododaidadeequivalenteindicadonoCdigoModelo CEB-FIP 1990 (1993), o valor de fct, bem como a sua evoluo ao longo do tempo, esto relacionados com a resistncia compresso, sendo traduzidos por: 58 320 ckckm , 0 ctk ctmfff f||.|
\|= (2.39) onde: fctk0,m = 1,40 MPa fck0 = 10 MPa fck: valor caracterstico da resistncia compresso [MPa] fctm: valor mdio da resistncia trao[MPa] 2.4.2 Resistncia compresso Naconsideraodaevoluodaresistnciacompressocomaidade equivalente, tem-se, segundo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 (1993): cm cc cmf . ) t ( ) t ( f | = (2.40) |||.|
\|||.|
\|= |211t / t281 scce ) t ( (2.41) onde:t: idade do concreto (dever ser utilizada a idade equivalente, em dias) t1: 1 dia fcm: resistncia mdia compresso do concreto aos 28 dias (cura a 20C) fcm(t): resistncia mdia compresso do concreto idade t cc(t) - coeficiente que depende da idade do concreto s: coeficiente que depende do tipo de cimento utilizado: 59 s = 0,20 - cimentos de alta resistncia de pega rpida s = 0,25 - cimentos normais e de pega rpida s = 0,38 - cimentos de pega lenta Em termos experimentais, na considerao da anlise do concreto endurecido adeterminaodovalordaresistnciacompressonasprimeirasidadesfeita atravsdosensaiosderupturaporcompressodecorposdeprovaemformade cubos ou cilindros. 2.4.3 Mdulo de elasticidade SeguindooconceitodeidadeequivalentedoCdigoModeloCEB-FIP1990 (1993), o mdulo de elasticidade pode ser determinado da seguinte forma: 310 cmcm0 c E ciff. E . E||.|
\|o = (2.42) Eci(t) = |E(t) . Eci (2.43) | |21) t ( ) t (cc E| = | (2.44) onde: Ect: mdulo de elasticidade tangente para tenso nula e idade de 28 dias Ec0 = 21500 MPa fcm: resistncia mdia compresso [MPa] fcm0 = 10 MPa 60 E: coeficiente que depende do tipo de agregados: basalto, calcrio denso = 1,2 agregados quartzticos = 1,0 calcrio = 0,9 areias = 0,7 Eci(t): mdulo de elasticidade tangente [MPa] idade t |E(t): coeficiente que descreve a evoluo de Eci com o tempo |cc(t): coeficiente definido na equao 2.44 2.5 Fluncia Asdeformaesporflunciadoconcretosoumfatordeterminantena distribuiesdetensesnoconcretonasprimeirasidades.Asuaconsiderao fundamental em um modelo numrico para a previso da fissurao nesta situao. 2.5.1 Coeficiente e funo de fluncia Aformulaoparaainclusodafluncianomodelocomputacionaldeste trabalho dada pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 (1993). O coeficiente de fluncia envolve a separao da deformao total numa componente instantnea e em outra de fluncia: 61 ( ) ( )( )( ) ' t E' t' t , t 1 ) ' t , t (toto + = c , (2.45) onde: (t): tenso aplicada no instante t E(t): mdulo de elasticidade no instante t (t,t):coeficientedeflunciaparaoinstantet,correspondenteaum carregamento na idade t AfunodeflunciaJ(t,t)permiterelacionaratensocomaextensopara cada instante: ( ) ( ) ' t ' t , t J ) ' t , t (toto = c(2.46) 2.5.2 Fluncia com histria de tenses varivel No domnio das tenses de utilizao, as deformaes por fluncia, devidas a tensesaplicadasemdoisinstantesdiferentes,soconsideradascomoaditivas (hiptese da superposio de efeitos). Desta hiptese, tem-se que a deformao por fluncia, sob tenso constante, est ligada linearmente tenso. Emcondiesnormaisohistricodetensesemqualquerpontodeuma estrutura sofre variaes ao longo do tempo. A formulao apresentada pelo Cdigo ModeloCEB-FIP1990(1993)apresentaomtododasuperposiolinear,que consiste em formular a equao 2.51 na seguinte forma integral: ( ) ( ) ( ) t ' t d ' t , t J ) ' t , t (0tttotc + o = c} (2.47) onde 0(t) a extenso independente de tenses, de origem trmica ou retrao. 