ETSII-UPM

Problema generalizado de valores y vectores propios

Mtodos Matemticos de Especialidad(Mecnica-Mquinas)

Madrid, 13 de octubre de 2008

Javier Garca de JalnETSII - Departamento de Matemtica Aplicada

a la Ingeniera Industrial

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Revisin del oscilador armnico (1/4)Oscilador armnico

Sea un sistema de un grado de libertad constituido por una masa m, un resorte de rigidez k y un amortiguador de constante c. Estableciendo el equilibrio de fuerzas:

que es la ecuacin diferencial del movimiento.Oscilaciones libres y forzadas

Se llama oscilacin libre al movimiento que se obtiene sacando al sistema de la posicin de equilibrio y dejndolo evolucionar sin fuerzas exteriores.Se llama oscilacin forzada al movimiento que se obtiene como consecuencia de las fuerzas exteriores aplicadas.

Solucin del problema de oscilaciones libresSe buscan soluciones del tipo Derivando y sustituyendo:

La ecuacin anterior se suele modificar para obtener una forma ms sencilla.

k

c

m

x(t)

f(t)

kxcx

mxf(t)

( )mx cx kx f t+ + =

.stx Ae=

( )2

2 2 40 0 2

st c c mkms cs k Ae ms cs k sm

+ + = + + = =

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Revisin del oscilador armnico (2/4)Oscilaciones libres (cont.)

Introduciendo dos nuevos parmetros y :

donde es la frecuencia propia o frecuencia natural del sistema, mientras que es el amortiguamiento relativo (cociente entre el amortiguamiento real c y el crtico =1)La solucin de la ecuacin diferencial depende del signo del radicando. La solucin slo es oscilatoria cuando el radicando es negativo (2

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Revisin del oscilador armnico (3/4)Oscilaciones forzadas con fuerzas de tipo armnico

Se considera la ecuacin diferencial completa. Es muy cmodo poner las fuerzas armnicas con notacin compleja. La solucin ser la parte real o la parte imaginaria de x, segn las fuerzas exteriores respondan a la funcin coseno o seno:

La solucin general de esta ecuacin ser la suma de la solucin general de la homognea (oscilaciones libres) y una solucin particular de la completa. Buscando una solucin particular con la forma

donde es la relacin entre la frecuencia de la fuerza exterior y la frecuencia natural y es el amortiguamiento relativo. El cociente f/k representa la deformacin esttica (lo que se desplazara la masa si la fuerza se aplicase estticamente).El resultado anterior muestra el factor de amplificacin dinmico, que es lo que aumenta la amplitud de la respuesta en funcin de y . En amplitud:

Es interesante ver los grficos de esta funcin de para distintos valores de .

i tmx cx kx f e + + =

( )2 2, , i t i t i t i t i tx Ae x i Ae x Ae Am i Ac kA Ae f e = = = + + = :i tx Ae =

=

( ) ( )2 221

1 2

fxk

= +

( ) ( )2 2 2, 1 2i t

i t f eA f m i c k x f e m i c kk i

= + + = + + =

+

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Revisin del oscilador armnico (4/4)Representacin grfica del factor de amplificacin dinmico

Los valores de considerados son de 0.05 a 0.95, con incrementos de 0.1 La figura muestra lo importante que es la frecuencia natural del sistema, ascomo la influencia del amortiguamiento en la amplitud de la respuesta.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

beta

FAD

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Dinmica de sistemas de masas con muellesEcuaciones de la dinmica de sistemas de masas acopladas con muelles (para 2 gdl).

