Volumen de solidos_de_revolucion

60 Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución

CAPÍTULO 4

Volumen de Sólidos de

Revolución


Volumen de sólidos de revolución

Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l , se

genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se

denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados.

4.1.- Cálculo del Volumen de Sólidos de Revolución mediante el Método del Disco

Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde que el

volumen de un cilindro se calcula por la fórmula: 2V r h , donde r es el radio del

cilindro y h su altura.

Sea la región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, el

eje x , y las rectas verticales x a y x b como se muestra en la figura 4.1a, si

dicha región gira alrededor del eje x , se genera un sólido compacto como el que se

muestra en la figura 4.1b.

Sea un plano perpendicular al eje x , que corta al sólido de la figura 4.1b, la

intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto en

el eje x con abscisa iw , entonces el radio del círculo formado se denomina radio de

giro Rg y su longitud es if w , y el área del círculo es

2

if w . Se puede

deducir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de revolución, usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para calcular áreas en el capítulo 2.

y y

x x

Figura 4.1a Representación grafica de la región R

Figura 4.1b

Representación gráfica del Sólido que se

forma cuando R gira alrededor del eje x

a w b

y=f(x)

b

a wi b

f(w)=Rg f(w)=Rg


Sea f continua y no negativa en ,a b . Sea 1

n

i i

i

f w x

una suma de Riemann,

donde iw es un número arbitrario en el i-ésimo subintervalo 1,i ix x

de una

partición P de ,a b . Ésta es una suma de áreas de rectángulos como los que se

muestran en la figura 4.2a. Al girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje x se

genera un cilindro rectangular recto de poca altura (disco), cuyo radio de la base es

if w y su altura es ix . El volumen de este disco es

2

i if w x . la suma de

todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que se muestra en la figura 4.2b. y está dado por:

2

1

n

i i

i

f w x

Esta es una suma de Riemann para 2

f x . A medida que 0P , n ,

entonces la suma de los volúmenes de los cilindros se acerca al volumen del sólido formado cuando la función gira alrededor del eje de revolución representado en la figura 3.1b. Por tanto, el volumen de un sólido de revolución se define como sigue:

Sea f continua en el intervalo cerrado ba, , y sea R la región acotada por la gráfica

de f , el eje x , y las rectas x a y x b . El volumen V del sólido de revolución

generado al girar R alrededor del eje x está dado por:

2 2

1

limn b

i ian

i

V f w x f x dx

Figura 4.2a

Representación grafica de una suma

de Riemann para la región R

Figura 4.2b

Representación grafica de una suma

de Riemann para la región R cuando

ésta gira alrededor del eje x

a wi b

y=f(x)

b

a wi b

y

x x

y

f(wi)

b ... ...


A continuación se resuelve un ejercicio donde el sólido formado gira alrededor del eje x formando un sólido compacto.

Ejemplo 4.1.

Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región

2, ln ; 1; ; 0R x y y x x x e y gira alrededor del eje x .

Solución

La región y los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo 2 y se representan en la figura 4.3a.

El sólido formado se representa en la figura 4.3b y su volumen se determina

sumando los volúmenes de los cilindros con radio de giro lnRg x y base dx ,

desde 1x hasta x e , mediante la solución de la integral:

2

1ln

e

V x dx

Aplicando la técnica de integración por partes:

2

1ln 2 ln 2

e

V x x x x x Evaluando:

2 2,257V e

f(x)=ln(x)

Sombreado 1

x(t)=1 , y(t)=t

x(t)=e , y(t)=t

f(x)=0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-0.5

0.5

1

1.5

Figura 4.3a

Representación gráfica de la región R

x

x

y

y

lny x

1x

x e

Figura 4.3b

Representación gráfica del sólido que se genera

cuando la región R gira alrededor del eje x

x e

1x

3 ,1P e

1 1,0P 2 ,0P e

RgRg


Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una región gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, la deducción

teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro (Rg) se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta al eje x, es decir,

iRg f w k , donde y k es el eje de giro, como se observa en las figuras 4.4a

y 4.4b).

La definición del volumen vendrá dada por:

En el siguiente ejemplo se calcula el volumen de un sólido que gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, sin embargo, el sólido formado sigue siendo un sólido compacto.

