Uso de la Transformada de Laplace en la resoluci ´on de circuitos de primer y Segundo Orden.

USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCION DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.1

Uso de la Transformada de Laplace en laresolucion de circuitos de primer y Segundo

Orden.Estupinan Barrera Juan Carlos, Vaca Ortiz Yersson Esteban

[email protected], [email protected] Distrital Francisco Jose de Caldas

ResumenEste documento contiene informacion que describe el desarrollo de circuitos de orden 1 y 2 mediantela transformada de Laplace ya que esta herramienta matematica facilita el analisis y diseno de circuitos y sistemas,ademas permite sintetizar la informacion de dichos sistemas en ecuaciones algebraicas simples. De forma concretase mostrara el uso de la transformada de Laplace para llevar a cabo el proceso de analisis en el dominio del planocomplejo s para 10 circuitos, de manera que se comprenda a totalidad sus respectivos funcionamientos. Por lo tanto,dicho analisis se enfocara principalmente en el planteamiento mediante la funcion de transferencia y las respectivassimulaciones sobre cada circuito para ayudar a entender el comportamiento de los mismos y la importante aplicacionde la Transformada de Laplace en el analisis de circuitos.

Index TermsCircuito de primer orden, Circuito de segundo orden, Funcion de transferencia, Polos complejos, Polosrepetidos, Polos simples, Transformada de Laplace, Transformada inversa de Laplace.

F

1. INTRODUCCION

M EDIANTE la aplicacion de latransformada de Laplace se ha logradodescribir y/o interpretar de manera masacertada distintos tipos de sistemas, ya seanfsicos, estadsticos o hipoteticos, en nuestrocaso los sistemas objeto de estudio son loscircuitos electricos y mas especficamente losde primero y segundo orden, por lo cual seprocedera a realizar la solucion de 10 circuitos,algunos propuestos en clase y otros planteadospor los autores, mediante la transformada deLaplace. Siguiendo este planteamiento, para

Este informe, tiene como proposito hacer uso de la memoriaEEPROM de arduino mediante un dispositivo fsico que nospermita hacer interaccion con ella.

Juan Carlos Estupinan Barrera, estudiante de la Universi-dad Distrital Francisco Jose de Caldas de Colombia. ([email protected]).

Yersson Esteban Vaca Ortiz, estudiante de la UniversidadDistrital Francisco Jose de Caldas de Colombia. ([email protected]).

Documento entregado para revision el 5 de Abril del 2014, esta obraes presentada para ser evaluada bajo el criterio del docente.

mostrar la correcta solucion de los circuitoslas respuestas obtenidas seran respaldadas porsus respectivas simulaciones elaboradas enMATLAB.

2. OBJETIVOS2.1. General

Generar la solucion de los circuitos plan-teados en el dominio del plano complejos.

2.2. EspecficosDe precisar cierta informacion hallar lafuncion de transferencia para diferentessalidas respecto a una unica entrada delsistema.Realizar la simulacion de todos los cir-cuitos mediante el software de calculoMATLAB.Analizar la respuesta de los circuitos en eldominio del tiempo tomando como base


las caractersticas descritas en su funcionde transferencia.

3. MARCO TEORICOAplicada en el analisis de circuitos, la Trans-

formada de Laplace es una base fundamentalen la solucion de estos sistemas, ya que per-mite obtener una respuesta sencilla para luegoexpresarla en el tiempo; analogamente, realizareste proceso directamente en el dominio tem-poral resulta bastante tedioso cuando el ordendel sistema es considerable. A continuacion, sedefinen las principales caractersticas dadas enla resolucion de estos sistemas.

3.1. Circuito de Primer OrdenLos circuitos de primer orden, son aque-

llos que conformados por elementos resisti-vos, pueden tener un elemento almacenador deenerga (capacitor o un inductor). Ademas, es-tos elementos pueden estar excitados o no porun voltaje de entrada, y as mismo, puede tenerdichos elementos en serie, paralelo o posiblescombinaciones, como se representa en la Figura1.

