ANÁLISIS DIMENSIONAL I | Fundación Rama

La medición en la física es fundamental, para ello es necesario establecer un conjunto de unidades convencionales para cada magnitud física, esto permite diferenciar una magnitud de otra.

Magnitud: Todo aquello que puede ser medido.Medir: Consiste en comparar dos cantidades de una misma magnitud; donde una de ellas es la unidad patrón.

POR SU ORIGEN• Magnitudes fundamentales• Magnitudes derivadas

Magnitudes fundamentales:Son aquellas magnitudes que convencionalmente, servirán como base para deducir las demás magnitudes físicas.Según el Sistema Internacional SI son:

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD SÍMBOLO

Longitud metro mTiempo segundo sMasa kilogramo kgTemperatura kelvin KIntensidad de corriente ampere A

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Magnitudes derivadas:Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las magnitudes fundamentales.Entre las magnitudes derivadas tenemos la aceleración, fuerza, potencia, energía, carga eléctrica, etc.

POR SU NATURALEZA• Magnitudes escalares• Magnitudes vectoriales

DEFINICIÓN

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES

Magnitudes escalares:Es aquella magnitud que queda definida solamente por un valor numérico y su unidad de medida.Ejemplo: Temperatura → 300 K

Magnitudes vectoriales:Es aquella magnitud que, además del valor numérico y una unidad, depende de una dirección.Ejemplo:Velocidad → 30 m/s hacia dirección el norte

Ecuación dimensionalExpresión matemática que nos permite establecer una magnitud física en función de las magnitudes fundamentales.

Notación:Si B es una magnitud física su ecuación dimensional (E.D) es [B].Según el SI las ecuaciones dimensionales son:

• Para las magnitudes fundamentales

MAGNITUD E.D.Longitud LTiempo TMasa MTemperatura q

Intensidad de corriente I

Cantidad de sustancia N

ANÁLISIS DIMENSIONAL I

Trabajando en clase

Integral

1. Determina la ecuación dimensional de la fuerza (F) si su valor se calcula mediante la siguiente fór-mula:

F = (masa) (aceleración)a) MLT–1 b) MLT–2 c) ML d) MT–2 e) LT–2

Solución: Desarrollando las ecuaciones dimensionales. [F] = [masa][aceleración]

2F (M)(LT )−=

2F MLT−∴ =

2. Determina la ecuación dimensional de la presión P

si se calcula mediante la siguiente fórmula:fuerzaP área=

a) ML–1 b) ML–1T–3 c) M–1LT–2 d) ML–1LT–2 e) ML

3. Determina la ecuación dimensional de la fuerza

centrípeta cp(F )

si su valor se puede calcular apli-

cando la siguiente fórmula:

2cp

(masa)(velocidad)F radio=

a) MLT–2 b) MT–2 c) ML–2 d) ML–1T–2 e) MLT2

4. Determina la ecuación dimensional de la energía cinética (Ek) si viene dada por la siguiente ecua-ción:

2k

(masa)(velocidad)E 2=

a) MLT–1

b) T–1 c) ML2T–1 d) ML e) ML2T–2

• Para algunas magnitudes derivadas

MAGNITUD E.D.Área L2

Volumen L3

Velocidad LT–1

Aceleración LT–2

Fuerza MLT–2

Trabajo ML2T–2

Energía ML2T–2

Potencia ML2T–3

Presión ML–1T–2

Calor ML2T–2

Frecuencia T–1

Algunas propiedades de las E.D. que se usarán específicamente en este capítulo son:1) [Número real] = 1 2) [xy] = [x][y]

3) xxy y

=

4) [cX] = c[X] (c: número real)5) [Xn] = [X]n (n: número real)6) [razón trigonométrica] = 1 7) Las constantes numéricas son adimensionales

mas no así las constantes físicas.• [p] = 1 • Ley de la gravitación universal

1 22

m mF G

d=

G: constante (física) de gravitación universal.

2112

NmG 6.67 10kg

−= ×

Luego:1 3 2G M L T− −∴ =

UNMSM

5. Determina la ecuación dimensional “Ce” si la cantidad de calor que se entrega a una sustancia, para incrementar su temperatura se calcula me-diante la siguiente fórmula:

Q mCe T= ∆Si se sabe que:Q: calorm: masaCe: calor específico∆T: Variación de la temperaturaa) 2 1L −θ b) 2 2 1L T− −θ c) 1 2L−θ d) 2T− θ e) 2 2L T−

Solución: Por teoría se sabe que calor y energía tienen la

misma ecuación dimensional.2 2Q E ML T−= =

Siguiendo la fórmula: Q mCe T= ∆

Q m Ce T= ∆

2 2ML T M Ce− = θ

Resolviendo:

2 –2 1Ce L T −= θ

6. Calcula la ecuación dimensional de “P”, si la si-guiente ecuación dimensional es correcta:

DFLP m=

Dónde:D: densidadL: longitudF: fuerzam: masaa) MLT2 b) MLTc) ML2T–1 d) Me) ML–1T–2

7. Determina la ecuación dimensional de “a” a par-tir de la siguiente ecuación correcta:

mna 4VF cos(207 )= °Dónde:F: fuerzaV: volumenm y n son masasa) ML4 b) ML–4

c) ML4T–2 d) L4T–2 e) M–1L4T–2

8. Calcula la ecuación dimensional de “K” si el valor de la energía cinética promedio de una molécula, cuando se trata de un gas ideal monoatómico, se calcula mediante la siguiente ecuación:

k3E KT2=

Dónde:K: constante de BoltzmanT: temperatura absolutaa) 2 2 1ML T− −θ b) 1M −θ c) 2 1ML −θ d) 2 1T− −θ e) 2 1L M −θSolución:

Aplicando las ecuaciones dimensionales de cada término.

K

3E KT2 =

K

1

3E K T2 ⇒ = ⋅ ⋅

2 2ML T 1 k− = ⋅ ⋅ θ

2 2 1K ML T− −∴ = ⋅θ

9. Determina la ecuación dimensional de «h» si el

postulado de Max Planck señala que el valor de la energía de una onda electromagnética se calcula mediante la siguiente ecuación:

E = hf Dónde: E: energía f: frecuencia h: constante de Planck

a) MLT–1 b) ML–1T–1 c) MLT–2 d) M2L–1 e) ML2T–1

10. Calcula la ecuación dimensional de «R» si la ecuación universal de los gases ideales se define por:

PV = nRTDónde:P: presiónV: volumenn: número de molesR: constante universal de los gasesT: temperatura absolutaa) ML2 b) 1 2M T− −θ c) 2 2 1 1ML T N− − −θ d) 1N−θ e) 1ML −θ

11. Determina la ecuación dimensional del periodo si el periodo de un péndulo simple (S) se calcula mediante la siguiente fórmula:

LS 2 g= π×

Dónde:S: periodoL: longitudg: aceleración de la gravedada) M b) Lc) T–2 d) L–3 e) T

UNI

12. La 3era ley de Kepler, aplicada al movimiento de un planeta que se mueve en una órbita cir-cular, señala que el cuadrado del periodo del movimiento es igual al cubo del radio de la ór-bita multiplicado por una constante física. De-termina la dimensión de dicha constante.

UNI 2005-Ia) L2T b) L–3T2 c) LT–2 d) L–2T e) L4T–2 Solución:

Lo primero que tenemos que hacer es plantear la ecuación en función a los datos. Según los datos la ecuación propuesta por Kepler tiene la forma:

S2 = XR3

Dónde: S. periodo del movimiento, y representa el míni-

mo tiempo que demora el planeta en completar una órbita circular.X: constante físicaR: radio de órbita

Aplicando las ecuaciones dimensionales para cada término de la igualdad se tiene:

2 3S XR =

2 3S X R=

2 3T X L=

3 2X L T−∴ =

13. La ley de Hooke señala que la fuerza que un re-sorte ejerce es igual a la longitud de su deforma-ción multiplicada por una constante. Determina la ecuación dimensional de dicha constante.a) ML b) MTc) T–1L d) MLT–2 e) MT–2

14. En la ecuación ap = P (r es densidad y P es presión) determina las dimensiones de la cons-tante a.

UNI 2003-IIa) L2T–2 b) LT–1 c) LT d) L2T e) LMT–1

15. Calcula la ecuación dimensional y su respectiva unidad en el SI de “x”, si su valor se calcula apli-cando la siguiente ecuación:

2 2

22 Y R cosx

S Aπ θ=

Dónde:Y y R: longitudesS: tiempoA: áreaa) LT b) LT2

c) L–1T2 d) L2T e) LT–2

Siguiendo con el estudio del análisis dimensional, en este capítulo veremos cómo calcular las ecuaciones dimensionales de algunas ecuaciones físicas, aplicando para ello nuevas propiedades y principios.

1. La ecuación dimensional de todo ángulo, razón trigonométrica y, en general, de toda cantidad adimensional es uno.• sen(53 ) 1° =

• log(x) 1=

• 64 1° =

2. La ecuación dimensional del exponente de toda magnitud física es igual a uno.

• 2V HP(fuerza) 2N se cumple=

2V H 1P =

• FV3x9 3 se cumple=

FV 13x =

DEFINICIÓN

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES PARTE II

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (PHD)

En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se suman o se restan deben tener la misma ecuación dimensional.

Por ejemplo, si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: A + B = C

Entonces se debe cumplir que A B C= =

Ejemplo:Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: H = aF – bP

ANÁLISIS DIMENSIONAL II

Trabajando en clase

Integral

1. Si A representa el área, ¿cuál es la ecuación di-mensional de x?

1/2A log(30) 56.x =

Solución:

12A log(30) 56 x

=

12 2L .1 1. x=

122x L= 4x L∴ =

2. Si P representa la presión, ¿cuál es la ecuación di-mensional de Y?

2 log(452)5– Y 36 P= °

a) M–1/2L1/2T b) ML1/2 c) MT d) M–1T1/2 e) T1/2

3. Determina la ecuación dimensional de C si la si-guiente ecuación es correcta:

mS 6V tan(3C / F)=m: masa; S: tiempo; V: volumen y F: fuerza.a) ML b) LT–2 c) MLT–2

d) LT e) MLT–1

4. Determina la ecuación dimensional de A/B, si se sabe que v: velocidad y t: tiempo y además la si-guiente ecuación es dimensionalmente correcta:

2BtA ve=

a) L–1 b) LT–1 c) L2Td) L e) LT

UNMSM5. Siendo m: masa y v: rapidez. Determina x.y si la ener-

gía cinética viene dada por la siguiente ecuación:x y

k1E m .v2=

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Solución:Aplicando las dimensiones en cada término

x y

k1E m v2 =

x yk

1E m v2 =

2 2 x 1 yML T 1.M (LT )− −=

2 2 x y yML T M L T− −=Igualando magnitudesM = Mx

→ x = 1L2 = Ly

→ y = 2 ∴ x.y = 2

Donde F: fuerza y P: presión. Indica la ecuación dimensional de a .bDel problema se cumple H aF bP= − Por el principio de homogeneidad

H aF bP= =

H a F b P= =

2 1 2a MLT b ML T− − −=

1 2

2a ML Tb MLT

− −

− =

2aL

b− ∴ =

6. Calcula el valor de xy en la siguiente expresión di-mensionalmente correcta:

v = π2 ax ty

Dónde: v es rapidez, a es área y t es tiempo.a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

7. Calcula x – y si la siguiente expresión es dimen-sionalmente correcta:

y

xmP log(23).dt

= Si se sabe que P es la presión, d es la distancia, t es

tiempo y m es masa.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

8. Calcula (x + 1)z si la siguiente expresión es di-mensionalmente correcta:

x zPsen75 85d t .m° =

Si se sabe que:P: potenciad: distanciat: tiempom: masaa) 27 b) 28 c) 1/27 d) 1/28 e) 1/29

Solución:Aplicando la dimensionalidad a cada término.

x zP Sen75 85d t m ⋅ ° = ⋅ ⋅

x z

11

P Sen75 85 d t m ° = ⋅

x zP d t m ⇒ = ⋅ ⋅

Aplicando las propiedades del análisis dimensio-nal.

x zP d t m= ⋅

Reemplazando las ecuaciones a cada término. ML2 T–3 = Lx.Tz M Igualando exponentes se tiene:

x = 2z = –3

Luego reemplazando en (x + 1)z

z 1(x 1) 27∴ + =

9. La ecuación FA Bt= + es dimensionalmente correcta.

Si F representa la fuerza y t el tiempo, calcula la dimensión de B.

UNMSM 2013-IIa) MLT–2 b) ML c) MLTd) MLT–3 e) LT–2

10. Calcula x2 + y si un cuerpo es abandonado desde una cierta altura h, luego de un intervalo de tiem-po adquiere una rapidez v. Si la aceleración de la gravedad viene dada por

x y1g h v2=

a) –1 b) –2 c) –3d) 3 e) 1

11. En la ecuación 2 x

ya bH sen2c

= θ

dimensionalmente correcta, H es la altura, α es la rapidez, b es el radio y c es la aceleración. Deter-mina x + y.

UNMSM 2013-IIa) 1 b) –1 c) –2d) 0 e) 2

UNI

12. Calcula ac

si la siguiente ecuación es correcta:2P at c= + ρ

Dónde P es presión, t es tiempo y ρ es la densidad.a) MT–2 b) ML–3 c) MLT–2

d) ML–3T–2 e) L3T–2

Solución:Aplicando las E.D. para cada término

2P at c = + ρ Por el principio de homogeneidad se tiene 2P at c = = ρ

2P a t c= = ρ De esta manera se cumple

2P a t• = 1 2 2ML T a T− − =

1 4a ML T− −→ = P c• = ρ

1 2 3ML T c ML− − −= 2 2c L T−→ =

Como nos piden a ,c

entonces

a ac c =

1 4

2 2a ML Tc L T

− −

− =

3 2a ML Tc− − ∴ =

13. Calcula 2

xx

se sabe que F es fuerza, H es altura y v es rapidez si la siguiente ecuación es dimen-

sionalmente correcta: Y = F + 1/2H×v2. a) LT–1 b) L3T–3 c) L3T–1 d) L2T–2 e) L3T–2

14. Si la expresión siguiente es dimensionalmente correcta, ¿cuál es la ecuación dimensional A y α respectivamente?

2 31 1d At t2 6= + α

Si: d: distancia t: tiempo

a) LT ; L–2 b) LT–1 ; LT–2 c) L ; Td) T–2 ; L2 e) LT–2 ; LT–3

15. Se ha determinado que la velocidad de un fluido se puede expresar por la ecuación:

122Pmv 2BYA

= + Donde Pm es la presión manométrica del fluido e

“Y” es la altura del nivel del fluido. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, las magnitudes fí-sicas de A y B, respectivamente, son:

UNI 2011-11a) Densidad y aceleraciónb) Densidad y velocidadc) Presión y densidadd) Fuerza y densidade) Presión y fuerza

En nuestra vida diaria, las rectas direccionales (flechas) son muy importantes pues nos informan hacia dónde ir cuando no conocemos un determinado destino.

En física la importancia de direccionar algunas magnitudes permite una mejor comprensión del fenómeno.Por ejemplo, si decimos que un carro se acerca con una velocidad de 20m/s uno no sabe, en principio, en qué dirección viaja el carro. En contraste a ello, si se dijera que se acerca un carro a la derecha de la persona, en este caso la persona tendrá una mejor información.Aquellas magnitudes físicas que dependen de una dirección se denominan magnitudes vectoriales, y a cada una de ellas se le representa mediante un VECTOR.

DEFINICIÓN

VECTOR

Herramienta matemática que se utiliza para representar magnitudes vectoriales. Se representa gráficamente mediante un segmento de recta orientado (flecha).

Representación:

Notación: A :

vector A

Elementos de un vector

NOTA:• El módulo de un vector también se puede denotar solamente con la

letra (sin la flecha) Sea A

el vector, el módulo de un vector se denota:

A A=

ANÁLISIS VECTORIAL I

• Un vector puede ubicarse en cualquier punto de su línea de acción e incluso puede trasladarse a líneas de acción paralelas sin que se altere su mó-dulo ni su dirección.

Resultante de vectoresEs el resultado (RESULTANTE) que se obtiene de un conjunto de vectores mediante una operación vectorial.

Existen diferentes métodos para obtener dicha resultante, entre ellos tenemos:• Vectores paralelos• Método del polígono

MÉTODO DEL POLÍGONO

Si se tiene tres vectores dispuestos de la siguien-te manera:

Lo primero que tenemos que hacer es ordenar a los vectores uno detrás de otro

El vector resultante R

se traza como se muestra a continuación

• Método del paralelogramo• Descomposición rectangular

Vectores paralelosPara dos vectores paralelos A

y B

cuyos módulos son A y B, existen dos casos para obtener una resultante.

1er Caso:

2do Caso:

Dónde:R A B C= + +

¡Esta suma es vectorial no escalar!Observación: Si al colocar los vectores uno a continuación del otro, se obtiene un polígono cerrado; la resultante es nula.Entonces:

Integral

1. Calcula el módulo de D 2A 3B C= + −

si se tiene tres vectores paralelos A ,B y C

donde:

A 3u; B 5u; C 4u= = =

a) 25 u b) 20u c) 16 u d) 10 u e) 30 u

Solución:1er caso

2do caso

El vector C

cambió de direc-ción por el negativo que le afecta. Luego, a partir del se-gundo caso operamos los vec-tores utilizando la propiedad de los vectores paralelos.

15u

Los tres vectores se suman puesto que están en una mis-ma dirección.

D 25u∴ =

2. Calcula el módulo de R A B C= + −

Considere: A 5u, B 6u, C 4u= = =

Trabajando en clase

a) 5 u b) 10 u c) 15 u d) 20 u e) 30 u

3. Determina el módulo de

R 2A 3B C= + +

sabiendo que: A 4u, B 3u C 6u= = =

a) 2 u b) 7 u c) 6 u d) 8 ue) 9 u

4. Determina el módulo de R A B C,= − −

sabiendo que: A 6u, B 5u, C 4u= = =

a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

UNMSM

5. Calcula el vector resultante en el siguiente gráfico.

a) 2A

b) 2C

c)

3A d) 2B

e) A

Solución:A partir del gráfico mostrado primero operamos los vecto-res A y B

Como se muestra en la figura anterior, el vector resultante de A y B

es igual al vector C

.

Luego como los dos vectores son iguales se suman, obte-niéndose como resultante.

R 2C=

6. Determina el vector resultante en el siguiente gráfico.

a)

4D b) 3D

c) D

d) 2D

e) 0

7. Determina el vector resultan-te.

a) 2C

b) 3C

c) 3A

d)

4C e) 3B

8. En la figura, A B C D y E F= = = =

.

Determina el vector resultante de los vectores mostrados.

UNMSM 2009-II

a) B

b) A

c) D

d) 0 e) 2A

Solución:Del gráfico observamos que los vectores B,C ,D,E,F

for-

man un polígono cerrado por lo cual se anulan.

Luego el único vector que que-da es A

.

R A∴ =

9. Calcula la resultante.

a) 2d

b) 2e

c) 3c

d) 4D

e) 0

10. Calcula la resultante a partir del siguiente gráfico.

Entonces, el módulo de la re-sultante será

R 8cm 8cm 8cm 24cm= + + =

13. Indica el módulo de la resul-tante.

a) 10 cm b) 14 cm c) 4 cm d) 8 cme) 21 cm

14. Si el módulo de la resultante del sistema mostrado es de 6 unidades, ¿cuál es el modulo del vector A?

a) 1 u b) 2 uc) 3 u d) 4 ue) 5 u

15. Calcula el módulo de la resul-tante.

a) 9 m b) 3 m c) 4 m d) 9 2me) 18 m

a) a

b) 2c

c) 3d

d) 0 e) 2d

11. La resultante máxima de dos vectores mide 16 cm y su mí-nima resultante mide 6 cm. Calcula el módulo del vector menor tamaño.

12. Indica el módulo de la resultante.

a) 8 cm b) 16 cm c) 4 cm d) 2 cm e) 24 cm

Solución:A partir del gráfico se observa que podemos obtener la resul-tante de dos grupos de vectores.

Luego, reemplazando la resultan-te de estos conjuntos de vectores.

Existen métodos algebraicos para poder determinar la resultante de un conjunto de vectores.En este capítulo vamos a estudiar dos métodos prácticos y técnicos, con el objetivo de obtener una resultante de un conjunto de vectores.

DEFINICIÓN

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Se tienen dos vectores A y B

como se muestra en la figura:

Para utilizar este método los vectores tienen que unirse por sus orígenes formando un ángulo θ, para ello se tienen que desplazar paralelamente de sus posiciones originales.

θ

Luego, se traza la resultante partiendo del origen común de los vectores hasta la unión de las rectas paralelas de los vectores originarios.

θ

R

: vector resultante

Donde su módulo se calcula aplicando la siguiente ecuación:

2 2R A B 2 A B COS= + + θ

CASOS ESPECIALES

Para calcular el módulo la resultante (R)

de dos vectores A y B

• Si 90θ = °

Dónde: 2 2

R A B= +

Nota:Cuando los vectores forman 90° también podemos hacer uso de los triángulos rectángulos.

• Si se tiene dos vectores A y B

de módulos iguales a un valor “k” y el ángulo θ formarlo por ellos es igual a 60°.

R 3k=

ANÁLISIS VECTORIAL II

• Si se tienen dos vectores A y B

de módulos iguales a un valor “k”, y el ángulo θ formado por ellos es igual a 120°.

R = k

• Si se tienen dos vectores A y B

de módulos A 3k=

y B 5k=

. Además el ángulo θ formado por ellos es igual a 60°.

R = 7k

• Si se tienen dos vectores A k=

y B 2k=

además el ángulo θ formado por ellos es igual a 60°.

R = 7 k

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

Para este caso ubicaremos al vector en un sistema de coordenadas cartesianas x – y.

Luego, desde el origen del vector se trazan las componentes rectangulares tal como señala la siguiente figura:

θ

Dónde:xA :

Vector componente abscisa.yA :

Vector componente ordenada.Los módulos de las componentes se calculan de la siguiente manera:

xA A cos= θ

xA Asen= θ

Se cumple además que el módulo de un vector se puede calcular a partir del valor de sus componentes, en nuestro caso sería:

2 2xA A Ay= +

Nota:Los componentes de un vector se pueden calcular utilizando también los triángulos notables.

Ejemplo:Calcula el módulo de las componentes rectangulares del vector V

de módulo 8 2u.

u

Lo primero que hacemos es trazar las líneas paralelas a los ejes, luego se trazan los componentes vectoriales, anulando al vector origen V

.

A partir del triángulo notable 45° – 45° (triángulo sombreado en la gráfica) se obtiene el módulo de las componentes:

xV 8u∴ =

; yV 8u=

Integral

1. Si dos vectores de módulos 6 cm y 10 cm forman un ángulo de 60° tal como se muestra en la figura, calcula el módulo del vector resultante.

10 cma) 6 cm b) 10 cm c) 14 cmd) 12 cm e) 8 cmSolución:Aplicando el caso práctico.

Del sistema de vectores

Luego el módulo de la resul-tante es

R = 7.(2cm) ∴ R = 14cm

2. Se tiene dos vectores de mó-dulos 2 cm y 4 cm los cuales forman un ángulo de 60°, cal-cula el módulo del vector re-sultante.

a) 2 7cm b) 7cm c) 14 cmd) 4 cm e) 5cm

3. Si dos vectores de módulos 300 cm y 500 cm forman 60°, calcu-la el módulo de la resultante.


Trabajando en clase

4. Calcula el módulo del vector resultante.

10ua) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 5 u

UNMSM


a) 3 3u b) 6 3u

c) 9 3u d) 18 3u e) 9 u

Solución: Lo primero que tenemos que

es trasladar los vectores hasta juntarlos.

Luego, aplicando el caso prác-

tico

Teniendo en cuenta el caso an-

terior, obtenemos de manera práctica el módulo de la resul-tante.

R 9 3u∴ =


a) 10 u b) 30 u c) 50 u d) 70 ue) 90 u


a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

8. Si la siguiente figura se muestra un conjunto de vectores, calcula el módulo del vector resultante.

a) a 3 b) 2a 3

c) 3a 3 d) 3 e) a

Solución: Primero operamos los vecto-

res de módulos 2a.

Luego nos queda

Como los vectores son opues-

tos, los restamos.

R 2a 3 a 3 a 3⇒ = − =

Por lo tanto la resultante es:

R a 3∴ =

9. Si la máxima resultante de dos

vectores mide 21 cm y su mí-nima mide 3 cm, ¿cuál será el módulo de la resultante cuan-do los vectores forman 90°?a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cme) 25 cm

10. Calcula el módulo y la dirección de las componentes rectangula-res del vector V

de módulo 25 u.

v

a) 20 u(↑) b) 10 u(↑) 15 u(→) 5 u (→) c) 30 u (↑) d) 60 u (↑) 40 u (→) 80 u (→)e) 15 u (↑) 20 u (→)

11. Calcula la suma de los compo-nentes rectangulares del vec-tor T

de módulo 250 u.

T

a) 300 u b) 400 u c) 500 ud) 310 u e) 410 u

UNI

12. Calcula el módulo del vector re-sultante.

a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

Solución: Primero descomponemos al

vector de módulo 13 2u .

Luego sumamos los vectores en cada eje.

Ahora aplicando el teorema de Pitágoras a vectores se obtiene.

2 2R 4 3= +

R 5u∴ =

13. Calcula el módulo del vector

resultante.

a) 200u b) 201u

c) 202u d) 206u

e) 205u


u

u

a) 5u b) 2 5u

c) 3 5u d) 7u

e) 8u

15. Calcula el módulo del vector re-sultante.

a) 4 cmb) 5 cmc) 9 cmd) 13 cme) 19 cm

Si nos hacemos la pregunta: ¿Qué cosas se mueven? Seguramente responderíamos de muchas maneras: Un automóvil que viaja hacia una dirección; una hoja agitada por el viento; una pelota que es pateada por un futbolista; un atleta que corre hacia una meta; un electrón que vibra en su entorno; la Tierra que gira alrededor del Sol.

Como sabemos es fácil poder tener una interpretación de todo lo que se mueve, pero a los físicos y/o científicos no solo les importa la idea de movimiento sino también las características de dicho movimiento; es decir respecto a quien se mueven, desde dónde parten, a dónde llegan, cuál es el camino que sigue en un intervalo de tiempo.

Todos estas incógnitas se pueden estudiar y conocer a partir de ciertas definiciones que serán parte de nuestro estudio en este capítulo.

DEFINICIÓN

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

Móvil: es aquel cuerpo que se mueve, sin considerar sus dimensiones.

Sistema de referencia: Es aquel lugar del espacio en donde se ubica un observador en forma real o imaginaria para analizar y describir el movimiento en el tiempo. Para describir el fenómeno del movimiento mecánico es necesario la presencia de un sistema de coordenadas (sistema cartesiano) y un reloj.

Observación:El sistema de referencia es relativo.

Las personas ven que el carro y el piloto están en movimiento, mientras que para el piloto, el carro y él se encuentran quietos y sus alrededores son los que se mueven.

Vector posición(r):Es aquel vector que se traza desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto donde se encuentran el móvil en un instante determinado.

or

: vector posición inicial.

fr

: vector posición final.

Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.

Desplazamiento(D

): Es aquel vector que nos indica el cambio de posición del móvil, y se gráfica desde el punto inicial hasta el punto final de su trayectoria.

Al módulo del desplazamiento se le suele llamar también distancia.

Recorrido (e): Representa la medida de la trayectoria.

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DEL MOVIMIENTO

Integral

1. Si el móvil se mueve de A hacia B, calcula su reco-rrido y el módulo del desplazamiento, respectiva-mente.

4m

a) 7m; 5m b) 1m; 2m c) 4m; 3md) 0; 3m e) 3m; 5m

Solución:

Si el recorrido es la longitud por donde pasa el móvil, entonces: e = 4m + 3m = 7m

El desplazamiento D

es aquel vector que une el punto inicial con el final:

Luego; el módulo del desplazamiento se calcula

aplicando la propiedad de los triángulos rectán-gulos (37° y 53°) D 5m=

2. Si el móvil se mueve de A hacia B, calcula su re-corrido y módulo de desplazamiento, respectiva-mente.

a) 4m; 8m b) 16m; 4m c) 20m; 4md) 8m; 4m e) 4m; 16m

3. Teniendo en cuenta la trayectoria seguida por el móvil en la figura, calcula el recorrido y el módu-lo de desplazamiento, respectivamente.

Trabajando en clase

a) 6m; 4m b) 7; 10mc) 8m; 11m d) 0; 0e) 14m; 10m

4. Si el móvil se mueve de A hacia B, calcula su re-corrido y módulo del desplazamiento, respectiva-mente.

a) 12m; 3m b) 16m; 12mc) 15m; 12m d) 12m; 12me) 16m; 13m

UNMSM

5. Si al móvil que se mueve sobre una pista horizon-tal se le asocia el eje de coordenadas x, calcula su recorrido cuando se mueve desde A hasta C.


Solución: Primero calculamos la distancia de A hacia B.

Luego calculamos la distancia que recorre el mó-vil de “B” hacia “C”.

Finalmente, la distancia total recorrida por el mó-vil será la suma de las distancias.

