DISTRIBUCION NORMAL

Lic. Dina Ñuflo Valdivia

Es la mas importante en todo el campo de la estadística, debido a que en la práctica muchos fenómenos, industriales , científicos , o dela vida diaria puenen describirse por esta distribución.

La distribución Normal permite obtener aproximaciones a otras leyes de la probabilidad.

DISTRIBUCION NORMAL

Una variable aleatoria continua X, sigue una distribución normal con media μ <-∞, +∞> y desviación típica σ>0, y se designa por N(μ, σ), si su función de densidad de probabilidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Para : -∞ <x< +∞ Donde: Π= 03.14159.. e=2.71828

DISTRIBUCION NORMAL

Curva de la distribución normal

Representación gráfica

Propiedades de la distribución normal:

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

Media y Varianza ::

La media o esperanza Matemática está dado por:

E[x] = µ

La varianza :

Var [x] =

Ejemplos Gráficos de probabilidad Normal

Ejemplos Gráficos con Histogramas

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución Normal EstándarN(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Aleatoria Estandarizada Z que siga una distribución N(0, 1), por la siguiente transformación:

Tipificación de la variable

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

Céntesimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

Búsqueda en la tabla de valor de k

Una empresa embotelladora de gaseosas envasa sus productos en botellas plásticas cuyo contenido neto sigue una distribución normal con media igual 12 onzas y varianza 0.0625 (onzas)2 si se elige al azar una botella. Hallar la probabilidad de que su contenido

a) Sea menor que 12.5 onzas.

b) Sea mayor que 12.29

APLICACIONES:

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar mas de 21° hasta 27°.

APLICACIONES:

Uno de los conceptos mas importantes de estadística.

TEOREMA: Sea , …. ,..n de variables aleatorias independientes identicamente distribuidas con:

E( y Var(

Si …+

TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

Entonces la variable aleatoria

Donde:

tiene aproximadamente una distribución N(0,1)

TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

Las cajas entregadas por una fábrica tienen un peso medio de 300 kg y una desviación estándar de 50 kg . Cuál es la probabilidad de que 25 cajas tomadas al azar y cargadas en un camión exceden de la capacidad especificada del camión, que se sabe es de 8,200 kg.?

APLICACIONES: TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE