Capítulo 30 – Campos Capítulo 30 – Campos magnéticos y momento de torsiónmagnéticos y momento de torsión
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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University
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Objetivos: Objetivos: Después de completar Después de completar este módulo deberá:este módulo deberá:
• Determinar la magnitud y dirección de la Determinar la magnitud y dirección de la fuerzafuerza sobre un sobre un alambre portador de cargaalambre portador de carga en un en un campo Bcampo B..
• Calcular el Calcular el momento de torsión magnéticomomento de torsión magnético sobre una bobina o solenoide de área sobre una bobina o solenoide de área AA, , N N vueltas y corriente vueltas y corriente I I en un en un campo Bcampo B dado. dado.
• Calcular el Calcular el campo magnéticocampo magnético inducido en el inducido en el centro de una centro de una espiraespira o o bobinabobina o al interior de o al interior de un un solenoidesolenoide..
Fuerza sobre una carga en movimientoFuerza sobre una carga en movimientoRecuerde que el campo magnético Recuerde que el campo magnético BB en en teslas (T)teslas (T) se se definió en términos de la definió en términos de la fuerza sobre una carga en fuerza sobre una carga en movimientomovimiento::
Recuerde que el campo magnético Recuerde que el campo magnético BB en en teslas (T)teslas (T) se se definió en términos de la definió en términos de la fuerza sobre una carga en fuerza sobre una carga en movimientomovimiento::
Intensidad de campo magnético B:
1 N 1 N1 T
C(m/s) A m= =
⋅
Bvv
FF
SNN
Bvv
FF
BB
θsen qv
FB =
Fuerza sobre un conductorFuerza sobre un conductorDado que una corriente Dado que una corriente II es carga es carga qq que se mueve a través que se mueve a través de un alambre, la fuerza magnética se puede proporcionar de un alambre, la fuerza magnética se puede proporcionar
en términos de corriente.en términos de corriente.
Dado que una corriente Dado que una corriente II es carga es carga qq que se mueve a través que se mueve a través de un alambre, la fuerza magnética se puede proporcionar de un alambre, la fuerza magnética se puede proporcionar
en términos de corriente.en términos de corriente.
I = q/tL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
FF Movimiento de +q
Regla de la mano derecha: Regla de la mano derecha: la fuerza F es hacia arriba.la fuerza F es hacia arriba.
F = qvBF = qvB
Como Como v = L/t e I = q/t, se puede v = L/t e I = q/t, se puede reordenar para encontrar:reordenar para encontrar:
L qF q B LB
t t = =
La La fuerzafuerza F F sobre un conductor de sobre un conductor de longitudlongitud L L y y corrientecorriente II perpendicular perpendicular al campo al campo BB::
F = IBLF = IBL
La fuerza depende del ángulo de la La fuerza depende del ángulo de la corrientecorriente
v sen θ Iθ
B
v
F
Corriente I en el alambre: longitud L
B
F = IBL sen θF = IBL sen θ
Tal como para una carga en Tal como para una carga en movimiento, la fuerza sobre un movimiento, la fuerza sobre un alambre varía con la dirección.alambre varía con la dirección.
Ejemplo 1.Ejemplo 1. Un alambre de Un alambre de 6 cm6 cm de longitud forma un ángulo de longitud forma un ángulo de de 202000 con un campo magnético de con un campo magnético de 3 mT3 mT. ¿Qué corriente se . ¿Qué corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de necesita para causar una fuerza hacia arriba de 1.5 x 101.5 x 10-4-4
NN??
I = 2.44 AI = 2.44 A°××== − 20sen m) T)(0.06 10(3
N 101.5sen 3
4
θBLF
I
Fuerzas sobre un lazo conductorFuerzas sobre un lazo conductorConsidere un lazo de área Considere un lazo de área A = abA = ab que porta una que porta una corriente corriente I I en un campo constante en un campo constante BB como se como se muestra a continuación. muestra a continuación.
Considere un lazo de área Considere un lazo de área A = abA = ab que porta una que porta una corriente corriente I I en un campo constante en un campo constante BB como se como se muestra a continuación. muestra a continuación.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan mutuamente y las fuerzas Flaterales se cancelan mutuamente y las fuerzas F1 1 y Fy F22
causan un momento de torsión.causan un momento de torsión.