Figura 1. Circuitos de Primer Orden.

3.2. Circuito de Segundo OrdenLos circuitos de segundo orden, son aque-

llos que conformados por elementos resistivos,pueden tener dos elementos almacenadores deenerga (capacitores o inductores),estos elemen-tos pueden estar en diferentes tipos de com-binaciones. Ademas, estos elementos puedenestar excitados o no por un voltaje de entrada,y as mismo, puede tener dichos elementos en

serie, paralelo o posibles combinaciones, comose representa en la Figura 2.

Figura 1. Circuitos de Segundo Orden.

3.3. Funcion de Transferencia

Se define como la transformada de Laplacede la respuesta al impulso, con todas las con-diciones iniciales iguales a cero. Suponiendoque G(s) denota la funcion de transferenciade un sistema con entrada u(t), salida y(t) yrespuesta al impulso g(t), entonces la funcionde transferencia G(s) se define como:

G(s) =Y (s)

U(s)(1)

Donde Y (s) y U(s) son las transformadas deLaplace de y(t) y u(t), respectivamente.

3.4. Transformada de Laplace (L)Es una transformacion integral de una fun-

cion f(t) del dominio temporal al dominio dela frecuencia complejo, lo que da por resultadoF (s). Dada una funcion f(t), su transformadade Laplace, denotada por F (s) o L[f(t)], sedefine como:

L[f(t)] = F (s) = 0

f(t)est dt (2)

donde s es una variable compleja dada por:

s = + j (3)


3.5. Transfromada inversa de Laplace (L1)Dada una funcion F (s), la Transformada

inversa de Laplace se define como latransformacion desde el dominio de frecuenciacomplejo al dominio temporal, para laobtencion de f(t). Suponiendo una formageneral, expresada en la ecuacion (1), las racesde Y (s) = 0 denota los ceros de G(s), mientrasque las races de U(s) = 0 expresa los polosdel sistema. De estar separados los polos delsistema, se usa directamente una Tabla detransformadas. De no ser as, es decir, laspolos estan factorizados, es necesario aplicaruna expansion en fracciones parciales, dondedichos polos pueden ser:

Polos simplesSi todos los polos de G(s) son simples yreales, la ecuacion (1) se puede escribircomo:

G(s) =Y (s)

U(s)=

Y (s)

(s+ s1)(s+ s2)...(s+ sn)(4)

donde s1 6= s2 6= ... 6= sn. Al aplicarla expansion en fracciones parciales, laecuacion (5) se escribe como:

G(s) =Ks1s+ s1

+Ks2s+ s2

+ ...+Ksns+ sn

(5)

El coeficiente Ksi(i = 1, 2, ..., n) sedetermina al multiplicar la ecuacion (4)por el factor (s + si) y reemplazando spor si.

Polos repetidosSi r de los n polos de G(s) son identicos,o se dice que el polo en s = si es demultiplicidad r, G(s) se escribe:

G(s) =Q(s)

P (s)=

Q(s)

(s+ s1)(s+ s2)...(s+ snr)(s+ si)r(6)

(i 6= 1, 2, ..., n r). Entonces G(s) se puedeexpandir como:

G(s) =Ks1s+ s1

+Ks2s+ s2

+ ...+Ks(nr)s+ snr

+

n r terminos de polos simplesA1

s+ si+

A2(s+ si)2

+ ...+Ar

(s+ si)r(7)

r terminos de polos repetidos

Los n r coeficientes, Ks1, Ks2, ..., Ks(nr),que corresponden a los polos simples, sepueden evaluar con el metodo descrito enel item anterior. Las ecuaciones para deter-minar los coeficientes que corresponden alos polos de orden multiple se describencomo sigue:

Ar = [(s+ si)rG(s)]|s=si

Ar1 = [d

ds(s+ si)

rG(s)]|s=si

Ar2 = [1

2!

d2

ds2(s+ si)

rG(s)]|s=si...