Estableciendo el equilibrio decada una de las masas:

Matricialmente:

o bien, en forma simblica abreviada:

Oscilaciones libresSuponiendo que no actan fuerzas exteriores:Buscando soluciones exponenciales en la forma

Si las matrices K y M son definidas o semidefinidas positivas s20

ste es el problema generalizado de valores y vectores propios.

k1m1

x1(t)

f1(t)

k2m2

x2(t)

f2(t)

k1x11 1m x

f1(t)

( )2 2 1k x x 2 2m x

f2(t)( )2 2 1k x x

) ( )1 1 1 1 2 2 1 11 m x k x k x x f+ =) ( )2 2 2 2 1 22 m x k x x f+ =

1 1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 2 2

00m x k k k x f

m x k k x f+

+ =

( ) ( ) ( )t t t+ =Mx Kx f

+ =Mx Kx 0( ) stt e=x x

( )2 2 0st T Ts e s+ = + =M K x 0 x Mx x Kx2 2 2 20 s s < = =Kx Mx

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Frecuencias propias de un sistema linealFrecuencias propias de vibracin de un sistema mecnico lineal

Las ecuaciones obtenidas para un sistema de 2 gdl en la transparencia anterior son generalizables para n gdl con la misma formulacin matricial:

Las posibles soluciones de este problema tienen que cumplir la ecuacin del problema generalizado de valores y vectores propios:

La solucin de este problema viene dada por las matrices P y 2:

A los vectores xi se les llama modos naturales de vibracin y a los valores ifrecuencias naturales o frecuencias propias de vibracin.La solucin al problema de las vibraciones libres vendr dada por una combinacin de los n modos naturales de vibracin con 2n constantes a determinar:

Las 2n constantes de integracin se determinan a partir de las 2n condiciones iniciales. Para resolver este problema con generalidad conviene avanzar algo ms en la teora, pero para el caso particular de que se saque al sistema del equilibrio segn un modo xj:

( ) ( ) ( ) ( )2, i t i tt t t e e + = = + =Mx Kx 0 x x M K x 0

( )2 2 2 2 2 21 2, det 0 , ,...,i i i n = = =Kx Mx K M

[ ] 2 2 2 2 21 2 1 2, ,..., , diag , ,..., n n = P x x x KP MP

( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 cos senj jn ni t i tj j j j j j j jj jt A e A e B t B t = == + = + x x x

( ) ( ) ( )1 20 , 0 , , 0, cosj i ij i j jB B t t = = = = =x x x 0 x x

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Teorema de la diagonalizacin simultnea (1/3)Enunciado

Dadas dos matrices cuadradas A y B, siendo A simtrica y B simtrica y definida positiva, existe una matriz no singular P que diagonaliza por congruencia a las matrices A y B simultneamente. La matriz P no es nica.

DemostracinSi la matriz B es definida positiva existe una matriz R invertible tal que

La matriz es simtrica y por tanto unitariamente diagonalizable. Sea Q la matriz ortogonal que la diagonaliza:

Si se define la matriz est claro que P existe, es no singular y diagonaliza por congruencia a A. Es fcil comprobar que tambin diagonaliza a la matriz B:

Relacin con el problema generalizado de valores y vectores propiosLas columnas de P son los vectores propios generalizados de A y B. Los elementos de la diagonal de D son los valores propios correspondientes:

T=B R R1T R AR

( )1 1T T T T = =Q R AR Q Q R AR Q D1 ,P R Q

( )1 1T T T T T T = = =P BP Q R BR Q Q R R R R Q I

, T T T T = = = = =P AP D P BP I P AP P BPD AP BPD Ax Bx

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Teorema de la diagonalizacin simultnea (2/3)Reduccin del problema generalizado al problema estndar

Supngase el problema generalizado de valores y vectores propios:

Se desea pasar a la forma estndar. Pre-multiplicando por la inversa de B se obtiene:

pero esta forma, aunque vlida, no es una forma prctica de resolver el problema porque se pierde la simetra y se hacen ms complicados los clculos.De otra forma, si la matriz B es simtrica y definida positiva se puede factorizar como B=RTR (R regular) y se tiene:

Consecuencias:Si A y B son simtricas, la matriz del problema estndar tambin lo es y los valores propios sern reales.Los valores propios del problema generalizado tienen los mismos signos que los valores propios de A, pues la matriz obtenida es congruente con A (ley de inercia de Sylvester)Otras propiedades del problema generalizado se pueden derivar tambin de las propiedades correspondientes del problema estndar.

1 =B Ax x

1

1 1

,

T

T T

= =

= =

Ax Bx R Rx y Rx x = R yAR y R y R AR y y

=Ax Bx

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Teorema de la diagonalizacin simultnea (3/3)Otras propiedades:

Inversa de la matriz P. Obsrvese que la matriz P no es una matriz ortogonal puesto que PTPI. Para calcular la inversa de P (que no es PT) se puede proceder as:

Desplazamiento de los valores propios. Si se sustituye la matriz A por AB, los valores propios pasan a ser ():

Los valores propios no cambian ante una transformacin de congruencia aplicada a ambas matrices A y B. Introduciendo la transformacin x=Cy en la ecuacin y premultiplicando por CT:

de donde se deduce que es un valor propio de las matrices CTAC y CTBCasociado con el vector propio y.Valores propios generalizados cuando A tiene rango menor que n. En este caso los vectores de Ker(A) son vectores propios generalizados asociados con =0. Esto sucede cuando la matriz A es slo semidefinida positiva.En ciertos casos, el papel de las matrices A y B puede intercambiarse:

1 1 1, T T T = = =P BP I P BPP IP P P B

( ) ( ) ( ); ; = = = AP BPD A B P BPD BP A B P BP D I

=Ax BxT T=C ACy C BCy

1 = =Ax Bx Bx Ax

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Valores y vectores propios generalizadosInterpretacin geomtrica

En general, los vectores Ax y Bx no tiene la misma direccin que el vector xLos vectores propios generalizados son vectores que se transforman en vectores de la misma direccin con la matriz A que con la matriz B. El valor propio generalizado determina la diferencia en el cambio de longitud con una u otra matriz.La figura muestra un ejemplo en el que se observa la diferencia en cmo se transforma un vector cualquiera x y cmo se transforman dos vectores propios generalizadosx1 y x2.En algunos casos prcticos el problema generalizado surge cuando se alinean fuerzas de distinta naturaleza, por ejemplo fuerzas de inercia y fuerzas elsticas.

2Bx

2 2 2=Ax Bx

1 1 1=Ax Bx

1x

xAx

2x

1Bx

Bx

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Cociente de Rayleigh para Ax=BxDefinicin del cociente de Rayleigh para el problema generalizado:

Propiedades:Igualando a cero el gradiente para imponer la condicin de valor estacionario:

de donde se deduce que los valores estacionarios se obtienen cuando x es un vector propio, en cuyo caso el cociente de Rayleigh es el valor propio correspondiente.

Si las matrices A y B son simtricas y definidas-positivas:Todos los valores propios son reales y mayores que cero.El mnimo se obtiene para el valor propio ms pequeo 1 y el mximo para el valor propio ms grande n. El caso de las matrices de rango menor que n se deduce fcilmente.

Clculo de valores y vectores propios. Si se conoce:el valor propio, el vector propio se calcula resolviendo (AiB)xi=0.el vector propio, el valor propio se puede calcular con el cociente de Rayleigh.

Existen versiones de los teoremas mini-max y maxi-min para este problema.

( )T

TR =x Axxx Bx

( ) ( )( ) 2 T T T

T TR

= = =x Bx Ax x Ax Bx x Axx 0 Ax Bx 0

x Bx x Bx

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Sistemas mecnicos lineales de n gdl (1/2)Ya se est en condiciones de avanzar un poco ms en estos sistemasSistemas mecnicos lineales con n gdl:Caso particular: vibraciones libres (f(t)=0) y no amortiguadas (C=0):

Buscando soluciones en la forma x(t)=xest se llegaba a (s2=2):

donde 2 y x son un valor y un vector propio generalizado de K y M.Para estudiar el comportamiento de este sistema es conveniente hacer un cambio a las llamadas coordenadas modales:

Multiplicando por PT y teniendo en cuenta las relaciones de ortogonalidad y normalizacin de los modos naturales:

que es un sistema de n ecuaciones con una incgnita (ecs. desacopladas)Las condiciones iniciales en estas coordenadas modales:

Si y0=ei, x0=xi, slo el modo i se activa:

( )t+ + =Mx Cx Kx f

+ =Mx Kx 0

( )2 2 i t i i ie + = =Mx Kx 0 Kx Mx

[ ] ( )2 2 21 1,..., , diag ,..., ; , n n = = + =P x x x Py x Py MPy KPy 0

2 2, , T T T T= = + = + =P MP I P KP P MPy P KPy 0 y y 0

[ ] 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0,..., , , , T Tn = = = = =P x x x Py x Py y P x P Mx y P Mx( ) ( )cos cosi i i iy t t t t = =x x

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Sistemas mecnicos lineales de n gdl (2/2)Oscilaciones forzadas sin amortiguamiento (fuerza armnica)

Las ecuaciones del movimiento en este caso son:

donde hay que considerar la parte real o la imaginaria de la respuesta segn la fuerza vare con el coseno o con el seno de t.Realizando el cambio a las coordenadas modales:

La solucin de cada una de las ecuaciones modales se obtiene sumando la solucin general de la homognea con una solucin particular de la completa. Buscando soluciones particulares en la forma

La solucin general de la coordenada modal j se puede poner en la forma:

La solucin general en las coordenadas x se obtiene sumando las respuestas de todos los modos y deshaciendo el cambio de coordenadas.Ntese que la respuesta se hara infinita si la frecuencia de la fuerza exterior coincide con alguna de las frecuencias naturales (=j) y f no es ortogonal al modo xj. A este fenmeno se la conoce con el nombre de resonancia.

i te + =Mx Kx f

2, i t T T T i t T i te e e + = = + = + =Mx Kx f x Py P MPy P KPy P f y y P f

( ) 1 2 2 2cos senTj i t

j j j j jj

y t B t B t e

= + +

x f

( ) :i tj jy t Y e =

( ) ( )2 2 2 2 2 2 T Tj ji t T i t i t i t

j j j j j pj jj j

Y Y e e Y y t Y e e

+ = = = =

x f x fx f

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Oscilaciones en torno al equilibrio (1/2)Oscilaciones no lineales en torno a su posicin de equilibrio

Aplicando alguno de los principios de la Mecnica Racional (Newton-Euler, Lagrange, trabajos virtuales, ...) se pueden llegar a establecer las ecuaciones diferenciales del movimiento de un sistema mecnico. De ordinario se tratar de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que se pueden escribir:

donde y y Q son los vectores de coordenadas y fuerzas generalizadas. Con el subndice "0" se va a denotar una posicin de equilibrio estable (esttico y/o dinmico). Dicha posicin vendr definida por:

Mediante el desarrollo en serie de Taylor alrededor de una posicin de equilibrio es posible linealizar las ecuaciones de la dinmica:

donde H0=0. Las derivadas parciales que aparecen en la expresin anterior son matrices. En el caso ms general, separando la parte simtrica y la parte antisimtrica de cada matriz (excepto en el caso de las derivadas segundas) se llega al sistema:

donde M, C y K son matrices simtricas, mientras que G y H son antisimtricas.

( ), , , =H y y y Q 0

( )0 0 0 0 0, , , =H H y y y Q 0

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,+ + + + = ++ + + + =y y y Q

H y y y y y y Q Q H y y y QH y H y H y H Q 0

( ) ( )+ + + =Mq C G q K + H q Q

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Oscilaciones en torno al equilibrio (2/2)Sistemas conservativos y no conservativos.

Los sistemas conservativos se pueden caracterizar de muchas maneras. Una de ellas es la de que en ausencia de fuerzas exteriores la energa del sistema se mantiene constante (oscilaciones de amplitud constante, por ejemplo).Por el contrario los sistemas no conservativos disipan energa y en las oscilaciones libres las amplitudes decrecen con el tiempo.