62 Deacordocomocdigomodelode1990doCEB,asuperposiolinear normalmenteaceitaparanveisdetensesmenoresque40%daresistncia compressomdiadoconcreto,senohouversecagemsignificativadapea duranteafluncia,garantindoainexistnciadeflunciadesecagemeseno houveracrscimosdetensesdemagnitudebastantesuperioresaoinicial,pois caso contrrio poder ocorrer fluncia de baixas tenses (fluxo plstico). 2.6 Retrao Ofenmenodaretraocaracterizadopelasdeformaesaolongodo tempoqueocorremquandoaestruturanoestsobaaodenenhum carregamento.Aexplicaofsico-qumicaquesedaestefenmenoa diminuio da massa de gua livre dentro dos poros doconcreto (aqui considerado como um material poroso). A retrao em materiais cimentcios ocorre de trs modos principais: plstica, por secagem e autgena, segundo Repette e Mailvaganam (1999). Aretraoplstica,tambmchamadaLeChatelier,ocorreantesdofimde pega, atravs da evaporao rpida inicial da gua de amassamento, pela superfcie expostadoconcreto,resultandoemfissuraosuperficial,facilmenteobservvel. Estaretraoestrelacionadacomofatodovolumedehidratossermenorqueo volume de cimento e de gua livre, sendo verificada no perodo da ante-pega, onde o material ainda no possui resistncia mecnica. A retrao por secagem acontece depois do fim da pega do cimento e ocorre devido reduo de volume causada pela diminuio da massa de gua livre dentro dos poros do concreto para o meio ambiente.E, por ltimo, a retrao autgena definida como a mudana de volume sob temperatura constante e sem perda de umidade do concreto para o meio ambiente. Esta retrao causada pelo consumo de gua na reao de hidratao, tornando-a 63 ligada aos hidratos, ou seja, decorre da reduo da umidade relativa no interior dos poros em funo da evoluo da hidratao do cimento. Afigura2.4apresentaacomparaoentreosresultadosdeumestudo realizadoporCussoneRepette(2000).Ascurvasdedeformaoporretrao autgena,calculadaspelosmodelosdevriosautores,foramcomparadascomas curvas fornecidas pelos CEB-FIP Model Code e ACI Model Code. Figura 2.11 Deformao por retrao autgena (estimada) pelos modelos deTazawa e Miyazawa (1997) e por Dilger, Niitani e Wang (1997)segundo os resultados da anlise desenvolvida por Cusson e Repette (2000). Time after casting (dias) Modelo de Tazawa e Myazawa (1997) Modelo de Dilger et al. (1997) Concretagem Desmoldagem Retrao autgena CEB ACI Drying shrinkage strain Deformao (x10-6) 64 C CA AP P T TU UL LO O 3 3 A AN N L LI IS SE E D DO O P PR RO OB BL LE EM MA A Q QU U M MI IC CO O 3.1 Consideraes gerais Aadiodeguaaocimentodincioreaodehidrataoquea responsvelpelaformaodamicroestruturadapastahidratadaepelodesenvolvimentodepropriedadesmecnicasdoconcreto.Asreaesqumicas associadas hidratao do cimento so altamente exotrmicas, isto , com grande libertaodecalor.Omaterialapresentainicialmenteumaexpansovolumtrica seguidadeumacontrao,quenapresenaderestriesexternasouinternas, pode provocar a fissurao do concreto.Asimulaoprocessodehidrataopodeserfeitapormodelos microestruturais,permitindoaobtenodacurvadeevoluodetemperaturado concreto em condies adiabticas, que essencial para a anlise de estruturas de concreto nas primeiras idades. 65 3.2 Modelos microestruturais A necessidade de estudar os fenmenos associados hidratao do cimento, comoageraodecaloreasvariaesvolumtricas,cujaprevisonopodeser feitaatravsdemodelosmacroscpicossimples,justificouoaparecimentode diversas tentativas de modelagem microestrutural dos processos de hidratao.UmestudorealizadoporAzenha(2004)mostrouqueentreosmodelos micorestruturaismaisconhecidospodemsermencionadosoHYMOSTRUCda Universidade de Delft, o da DuCOM da Universidade de Tquio, e o CHEMY3D do National Institute of Standards and Technology dos Estados Unidos da Amrica. 