T 1 2d d d 7cm 5cm= + = +

Td 12cm∴ =

6. Si en la figura se muestra a un movil que se mue-ve sobre una pista horizontal al cual se le asocia el eje de coordenadas x, determina su recorrido y módulo del desplazamiento respectivamente cuando se mueve desde A hacia D.

a) 21m; 5m b) 22m; 6mc) 23m; 4m d) 24m; 7me) 25m; 3m

7. Si la figura muestra un movil que se mueve sobre una pista horizontal y se le asocia el eje de coor-denadas x, determina su recorrido y módulo del desplazamiento cuando se mueve desde T hacia F.

a) 2cm; 1cm b) 14cm; 0cmc) 10cm; 0 cm d) 12cm; 4 cme) 16cm; 2cm

8. Si al móvil que se mueve sobre una pista hori-zontal se le asocia el eje de coordenadas x, cal-cula su recorrido y módulo del desplazamiento cuando se mueve desde P hasta C y regresa al mismo punto P.

a) 20cm; 0 b) 40cm; 0c) 60cm; 0 d) 80cm; 0e) 100cm; 0Solución:

Primero calculamos el recorrido; para ello anali-cemos el movimiento.

De 0x c→ Distancia recorrida d1 = 40 – 10 ⇒ D1 = 30 cm

De 0c x→

Distancia recorrida d2 = 40 – 10 ⇒ D2 = 30cm Luego, la distancia recorrida en el trayecto

0x c→ y 0c x→ es:

R 1 2d d d 30cm 30cm= + = +

Rd 60cm∴ = Para calcular el desplazamiento hacemos uso de

su definición la cual señala que el móvil cambia su posición; como el móvil al final de su movi-miento vuelve a su punto inicial entonces su des-plazamiento es cero.

9. Si un atleta se mueve sobre una pista horizontal al

cual se le asocia el eje de coordenadas x, calcula el recorrido del atleta cuando se mueve desde A hacia C.


10. Si la figura muestra un móvil que se mueve so-bre una pista horizontal al cual se le asocia el eje de coordenadas x, calcula su recorrido cuando se mueve desde A hasta B.

a) 10 m b) 20 mc) 30 m d) 5 me) 15 m

11. Si la figura muestra un móvil que se mueve a par-tir de la posición inicial -8cm hasta llegar a su po-sición final de +8cm, calcula su recorrido y mó-dulo de desplazamiento respectivamente desde donde parte hasta donde llega.

a) 6 cm; 16 cmb) 40 cm; 12 cm c) 22 cm; 14 cmd) 20 cm; 15 cme) 24 cm; 16 cm

UNI

12. Si la figura muestra la trayectoria de un móvil espe-cificado en un sistema de coordenadas cartesianas X-Y, calcula su recorrido y módulo del desplaza-miento respectivamente, cuando se mueve desde F hasta K.

a) 12 cm; 4 cm b) 12 cm; 15 cmc) 5 cm; 12 cm d) 4 cm; 4 cme) 12 cm; 12 cm

Solución: El recorrido es la suma de las distancias en cada

segmento de la trayectoria.

Luego, el recorrido será: 4cm + 4cm + 4cm ∴ e = 12cm Además el módulo del desplazamiento será la

longitud del vector que une el punto inicial (F) y el punto final (k).

|d | 8 4= −

|d | 4cm∴ =

13. Si la figura muestra la trayectoria de un móvil

especificado en un sistema de coordenadas car-tesianas X-Y, calcula su recorrido y el módulo del desplazamiento, respectivamente, cuando se mueve desde D hasta G.


14. Si la figura muestra el movimiento de un móvil desde el punto A hasta B en un sistema de coor-denadas X – Y, calcula su recorrido y módulo del desplazamiento, respectivamente.


15. Si la figura muestra el movimiento de un móvil desde el punto T hasta B en un sistema de coor-denadas X – Y, determina su recorrido y módulo del desplazamiento, respectivamente.

a) 50 cm; 2cm b) 4 cm; 2 2cmc) 5 cm; 5 cm d) 2 2cm; 4 cme) 16 cm; 8 2cm

Es el movimiento en el cual una partícula se mueve con velocidad constante. Al mantener la velocidad constante el móvil se desplaza en línea recta en una sola dirección, recorriendo distancias iguales en intervalos de tiempos iguales.La siguiente figura es un ejemplo de un M.R.U.

Del gráfico se deduce lo siguiente:• El cociente entre el espacio recorrido y el res-

pectivo intervalo de tiempo siempre se mantiene constante.

• La dirección del movimiento siempre es constante.• Como, por definición, la rapidez (valor de la veloci-

dad) se calcula dividiendo el espacio recorrido entre el intervalo de tiempo; se concluye que la rapidez en un M.R.U. siempre se mantiene constante.

Por ejemplo:

2mV 1s= = constante

V 2m / s∴ =

Si se añade a la rapidez una dirección, se obtiene una

DEFINICIÓN

velocidad constante.Para el caso del M.R.U. podemos calcular la distancia recorrida mediante la aplicación de la siguiente fórmula.

d V.t=

o también

Donde: (las unidades en el SI)V = velocidad (m/s)d = distancia (m)t = tiempo (s)

La ecuación se puede aplicar solo teniendo en cuenta las siguientes equivalencias:

d v tm m / s s

km km / h h

Donde:Tiempo:1h = 60 minutos1h = 3600s

EQUIVALENCIA DE VELOCIDADES

Para transformar de km/h a m/s se cumple:

km 5 m.h 18 s=

Ejemplo:

30× =108185

kmh

Para transformar de m/s a km/h se cumple:m 18 km.s 5 h=

Observación:La rapidez del sonido es aproximadamente 340m/s, y generalmente se considera su movimiento en línea recta.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U)

Trabajando en clase

Integral1. Si un ciclista desarrolla un MRU con velocidad

constante de módulo 36km/h, ¿cuántos metros recorre en 10s?a) 100m b) 200m c) 300md) 400m e) 500mSolución:Graficando:

Primero convertimos las unidades de la rapidez para homogenizar las unidades de tiempo y distancia.

km 5V 36 10m / sh 18⇒ = × =

Luego, aplicamos la fórmula d = v.t. Reemplazamos los datos d = 10.10 = 100 m

2. Si un ciclista se mueve con velocidad constante de módulo 54km/h, ¿qué distancia (en m) recorrerá los primeros 60s?a) 300m b) 600m c) 900md) 500m e) 30m

3. Si un auto que desarrolla un M.R.U. recorre 2,4km en 80s, calcula su rapidez en m/s.a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/sd) 40m/s e) 50m/s

4. Si un motociclista recorrió una distancia de 144km con velocidad constante de módulo 40m/s, calcula el tiempo (en h) que demoró en recorrer dicha distancia.a) 1h b) 2h c) 3hd) 4h e) 5h

UNMSM

5. Si en la figura muestra a dos estudiantes que par-ten simultáneamente y desarrollan un M.R.U., calcula el tiempo de alcance en segundos.

a) 1s b) 2s c) 3sd) 4s e) 5sSolución:

Primero, homogenizamos la rapidez para poder operar correctamente.

B5V 72km / h 20m / s18⇒ = × =

Entonces

Luego aplicamos la fórmula de tiempo de alcance.

Amayor menor

80t V V=−

At 4s∴ =

6. Si el gráfico muestra a dos móviles que parten si-multáneamente y experimentan M.R.U., calcula el tiempo de encuentro en segundos.

a) 10s b) 20s c) 30sd) 40s e) 50s

Movimiento simultáneoTiempo de encuentro (te)

eA B

dt V V=+

Tiempo de alcance (ta)

aA B

dt V V=−

7. Si dos atletas parten juntos en la misma dirección con velocidades constantes de módulos 4m/s y 6m/s, ¿qué distancia (en m) los separará luego de 1 minuto de estar corriendo?a) 100m b) 110m c) 120md) 130m e) 140m

8. Dos personas (“A” y “B”) separadas 80m, corren al encuentro con M.R.U. a velocidades de módulos 4m/s y 6m/s, respectivamente. Al producirse el en-cuentro, ¿cuál será la diferencia de las distancias re-corridas por los dos móviles en metros?a) 11m b) 12m c) 13md) 14m e) 16mSolución:

Graficando

dA: Distancia recorrida por A dB : Distancia recorrida por B

Nos piden B Ad d ?− =

Primero calculamos el tiempo de encuentro:

E80t t 8s4 6= → =+

Luego como los móviles desarrollan un M.R.U. se tiene que las distancias son:

A A Ed v .t 4.8 32m= = =

Bd 48m⇒ = Finalmente, la diferencia B Ad d−

B A48 32 d d 16m⇒ − ∴ − =

9. Javier, un joven estudiante, desea saber a qué dis-tancia se encuentra el cerro más próximo. Si para lo cual emite un grito y luego de 4s escucha el eco de su grito, ¿a qué distancia se encuentra del ce-rro? (Considera que el sonido se propaga con ve-locidad constante de módulo 340m/s)a) 600m b) 660m c) 680md) 540m e) 1000m

10. Un tren viaja en línea recta de un ciudad “A” a otra “B” en 4 horas, con una rapidez contante de 60m/h, ¿cuántas horas demorará en regresar si lo hace con una rapidez constante de 80km/h?a) 1h b) 2h c) 3hd) 4h e) 5h

11. Un automovilista realiza un movimiento rectilí-neo uniforme de su casa a su trabajo, llegando a las 11:30h. Si triplicará la velocidad, llegaría a la 9:30h, ¿a qué hora salió de su casa?

UNMSM 2001 - Ia) 8:00h b) 8:10h c) 8:20hd) 8:40h e) 8:30h

UNI

12. Un tren de 100m de longitud viaja a velocidad constante de módulo 20m/s, ¿qué tiempo (en s) de-morará en cruzar completamente un túnel recto de 200m?a) 5s b) 10s c) 15sd) 20s e) 25sSolución:

Graficando:

Para que el tren cruce el túnel tiene que pasar completamente (como se observa en el gráfico), por lo cuál el tren habrá recorrido una distancia igual a 300m.

trend 300 V .t= = 300 20.t=

t 15s∴ =

13. Un tren de 200m viaja a velocidad constante de módulo 40m/s, qué tiempo (en s) demorará en cruzar completamente un túnel recto de 600m?a) 10s b) 20s c) 30sd) 40s e) 50s

14. ¿Cuántos segundos tardará un pájaro, que vuela con velocidad constante de módulo 30m/s, en cruzarse completamente con un tren de 400m de longitud que viaja a velocidad constante de mó-dulo 20m/s en dirección contraria?a) 2s b) 4s c) 6sd) 8s e) 10s

15. Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto y en la misma dirección hacia un poste situado a 100m de distancia. Si los móviles tienen velocidades constantes de módulos 7m/s y 3m/s, ¿luego de qué tiempo (en s) equidistarán del poste? a) 10s b) 20s c) 30sd) 40s e) 50s

Un cuerpo o partícula tiene M.R.U.V. si al desplazarse lo hace describiendo una trayectoria recta con aceleración constante.Definición de la aceleraciónMagnitud física vectorial que mide la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo.

f oV Va t

−=

oV

: Velocidad inicial

fV

: Velocidad finalt: Intervalo de tiempoLa unidad de la aceleración en el S.I. es

2ms

DEFINICIÓN

TIPOS DE MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN

DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN CONSTANTE

a) Movimiento acelerado Es aquel en donde la aceleración actúa a favor de

la velocidad, de modo que el módulo de la veloci-dad aumenta a través del tiempo.

Vi Vf

a

b) Movimiento desacelerado Se le llama también movimiento retardado y es

aquel en donde la aceleración actúa en contra de la velocidad, provocando que ésta disminuya su valor a medida que transcurre el tiempo.

Vi Vf

a

La aceleración de un cuerpo es constante si su módulo y su dirección permanecen iguales en todo momento. Una aceleración constante produce cambios iguales en la velocidad durante intervalos de tiempo también igualesEn el M.R.U.V. la aceleración es constante, y en todo momento es colineal con la velocidad, tal como se puede apreciar en la figura.

Como la aceleración es colineal a la velocidad se puede utilizar la siguiente fórmula escalar para calcular el módulo de la aceleración:

f iV Va t

−=

Luego, tomando los datos de la figura anterior, se obtiene el valor de la aceleración del móvil:

2

m510 5 15 10 msa 51 1 1s s− −= = = = = constante

MOVIMIENTO RECTÍLINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V)

Trabajando en clase

Integral

1. Si un carro que sigue un M.R.U.V. parte con rapi-dez de 15m/s y una aceleración constante de mó-dulo 3m/s2, calcula su rapidez (en m/s) luego de 6s.a) 31m/s b) 32m/s c) 33m/s d) 34m/s e) 35m/s

Solución:

Graficamos:

Luego, aplicando la fórmula f oV V at= ± Se toma el signo (+) pues el carro acelera. Reemplazando los datos se tiene: Vf = 15 + 3.6 ∴ Vf = 33 m/s

2. Si un móvil que experimenta un M.R.U.V. par-te con una rapidez de 2m/s y una aceleración de módulo 4m/s2, calcula el tiempo (en s) necesario para que su rapidez sea 14m/s.a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

3. Si una particular que desarrolla un M.R.U.V. par-te con una rapidez de 36km/h y una aceleración de módulo 6m/s2, ¿cuál será el módulo de la velo-cidad (en m/s) que tendrá luego de 5s?a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/s d) 40m/s e) 50m/s

4. Si un móvil, que experimenta un M.R.U.V., au-menta su rapidez de 36km/h a 144km/h en 5s, ¿cuál es el módulo de su aceleración en m/s2?a) 2m/s2 b) 3m/s2

c) 6m/s2 d) 10m/s2

e) 12m/s2

ECUACIONES DEL M.R.U.V.

Símbolo Magnitud física Unidad (SI)Vo Módulo de la velocidad inicial (rapidez inicial) m/sVf Módulo de la velocidad final (rapidez final) m/sa Módulo de la aceleración m/s2

t Intervalo de tiempo sd Distancia recorrida m

f o

f o

2o

2 2f 0

V V atV V

d t21d V t at2

V V 2ad

= ±

+ =

= ±

= ±

En las ecuaciones se cumple:– Se toma el signo (+) si el movimiento es acelerado.– Se toma el signo (-) si el movimiento es frenado o desacelerado.

UNMSM5. Si un auto, que desarrolla un M.R.U.V, parte con

una rapidez de 4m/s y una aceleración de módulo 8m/s2, calcula la distancia (en m) que recorrerá en 5s.a) 100m b) 120m c) 140md) 160m e) 50m

Solución: Graficando el problema:

Una fórmula para calcular, la distancia sería me-

diante la fórmula:

o fV Vd t2

+ =

…………….(1) Pero antes calculamos la Vf:

f oV V at= ±

Tomando el signo (+) y reemplazando los datos:

F FV 4 8.5 V 44m / s= + ⇒ = Luego, reemplazamos el valor de Vf en (1)

4 44d .52+ ⇒ =

∴ d = 120m

6. Si un camión, que desarrolla un M.R.U.V., parte con una rapidez de 10m/s y una aceleración de módulo 2m/s2, calcula la distancia (en m) que re-correrá en 20s.a) 10m b) 600m c) 50md) 500m e) 60m

7. Si un atleta, que desarrolla un M.R.U.V., parte del re-poso con una aceleración de módulo 4m/s2, ¿cuán-tos metros recorre en los 6 primeros segundos?a) 24m b) 64m c) 72m d) 50m e) 60m

8. Calcula la distancia (en m) que recorre un móvil que parte con una rapidez de 5m/s, si logra tri-plicar su rapidez en 6s. (Considera que el móvil experimenta un M.R.U.V.)a) 20m b) 40m c) 60m d) 80m e) 100m

Solución:

Graficando el problema planteado

Luego, aplicando la fórmula de distancia:

o fV Vd t2

+ = ×

Reemplazando los datos del problema:

5 15d 62+ = ×

∴d = 60m 9. Un automóvil se desplaza en línea recta con una

velocidad de módulo 72km/h. Si se le aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante 10s hasta detenerse, ¿qué distancia (en m) recorre en ese tiempo?a) 100m b) 200m c) 300m d) 400me) 500m

10. Si un automóvil reduce su rapidez de 108km/h a 72km/h en un recorrido de 10m con un mo-vimiento rectilíneo uniformemente retardado, ¿cuál fue el módulo de su desaceleración?a) 21m/s2 b) 22m/s2 c) 24m/s2 d) 26m/s2

e) 25m/s2

11. Si un auto parte del reposo y se mueve rectilí-neamente con aceleración constante de 6m/s2, determina la distancia recorrida entre el 2° y 4° segundo.

UNMSM 2003 - IIa) 12m b) 72mc) 24m d) 36me) 48m

UNI

12. Un auto parte del reposo y acelera uniformemen-te a razón de 4m/s2 durante 10s, luego con la velo-cidad adquirida se desplaza durante 5s. Si todo el movimiento se produjo en una misma dirección, calcula cuántos metros recorrió el auto en los 15s.a) 100m b) 200m c) 300md) 400m e) 500m

Solución: Graficando el problema:

Primero calculamos el valor de Vf mediante la

fórmula F oV V at= ± Reemplazamos los valores con el signo (+)

F

F

V 0 4.10V 40m / s= +

⇒ =

Luego, calculamos la distancia en los dos tramos:

1

0 40MRUV d2+⇒ =

5.10

200m=

2MRU d 40.5 200m⇒ = = Por último nos piden recorrido total:

T 1 2d d d⇒ = +

Td 200 200= +

Td 400m∴ =

13. Un móvil parte del reposo con aceleración con-

tante de módulo 6m/s2 durante 4s; luego con la velocidad adquirida se desplaza durante 5s más. Calcula cuántos metros recorrió en los 9s.a) 168m b) 160m c) 120md) 48m e) 58m

14. Un automovilista que lleva una velocidad de mó-dulo 30m/s aplica los frenos y desacelera unifor-memente hasta quedar detenido. Si en el frenado recorre una distancia recta de 50m, ¿cuál fue el módulo de su aceleración (en m/s2) y qué tiempo (en s) utilizó en deternerse?a) 101; 6

b) 201; 5 c) 109; 3

d) 151; 2 e) 8; 15s

15. Si un carro inicia su movimiento desde el reposo y luego de 10s posee una rapidez de 40m/s, deter-mina que rapidez (en m/s) tendrá después de 12s de haber iniciado su movimiento. (considera que el carro experimenta un M.R.U.V)a) 480m/s b) 58m/s c) 68m/sd) 48m/s e) 64m/s

Es común ver como caen los cuerpos cuando ellos son liberados, el sube y baja de una moneda lanzada al aire, la elegancia de los chorros de agua de una pileta, la pelota de vóley, etc. Todos estos movimientos tienen algo en común: los cuerpos se ven obligados a bajar.En este capítulo vamos a estudiar las ecuaciones que gobiernan la caída de los cuerpos en forma vertical y con respecto a la tierra, despreciando para ello todo tipo de resistencia y fuerza

Teoría aristotélica de la caída de los cuerposLos grandes filósofos griegos, y en particular Aristóteles, describieron el movimiento de caída haciendo las siguientes consideraciones:1. La causa por la cual caen los cuerpos es su propio

peso.2. Los cuerpos de mayor peso son atraídos más in-

tensamente por la Tierra.3. Los cuerpos pesados caen más rápido que los

cuerpos livianos.

Este modo de ver las cosas prevalecieron como verdades absolutas por cerca de 2000 años hasta la aparición de Galileo.

Galileo y la caída de los cuerposGalileo es considerado como el creador del método experimental en física, estableciendo que cualquier afirmación relacionada con algún fenómeno debía estar fundamentada en experimentos y en observaciones cuidadosas. Este método de los fenómenos de la naturaleza no se había adoptado hasta entonces, por lo cual varias conclusiones de Galileo se oponían al pensamiento de Aristóteles.Al estudiar la caída vertical de los cuerpos mediante experimentos y mediciones precisas, Galileo llegó a la siguiente conclusión: «Si se dejan caer simultáneamente desde una misma altura un cuerpo ligero y otro pesado, ambos caerán con la misma aceleración, llegando al suelo en el mismo instante».

La leyendaCuentan que Galileo subió a lo alto de la torre de Pisa (en Italia), y para demostrar en forma experimental sus afirmaciones, dejó caer varias esferas de distinto peso, las cuales llegaron al suelo simultáneamente. A pesar de la evidencia proporcionada por los experimentos realizados por Galileo, muchos simpatizantes del pensamiento aristotélico no se dejaron convencer, siendo el gran físico objeto de persecuciones por propagar ideas que se consideraron revolucionarias.

Análisis del MVCLEn este caso solo consideraremos cuerpos que se mueven en forma vertical ascendente (subida) o descendente (bajada).

Caída libreComo ya debes haber visto muchas veces, cuando se dejan caer una piedra y una pluma al mismo tiempo, la piedra cae primero, como lo señalaba Aristóteles, pero es posible demostrar que esto sucede porque el aire produce un efecto retardante en la caída de cualquier objeto, y que dicho efecto ejerce una mayor influencia sobre el movimiento de la pluma que sobre el de la piedra. En realidad, si dejamos caer la piedra y la pluma dentro de un tubo del cual se extrajo el aire (se hizo el vacío), comprobaremos que ambos objetos caen en forma simultánea, como afirmó Galilelo.

PlumaVacío

Piedra

Por lo tanto, la afirmación de Galileo solo es válida para los cuerpos que caen en el vacío.El movimiento de caída de los cuerpos en el vacío o en el aire, cuando se desprecia la resistencia de este último, se denomina caída libre.

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL)

La aceleración de la gravedadGalileo logró comprobar que el movimiento de caída libre es uniformemente acelerado (aceleración constante); tal aceleración, que recibe el nombre de aceleración de la gravedad, suele representarse por g.Experimentalmente, se obtiene que el valor de g resulta ser aproximadamente g = 9,8 m/s2, pero nosotros tomaremos el valor de 10 m/s2.Es decir, cuando soltamos un cuerpo desde cierta altura, su rapidez aumenta en 10 m/s en cada segundo; mientras que si lanzamos al cuerpo hacia arriba su rapidez disminuirá 10 m/s en cada segundo.

Ecuaciones del MVCL

Movimiento ascendente

Movimiento descendente

g

h

Vf

Vo

//////////////////

t

g

h

Vf

Vo

t

Y Vf = Vo ± g.t

Y h = Vo + Vf2

⋅t

Y Vf2 = Vo

2 ± 2.g.h Y h = Vo.t ± 1

2g.t2

Donde se considera: Y (+): cuando baja Y (–): cuando sube

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:Vo: velocidad inicial (m/s).

Vf : velocidad final (m/s).t: intervalo de tiempo (s).g : aceleración de la gravedad (m/s2).h: longitud de la altura que asciende o desciende en un intervalo de tiempo (m).

Observación:Observemos los dos casos de movimiento:

Altura máxima Cuerpo partiendo desde el reposo

g

h

Vf

Vo=0

t

g

h

Vf = 0

Vo

//////////////////

t

Tierra

Solo en los dos casos de movimiento expuestos en la figura, la altura se podrá calcular mediante la siguiente ecuación:

h = g2 t2

Propiedades del MVCL1. Los cuerpos en caída libre vertical, que se en-

cuentran un mismo nivel respecto a la superficie terrestre, emplean el mismo tiempo para subir y para bajar.

g

t1t2

NIVEL

t1 = t2

2. Para un nivel paralelo a la superficie terrestre, el cuerpo en caída libre vertical posee velocidades de módulos iguales.

g

V1

V2

V1 = V2

Tierra

Trabajando en clase

Integral

1. Se suelta una piedra desde cierta altura. Deter-mina el módulo de la velocidad (en m/s) que ad-quiere la piedra luego de 2 s. (g = 10 m/s2)

Resolución: Graficamos el problema:

g=10m/s22s

Vo=0 (se suelta)

VF=?

///////// Aplicando la fórmula: Vf = Vo ± gt Tomando el signo + y reemplazando los datos: Vf = 0 + 10 × 2 ∴ Vf = 20 m/s

2. Un cuerpo se suelta desde cierta altura pero llega al piso luego de 3 s. Determina el módulo de la velocidad (en m/s) con la que llega al piso.

(g = 10 m/s2)

3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo con 20 m/s. Calcula su rapidez (en m/s) luego de 4 s. (g = 10 m/s2)

4. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 80 m/s, ¿cuánto será su rapi-dez (en m/s) luego de 5 s? y ¿cuál es el tiempo de subida en segundos? (g = 10 m/s2)

UNMSM

5. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una rapidez de 10 m/s, calcula la distancia reco-rrida (en m) luego de 5 s. (g = 10 m/s2)

Resolución: Graficamos el problema

g

VF

d 5s

10m/s

Aplicamos la fórmula: d = Vit ± 12

gt2

Luego tomamos el signo + y reemplazamos los datos:

d = 10 × 5 + 12

⋅ 10 ⋅ 52

∴ d = 175 m

6. Un objeto se lanza verticalmente hacia abajo con una rapidez de 30 m/s. Determina la distancia re-corrida (en m) luego de 6 s. (g = 10 m/s2)

7. Se lanza un cuerpo verticalmente y hacia arriba con una rapidez de 70 m/s. Calcula el tiempo de subida (en s) y su rapidez (en m/s) luego de 9 s.

(g = 10 m/s2)

8. Se suelta un objeto desde lo alto de una torre. Si llega al piso al cabo de 3 s, determina la altura de la torre en metros. (g = 10 m/s2)

Resolución: Graficando el problema

Vo=0

VF

h 3s

Aplicando la fórmula práctica: h = 12

gt2

Luego, reemplazando los datos: h = 1

2 × 10 × 32

∴ h = 45 m

9. Se deja caer un cuerpo desde lo alto de un edi-ficio. Si llega al piso al cabo de 4 s, determina la altura del edificio en metros. (g = 10 m/s2)

10. Si soltamos un cuerpo a una altura de 45 m sobre la superficie de dos planetas diferentes con grave-dades g y g

9, respectivamente, ¿cuál será la dife-

rencia de los tiempos que demoraría el cuerpo en llegar a la superficie de los planetas?

(g = 10 m/s2) UNMSM 2011-II

11. Un cuerpo alcanzó una altura máxima de 125 m. determina con qué rapidez (en m/s) fue lanzado. (g = 10 m/s2)

UNI

12. Una piedra es lanzada verticalmente hacia abajo en un pozo con rapidez inicial de 32 m/s y llega al fondo en 3 segundos. La profundidad del pozo, en m, y la rapidez con que llega la piedra, en m/s, respectivamente, son: (g = 9,81 m/s2)

UNI 2009-I Resolución: Graficamos:

VF

g32m/s

3sh

Nos piden calcular h y VF = VF

primero calculamos VF; para ello utilizamos la

fórmula: VF = Vi ± gt. Luego, tomamos el signo + y reemplazamos los

datos: VF = 32 + 9,81 × 3 ⇒ VF = 61,43 m/s Para calcular la altura «h», aplicamos la fórmula:

h = Vo + Vf2

⋅t

Reemplazamos los datos del problema: h = 32+61,43

2 ⋅ 3

∴h = 140,145 m

13. Una piedra es lanzada verticalmente hacia abajo en un pozo con rapidez inicial de 40 m/s y llega al fondo en 4 segundos. Determina la profundidad del pozo, en m, y la rapidez con que llega la pie-dra, en m/s, respectivamente. (g = 10 m/s2)

14. Un cuerpo permanece en el aire durante 18 s lue-go del cual llega al punto de partida. Calcula el módulo de la velocidad (en m/s) con que se lanzó verticalmente hacia arriba. (g = 10 m/s2)

15. Un astronauta, en la Luna, arrojó un objeto verti-calmente hacia arriba, con una rapidez inicial de 4 m/s; el objeto tardó 2.5 s para alcanzar el pun-to más alto de su trayectoria. Con respecto a este evento se hacen las siguientes proposiciones:I. La magnitud de la aceleración de la gravedad

en la superficie de la Luna es 1.6 m/s2.II. La altura que alcanzó el objeto fue de 5 m.III. La rapidez del objeto después de 2 s de su lan-

zamiento fue de 0.4 m/s. Señala la alternativa que presenta la secuencia co-

rrecta después de determinar si la proporción es verdadera (V) o falsa (F):

UNI 2013-IIa) FVF c) VFV e) VVVb) VVF d) FFV

Es un movimiento compuesto cuya trayectoria es una parábola. Esta trayectoria puede generarse cuando un objeto se mueve dentro de un campo gravitatorio uniforme y sin resistencia alguna.Entre algunos ejemplos aproximados de este movimiento tenemos la trayectoria que genera la pelota en un partido de fútbol cuando se ejecuta un tiro libre, o también cuando un jugador de basquetbol lanza el balón hacia la canasta.

Teoría de GalileoGalileo demostró que el movimiento parabólico, debido a la gravedad, es un movimiento compuesto por otros dos movimientos independientes (principio de independencia de los movimientos): Uno horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un MRU y el movimiento vertical es un MRUV con aceleración igual a g ≈10 m/s2.

Movimiento parabólico

Movimiento horizontal

(MRU)

Movimiento vertical

(MRUV)= +

Otro ejemplo del movimiento parabólico son los que describen los proyectiles en el campo gravitatorio terrestre cuando son lanzados en una dirección no vertical y sin considerar la resistencia del aire.

MRUV

MRU

/////////////////////////////////////////////////////

Es justamente por este tipo de movimiento que al MPCL también se le conoce como movimiento de proyectil.

Análisis del MPCLEste movimiento resulta de la composición del movimiento rectilíneo uniforme en la horizontal y del movimiento de caída libre en la vertical.

g

Vy

Vy=0

Vx0

Vy0

Vy

Vx0

Vx0

Vx0

Vy0

Vx0q

q

q0

q0

Características: Z La componente horizontal de la velocidad per-

manece constante durante todo el proyectil.

g

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (MPCL)

Z La componente vertical de la velocidad varía uni-formemente por acción de la aceleración de la gravedad.

Z A un mismo nivel, los ángulos que forman las ve-locidades con la trayectoria son iguales.

Z A un mismo nivel, la rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada.