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan mutuamente y las fuerzas Flaterales se cancelan mutuamente y las fuerzas F1 1 y Fy F22
causan un momento de torsión.causan un momento de torsión.
nA θ
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de torsión τ
Momento de torsión sobre espira de Momento de torsión sobre espira de corrientecorriente
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x
b
a I
Recuerde que el Recuerde que el momento de torsiónmomento de torsión es el producto de la es el producto de la fuerzafuerza y el y el brazo de momentobrazo de momento..Los brazos de Los brazos de momento para Fmomento para F1 1 y Fy F2 2 son:son:
FF11 = F = F22 = IBb = IBb
En general, para una espira de En general, para una espira de NN vueltas vueltas que porta una corriente que porta una corriente II, se tiene:, se tiene:
2 sena θ
)2)((
)2)((
2
1
θτ
θτ
senaIBb
senaIBb
=
=
θθτ senabIBsenaIBb )()2)((2 == θτ IBAsen=
θτ NIBAsen=
•
θ
θ2
a
2a
n
B
2 sina θ
2 sina θ
XF2
F1
Iout
Iinsen
sen
Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una bobina de alambre de Una bobina de alambre de 200 vueltas200 vueltas tiene tiene una radio de una radio de 20 cm20 cm y la normal al área forma un ángulo y la normal al área forma un ángulo de de 303000 con un campo B de con un campo B de 3 mT3 mT. ¿Cuál es el momento . ¿Cuál es el momento de torsión en la espira si la corriente es de de torsión en la espira si la corriente es de 3 A3 A??
SN
nn
θθB
N = 200 vueltas
B = 3 mT; θ = 300
2 2( .2 m)A Rπ π= = −
A = A = 0.126 m0.126 m22; N = 200 vueltas; N = 200 vueltas
B = 3 mT; B = 3 mT; θθ = 30 = 3000; ; I = 3 I = 3 AA
τ = 0.113 N⋅mMomento de torsión resultante Momento de torsión resultante sobre la espira:sobre la espira:
θτ NIBAsen=
°== 30sen )m T)(0.126 A)(0.003 (200)(3sen 2θτ NIBA
Campo magnético de un alambre largoCampo magnético de un alambre largo
Cuando una corriente Cuando una corriente II pasa a través de un largo alambre pasa a través de un largo alambre recto, el campo magnético recto, el campo magnético BB es es circularcircular como muestra el como muestra el siguiente patrón de limaduras de hierro y tiene la siguiente patrón de limaduras de hierro y tiene la direccióndirección indicada. indicada.
Cuando una corriente Cuando una corriente II pasa a través de un largo alambre pasa a través de un largo alambre recto, el campo magnético recto, el campo magnético BB es es circularcircular como muestra el como muestra el siguiente patrón de limaduras de hierro y tiene la siguiente patrón de limaduras de hierro y tiene la direccióndirección indicada. indicada.
Limaduras de hierroI
B B
IRegla de la mano Regla de la mano derecha:derecha: Tome el alambre Tome el alambre con la mano derecha; con la mano derecha; apunte el pulgar en la apunte el pulgar en la dirección de dirección de II. . Los dedos Los dedos enrollan el alambre en la enrollan el alambre en la dirección del campo B dirección del campo B circularcircular..
Regla de la mano Regla de la mano derecha:derecha: Tome el alambre Tome el alambre con la mano derecha; con la mano derecha; apunte el pulgar en la apunte el pulgar en la dirección de dirección de II. . Los dedos Los dedos enrollan el alambre en la enrollan el alambre en la dirección del campo B dirección del campo B circularcircular..
Cálculo de campo B para alambre largoCálculo de campo B para alambre largoLa magnitud del campo magnético La magnitud del campo magnético B B a una distancia a una distancia rr de un alambre es proporcional a la corriente de un alambre es proporcional a la corriente II..La magnitud del campo magnético La magnitud del campo magnético B B a una distancia a una distancia rr de un alambre es proporcional a la corriente de un alambre es proporcional a la corriente II..
0
2
IB
r
µπ
=Magnitud del campo Magnitud del campo B B para para corriente corriente II a una distancia a una distancia rr::
La constante de proporcionalidad La constante de proporcionalidad µµοο se se llama permeabilidad del espacio libre:llama permeabilidad del espacio libre:
Permeabilidad: µο = 4π x 10-7 T⋅m/A
B
I
rr
B circular
X
Ejemplo 3:Ejemplo 3: Un largo alambre recto porta una Un largo alambre recto porta una corriente de corriente de 4 A4 A hacia la derecha de la página. hacia la derecha de la página. Encuentre la magnitud y dirección del campo B a Encuentre la magnitud y dirección del campo B a una distancia de una distancia de 5 cm5 cm arriba del alambre. arriba del alambre.