3.2.1 Modelo de van Breugel HYMOSTRUC OmodeloHYMOSTRUC(HydrationMorphologyandSTRUCtural development)foidesenvolvidonaUniversidadedeDelftpeloProf.Klaasvan Breugel,(Breugel1991).Omodeloconsideraahidrataoeodesenvolvimentoda microestruturadapastadecimentocomofenmenosinter-relacionados,tendoem contavriosaspectos,deentreosquaissepodemdestacarascomposies qumicaemineralgica,adistribuioespacialedimensionaldaspartculasde cimento, a relao gua-cimento e a temperatura. 3.2.2 Modelo de Maekawa et al. - DuCOM AinovaodomodeloDuCOMdesenvolvidopeloProfessorMaekawae colaboradoresdaUniversidadedeTquio,Japo,aanlisemulticomponente, segundo a qual o calor de hidratao de cada componente do cimento modelado separadamente.Afunoqueexpressaalibertaodecalorglobalporpartedo 66 cimento posteriormente obtida a partir da soma proporcionada da contribuio das diversas componentes (Kishi e Maekawa 1995; Maekawa et al. 1999). 3.2.3 Modelo de Bentz CHEMY3D O modelo microestrutural de hidratao do cimento desenvolvido por Bentz denominadodeCHEMY3D,econsideraosfenmenosdeformaoda microestruturadocimentohidratado(Bentz,1997).Inicia-seoprocessocoma obtenodeimagensdocimentoquesepretendeestudaratravsdemicroscpio eletrnico.Paraidentificaroscomponentesdocimentohidratadonasimagens obtidas(queabrangempartculasdeC3S,C2S,C3A,C4AF,gesso,dentreoutros) soaplicadosalgoritmosdeextrapolaogrfica,quepermitemageraodeuma estruturatridimensionaldocimento.Posteriormenteaplica-seumconjuntode critriosdeevoluoacadapontodaestruturatridimensionalidealizada.Estes critriossoaplicadosseqencialmente,permitindoaobservaodasdiversas etapasdehidratao.Omodelopermiteasimulaodaretraoqumicaea previso do calor de hidratao gerado. 3.3 Implementao computacional Agrandedificuldade,nestaanlise,foiaconsideraodeummodelode hidrataoquesimulasseoscimentosbrasileiros,umavezquetodososmodelos, queconsideramosdiferentescomponentesqumicosereaes,existentesna literaturasoeuropeus,japonesesouamericanos,conformefoidiscutidoneste captulo.Comoosparmetrosnecessriosparaacalibragemdosmodelos apresentados no so, em geral, fornecidos nos artigos disponveis na literatura, se fez necessria a implementao de uma alternativa, a mesma utilizadapor Witasse (2003)eJeon(2008):aequaodeelevaoadiabticadetemperaturadoJSCE, 67 quepodeserobservadanafigura3.1.Assim,comosresultadosexperimentaisda elevao da temperatura no interior do corpo de concreto, o programa calcula o calor gerado e passa execuo da anlise trmica. 0510152025303540450 2 4 6 8 10 12 14 16 Figura 3.1 Exemplo de elevao adiabtica de temperatura, conforme Witasse (2003) 3.3.1 Curva de elevao adiabtica de temperatura JSCE DeacordocomoJapanSocietyofCivilEngineers(JSCE,1999),pode-se estimarovalordastemperaturasadiabticasduranteodesenvolvimentodas reaes de hidratao, conforme pode ser visto na equao 3.1. ( )t . 25 , 1max adiabe 1 T T = (3.1) onde: Tmax: temperatura mxima obtida pelo cimento no ensaio de calorimetria t: tempo (entre 0 e 70 dias) Temperatura [C] tempo [dias] 68 3.3.2 Estimativa da elevao adiabtica da temperatura Alternativa para o traado da elevao adiabtica da temperatura do concreto, aestimativadamesmapodeserobtidaatravsdaexpresso3.2,sugeridapor Kuperman (2004), que considera o calor de hidratao do cimento obtido no ensaio decalorimetria,oconsumodecimentoestabelecidopelotraodeprojetoeas mdias do calor e massa especficos dos materiais empregados.