A1 = [1

(r 1)!dr1

dsr1(s+ si)

rG(s)]|s=si (8)

Donde posteriormente es aplicable latabla de transformadas.

Polos complejosSuponiendo que G(s) tiene un par de po-los complejos:

s = + js = j

Los coeficientes correspondientes de estospolos son:

K+j = (s+ j)G(s)|s=+j (9)Kj = (s+ + j)G(s)|s=j (10)

Ahora, considerando la funcion G(s):


G(s) =2n

s2 + 2ns+ 2n(11)

Y suponiendo que y n son tales que lospolos de G(s) son complejos, la expansiona realizar es:

G(s) =K+j

s+ j +Kj

s+ + j(12)

Donde:

= n (13)

Y,

= n1 2 (14)

Los coeficientes (12) se determinan como:

K+j = (s+ j)G(s)|s=+j = 2n

2j(15)

.

Kj = (s++j)G(s)|s=j = 2n

2j(16)

Por lo que la expansion en fracciones par-ciales completa en (11) es:

G(s) =2n2j

[1

s+ j+1

s+ + j] (17)

Posteriormente, al realizar la Transforma-da inversa de Laplace en ambos miembrosde (17), se obtiene:

g(t) =2n2j

et(ejt ejt)

g(t) =n1 2 e

nt sinn1 2 (18)

.

4. RESOLUCION DE LOS CIRCUITOSComo se dijo anteriormente, los 10 circuitos

se resolveran planteando metodos de analisisconvencionales y por medio de la transformadade Laplace se conseguira su respuesta en eltiempo a determinadas fuentes de excitacion.

4.1. Planteamiento del Problema, Solucionmatematica y solucion Grafica4.1.1. Ejercicio 1

Hallar la corriente y el voltaje en loselementos del sistema de la Figura 3.

Aplicando LTK en el circuito, se obtiene:

Ejercicio 1. Circuito de Primer Orden.

.

Vi(t) = Ldi

dt+ i(t)R (19)

Despejando la variable de estado del sistema,es decir di

dt, se obtiene la siguiente expresion:

di

dt=Vi(t) i(t)R

L(20)

Reescribiendo este ultimo termino mediantevariables de estado (19), se obtiene la siguientematriz : [

i]=[R

L

] i(t) + [ 1L] Vi(t) (21)Para el hallazgo de los valores del sistema,

se crea a partir de la Ecuacion (22) la matriz desalida, que tiene la forma dada en la ecuacion(19d):i(t)VR

VL

= 1RR

i(t) +001

Vi(t) (21a)Solucionando la ecuacion (22) mediante,la

forma de la ecuacion (20), se obtiene la funcionde transferencia para las variables de estado.As, dicha solucion es:[

i]=[

LSL+R

] [1L

] Vi(S) (21b)


I(S)

Vi(S)=

1

SL+R(22)

Finalmente, asumiendo que R y L tienenun valor de 1, la Funcion de transferencia sereduce a:

I(S)

Vi(S)=

1

S + 1(23)

Ahora, sabiendo que Vi = 220u(t), realizandosu Transformada de Laplace y despejando I(S),se tiene:

I(S) =220

s(s+ 1)(24)

Realizando la expansion en fracciones par-ciales se tiene:

220

s(s+ 1)=A

s+

B

s+ 1(25)

Donde:

A = (220

s(s+ 1)s)|s=0 = 220 (26)

B = (220

s(s+ 1)(s+ 1))|s=1 = 220 (27)

De modo que finalmente se obtiene:

220

s(s+ 1)= 220(

1

s 1s+ 1

) (28)

Aplicando la Transformada inversa de Lapla-ce se obtiene finalmente:

g(t) = 220(1 et) (29)Ahora, generando el codigo para realizar la

simulacion mediante variables de estado, seobtiene:a = [-1];b = [1];c = [1;1;-1];

d= [0;0;1];sys = ss(a,b,c,d);step(t,sys);tf(sys);[u, t] = gensig(square,20,40,0.1);u = [0.5-u]*240;plot(t,u);lsim(sys,u,t);

Finalmente, la simulacion se observa en laFigura 4.