0
2
IB
r
µπ
=r = 0.05r = 0.05 m m II = 4 A = 4 A
-7 T mA(4 x 10 )(4 A)
2 (0.05 m)B
ππ
⋅
=
I = 4 Ar 5
cmB=?
B = 1.60 x 10-5 T or 16 µTB = 1.60 x 10-5 T or 16 µT
I = 4 ArRegla de la mano Regla de la mano derecha:derecha: Los dedos Los dedos apuntan apuntan afuera del afuera del papelpapel en dirección del en dirección del campo B.campo B.
Regla de la mano Regla de la mano derecha:derecha: Los dedos Los dedos apuntan apuntan afuera del afuera del papelpapel en dirección del en dirección del campo B.campo B.
B afuera del papel
Ejemplo 4:Ejemplo 4: Dos alambres paralelos están Dos alambres paralelos están separados separados 6 cm6 cm. El alambre . El alambre 11 porta una corriente porta una corriente de de 4 A4 A y el alambre y el alambre 22 porta una corriente de porta una corriente de 6 A6 A en la misma dirección. ¿Cuál es el campo en la misma dirección. ¿Cuál es el campo B B resultante en el resultante en el punto mediopunto medio entre los alambres? entre los alambres?
0
2
IB
r
µπ
=
I1 = 4 A
3 cmB=?
3 cm
I2 = 6 A
4 AB1 afuera del papel
1
6 A2
xB2 hacia el papelBB11 es positivo es positivo
BB22 es negativo es negativo
La resultante es la suma La resultante es la suma vectorial: vectorial: BBRR = = ΣΣBB
Ejemplo 4 (Cont.):Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el B resultante en Encuentre el B resultante en el punto medio.el punto medio.
I1 = 4 A
3 cmB=?
3 cm
I2 = 6 A
-7 T mA
1
(4 x 10 )(4 A)26.7 T
2 (0.03 m)B
π µπ
⋅
= = +
-7 T mA
2
(4 x 10 )(6 A)40.0 T
2 (0.03 m)B
π µπ
⋅
= = −
0
2
IB
r
µπ
=
BB11 es positivo es positivo
BB22 es negativo es negativo
El resultante es la suma vectorial: El resultante es la suma vectorial: BBRR = = ΣΣBB
BBRR = 26.7 = 26.7 µµT – 40 T – 40 µµT = -13.3 T = -13.3 µµTT
BBRR es hacia el es hacia el papel:papel:
B = -13.3 µT
Fuerza entra alambres paralelosFuerza entra alambres paralelos
I1
Recuerde que el alambre Recuerde que el alambre con con II11 crea crea BB11 en P:en P:
0 11 2
IB
d
µπ
=
¡Afuera del papel!¡Afuera del papel!
d
PI2
d
Ahora suponga que otro alambre con corriente Ahora suponga que otro alambre con corriente II22 en la misma en la misma dirección es paralelo al primer alambre. El alambre 2 experimenta dirección es paralelo al primer alambre. El alambre 2 experimenta la fuerza la fuerza FF22 debida a debida a BB11..
A partir de la regla de la A partir de la regla de la mano derecha, ¿cuál es mano derecha, ¿cuál es la dirección de la dirección de FF22??
La fuerza F2 es hacia abajo
La fuerza F2 es hacia abajo
F2
I2
F2
B
Alambres paralelos (Cont.)Alambres paralelos (Cont.)Ahora comience con el Ahora comience con el
alambre 2. alambre 2. II22 crea crea BB22 en P:en P:
0 22 2
IB
d
µπ
=
¡HACIA el papel!¡HACIA el papel!
Ahora el alambre con corriente Ahora el alambre con corriente II11 en la misma dirección es en la misma dirección es paralelo al primer alambre. El alambre 1 experimenta la paralelo al primer alambre. El alambre 1 experimenta la fuerza fuerza FF11 debida a debida a BB22. .
A partir de la regla de la A partir de la regla de la mano derecha, ¿cuál es mano derecha, ¿cuál es la dirección de la dirección de FF11??
La fuerza F1 es hacia abajo
La fuerza F1 es hacia abajo
I1
I1
F1 B
d
x
I2
2B2 hacia el papel
1d
PxF1
Alambres paralelos (Cont.)Alambres paralelos (Cont.)
I2d F1
I1
Atracción
I2d
F1
I1
Repulsión
F2
Ya se vio que dos Ya se vio que dos alambres paralelos alambres paralelos con corriente en la con corriente en la misma dirección se misma dirección se atraen mutuamente.atraen mutuamente.
Ya se vio que dos Ya se vio que dos alambres paralelos alambres paralelos con corriente en la con corriente en la misma dirección se misma dirección se atraen mutuamente.atraen mutuamente.
