Libro Fisica Basica

PROLOGO

A pesar de que pocos ignoran la importancia de la física, de que sabemos que es un instrumento básico para la comprensión de la naturaleza, la mayoría la ven como un conjunto de saberes y técnicas que con dificultad salen de su hábitat tradicional, poblado por “objetos” como átomos y partículas, niveles energéticos, campos electromagnéticos, planetas, estrellas o galaxias. Mostrar que esto no es así es objetivo de este libro.

Nosotros hemos procurado, en la medida de lo posible, darle a la exposición una forma interesante y hacer amena esta asignatura. Para ello hemos partido del axioma psicológico que presupone, que el interés por una asignatura aumenta la atención, facili ta la comprensión y, por consiguiente, hace que su asimilación sea más sólida y consciente. Para la realización de este libro hemos intentado seguir la orientación dada por V. Lenin en las siguientes palabras: «El escritor popular lleva al lector a un pensamiento profundo, a una doctrina profunda, partiendo de los datos más sencillos y notorios señalando - mediante razonamientos simples o ejemplos escogidos con acierto - las conclusiones principales que se deducen de esos datos y empujando al lector que piensa a plantear nuevas y nuevas cuestiones. El escritor popular no presupone un lector que no piensa, que no desea o no sabe pensar; al contrario, en el lector poco desarrollado presupone el serio propósito de trabajar con la cabeza y le ayuda a efectuar esa seria y difícil labor, le conduce ayudándole a dar los primeros pasos y enseñándole a seguir adelante por su cuenta.»

Este libro de Física Básica está destinado a los alumnos que cursan el ciclo básico en la UASD y en cualquier institución universitaria. Durante su elaboración se ha pretendido

la consecución de dos objetivos principales que entendemos deben orientar la docencia de la asignatura de Física: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, nos

hemos enfocado en la cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media.

Por último es nuestro mayor deseo dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia.

OSIRIS ROBLES

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INDICE

1. Física, Mediciones y Vectores

1.1 Breve Historia de la Física 2

1.2 La Física en las Ciencias Naturales 6

1.3 Leyes y Cantidades Físicas 6

1.4 Notación Científica (NC) 7

Operaciones Matemáticas con Notación Científica

1.5 Sistemas de Unidades y Medidas 10

1.6 Prefijos y Conversión de unidades de medidas

Prefijo de unidad de medida 13

Conversión de unidades de medida 14

1.7 Cifras Significativas (CS) y Redondeo 16

Cifras significativas 16

Redondeo 17

Operaciones matemáticas considerando las cifras significativas

1.8 Relaciones entre Variables 20

Proporcionalidad Directa 20

Variación Lineal 21

Proporcionalidad Directa con el Cuadrado 22

Proporcionalidad Inversa 23

1.9 Cantidades Escalares y Cantidades Vectoriales 25

Sistemas de Coordenadas 25

Escalares y Vectores 26

1.10 Suma Vectorial 28

2. Cinemática

2.1 Mecánica Clásica 38

2.2 Elementos de la Cinemática 38

2.3 Movimiento Rectilíneo 43

Movimiento Rectilíneo Uniforme 49

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado 50

Caída libre de los Cuerpos 54

2.4 Movimiento Curvilíneo (en el plano)

Movimiento Circular Uniforme 56

Movimiento de Proyectiles 59

ii

3. Dinámica

3.1 Dinámica 68

3.2 Fuerza 68

3.3 Leyes de Movimiento de Newton 69

Primera Ley de Newton, y Marcos de Referencia inercial 70

Segunda Ley de Newton 72

Tercera Ley de Newton 76

3.4 Tipos de Fuerzas

Fuerzas a Distancia 77

Fuerzas de Contacto 79

3.5 Fuerza Centrípeta 81

3.6 Equilibrio de una Partícula 82

3.7 Impulso

Impulso debido a una Fuerza Constante 83

Impulso debido a una Fuerza Variable 84

3.8 Cantidad de Movimiento Lineal o Ímpetu 85

Relación del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal 87

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento 88

4. Trabajo y Energía

4.1 Trabajo 96

4.2 Trabajo Realizado por Fuerza Constante 97

4.3 Trabajo Neto 100

4.4 Trabajo Realizado por Fuerza Variable 103

4.5 Trabajo por Fuerzas Conservativas y No Conservativas 103

4.6 Energía 106

4.7 Energía Cinética 107

4.8 Energía Potencial 108

4.9 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética 111

4.10 Sistemas Conservativos 113

4.11 Potencia 115

iii

5. Mecánica de los Fluidos

5.1 La Materia 122

5.2 Estática de los Fluidos 123

5.3 Presión 129

5.4 Presión Atmosférica (La Experiencia de Torricelli) 132

5.5 Principio de Pascal y Vasos Comunicantes 137

5.6 Principio de Arquímedes y Flotabilidad 139

5.7 Dinámica de los Fluidos 142

5.8 Ecuación de Continuidad y Principio de Bernoulli 144

6. Oscilaciones y Ondas

6.1 Fenómenos Periódicos 152

6.2 Movimiento Armónico Simple 153

6.3 Sistemas con Movimiento Armónicos Simples 157

Sistema masa – resorte 157

Péndulo Simple 158

6.4 Movimiento Ondulatorio 161

6.5 Ondas Transversales en una Cuerda 163

6.6 Ondas Mecánicas Longitudinales 167

6.7 Comportamiento Generales de las Ondas 172

Reflexión y Refracción 172

Efecto Doppler 173

Superposición de Ondas 173

Difracción 175

Resonancia 175

7. Calor y Temperatura

7.1 Termodinámica 182

7.2 Temperatura 183

7.3 Termómetro 184

7.4 Calor 188

7.5 Temperatura de Equilibrio de una Mezcla 192

7.6 Dilatación Térmica 193

7.7 Modelo del Gas Ideal 194

FISICA BASICA FÍSICA, MEDICIONES Y VECTORES

** Las imágenes fueron seleccionada de la galería de imágenes de google.

1 1

Capítulo

1. Física, Mediciones y Vectores

Contenido:

1.1. Breve Historia de la Física.

1.2. La Física en las ciencias naturales.

1.3. Leyes y Cantidades Físicas.

1.4. Notación Científica (NC).

1.5. Sistemas de Unidades y Medidas.

1.6. Prefijos y Conversión de unidades de medidas.

1.7. Cifras Significativas (CS) y Redondeo.

1.8. Relaciones entre variables.

1.9. Cantidades Escalares y Cantidades Vectoriales.

1.10. Suma de vectores.



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1.1 BREVE HISTORIA DE LA FÍSICA

Desde la antigüedad el hombre se vio interesado en conocer la razón

de los sucesos naturales que lo rodean. Debemos recordar que todo lo que

rodea al hombre, existiendo de modo independiente de la conciencia

humana, se llama materia, y los cambios que ésta experimenta se llaman

fenómenos. En la Grecia antigua se iniciaron las escuelas filosóficas, las

cuales estaban constituidas por pensadores interesados en dar respuesta a los

fenómenos que se observaban. Con el tiempo los temas de sus

conversaciones fueron aumentando, lo que los lleva a un primer punto de

especialización, a este punto donde las ramas del saber humano se separan

se le denominó desmembración de las ciencias. Muchos de los filósofos

griegos se interesaron en las ciencias naturales, e hicieron sus aportes al

desarrollo de la física. Entre los primeros en tratar de explicar los

fenómenos que los rodeaban están Aristóteles, Tales de Mileto y Demócrito

de Abdera.

Muchas de las teorías planteadas por los filósofos antiguos no eran

totalmente verdaderas, porque estaban muy dominadas por las posibilidades

experimentales de la época (que eran muy limitadas). Aunque eran erradas

las teorías plasmadas por los primeros observadores de la historia, se

mantuvieron consideradas como válidas, por el dominio de la Iglesia,

durante casi dos mil años. Esta etapa llamada oscurantismo termina en el

1531 cuando Nicolás Copérnico (padre de la astrología moderna), finaliza

su obra fundamental “De Revolutionibus Orbium Coelestium” (Sobre el

movimiento de las esferas celestiales), aunque no fue publicada hasta

después de su muerte.

A finales del siglo XVI Galileo Galilei, quien era catedrático de

matemáticas en la universidad de Pisa, fue pionero en el uso de experiencias

para validar las teorías de la física. Se interesó en el movimiento de los

astros y cuerpos. Usando el plano inclinado descubrió la ley de la inercia de

la dinámica, y con el uso de uno de los primeros telescopios observó que

Júpiter tenía satélites girando a su alrededor y las manchas solares del sol.

Estas observaciones demostraban el modelo heliocéntrico de Nicolás

Copérnico, y el hecho de que los cuerpos celestes no son perfectos e

inmutables. En la misma época las observaciones Ticho Brahe y los cálculos

de Johannes Kepler permitieron establecer las leyes que gobiernan el

movimiento de los planetas en el sistema solar.

Aristóteles

Tales de Mileto

Demócrito de

Abdera

Galileo Galilei

Nicolás Copérnico



3

En 1687 (siglo XVII), Sir Isaac Newton publico “Philosophiae

Naturalis Principia Matemática”, una obra en la que se describen las leyes

clásicas de la dinámica conocidas como: Leyes de movimiento de Newton y

la Ley de Gravitación universal de Newton. El primer grupo de leyes

permitía explicar el movimiento y equilibrio de los cuerpos, haciendo

predicciones valederas acerca de estos. La segunda permitía demostrar las

leyes de Kepler del movimiento planetario y explicar la gravedad terrestre. El

desarrollo por Newton y Leibniz del cálculo matemático, proporcionó las

herramientas matemáticas para el desarrollo de la física como ciencias capaz

de realizar predicciones concordante con los experimentos. En esa época

realizaron sus trabajos en física Sir Robert Hooke y Christian Huygens

estudiaron las propiedades básicas de la materia y de la luz.

A partir del siglo XVIII se desarrollaron otras disciplinas, tales como:

termodinámica, óptica, mecánica de fluidos, mecánica estadística. En estas se

destacaron en la termodinámica Thomas Young, Daniel Bernoulli desarrollo

la mecánica estadística, Evangelista Torricelli, entre otros

En el siglo XIX, se producen avances fundamentales en la

electricidad y el magnetismo, principalmente con los aportes de Charles –

Augustin de Coulomb, Luigi Galvani, Michael Faraday, Georg Simon Ohm.

En 1855 James Clerk Maxwell unificó las leyes conocidas sobre el

comportamiento de la electricidad y el magnetismo en una sola teoría, con un

marco matemático común, a lo que se denominó electromagnetismo. Los

trabajos de Maxwell en el electromagnetismo se consideran frecuentemente

equiparables a los descubrimientos de Newton sobre la gravitación universal,

y se resumen con las conocidas ecuaciones de Maxwell, un conjunto de

cuatro ecuaciones capaces de predecir y explicar todos los fenómenos

electromagnéticos clásicos. Una de las predicciones de esta teoría era que la

luz es una onda electromagnética. Este descubrimiento de Maxwell

proporcionaría la posibilidad del desarrollo de la radio unas décadas más

tarde por Heinrich Hertz en 1882.

En 1895 Wilhelm Conrad Röntgen descubrió los rayos x (Rx), ondas

electromagnéticas de frecuencia muy alta. Casi simultáneamente Henri

Becquerel descubría la radiactividad en 1896. Este campo se desarrollo

rápidamente con los trabajos posteriores de Pierre Curie, Marie Curie y

muchos otros, dando comienzo a la física nuclear, y al comienzo del estudio

de la estructura microscópica de la materia. En 1897 Joseph Jhon Thomson

descubre el electrón, la partícula elemental asociada a la corriente en los

circuitos eléctricos, y en 1904 propuso un modelo del átomo.

Isaac Newton

Robert Hooke

Wilhelm C

Röntgen

James C Maxwell

Thomas Young



4

El siglo XX estuvo marcado por el desarrollo de la Física como

ciencia capaz de promover el avance tecnológico. A principios de este

siglo los físicos, que consideraban tener una visión casi completa de la

naturaleza, se encontraron con experimentos nuevos no explicados por los

conceptos conocidos. Por tanto se produjeron dos revoluciones

conceptuales de gran impacto: La Teoría de la Relatividad y La Teoría de

la Mecánica Cuántica.

Albert Einstein es considerado como el ícono más popular de la

ciencia en el siglo XX. En 1905 formuló la Teoría de la Relatividad

Especial, en la cual el espacio y el tiempo se unifican en una sola entidad:

el espacio-tiempo. La relatividad establece ecuaciones diferentes a las de

la mecánica clásica para la transformación de movimientos cuando se

observan desde distintos sistemas de referencia inerciales. Ambas teorías

(Mecánica Clásica y Relativista) coinciden en sus predicciones cuando el

movimiento ocurre a velocidades pequeñas (comparadas con la velocidad

de la luz), pero la relatividad aporta predicciones correctas cuando el

movimiento ocurre a velocidades grandes (cercanas a la velocidad de la

luz). Luego, en 1915, Einstein extendió la teoría especial de la relatividad

para explicar la gravedad, formulando la Teoría General de la Relatividad,

la cual sustituye a la ley de gravitación universal de Newton.

En 1911 Ernest Rutherford dedujo la existencia de un núcleo

atómico con cargas eléctricas positivas, realizando experimentos de

dispersión de partículas. A los componentes de carga eléctrica positiva del

núcleo se les llamó protones. En 1932 Chadwick descubrió los

componentes del núcleo que no tienen carga eléctrica, y se les llamó

neutrones.

En los primeros años del siglo XX Planck, Einstein, Bohr y otros

desarrollaron la “Teoría Cuántica”, a fin de explicar resultados

experimentales anómalos sobre la radiación de los cuerpos. En esta teoría

los niveles posibles de energía pasan a ser discretos. Luego, en 1925

Werner Heisemberg y en 1926 Erwin Schrödinger y Paul Dirac

formularon la “Mecánica Cuántica” para estudiar el movimiento cuando

ocurre en dimensiones pequeñas (dentro del átomo). La mecánica cuántica

suministró las herramientas teóricas para la física de la materia

condensada, la cual estudia el comportamiento de los sólidos y los

líquidos incluyendo modelos y fenómenos tales como la estructura

cristalina, la semiconductividad y la superconductividad. Entre los

pioneros de la materia condensada se incluye a Bloch, el cual desarrollo

una descripción mecano – cuántica del comportamiento de los electrones

en las estructuras cristalinas (1928).

Henri Becquerel

Albert Einstein

Erwin Schödinger

Paul Dirac

Ernest Rutherford



5

Luego, se formuló la Teoría Cuántica de Campos, para extender la

mecánica cuántica de forma consistente con la Teoría de la Relatividad

Especial, logrando su forma moderna a finales de los 40. Gracias a los

trabajos de Richard Feynman, Julian Schwinger, Sanjuro Tomonaga y

Freeman Dyson, quienes formularon la Teoría de la electrodinámica

cuántica. Asimismo, esta teoría suministró las bases para el desarrollo de la

Física de Partículas.

En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills, desarrollan las bases del

modelo estándar de la física de partículas. Este modelo fue finalizado

hacia 1970, y con éste fue posible predecir las propiedades de las partículas

no observadas con anterioridad, pero que fueron descubiertas sucesivamente,

siendo la última de ellas el quark top.

En los albores del siglo XXI la física sigue enfrentándose a grandes

retos, tanto de carácter práctico como teórico. La física teórica (que se ocupa

del desarrollo de modelos matemáticos basados en sistemas complejos

descritos por sistemas de ecuaciones no lineales) continúa sus intentos de

encontrar una teoría física capaz de unificar todas las fuerzas en un único

formulismo en lo que sería una teoría del todo. Entre las teorías candidatas

debemos citar a la teoría de cuerdas y la teoría de supergravedad. En la física

experimental, el gran colisionador de hadrones (que recreó en un tiempo

pequeño el big bang) y la fusión nuclear con el proyecto ITER (International

Thermonuclear Experimental Reactor) por sus siglas en inglés, (que pretende

ser la fuente por excelencia en generación de energía) son proyectos de

vanguardia en la física contemporánea. El estudio de las propiedades

cuánticas de los materiales (física de la materia condensada, antes llamada

física del estado sólido, desarrollada por Philip Anderson en 1967) ha

posibilitado el desarrollo de nuevos materiales con propiedades

sorprendentes. La astrofísica (antes llamada Astronomía) estudia el origen,

evolución y comportamiento de las estrellas, planetas, galaxias y agujeros

negros, nos ofrece una visión del universo con numerosas preguntas abiertas

en todos sus frentes. También la biofísica, que trata de las posibilidades de la

física en los sistemas vivos (como el combate de células cancerosas con

moléculas de plata) está abriendo nuevos campos de investigación en

interrelación con otras ciencias como la química, la biología y la medicina.

Robert Mills

Chen Ning Yang

Freeman Dyson



6

1.2 LA FISICA EN LAS CIENCIAS NATURALES

Vamos a comenzar este capítulo definiendo algunos conceptos que nos servirán en lo adelante,

Materia es la realidad objetiva que existe en el universo independientemente de la conciencia

humana, más un Entidad real (o ente real) es cualquier porción de la materia que podemos

estudiar, considerándola separada de lo que la rodea a ella, un fenómeno es cualquier cambio que

experimenta la materia, la ciencia es el conjunto de conocimientos sistematizados que nos permiten

deducir principios y leyes generales relativos a su objeto de estudio.

A partir los conceptos antes establecidos definimos como ciencias naturales aquellas que se

dedican a estudiar los fenómenos de la naturaleza (física, química y biología). Estos fenómenos son

estudiados, respectivamente, por la Física, la Química y la Biología. En los fenómenos físicos no

ocurren cambios en las que afecten la esencia de las sustancias que intervienen, y si lo hacen,

ocurren en el núcleo de los átomos (reacciones nucleares). En los fenómenos químicos los cambios

ocurren a nivel de los electrones de los átomos. En los fenómenos biológicos los cambios suceden

exclusivamente en los seres vivos.

Son fenómenos físicos por ejemplo: el movimiento de un objeto, la deformación de un resorte, la

fusión del hielo, el sonido, la emisión y propagación de señales de radio, la separación de la sal y el

agua, la transformación del Hidrógeno en Helio (fusión nuclear). Se tienen como ejemplos de

fenómenos químicos: la combustión, la oxidación, la descomposición del agua en hidrogeno y

oxigeno, la descomposición de la sal común en sodio y cloro, la fermentación. Y son ejemplos de

fenómenos biológicos: la nutrición, la reproducción, el metabolismo, la transmisión de los caracteres

hereditarios, la evolución de los seres vivos.

1.3 LEYES Y CANTIDADES DE LA FISICA

La Física expresa los fenómenos que estudia a través de características particulares que asocia a la

materia. Estas características se llaman cantidades físicas (antes llamadas magnitudes físicas), y

con éstas se expresan las leyes físicas y se describen y explican los fenómenos. Por ejemplo, una de

las leyes de la física establece que: “La fuerza neta ( ) ejercida sobre un objeto se manifiesta de

qué forma que se puede obtener por el producto de su masa (m) y la aceleración ( ) que

experimenta”. El modelo matemático que le corresponde es: esta ley se le denomina

“Segunda Ley de Newton”. Como puedes ver, esta ley establece la relación entre tres cantidades

físicas: la masa, la aceleración y la fuerza neta. Otro ejemplo es el movimiento de un objeto, el cual

describimos con las cantidades físicas siguientes: posición, desplazamiento, distancia recorrida,

intervalo de tiempo, velocidad promedio, velocidad instantánea, aceleración promedio, aceleración

instantánea. Se puede apreciar con estos dos ejemplos que las cantidades físicas son el material

fundamental que constituye la física.



7

De acuerdo al modo en que se definen, las cantidades físicas se clasifican en dos tipos: Básicas

(también llamadas “Fundamentales”) y Derivadas. Las básicas se definen por convención (acuerdo

entre países u organismos) y las derivadas se expresan como combinación de las básicas. Las

cantidades físicas se determinan midiéndolas o calculándolas.

De acuerdo al modo en que se expresan sus medidas, las cantidades físicas se clasifican en dos tipos:

Escalares y Vectoriales. A las cantidades físicas se les asocia un símbolo, el cual es una letra

mayúscula o minúscula, escrito en cursiva. Si estos símbolos usan una flecha horizontal, entonces

estamos indicando que la cantidad física asociada es de carácter vectorial, y si no usan la flecha

estamos indicando que la cantidad física asociada es de carácter escalar. Por ejemplo, para la

cantidad física masa usamos la letra minúscula “m” (note que está escrita en cursiva y sin flecha,

por ser una cantidad física escalar), y para la cantidad física velocidad usamos la letra minúscula

“ ” (note que está escrita en cursiva y con flecha, por ser una cantidad física vectorial).

1.4 NOTACION CIENTIFICA (NC)

Un número está expresado en notación científica si tiene la forma siguiente: “A x 10E”. Se le llama

coeficiente a la parte “A” y donde 10 E

es la potencia de base 10, cuyo exponente es “E”. El

coeficiente consta de 1 solo dígito entero y (por lo general) de 2 decimales. El dígito entero de “A”

no puede ser igual a cero, por tanto está entre 1 y 9. De su lado, el exponente “E” es cualquier

número entero, positivo o negativo.

Ejemplos 1.1

a. 2.96 x 108 está indicado en NC

b. 0.69 x 1020

no está indicado en NC.

c. 5.68 x 10 -3

está indicado en NC

d. 25.8 x 10 6 no está indicado en NC

La NC se usa para escribir de forma abreviada un número muy grande o muy pequeño. Para

expresar un número en NC tenemos que correr el punto decimal, hacia la izquierda o hacia la

derecha, hasta tener un solo dígito entero diferente de cero. Si corremos el punto decimal hacia la

izquierda, entonces el exponente es positivo (si corremos el punto decimal un lugar hacia la

izquierda multiplicamos el resultado por 10, si lo corremos dos lugares multiplicamos por 210 y así

sucesivamente). Si corremos el punto decimal hacia la derecha, entonces el exponente es

negativo (si corremos el punto decimal un lugar hacia la derecha multiplicamos por 110 , si lo

corremos dos lugares multiplicamos por 210 y así sucesivamente).



8

Ejemplos 1.2

a) el número 735489 se escribe así en NC: 7.35 x 105. Observe que, en el coeficiente, hemos

seleccionado un solo dígito entero diferente de cero (el 7), y a su lado seleccionamos 2

decimales (3 y 5). Además se ha multiplicado por 10 elevado al exponente + 5 (porque se ha

corrido el punto decimal 5 lugares hacia la izquierda)

b) el número 0.0045612 se escribe así en NC: 4.56 x 10-3

. Observe que hemos seleccionado un

solo dígito entero diferente de cero (el 4) y a su lado seleccionamos 2 decimales (5 y 6).

Además se ha multiplicado por 10 elevado al exponente -3 (porque se ha corrido el punto

decimal 3 lugares hacia la derecha)

c) el número 0.69 x 1020

que no está indicado en NC, lo expresamos correctamente en NC así:

6.9 x 1020-1

= 6.9 x 1019

d) el número 25.8 x 10 6

que no está indicado en NC, lo expresamos correctamente en NC así:

2.58 x 106+1

= 2.58 x 107

OPERACIONES MATEMATICAS CON NOTACION CIENTIFICA

Suma y/o Resta

La forma de proceder en la suma (o resta) en notación científica (NC) depende de si los

exponentes son iguales o diferentes.

a. Si los exponentes son iguales, se

suman (o restan) los coeficientes, y al

resultado se le multiplica por la potencia

de 10.

Ejemplo 1.3

( ) ( ) ( )

b. Si los exponentes son diferentes, se

igualan los exponentes, y luego se

procede como en el caso anterior.

Ejemplo 1.4

( ) ( )

o Si lo hacemos igualando los

exponentes a 4. Movemos el punto decimal

de la cantidad de exponente 5, un lugar a la

derecha y restamos uno en el exponente,

entonces tenemos:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Es decir:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Es decir:

Para igualar los exponentes, se mueve

el punto decimal de una de las

cantidades a la derecha (restando en el

exponente); o a la izquierda (sumando

en el exponente), hasta que el

exponente de esta cantidad sea igual al

de la otra cantidad.

Donde “n” es el numero de lugares que se

movió el punto decimal.



9

Expresándolo correctamente en notación

científica, el resultado es:

o Si lo hacemos igualando los

exponentes a 5. Movemos el punto

decimal de la cantidad de exponente 4,

un lugar a la izquierda y sumamos uno

al exponente, entonces tenemos:

( ) ( )

Multiplicación

Al multiplicar dos números en NC

debemos multiplicar los coeficientes, y

sumar los exponentes de las potencias de

10.

Ejemplo1.5

( ) ( ) ( )( )

División

Al dividir dos números en NC debemos

dividir los coeficientes, y restar los

exponentes de las potencias de 10.

Ejemplo 1.6

( )

( ) (

)

Potenciación

Al elevar un número a una potencia,

utilizando NC, debemos elevar el

coeficiente a la potencia y multiplicar el

exponente por la potencia.

Ejemplo 1.7

( ) ( ) ( )( )

Observe que es ventajoso igualar los

exponentes al mayor de ellos, porque el

resultado final nos queda expresado en

NC.

( )( ) ( )( )

Es decir:

( )

( ) (

)

Es decir:

( ) ( ) ( )( )

Es decir:



10

Radicación

o Al extraer la raíz de un número en NC

debemos obtener la raíz del coeficiente,

y luego dividir el exponente entre el

índice del radical.

Ejemplo 1.8

√( ) √

o Si el exponente de la potencia de 10

no es divisible exactamente por el

índice “n” de la raíz, entonces

debemos mover el punto decimal, a la

derecha (restando en el exponente) o a

la izquierda (sumando en el

exponente), hasta que el exponente de

la potencia de 10 sea divisible

exactamente por el índice n de la raíz.

Luego se procede como en el caso

anterior.

Ejemplo 1.9

a. √ √ √

b. √ √ √

1.5 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA

Medir es un proceso, basado en comparación, que nos permite determinar el valor de una cantidad

física asociada a un ente real.

El resultado de medir, expresado cuantitativamente, se llama medida, y consta de 2 partes: números

y unidad de medida.

Ejemplo 1.10

a) “4.23 kg” (el número es 4.23, y la unidad de medida es kg)

b) “5.50 m/s horizontal-derecha” (el número es 5.50, la unidad de medida es m/s, mientras que

horizontal-derecha indica dirección y sentido, por ser vectorial)

√( )

√ (

)

Es decir:

Donde n es el índice del radical

√( )

Es decir:

Si (

) no es entero entonces movemos el

punto decimal a la derecha o la izquierda,

hasta que (

) sea un entero. Luego se

procede como se indico anteriormente.

Donde “x” es el numero de lugares que se

movió el punto decimal.



11

La acción de medir se hace usando un equipo de

medida, el cual es todo dispositivo que se interpone

entre la persona que mide y el ente cuya cantidad física

se está midiendo. El equipo de medida puede tener

divisiones o marcas en una escala (equipo de medida

análogo) o puede mostrar una información numérica en

una pantalla (equipo de medida digital). En los equipos

de medir digitales estamos limitados a la cantidad de

dígitos que éstos nos muestren en la pantalla. Por el

contrario, en los equipos análogos, podemos ir agregando

divisiones (aunque necesitemos lupas para poder

observar las divisiones) y así acercarnos infinitamente al

valor verdadero de la medición. Dicho de otro modo,

mientras más divisiones podamos colocar en la escala,

mas dígitos podremos asignar al resultado de nuestra

medición.

Una unidad de medida es el patrón que usamos para cuantificar una cantidad física, y como su

nombre lo indica, le asignamos un valor unitario. A cada unidad de medida se le asocia un símbolo,

el cual es una letra mayúscula o minúscula, escrito en redonda. Por ejemplo, para el gramo (unidad

de medida de masa) usamos la letra minúscula “g” (note que está escrita en redonda), y para el

segundo (unidad de medida de tiempo) usamos la letra minúscula “s” (note que está escrita en

redonda).

Si agrupamos una unidad de medida para cada cantidad

física estamos estableciendo un Sistema de Unidades de

Medida. Por ejemplo, la siguiente agrupación de

unidades de medida corresponde al Sistema

Internacional de Unidades de Medida (SI):

Hay más de una unidad de medida para cada cantidad

física. Por ejemplo, la masa puede ser expresada en

gramo, en kilogramo, en slug. La longitud puede medirse

en metro, pie, yarda, pulgada, milla. A partir de este

hecho se deduce que existen varios Sistemas de

Unidades. Por ejemplo, además del SI, tenemos el

cegesimal, el inglés. En este libro, salvo algunas

excepciones, se preferirá el uso del Sistema Internacional (SI).

Muchas unidades de medida tienen un nombre (gramo, ampere, volt, watt, joule), mientras que otras

no lo tienen (m/s, Nm, g/cm3). A estas últimas se les llama según la combinación de las unidades

que le dan origen. Por ejemplo, la unidad de medida de velocidad en el SI es “m/s”.

Tabla 1

Cantidad Física Unidad de Medida

Longitud (l) Metro (m)

Masa (m) Kilogramo (kg)

Tiempo (t) Segundo (s)

Nota: observe que los símbolos de las

cantidades físicas están escrita en

cursiva, mientras que las unidades se

indican en redonda.



12

Algunas reglas que debemos cumplir al expresar medidas son las siguientes:

a) Se debe respetar el símbolo. Por ejemplo, es correcto “32.4 g” y no “32.4 gr”, ni “32.4 grs”

b) Se debe usar el símbolo de la unidad de medida y no el nombre de la unidad de medida. Por

ejemplo: es correcto “3.22 km” y no “3.22 kilometro”

c) Los símbolos no deben pluralizarse. Por ejemplo, es correcto “500 m” y no “500 mts”

El 20 de mayo de 1875 se realizó la primera reunión internacional para crear un sistema único de

unidades de medida, creando el BIPM (Buró Internacional de Pesas y Medidas) cuyas oficinas

principales están en Francia. Este organismo realiza, cada 4 años, una CGPM (Conferencia General

de Pesas y Medidas). En las CGPM se discuten temas propios de la metrología y se logran acuerdos

de importancia para toda la comunidad científica.

Según el SI, las siete cantidades físicas básicas y sus correspondientes unidades de medida son:

Longitud (metro: “m”). Establecida en la 17va

Convención General de Pesos y Medidas (CGPM) en

1983, se define como “la distancia que viaja la luz, en el

vacío, durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 s”.

Masa (kilogramo: “kg”). Establecida en la 3ra

CGPM en

1901, se define como “la masa del prototipo cilíndrico, de

39 mm de alto, 39 mm de diámetro, hecho de aleación

90% Platino y 10% Iridio, que se conserva en el BIPM”.

Tiempo (segundo: “s”). Establecida en la 13ava CGPM

en 1967, se define como “la duración de 9192631770

periodos de la radiación correspondiente a la transición

entre dos niveles hiperfinos del estado base del átomo de

Cesio 133”.

Temperatura termodinámica (Kelvin: “K”). Establecida en la 13va

CGPM en 1967, se

define como “la fracción de 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple

del agua”.

Intensidad Luminosa (candela: “cd”). Establecida en la 16ava CGPM en 1979, se

define como “la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite

radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012

Hz y que tiene una intensidad radiante

en dicha dirección de 1/683 Watt por cada steraradián”.

Corriente Eléctrica (Ampere: “A”). Establecida en la 9na

CGPM en 1948, se define

como “la corriente constante que, si se mantiene en dos conductores paralelos de longitud

infinita, de sección transversal despreciable, separados un metro, en el vacío, produce

entre dichos conductores una fuerza de por cada metro de longitud”.

Cantidad de sustancia (mol: “mol”). Establecida en la 14va

CGPM en 1971, se define

como “la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantos entes elementales como

átomos hay en 0.012 kg de Carbono 12”.

http://www.google.com/imgres?imgurl=http://bullicius.files.wordpress.com/2010/11/kilogramo.jpg?w=400&h=292&imgrefurl=http://bullicius.wordpress.com/2010/11/04/%C2%BFporque-un-kilogramo-pesa-un-kilogramos/&usg=__fmljSk8pSy8nQHyDtBVMk3Fh8Ms=&h=292&w=400&sz=19&hl=es&start=22&zoom=1&tbnid=GQnbEjgUkyxoIM:&tbnh=91&tbnw=124&ei=5rPVTe-DLOXi0QGovtW2Bw&prev=/search?q=definicion+de+metro+patron&um=1&hl=es&biw=1259&bih=898&tbm=isch&um=1&itbs=1



13

Algunas cantidades físicas derivadas, y sus correspondientes unidades de medida son:

Fuerza (Newton: “N”), “es la fuerza que, aplicada a una masa de 1 kg, le imparte una

aceleración de 1 m/s2”

Presión (Pascal: “Pa”), “es la presión ejercida por una fuerza de 1 N sobre un área de 1

m2”

Energía, Trabajo, Calor (Joule: “J”), “es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N

sobre un punto que se desplaza 1 m en la dirección de la fuerza”

Potencia (Watt: “W”), “es la potencia desarrollada por 1 J en 1 s”

Carga eléctrica (Coulomb: “C”), “es la cantidad de electricidad transportada por una

corriente de 1 A en 1 s”

Diferencia de potencial eléctrico (Volt: “V”), “es la diferencia de potencial eléctrico

entre dos puntos de un conductor, que transporta una corriente de 1 A, siendo la potencia

disipada de 1 W”

Capacitancia (Faradio: “F”), “ es la capacitancia de un capacitor cuando la diferencia

de potencial es 1 V, siendo la carga acumulada de 1 C”

Resistencia eléctrica (Ohm: “Ω”) “es la resistencia eléctrica entre dos puntos de un

conductor, siendo la diferencia de potencial entre dichos puntos de 1 V y la corriente de 1

A”

1.6 PREFIJOS Y CONVERSION DE UNIDADES DE MEDIDA

Un prefijo de unidad de medida

es un símbolo que se antepone a

una unidad de medida para indicar

un múltiplo o submúltiplo (de base

10) de ésta. Como se indica en la

tabla 1.2.

Ejemplo 1.11

a) 5 km = 5 x 103 m = 5000 m

b) 6 cm = 6 x 10-2

m = 0.06 m.

c) 1 kg = 1(103) g = 1 x 10

3 g

d) 100 cm = 100 (10-2

) m = 1.00 m

e) 1.0 m L = 1.0 (10-3

) m = 1.0 x 10-3

L

f) 101.1 MHz = 101.1 (106) Hz = 1.011 x 10

8 Hz

g) 180 GW = 180 (109) W = 1.80 x 10

11 W

Tabla 1.2

Prefijos

Múltiplo de 10 Submúltiplo de 10

Deka = 10 deci = 0.1= 10 – 1

Hecto = 100 = 10 2

centi = 0.01 = 10 – 2

Kilo = 1000 = 10 3

mili = 0.001 = 10 – 3

Mega = 1000,000 = 10 6

micro = 0.000001 = 10 – 6

Giga = 1000,000,000 = 10 9

nano = 0.000000001 = 10 – 9

Tera = 1000,000,000,000 = 10 12

pico = 0.000000000001 = 10 – 12



14

CONVERSION DE UNIDADES DE MEDIDA

Cuando vayamos a realizar cálculos en los que intervienen cantidades

indicadas con unidades de varios sistemas de medidas, es necesario

expresarlas en el mismo sistema de medida (el sistema de medida en

el cual vamos a trabajar). Si tenemos una cantidad inicialmente con

unidades de un sistema de medida, y luego la expresamos con

unidades de otro sistema, realmente lo que hacemos es una

conversión de unidades. Durante este proceso sustituimos las

unidades del sistema que no vamos a utilizar (sistema original) por su

equivalente en el sistema que queremos, a la equivalencia de las

unidades de dos sistemas se le denominan factores de conversión

(ver tabla 1.3).

Es importante destacar que sólo podemos convertir unidades que

pertenezcan a la misma cantidad física. Por lo general, las unidades de

una cantidad física derivada pertenecen al mismo sistema de unidades.

A menos que se le indique lo contrario, cuando calcule o mida una

cantidad debe dejarla expresada en términos de unidades del mismo

sistema.

Ejemplo 1.12

Haciendo uso de las tablas 1.2 y 1.3, realizaremos las

siguientes conversiones de unidades.

a) 1.50 yarda a m

Una yarda es una unidad de longitud inglesa equivalente a 3 pie, por tanto tenemos:

( )

Usando la tabla 1.3 tenemos que 1 pie = 0.3048 m, entonces:

( ) (

)

b)

De la tabla 1.3 tenemos que 1 cm es 10 – 2

m, entonces:

(

) (

)

c)

Newton es la unidad de fuerza en el S.I y la dina es la unidad de fuerza en el sistema cgs.

, entonces tenemos:

( ) (

)

Nota:

Solo podemos convertir

unidades que pertenecen a

la misma cantidad física.

Es decir:

Puedo convertir de

metro a centímetro,

pero no de metro a

kilogramo.

Puedo convertir de

kilogramo a gramo y

viceversa, pero no de

kilogramo a segundo

Etc.

Es muy importante resaltar

que, al realizar una

conversión de unidades se

debe mantener el número

de cifras significativas. En

los casos necesarios nos

auxiliamos de la notación

científica.



15

Tabla 1.3

Factores de Conversión de Unidades

Longitud

Unidades centímetro metro pulgada pie Milla

cm 1 0.01 0.3937 0.03281 6.214 x 10 – 6

m 100 1 39.37 3.281 6.214 x 10 – 4

plg 2.54 2.54 x 10 – 2

1 8.33 x 10 – 2

1.578 x 10 – 5

pie 30.48 0.3048 12 1 1.894 x 10 – 4

milla 1.609 x 10 5 1609 6.336 x 10

4 5280 1

Area

cm2

m2

plg2

pie2

cm2

1 10 – 4

0.155 1.076 x 10 – 3

m2

10 4

1 1550 10.76

plg2

6.452 x 10 – 8

6.452 x 10 – 4

1 6.944 x 10 – 3

pie2

9.29 x 10 – 6

9.29 x 10 – 2

144 1

Volumen

cm3

m3 litro pie

3 plg

3

cm3

1 10 – 6

10 – 3

3.531 x 10 -5

6.102 x 10 – 2

m3

10 6

1 1000 35.31 6.102 x 104

Lit. 10 3

10-3

1 3.531 x 10-2

61.02

pie3 2.832 x 10

4 2.832 x 10

-2 28.32 1 1728

plg3 16.39 1.639 x 10

-5 1.639 x 10

-2 5.787 x 10

-4 1

1 galón US = 8 pintas = 128 onzas fluidas = 231 plg3 = 3.7854 litros

1 galón imperial británico = 1.201 galón US

Masa

kilogramo slug onza libra tonelada

1 kg 1 6.852 x 10-2

35.27 2.205 1.102 x 10-3

1 slug 14.59 1 514.8 32.17 1.609 x 10-2

1 onza 2.835 x 10-2

1.943 x 10-3

1 6.25 x10-2

3.125 x 10-5

1 lb 0.4536 3.108 x 10-2

16 1 5 x 10-4

1 ton 907.2 62.15 3.2 x 104 2 x 10

3 1

NOTA: la onza, la libra y la tonelada son unidades de fuerza, pero es muy común que se usen como unidades

de masa, y por tal razón se incluyen aquí.