Simulacion Ejercicio 1.

4.1.2. Ejercicio 2Hallar la corriente y el voltaje en los ele-

mentos del sistema de la Figura 5., DondeV1 = 220u(t).

Aplicando LCK en el circuito, se obtiene:

Ejercicio 2. Primer Orden.

V1(t) vc(t)5

= Cdvc(t)

dt+vc(t)

10+vc(t)

100(30)

Despejando la variable de estado del sistema,es decir dvc

dt, se obtiene la siguiente expresion:

dvcdt

= 31 vc(t)100C

+V1(t)

5C(31)

Reescribiendo este ultimo termino mediantevariables de estado (19), se obtiene la siguiente


matriz :[vc]=[ 31

100C

] vc(t) + [ 15C ] V1(t) (32)Hallando la funcion de transferencia del sis-

tema:

vc(s)

Vi(s)=

2

s+ 31/10(33)

Ahora se hallaran las funciones de transfe-rencia de los demas elementos del sistema:

Para R1:

vR1(s) = Vi(s) vc(s) (34)Donde:

vR1(s)

vi(s)=s+ 11/50

s+ 31/50(35)

i1(s)

vi(s)=s/5 + 11/50

s+ 31/50(36)

Para Ic:

ic(s)

vi(s)=

s/5

s+ 31/50(37)

Para el hallazgo de los valores del sistema,se pasa la Ecuacion (32) al dominio de Laplace,con V1(s) = 220S .

220

5S= S

vc(S)

10+ 31

vc(S)

100(38)

Despejando de la ecuacion (35)vc(S),tenemos:

vc(S) =4400

S(31 + 10S)(39)

Ahora realizando la expansion en fraccionesparciales se tiene:

4400

S(10S + 31)=A

s+

B

10S + 31(40)

Donde:

A = 440031

B = 440031

De modo que finalmente se obtiene para estafuente:

4400

S(10S + 31)=

4400

31S 4400

10S + 31(41)

Aplicando la Transformada inversa de Lapla-ce, y sumando el suministro dado por V1, seobtiene finalmente:

vc(t) = 141, 935 141, 935e3,1t (42)

De la cual obtenemos:

iR1(t) = 1, 41e3,1t (0, 35e3,1t + 0, 64)

iR2(t) = 14, 19e3,1t (0, 032e3,1t + 0, 032)

iR3(t) = 1, 41e3,1t (0, 032e3,1t + 0, 032)

iC(t) = 44e3,1t

Finalmente, la simulaciones se observa en lasFiguras 6-10.

Simulacion Ic Ejercicio 2.


Simulacion corriente R1 Ejercicio 2.



Simulacion Vc Ejercicio 2.

4.1.3. Ejercicio 3

Ejercicio 3; Primer orden

En el circuito de la Figura 11, se tiene queVi = 10u(t).

Aplicando LCK en el circuito, se obtiene:

Vi(t) = VR(t) + VC(t) (43)

Donde:

Vi(t) = Ri(t) +1

c

i(t) dt (44)

Pasando la ecuacion (41) al dominio de La-place obtenemos:

Vi(s) = Ri(s) +1

csi(s) (45)

Donde:

Vi(s) = i(s)(R +1

cs) (46)


Hallando su funcion de transferencia:

i(s)

Vi(s)=

cs

crs+ 1(47)

Simulacion: Realizando la simulacion, lassenales obtenidas para las variables de salidase representan en la Figura 8-11.

Simulacion Corriente Ejercicio 3.