Ecuaciones de MPCL

//////////////////////////////////////

Vo

Ad

q

L

V

VF

t

hmáxh

VH

VH

g

En la horizontal:

d = VH . t

En la vertical:

Y Vf = Vo ± g.t

Y h = Vo + Vf2

⋅t

Y Vf2 = Vo

2 ± 2.g.h Y h = Vo.t ± 1

2 g.t2

Donde se considera Y (+): cuando baja Y (–): cuando sube

Ecuaciones auxiliares

hmáx. = V0

2

2g

L = V2

g Sen2q

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:V : Vvlocidad de lanzamiento (m/s).VH = VCosq ∧i: componente horizontal de la velocidad inicial (m/s).V0 = VSenq ∧j : componente vertical de la velocidad inicial (m/s).Vf : componente vertical de la velocidad final (m/s).t: intervalo de tiempo (s).

g : aceleración de la gravedad (m/s2).h: longitud de la altura ascendida en un intervalo de tiempo (m).d: longitud de la distancia horizontal recorrida en un intervalo de tiempo (m).hmáx: longitud de la altura máxima (m).L: longitud de la distancia horizontal recorrida como máximo (m).

Observación:Para descomponer la velocidad inicial de un proyectil y obtener las componentes vertical y horizontal, se puede hacer uso de los triángulos notables, por ejemplo:

///////////////////////////////////////////////////

g40m/s

40m/s50m/s

53º

30m/s

En este caso, se usó el triángulo notable:

5k

4k

3k53º

37º

Al igual que el triángulo notable anterior, se pueden aplicar otros triángulos notables:

25k

24k

7k74º

16º45º

45º

k

kk 2

k 2k

30º

60º

k 3

Propiedades del MPCL1. En un movimiento parabólico de caída libre se

comprueba que el máximo alcance horizontal se presenta cuando el ángulo de disparo es de 45º.

V0

45º

V0 g

2. Si se realizan dos movimientos con la misma ve-locidad (V0

), pero con ángulos a y b comple-mentarios (a + b = 90º), se comprueba que di-chos alcances horizontales son iguales.

V0 V0 g

a

b

Trabajando en clase

Integral

1. Un proyectil es lanzado desde un piso horizontal con una velocidad de módulo 50 m/s, de manera que la ve-locidad forma 53º con la horizontal. Calcula:

Y El tiempo de subida (en s). Y El tiempo de vuelo (en s). Y El alcance horizontal (en m). Y La altura máxima (en m).

Considera la aceleración de la gravedad g = 10 m/s2. Resolución: Graficamos el problema y descomponemos la ve-

locidad inicial.

Vo=40 m/s50 m/s

30 m/s

VH=30 m/s53º

hmáx.

tsubida tbajada

L

g

Y Luego el tiempo de subida ts = V0

g ⇒ ts =

4010

= 4 s

Y Para el tiempo de vuelo tv = tS + tB = 2 tS ⇒ tv = 2 ts = 2 × 4 = 8 s

Y El alcance horizontal L = VH . tv ⇒ L = 30 ⋅ 8 = 240 m

Y La altura máxima h = g2

ts2

⇒ h = 102

× 42 = 80 m

2. Si lanzamos desde un piso horizontal una piedra, con una velocidad de módulo 50 m/s y formando 37º con la horizontal, calcula:

Y El tiempo de subida (en s) Y El tiempo de vuelo (en s) Y El alcance horizontal (en m) Y La altura máxima (en m)

Considera la aceleración de la gravedad (g = 10 m/s2).

3. Desde un piso horizontal, un proyectil es lanza-do con una velocidad inicial de módulo 10 m/s, formando 30º con la horizontal. Si consideramos que la aceleración de la gravedad tiene el valor de g = 10 m/s2, calcula el módulo de la velocidad (en m/s) en el punto más alto.

4. Desde el piso se dispara un proyectil con una ve-locidad de módulo 50 m/s y un ángulo de eleva-ción de 37º. ¿A qué altura (en m) se encuentra el objeto en el instante t = 2 s? (g = 10 m/s2)

UNMSM

5. Se dispara un proyectil con una velocidad de mó-dulo 100 m/s y con un ángulo de 53º respecto de la horizontal. Calcula el módulo de la velocidad (en m/s) luego de 2 s. (g = 10 m/s2)

Resolución: Graficando el problema y descomponiendo la ve-

locidad inicial:

V0=80 m/s60 m/s=VH

VH=60m/s100m/s

V

VF2s

53º

Para calcular V necesitamos el valor de VF; para ello aplicamos la fórmula en la vertical.

VF = Vi ± gt

Como sube tomamos el signo –, entonces, reem-

plazando los datos:

VF = 80 – 10 ⋅ 2

⇒ VF = 60 m/s

Por último, para calcular V, aplicamos:

V = VF2+VH

2

Reemplazando: V = 602 + 602

∴ V = 60 2 m/s

6. Una piedra es lanzada desde un piso horizontal, con una velocidad de módulo 80 2 m/s y for-mando 45º con la horizontal. Calcula el módulo de la velocidad (en m/s) luego de 2 s (g = 10 m/s2)

7. Desde el piso se lanza una pelota con una velocidad inicial que forma 60º con la horizontal. Si en el pun-to más alto su velocidad tiene un valor de 30 m/s, calcula el módulo de su velocidad inicial (en m/s). (g = 10 m/s2)

8. Calcula la altura «h» en metros. (g = 10 m/s2)

30m/s

h

A

B

g

120m

Resolución: Primero calculamos el tiempo de vuelo desde A

hasta B; para ello utilizamos la componente hori-zontal.

⇒ dH = VH ⋅ t 120 = 30 ⋅ tV

⇒ tV = 4 s Luego, en la vertical y para calcular el valor de la

altura «h» utilizamos la fórmula: h = Vot ± g

2 ⋅t2

Tomando el signo + y la V0 = 0, tenemos:

h = 0 ⋅ t + 102

× 42

∴ h = 80 m 9. Calcula la altura «h» en metros. (g = 10 m/s2)

90m/s

h

g

450m

10. Determina el alcance horizontal «d» en metros. (g = 10 m/s2)

20m/s

80m

g

d

11. Una pelota es lanzada desde un piso horizontal, con una velocidad de módulo 50 m/s, de tal ma-nera que forma 53º con la horizontal. ¿Qué án-gulo forma la velocidad al cabo de 7 s del lanza-miento? (g = 10 m/s2)

UNI

12. Calcula el valor dela altura «h» (en m) si el mó-dulo de la velocidad de lanzamiento es 50 m/s y el tiempo empleado en llegar al piso es 10 s (g = 10 m/s2).

50m/s

h

g37º

Resolución: Graficamos la descomposición de la velocidad y

la llegada al piso.

37º

3s3s

4s

30m/s

h

A

B

C

D

40m/s

50m/s 40m/s

40m/s

30m/s

VF

40m/s

Para calcular «h» como se observa, podemos apli-car la fórmula en el tramo C – D:

h = V0t ± g2

t2

Tomando el signo + debido a que cae Reemplazamos los datos: h = 30 × 4 + 1

2 × 10 × 42

∴ h = 200 m

13. Determina el valor de «h» (en m) si el módulo de la velocidad de lanzamiento es 100 m/s y el tiempo que emplea en llegar al piso es 20 s. (g = 10 m/s2)

100m/s

h

g53º

14. Una esfera es lanzada horizontalmente desde cierta altura y al pasar por los puntos A y B sus velocidades son como se muestra en la figura. Calcula la altura «h» en metros (g = 10 m/s2).

h

A

B 53º

45º

30 2 m/s

15. Se dispara un proyectil con un ángulo de eleva-ción de 36º (desde la superficie terrestre) e impac-ta a 20 m del punto de disparo. Se vuelve a dispa-rar el proyectil con la misma velocidad pero con un ángulo de elevación de 54º. ¿A qué distancia (en m) del punto de disparo volverá a caer dicho proyectil?

Piso

0m/s

g=10m/s2

g

Antiguamente, el movimiento circunferencial fue muy importante para el estudio de trascendentales fenómenos presentes en la naturaleza, tales como el movimiento de los planetas y el modelo atómico de Rutherford.

En este capítulo estudiaremos las propiedades del movimiento circunferencial y, en especial, el del movimiento circunferencial uniforme.

Concepto previos

R

q t

S = q ⋅ R

Longitud de arco (S)Es el espacio recorrido por el móvil en un intervalo de tiempo. Su unidad en el SI es el metro (m).

Recorrido angular (q)Es el ángulo barrido por un móvil en un intervalo de tiempo. Su unidad en el SI es el radian (rad).

Radio (R)Es la distancia entre el centro y la trayectoria circunferencial. Su unidad en el SI es el metro (m).

Periodo (T)Es el intervalo de tiempo por cada vuelta o revolución. Se calcula aplicando la siguiente ecuación:

T = = Tiempo empleadoNúmero de vueltas

tn

Frecuencia (f)Se define como la inversa del periodo. Su valor indica el número de vueltas que describe la partícula por cada unidad de tiempo. Se calcula aplicando la siguiente ecuación:

f = = = Número de vueltasTiempo empleado

1T

nt

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIALUNIFORME (MCU)Se dice que un móvil posee este movimiento cuando se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una rapidez constante.

S

S

S

qq

q

t

t

t

Debido a que se mueve con rapidez constante, este movimiento cumple con las siguientes características:

Z Barre ángulos centrales q iguales en tiempos iguales.

Z Recorre longitudes de arcos iguales S en tiempos iguales «t».

Teniendo en cuenta las características del MCU se definen dos velocidades:

Z Velocidad tangencial Z Velocidad angular

R

R

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

Velocidad tangencial (V )También denominada velocidad lineal o simplemente velocidad, su dirección siempre es tangente a la trayectoria, y en el caso del MCU es tangente a la circunferencia descrita por el móvil. Al módulo de esta velocidad se le conoce como rapidez, rapidez tangencial o lineal (V) y su valor se calcula dividiendo el espacio recorrido (longitud de arco S) y el tiempo «t» que demoró en recorrerlo.

V = St

También se cumple:

S = V . t

Unidades en SI• S: m• t: s• V: m/s

Velocidad angular (w )En un MCU, la dirección de esta velocidad entra al plano de movimiento si el cuerpo gira en sentido horario, y sale del plano si el cuerpo gira en sentido antihorario. Su módulo es conocido como rapidez angular (w) y se calcula dividiendo el ángulo barrido (q) y el tiempo «t» que le tomó girar.

w

q

Relación entre la rapidez tangencial (V) y angular (w) de un cuerpo con MCU de radio R

V

V

R R

w

Unidades en el SI ® V: m/s ® w: rad/s ® R: m

Todo cuerpo que realiza un MCU tiene como característica principal dos velocidades constantes (la tangencial y la angular), hay que entender, no obstante, que la velocidad tangencial varía en dirección.La aceleración que está relacionada con el cambio en dirección de la velocidad es la denominada aceleración centrípeta.

Aceleración centrípeta (ac )La aceleración centrípeta tiene dirección radial, apuntando siempre hacia el centro de giro, por ende, también se le denomina aceleración central.

V

V

V

ac ac

ac

El módulo de la aceleración centrípeta se puede calcular aplicando las siguientes ecuaciones:

ac =V2

R = w2 ⋅ R

Unidades en el SI Z V: rapidez tangencial (m/s) Z w: rapidez angular (m/s) Z R: radio (m) Z ac: módulo de la ac

m/s2

q = w ⋅ t

V= w ⋅ R

V

V

t

Unidades en SI ® q: rad ® t: s ® w: rad/s

t

Aplicaciones del MCUEl MCU se puede aplicar para transmitir movimiento, los mecanismos en los cuales se observa este fenómeno son:

Z Engranajes Z Cadenas sobre ruedas dentadas

Transmisiones angulares

A

BRA

RBRARB

B A

wA = wB VA

RA

VB

RB=

Transmisiones tangenciales

CDRC

RDC D

RC

RD

VC = VD wC ⋅ RC = wD ⋅ RD

Las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI en los dos casos anteriores son:

wA: rapidez angular de la rueda A (rad/s).wB: rapidez angular de la rueda B (rad/s).VA: rapidez en el borde de la rueda A (m/s).VB: rapidez en el borde de la rueda B (m/s).RA: radio de la rueda A (m).RB: radio de la rueda B (m).

Trabajando en clase

Integral

1. Una partícula que está girando con MCU tiene una rapidez angular de 4 rad/s. ¿Qué ángulo (en rad) habrá girado en un minuto?

Resolución: Aplicando la fórmula: q = w ⋅ t Reemplazando los datos: w = 4 rad/s y t = 1 min

Primero transformamos el tiempo en segundos: ⇒ t = 1 × 60 = 60 s Luego, en la fórmula: q = 4 × 60 ∴ q = 240 rad

2. Un cuerpo que está girando con MCU tiene una rapidez angular de 5 rad/s. ¿Qué ángulo (en rad) habrá girado en 2 minutos?

3. Se sabe que una partícula gira 21 rad en 3 s. ¿Qué ángulo (en rad) giraría dicha partícula en 10 s? (Considera que la partícula desarrolla un MCU)

4. Un objeto con MCU describe un arco de 6 m en un tiempo de 2 segundos. Calcula su rapidez tan-gencial en m/s.

UNMSM

5. Una partícula con MCU gira a razón de 80 RPM. Calcula el ángulo (en rad) que genera en 2 segundos.

Resolución: Interpretamos que es un RPM. ⇒ 1 RPM = 1 vuelta en 1 minuto Entonces, 80 RPM = 80 vueltas en 1 minuto Pero 1 vuelta) 2π rad 1 min = 60 s ⇒80 RPM = (2π rad) 80 en 60 s Luego, (2π rad) × 80 → 60 s q ← 2 s ∴ q = 16π/3 rad

6. Un objeto con MCU gira a razón de 30 RPM. Cal-cula el ángulo (en rad) que genera en 4 segundos.

7. Un disco gira a razón de 7π m/s (constante) du-rante 10 s. Calcula el número de vueltas que ge-nera en ese tiempo, su frecuencia (en Hz) y su periodo (en s). (Considere que el disco desarrolla un MCU)

8. Una partícula con MCU gira a razón de 36 m/s. Calcula su rapidez angular (en rad/s) y el ángulo (en rad) que gira en 10 s. El radio de la trayectoria circunferencial es 12 m.

Resolución: Para calcular la rapidez angular, aplicamos: V = w × R Reemplazando los datos: 36 = w × 12 ⇒ ∴ w = 3 rad/s Luego, para determinar el ángulo girado, aplica-

mos: q = w × t Reemplazamos los datos: q = 3 × 10 ∴ q = 30 rad

9. Un cuerpo con MCU gira con radio 2 m. Si su ra-pidez lineal es 60 m/s, calcula su rapidez angular (en rad/s) y el ángulo (en rad) que gira en 8 s.

10. Bajo la acción del viento, una puerta gira unifor-memente un ángulo de 90º en 5,0 segundos. Si el ancho de la puerta es de 50 cm, la aceleración centrípeta de una polilla que está en el borde de la puerta es:

UNMSM 2004 – II

X

11. La rapidez tangencial de una partícula con MCU es de 12 m/s, calcula el módulo de su aceleración centrípeta (en m/s2) si su radio es de 9 m.

UNI

12. Si la rapidez tangencial en el borde de la rueda A es 10 m/s, calcula la rapidez tangencial (en m/s) en el borde de la rueda C.

5rA

B

C

3r 2r

Resolución: Del problema y por teoría se cumple: VC = VB … (1) Además:

VA

RA

VB

RB

=

Reemplazando los datos del problema:

105r

VB

3r=

2

⇒ VB = 6 m/s … (2) Luego, reemplazando (2) en (1) ∴VC = 6 m/s

13. Si la rapidez tangencial en el borde de la rueda C es de 20 m/s, calcula la rapidez tangencial (en m/s) en el borde de la rueda A.

4mC

B

A

3m 2R

14. Calcula la rapidez angular (en rad/s) con que gira la rueda C, si la rueda A gira a razón de 4 rad/s.

5m4m 2m

R

CB

A

15. Si VA = 3VB, determina el radio (en m) de la polea menor si el sistema gira con rapidez angular cons-tante.

VA

VB

8cm

La estática es la parte de la física que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema para que este se encuentre en equilibrio.

EquilibrioEs el estado en que se encuentra un cuerpo cuando no experimenta aceleración ( a = 0), por lo tanto el cuerpo solo puede estar en reposo o en MRU.

//=//=//=//=//=/ //=//=//=//=//=/

V=0 V=constante

equilibrio estático equilibrio cinético

Para un mejor estudio del tema, consideraremos dos tipos de equilibrio:

Z Equilibrio de traslación Z Equilibrio de rotación

Equilibrio de traslaciónEn este caso, el equilibrio está relacionado con el movimiento de traslación mas no con el de rotación; por ello, supondremos que los cuerpos no giran.

FuerzaMagnitud física vectorial que mide la interacción de dos o más cuerpos, dicha interacción puede darse a distancia o en contacto. Esta magnitud hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento, o que se deformen. La unidad de

esta magnitud en el SI es el newton (N).Como la fuerza es una magnitud vectorial, se representa mediante un vector:

F

Tercera ley de Newton (Ley de acción y reacción)Esta ley establece:

«Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro cuerpo, el segundo ejerce una fuerza de igual valor (reacción) y opuesta sobre el primero».

La acción y la reacción actúan sobre objetos diferentes, por eso nunca se anulan.

Ejemplo:Al clavar con un martillo, este impulsa al clavo hacia abajo (acción) y el clavo reacciona sobre el martillo deteniéndolo e, inclusivo haciéndolo rebotar.

Se cumple: R =A

Fuerzas usuales1. Fuerza de gravead o peso (Fg

) Denominaremos así a la fuerza con que la Tierra

atrae a todo cuerpo. Se le representa por un vec-tor vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.

ESTÁTICA I

Tierra

m

Fg

g Fg= m. g

Ejemplo:

Fg

Fg

g

2. Fuerza de tensión (T ) Fuerza interna que surge en los hilos, cuerdas,

sogas, etc, y se manifiesta como resistencia a que estos cuerpos sean estirados. La representación de la fuerza de tensión siempre es «saliendo» del cuerpo de estudio.

T -T

3. Fuerza normal (N) Se le llama también fuerza de contacto, debido

a que se genera cuando dos superficies están en contacto. La línea de acción de la normal es siem-pre perpendicular a las superficies en contacto y su representación siempre es «entrando» al cuer-po de estudio.

N

gN

g

N2

N1 g

4. Fuerza de rozamiento (R ) Es la fuerza que se genera cuando existen superfi-

cies rugosas. Existen dos tipos de fuerzas de roza-miento:

Y Fuerza de rozamiento estático Y Fuerza de rozamiento cinético

Y Fuerza de rozamiento estático (Rs)

Solo se presenta en casos en los cuales los cuerpos se encuentran en estado de reposo. El módulo de la máxima fuerza de rozamien-to estático se calcula mediante:

Rsmáx = ms . N

Donde las magnitudes y sus respectivas uni-

dades en el SI son: ms: coeficiente de rozamiento estático (adi-

mensional) N: módulo de la fuerza normal (N).

Rsmáx 37º

V=0

ms

g

Y Fuerza de rozamiento cinético (Rk)

Este tipo de fuerza solo actúa cuando los

cuerpos se desplazan sobre superficies rugo-

sas, su módulo se calcula mediante:

Rk = mk . N

Donde las magnitudes y sus respectivas uni-

dades en el SI son:

mk: coeficiente de rozamiento cinético (adi-

mensional)

N: módulo de la fuerza norma (N)ms

Rk

Donde:g : aceleración de la gravedad (m/s2)m: masa (kg)

5. Fuerza de reacción (Fr)

Se denomina así a la resultante de la normal y la fuerza de fricción entre un cuerpo y una superficie.

R

FrN

El módulo de la fuerza de reacción se calcula me-diante:

Fr = R2+N2

Si una superficie es lisa, la fuerza de fricción es nula (R = 0) y se cumple:

Fr = N

6. Fuerza elástica de un resorte Fe Esta fuerza puede calcularse aplicando la ley de

Hooke.

k

kFex

F

Resorte sin deformar

Resorte deformado

(x=0)Punto de referencia

Se cumple:

Fe =–k . N Ley de Hooke

En módulo: Fe = k.x Donde las magnitudes y sus respectivas unidades

en el SI son: k: constante elástica del resorte (N/m) x: longitud de la deformación (m)

Diagrama de cuerpo libreEs la representación de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (no se grafican las fuerzas que el cuerpo aplica sobre los demás).Para esto se debe aislar imaginariamente al cuerpo sobre el cual se quiere hacer el DCL.

Ejemplo:

T

g

N

W

TW

N

Primera condición de equilibrioEstablece que la suma de las fuerzas (fuerza resultante) que actúan sobre un cuerpo en equilibrio debe ser cero (vectorialmente).

FR = 0

Aplicación de la primera condición de equilibrioSi se tiene un cuerpo en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo deben formar un polígono cerrado.En el caso particular de que actúen solamente tres fuerzas sobre un cuerpo, estas fuerzas deben formar un triángulo cerrado.

Ejemplo demostrativoSi se tiene un cuerpo en equilibrio

g

Primero realizamos el DCL

Fg

N1N2

g

g

Trabajando en clase

Luego por condición:

S F = 0

De esta ecuación se puede establecer vectorialmente que las tres fuerzas deben formar una figura (polígono) cerrada:

Fg

N1

N2

Aplicación de la primera condición de equilibrioAplicamos la descomposición rectangular de las fuerzas que actúan en un cuerpo en equilibrio, por ejemplo:

T

Ty

Tx

Fg

g37º

V=0

F

Se cumple:En el eje X

∑Fx(→) = ∑Fx(←)

En el eje Y∑Fy(↑) = ∑Fy(↓)

Recuerda

Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio, las fuerzas deben formar un

polígono en forma cerrada.

Integral

1. Realiza el DCL del cuerpo en equilibrio.

g

m

a) d)

b) e)

c)

Resolución: Graficando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

T2T1

Fg

2. Realizar el DCL del cuerpo en equilibrio.

g

//// /////////

//////////////

//////////////

//////////////

////F m

Superficielisa

a) c) e)

b) d)

3. Si el bloque está en equilibrio y el módulo de su peso es 100 N, calcula el módulo de la fuerza de tensión T (en N).

45º

T

g

4. Calcula el módulo de la fuerza normal (en N) que actúa sobre el bloque en equilibrio. (g = 10 m/s2)

g8kg

200 N

UNMSM

5. Determina el módulo de la tensión T (en N) en el cable si el sistema se encuentra en equilibrio.

T

90N

g

Resolución: Graficando la tensión en cada cuerda:

TT T

2T90N

90N

Luego, por condición del equilibrio: 3T = 90 ∴ T = 30 N

6. Determina en newtons el módulo de la fuerza de tensión en 1, si el bloque «m», en equilibrio, tiene un peso de módulo de 160 N.

1

160N

g

7. Encuentra la magnitud de la fuerza F que debe ser aplicada al bloque A de 10 kg de masa para que no se resbale sobre una pared con coeficiente de rozamiento igual a 1/3. (considera g = 10 m/s2)

UNMSM 2012-II

A37º

g

F

8. Calcula el módulo de la fuerza de tensión (en N) en la cuerda, si la masa del bloque D es 3 kg. Con-sidera el sistema en equilibrio. (g = 10 m/s2)

g

37º

D

F

Resolución: Realizamos el DCL sobre el bloque

53º

F

F

g

T

Luego, por condición de equilibrio, las tres fuer-zas deben formar un triángulo cerrado.

3.10=30 N = Fg

F = 40N

T = 50N

37º

53º

∴ T = 50N

m

9. Determina el módulo de la fuerza de tensión (en N) en la cuerda, si la masa del bloque A es 8 kg. Considera el sistema en equilibrio. (g = 10 m/s2)

g

FA

53º

10. El bloque mostrado (W) tiene una masa de 3 kg y se encuentra en equilibrio, determina el módulo de la fuerza de tensión (en N) en la cuerda 1.

37º

1

W

g

11. Un bloque de 20 kg de masa se encuentra en equi-librio, sobre un plano y sostenido por una cuerda. Determina el módulo de la fuerza de reacción del plano (en N) y el valor de la fuerza de tensión en la cuerda (en N). (g = 10 m/s2)

g

/

////////

////////

////////

///////

37º

Superficielisa

UNI

12. Calcula el módulo de la fuerza horizontal F (en N) capaz de empujar hacia arriba del plano incli-nado (sin rozamiento) a velocidad constante, al cuerpo de 2 3 kg de masa. (g = 10 m/s2)

gF

V =cte

30º

9. Determina el módulo de la fuerza de tensión (en N) en la cuerda, si la masa del bloque A es 8 kg. Considera el sistema en equilibrio. (g = 10 m/s2)

g

FA

53º

10. El bloque mostrado (W) tiene una masa de 3 kg y se encuentra en equilibrio, determina el módulo de la fuerza de tensión (en N) en la cuerda 1.

37º

1

W

g

11. Un bloque de 20 kg de masa se encuentra en equi-librio, sobre un plano y sostenido por una cuerda. Determina el módulo de la fuerza de reacción del plano (en N) y el valor de la fuerza de tensión en la cuerda (en N). (g = 10 m/s2)

g

/

////////

////////

////////

///////

37º

Superficielisa

UNI

12. Calcula el módulo de la fuerza horizontal F (en N) capaz de empujar hacia arriba del plano incli-nado (sin rozamiento) a velocidad constante, al cuerpo de 2 3 kg de masa. (g = 10 m/s2)

gF

V =cte

30º

Resolución: Realizando el DCL sobre el bloque:

FFN

30º

30º

Fg = 2 . 10 = 20 3 N

Luego, por condición de equilibrio, las tres fuer-zas deben formar un triángulo cerrado.

20 3 N

F=20N

FN=40N

60º

30º

Del triángulo ∴ F = 20 N

13. Determina el módulo de la fuerza F (en N) que actúa sobre el bloque de masa 8 kg. Considera el bloque en equilibrio. (g = 10 m/s2)

F

37º

g liso

14. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Calcula el valor de la fuerza F (en N) que actúa sobre el bloque de masa 10 kg, de tal manera que la reacción en A sea cero. (g = 10 m/s2).

g

F

A

60º

20kg

23

Fg

8kg

10kg

15. Un bloque sólido de arista 10 cm y masa 2 kg se presiona contra una pared mediante un resorte de longitud natural de 60 cm, como se indica en la figura. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la pared es 0,8. Calcula el valor mínimo, en N/m, que debe tener la constante elástica del resorte para que el bloque se mantenga en su lu-gar. (g = 9,81 m/s2)

UNI 2011-II

g

10cm

60cm

En esta sección se tratarán los casos en los cuales el movimiento de los cuerpos está relacionado con el movimiento de rotación.

Equilibrio de rotaciónTenemos que entender que nos referimos al equilibrio de rotación como aquellos cuerpos que no giran.La magnitud que cuantifica la intensidad con que una fuerza causa o tiende a causar un efecto de rotación se le denomina momento de una fuerza.

Momento de una fuerza (F )Magnitud física vectorial que cuantifica la intensidad con que una fuerza causa o tiende a girar un cuerpo respecto a un determinado punto. Su unidad en el SI es el N⋅ m.Para calcular el módulo del momento de una fuerza se multiplica la fuerza aplicada por el brazo de momento.

FCentro de giro

O

Línea de acciónde la fuerza

b

M = F . dFo

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:

M Fo : módulo del momento de una fuerza respecto a

un punto O (N ⋅ m).F: módulo de la fuerza aplicada sobre el cuerpo (N).d: distancia entre la fuerza y el punto de giro O (m).

De manera práctica se establecerán cuatro casos prácticos para determinar el momento de una fuerza sobre una barra recta.

Z Caso I Cuando una fuerza (con línea de acción perpen-

dicular a la barra) gira o tiende a girar a la barra en sentido antihorario respecto a un punto deter-minado.

F

O

d

M = F . dFo

Z Caso II Cuando una fuerza (con línea de acción perpen-

dicular a la barra) gira o tiende a girar a la barra en sentido horario respecto a un punto determi-nado O.

F

O

d

M = –F . dFo

Z Caso III Cuando una fuerza actúa sobre el punto de giro

O o si la línea de acción de la fuerza pasa por el punto de giro.

F

F

O

M = 0Fo

ESTÁTICA II

Z Caso IV Cuando una fuerza, cuya línea de acción forma

un ángulo q con la barra, gira o tiende a girar a la barra, en sentido horario, respecto a un punto determinado O.

FO

d

En este caso, lo primero que se tiene que realizar es la descomposición de la fuerza aplicada en dos componentes: una componente perpendicular a la barra, y una paralela a la barra.

Fy

Fx

F

O

d

Se observa que la componente horizontal Fx genera

un momento igual a cero, mientras que la componente

vertical genera un momento. Por lo tanto, se cumple:

M = MFo

Fyo

Momento resultante (FR )Se calcula sumando los momentos generados por las fuerzas que actuan sobre un cuerpo respecto a un punto de giro O.

F1 F2

F4 F3

O

M = M + M + M + MRo

F1o

F2o

F4o

Fyo

Segunda condición de equilibrio

Todo cuerpo en equilibrio no puede girar, y se cumple

que el momento resultante sobre el cuerpo respecto a

un punto O es cero.

M = 0Ro

Ejemplo:Calcula el módulo de la fuerza F para mantener la barra de peso despreciable en equilibrio.

O

3m 2m 2m

5N

F2N

37º

Resolución:Primero descomponemos la fuerza de módulo 5 N.

