2. ESTADISTICA APLICADA 2.1 INFERENCIA ESTADISTICA La inferencia estadística estudia como sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación de los resultados obtenidos. Los conceptos básicos de Probabilidad y de distribuciones muestrales sirven como introducción al método de Inferencia Estadística; esta se compone en dos áreas: Estimación y Prueba de Hipótesis La estimación se encarga de buscar establecer los valores de los parámetros de la población. Las pruebas de Hipótesis constituyen un proceso de relación a aceptar o rechazar afirmaciones acerca de los parámetros de la población. La estimación y prueba de hipótesis tienen el propósito de hacer inferencias sobre la población a partir de una muestra y estimar la confianza con la que estas inferencias pueden ser verdaderas.
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2. ESTADISTICA APLICADA2.1 INFERENCIA ESTADISTICA
La inferencia estadística estudia como sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación de los resultados obtenidos. Los conceptos básicos de Probabilidad y de distribuciones muestrales sirven como introducción al método de Inferencia Estadística; esta se compone en dos áreas: Estimación y Prueba de Hipótesis La estimación se encarga de buscar establecer los valores de los parámetros de la población. Las pruebas de Hipótesis constituyen un proceso de relación a aceptar o rechazar afirmaciones acerca de los parámetros de la población. La estimación y prueba de hipótesis tienen el propósito de hacer inferencias sobre la población a partir de una muestra y estimar la confianza con la que estas inferencias pueden ser verdaderas.
2.1.1 CONCEPTO Puede definirse la Inferencia Estadística como: “El conjunto de métodos estadísticos que permiten deducir (inferir) como se distribuye la población en estudio o las relaciones estocásticas entre varias variables de interés a partir de la información que proporciona una muestra”. Para que un método de inferencia estadística proporcione buenos resultados debe de: -Basarse en una técnica estadístico-matemática adecuada al problema y suficientemente validada. -Utilizar una muestra que realmente sea representativa de la población y de un tamaño suficiente. Conceptos básicos que se utilizarán en estadística inferencial: Población. Es la cantidad de observaciones, medidas, individuos u objetos para lo cual la población puede ser finita o infinita siendo su numero el tamaño de la población, representado por N.
Muestra. Cuando una población en estudio es infinita o la cantidad de elemento en estudio es elevada se toma en forma aleatoria una determinada cantidad de elementos de la población para elaborar un estudio de las características de la población. Muestreo Probabilístico. Cada elemento en la población tiene una oportunidadconocida o calculable de ser incluido en la muestra. Muestra Aleatoria. Cada elemento en la población tiene una oportunidad igual de ser
incluido en la muestra. Ej: Al tomar una muestra de 40 trabajadores de 750 se enumeran de 01 a 750 Muestra Estratificada. La población se divide en capas, o estratos; después se
selecciona una muestra aleatoria simple de los integrantes de cada extracto. Muestra Sistemática. Se selecciona de manera aleatoria un punto inicial entre 1 y k, y luego muestreamos k-esimo elemento de la población. Ej.: Al seleccionar una muestra de 100 a partir de una población de 6000 personas, seleccionamos un numero al azar de 1 a 60 y así con los continuos intervalos de 60 personas.
Estadístico Muestral. Podemos tomar muestras aleatorias de la población y luego usarlas con el fin de obtener valores que ayuden a estimar y a probar hipótesis sobre los parámetros de la población. Parámetro: Es cualquier característica medible de la función de distribución de la variable en estudio (media, varianza,..). Distribución de la muestra. La distribución de probabilidad de un estadístico muestral se llama distribución muestral del estadístico.
2.1.2 ESTIMACION Un estimador de un parámetro poblacional dado por un numero sencillo se llama
Estimador Puntual del parámetro. Un estimador de un parámetro poblacional dado por dos números entre los cuales se puede considerar que este parámetro, se llama Estimación Por Intervalo del parámetro.
La confiabilidad de un estimador es el conocimiento de su error o de su precisión. Ejemplo de estimador puntual: Moda, Mediana, Promedio aritmético, varianza, etc. y
de estimador por intervalo la desviación estándar. Ejemplo: Se tiene una muestra de una inyectora de producto de Coca Cola que
embotella a 355 ml, Determine su valor promedio. 355 353 355 355 356 357
355 355 355 354 354 355
En el proceso de destilación de la columna de MEG (monoetilenglicol) se tiene un control de la temperatura del fondo de la columna en 210°C, para conocer si la válvula de control automático FV-3502 esta cumpliendo con la especificación de diseño se muestreo y se obtuvo los datos: Lecturas tomadas cada 10 minutos.
El producto lácteo Leche pasteurizada lala debe tener Vitamina A (µg) 37 µg ±1.87, se toma una muestra de un lote reciente obteniendo los siguientes resultados: Determine el intervalo de variación de la muestra en forma experimental.
La empresa compra sus partes electrónicas a proveedores que cotizan el material en dólares, la empresa presupuesta la compra de materia prima a 16 dólares promedio ±0.3 para el año 2015.
212 210 208 210 210 207
214 212 210 210 209 210
37.8 36.4 37.2 35.8 35.9 37.8
37.4 37.0 36.8 37.2 37 37.4
Enero 14.69 Mayo 15.27 Septiembre 16.84
Febrero 14.92 Junio 15.48 Octubre 17.22
Marzo 15.24 Julio 15.93 Noviembre 17.34
Abril 15.19 Agosto 16.42 Diciembre 17.60
2.1.3 PRUEBA DE HIPOTESIS Hipótesis: es una aseveración de una población elaborado con el propósito de poner aprueba, para verificar si la afirmación es razonable se usan datos. En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera. La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho. La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos muestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. X ̅= 10 Hi La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula.
Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado.
x ̅< 10 ; x ̅ > 10; x ̅ ≠ 10
Error Tipo I. Si rechazamos una hipótesis cuando da la casualidad que es verdadera, decimos que se ha cometido un error de Tipo I. Error Tipo II. Si, por lo contrario, aceptamos una hipótesis cuando esta ha debido rechazarse, decimos que se ha cometido un error de tipo II. En ambos casos existe un error de juicio, para disminuir el error es necesario tomar un nivel de significancia o margen de error. Nivel de Significancia. Al probar una hipótesis dada, la probabilidad máxima con la que queremos tomar el riesgo de error tipo I se llama Nivel de Significancia de la Prueba. Esta probabilidad se tiene que especificar antes de tomar la muestra para que no influya en el resultado. Los niveles de significancia mas utilizados en la practica es 0.05 (95%) o 0.01(99%) aunque se pueden utilizar otros. Si ocupamos 0.05% esto es 5%, entonces hay una posibilidad de 5 en 100 de que rechacemos la hipótesis cuando deberíamos aceptarla, tenemos cerca del 95% de confianza de que tomaremos la decisión correcta. El valor de Z se puede determinar en apéndice C áreas bajo la curva normal
estándar de 0 a Z. Nivel de significancia 0.10 0.05 0.01 0.005 0.002 Valores de Z 1.645 1.96 2.58 2.81 3.08
Prueba de Hipótesis para Medias Aquí S=X̅, la media muestral; µs= µx̅ = µ, la media de la población; σs = σx̅ = σ/√ndonde σ es la desviación estándar de la población y n es el tamaño muestral. La variable estandarizada esta dada por: Z = X̅ - µ / σ/√n Ejemplo: Una empresa embotelladora de refrescos presenta su producto el cual en su muestreo obtuvo un promedio de llenado de 355 ml y un error estándar de 1.18. Se realiza una inspección de calidad por PROFECO el cual realiza un muestreo de 64 refrescos del mismo lote, obteniendo como resultado una media de 355.2. Si se utiliza un nivel de significancia de 5%. Verifique si su afirmación es correcta. Ho=355 H1> 355 x ̅=355.2 µ=355 σ=1.18 n=64 a=5%=0.05 a=0.05 → Ztabla = 0.5-0.05=0.45 Apéndice C = 1.645 Zprueba = X̅ - µ / σ/√n = 355.2-355 / 1.18/√64 = 0.2 / 0.1475 Zprueba = 1.35 Se lee en Apéndice C = 0.4115 Se acepta Ho, porque Zprueba (1.35) es menor que Ztabla 1.645
1. Se verifica la calibración de una válvula de presión obteniendo una media de 2.05 kg/cm2 y un error estándar de 0.3. Una empresa externa revisa dicha válvula inspeccionándola 40 veces, obteniendo una media de 2.12 kg/cm2, Se define una significancia de 5%. Verifique si la afirmación es correcta.
2. Una empresa realiza su llenado de producto a 1000 gr promedio con una desviación estándar de 10 gr. Frente a este estudio una empresa de inspección realiza un muestreo de 30 frascos de producto obteniendo una media de 1005gr Si se utiliza un nivel de significancia del 1%. Verifique si se cumple la afirmación de la empresa.