Tiempo

año Día hora minuto Segundo

1 año 1 365.25 8.766 x 103 5.259 x 10

5 3.156 x 10

7

1 día 2.738 x 10-3

1 24 1440 8.640 x 104

1 hora 1.141 x 10-4

4.167 x 10-2

1 60 3600

1 minuto 1.901 x 106 6.944 x 10

-4 1.667 x 10

-2 1 60

1 segundo 3.169 x 10-8

1.157 x 10-5

2.778 x 10-4

1.667 x 10-2

1



16

1.7 CIFRAS SIGNIFICATIVAS (CS)

Como ya vimos antes “mientras más divisiones podamos colocar en la escala de un equipo de

medida, más dígitos podremos asignar al resultado de nuestra medición”. Podemos deducir entonces

que, si dos personas miden la misma cantidad física en una misma entidad, pero usan distintos

equipos de medida, podrían tener medidas con distinta cantidad de dígitos. Además, si recibimos

una medida que haya tomado otra persona, podríamos tener la duda de si dicha persona colocó la

cantidad de dígitos que corresponden al equipo de medida.

Para resolver estas cuestiones se crea el concepto de cifras

significativas en una medida. La definición clásica de cifras

significativas (CS) establece que:

“Son cifras significativas en una medida todos los dígitos que nos

permite apreciar el equipo de medida, más un dígito que aporta la

persona que realiza la medición, según su apreciación”.

Esta definición no es aplicable cuando usamos un equipo de medida

digital, porque no podemos añadir ningún dígito según nuestra

apreciación. Además, esta definición implica que tenemos el equipo

de medida a la mano.

Para el caso en que el equipo de medida sea digital, o no tengamos el

equipo de medida a la mano, debemos cambiar esta definición e

introducir la definición operativa de cifras significativas (CS), la

cual establece:

“son cifras significativas en una medida, todos los dígitos diferentes

de cero, los cero que están entre dígitos diferentes de cero

(sándwich) y los cero a la derecha de un dígito diferente de cero”.

Ejemplo 1.13

¿Cuántas cifras significativas hay en cada una de las cantidades siguientes? ¿Por qué?

a) tiene 2 CS (las cifras ocupadas por el 5 y el 8 son significativas, las cifras

ocupadas por el cero no cuentan como cifras significativas ya que no están ni a la derecha de

una cifra significativa, ni entre dos cifras significativas)

b) tiene 5 CS (las cifras ocupadas por el 5 y el 4 son significativas y las cifras

ocupadas por el cero se encuentran en dos cifras significativas)

c) Esta no posee unidades de medidas, por tanto no es una medición y no tiene CS

d) tiene 3 CS (recuerde que en NC, se cuentan las CS al coeficiente)

Nota:

Las cifras significativas

se cuentan de izquierda

a derecha.

Solo se cuentan como

cifras significativas a las

cifras que componen

una medición.

Si la medida esta

expresada en notación

científica, las cifras de

la potencia de diez no

son significativas.

Las cifras cuyo valor sea

cero, contaran como

cifras significativas

cuando se encuentren a

la derecha de otra cifra

que sea significativa.



17

REDONDEO

Se llama redondeo a la acción de reducir el número de

dígitos de una cantidad a hasta un número de digito

predeterminado.

Para hacer esto primero se decide a cuantas cifras se

redondeará la cantidad, para determinar el lugar del

dígito que se eliminará, y con él todos los de su derecha.

Luego se aplican el criterio de lugar.

Ejemplos 1.14

Redondee las siguientes cantidades, tal como se le indica.

a) 7.1528 cm redondeado a 3 CS.

- Debemos mantener las 3 primeras cifras significativas; se elimina el 2, que es menor que

5. Entonces tenemos: 7.15 cm

b) 7.1528 cm redondeado a 2 CS.

- Debemos mantener las dos primeras cifras significativas; se elimina 5, entonces al 1 que

está a su izquierda y que es impar, se le suma 1. Entonces tenemos: 7.2 cm

c) 7.1528 cm redondeado a 1 CS.

- Mantendremos la primera CS; se elimina 1 que es menor que 5. Entonces tenemos: 7 cm

d) 4.03 ohm redondeado a 1 decimal.

- Mantendremos hasta el primer decimal; se elimina 3 que es menor que 5. Nos queda 4.0

ohm

e) 1.635 plg redondeado a 2 decimales.

- Mantendremos hasta el segundo decimal; se elimina 5, entonces al 3 que está a su

izquierda, que es impar, se le suma 1. Nos queda 1.64 plg

f) 40693 kg redondeado a 3 CS.

- Primero expresamos la cantidad en notación científica, tal que: 4.0693 x 104

kg

- Debemos mantener las tres primeras cifras, se elimina 9 que es mayor que 5, y como el

seis que le queda a la izquierda es par se queda igual. Nos queda 4.06 x 104 kg

g) 40693 kg redondeado a 2 CS.

- Primero expresamos la cantidad en notación científica, tal que: 4.07 x 104 kg

- Debemos mantener las dos primeras cifras, se elimina 6 que es mayor que 5 y se suma

uno a la cifra de la izquierda. Nos queda 4.1 x 104 kg

Criterios de Redondeo:

Si el digito a eliminar es mayor de 5

se le sumará un 1 al digito de la

izquierda.

Si el digito a eliminar es menor de 5

no se afecta el de la izquierda.

Si el digito a la izquierda del que será

eliminado es par, no se altera.

Cuando al redondear se le suma uno al

digito de la izquierda del digito a

eliminar decimos que hemos

redondeado por exceso.



18

OPERACIONES MATEMATICAS CON MEDIDAS TOMANDO EN CUENTA LAS

CIFRAS SIGNIFICATIVAS (CS)

Suma y/o Resta:

Donde:

es el símbolo de sumatoria (e indica suma algebraica)

Las son las medidas sumando

es la medida resultado

Ejemplo 1.15

Realice las operaciones indicadas considerando las cifras

significativas.

a)

- Entre las cantidades sumando, la que menos decimales

tienes es 8.6 kg, que solo tiene un lugar decima.

- Entonces:

b) ( )

- Note que el primer factor carece de unidades de medida,

por tal razón no es una medición y sus cifras no son

significativas.

- Entonces, el resultado de corresponder con 5.15 plg, y

tenemos:

c)

- Note que el divisor no es una medición, por tal razón el

resultado corresponderá con 5.2 amp.

- Entonces:

Multiplicación y División

Donde:

es el símbolo de multiplicatoria

Las son las medidas factores


Regla:

El resultado (MR)

tendrá igual número de

cifras significativas que la

cantidad (Mi) de la

operación que menos cifras

tenga.

Regla:

El resultado (MR)


lugares decimales que la

cantidad (Mi) de la

operación que menos

decimales tenga.

Con esta regla se

garantiza que el

resultado corresponda

con el instrumento que

se utilizó para tomar las

medidas, y que no tenga

menos poder de

discriminación (menor

número de divisiones).

Esta regla se aplica por

igual a la suma y a la

resta, ya que solo es

aplicable a entes de la

misma naturaleza.

Si se multiplicara o se

dividiera una medición

(Mi) por un número (A),

el resultado tendrá igual

cantidad de decimales

que la medición.



19

Ejemplo 1.15

Realice las operaciones indicadas considerando las cifras

significativas.

a)

- La medición que menos CS tiene corresponde al primer factor

que tiene 3 CS.

- Entonces mantendremos las tres primeras cifras:

b) (

) ( )

- La medición que menos CS tiene corresponde al dividendo

que tiene 2 CS.

- Entonces mantendremos las dos primeras cifras:

c) ( )

- La medición que menos CS tiene corresponde al primer factor que tiene 2 CS.

- Entonces expresamos en notación científica y tenemos:

Potenciación y Radicación

Potenciación: ,

Radicación: √

Donde:

es la medida del calculo


Ejemplos 1.16

Potenciación: ( )

- La cantidad base tiene dos cifras significativas, entonces

debemos expresar el resultado en notación científica.

- Nos queda:

Radicación: √

- La cantidad base tiene tres cifras significativas, entonces el

resultado es:

Regla:

El resultado (MR)


cifras significativas que la

cantidad (M) de la

operación.

Esta regla garantiza

que el resultado

corresponda con el

instrumento de medida

utilizado.

En caso que en la

cantidad base, se

indique otra operación

(multiplicación,

división, suma o resta)

se realizará esta

operación, y luego se

aplica esta regla.

Esta regla se aplica tanto

a la división y a la

multiplicación, que la

división se puede escribir

una multiplicación

Las mediciones que

intervienen no tienen por

obligación, las mismas

unidades de medida,

porque estas operaciones

se definen entre

cantidades de igual o

distintas naturaleza.



20

1.8 RELACIONES ENTRE VARIABLES Se denomina función a la regla o ley que asigna a cada

elemento de un conjunto A, al menos, un elemento

correspondiente en otro conjunto B. Por ejemplo, si dos

conjuntos cuyos elementos de relacionan uno a uno como se

muestra en la tabla, entonces podemos decir que la función

entre A y B es la siguiente: “B es el doble de A”, la cual se

puede representar en forma matemática “ ”

Si en un intervalo los elementos de un conjunto van cambiando decimos que son variables, de lo

contrario (si no cambian) decimos que son constantes. Las funciones no necesariamente son

sencillas (como el ejemplo anterior). Estas dependen del tipo de correspondencia que existe entre los

elementos de los conjuntos dados. Si denotamos a la variable del segundo conjunto con la letra “y”

y a la variable del primer conjunto con la letra “x”, decimos que: “y es una función de x”. En este

caso decimos que hay una función de 1 sola variable, y se escribe indica: ( )

A “x” se le llama variable independiente (VI) y a “y” variable dependiente (VD). Al conjunto de

valores que puede tomar “x” se le llama dominio y al que puede tomar “y” se le llama rango.

Puede ocurrir que tengamos una función más compleja, en la cual los elementos de un conjunto que

llamamos “z” dependan de los elementos de dos conjuntos “x” y “y”. En este caso decimos que hay

una función de 2 variables y esto se indica: ,z f x y

Si la dependencia fuera de los elementos de 3 conjuntos, diríamos que hay una función de 3

variables, y esto se indica: , ,z f x y w

Proporcionalidad Directa:

Se designa como proporcionalidad directa a la función en la

cual el cociente (o razón) de los valores correspondientes a dos

variables “x” y “y” es una constante.

De lo anterior se deduce que la expresión matemática de este

tipo de relación es:

A la constante “k” se le denomina constante de

proporcionalidad y no es más que la razón a la que cambia “y”

con respecto a “x”.

La gráfica de esta función es una línea recta inclinada subiendo

hacia la derecha que pasa por el origen.

Tabla 1.4

A 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

B 2.0 4.0 6.0 8.0 10

Si dos variables “x” y “y”, se

observa que:

Y al graficar y = f(x) se

obtiene.

Entonces existe una

proporcionalidad directa entre

las variables. Lo que se indica

de la forma:

y

x



21

Ejemplo 1.17

Con los valores de “x” y de “y” que aparecen en la tabla mostrada:

a) Construir una gráfica y f x ,

La ventaja de llegar a la ecuación matemática que relaciona las variables es que con ella usted puede

determinar valores de “y” correspondientes a valores de “x” que no están en la tabla. Si los valores

que buscamos están fuera de la gráfica decimos que se ha hecho una extrapolación. Si los valores

que buscamos están dentro de la gráfica decimos que se ha hecho una interpolación.

Por ejemplo, cuando x = 10m, 5 10m 50my

Si con los datos de los censos correspondientes a la cantidad de habitante de esta ciudad

construyéramos una grafica de cantidad de habitante en función del tiempo y pudiéramos luego

determinar la ecuación que relaciona estas dos cantidades podríamos entonces determinar el número

de habitantes que tendría la ciudad en años posteriores (dentro de 5, 10, o más años). Con esta

información podríamos realizar una mejor planificación del futuro de la ciudad.

Variación lineal:

Se designa como variación lineal (VL) a la función en la cual la

ecuación matemática que relaciona las variables es:

En la ecuación anterior k y A son constantes. Al valor “k” se le

denomina constante de proporcionalidad y al valor “B” se le

llama constante aditiva. La grafica de esta relación es una línea

recta que no pasa por el origen.

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

y (m)

x (m)

y = f (x)

y (m) 0 5 10 15 20

x (m) 0 1 2 3 4

b) Determinar el valor de la constante de

proporcionalidad.

c) Escribir la ecuación correspondiente


relacionan de forma que:

o Para x = 0, y =A

o Y el grafico y = f(x) es:

Entonces la relación es una

variación lineal.

y

x A



22

Para determinar la constante de proporcionalidad, se toman dos

puntos cualesquiera de la grafica (o de la tabla), y se realiza el

cociente entre la diferencia de los valores de la variable dependiente

entre la diferencia de los valores de la variable independiente.

Ejemplo 1.18

Dada la siguiente tabla:

a) Construir la grafica,

Proporcionalidad directa con el cuadrado:

Llamamos proporcionalidad directa con el cuadrado a

la función en la cual el cociente (o razón) de los valores

correspondientes a dos variables “x2” y “y” es una

constante.

De lo anterior se concluye la expresión matemática que

relaciona las variables.

La grafica de esta relación es una curva llamada parábola,

la cual tiene su vértice en el origen.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5

y (m)

x (m)

y = f(x)

y (m) 10 15 20 25 30

x (m) 0 1 2 3 4

Para determinar el valor de la

contante de proporcionalidad,

se opera como sigue.

b) Determinar las constantes.

La constante aditiva se puede observar en

el grafico o en la tabla, es el valor de “y”

cuando “x=0”

A=10 m

Para el valor de la constante

proporcionalidad, se localizan dos puntos

en la grafica o en la tabla.

( ) ( )

Y luego:



observa que:

Y la grafica y = f(x) es

“parábola”

Entonces existe una

proporcionalidad directa con el

cuadrado entre las variables. Lo

que se indica de la forma:

y

x



23

Ejemplo 1.19

Dada la siguiente tabla:


Proporcionalidad Inversa:

Se conoce como proporcionalidad inversa a la función en la

cual el producto de los valores correspondientes a dos variables

“x” y “y” es una constante.

De lo anterior se concluye la expresión matemática que relaciona

las variables.

La grafica de esta función es una curva llamada hipérbola.

Ejemplo 1.20

Dada la siguiente:


b) Determinar la constante,

c) Escribir la ecuación correspondiente.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5

y (m)

x (m)

y = f(x)

y(m) 0 5 20 45 80 125

x(m) 0 1 2 3 4 5

y(m) 20 10 5 4 2 1

x(m) 1 2 4 5 10 20


proporcionalidad.



observa que:

Y al graficar

y = f(x) se obtiene.

“hipérbola”

Entonces existe una

proporcionalidad inversa entre las

variables. Lo que se indica de la

forma:

y

x



24

Procedimiento para determinar el tipo de relación entre las variables de una tabla sin

construir la grafica:

a) La relación es una proporcionalidad directa si al dividir cada valor de “y” entre el

correspondiente valor de “x” se obtiene el mismo valor, ya que:

b) La relación es una proporcionalidad directa con el cuadrado si al dividir cada valor de

“y” entre el cuadrado del correspondiente valor de “x” se obtiene el mismo valor, ya que:

c) La relación es una proporcionalidad inversa si al multiplicar cada valor de “y” por el

correspondiente valor de “x” se obtiene el mismo valor, porque en esta relación:

d) La relación es una variación lineal si la constante aditiva (A) es distinta de cero (esto es lo

primero). Lo segundo que hay que hacer es calcular la constante de proporcionalidad (k) con

el primer punto y cada uno de los puntos siguientes de la tabla, si siempre se obtiene el

mismo valor entonces es suficiente para que podamos decir que la relación es una variación

lineal.

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

y (m)

x (m)

y = f(x)

( )( ) ( )( ) ( )( )


proporcionalidad.




25

1.9 CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES

SISTEMAS DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas es un esquema (dibujo) que nos permite

identificar la posición de un punto de modo único. Vamos a considerar

que al identificar la posición de un punto estamos identificando al

punto mismo. Todos los sistemas de coordenadas identifican los

puntos con respecto de otro punto arbitrario al cual se le llama origen

del sistema de coordenadas.

Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas

Este sistema identifica los puntos usando números colocados sobre

líneas rectas. Si nos interesa identificar un punto en 1 dimensión

usamos una recta (a la que podemos llamar Eje x). Colocamos un cero

(nuestro origen) en cualquier lugar del Eje x (recuerde que el origen es

arbitrario), y luego vamos colocando números a los demás puntos

(positivos a la derecha del cero, y negativos a la izquierda del cero).

Entonces podemos decir que un punto que está colocado sobre el Eje x

en el número 4, se identifica por x = 4 en Coordenadas

Rectangulares.

Si nos interesa identificar un punto en 2 dimensiones usamos un plano,

al cual podemos llamar plano formado por los Ejes xy. Los Ejes xy son

2 rectas perpendiculares (se cortan formando ángulos rectos).

Colocamos un cero en la intersección de los Ejes xy y luego vamos

colocando números a los demás puntos de ambos ejes (positivos a la

derecha y arriba del cero, y negativos a la izquierda y abajo del cero).

Entonces podemos decir que un punto que está en la intersección del

número 3 del Eje x con el número 4 del Eje y se identifica por el par

ordenado (x, y) = (3,4) en Coordenadas Rectangulares.

Si nos interesa identificar un punto en 3 dimensiones usamos un

espacio, al cual podemos llamar espacio formado por los Ejes xyz. Los

Ejes xyz son 3 rectas perpendiculares (se cortan formando ángulos

rectos). Colocamos un cero en la intersección de los Ejes xyz y luego

vamos colocando números a los demás puntos de ambos ejes (positivos

a la derecha, arriba y delante del cero, y negativos a la izquierda, abajo

y detrás del cero). Entonces podemos decir que un punto que está en la

intersección del número 3 del Eje x, el número 4 del Eje y, y el número

5 del Eje z se identifica por el trío ordenado (x, y, z) = (3, 4,5) en

Coordenadas Rectangulares.

0

0

0

0

x

x

x

y

Sistemas de Coordenadas

Unidimensionales

y(m

)

x(m)

4 5 6 1 2 3

4

3

2

1

0

6

5

(x,y) = (3,4)

y

x

z



26

Sistema de Coordenadas Esféricas

Este sistema identifica los puntos, en un espacio, usando un

radio “ ” y dos ángulos “θ” y “φ”. El modo de proceder en

este sistema es el siguiente:

a) El radio “ ” es medido desde el origen hasta el punto p

b) El ángulo “θ” se mide con la parte positiva del eje “z”

c) El ángulo “φ” se mide con la parte positiva del eje “x”

Entonces podemos definir el punto por las coordenadas

esféricas como:

( )

Un caso particular de este sistema es cuando identificamos un

punto en una superficie plana (Coordenadas Polares

Planas), usando el radio “ ” y un solo ángulo.

En este caso especificamos que el ángulo θ lo medimos desde

el lado positivo del Eje x (la derecha, o el Este), en contra del

reloj, hasta el punto que nos interesa identificar.

Entonces podemos definir el punto por las coordenadas polares

planas como:

( )

ESCALARES Y VECTORES

Toda cantidad física que está completamente expresada con su valor y

unidad de medida, se denomina escalar. Para simbolizar un escalar se usa

una letra; mayúscula o minúscula. Entre los escalares podemos contar:

Ejemplo 1.21

Un objeto posee una masa de 3.25 kg.

Un vector es un concepto (idea) que usamos en Física considerando que

está formado por tres partes: Magnitud, Dirección, Sentido. Este puede ser

representado mediante un segmento de recta dirigida.

Para entender como la Física usa a un vector se hace una comparación

entre el concepto “vector” y el ente real “segmento dirigido (o flecha)”.

Entonces, en la comparación tenemos lo siguiente:

a) La Magnitud del vector corresponde con la longitud del segmento dirigido.

Eje polar

Polo

θ r

p = ( ,θ)

( )

Un escalar solo tiene

magnitud.

Entre las cantidades

escalares podemos

mencionar:

La masa (m)

El tiempo (t)

La temperatura (T)

La energía (U)

La distancia (d)

La rapidez (v)



27

b) La Dirección del vector corresponde con la línea recta sobre la cual está el segmento

dirigido.

c) El Sentido del vector corresponde con la punta del segmento dirigido (la cabeza).

Hay cantidades físicas llamadas cantidades vectoriales. Estas se

expresan completamente con:

a) Un valor (corresponde a la Magnitud del vector)

b) Una orientación en el espacio (corresponde a Dirección y Sentido

del vector)

Para simbolizar una cantidad vectorial (o vector) se usa una letra,

mayúscula o minúscula, con una flechita encima.

Ejemplo 1.22:

Una partícula se mueve sobre el eje horizontal hacia la derecha con una

velocidad de 5.25 m/s.

- La magnitud es 5.25 m/s,

- y la orientación espacial es a la derecha del eje horizontal (+x)

- Entonces podemos indicar el vector:

Representación De Un Vector

Vamos a usar una extensión de los distintos sistemas de coordenadas (que identifican la posición

de un punto) como nuestros modelos para la forma de expresar un vector, sin importar la cantidad

física asociada a dicho vector. Así las cosas, podemos decir que toda cantidad física vectorial la

podemos precisar de tres formas fundamentales que son:

a) Magnitud y dirección (usando el modelo de las coordenadas polares): consiste en indicar

el vector mediante su magnitud, y el ángulo de orientación, medido respecto a la parte

derecha del eje horizontal (eje polar).

Ejemplo 1.23

Un auto que se mueve a 20.0 m/s sobre una carretera que forma un ángulo de 30° al norte del este.

La velocidad del auto queda precisada como:

b) forma gráfica: consiste en indicar el vector mediante un segmento de recta dirigida (una

flecha), la longitud de la flecha debe ser proporcional a la magnitud del vector, por tal razón,

Una cantidad vectorial

tiene magnitud,

dirección y sentido.

Entre las cantidades

escalares podemos

mencionar:

Desplazamiento ( )

Fuerza ( )

Velocidad ( )

Aceleración ( )

Es de importancia que al

momento de indicar un

vector, le señalemos

colocando la flecha, de

no hacerlo nos estamos

refiriendo a su magnitud



28

es necesario el uso de una escala. La orientación del vector, está dada por el ángulo de

inclinación de la flecha, medido desde la parte derecha del eje horizontal, y en sentido

contrario a las agujas del reloj.

Ejemplo 1.24

El vector del ejemplo anterior indicado en forma

gráfica, usando como escala que cada centímetro del

dibujo equivale a 4.0 m/s:

Trazaríamos una recta de 5.0 cm de longitud, inclinada

un ángulo de 30° con respecto a la horizontal.

c) Componentes rectangulares: Si consideremos el vector , precisamos dicho vector como el

par ordenado “(vx, vy)” (si es en el plano xy) o un trío ordenado “(vx, vy, vz)” (si es en el

espacio xyz), a los cuales se les llama componentes rectangulares. Estas se corresponden con

las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas. Es decir, la proyección , sobre

el eje x, se corresponde con la componente vx.

Ejemplo1.25

Para precisar las componentes del vector anterior, es necesario conocer su magnitud y su

dirección:

{

( )

( )

Entonces precisamos las componentes de :

( ) (

)

Escala:



29

1.10 SUMA VECTORIAL

La suma de vectores está definida en componentes rectangulares. Si tenemos y , la suma de

estos tendrá como resultado otro vector cuyas componentes se consiguen como la suma de las

componentes correspondientes de y . Si llamamos a la suma de y , entonces:

Cx = Ax+ Bx

Cy = Ay+ By

En la suma vectorial se cumple:

La propiedad Conmutativa:

La propiedad asociativa: ( ) ( )

El elemento neutro: {donde = (0, 0, 0) es el vector nulo}

Elemento simétrico: ( )

Donde es un vector con la misma magnitud y dirección de y de sentido contrario.

Ejemplo 1.26

¿Cuál es el vector opuesto de un vector (

)

- Para obtener el vector opuesto, tenemos que multiplicar por – 1 el vector en sí.

- Entonces tenemos:

(

)

Métodos gráficos: En la forma gráfica, existen dos métodos para sumar vectores, que son:

a) Método del paralelogramo: con este método solo podemos sumar dos vectores a la vez, y

consiste en formar un paralelogramo con los vectores y líneas paralelas a ellos. Para

sumar vectores utilizando este método, se seguirán los siguientes pasos:

1) Se escogerá una escala conveniente y única para los vectores.

2) Se trazan los vectores a sumar, a escala, haciendo que coincidan sus inicios.

3) Se traza una línea paralela a cada vector, y que pase por el final del otro.

4) El vector resultante será el vector trazado y medido desde el inicio de los vectores

sumando, hasta el vértice opuesto del paralelogramo.

La magnitud del vector resultante es el producto de la longitud medida por la

escala utilizada.

La orientación del vector resultante es el ángulo medido desde la parte derecha

del eje horizontal, y en sentido contrario de las agujas del reloj, hasta el vector

resultante.



30

Ejemplo1.27

Dados dos vectores: . Determine el vector

Los vectores en la forma polar están dados por:

El Este geográfico lo haremos coincidir con 0°, entonces:

Midiendo el ángulo desde el este hasta el norte, tenemos:

Debemos escoger una escala conveniente para los dos vectores:

Escala:

Con esta escala el vector será una flecha de 2.0 cm de

largo, y el vector será una flecha de 4.0 cm de largo.

Se trazan los vectores haciendo que inicien en el mismo

punto.

Se trazan paralelas a ellos que pasen por el final del

otro, formando de esta forma un paralelogramo.

Se traza y mide el vector , para determinar su

magnitud y orientación.

Para obtener la magnitud de , medimos su longitud

(longitud de la línea azul continua) y multiplicamos por

la escala que habíamos utilizado.

Al medir a podemos observar que

tiene una longitud de 5 cm, y una

fracción de centímetro la cual

podemos estimar entre 0 y 9, digamos

que es 8, entonces:

( ) (

)

Para la orientación debemos medir el

ángulo utilizando un transportador de

ángulo.

Por tanto en la forma polar el vector

resultante es:

“note que la magnitud del vector resultante ( ), no es igual a la suma de las magnitudes

de los vectores y , esto solo será posible cuando los vectores a ser sumados tengan

igual dirección y sentido.”

30°

30°

20.0 m



31

b) Método del polígono: también podemos utilizar este método si tenemos que sumar dos o más

vectores. Este consiste en formar un polígono con todos los vectores dados y el vector

resultante. Para sumar vectores con este método, se seguirán los siguientes pasos:

1) Se escogerá una escala conveniente y única para los vectores dados.

2) Se trazan los vectores a sumar, a escala, uno a continuación del otro (donde finalice

uno iniciará el siguiente y así sucesivamente, hasta el último).

3) El vector resultante será trazado y medido desde el inicio del primero hasta el final

del último.

La magnitud del vector resultante es el producto de la longitud medida por la escala

utilizada.

La orientación del vector resultante es el ángulo medido desde la parte derecha del

eje horizontal, en sentido contrario a las agujas del reloj, hasta el vector resultante.

Ejemplo 1.28

Dados dos vectores . Determine el vector

Los vectores en la forma polar están dados por:

El Este geográfico lo haremos coincidir con 0°, entonces:

Midiendo el ángulo desde el este hasta el norte, tenemos:

Debemos escoger una escala conveniente para los dos vectores

Escala:

Con esta escala el vector será una flecha de 2.0 cm de largo, y el vector será una

flecha de 4.0 cm de largo.

Se trazan los vectores uno a continuación del

otro.

Se traza y mide el vector , para determinar su

magnitud y orientación.

Para obtener la magnitud de , medimos su longitud y multiplicamos por la escala

que habíamos utilizado. Al medir a podemos observar que tiene una longitud de 5 cm, y

una fracción de centímetro la cual podemos estimar entre 0 y 9, digamos que es 8, entonces:

30°



32

c) Método analítico: estando todos los vectores en la forma cartesiana, los vectores se suman

algebraicamente todas las componentes que corresponden al eje x, e igualmente con las

componentes que corresponden al eje y, de este modo hemos obtenido el vector resultante en

su forma cartesiana. Luego podemos llevar el vector resultante a su forma polar.

Ejemplo1.29

Dados los vectores . Determine el vector

Tal que los vectores a sumar están en la forma polar, debemos llevarlos a la forma

rectangular, tal que:

{ ( )

( ) ( )

{ ( )

( ) ( )

Para obtener el vector resultante en forma rectangular, sumamos las componentes que

corresponden a un mismo eje, tal que:

([ ] [ ]) ( )

Para determinar la magnitud y la orientación de , llevamos de la forma rectangular a

la forma polar.

( )

{

√ √( ) ( )

(

) (

)

( ) (

)

Para la orientación debemos medir el

ángulo utilizando un transportador de

ángulo.

Por tanto en la forma polar el vector

resultante es:

= 20°



33

RESUMEN

El objetivo principal de las ciencias es comprender los fenómenos que ocurren en nuestro alrededor,

estos fenómenos son tan amplios que ha sido necesario dividir sus estudios en disciplinas, tales

como son Física, Química, Biología, etc.

En física es necesario afirmar las cantidades físicas, que son los conceptos utilizados para el

estudio de los fenómenos físicos, y plantear las leyes y principios de la física. Estas cantidades

físicas la representaremos mediante letras cursivas, ya sea en mayúscula o minúscula.

A toda cantidad física, le corresponde una unidad de medida, que son los patrones unitarios para

indicar la naturaleza de las cantidades físicas. Las unidades de medida la representaremos mediante

letras escritas en redonda sea mayúscula o minúscula.

Entre las cantidades físicas algunas para estar completamente indicadas solo necesitaran de su

magnitud (valor y unidad de medida), estas cantidades se conocen como cantidades escalares.

Otras cantidades conocidas como vectores o cantidades vectoriales, además de la magnitud

necesitan de una orientación espacial (dirección y sentido).

Cuando la escritura de una cantidad es

muy extensa, es conveniente expresarla

en notación científica, indicándola

como un numero el cual

será factor de una potencia de base 10,

y cuyo exponente “E”

Medir es la acción de comparar, que

nos permite determinar el valor de una

cantidad física asociada a un ente real.

Al valor obtenido se le denomina

medida.

Cifras Significativas, definición

clásica de Cifras significativas: “son

CS en una medida todos los dígitos que

nos permite apreciar el equipo de

medida, más un dígito que aporta la

persona que realiza la medición, según

su apreciación”.

Operaciones en Notación Científica:

Suma y/o Resta: ( ) ( ) ( )

Multiplicación: ( ) ( ) ( )( )

División: ( ) ( ) ( )

Potenciación: ( ) ( ) ( )( )

Radicación: √

√

Operaciones considerando las Cifras Significativas

Suma y/o Resta con CS:

Regla: tendrá la cantidad de decimales de la con

menos decimales.

Multiplicación y/o División con CS:

Regla: tendrá la cantidad de CS de la que menos CS

tenga.

Potenciación con CS:

Radicación con CS: √

Regla: tendrá la cantidad de CS de .



34

Definición operativa de Cifras Significativas: “son CS en una medida: los dígitos diferentes de

cero, los cero que están entre dígitos diferentes de cero (sándwich) y los cero a la derecha de un

dígito diferente de cero”.


observa que:

Y al graficar y = f(x) es:

Entonces existe una

proporcionalidad directa entre

las variables.

y

x


relacionan de forma que:

o Para x = 0, y =A

o Y el grafico y = f(x) es:

Entonces la relación es una

variación lineal.

y

x A


observa que:

Y al graficar y = f(x) es:

“parábola”

Entonces existe una

proporcionalidad directa con

el cuadrado entre las

variables.

y

x


observa que:

Y al graficar

y = f(x) se obtiene.

“hipérbola”

Entonces existe una

proporcionalidad inversa entre

las variables. Lo que se indica

de la forma:

y

x

√

(

)

Representación Vectorial

forma de coordenadas rectangulares: (x,y)

forma de coordenadas polares: r, θ

Cambio de coordenadas

de polar a rectangular: x = r cos θ, y = r sen θ

de rectangular a polar:



35

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Escriba estos números en notación científica:

a) 0.0000682

b) 48009387921.88

c) 500000000

d) 0.0000287

2. Realice estas operaciones:

a) (3.5 x 10 4 ) + (6.7 x 10

3 )

b) (4.0 x 10 5 ) x (3.0 x 10

– 2 )

c) (6.0 x 10 – 4

) ÷ (2.0 x 10 8

)

d) (3.0 x 10 4 )

3

e) √( )

3. Exprese cada una de las siguientes medidas usando el prefijo solicitado:

a) 2000 g (use kilo):

b) 5 m (use centi):

c) 80000 volt (use Mega):

d) 4 ampere (use mili):

4. Realice las conversiones de unidades requeridas:

a) 20 m (convertir a “pie”):

b) 5 m3 (convertir a “litro”)

c) 45 m/s (convertir a “km/h”):

d) 3 hora (convertir a “segundo”):

5. Indique la cantidad de cifras significativas de cada medida:

a) 0.0020 kg:

b) 3.05 x 106 m

3

c) 0.4 m

d) 30.04 ampere

6. Resuelva estas operaciones tomando en cuenta las cifras significativas:

a) (5.73 volt) + (3.8 volt)

b) (4 m ) x (3.5 m) x (0.750 m)

c) (6 pie) x 3.14

d) (30 m)2

7. Analice cada una de las tablas siguientes. Determine el tipo de relación, el valor de la

constante, y escriba la ecuación matemática correspondiente:

a) b)

c) d)

8. Cambie la forma de cada vector (de polar a rectangular, y viceversa) según sea

necesario:

a) = 5 m/s, 70°:

b) = (3.0 m, 4.0 m):

c) = 9.8 m/s2, 270°:

d) = (8.5 N, 6.5 N):

9. Sume los vectores dados en cada caso:

a) (

) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

y(m) 0 10 20 30 40

x(m) 0 1 2 3 4

y(m) 10 5 2 1

x(m) 1 2 5 10

y(m) 0 4 16 36 64 100

x(m) 0 1 2 3 4 5

y(m) 100 110 120 130 140

x(m) 0 1 2 3 4



36

FISICA BASICA MECÁNICA CLÁSICA – CINEMÁTICA


37 37

Capítulo

2. Cinemática

Contenido:

2.1 Mecánica Clásica.

2.2 Elementos de la Cinemática.

2.3 Movimiento Rectilíneo.

2.4 Movimiento en el Plano.



38

2.1 MECANICA CLASICA

La rama de la física que se encarga del estudio del estado de movimiento o de reposo de los objetos,

y las causas que le modifican, se conoce como Mecánica Clásica, esta se subdivide en:

La cinemática que se ocupa de la descripción del movimiento,

La dinámica que se ocupa de las causas que determinan el movimiento,

Y la estática que se ocupa del análisis de las fuerzas de los sistemas físicos en estado de

reposo.

Para el estudio de cualquier fenómeno físico es necesario establecer un marco de referencia el cual

es un ente constituido por un punto de referencia arbitrario, un conjunto de ejes coordenados y un

reloj. En cada fenómeno en estudio se identifica al menos un sistema. Se entiende por sistema al

conjunto de entes materiales, tal que esté caracterizado por tener un marco de referencia. Para el

estudio de cualquier fenómeno físico usamos aproximaciones a la realidad, para fines de

simplificación, llamadas modelos. A cualquiera de las situaciones posibles como resultado de cada

uno de los cambios que sufre el sistema se le denomina estado físico.

En este capítulo nos ocuparemos de la descripción del movimiento de partículas o de cuerpos cuyo

movimiento puede ser estudiado como el de una partícula.

2.2 ELEMENTOS DE LA CINEMÁTICA

Denominaremos elementos de la cinemática a los modelos y cantidades físicas que nos sirven para

describir el movimiento. A continuación los que son de interés para este curso.

Partícula. Es un modelo que consiste en una porción de materia suficientemente pequeña para

que su tamaño no sea un elemento a considerar en los razonamientos en los que dicha porción de

materia interviene, sin que dichos razonamientos se alteren.

Trayectoria y Posición

Imagine que mientras usted lee este libro, apoyándolo sobre una

mesa, ve una hormiguita caminar por la superficie de la mesa.

Además, suponga que la hormiguita tiene las patitas sucias de

tinta roja. Mientras la hormiguita camina, deja una línea de color

rojo que se corresponde con los puntos por donde ésta pasó. A la

línea roja que la hormiguita dejó marcada en la mesa le

denominamos trayectoria. Entonces, trayectoria es la línea que

describe un objeto en su movimiento.

0

y

x



39

Es importante advertirles que la descripción, como la hemos hecho, no debe inducirles a pensar que

la trayectoria es la tinta. La tinta deja un registro de la línea que la hormiga describe mientras se

mueve. Sin embargo, si las patitas de la hormiguita no están sucias de tinta y por tanto no deja

registro, de todas formas usamos la palabra trayectoria para designar a la línea que describe la

hormiguita mientras se mueve.

Para precisar cada punto de la trayectoria por donde

pasa la hormiguita, nos auxiliamos de un sistema de

coordenadas, el cual consideramos fijo. La ubicación de

cada punto la expresamos mediante una cantidad física

vectorial que denominamos posición. Esta se denota

con . Se expresa en metros en el Sistema

Internacional. El vector posición es el segmento dirigido

que va del origen del sistema de coordenadas hasta el

punto en que está la partícula en un instante dado.

Desplazamiento y Distancia

Suponga que eres un extranjero y planificas tus

vacaciones. Llegarás a la ciudad A, por avión y desde

ahí irás en auto a otra ciudad. Tienes dos opciones; B y

C. Tienes suficiente información sobre B y C como

para establecer que te divertirás igual en ambas. Tomas

un mapa en el que aparecen A, B y C. Desde que lo ves

dices – Iré desde A hasta C. C está más cerca (ver

figura 2.2 a).

Ahora el operador turístico te pasa un nuevo mapa.

Este último tiene las carreteras que te conducirían de A

hasta B y de A hasta C (ver figura 2.2 b), y exclamas

“¡Tendré un mayor recorrido si voy de A hasta C!”