O

3m 2m 2m

5N

F2N

37º

3N

4N

Luego, aplicamos la segunda condición de equilibrio

respecto al punto:

M = M + M + M + M

R

o

F

o

2N

o

4N

o

3N

o

⇒ – F × 3 – 2 × 7 + 3 × 5 + 0 = 0

∴ F = 13 N

q

q

= 0

Trabajando en clase

Integral

1. Determina el módulo del momento (en N.m) producido por la fuerza F sobre la barra con res-pecto al punto O.

(0) 3m 1m

( F ) = 10N

Resolución: Aplicando la fórmula:

M = +F . dF

o

Reemplazando los datos: MF

o = 10 × 3

∴ MFo = 30 N.m

2. Determina el módulo del momento (en N.m) producido por la fuerza F sobre la barra con res-pecto al punto A. (Longitud de la barra: 10 m).

2m

F=4N

3. Calcula la magnitud del momento (en N.m) ge-nerado por la fuerza F sobre la barra con respec-to al punto A.

A

5m

1m

F = 6N16º

4. Calcula el valor del momento (en N.m) genera-do por la fuerza F sobre la barra con respecto al punto B.

B 37º

10m

F=12N4m

/////////

UNMSM

5. Calcula la magnitud del momento (en N. m) de la fuerza F de módulo 60 N, sobre la barra con respecto al punto M.

53ºM

2mF

Resolución: Descomponiendo la fuerzaF .

53ºM

2m48N

60N=F 36N

Luego, el momento de la fuerza 48 N es nulo, por lo tanto se cumple:

M = M60M

36M

⇒ M 60M = – 36 . 2

∴ M 60M = –72N.m

6. Determina el módulo del momento (en N.m) producido por la fuerza F , de módulo 10 N, so-bre la barra con respecto al punto B.

B10m 2m

A53º

F

2m (A)

7. Calcula el valor del momento (en N.m) genera-do por la fuerza F sobre la barra con respecto al punto O.

O

6m

37º

F=5N

8. Determina el módulo del momento resultante (en N.m) sobre la barra ingrávida con respecto al punto O.

(O)1m 4m 4m 3m

F1=10N

F3=4N

F2=10N

Resolución: Se cumple:

M = M + M + M Ro

F1o

F2o

F3o

⇒M = +10.1 + 10.9 – 4.5 Ro

⇒M = 80 N.mRo

9. Calcula el módulo del momento resultante (en N.m) sobre la barra ingrávida con respecto al punto O.

1m 3m

F1=10N

F2=8NF3=15N

4m

(O)

10. Calcula la magnitud del momento resultante (en N.m) sobre la barra ingrávida con respecto al punto O.

10N

4m

8N

2m 3m

45º

18 2 N

(O)

11. Una varilla uniforme se encuentra en equilibrio y apoyada en su punto medio P. Si se coloca un cuerpo de 10 kg de masa a 2 m a la izquierda de P, ¿a qué distancia de la derecha de P debe colocarse otro cuerpo de 4 kg de masa para que la varilla se mantenga en equilibrio?

UNMSM 2012-II

UNI

12. Determina la masa del bloque m (en kg) si la barra homogénea de 10 kg y 2 m de longitud se mantiene en equilibrio.

Considera cuerda ideal (g= 10 m/s2).

g

Resolución: Realizando el DCL sobre la barra y el bloque:

A1m 1m

100N

mgmg

mg

mg

Luego, aplicando la segunda condición de equili-brio.

M = 0Ro

M + M = 0100N

omgo

®°¯ –100 . 1 + mg.2 = 0 –100 + m.10.2 = 0 ∴ m = 5 kg

m

®°¯

13. La masa de la barra homogénea es de 4 kg. Cal-cula el valor de la masa del bloque Q (en kg) para mantener la barra en equilibrio. Considera cuer-da ideal. (g = 10 m/s2)

g

3m 1m Q

14. Si la barra homogénea de 8 kg se encuentra en equilibrio, determina el módulo de la tensión en A (en N). El bloque tiene una masa de 5 kg y la cuerda es ideal. (g = 10 m/s2)

A 37º

4m

bloque

2m g

15. Un bloque de peso W está suspendido de una vara ingrávida de longitud L cuyos extremos se posan en los soportes 1 y 2 como se indica en la figura. Se quiere que la reacción en el soporte 1 se a a veces la reacción en el soporte 2. La distancia «x» debe ser:

UNI 2009-I

(1)(2)

x

L

W

RecuerdaRecuerda que el módulo de la aceleración de la gravedad varía según la universidad

por ejemplo:UNI g = 9,81 m/s2

UNMSM g = 10 m/s2

El hombre siempre ha tenido la curiosidad de saber qué es lo que genera el movimiento de los objetos y de los cuerpos celestes (planetas, estrellas, etc.). Descubrirlo tomó muchos años y el aporte de grandes científicos (Galileo, Kepler, Copérnico, Descartes, etc.); todos estos aportes se lograron sintetizar en las tres leyes del movimiento desarrolladas por sir Isaac Newton.

Z Primera ley (Ley de inercia). Z Segunda ley (Ley de la fuerza). Z Tercera ley (Ley de acción y reacción).

Estas leyes permitieron entender mejor el movimiento de los cuerpos y las causas que lo provocan, naciendo de esta manera la dinámica lineal y circular.

Primera ley (ley de inercia)La primera ley de Newton o Ley inercia establece que:

Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante mientras que sobre el cuerpo no actúe una fuerza resultante exterior que lo obligue a cambiar de velocidad.

La propiedad que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante se llama inercia.La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado, es una magnitud física escalar denominada masa del cuerpo. En mecánica se considera que la masa es una cantidad escalar positiva y constante para cada cuerpo dado; es decir, no depende de la velocidad del cuerpo considerado.La unidad de medida de la masa en el SI es el kilogramo (kg).Ejemplo:Algunas veces si no disminuimos la velocidad del auto, este puede salirse de la carretera en la curva ya que por la Ley de inercia el auto trata de conservar suvelocidad constante (en línea recta).

Segunda ley (Ley de la fuerza)Newton descubre que un cuerpo sometido a una fuerza resultante (R) no nula, presenta siempre una velocidad variable; es decir, el cuerpo experimenta una aceleración. Sus observaciones y experimentos le permitieron establecer la siguiente ley:

Toda fuerza resultante no nula que actúe sobre un cuerpo le produce una aceleración que será de la misma dirección y sentido que aquella, y su valor será directamente proporcional a la fuerza, pero inversamente proporcional a su masa.

m m

F1

F2

F3

FR = F

a

a =FRm

⇒ FR = SF = ma

Las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:a : aceleración (m/s2)m: masa (kg)FR: fuerza resultante (N)

V

DINÁMICA

Trabajando en clase

Observación:

La fuerza resultante y la aceleración siempre tienen la misma dirección.

Aplicación de la segunda ley de Newton almovimiento circunferencial uniformeTodo cuerpo que desarrolla un MCU experimenta una fuerza de módulo constante y que en todo instante apunta hacia el centro; dicha fuerza recibe el nombre de fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta provoca que el cuerpo experimente una aceleración, lo cual, por la segunda ley de Newton, apunta hacia el centro.

Ejetangencial

Eje radial

(centro de giro)O

A

Fc

Ft

m

Aplicando la segunda ley de Newton a este caso en particular, se tiene:

ac =FRm

Como se vio en el MCU, el módulo de la aceleración centrípeta puede expresarse en función de la rapidez tangencial o angular y el radio. Por lo tanto presentamos las diferentes formas de establecer la Segunda ley de Newton expresada matemáticamente y con los módulos de las magnitudes presentes:

Fc = m ⋅ ac

Fc = m ⋅ V2

R

Fc = m ⋅ (w2 ⋅ R)

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:Fc: fuerza centrípeta (N)ac: aceleración centrípeta (m/s2)V: velocidad tangencial (m/s)w: velocidad angular (rad/s)R: radio de giro (m)

Integral

1. Determina la aceleración (en m/s2) del bloque de 4 kg de masa.

6N

12N 4 kg

2N

4N

g

liso

Resolución: Aplicando la segunda ley de Newton FR = m.a Luego calculamos: (12 + 2 – 6 – 4) = 4.a ∴ a = 1 m/s2

2. Calcula la aceleración (en m/s2) del bloque de 3 kg de masa.

16N

12N 3 kg

12N

14N

g

liso

3. Calcula el módulo de la fuerza F1 (en N), si F2 = 40 N, y el bloque de 2 kg sube con acelera-ción de 1 m/s2 (g = 10 m/s2).

g

F1

F2

4. Calcula el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque de 2 kg de masa.

g

liso

trayectoria

F=8N

2kg

60º

UNMSM

5. Calcula el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque de 30 kg de masa.

g

liso

trayectoria

50N 5N

100N37º

Resolución: Primero descomponemos las fuerzas.

50N30N

5N

100N37º40N

Luego, como el bloque se mueve horizontalmen-te, solo tomamos las fuerzas horizontales para aplicar la segunda ley de Newton.

FR = m . a 100 – 40 = 30 . a ∴ a = 2 m/s2

6. Determina la aceleración (en m/s2) del bloque de 10 kg de masa.

trayectoria53º

liso10N

50Ng

7. Una grúa levanta, verticalmente, un automóvil de 2000 kg de masa. Calcula la tensión del cable si el peso es levantado con una rapidez que disminuye 5 m/s en cada segundo.

UNMSM 2014-I

8. Calcula el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque 1 y el valor de la tensión (en N) en la cuer-da que une los bloques. Considera el valor de las masas: m1 = 9 kg; m2 = 11 kg.

g

20N 60N(1) (2) liso

Resolución: Para calcular el módulo de la aceleración, toma-

mos al sistema como un solo cuerpo.

20N 60N20 kg

mT

⇒ FR = mT . asis → Módulo de la aceleración del sistema.

60 – 20 = 20 . asis ⇒ asis = 2 m/s2 (hacia la derecha) Luego, se cumple: a1 = a2 = asis

∴ a1 = 2 m/s2 (hacia la derecha) Para calcular la tensión tomamos el bloque 1.

20N T(1)

2m/s2

⇒T – 20 = 9 . 2 ∴ T = 38 N

9. Determina el módulo de la aceleración del siste-ma (en m/s2) y el valor de la fuerza de interacción (en N) entre los bloques. Considera el valor de las masas: m1 = 6 kg; m2 = 4 kg.

g

10N 30N(1) (2) liso

10. Calcula el módulo de la aceleración “a” (en m/s2) y la magnitud de la tensión T del sistema (en N) en la cuerda en cada caso (g = 10 m/s2)

30kg

10kg

g

T

6kg

4kgg

3kg

2kg

11. Un disco con una masa de 0,2 kg se desliza sin fricción sobre la superficie horizontal de una pis-ta de hielo. Sobre el disco (ver figura) actúan dos fuerzas: F1 y F2 , que tienen una magnitud de 5 N y 10 N, respectivamente. Determina la magnitud de la aceleración.

UNMSM 2009-I

F2

F1

y

x

53º

37º

UNI

12. Si la masa de la esfera es de 0.5 kg, determina el módulo de la tensión (en N) en la cuerda cuando pasa por A si la velocidad en ese punto tiene un valor de 10 m/s.

V=10 m/s

R = 1 m

A

g

Resolución: Realizando el DCL de la esfera

m=0,5kg V=10m/s

P=5N T

R=1m

Luego, aplicando la segunda ley de Newton: Fc = m . ac → V2

R

T + 5 = 1

2 × 102

1

∴ T = 45 N

13. Si la masa de la esfera es de 0.5 kg, determina el módulo de la tensión (en N) en la cuerda cuando pasa por A si la velocidad en ese punto tiene un valor de 10 m/s.

V=10 m/s

g

O

R=1m

A

14. Una partícula de masa 0,5 kg, conectada a una cuerda indeformable, se mueve con una rapidez constante de 6 m/s, en una trayectoria circular de 1 m de radio, en un plano vertical.

Si Ta y Tb son los módulos de las tensiones en la cuerda cuando la partícula se encuentra en los puntos a y b respectivamente. Calcula la diferen-cia Tb – Ta en N. (g = 9,81 m/s2)

UNI 2010 - IIa

b15. La superficie circular sobre la que se apoya la boli-

ta es perfectamente lisa. Calcula la aceleración (en m/s2) que debe tener el carrito para que la bolita adopte la posición mostrada. (g = 9,8 m/s2)

Dato: Sen16º = 7/25 UNI 2012-I

a

37º

g

37º

Liso

Concepto de trabajoPor propia experiencia sabemos que necesitamos fuerzas para mover un objeto, para vencer el rozamiento, para comprimir un resorte, para moverse en contra de la gravedad; en cada caso debe realizarse trabajo mecánico.Entendemos por trabajo mecánico a la facultad que tienen las fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una resistencia, sea esta una fuerza o bien la propia inercia de los cuerpos, y solo habrá trabajo sobre un cuerpo si este se desplaza a lo largo de la línea de acción de la fuerza aplicada.

Trabajo mecánicoMagnitud escalar que caracteriza la acción que ejerce la fuerza sobre el cuerpo al comunicarle cierto desplazamiento. Solo pueden realizar trabajo mecánico aquellas fuerzas que tengan un componente en la dirección del movimiento, es decir, una componente tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos.El trabajo mecánico se calcula conociendo la fuerza y la trayectoria que recorre el cuerpo. A continuación se establecerán las ecuaciones para ciertos casos básicos:1. Fuerza constante

d = vector desplazamiento

A B

mov

FVF

FT

WFd

= FdCosq


F : fuerza aplicada sobre el bloque (N). d : desplazamiento del bloque (m). q: ángulo formado por la fuerza y el desplaza-

miento.

WFd

: trabajo mecánico desarrollado por una

fuerza F cuando se genera un desplazamiento d , su unidad en el SI es el joule (J).

De manera práctica se establecerán tres casos prácticos para determinar el trabajo mecánico sobre un cuerpo.

Y q = 0º ⇒ Cosq = 1 además F = FT

F

d

V

A B

WFd

= + F.d

Y q = 180º ⇒ Cosq = –1 además F = FT

F

d

V

A B

WFd

= – F.d

Y q = 90º ⇒ Cosq = 0 además F = FV

F

d

V

A B

WFd

= 0

q

d

TRABAJO MECÁNICO Y POTENCIA MECÁNICA

2. Fuerza de módulo constante, tangente a la trayecto-ria en cada uno de sus puntos (espacio recorrido).

FT

FT

FT

A

B

WFd

= FT.d

3. Para una fuerza de dirección constante cuyo mó-dulo varía con su posición o distancia (x).

En este caso, se efectúa la gráfica de la fuerza con respecto a la posición (x), el trabajo mecánico se calcula entre el área encerrada por la gráfica y el eje de posición «x», entre la posición inicial (xo) y la posición final (xf).

F

Xo Xf

WF = Área

x

ObservaciónAl trabajo mecánico también se le suele denominar «trabajo» aunque el concepto de este último no necesariamente coincide con la idea que tenemos de sus aplicaciones en nuestra vida diaria.

Trabajo neto o total (Wtotal)En general, si sobre un cuerpo actúan 2 o más fuerzas (sistema de fuerzas), se define el trabajo neto o total como la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, para un desplazamiento determinado. El valor del trabajo neto también es igual al trabajo realizado por la fuerza resultante que se obtiene del conjunto de fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

F1

F3F2

FR= F

Wtotal = W + W + W F1 F2 F3

o WFR = FR ⋅ d

Trabajo realizado por la fuerza de gravedadLa fuerza de gravedad o peso realiza un trabajo que posee las siguientes características:

ho

hf

h

A

mg

BDh

Nivel de referencia

Donde:Dh = hf–ho

Z El trabajo no depende de la trayectoria recorrida. Z El trabajo es igual al producto del peso con el des-

plazamiento vertical (diferencia de alturas):

Wmg = ± m.g hf – ho

(+) si el cuepro baja(–) si el cuerpo sube

Potencia mecánicaEs una magnitud escalar que nos indica la rapidez con la cual se realiza el trabajo (mide el trabajo realizado por unidad de tiempo).Para el caso particular de una fuerza constante, el valor de la potencia se calcula mediante:

A d B

V F

d

FHq

FV

t

WFd

P =t

También:

P = FH . V


F : fuerza aplicada sobre el bloque (N).

d : desplazamiento del bloque (m).

WFd

: trabajo desarrollado por una fuerza F cuando

se genera un desplazamiento d en un intervalo de

tiempo t.

V: velocidad del cuerpo (m/s).

t: intervalo de tiempo (s).P: potencia mecánica, su unidad en el SI es el watt (W).

FH: componente vertical de la feurza F .

Observación Z Al valor de la potencia mecánica de una fuerza

variable en un intervalo de tiempo, se le denomi-na potencia media.

Z Si queremos obtener la potencia instantánea de una fuerza variable, tendremos que utilizar sola-mente la ecuación:

P = Fins . Vins

Donde F y V son los valores de la fuerza y veloci-dad, respectivamente, en un instante dado.

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el trabajo (en J) desarrollado por la fuerza F sobre el bloque cuando este se mueve desde A hasta B.

A B

F = 50Nmov

6m

37º

Resolución: Primero descomponemos la fuerza F .

A B6m

37º

30N 50N

40N

Luego, tomamos la componente horizontal, pues-to que el movimiento es en dicha dirección.

⇒ W50N = W40N = 40 × 6 = 240 J

2. Determina el trabajo (en J) desarrollado por la fuerza F sobre el bloque cuando este se mueve desde A hasta B horizontalmente.

mov

53º 53º

F=80N F=80N

A d=5m B

trayectoria

3. Determina el trabajo (en J) realizado por la fuerza F , de módulo 8 N, al desplazar el bloque desde A hasta B.

d

53º A 6m

B

F

4. Calcula el trabajo (en J) desarrollado por las fuer-zas F1

y F2 sobre los bloques «m1» y «m2» respec-

tivamente, cuando estos se mueven desde A hasta B.

(a)

g

mov

6m

37ºA

F1=10N

B

m1

(b)

g

A30º

F2=5N B

4mm 2

mov

UNMSM

5. Calcula le trabajo neto (en J) desarrollado sobre el bloque de 2 kg cuando este se mueve desde A hasta B (g = 10 m/s2).

g

A30º

B

h=5m

50N

2kg

liso

Resolución: Realizando el DCL sobre el bloque:

A30º

B

5m

50N

20N=peso

10m

N

⇒ El trabajo neto: Wneto = W20N + W50N + WN

Wneto = –20 × 5 + 50 × 10 + 0 ∴ Wneto = 400 J

6. Determina el trabajo neto (en J) desarrollado so-bre el bloque de 5 kg cuando este se mueve desde A hasta B (g = 10 m/s2).

g

A37º

B

h=3m

6N

5kg

liso

7. ¿Cuál de las siguientes fuerzas realiza menor tra-bajo al desplazar al bloque de 2 kg una distancia de 15 m sobre la superficie horizontal?

F1 = 10N

F2 = 15N

F3 = 20N

(a) (b)

(c)

liso liso

liso

37º

53º

8. La figura muestra la variación de la magnitud de la fuerza aplicada a un cuerpo en función de la posición. El trabajo realizado por la fuerza entre 0 y 4 m es:

UNMSM 2002

F(N)

5

3

0

1

2 4 x(m)

q

Resolución: Calculamos el área entre la gráfica y los ejes.

F(N)

5

53

3

0

1

1

22

4 x(m)

WF = (A1 + A2)J

WF = 5 × 2+ 3+12

× 2 J

∴ WF = 14 J

9. La figura muestra la variación de la fuerza horizon-tal aplicada a un cuerpo en función de la posición. El trabajo realizado por la fuerza entre 0 y 7 m es:

UNMSM 2004-IF(N)

0,5

0,3

0

0,1

3 7 x(m)

10. Un bloque es jalado por una fuerza F, paralela a un plano horizontal, pero variable en módulo. Calcula el trabajo realizado por dicha fuerza, en-tre 0 y 10 m.

F(N)

30

20

0 5 10 x(m)

F

0 10 x

11. El bloque mostrado es llevado por una fuerza F a velocidad constante una distancia de 5 m durante 2 segundos. Calcula el trabajo (en J) y la potencia (en W) de la fuerza de rozamiento.

Vrugoso

F=50N

5m

UNI

12. ¿Cuál es la magnitud del trabajo (en J) realizado por el peso sobre la esferita de masa «m», cuando se mueve desde A hasta B?

R = 5 m; m = 1 kg; g = 10 m/s2

g

A

R

R

37º

B

m

Resolución: Analizamos la trayectoria de la esfera.

A

5m

5m

37º

B

m

3m

Dh = 8m

Luego, aplicando la fórmula práctica. Wmg = ±mgDh Tomamos el signo – debido a que sube ⇒ Wmg – 1 × 10 × 8

∴ Wmg = –50J

A1

A2

2

13. Determina el trabajo (en J) realizado por el peso de la esfera de 2 kg de masa y cuando esta se des-liza desde A hasta B (g = 10 m/s2).

(A)

(B)

R=8mg

14. El bloque de 4 N de peso se desliza por la ram-pa mostrada, calcula el trabajo (en J) realizado por el peso durante el recorrido desde A hasta B (g = 10 m/s2).

g(A)

37º

53º

6m

5m

10m

15. La figura muestra la fuerza F (en N) que actúa

sobre una partícula que se mueve en una di-

mensión, en función de su posición al origen de

coordenadas. Calcula el trabajo realizado por esta

fuerza (en J) al llevar a la partícula des de x1 =

–2m hasta x2 = 2m.

UNI 2013-II

F(N)

X(m)

1 1-1

-1

-2

2

2-2

3-3

4-4

34

(B)

Uno de las principales problemas del hombre en la actualidad es obtener nuevas fuentes de energía; dando lugar incluso a enfrentamientos armados, pues resulta vital la producción de energía para el mundo moderno y globalizado en que habitamos.

Concepto de energíaLa energía es unos de los conceptos más importantes de la Física, pues permite principalmente generar movimiento en los cuerpos físicos, por ende decimos que un cuerpo posee energía si tiene la capacidad de realizar trabajo.Como la energía se puede relacionar con el trabajo, también es una magnitud escalar, además la energía se mide con las mismas unidades del trabajo, la cual en el SI es Joule (J).

Tipos de energíaDe acuerdo con su naturaleza, la energía puede ser:

Z Mecánica (movimiento) Z Calorífica(calor) Z Eléctrica (electricidad) Z Magnética(magnetismo) Z Luminosa (luz) Z Solar (el Sol) Z Nuclear (los núcleos atómicos) Z Química (reacciones químicas)

En este capítulo solo estudiaremos el primer tipo de energía.

Energía mecánicaEs aquel tipo de energía que poseen los cuerpos que se encuentran en movimiento y dependen de la posición en que se encuentran respecto a un nivel de referencia.Entre las energías mecánicas mas conocidas tenemos:

Z La energía cinética Z La energía potencial (gravitatoria o elástica) Z La energía hidráulica (agua) Z La energía eólica (viento) Z La energía mareomotriz(mareas)

De todas estas energías solo nos dedicaremos a establecer las ecuaciones y características de las energías cinética y potencial.

Energía cinética (Ec)Es una forma de energía que mide la capacidad de un cuerpo para efectuar trabajo debido al movimiento de traslación que experimenta.Se verifica que la energía cinética es siempre positiva, depende del sistema de referencia, y su valor resulta ser directamente proporcional con la masa del cuerpo y con el cuadrado de su velocidad.

mV

EC = 12m.V2

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:m: Masa (kg)V : Velocidad (m/s)Ec: Energía cinética(J)

Energía potencial (Ep)La energía potencial está almacenada en un sistema de objetos que interaccionan entre sí, de manera que esta energía no es propiedad de cada objeto, sino del sistema.Este tipo de energía mecánica se clasifica según sea el sistema de estudio; por ejemplo:

Energía potencial gravitatoria (Epg)Se genera en un sistema formado por cuerpos con masa, de tal manera que interaccionan gravitacionalmente. Para el caso de un cuerpo afectado por el campo gravitacional de la Tierra y posicionado a una

ENERGÍA MECÁNICA

determinada altura respecto a un nivel de referencia (N.R), el valor de la energía potencial gravitatoria se calcula mediante la siguiente ecuación:

h

m g

N.R. Tierra

Epg = m.g.h

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:m: masa (kg)g : Aceleración de la gravedad (m/s2)h: altura medido respecto al N.R.Epg: Energía potencial gravitatoria (J)

Observación:En el presente texto la siguiente mención «calcula la energía potencial gravitatoria del cuerpo afectado por el campo gravitacional de la Tierra respecto a un nivel de referencia», se resumirá a «calcula la energía potencial gravitatoria de un cuerpo respecto a un nivel de referencia». Si el cuerpo estuviera afectado por otro campo gravitacional, se especificará en el problema.

Energía potencial elástica (Epe)Se genera en un sistema formado por cuerpos sólidos y cuerpos elásticos. Para este caso solo procederemos a calcular la energía potencial elástica para un cuerpo atado a un resorte ideal (masa nula); la fórmula que permite este cálculo es la siguiente:

F

P.E.

x

E

p e

=

1

2

k.x

2

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en

el SI son:

k: constante elástica del resorte (N/m)

x: deformación del resorte a partir de la posición de

equilibrio (m)

E

p e

: Energía potencial elástica (J)

Energía mecánica total (E

M

)

También se le denomina energía mecánica, esta

energía es la suma de la energía cinética(E

c

) y las

energías potenciales (E

pg

y E

p e

) que se asocia a un

cuerpo o sistema.

k

x

h

m

V

g

N.R. (nivel de referencia)

E

M

= E

C

+ E

pg

+ E

p e

Conservación de la energía mecánica

Para establecer el principio de conservación de

la energía se necesita denir una clasicación de

fuerzas, estas son:

Z Fuerzas conservativas Z Fuerzas no conservativas

Fuerzas conservativas Estas fuerzas permiten cambiar las energías cinética y potencial de un cuerpo de forma tal que la energía total se mantiene constante. Entre ellas tenemos a la fuerza de gravedad o fuerzas elásticas.

Fuerzas no conservativas Estas fuerzas varían la energía mecánica total. Entre ellas tenemos a la fuerza de rozamiento.

Principio de conservación de la energía mecánicaSi todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un cuerpo (o sistema) son conservativas, la energía mecánica del cuerpo(o sistema) se conserva respecto a un nivel de referencia.Ejemplos:(a)

g

A

N.R.

B

C

Respecto al N.R. se cumple:

E

M

A

= E

M

C

= E

M

B

(b)

RN.R.

P Qg


EMP = EMR

= EMQ

Teorema del trabajo y la energía mecánica Si sobre un cuerpo (o sistema) actúan fuerzas no conservativas y conservativas, el trabajo neto realizado por las fuerzas no conservativas sobre el cuerpo (o sistema) es numéricamente igual a la variación de su energía mecánica respecto a un nivel de referencia.

EjemplosSuperficie rugosa

Vi

Vf

3m

(I)

(F)g m


Wfr = EMF – EMI

Donde:Wfr : Trabajo de la fuerza de rozamientoEMf

: Energía mecánica al final del recorridoEMi

: Energía mecánica al inicio del recorrido

Trabajando en claseIntegral

1. Un móvil de 2 kg de masa se desplaza horizon-talmente con una velocidad de modulo 72 km/h. Determina su energía cinetica (en J)Resolución:Aplicando la ecuación: Ec = 1

2mV2

Primero transformamos las unidades del módulo de la velocidad:

V = 72kmh

518

⇒ V = 20 m/s

Luego, reemplazamos los datos en la ecuación: EC = 1

2.2.202 ⇒ EC = 400 J

2. Un auto de 100 kg de masa se desplaza con una velocidad constante de modulo 18 km/h. ¿Cuál es su energía cinética en joule?

3 Calcula la energía potencial gravitatoria del cuer-po «m» respecto de A, respecto de B y respecto de C. Da como respuesta la suma de las tres energías potenciales. (Considera que la masa de «m» es 1kg y g = 10 m/s2).

2m

Bm

10m

gC

A

4. Calcula la energía mecánica (en J) del bloque «m» de 2 kg de masa en los puntos A y B respecto al N.R. (g = 10 m/s2)

V0

V=4m/s4m

g

(A)

(B)

UNMSM

5. Si la rapidez de un cuerpo A es el triple de otro cuerpo B, y además sus masas son iguales, ¿en qué relación estarán sus energías cinéticas?Resolución:

VA = 3V

(A)

VB = V

(B)

ECA

= 12

m(3V)2 ECB = 1

2m.V2

⇒ ECAECB

=

12

m(9V2)

12

m.V2

⇒ ECAECB

= 91 = 9

6. Un cuerpo, al desplazarse con rapidez «v», tie-ne una energía cinética dada. Si, al contrario, dicho cuerpo se desplazara con rapidez 2v, su energía cinética:

UNMSM 2013–Ia) se reducirá a la mitadb) se duplicarác) se cuadriplicarád) se reducirá a la cuarta partee) permanecería constante

7. Determina la energía mecánica del móvil «m» en el punto más alto de su movimiento respecto al piso. Considera la masa del cuerpo 4 kg (g = 10 m/s2).

g

30m/s

UNMSM

8. Calcula la energía cinetica (en J) del cuerpo «m» de 400 g de masa, en el punto A. (g = 10 m/s2)

6m

m

(A)

(B)

g lisoV=0

N.R.

Resolución: Aplicando el principio de conservación de la energía. EMB = EMA ECB

+EPgB = EPgA

+ECA 0 0 ⇒ EPgB

= ECA

Desarrollando: m.g.hB = ECA Reemplazando los datos del problema: 4

1010.6 = ECA

∴ ECA = 24 J

9. Una piedra de 200 g de masa alcanza una altura máxima de 4 m cuando es lanzada verticalmente hacia arriba. Determina la energía cinética con que se lanzó la piedra (considera g = 10 m/s2)

UNMSM 2012–II

10. Una esfera de 3.0 kg es lanzada verticalmente, ha-cia abajo, con una rapidez de 4,0 m/s. Cuando la esfera se encuentra a 2,0 m del piso, su rapidez es 8,0 m/s. Determina la variación de su energía potencial gravitatoria.

UNMSM 2009–II

11. Un bloque de 900 kg se mueve sobre una superfi-cie horizontal a una velocidad de 25,0 m/s en un instante dado. Si el coeficiente de rozamiento en-tre el bloque y la superficie es 0,80. ¿Qué distancia habrá recorrido antes de detenerse? (g = 10 m/s2)

UNMSM 2014–I

UNI

12. Un niño de 30kg de masa se desliza hacia abajo sobre un tobogán desde la altura h = 5,0 m par-tiendo del reposo en A. Si llega a B con rapidez de 4 m/s. Indica la magnitud del trabajo reali-zado por la fuerza de fricción, expresado en J. (g = 9,81 m/s2)

UNI 2009–I

gA

B

5m rugoso

Resolución:Aplicando el teorema del trabajo y la energía me-cánica.

WFR = EMBfinal – EMAinicio

WFR = ECB + EPgB

– (ECA + EPgA

)

WFR = ECB– EPgA

WFR = 12

mVB2 – m.g.hA

Reemplazando datos:

WFR = 12

30(4)2 – 30(9,81).5 ⇒ WFR = 1231,5 J

13. Un niño de 20 kg de masa se desliza hacia abajo so-bre un tobogán desde la altura h = 6 m, partiendo del reposo en A. Si llega a B con rapidez de 4 m/s, indica la magnitud del trabajo realizado por la fuer-za de fricción, expresado en J. (g = 10 m/s2)

gA

rugoso

B

6m

14. Un bloque de 30,0 kg de masa, al caer libremente so-bre la Tierra hace un agujero de 1,0 m de profundi-dad. Un estudio experimental proboó que la fuerza de resistencia del suelo al movimiento del bloque es de F = 500 kN. Calcula aproximadamente desde qué altura (en m) cayó el bloque. (g = 9,8 m/s2)

UNI 2013–I

15. Un bloque ingresa con rapidez de 2 m/s, en el punto A, a una rampa, como se indica en la figura. Existe fric-ción entre el bloque y la rampa. Si el objeto llega hasta el punto B a una altura H, regresando al punto A con una rapidez de 1 m/s, indica la altura H que alcanza el bloque, en metros. (g: aceleración de la gravedad)

UNI 2013–II

g

A

H

B

El MAS es uno de los temas más importantes en la Física, debido a que permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios más complejos que se presentan en la naturaleza como movimientos sísmicos, ondas sonoras, movimientos microscópicos, etc.

Conceptos previosMovimiento periódico: Es aquel movimiento que se repite en intervalos de tiempos iguales; por ejemplo el movimiento que realiza la Tierra alrededor del Sol.

Movimiento oscilatorio: También se le denomina movimiento vibratorio o de vaivén. Es aquel movimiento en el que el móvil va y regresa sobre la misma trayectoria en torno a una posición fija de equilibrio; por ejemplo, el movimiento de un reloj de péndulo.

Ciclo: Se denomina así a cada movimiento repetitivo.

Periodo (T): Es aquel tiempo que demora un cuerpo en realizar un ciclo. Matemáticamente se define como:

Donde la unidad de medida en el SI es el segundo (s).

Frecuencia (f): Se le da este nombre al número de ciclos que acontece por unidad de tiempo. Matemáticamente se define como:

Se deduce:

Donde la unidad de medida en el SI es el Hertz (Hz)

Movimiento Armónico Simple (MAS)Para que un cuerpo desarrolle un MAS tiene que cumplir con las siguientes condiciones:

Z Oscilatorio Z Periódico Z Rectilíneo Z Tiene que existir una fuerza recuperadora que

trate de establecer el equilibrio del cuerpo.

El sistema que cumple con las características mencionadas es aquel compuesto por un bloque atado a un resorte, siempre y cuando no se consideren en el sistema fuerzas disipadoras (rozamiento). A este sistema también se le conoce como masa – resorte.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE I

Análisis del MASConsideremos el sistema masa-resorte, cuya constante elástica del resorte es k:

km

liso

Posición de equilibrio (P.E.)

Estiremos el bloque y soltémoslo, en este caso se procederá como se muestra a continuación.

V=0

V=0

k

k

k

k

P.E.

+A

+A

V

máx

V

máx

a

max

–A

–A

Z A es la amplitud y representa la máxima defor-mación del resorte.

Z La velocidad máxima se encuentra en la posición de equilibrio (P.E)

Z La aceleración máxima se encuentra en los extremos.

Ecuaciones del MASSiguiendo con el análisis del sistema masa-resorte se planteara las ecuaciones del MAS y sus derivados para este sistema.

k

liso

m

x

a

v

P.E.

–A

+A

Z Posición

Z Velocidad

Z Aceleración

Observación:En las tres ecuaciones anteriores se está asumiendo que las magnitudes físicas tienen signo negativo cuando apuntan hacia la izquierda, y signo positivo cuando apuntan hacia la derecha.

Además se cumple: Z Velocidad máxima: Se genera en la posición de

equilibrio. Matemáticamente su valor se calcula mediante la siguiente ecuación:

Z Aceleración máxima: Se genera en los extremos cuando la velocidad del móvil es igual a cero. Ma-temáticamente su valor se calcula aplicando la si-guiente ecuación:

Z Posición inicial: Se calcula haciendo el tiempo igual a cero (t = 0) en la ecuación de posición.

Z Frecuencia angular: su valor se calcula mediante la siguiente ecuación:

También:

Donde «f» es frecuencia

Z Periodo: su valor se calcula mediante la siguiente ecuación:

También

Z Relación entre la rapidez y el valor de la posición en cualquier instante

La rapidez (v) y el valor de la posición(x) en un MAS se relacionan en cualquier instante, me-diante la siguiente ecuación:

Z Energía mecánica: La energía mecánica en todo MAS se conserva,

y su valor para este caso se calcula mediante la siguiente ecuación:

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:x: Posición (m)v: rapidez (m/s)a: Módulo de la aceleración (m/s2)A: Amplitud (m)w: Frecuencia angular (rad/s)t: Tiempo (s)j: Fase inicial, es un ángulo que nos indica la posición x donde se empieza a medir el tiempo (rad).m: masa de bloque unido al resorte (kg)k : constante elástica del resorte (N/m)

Trabajando en clase

Integral

1. La posición de una partícula con un MAS viene dada por la siguiente ecuación:

x(t) = 5Sen pt + p6

m

Donde t se mide en segundos; calcula el periodo (en s) del movimiento.Resolución:Aplicando: T = 2p

w Y de la ecuación: w = p rad/s ⇒ T = 2p

w ∴T = 2 s

2. La posición de una partícula con un MAS viene dada por la siguiente ecuación:

x(t) = 6Sen 10pt + p7

m

Donde t se mide en segundos. Determina la fre-cuencia (en Hz) del movimiento.

3. La posición de una partícula con un MAS está dada por la siguiente ecuación:

x(t) = 3Sen 2pt + p5

m

Donde t se mide en segundos. Determina la rapi-dez máxima (en m/s) y el módulo de la acelera-ción máxima (en m/s2)

4. El MAS de una partícula está descrito por la si-guiente ecuación:

x(t) = 86Sen 7pt + p8

m

Donde t se mide en segundos. Calcula amaxvmax

UNMSM

5. Determina el valor de la posición inicial (en m) de una partícula que desarrolla un MAS descrito por la siguiente ecuación de posición:

x(t) = 46Sen 9pt + p6

m

Donde t se mide en segundos.Resolución:El valor de la posición inicial se calcula aplicando t = 0.

X(0) = 46 Sen 9p(0) + p6

m X(0) = 46 Sen p

6 m

1/2 X(0) = 23 m

6. Calcula el valor de la posición inicial (en m) de una partícula que desarrolla un MAS descrito por la siguiente ecuación de posición:

X(0) = 24Sen wt + p2

m

Donde t se mide en segundos.

7. Se observa que el tiempo que tarda un oscilador armónico en pasar de su posición de equilibrio a la de desplazamiento máximo, es 2 s. ¿Cuál es su periodo?

8. Un carrito de 0,2 kg conectado a un resorte de constante elástica igual a 20,0 N/m oscila sin fric-ción. Encuentra la máxima rapidez del carro si la amplitud del movimiento es de 3,00×10–2 m.

UNMSM 2010–IResolución:Aplicando la fórmula:

VMáx = wA....(1) Luego determinando w y A Del dato: A = 3,00×10–2m

Pero: W = Km

; para ello del problema reempla-

zamos los datos:

w = 200,2

w = 10rad/s Luego reemplazando los valores de A y w en (1) VMáx = 10.3.10–2

∴ VMáx = 3.10–1 m/s

9. Un carrito de 8 kg conectado a un resorte de cons-tante elástica igual a 32 N/m oscila sin fricción. De-termina el módulo de la velocidad máxima (en m/s) del carrito, si la amplitud del movimiento es de 4 m.

10. Un oscilador armónico simple tarda 12,0 s para experimentar cinco oscilaciones completas, ¿cuál es la frecuencia angular del oscilador?

11. Si el módulo de la velocidad máxima de un móvil con MAS es 36 m/s y su frecuencia es 2/π Hz , ¿Cuál es el valor de la amplitud de las oscilaciones en metros?

UNI

12. Un sistema masa-resorte oscila de manera que la posición de la masa está dada por x = 0,5Sen(2πt), donde t se expresa en segundos y x en metros .

Calcula la rapidez, en m/s, de la masa cuando x = –0,3mResolución:

Sea v la rapidez del cuerpo cuando se encuentra en la posición x = – 0,3 m

m

V

P.E.x=–0,3mA A

Para calcular el valor de la velocidad en el punto x = –0,3 m, se puede hacer uso de la siguiente ecuación:

u = w A2 – x2

Para calcular la rapidez del cuerpo se necesita de algunas magnitudes, las cuales se obtienen a partir de la ecuación de posición que describe el movimiento del cuerpo:

x = 0,5Sen(2pt + 0)m A partir de esta última se obtienen los siguientes

datos: A = 0,5 m

.....(II) w = 2p rads

Luego reemplazamos los datos obtenidos (II) y la posición x = –0,3 m en la ecuación (I)

u = 2p (0.5)2 – (–0.3)2

13. Un sistema masa-resorte oscila de manera que la posi-

ción de la masa esta dada por x(t) = 10Sen 6wt+ p4

m,

donde t se mide en segundos. Determina la rapidez (en m/s) de la masa cuando x = 6 m.

14. Un cuerpo describe un MAS siendo su ecuación

x(t) = 25Sen 3pt+ p9

cm, donde t se expresa en

segundos. Calcula el módulo de la velocidad del cuerpo (en cm/s) cuando se encuentra a 7 cm de la posición de equilibrio.

15. Un sistema masa-resorte genera un MAS en el que la posición del bloque está dada por la si-guiente ecuación:

x(t) = 2Sen(3t + p) m Donde t se mide en segundos. Si la masa del blo-

que es 4 kg, calcula la energía mecánica del siste-ma (en J)

En las industrias no se observan mecanismos que constan solo de un solo resorte, sino más bien de un conjunto de resortes acoplados de manera compleja; estos a su vez permiten el funcionamiento de maquinas muy útiles para la sociedad. Algunos ejemplos de estos dispositivos son los amortiguadores y los timones de los automóviles, etc.

Asociación de resortes que realizan un MAS Existen dos maneras básicas para asociar resortes, en serie y en paralelo, estos a su vez pueden ser reemplazados por un solo resorte denominado resorte equivalente, donde la constante elástica equivalente se puede calcular mediante una fórmula que varía dependiendo de la asociación de los resortes.Paralelo

<>mk3

k2

k1

mKeq

liso liso

k

eq

= k

1

+ k

2

+ k

3

Serie

<>

k

1

k

2

k

3

m

k

e q

m

liso

liso

1

k

e q

=

1

k

1

+

1

k

2

+

1

k

3

Si solo tenemos dos resortes en serie, estos pueden ser

reemplazados por uno solo cuya constante elástica

(k

eq

) se calcula mediante la siguiente ecuación:

<>

k

1

k

2

m

k

e q

m

liso

liso

k

eq

=

k

1

.

k

2

k

1

+ k

2

El periodo de un sistema de resortes se calcula

aplicando la siguiente ecuación:

T = 2 p mkeq

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en

el SI son:

T: Periodo (s)

m: Masa (kg)

K: Constante elástica(N/m)

Péndulo simpleUn péndulo simple se define como una partícula de masa «m» suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud L y de masa despreciable.

aL

mm

m

g

O

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE II

Trabajando en clase

Para que sea considerado un péndulo simple debe además cumplir aproximadamente:

a < 12°

Esta condición permite que dicho dispositivo se comporte igual a un MAS.El periodo de un péndulo simple se calcula mediante la siguiente ecuación:

T = 2p Lg

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:T: Periodo(s)L: Longitud (m)g : Modulo de la aceleración de la gravedad (m/s2)

Observación:Para fines prácticos, el valor de la aceleración de la gravedad puede considerarse aproximadamente como:

g = p2 m/s2

Integral

1. Calcula la constante elástica equivalente (en N/m)

3N/m

m4N/m

lisoResolución:Aplicando la asociación en paralelo:

keq = k1 + k2Reemplazando los datos:

keq = 3 + 4 ∴ keq = 7

2. Calcula la constante elástica equivalente (en N/m)

m20N/m

3N/m

5N/m

liso

3. Determina la constante elástica equivalente (en N/m)

liso

20N/m

4N/m 5N/m

m

4. Determina la constante elástica equivalente (en N/m)

liso

m

2N/m

2N/m

2N/m

1,5N/m

1,5N/m

2N/m

UNMSM

5. Determina el periodo de oscilación (en s) del sistema considerando que la masa del bloque «m» es 16 kg.

liso

m

K

1

=5N/m

K

2

=20N/m

Resolución:

Primero calculamos la constante elástica equiva -

lente.

K

e q

=

5.20

5 + 20

= 4 N/m

Luego aplicamos la fórmula de periodo.

T = 2 p 164

∴T = 4ps

6. Calcula el periodo de oscilación (en s) del sistema considerando que la masa del bloque «m» es 36 kg.

liso

m

36N/m

12N/m

7. Calcula el periodo de movimiento del sistema (en s)

liso

15N/m

5N/m5N/m4kg

8. Un péndulo simple oscila con un periodo de 4 s. Calcula la longitud de la cuerda en me-tros (g = 10 m/s2).Resolución:Aplicando la fórmula: T = 2p

Lg

Reemplazando los datos:

4 = 2pLp2 ∴ L = 4 m

9. Un péndulo simple oscila con un periodo de 6 s. Calcula la longitud de la cuerda en metros (g = p2 m/s).

10. Un péndulo simple de longitud L1 tiene un perio-do T1 en un lugar donde la gravedad es g1. Si un segundo péndulo simple de longitud 2L1 tiene un periodo 3T1 en un lugar donde la gravedad es g2, determina g2/g1.

UNMSM 2012-II

11. Un cuerpo cuelga del extremo de un resorte y oscila verticalmente con un periodo de 2.0 s. Al aumentar la masa del cuerpo en 3 kg, el nuevo pe-riodo es 4.0 s. ¿Cuál es el valor de la masa inicial?

UNMSM 2013-II

UNI

12. Determina la longitud del hilo (en m) de un pén-dulo simple, de manera que si dicha longitud au-menta en 3 m su periodo se duplique.

Resolución:Primer caso:

g

L T1 = 2p Lg

Segundo caso:

gL+3

T2 = 2p L+3g

Dividiendo los periodos

T1T2

= L + 3

L ; por dato: T2 = 2T1

⇒ 12

= LL+3

∴ L = 1 m

13. Calcula la longitud del hilo (en m) de un péndulo simple, de manera que si dicha longitud aumenta en 8 m su periodo se triplique.

14. Si el periodo de un péndulo es de 3 s, ¿Cuál será su periodo (en s)si la longitud disminuye en 75%?

15. Una silla de 42,5 kg sujeta a un resorte oscila ver-ticalmente con un periodo de 1,3 s. Cuando una persona se sienta en ella, sin tocar piso con los pies, la silla tarda 2,54 s en efectuar una oscilación completa. Calcula aproximadamente la masa de la persona en kg.

UNI 2013-II

Estática de fluídosEs la parte de la mecánica de fluidos que estudia el comportamiento y los efectos que originan los fluidos en reposo.A su vez, la estática de fluidos se divide en :I. Hidrostática: Estudia los líquidos en reposo.II. Neumostática: Estudia los gases en reposo.

¿A que llamamos fluido?Es toda sustancia capaz de fluir, en particular, un líquido o un gas cualquiera. Una de las propiedades más importantes es la de ejercer y transmitir presión en toda dirección.

Conceptos previosDensidad(r): Se denomina así a la relación entre la masa de un cuerpo y su volumen; en otras palabras, la densidad es la concentración de la masa de un determinado cuerpo.

V

m

r = m

v

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:m : masa (kg)V: Volumen (m3)P: Densidad (kg/m3)

Presión (P): Representa la magnitud de la fuerza por cada unidad de área. Matemáticamente se calcula dividiendo el módulo de la fuerza normal entre el área sobre la cual se aplica la fuerza. Su unidad en el SI es el pascal (Pa).

A FT

FN

F

P = FNA

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:A: área (m2)FN : Fuerza normal (N)P: Presión (Pa)

Presión hidrostática (PH)Todo punto en el interior de un líquido soporta la presión que el líquido ejerce sobre él, esta presión es consecuencia del peso del líquido.El cálculo de la presión hidrostática en un determinado punto de un líquido en reposo se calcula mediante la siguiente ecuación:

h

g

PH = rL.g.h

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI sonPH: Presión hidrostática(Pa)rL : Densidad del liquido (kg/m3)g : Aceleración de la gravedad (m/s2)h: Profundidad(m)

Observación:La densidad del agua en el SI es:

rH2O = 1000 kg/m3

En algunos casos, la densidad del agua se considera:rH2O = 1 g/cm3

Presión absoluta (PABS)Para calcular esta presión, se tiene que tener en cuenta la presión atmosférica, la cual generalmente tiene el valor de 105 Pa. Matemáticamente, se calcula mediante la siguiente ecuación:

PABS = PH + Patm

HIDROSTÁTICA I

Principio de PascalLos líquidos transmiten con el mismo valor y en todas las direcciones la presión que se les comunica, es decir toda variación de presión en algún punto del líquido se transmite íntegramente a todos los demás puntos del líquido.

Aplicación del principio de PascalPrensa hidráulica: Instrumento utilizado para multiplicar la fuerza y de esta manera levantar cuerpos pesados aplicando solo una fuerza de menor magnitud.

F1

P1

A1A2

F2

P2

h2

h1

Se cumple:

F1F2

= A1A2

= h2h1

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son: F1, F2 : Fuerzas (N)A1, A2 : Áreas de los pistones(m2)h1, h2 : Alturas (m)

Trabajando en clase

Integral

1. El cubo «m» tiene 10 kg de masa y su arista es de 5 m. Calcula la presión (en Pa) que ejerce sobre la mesa (g = 10 m/s2).

gm

Resolución:P = F

A = 100N25 m2

P = 4 Nm2

P = 4 Pa

2. La caja «m» tiene 2 kg de masa. Determina la pre-sión (en KPa) que ejerce sobre la mesa. (g = 10 m/s2)

g5 m

5 mm

5 m

3. Calcula la presión hidrostática (en Pa) y la pre-sión absoluta (en kPa) en el fondo del recipiente (g = 10 m/s2).

g

Aguah=2m

4. ¿Cuál es el valor de la fuerza F1 (en N) que se debe aplicar el émbolo de la izquierda (A1 = 80 cm2) para mantener el equilibrio del sistema en la posición mostrada si en el émbolo de la dere-cha (A2 = 400 cm2) se ha colocado un bloque W de 700 N de peso.

F1 A2A1gW

UNMSM

5. Calcula la diferencia de presión (en Pa) entre los puntos A y B ( rx = 800 kg /m3; g = 10 m/s2).

Advertencia pre

Generalmente en los exámenes de admisión a la presión hidrostática se le de denomina presión. No debe confundirse

con la presión absoluta.

g

20 cmA

Brx

Resolución:DP = PB – PA = rL.g.h

DP = (800)(10) 20100

6. Determina la diferencia de presión (Pa) entre los puntos A y B ( rx = 600 kg/m3; g = 10 m/s2)

g

10cmA

Brx

7. Determina la diferencia de presión (en Pa) entre los puntos A y B (rL = 300 kg/m3; g = 10 m/s2)

10cmA

B

20cm

g

rL

8. Calcula la presión hidrostática (en kPa) ejercida por dos líquidos, aceite y agua, en el fondo del reci-piente. Considera la densidad del aceite 800 kg/m3 y la densidad del agua 1000 kg/m3 (g = 10 m/s2).

Aceite

Agua

A

2m

3m

g

Resolución:

PA = rac.g.h + ragua.g.h

PA = (800).(10)(2) + (1000)(10)(3)

PA = 16 000 Pa + 30 000 Pa

PA = 46 kPa

9. Determina la presión hidrostática en KPa en el punto A. La densidad de los líquidos no miscibles (1) y (2) son D1= 800 kg/m3 y D2 = 1 000 kg/m3 (g = 10 m/s2)

g

(1)

(2)

0,5m

0,8m

10. Una boya cilíndrica cuya masa es de 19.0 kg ocu-pa un volumen de 0.04 m3. Calcula la densidad del material (en kg/m3) con el que fue construida la boya.

UNMSM 2012-I

11. A nivel del mar, un joven sostiene una lámina de vidrio tal como se muestra.

Determina el módulo de la fuerza (en N) que ejerce el aire sobre la cara superior del vidrio cuya área es de 0,25 m2 (Patm = 105 Pa).

g

12. Un recipiente contiene dos líquidos de densidades rA = 700 kg/m3 y rB = 1500 kg/m3, según se muestra en la figura. ¿Cuál es la diferencia de presión (en kPa) entre los puntos 2 y 1? (Dato: Patm = 105 Pa y g = 10 m/s2)

gPA

PB

M1

2

10m

5m

h1=3m

h1=3m

Resolución: P2 – P1 = rA.g.h1 + rBg.h2

P2 – P1 = (700)(10)(3)+(1500)(10)(3) P2 – P1 = 21 000Pa + 45 000Pa P2 – P1 = 66 000Pa P2 – P1 = 66 KPa

13. Un recipiente contiene dos líquidos de densidades rA = 400 kg/m3 y rB = 900 kg/m3 según se muestra en la figura. ¿Cuál es la diferencia de presión (en kPa) entre los puntos 2 y 1? ( Dato: Patm = 105 Pa y g = 10m/s2).

gPA

PB

M1

2

5m

5m

2m

3m

14. Calcula la presión del aire encerrado en pascal. (Patm = 105 Pa) (g = 10m/s2)

g

H2O

1m Aire

3m

3m

15. Se tiene una prensa hidráulica cuyos émbolos poseen radios de 10 cm y 40 cm. Determina el módulo de la aceleración (en m/s2) con la cual subirá un cuerpo de 10 kg cuando se aplica una fuerza de módulo 10 N sobre el émbolo menor (g = 10 m/s2).

Idea de empujeMuchos cuerpos son elevados fácilmente debajo del agua, mientras que con dificultad fuera de ella; además, si sumergimos un corcho en el agua y lo soltamos allí, este emergerá. ¿Cómo se pueden explicar estos fenómenos?

La respuesta es básicamente, que cuando un cuerpo está sumergido total o parcialmente dentro de un líquido, este le ejerce una fuerza que siempre tratará de sacar dicho cuerpo.Este concepto fue planteado por Arquímedes y lo enunció como un «Principio de la naturaleza el cual con el tiempo se denominó «Principio de Arquímedes».

Principio de ArquímedesEl principio de Arquímedes establece que todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta una fuerza de parte de dicho fluido denominada empuje hidrostático, esta fuerza de empuje actúa en el centro geométrico de la parte sumergida y dirigida hacia arriba.El valor de la fuerza de empuje se calcula mediante la siguiente ecuación:

Eliq.

gVE

VS

Eliq = rliq.g.Vs

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:Eliq : Empuje hidrostático(N)rliq : Densidad del liquido (kg/m3)g : Modulo de la aceleración de la gravedad (m/s2)Vs : Volumen de la zona sumergida (m3)VE : Volumen de la zona emergida (m3)

Empuje resultante:Si un cuerpo se sumerge en varios líquidos a la vez, se cumple que el empuje resultante es la suma de los empujes parciales de cada líquido.

gr1

r2

r3

Eneto

Eneto = E1 + E2 + E3

Principio de Arquímedes y la primera condi-ción de equilibrioPara analizar un cuerpo que se encuentra sumergido en un líquido y a la vez está en equilibrio, se tiene que cumplir el siguiente procedimientoA. Hacer DCL En el DCL debe incluirse la fuerza de empuje hi-

drostática (E) vertical y hacia arriba.B. Usar ∑F = 0 para resolver el problema Ejemplo: Un cuerpo m de peso igual a 10N se encuentra

sumergido en un líquido tal como se muestra en la figura. Determina el valor del empuje.

g

8NDinámometro

HIDROSTÁTICA II

SoluciónEl valor que marca el dinamómetro es el valor de la fuerza de tensión.Primero realizamos el DCL

E

T=8N

WC=10N

Luego aplicamos ∑F = 0 (primera condición de equilibrio)

E + T = WC⇒ E = WC –T

Reemplazando los datos del problema E = 10N – 8N

E = 2N

Calculo de la densidad de un cuerpo flotando en un líquido

Si un cuerpo se encuentra flotando en un liquido, se demuestra que la densidad de dicho cuerpo puede ser calculada a partir de la densidad del liquido y la razón del volumen sumergido respecto al total.

grc

rL

VS

VE

hs

hT

donde: VT = VE + VS

Se cumple

rc = VSVT

.rL

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:rc : Densidad del cuerpo (kg/m3)rL: Densidad del liquido (kg/m3)Vs: Volumen de la parte sumergida (m3) VE: Volumen de la parte emergida (m3)VT: Volumen total (m3)

Peso aparenteEl peso aparente se calcula mediante la siguiente ecuación:

Papar = Preal – E

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:Papar = Peso aparente (N)Preal: Peso real (N)E : Empuje (N)

Trabajando en clase

Advertencia pre

La presión manométrica se calcula mediante la ecuación:

Pmanométrica=PH – Patm

Integral

1. Un objeto de 7 m3 flota en el agua. Si el volumen emergido es 6 m3, calcula el módulo de la fuerza de empuje (en kN) que experimenta (g = 10 m/s2)Resolución:

g6m3

1m3

H2O E

=Vs

=Ve

VT=7 m3

Aplicando: E = rH2O.g.Vs ⇒ E = 1000.10.1 ∴ E = 10kN

2. Un cuerpo de 8 m3 flota en el agua. Si el volumen su-mergido es de 5 m3, determina el módulo de la fuerza de empuje (en kN) que experimenta (g = 10 m/s2)

3. Un cuerpo de 0.3 m3 de volumen se introduce completamente en agua. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de empuje (en kN) que recibiría por parte del agua? (g = 10 m/s2)

4. Calcula el módulo de la fuerza de empuje (en N) que experimenta un cuerpo cuando se encuentra total-mente sumergido en alcohol (ralcohol = 750 kg/m3) (considera el volumen del cuerpo igual a 0,04 m3)

UNMSM

5. Un cuerpo cilíndrico de 8 m2 esta sumergido hasta sus 3/4 partes en agua. Determina el valor del empuje (en kN) que experimenta de parte del agua (g = 10m/s2)Resolución:

g

H2O

VT=8m3

Vs = 34

.VT = 34

. 8 = 6 m3

Luego: E = rH2O.g.Vs E = 1000.10.6 E = 60 kN

6. Un cuerpo de 20m3 esta sumergido en agua has-ta sus 4/5 partes. Calcula el valor del empuje (en kN) que experimenta dicho cuerpo (g = 10 m/s2)

7. Un bloque está flotando en el agua con el 75% de su volumen sumergido. Calcula la densidad del bloque.

UNMSM 2008-I

8. Calcula el valor del empuje (en KN) que expe-rimenta el cuerpo sumergido en los dos líquidos (r1 = 800 kg/mm3, r2 = 1200 kg/m3, g = 10m/s2)

g

8m3

2m3 (1)

(2)

Resolución: Aplicando el empuje resultante: ER = E1 + E2 ER = 800.10.2 + 1200.10.8 ER = 112 kN

9. Determina el módulo de la fuerza de empuje (en kN) que experimenta el cuerpo sumergido en los dos líquidos. (r1 = 300 kg/m3; r2 = 700 kg/m3; g = 10 m/s2).

g

7m3

6m3 (1)

(2)

10. En la figura se muestra un bloque «m» en equili-brio, siendo F = 300 N y el empuje tiene un valor de 500 N. ¿Cuál es el valor del peso del bloque en newton?

F

m

g

11. Un cuerpo de 54 kg de masa se sumerge comple-tamente en agua. Si el empuje que experimenta tiene un valor de 260 N, calcula el valor de la fuer-za de tensión (en N) en la cuerda. (g = 10 m/s2)

g

Agua54kg

UNI

12. El siguiente sistema se encuentra en equilibrio. Calcula el módulo de la fuerza de tensión (en N) en la cuerda que sujeta la esfera de 8 kg y volumen de 14 x 10–3 m3. (g = 10 m/s2)

g

Agua

8kg

Resolución: Aplicando el DCL

T

80N

E E = 103.10.14.10–3 = 140 N

Por condición de equilibrio: T + 80 = E T + 80 = 140 ∴ T = 60 N

13. El siguiente sistema se encuentra en equilibrio. Determina el módulo de la fuerza (en N) en la cuerda que sujeta la esfera de 4 kg y volumen 5 x 104 m3 (g = 10 m/s2).

g

Agua

4kg

14. El cuerpo que se muestra en la figura tiene un vo-lumen de 22 m3. Determina el módulo de la fuer-za de empuje (en kN) que experimenta dicho bloque (r1 = 750 kg/m3; r2 = 1800 kg/m3, g = 10m/s2).

g

(1)

(2)

1m

2m

8m

15. Un objeto tiene peso aparente de 2.5 N cuando esta sumergido en el agua. Cuando se sumerge en aceite su peso aparente es 2.7 N. Determine el peso real del objeto en N (densidad del aceite = 600 kg/m3)

UNI 2010-II

En nuestra vida es muy común hablar de calor y de cambios de estado; generalmente relacionamos al calor en forma directa con la temperatura.

En el presente capítulo se estudian los aspectos físicos de un cuerpo cuando es sometido al calor. De la misma manera desarrollaremos la teoría del equilibrio térmico, en el cual se explica como se obtiene una temperatura final luego de mezclar varios cuerpo a diferentes temperaturas.

Conceptos PreviosCalor: Es una forma de energía que se transmite desde un cuerpo de alta temperatura hacia un cuerpo de baja temperatura.

T1

T2

T2 > T1

Generalmente estamos acostumbrados a decir que un cuerpo puede ganar o perder calor, lo cual es totalmente incorrecto, puestos el calor es energía en transito y no acumulable.Solo por fines prácticos mencionaremos que un cuerpo ha ganado o perdido calor, si este a su vez ha ganado o perdido energía calorífica en forma de calor respectivamente.

Propagación del calorA. Por conducción El calor puede viajar dentro de un cuerpo o de

un cuerpo a otro por contacto, mediante el fenó-meno de la agitación molecular, de una zona de alta temperatura hacia otra de baja temperatura. Esto se da principalmente en los sólidos, siendo los metales los que mejor conducen el calor. Entre los malos conductores de calor podemos citar: el aire, la lana, la madera, el agua, etc.

B. Por convección Debido a que una elevación de temperatura dis-

minuye la densidad, especialmente de líquidos y gases, entonces las masas calientes suben y las frías bajan, generándose movimientos cíclicos que llamaremos convección. Este efecto se apre-cia al hervir agua, y en la atmósfera es la causa de los vientos.

C. Por radiación Por experiencia sabemos que al acercarnos a una

fogata sentimos el calor que proviene del fuego; algo similar sucede con el calor que nos llega des-de el Sol cruzando el espacio vacío. Así, el calor puede viajar por radiación a través de ondas elec-tromagnéticas y en el vacío.

Escalas termométricas: Así como para medir una unidad de longitud se utiliza el metro, de igual manera se procede en las temperaturas y las unidades de medida mas utilizadas son: la escala Celsius, la escala Kelvin y la escala Fahrenheit.

Z Escala Celsius (ºC) Llamada también centígrados. Aquí el agua se

congela a 0º C y hierve a 100ºC Z Escala Kelvin (K)

La escala absoluta de Kelvin es una escala cuyo cero coincide con el cero absoluto (cuando las moléculas de un cuerpo dejan de fluir teórica-mente).

CALORIMETRÍA

Z Escala Fahrenheit (ºF) Aquí el agua se congela 32º F y hierve a 212º F.

Esta escala se usa menos.°C K

100

–273

373

0

273

212

–460

°F

0 32

La formula que sirve para hacer transformaciones es la siguiente:Entre grados Celsius y Kelvin:

K = ºC + 273

Entre grados Celsius y grados Fahrenheit:

ºF= 95 º C + 32

En el sistema internacional(SI) la unidad de medida de la temperatura es el kelvin(K).

Cantidad de calor (Q)Magnitud física escalar que nos mide cuanta energía calorífica ha ganado o perdido un cuerpo mediante el calor producido.

DT Q

Q = Ce.m.DT

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:Q : Cantidad de calor (J)m: Masa (kg)DT: Variación de la temperatura (K) = Tf – TiCe: calor especifico (J/kg.K)

En el presente tema las unidades con que se va a trabajar son:Q: Cantidad de calor (caloria,cal)m: Masa(g)DT: Variación de la temperatura (ºC)Ce : Calor especifico (cal/g ºC)

Las relaciones entre estas unidades son:1kg = 1000 g1K = –273ºC1J = 0,24cal1cal = 4,18J

Capacidad calorífica de un cuerpo (C )Es la cantidad de calor que gana o pierde un cuerpo por cada grado de variación en su temperatura:

C = QDT

Además se comprueba:C = m.Ce

Donde :m = masaCe: Calor específico

Equilibrio térmico (ley cero de la termodinámica)Supón que tenemos dos cuerpos con distinta temperatura, uno en contacto con el otro, podría comprobarse que el cuerpo más caliente se iría enfriando, mientras que el cuerpo más frío se iría calentando, después de cierto tiempo (empleando el tacto) se notaría que los dos cuerpos alcanzan una misma temperatura, esta situación final se denomina equilibrio térmico.Graficando la mezcla de dos cuerpos líquidos a diferentes temperaturas:

T1 T2

Teq

Se cumple estrictamente:T1 < Teq < T2

Integral

1. ¿Cuánto calor (en cal) será necesario propor-cionar a un trozo de hierro de 50 g para elevarlo su temperatura desde los 10º C hasta los 110ºC? Considera que para el hierro Ce = 0,12 cal/gºC.Resolución:

50g 50g

TF=110°C

Q=?

⇒Ti = 10°C

Aplicando: Q = Ce.m.DT ⇒ Q = 0,12×50×(110 – 10) ∴ Q = 600 cal

2. ¿Cuánto calor (en cal) será necesario proporcio-nar a un trozo de aluminio de 100 g para elevar su temperatura desde los 10º C hasta los 60º C? (Considera que para el aluminio Ce = 0,3 cal/gºC)

3. ¿Cuánto calor(en cal) será necesario proporcio-nar a un trozo de cobre de 500 g para elevar su temperatura desde los 20º C hasta los 90º C ( con-sidera que para el cobre Ce = 0,1 cal/gºC).

4. Calcula la masa (en g) de un bloque de plomo, si al ganar 200 cal aumentó su temperatura de 60º C a 100º C. (Ceplomo = 0,25 cal/g°C).

UNMSM

5. A cierto bloque de plata de 0,5 kg que se encuen-tra a 17º C se le calienta absorbiendo 600 calorias

de calor. ¿Cuál será la temperatura de dicho blo-que (en ºC), luego de ser calentado? (Considera que para la plata Ce = 0,6 cal/gºC)Resolución:Aplicando la fórmula: Q = CemDT

Luego, reemplazando los datos: 600 = 6

100 500 . (x – 17)

20 = x – 17 ∴ x = 37°/c

6. A cierto bloque de oro de 2 kg que se encuentra a 8º C se le calienta absorbiendo 240 calorías. ¿Cuál será la temperatura (en ºC) de dicho bloque, lue-go de ser calentado? (Considere que para el oro Ce=0,03 cal/g°c).

7. A un cuerpo de 100 g y Ce = 0,5 cal/gºC se le en-trega 400 calorías: ¿En cuánto elevará su tempera-tura en ºC ?

8. Un bloque de aluminio a 120º C, se sumerge en 900 g de agua a 10º C, si la temperatura de equi-librio es 20º C, calcula la masa del bloque de alu-minio (en g)(Considere que para el aluminio Ce = 0,9cal/gºC)Resolución:Utilizando la regla térmica, colocamos los datos.

H2O 10° 120° C Al

QgQp

20°C900 g

Ce=1 Cal/g°C Ce=0,9 Cal/g°Cm

Trabajando en clase

Para un mejor análisis del problema, definimos la regla térmica, la cual es una forma de representar las transferencias de calor mediante una recta de temperatura, colocando para ello el valor de las temperaturas de los cuerpo presentes en una mezcla y la temperatura de equilibrio.

Por ejemplo, utilizando los datos de la última grafica de mezclas, se tiene:

T1 T2

QganadoQperdido

Teq

Aplicando la ley de la conservación de la energía se cumple:

Qganado + Qperdido = 0

En general la suma de las cantidades de calor en una mezcla de «n» cuerpos, siempre debe ser igual a cero.

∑Qganado + ∑Qperdido = 0

A esta ecuación se le conoce como la ley cero de la termodinámica.

⇒ Qg + Qp = 0 1×900.(20 – 10) + 9

10 m.(20 – 120°) = 0 ∴ m = 100 g

9. Un bloque de aluminio a 80ºC, se sumerge en 180 g de agua a 60ºC, si la temperatura de equi-librio es 20ºC, determina la masa del bloque de aluminio (en g). (Considere que para el alumi-nio Ce = 0,9 cal/gºC)

10. En un recipiente térmicamente aislado que con-tiene 1,5 kg de agua a 20,0 ºC, se introduce un metal de 3,00 kg a 130º C. Si la temperatura de equilibrio es de 40,0º C. ¿Cuál es el calor específi-co del metal? (Cagua = 1,00 cal/g°C)

UNMSM 2009-II

11. Determina cuántos kilogramos de agua a una tem-peratura de 5º C deben mezclarse con 20 kg de agua a 75º C para obtener agua a 30º C . El calor específi-co del agua es 1 cal/gº C.

UNMSM 2006-II

UNI

12. Se mezclan100 g de agua a 10º C con 300 g de agua a 90º C. ¿A qué temperatura terminará la mezcla?Resolución:Aplicando la regla térmica remplazamos los da-tos.

H2O 10° 90 °C H2O

QgQp

x100 g

Ce=1Cal/g°C Ce=1 Cal/g°C300 g

⇒ Qg + Qp = 0 1.100(x – 10) + 1.300. (x – 90) = 0 ∴ x = 70° C

13. En un recipiente de capacidad calorífica despre-ciable que contiene 100 g de agua a 20º C se vier-ten 500 g de agua a 80º C. Determina la tempera-tura de equilibrio en ºC.

14. Un recipiente de aluminio (Ce = 0,22 Cal/gºC) de 0,5 kg contiene 110 g de agua a 20º C. Si se intro-duce un bloque de fierro de 200 g cuyo Ce = 0,11 Cal/gºC a 75º C. Calcula la temperatura final de equilibrio en ºC.

15. Un cuerpo está compuesto por una aleación de 200 g de cobre, 150 g de estaño y 80 g de aluminio. Calcula su capacidad calorífica Cal/ºC y el calor, en cal, necesario para elevar su temperatura 50º C. (Los calores específicos del cobre, del estaño y del aluminio, en cal/gºC, respectivamente son: 0,094; 0,055 y 0,212).

UNI 2012-II

La termodinámica estudia de la transformación de energía térmica en energía mecánica y el proceso inverso, la conversión de trabajo en calor. Puesto que casi toda la energía disponible de la materia prima se libera en forma de calor, resulta fácil advertir por qué la termodinámica juega un papel tan importante en la ciencia y la tecnología.

Conceptos previosSustancia de trabajo: Designamos con este nombre a la sustancia liquida o gaseosa que recorre internamente el sistema, y en la cual podemos almacenar o extraer energía.

Sistema termodinámico: Denominamos así al sistema físico sobre el cual fijamos nuestra atención y estudio. Sus límites pueden ser fijos o móviles.

Gas

Sustancia de trabajo

Estado termodinámico: Es aquella situación particular de una sustancia, cuya existencia esta definida por las propiedades termodinámicas: presión, volumen, temperatura, densidad, etc.

Proceso termodinámico: Llamamos así al fenómeno por el cual una sustancia pasa de un estado (1) a un estado (2), a través de una sucesión ininterrumpida de estados intermedios.

P

V

2

1

Ciclo termodinámico: Viene a ser el fenómeno por el cual una sustancia, partiendo de un estado, desarrolla varios procesos, al final de los cuales retorna al estado inicial.

P

V2V1

A

BC

P2

P1

O V

Energía interna de un gas ideal (U)Es la suma de las energías cinéticas de traslación, vibración y rotación de todas las moléculas que componen una determinada masa de gas ideal, esta magnitud depende de la temperatura absoluta (T) y de la cantidad de gas (número de partículas)

Primera ley de la termodinámicaEn todo proceso termodinámico el calor que entra o sale de un sistema será igual al trabajo realizado por el sistema o sobre él, más la variación de la energía interna.

d

W

Q

Sistema termodinámico

TERMODINÁMICA

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son:Q: Cantidad de calor (J)W: Trabajo mecánico (J)DU: Variación de la energía interna (J)

Convención de signo:W(+) W(–)

Q(+) Q(–)(+): Realizado por el sistema(–): Realizado sobre el sistemaW

(+): Ganado por el sistema(-): Perdido por el sistemaQ

(+) : Aumenta(-) : DisminuyeDU

Cálculo del trabajo realizado por un sistema ter-modinámico mediante una gráfica P vs V

Z Proceso termodinámico

P

V

P

V

W = +Área

W = –Área

Z Ciclo termodinámico

V

P

V

P

W = +Área

W = –Área

Características de algunos procesos termodi-námicos

1. Proceso isobárico(P = constante) En este proceso se hace evolucionar a un sistema

desde un estado inicial hasta otro final, mante-niendo en todo instante la presión constante.

Y W= PDV Y Diagrama P-vs-V

P

P

A

(1)

V1

(2)

V2 V

Área = A= Trabajo

2. Proceso isócorico (V = constante) Es aquel proceso termodinámico en el cual una

sustancia evoluciona desde un estado inicial has-ta otro final, manteniendo su volumen constante. También se le denomina isovolumetrico.

Y W= 0 ⇒ Q = DU Y Diagrama P-vs-V

P

V

Área = A= Trabajo = 0

3. Procesos isotérmico (T=constante) En este proceso se hace evolucionar a la sustancia

desde un estado inicial hasta otro final, mante-niendo su temperatura constante.

Y DU = 0 ⇒ Q = W Y Diagrama P-vs – V

P

V

Curva isotérmica

A

Área = A= Trabajo

4. Proceso adiabático (Q = 0) Es aquel proceso termodinámico en el cual se

hace evolucionar a la sustancia desde un estado inicial hasta otro final sin adición ni sustracción de calor.

Y Q = 0 ⇒ W = –DU Y Diagrama P- vs- V


1. ¿En cuánto varia la energía interna (en J) de un gas que recibe 800 J de calor y realiza un trabajo de 450 J?Resolución:DQ = DW + DU

800 J = 450 J + DU DU = 350 J

2. ¿En cuánto varía la energía interna (en J) de un gas que recibe 700 J de calor y realiza un trabajo de 520 J?

3. Un sistema termodinámico libera 200 J de calor, mientras que un agente externo desarrolla sobre él un trabajo de 300 J. Calcula la variación de energía interna de la sustancia de trabajo (en J).

4. A un gas perfecto se le suministra 200 J de calor isotérmicamente. Determina el trabajo que desa-rrolla el gas en joule.

UNMSM

5. A un sistema termodinámico se le suministra 100 cal de calor. Determina la variación de su energía interna (en J), si se sabe que el sistema desarrollo 118 J de trabajo.Resolución:Aplicando: Q = W + DU

Además: Q = 100 cal = 418 J Reemplazando los datos: ⇒ 418 = 118 + DV DU = 300 J

6. Un gas encerrado, al recibir 840 calorías de calor, realiza un trabajo de 3 000 J. ¿Cuál es la variación de su energía interna en cal?

7. Las figuras muestran tres transformaciones re-versible de un gas . ¿Qué transformación muestra cada una de ellas en ese orden?

VV1 V2

PP (1) (2)

(I) VV1

P1

P2

P

(1)

(2)

(II)

VV1

P2

P1

P(1)

(2)

V2

T1=T2

8. Determina el trabajo (en J) producido por un gas teniendo en cuenta la siguiente grafica P-vs-V

V(m3)0,2

600

800

P(N/m2)

(1)

(2)

0,8

Resolución:Calculando el área bajo la gráfica, la cual repre-senta el trabajo.

V(m3)0,2

600

800

P(N/m2)

(2)

0,80,6

(1)A 800

600

P

V

Curva adiabática

A

Área = A= Trabajo

¿Sabías que...?

El estudio de la termodinámica permitió el inicio de la primer revolución industrial

con el invento de las máquinas a vapor.

A = W = 600 + 8002 . 6

10

A = W= 420 J

9. Calcula el trabajo (en J) producido por un gas, te-niendo en cuenta la siguiente grafica P-vs- V.

V(m3)0,2

200

300

P(Pa)

A

B

0,5

10. Determina el trabajo (en J) producido por un gas, teniendo en cuenta la siguiente grafica P-vs-V.

V(m3)2

1

3

P(N/m2)

430

11. Determina el trabajo (en J) realizado por un gas ideal en cada ciclo mostrado (a) y (b).

(a) (b)

P(N/m2)

V(m3)

50

20

2 4

P(N/m2)

V(m3)

100

20

2 60

UNI

12. En la figura se muestra el proceso isobárico que realiza un gas ideal entre dos estados termodiná-micos. Determina el cambio de la energía interna (en J) si el calor entregado fue de 1 kcal (1 cal = 4,18 J)

P(kPa)

V(m3)

20(1) (2)

0,3 0,50

Resolución:Aplicando la fórmula:

Q = W + DU

Pero antes debemos calcular Q y W en unidades joule. ⇒ Q = 1 Kcal = 1000 cal = 1000×4,18 Q = 4180 J

P(kPa)

V(m3)

20

0,3 0,5

0,2

0

W

Calculamos el trabajo a partir de la gráfica: W = +20.103(0,2) ⇒ W = 4000 J Reemplazando en la ecuación de la primera ley. 4180 = 4000 + DU ∴ DU = 180 J

13. En la figura se muestra el proceso isobárico que rea-liza un gas ideal entre dos estados termodinámicos. Determina el cambio de la energía interna entre di-chos estados (en J) si el calor entregado fue de 2 kcal. (1 cal = 4,18)

P(kPa)

V(m3)

30

0,4 0,60

14. En el diagrama (P - V) se muestra el proceso desde A hasta B de un gas ideal cuando recibe 300 cal. Encuentra el incremento de su energía inter-na en joule(1 cal = 4,18 J)

V(m3)0,2

200

300

P(Pa)

A

B

0,5

15. Determina el trabajo (en J) producido por un gas en el proceso ABC.

P(N/m2)

V(m3)

50

10

0,2 0,50

A

CB

Desde tiempos muy antiguos se conoce la propiedad que poseen algunos cuerpos de atraer a otros cuerpos después de ser frotados. Ya tales de mileto (640 – 547 a.c.) hizo experimentos en los que demostró que el ámbar, después de ser frotado con la piel de un animal, atraía ciertas semillas. Este fenómeno se denominó electricidad, y la propiedad que se supone que adquirían los cuerpos al frotarlos, carga eléctrica.

La electrostática es la rama de la física que estudia los efectos mutuos que se producen entre dos o más cuerpos en estado de reposo como consecuencia de su carga eléctrica estudia cargas eléctricas en reposo.

Electrización de los cuerpos

El comportamiento eléctrico de los cuerpos está íntimamente relacionado con la estructura de la materia. Como se sabe, los cuerpos están formados por entidades elementales llamadas átomos. En los átomos existen unas partículas cargadas, llamadas protones (carga positiva), electrones (carga negativa); así como también partículas sin carga denominados neutrones.

Se define que un cuerpo es eléctricamente neutro si posee igual cantidad de electrones y protones. Mientras que un cuerpo se encuentra cargado si ha perdido o ganado electrones.

A continuación se explica básicamente como se establece el signo de la carga eléctrica de un cuerpo.

Cuerpo eléctricamente neutro:

Un cuerpo es eléctricamente neutro si posee igual cantidad de electrones y protones.

Cuerpo neutro# e– = #p+

Representación: Q = 0

Cuerpo cargado negativamente:

Un cuerpo se encuentra cargado negativamente si ha ganado electrones.

Cuerpo concarga negativa

# e– > #p+

Representación: Q < 0

Cuerpo cargado positivamente:

Un cuerpo se encuentra cargado negativamente si ha perdido electrones.

Cuerpo concarga positiva

# e– < #p+

Representación: Q > 0

Cuantificación de la carga

Para cuantificar la carga eléctrica de un cuerpo se utiliza una magnitud física denominada cantidad de carga eléctrica (Q), cuya unidad en el S.I. es el coulomb (C), y se calcula mediante la siguiente ecuación:

Q = ± e–.n

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:

+: Si el cuerpo pierde electrones–: si el cuerpo gana electronesQ: cantidad de carga eléctrica (C).|e–|: valor absoluto del valor de la carga eléctrica del electrón (1.6 × 10–19C).n: número de electrones ganados o perdidos

ELECTROSTÁTICA I

Integral

1. Determina el número de electrones perdidos en una carga eléctrica de +32 × 10–19 C.

Observación: Una carga eléctrica puede expresarse en función a ciertas cantidades equivalentes, por ejemplo:

1mC = 10–3C1mC = 10–6C1nC = 10–9C

Leyes de la electrostática

Ley cualitativa"Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo

contrario se atraen"

F

F

F

F

F

F

atracción

repulsión

repulsión

Ley cualitativa (Ley de Coulomb)

El físico francés Charles Coulomb (1736 – 1806), utilizando una balanza de torsión, estudio las fuerzas con las que se atraían o repelían los cuerpos cargados llegando a determinadas conclusiones, las cuales fueron resumidas y establecidas en una ley física denominada ley de coulomb.La ecuación de ley de coulomb establece que el modulo de la fuerza (F ) con la que dos cargas (Q1 y Q2) se atraen o se repelen, es directamente proporcional al producto de dichas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) que las separa.

FF

Q1 Q2

d

F =K.Q1.Q2

d2


|F|: modulo de la fuerza eléctrica (N).|Q1| y |Q2|: Valores de las cargas eléctricas (C).d: Distancia de separación entre las cargas eléctricas (m).K: Constante eléctrica en el vacío ≈ 9 × 109 Nm2/C2.

Observación: Las fuerzas eléctricas dependen del medio en el que están situadas las cargas. No es igual la fuerza existente entre dos cargas cuando están en el vacio que cuando están en otro medio material, como el aceite o el agua.

Z Principio de superposición de las fuerzas eléc-tricas:

Si un cuerpo electrizado interactúa con varias cargas eléctricas, entonces la fuerza eléctrica re-sultante que actúa sobre dicho cuerpo es igual a la suma vectorial de todas fuerzas que le ejercen cada partícula cargada.

F2

F2FR

F1

F1

F3

F3

Q3

Q1

Q2

= + +

Trabajando en clase

Resolución: Aplicando la fórmula: Q = ± e–.n Tomando el signo «+» y reemplazando los datos:

Q = +32 × 10–19C y e– = 1,6 × 10–19 C ⇒ 32 × 10–19 = (1,6 × 10–19).n ∴ n = 20

2. Calcula el número de electrones perdidos en una carga eléctrica de +64 × 10–19 C.

3. Si un cuerpo eléctricamente neutro gana 5 × 1020 electrones, calcula su carga eléctrica (en C).

4. Indica las cargas correctas: C

Q1 = –8 × 10–19CQ2 = –5 × 10–19C

Q3 = +12 × 10–19C

UNMSM

5. Dos cargas de +4 × 10–6C y –5 × 10–6C se encuen-tran separadas en una distancia de 3m. ¿Cuál es el módulo de la fuerza (en N) con que se atraen?

Resolución: Graficando el enunciado: Q1 = +4 × 10–6 C

d = 3 m

Q2 = –5 × 10–6 C

Aplicando la fórmula: Fe = k|Q1||Q2|

d2

Reemplazando los datos:

Fe = 9 × 109 × 4 × 10–6 × 5 × 10–6

(3)2

Fe = 2 × 10–2N

6. Se tienen dos cargas eléctricas de +4 × 10–5 C y –3 × 10–5C separados una distancia de 6 m. Determina el módulo de la fuerza de interacción (en N) entre las cargas.

7. Dos cargas eléctricas de +5 × 10–5 y –9 × 10–5 C se separan una distancia de 3cm. Calcula el módulo de la fuerza eléctrica (en N) entre ellas.

8. Se tienen dos cargas de 2 mC y 3 mC respectiva-mente y están separadas una distancia de 3 cm. ¿Cuánto vale la fuerza de interacción electrostáti-ca (en N) entre ellas?

Resolución: Graficando el enunciado

Q1 = 2mC = 2 × 10–6 C Q2 = 3mC = 3 × 10–6 C

d = 3 cm × 10–2 cm

Aplicando la fórmula para calcular el módulo de la fuerza eléctrica.

Fe = 9 × 109 × 2 × 10–6 × 3 × 10–6

(3 × 10–2)2

∴ Fe = 60 N

9. Dos cargas eléctricas de 7 mC y 3 mC se separan una distancia de 3 cm. Calcula el módulo de la fuerza eléctrica (en N) entre las cargas.

10. Dos esferas conductoras idénticas, pequeñas, cu-yas cargas son +35 mC y –9 mC se encuentran se-parados una distancia de 90 cm. ¿Cuál es ahora la fuerza de interacción (en N) entre ellas?

11. Dos partículas puntuales con cargas q1 y q2 se atraen con una fuerza de magnitud F12. Si la car-ga q2 se aumenta al triple y también se triplica la distancia entre ellas, determine la nueva fuerza electrostática en función de F12.

12. Dos cargas de +4 × 10–3 C y –2 × 10–6 C se encuen-tran separadas una distancia de 2m. ¿Cuál es el módulo de la fuerza (en N) con que se atraen?

13. Dos cargas de –7 × 10–2 C y –4 × 10–7 C se encuen-tran separadas una distancia de 3 m. Calcula el módulo de la fuerza (en N) con que se atraen?

14. Se tienen dos cargas eléctricas de +7 × 10–8 C y –6 × 10–1 C separados una distancia de 9m. De-termina el módulo de la fuerza de interacción en newton.

UNI

15. Se tienen tres cargas eléctricas puntuales cuyos valores son qA = –9 mC; qB = +2 mC; qC = –6 mC dispuestas como se muestra en la figura, determi-na el módulo de la fuerza eléctrica resultante (en N) sobre la carga «C».

3 cm

A B C

6 cm

Resolución: Analizando el gráfico y las fuerzas sobre la carga

«C».

9 mC = 9 × 10–6 C 2 mC = 2 × 10–6 C –6 mC = –6 × 10–6 C

A B CFAC

FBC

Piden el módulo de la fuerza resultante, por vec-tores:

FR = |FBC – FAC| ... 1

Luego calculando FAB y FAC

⇒ FBC = 9 × 109 × 2 × 10–6 × 6 × 10–6

(6 × 10–2)2 = 30 N

⇒ FAC = 9 × 109 × 9 × 10–6 × 6 × 10–6

(9 × 10–2)2 = 60 N

Entonces reemplazando los valores de FBC y FA en la ecuación 1 se tiene:

FR = |30 – 60| ∴ FR = 30 N 16. Se tienen tres cargas eléctricas puntuales cuyos

valores son q0 = 2 mC, q1 = 50 mC, q2 = –40 mC,

dispuestas como se muestra en la figura, determi-na el módulo de la fuerza eléctrica resultante (en N) sobre la carga «q0».

q1 q2 q02 cm3 cm

17. Determina el módulo de la fuerza resultante (en N) sobre la carga «q3». Si los valores de las cargas eléctricas son q1 = q2 = q3 = 2 × 10–4 C.

q1 q3 q2

2 m3 m

18. Un cuerpo de 20 gramos de masa tiene una carga Q y reposa sobre una superficie plana horizontal aislada. Si le acercamos verticalmente desde aba-jo otro cuerpo con la misma cantidad de carga Q hasta una distancia de 20cm, el peso del primer cuerpo se hace cero. Calcula el valor de la carga Q. (k = 9 × 109 Nm2/C2; g = 10,0 m/S2).

Campo eléctrico

Teniendo en cuenta la ley de Coulomb, podemos deducir que toda carga eléctrica genera una fuerza eléctrica sobre cualquier otra carga colocada en su proximidad. Por lo tanto, es válido suponer que a cualquier carga eléctrica se le asocia una región que permite la interacción (fuerza) con otras cargas eléctricas.A la región que rodea una carga eléctrica, se le asocia un concepto físico denominado campo eléctrico, de tal manera que el campo eléctrico es toda la región del espacio en la que dicha carga eléctrica ejerce fuerzas sobre otras cargas eléctricas.

Intensidad de campo eléctrico (E):

Magnitud física vectorial que se utiliza para cuantificar el campo eléctrico establecido por una carga eléctrica (Q), también llamada «carga fuente».

La intensidad de campo eléctrico (E) en un punto dado se obtiene dividiendo la fuerza (F ) que el campo ejerce sobre una carga de prueba situada en ese punto y el valor (+q) de dicha carga de prueba.

F

F

E

Q

d+q

P

El valor de la intensidad de campo eléctrico se calcula mediante la siguiente ecuación:

|E| = |F ||q|

Unidad en el S.I.newton/metro (N/m)

Teniendo en cuenta el valor de F , definido mediante la siguiente ecuación:

|F | = K.|Q1||Q2|d2

Reemplazando la ecuación anterior en la definición de la intensidad de campo eléctrico:

|E| =

K.|Q||q|d2

|q|

Se obtiene:|E| = K.|Q|

d2

Esta última ecuación nos da otra forma de calcular la intensidad del campo eléctrico, conociendo para ella el valor de la carga fuente y la distancia sobre el cual se ubica el punto donde se quiere medir el campo eléctrico.

|E| = K|Q|d2

E

Q

d P

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:|E|: valor de la intensidad de campo eléctrico (N/m).|Q|: valor de la carga fuente (C).d: distancia donde se ubica el punto «P».K: constante eléctrica en el vacío 9 × 109 Nm/C2.