=. ccimento de consumo . CHTcadiab (3.2) onde: CH: calor de hidratao do cimento obtido no ensaio de calorimetria cc: calor especfico do concreto : massa especfica Ocalor especfico do concretooscila,usualmente,entre0,8e 1,17kJ/kg.C, segundo estudos de Breugel (1980) e Silveira (1996).Para a determinao analtica do calor especfico do concreto, Breugel (1980) apresentaummtodoapartirdaponderaodoscaloresespecficosdos constituintes da mistura, expressa pela equao 3.3. ( )cw cem bindW w w agg grav sand cem cemcc . . W . c c . W c . W W c . Wco + + +=(3.3) onde: ccem : calor especfico do cimento cc : calor especfico do concreto cw : calor especfico do gua cagg : calor especfico do agregados 69 cbindW = 0,2 o : grau de hidratao do cimento Wcem, sand, w: peso dos constituintes do concreto Aparceladesubtraononumeradordaexpresso3.3consideraofatodo calorespecificadaguapresentesnasligaesqumicasdocimentohidratadoter um calor especfico 50% menor do que teria na situao de gua livre. Atabela3.1apresentavaloresaproximadosdecalorespecficoparaos componentes do concreto, considerando diferentes temperaturas. Tabela 3.1 Valores do calor especfico, Breugel (1980) Material Calor especfico [kJ/kg.C] 21,1C32,2C43,3C54,4C gua4,1874,1874,1874,187 Cimento0,4560,5360,6620,825 Quartzo0,6990,7450,7950,867 Basalto0,7660,7580,7830,837 Granito0,7160,7080,7330,775 Calcrio0,7490,7580,7830,921 Riolito0,7660,7750,8000,808 70 C CA AP P T TU UL LO O 4 4 A AN N L LI IS SE E D DE E E EL LE EM ME EN NT TO OS S F FI IN NI IT TO OS S A AP PL LI IC CA AD DA A T TR RA AN NS SF FE ER R N NC CI IA A D DE E C CA AL LO OR R 4.1 Introduo Amodelagemcomputacionaldocomportamentodoconcretonasprimeiras idades,incluindoofenmenodahidratao,implicanaconsideraodao comportamentoexotrmicodasreaesqumicas.Destemodo,necessriaa utilizaodeummodelonumricoquesejacapazdepreverosvaloresdas temperaturas no concreto durante o processo de hidratao. 4.2 Fundamentao bsica
SegundoIncroperaedeWitt(2001)atransfernciadecalorconsisteno trnsitodeenergiatrmicaprovocadoporumadiferenadetemperatura.Desta forma, toda vez que houver uma diferena de temperatura num meio, ou entre vrios 71 meiosatranferncia decalor ocorreobrigatoriamente.Existem trsdiferentes tipos de de processos de transferncia de calor:Denominamosconduotransfernciadecalorqueocorrenummeio quando existe um gradiente de temperatura neste referrido meio estacionrio, que pode ser um slido ou um fluido. Conveco se refere transferncia de calor que ocorre entre uma superfcie eumfluidoemmovimento,quandohouverdiferenadetemperaturaentre eles. Oterceiromododetransfernciadecaloraradiaotrmica,queocorre quando todas as superfcies numa temperatura finita emitem energia na forma deondaseletromagnticas.Porisso, na ausncia de ummeiointerveniente, htransferncialquidadecalorporradiaoentreduassuperfciesem temperaturas diferentes. Adistribuiodastemperaturasemumcorpoqualquercontroladapor apenasdoisprocessos,conduoeconveco,enopossvelisolar completamente um processo da influncia do outro. No entanto, usual a separao dosmesmossemimplicarerrossignificativos,simplificando,portanto,aanlise trmica. Destaforma,naconsideraodoconcretonasprimeirasidadesa transferncia de calor ser estudada por dois modos: conduo e conveco, como pode ser observado na figura 4.1. Figura 4.1 Transferncia de calor por conduo e conveco. 72 4.2.1 Conduo A conduo o processo tpico de transmisso de calor dentro de um slido. Neste processo de transferncia de calor a troca de energia trmica efetuada pelo movimento aleatrio das molculas, sendo necessrio, portanto evocar os conceitos de atividade atmica e atividade molecular, pois so os processos nesse nveis que produzem a transferncia de calor por conduo. A conduo pode ser considerada como a transferncia de energia das partculas mais energticas de um meio para as partculas menos energticas, graas s interaes entre as partculas.Considerandoummeioqualquer,atemperatura,emqualquerponto,est associadaenergiadasmolculasnavizinhanadaqueleponto.Aenergia relaciona-seaomovimentodetranslaoaleatriodasmolculasetambmaos movimentos de rotao e vibrao das mesmas. Alm disso, as temperaturas mais elevadas esto associadas s energias moleculares mais altas, e, quando molculas vizinhas colidem ocorre a tranferncia de energia da molcula mais enrgica para a molculamenosenrgica.Napresenadeumgradientedetemperatura,a transfernciadeenergiapelaconduodeveocorrernadireodadiminuioda temperatura, como evidenciado pela figura 4.2. Figura 4.2 Associao da transferncia de calor por conduo difuso da energia provocada pela atividade molecular. 