Está claro que el nuevo mapa tiene las ciudades en el

mismo lugar que el anterior. La diferencia es que en el

primero has apreciado una cosa y en segundo has

apreciado otra. En el primer mapa te has ocupado de

comparar la longitud del segmento que va de A hasta B

con la longitud del segmento que va de A hasta C. En

el segundo mapa te has ocupado de comparar la

longitud de la trayectoria que habrás de recorrer si vas

de A hasta B con la que tendrás que recorrer si vas de

A hasta C. Para distinguir una cosa de la otra, la física

tiene dos cantidades, a saber:

Figura 2.1

Representación de la trayectoria, del

sistema de coordenadas y el vector

posición.

y

x

Partícula

Trayectoria

a) Ubicación de ciudades A, B y

C, sin carreteras.

B

A

C

b) Ubicación de ciudades A, B y

C, con carreteras

B A

C

Figura 2.2



40

Desplazamiento: Cantidad vectorial con que se precisa el cambio de posición de una partícula

en un intervalo de tiempo dado. Está dado por el segmento dirigido que va desde la posición en

el instante inicial del intervalo hasta la posición en el instante final del intervalo. En el caso que

hemos ilustrado, el desplazamiento, si vas de A hasta C, está constituido por la longitud del

segmento que va de A hasta C (módulo) y el ángulo de éste con un eje dado (dirección). El

desplazamiento se expresa en metros en el Sistema Internacional. Otras unidades son: km, cm,

pie, milla, etc.

Distancia: Longitud de la trayectoria seguida por una partícula en un intervalo de tiempo dado.

En el caso que hemos ilustrado, la distancia, si vas de A hasta C, es la longitud de la línea roja.

La distancia usa las mismas unidades del desplazamiento.

Si una partícula tiene posición en el instante

y tiene posición en el instante , entonces el

desplazamiento en el intervalo está dado:

En la figura 2.3 podemos identificar:

a) El punto A, el cual es la ubicación de la

partícula en el instante t1

b) El punto B, el cual es la ubicación de la

partícula en el instante t2

c) El segmento dirigido que va desde 0 hasta A,

es el vector posición de la partícula en el

instante t1

d) El segmento dirigido que va desde 0 hasta B,

es el vector posición de la partícula en el

instante t2

e) El segmento dirigido que va desde A hasta B,

es el vector desplazamiento de la partícula en

el intervalo t1 a t2

f) La línea roja es la trayectoria. La longitud de

la parte de la línea roja que va de A hasta B es

la distancia.

Puede establecerse que, en sentido general, la distancia es mayor que la magnitud del

desplazamiento. Sin embargo, existe la posibilidad de que sean iguales, pero nunca la magnitud del

desplazamiento será mayor que la distancia. La igualdad de la distancia y la magnitud del

desplazamiento sólo es posible si el movimiento es en línea recta y en un solo sentido.

Figura 2.3

y

x

A

B

0

( )

Este es modelo que define matemáticamente

el vector desplazamiento.



41

Velocidad: Cantidad física vectorial que expresa desplazamiento en la unidad de tiempo de una

partícula en movimiento. Se tiene velocidad media cuando esta corresponde a un intervalo de

tiempo y se denomina velocidad instantánea cuando está corresponde a un instante. La

velocidad se expresa en m/s (metro sobre segundo) en el Sistema Internacional. Otras unidades

son: km/h, cm/s, pie/s, milla/h, nudo, etc.

En el lado derecho de esta expresión

aparecen cuatro elementos: vector

posición en el instante , vector

posición en el instante , y ( ) es la

duración del intervalo. Es decir, es

el tiempo transcurrido mientras el cuerpo

se desplaza

En este curso no nos ocuparemos de la expresión matemática para la velocidad instantánea, porque

la misma corresponde al cálculo diferencial e integral, que no es del interés de este curso.

Rapidez: Cantidad física escalar con que se

precisa la distancia en la unidad de tiempo de

una partícula en movimiento. Se tiene rapidez

media cuando ésta corresponde a un intervalo

de tiempo y rapidez instantánea cuando está

corresponde a un instante.

o Donde S es la distancia en el intervalo t1 a t2.

Ejemplo 2.1

Un estudiante de la UASD va desde la esquina

suroeste de la acera de la cuadra que ocupa la

biblioteca central hasta la esquina noreste de la

misma cuadra. Camina por la acera sur de la

cuadra, que mide de esquina a esquina 80.0 m, la

cual recorre en 1.00 minuto. Finalmente, gira

hacia el norte y camina por la acera este que

mide 60.0 m, la cual recorre en 0.500 minuto.

Determine; a) la magnitud de la velocidad media

y b) la rapidez media en el intervalo de 1.50

minuto de su recorrido.

( )


la velocidad media.

( )


la rapidez media.

N

S

O E



42

Solución

a) Tenemos dos desplazamientos:

- Estos se pueden expresar como: ( ) ( )

- Para un desplazamiento total de: ( )

- La magnitud de este vector es:

√ √( ) ( )

- El cual le ha tomado

- El módulo de la velocidad media es:

b) Tenemos que el estudiante ha hecho un recorrido de dos tramos rectos que miden 80.0 m y

60.0 m, para una distancia total recorrida de S = 140 m

- La rapidez media es:

Aceleración. Cantidad física vectorial que expresa cambio de velocidad en la unidad de tiempo.

Cuando esta corresponde a un intervalo de tiempo, se le denomina aceleración media y se le

denomina aceleración instantánea cuando corresponde a un instante. La aceleración se expresa

en m/s² (metro sobre segundo cuadrado) en el sistema internacional. Otras unidades son cm/s²,

pie/s², etc.

Cambio de velocidad equivale a:

a) cambio de la magnitud de la velocidad,

b) cambio de la dirección y sentido de la

velocidad, ó

c) cambio de la magnitud, dirección y sentido

de la velocidad.

En este curso no nos ocuparemos de la expresión matemática para la aceleración instantánea, porque

la misma corresponde al cálculo diferencial e integral, que no es del interés de este curso.

( )


la aceleración media.



43

2.3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Ahora estudiaremos el movimiento de los cuerpos cuya trayectoria es recta. Esto lo haremos

considerando que la trayectoria coincide con el eje x. Esto tiene como propósito simplificar las

expresiones matemáticas que usamos. Además, las cantidades vectoriales que antes precisamos

(posición, desplazamiento, velocidad y aceleración) podrán ser identificadas por una de sus

componentes, lo cual permitirá evitar manejarlas como vectores.

- Posición.

Como ya habíamos dicho, consideraremos que la

recta que describe el partícula en estudio es el eje x.

Tomamos un punto de dicha recta al que

denominamos origen. Usaremos la letra x para

denotar a la posición. El valor de x es la longitud del

segmento que va desde el origen al punto en que está

la partícula (vea figura 2.3), teniendo en cuenta que

éste puede tener signo positivo o negativo. El signo

de x (la posición) será positivo si el cuerpo está de un

lado del origen (digamos a la derecha del origen) y

será negativo si está al otro lado del origen (digamos

a la izquierda).

- Desplazamiento

Si en el instante inicial de cierto intervalo de tiempo

un cuerpo está en x1 y en el instante final del mismo

intervalo está en x2, entonces decimos que el

desplazamiento de dicho cuerpo en dicho intervalo

es:

(2.5)

El desplazamiento puede tener signo positivo o

negativo, eso dependerá hacia donde se mueve la

partícula. Podríamos decir que el signo de x es

positivo si el cuerpo va hacia la derecha y que x es

negativo si el cuerpo va hacia la izquierda (ver figura

2.4).

x

Origen Partícula

Eje x

Figura 2.3

x1

Origen Partícula en el

instante t2

Eje x

x2

Partícula

en el

instante t1

x

Dirección

del

movimiento a) x positivo

x2

Origen Partícula en el

instante t1

Eje x

x1

Partícula

en el

instante t2

x

Dirección

del

movimiento

b) x negativo

Figura 2.4



44

- Velocidad

En el movimiento rectilíneo denotaremos con a la velocidad media. El subíndice x para

indicar que el cuerpo se mueve sobre el eje x. Para denotar la velocidad instantánea, usamos

. Igual que como dijimos sobre el desplazamiento, la velocidad es positiva si el cuerpo va

hacia la derecha y es negativa si el cuerpo va hacia la izquierda.

( )

( ) (2.6)

Expresión matemática con que se define velocidad media en el movimiento

rectilíneo.

Ejemplo 2.3

Un auto se mueve sobre una carretera recta. El conductor ve las 2:15 p.m., en su reloj, en el instante

en que pasa frente a un borne que indica 20 km. Luego, en el instante en que su reloj marca 2:30

p.m., pasa frente al borne que índica 40 km. ¿Cuál es la velocidad media del auto en el intervalo de

2:15 p.m. a 2:30 p.m.?

Solución

- Dado que el auto se mueve en línea recta, tenemos que los valores indicados en los bornes

representan y . Es decir, las posiciones en el instante inicial y final del intervalo en

cuestión.

y

- En el intervalo de 2:15 p.m. a 2:30 p.m., transcurren 15 minutos. Es decir, 12 ttt = (2

horas 30 minutos) – (2 horas 15 minutos) = 15 minutos. 15 minutos, expresados en hora, es

0.25 h.

La velocidad es:

( )

( ) ( )



45

OBTENCIÓN DE VELOCIDAD DADO EL GRÁFICO x = f (t)

- La velocidad media es igual a la

pendiente de la recta secante1 al gráfico

x = f (t) (ver figura 2.5). Dicho de otro

modo, si tenemos un gráfico x = f (t) y

se nos pide la velocidad media en cierto

intervalo t1 a t2, entonces trazamos una

recta que corta (secante) al gráfico x = f

(t) en los puntos correspondientes a los

instantes t1 y t2, y finalmente la

velocidad en dicho intervalo es la

pendiente de la recta ya trazada.

- La velocidad instantánea es igual a la

pendiente de la recta tangente2 al gráfico

)(tfx (ver figura 2.6). Dicho de otro

modo, si tenemos un gráfico x = f (t) y

se nos pide la velocidad en cierto

instante t1, entonces trazamos una recta

que toca (tangente) al gráfico x = f (t) en

el punto correspondientes al instante t1,

y finalmente la velocidad en dicho

instante es la pendiente de la recta ya

trazada.

Si el gráfico x = f (t) es una recta, entonces en el gráfico, toda secante y toda tangente al él,

coinciden. Siendo la velocidad – en cualquier intervalo (velocidad media) y en cualquier instante

(velocidad instantánea) – una constante igual a la pendiente del gráfico.

Es importante hacer notar que tanto la velocidad media como la velocidad instantánea pueden

obtenerse a partir del gráfico x = f (t), la diferencia es que en un caso (velocidad media) usamos una

recta secante y en el otro caso (velocidad instantánea) usamos la recta tangente.

1 Se denomina recta secante a aquella que corta una curva en dos puntos.

2 Se denomina recta tangente a aquella que toca a una curva en un solo punto

t1 t

x

Recta

tangente

Gráfico x = f (t)

Figura 2.6

t1 t2 t

x

Recta

secante

Gráfico x = f (t)

Figura 2.5



46

Ejemplo 2.4

El gráfico x = f (t) que se muestra más abajo,

corresponde a un partícula que se mueve en línea

recta (sobre el eje x). Cuál es la velocidad de dicha

partícula.

Solución

- Como el gráfico x = f (t) es una recta,

entonces debemos calcular la pendiente de

dicha recta para obtener la velocidad. Con

tal propósito hemos seleccionado dos

puntos de la recta (señalados en la figura). En estos tenemos:

Punto 1: t1 = 0 y x1 = 2.00 m,

y Punto 2: t2 = 4.0 s y x2 = 8.00 m.

- La velocidad es:

( )

( )

OBTENCIÓN DE DESPLAZAMIENTO DADO EL GRÁFICO vx = f (t)

- Si tenemos el gráfico vx = f (t), como se

ve en la figura 2.7 y nos interesa el

desplazamiento en cierto intervalo t1 a t2,

entonces podemos obtener el

desplazamiento como el área

comprendida entre: el gráfico vx = f (t), el

eje t, las rectas verticales que cortan al eje

de t en t1 y t2. Esto acostumbra a

expresarse como “El desplazamiento de

una partícula que se mueve sobre el eje x

es igual al área bajo el gráfico vx = f (t)”.

Es decir, el área sombreada de la figura

2.7.

1.0 2.0 3.0 4.0 t(s)

x (m)

2.0

4.0

6.0

8.0

0

2

1

t1 t2 t

vx

Gráfico vx = f (t)

Figura 2.7



47

Ejemplo 2.5

Considerando que el gráfico vx = f (t) de una

partícula que se mueve sobre el eje x, es el que se

muestra más abajo, determine cuanto se desplaza

dicha partícula en el intervalo

t = 1.0 s a t = 3.0 s

Solución

- Al sombrear la superficie bajo el

gráfico, entre t = 1.0 s y t = 3.0 s, se

evidencia un trapecio. En la figura

hemos indicado las dimensiones del

trapecio, a citar; h1 = 6.0 m/s, h2 = 2.0

m/s y b = 2.0 s.

- Para obtener el desplazamiento requerido, calculamos el área del trapecio ya citado.

El desplazamiento es:

(

) (

) ( )

- Aceleración

Para denotar a la aceleración media usamos y para denotar a la aceleración instantánea usamos

. Debemos decir nuevamente que el subíndice x es tan solo para recordar que se trata de una

partícula que se mueve en línea recta (sobre el eje x). De no ser así, entonces cada una de las

cantidades físicas que hemos citado deben ser “manipuladas” como vectores, por cuanto sus

símbolos deben tener una flechita horizontal sobre los mismos.

( )

( ) (2.7)

Expresión matemática con que se define aceleración media en el movimiento

rectilíneo.

Recordamos que el signo de la velocidad solo índica hacia dónde va la partícula. Sin embargo,

tomando este signo como si fuese parte de la cuantificación de la misma, podemos decir que la

aceleración es positiva si la velocidad aumenta y negativa si la velocidad disminuye. Insisto, esta

forma de establecer el signo de la aceleración es válida considerando el signo de la velocidad como

1.0 2.0 3.0 4.0 t(s)

vx (m/s)

8.0

0

6.0

4.0

2.0 h2 h1

b



48

parte de la cuantificación de la misma, pues una velocidad de -20.0 m/s no es menor que una

velocidad de 10.0 m/s. El signo de la primera solo índica el sentido.

OBTENCIÓN DE ACELERACIÓN DADO EL GRÁFICO vx = f (t)

- La aceleración media es igual a la

pendiente de la recta secante al

gráfico vx = f (t) (figura 2.8). Dicho

de otro modo, si tenemos un gráfico

vx = f (t) y se nos pide la aceleración

media en cierto intervalo t1 a t2,

entonces trazamos una recta que

corta al gráfico vx = f (t) en los

puntos correspondientes a los

instantes t1 y t2, y finalmente la

aceleración en dicho intervalo es la

pendiente de la recta ya trazada.

- La aceleración instantánea es igual a

la pendiente de la recta tangente al

gráfico )(tfvx (figura 2.9). Dicho

de otro modo, si tenemos un gráfico

vx = f (t) y se nos pide la aceleración

en cierto instante t1, entonces

trazamos una recta que toca

(tangente) al gráfico vx = f (t) en el

punto correspondientes al instante t1,

y finalmente la velocidad en dicho

instante es la pendiente de la recta

ya trazada.

Si el gráfico vx = f (t) es una recta, entonces toda secante y toda tangente a él, coinciden. Siendo la

aceleración – en cualquier intervalo (media) y en cualquier instante (instantánea) – una constante

igual a la pendiente del gráfico.

Es importante hacer notar que tanto la aceleración media como la instantánea pueden

obtenerse a partir del gráfico vx = f (t), la diferencia es que en un caso (velocidad media) usamos una

recta secante y en el otro caso (velocidad instantánea) usamos la recta tangente.

t1 t2 t

vx

Recta

secante

Gráfico vx = f (t)

Figura 2.8

t1 t

vx

Recta

tangente

Gráfico vx = f (t)

Figura 2.9



49

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

- Es el movimiento en el que la velocidad es constante en magnitud, en dirección (movimiento

en línea recta) y sentido.

- En este movimiento tenemos que la relación entre el desplazamiento y el tiempo es una

proporcionalidad directa, la cual se expresa por:

(2.8)

Expresión matemática de x = f(t) de una partícula con movimiento rectilíneo uniforme

- Siendo x el desplazamiento en el intervalo t = 0 a t, y vx es la velocidad (constante) con que

se mueve el cuerpo considerado.

- Además, x = x – xo. Donde xo es la posición en el instante t = 0 y x es la posición en el

instante t.

Ahora nos ocupamos de ilustrar, con gráficos, las diferentes cantidades físicas de la cinemática en

función del tiempo, correspondientes al movimiento rectilíneo uniforme.

- Considerando que el

cuerpo se mueve

hacia la parte

positiva del eje x

- Considerando que el

cuerpo se mueve

hacia la parte

negativa del eje x

Ejemplo 2.6

Un auto viaja por una calle recta con velocidad constante de 20.0 m/s. Pasa frente a la casa de Juan

5.00 s después de haber pasado frente la casa de Pedro. ¿Cuándo dista la casa de Juan de la casa de

Pedro?

Solución

- Lo que dista la casa de Juan de la casa de Pedro es lo que se desplazó el auto en el lapso

de 5.00 s. Teniendo como velocidad vx = 20.0 m/s.

- El desplazamiento es:

(

) ( )

x

t

xo

x

t

vx

t

x

t

xo x

t

vx

t



50

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

- Movimiento en línea recta con aceleración constante.

En este movimiento pueden considerarse dos posibilidades: que aumente la magnitud de la

velocidad (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado) o que disminuya la magnitud de la

velocidad (movimiento rectilíneo uniformemente retardado). Sin embargo, debe tenerse cuidado

sobre el significado de esto. No ha faltado quien se haya sentido tentado a establecer que si la

magnitud de la velocidad aumenta, entonces la aceleración es positiva, y si la magnitud de la

velocidad disminuye, entonces la aceleración es negativa. En tal sentido, es preciso señalar que

existen cuerpos en movimiento en línea recta con aceleración constante, tales que la magnitud de su

velocidad disminuye y luego aumenta, sin que su aceleración haya cambiado mientras dicho cambio

ocurre.

- Velocidad en función del tiempo de un cuerpo con movimiento rectilíneo uniformemente

variado.

La aceleración para todo cuerpo con movimiento rectilíneo

uniformemente variado puede obtenerse como:

En nuestro caso, consideraremos la expresión en el intervalo t1 =0 a

t2 = t. Por lo que sustituiremos a v2x por vx, que representa la

velocidad en el instante t y sustituiremos a v1x por vox, tal que vox se

denomina velocidad inicial (velocidad en el instante t = 0) La

expresión es entonces:

De donde,

(2.9)

Expresión matemática de vx = f(t) de una partícula con

movimiento rectilíneo uniformemente variado

- Desplazamiento en función de velocidad y tiempo.

Dada la expresión de velocidad en función de tiempo de un cuerpo

con movimiento rectilíneo uniformemente variado, podemos

establecer la forma del gráfico correspondiente.

Como ya habíamos dicho, podemos obtener el desplazamiento

usando el gráfico )(tfvx . Por lo que, podemos calcular el área de

la parte sombreada en la figura 2.10 (en a o en b), cuyo resultado es

el desplazamiento en el intervalo t = 0 a t. Dicha figura es un

( )

( )

( )

a) Para ax positiva

vx

t

vox

vx

t 0

b) Para ax negativa

vx

t

vox

vx

t 0

Figura 2.10



51

trapecio con base igual a t, con alturas vox y vx. Por lo que el desplazamiento es (el área):

(

) (2.10)

Desplazamiento en función de velocidad y tiempo para una

partícula con movimiento rectilíneo uniformemente variado.

- Desplazamiento en función del tiempo.

Ahora sustituiremos la expresión (2.9) en la expresión (2.10), con lo que obtenemos:

(2.11)

Desplazamiento en función tiempo para una partícula con

movimiento rectilíneo uniformemente variado.

A partir de esta ecuación se puede construir un gráfico para el

desplazamiento en función del tiempo.

- Expresión que relaciona al desplazamiento y la velocidad.

Ahora despejamos a t de la ecuación (2.9) y sustituimos en la ecuación

(2.10). Con lo cual tenemos como resultado lo siguiente:

(2.12)

Expresión que relaciona al desplazamiento y la velocidad para una

partícula con movimiento rectilíneo uniformemente variado

t

a) Para ax positiva

0

Figura 2.11

t

b) Para ax negativa

0



52

Ejemplo 2.7

Una patrulla de policía tiene en marcha el auto en que transita, sobre una avenida recta, a una

velocidad constante de 30.0 km/h, mientras supervisan a los transeúntes de la avenida. Al ver pasar

por el carril adyacente a un motorista a alta velocidad, acelera a razón de 4.00 m/s² con la idea de

alcanzarlo. Lo cual logra al cabo de 5.00 s. ¿Qué velocidad tiene el auto de policía en el momento

que alcanza al motorista?

Solución

- Al momento de iniciar su movimiento

acelerado, el auto viaja a 30.0 km/h. Por

lo que vox = 30.0 km/h.

- Esta velocidad puede expresarte en m/s dividiendo entre 3.6. Por lo que vox = 8.33 m/s

- La velocidad del auto al alcanzar el motorista corresponde a la velocidad cuando t = 5.00 s

- La velocidad es:

(

) (

) ( )

- Este resultado lo expresaremos en km/h, para que se corresponda con la forma convencional

de expresar la velocidad de los autos. Esto se logra multiplicando el valor de velocidad en

m/s por 3.6. Por lo que, tenemos

Ejemplo 2.8

El conductor de un auto que viaja en línea recta a 50.0 km/h pisa los frenos, al ver un bache un poco

más adelante, sobre la calle en que transita. El conductor pisa los frenos durante 3.00 s y la

velocidad se reduce uniformemente hasta 18.0 km/h. ¿Cuánto se desplazó el auto mientras el

conductor pisó los frenos?

Solución

- Tenemos que 50.0 km/h es la velocidad en el

instante en que inicia el movimiento con

aceleración constante.

- Es decir, vox = 50.0 km/h. Expresado en m/s, tenemos

- 18.0 km/h es la velocidad en el instante t = 3.00 s. Esta, expresada en m/s, es 5.00 m/s. Es

decir, vx = 5.00 m/s cuando t = 3.00 s

- El desplazamiento del auto en este lapso es:

(

) (

) ( )

t= 0

vox = 50.0 km/h

t= 3.00 s

vx = 18.0 km/h

x = ?

t= 0

vox = 30.0 km/h

t= 5.00 s

vx =?



53

Ejemplo 2.9

Para descargar una camión, el descargador empuja cajas desde el tope superior de una rampa, las

cuales (las cajas) se deslizan con una aceleración constante de 2.00 m/s² y llegan al otro extremo de

la rampa al cabo de 3.00 s. Suponiendo que el descargador le da una velocidad de 1.50 m/s a la caja,

al momento de esta iniciar su movimiento sobre la rampa, determine la longitud de la rampa.

Solución

- La longitud de la rampa es el

desplazamiento de cada caja en un

intervalo de 3.00s, iniciando con

una velocidad inicial de 1.50 m/s

(vox = 1.50 m/s) y moviéndose con

una aceleración constante de 2.00 m/s²

- La longitud de la rampa es:

(

) ( )

(

) ( )

Ejemplo 2.10

Al ser golpeada, cierta bola de golf, inicia su movimiento con una velocidad de 6.00 m/s. Esta se

desliza en línea recta y alcanza el hoyo a 2.00 m/s, el cual (el hoyo) está a 10.0 m del punto de ser

golpeada. ¿Con que aceleración se deslizó la bola?

Solución

- Consideremos que la parte positiva del eje x apunta hacia donde se mueve la bola. Teniendo

tal consideración, tenemos un bola en movimiento rectilíneo con aceleración constante que

inicia su movimiento con 6.00 m/s (vox = 6.00 m/s) y que alcanza una velocidad de 2.00 m/s

al desplazarse 10.0 m (vx = 2.00 m/s cuando x = 10.0 m).

- La solución viene dada por la ecuación (2.12), despejando de ella ax.

(

)

(

)

( )

t = 0

vox = 1.5 m/s

x = ? Longitud de

la rampa

Caja en movimiento

con una aceleración

de 2.00 m/s²



54

CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS.

En nuestra experiencia cotidiana, hemos observado el movimiento de cuerpos que

lanzamos o soltamos, sin que estos estén apoyados o suspendidos. Estos cuerpos

terminarán chocando, en algún momento, con “el suelo”. En particular,

consideremos los cuerpos que son lanzados hacia arriba, hacia abajo o dejados

caer (sin ser lanzados). Además, en nuestra consideración despreciemos los

efectos del aire. A los cuerpos en movimiento bajo las condiciones citadas, les

denominamos cuerpos en caída libre. Todo cuerpo en caída libre tiene una

aceleración de magnitud 9.8 m/s², hacia abajo, independiente de su masa. A ésta,

la denominamos aceleración de caída libre o aceleración gravitacional, o

simplemente gravedad. Dicha cantidad la simbolizamos con la legra “g”.

Al estudiar el movimiento de cuerpos en caída libre con trayectoria vertical

(lanzado hacia arriba, lanzado hacia abajo o dejado caer), estamos ante un cuerpo

en movimiento rectilíneo uniformemente variado. Dicho movimiento es retardado

si el cuerpo va hacia arriba y es acelerado si va hacia abajo. Es decir, disminuye la

magnitud de la velocidad si va hacia arriba y aumenta la magnitud de la velocidad

si va hacia abajo. Sin embargo, en ambos casos la aceleración es la misma, como

dijimos antes, 9.8 m/s² hacia abajo. Por lo que, en nuestro estudio, consideramos

que la trayectoria coincide con el eje y, el cual tendrá su origen en “el suelo” y su parte positiva

arriba del suelo. Por lo que, usaremos como aceleración ay = - 9.8 m/s², en ambos casos.

Al momento de resolver cualquier problema de caída libre debemos tener en cuenta lo siguiente:

1. La trayectoria es una recta vertical.

2. Si el cuerpo es lanzado hacia arriba, entonces voy es positiva, y la magnitud de la velocidad

disminuye.

3. Si el cuerpo es lanzado hacia abajo, entonces voy es negativa, y la magnitud de la velocidad

aumenta.

4. Si el cuerpo se deja caer desde un lugar en reposo voy es cero

5. Si el cuerpo se suelta desde un marco de referencia en movimiento (un globo, por ejemplo),

entonces voy es igual a la velocidad de dicho marco de referencia, “positiva si dicho marco de

referencia va hacia arriba y negativa si dicho marco de referencia va hacia abajo”

6. En todo caso usar ay = -9.8 m/s². Es decir, ay = -g

La solución de todo

problema de caída libre,

puede obtenerse usando las

ecuaciones del movimiento

rectilíneo uniformemente

variado, antes citada.

Considerando ay = -g.

(2.9) Expresión matemática de vy = f(t) de una

partícula en caída libre

(

) (2.10)

Desplazamiento en función de velocidad

y tiempo para una partícula en caída libre

(2.11)

Desplazamiento en función tiempo para

una partícula en caída libre

(2.12)

Expresión que relaciona al

desplazamiento y la velocidad para una

partícula en caída libre



55

Ejemplo 2.11

A un estudiante se le ha pedido que diga cuál es la altura del edificio de apartamentos donde vive.

Como no tiene los instrumentos apropiados para medirlo, se le ocurre usar la fórmula (2.11) del

movimiento de caída libre. El procedimiento usado por el alumno consiste en soltar un tomate desde

la azotea del edificio y tomar el tiempo que le toma en caer. Suponga que al tomate le tomó 1.60 s

caer desde la azotea del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?

Solución

- Como el tomate es soltado desde la mano del

estudiante, en reposo, entonces la velocidad inicial es

nula (voy = 0). Además, consideraremos que el tomate

se mueve en caída libre.

- Al calcular y, obtendremos un valor negativo porque

el punto final del movimiento del tomate está bajo el

punto de partida. Es decir, en el intervalo en cuestión,

va hacia abajo. Por tal razón, establecemos que la

altura del edifico es el valor absoluto del

desplazamiento del tomate.

( )( )

( )( )

- La altura del edificio es:

Ejemplo 2.12

Con la idea de que el periódico llegue al 4to nivel de un edificio, el cual está a 6.60 m sobre el punto

de lanzamiento (6.60 m sobre el punto donde la mano del repartidor lanza el periódico), el repartidor

lanza el periódico a 10.0 m/s. ¿Llegará el periódico al lugar pretendido?

Solución

- Para establecer si el periódico llegará hasta una altura de 6.60 m, debemos establecer cuanto

es lo máximo que sube el periódico al ser lanzado con esa velocidad. Si el periódico sube

más o igual de 6.60 m, entonces lo logrará.

- Cuando un objeto en caída libre alcanza el punto más alto de su trayectoria, su velocidad es

nula. Entonces calcularemos cual es el valor de y para vy = 0 de un objeto lanzado a 10.0

m/s hacia arriba (voy = 10.0 m/s).

- Para obtener el valor de y usaremos la ecuación (2.12) correspondiente a un cuerpo en

caída libre con trayectoria vertical.

- El valor de y es:

( ) ( )

(

)

y

Parte del

reposo

Entonces, la respuesta es:

No llegará hasta el cuarto nivel.



56

2.4 MOVIMIENTO CURVILÍNEO (EN EL PLANO)

Ahora haremos algunas descripciones sobre el movimiento circular uniforme y el movimiento de

proyectiles. En estos movimientos la trayectoria es curvilínea (no es recta) y todos los puntos de la

trayectoria están en un mismo plano.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Movimiento en el que la trayectoria es circular y la magnitud de la

velocidad es constante. Es equivalente decir que la magnitud de la

velocidad es constante que decir que la rapidez es constante, porque la

magnitud de la velocidad en un instante dado es igual a la rapidez. Es

posible que los estudiantes piensen que al haber precisado que la rapidez

es constante, debamos establecer que la aceleración es nula, pero no es

así. Cuando definimos la aceleración, hablamos de cambio en la

velocidad, y este cambio puede ser tanto en la magnitud como en la

dirección de la velocidad. La velocidad en el movimiento circular

uniforme no es constante, su dirección cambia continuamente, la cual es

tangente a la trayectoria (ver figura 2.12). No se le ocurra pensar que al

precisar aquí que la velocidad es tangente a la trayectoria, entonces este

enunciado es exclusivo para el movimiento circular uniforme. Este

enunciado es universal. Es decir, válido para todo movimiento. Además,

recuerde que la tangente a una recta coincide con la propia recta.

La aceleración en el movimiento circular uniforme es perpendicular a la velocidad y apunta hacia el

centro de la trayectoria, su magnitud es constante, como se muestra en la figura 2.12. Si tenemos la

magnitud de la velocidad (v) de una partícula con movimiento circular uniforme y el radio (R) de la

circunferencia que describe, entonces podemos obtener la magnitud de la aceleración como.

(2.13)

Expresiones para la magnitud de la

aceleración de una partícula con

movimiento circular uniforme.

A cada partícula con MCU le toma el mismo tiempo completar cada vuelta, al cual llamamos

período. Usamos T como símbolo para el período. Por otro lado, denominamos frecuencia al número

de vueltas que completa dicha partícula en cada unidad de tiempo. Usamos f como símbolo para la

frecuencia. La frecuencia se expresa en Hertz, que abreviamos Hz, que representa (1/s). Son usuales

múltiplos del Hertz, como son: kHz y MHz

Si una partícula en movimiento circular uniforme completa n vueltas en un intervalo de

tiempo t, entonces podemos usar las siguientes fórmulas para obtener el período y la frecuencia:

Figura 2.12



57

(2.14)

Expresiones para período (T) y

frecuencia (f) para una partícula

con movimiento circular uniforme.

Considerando un intervalo del movimiento, trazamos un segmento que

va desde el centro de la trayectoria hasta su ubicación en el instante

inicial del intervalo y otro segmento que va desde el centro de la

trayectoria hasta su ubicación en el instante final. Al ángulo entre los

segmentos citados le denominamos desplazamiento angular (ver figura

2.13) correspondiente al intervalo de tiempo dado. Este se expresa en

radianes y en grados. Ahora estamos interesados en establecer cuál es

el desplazamiento angular en cada unidad de tiempo, a lo que

denominaremos velocidad angular. Esta se expresa en rad/s (radian

sobre segundo). Para una partícula con movimiento circular uniforme,

la velocidad angular es constante. La cual está dada por:

Si conocemos el radio de la circunferencia que describe una partícula con movimiento circular

uniforme y el tiempo que le toma completar cada vuelta (el período), entonces podemos obtener la

magnitud de su velocidad como:

(2.16)

Expresiones para la velocidad de

una partícula con movimiento

circular uniforme.

Ejemplo 2.13

El Singapore Flyer es la rueda de la fortuna de mayor diámetro en el mundo, con

150 m. Esta completa una vuelta en 30.0 minutos. ¿Cuál es la magnitud de la

velocidad de las cápsulas de pasajeros?

Solución

- El tiempo que le toma completar cada vuelta es

el período. Su valor, expresado en segundos, es

1.80 103 s.

- Para obtener el valor de la velocidad, considerando como datos el período y el radio, y

considerando que el diámetro es el doble del radio (D = 2R), entonces es válido que:

( )( )

(2.15)

Expresiones para la velocidad

angular de una partícula con

movimiento circular uniforme.

150 m

En las expresiones

anteriores puede

notarse que el período

y la frecuencia son

inversos. Es decir,

fT

1 ó

Tf

1

Figura 2.13

Singapore Flyer



58

Ejemplo 2.14

Un niño hace girar su avión de juguete usando una cuerda elástica. En base a cuanto se estira la

cuerda con que hace girar el avión, el niño puede establecer que la aceleración del mismo (del

avión), cuyo valor es 9.00 m/s². Si la trayectoria que describe el avión es de 4.00 m de radio, (a)

¿Cuál es la magnitud de la velocidad del avión?, (b) ¿Cual es el periodo del avión?

Solución

- Para conseguir la magnitud de la velocidad, despejamos la velocidad de la ecuación (2.13),

teniéndose como resultado:

√ √(

) ( )

- Ahora despejamos el período de la ecuación (2.16). Se obtiene:

( )( )( )

Ejemplo 2.15

Con la idea de establecer cuál es la velocidad angular del abanico de techo de su habitación, en el

nivel uno, un estudiante de física toma el tiempo que a éste (al abanico) le toma completar 40

vueltas. Si el tiempo tomado por el estudiante fue de 8.0 s, ¿Cuál es la velocidad angular del

abanico?

Solución

- Con el tiempo que le toma completar 40 vueltas, conseguimos la frecuencia del abanico.

- Ahora usamos la ecuación (2.15) para conseguir la velocidad angular.

( )( )



59

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Denominaremos proyectil a toda partícula en movimiento cerca de la superficie de la Tierra, en

contacto solo con el aire. En general, el movimiento de un proyectil está determinado por las

condiciones atmosféricas y el campo gravitatorio de la Tierra. Sin embargo, en este curso solo

consideraremos proyectiles bajo los efectos de campo gravitatorio de la Tierra. Dada esta

consideración el proyectil se mueve con aceleración constante de 9.8 m/s² hacia abajo. Aceleración

que denominamos aceleración gravitatoria, o aceleración de caída libre, cuyo módulo simbolizamos

con la letra g.

Todo proyectil en movimiento bajo los efectos exclusivos del

campo gravitatorio, describe una trayectoria parabólica. A la

coordenada horizontal del punto donde cae, tomando como

origen el punto de partida, se le denomina alcance y lo

simbolizamos con la letra R. A la coordenada “y” del punto

superior de la trayectoria (el vértice de la parábola) la

simbolizamos con la letra h (ver figura 2.14).

Si consideramos un proyectil que se ha disparado con una velocidad de magnitud vo con un ángulo

o (ángulo de disparo) sobre la horizontal, se pueden conseguir R y h con las siguientes expresiones.

( )

(2.17)

Expresión para el alcance considerando que cae

en un punto al mismo nivel que el punto de

lanzamiento

( )

(2.18)

Expresión para la coordenada y del punto

superior de la trayectoria de un proyectil

Utilizando la expresión para R antes citada, se puede demostrar que el mayor alcance de un proyectil

se consigue si se dispara con un ángulo de 45º. Además, se puede demostrar que se tiene el mismo

alcance para dos proyectiles disparados con la misma magnitud de velocidad, tales que la suma de

sus ángulos de disparo sea 90º.

Ejemplo 2.16

En una competencia de lanzamiento de bala, un atleta hace un lanzamiento con una velocidad de

magnitud 15.0 m/s. Despreciando la resistencia del aire y suponiendo que cae en un punto al mismo

nivel de lanzamiento, determine el máximo alcance de dicha bala.

Solución

- Como se nos ha pedido el máximo alcance, entonces tenemos que debe dispararse con un

ángulo de 45.0º. Además, tenemos vo = 15.0 m/s

- Obtenemos la solución con la ecuación 2.17

( )

( ) [ ( )]

R x

y

h

Vértice

0 0’

Figura 2.14



60

MOVIMIENTO DE PROYECTILES CON ÁNGULO DE DISPARO DE 0º

Al considerar los proyectiles con ángulo de

disparo de 0º, solo nos estamos ocupando

de una parte del problema. Esto, junto a

considerar el origen del sistema de

coordenadas situado en el punto de disparo,

permite una simplificación que se

corresponde con el alcance de este libro.

- Un proyectil con ángulo de disparo de

0º, tiene componente vertical de

velocidad inicial cero, por lo que la

magnitud de la velocidad inicial y la

componente horizontal de velocidad

son iguales.

- Además, como la aceleración es vertical, la componente horizontal de aceleración es cero. Es

decir, la componente horizontal de velocidad no cambia (vox = constante = vo).

- Dado que el origen del sistema de coordenadas coincide con el punto donde se dispara, entonces

xo = 0 y yo = 0. Por tanto, x = x, y y = y.

- Finalmente, debemos decir que el movimiento de un proyectil disparado horizontalmente, con

origen del sistema de coordenadas en el punto de lanzamiento, puede ser descrito con tres

ecuaciones: una para obtener la coordenada x, que se corresponde con la precisada

anteriormente para un movimiento rectilíneo uniforme y dos para la parte vertical del

movimiento, que se corresponden con el movimiento de caída libre con trayectoria vertical con

velocidad inicial cero (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado). Estás son:

(2.19) Coordenada x de la trayectoria de un

proyectil disparado horizontalmente

(2.20)

Coordenada y de la trayectoria de un

proyectil disparado horizontalmente

(2.21) Componente y de la velocidad de un

proyectil disparada horizontalmente

Figura 2.15

Trayectoria del

Proyectil



61

Ejemplo 2.17

Una bola de masilla avanza sobre una mesa de 1.00 m de

altura y llega al borde de la misma con una velocidad de

magnitud 5.00 m/s (ver figura). ¿Dónde cae la bola?