Líneas de fuerza y dirección de la intensidad del campo eléctrico:

Para representar el campo eléctrico se define las líneas de fuerza, estas líneas salen de la carga fuente si esta es positiva y entran a la carga fuente si tiene signo negativo.

Carga Positiva Carga Negativa

ELECTROSTÁTICA II

La dirección de la intensidad del campo eléctrico siempre es tangente a las líneas de fuerza y en su mismo sentido.

E2

E1

Líneas de fuerza

Z Principio de superposición de las intensidades de campos eléctricos:

Debido a que la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial. Si se tienen varias intensidades, la intensidad de campo eléctrico resultante se calculara aplicando el principio de superposición.

E2E1

E3–q1 –q2

+q3

P

Ep = E1 + E2 + E3

Campo eléctrico uniforme.

Un campo eléctrico es uniforme, si la intensidad del campo eléctrico es constante. Se representa mediante líneas de fuerzas paralelas.

E

C

BA

|EA | = |EB | = |EC |

Potencial eléctrico (VP)

Propiedad del campo eléctrico de almacenar energía eléctrica al ubicar una carga en él.Para un punto «P» ubicado a cierta distancia de una carga «Q», el potencial eléctrico se calcula aplicando la siguiente ecuación:

d

Unidad en el S.I.volt(V)

Q P

VP = +K.Qd

Donde en este caso si se considera el signo de la carga eléctrica.Las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:V: potencial eléctrico (V).Q: carga fuente (C).d: distancia donde se ubica el punto “P”.K: constante eléctrica en el vacío ≈ 9 × 109 Nm2/C2.

Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar (no posee dirección), entonces si se tienen varias cargas el potencial eléctrico resultante en un punto «P» determinado, es igual a la suma de los potenciales eléctricos de cada carga eléctrica.

Q1 d1

d2 d3

Q2

Q3

P

VP = V1 + V2 + V3

Nota: El valor del potencial eléctrico a una distancia muy lejana (infinito) de una carga fuente, se define como cero.

V∞ = 0

Superficie equipotencial:Una superficie equipotencial es aquella en la que todos sus puntos tienen igual potencial eléctrico. El mismo concepto se le asocia a una línea equipotencial.

AB

C

D Q

Superficiesequipotenciles

VA = VBVB ≠ VC VC = VD

Trabajando en clase

Integral

1. Determina la intensidad de campo eléctrico (en N/C) en el punto «P», si el valor de la carga eléc-trica Q es –7 × 10–8 C.

3 m

Q P

Resolución: Aplicando la fórmula de la intensidad del campo

eléctrico.E = k|Q|

d2

Reemplazando los datos

E = 9 × 109 × 7 × 10–8

9∴ E = 70 N/C

Las líneas de fuerza de un campo eléctrico, siempre es perpendicular a sus superficies equipotenciales.

E

S3S2S1

Donde la figura:E: intensidad del campo eléctrico.S1, S2 y S3: superficies equipotenciales.

Trabajo desarrollado por el campo eléctrico (WCAMPO)

Cuando una carga se mueve de un punto a otro en el interior de un camino eléctrico, el campo desarrolla un trabajo sobre la carga, este valor se calcula aplicando la siguiente ecuación:

QA

B

q0

WCAMPOA → B = q0(VA – VB)

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S:I. son:WCAMPO

A → B: cantidad de trabajo realizado por el campo (J).

q0: carga de prueba (C).

VA y VB: potenciales eléctricos en los puntos A y B respectivamente (V).

Las características de este trabajo son: Z El trabajo del campo es independiente de la tra-

yectoria. Z Para una trayectoria cerrada, el trabajo desarro-

llado por el campo es nulo. Z El trabajo efectuado por el campo va a depender

de la carga transportada y de la diferencia de po-tencial de los puntos de donde parte y llega la car-ga transportada.

Trabajo desarrollado por un agente externo (WA.E.):

Q B A

AgenteExterno (A.E.)

q0

El trabajo externo será igual al valor del trabajo que realiza el campo eléctrico pero signo negativo.

WCAMPO = –WA.E.

WA.E. = q0(VB – VA)A → B

S

BWA → B = 0

A

Nota: Sobre una superficie equipotencial no se realiza trabajo.

2. Calcula la intensidad de campo eléctrico (con N/C) en el punto «P», si el valor de la carga eléc-trica Q es +16 × 10–8 C.

2 mQ P

3. Determina el potencial eléctrico (en kV) de un pun-to ubicado a 6 m de una carga positiva Q = 2 mC.

4. Calcula el valor de la intensidad de campo eléctrico (en N/C) y el potencial eléctrico (en V) de en el pun-to «P», si el valor de la carga eléctrica Q es –9 mC.

9 mQ P

UNMSM

5. Calcula el valor de la intensidad de campo eléctrico (en N/C) en el punto «M», si los valores de las cargas eléctricas son: Q1 = + 6 × 10–8 C y Q2 = –8 × 10–8 C.

3 m 2 m

Q1 Q2M

Resolución: Analizando el gráfico

3 m 2 mE2

E1

Q1 = +6 × 10–8 C Q2 = –8 × 10–8 CM

Piden el módulo de la intensidad resultante, vec-torialmente

ER = E1 + E2 ... 1

Luego calculando E1 y E2

⇒ E1 = 9 × 109 × 6 × 10–8

(3)2 = 60 N/C

⇒ E2 = 9 × 109 × 8 × 10–8

(2)2 = 180 N/C

Reemplazando los valores de E1 y E2 en 1

⇒ ER = 60 + 180 ∴ ER = 240N/C

6. Determina el valor de la intensidad de campo eléctrico (en N/C) en el punto «P», si los valores de la cargas eléctricas son: Q1 = –32 × 10–8 C y Q2 = +5 × 10–18 C.

4 m 3 m

Q1 Q2P

7. Determina la intensidad de campo eléctrico re-sultante en ( N/C) en el punto «A».

(2) (1) A2 mC

8 mC 2 cm 1 cm

8. Calcula el potencial eléctrico en (en V) en el vér-tice «A» del triángulo, si los valores de la cargas eléctricas son: QB = 6 mC, QC = –8 mC.

53° 37°

A

BQB

QCC

5 m

Analizando el gráfico

53° 37°

A3 m 4 m

B

QB = 6 mC = 6 × 10–6 C QC = 8 mC = –8 × 10–6 C

C5 m

Piden el potencial eléctrico resultante, escalarmente:

VR = VB + VC

⇒ VR = 9 × 109 × 6 × 10–6

3 + 9 × 109 ×(–8 × 10–6)

4 ∴ VR = 0

9. Determina el potencial eléctrico total (en kV) en el punto «A».

37°A

5m

3 mC

+4 mC

10. A 1,0m a la izquierda de una partícula de carga q1 = 1,0 mC, se encuentra una partícula de carga q2 = –1,0 mC. Determine el potencial eléctrico, de-bido a ambas cargas, a 1,0m a la derecha de la par-tícula de carga q1 (considere k = 9 × 109 Nm2C–2).

11. La magnitud del campo eléctrico y el potencial eléctrico a cierta distancia de una carga puntual son 3 × 102 N/C y 900 V, respectivamente. Halle la magnitud de dicha carga. (Considere K = 9 × 109

Nm2C–2)

12. Calcula la intensidad de campo eléctrico (en N/C) en el punto «P», si el valor de la carga eléctrica Q es + 6 × 10–4 C.

2 mQ P

13. Determina el potencial eléctrico (en V) de un punto ubicado a 36 m de una carga positiva Q = 12 mC.

14. Calcula el valor de la intensidad de campo eléctrico (en N/C) y el potencial eléctrico (en V) en el punto «P», si el valor de la carga eléctrica Q es 81 C.

9 mQ P

UNI

15. Determina la distancia «x» en metros, para que la intensidad de campo eléctrico sea nulo en el pun-to «M», si los valores de las cargas eléctricas son: Q1 = +2 × 10–8 C y Q2 = +18 × 10–8 C.

Q1 Q2M

x20 m

Resolución: Analizando el gráfico:

Q1 = 2 × 10–8 C Q2 = 18 × 10–8 C M

x20 m

(20 – x)

E2 E1

Como el valor del campo eléctrico es cero, se cumple:

K.2 × 10–8

(20 – x)2K.18 × 10–8

x2=

E1 E2=

∴ x = 15 m

16. Dos cargas puntuales Q1 = –50 mC y Q2 = 100 mC están separadas una distancia de 10cm. El campo eléctrico en el punto P es cero. ¿A qué distancia, en cm, de Q1, esta P?

P Q1 Q2

10 cmx

17. Dos cargas de igual signo se colocan a lo largo de una recta con 2 m de separación. La relación de car-gas es 4, calcule (en nC) la carga menor si el poten-cial eléctrico en el punto sobre la recta que se en-cuentra a igual distancia de las cargas es de 9V.

(k = 9,109 Nm2/C2; 1nC = 10–9C)

La electrodinámica es la parte más importante de la electricidad que se encarga de estudiar el movimiento de los portadores de carga y los fenómenos eléctricos producidos por el traslado de las cargas eléctricas a través de los conductores.

Conceptos previos

Conductor eléctrico: sustancia que posee un gran número de electrones libres.

Pila (fuente de voltaje): es un dispositivo eléctrico que establece, mediante reacciones químicas, una diferencia de potencial entre sus extremos.

Corriente eléctrica

La palabra «corriente» significa movimiento, desplazamiento o circulación de algo. ¿Qué es lo que puede desplazarse o circular en los conductores eléctricos?. La respuesta son electrones que se encuentran «libres» dentro del conductor.

Este fenómeno microscópico se puede manifestar en los conductores bajo la influencia de ciertos factores entre los cuales no puede faltar una diferencia de potencial eléctrico, la cual puede establecerse mediante una batería, pila o alternador.

¿Cómo se establece la corriente eléctrica dentro de un conductor?

Para que exista corriente eléctrica dentro de un conductor, se necesita que exista una diferencia de potencial entre los extremos del conductor. Por ejemplo si establecemos un potencial eléctrico positivo (+) en un extremo y un potencial negativo (–) en el otro extremo se establecerá una diferencial de potencial.

+++–

––

Sentido real de la corriente eléctrica:

Las líneas de fuerza están orientados del polo positivo (+) al polo negativo (–) siendo el electrón la carga móvil en un conductor solido, este se movería en sentido contrario a las líneas de fuerza por ser de carga negativa, esto quiere decir que en un conductor sólido, las cargas eléctricas (negativas) se mueven del polo negativo (menor potencial) al polo positivo (mayor potencial).

I E→→

Sentido convencional de la corriente eléctrica:Por razones históricas, convencionalmente asumimos que son los portadores de carga positiva los que se movilizan en un conductor. Por lo tanto, convencionalmente decimos que la corriente eléctrica va de mayor a menor potencial eléctrico.

I E→→

A partir de ahora solo trabajaremos con el sentido convencional de la corriente eléctrica, a menos que nos pidan trabajar con el sentido real de la corriente.Para cuantificar la corriente eléctrica se utiliza una magnitud física llamada intensidad de corriente eléctrica.

Intensidad de corriente eléctrica:

Magnitud física escalar que cuantifica el grado de corriente eléctrica que circula en un conductor debido

ELECTRODINÁMICA I

a su diferencia de potencial entre sus extremos. Su unidad en el S.I. es el ampere o amperio (A).

Si a través de la sección transversal de un conductor pasa, en un intervalo de tiempo «∆t», una cantidad de carga «Q» la intensidad de corriente eléctrica se calculara mediante la siguiente ecuación:

Número deElectrones libres (n)

Sección recta oSección trasversal.

|Q|I

∆t

I = |Q|∆t


I: intensidad de corriente eléctrica (A).|Q|: cantidad de carga eléctrica (C).∆t: intervalo de tiempo (s).

Del tema anterior tenemos presente que la cantidad de carga se calcula mediante la siguiente ecuación:

|Q| = |e–|.n

Reemplazando en la definición de la intensidad de corriente se tiene:

I = |e–|.n∆t

Despejando se obtiene una ecuación que nos relaciona la intensidad de corriente eléctrica (I) con el número de electrones (n) que pasan a través de un conductor en un intervalo de tiempo (∆t):

I. ∆t = |e–|.n

Resistencia eléctricaTodos sabemos de los beneficios de la corriente eléctrica y pugnamos por aprovecharla en grandes cantidades; sin embargo, la naturaleza compleja de la materia nos impone muchas dificultades, tales como el movimiento caótico de los electrones libres en los metales que chocan constantemente con los iones un tanto estables en la red cristalina incrementándose así la agitación térmica y evitando un flujo notable;

en otros casos las trayectorias de los portadores son desviadas por la presencia de impurezas o vacíos; en suma, todos estos factores conllevan a la atribución de una característica fundamental para cada material y la denominaremos Resistividad eléctrica (ρ).

Fue poulliet, un físico francés que decidió plantear el cálculo de la resistencia eléctrica (R) para los metales sólidos.Poulliet planteo que la resistencia que ejerce un cuerpo conductor es directamente proporcional a la longitud (L) del conductor, e inversamente proporcional a la sección recta (A) del conductor, siendo el factor de proporcionalidad la resistividad (ρ).

ρA

Unidad en el S.I.: ohm, ohmio (Ω)R = ρ.

L

LA

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:R: resistencia eléctrica (Ω).L: longitud del conductor (m).A: área de la sección recta (m2).ρ: resistividad eléctrica (Ω.m).

Resistor:Se le llama así a todo cuerpo con determinada resistencia eléctrica. Los símbolos que se utilizan para identificar a un resistor son:

R R

Resistor fijo Resistor variable(Potenciómetro)

Asociación de resistores

Generalmente se tiene un conjunto de resistores asociados, cada una con su respectiva resistencia eléctrica, a partir de ese conjunto se requiere obtener una forma para calcular una resistencia eléctrica equivalente.

Las asociaciones más básicas de resistores son en serie y paralelo.A continuación estudiaremos como obtener una resistencia eléctrica (equivalente) a partir de las dos asociaciones básicas mencionadas.

Trabajando en clase

Z Serie:R1

R2

Reqb

ba

a

Req = R1 + R2 + R3

R3

Resistencia eléctrica equivalente entre los puntos «a» y «b» de un conductor.

Z Paralelo:

b

b

a

a

R1

R2

R3

Req

1Req

1R1

1R2

1R3

= + +

Resistencia eléctrica equivalente entre los puntos «a» y «b».

Nota: Si se tiene dos resistencias eléctricas en paralelo entre dos puntos «A» y «B», la fórmula práctica para calcular la resistencia eléctrica equivalente es la siguiente:

R2

R1

RAB =R1 . R2

R1 + R2

Integral

1. A través de un conductor circula una carga de 120 C durante un minuto; calcula la intensidad de co-rriente eléctrica (en A)

Resolución: Aplicando la fórmula:

Q = It Reemplazando los datos Q = 120 C t = 1 min = 60 s. ⇒ 120 = I.60 ∴ I = 2 A

2. A través de un conductor circula una carga de 480 C drante unos 2 minutos; calcula la intensidad de corriente electrica (en A).

3. La intensidad de corriente eléctrica en un con-ductor es 0,2 A. calcula la cantidad de carga eléc-trica (en C) que pasa a través de su sección trans-versal en cinco minutos.

4. Calcula la resistencia eléctrica (en Ω) de un con-ductor de 2 m de largo y 4 × 10–6 m2 de sección trasversal. Considere que la resistividad eléctrica del conductor es ρ = 8 × 10–8 m.Ω.

UNMSM

5. Por un conductor circulan 6,4 A de corriente. De-termina el número de electrones que pasa por su sección recta en 1 min.

Resolución: Aplicando la fórmula

I.t = |e–|.n Reemplazando los datos: I = 6,4 A t = 1 min = 60 s y |e–| = 1,6 × 10–19 C. ⇒ 6,4 × 60 = 1,6 × 10–19 × n

∴ n = 24 × 1020

6. Si por un conductor eléctrico circula 1,6 A de co-rriente eléctrica. Calcula el número de electrones que pasa a través de su sección transversal en 3 min.

7. Por un conductor de sección transversal uniforme circula una corriente de 320 mA. ¿Cuál es el nume-ro de electrones que atraviesan la sección transver-sal del conductor en 0.1s? (e–=1.6 × 10–19 C)

8. Determina la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos c y p, en el caso (a) y (b) respec-tivamente.

1 Ω 2 Ω

3 Ω4 Ω 12 Ωp

pc

a) b) c

Resolución: a)

1 Ω 2 Ω

3 Ωp

c Estas resistencias estan en serie.

⇒ Req = 1 + 2 + 3 ∴ Req = 6 Ω

b)

4 Ω 12 Ω

p

c

Estas resistencias están en paralelo. ⇒ 1

Req = 1

4 + 1

12 ∴ Req = 3 Ω 9. Calcula la resistencia eléctrica equivalente (en Ω)

entre los puntos c y p.

5 Ω6 Ω

4 Ω

p

c

10. Calcula la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos a y p.

5 Ω

1 Ω

3 Ω

7 Ωa p

11. Calcula la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos c y e.

7 Ω

8 Ω

8 Ω5 Ω

e

c

12. Calcula la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos c y p.

5 Ω 4 Ω20 Ω

c

p

13. Determina la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos c y p.

3 Ω 6 Ω

9 Ω

9 Ωc p

14. Determina la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos t y p.

4 Ω

2 Ω

12 Ω

5 Ω

t

p

UNI

15. Determina la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos c y p.

c

p

4 Ω

1 Ω

9 Ω

3 Ω

20 Ω

Resolución:

c

p

serie

serie

4 Ω

1 Ω

9 Ω

3 Ω

20 Ω

p

c

5 Ω

20 Ω

12 Ω

⇒

Estos estan en paralelo ⇒ 1

Req = 1

5 + 1

20 + 1

12 ∴ Req = 3 Ω

16. Determina la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos a y b.

a

b

4 Ω

2 Ω

2 Ω

2 Ω

12 Ω

17. Calcula la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos u y p, en el caso (a) y (b) respec-tivamente.

a) u

p

6 Ω

8 Ω

3 Ω

b) u

p6 Ω

7 Ω

8 Ω 3 Ω

15 Ω

18. Determina la resistencia eléctrica equivalente (en Ω) entre los puntos b y c, en el caso (a) y (b) respec-tivamente.

a) b

c6 Ω

3 Ω

4 Ω

4 Ω

2 Ω

b) b c

6 Ω 6 Ω

6 Ω

Los ejemplos relaciones con la corriente eléctrica son variados, yendo desde las grandes corrientes que constituyen los relámpagos hasta las diminutas corrientes nerviosas que regulan nuestra actividad muscular. Pero nostros estamos familiarizados más con las corrientes eléctricas que circulan en los conductores solidos (en el alambrado doméstico o en los artefactos), por los semiconductores (en los circuitos integrados), por los gases (en las lámparas fluirescentes), por ciertos líquidos (en las baterías), e incluso en espacios vacíos (los tubos de imagen de TV).Como se estudió en el tema anterior, para que se produzca una corriente sobre un conductor debe establecerse una diferencia de potencial, o también llamado voltaje. Uno de los primeros físicos que estudio la relación entre intensidad de corriente, voltaje y resistencia eléctrica fue Georg Simon Ohm (1787 - 1854); luego de un arduo trabajo concluyo su estudio enunciando una formula, a la cual luego se le denomino Ley de Ohm.

La ley de OhmSe califica así a las conclusiones teórico prácticas logradas por Georg Simon Ohm en lo referente a la conductividad uniforme de la mayoría de resistores metálicos a condiciones ordinarias.Si se tiene el siguiente circuito:

I + –

R

VSe cumple:

R = VI

De manera práctica se enuncia la ley de Ohm mediante la siguiente ecuación:

V = I.R


V: diferencia de potencial o voltaje (V).I: intensidad de corriente eléctrica (A).R: resistencia eléctrica (Ω).Todo conductor, cuya resistencia eléctrica no cambia, se denominará óhmico y la gráfica V-I tendrá la siguiente forma:

PV

V

V1

I1O IIq

Además de la gráfica se deduce lo siguiente:

Tangq = R

Aplicación práctica de la ley de OhmSi tenemos en un circuito varias resistencias y voltajes, se puede establecer una formula practica para solucionar este tipo de situaciones.Para explicar este caso práctico se presenta el siguiente circuito, en el cual se pide calcular la intensidad de corriente eléctrica que circula en el circuito.

V1 = 30V V2 = 60VR2 = 3Ω

R3 = 4Ω

V3 = 70V

1Ω = R1

Luego dibujamos las intensidades de corriente eléctricas que «salen» de cada voltaje:

V3 = 70V

I2

I3I1

V1 = 30V V2 = 60VR2 = 3Ω

R3 = 4Ω1Ω = R1

ELECTRODINÁMICA II

Luego aplicamos la formula práctica de la ley de Ohm aplicado a este tipo de circuitos:

Veq = Ieq . Req

Para obtener la resistencia equivalente (Req) en el circuito se aplica las formulas ya mencionadas y practicadas en el capítulo anterior. En este caso se asume de manera práctica que las resistencias se encuentran en serie, de tal manera que la resistencia equivalente se calcula de la siguiente manera:

Req = 1 + 3 + 4 ⇒ Req = 8Ω

Para obtener el voltaje equivalente se tiene que tener en cuenta las direcciones de las corrientes de cada voltaje; de esta manera aquellos voltajes, cuyas intensidades de corrientes eléctricas siguen la misma dirección, se suman y a este resultado se le resta los voltajes cuyas intensidades van en dirección opuesta.Del circuito anterior calculamos el voltaje equivalente:

Veq = 30 + 70 – 60 ⇒ Req = 40 V

Luego reemplazando en la formula práctica de la ley de Ohm:

40 = Ieq × 8∴ Ieq = 5 A

Instrumentos de medición eléctricos1. Amperímetro ( A ) Se emplea para medir la intensidad de corriente

que pasa a través de un conductor o una resisten-cia. El amperímetro es conectado en serie y por ello se diseña con la menor resistencia posible. Cuando se dice que el amperímetro es ideal, se considera que la resistencia interna es cero.

AI R

2. Voltímetro ( V ) Se emplea para medir la diferencia de potencial

entre dos bornes del circuito o entre los bornes de una resistencia.

Se conecta en paralelo y por ello se diseña con la «mayor» resistencia interna posible.

Un voltímetro se denomina ideal cuando asumi-mos que su resistencia interna es muy grande, de tal manera que impide el paso de la corriente eléctrica a traves de él.

V

A BI

Observaciones importantesTeniendo en cuenta el siguiente gráfico se enuncia los conceptos de NUDO y MALLA.

D

A

C

B

V1 V2

V3

R3R1 R2

A. Nudo: Es el punto de unión de 3 o más ele-mentos eléctricos, como por ejemplo del grá-fico son los puntos A, B, C y D.

B. Malla: Es un circuito eléctrico cerrado senci-llo por ejemplo del gráfico es el circuito for-mado por los puntos A - B -C - D - A

Leyes de Kirchhoff1. Primera ley de Kirchhoff (Ley de los nudos) La suma de corrientes que entran a un nudo es

igual a la suma de corrientes que salen del nudo.

I2

I3A

I1

En el nodo «A»:

I3 = I1 + I2

En general:

∑I = ∑Ientran al

nudosalen alnudo

2. Segunda ley de Kirchhoff (Ley de Mallas) La suma algebraica de las fuerzas electromotrices

(f.em) de una malla cualquiera, es igual a la suma algebraica de los productos de las intensidades por las respectivas resistencias.

R1

R2

I1I1

ε1

ε2

Suma de las fem = Suma de las (IR)

⇒ ∑ε = ∑IR

Del circuito mostrado, podemos plantearnos la siguiente ecuación:

ε1 + ε2 = I1R1 + I2R2

Potencia eléctrica (P)Es aquella magnitud escalar que mide la rapidez con que una máquina o dispositivo transforma y/o consume la energía eléctrica.

VI +

R

P = VI = I2R = V2

R


Z P: potencia eléctrica, se mide en watt (W). Z V: voltaje (V). Z I: intensidad de corriente eléctrica (A). Z R: resistencia eléctrica (Ω).


1. Calcula la intensidad de corriente eléctrica (en A) que circula en el circuito.

40 V 6 Ω

2 Ω

Resolución:Calculando primero la resistencia equivalente.

40 V 6 Ω

2 Ω

Req = 8 Ω

Luego aplicando la fórmulaV = I . Req

⇒ 40 = I . 8∴ I = 5A


30 V

1 Ω

2 Ω

7 Ω

3. Determina la intensidad de corriente eléctrica (en A) que suministra la batería de 10 V.

10 V 3 Ω 6 Ω

4. Determina la resistencia eléctrica «R».

6 Ω

32 V

I = 4AR

+ –

UNMSM5. Calcula la lectura del voltímetro ideal.

+

–20 V

4 Ω

6 Ω V

ResoluciónCalculando la intensidad de corriente.

+

–20 V

4 Ω

6 Ω VI

10 Ω = Req

⇒ V = I . Req

20 = I . 10⇒ I = 2ALuego tomando solo al voltímetro⇒ V = 2 × 6 = 12V

6. Calcula la lectura del voltímetro ideal.

+

–24 V

3 Ω

5 Ω V

7. En el circuito mostrado determina la intensidad de corriente eléctrica que suministra la batería.

6 Ω 6 Ω 6 Ω

10 V

8. Calcula la lectura que marca el amperímetro.

2 Ω

5 Ω

3 Ω

2 Ω

A

90 V

30 V

60 V

ResoluciónAnalizando el gráfico.

2 Ω

5 Ω

3 Ω

2 Ω

90 V

30 V

I1

I2

I3

60 V

Aplicando la fórmula práctica de la ley de Ohm. ΣV = Ieq . Req

90 + 30 – 60 = Ieq . 12∴ Ieq = 5A

9. Calcula la lectura que marca el amperímetro.

5 Ω5 Ω

4 Ω

1 Ω

A

30 V

15 V

75 V

10. Determina la lectura que marca el amperímetro.

A

1 Ω

4 Ω

2 Ω

1 Ω

2 V 4 V

6 V

8 V

11. Determina la potencia disipada en el resistor de 8Ω del circuito mostrado en la figura adjunta. (Despre-ciar las resistencias internas de las baterías).

4 Ω

8 Ω

12 V+ +– –

6 V


5 Ω

2 Ω15 Ω

40 Ω24 V

80 V

6 V

13. Determina el valor de la resistencia eléctrica R si el amperímetro registra un valor de 6A.

2 Ω

1 Ω

40 V

20 V

R 80 V

A

14. Calcula la intensidad de corriente eléctrica (en A) que circula por la resistencia de 9Ω.

169 V

13 V 4 V

4 Ω

6 Ω

2 Ω9 Ω

UNI

15. En el circuito que se muestra en la figura, deter-mina la intensidad de corriente eléctrica (en A) que circula a través de la resistencia de 2Ω.

7 Ω 2 Ω

2 V

4 V

10 V

ResoluciónEl método práctico indica que solo se necesita la malla de la derecha debido a que nos piden la in-tensidad de corriente en la resistencia de 2Ω.

7 Ω 2 Ω

2 V

4 V

10 V

Luego:

2 Ω

2 V

4 V

I2

I1

Aplicamos el caso práctico:∑V = Ieq . Req4 – 2 = Ieq . 2 ∴Ieq = 1A

16. Calcula la intensidad de corriente eléctrica (en A) que circula por la resistencia de 5Ω.

2 Ω

1 Ω

5 Ω8 Ω

16 V

18 V

6 V

17. Calcule la corriente en A, a través de la resistencia de 20Ω del circuito mostrado en la figura.

10 Ω 30 Ω 20 Ω

82,5 V

18. Dos resistencias de 4Ω y 6Ω, se conectan en pa-ralelo y se le aplica una diferencia de potencial de 12 V por medio de una batería. Calcule la poten-cia, en watts, suministrada por la batería.

12 V 4 Ω 6 Ω

La lista de aplicaciones tecnológicas importantes del electromagnetismo es muy amplia. Por ejemplo, grandes electroimanes se utilizan para transportar cuerpos pesados, así también a permitido desarrollar aparatos muy utilizados en nuestra vida diaria tales como los transformadores, motores, bocinas, las cintas magnéticas de audio y video, etc.El objetivo de este capítulo consiste en estudiar la relación entre la corriente eléctrica y el magnetismo (específicamente, los campos magnéticos).

MAGNETISMOEl fenómeno del magnetismo fue conocido por los griegos desde el año 800 A.C. Ellos descubrieron que ciertas piedras, ahora llamadas magnetita (Fe3O4), atraían piezas de hierro. La leyenda adjudica el nombre de magnetita en honor al pastor Magnes, «los clavos de sus zapatos y el casquillo (o punta) de su bastón quedaron fuertemente sujetos a un campo magnético cuando se encontraba pastoreando su rebaño».En física se dice que un cuerpo posee la propiedad de magnetismo, cuando atrae (o repele) piezas de hierro.

Acontecimientos históricos1269: Pierre de Maricourt, enuncia que un imán posee dos polos, los cuales posteriormente son denominados polo norte y polo sur.

1600: William Gilbert, utilizando el hecho de que una aguja magnética (brújula) se orienta en direcciones preferidas, sugiere que la Tierra es un gran imán permanente.

1750: Jhon Michell, utilizando una balanza de torsión demostró que los polos magnéticos se ejercen fuerzas de atracción y repulsión entre sí, y que estas fuerzas varían con el inverso del cuadrado de la distancia de separación.