73 Um exemplo de transferncia de calor por conduo o caso da concretagem deumabarragememcamadas,ondeacamadacolocadasobreaoutra, previamenteexistente.Ocalorgeradopelasreaesdehidrataodapearecm concretada ser transmitido por conduo pea existente atravs sua superfcie de contato. A transferncia de calor por conduo num slido pode ocorrer em dois tipos deregimes,oestacionrioeotransiente.Oregimeconsideradoestacionrio quando o fluxo de calor e a temperatura, em qualquer ponto, no variam ao longo do tempo. J na transferncia de calor em regime transiente, a temperatura muda no scomaposionointeriordocorpo,elatambmmudacomotempoemuma mesmaposio;tantoataxadetransfernciadecaloratravsdocorpo,comoa energia interna do corpo mudam com o tempo. 4.2.2 Conveco Aconvecoatransfernciadecalorentreasuperfciedeumcorpoede umfluidoemmovimento,porexemplo,oar,quandoexisteumadiferenade temperatura entre os dois.Omododetransfernciadecalorpelaconvecocompreendedois mecanismos. Alm da transferncia de energia provocada pelo movimento molecular aleatrio(difuso),aenergiatambmsetransferepelomovimentodemassa,ou movimentomacroscpico,dofluido.Essemovimentodofluidoestassociadoao fatode,emqualquerinstante,umgrandenmerodemolculasestarsemovendo coletivamente ou em agregados. Esse movimento, na presena de um gradiente de temperatura, provoca a transferncia de calor.Emvirtudedasmolculasdosagregadoscontinuarematerosrespectivos movimentosaleatrios,atransfernciatotaldecalorsedevesuperposiodo transportedeenergiapelomovimentoaleatriodasmolculaseaotransportede energia provocado pelo movimento de massa do fluido. 74 Considera-seotermoconvecoparaindicarotransporteacumuladopelo movimento aleatrio das molculas e o termo adveco para identificar o transporte devido ao movimento de massa do fluido. O ponto de interesse do presente trabalho na considerao da conveco, quandoamesmaocorreentreumfluidoemmovimentoeumasuperfcielimitante, estando estes dois em temperaturas diferentes, como pode ser observadona figura 4.3. Figura 4.3 Transferncia convectiva de calor entre uma superfcie limitantee um fluido em movimento Umaconseqnciadainteraodofluidocomasuperfcieo desenvolvimento de uma regio no fluido na qual a velocidade varia desde zero, na superfcie,atumvalorfinito,associadoaoescoamento.Essaregiodofluido conhecidacomoacamadahidrodinmica,acamadadevelocidadeouacamada limite.Almdisso,seasuperfcieeofluidoescoantetiveremtemperaturas diferentes, haver uma regio no fluido atravs da qual a temperatura varia desde a temperaturadaprpriasuperfcieatatemperaturaexterna.Essaregio, denominadadecamadalimitetrmica,podesermenoroumaiorqueacamada atravs da qual a velocidade varia, ou ter o mesmo tamanho que esta. Em qualquer um dos casos, se a temperatura da superfcie for maior que a temperatura externa, a transferncia convectiva de calor ocorrer da superfcie para o escoamento externo. 75 Omododetransfernciaconvectivadecalorsustentadopelomovimento molecular aleatrio e pelo movimento macroscpico do fluido no interior da camada limite.Acontribuiodevidaaomovimentomolecularaleatrio,oudifuso,domina nas vizinhanas da superfcie, onde a velocidade do fluido baixa. Na realidade, na interfaceentreasuperfcieeofluido,avelocidadedofluidonulaeocalor transferido exclusivamente pelo movimento molecular. Acontribuiodevidaaomovimentomacroscpicodofluidosedeveaofato de a camada limite crescer a medida que o escoamento avana na horizontal. Desta forma, o calor conduzido para essa camada arrastado pela corrente do fluido e se transfere para o fluido externo camada limite. 4.3 Resoluo numrica do problema trmico Para a determinao dos fluxos de calor gerados pelas reaes qumicas de hidratao do cimento, e, consequentemente, os valores das temperaturas ao longo da estrutura, adotou-se o Mtodo dos Elementos Finitos.OMtododosElementosFinitosbastantedifundidoparaaanlisede sistemasestruturais,mastambmlargamenteutilizadonasoluodeproblemas noestruturais,como,porexemplo,emproblemasdetransfernciadecalorede mecnica dos fluidos. Neste captulo o Mtodo dos Elementos Finitos aplicado na soluo do problema de transferncia de calor para o concreto nas primeiras idades. 76 4.4 Equaes clssicas de transferncia de calor De acordo com Bathe (1996), para uma anlise de transferncia de calor em umcorpobidimensional,admitindo-sequeomaterialsigaaLeideFourierde conduo de calor, pode-se escrever que: xk qk xcu c = yk qy ycu c =(4.1) onde: qx, qy: fluxos de calor por unidade de rea u: temperatura do corpo kx, ky: condutividades trmicas correspondentes aos eixos principais x,y. Considerando o equilbrio do fluxo de calor no interior do corpo, tem-se que: By kqyky xkx =||.|
\|cu ccc+ |.|
\|cu ccc (4.2) onde qB a taxa de calor gerado por unidade de volume. Na superfcie do corpo, as seguintes condies devem ser satisfeitas: SSu = uu (4.3) SSnqnkq=cu c (4.4) 77 onde: uS: temperatura conhecida na superfcie Skn: condutividade trmica do corpo n: vetor unitrio normal superfcie do corpo qS: fluxo de calor prescrito, que entra no corpo atravs da superfcie Sq Para a utilizao das expresses 4.2, 4.3 e 4.4 algumas hipteses devem ser admitidas. A fundamental delas que as partculas constituintes do corpo em estudo esto em repouso. Portanto, consideram-se as expresses acima descritas somente paraconduodecaloremslidoseestruturas.Seatransfernciadecaloraser analisada em um fluido em movimento, deve ser acrescentado, na expresso 4.2, um termo que permita a transferncia de calor por conveco atravs do meio. Outrahiptesequeaanliseaplicadatransfernciadecalorpodeser desacopladadaanlisedetenses.Essahiptesevalidaparagrandepartedas anlises estruturais, mas pode no ser apropriada, por exemplo, para a anlise dos processosdefabricaodemetais,ondeasdeformaespodemgerarcalore mudanas no campo de temperaturas.Aterceirahipteseaserconsideradaquenoexistemudanadefaseno material em anlise, nem efeitos de calor latente. Mas, ser admitido na formulao apresentadaaseguir,queosparmetrosdosmateriaissodependentesda temperatura. Trscondiesdecontornopodemseconsideradasnaanlisede transferncia de calor:Condiesdetemperatura:astemperaturaspodemserprescritasoufixas, emdeterminadospontosousuperfciesdocorpo,indicadosporS na equao 4.3; Condiesdefluxodecalor:fluxosdecalorpodemserprescritosem determinadospontosousuperfciesdocorpo.Essascondiesdecontorno de fluxo de calor so indicadas por Sq na equao 4.4, 78 Condiesdecontornodeconveco:pode-seincluiraconvecocomo condio de contorno, acrescentando na equao 4.4 o seguinte termo: ( )SeSh q u u = (4.5) onde h o coeficiente de e conhecida, S na superfcie desconhecida. Alm das condies de contorno acima mencionadas, a temperatura inicial da anlise tambm deve ser especificada na anlise transiente.Paraasoluoporelementosfinitosdoproblemadetransfernciadecalor, utiliza-se o princpio das temperaturas virtuais, dado por: } } }u + u + u = u uiiiSqSSVBV'T 'Q dS q dV q dV k(4.6) onde: ((
oouoou= uy xT ' (4.7) ((