Solución

- Consideremos que la masilla cae en un punto entre la pared y la mesa. Comenzamos

calculando el tiempo que le tomaría llegar al piso si no choca contra la pared del frente,

usando la ecuación 2.20

√

√

( )

- Con este último valor (t = 0.452 s), calculamos el alcance, usando la ecuación 2.19

(

) ( )

- Según este resultado, está claro que la bola no llega al suelo, porque antes de llegar al suelo,

a una distancia de 2.26 m de la base de la mesa, chocaría contra la pared. Entonces el valor

del alcance es x = 2.00 m. Con este valor, usando la ecuación 2.19, calculamos el tiempo que

le toma caer.

( )

- Con el valor de t, recién calculado, obtendremos en qué punto sobre la pared se pega la

masilla, usando la expresión 2.20.

( )( )

- Este resultado indica que choca en un punto a 0.784 m bajo el tope de la mesa.

- Como la mesa tiene una altura de 1.00 m,

entonces puede decirse que la masilla se

pega en la pared a 0.216 del piso (ver

figura siguiente)

2.00 m

1.00 m

2.00 m

1.00 m

0.216 m



62

RESUMEN

Cantidades físicas con que describimos el movimiento

Para precisar la ubicación de una partícula que se mueve

en un plano, usamos una cantidad física que llamamos

posición.

Si una partícula tiene posición 1r

en el instante t1 y

posición 1r

en el instante t2, entonces la velocidad media

en el intervalo t1 a t2 se obtiene con la siguiente expresión:

Si la trayectoria de una partícula en el intervalo t1 a t2 es

de longitud S, entonces la rapidez media en el t1 a t2 se

obtiene con la siguiente expresión:

Si una partícula tiene posición 1v

en el instante t1 y

posición 1v

en el instante t2, entonces la aceleración

media en el intervalo t1 a t2 se obtiene con la siguiente

expresión:

Movimiento rectilíneo

Si una partícula se mueve en línea recta, entonces la

posición se denota con “x”, el desplazamiento con “ x”,

la velocidad instantánea con “vx”, la velocidad media con

“ ”, la aceleración instantánea con “ ” y la

aceleración media con “ ”. Las expresiones

matemáticas correspondientes son:

Además, si tenemos el gráfico de vx = f (t), entonces x en

el intervalo t1 a t2 es igual al área bajo el gráfico vx = f (t).

Movimiento rectilíneo uniforme

Una partícula que se mueve en línea recta con velocidad

constante y que inicia su movimiento en t = 0, tiene como

variables la posición (x), el desplazamiento ( x) y tiempo

(t).

( )



63

Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante (Movimiento Rectilíneo Uniformemente

Variado)

Una partícula que se mueve en línea recta con

aceleración constante y que inicia su

movimiento en t = 0, tiene como variables la

posición (x) y el desplazamiento ( x), la

velocidad (vx). Las expresiones que relaciones a

estás son:

- Si se trata de un movimiento de caída libre,

la trayectoria es vertical entonces en las

ecuaciones sustituimos la variable x por y,

al igual que la aceleración por (– g).

Siendo g = 9.8 m/s2.

Movimiento circular uniforme

Si tenemos una partícula con movimiento circular

uniforme, a la cual le toma t tiempo completar n vueltas,

entonces calculamos el periodo y la frecuencia con las

siguientes expresiones

Dado el radio (R) de la trayectoria y el período del

movimiento, la magnitud de la velocidad de una partícula

con movimiento circular uniforme se obtiene como:

Dada la magnitud de la velocidad y el radio de la

trayectoria de una partícula con movimiento circular

uniforme, la magnitud de la aceleración se obtiene con la

siguiente expresión:

La velocidad angular es constante para una partícula con

movimiento circular uniforme. Si se tiene el período de su

movimiento, entonces su valor puede obtenerse con la

siguiente expresión:

Movimiento de proyectiles

Un proyectil es todo cuerpo al que se le da cierta

velocidad inicial y se mueve cerca de la superficie de la

Tierra, tal que mientras se mueve solo tiene contacto con

el aire y que su movimiento puede ser descrito como

partícula. La trayectoria de un proyectil en caída libre es

una parábola. La ecuación para la coordenada vertical del

punto superior de su trayectoria es:

{

( )

(

)

(

)

En dirección vertical

(En caída libre)

(

)

(

)

En dirección horizontal

(En el eje x)



64

La expresión para la coordenada x del punto donde cae,

considerando que cae en un punto al mismo nivel del

punto de lanzamiento es:

Movimiento de proyectiles cuyo ángulo de disparo es

0º

Un proyectil en caída libre es un proyectil que se mueve

sin contacto con ninguna entidad material. Su aceleración

es vertical hacia abajo y tiene como magnitud 9.8 m/s². A

este valor se le denota con la letra g. Para simplificar, se

considera que el origen de su movimiento está en el punto

de lanzamiento. Si consideramos que el ángulo de disparo

es 0º, entonces las expresiones para sus coordenadas y

para la componente y de la velocidad son las siguientes:

( )



65

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Utilizando el sistema de coordenadas mostrado,

determine cuál es la magnitud del desplazamiento ( r)

de una partícula que va desde A hasta B.

2. Considere que la partícula del ejercicio anterior pasa

por A en el instante t = 4.0 s y pasa por B en t = 6.0 s.

¿Cuál es la magnitud de la velocidad media en el

intervalo t=4.0s a t = 6.0 s?

3. Usain Bolt ostenta actualmente el record mundial de

los 100 m planos, con una marca de 9.58 s, conseguida

el 16 de agosto de 2009, en el mundial de Berlín. ¿Cuál

fue la velocidad media (vxm) de dicho corredor en la

citada competencia?

4. En la prueba de velocidad el tren bala de Japón alcanzó los 581 km/h. Si éste mantiene dicho

valor por un lapso de 15.0 minutos, en línea recta ¿Cuánto se desplaza ( x)?

5. Suponga que la carretera Duarte, la cual comunica a Santo Domingo con Santiago, sea recta y

midiera 160 km. ¿Cuánto tiempo le tomaría a un auto en ir de Santo Domingo a Santiago si

mantiene su velocidad constante de 80.0 km/h?

6. Un diseñador de juguete pone a prueba el nuevo

modelo de auto que pondrá en el mercado. Registra

los valores de velocidad en función del tiempo del

juguete, mientras se mueve en línea recta. El gráfico

construido con los valores de velocidad en función

del tiempo, de dicho auto, es el mostrado. En base a

dicha información diga cuanto se desplaza ( x) en el

intervalo t = 1.0 s a t = 4.0 s.

7. Una partícula se mueve en línea recta (sobre el eje

x). El tramo de A hasta B (ver figura) lo recorre en

con v1x = 10.0 m/s en 3.00 s y el tramo de B hasta C

lo recorre con v2x = 14.0 m/s en 2.00 s. ¿Cuál es la

velocidad media (vxm) en el intervalo de 5.00 s que

le tomó ir de A hasta C?

8. Un auto viaja hacia el este con una velocidad de magnitud 60.0 km/h desde las 4:00 p.m. hasta

las 4:15 p.m. y a partir de las 4:15 p.m. hasta las 4:45 p.m. viaja hacia el norte a 80.0 km/h.

¿Cuál es la magnitud del desplazamiento del auto en el intervalo de 4:00 p.m. a 4:45 p.m.?

9. Un auto se mueve sobre el eje x con una velocidad de 16.0 m/s al momento de pisar los frenos.

Su velocidad se reduce uniformemente hasta 10.0 m/s habiendo recorrido 4.00 m. ¿Cuál es su

aceleración (ax)?

x(m)

y(m)

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0

A

B

6.0

Figura 2.18 (Ejercicio 1)

t(s)

vx(m/s)

1.0 2.0 3.0 4.0

4.0

8.0

12.

16

0


x(m) A B C




66

10. El gráfico posición en función del tiempo de una

partícula que se mueve sobre el eje x, es el mostrado.

En base a dicha a información determine la velocidad

de la partícula (vx).

11. Un Mercedes Benz C63 AMG se mueve sobre la

avenida 27 de febrero (la cual suponemos recta).

Avanza con velocidad de 36.0 km/h, acercándose a la

avenida Núñez de Cáceres. El conductor pisa el

acelerador porque ve que el reloj de semáforo índica

que le quedan 5.00 s para pasar a rojo. El auto cruza

la intersección justo a tiempo. Considerando que

dicho auto acelera uniformemente a 7.00 m/s²

¿Cuánto se desplazó ( x) el auto desde el momento

en que el conductor pisó el acelerador hasta el

momento en que cruza la intersección?

12. Con la idea de librarse de un molestoso camión, el conductor de un auto, que va a 54.0 km/h,

pisa el acelerador para rebasarlo, aumentando su velocidad uniformemente. Logra su objetivo al

cabo de 5.00 s, momento en el cual la velocidad del auto es 108 km/h. ¿Cuánto se desplazó ( x)

el auto en el intervalo de rebase?

13. Un auto se mueve sobre una pista circular de 1.20 km

de radio (R), con movimiento circular uniforme. A

éste (al auto) le toma 7.50 minutos completar una

vuelta. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad en km/h

de dicho auto?

14. Una canica se desliza sobre una mesa de 1.0 m de

altura y cae a 1.2 m del pié de la mesa. ¿Cuánto

tiempo le toma caer?

15. Un bimotor Cessna 340 (un avión privado

de 6 plazas) viaja horizontalmente a 1.5

10² m/s a 500 m del suelo. De él se deja caer

un paquete. ¿A qué distancia horizontal (x),

desde donde se dejó caer el paquete, toca el

suelo?

t(s)

x(m)

1.0 2.0 3.0 4.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0


R


1.2 m

1.0 m


x

500 m


FISICA BASICA MECÁNICA CLÁSICA – DINÁMICA

** Las imágenes fueron seleccionada de la galería de imágenes de google

67

Capítulo

3. Dinámica

Contenido:

3.1 Dinámica.

3.2 Fuerza.

3.3 Leyes de Movimiento de Newton

3.4 Tipos de Fuerza

3.5 Fuerza Centrípeta

3.6 Equilibrio de una Partícula

3.7 Impulso

3.8 Cantidad de Movimiento Lineal o Ímpetu

FISICA BASICA MECÁNICA CLÁSICA - DINÁMICA


68 68

3.1 DINAMICA

La dinámica es la rama de la mecánica clásica, que estudia las causas fundamentales del

movimiento. La mecánica newtoniana, o mecánica clásica, es la rama de la física que estudia el

movimiento de cuerpos de dimensiones grandes que se mueven con velocidades pequeñas. Al decir

“dimensiones grandes” queremos decir comparados con las dimensiones del átomo, y al decir

“velocidades pequeñas” queremos decir comparadas con la velocidad de la luz.

Un estudio dinámico del movimiento incluye tener en cuenta las propiedades del cuerpo, como su

masa, su carga eléctrica, etc.; así como también una descripción completa del medio ambiente donde

se muevan dichos cuerpos.

3.2 FUERZA

El entendimiento del concepto de fuerza constituye la base para comprender la mecánica clásica. En

el lenguaje cotidiano, una fuerza es un “empuje” o un “tirón”. Cuando empujamos una podadora o

el carrito del supermercado ejercemos una fuerza sobre el objeto. Cuando tiramos de una gaveta

ejercemos una fuerza sobre la misma. Cuando soltamos un cuerpo que sostenemos en nuestras

manos, éste cae, y afirmamos que la fuerza o la atracción de la gravedad es la razón de la caída. Sin

embargo, las fuerzas no se asocian al movimiento, sino a la modificación de éste. Un libro que

reposa sobre una mesa recibe la acción de varias fuerzas (en una condición particular), aun cuando

no se mueva.

La fuerza es la cantidad física con que expresamos la capacidad

de cambiar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo. Esta

se denota con

Debido a que la fuerza tiene magnitud (módulo), dirección y

sentido constituye una magnitud vectorial.

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas simultáneamente,

entonces definimos como fuerza neta a la suma vectorial de

todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, que denotamos

. A menudo nos referimos a la fuerza neta como la fuerza

resultante ó total. La fuerza neta es la que determina el

movimiento de los cuerpos. Esta fuerza le proporciona una

aceleración a los cuerpos, cuya dirección es la de dicha fuerza.

1F

2F

3F

4F

5F

6F

Figura 3.1 Representación de un

cuerpo que recibe varias fuerzas



69 69

En la figura 3.1 se muestra un cuerpo que recibe

seis fuerzas. El movimiento de dicho cuerpo está

determinado por una fuerza que sustituye a las seis

fuerzas que éste recibe. Esta se denomina fuerza

neta y su valor se obtiene como:

La expresión general para obtener la fuerza neta

sobre un cuerpo cualquiera que recibe la acción de

varias fuerzas es:

Dicha expresión suele escribirse de forma más

compacta, como:

En la naturaleza existen cuatro fuerzas básicas, que son:

a) La fuerza gravitatoria: Esta tiene la dirección del segmento que va desde el centro de un

cuerpo hasta el centro de otro. En general la magnitud de la fuerza gravitatoria es “pequeña”,

y tenemos percepción de ésta cuando intervienen masas muy grandes (como las masas de los

planetas). Un ejemplo de esta fuerza es el peso de un cuerpo.

b) La fuerza electromagnética: que está relacionada con el hecho de que la materia forme

cuerpos microscópicos. Así por ejemplo, un cable tensado no se rompe porque existen

fuerzas de origen electromagnético que lo impiden.

c) Y por último, tenemos, las fuerzas nucleares fuerte y débil que operan a nivel del núcleo

del átomo.

3.3 LEYES DE MOVIMIENTO DE NEWTON

El retrato mostrado es de Isaac Newton, físico y matemático

inglés, nacido en 1642 y fallecido en 1721. Creó la Mecánica

Clásica, el Cálculo Diferencial e Integral, y explicó el

movimiento de los planetas. Compartió con otros grandes

científicos de su época como Leibnitz, Huygens, y Hooke.

Las tres leyes de Newton del movimiento constituyen los

fundamentos de la mecánica clásica. A pesar de que con las

leyes de Newton se pueden estudiar una gran cantidad de

movimientos, éstas tienen limitaciones.

∑ (3.1)

Dónde: El símbolo es la letra griega sigma

en mayúscula y denota la operación de suma.



70 70

No se pueden estudiar con las leyes de Newton:

a) El movimiento de los cuerpos con velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Para esto se

utiliza la teoría especial de la relatividad (1905).

b) El movimiento de las partículas fundamentales, como el electrón, protón, neutrón, etc. Para

esto se utiliza la mecánica cuántica (1920). Hoy en día continúa desarrollándose la teoría

cuántica.

PRIMERA LEY DE NEWTON SOBRE EL MOVIMIENTO.

o MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES.

La primera Ley de Newton define lo que se llama un

conjunto de marcos o sistemas de referencia inerciales.

En estos sistemas, por definición, permanece válida la

1ra Ley de Newton. Por inercia entendemos la propiedad

en virtud de la cual los cuerpos tienden a permanecer en

reposo o en movimiento con velocidad constante. Otra

forma de decirlo es: la inercia es la propiedad de la

materia que causa que los objetos se resistan a los

cambios de movimiento. Por esto a la primera ley de

Newton se le llama también Ley de la Inercia. En el

dibujo que se observa a la derecha, un muchacho está

“volando” en el aire porque ha frenado bruscamente para

no chocar con un perro. Como el muchacho estaba

moviéndose en su bicicleta la inercia lo hace continuar

moviéndose luego de haber frenado.

La 1ra Ley de Newton establece que un cuerpo en reposo permanecerá en reposo, y un cuerpo en

movimiento seguirá moviéndose con velocidad constante, mientras la fuerza externa neta sobre él

sea nula.

La primera ley de Newton describe lo que ocurre cuando la fuerza neta que actúa sobre un objeto es

nula. En este caso ocurre una sola de estas situaciones:

a) el objeto permanece en reposo

b) el objeto se mueve en línea recta con velocidad constante (MRU).

Note también que en el enunciado de la 1ra Ley de Newton aparece el adjetivo “externa” para la

fuerza. Esto quiere decir que no es posible que un cuerpo modifique su estado de reposo o

movimiento haciéndose fuerza él mismo. Por tanto, otro cuerpo externo a él debe aplicar la fuerza.



71 71

Ejemplo 1:

Un ejemplo ilustrativo de la primera ley de Newton ocurre cuando una guagua frena de improviso.

Los pasajeros tienden, por inercia, a continuar en su estado original y se mantienen con el

movimiento que llevaban (el de la guagua), cayendo adelante si no se sujetan.

Del mismo modo, un aumento brusco de la velocidad de la guagua hace que los pasajeros caigan

hacia atrás, al tener la tendencia a mantenerse con su movimiento original, que era más lento.

Ejemplo 2:

Un patinador se desliza por una pista horizontal helada con velocidad constante de 4.0 m/s. Diga:

a) ¿Cuánto vale la fuerza resultante?

Respuesta: Es cero, porque la velocidad es constante.

b) ¿Cuál será su velocidad a los dos minutos?

Respuesta: Es la misma 4 m/s, porque es constante.

c) ¿Cuántos metros recorre en un minuto?

Respuesta: Como la velocidad es constante, el movimiento es MRU y la distancia se calcula

por:

(

) ( )

o MASA DE LOS CUERPOS.

La masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de su inercia. La masa de un cuerpo es una

cantidad física escalar. Esta no cambia cuando el cuerpo cambia de lugar, o de forma. Tampoco

cambia en las reacciones químicas, etc.

La masa es una cantidad física fundamental en el Sistema Internacional (SI), se denota con m, y su

unidad de medida es el kilogramo (kg).

Un “kg” es la masa de un cilindro hecho de una aleación de platino e iridio que se conserva en el

Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, Francia. Como una aproximación para

fines prácticos, podemos decir que la masa de 1 litro de agua es 1 kg. Otras unidades de masa son:

tonelada métrica, slug.



72 72

SEGUNDA LEY DE NEWTON SOBRE

EL MOVIMIENTO.

La segunda ley de Newton describe el cambio de

movimiento que se presenta cuando una fuerza

neta distinta de cero actúa sobre un cuerpo.

Experimentalmente se pueden medir, tanto la

fuerza que se aplica a un cuerpo, como la

aceleración que le produce. En tales

experimentos se ha comprobado que:

a) La magnitud de la aceleración es

inversamente proporcional a la masa, si la

fuerza neta es constante.

b) la aceleración es directamente proporcional

a la fuerza neta, si la masa es constante.

c) la aceleración tiene igual dirección y

sentido que la fuerza neta.

Estas observaciones son recogidas en una

expresión matemática que denominamos 2da Ley

de Newton sobre el movimiento:

Nota: cuando sobre el cuerpo actúa una sola fuerza, la expresión (3.2) se puede escribir como

La ecuación (3.2) nos dice que la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es

igual a la masa del cuerpo por su aceleración.

Está claro que si la fuerza neta sobre un cuerpo es constante, entonces la aceleración de éste también

lo es y su movimiento es rectilíneo uniformemente variado (MRUV).

La unidad de medida de la fuerza, en el Sistema Internacional (SI), es el Newton (N). Un Newton es

la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/seg2.

Otras

unidades de fuerza son: Dina, libra, etc.

(3.2)



73 73

Ejemplo 3:

A un cuerpo de 2.00 kg se le aplica una fuerza de magnitud 20.0 N. Calcular la magnitud de la

aceleración.

Dado que dicho cuerpo recibe una sola fuerza, entonces ésta es la fuerza neta. Despejando la

aceleración de la ecuación 3.2:

Ejemplo 4:

Un auto “A” puede acelerar hasta 20.0 m/s2. Si este auto

es utilizado para remolcar otro auto “B” de igual masa

¿Cuál es la magnitud de la aceleración del auto “A”

cuando hace esto?

Datos:

Las masas de A y B son iguales, tal que:

La aceleración máxima de A es:

La fuerza neta que actúa solamente sobre el autos A se calcula:

La fuerza neta que actúa sobre ambos autos a la vez se calcula:

( )

Dado que la fuerza neta que actúa sobre A es la misma que actúa sobre la combinación AB,

tenemos:

A

B

A



74 74

Ejemplo 5:

A cuerpo inicialmente en reposo se le aplica

una fuerza constante de 50.0 N durante 5.00

s, durante ese tiempo recorre 25.0 m. ¿Cuál

es la masa del cuerpo?

Solución:

Datos:

Se desplaza del reposo una distancia:

Bajo la acción de una fuerza:

Durante un tiempo:

Bajo la acción de esta fuerza el cuerpo se acelera:

( )

( ( ))

( )

Ahora utilizando la segunda Ley de Newton, despejamos la masa:

Ejemplo 6:

Determine la aceleración en cada uno de los cuerpos

mostrados en la figura.

Solución:

Caso (a): bloque de 4.00 kg bajo la acción de

dos fuerzas horizontales opuestas.

o Escribiremos los vectores fuerza en la

forma cartesiana, considerando positiva la

que va a la derecha, tenemos:

( )

( )

}

o Determináremos la fuerza neta, mediante la suma vectorial, tal que:

( )

4.00 kg

(a)

4.00 kg

Las componentes en el eje “y”, son cero

pues los dos vectores son horizontales.



75 75

o Partiendo de la segunda Ley de Newton, despejamos la aceleración:

(

)

(

)

(

)

o La magnitud de la aceleración es:

√ √( ) ( )

o La orientación está dada por el ángulo:

(

) (

)

(

) (

)

Caso (b): bloque de 10.0 kg bajo la acción de dos fuerzas

perpendiculares, una vertical hacia debajo de 30.0 N, y otro

horizontal hacia la derecha de 40.0 N.

o Escribiremos los vectores fuerza en la forma cartesiana:

{

( )

( ) } ( )

{

( )

( ) } ( )

o Determináremos la fuerza neta, mediante la suma vectorial,

tal que:

( )

o Partiendo de la segunda Ley de Newton, despejamos la aceleración:

(

) (

)

10.0 kg

(b)

10.0 kg



76 76

(

)

o La magnitud de la aceleración es:

√ √( ) ( )

o La orientación está dada por el ángulo:

(

) (

)

(

) (

)

TERCERA LEY DE NEWTON SOBRE EL MOVIMIENTO

La tercera ley de Newton sobre el movimiento establece que en la

interacción entre dos cuerpos A y B, existe una fuerza de acción

de A sobre B que provoca una fuerza de reacción de B sobre A.

Las fuerzas de acción y reacción son de igual magnitud, igual

dirección y de sentido contrario y actúan sobre cuerpos diferentes.

Esta ley nos indica que las fuerzas siempre actúan en pares,

porque hay dos cuerpos interactuando.

(3.3)

Cabe indicar que estas fuerzas actúan sobre cuerpos separados

(ver figura), y que el signo negativo indica que son de sentidos

contrarios.

Ejemplo 7:

Una persona empuja una pared con una mano.

¿Cuáles son las fuerzas de acción y reacción en

este caso?

Respuesta: Si consideramos que la fuerza de

acción es la que la mano aplica a la pared

entonces tenemos que considerar que la fuerza de

reacción es la que la pared aplica a la mano.

En la figura:

Un hombre tira de un burro,

ejerciéndole una fuerza ,

entonces el burro responde con

otra fuerza de igual

magnitud, y dirección, pero en

sentido contrario.



77 77

Ejemplo 8

Un hombre de 65.0 kg va sentado en un carro que en un momento acelera a 0.700 m/seg2. ¿Cuál es

la magnitud de la fuerza ejerce el asiento sobre el hombre y que fuerza ejerce el hombre sobre el

asiento?

Solución:

Datos:

La masa del hombre es m = 65.0 kg

La aceleración es a = 0.700 m/s2

El asiento aplica una fuerza sobre el hombre es:

( ) (

)

Considerando la 3ra

Ley de Newton, tenemos:

La diferencia es el sentido, porque son un par de fuerzas de acción y reacción.

5.4 TIPOS DE FUERZAS

Hay otra forma de clasificar las fuerzas, y es dependiendo de la forma en que estas actúan. Por tanto,

tenemos:

Fueras a distancia

y fuerzas de contacto

FUERZA A DISTANCIA

Son fuerzas que se manifiestan entre dos cuerpos sin que éstos se toquen físicamente. Entre estas

fuerzas están: La fuerza gravitatoria, la eléctrica, la magnética.

Una característica general de estas fuerzas es que aumenta su valor cuando los cuerpos involucrados

se acercan y disminuyen su valor cuando los cuerpos involucrados se alejan. La fuerza gravitatoria

está asociada a las masas, la fuerza eléctrica está asociada a las cargas eléctricas y la fuerza

magnética está asociada al momento magnético intrínseco.



78 78

PESO DE LOS CUERPOS:

Cuando tomamos un cuerpo sin importar su masa y lo soltamos,

este se precipita hacia el suelo. Esto ocurre porque la Tierra lo

atrae hacia su centro con una fuerza gravitacional denominada

peso. El peso es una fuerza a distancia que puede cambiar de

acuerdo a:

La masa del cuerpo (m).

La característica del campo gravitacional del planeta donde se encuentre el cuerpo, es decir

la aceleración gravitacional (g). Cuando el cuerpo se localiza en otro planeta, el peso del

cuerpo tendría otro valor; pues la gravedad de ese planeta sería diferente.

La distancia a la que se encuentra el cuerpo sobre el centro del planeta. Un cuerpo que está

en el aula pesa más que si que el mismo cuerpo en la cima del Pico Duarte. Esto es así

porque el cuerpo colocado en el pico Duarte está más lejos del centro de la Tierra que

cuando el cuerpo está en el aula

Recuerde que el peso de un cuerpo es una fuerza a distancia y éstas tienen

mayor valor mientras más cerca están los cuerpos involucrados.

El peso se denota con la letra w, minúscula (del inglés “weight”), y Dado que

cuando un cuerpo cae libremente (en la Tierra) la magnitud de su aceleración

es de 9.8 m/s² (aceleración gravitatoria que se denota con g) y que en cuyo

caso la única fuerza que el cuerpo recibe es la fuerza gravitatoria debida a la

Tierra (el peso), entonces puede establecerse que la magnitud de dicha fuerza

de acuerdo a la segunda ley de Newton está dada por:

(3.4)

En virtud de la expresión anterior (ecuación 3.4), en la Luna un cuerpo pesa,

aproximadamente, seis veces menos que en la Tierra. Esto así, porque la

aceleración de la gravedad en la Luna es la sexta parte de la gravedad de la

Tierra. Recuerde que el valor de “g” a nivel del mar es, aproximadamente,

9.8 m/s2.



79 79

Ejemplo 9

¿Cuál es el peso de un astronauta en la Luna si su peso en la Tierra es

?

Datos:

Peso de la persona en la Tierra: wT = 464N

Aceleración gravitacional en la Tierra = gT = 9.8 m/s2

Aceleración gravitacional en la Luna = gL = 1.63 m/s2 (

1/6 gT)

Solución:

El peso de la persona, en la Tierra, es: wT = mT gT

Despejamos la masa en la Tierra:

mT = wT / gT = (464 N) / (9.8 m/s2) = 47.3 kg

Como la masa en la Tierra y en la Luna es la misma, usamos este valor para calcular el peso en la

Luna:

wL = mL gL = (47.3 kg) (1.63 m/s2) = 77.1 N

FUERZAS DE CONTACTO

Son fuerzas que se manifiestan entre dos cuerpos cuando

éstos se tocan físicamente. Entre estas fuerzas están; halar,

empujar, frotar, chocar, etc.

FUERZA NORMAL: Cuando un cuerpo está sobre

una superficie se presiona contra ella, el cuerpo

experimenta una fuerza perpendicular a la superficie.

A esta fuerza se le llama fuerza normal, se denota con

n (note que es una n minúscula, porque la n

mayúscula está reservada para el Newton)

FUERZA DE FRICCIÓN: Fuerza de contacto entre

dos cuerpos que se opone al deslizamiento de uno

sobre otro. Dicha fuerza es tangente a la superficie de

contacto. La fuerza de fricción se subdivide en dos, si

un cuerpo se desliza sobre otro entonces existe fuerza

de fricción cinética, y si hay dos cuerpos se

encuentran en contacto sin que haya deslizamiento

entre ellas entonces existe fuerza de fricción

estática.

n

w



80 80

Se ha podido comprobar que la magnitud de la fuerza de

fricción cinética es directamente proporcional a la magnitud

de la fuerza normal correspondiente. A la constante de

proporcionalidad entre la magnitud de la fuerza de fricción

cinética y la fuerza normal se le denomina coeficiente de

fricción cinético el cual es adimensional (adimensional

significa que no tiene unidades de medida) y se simboliza

por µc. El valor de dicho coeficiente está determinado por la

rugosidad de las superficies en contacto. Se tiene un

coeficiente de fricción cinético para cada par de superficies

en contacto.

(3.5)

Por otro lado, debemos señalar que si un cuerpo está en

contacto con otro y no hay aplicada ninguna fuerza externa

a ellos que intente hacer deslizar uno sobre el otro,

entonces no hay fuerza de fricción de uno sobre el otro. Sin

embargo, si se aplica alguna fuerza que tienda a hacer

deslizar a uno sobre el otro, entonces aparece una fuerza de

fricción estática (si no se desliza uno sobre el otro) cuyo

valor podría cambiar aun sin que haya cambiado la fuerza

normal. El valor de la fuerza de fricción estática aumenta a

medida que aumenta la fuerza que tiende a hacer deslizar un

cuerpo sobre el otro, hasta que alcanza un valor máximo, a

partir del cual comienza el deslizamiento. El valor máximo

de la fuerza de fricción estática está determinado por la

rugosidad de las superficies en contacto y la fuerza normal

entre los cuerpos.

(3.6)

En esta expresión a µe se le denomina coeficiente de

fricción estático, el cual también es adimensional y tiene un

valor distinto para cada par de superficies de contacto. En

general el coeficiente de fricción estático entre un par de

superficies dadas es mayor que los coeficientes de fricción

cinéticos correspondientes a las mismas superficies.

m F

f

F – es la fuerza aplicada sobre

el cuerpo.

f – es la fuerza de fricción.

Por el simple hecho de dos

cuerpos entrar en contacto, esto se

ejercen una fuerza perpendicular a

sus superficies denomina fuerza

normal.

Ahora si los cuerpos además de

estar en contacto, se deslizan uno

respecto del otro aparece una

fuerza paralela a sus superficies y

opuesta al deslizamiento

denominada fuerza de fricción.

El cociente de la magnitud de la

fuerza de fricción entre la

magnitud de la fuerza normal, es

una cantidad sin unidades de

medida conocida como

coeficiente de fricción.

Existen dos tipos de fuerza de

fricción, la que ocurre mientras

los cuerpos se deslizan llamada

fricción cinética, y la que ocurre

cuando aún no hay deslizamiento

entre los cuerpos llamada fricción

estática. Para una par de

superficies dadas, en general la

fricción estática es mayor que la

fricción cinética.



81 81

5.5 FUERZA CENTRIPETA

De acuerdo con la segunda ley de Newton (∑Fext= ma), un

objeto experimenta aceleración porque hay una fuerza neta que

actúa sobre él. Un objeto que se mueve en un círculo como una

bola al final de una cuerda, debe por tanto tener una fuerza

aplicada sobre el que lo mantenga en movimiento en dicho

circulo. Esto es, se necesita una fuerza para proporcionarle

aceleración centrípeta. La magnitud de la fuerza requerida se

calcula mediante la segunda ley de Newton para la componente

radial.

(3.7)

Donde la aceleración centrípeta está dada por:

Entonces, podemos establecerse la siguiente expresión para

obtener la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo

en movimiento circular uniforme (fuerza centrípeta):

(3.8)

Para el movimiento circular uniforme (rapidez constante), la

aceleración es aR, que se dirige hacia el centro del círculo en

cualquier momento. En consecuencia la fuerza neta también

debe dirigirse hacia el centro del círculo (figura).

Se necesita ejercer una fuerza neta porque, de otro modo, el

objeto no se movería en un círculo sino en línea recta, como

establece la primera ley de Newton. La dirección de la fuerza

neta cambia continuamente, de modo que siempre se dirige

hacia el centro del círculo. A esta fuerza normalmente se le

llama “fuerza centrípeta” (que apunta hacia el centro). Pero

hay que tener en cuenta que “fuerza centrípeta” no indica un

tipo nuevo de fuerza. El termino meramente describe la

dirección de la fuerza neta necesaria para obtener una

trayectoria circular: la fuerza neta está dirigida hacia el centro

del circulo. La fuerza centrípeta, por su carácter externo, debe

ser aplicada por otros objetos.

En la expresión 3.8

m es la masa de la partícula

v es la rapidez lineal de la

partícula.

R es el radio de la

circunferencia



82 82

Ejemplo 10:

¿Cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta que hay que aplicar para

que una partícula de 0.10 kg, atada a una cuerda de 0.75 m de largo

gire en un circulo horizontal con una rapidez de 10 m/s?

Datos:

m = 0.10 kg

R= 0.75 m

v = 10 m/s

Solución

( ) (

)

5.6 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

Hemos visto que un cuerpo sujeto a una fuerza neta tiene una aceleración proporcional a esa fuerza.

¿Pero qué sucede si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero? Esta

es la condición del equilibrio de traslación, un estado de movimiento en el cual la velocidad del

cuerpo es constante. Si el cuerpo se encuentra en movimiento con velocidad constante, afirmamos

entonces que está en equilibrio dinámico. Si la velocidad del cuerpo es cero, en ese caso el cuerpo

se encuentra en reposo y se dice que estará en equilibrio estático.

Ejemplo 11:

Si el bloque de la figura no tiene movimiento. a) ¿Cuál es el

valor de la fuerza normal? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza de

fricción?

Solución:

a) La magnitud de la fuerza normal es igual a la magnitud

del peso del cuerpo, es decir, n = mg

b) La fuerza de fricción tiene exactamente el mismo valor que la fuerza F

. Ya que el cuerpo no

tiene movimiento la fuerza de fricción no tiene su máximo valor.

R m

v

n

F

f

w



83 83

Ejemplo 12:

El cuerpo de la figura esta en equilibrio, ¿Cuál es el valor de la tensión de la

cuerda?

Datos

m = 2.0 kg

g =9.8 m/s²

Solución:

Solo actúan fuerzas verticales, entonces:

∑

( ) (

)

Ejemplo 13:

La figura muestra un cuerpo en equilibrio, bajo la acción de tres

fuerzas. Si F1= 100N, y F2= 175 N, ¿Cuál es el valor de la fuerza

F3?

Solución:

Solo actúan fuerzas horizontales, entonces:

∑

5.7 IMPULSO

Cantidad física con la que se precisa cuanto es capaz de

cambiar el movimiento de un cuerpo una fuerza dada durante

un intervalo de tiempo.

IMPULSO DEBIDO A UNA FUERZA

CONSTANTE

El impulso debido a una fuerza constante es igual a la fuerza

por el intervalo de tiempo durante el cual esta actúa, está dado

por:

(3.9)

El impulso es una cantidad vectorial con igual dirección y

sentido que la fuerza.

m

m

T

w

m

En el sistema internacional

(S.I.) se mide en N.s.

En el sistema cegesimal (cgs)

se mide en dina.s



84 84

Ejemplo 13:

Un cuerpo cuya masa es de 15 kg Adquiere una aceleración de 4.0 m/s2, por la aplicación de una

fuerza constante que actúa durante un tiempo de 2.0 s. ¿Cuál es la magnitud del impulso recibido

por el cuerpo?

Datos:

m= 15 kg

a= 4.0 m/s²

t= 2 s

Solución

o Fuerza neta

( ) (

)

o Impulso neto

( )( )

VALOR DEL IMPULSO DEBIDO A UNA FUERZA DE DIRECCIÓN FIJA Y

MAGNITUD VARIABLE

En este caso podemos hallar el impulso mediante el área

debajo del grafico de la fuerza en función del tiempo.

(Hacer el grafico de F= f (t))

Ejemplo 14:

Hallar el impulso para las fuerzas y los intervalos de

tiempo mostrados en los siguientes gráficos.

t

F

t1 t2 0

Este es un gráfico F = f (t) cuya forma

no es una recta. El trabajo debido a F

cuando el cuerpo avanza desde t1 hasta

t2 es igual al área de la figura

sombreada (con color azul). Su valor se

obtiene aplicando conceptos de cálculo

integral.

Cuando este gráfico es una recta, se

podría formar una figura geométrica

determinada, cuyas se calculan como:

o Un rectángulo

o Un triangulo

o Un trapecio

( )( )

Solución:

I = área del rectángulo

bajo el gráfico.

F(N)

t(s)

90

60

30

2 4 0

(a)

( )( )

Solución:

I = área del rectángulo

bajo el gráfico.

F(N)

t(s)

80

40

1 2 0

(b)



85 85

5.8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O IMPETU

La cantidad de movimiento lineal o ímpetu de un cuerpo

de masa m que se mueve a una velocidad v, es igual al

producto de su masa por la velocidad.

(3.10)

La cantidad de movimiento lineal es una magnitud

vectorial que se representa por la letra p minúscula, y

tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.

Podemos expresar la cantidad de movimiento lineal de

un conjunto de cuerpos (sistema de cuerpos) como la

suma vectorial de las cantidades de movimiento

individuales de cada cuerpo.

∑

Para el caso de dos cuerpos:

∑

Las unidades de medida de la cantidad de movimiento

lineal son:

El sistema internacional (SI) es

El sistema cegesimal (cgs) es

Recordando la unidad del impulso es el producto de la unidad de fuerza por la unidad de tiempo,

“ ” en el S.I. La unidad de medida de la fuerza (N), se obtiene al multiplicar la unidad de masa

(kg) por la unidad de aceleración (m/s2), por lo que tenemos:

(

)

Si una partícula se mueve con

MRU, como su velocidad

, entonces su

cantidad de movimiento lineal

Si una partícula se mueve con

MRUV, como su velocidad puede

cambiar (aumentando o

disminuyendo) , entonces su cantidad de

movimiento lineal también

cambiará (aumentando o

disminuyendo) en la misma

proporción.

“En conclusión, hemos comprobado que las unidades de medida del impulso y de la cantidad de movimiento

lineal son equivalentes” es decir:



86 86

Ejemplo 15:

¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento de una

bola de baseball lanzada a 90 mi/h? La masa de la bola es de

0.14 kg.