Sea f continua en el intervalo cerrado ba, , y sea R la región acotada por la gráfica

de f , y las rectas x a , x b y y k . El volumen V del sólido de revolución

generado al girar R alrededor del eje y k es:

2b

xaV Rg dx

Donde xRg es la distancia entre f x

y el eje de revolución x a,b , denominada

radio de giro.

y y

x x

Figura 4.4a

Representación grafica de una

región R

Figura 4.4b

Representación gráfica del Sólido

que se forma cuando R gira

alrededor del eje y=k

a wi b

y=f(x)

b

a wi b

Rg

y = k

Rg


1 2 3

1

2

3

4

5

1 1,2P 2 3,2P

3 3,3 3P

3y x

4 1,3P

2y

Ejemplo 4.2.


2, , 3 ; 1; 3; 2R x y y x x x y gira alrededor a la recta 2y .

Solución

La región y los puntos de intersección se representan en la figura 4.5a.

El volumen del disco representado en la figura 4.5b se obtiene mediante la expresión:

2

xdV Rg dx

Donde el radio de giro Rg es:

3 2x

Rg f x k x Entonces:

2

3 2dV x dx

El volumen del sólido de la figura 4.5b se determina mediante la solución de la integral:

23

13 2V x dx

Integrando y evaluando:

32,769V

Figura 4.5a

Representación grafica

de la región R

Figura 4.5b


que se forma cuando R gira

alrededor de la recta y=2

x

y

y

x

Rg Rg


En esta sección se considera una región acotada por las rectas verticales x a y

x b y por las graficas de las dos funciones continuas f y g con f x g x

,x a b , como se muestra en la figura 4.6a. Si esta región gira alrededor de la

recta y k , genera el sólido que se muestra en la figura 4.6b. (Observe que el

sólido tiene un hueco o agujero central).

El volumen V de este sólido hueco, puede calcularse restando el volumen del sólido

formado por la región limitada por g x (volumen interno) al volumen del solido

formado por la región limitada por f x (volumen externo). Desarrollando la

definición de volumen de sólidos utilizada anteriormente para el sólido de la figura 4.6b se obtiene:

2 2b b

a aV f x k dx g x k dx

Esto es:

2 2b

aV f x k g x k dx

Esta última integral tiene su interpretación como límite de una suma de Riemann. Como se ilustra en la figura 4.6a. el elemento de área comprendido entre la gráfica

de g y la gráfica de f tiene una altura igual a i if w g w , genera al girar un

sólido con forma de arandela, como se observa en la figura 4.6b. Recuerde que el volumen de una arandela se calcula por la formula:

2 2

V R r H

Donde, R es el radio externo de la arandela, r es el radio interno y H es el espesor de la arandela.

y y

x x

Figura 4.6a Representación grafica de la región R

Figura 4.6b Representación gráfica del sólido

hueco que se forma cuando R gira

alrededor del eje y=k

a wi b

y=f(x)

b

f(wi) - k

y = k

a wi b

y=g(x)

b


En el sólido de la figura 4.6b., iR f w k , ir g w k y iH x . Entonces el

volumen de la arandela es iV y se determina por la fórmula:

2 2

i i i iV f w k g w k x

Sumando los volúmenes de todas las arandelas se obtiene:

2 2

1 1

n n

i i i i

i i

V f w k g w k x

Tomando límite cuando n , se llega a la siguiente expresión:

2 2

1

limn

i i in

i

V f w k g w k x

En conclusión, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue:

Seguidamente, se resuelven dos ejemplos de cálculo de volumen de sólidos de revolución huecos. En el primero, las funciones que delimitan la región están por

encima del eje de giro en todo el intervalo ba, , por lo cual, el radio de giro es:

f xRg f x k

El segundo, además de ser más complejo, presenta el caso contrario, en el que el eje de giro está por encima de las funciones que delimitan la región en todo el

intervalo ba, , por lo tanto, el radio de giro viene dado por:

f xRg k f x

Sean f y g

funciones continuas en el intervalo cerrado ba, , tal que f x g x

x a,b y sea R la región acotada por la gráfica de f , g

y las rectas x a ,

x b . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la

recta y k está dado por:

2 2b

f x g xaV Rg Rg dx

Donde:

f x

Rg es el radio de giro de la función f (externo)

g x

Rg es el radio de giro de la función g (interno)


Ejemplo 4.3.

Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la

curva 21 2y x x y la recta 1y x gira alrededor de la recta y=-2

Solución


La arandela formada se representa en la figura 4.7b y su volumen se determina mediante la expresión:

2 2

externo internodV Rg Rg dx

Esto es:

2 221 2 2 1 2dV x x x dx

Luego, el volumen del sólido de revolución viene dado por la resolución de la siguiente integral:

2 2 22

11 2 2 1 2V x x x dx

-1 1 2

-2

-1

1

2

Figura4.7a

Representación grafica de la región

comprendida entre la curva

y=1+2x-x2 y la recta y=x-1

Figura 4.7b


que se forma cuando la región

gira alrededor de la recta y=-2

1 -1,-2P

21 2y x x

1y x

2 2,1P

2y

y

x

y

x

2y

internoRgexternoRg


2

52

2 3 4 2 3 4

11

8 10 3 4 8 55

xV x x x x dx x x x x

10867,858

5V

Ejemplo 4.4.


2 3 2, , 5; ; 2; 2 1R x y y y x y x y x x gira alrededor a la recta y=5.

Solución


Los puntos de intersección determinados son:

1 2 3 4 51; 1 1;1 0,303;1,697 3.236;5 7;5P P P P P

Figura 4.8a

Representación grafica de una

región R

Figura 4.8b

Representación gráfica del Sólido que se forma

cuando R gira alrededor de la recta y=5

x x

y

2P

5P

3P

1P

4P

y

5y

1Rg2Rg

3Rg 4Rg


El sólido formado se representa en la figura 4.8b y su volumen se determina mediante la solución de cuatro integrales:

1V es el volumen del sólido generado entre 5P y

1P , donde: 1 5 2Rg x

1 2

17

5 2V x dx

1 226,195V

2V es el volumen del sólido generado entre 4P

y

3P , donde: 2

2 5 2 1Rg x x

20,303

2

23.236

5 2 1V x x dx

2 175,195V


3P , donde: 3

3 5Rg x

21

3

31

5V x dx

3 157,978V


2P , donde: 4 5 2Rg x

1 2

40.303

5 2V x dx

4 29,285V

1 3 2 4V V V V V

179,693V


Sea g una función continua en el intervalo cerrado c,d , y sea R la región acotada

por la gráfica de g , el eje y , y las rectas y c y y d . El volumen V del sólido

de revolución generado al girar R alrededor del eje y está dado por:

2 2

1

limn b

i ian

i

V g w y g y dy

Para calcular el volumen de sólidos que se generan al hacer girar regiones del plano alrededor de rectas paralelas al eje y, se debe integrar respecto a y. Considere una

región acotada por la gráfica x g y , donde g es una función continua y no

negativa para ,c d , las rectas horizontales y c y y d , por el eje y y. Si esta

región gira alrededor de y, genera un sólido cuyo volumen V se puede calcular intercambiando x y y en la definición anterior. Así, sea P una partición del intervalo

,c d determinada por los elementos 0 1 2, , ,... nc y y y y . Sea wi cualquier número en

el i-ésimo subintervalo, se forman rectángulos de longitud (radio de giro) ig w y

altura 1i i iy y y que se ilustran en la figura 4.9a. El sólido generado al girar

estos rectángulos alrededor del eje y se representa en la figura 4.9b.

El volumen del disco formado por el i-ésimo rectángulo es 2

i ig w y . La suma

de todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que

se muestra en la figura 4.9b. y está dado por: 2

1

n

i i

i

g w y

Mediante el límite de sumas se obtiene la siguiente definición:

y

Figura 4.9a Representación grafica de una suma

de Riemann para la región R

Figura 4.9b Representación grafica de una suma de Riemann para la

región R cuando ésta gira alrededor del eje y

x

d

wi

c

x=g(y)

b

y

x

g(wi)

b

x

.

.

.

.

.

.


En el ejemplo siguiente se determina el volumen de un sólido compacto formado cuando una región gira alrededor del eje y.

Ejemplo 4.5.


2, , ;1 9; 0R x y x y y x gira alrededor a la recta 0x .