Sistemas giroscpicosSon los sistemas lineales conservativos ms generales. Su ecuacin para las vibraciones libres es:

Buscando soluciones armnicas no amortiguadas en la forma se llega a:

Estas ecuaciones no se corresponden con un problema de valores propios conocido: Representndolas junto con la identidad

que ya es un problema generalizado de valores y vectores propios haciendo

Las soluciones de este problema son oscilatorias y conservan la energa.

( ), , , T T T+ + = = = = Mx Gx Kx 0 M M K K G G( ) i tt e =x x

( )2 i + + =M G K x 0

, , ,

+ =

K 0 x 0 K x 0 x K 0 0 Kq M G

0 M x K G x 0 x 0 M K G + =Mq Gq 0i te =q Q

i ii + =Mq Gq 0

=Kx Kx 0

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Ejemplo de sistema lineal general (1/2)Rotor con masa suspendida en su interior

Los ejes (x,y) giran con el rotor. La masa m est suspendida mediante dosresortes y dos amortiguadores.La posicin de la masa m est dada por:

y las derivadas de i y j respecto al tiempo:

La velocidad y la aceleracin sern:

Se consideran unas fuerzas viscosas opuestas a la velocidad con la forma:

Existen tambin unas fuerzas debidas a los resortes y amortiguadores presentes:

Con todas estas fuerzas y las de inercia se puede plantar el equilibrio de la masa m en las direcciones x e y.

x

t

Yy

m

kxkycx

cy

X i

j

x y= + r i j

, d ddt dt

= = = = i j i j j i

( ) ( )x y x y x y y x= + + = + + r i j j i i j

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )

x y x y y x y xx y x y x y

= + + + + =

= + +

r i j j ii j

( ) ( )h h h x y h y x= = + f r i j

, k x y c x yk x k y c x c y= = f i j f i j

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Ejemplo de sistema lineal general (2/2)Rotor con masa suspendida en su interior (cont.)

Estableciendo el equilibrio de todas las fuerzas que actan:

Igualando las componentes en cada direccin se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente:

Con la notacin matricial anteriormente utilizada este sistema se puede expresar como:

Comparando los trminos correspondientes se pueden identificar las matrices giroscpicas y de circulacin:

2 2( 2 ) ( 2 )

( ) ( )

x y

x y

m x y x m y x yk x k y

c x c y

h x y h y x

+

+ =

i ji j

i j

i j 0

2

2

0 00 0 2 0 00 00 2 0 0 0

x x

y y

c h k mm x m x h xc h k mm y m y h y

+ + + + + = +

( ) ( )+ + + + =Mx C G x K H x 0

0 2 0,

2 0 0m h

m h

= = G H

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Iteracin directa para Ax=BxSe suponen los valores propios ordenados de menor a mayor

Se parte de un vector y0 aleatorio y normalizadoEl proceso iterativo puede ser como sigue:

Converge hacia el mayor valor propio

1 2 1... n n < < < =

=

=

== +=

Z A B Z

Z B ZZ Z

Z B Z (:, ) (:, ) * (:, )

9. 10. 11. ...11.

j j s iend

enderror

end

=

=

Z Z Z

% Gram-Schmidt modificadofor k=1:nv

% Norma de la columna kw=B*Q(:,k); % vector auxiliard(k)=sqrt(Q(:,k)*w);% Se normaliza la columna k Q(:,k)=Q(:,k)/d(k);% Se elimina la columna k de las% siguientes columnasfor j=k+1:nv

s=Q(:,j)'*w/d(k);Q(:,j)=Q(:,j)-Q(:,k)*s;

endend

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Iteracin de subespacios para Ax=BxLa iteracin de subespacios converge ms rpidamente que la iteracin simultneaEl siguiente algoritmo calcula los valores propios ms pequeos

1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1. & 2.

3. * *

4. * *5. [ , ]=eig( , )6. = *7. ...8. 19.

i i

Ti i i

Ti i i

i i i i

i i i

while error err nit nitmax

errornit nit

end

+

+ + +

+ + +

+ +

+ +

>