Ahora hallaremos las funciones de transfe-rencia de los demas elementos del circuito:

vc(s) =1

csi(s) (48)

Donde:

vc(s) =1

cs

s/r

s+ 1/cR(49)

Simulacion:

Simulacion Voltaje del capacitor Ejercicio 3.

Hallando su funcion de transferencia:

vc(s)

vi(s)=

1/cr

s+ 1/cR(50)

Para la resistencia:

vR(s) = Ri(s) (51)

Donde su funcion de transferencia es:

vR(s)

vi(s)=

s

s+ 1/cR(52)

Finalmente, la simulaciones se observan enlas Figuras 14-15.

Simulacion Voltaje del resistor Ejercicio 3.

Simulacion Polos del sistema Ejercicio 3.

4.1.4. Ejercicio 4


Ejercicio 4, Primer orden.

para este ejercicio tenemos un transformadorel cual solo deja pasar voltajes con frecuenciasde 60Hz, con una relacion N = 0, 1, con locual las relaciones de voltaje y corriente quese tienen en este transformador son:

V2 =v110

i2 = 10i1

Donde V1 = 120sen377t y V2 = 2u(t), :En este ejercicio realizaremos superposicionpara poder realizarlo, primero se apagara lafuente v2 :

Como se apagara la fuente v2 el circuitoqueda:

Diagrama del sistema con v2 apagada Ejercicio 4.

Ahora realizaremos LTK en el circuito:Malla 1:

2i1 + v1 = 120

Malla 2:

15i2 10i3 v2 = 0Malla 3:

(10 0, 0132j)i3 10i2 = 0Reemplazando las relaciones dadas:Escrito en forma matricial:12000

= 2 1 0150 1/10 10100 0 10 0, 01326j

i1v1i3

(53)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

i1 = 0, 239 + 0, 000632j

v1 = 119, 52 0, 001263ji3 = 2, 39 + 0, 009487j

De lo cual podemos hallar:

i2 = 10i1 = 2, 39 + 0, 006316j

iR10 = i2 i3 = 0, 0001 0, 003166j

vR10 = 10(i2 i3) = 0, 0001 0, 03166jAhora realizaremos la segunda parte del

ejercicio apagando v1, por consiguiente comoel transformador solo deja pasar senales confrecuencias de 60 Hz el circuito quedara Figura18:

Diagrama del sistema con v1 apagada Ejercicio 4.

Primero reduciremos el circuito realizando elparalelo de 5 y 10 con lo que:

R = 10515

= 103

Con esto el circuito queda Figura 19:

Diagrama del sistema reducido Ejercicio 4.

Ahora realizaremos LTK en el circuito resul-tante:

Malla 1:103i(t) + 1

c

i(t) dt = 12u(t)

Transformando al dominio de Laplace:103i(s) + 5

si(s) = 12

s

Despejando i(s):

i(s) = 3610s+15

Realizamos la transformada inversa de La-place para pasarlo al dominio del tiempo:

i(t) = 1815e1,5t

Por consiguiente realizamos un divisor decorriente y hallamos IR10:

iR(t) =65e1,5t

vR(t) = 12e1,5t


Por lo tanto la respuesta total de nuestravariable vR10 ecuacion (65):

vR(t) = 12e1,5t + 0, 0315sin(377t 89, 81)

Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen la Figura 20:

Simulacion Ejercicio 4.

4.1.5. Ejercicio 5

Ejercicio 5, Segundo orden.