Datos:

m = 0.14 kg

v = 90 mi/h, para expresarlo en m/s, multiplicamos por

(

)(

)

Solución:

( ) (

)

Ejemplo 16:

Un cuerpo A, que tiene una masa de 4.0 kg, se mueve con igual cantidad de movimiento que otro

cuerpo B, que tiene una masa de 8.0 kg y, que se mueve a 6 m/s. ¿Cuál es la magnitud de la

velocidad del cuerpo A?

Datos:

mB = 8.0 kg

vB = 6.0 m/s

mA= 4.0 kg

Solución:

( ) (

)

Ejemplo 17:

¿Cuál es la cantidad de

movimiento total del sistema

mostrado en la figura?

Datos:

,

, a la derecha

,

a la izquierda

Solución:

Haremos la suma vectorial de las cantidades movimiento de ambos cuerpos, considerando

positiva la del cuerpo dirigido a la derecha.

( ) (

) ( ) (

)

A

B


** Las imágenes fueron seleccionada de la galería de imágenes de google 87 87

RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Consideremos un cuerpo que se mueve en línea recta con

aceleración constante. La aceleración de dicho cuerpo en un

intervalo de tiempo “∆t” dado, se puede calcular por:

Dada la segunda ley de Newton, tenemos que la magnitud

de la fuerza neta sobre él es:

Multiplicando ambos lados de esta igualdad por “∆t”, tenemos:

(

) ( )

(3.11)

El lado izquierdo de la igualdad “ ” es la magnitud del impulso, “ ” es la cantidad de

movimiento en el instante t2 y “ ” es la cantidad de movimiento en el instante t1.

“La expresión final nos dice que el impulso realizado por la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es

igual a la variación en la cantidad de movimiento lineal que experimenta el cuerpo.”

Aunque nuestro planteamiento fue formulado considerando un cuerpo en movimiento en línea recta

con aceleración constante, dicho resultado es universal. Es decir, es válido para un sistema con

cualquier movimiento.

Ejemplo 18

Un cuerpo cuya masa es de 5.00 kg se mueve hacia el este a 25.0

m/s ¿Cuál es la magnitud del impulso que debe aplicársele para que

su velocidad sea 10.0 m/s al oeste?

Datos

m = 5.00 kg

, al este (

)

, al oeste (

)

Solución:

Considerando que:

( ) (

) ( ) (

)

(

)

m

m



PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Consideremos un conjunto de partículas separadas de medio ambiente, y sobre las cuales solo se

verifican las fuerzas de interacción entre ellas; es decir, no hay ninguna fuerza proveniente del

exterior, a este sistema idealizado se le conoce como sistema aislado de partículas.

Supongamos un sistema aislado formado por dos partículas

m1 y m2, que interaccionan entre sí ejerciéndose fuerzas de

acción y reacción, (fuerza de m2 sobre m1), y

(fuerza de m1 sobre m2). Como se muestra en la figura.

Tal que:

Como estas fuerzas actúan durante el mismo intervalo de

tiempo ∆t. y si multiplicamos la expresión anterior por este

tiempo tenemos:

“Cuando dos cuerpos interaccionan se impulsan mutuamente, ejerciéndose impulsos de igual

magnitud y dirección pero sentidos opuestos.”

Considerando que “ ” es el impulso que la partícula m2 ejerce sobre la partícula m1, y que “ ”

es el impulso que la particula m1 ejerce sobre la partícula m2. Además que estos impulsos son igual

al cambio en la cantidad de movimiento de cada partícula, tenemos:

( )

Si colocamos en un mismo miembro los términos “inicial” y “final”, tenemos:

(3.12)

Lo que podemos resumir que:

“Por lo antes demostrado podemos concluir que la cantidad de movimiento total de un sistema

aislado permanece constante.” Este es el Principio de Conservación de la Cantidad de

Movimiento Lineal.



Aunque dicha demostración ha sido obtenida considerando dos cuerpos, ésta es válida para sistemas

constituidos por cualquier cantidad de cuerpos.

El principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado se observa

en una situación conocida como choque o colisión. Un choque es la interacción o contacto, que se

produce entre varios cuerpos, durante un intervalo de tiempo considerablemente pequeño.

Podemos clasificar los choques, de acuerdo dos criterios:

1. De acuerdo al número de direcciones en el que se produce el movimiento.

a. Unidimensionales: aquellos en los cuales se verifica el movimiento “antes” y “después”

del choque en la misma dirección, es decir, en una línea recta.

b. Bidimensionales: aquellos en los cuales se verifica el movimiento en dos direcciones, es

decir, en un plano.

c. Tridimensionales: aquellos en los cuales se verifica el movimiento en tres direcciones, es

decir, en el espacio.

“Nosotros nos enfocaremos en los choques unidimensionales”

2. De acuerdo las cantidades físicas que se mantienen invariables antes y después del choque:

a. Elásticos: aquellos en los cuales la cantidad de

movimiento lineal total ( T) de un sistema, así como

la energía cinética3 total (ECT) del sistema, son las

mismas antes y después del choque.

b. Inelásticos: aquellos en los cuales la cantidad de

movimiento total del sistema es la misma antes y

después de la colisión, aunque no la energía cinética

total del sistema. Como el caso de una pelota de

goma que choque con una superficie dura, la pelota

se deforma perdiendo energía cinética.

c. Perfectamente inelásticos: aquellos en los cuales la

cantidad de movimiento total del sistema es la misma

antes y después de la colisión, aunque no la energía

cinética total del sistema, pero los cuerpos se quedan

pegados después de la colisión, y por tanto, tienen

llevan la misma velocidad. Como ocurre cuando un

meteorito choca con la Tierra.

“Fíjese bien que siempre (en los 3 casos) se conserva la cantidad de movimiento lineal

total del sistema.”

3De esta cantidad física hablaremos en la unidad siguiente



Un choque elástico o inelástico entre dos cuerpos podemos estudiar la conservación de su

cantidad de movimiento lineal de acuerdo a la expresión 3.12.

Ahora si el choque entre dos cuerpos fuera completamente inelástico, entonces consideramos

que las velocidades finales de los cuerpos es la misma, y la expresión anterior quedaría

como:

( )

Ejemplo 20:

Un carro A, de masa mA = 2000kg, se mueve a 50.0 km/h y

choca con otro carro B, de masa mB = 1500kg, que estaba en

reposo. Si después del choque se mueven juntos. ¿Cuál es su

velocidad final de los autos?

Datos:

o mA = 2000kg

o vA = 50.0 km/h

o mB = 1500kg

o vB = 0

( ) (

) ( )( )

Ejemplo 21

Un cuerpo de masa igual a 5 kg. Inicialmente en reposo, se divide

por la acción de una fuerza interna, en otros dos partes. Una parte

cuya masa es m1= 2 kg, sale disparada hacia el este a 2.5 m/s.

¿Cuál es la velocidad (magnitud y sentido) de la otra parte?

Datos:

o Antes:

o Después:

Solución: ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) (

)

A B

A

B

( )

( )

Solución:

Antes

Después



RESUMEN

Un marco de referencia inercial es aquel en el cual permanece válida la 1ra Ley de Newton, y en

él un objeto que interactúa con otros objetos experimenta aceleración cero.

La primera ley de Newton expresa que en ausencia de una fuerza externa, cuando se ha visto desde

un marco inercial, un objeto en reposo permanecerá en reposo y un objeto en movimiento se moverá

en línea recta con velocidad constante.

La segunda ley de Newton expresa que la aceleración de

un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que

actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa.

El peso de un cuerpo es la fuerza con que la tierra atrae

hacia su centro, los cuerpos colocados cerca de su

superficie:

La tercera ley de Newton indica que si dos cuerpos 1 y 2

interactúan la fuerza ejercida por el cuerpo 1 sobre el cuerpo

2 es de igual magnitud y dirección pero de sentido

contrario. Esta nos indica que las fuerzas actúan en pares en

la naturaleza. En forma de ecuación esta se puede expresar:

La fuerza de fricción es una fuerza que se opone al

movimiento de los cuerpos. Esta siempre actúa en sentido

contrario al movimiento de un objeto.

La fuerza centrípeta es la responsable de que un objeto se

mueve con un movimiento circular uniforme:

El impulso (I) de una fuerza F es un vector cuyo valor es el

producto de la fuerza por el tiempo (∆t) durante el cual se

aplica.

La cantidad de movimiento (P) de un objeto de masa m

que se mueve a una velocidad v se define como el producto

de su masa por la velocidad:



El impulso impartido a una partícula por una fuerza es

igual al cambio en la cantidad de movimiento de la

partícula:

El principio de conservación de la cantidad de

movimiento lineal establece que se conserva la cantidad

de movimiento total de un sistema aislado. Si

consideramos dos cuerpos que chocan y forman un

sistema aislado se verifica que la cantidad de

movimiento total antes del choque debe ser igual a la

cantidad de movimiento total después del choque:




1. Al empujar un cuerpo sobre una superficie horizontal lisa, este se pone en movimiento y en el

instante en que la velocidad es de 2 m/s, se deja de empujar. Diga:

a. Si el cuerpo se detiene o sigue en movimiento.

b. Si se sigue moviendo ¿Cuál es la velocidad llevará 8 s después?

c. ¿Qué distancia se desplazará en ese tiempo?

2. Una persona de 70 kg que patina con una rapidez constante sobre el hielo, experimenta una

fuerza de 35 N. ¿Cuál es la aceleración de la persona?

3. Un bote de carreras tiene una masa de 400 kg. Si comienza desde el reposo y adquiere una

velocidad de 20 m/s en 5s, manteniendo una aceleración constante. ¿Cuál es la fuerza que actúa

sobre él?

4. Un automóvil de 1500 kg acelera desde 2 m/s hasta 12 m/s en 10 s.

a. ¿Qué fuerza actúa sobre él?

b. ¿Cuánto se desplazara en ese tiempo?

5. La velocidad de un carro aumenta de 40 km/h hasta 50 km/h en 10 s bajo la acción de una fuerza

resultante de 2500 N. ¿Cuál es la masa del carro?

6. Una fuerza de 8 N produce sobre una masa M1 una aceleración de 6 m/s2 y sobre una masa M2

una aceleración de 12 m/s2.

a. ¿Qué relación hay entre las dos masas?

b. ¿Cuánto vale cada masa?

c. ¿Cuánto valdrá la aceleración si la misma fuerza se aplica a ambas unidas?

7. Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un pequeño cuerpo; F1 está dirigida hacia el norte y tiene un

valor de 12 N y F2 está dirigida hacia el este y tiene un valor de 9 N. Si la masa del cuerpo es de

4 kg ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?

8. Un cuerpo de 4 kg está en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2.

Determine:

a. ¿Cuál es el peso del cuerpo en ese lugar?

b. Si el cuerpo está en la luna donde la aceleración de la gravedad de la luna es 1/6 de la

gravedad de la tierra. ¿Cuál es el valor de su peso en la luna?

9. Un elevador de 1000 kg se eleva con una aceleración de 4 m/s. ¿Cuál es la tensión en el cable de

soporte?

10. A un cuerpo de 20 kg situado sobre el suelo se le aplica una fuerza neta horizontal de 500 N.

¿Qué aceleración se le produce si la fuerza de fricción entre el cuerpo y el suelo es de 100 N?

11. Un hombre de 80 kg va sentado en una guagua que en un momento acelera a razón de 1.5 m/s2.

a. ¿Qué fuerza ejerce el asiento sobre el hombre?

b. ¿Qué fuerza ejerce el hombre sobre el asiento?



12. Un automóvil de 900 kg toma una curva de radio de 40 m, con una rapidez constante de 50

km/h. ¿Cuál es la fuerza neta necesaria para mantener el automóvil moviéndose en la curva

circular?

13. La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es de 150 N y actúan durante 4 s. ¿Qué

impulso recibe?

14. En el siguiente grafico calcule el impulso

15. Un cuerpo A de 4 kg se mueve hacia el este a 10

m/s, otro cuerpo B de 8 kg se mueve con igual

cantidad de movimiento. Determinar:

a. La cantidad de movimiento del sistema de

ambos cuerpos

b. La velocidad del cuerpo B.

16. Si una partícula de 400 gr se mueve con movimiento rectilíneo uniforme y recibe un impulso en

el cual su velocidad pasa de 3 m/s hasta 9 m/s durante un intervalo de tiempo de 8 s. Determine:

a. ¿Cuál es el impulso recibido?

b. ¿Cuál es el valor de la fuerza que actuó sobre la partícula?

17. Una bola A de 6kg que va a 12 m/s choca con otra B de 12 kg que tiene una velocidad de 4 m/s

en el mismo sentido que la primera. Después del choque, la bola B sigue hacia delante

aumentando su velocidad a 10 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la bola A después del choque?

18. Un carro de 1400 kg que va a 80 km/h choca con otro de 1100 kg que estaba en reposo,

incrustándose en el. ¿Cuál es la velocidad con que se mueven juntos ambos carros en el instante

después del choque?

19. Una piedra de 10 kg se parte en dos pedazos por efecto de una explosión. Si uno de los pedazos

de 2 kg se mueve hacia el norte a 12 m/s. ¿Cuál será la magnitud y dirección del otro?

FISICA BASICA TRABAJO Y ENERGÍA


95 95

Capítulo

4. Trabajo y Energía

Contenido:

4.1 Trabajo

4.2 Trabajo Realizado por Fuerza Constante

4.3 Trabajo Neto

4.4 Trabajo Realizado por Fuerza Variable

4.5 Trabajo por Fuerzas Conservativas y No Conservativas

4.6 Energía

4.7 Energía Cinética

4.8 Energía Potencial

4.9 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética

4.10 Sistemas Conservativos

4.11 Potencia



96 96

Es usual encontrar en los libros de Física un capítulo dedicado al estudio de los temas Trabajo y

Energía y no un capítulo para cada uno. Esto es así porque estos dos conceptos están muy

relacionados. Por ahora, que estamos en la introducción del capítulo, no nos interesa definirlos.

Solamente vamos a iniciar un acercamiento a los mismos, desde el punto de vista coloquial.

Vamos a buscar ideas acerca de las nociones que tenemos respecto de estos conceptos. Estas

nociones nos interesan, aunque son del lenguaje coloquial, porque nos van a ayudar a entender la

forma en que la Física los define.

Si ponemos atención a nuestro modo de hablar cotidiano notaremos algo que nos interesa resaltar,

respecto de los conceptos “trabajo” y “energía”, y es lo siguiente:

a) asociamos la palabra “trabajo” a una “actividad” que realizamos y que nos hace sentir cansados luego de realizarla

b) asociamos la palabra “energía” a una “disposición ó condición” que tenemos c) notamos que nuestra “energía” se reduce luego que realizamos “trabajo”

Estas ideas, como ya dijimos, son derivadas del lenguaje coloquial. Ahora pasaremos a especificar,

según el lenguaje de la Física, lo que significan los conceptos de “trabajo” y “energía”.

4.1 TRABAJO

Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza, hemos visto que

este puede cambiar su estado de movimiento o de reposo,

adquiriendo una aceleración. La acción de una fuerza sobre

un cuerpo es responsable de una cantidad física que se

verifica sobre el cuerpo, denominada trabajo.

“El trabajo es la cantidad física asociada a la aplicación de

una fuerza sobre un cuerpo que se mueve, teniendo la fuerza

considerada alguna componente paralela al movimiento del

cuerpo”.

El trabajo se representa con la letra W (note que es

mayúscula), y su unidad de medida, en el Sistema

Internacional de unidades, se llama Joule. El Joule se indica

con la letra “J” (1 J = 1 kg m2/s

2). Otras unidades de medida

de trabajo son: caloría, BTU (british termal unit), pie-libra.

Característica del Trabajo:

Es una cantidad escalar, pues

carece de dirección y sentido.

Es una variable de proceso, pues

se determina entre dos puntos.

Está relacionado con la fuerza, ya

que es realizado por una fuerza.



97 97

La unidad de medida del trabajo, en el SI, se

nombró en honor a James Joule. Este fue un

científico inglés, nacido el 13 de Diciembre de

1818 y fallecido el 11 de Octubre de 1889. Joule

trabajó junto con Lord Kelvin para desarrollar la

escala absoluta de temperatura, hizo

observaciones de termodinámica, y encontró una

relación entre la corriente eléctrica que atraviesa

una resistencia y el calor disipado por ésta.

4.2 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Aquí nos referimos a una fuerza que no cambia ni en

magnitud, ni en dirección, ni en sentido, actuando sobre un

cuerpo que se mueve en línea recta. El trabajo realizado por

dicha fuerza se puede calcular de la forma siguiente:

(4.1)

Bajo la condición de que la fuerza sea constante, se pudieran

presentar varias situaciones particulares que son:

1) Cuando el ángulo entre “ ” y “Δ ” es cero (θ = 0º);

es decir, la fuerza y el desplazamiento tienen igual

dirección y sentido:

En este caso, dado que y tienen igual dirección

y sentido (forman un ángulo de 0º), entonces: cos θ =

cos 0º = 1.

Luego, en la expresión (4.1) podemos decir que el

trabajo será positivo dado por:

Tabla 4.1

Conversión de Unidades

De Trabajo y Energía

Joule pie lb BTU caloría

1 Joule 1 0.7376 9.481 x 10-4

0.2389

1 pie lb 1.386 1 1.285 x 10-3

0.3239

BTU 1055 777.9 1 252

caloría 4.186 3.087 3.968 x 10-3

1

Observe con cuidado que el trabajo

se calcula al multiplicar estos 3

factores:

a) F = es la magnitud de la fuerza.

b) es la magnitud del

desplazamiento lineal.

c) es el coseno del ángulo

(siendo θ el ángulo que existe

entre la fuerza y el

desplazamiento lineal).

Figura 4.2 Cuerpo que se desplaza

hacia la derecha mientras recibe una

fuerza hacia la derecha

Figura 4.1



98 98

Ejemplo 1

Una persona aplica una fuerza de 2.00 N a una horizontal a la

derecha, sobre una caja, arrastrándola 4.00 m a la derecha sobre

un piso sin fricción. Calcular el trabajo realizado por la fuerza que

ejerce la persona sobre la caja.

Solución:

Note que la fuerza y el desplazamiento lineal tienen igual dirección y sentido, por tanto

podemos usar la expresión que acabamos de escribir.

Entonces el trabajo es:

( ) ( ) ( )

2) Cuando el ángulo entre “ ” y “Δ ” sea mayor

de 0º y menor de 90º:

En este caso el “cos θ” es un número decimal

positivo, es decir .

Entonces, en la expresión 4.1 podemos decir que

el trabajo será positivo dado por:

Ejemplo 2

Una persona aplica una fuerza de 5.00 N

inclinada 35° sobre la horizontal, sobre una

caja de madera, arrastrándola 15.0 m a la

derecha sobre un piso rugoso. Calcular el

trabajo realizado por la fuerza ejercida por la

persona sobre la maleta.

Solución:

Note que el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento lineal es 35°. Luego,

.


( ) ( ) ( )

4.00 m

Figura 4.3 Cuerpo que se mueve hacia

la derecha, sobre el que actúa una

hacia la derecha, que forma un ángulo

cuyo valor está entre 0º y 90º

15.0 m



99 99

3) Cuando el ángulo entre “ ” y “Δ ” vale 90º:

En este caso “ ” y “ ” son perpendiculares. Es

decir

Luego, en la expresión 4.1 podemos decir que el

trabajo será nulo (la fuerza no realiza trabajo):

( )

Ejemplo 3

Un niño aplica una fuerza de 3.00 N verticalmente hacia

abajo sobre una carrito que se mueve a la derecha,

conforme el carrito avanza 0.800 m. Calcular el trabajo

realizado por la fuerza que ejerce el niño sobre el

carrito.

Solución:

Note que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares.

Es decir: θ = 90 , luego:


( ) ( ) ( )

4) Cuando el ángulo entre “ ” y “Δ ” vale más de

90º y menos de 180º:

En este caso el “cos θ” es un número decimal

negativo. Es decir

Entonces, en la expresión 4.1 podemos decir que el

trabajo será negativo dado por:

Figura 4.4 Cuerpo que se mueve hacia

la derecha, mientras recibe una fuerza

hacia abajo.

0.800 m

Figura 4.5 Cuerpo que se mueve

hacia la derecha, mientras sobre el que

actúa una hacia la izquierda

inclinada un ángulo cuyo valor está

entre 90º y 180º



100 100

Ejemplo 4

Un hombre que pasea con su perro tiene que esforzarse

para mantenerlo a su ritmo, caminando detrás del perro.

El hombre aplica una fuerza de 100 N, mediante una

cuerda que forma un ángulo de 150º con la dirección en

que se mueve el perro. Determine el trabajo realizado

por el hombre sobre el perro mientras el perro avanza

5.00 m.

Solución:

Note que en este caso θ = 150 . Por lo que: cos θ = cos 150 = – 0.866

El trabajo es:

( ) ( ) ( )

5) Cuando el ángulo entre “ ” y “Δ ” vale 180º; es

decir, la fuerza y el desplazamiento tienen igual

dirección pero sentido contrario:

En este caso “ ” y “ ” tienen sentidos opuestos,

es decir,

Luego, podemos decir que el trabajo será negativo:

( )

Ejemplo 5

José Reyes (shortstop de los NY Mets) se desliza hacia una base

avanzando 1.50 m horizontalmente a la derecha, mientras sobre él

actúa una fuerza de fricción de 2.50 N horizontalmente a la

izquierda. Calcular el trabajo realizado por la fuerza de fricción

sobre José Reyes.

Solución:

Note que la fuerza y el desplazamiento lineal tienen igual dirección pero sentidos opuestos.

Entonces θ = 180 , luego: cos θ = cos 180 = - 1.


( ) ( ) ( )

150º

5.00 m

150º

Figura 4.6 Cuerpo que se desplaza

hacia la derecha mientras recibe una

fuerza hacia la izquierda



101 101

4.3 TRABAJO NETO

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas a la vez, cada

fuerza realizara un trabajo sobre el cuerpo. Al trabajo total

que el conjunto de fuerzas realiza sobre el cuerpo se

denomina trabajo neto.

En el caso, si deseamos calcular el trabajo neto realizado

sobre el cuerpo podemos proceder de cualquiera de las

siguientes maneras:

a) Se calcula el trabajo realizado por cada fuerza, y

luego los sumamos.

b) Obtenemos la fuerza neta, mediante la suma

vectorial de todas las fuerzas, y entonces

calculamos el trabajo realizado por dicha fuerza

neta.

Dado que la fuerza neta está ligada a la aceleración, y por tanto al tipo de movimiento que desarrolla

el cuerpo. Podemos razonar también que:

a) En el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

la velocidad del cuerpo no varía, entonces no

hay aceleración, y en consecuencia la fuerza

neta es nula. Por tanto no hay trabajo neto

realizado sobre el cuerpo.

b) En el Movimiento rectilíneo Uniformemente

Variado (MRUV) la velocidad del cuerpo varía,

entonces hay aceleración, y en consecuencia la

fuerza neta NO ES nula. Por tanto hay trabajo

neto realizado sobre el cuerpo.

c) En el Movimiento Circular Uniforme (MCU) la

fuerza neta apunta hacia el centro del círculo, y

la llamamos fuerza centrípeta. Esta fuerza,

aunque no es nula, no realiza trabajo. Esto es así

porque el ángulo existente entre la fuerza

centrípeta (que siempre apunta hacia el centro

del círculo, sobre el radio) y el desplazamiento

lineal (que siempre es tangente al círculo)

siempre mide 90°.

Figura 4.7 Cuerpo que se arrastra

aplicándole una fuerza F, hacia la

derecha. Además de dicha fuerza, actúan

sobre él la fuerza gravitatoria debido a la

Tierra (el peso), la fuerza normal y la

fuerza de fricción debido al piso.

En el MRU , entonces

En el MRUV ,

entonces

En el MCU la fuerza neta es

perpendicular al desplazamiento

lineal, por tanto:



102 102

Ejemplo 6

Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas

hacia la derecha,

hacia la izquierda como se muestra en la figura.

Si el cuerpo avanza 4.00 m horizontalmente a la

derecha. Calcular el trabajo neto realizado sobre

el cuerpo.

Solución:

Primero determinaremos el trabajo que realiza cada fuerza por separado sobre el cuerpo y

luego realizaremos la suma de estos trabajos.

Trabajo realizado por : observe que tanto el desplazamiento ( ) como la fuerza en

cuestión ( ) se dirigen a la derecha, es decir .

El trabajo realizado por esta fuerza es:

( )( )

Trabajo realizado por : observe que el desplazamiento ( ) es hacia la derecha,

mientras que la fuerza en cuestión ( ) se dirigen a la izquierda, es decir .


( )( )

Ahora obtendremos el trabajo neto:

( ) ( )

Ahora determinaremos la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, y luego calcularemos el

trabajo realizado por dicha fuerza sobre el cuerpo.

La fuerza neta es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo,

considerando positiva la dirigida a la derecha:

( ) ( )

Trabajo realizado por : observe que el desplazamiento ( ) es hacia la derecha,

mientras que la fuerza en cuestión ( ) se dirigen a la izquierda, es decir .


( )( )

“Como podemos ver, en ambos casos, el trabajo vale lo mismo.”



103 103

4.4 TRABAJO REALIZADO POR FUERZA VARIABLE

En este caso nos referimos a una fuerza que cambia en

magnitud, pero no en dirección ni en sentido, actuando

sobre un cuerpo que se mueve en línea recta.

Considerando un cuerpo que se mueve sobre el eje x,

tendremos que el desplazamiento ( ) solo tiene

componente horizontal, entonces .

Además, la fuerza que estamos considerando es paralela

al desplazamiento lineal, es decir, paralela el eje x, la

cual especificaremos como “ ”.

“En este caso el trabajo realizado por la fuerza “ ”

es el área bajo el gráfico Fx = f (x)”

Si la forma del gráfico Fx = f (x) es una línea curva,

entonces para calcular el área bajo el gráfico

necesitamos aplicar conceptos de Cálculo Diferencial e

Integral. (Esto no lo vamos a tratar en este libro).

Si la forma del gráfico Fx = f (x) es una línea recta,

entonces para calcular el área bajo el gráfico usamos la

fórmula de la figura geométrica formada.

4.5 TRABAJO POR FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS

FUERZAS CONSERVATIVAS

Imagine una pequeña hormiga que está cargando

pequeños trocitos de azúcar desde un punto (a) hasta

otro punto (b). Si la hormiga tiene tres caminos

posibles, y realiza el mismo trabajo sobre los trozos de

azúcar, sin importar cuál de los tres caminos utilice.

Entonces, la fuerza que aplica la hormiga sobre el

azúcar es una fuerza conservativa.

Entonces, podemos afirmar que:

“Una fuerza es conservativa, si al actuar sobre un

cuerpo el trabajo que esta fuerza realiza entre dos

puntos no cambia con la trayectoria.”

Por tanto si la trayectoria fuera cerrada el trabajo neto realizado por dicha fuerza es igual a cero.

Un ejemplo de fuerza conservativa es el peso de un cuerpo (la fuerza gravitatoria que hace el planeta

Tierra sobre el cuerpo halándolo hacia el centro de ella).

x

Fx

x1 x2 0

Figura 4.8

Este es un gráfico Fx = f(x) cuya forma

no es una recta. El trabajo debido a Fx

cuando el cuerpo avanza desde x1 hasta

x2 es igual al área de la figura

sombreada (con color azul). Su valor se

obtiene aplicando conceptos de cálculo

integral.

Cuando este gráfico es una recta, se

podría formar una figura geométrica

determinada, cuyas se calculan como:

o Un rectángulo

o Un triangulo

o Un trapecio

(a)

(b)

Azúcar

1

2

3



104 104

Ejemplo 7

Un hombre está haciendo ejercicios con una mancuerna, cuya

masa es 2.00 kg. La mancuerna pasa de una altura h1 = 1.20 m a

otra altura h2 = 1.60 m, en el camino de ida, y luego hace el

camino de vuelta. Comprobar que el peso del cuerpo es una

fuerza de tipo Conservativa.

Solución:

Cuando las mancuernas van desde h1 hasta h2, tenemos:

Fuerza ( ) (

)

Desplazamiento

Considerando que la fuerza y el desplazamiento son opuesto entonces

Determinando el trabajo tenemos:

( )( )

Cuando las mancuernas van desde h2 hasta h1, tenemos:

Fuerza ( ) (

)

Desplazamiento

Considerando que la fuerza y el desplazamiento tienen igual dirección y sentido,

entonces

Determinando el trabajo tenemos:

( )( )

“al comparar los trabajos, tanto cuando las mancuernas suben como cuando bajan podemos

observar que son iguales y signos contrarios”. Entonces si consideramos la trayectoria

cerrada de “subida – bajada”, tenemos que el trabajo neto realizado por el peso es:

( ) ( )

Conclusión: como el trabajo neto realizado por el peso en una trayectoria cerrada es igual a cero,

entonces se confirma que el peso es una fuerza conservativa.



105 105

FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Existe otro tipo de Fuerza, llamada No Conservativa, que no cumple las características de la Fuerza

Conservativa.

“una fuerza no conservativa, es aquella que al actuar sobre un cuerpo el trabajo que realiza entre dos

puntos cambia con la trayectoria”

Por ejemplo, la Fuerza de Fricción ó Fuerza de Rozamiento es una Fuerza de tipo No Conservativa.

Recuerde que el sentido de esta Fuerza es, por definición, opuesto al deslizamiento.

Ejemplo 8

Una persona desliza una caja 10.0 m horizontalmente a la derecha, y luego

regresa deslizándola a la izquierda, si la fuerza de fricción cinética entre la

caja y el piso es constante, y cuya magnitud es 3.00 N. Comprobar que la

Fuerza de fricción es de tipo No Conservativa.

Solución:

Durante la ida:

La fuerza de fricción actúa hacia la izquierda es:

La caja se desplaza hacia la derecha una distancia:

El ángulo formado entre la fuerza y el desplazamiento es:

El trabajo realizado por esta fuerza sobre la caja es:

( )( )

Durante la vuelta:

La fuerza de fricción actúa hacia la derecha es:

La caja se desplaza hacia la izquierda una distancia:

El ángulo formado entre la fuerza y el desplazamiento es:

El trabajo realizado por esta fuerza sobre la caja es:

( )( )

Se puede observar que tanto en la ida, como en la vuelta los trabajos

son iguales en magnitud y signos. Calculemos ahora el trabajo neto

en la trayectoria cerrada de “de ida y vuelta”, y tenemos:

( ) ( )

Conclusión: como el trabajo neto realizado por la fuerza de fricción en una trayectoria cerrada es

diferente de cero, entonces se confirma que la fuerza de fricción es una fuerza no conservativa.

Movimiento de ida

“Izquierda a derecha”

Movimiento de vuelta

“Derecha a izquierda”



106 106

4.6 ENERGIA

Vamos a elaborar una definición de energía a partir del

trabajo. Si decimos que el trabajo es una forma de

transferirle energía a un cuerpo, entonces, razonando a la

inversa, podemos decir que:

“la energía es la cantidad física que obtiene un cuerpo

cuando se realiza trabajo sobre él”

También podemos decir que: la energía es “la capacidad de

realizar trabajo”. Según las definiciones anteriores vemos

que trabajo y energía, al poder definir uno en función del

otro, tienen una relación causal.

También podemos definir la energía como la cantidad física

que se asocia a cada estado físico de un sistema.

Recordemos que un sistema es una entidad material ó un

conjunto de entidades materiales, tal que está caracterizado

por tener un marco de referencia.

Si recordamos las características del trabajo, y las

comparamos con las de la energía, podemos notar que no

son lo mismo.

Existen diversos tipos de energía.

Por ejemplo:

o De acuerdo a la fuente de la cual se obtienen tenemos:

Eólica (del viento),

Solar (del sol),

Geotérmica (vapores del subsuelo),

Calorífica (de combustibles),

Atómica (de fisión de átomos).

o De acuerdo al fenómeno físico asociado, podemos citar las tres siguientes:

Cinética,

Potencial Gravitatoria,

y Potencial Elástica.

Dado que nos enfocaremos en el estudio de los fenómenos físicos, nos concentraremos en los

últimos tres tipos de energía mencionados.

Característica de la Energía:

Es una cantidad escalar, pues

carece de dirección y sentido.

Es una variable de estado, pues se

determina en un punto.

Está relacionado con el cuerpo,

ya que es almacenada por el

cuerpo al cual se le aplica la

fuerza.

Posee igual unidad de medida

que el trabajo.



107 107

4.7 ENERGIA CINETICA

La energía cinética es “la energía asociada al movimiento de un

sistema”. Se indica con letra K (del inglés ¨kinetic¨), aunque aquí

la indicaremos con “EC”. Esta se calcula, para un cuerpo de masa

“m” y que se mueve con velocidad de magnitud “v”, con la

fórmula siguiente:

(4.2)

La expresión anterior, nos deja advertir que si suponemos que la

masa de un cuerpo no cambia a medida que se mueve cambiando

la magnitud su velocidad, entonces:

“La energía cinética del cuerpo es directamente proporcional al

cuadrado de la velocidad”

Si un objeto se mueve, de forma tal, que su velocidad cambia de

dirección y sentido, pero mantiene su magnitud constante;

entonces su energía cinética no cambiará.

Ejemplo 9

Un cuerpo de masa 1.00 kg se está moviendo, y la magnitud de su velocidad lineal es 3.00 m/s.

Determine su energía cinética.

Solución:

Datos:

Masa: m = 1.00 kg

Rapidez: v = 3.00 m/s

Energía Cinética:

( ) (

)

Ejemplo 10

Dado un cuerpo de masa “m, en movimiento con velocidad de magnitud “v”, ¿cómo cambia el valor

de la energía cinética del cuerpo, si se duplica la magnitud de su velocidad?

Solución:

Primero escribimos la expresión para la energía cinética inicial: (v = vi)

Seguidamente escribimos la expresión para la energía cinética final: (vf =2vi)

( )

(

)

“Vemos que si se duplica la velocidad (vf =2vi), la energía cinética se cuadruplica ”

En el MRU y en el MCU,

la energía cinética es

constante pues la velocidad

es constante.

En el MRUV la energía

cambia proporcionalmente

con el cuadrado de la

velocidad.



108 108

4.8 ENERIGIA POTENCIAL

La energía potencial se define como “la energía asociada

a la configuración de un sistema, en el cual sólo actúan

fuerzas conservativas”.

Al decir configuración, nos referimos a la disposición,

organización, arreglo o posición relativa de cada cuerpo

o partícula del sistema (respecto de los demás). Esta

energía se indica con la letra “U” o “EP” (en mayúscula),

y vamos a distinguir dos tipos de energía potencial: la

potencial gravitatoria y la potencial elástica.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:

La energía potencial gravitatoria se define como “la

energía asociada a la configuración de un sistema, en el

cual sólo actúan fuerzas gravitatorias”. Esta se calcula

para un sistema formado por masas. La fuerza

gravitatoria es de tipo conservativa, y actúa de centro a

centro de las masas del sistema.

Esta energía se indica “UG” o ”EPg”; para un sistema

formado por la Tierra y un cuerpo de masa “m” colocado

a una altura “y” de un punto arbitrario, se calculará con la

fórmula siguiente:

(4.3)

En la expresión anterior consideramos que nuestra

referencia es la Tierra, por lo que el cuerpo es nuestro

objeto de estudio, y podemos decir:

“Que esta es la energía potencial gravitatoria del cuerpo

respecto de la Tierra”

Podemos utilizar un cuerpo como referencia con la

finalidad de calcular la energía potencial gravitacional de

otro cuerpo, en este caso la posición “y” se asumirá del

centro a centro de los cuerpos, o mediante la diferencia

de las posiciones “∆y” de los cuerpos respecto a una

línea de referencia común,

La energía potencial U o EP está

asociada a la acción de fuerzas

puramente conservativas.

La EPg, está asociada a un cuerpo

bajo la acción del campo

gravitacional de otro cuerpo.

En la expresión para calcular EPg

establecer lo siguiente:

o Si la masa “m” del cuerpo

aumenta o disminuye, entonces

EPg aumentará o disminuirá en

la misma proporción.

o Si la posición “y” del cuerpo

aumenta o disminuye, entonces

EPg aumentará o disminuirá en

la misma proporción.

Por lo que podemos asegurar que:

“La energía potencial gravitacional EPg,

es directamente proporcional al producto

de la masa “m” del cuerpo, y su posición

“y” respecto de un punto de referencia”

mg

y



109 109

Ejemplo 11

Un cuerpo tiene masa 1.40 kg y está colocado 2.20 m sobre

el suelo. Determine la energía potencial gravitatoria del

sistema Tierra – Cuerpo.

Solución:

El cuerpo esta a una altura del suelo y = 2.20 m

Tiene una masa: m = 1.40 kg

La energía potencial gravitatoria del cuerpo

respecto de la Tierra es:

( ) (

) ( )

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Se llama cuerpo elástico a aquél que cambia de forma

cuando se le aplican fuerzas, y tiende a recuperar su forma

original al dejar de aplicarle dichas fuerzas. La tendencia de

los cuerpos elásticos a recuperar su forma se llama

elasticidad, y se explica con una fuerza Recuperadora o

Restauradora. Acerca de la elasticidad fueron los trabajos

experimentales de Robert Hooke, quien estableció que “la

fuerza recuperadora que ejerce un cuerpo elástico contra el

agente que lo deforma es proporcional a la deformación

sufrida por el cuerpo elástico”, enunciado al cual llamamos

Ley de Hooke. La elasticidad tiene límites, es decir, no

podemos estirar un cuerpo elástico hasta donde queramos,

porque en algún momento lo vamos a deformar tanto que no

volverá a su tamaño original, o se romperá. Por tanto,

debemos recordar que cuando hablamos de cuerpos

elásticos lo hacemos “dentro de ciertos límites”.

Consideremos en nuestro estudio del cuerpo elástico a un

resorte, el cual está colocado horizontalmente, con su

extremo izquierdo sujeto a una pared, y el otro extremo

unido a un cuerpo de masa m con libertad de movimiento

horizontal. En su posición relajada el resorte tiene una

mg

y

Robert Hooke fue un científico

inglés, nació el 18 de Julio de 1635

y fallecido el 3 de Marzo de 1703.

Se destacó por sus trabajos

experimentales y por las polémicas

que mantuvo con Isaac Newton.

En 1660 formuló su ley acerca de

la elasticidad.

Estudió láminas de corcho con el

microscopio y fue el primero en

usar el término ¨célula¨.



110 110

longitud L0 (ver figura 4.8a). Luego, cuando un hombre ejerce una

fuerza sobre él, tendrá una longitud Lf. Al cambio de longitud del

resorte ( L = Lf – L0) le llamaremos deformación, y lo

denotaremos con la letra “x”.

La expresión matemática de la Ley de Hooke, para el modelo

anterior, es:

(4.4)

Cuidado: El signo negativo (–) en esta expresión, no quiere decir

que la constante “k” es negativa, el significado de este es la

orientación de la fuerza restauradora “Fx” respecto de la

deformación “x”.

En la expresión 4.4, “k” es la constante de proporcionalidad entre la

fuerza restauradora y la deformación, la cual llamamos “constante

elástica”. Esta es una característica del cuerpo elástico, y está

determinada por la geometría y el material del cuerpo elástico. Esta

indica la tendencia del cuerpo elástico a no deformarse.

Por ejemplo, si k vale 1 N/m, significa que el cuerpo elástico

necesita una fuerza de 1 Newton de magnitud para que se deforme

1 metro.

Ejemplo 12

El resorte de la figura 4.8, tiene una constante elástica k = 5.25 N/m, y una longitud de 0.500 m,

esta inicialmente el resorte esta relajado, y luego se le aplica una fuerza hacia la derecha de su

posición de equilibrio, hasta que su longitud es 0.620 m. Determine la fuerza restauradora que ejerce

el cuerpo elástico.

Solución:

El resorte tiene constante k = 5.25 N/m

Una longitud inicial L0 = 0.500 m

Es estirado hasta que L = 0.620 m

El resorte experimenta una deformación:

( )

La fuerza de restauración que el resorte aplica es:

(

) ( )

(0.630 N hacia la izquierda, respecto de la posición de equilibrio)

Li

Figura 4.8a Resorte relajado,

conectado a un cuerpo

Lf

Figura 4.8b Resorte

estirado

Nota: “La fuerza restauradora

aplicada por un cuerpo elástico

es directamente proporcional a

la deformación

experimentada”



111 111

Energía Potencial Elástica, se define como “la energía asociada a

la configuración de un sistema, en el cual sólo actúan fuerzas

elásticas”. Considerando que un resorte como cuerpo elástico

ideal, cuya constante elástica es “k”, y que bajo la acción de una

fuerza externa se deforma una distancia “x”, entonces podemos

obtener la energía potencial elástica almacenada por el resorte

de la forma siguiente:

(4.5)

“La energía potencial elástica es directamente proporcional con el cuadrado de la deformación”

Ejemplo 13

¿Cuánta energía almacenó el resorte del ejemplo 12?

Solución:

El resorte tiene constante k = 5.25 N/m

Se deformo una distancia x = 0.120 m

La energía almacenada por este es:

(

) ( )

(Respecto de la configuración no estirado)

4.9 EL TRABAJO Y LA ENERGIA CINETICA

Consideremos un carro sobre el cual actúa una

fuerza neta constante “ ”, y este experimenta

un desplazamiento “ ” en la misma dirección de

la fuerza neta.

El trabajo realizado por la fuerza neta sobre

el carro esta dado por: (recuerde en este

caso )

La magnitud de la aceleración experimentada por el carro se puede obtener a partir de las

magnitudes de las velocidades y del desplazamiento por.

x

(1) (2)



112 112

Recordando la segunda Ley de Newton, y sustituyendo la aceleración tenemos:

(

)

Ahora multiplicamos ambos lados por la distancia recorrida “ ”, y nos queda:

(

) (

)

En esta última, podemos observar que el término de la izquierda de la igualdad es el trabajo

realizado por la fuerza neta entre los dos puntos, y los términos de la derecha corresponden a

las energías cinéticas del carro en estos dos puntos. Entonces podemos escribir:

es decir (4.6)

Aquí podemos verificar que el trabajo realizado por la fuerza neta sobre un cuerpo en movimiento

es igual a la variación de la energía cinética del cuerpo, este es el Teorema del Trabajo y la

Energía Cinética.

Observe que hemos comprobado la igualdad citada considerando una fuerza neta constante y

paralela al movimiento. Sin embargo, su validez es universal, lo cual puede demostrarse con

expresiones del cálculo diferencial que no corresponden a este curso.

Este teorema es valioso porque nos permite tener otra manera de calcular el trabajo neto realizado

por la fuerza neta sobre un cuerpo: simplemente restar la energía cinética del cuerpo al final y al

principio de un intervalo dado. No hemos necesitado conocer las fuerzas que actuaron en el

intervalo, ni tampoco la trayectoria recorrida.

Ejemplo 14

Un cuerpo de 2.00 kg, parte del reposo y avanza 12.0 m horizontalmente a la derecha, mientras

sobre él actúa una fuerza neta constante de 5.00 N en la misma dirección del movimiento.

Comprobar el Teorema del Trabajo y la Energía Cinética.

Solución

Primero determinamos el trabajo que ejerce la fuerza neta sobre el cuerpo:

o

o

o Como la fuerza y el desplazamiento son paralelos tenemos:

o El trabajo por definición es:

( )( )



113 113

Determinaremos la energía cinética en cada punto.

El cuerpo estaba inicialmente en reposo, es decir: vi = 0

( )( )

El cuerpo se acelera hasta que su rapidez es vf.

- De la segunda Ley de Newton tenemos:

- Por cinemática tenemos:

√

√ (

) ( )

- La energía cinética en este punto está dada por:

( ) (

)

Ahora hacemos la diferencia de las energías cinéticas del cuerpo, y tenemos:

Como podemos ver hemos obtenido el mismo resultado para el trabajo y para la variación de la

Energía Cinética, por tanto, comprobamos que W = EC

4.10 SISTEMA CONSERVATIVO

Cuando en un sistema sólo actúan fuerzas conservativas que están realizando trabajo sobre un

cuerpo en movimiento, entonces estamos ante un Sistema Conservativo de Energía.

Considerando la definición de fuerzas conservativas

podemos decir:

“En todo sistema conservativo, la energía total se mantiene

constante, aunque dentro del sistema hayan cambios de

energía cinética a potencial y viceversa” Este es el

Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

A la energía total del sistema se le denomina energía

mecánica del sistema (EM), y es la energía del mismo en

virtud de su configuración y su movimiento. Por tanto, se



114 114

expresa como la suma de las energías potencial (configuración) y cinética (movimiento):

(4.7)

En virtud del enunciado del Principio de Conservación de la Energía, podemos establecer que:

a) En todo sistema conservativo se verifica que:

b) En los puntos del sistema donde la energía cinética es mínima, la potencial es máxima, y

viceversa. Es decir que:

Ejemplo 15

Un cuerpo de 1.00 kg de masa, es dejado caer desde 16.0 m de

alto sobre el suelo. Comprobar la existencia de un Sistema

Conservativo de Energía en la caída libre.

Solución

Primero haremos el analizaremos el sistema por

cinemática.

Como el cuerpo es dejado cae, entonces su

rapidez inicial es cero.

Este se desplaza una distancia vertical,

Con una aceleración vertical,

Se trata de un cuerpo en caída libre, y debemos determinar la rapidez con la que

tocará el suelo.

√

√ (

) ( )

Segundo analizaremos mediante energía el punto inicial:

Energía cinética inicial. Donde

( )( )

Energía potencial inicial. Donde

( ) (

) ( )

Energía mecánica.

Ahora analizaremos mediante energía el punto final:

Energía cinética final. Donde

( ) (

)

y = 16.0 m

m = 1.00 kg



115 115

Energía potencial final. Donde

( ) (

) ( )

Energía mecánica.

Conclusión: como la Energía Mecánica es igual en al inicio y al final del movimiento, podemos

afirmar que en la caída libre se verifica un sistema conservativo de energía.

4.11 POTENCIA

Consideremos dos hombres, que están cargando un camión

con sacos de arroz de 100 libras, uno llamado Fortachón

realiza el trabajo al subir un saco cada dos minutos. El otro

hombre llamado Debilio realiza el trabajo al subir un saco

cada cuatro minutos. Podemos notar que ambos hombres han

realizado el mismo trabajo, pero al emplear tiempos

diferentes, entonces decimos que desarrollan diferente

potencia.

La potencia se define como “la rapidez, ritmo, o tasa, a la cual

se está realizando trabajo o se está transfiriendo energía”.

A la potencia que desarrolla un sistema en un intervalo de

tiempo dado, se le denomina potencia media. Si un sistema

realiza un trabajo W, durante un tiempo t, la potencia media

se obtiene como:

(4.7)

Asimismo, dado un sistema desde el que se ha transferido una

energía E (por cualquier método) durante un tiempo t, la

potencia media se obtiene como:

(4.7)

La unidad de medida de la potencia, en el SI, es el Watt (1 J/s).

La potencia, el trabajo y la

energía son cantidades físicas

escalares.

La potencia es un concepto de

mucha utilidad en ingeniería,

ya que nos da la idea de la

energía media suministrada ó

entregada por una maquinaria

en la unidad de tiempo.

Otras unidades de medida son:

HP (horse-power, del inglés:

caballo de potencia), cal/s

(caloría/segundo), btu/h.



116 116

Ejemplo 16

Calcular la potencia media desarrollada por un motor que realiza un trabajo de 800 J en un tiempo

de 20.0 s.

Solución:

Datos

El trabajo realizado es: W = 800 J

En un tiempo: ∆t = 20.0 s

La potencia media del motor es:

Si dos sistemas interactúan entre sí, a la rapidez de transferencia de

energía entre estos dos sistemas se le denomina potencia

instantánea.

Consideremos un sistema A, y en ese instante interactúa con otro

sistema B, recibiendo una fuerza , y A se mueve con una

velocidad . Entonces, partiendo de la potencia media, tenemos:

a) El trabajo de B sobre A:

b) Considerando que este trabajo es realizado solo durante el

instante de la interacción, podemos escribir la potencia

instantánea como:

( ) (

)

Donde:

: es la magnitud de la fuerza de interacción

: es el coseno del ángulo formado entre la fuerza y la

velocidad

( ) : es la magnitud de la velocidad

El valor de la potencia instantánea está dado por:

(4.9)

Ejemplo 17

Calcular la potencia instantánea desarrollada por una persona que aplica una fuerza de 20.0 N sobre

una herramienta, moviéndola a 1.00 m/s, siendo el ángulo entre la fuerza y la velocidad de la

herramienta 30º.

Solución:

( ) (

)

Notas:

La potencia media se

verifica en un intervalo

de tiempo.

La potencia instantánea

ocurre en un instante

determinado.

Si el ángulo “ ” entre la

fuerza , y la velocidad

es menor de 90°,

entonces la potencia

instantánea es positiva,

y el sistema A recibe

energía del sistema B.

Si el ángulo “ ” entre la

fuerza , y la velocidad

es mayor de 90°,

entonces la potencia

instantánea es negativa,

y el sistema B recibe

energía del sistema A.



117 117

RESUMEN

El trabajo es realizado sobre un cuerpo por la

acción de una fuerza a medida que este se mueve. Si

la fuerza es constante, el trabajo se determina por:

Para una fuerza que cambia durante el movimiento el trabajo será igual al

área bajo el grafico F =f(r), donde: (r) indica la posición relativa del cuerpo

bajo la acción de la fuerza F.

Esta se abstendría de acuerdo a la forma de la zona sombreada mediante las

ecuaciones de geometría.

Al trabajo realizado por un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo se le denomina trabajo neto.

A la capacidad para realizar trabajo se le denomina energía, y al igual que el trabajo se mide en

Joule (1 J=1Nm).

De acuerdo al fenómeno físico podemos citar la:

Que está asociada al movimiento de los cuerpos

conocida como energía cinética.

Que está asociada a las fuerzas que dependen de la posición o configuración de los sistemas,

conocida como energía potencial.

o La asociada a las fuerzas que dependen de la

posición de los cuerpos dentro de un campo

gravitacional se le denomina energía

potencial gravitatoria.

o La asociada a la configuración del sistema se

le denomina energía potencial elástica.

La energía total de un sistema resulta de la suma de

la energía potencial y la energía cinética del mismo,

se conoce como energía mecánica.

El trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual a

la variación de su energía cinética, este es el

teorema del trabajo y la energía cinética.

Se consideran fuerzas conservativas a toda fuerza que realiza siempre el mismo trabajo entre dos

puntos, sin importar la trayectoria del cuerpo. En este caso si la trayectoria es cerrada el trabajo neto

es cero. Si el trabajo realizado por la fuerza cambia con la trayectoria, y el trabajo neto en la

trayectoria cerrada es diferente de cero, entonces se consideran fuerzas no conservativas.

{

F

x

{

{



118 118

Cuando en un sistema solo actúan fuerzas

conservativas, se establece que un sistema

conservativo, en este sistema la energía mecánica

se mantiene constante.

A la rapidez con la que se realiza un trabajo se

conoce como potencia, esta puede ser media e

instantánea, y se mide en Watt (1 Watt = 1 J/s)



119 119


1. Calcule el trabajo realizado por una a la derecha, sobre un cuerpo que se desplaza

2.60 m a la izquierda.

2. Una persona va cargando su maleta, haciendo una hacia arriba, mientras camina

25.0 m horizontalmente a la derecha. Calcule el trabajo realizado por la fuerza que hace la

persona sobre la maleta.

3. Una persona empuja una caja de 40.0 kg sobre un piso

horizontal, aplicándole una fuerza de 100 N y que forma un

ángulo de 60° con la horizontal. Si la caja se desplaza 30.0 m

hacia la derecha, y la fricción entre el piso y la caja es 20.0 N.

Calcule:

a. El trabajo realizado por la persona sobre la caja.

b. El trabajo realizado por la fuerza de fricción.

c. El trabajo realizado por la fuerza normal.

d. El trabajo realizado por el peso de la caja.

e. El trabajo neto realizado sobre la caja.

4. La gráfica corresponde a una fuerza variable,

que actúa sobre un cuerpo, Calcule el trabajo

realizado por dicha fuerza.

5. Una grúa levanta 2000 kg de madera a 15.0 m

del suelo en 10.0 s. ¿Qué potencia desarrolla?

6. Calcule la energía cinética de un cuerpo de

0.500 kg de masa, que se está moviendo con

velocidad cuya magnitud es 4.50 m/s.

7. Un auto de 1000 kg de masa, es empujado desde el reposo desplazándolo 5.00 m sobre un

terreno horizontal, mientras se la aplica una fuerza de 400 N. (No hay fricción entre el auto y

el suelo)

a. ¿Cuál es el cambio de energía cinética que experimenta el auto?

b. ¿Cuál será la velocidad del auto una vez alcanzado los 5.00 m?

8. ¿Qué pasa con la energía cinética de un cuerpo cuando la magnitud de la velocidad del mismo

se triplica?

9. Calcule la energía potencial gravitatoria de un cuerpo cuya masa vale 3.20 kg, y está colocado

a una altura de 5.25 m sobre el suelo.



120 120

10. Calcule la energía potencial elástica de un resorte cuya constante de elasticidad vale 12.5 N/m,

y está deformado 0.20 m respecto de su posición de equilibrio.

11. Una persona sube una montaña hasta 2000 m de altura. ¿Cuál será su energía potencial si pesa

750 N

12. ¿Qué pasa con la energía cinética de un cuerpo cuando la magnitud de la velocidad del mismo

se triplica?

13. Sobre una caja de 2.50 kg de masa se

aplican las fuerzas mostradas en la figura,

si la caja se mueve 20.0 m hacia la

derecha, determine el trabajo neto

realizado sobre la caja.

14. Se deja caer libremente una caja de 2.00 kg, desde una altura de 15.0 m. Usando el principio

de conservación de energía, determine el valor de su velocidad en el momento que se

encuentra a 3.00 m sobre el suelo.

2.50 kg

FISICA BASICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS

** Las imágenes fueron seleccionadas de la galería de imágenes de google

151 121

Capítulo

5. Mecánica de los Fluidos

Contenido:

5.1 La Materia.

5.2 Estática de los Fluidos

5.3 Presión.

5.4 Presión Atmosférica (La Experiencia de Torricelli)

5.5 Principio de Pascal y Vasos Comunicantes

5.6 Principio de Arquímedes y Flotabilidad

5.7 Dinámica de los Fluidos

5.8 Ecuación de Continuidad y Principio de Bernoulli



122 122

5.1 LA MATERIA

Todo lo que nos rodea está constituido por la materia, la cual se presenta en tres formas básicas

fáciles de reconocer, llamadas Estados de la Materia. Estos estados se pueden diferenciar

básicamente por el comportamiento de sus moléculas bajo la acción de una fuerza externa.

Solido: en este estado las moléculas están en reposo un respecto

de las otras, por lo que no cambian significativamente su orden

bajo la acción de fuerzas externas y mantienen su forma fija.

Liquido: en este estado las moléculas están en movimiento una

respecto de las otras (resbalando), no tienen forma propia, y

pueden cambiar con facilidad su orden bajo la acción de la más

mínima fuerza externa.

Gas: al igual que en el líquido, las moléculas del gas están en

movimiento una respecto de las otras (alejándose), no tienen

forma propia, pero sus moléculas están más débilmente unidas,

por lo que sus moléculas se ven más afectadas ante la acción de

fuerzas externas.

En los líquidos y sólidos, las fuerzas que mantienen unidas a las moléculas (fuerzas cohesivas) son

suficientemente grandes para evitar variaciones significativas en el volumen. Es por eso que se dice

que son incompresibles.

FLUIDOS

Cuando intentamos retener agua entre nuestras manos, el agua se escapa

entre nuestros dedos con facilidad, ya que sus partículas se deslizan con

facilidad una respecto de la otra.

Entonces un fluido es toda sustancia que puede fluir (adaptarse a la forma

del recipiente que lo contiene), por eso, tanto los líquidos como los gases

son fluidos. Esto se debe a la libertad de movimiento de las moléculas,

una respecto a las demás.

Cuando sobre un fluido se ejerce una fuerza las moléculas de éste

cambian su orden. Esto sucede más fácilmente en los gases que en los

líquidos, ya que las moléculas de los gases están más débilmente unidas.

“Esta propiedad que tienen las partículas de la materia en estado

liquido o gaseoso, de deslizarse una respecto a la otra se denomina

fluir”

Figura 5.1



123 123

PROPIEDADES DE UN FLUIDO IDEAL

Los fluidos se caracterizan por lo siguiente:

Sus partículas están ordenadas al azar.

No tiene forma fija, por lo que asume la forma del recipiente que lo

contiene.

En estado líquido los fluidos son incompresible, es decir no se

comprimen. Por lo que mantienen su densidad constante.

En estado gaseoso, ocupan todo el volumen del recipiente que lo

contiene. Y en estado líquido, ocupan parcialmente el volumen del

recipiente que los contiene.

5.2 ESTATICA DE LOS FLUIDOS

A la parte de la mecánica que se encarga del estudio del estado de reposo o de movimiento de los

fluidos se le llama mecánica de los fluidos. Y se divide en dos partes fundamentales:

a) hidrostática o estática de los fluidos

b) hidrodinámica o dinámica de los fluidos.

La hidrostática, se encarga del estudio de los fluidos en equilibrio. En el estudio de la hidrostática,

debemos aclarar algunos conceptos de algunas cantidades físicas y como se relacionan entre ellas.

VOLUMEN

Iniciaremos considerando la definición de materia,

“materia es todo lo que ocupa un lugar en el espacio

y tiene masa”. La cantidad física con la cual se define

el espacio ocupado por la materia es llamado volumen.

Sí un objeto tiene la forma de una figura geométrica

decimos que es un cuerpo regular, y en este caso

podemos calcular su volumen partiendo de sus

dimensiones geométricas. Cuando la forma del objeto

no coincide con una figura geométrica, decimos que es

un cuerpo irregular, siendo así; solo podemos obtener su

volumen mediante la diferencia de nivel de un líquido

contenido en un recipiente calibrado denominado

Probeta Graduada, al sumergir el cuerpo dentro.

El volumen una cantidad escalar, y se mide en unidades

de longitud al cubo. En el Sistema Internacional de

unidades (SI) se mide en metros cúbicos (m3) y en el

Sistema Cegesimal se mide en centímetros cúbicos

(cm3).

Conversión de unidades de

volumen:

Para cambiar del sistema

cegesimal al internacional

Para cambiar del sistema

internacional al cegesimal

Figura 5.3

Figura 5.2



124 124

Ejemplo5.1

Una roca de forma irregular, es sumergida en una

probeta graduada que contiene 220 cm3 de agua clara

como muestra la figura. Luego de sumergir la roca el

nivel de agua en la probeta es 270 cm3, ¿Cuál es el

volumen de la roca?

Datos:

o

o

Solución:

o El volumen de la roca se obtiene mediante la diferencia de nivel de líquido en la probeta.

Ejemplo. 5.2

El cilindro mostrado en la figura, corresponde a un cuerpo de forma

regular. Si el cilindro tienes una base con un diámetro (D) de 2.00 cm

y una altura (h) de 3.00 cm, ¿Cuál es el volumen del cilindro?

Datos:

o D = 2.00 cm o h = 3.00 cm

Solución:

o El área de la base corresponde al área de un circulo:

( )

El volumen del cilindro esta dado mediante el producto de la base y la altura.

( )( )

h = 3.00 cm

D = 2.00 cm

Figura 5.4

Figura 5.4

220 cm3

270 cm3



125 125

DENSIDAD Y DENSIDAD RELATIVA

Si comparamos dos objeto se igual forma y tamaño, uno de madera y

otro de acero como los mostrado en la figura 5.5 (a). Sin duda alguno

afirmaríamos que el objeto de acero es más pesado que el objeto de

madera, pero; si el objeto de acero fuera más pequeño que el de madera

como se muestra en la figura 5.5 (b), entonces diríamos que el objeto de

madera pesa más que el de acero. Por tanto, es incorrecto que afirmemos

que el acero es más pesado que la madera, o que la sangre es más pesada

que el agua, más bien deberíamos referirnos a la densidad de la

sustancia.

La concentración de la materia en el volumen que ocupa define la propiedad de la materia conocida

como densidad o masa específica, esta es una cantidad física escalar con que expresamos la masa

que posee cada unidad de volumen de una determinada sustancia. La densidad se representa por la

letra griega ρ (rho), y la determinaremos por la relación de la masa de un cuerpo entre su volumen.

(5.1)

Es válido aclarar que, si consideramos varios cuerpos

constituidos de la misma sustancia, y construimos el gráfico

de la masa contra el volumen, obtendríamos una línea recta.

Es obvio, deducir que la masa y el volumen son

directamente proporcionales, y si determinamos la

pendiente del gráfico, su valor coincidiría con el valor de la

densidad; por tanto, la pendiente del grafico masa –

volumen para una misma sustancia y la densidad de esa

sustancia tienen el mismo significado físico.

En este tenor, no nos puede extrañar que en un espacio de

1.00 cm3, podamos colocar una masa de 1.00 g de agua, y

en un espacio igual podremos colocar una masa de 13.6 g

de mercurio (ver tabla 5.1).

La densidad se mide en unidades de masa sobre unidades de

volumen, en el Sistema Internacional en (kg/m3) y en el

Sistema Cegesimal en (g/cm3).

La densidad de un material es una característica propia de ese material. Es decir, dos sustancias

diferentes no tienen la misma densidad, aunque una combinación de dos tipos de materiales, podría

Figura 5.5

a

b

m = f (V)

V

(m3)

m

(kg)

75

50

25

0 10 20

30



126 126

tener una densidad bastante próxima a la densidad de uno de los materiales que la originaron. Y

como habíamos mencionado antes, la masa y el volumen de una sustancia poseen una relación de

proporcionalidad directa, esto no indica que sin importar si disminuye o aumenta su masa de

sustancia, su densidad se mantendrá constante, ya que su volumen haría lo mismo y en la misma

proporción.

Si nos pidieran que determinemos cuantas veces la densidad de una sustancia contiene la densidad

del agua, estaríamos determinando la densidad relativa ( ) o gravedad especifica ( ) de la

sustancia, esta se obtiene mediante el cociente de la densidad de la sustancia entre la densidad del

agua clara a una temperatura de 4.00 °C.

(5.2)

Tal que, la operación se realiza entre cantidades con iguales unidades de medida, el resultado es un

numero adimensional (sin unidades de medidas). De igual forma, como el agua es nuestro sustancia

de referencia, su densidad relativa es igual a uno ( ).

PESO ESPECÍFICO

Recordando que la Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre todo tipo de materia (denominada

peso), aun cuando la masa sea pequeña, si suponemos un cuerpo que posee una masa “m”, entonces

esta tendrá un peso definido por el producto de su masa y la aceleración gravitacional “m. g”. La

distribución del peso del cuerpo entre el espacio que ocupa se denomina peso específico. El peso

específico es el peso en la unidad de volumen.

(5.3)

Considerando la ecuación (5.1), tenemos que:

(5.4)

El peso específico se mide en unidades de fuerza sobre unidades de volumen. En dina sobre

centímetro cubico, en el sistema cegesimal y en Newton sobre metro cubico en el sistema

internacional.



127 127

Ejemplo 5.3:

Una probeta graduada tiene un volumen inicial de 120 mL, luego se introduce un bloque que tiene

una masa de 79.9 g, y la probeta marca un volumen final de150 mL, determine:

a. El volumen del bloque

b. La densidad del bloque

c. El peso del bloque

d. El peso específico del bloque

e. Compare los valores calculados en el inciso b y el inciso d con sus correspondientes de la

Tabla 5.1, ¿De qué material está compuesto el bloque?

f. ¿Cuántas veces está contenida la densidad del agua en la densidad del material?

Solución:

a. Volumen del bloque:

-

-

b. Densidad del bloque:

c. Peso del bloque:

( ) (

)

d. Peso específico del bloque:

e. Tipo de material del bloque:

Al comparar los resultados de los incisos b y d, con los valores de la Tabla 5.1, podemos

observar que los resultados se aproximan a los valores correspondiente al Aluminio.

f. Densidad relativa:



128 128

Tabla 5.1

Densidades y Pesos Específicos de algunos materiales comunes

(* estos datos fueron obtenidos a 0° C)

Materiales Densidad

( )

Peso especifico

(

)

Gases

Hidrogeno (H2) 0.899 8.81

Helio (He) 0.179 1.75

Nitrógeno (N2) 1.25 12.3

Oxigeno (O2) 1.43 14.0

Aire 1.29 12.6

Dióxido de carbono (CO2) 1.98 19.4

Vapor de agua (100 °C) 0.63 6.17

Líquidos

Gasolina 0.680 x 103 6.66 x 10

3

Alcohol etílico 0.806 x 103 7.90 x 10

3

Queroseno 0.820 x 103 8.04 x 10

3

Alcohol metílico 0.791 x 103 7.75 x 10

3

Benceno 0.879 x 103 8.61 x 10

3

Agua 1.00 x 103 9.81 x 10

3

Agua de mar 1.03 x 103 10.1 x 10

3

Glicerina 1.26 x 103 12.4 x 10

3

Mercurio (Hg) 13.6 x 103 133 x 10

3

Sangre integra 1.05 x 103 10.3 x 10

3

Plasma Sanguíneo 1.03 x 103 10.1 x 10

3

Sólidos

Hielo (agua congelada) 0.917 x 103 8.99 x 10

3

Aluminio (Al) 2.70 x 103 26.5 x 10

3

Cobre (Cu) 8.92 x 103 87.4 x 10

3

Oro (Au) 19.3 x 103 189 x 10

3

Hierro (Fe) y Acero 7.86 x 103 77.0 x 10

3

Plomo (Pb) 11.3 x 103 111 x 10

3

Platino 21.4 x 103 210 x 10

3

Plata (Ag) 10.5 x 103 103 x 10

3

Latón 8.70 x 103 85.3 x 10

3

Uranio 18.95 x 103 186 x 10

3

Vidrio 2.60 x 103 25.5 x 10

3

Madera Roble 0.810 x 103 7.94 x 10

3

Madera Pino 0.373 x 103 3.66 x 10

3

Madera Balsa 0.160 x 103 1.57 x 10

3

Mantequilla 0.865 x 103 8.48 x 10

3



129 129

5.3 PRESION

Si observa la figura 5.6, le llegará a la mente la pregunta

¿Cómo es posible que el globo no se reviente al ser

sometido a una tabla llena de clavos (cama de clavos)? Mas

sin embargo, si lo sometemos a un clavo seguro que se

reventaría. ¿Por qué ocurre esto?

Cuando se ejerce una fuerza normal (perpendicular) a una

superficie, esta fuerza se distribuye sobre el área de la

superficie, esto es lo que se conoce como presión. La

presiones una cantidad escalar, que se define como la

distribución de esta fuerza sobre el área de la superficie

(fuerza en la unidad de área).

(5.5)

Si sobre una superficie se ejerce una fuerza ( ), la presión

ejercida sobre la superficie es directamente proporcional a

la componente de la fuerza aplicada que es perpendicular a

la superficie ( ).

Considerando estas afirmaciones, podemos dar respuestas a

las preguntas anteriores. Si una persona pisa un clavo todo

su peso actúa sobre el área superficial de la punta del clavo.

Por el contrario, una cama de clavos, está compuesta por

miles de clavos, lo que hace que el área total sobre el cual

actúa el peso de la persona es mucho mayor, y por

consiguiente la presión es menor cuando hay muchos

clavos que cuando hay un solo clavo.

Por la misma razón, un persona ejerce mayor presión sobre

el área del suelo que toca, cuando esta parada sobre uno de

sus pies que cuando esta parada sobre sus dos pies o

incluso si se encuentra acostada de espalda sobre el piso.

La unidad de medida de presión en el Sistema Internacional es el Pascal en honor al científico

francés Blaise Pascal. Un pascal es la presión ejercida por una fuerza de un Newton que actúa

perpendicularmente sobre un área de un metro cuadrado.

Figura 5.6

El globo no se revienta ya que la

fuerza que se le ejerce, se distribuye

por igual a cada uno de los clavos.

Haciendo que la presión en la punta

de cada clavo sea muy pequeña, en

comparación a la presión que se

ejercería si se tratara de un solo

clavo.

Figura 5.7

Si sobre una superficie actúa una

fuerza inclinada respecto a la misma,

solo la componente de la fuerza que

es perpendicular a la superficie ejerce

presión sobre la superficie.



130 130

Ejemplo 5.4 ¿Cuál es la presión ejercida por una persona de 50 Kg de masa, sobre el área del suelo que toca?

a) Si se encuentra parada sobre uno de sus pies cubriendo un área promedio de 2.00 x 10– 2

m2.

b) Si se encuentra parada sobre sus dos pies.

c) Si se encuentra acostada sobre su espalda cubriendo un área promedio de 0.135 m2

Solución:

o La magnitud de la fuerza normal sobre la superficie es igual a la magnitud del peos

de la persona, la cual es:

( ) (

)

a) Actúa el peso de la persona sobre el área total que cubre la persona con sus dos pies.

b) Actúa el peso de la persona sobre la mitad del área que cubre con sus dos pies.

c) Actúa el peso de la persona sobre el área que cubre con su espalda.

PRESIÓN EJERCIDA POR UNA COLUMNA DE FLUIDO

Considere un recipiente cilíndrico que contiene un líquido como muestra la

figura. El peso del líquido ejerce una fuerza sobre el fondo del cilindro. La

distribución de esta fuerza sobre el área del cilindro determina la presión

ejercida por la columna de líquido sobre el fondo del cilindro.

( )

(

) (

)

(5.6)

A

h

F

Figura 5.8

Adviértase que a medida que aumenta el área de la superficie sobre la cual actúa una fuerza dada, la

presión ejercida por dicha fuerza es menor.

“La presión ejercida por una columna de liquido en el fondo del recipiente que lo contiene, no depende de

la forma del recipiente, ni del peso del liquido. Dependerá de la densidad del liquido ( ), la altura de la

columna ( ) y de la aceleración gravitacional del lugar ( )”



131 131

Ejemplo 5.5

Dos recipientes como los mostrados en la figura, contienen el mismo

nivel h = 5.00 x 10 – 2

m de agua cuya densidad es

.

Considerando que el recipiente “a” tiene un área transversal

, y el recipiente “b” tiene un área transversal

. Determine:

a) El volumen ocupado por el agua en cada recipiente.

b) La masa de agua contenida en cada recipiente.

c) El peso del agua contenida en cada recipiente.

d) La presión ejercida por el peso del agua en cada recipiente (utilizando la expresión 5.5)

e) La presión ejercida por la columna de agua en el fondo de los recipientes (utilizando la

expresión 5.6)

Solución:

a) Se tienen recipientes son cilíndricos, el volumen ocupado por el agua corresponde al

volumen de un cilindro, el cual se obtiene por:

- Entonces para el recipiente:

( )( )

( )( )

b) Por la definición de densidad, tenemos;

despejado la masa obtenemos:


(

) ( )

(

) ( )

c) Por definición de peso, tenemos:


(

) ( )

(

) ( )

d) Considerando que el peso del agua en los recipientes, actúa perpendicular a la superficie del

fondo, asumiremos la definición de presión (expresión 5.5)


Figura 5.9

h

a b

Se puede observar que, la forma del

recipiente, ni la cantidad de fluido

no influyen en la presión ejercida

por la columna de fluido en el

fondo del recipiente.



132 132

e) Considerando que la columna de agua tiene el mismo nivel “h” en los tres recipientes, por lo que utilizaremos la expresión 5.6.

(

) (

) ( )

Ejemplo 5.6

Las presiones promedio con las cuales la sangre entra y sale al corazón (presión sistólica y presión

diastólica, respectivamente), son equivalentes a las presiones ejercidas por una columna de mercurio

de 120 mm de alto para la sistólica, y 80.0 mm de alto para la diastólica. Considerando que el

mercurio tiene una densidad

, determine:

a. ¿Cuáles son los valores de la presión sistólica y la presión diastólica en unidades del sistema

internacional?

b. ¿Es lógico que los médicos utilicen “mm Hg” en vez de “Pascal (Pa)” como unidad de medida de presión?

Solución:

a. Las altura de la columna de mercurio son:

o Para la presión Sistólica

o Para la presión Diastólica

- Usando la expresión 5.6, considerando que la densidad del mercurio es:

.

- Presión Sistólica: (

) (

) ( )

- Presión Diastólica: (

) (

) ( )

b. Es observable que los valores de 120 mm y 80.0 mm de mercurio son más manejables que

los valores en unidades del sistema internacional, esta es la razón por la cual los médicos

utilizan el mm de mercurio para medir la presión sanguínea.

5.4 PRESION ATMOSFERICA (LA EXPERIENCIA DE

TORRICELLI)

Literalmente hablando, vivimos sumergidos en un océano de gases, los cuales componen la

atmosfera. Entonces, considerando el aire contenido en la atmosfera, “la presión atmosférica, es la

presión debida al aire de la atmosfera”.



133 133

Evangelista Torricelli, científico italiano a quien se le atribuye haber

medido por primera vez la presión atmosférica, y la invención del

manómetro “aparato para medir la presión ejercida por un fluido”.

Torricelli, midió por primera vez la presión atmosférica al nivel del

mar. Quien tomo un tubo de vidrio de un metro de longitud y cerrado

en uno de los extremos, lo llenó de mercurio “único metal en estado

liquido a temperatura ambiente”, luego lo volcó en un plato que

también contenía mercurio. El nivel de mercurio del tubo inicio el

descenso debido a su peso, cuando el peso del mercurio restante

ejerció una presión similar a la ejercía la atmosfera sobre el mercurio

del plato. Luego midió la altura de la columna del mercurio restante.

Con este experimento Torricelli demostró que la presión atmosférica, al

nivel del mar, es equivalente a la presión ejercida por una columna de

mercurio con una altura de 760 mm.

Nota: 1.0 mm Hg es conocida como Torr. En honor a Evangelista Torricelli.

Considere los dos hechos siguientes:

Sobre la cima de una montaña existe menor cantidad de aire que

sobre la falda de la montaña.

En día con buen tiempo (sin lluvia) la presión atmosférica es alta,

mientras que en un día con mal tiempo (lluvioso) la presión atmosférica es

baja.

A partir de estos hechos es obvio que la presión atmosférica cambia de acuerdo a la altitud respecto

al nivel del mar, así como a las condiciones climatológicas. De acuerdo al primer hecho podemos

asegurar que la presión atmosférica es menor a medida que nos elevamos sobre el nivel del mar, ya

que existe menos aire actuando sobre el lugar. De acuerdo al segundo hecho, la masa del aire seco es

más densa que la masa del aire húmedo, por tanto, en lugares donde el aire es seco se registra mayor

presión atmosférica, mientras que en los días lluviosos la presión atmosférica es menor.

El aparato utilizado para medir la presión se denomina barómetro (del griego "baros": peso de y

"metrón": medida) o manómetro. De aquí que se utilice el bar como unidad de presión.

760 mm

Figura 5.10



134 134

Ejemplo 5.7:

Considerando el experimento de Torricelli, ¿Cuál es el valor de la presión atmosférica al nivel del

mar en unidades del sistema internacional? Utilice la Tabla 5.1 para la densidad del mercurio.

Solución:

- De la tabla (5.1) para el mercurio: ρ = 13.6 x 10 3 kg/m

3

- Presión atmosférica al nivel del mar: h ≈760 mm = 0.760 m de Mercurio

- Aceleración gravitacional: g = 9.8 m/s2

Presión: utilizando la expresión 5.6

(

) (

) ( )

VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA

PROFUNDIDAD.

Considere un líquido de densidad “ρ” en equilibrio, como

muestra la figura. Considere una porción cilíndrica del fluido

contenida entre los puntos (1) y (2), con un área transversal

“A”.

Ya que el líquido está en equilibrio, se puede

comprobar la primera Ley de Newton, tal que:

∑

Considerando que todas las fuerzas que intervienen son

verticales, cuyas magnitudes son:

( )

Tenemos:

( ) ( )

(5.7)

“La diferencia de presión entre dos puntos cualesquiera de un liquido en reposo es proporcional a la

diferencia de nivel entre estos dos puntos” Este es el Teorema Fundamental de la Hidrostática

aplicado los líquidos, y la expresión (5.7) se le conoce como La ecuación fundamental de la

hidrostática para los líquidos.

(1)

(2)

h

Figura 5.11



135 135

De la expresión 5.7, podemos observar que si consideramos el marco referencia en el nivel del mar,

tenemos:

La diferencia de nivel entre los dos puntos es , por debajo del nivel del mar es

negativo y positiva sobre el nivel del mar.

La presión del punto de referencia es P1, si el fluido es un líquido expuesto a la atmosfera,

esta presión coincide con la presión atmosférica.

La presión total determinada en cualquier punto se le denominó presión absoluta (P2).

Y la diferencia de la presión absoluta menos la presión atmosférica, es la presión

manométrica. Esta es igual a la presión ejercida por la columna de fluido, tal que:

Ejemplo 5.8:

Un submarino se sumerge hasta un punto donde la presión total es tres veces la presión atmosférica,

considerando que la presión atmosférica al nivel del mar es 1.01 x 10 5

Pa y el agua del mar tiene

una densidad de 1030 kg/m 3

. Determine que tan profundo ha descendido el submarino.

Solución:

Agua de mar:

Presión atmosférica al nivel del mar

Presión en el punto donde está el submarino.

Utilizando la expresión 5.7

(( ) ( ))

(

) (

)



136 136

Ejemplo 5.9

El cubano Pipín Ferreras, es poseedor de múltiples record de buceo, fue

el primero del mundo en lograr los 162 m de profundidad alcanzada por

un hombre, sin ningún medio artificial. ¿Cuál es la presión máxima que

percibió a esta profundidad?

Solución:

En este caso, Pipín descendió bajo el nivel del mar,

experimentando la presión atmosférica más la presión que

ejerce la columna de agua de de altura.

El fluido en este caso es agua de mar, entonces, de la Tabla 5.1 tenemos la densidad

La presión atmosférica al nivel del mar es

Utilizando la expresión 5.5,

(

) (

) ( )

Ejemplo 5.10

Se utiliza un manómetro para medir la diferencia de presión que se percibe entre el primer piso y la

azotea de un edificio, en el primer piso el manómetro indica una presión de 760 mm Hg, y en la

azotea indica 766 mm Hg. Considerando las densidades para el aire y el mercurio registradas en la

Tabla 5.1, determine la altura del edificio.

Solución:

La diferencia en las lecturas indicadas por el manómetro de mercurio, está dada por:

De la tabla 5.1, para el mercurio tenemos y para el aire tenemos:

La diferencia de presión entre el primer nivel y la azotea indicada por el manómetro es:

(

) (

) ( )

Esta es la misma presión que ejerce la columna de aire que tiene la misma altura que el edificio,

despejando la altura “∆h” de la expresión 5.5 y tenemos:

(

)(

)



137 137

5.5 PRINCIPIO DE PASCAL Y VASOS COMUNICANTES

El físico francés Blaise Pascal observó que si un fluido en reposo se

somete a un incremento (aumento o disminución) de presión, ésta se

transmite totalmente a cada una de las partículas del fluido y a cada

punto del recipiente que le contiene. Este es el Principio de Pascal.

“La presión aplicada a un fluido en reposo, se transmite totalmente a

cada punto del fluido y del recipiente que lo contiene.”

Consideremos un fluido confinado en dos cilindros interconectados a

través de su base (este es el modelo de prensa hidráulica) vea de la

figura 5.12, entonces:

- Si se ejerce una fuerza sobre el pistón del cilindro pequeño, el

liquido dentro experimenta una diferencia de presión dada por:

- Entonces el liquido del cilindro grande experimenta una diferencia

de presión dada por:

- Tales diferencias de presión son iguales por lo que tenemos:

5.8

Las maquinas que se construyen fundamentadas en el principio de Pascal, son maquinas hidráulicas

multiplicadoras de fuerzas. En la actualidad existen un sin número- de maquinas que funcionan en

base a este principio de las que podemos citar:

Los frenos hidráulicos

Las prensas hidráulicas

Las cortadoras hidráulicas (troqueladoras)

Las maquinas dobladoras

Los camiones volquetas (el camión volteo)

Los ascensores modernos

Figura 5.12



138 138

Ejemplo 5.11

En la figura 5.12, se muestra un esquema de una maquina hidráulica compuesta por dos pistones

interconectados entre sí. El pistón pequeño tiene un área , y se le ejerce una

fuerza . Si el pistón mayor tiene un área , ¿Cuál es el valor de la fuerza

?

Solución:

Considerando el principio de Pascal y

despejado , tenemos:

(

)

( )( )

( )

SISTEMA DE VASOS COMUNICANTES

Está constituido por un conjunto de recipientes

interconectados entre sí por medio de sus bases.

En un sistema de vasos comunicantes, como el que

se muestra en la figura, la presión en el fondo de los

recipientes es la misma sin importar si contienen

fluidos diferentes tal que:

Considerando que esta presión es ejercida por el peso de la columna de liquido en los

recipientes tenemos:

5.9

Entonces podemos inferir que: “el nivel de fluido alcanzado en recipiente es inversamente

proporcional a la densidad del fluido”

h2 h3

5.15Figura 5.13

h1



139 139

Ejemplo 5.12

En la figura 5.9, se muestra un sistema de vasos comunicantes compuesto por tres recipientes. Si el

primer recipiente contiene benceno, el segundo contiene agua y el tercero contiene glicerina;

determine la relación del nivel de glicerina al compararla con el nivel alcanzado por el benceno y

por el agua. (nota: las densidades de los líquidos están registradas en la tabla 5.1)

De la Tabla 5.1, tenemos:

Benceno:

Agua:

Glicerina:

Considerando la relación entre la densidad y el nivel de fluido tenemos:

Glicerina – benceno:

Glicerina – agua:

5.6 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Y FLOTABILIDAD

Alguna vez te has preguntado ¿Cómo es posible que un barco aun siendo de acero, no se hunda?

¿Cómo es posible que un submarino quede suspendido en un punto específico bajo el nivel del mar?

¿Cómo un globo aerostático se suspende en el aire? Las respuestas a estas y otras preguntas están

contenidas en el principio emitido por el filósofo griego Arquímedes.

La capacidad que posee un cuerpo de suspenderse en un fluido se

denomina Flotabilidad, y esta depende la diferencia entre las

densidades del fluido y del cuerpo.

Mientras mayor sea esta diferencia, mayor será la flotabilidad del

cuerpo.

Las naves marinas como los barcos y submarinos, son diseñados de

tal forma que pueden controlar su flotabilidad, para esto utilizan un

compartimiento conocido como tanque de lastre, cuando un barco es



140 140

colocado en altamar una porción de su tanque de lastre es llenada con agua,

manteniendo la otra parte llena de aire, el agua se afonda dentro del tanque de

lastre dándole estabilidad al barco, mientras el aire dentro del tanque de lastre

mantiene la flotabilidad del barco. Al igual que en los barcos, en los

submarinos se introduce agua en su tanque de lastre, pero en mayor cantidad,

para disminuir su flotabilidad, mientras el aire dentro del submarino le da la

estabilidad necesaria. Es lógico que un submarino, esté diseñado para

cambiar su flotabilidad en mayor dimensión que un barco. En el caso de un

globo aerostático, el cuerpo del globo es llenado con un gas menos denso que

el aire (en sus orígenes se utilizó aire caliente), esto le da la flotabilidad

necesaria, y para controlarla se utilizan contrapeso que se colocan en los

lados del compartimiento del globo.

Arquímedes, filósofo y sabio griego, a quien se le atribuye la formulación

del principio de palanca, además en observar que cuando un cuerpo se

sumerge dentro de un fluido, este desplaza una porción del fluido para

ocupar su lugar, esto se debe al principio de impenetrabilidad, el cual

establece que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio

al mismo instante. Basado en esto, se puede observar que el fluido no sede

su lugar sin ofrecer resistencia, es decir, que el fluido empuja al cuerpo

ejerciéndole una fuerza, la cual conocemos como Fuerza de Empuje

(Boyante o Flotante).

Arquímedes, comparo la fuerza de empuje con el peso del fluido que es

desalojado por el cuerpo, y noto que las dos fuerzas (la de empuje y el peso

del fluido desalojado), tenían magnitudes similares, a esta comparación es

que se le ha denominado Principio de Arquímedes, y establece que:

“Todo cuerpo sumergido, total o parcialmente en un fluido en reposo,

experimenta una fuerza de abajo hacia arriba (fuerza de empuje, boyante o

de flotación), igual al peso del fluido desalojado.”

Considere la figura 5.14, indica una esfera que tiene un peso “ ”,

que se sumerge en un recipiente con un volumen inicial “ ” de un liquido

cuya densidad es “ ”. Cuando la esfera está sumergida su peso aparenta

haber cambiado hasta un valor “ ”, esto ocurre por la acción de la

fuerza de empuje “ ” que el liquido le hace hacia arriba, y en el

recipiente se registra un nuevo volumen “ ”. Entonces podemos obtener:

El volumen del cuerpo, es igual al volumen del fluido desalojado.

(b)

Figura 5.14

(a)



141 141

El valor de la fuerza de empuje, considerando que la esfera queda en equilibrio dentro del

fluido, tenemos:

5.10

“La fuerza de empuje es igual a la diferencia entre el peso real del cuerpo y el peso aparente”

Considerando la definición de densidad, y el volumen de fluido desalojado podemos

obtener la masa del fluido desalojado.

El peso del fluido desalojado será:

5.11

Ejemplo 5.13

Un cuerpo con una masa de 20.0 kg se sumerge totalmente en agua, una vez sumergido se observa

que su peso ha disminuido hasta un 80% del peso fuera del agua. Considerando el principio de

Arquímedes, ¿Cuál es el volumen de agua que desaloja el cuerpo?

Solución:

Masa m = 20.0 kg

Densidad del agua 1000 kg/m3

Fuerza de empuje:

Peso real: ( ) (

)

El peso aparente es el 80% del peso real: ( ) ( )( )

Aplicando el principio de Arquímedes, y despejando el volumen:

(

) (

)



142 142

Ejemplo 5.14

El cofre del tesoro de un barco pirata yace en el fondo del mar, un grupo de buzos decide

subirlo a la superficie. Si se ha colocado un medidor de fuerza entre la grúa y el cofre se

observa que el cofre estando sumergido pesa , y las dimensiones del cofre son 1.50

m de frente, 0.750 m de alto y 1.00 m de fondo.

a. ¿Cuál es el volumen de fluido desalojado por el cofre?

b. ¿Cuánta fuerza mínima es necesaria para elevar el cofre?

c. ¿Cuál será el peso del cofre fuera del agua?

Solución:

Dimensiones del cofre: , , y

Peso aparente del cofre:

Densidad del agua:

a. Volumen de fluido desalojado es el mismo volumen del cofre, el cual se obtiene al

multiplicar sus dimensiones.

( )( )( )

b. La fuerza mínima necesaria para elevar el cofre es igual a la fuerza de empuje.

(

) ( ) (

)

c. Una vez que conocemos la fuerza de empuje y el peso aparente, podemos conocer el

peso real del cofre.

5.7 DINAMICA DE LOS FLUIDOS

Hasta el momento, hemos estado estudiando los fluidos en

reposo y confinados en un recipiente. Ahora consideremos un

fluido en movimiento, la rama de la mecánica que se encarga del

estudio de los fluidos en movimientos se llama dinámica de

fluidos. Al movimiento de un fluido se le conoce como flujo. La

palabra Flujo (del latín fluxus) es la acción y efecto de fluir (brotar,

correr, circular). Este término es utilizado para denotar el movimiento

de los fluidos, por ejemplo: “El flujo sanguíneo”, “El flujo marino”,

“El flujo del rio”, etc. El flujo de un fluido no cuantifica su

movimiento, solo lo identifica.



143 143

El estudio de un fluido en movimiento, conlleva múltiples

factores que podrían dificultarnos la tarea; pero, podemos

hacer uso un modelo simplificado. Este modelo tiene que ser

no viscoso (no existe fricción entre sus partículas ni con las

paredes del conducto por donde circula), y además debe de

ser incompresible (sus partículas se mantienen fija sus

posiciones relativas; es decir, la densidad se mantiene

constante). Las trayectorias descritas por partículas de un

fluido en movimiento se le denominan líneas de flujo. Si el

flujo no cambia en el tiempo, entonces se dice que es un flujo

estable, en esta condición las partículas del fluido mantienen

la misma línea de flujo, y en este caso la velocidad de todas

las partículas en un punto terminado se mantiene constante. Si

un flujo es estable, se puede verificar que las partículas del

fluido se deslizan formando capas paralelas, entre las cuales

no existe una diferencia significativa de velocidad, este patrón

es lo que describe un flujo laminar. En el caso que la

diferencia de velocidad entre las capas de un fluido en

movimiento sea significativas, esta diferencia de velocidad

origina la aparición de torbellinos en la superficie del fluido,

en esta condición se dice que existe un flujo turbulento o

rotacional.

CAUDAL

Para cuantificar el flujo de un fluido en movimiento, es

necesario determinar el volumen de fluido que circula en la

unidad de tiempo a través de un conducto, a esto se le conoce

como Gasto o Caudal, y este se obtiene por la razón del

volumen entre el tiempo que emplea el fluido en atravesar el

área transversal del fluido.

(5.12)

Si consideramos un conducto cilíndrico con un área transversal

“A” por el cual fluye un fluido con una velocidad de magnitud

“v”, podemos determinar el caudal mediante el producto de la

magnitud de velocidad de flujo y el área transversal, como

muestra la figura 5.15

Propiedades de un flujo

ideal:

Todo flujo ideal debe ser:

No viscoso

Incompresible

Estable

Laminar (no turbulento)

Figura

A



144 144

El volumen que circula por la sección transversal se puede expresar por , sustituyendo

en la ecuación 5.12, tenemos:

(

)

Donde

Tenemos:

(5.13)

5.8 ECUACION DE CONTINUIDAD Y ECUACION DE

BERNOULLI

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Recordando el principio de conservación de la materia;

podemos comprobar que cuando un fluido fluye por un

conducto, que la cantidad de fluido que entra al conducto es

igual a la cantidad de fluido que sale del conducto; esta

afirmación corresponde al principio de continuidad, y a su

modelo matemático se le denomina ecuación de

continuidad.

Consideremos un conducto como el mostrado en la figura

5.16, el volumen a la entrada deberá de ser igual a volumen a

la salida.

Considerando que esto ocurre en el mismo intervalo de tiempo, tenemos:

Esta expresa que el caudal en cualquier punto de un fluido en movimiento a través de un conducto

se mantiene constante aunque ocurran cambios en el área del conducto.

(5.14)

Bajo la condición de que el caudal se mantiene constante, se verifica que la rapidez de flujo y el área

del conducto son inversamente proporcionales; por esta razón, en los puntos donde el área es

pequeña la rapidez de flujo es grande y viceversa.

Δx1

Cor

res

pon

de

a

un

mo

del

o

ide

aliz

ado

,

par

a

faci

lita

r el

est

udi

o

de

un

flui

do

en

mo

vim

ient

o,

To

do

fluj

o

ide

al

Δx2

A1

A2

v1 v2

Figura 5.16



145 145

Ejemplo 5.14

Un conducto de aire de 15.0 cm de radio es utilizado para renovar el aire en una habitación cada

16.0 min, si la habitación mide 9.20 m x 5.00 m x 4.50 m. ¿Cuál es la rapidez del aire en el

conducto?

Solución:

Radio del conducto: r = 15.0 cm = 0.150 m

Volumen de la habitación: 9.20 m x 5.00 m x 4.50 m

Tiempo de recirculación del aire: ∆t = 16.0 min = 960 s

El caudal de flujo del aire, será el cociente del volumen del cuarto entre el tiempo.

( )( )( )

Este caudal también será igual al producto del área del conducto y la rapidez de flujo en el

conducto.

Área del conducto:

( )

Rapidez de flujo de aire en el conducto:

Ejemplo 5.14

Un niño jugando con una manguera de jardinería que tiene un diámetro de

1.91 cm, y por la cual fluye agua a una rapidez de 110 cm/s. Si el niño

aprieta la salida de la manguera hasta reducir el diámetro a 1.00 cm, ¿Cuál

es la rapidez con la que sale el agua de la manguera?

Solución:

Diámetro a la entrada: d1 = 1.91 cm

Rapidez a la entrada: v1 = 110 cm/s

Diámetro a la salida: d2 = 1.00 cm

Area de la manguera:

A la entrada:

( )( )

A la salida:

( )( )

Rapidez de flujo a la salida:

(

) ( )



146 146

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Daniel Bernoulli, Fue un importante físico y matemático que se

desenvolvió en diversos campos de la ciencia. Destaca por la

enunciación del Principio de Bernoulli, sus aplicaciones se dan

actualmente en la presión de las tuberías, los carburadores de los

automóviles y en la sustentación de los aviones.

Basándose en el principio de conservación de la energía Bernoulli

demostró que:

“En todo fluido en movimiento en los puntos donde la rapidez es

alta la presión es baja, y en los puntos donde la rapidez es baja la

presión es alta” Este es el principio de Bernoulli.

Al modelo matemático utilizado para este principio

se le conoce como ecuación de Bernoulli.

Establece que en una línea de flujo, la suma de la

presión más la energía cinética y la energía

potencial es constante.

(5.15)

Ejemplo 5.15

Una tubería horizontal de 6.0 cm de diámetro se estrecha de forma gradual hasta 4.0 cm. Si el

agua fluye por la sección más ancha a 0.63 m/s y con una presión de 3.2 x 10 3 N/m

2, ¿Cuál es

la rapidez de flujo del agua en la sección angosta si la presión es 2.4 x 10 3 N/m

2?

Solución:

Densidad del agua:

Diámetro de entrada: d1 = 6.0 cm = 0.060 m

Rapidez a la entrada: v1 = 1.98 m/s

Presión a la entrada: P1 = 3200 N/m2

Diámetro de salida: d2 = 4.0 cm = 0.040 m

Presión a la salida: P2 = 2400 N/m2

Utilizando la ecuación de Bernoulli, y considerando que la tubería esta horizontal (y1 = y2)

tenemos:

(

)

√ ( )

√ (

)

(

) √



147 147

RESUMEN

Los tres estados fundamentales de la materia son sólidos, líquido y gas. A los líquidos y gases se le

denomina fluidos por ser capaces de fluir. La rama de la física que se encarga de los estudios de los

fluidos es la mecánica de los fluidos, y se divide en dos una que estudia los fluidos confinados bajo

la acción de fuerzas externas denominada estática de los fluidos, y la otra que se encarga del

estudio de los fluidos en movimiento denominada dinámica de los fluidos.

El volumen es el espacio ocupado por la materia, la

distribución de la masa entre el volumen es la densidad,

también conocida como masa específica, de aquí que el

producto de la densidad por la gravedad se le denomina

peso especifico. La relación de la densidad de un material

entre la densidad del agua se denomina gravedad

específica.

La distribución de la fuerza por unidad de área superficial

se le llama presión. Si la presión la ejerce el peso de una

columna de fluido, esta presión es proporcional a la altura

de la columna. La presión atmosférica la ejerce el peso de

la atmosfera sobre todos los punto en la superficie terrestre,

y fue medida por primera vez por Evangelista Torricelli.

El principio de Pascal establece que la presión que se

ejerce en un líquido confinado se transmite por igual a cada

punto del fluido.

El principio de Arquímedes establece que si un cuerpo se

sumerge en un fluido, recibe una fuerza hacia arriba con

igual magnitud que el peso del fluido que desplaza.

La tasa de flujo de masa o volumen de un fluido que pasa

por un punto en la unidad de tiempo se denomina caudal.

La ecuación de continuidad establece que el caudal en un

ducto se mantendrá constante aunque cambie el área

transversal del ducto.

El principio de Bernoulli establece que en un fluido en

movimiento los puntos donde la presión es alta la rapidez es

baja y viceversa.

Todo flujo ideal debe ser no viscoso, estable, laminar, incompresible, no turbulento.



148 148


20. Un litro de aceite de maíz tiene una masa de 0.925 kg.

a. ¿Cuál es la densidad del aceite?

b. ¿Cuál es el peso específico del aceite?

c. ¿Cuál es la densidad relativa (gravedad específica) del aceite?

21. ¿Cuál es el espacio que ocupa una esfera de 20.0 cm de radio? Exprese su respuesta en cm3 y en

m3.

22. ¿Qué volumen ocupa un bloque de aluminio de 700 g de masa? Y ¿Cuánta masa de agua

ocuparía el mismo volumen?

23. Una bailarina de ballet se encuentra parada sobre la punta de un pie, si la bailarina tiene una

masa de 50 kg, y la punta de su pie cubre un área de 5.25 x 10 -4

m 2, ¿Qué presión ejerce sobre el

área del suelo que toca?

24. ¿Cuál es la presión manométrica en el fondo de una presa de 726 pies de profundidad?

25. ¿Cuál es la presión total en el fondo de la presa del ejercicio anterior?

26. Un libro de 0.75 kg y 24 cm por 20 cm descansa sobre una mesa.

a. ¿Qué fuerza ejerce el libro sobre la mesa?

b. ¿Qué presión ejerce el libro sobre la mesa?

27. Un depósito de agua tiene 15 m de profundidad. ¿Cuál es la presión?

a. En la base del deposito

b. 5.0 m sobre la base del deposito

28. En un tubo de ensayo se vierten 6.5 cm de agua y 2.5 cm de aceite ( ). a. ¿Cuál es la presión en el punto de interface entre el aceite y el agua?

b. ¿Cuál es la presión sobre la base del tubo?

29. Una persona sube hasta la azotea de un rascacielos y observa que un manómetro indica 4 mm de

Hg menos que en el sótano del edificio, ¿Cuál es la altura del edificio?

30. ¿Cuál es la diferencia en pascal de la presión sistólica (120 mm de Hg) y la presión diastólica

(80 mm de Hg)?

31. Si usted repite el experimento de Torricelli pero utilizando agua de mar, ¿Cuál será la altura de

la columna de agua?

32. Se utiliza una jeringa con un émbolo de 1.50 cm de diámetro para inyectar a una persona en las

venas si la presión sanguínea de la vena es 120 mm de Hg.

a. ¿Cuál es la fuerza promedio que se ejerce sobre el émbolo de la jeringa?

b. Si el émbolo se empuja con una rapidez de 0.50 cm/s, ¿Cuál es el caudal?



149 149

33. Un objeto metálico se suspende de una balanza de resorte. La balanza marca 920 N cuando el

objeto está suspendido en el aire y 750 N cuando el objeto está completamente sumergido en el

agua.

a. ¿Cuál es la fuerza de empuje que recibe el objeto?

b. ¿Cuál es el volumen del objeto?

c. ¿Cuál es la densidad del objeto?

34. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de empuje que actúa sobre una pelota que flota si su peso

normal es de 5.0 N?

35. ¿Cuál es el peso de aparente de una roca sumergida en el agua si la roca pesa 54 N en el aire y

tiene un volumen de 2.3 x 10 – 3

kg/m 3?

36. Una prensa hidráulica cuenta con un émbolo grande cuya área transversal es de 420 cm2 y con

un émbolo pequeño de 5.00 cm2 de área transversal. Si sobre el émbolo pequeño se ejerce una

fuerza de 1500 N determine:

a. La presión a la que se somete el aceite dentro de la prensa.

b. La fuerza que se obtiene en el émbolo grande.

37. ¿Cuál es el peso máximo que puede levantar con un globo aerostático lleno de helio, si tiene

2.00 m de radio, y el cuerpo del globo tiene una masa de 10 kg?

38. Un tubo horizontal por cual fluye agua cambia su diámetro de 4.0 cm hasta 2.0 cm, si la rapidez

en la parte angosta es 3.0 m/s.

a. ¿Cuál es el caudal a través del tubo?

b. ¿Cuál es la rapidez de flujo en la parte más ancha?

39. Fluye agua en un tubo cuya sección transversal cambia. En un punto donde el área de sección

transversal es 1.0 x 10 – 2

m2, la presión es 5.0 x 10

5 Pa y la rapidez es 0.50 m/s. Si en otro

punto el área es 4.0 x 10 – 4

m2.

a. ¿Cuál es la rapidez de flujo en este punto?

b. ¿Cuál es el valor de la presión en este punto?



150 150

FISICA BASICA CALOR Y TEMPERATURA


151 151 151

Capítulo

6. Oscilaciones y Ondas

Contenido:

6.1 Fenómenos Periódicos

6.2 Movimiento Armónico Simple (MAS)

6.3 Sistemas con Movimiento Armónicos Simples

6.4 Movimiento Ondulatorio

6.5 Ondas Transversales en una Cuerda

6.6 Ondas Mecánicas Longitudinales

6.7 Comportamiento General de las Ondas

FISICA BASICA OSCILACIONES Y ONDAS


152 152

6.1 FENOMENOS PERIODICOS

La humanidad ha podido escribir leyes que describen el comportamiento de la naturaleza, gracias a

la regularidad de las repeticiones de los fenómenos naturales. Es probable que una de las primeras

observaciones del hombre hayan sido los intervalos de luz del sol y luego la oscuridad. Se me

ocurre, además, los intervalos en que se repite los diferentes formas en que puede verse la luna.

Podemos enumerar un sinfín de fenómenos naturales que responden a algún patrón de repetición. A

los fenómenos que se repiten en intervalos de tiempos iguales, se les denomina periódicos. Al

tiempo que le toma cada repetición se le denomina período y al número de repeticiones en la unidad

de tiempo se le denomina frecuencia.

Supongamos que observamos que cierto fenómeno se repite n veces durante un intervalo ∆t (tiempo

que duró nuestra observación). Con esta información podemos obtener el período y la frecuencia del

fenómeno observado.

(6.1)

(6.2)

Ejemplo 6.1

Un médico percibe los latidos del corazón de su paciente con un estetoscopio. Cuenta 46 latidos en

un lapso de 40 s. ¿Cuál es la frecuencia cardíaca del paciente?

Solución

n = 46

∆t = 40.0 s

La frecuencia cardiaca será:

- Expresión que define el periodo de

oscilación. Medido en segundos (s).

- Expresión que define la frecuencia

de oscilación. Medida en Hertz (Hz)



153 153

6.2 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Considere pequeña esfera que se suelta desde un

punto A (ver figura 1), y se desliza sobre un

hemisferio, sin fricción, hasta llegar a un punto B.

Inmediatamente la esfera hace el recorrido desde B

hasta A. Lo cual se repite una y otra vez. Este

comportamiento se describe como movimiento de

vaivén sobre una trayectoria fija y se denomina

movimiento oscilatorio.

Ahora supongamos que tenemos una partícula en

movimiento oscilatorio y periódico, sobre el eje x tal

que su desplazamiento, con respecto al centro de la

trayectoria, está dado por la expresión:

( ) (6.3)

Al movimiento de dicha partícula se le denomina

movimiento armónico simple (M.A.S).

En la expresión con que definimos el movimiento

armónico simple tenemos:

La letra A. Con la cual denotamos la amplitud,

que en el contexto considerado es la longitud

del segmento que va del centro de la

trayectoria hasta un extremo de la trayectoria

(figura 2).

Con la letra griega (se lee “omega”)

denotamos la frecuencia angular. La cual se

define como:

(6.4 a)

(6.4 b)

x

A A

Centro de la trayectoria

Extremo de la

trayectoria

Extremo de la

trayectoria

Figura 2

A B

Figura 1

Definición CINEMATICA del M.A.S

Definición de frecuencia angular:

a. Conocido el periodo

b. Conocida la frecuencia



154 154

La frecuencia angular tiene por unidad el rad/s.

Donde usamos rad para referirnos al radian. El

radian es la unidad con que se expresan los

ángulos en el Sistema Internacional.

(t +) es la fase en el instante t, la cual se expresa en radianes. Y es la fase inicial (fase

en el instante t = 0). Con la fase se identifica cada una de las situaciones posibles de un

fenómeno periódico. Cada una de las fases de un movimiento está dado por la combinación

de su velocidad y su posición.

Si construimos el gráfico x = f (t) utilizando la ecuación

(6.3), obtendremos un gráfico algo parecido a la figura 3.

Con un proceso matemático llamado derivada, que no

mostramos por no ser de interés de este curso, podemos

conseguir la expresión para la velocidad y la aceleración

de una partícula con M.A.S., a partir de la ecuación (6.3).

El resultado es:

( ) (6.5)

( ) (6.6)

A partir de la ecuación (6.5), puede conseguirse la

expresión para la velocidad máxima. Esta está dada por:

(6.7)

Además, puede establecerse que la velocidad máxima corresponde a la fase 3π/2. Es decir, si se

sustituye a (t +) por 3π/2 (3π/2 rad expresado en grados es 270º) en la ecuación (6.5),

obtendremos que vx = A.

De igual modo podemos proceder con la ecuación (6.6) y encontrar que la aceleración es máxima en

la fase 2π (2π rad expresado en grados es 180º). Además, la expresión para dicha aceleración

máxima es:

(6.7)

Como ya sabemos el valor máximo de x es A (la amplitud) y podemos establecer que la fase en que

se tiene Max es cero.

T

A

A

A

–

A

x

t

xo

Figura 3

Velocidad de una partícula con M.A.S

Aceleración de una partícula con

M.A.S

Velocidad máxima de una partícula

con M.A.S

Aceleración máxima de una partícula

con M.A.S



155 155

Tenemos tres cantidades físicas asociadas a un mismo fenómeno y que varían de forma periódica,

con el mismo período, pero que sus máximos no son simultáneos. Dada dicha situación, decimos

que estas cantidades físicas están desfasadas. Considerando la fase en que ocurre el máximo de cada

una de éstas, podemos establecer que:

El desfase entre el desplazamiento y la velocidad es 90º. Esto equivale decir que, luego de un

instante en que la partícula con M.A.S. tenga velocidad máxima, habrá de transcurrir un

cuarto del período para que la partícula tenga su desplazamiento máximo respecto al centro

de la trayectoria.

El desfase entre la aceleración y el desplazamiento es 180º. Esto quiere decir que, luego de

un instante en que la partícula con M.A.S. tenga su desplazamiento máximo respecto al

centro de la trayectoria, tendrá que transcurrir la mitad del período para que la partícula

tenga aceleración máxima.

El desfase entre la velocidad y la aceleración es 90º. Es lo mismo que decir que, luego de un

instante en que la partícula tiene aceleración máxima, habrá un lapso de un cuarto del

período para que dicha partícula tenga velocidad máxima.

Teniendo en cuenta los gráficos x = f (t), vx = f (t) y ax = f (t) de la figura 4, podemos establecer que:

En el instante t2 la velocidad es máxima

y el desplazamiento es cero. Luego, en el

instante t3 (¼ de período más tarde), el

desplazamiento es máximo.

En el instante t1 la aceleración es

máxima y el desplazamiento en mínimo

(–A). Luego, en el instante t3 (½ período

luego de t1), el desplazamiento es

máximo la aceleración es mínima.

En el instante t1 la aceleración es

máxima y la velocidad es cero. Luego,

en el instante t2 (¼ período luego de t1),

la velocidad es máxima y la aceleración

es cero.

Estas observaciones se corresponden con lo

expresado anteriormente respecto al desfase

entre x, vx y ax.

Figura 4

A

–A

t

xo

vx

t

vx0 A

²A

ax

t ax0

t1 t3

t1 t3

t1 t3

t2

t2

t2

x



156 156

Ejemplo 6.2

La amplitud de una partícula en movimiento armónico simple es 5.00 cm, y ésta completa 20

oscilaciones en 8.00 s. Además, su fase inicial es . ¿Cuál es el instante en que por primera vez

llega a x = 5.00 cm?

Solución:

A = 5.00 cm

n = 20

Δt = 8.00 s

Primero determinamos la frecuencia.

Seguido determinamos de la frecuencia angular.

( )( )

De la ecuación 6.3 tenemos:

( ) ( )

(

)

(

)

( )

“el arc cos (1) tiene varias soluciones (en grados 0, 360 ), en radianes (0, 2π) donde

asumiremos 2π rad por ser el más pequeño superior a la fase inicial (π/2)”

Ejemplo 6.3

La velocidad máxima de un cuerpo con movimiento armónico simple es 18.0 m/s. Si oscila con una

amplitud de 1.20 m ¿Cuál es el período de su movimiento y cuál es su aceleración máxima?

Solución:

De la expresión de la velocidad máxima, ecuación 6.7 tenemos:



157 157

Ya que conocemos la frecuencia angular, podemos determinar el periodo de

oscilación, ecuación 6.4

( )

Usando la ecuación 6.8, determinaremos la aceleración máxima

(

)

( )

6.3 SISTEMAS CON MOVIMIENTO ARMONICOS SIMPLES

Un análisis de las causas que determinan que un cuerpo

se mueve con movimiento armónico simple, permite

establecer que éstos se mueven bajo la acción de una

fuerza neta directamente proporcional y opuesta al

desplazamiento del cuerpo con respecto al punto de

equilibrio y de sentido contrario a éste.

De lo dicho anteriormente, se desprende que si el

desplazamiento es nulo, entonces la fuerza neta también

lo es. Dado que en el centro de la trayectoria la fuerza

neta es nula, entonces a éste le denominamos punto de

equilibrio.

Es de nuestro interés mencionar dos sistemas que bajo

algunas condiciones su movimiento puede considerarse un movimiento armónico simple.

EL SISTEMA MASA – RESORTE

El sistema masa resorte consiste en un conjunto constituido

por un resorte de masa despreciable con un extremo unido a un

cuerpo de masa m y el otro extremo unido a un punto fijo.

Considerando que el cuerpo se mueve unido al resorte

teniendo como única fuerza responsable de su movimiento la

fuerza del resorte, su movimiento es armónico simple.

Para un sistema masa – resorte, la frecuencia angular depende

exclusivamente de propiedades inherentes al sistema. Es decir

propiedades sin las cuales el sistema no se ajusta a su

definición. Estas son: la constante elástica del resorte y la

Si sobre una particula se cumple que:

Entonces la partícula se mueve en

MAS.

Donde:

- La constante de proporcionalidad

entre la fuerza y el desplazamiento

es “k”, y el signo negativo indica

que el desplazamiento y la fuerza

son opuestos.

Figura 5

k m

De la figura tenemos:

“k” es la constante elástica del

resorte, “m” es la masa del

cuerpo unido al resorte.



158 158

masa del cuerpo sujeto a su extremo. Cualquier sistema cuya frecuencia angular depende

exclusivamente de propiedades inherentes a él, se dice es un sistema que oscila libremente. La

frecuencia angular del sistema masa – resorte que oscila libremente está dada por:

√

(6.9)

Combinando la definición de frecuencia angular (ecuaciones 6.4 a y 6.4 b) y la ecuación (6.9),

podemos escribir la ecuación para el período y la ecuación para la frecuencia de un sistema masa –

resorte que oscila libremente, las cuales corresponden a las causas que determinan a dichas

cantidades fisicas

√

(6.10)

√

(6.11)

Recordando que la fuerza restauradora de un resorte es una fuerza conservativa. En consecuencia,

podemos indicar que el movimiento del sistema masa – resorte que oscila libremente es un sistema

conservativo y por tanto tiene energía mecánica constante. La cual está dada por:

(6.12)

Teniendo en cuenta que el punto de equilibrio de este

sistema corresponde a la situación en la que el resorte

está relajado (ni estirado, ni comprimido), puede

colegirse que en tal situación la energía potencial es

cero y que la energía cinética tiene su máximo valor.

Asimismo, cuando el cuerpo llega a uno de los

extremos de su movimiento la velocidad (vx) es cero,

por tanto la energía cinética también es cero y la

energía potencial tiene su máximo valor.

EL PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple es un sistema constituido por un hilo

inextensible y de masa despreciable, con un extremo

unido a un cuerpo, el cual se suspende de un punto fijo,

unido al otro extremo. Además, el cuerpo en el extremo

del hilo debe tener sus dimensiones mucho menores

Frecuencia angular del sistema masa –

resorte que oscila libremente

Frecuencia del sistema masa – resorte

que oscila libremente

Periodo del sistema masa – resorte

que oscila libremente

Energía mecánica del sistema masa –

resorte que oscila libremente

- En la posición de equilibrio toda

esta energía es energía cinética.

- En los extremos de oscilación toda

esta energía es energía potencial.

Péndulo simple en

un extremo de su

oscilación

l

Figura 6



159 159

que la longitud del hilo. Considerando que el péndulo simple se mueve teniendo como única fuerza

responsable de su movimiento a la fuerza gravitatoria debido a la Tierra (el peso) y que el ángulo

que forma el hilo cuando está en su extremo con la vertical es pequeño ( ≤ 15º en la figura 6), su

movimiento es armónico simple.

La frecuencia angular del péndulo simple, depende exclusivamente de propiedades inherentes al

sistema. Es decir, propiedades sin las cuales el sistema no se ajusta a su definición. Estas son: la

longitud del hilo y la aceleración gravitacional debida a la Tierra.

√

(6.13)

Probablemente se preguntará ¿Qué punto de la definición del péndulo citó algo relacionado a la

aceleración gravitacional? Pues sí, se ha mencionado en la definición al usar el verbo suspender. El

cual es una palabra con la que pretendemos decir que recibe una fuerza que contrarresta la fuerza

gravitatoria debido a la Tierra.

Combinando esta definición con la definición de frecuencia angular (ecuaciones 6.4 a y 6.4 b),

podemos escribir la ecuación para el período y la ecuación para la frecuencia de un péndulo simple

que oscila libremente.

√

(6.14)

√

(6.15)

Ejemplo 6.4

Un estudiante de física examina el movimiento un cuerpo de 4.00 kg que oscila

sobre una superficio horizontal sin fricción, unido al extremo de un resorte. Si

observa que a dicho cuerpo le toma 0.600 s ir de un extremo a otro ¿Cuál es la

constante elástica del resorte?

Solución:

M = 4.00 kg

∆t = 0.600 s

∆t = ½ T

Primero se necesita el periodo y dado que le toma 0.600 s ir de un extremo a otro, entonces al

regresar le toma 0.600 s.

( )

Frecuencia angular del péndulo simple

que oscila libremente con amplitud

pequeña.

Frecuencia del simple que oscila

libremente con amplitud pequeña

Periodo del simple que oscila

libremente con amplitud pequeña



160 160

Luego de la ecuación 6.11 despejamos la constante elástica del resorte.

√

( ) ( )

( )

Ejemplo 6.5

Un bloque de 2.00 kg está unido a un resorte de constante elástica 80.0 N/m.

Una persona hala el cuerpo aplicándole una fuerza 20.0 N, paralela al eje del

resorte, lo suelta y el sistema se pone a oscilar con M.A.S. ¿Cuál es la energía

mecánica del sistema masa – resorte?

Solución:

Considerando la Ley de Hooke, podemos determinar cuánto se ha desplazado el cuerpo desde

su posición de equilibrio.

Ahora, podemos determinar la energía mecánica del sistema masa – resorte.

(

) ( )

Ejemplo 6.6

Con la idea de trasladar materiales para la construcción desde un borde un

riachuelo al otro, los obreros han dispuesto de una larga cuerda que pende de

la rama de un árbol y una pequeña canasta en su extremo en la que habrán de

colocar los materiales. Desde un borde del rio, un obrero coloca materiales en

la canasta y lo suelta. Si la cuerda mide 4.10 m ¿qué tiempo le toma a la

canasta ir de un borde a otro?