1819: Hans Oersted, descubrió la relación entre el magnetismo y la electricidad.

Definición y propiedades del campo magnéticoAl igual que el campo eléctrico es generado por una carga eléctrica y a su vez los cuerpos con masa generan un campo gravitacional; todo iman y toda carga eléctrica en movimiento o una corriente eléctrica generan un campo magnético en el espacio circundante. Para cuantificar el campo magnético en cada punto, definimos la magnitud física vectorial inducción magnética B la cual tiene como unidad en el S.I. el tesla (T).

Para representar gráficamente el campo magnético del imán, trazaremos unas líneas denominado líneas de campo magnético.

A continuación analizaremos los campos magnéticos para el caso de un imán y conductores lineales.

Para un imán

B2

B1

B

Vector InducciónMagnética

Clavo

Líneas de campomagnético

S

N

El imán atrae al clavo gracias al campo que la rodea y que es capaz de ejercer acción a distancia.

Para una corriente eléctricaEl físico danés Hans Oersted Logro comprobar experimentalmente que una corriente eléctrica produce efectos magnéticos. El descubrió de manera casual que al hacer circular una corriente eléctrica por un cable conductor, éste lograba desviar la aguja imantada de una brújula, lo que probaba que el movimiento de las cargas eléctricas genera alrededor de éstas un campo magnético.

ELECTROMAGNETISMO I

Aguja imantada

¡No pasa nada!

I ≠ 0I=0

Se puede concluir de la experiencia de Oersted que toda corriente eléctrica genera un campo magnético en el espacio circundante.Para representar el campo magnético asociado al conductor rectilíneo, Oersted coloco al conductor en forma perpendicular al plano de la mesa donde coloc varias agujas imantadas.

NorteGeográfico

Las agujas apuntanhacia el norte geográfico(I = 0)

Si el conductor transporta una corriente eléctrica, las agujas imantadas de desvían:

I

Todas las agujas imantadas que se encuentran a igual distancia del conductor, se orientan formando «circunferencias concéntricas», cuyo centro se encuentra a lo largo del conductor.Graficando las líneas de campo magnético se obtienen el siguiente gráfico:

B1 B2

R VectorInducciónMagnética

Líneas decampo

magnético

I

Las líneas del campo magnético son circunferencias concéntricas que se van separando entre sí a medida que nos alejamos del centro (del conductor).

Al observar al conductor de punta, con la corriente dirigida hacia el observador se notará que las líneas de campo van en sentido antihorario mientras que si se observa por el otro extremo se las verá en sentido horario.

I

Líneas del campo

I

Líneas del campo

Regla de la mano derechaPara determinar el sentido de las líneas del campo se procede a coger el conductor de manera que el debo pulgar señale el sentido de la corriente, entonces los dedos restantes cerrarán la mano en el mismo sentido de las líneas de fuerza.

Vista de perfil (2D)

xI B

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Ley de Biot – SavartPocas semanas después de conocerse el descubrimiento de Oersterd, los físicos Jean B. Biot y Félix Svart investigaron sobre la intensidad de los campos magnéticos creados por cirrientes eléctricas. A estos trabajos se sumaron los aportes de André M. Ampere y Pierre S.Laplace.Estableceremos las ecuaciones para calcular las inducciones magnéticas (B ) a una determinada distancia de conductores lineales por donde circulan corrientes eléctricas.

1. Para un segmento conductor rectilíneo

d

p

I

ba

El módulo de la inducción magnética en el punto «P» se calcula aplicando la siguiente ecuación:

B = m0i4pd

(Cosa + Cosb)


B: módulo de la inducción magnética (T) i: intensidad de corriente eléctrica (A) d: distancia de separación entre el punto «P» y el

conductor (m) m0: permeabilidad magnética del espacio libre,

cuyo valor es 4p × 10–7 Tm/A

2. Para un conductor rectilíneo muy largo (infinito)

d

I

P

El módulo de la inducción magnética en el punto «P» se calcula aplicando la siguiente ecuación:

B = m0

2p. id

Reemplazando en la ecuación el valor de permea-bilidad magnética «m0», obtenemos:

B = 2 × 10–7. id

3. Para un conductor rectilíneo tipo arco

q

r

rO i

El módulo de la inducción magnética en el punto «O» se calcula aplicando la siguiente ecuación:

B = iqm0

4pr

Donde: q: ángulo del arco (radianes) r: radio del arco (m)

4. Para un conductor circular o espira circular

O

rI

El módulo de la inducción magnética en el punto «O» se calcula aplicando la siguiente ecuación:

B = m0

2. ir

Reemplazando en la ecuación el valor de la per-meabilidad magnética «m0», obtenemos:

B = 2p × 10–7. ir

Integral

1. C alcula el módulo de la inducción magnética (en T) a 2 m de un cable rectilíneo muy largo, que transporta una corriente de 30 A.Resolución

30A 2m

Aplicando la fórmula del conductor rectilíneo muy largo:

Trabajando en clase B = 2 × 10–730/2 ∴ B = 3 × 10–6 T

2. Calcula el módulo de la inducción magnética (en T) a 2 cm de un cable rectilíneo muy largo, que trans-porta una corriente de 4 A.

3. Determina el módulo de la inducción magnética (en T) en el centro de una espira circular de un conductor de radio igual a p cm y por el cual fluye una corriente y 1 A.

4. Determina el módulo de la inducción magnética (en T) en el punto «P» en cada caso (a) y (b) re-pectivamente.a)

9A 6cm

Conductormuy largo

P

b)

5cm

25A

P

UNMSM

5. Calcula a qué distancia (en cm) de un conductor rectilíneo muy largo; por el cual pasa por la co-rriente de 50 A, la intensidad de campo magnéti-co es 2.10–4 T.Resolución:

Graficando el problema:

50AB = 2 × 10–4 T

d = ?

Aplicando la fórmula del conductor rectilíneo muy largo:

2 × 10–4 = 2 × 10–7 50/d ⇒ d = 5 × 10–2 m ∴ d = 5 cm

6. Un alambre rectilíneo muy largo debe producir una inducción magnética de módulo 2.10–6 T a 8 × 10–1 m de este alambre. ¿Qué intensidad de corriente eléctrica (en A) debe pasar por este alambre?

7. Por un alambre rectilíneo infinito circula una de-terminada corriente eléctrica. Si la magnitud del campo magnético a 4 cm del alambre es 5 × 10–6 T, ¿cuál es la magnitud del campo magnético a 5 cm del alambre?

8. Una espira circular por el cual fluye una corriente eléctrica de 60 A, produce una inducción magné-tica de módulo 4p × 10–5 T. Determina la longitud del radio (en m) de la espira circular.Resolución

Graficando el problema:

RBC = 4p.10–5 T

60A

Aplicando la fórmula del conductor circular: BC = 2 × 10–7. I

R Reemplazando los datos I = 60A y BC = 4p × 10–5T ⇒ 4p × 10–5 = 2p × 10–7.60

R ∴ R = 3 × 10–1 m

9. ¿Cuál debe ser el tamaño del radio (en m) de una espira circular para que la inducción magnética en su centor sea igual a 6,28 × 10–4 T si la corrien-te eléctrica que circula por ella una intensidad de 300 A?

10. Determina el módulo de la inducción magnéti-ca (en mT) en el punto «A». La intensidad de co-rriente eléctrica en el conductor es I = 2A.

A

R=20cm

I

Circunferencia

11. Detemina el módulo de la inducción magnética (en T) en el punto «P».

37°

A

Pi = 6A

20cm

Conductor muy largo

12. Calcula el módulo de la inducción magnética (en T) a 7 m de un cable rectilíneo muy largo, que transporta una corriente de 14 mA.

13. Determina el módulo de la inducción magnética (en T) en el centro de una espira circular de un conductor de radio igual a 4p cm y por el cual fluye una corriente y 36 A.

14. Determina el módulo de la inducción magnética (en T) en el punto «P».

74°50cm48A

P

UNI

15. Se muestran dos conductores rectilíneos de gran longitud, por los cuales circulan corrientes eléc-tricas. Determina el módulo de la inducción magnética (en mT) en el punto «M», equidistante de los conductores (I = 2A).

M

10cm

2I

IConductor muylargo

Conductor muylargo

Resolución: Analizando la gráfica:

4A 2AB1 B2

M

10cm 10cm(1) (2)

x x

Del gráfico se observa que por el método vecto-rial la inducción magnética resultante se calcula sumando cada componente:

BR = B1 + B2

⇒ BR = 2 × 10–7. 410×10–2

+ 2 × 10–7 × 210×10–2

⇒ BR = 12 × 10–6 T ∴ BR = 12 m T

16. Determina el módulo de la inducción magnética (en T) en el punto medio «P» del segmento que une los conductores rectilíneos de gran longitud, por los cuales circula corrientes eléctricas. (I = 3A)

P

2mm

2II

17. Calcula la inducción magnética (en T) en el pun-to «O». Considerar que los conductores rectilí-neos son muy largos.

Pa 3a

2I 9I

18. Calcule la intensidad del campo magnético, en T, que genera una corriente eléctrica I = 10 A en el borde de un alambre rectilíneo de radio R = 2 mm. m0 = permeabilidad del vacío.

m0 = 4p × 10–7 Tm/A

Las auroras boreales son un ejemplo del poder de que tienen las fuerzas magnéticas.El campo magnético de la tierra ejerce fuerzas sobre las partículas cargadas radiactivas que provienen del espacio principalmente del sol, si estas partículas llegaran a la superficie terrestre no sería posible la vida en la tierra. La fuerza que se ejercen a estas partículas el campo magnético terrestre los desvía hacia los polos, al rozar el gran número de partículas sobre la atmosfera polar, se desprende luces de diferentes colores. Estas luces son denominadas auroras.

Fuerza magnética sobre una carga móvil

Debido a que una carga en movimiento genera su propio campo magnético, al ingresar a otro campo magnético se produce una interacción entre ellos, lo cual origina fuerzas de naturaleza magnética, cuya dirección será normal al plano que forman la velocidad (V) y el campo (B), y cuando la carga es positiva, su sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

B

qa V

Fmag

Fmag = qvBsena


Fmag: módulo de la fuerza magnética (N).B: módulo de la inducción magnética externa (T),.q: cantidad de carga eléctrica (C).v: módulo de velocidad de la carga móvil (m/s).a: ángulo formado por la velocidad y la inducción magnética externa.

Fuerza magnética sobre un conductor por el cual circula una corriente eléctrica

Cuando un conductor se encuentra dentro de un campo magnético, cada una de las cargas que el conduce experimentan fuerzas cuya resultante será normal al plano que formen el conductor y el campo magnético. Su sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

Ba

Fmag

LI

Fmag = BILSena


Fmag: módulo de la fuerza magnética (N).B: módulo de la inducción magnética externa (T).I: intensidad de corriente que circula en el conductor (A).L: longitud del conductor eléctrico (m).a: ángulo formado por la velocidad y la inducción magnética externa.

Regla de la mano derechaEsta es una regla que sirve para determinar la dirección de la fuerza magnética, tanto en el caso de una carga móvil y un conductor rectilíneo.

B

V

I

F

ELECTROMAGNETISMO II

Trabajando en clase

Integral

1. Una partícula cargada con + 5C ingresa a un cam-po magnético de intensidad 4.10–3 T con una ve-locidad de módulo 2.104 m/s. Si la velocidad de la partícula forma un ángulo de 30° con el vector de inducción magnética, calcula el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre la partícula.

Resolución: Graficando el problema:

Inducción electromagnéticaEn esta parte se estudia cómo se genera corriente eléctrica a partir de un campo magnético variables. Para ello es necesario definir el concepto de flujo magnético.Flujo magnético (f): si a través de una superficie existen líneas de inducción que la atraviesan, se dice que a través de dicha superficie existe un flujo magnético. La unidad es en SI del flujo magnético es el webber (Wb)

f = BACosa

aa

aa

A

BN

Donde además se cumple:B: módulo de la inducción magnética externa (T)A: área (m2).a: ángulo formado por la inducción magnética externa y el vector normal de la superficie.

Casos especiales: B

A

f = 0

B

A

f = BA

Ley de Faraday

Cada vez que en un circuito cerrado o conjunto de N espiras (bobina), se produce una variación de flujo magnético, aparecerá en el una corriente denominada corriente inducida, donde la rapidez con que se varia el flujo nos da la fuerza electromotriz inducida.

ε = –N |∆f|∆t


ε: Fuerza electromotriz o voltaje (V)N: número de espiras.∆f: variación de flujo magnético (Wb).∆t: intervalo de tiempo (S).

V = 2 × 104 m/s

B = 4 × 10–3 T30°q = + 5C

Aplicando la fórmula para calcular el módulo de la fuerza magnética.

FM = |q|.V.B.Sena

Reemplazando los datos ⇒ FM = 5 × 2 × 104 × 4 × 10–3.Sen30° ∴ FM = 200 N

2. Una partícula cargada con –30C ingresa a un campo magnético de intensidad 4.10–3 T con una velocidad de módulo 5.104 m/s. si la velocidad de la partícula forma un ángulo de 37° con el vector de inducción magnética, calcula el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre la partícula.

3. Calcula el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre el conductor.

4m30°

I = 5A

A

B

Bext = 7T

4. Determina el módulo de la fuerza magnética (en N).

Bext = 6T

3 cm

37°

I = 50A

UNMSM

5. La figura muestra un conductor recto de 2 m de longitud sobre el cual circula una corriente eléc-trica de intensidad I = 0.2A. Si el campo magnéti-co externo tiene un módulo de Bext = 50T. Calcula el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre el conductor.

Bext

I

Resolución: Aplicando la fórmula del módulo de la fuerza

magnética.FM = BIL Sena

"a" es igual a 90°, debido a que el Bext entra per-pendicular a la hoja donde se encuentra el con-ductor.

⇒ Reemplazando los datos FM = 50 × (0,2) × 2 × Sen90°

∴ FM = 20 N

6. La figura muestra un conductor recto de 3 m de longitud sobre el cual circula una corriente eléc-trica de intensidad l = 8A. Si el campo magnético externo tiene un módulo de Bext = 4T. Determina el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre el conductor.

I

Bext

7. La carga eléctrica «q» de 2 mC ingresa con una rapidez de V = 100 m/s a un campo magnético de intensidad Bext = 40 kT. Determina el módulo de la fuerza magnética sobre la carga. (en kN)

+q

V

Bext

8. Determina el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre el conductor.

3 m

4 m I = 4A Bext = 5T

Resolución: Aplicando el método práctico.

3 m

4 m B

Se reemplazapor esteconductor

I = 4A

L = 5m

Luego aplicando la fórmula:FM = BIL Senxa

90° ⇒ FM = 5 × 4 × 5 N ∴ FM = 100 N

9. En el esquema mostrado la corriente que circula por el conductor es l = 0.5A y está sometido a la acción de un campo magnético externo Bext =4T. Calcula el módulo de la fuerza neta (en N) que actúa sobre el conductor debido al campo mag-nético.

I

I

Bext

15 cm

20 cm

10. Determina el módulo de la fuerza magnética (en N) sobre el conductor doblado en forma de semi-circunferencia de radio 25cm. Considerar que a través del conductor circula una coriente eléctrica de I = 0,5A de intensidad.

I

Semicircunferencia

Bext = 20T

11. Determina el flujo magnético (en Wb) que atra-viesa la superficie cuadrada.

37°

4m

4m

Bext = 10T

12. Calcula el modulo de la fuerza magnética (en N) sobre la carga q.

4T = B

6 m/s = V

q = 6C

13. Calcula el modulo de la fuerza magnética (en N) sobre el conductor.

B = 10–2T

30°

L = 2mI = 10A

14. Determina la magnitud de la fuerza magnética sobre la partícula q.

B = 4T

V = 12 m/s

150°

q = 2C

UNI

15. Una bobina de 500 espiras, es sacada en 2s de un lugar donde el flujo magnético era 31 × 10–2 Wb a otro donde es 1 × 10–2 Wb. Calcula el voltaje inducido (en V) en la bobina.

Resolución:

∆t = 2s

∅i = 31.10–2 Wb ∅f = 10–2 Wb

⇒ N = 500

Luego aplicando la fórmula de la Ley de Faraday

⇒ ε = –500(10–2 – 31 × 10–2)2

ε = 75V

16. Una bobina de 300 espiras, es sacada en 3s de un lugar donde el flujo magnético era 29 × 10–2 Wb a otro donde es 2 × 10–2 Wb. Determina el voltaje inducido (en V) en la bobina.

17. Se tiene una bobina cerrada compuesta por 20 es-piras, la cual se encuentra en una región donde el flujo magnético que experimenta varía de 180Wb a 60Wb en 2 segundos. ¿Cuál es el valor medio del voltaje inducido (en V) en dicha bobina?

18. En la figura se muestra un alambre ACD doblado

en C, por la cual circula una corriente eléctrica de

I = 10A intensidad; si el valor de q es 60° y el cam-po magnético tiene una intensidad de Bext = 10 T. ¿Cuál es la fuerza (en N) que actua sobre dicho alambre, si: A = 5 cm y CD = 3 cm?

I

I

A

C

D

Bext

q

El descubrimiento de las ondas electromagnéticas (OEM) permitió el desarrollo de las comunicaciones, fue Henrich Hertz quien descubrió las ondas electromagnéticas a finales del siglo XIX, esto permitió comprobar la teoría de James Clerk Maxwell (1831 - 1879) el cual predijo que la luz es una onda electromagnética de energía continua.

También a finales del siglo XIX se descubren nuevos fenómenos que no se podían explicar por las teorías clásicas lo cual trajo como consecuencia la introducción de nuevas ideas y por lo tanto el desarrollo de nuevas teorías como la teoría cuántica, la teoría de la relatividad, etc.

Uno de las más importantes teorías establecidas en el siglo XX fue la teoría cuántica. La teoría cuántica se inició con el problema del cuerpo negro y cuya solución fue planteada por Max Planck a inicios del siglo XX; una de las condiciones que establecía esta solución era que la luz o radiación electromagnética (energía) este cuantizada.

Otro de los fenómenos que se logró explicar con la teoría cuántica fue el Efecto Fotoeléctrico, cuya solución fue planteda por Albert Einstein y por lo cual fue acreedor al premio Nobel.

En este capítulo se estudiara a la luz y sus diferentes comportamientos (ondulatorio y corpuscular), así también se estudiara el efecto fotoeléctrico, debido a que es una aplicación directa de la Física Cuántica.

Carácter ondulatorio de la luzPara este carácter la luz actúa como un conjunto de ondas, las cuales se propagan a partir de una fuente de luz. Algunos fenómenos que se pueden explicar con este carácter son: la reflexión, la refracción, interferencia, difracción, polarización, etc.

Fuente de luz

Las ondas que pasan a través de una superficiegrande se programa en diferentes direcciones

La luz con carácter ondulatorio suele ser denominado ondas electromagnética (OEM), debido a que el científico James Clerk Maxwell pudo comprobar teóricamente que la luz está compuesta por los campos eléctrico y magnético simultáneamente.La representación de una OEM viajando en el vacío (o aire) se ilustra a continuación:

x

y

z

cO

B

B

BE

E

E

Donde:E: Componente eléctrica de la OEM.B: Componente magnética de la OEM.

Además se cumple para un determinado instante la siguiente ecuación:

E = cB

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:E: módulo del campo eléctrico (N/C).B: módulo de la inducción magnética (T).c = 3 × 108 m/s es la rapidez de la luz.

FÍSICA MODERNA

Las ondas electromagnéticas tienen determinadas características. Podemos representar y definir estas características a partir del siguiente gráfico de la componente eléctrica de una OEM.

Longitud deonda APeriodo

T

A

A

E(N/C)

t

De la gráfica se define: Z La longitud de onda (λ): es la distancia entre dos

crestas (o valles). Su unidad en el SI es el metro (m).

Z Periodo (T): es el tiempo que demora en transitar una longitud de onda en el espacio (o medio). Su unidad en el SI es el segundo (s).

Z Frecuencia (f): magnitud física que nos cuantifi-ca cuantas ondas se generan por unidad de tiem-po. También se define y calcula como la inversa del periodo. Su unidad en el SI es el Hertz (Hz).

Espectro electromagnéticoLas ondas electromagnéticas cubren un espectro (conjunto) extremadamente amplio de longitudes de onda y frecuencia. Algunos ejemplos de ondas que se encuentran dentro de este espectro son: las ondas de radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x y los rayos gamma. A continuación se muestra el esquema del espectro electromagnético.

A pesar que las OEM difieren en frecuencia «f» y longitud de onda «λ», todas las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío con la misma rapidez, c = 3 × 108 m/s, cumpliéndose además la siguiente ecuación:

c = λ.f

Caracter corpuscular de la luzEn este caso la luz actúa como un conjunto de corpúsculos o partículas que se emiten desde una fuente de luz. Algunos ejemplos que pueden ser explicados con este carácter son: la radicación de cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, los niveles de energía en un átomo, etc.

Cada partícula de luz es denominada cuanto o fotón, un cuanto (o fotón) es la mínima cantidad de energía en la naturaleza.

La energía de un cuanto (o fotón) de una luz, se calcula aplicando la siguiente ecuación:

Ef = h.f

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:Ef: energía de un cuanto o fotón (J).f: frecuencia de la luz (Hz).h = 6,63 × 10–34 J.s es la constante de Planck.

Para calcular la energía de «n» cuantos (o fotones) de una luz, se aplicara la siguiente ecuación:

Ef = n.h.f

Cuanto

Dualidad de la luz y el principio de comple-mentariedadLuego de varios acontecimientos y experimentos se llegó a la conclusión de que la luz (energía) tiene un carácter dual de Onda y Partícula las cuales son mutuamente complementarias. Esta conclusión fue enunciada por Niels Bohr en 1928 en su denominado Principio de complementariedad. En este principio se dice que la luz necesita de las dos descripciones (onda y partícula) para poder entender a la naturaleza, pero a su vez nunca necesitaremos usar ambas al mismo tiempo para poder explicar un solo fenómeno.

Aplicando este principio también se puede calcular la energía de «n» fotones de una luz, teniendo en cuenta su longitud de onda, mediante la siguiente ecuación:

Ef = n h.cλ

Efecto fotoeléctricoEs aquel fenómeno en el cual, ciertas placas metálicas emiten electrones cuando se someten a la acción de luz. El fenómeno se hace más acentuado cuando las radiaciones son de alta frecuencia (ondas ultravioletas) y con metales como el cesio, el sodio y el potasio.

– –––

+++ +

++

luz

placa metálica

En 1905 Albert Einstein, científico alemán nacionalizado en EE. UU. propuso basarse en los estudios de Max Planck (el Cuantum) para poder explicar dicho fenómeno.

Einstein llamó al Cuantum de luz: Fotón o partícula de luz.

Con esto la luz es tratada como si tuviera naturaleza corpuscular. Al igual que Planck, Einstein planteó su modelo matemático, el cual fue afinado hasta que al final obtuvo una ecuación que permitió explicar el efecto fotoelétrico.

Explicación del efecto fotoeléctricoA continuación se presenta un esquema práctico del fenómeno efecto fotoeléctrico:

e–

Ef

Ekmax

f0

En este esquema se observa a un fotón, el cual es absorbido totalmente por un electrón de la placa metálica. La placa a su vez posee una propiedad denominada función trabajo (f0), la cual representa la energía mínima para poder extraer a un electrón. Si la energía del fotón, absorvido por el electrón, es mayor a la función trabajo, entonces se emitirán electrones de la placa, a los electrones emitidos Einstein los llamo fotoelectrones.Matemáticamente se cumple:

Ef = Ekmax + f0

Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el S.I. son:Ef: energía de un fotón (J).Ekmax: energía cinética máxima del electrón (J).f0: función trabajo (J).

Si la luz que incide sobre placa no logra emitir electrones (Ekmax = 0), pero si los logra sacar a la superficie de la placa, entonces la frecuencia asociada a esta luz se denomina frecuencia umbral (fumbral), cuyo valor se calcula mediante las siguientes expresiones:

fumbral =f0

h

La longitud de onda asociada a esta frecuencia umbral es denominada longitud de onda máxima:

λmáxima =hcf0

Observación: Z Las energías y funciones trabajo se suelen expre-

sar en electrón volt (eV), la cual se define: 1 eV ≈ 1,6 × 10–19 J

Z La constante de Planck en unidades de eV es:h ≈ 4,15 × 10–15 eV

Z Es necesario para solucionar los problemas, las siguiente equivalencias:

1mm = 10–6 m 1nm = 10–9 m 1 angstrom ⇒ 1A

o = 10–10 m

Integral

1. Si la frecuencia de una OEM es 2 × 1014 Hz, cal-cula su longitud de onda (en m). (Considere c = 3 × 108 m/s).Resolución:Aplicando la fórmula:C = λ × fReemplazando los datos f = 21014 Hz y C = 3 × 108 m/s⇒ 3 × 108 = λ × 2 × 1014

∴ = 1,5 × 10–6 m

2. Calcula la longitud (en m) de una OEM cuya fre-cuencia es 3 × 1010 Hz. (Considere c = 3 × 108 m/s)

3. Determina la frecuencia (en Hz) de una OEM que tiene una longitud de onda de 30 m. (Consi-dere c = 3 × 108 m/s)

4. En cierto instante una OEM posee una inducción magnética de modulo 12 × 10–10 T. Si esta se pro-paga en el vacío calcula el módulo de la intensi-dad del campo eléctrico (en N/C) en ese instante. (Considere c = 3 × 108 m/s)

UNMSM

5. Calcula frecuencia (en Hz) de un fotón de rayos X si su longitud de onda es 50A

o. (Considere c = 3

× 108 m/s)ResoluciónAplicando la ecuación del caracter ondulatorio de la luzC = λ × fReemplazando los datos λ = 50A

o = 50 × 10–10 m

c = 3 × 108 m/s⇒ 3 × 108 = 50 × 10–10 × f∴ f = 6 × 1016 Hz

6. La longitud de onda de un fotón de rayos X es 6Ao

. Determina la frecuencia (en Hz) asociado a este fotón. (considera c = 3 × 108 m/s)

7. Si se sabe que una onda electromagnética de 40,0 Mhz de frecuencia viaja en el espacio libre, deter-mine el producto de su periodo por su longitud de onda. (Considere c = 3 × 108 m/s)

Trabajando en clase

8. Determina la energía (en J) del fotón de una OEM cuya frecuencia es 50 MHz. (Considere h = 6,63 × 10–34 J.s, c = 3 × 108 m/s)ResoluciónAplicando la fórmula de la energía para fotonesEN = n × h × fReemplazamos los datos n = 1, f = 50MHz = 50 × 106 Hz y h = 6,63 × 10–34 J.s.EN = 1 × (6,63 × 10–34) × (50 × 106)∴ EN ≈ 3,3 × 10–26 J

9. Calcula la energía (en J) del fotón de una OEM cuya longitud de onda es 9nm. (Considere h = 6,63 × 10–34 J.s, c = 3 × 108 m/s)

10. Determine la energía (En J) de 5 fotones de una luz cuya frecuencia es 8 MHz. (Considere h = 6,63 × 10–34 J.s

11. Si un láser emite radiación con una longitud de onda de 1000 nm. ¿Cuántos fotones serán necesa-rios para alcanzar una energía de 6.21 eV? (Con-sidere h = 4.14 × 10–15 eV.s, c = 2.998 × 108 m/s)

12. Determina la energía (en J) del fotón de una OEM cuya frecuencia es 5 MHz. (Considere h = 6,63 × 10–34 J.s, c = 3 × 108 m/s)

13. Calcula la energía (en J) del fotón de una OEM cuya longitud de onda es 3mm. (Considere h = 6,63 × 10–34 J.s, c = 3 × 108 m/s).

14. Calcula la frecuencia (en Hz) de un fotón de ra-yos X si su longitud de onda es 5 nm. (Considere c = 3 × 108 m/s).

UNI15. Un haz de fotones incide sobre una superficie metáli-

ca que tiene una función de trabajo de 6,4 × 10–19 J. Si cada fotón tiene una energía de 8 × 10–19 J, calcu-la la energía cinética máxima (en eV) de los fo-toelectrones. (Considere 1 eV = 1,6 × 10–19 J).ResoluciónGraficamos el problema

e–

Ef = 8×10–19 J

Ekmax = ?

f0 = 6,4×10–19 J

Luego aplicando la formula planteada por Albert Einstein: Ef = Ekmax + f0

8 × 10–19 = Ekmax + 6,4 × 10–19

⇒ Ekmax = 1,6 × 10–19 JLuego piden en «eV»

⇒ Ekmax = 1,6 × 10–19 J 1 eV1,6 × 10–19

∴ Ekamx = 1 eV

16. Un haz de fotones incide sobre una superficie metálica que tiene una función de trabajo de 7,2 × 10–19 J. Si cada fotón tiene una energía de 10,4 × 10–19 J, calcula la energía cinética máxi-ma (en eV) de los fotoelectrones. (Considere 1eV = 1,6 × 10–19 J).

17. La función trabajo del potasio es 2eV; si se ilu-mina sobre una superficie de potasio una luz de longitud de onda 3 × 10–7 m, ¿cuál es la ener-gía cinética máxima (en eV) de los fotoelectro-nes emitidos? (Considere h = 4.15 × 10–15 eV.s, c = 3 × 108 m/s)

18. La longitud de onda umbral del efecto fotoeléctri-co de la plata es 262 nm, calcule la función trabajo de la plata en eV (eV = 1.6 × 10–19 J, 1 nm = 10–9 m, h = 6.62 × 10–34 J.s, c = 3 × 108 m/s).

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ANÁLISIS DIMENSIONAL I | Fundación Rama

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