Prueba de Hipótesis para Proporciones Aquí S= P, la proporción de “éxitos” en un muestra; µs= µp = p, donde p es la proporción de éxitos en la población y n es el tamaño de la muestra; σs = σp = √ pq/n , donde q=1-p, La variable estandarizada esta dada por: Z = P – p / √pq/n En el caso P = x/n, donde x es el numero verdadero de éxitos de una muestra, se
convierte en Z = (x/n) - p / √pq/n donde: x=ocurrencias n=muestra x/n = proporción de la muestra p=proporción de éxito o aceptación de la muestra q=proporción de fracaso o rechazo de la muestra
Ejemplo: Una empresa del ramo lácteo toma una muestra de 1000 elementos de presentación de Yogurt de 1 kg de los cuales 25 salen fuera de especificación. A un nivel de Significancia del 1%. Determine si mas del 3% del total del lote de producto se obtienen fuera de especificación.
Datos: n=1000 x=25 p=25/1000 α=1%=0.01= 0.5-0.01=0.49 Se lee 0.49 en Apéndice C = 2.326 Ztabla= 2.326 Z = (x/n) - p / √pq/n Zprueba= 25/1000 – 0.03 / √(0.03)(0.97)/1000 Zprueba = -0.005/0.00539 = -0.93 Ho se acepta ya que Zprueba(-0.93) es menor que Ztabla(2.326) por lo que no es
cierto que mas del 3% de todos los productos del lote no salen defectuosos.
1. Una inyectora de producto llena a 200 ml el envase, se toma una muestra de 400 productos de los cuales 25 se obtienen fuera de especificación. A nivel de significancia de 5%. Determine si mas del 4% del total del lote esta fuera de especificación.
2. Un másico llena una envoltura a 500 gr, se toma una muestra de 600 productos de un lote con 30 que no dieron el peso. A un nivel de significancia de 1%. Determine si mas del 4% del total del lote de producto se obtiene fuera de especificación.
22.1.42.2.1.4 ESTIMADOR INSESGADO Un estimador insesgado de un parámetro de la población es si la media o la
esperanza del estadístico es igual al parámetro. El valor correspondiente del estadístico se denomina, entonces, estimador insesgado del parámetro.
La media X̅ y la varianza S² son estimadores insesgados de la media de la población µ y varianza σ², ya que E(x ̅)=µ, E(S²)= σ². Los valores X ̅ y S², se denominan estimadores insesgados. Sin embargo, S es un estimador sesgado de σ, ya que en general, E(s) ≠ σ
.1.5
2.2 ESTIMACION DE INTERVALO Si decimos que la distancia es 5.28 ± 0.03 metros, es decir, la distancia se
encuentra entre 5.25 y 5.31 metros, estamos dando una Estimación por Intervalo Sean µs y σs la media y desviación estándar de la distribución muestral del
estadístico S. Entonces, si la distribución muestral de S es aproximadamente normal, podemos esperar que S se encuentre en un intervalo µs- σs a µs+ σs, µs-2 σs a µs+2 σs, o µs-3 σs a µs+3 σs, alrededor de 68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces, respectivamente.
De igual manera, S±1.96σs y S±2.58σs son los limites de confianza del 95% y 99% de µs. El porcentaje de confianza recibe el nombre de nivel de confianza. Los números 1.96, 2.58, etc. Se llaman valores críticos y se denotan como zc.
En un muestreo realizado a 100 productos llenados a 1 kg se obtuvo que el 95% tienen un llenado correcto. Encuentre los limites de confianza del 95%, 99% y 99.7% de la proporción de todos los productos del lote. P± zc σp = P± zc √p(1-p)/n Al 95% 0.95±1.96 √ (0.95)(0.05)/100 = 0.95±0.042
Al 99% 0.95±2.58 √ (0.95)(0.05)/100 = 0.95±0.056
Al 99.73% 0.95±3 √ (0.95)(0.05)/100 = 0.95±0.065
1. Un equipo de moldeo de juguetes plásticos se evaluó defectos en el llenado de la maquina encontrando en una muestra de 300 que 16 de ellos tienen defectos. Determine los limites de Confianza del 95% y 99% de la proporción de todo el lote de juguetes.
2. En una maquina moldeadora de envases de jugo se reviso un lote encontrando que 8 de 500 están defectuosos. Determine los limites de Confianza del 95% y 99% de la proporción de todo el lote de juguetes.