=yxk 00 kk(4.8) e, Qi so os fluxos de calor concentrados. Cada Qi equivalente ao fluxo de calor na superfcie,sobreumareamuitopequena.Abarrasobreatemperaturauindique que uma distribuio de temperatura virtual est sendo considerada. O princpio das temperaturas virtuais uma equao de equilbrio de fluxo de calor: para u ser a soluo da temperatura do corpo estudado, a expresso 4.6 deve assegurarqueadistribuiodetemperaturavirtual(contnua),quepodeser arbitrada, seja zero na Su. Ressalta-sequeoprincpiodastemperaturasvirtuaissemelhanteao princpiodosdeslocamentosvirtuaisutilizadonaanlisedetenses.Utiliza-seo princpiodastemperaturasvirtuaisdomesmomodoqueoprincpiodos deslocamentosvirtuais,excetoqueagorasetemsomenteovalorescalarda 79 temperatura como incgnita, e anteriormente a anlise era efetuada para calcular o vetor de deslocamentos. vlidotambm,salientarqueoprincpiodastemperaturasestacionrias corresponde condio estacionria do seguinte funcional: } } }u u u )`||.|
\|cu c+ |.|
\|cu c= Hii iSqS SVBV2y2xQ dS q dV q dVykxk21 (4.9) onde obtm-se: } } }ou + ou + ou = u ouii iSqS SVBV' T 'Q dS q dV q dV k(4.10) onde ou pode ser arbitrada, mas deve ser zero na Su.Aplicandoumaintegraoporpartesnaexpresso4.10pode-seobtera equaodiferencialdeequilbrio(expresso4.2)eascondiesdecontornodo fluxo de calor (equao 4.4). Por outro lado, comparando as expresses 4.10 e 4.6, observa-se que a 4.10 o principio das temperaturas virtuais com ou u . Noproblemadetransfernciadecaloradmitem-secondiesestacionrias. Entretanto,quandoumfluxodecaloratribudoapenasporumcurtoperodode tempo (devido a mudanas de alguma condio de contorno ou do calor gerado no corpo)importanteincluirumtermoqueleveemcontaataxacomqueocalor armazenado pelo material. Esta taxa de absoro pode ser considerada por: u =c qc(4.11) ondec acapacidadetrmicadomaterial.Avarivelqcpodeserentendidacomo umapartedocalorgeradoquedevesersubtrada do outrocalorgerado,qB, da expresso4.6,poisqcocalorarmazenadoeesteefeitolevaaumasoluo transiente. 80 4.5 Equaes incrementais O princpio das temperaturas virtuais expressa o equilbrio do fluxo de calor a qualquermomento.Paraumesquemageraldesoluoparaproblemas estacionriosoutransientes,devem-sedesenvolverequaesdeequilbrio incrementais.Comoemumaanlisedeelementosfinitosaplicadaanlisede tenses, admite-se que a soluo do problema para o tempo t j foi calculada e que as temperaturas sero determinadas para o tempo t + At, onde At o incremento de tempo. 4.5.1 Soluo para problema estacionrio Considerando-se inicialmente o estado estacionrio, onde o passo de tempo usadoapenasparadescreverocarregamentodofluxodecalor,oprincpiodas ( ) dS h Q dV kScS t tet t t t S t t ' t tVt t T '} }u u u + = u uA + A + A + A + A + A + (4.12) onde: t + At: indica no tempo t + At Sc: rea da superfcie com conveco Qt t A +: fluxo de calor externo dado ao sistema, no tempo t + At Observa-seque,naexpresso4.12,atemperatura t+Atueconhecida, enquanto t+AtuS,queatemperaturanasuperfcieSc,aincgnita.Ovalorde Qt t A + inclui os feitos da gerao interna de calor do corpo, t + AtqB, o fluxo de calor na 81 superfcie, t+AtqS, que no includo nas condies de contorno da conveco, e o fluxo de calor concentrado,Qt t A +, como observa-se na expresso 4.13. } }A + A + A + A +u + u + u =ii t tiSS t t SVB t t t tQ dS q dV q Q2 (4.13) Considerandoaequaogeraldeequilbriodefluxodecalor,dadapela equao4.12,deve-senotarque,nocasodeanliselinear,otermoht t A + constante, podendo-se reescrever a equao da seguinte forma: dS h Q dS h dV kScet t S t tScS t t S ' t tVT '} } }u u + = u u + u uA + A + A + A + (4.14) e, possvel resolve-la diretamente para a incgnita t + Atu. Na analise no linear de transferncia de calor, a relao 4.12 uma equao nolinear,ondeaincgnitaatemperaturanotempot+At.Umasoluo aproximadaparaessatemperaturapodeserobtidadecompondoincrementalmente aequao4.12.Comonaanlisedetenses,estadecomposiopodeser ente