Use la regla de fuerza Use la regla de fuerza de la mano derecha de la mano derecha para mostrar que para mostrar que corrientes en corrientes en direcciones opuestas se direcciones opuestas se repelen mutuamente.repelen mutuamente.
Use la regla de fuerza Use la regla de fuerza de la mano derecha de la mano derecha para mostrar que para mostrar que corrientes en corrientes en direcciones opuestas se direcciones opuestas se repelen mutuamente.repelen mutuamente.
F2
Cálculo de fuerza sobre Cálculo de fuerza sobre alambresalambres
0 22 2
IB
d
µπ
=
El campo de la corriente en El campo de la corriente en el alambre 2 está dado por:el alambre 2 está dado por:
La fuerza FLa fuerza F11 sobre el alambre sobre el alambre 1 es:1 es:
F1 = I1B2LF1 = I1B2L
I2d F1
I1
Atracción
F2
1
2
L
0 21 1 2
IF I L
d
µπ
= La misma ecuación resulta cuando La misma ecuación resulta cuando se considera Fse considera F22 debido a B debido a B11
La fuerza por unidad de longitud para La fuerza por unidad de longitud para dos alambres separados por dos alambres separados por d d es:es:La fuerza por unidad de longitud para La fuerza por unidad de longitud para dos alambres separados por dos alambres separados por d d es:es:
0 1 2
2
I IF
L d
µπ
=
Ejemplo 5:Ejemplo 5: Dos alambres separados Dos alambres separados 5 cm5 cm portan portan corrientes. El alambre superior tiene corrientes. El alambre superior tiene 4 A4 A al norte y el al norte y el alambre inferior alambre inferior 6 A6 A al sur. ¿Cuál es la fuerza mutua al sur. ¿Cuál es la fuerza mutua por unidad de longitud sobre los alambres?por unidad de longitud sobre los alambres?
I2 = 4 Ad=5 cm F
1I1 = 6 A
Alambre superior
F2
1
2
LAlambre inferior
0 1 2
2
I IF
L d
µπ
=
II11 = 6 A; = 6 A; II2 2 = 4 A; = 4 A; d d = 0.05 m= 0.05 m
La regla de la mano derecha La regla de la mano derecha aplicada a cualquier alambre aplicada a cualquier alambre muestra muestra repulsiónrepulsión..
-7 T mA(4 x 10 )(6 A)(4 A)
2 (0.05 m)
F
L
ππ
⋅
= -59.60 x 10 N/mF
L=
Campo magnético en una espira de corrienteCampo magnético en una espira de corriente
NII IIBAfuera
La regla de la mano derecha La regla de la mano derecha muestra el campo muestra el campo BB dirigido dirigido afuera del centro.afuera del centro.
La regla de la mano derecha La regla de la mano derecha muestra el campo muestra el campo BB dirigido dirigido afuera del centro.afuera del centro.
0
2
IB
R
µ=Espira sencilla:
0
2
NIB
R
µ=Bobina de N espiras:
El solenoideEl solenoideUn Un solenoidesolenoide consiste de consiste de muchas vueltas muchas vueltas NN de un de un alambre en forma de hélice. alambre en forma de hélice. El El campo magnético Bcampo magnético B es es similar al de un imán de barra. similar al de un imán de barra. El núcleo puede ser aire o El núcleo puede ser aire o cualquier material.cualquier material.
Un Un solenoidesolenoide consiste de consiste de muchas vueltas muchas vueltas NN de un de un alambre en forma de hélice. alambre en forma de hélice. El El campo magnético Bcampo magnético B es es similar al de un imán de barra. similar al de un imán de barra. El núcleo puede ser aire o El núcleo puede ser aire o cualquier material.cualquier material.
NS
Permeabilidad µ
Si el núcleo es aire: µ = µ0 = 4π x 10-7 Tm/ASi el núcleo es aire: µ = µ0 = 4π x 10-7 Tm/A
La La permeabilidad relativa permeabilidad relativa µµrr usa este valor como comparación. usa este valor como comparación.
