Sistema de Coordenadas

Prof. José RubenildoUEMG

Março - 2015

Sistema de Coordenadas• Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas.

• São utilizados basicamente um tipo de sistemas para definição da posição tridimensional de pontos:✔ sistemas de coordenadas cartesianas

Sistema de Coordenadas Cartesianas

• Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas.

• No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X (abscissas) e Y (ordenadas).

Sistema de Coordenadas Cartesianas

• Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem.– Conforme a posição da direção positiva dos

eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro.

✔ Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador situado no semieixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido anti-horário.✔ Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido horário.

Sistema de Coordenadas Cartesianas

• Dextrógiro x Levógiro --> Regra da Mão Direita

Superfície Terrestre• Devido às irregularidades da superfície terrestre,

utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície.

Basicamente temos quatro superfícies para representar a Terra:

✔ Esfera✔ Elipsóide✔ Geóide✔ Plano

Superfície Terrestre• Modelo Esférico

Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas.

Superfície Terrestre• Modelo Elipsoidal

A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. O elipsóidede revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação deuma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado.● Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados emtrabalhos de Geodésia no mundo.

Superfície Terrestre• Modelo Elipsoidal

Latitude Geodésica (φ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.Longitude Geodésica (λ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.

• A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física. No Brasil, o atual Sistema

Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas), cujos semi-eixo maior e achatamento são:a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101

Superfície TerrestreModelo Geoidal● O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático.● O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.

Superfície TerrestreModelo GeoidalAs linhas de força ou linhas verticais são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical.

Superfície TerrestreModelo PlanoConsidera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas.Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km.

Superfície TerrestreModelo Plano● Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: ✔ a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito.✔ b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico o referido datum vertical brasileiro.✔ c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas:

Δl (mm) = - 0,001 d³ (km)Δh (mm) = +78,1 d² (km)Δh´(mm) = +67 d² (km)

Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm.Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm.Δh´ = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura daTerra e da refração atmosférica, em mm.d = distância considerada no terreno, em km.

Superfície TerrestreModelo Plano Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: ✔ d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão.✔ e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico;✔ f) o eixo das ordenadas (Y) é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante.

Superfície TerrestreModelo Plano

Efeito da curvatura na distância

• Ao substituir a real forma da terra, pelo plano topográfico, comete-se um erro denominado “erro de esfericidade”.✔ Geodésia a superficie terrestre é curva✔ Topografia a superficie é plana● O erro de esfericidade na distância (ΔS) corresponde à diferença entre os comprimentos do segmento S' e do arco S.

Efeito da curvatura na Altimetria

• A tabela abaixo apresenta valores de erros na altimetria para um conjunto de distância

• O efeito da curvatura é maior na Altimetria do que na Planimetria. • Pode-se sem erro apreciável considerar plenamente

satisfatório a representação planimétrica em planos tangentes com projeções paralelas e os cálculos feitos com fórmulas da trigonometria plana.

Unidades de Medidas• Em Topografia trabalha-se com quatro espécies de grandezas, a saber:✔ lineares;✔ superficiais;✔ volumétricas e✔ angulares.

Medidas Lineares• Em 1789, a Academia de Ciência da França criou

o Sistema Métrico Decimal (SMD) - um sistema de medidas baseado numa "constante natural", não arbitrária - constituído inicialmente de três unidades básicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma.

• Dentro do Sistema Métrico Decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e definida como "a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre". Em 1799, para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento de lado a lado, que ficou conhecida como o "metro do arquivo".

• A partir da 17ª Conferência Geral de pesos e medidas, realizada em 1983, o metro passou a ser definido como sendo comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo.

Medidas Lineares• No sistema internacional de medidas os múltiplos e submúltiplos do metro mais utilizados são: ✔ quilômetro (km),

✔ hectômetro (hm),✔ decâmetro (dam),✔ decímetro (dm),✔ centímetro (cm) e✔ milímetro (mm).

Medidas Lineares• Padrão EUA e Inglaterra

• Padrão antigo do Brasil

Medida Superficial• No SI a unidade fundamental é o metro quadrado

(m²). Os múltiplos e submúltiplos mais empregados são representados por: ✔ Km²; hm²; dam²; dm², mm²

Para quantificar áreas rurais emprega-se ainda o hectare (ha), sendo:

✔ 1 ha = 1 hm² = 10.000 m²✔ que tem com submúltiplos ✔ 1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m² e ✔ 1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m².✔ Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido

como 84hectares, 35 ares e 62 centiares.

Medida SuperficialNo passado, que se pode verificar em escrituras antigas, adotou-se no Brasil as unidades de superfície mostradas na Tabela abaixo. Ainda hoje é comum falar-se em “Alqueire”, unidade que deve ser substituída por hectare ou unidades do SI.

Medida Volumétrica• No SI a unidade fundamental é o metro cúbico, m³.

• Para volume menor emprega-se também o litro (L), 1 litro = 1 dm³

• Na Resolução de 1988 do CONMETRO o litro está classificado como “Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo” .

Medida Angular• No SI a unidade fundamental para ângulo plano é o Radiano (rad).✔ É o ângulo central subtendido por um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio sendo, portanto, uma circunferência dividida em 2π partes iguais.✔ Vale lembrar que π (PI) é o valor da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Esse número irracional é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinar com centenas de milhões de casa decimais. ✔ π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693993751

Medida Angular• Relação entre medidas angulares e lineares

Medida Angular• Sistema Sexagesimal

✔ Neste sistema, a circunferência é divida em 360 partes iguais, sendo cada parte denominada grau (°).✔ Um grau é dividido em 60 partes iguais denominadas, minutos (’).✔ Um minuto é dividido em 60 partes iguais denominadas, segundos ( ” ).✔ 2π = 360°;✔ Na Resolução de 1988 do CONMETRO, grau, minuto e segundos estão classificadas como “Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo” .

Medida Angular• Sistema Centesimal

✔ Este sistema não está definido no SI.✔ Nele a circunferência é divida em 400 partes iguais,sendo cada parte denominada GRADO (g).✔ Um grado é dividido em 100 partes iguais denominadas,MINUTOS (’) ou centigrados.✔ Um minuto é dividido em 100 partes iguais denominadas, SEGUNDOS (”) ou decimiligrados.✔ Sendo 380,2345 grados = 380 grados, 23 centigrados e 45 decimiligrados ou 380g 23’ 45” . .