En el circuito de la Figura 21, se tieneque I1 = 10u(t), por lo cual se plantean lasvariables de estado:

Se mostrara los pasos a seguir para desa-rrollar un circuito RLC en paralelo (ver figura??), el cual es de orden 2, lo que queremoses obtener el voltaje en funcion del tiempo,para comenzar al usar la ley de corrientes dekirchhoff tenemos que:

iC + iL + iR = i(t)

Al reemplazar las ecuaciones que describen lacorriente en el tiempo para cada elemento y delvoltaje tenemos la siguiente respuesta:

CdV (t)

dt+

1

L

V (t) dt+

V (t)

R= 10u(t)

Al convertir esta ecuacion en el dominio deLaplace obtenemos:

C(sV (s) V (0)) + 1L(1

s+i(0)

S) +

1

R=

10

s

Usando factorizacion, resumiendo y teniendoen cuenta que las condiciones iniciales son cero:

V (s)[Cs+1

Ls+

1

R] =

10

s

V (s)s2 +

1

LC+

s

CRs

C

=10

s

Finalmente al reemplazar los valores de loselementos pasivos en la anterior ecuacion:

V (s) =1

s2 +s

250+

1

100

Se podra manejar V(s) como:

V (s) =Wn

s2 + Wns+Wn2

Por tanto, la ecuacion para V(s) quedara como:

V (s) =100(

1

100)

s2 +s

250+

1

100

Al aplicar la inversa de la Transformada deLaplace para obtener la respuesta en el tiempo,encontramos que segun tablas para la formaV(s) corresponde un V(t) igual a:

V (t) =Wn1 2 e

Wntsen(Wndt)

Las races de la funcion de transferencia son:

s1 = 0, 002 + j0, 009s2 = 0, 002 + j0, 009

Donde ademas en seguida se muestra cada unode los valores a reemplazar en la ecuacion paraobtener V(t):

Wn = 0,1

=0,0020,099

= 0,02

d =1 2 = 0, 99

Finalmente se obtiene la respuesta en el tiempopara el voltaje buscado en el ejercicio:

V (t) = 10, 101e0,002tsen(0, 009t)


Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen la Figura 22.

Ejercicio 5.

4.1.6. Ejercicio 6


En esta ejercicio mostraremos como solucio-nar un circuito de segundo orden el cual tienedos fuentes de voltaje a diferentes frecuenciascomo lo muestra la figura ??.

Lo primero que debemos hacer es aplicarprincipio de superposicion apagando la fuentesinusoidal, haciendo lo anterior, nos queda que:

V (t) = VL(t) + VC(t) + VR(t)

V (t) = Ldi(t)

dt+

1

C

i(t)dt+ i(t)R

Aplicando transformada de Laplace obtene-mos:

V (s) = sLI(s) +I(s)

sC+ I(s)R

V (s) = I(s)(s2LC + sRC + 1

sC)

Ademas tenemos la funcion de transferencia:

I(s)

V (s)=

s

L

s2 +sR

L+

1

LC

Teniendo los siguientes valores en el circuitomostrados en la figura ??:

R = 100, C = 1, L = 1

fuente : 60u(t)

Por tanto la corriente:

I(s) =60

s2 + 100s+ 1

Polos reales con criterio del polo dominante.

Los polos para la anterior ecuacion se mues-tran en la figura ??, donde claramente se puedeapreciar que el polo mas cercano al origen seencuentra a una distancia mayor a diez vecesrespecto al segundo polo mas negativo:

s1 = 0,01, s2 = 99,99Por criterio del polo dominante conservamosla raz s1 y la corriente en el tiempo quedaraexpresada de la siguiente manera:

I(s) =

60

99,99

s+ 0,01

As tenemos que la respuesta para i(t) quedaracomo:

i1(t) =60

99, 98e0,01t


Por otro lado, apagando la fuente de 60u(t)y prendiendo la fuente sinusoidal de 120 vol-tios podemos analizar al circuito por mallas yas obtendremos la segunda corriente:

XC = j2, 6525

XL = j377

i(t) =120

100 + j374, 38

i2(t) = 0, 31sen(337t75, 04)

Finalmente al aplicar el principio de super-posicion tenemos la corriente total:

i(t) =60

99, 98e0,01t + 0, 31sen(377t 75, 04)

Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen las Figuras 25-27.

Corriente respecto a la fuente de 60u(t).