00
or r r
µµ µ µ µµ
= =Permeabilidad relativa para un medio ( µr ):Permeabilidad relativa para un medio ( µr ):
Campo B para un solenoideCampo B para un solenoidePara un solenoide de longitud Para un solenoide de longitud LL, con , con NN vueltas y corriente vueltas y corriente II, , el campo el campo BB está dado por: está dado por:
Para un solenoide de longitud Para un solenoide de longitud LL, con , con NN vueltas y corriente vueltas y corriente II, , el campo el campo BB está dado por: está dado por:
NS
µ
LSolenoide
NIB
L
µ=
Tal Tal campo campo BB se llama se llama inducción magnéticainducción magnética pues pues surge o se produce por la corriente. Se aplica al surge o se produce por la corriente. Se aplica al interior del solenoide y su interior del solenoide y su direccióndirección está dada por la está dada por la regla de la mano derecharegla de la mano derecha aplicada a cualquier bobina aplicada a cualquier bobina de corriente.de corriente.
Tal Tal campo campo BB se llama se llama inducción magnéticainducción magnética pues pues surge o se produce por la corriente. Se aplica al surge o se produce por la corriente. Se aplica al interior del solenoide y su interior del solenoide y su direccióndirección está dada por la está dada por la regla de la mano derecharegla de la mano derecha aplicada a cualquier bobina aplicada a cualquier bobina de corriente.de corriente.
Ejemplo 6:Ejemplo 6: Un solenoide de Un solenoide de 20 cm20 cm de longitud y de longitud y 100 vueltas porta una corriente de 100 vueltas porta una corriente de 4 A4 A. La . La permeabilidad relativa del núcleo es permeabilidad relativa del núcleo es 12,00012,000. . ¿Cuál es la inducción magnética de la bobina?¿Cuál es la inducción magnética de la bobina?
N = 100 vueltas
µ
20 cm
I = 4 A
7 T mA(12000)(4 x10 )µ π − ⋅=
T mA0.0151 µ ⋅=
I = I = 4 A; 4 A; NN = 100 vueltas = 100 vueltas
0rµ µ µ=L = 0.20 m;L = 0.20 m;
T mA(0.0151 )(100)(4 A)
0.200 mB
⋅
=
¡Un núcleo ferromagnético puede aumentar significativamente el campo B!
¡Un núcleo ferromagnético puede aumentar significativamente el campo B!
B = 30.2 TB = 30.2 T
Resumen de fórmulasResumen de fórmulas
I sen θ Iθ
B
v
F
Corriente I en alambre: Longitud L
B
F = IBL sen θF = IBL sen θ
Fuerza F sobre un alambre Fuerza F sobre un alambre que porta corriente I en un que porta corriente I en un campo B dado.campo B dado.
Fuerza F sobre un alambre Fuerza F sobre un alambre que porta corriente I en un que porta corriente I en un campo B dado.campo B dado.
nA θ
B
SN
F2
F1
Momento de torsión sobre una Momento de torsión sobre una espira o bobina de N vueltas y espira o bobina de N vueltas y corriente I en un campo B a un corriente I en un campo B a un ángulo ángulo θ θ conocidoconocido..
Momento de torsión sobre una Momento de torsión sobre una espira o bobina de N vueltas y espira o bobina de N vueltas y corriente I en un campo B a un corriente I en un campo B a un ángulo ángulo θ θ conocidoconocido..
θτ sen NIBA=
Resumen (continúa)Resumen (continúa)
Permeabilidad: Permeabilidad: µµοο = 4= 4ππ x 10x 10-7-7 T T⋅⋅m/Am/APermeabilidad: Permeabilidad: µµοο = 4= 4ππ x 10x 10-7-7 T T⋅⋅m/Am/A
Un campo magnético circular Un campo magnético circular BB se induce se induce por una corriente en un alambre. La por una corriente en un alambre. La dirección está dada por la dirección está dada por la regla de la regla de la mano derechamano derecha..
Un campo magnético circular Un campo magnético circular BB se induce se induce por una corriente en un alambre. La por una corriente en un alambre. La dirección está dada por la dirección está dada por la regla de la regla de la mano derechamano derecha..
0
2
IB
r
µπ
=La La magnitudmagnitud depende de depende de la corriente la corriente II y la distancia y la distancia rr desde el alambre. desde el alambre.
B
I
rr
B circular
X
I
Resumen (continúa)Resumen (continúa)
Fuerza por unidad de Fuerza por unidad de longitud para dos alambres longitud para dos alambres separados por separados por dd::
0 1 2
2
I IF
L d
µπ
=
0
2
IB
R
µ=Espira sencilla:
0
2
NIB
R
µ=Bobina de N espiras:
Para un solenoide de longitud Para un solenoide de longitud LL, con , con NN vueltas y corriente vueltas y corriente II, , el campo el campo B B está dado por:está dado por:
NIB
L
µ=
CONCLUSIÓN: Capítulo 30CONCLUSIÓN: Capítulo 30Momento de torsión y campos Momento de torsión y campos
magnéticosmagnéticos