Solución

La región se representa en la figura 4.10a.

El sólido formado se representa en la figura 4.10, su radio de giro es:

Rg y

Su volumen se determina mediante la solución de la integral:

29 9

1 1V y dy ydy

92

1

81

2 2 2

yV

40V

1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0,1P

3 3,9P 4 0,9P

2 1,1P

Figura 4.10b

Representación gráfica del Sólido que se forma

cuando R gira alrededor de eje y

x

y

9y

1y

x

9y

x y

1y

y

Figura 4.10a Representación grafica

de la región R

Rg


Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una recta gira alrededor de una recta l paralela al eje y, la deducción teórica de la

integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta l al eje y. De manera análoga a lo

realizado en la sección anterior e intercambiando la variable x por y , la definición

del volumen vendrá dada por:

En el próximo ejemplo, se determina el volumen de un sólido compacto formado cuando una región gira alrededor de un eje paralelo al eje y.

Ejemplo 4.6.


2, , ln ; 1; ; 0R x y y x x x e y gira alrededor de la recta x e .

Solución La región se representa en la figura 4.11a.

Sea g continua en el intervalo cerrado c,d , y sea R la región acotada por la gráfica

de g , y las rectas y c , y d y x k . El volumen V del sólido de revolución

generado al girar R alrededor del eje x k es:

2d

ycV Rg dy

Donde yRg es la distancia entre g y

y el eje de giro y c,d , denominada radio de

giro.

x

y

yx e

1x x e

Figura 4.11a

Representación gráfica de la región R

x

y x e

1x

Figura 4.11b

Representación gráfica del sólido que se

genera cuando la región R gira alrededor de

la recta x=e

Rg


El sólido formado se representa en la figura 4.11d y su radio de giro viene dado por la siguiente expresión:

yRg e e

Entonces, su volumen se determina mediante la solución de la integral:

1 12

2 1 2

0 02y y yV e e dy e e e dy

2

2 3,9022 2

eV e

Se considerará ahora una región acotada por las rectas verticales y c y y d y

por las graficas de las dos funciones continuas f y g con f y g y ,y c d ,

si esta región gira alrededor de la recta x k se genera un sólido hueco, cuyo

volumen V , puede calcularse restando el volumen del sólido formado por la región

limitada por g y (volumen interno) al volumen del solido formado por la región

limitada por f y (volumen externo). Mediante la definición de volumen de sólidos

de revolución utilizada anteriormente se obtiene:

2 2d d

c cV f y k dx g y k dy

Esto es:

2 2d

cV f y k g y k dy

La interpretación de esta integral como una suma de Riemann, se obtiene de manera análoga a lo realizado en la sección anterior para sólidos huecos, entonces, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue:

Sean f y g

funciones continuas en el intervalo cerrado c,d , tal que f y g y

y c,d y sea R la región acotada por la gráfica de f , g

y las rectas y c ,

y d . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la

recta x k está dado por:

2 2b

x xa

V Rg f Rg g dx Donde:

xRg f es el radio de giro de la función f (externo)

xRg g es el radio de giro de la función g (interno)


En los próximos dos ejemplos, se determina el volumen de sólidos huecos. En el primero, el eje de giro se encuentra a la derecha de la función, y en el segundo, el eje de giro se encuentra a la izquierda de la región.

Ejemplo 4.7.

Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la

curva 21 2y x x y la recta 1y x gira alrededor de la recta x=2

Solución

Despejando x de la parábola 21 2y x x ;

1 2x y

Los puntos de intersección y la región se representan en la figura 4.12a

El sólido formado se representa en la figura 4.12b y su volumen se determina mediante la solución de tres integrales:

1V es el volumen del sólido generado entre 2P y el vértice de la parábola (se invita

al lector a calcularlo), donde: 1 2 1 2Rg y

Entonces:

22

11

2 1 2V y dy

16

V

-1 1 2

-2

-1

1

2

Figura 4.12b

Representación gráfica del Sólido que se

forma cuando la región gira

alrededor de la recta x=2

1 -1,-2P

2 2,1P

y

x

2x

1Rg

3Rg

2Rg

Figura 4.12a Representación gráfica de la región R

x

y 2x


2V es el volumen del sólido generado entre 1P y el vértice de la parábola, donde:

2 2 1 2Rg y

Luego:

22

22

2 1 2V y dy

2

68

3V


2P , donde: 3 2 1Rg y

El volumen 3V se calcula mediante la solución de la integral:

1 2

32

2 1V y dy

3 9V

Observe que la segunda integral representa el volumen del sólido externo, y las siguientes la de los sólidos internos. Por lo tanto, El volumen del sólido se calcula de la siguiente manera:

2 1 3V V V V

Evaluando;

27

2V

4.2.- Aplicación Práctica

A continuación, se resuelve otro tipo de ejercicio, donde es necesario determinar la altura del nivel del líquido contenido en un depósito, si este no ocupa todo el volumen del recipiente.

Ejemplo 4.8.

Sea la región 2 2, , ; 0; 6R x y y x x y x . Determinar:

a) El volumen del depósito que se obtiene cuando la región gira alrededor del eje y. (considere las medidas del depósito en metros).

b) La altura del nivel del líquido si este ocupa el 10% del volumen del depósito.


Solución

El gráfico de la región y del sólido formado cuando esta gira alrededor del eje y se representan en las figuras 4.20a. y 4.20b:

Los puntos de intersección se determinan mediante la solución de las siguientes ecuaciones:

1P es la intersección entre 2y x y 6y x , igualando las ecuaciones:

2 6x x

2 6 0x x

1

2

31 5

22

xx

x

Sustituyendo;

4y

Luego;

1 2,4P

X

2 0,6P

xx

y y

3 0,0P

1 2,4P

Figura 4.20a

Representación gráfica

de la región R

Figura 4.20b

Representación grafica del sólido

formado cuando la región R gira

alrededor del eje y

1Rg

2Rg


2P es la intersección entre 0x y 6y x , sustituyendo:

6y

Luego;

2 0,6P

2P es la intersección entre 0x y

2y x , sustituyendo:

0y

Luego;

3 0,0P

Entonces, el volumen del sólido de revolución formado, vendrá dado por la suma de

los volúmenes 1V y 2V , donde:


1P , donde: 1 0Rg y

Por lo que;

24

10

V y dy

3

1 8V m


2P , donde: 2 6 0Rg y

Por lo que;

6 2

24

6V y dy

3

2

8

3V m

Si el líquido ocupa el 10% del volumen del depósito, entonces este volumen se calcula de la siguiente manera:

3 3

10%

32 160,1

3 15V m m

Como 16

815

, la altura del líquido residual estará ubicada en la sección

parabólica del depósito, entonces;

10%2

10%0

h

V y dy


10%

0

16

15

h

ydy

10%2

0

16

15 2

h

y

10%

321,461

15h m m


Ejercicios Propuestos

En los siguientes ejercicios, plantear la integral que permita calcular el volumen del sólido de revolución formado, cuando la región dada gira alrededor de la recta indicada.

1) 2 2

1 , , ; 5 6; 6R x y y x y x y x , gira alrededor de:

a) 0y b) 1x c) 7y d) 3x

2) 2

2 , , 2 ;2 4; 5; 0R x y x y y x x y

a) 0y b) 2x c) 5y d) 5x

3) 2 2

3 , , 1; 0; 2; 1R x y y x x x y

a) 3y b) 4x c) 5y d) 0x

4) 2 2

4

1, , 4; 2 4 0; 5 1 0

2R x y y x y x y x

a) 4y b) 2x c) 2y d) 3x

5) 2

5 , , 1 1 ; 1 2R x y y x y x

a) 2y b) 1x c) 4y d) 3x

6) 2

6 , , 4 ; 4 4;4 5 5R x y x y y x y x

a) 5y b) 1x c) 4y d) 3x

7) 2 2 2

7 , , ; 9 2R x y x y y x

a) 3y b) 6x c) 4y d) 0x

8) 2 2

8 , , 2 ; 14 3; 7R x y y x y x y

a) 1y b) 2x c) 7y d) 0x

9) Determinar la altura del nivel del líquido cuando el depósito formado si

2 2, 2 ; 14 3; 0R x y y x y x x gira alrededor de 0x , está lleno

hasta un 60% de su capacidad.

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