Corriente respecto a fuente sinusoidal de 120v.

Corriente total i(t).

4.1.7. Ejercicio 7

Ejercicio 7. Segundo orden.

En el circuito de la Figura 28, se tiene quei1 = 10u(t), la variable a hallar en este casosera ic(t)

Definiendo su funcion de transferencia como:


ic(s)

ii(s)=

s2 + 2s

s2 + 2s+ 1

Ahora hallaremos las demas funciones detransferencia:

vc(s) =1

csic(s)

vc(s)

ic(s)=

2s+ 4

s2 + 2s+ 1

vr(s) = Rii(s)

vr(s)

ii(s)=

4

s2 + 2s+ 1

vl(s) = lsii(s)

vl(s)

ii(s)=

2s

s2 + 2s+ 1

Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen las Figuras 29-33:

Simulacion corriente capacitor Ejercicio 7.

Simulacion polos del sistema Ejercicio 7.

Simulacion voltaje capacitor Ejercicio 7.

Simulacion voltaje inductor Ejercicio 7.

4.1.8. Ejercicio 8



En el circuito de la Figura 34, se tiene quev1 = 10u(t).


i2(s) =s+ 4

s+ 6 + 1/2si0(s)

i0(s)

vi(s)=s/2 + 3s+ 1/4

s2 + 17/4s+ 1


i2(s)

vi(s)=

s/2

s+ 1/4

i1(s)

vi(s)=

1

s+ 4

vRl(s) = i0(s)R1

vR1(s)

Vi(s)=s2/2 + 3S + 1/4

s2 + 17/4s+ 1

vR2(s) = i1(s)R2

v2(s)

Vi(s)=

4

s+ 4

vR3(s) = i2(s)R3

v3(s)

Vi(s)=

s

s+ 1/4

vl(s) = i1(s)ls

vl(s)

Vi(s)=

1/4

s+ 1/4

vc(s) =i2(s)

2s

vc(s)

Vi(s)=

1/4

s+ 1/4

Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen la Figura 33-41:







Simulacion voltaje R1 Ejercicio 8.



4.1.9. Ejercicio 9


En el circuito de la Figura 43, se tiene quev1 = 10sin(t)u(t).


ii(s)

vi(s)=

4/5s3 + 1

s2 + 7/2s+ 3


vi(s) = ii(s)(s+ 10/s)

ii2(s)

vi(s)=

s/5

s+ 2

i2(s)

vi(s)=

1/2

s+ 3/2

vl(s) = i1(s)R1

v1(s)

Vi(s)=

s

s+ 2


v2(s) = i2(s)R2

v2(s)

Vi(s)=

3/2

s+ 3/2

vc(s) =1

csi2(s)

vc(s)

Vi(s)=

2

s+ 2

vl(s) = i2(s)ls

vl(s)

Vi(s)=

3/2s

s+ 3/2

Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen la Figura 44-49:








4.1.10. Ejercicio 10El circuito mostrado en la figura 50 muestra

un circuito de segundo orden, con una senalde entrada tipo escalon unitario con magnitud100. Al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoffen el dominio de Laplace obtenemos:

Circuito RLC de Tercer orden con Races Complejas.

I(s) = Ic(s) + IL(s) + Iz(s)

Haciendo la relacion correspondiente para cadaelemento:

V (s)1

s

+V (s)

s+

V (s)

10 103 + 11 106s

=

100

s V (s)50

Factorizando se reduce la expresion a:

V (s)[s+1

s+

1 106sV (s)1 + 0,01s

+1

50] =

2

s

Operando de forma algebraica tenemos:

V (s)[0,5s3 + 50,0101s2 + 1,5s+ 50

50s(1 + 0,01s)] =

2

s

Finalmente obtenemos para V(s):

V (s) =100(1 + 0,01s)

0,5s3 + 50,0101s2 + 1,5s+ 50

Ahora para obtener la funcion de Transferen-cia del circuito respecto al voltaje de entradatenemos que:

V (s)

Vi(s)=

(0,01s+ 1)s

0,5s3 + 50,0101s2 + 1,5s+ 50

La figura 51 muestra los polos complejos parael sistema donde se puede ver que el polo mascerca al origen se encuentra a una distanciamayor a diez veces del polo ubicado en -100sobre el eje X, y por esta razon se puede aplicar

el criterio del polo dominante aun as las racesdel sistema sean complejas.

Realizando la simulacion, las senales obteni-das para las variables de salida se representanen las Figuras 51-52.

Polos de la Funcion de Transferencia para el circuito deTercer orden.

Respuesta del voltaje en funcion del tiempo del circuito.

5. CONCLUSIONESSe realizo la simulacion de las variablesobtenidas mediante MATLAB, para com-prender de mejor manera el comporta-miento de los sistemas.La transformada de Laplace simplifica degran manera la complejidad de los sis-temas, lo cual facilito el analisis de losmismos.


Una ventaja de trabajar con la funcion detransferencia es que no es necesaria la pre-sencia de condiciones iniciales; ademas,el hecho de aplicar la Transformada deLaplace a la solucion de un sistema generala solucion tanto homogenea como parti-cular y no depende de la senal de entradaal sistema.La funcion de transferencia tambien faci-lita el analisis de el comportamiento deun sistema, en cuanto a su estabilidad yorden, principalmente.Los circuitos electricos hasta segundo or-den se dice que son estables, aunque conalgunas excepciones las cuales son con-siderados como circuitos crticamente es-tables, los cuales no tienden a un va-lor fijo en infinito pero generan una sa-lida armonica con periodo y frecuencia enellos.Mediante el uso de MATLAB, se evidencioque la mayora de simulaciones corres-ponda a salidas acotadas, lo que quieredecir que se trataron en este documentosistemas estables o crticamente estables.Latex nos parecio una excelente forma depresentar trabajos con bastante escrituramatematica ya que despues de manejarlobien ayuda es muy agl y muy estetico.Se puede concluir que los circuitos puedentener multples usos,tipos y modos de so-lucionarlos y que es de gran aplicabilidadsaberlos y conocerlos todos, ademas usarelementos computacionales es muy valio-so, ya que esto nos permite enfrentarnoscon mas felicidad a ejercicios de mayorenvergadura.

REFERENCIAS

[1] Alexander C.; Matthew S Fundamentos de los circuitosElectricos 3ed. Mc GraW Hill.

[2] Benjamin C. Kuo Sistemas de Control Automatico7ed.Prentince Hall.

[3] Principle of Superposition by Direction Images ArtyomM. Grigoryan, Senior Member, IEEE, and Nan Du, Stu-dent Member, IEEE

[4] Piecewise Linear Circuits Operating on First-Order Multi-Level and Second-Order Binary Sigma-Delta ModulatedSignals.

AUTORES

-Juan Carlos Estupinan Barrera, EstudianteIngeniera Electrica (6o Semestre), UniversidadDistrital Francisco Jose de Caldas.

-Yerson Esteban Vaca Ortiz, EstudianteIngeniera Electrica (6o Semestre), UniversidadDistrital Francisco Jose de Caldas.

IntroduccinObjetivosGeneralEspecficos

Marco TericoCircuito de Primer OrdenCircuito de Segundo OrdenFuncin de TransferenciaTransformada de Laplace (L)Transfromada inversa de Laplace (L-1)

Resolucin de los CircuitosPlanteamiento del Problema, Solucin matemtica y solucin GrficaEjercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4Ejercicio 5Ejercicio 6Ejercicio 7Ejercicio 8Ejercicio 9Ejercicio 10

ConclusionesReferenciasBiographies

Date post:	16-Sep-2015
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Uso de la Transformada de Laplace en la resoluci ´on de circuitos de primer y Segundo Orden.

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