Solución:

l = 4.10 m

g = 9.80 m/s2

Primero determinaremos el tiempo que tarda la canasta en ir y volver al mismo punto, este es el

periodo.

√

( )√

El tiempo que buscamos es el tiempo que tarda solo en ir, la mitad del periodo

Resorte relajado

Resorte estirado al

aplicarse la fuerza



161 161

6.4 MOVIMIENTO ONDULATORIO

Un experto jugador de billar golpea, con el taco, la

bola blanca, la cual es la primera de una fila de bolas

de billar, igualmente espaciadas. La bola blanca se

pone en movimiento, golpea la bola 1, se detiene y la

bola uno se pone en movimiento. La bola uno golpea

la bola 2, se detiene y la bola 2 se pone en

movimiento. Esto se repite hasta que la bola 4 (la

penúltima) golpea la 5 (la última), se detiene y la

bola 5 se pone en movimiento.

Según lo que hemos dicho, nos podemos referir a un acontecimiento al que llamamos “poner en

movimiento una bola”. Dicho acontecimiento ocurre por primera vez en A, luego en B, más tarde en

C y así sucesivamente. En tal sentido podemos decir que el acontecimiento descrito se mueve desde

A hasta F. Adviértase que tenemos cuerpos en movimiento, pero ninguno se ha movido de A hasta

F. Hemos identificado dos movimientos; el movimiento de cada bola y el movimiento de un

acontecimiento que tiene lugar en el conjunto de bolas. A los fenómenos que se corresponden con el

que hemos descrito se les denomina movimiento ondulatorio.

En general, un movimiento ondulatorio se caracteriza por una perturbación que se mueve de un

lugar a otro dentro de algún medio dado. Si un sistema es sometido a perturbaciones sucesivas,

entonces se dice que en él se tiene un tren de onda.

Ahora haremos dos mediciones:

a) Medimos la longitud del segmento que va de A hasta F. Esto lo denotamos con ∆x porque las

bolas están alineadas sobre el eje x.

b) Medimos el tiempo transcurrido desde el instante en que la bola blanca se puso en

movimiento hasta el instante en que la bola 5 se puso en movimiento. Esto lo denotamos con

∆t.

Ahora pasamos a determinar la rapidez de la onda.

(6.16)

1 2 3 4 5

A B C D E F

Figura 7

Rapidez de una onda que se mueve sobre el

eje x, recorriendo ∆x en un lapso ∆t.

¡Cuidado! Esta es la rapidez de la

perturbación, no es la rapidez de las bolas



162 162

Consideremos que observamos un medio bajo cierto tren de

onda. Identificamos una cantidad física que es variable en

dicho medio, como consecuencia de las ondas en él. Una

expresión que permite conseguir dicha cantidad física, para

cada partícula del medio, en cualquier instante es denomina

función de onda. Si dicha cantidad física atañe al mismo eje

en el que se propagan las perturbaciones, entonces al tren de

onda se le denomina onda longitudinal. Asimismo, si la

cantidad física que se precisa en la función de onda compete a

una dirección perpendicular al eje en que se propagan las

ondas, entonces a la perturbación es denominada onda

transversal.

Supongamos que escribimos una ecuación con la que se puede

conseguir la velocidad de cada bola, del ejemplo que hemos

descrito, en cualquier instante. Para identificar a cada bola,

usamos la coordenada x en que éstas se encuentran en el

instante en el inicial de su movimiento. De este modo,

tenemos una expresión en la que la velocidad (que denotamos

con vx porque cada bola se mueve sobre el eje x) queda

expresada en función de x (ubicación de cada bola antes de

iniciar su movimiento) y el instante t. Esta corresponde a una

onda longitudinal porque la cantidad que conseguimos con

ella (la velocidad) corresponde al mismo eje en que se

propaga la perturbación.

Cuando una perturbación se propaga en algún medio, alguna

forma de energía va junto a la perturbación. Es decir, una

onda es el movimiento de la energía en algún medio. Según el

tipo de energía que se propaga, las ondas se clasifican en: a)

Ondas mecánicas, si la energía que se propaga es energía

mecánica. b) Ondas electromagnéticas, si la energía que se

propaga es energía electromagnética. Las ondas mecánicas

solo pueden ser transmitidas en algún medio material. Sin

embargo, las ondas electromagnéticas pueden ser transmitidas

en el vacío. En general, al escribir la función de onda de

alguna onda mecánica, ésta (la función de onda) es usada para

describir la posición de cada partícula del medio con respecto

a su posición antes de la perturbación, o para describir el

estado de esfuerzo en cada punto. Por otro lado, al escribir la

función de onda de alguna onda electromagnética, ésta (la

función de onda) es usada para describir el campo eléctrico, o

el campo magnético en cada punto del medio por el que se

a

Si se sujeta el extremo libre, luego

se extiende el resorte y se agita

verticalmente mientras se mantiene

extendido, el resultado son ondas

transversales a lo largo del resorte

Figura 8

Consideremos un resorte dispuesto

inicialmente en posición horizontal,

con uno de sus extremos anclado

firmemente al muro.

b

Si se sujeta el extremo libre, luego

se extiende el resorte y se agita

horizontalmente mientras se

mantiene extendido, el resultado

son ondas longitudinales a lo largo

del resorte

Las ondas se clasifican en:

- Ondas mecánicas, transmiten

energía mecánica, y necesitan de

un medio material para

propagarse.

- Ondas electromagnéticas,

transmiten energía

electromagnética y se pueden

propagar en el vacio



163 163

propaga la onda. Las ondas electromagnéticas son ondas transversales porque tanto el campo

magnético como el campo eléctrico en cada punto del medio por el que se propagan las ondas tienen

dirección perpendicular a la dirección en que se propagan las ondas.

Ejemplo 6.7

Una piedra cae en el centro de una piscina cuadrada con lados de 8.00

m. Debido a la caída de la piedra, se generan perturbaciones que se

mueven desde el centro de la superficie de la piscina hacia los bordes

de la misma a 2.00 m/s ¿cuánto tiempo le toma llegar a cada

perturbación hasta un borde de la piscina?

Solución:

, ya que la piscina tiene lados de 8.00 m y la perturbación se produce en el

centro de la piscina.

De la definición de rapidez de onda despejamos el tiempo, y tenemos:

6.5 ONDAS TRANVERSALES EN UNA CUERDA

Si una cuerda extendida horizontalmente, es sacudida en

dirección vertical, aparecerá una silueta en una parte de

ella, que avanza horizontalmente, como muestra la figura

9. En cada instante, la silueta queda formada por un grupo

diferente de partículas de la cuerda. Ninguna partícula de

la cuerda avanza horizontalmente. Estas suben y luego

bajan, según llega a ellas la perturbación.

Como las partículas de la cuerda se mueven en dirección

perpendicular al movimiento en que se mueve la silueta

que se forma en la cuerda, afirmamos que se tiene una

onda transversal en la cuerda.

Asociada a cada cuerda, se tiene una cantidad física que denominamos densidad lineal. Con esta

cantidad física se precisa que masa posee cada unidad de longitud de la cuerda. Se expresa en kg/m

en el Sistema Internacional. Si tenemos una larga cuerda cuya densidad lineal queremos determinar,

podemos tomar un fragmento de ella, medir la longitud y la masa del fragmento, y determinar la

densidad lineal de la siguiente forma:

Figura 9



164 164

(6.17)

La rapidez con que avanzan las ondas transversales en una cuerda está determinada por su densidad

lineal y la tensión de la misma. Su valor se obtiene como:

√

(6.18)

Supongamos que una cuerda tensada se ha

unido a un diapasón que vibra con

movimiento armónico simple. Esto origina

un tren de ondas en la cuerda tal que cada

partícula de ella posee movimiento armónico

simple, y en algún instante dado la cuerda

tiene el aspecto de la línea roja de la figura

10.

La función de onda que se atribuye al tren de

ondas en la cuerda como consecuencia de las

sacudidas es:

( ) (6.19)

En la expresión anterior tenemos:

La letra A, con la cual denotamos la amplitud, que en el contexto considerado es la longitud

del segmento vertical que va desde la cuerda sin perturbar hasta un extremo de la oscilación

de una partícula de la cuerda.

Con la letra griega (se lee “omega”) denotamos la frecuencia angular. Esta está definida

por la ecuación (4b) de esta misma unidad. Siendo f la frecuencia con que vibra el diapasón.

(t +kx +) es la fase de la partícula ubicada en x, en el instante t, la cual se expresa en

radianes.

La letra griega (se lee fi) es la fase de la partícula en x = 0 en el instante t=0. Se tiene una

fase para cada partícula en cada instante. La fase de cada partícula en un instante dado está

dada por la posición (y) y la velocidad (vy) de la partícula en el instante considerado.

La letra k, con la cual denotamos el número de onda. Está definida como:

(6.20)

Densidad lineal de una cuerda

Cuerda antes de

ser sacudida

por el diapasón

Figura 9

A

y

x

Función de onda armónica correspondiente a un

tren de ondas transversales en una cuerda

Rapidez de ondas transversales en

cuerdas

Definición de número de onda



165 165

Con la letra griega λ (se lee “lambda”) denotamos una cantidad física llamada longitud de

onda. La longitud de onda es la distancia entre dos partículas consecutivas en fase, del

medio por el que se propaga la onda. Es decir, la distancia entre dos partículas consecutivas

con la misma coordenada "y" y la misma velocidad (vy)

Todas las partículas en el extremo superior de su oscilación tiene coordenada y igual a la amplitud y

vy = 0 (están en fase). A las partículas en tal situación se les denomina crestas. Igualmente, todas las

partículas en el extremo inferior de su oscilación tienen coordenada y igual a –A y vy = 0. A las

partículas en tal situación se les denomina valles. Dada la definición de longitud de onda y lo que

recién expresamos, se puede inferir que la distancia entre dos crestas consecutivas es igual a la

longitud de onda. De igual modo, la distancia entre dos valles consecutivos es igual a la longitud de

onda.

Si tenemos la frecuencia de la onda y la longitud de onda, podemos conseguir la rapidez de onda

como:

(6.21)

Ejemplo 6.8

El peso de un rollo de hilo es 14.7 N, enrollado sobre un cilindro de masa despreciable. Con la idea

experimentar lo aprendido en este libro, un estudiante de física desenrolla un fragmento del hilo de

4.00 m con masa de 0.120 kg. ¿Qué longitud tiene el rollo total de hilo?

Solución:

Determinaremos la densidad lineal.

Dado el peso del rollo de hilo, determinaremos su masa total:

Una vez conocida la masa del rollo de hilo y la densidad lineal del hilo, obtendremos la longitud

del rollo de hilo

( )

Rapidez de onda



166 166

Ejemplo 6.9

Se transmiten ondas armónicas en una cuerda tensada a 20.0 N.

El diapasón que perturba la cuerda vibra con una frecuencia de

60.0 Hz y el aspecto de la cuerda, en un instante dado, es el que

se muestra en la figura. ¿Cuál la densidad lineal de la cuerda?

Solución:

Primero determinamos la rapidez de onda con la ecuación 6.21

( )( )

Luego de la ecuación 6.18, despejamos la densidad lineal

√

(

)

Ejemplo 6.10

En una cuerda tensada se transmiten ondas transversales cuya función de onda es

( ) ( ). Determine: a) la frecuencia de las ondas, b) la longitud de onda de

las ondas, y c) La rapidez de onda.

Solución:

Comparando la función de onda dada con la ecuación 6.19, podemos observar que:

-

-

-

a) Despejando la frecuencia de la ecuación 6.4 b, tenemos:

b) Despejando la longitud de onda de la ecuación 6.20, tenemos:

c) Conocida la frecuencia y la longitud de onda, determinamos la rapidez de onda.

(

) (

)

0.800 m



167 167

6.6 ONDAS MECANICA LONGITUIDINALES

Considere un tubo recto en el que se aloja un gas. El gas

en el interior del tubo es perturbado por una pequeña

membrana en vibración, colocado en uno de sus

extremos. A un conjunto de partículas de gas en el tubo

que forman una superficie igual a la sección de tubo

(superficie circular, en este caso), le denominaremos

frente de onda. Se le denomina así porque éstas

constituyen un conjunto contiguo de partículas en fase.

Denotaremos con “x” a la posición de cada frente de

onda. El valor de x es medido desde el extremo del tubo

donde está la membrana.

Supongamos que la membrana en el extremo del tubo ha

tenido una sola sacudida. Como consecuencia de tal sacudida,

se produce una perturbación en el gas. Si el gas está colmado

de partículas de color azul, de igual densidad que el gas,

entonces podríamos aprecias situaciones como la mostrada en

la figura 11.

La zona más obscura en 11.a es debida a que las

partículas rojas están más juntas. La presión en esa zona

es mayor de la presión que había antes de ser perturbado

el gas. Más tarde, la zona cuya presión es mayor que la

presión del resto, está más a la derecha. Aquí tenemos

una perturbación que se mueve horizontalmente. Cada

frente de onda también se mueve horizontalmente, pero

no va de un extremo del tubo al otro. Se mueven en una

pequeña localidad alrededor de donde estaban

originalmente. Denotamos con s al desplazamiento de

cada frente de onda desde su posición antes de ser

perturbada.

Si la membrana se sacude repetidas veces con un

movimiento armónico simple, entonces en el tubo se

podrán apreciar zonas cuya presión es mayor de la que

había originalmente y zonas cuya presión es menor de la

que había originalmente. Podríamos ver una situación

como la mostrada en la figura 12. Donde las zonas más

claras son las zonas de más baja presión y las zonas más

oscuras son las zonas de más alta presión.

x

Figura 10

Frente de onda

Figura 11

a)

b)

c)

Figura 12



168 168

Las perturbaciones que hemos descrito, que se mueven a lo largo de tubo, son denominadas ondas

mecánicas longitudinales. Su denominación responde al hecho de las perturbaciones avanzan

horizontalmente y cada frente de onda tiene un movimiento horizontal.

La expresión para la función de onda armónica correspondiente es:

( ) (6.22)

Denotamos con sm a la amplitud de las ondas, la cual es igual a la longitud del segmento que va

desde la posición de un frente de onda antes de ser perturbado al extremo de su movimiento.

Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales, y se clasifican mediante la recepción del

oído humano, Infrasonido y Ultrasonido no los percibe el oído humano.

a) Infrasonidos. Reciben este nombre si su frecuencia

es menor que la frecuencia perceptible al oído

humano (f < 20 Hz).

b) Sonido. Reciben este nombre si su frecuencia está

dentro del intervalo de frecuencias perceptibles al

oído humano (entre 20 Hz y 20,000 Hz).

c) Ultrasonidos. Reciben este nombre si su frecuencia

es mayor que las frecuencias perceptibles al oído

humano (f > 20,000 Hz).

Un humano percibe un sonido si está sumergido en algún

fluido – si éste no lo mata, por supuesto – ya que de ese

modo las partículas del fluido están en contacto

directamente con el tímpano del oído. Sin embargo, el

sonido también puede propagarse en los sólidos. La

velocidad con que se que propaga el sonido en los diferentes

medios, depende de características mecánicas asociadas al

mismo. Estás son: Su densidad y su módulo elástico

(módulo elástico volumétrico si se trata de un fluido y

módulo de Young si se trata de un sólido). Esta última

propiedad está asociada a la dificultada con que una

sustancia puede ser comprimida o estirada.

Tabla 6.1

Velocidad del Sonido

“para algunas sustancia”

Medio Velocidad (m/s)

Gases

Aire (0° C) 331

Aire (20° C) 343

Helio 965

Hidrogeno 1284

Líquidos

Agua (0° C) 1402

Agua (20° C) 1482

Agua de mar 1 1522

Solido

Aluminio 6420

Acero 5941

Granito 6000

“a 0° C y presión atmosférica normal a

menos que se indique lo contrario” 1 a 20° C y 3.5 % de salinidad

Referencia: Física, Vol. 1, 4ta Ed.,

Resnick – Halliday – Krane, pág. 497

Función de onda armónica correspondiente a

un tren de ondas mecánicas longitudinales.



169 169

Si tenemos una onda que se propaga de forma tal que cada frente

de onda es una esfera, entonces ésta es denomina onda esférica. Si

cada frente de onda tiene forma plana, es llamada onda plana. Un

ejemplo de onda esférica es la que resulta de la perturbación de la

explosión de un dispositivo de fuegos artificiales (ver figura 13).

Como consecuencia de la explosión, se propaga un sonido en

todas las direcciones. Los círculos de trazos en la figura 13

representan frentes de ondas en forma esférica, en fase. Estas

corresponden a las perturbaciones que se originaron en la

explosión y que avanzan, en forma radial, alejándose del punto de

la explosión. La longitud del segmento, medido en forma radial,

entre dos frentes de onda en fase, es igual a la longitud de onda.

Una perturbación que avanza en forma esférica, puede ser

equiparada con una burbuja de agua y jabón que está siendo

inflada.

La cantidad de agua y jabón de la burbuja no cambia

mientras es inflada. Esto se corresponde con la

perturbación, si mientas ésta avanza se mantiene inalterada

la energía que lleva consigo. Cuando una onda avanza en

un medio que permite tal situación, entonces a dicho

medio es no absorbente.

El espesor de la pared de la burbuja disminuye mientras es inflada. Esto se corresponde con

una cantidad asociada a la perturbación que denominamos intensidad. La cual se define

como la rapidez por unidad de tiempo con que se transmite energía (potencia) en cada unidad

de área de un frente de onda. Tiene por unidad el W/m² en el Sistema Internacional.

Dada la rapidez de transferencia de energía por unidad de tiempo (potencia) de la fuente

(dispositivo que dio origen a la perturbación) y el área de un frente de onda, la intensidad se obtiene

como:

(6.23)

Si una persona está alejada de la explosión, entonces el sonido le llega con un frente de onda de gran

área. Por cuanto, de baja intensidad. La intensidad puede ser tan baja que no sea percibido por el

oído de la persona. Para cada persona, hay un umbral auditivo, el cual corresponde al mínimo valor

de intensidad perceptible por su oído. Como valor estándar de umbral auditivo se tiene Io = 10–12

W/m².

Figura 13

Definición de intensidad



170 170

Por otro lado, si una persona está muy cerca de la explosión, entonces el sonido le llega con un

frente de onda de poca área. Por cuanto, de alta intensidad. La intensidad puede ser tan alta que

produce molestia y dolor.

Considerando que si un sonido llega al oído de un humano con intensidad Io, éste no percibe tal

sonido, se ha definido una cantidad física llamada nivel sonoro con la que se establece la diferencia

entre un sonido percibido y el correspondiente a Io, que se ha tomado como referencia. Podría

decirse que con el nivel sonoro se precisa “cuanto se escucha un sonido”. La expresión con la que

se obtiene el nivel sonoro es:

(

) (6.24)

Donde I es la intensidad del sonido que llega al oído. Se ha usado la

letra griega β (se lee “beta”) para denotar al nivel sonoro. La unidad del

nivel sonoro es el Bel, en honor Alexander Graham Bell, quien patentó

el teléfono en 1876. Lo usual es usar un submúltiplo del Bel, el decibel (dB).

Par que el valor del nivel sonoro quede expresado en decibel, la expresión

(24) debe ser multiplicada por 10.

Tabla 6.2

Niveles Sonoros

Sonido Intensidad

(W/m2)

Intensidad

Relativa

(I/I0)

Nivel de

Sonido

(dB)

Umbral de audición 10 – 12

10

0 0

El murmullo de las hojas 10 – 11

10

1 10

Un murmullo (a 1 m) 10 – 10

10 2 20

Calle de ciudad sin transito 10 – 9

10

3 30

Oficina, aula 10 – 7

10 5 50

Conversación normal (a 1 m) 10 – 6

10 6

60

Matillo perforador 10 – 3

10 9

90

Grupo de Rock 10 – 1

10 11

110

Umbral del dolor 1 10 12

120

Motor de propulsión a chorro (a 50 m) 10 10 13

130

Cohete supersónico (a 50 m) 10 8 10

20 200

Referencia: Física, Vol. 1, 4ta Ed., Resnick – Halliday – Krane, pág. 501

Definición de nivel sonoro



171 171

Al momento de distinguir un sonido de otro, se tienen tres parámetros asociados a los mismos, a los

cuales se les denomina cualidades del sonido. Estos son:

El tono. El cual estado por la frecuencia del sonido

La intensidad con que se percibe

El timbre. Cualidad está determinada por la función de onda del sonido considerado.

Ejemplo 6.11

Una onda sonora que se origina en el punto A como se muestra en la figura,

y avanza de forma esférica. Un observador en B, percibe un nivel sonoro de

60 dB. ¿Cuál es la intensidad sonora para un observador en C? (considere

que el sonido viaja sobre un medio no absorbente)

Solución:

Primero debemos determinar la potencia de la fuente sonora.

Se necesita la intensidad sonora en B

( )

(

)

(

) (

)

Como la expansión es en forma esférica tenemos que las áreas recorridas por la onda

desde A hasta B y C son:

{ ( )( )

( )( )

Potencia de la fuente.

(

)

Nivel sonoro en C.

( ) (

) ( )

A B

C

2.00 m

3.00 m



172 172

6.7 COMPORTAMIENTO GENERAL DE LAS ONDAS

Un concepto útil al momento de describir algunos de los aspectos del

comportamiento de las ondas es el rayo. Es una línea imaginaria en una

de las direcciones de propagación de una onda.

Atendiendo a las direcciones que pueden tener los rayos asociados a una

onda, estas se clasifican en:

Unidimensionales. Toman esta clasificación, si todos los rayos

correspondientes a la onda tienen la misma dirección.

Bidimensionales. Se clasifican así si todos los rayos vinculados a

la onda tienen diferentes direcciones y están contenidos en un

mismo plano.

Tridimensionales. Tienen está clasificación las ondas que se

propagan en todas las direcciones.

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

Si una onda se propaga por cierto medio y llega a la frontera de este, parte de la onda que incide en

la frontera la atraviesa y otra parte seguirá en el medio original pero con una dirección y/o sentido

diferente del que tenía originalmente. A la parte de la onda que sigue en el medio original, se le

denomina onda reflejada y se dice que la onda ha experimentado una reflexión. Por otro lado, si la

parte de la onda que atraviesa la frontera cambia de dirección al pasar al otro medio, entonces a esta

parte de la onda se le llama onda refractada y se dice que la onda ha experimentado una

refracción.

El fenómeno de refracción solo ocurre si el rayo

correspondiente a la onda incidente (onda que llega a la

frontera entre dos medios) es no normal a la frontera. Es

preciso aclarar que la palabra normal es una generalización

de perpendicular con la cual se incluye a las superficies

curvas. El rayo incidente, el rayo refractado, el rayo

reflejado y la recta normal están en el mismo plano. El

ángulo del rayo reflejado con la normal es igual al ángulo

del rayo incidente con la normal (ver figura 15).

(6.25)

El ángulo del rayo correspondiente a la onda refractada (onda que pasa de un medio a otro con una

dirección diferente a la onda incidente) viene dada por la Ley de Snell.

(6.26)

Figura 14

Rayo

i

a

Recta

normal Rayo

incidente Frontera

Figura 15

Rayo

refractado

Rayo reflejado r

Ley de Reflexión

Ley de Snell



173 173

Donde i es el ángulo que forma el rayo incidente con la recta normal, a es el ángulo que forma el

rayo refractado con la recta normal, vi es la rapidez con que se mueve la onda en el medio

correspondiente al rayo incidente y va es la rapidez con que se mueve la onda en el medio

correspondiente al rayo refractado (ver figura 15).

Cuando una onda pasa de un medio a otro, persiste con la frecuencia que tenía en el medio original.

Se puede deducir que la onda refractada tiene longitud de onda diferente a la longitud de onda de la

onda original, dado que si se refracta es porque ha pasado a un medio en el que viaja con una

rapidez diferente a la rapidez con que viajaba en el medio original. Para tal deducción, tenga en

cuenta la ecuación (21).

EFECTO DOPPLER

Si el emisor de una onda y el observador tienen un movimiento relativo (uno con respecto al otro) de

alejamiento o acercamiento, entonces la frecuencia que el observador percibe es diferente a la

frecuencia emitida. A esta situación que experimenten las ondas se le denomina efecto Doppler. La

expresión que permite determinar la frecuencia observada como consecuencia de dicho efecto es:

(

) (6.27)

Donde se denota con v a la rapidez de la onda, se denota con vo a la rapidez del observador, ve a la

rapidez del emisor, fo a la frecuencia observada y f a la frecuencia emitida. Se ha colocado el signo ±

en el denominador de la expresión anterior porque debe usarse el signo + si el observador se está

moviendo hacia el emisor y debe usarse el signo – en caso contrario. Asimismo, se ha colocado en

el numerador porque debe usarse el signo – si el emisor se mueve hacia el emisor y debe usarse el

signo + en caso contrario.

El factor eo vvvv es un número sin unidades; mayor que uno si la longitud del segmento que

une al emisor con el observador disminuye con el tiempo y es menor que uno si la longitud del

segmento que une al emisor con el observador aumenta con el tiempo.

SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

Si dos ondas tienen lugar en el mismo medio en una misma región del espacio y simultáneamente,

entonces estás se combinan dando lugar a una onda resultante (“suma”). A tal fenómeno se le

denomina interferencia. A la validez del resultado de la suma de las funciones de dos ondas que se

combinan, se le denomina principio de superposición.

Si tenemos dos ondas armónicas, de igual amplitud y frecuencia, que viajan en el mismo medio, en

sentido contrario, podría dar lugar a un estado fijo de oscilación en el medio al que se le denomina

ondas estacionarias. A cada una de las frecuencias para las que se produce tal estado de oscilación,

Efecto Doppler



174 174

se le denomina armónico. El estado de oscilación correspondiente a cada frecuencia con la que se

establece una onda estacionaria, se le denomina modo normal.

Una experiencia que permite percibir tal fenómeno son las ondas transversales en cuerdas. Se

transmiten ondas transversales que se originan en un extremo de la cuerda (llamémosle A al extremo

donde se originan). Los pulsos llegan al otro extremo (le llamaremos B) de la cuerda y se reflejan.

En cada instante tenemos ondas que van de A hacia B. (Las ondas incidentes) y ondas que van de B

hacia A (las ondas reflejadas). Estas se combinan dando lugar, para ciertas frecuencias, a un estado

fijo de oscilaciones al que llamamos ondas estacionarias en cuerdas. La cuerda oscila dividida en

varios segmentos que oscilan desfasados 180º. Es decir, cuando un segmento está en uno de de sus

extremos de la oscilación, el segmento adyacente está en el extremo opuesto. Cada segmento de

oscilación queda limitado por partículas de la cuerda que “no oscilan”, llamados nodos. En cada

segmento oscilante tiene una partícula cuya amplitud de oscilación es mayor la de todos los demás,

llamados antinodos. En la práctica, con cuerdas ligeras, las frecuencias con las que se establecen

ondas estacionarias en cuerdas es tal que las partículas de la cuerda parecen estar en varios lugares a

la vez, apreciándose una situación como el mostrado en la figura 16.

Considerando la definición de longitud de onda y

que, como precisamos, dos antinodos adyacentes

están desfasados 180º, entonces se puede colegir

que dos antinodos sucesivos distan λ/2.

Si se tiene un estado de ondas estacionarias en una

cuerda, podemos descubrir la frecuencia de las

ondas que le dan origen. Para ello necesitamos la

densidad lineal de la cuerda, la longitud de la

cuerda, la tensión en la cuerda y el número (n) de

segmentos en que oscila.

√

(6.28)

Si dos ondas sonoras armónicas de igual amplitud y

frecuencia parecida se superponen, entonces cada

partícula en que tiene lugar la superposición tiene un

estado de oscilación de amplitud variable, lo cual

hace que el oído perciba un volumen variable. Al

aumento y disminución sucesivos del volumen, se le

denomina pulso. La frecuencia con que el volumen

pasa de un máximo a otro, se denomina frecuencia

de pulsación.

Figura 16

B

y

x A

Antinodo Nodo

Frecuencia de las ondas estacionarias

en una cuerda.

pi-pi-pi-pi-pi-pi-pi-pi-pi - -pi-pi-pi-pi-pi-pi-

pi-pi-pi



175 175

DIFRACCIÓN

Consideremos una onda plana que viaja por cierto medio y

alcanza cierta frontera que tiene una rendija por la que la onda

puede seguir avanzando, al otro lado (ver figura 17).

Al pasar por la rendija la onda se dispersa propagándose en

todas direcciones como si la rendija fuese una fuente puntual.

A este fenómeno se le denomina difracción.

Otra forma de apreciar el fenómeno de difracción ocurre si

una onda encuentra un obstáculo en su trayectoria. Las ondas se “curvan” (se direccionan según la

superficie del obstáculo). Es decir, aparecen direcciones diferentes a las que tenía originalmente (se

dispersan). Tal dispersión permite que un observador más allá del obstáculo perciba las ondas. Sin

embargo, si el obstáculo de un tamaño parecido o mayor que la longitud de onda de las ondas

consideradas, entonces se dispersan al “extremo” de ser imperceptible más allá del obstáculo. Es

preciso hacer saber que si una onda de alta frecuencia tiene una longitud de onda pequeña y que una

onda de baja frecuencia tiene longitud de onda alta. Este permite establecer que grandes obstáculos

en el trayecto de ondas de alta frecuencia, hacen que éstas no sean perceptibles más allá del

obstáculo. Sin embargo, las ondas de baja frecuencia pueden “librar” tal obstáculo.

RESONANCIA

Suponga que un sonido se propaga por el aire y que mientras avanza “toca” algunos cuerpos o

paredes. Puede ocurrir que algún cuerpo o pared se ponga a vibrar como consecuencia del haber sido

“tocado” por el sonido y que dicha vibración de origen a un sonido parecido al original. A tal

ocurrencia, se le denomina resonancia. Que tal fenómeno ocurra está condicionado por ciertas

frecuencias asociadas a cada objeto. Dichas frecuencias son denominadas frecuencias naturales del

sistema.

Ejemplo 6.12

El conductor de un autobús escolar toca bocina en el

instante que avanza hacia el oeste a 10.0 m/s, dado que un

auto obstruye su paso. La frecuencia emitida por el

autobús fue de 200 Hz. ¿Qué frecuencia percibe un

transeúnte que trota a 4.00 m/s hacia el este al escuchar el

sonido de la bocina del autobús? (considere que 340 m/s

como velocidad del sonido en el aire)

Solución:

Reposo

Emisor Observador Observador

Figura 17



176 176

Dado que el observador (el transeúnte) avanza en dirección contraria al autobús, entonces se

usará el signo negativo en el numerador de la ecuación (6.27). Sin embargo, como el emisor

(el autobús) avanza también en dirección contraria al punto donde está el transeúnte,

entonces en el denominador de la ecuación (6.27) debe usarse el signo positivo.

(

) (

) ( )

Ejemplo 6.13

Si el humano pudiera sobrevivir en la luna sin el traje espacial, ¿podríamos comunicarnos hablando

como lo hacemos en la Tierra? ¿El traje ofrece alguna facilidad para comunicarse?

Solución

a) No, no podremos comunicarnos porque estando en la luna no estaríamos sumergido en

ningún fluido porque en esta no hay atmósfera.

b) Si. Les cuento.

Si tenemos el traje, entonces perturbamos el aire dentro del traje, al mover nuestras

cuerdas vocales. Dicha perturbación alcanza al radio con el que dispone el traje. Dicho

radio tiene una membrana que oscila según la perturbación y el radio genera una onda

electromagnética que se corresponde con la oscilación de la membrana, la cual puede

viajar en el vacío. La onda generada por el radio alcanza al radio del observador. El radio

del observador pone a vibrar su membrana según la onda electromagnética recibida. La

membrana en vibración, perturba el aire dentro del traje del observador, el cual a su vez

perturba el tímpano del oído del observador.

RESUMEN

Un fenómeno se considera periódico si este se repite

empleando intervalos de tiempos iguales, el tiempo

empleado se le denomina periodo, y el número de veces

que ocurre en la unidad de tiempo es la frecuencia,

mientras que la repetición en si se le conoce como

oscilación o ciclo.

El movimiento oscilatorio, es un fenómeno periódico en el

cual la partícula cumbre la misma trayectoria de ida y

vuelta. Al ángulo recorrido en la unidad de tiempo se le

conoce como frecuencia angular¸ y esta depende

directamente de la frecuencia e inversamente del periodo.



177 177

Si una partícula oscila en una trayectoria pequeña de ida y vuelta conocida como vibración, y

además dicho movimiento es periódico, entonces la partícula posee un movimiento armónico

simple (MAS). La velocidad máxima de oscilación depende de forma directa de la frecuencia

angular y la amplitud de oscilación, mientras que la aceleración máxima de oscilación depende del

cuadrado de la frecuencia angular.

En un sistema armónico simple la frecuencia angular

depende de las propiedades inherentes del sistema:

- En un sistema masa – resorte la frecuencia angular

depende de la constante elástica del resorte y de la

masa unida a este.

- En un péndulo simple la frecuencia angular

depende de la longitud de la cuerda y de la

aceleración gravitacional del lugar donde este.

- La energía transmitida es proporcional al cuadrado

de la amplitud de la vibración.

Una onda surge de la perturbación de las partículas de un

medio, el movimiento de estas perturbaciones se le

denomina movimiento ondulatorio. En este movimiento

se transmite energía entre dos punto de un medio, sin que

se transfiera masa entre estos dos puntos. Esto ocurre con

una rapidez constante conocida como rapidez de onda.

Si las partículas del medio perturbado vibran perpendicularmente a la dirección en que se propaga la

onda formada es una onda transversal, si las partículas vibran en la misma dirección en que se

propagan las perturbaciones entonces se ha formado una onda longitudinal. Si la onda necesita de

un medio material para propagarse esta se conoce como onda mecánica, pero si se puede propagar

aun sin un medio material la onda es una onda electromagnética.

La distribución de la masa de una cuerda entre su longitud

se llama densidad lineal, y es una característica de la

inercia de la cuerda. La rapidez de propagación de la onda

depende de las propiedades elásticas y de inercia del medio.

La distancia entre dos puntos con igual estado de vibración

(fase de vibración) es la longitud de onda, y está ligada a

la frecuencia y la rapidez de propagación. La relación del

ángulo recorrido en una longitud de onda es el número

angular.

√

√



178 178

El sonido es una onda mecánica longitudinal y se clasifica

de acuerdo a la frecuencia en infrasonora, sónica y

ultrasónica. La cantidad de sonido que se puede percibir

desde la fuente hasta un punto se mide determinando la

intensidad sonora y el nivel de sonido.

En una onda se verifican varios eventos:

- Reflexión si la onda lleva a la frontera entre dos

medio choca y se devuelve.

- Refracción si la onda al cambiar de medio cambia

su dirección.

- Difracción la onda llega a un obstáculo y cambia su

dirección para rodearlo.

- Efecto Doppler cuando se percibe una frecuencia

distinta a la de la fuente debido al movimiento

relativo entre el emisor y el observador.

Superposición de onda cuando varias ondas viajan en mismo medio y se combinan formando una

sola. Cuando dos ondas que tienen igual frecuencia y amplitud pero viajan en sentidos opuestos se

superponen forman una onda estacionaria, los puntos de esta onda donde la amplitud es nula se

conocen como nodos, y donde la amplitud es máxima se conocen como antinodos.

(

)

(

)

Ley de Reflexión:

Ley de Refracción:



179 179


1. Un tapón de caucho de 0.013 kg se ata a una cuerda de 0.93 m de longitud. El tapón se hace

girar en un círculo horizontal, realizando 30 vueltas en 4.0 s.

a. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de giro del tapón?

b. ¿Cuánto vale su frecuencia angular?

2. Se desea utilizar un péndulo simple para determinar la aceleración gravitacional “g” en la cima

de una montaña. Si el péndulo tiene una longitud de 1.55 m y un periodo de 2.51 s. ¿Cuál es el

valor de “g” en la cima de la montaña?

3. Al atar su bote en el muelle un pescador observa las olas en el mar. El pescado ve que se

producen 15 crestas en 20 s, y que la distancia entre dos crestas sucesivas es 12 m. ¿Cuál es la

rapidez de onda?

4. Un resorte es cuelga verticalmente, cuando se le cuelga una masa de 2.62 kg se estira 0.315 m

hasta que el sistema queda en equilibrio. Luego el sistema se hace oscilar con una amplitud de

0.130 m.

a. ¿Cuál es el periodo de vibración del sistema?

b. ¿Cuál es el valor de la energía mecánica del sistema?

c. ¿Cuál es la rapidez máxima de vibración?

5. Un objeto de 3.0 kg esta unido a un resorte con constate de 280 N/m y se mueve con

movimiento armónico simple. Si la rapidez máxima del objeto es 0.58 m/s, ¿Cuál es la amplitud

de vibración?

6. Un péndulo oscila 36 veces en un tiempo de 60 s, ¿Cuál es la longitud del péndulo?

7. El periodo de un péndulo simple en la Tierra es de 0.80 s, ¿Cuál será su periodo en Júpiter?

(considere la aceleración gravitacional de Júpiter 10 veces la aceleración gravitacional en la

Tierra)

8. La aceleración gravitacional de la Luna es la sexta parte de la aceleración gravitacional en la

Tierra. Si se arman dos péndulos simples con periodos iguales, uno en la Tierra con una

longitud de 1.50 m, y otro en la Luna, ¿Cuál debe ser la longitud del péndulo armado en la

Luna?

9. Una onda sonora tiene una frecuencia de 262 Hz y viaja con una rapidez de 343 m/s, ¿Cuál es la

longitud de onda de este sonido?

10. Una cuerda tensa entre dos puntos tiene una masa de 0.65 kg y una longitud de 28 m. Si la

fuerza de tensión en la cuerda es de 150 N, ¿Qué tiempo tarda un pulso en viajar en los

extremos de la cuerda?



180 180

11. Un marinero golpea el lado de su embarcación justo debajo de la superficie del mar, 30 s

después escucha del eco de la onda reflejada en el suelo marino directamente debajo del barco.

¿Cuál es la distancia entre el fondo del barco y el suelo marino en este lugar?

12. Durante una explosión, la intensidad en un punto a 48 km de la fuente es 2.0 x 10 6 W/m

2, ¿Cuál

será la intensidad que está a 10 km de la fuente?

13. Durante una tormenta las olas del mar se aproximan a una plataforma submarina, las olas llegan

a la plataforma con una rapidez de 2.80 m/s, y un ángulo de 35.0° con la normal a la plataforma.

¿Cuál es el ángulo de refracción de las olas si pasan al otro lado de la plataforma con una

rapidez de 2.1 m/s?

14. El sistema de suspensión de los automóviles está constituido por un conjunto de resortes, si

consideramos que un auto al caer en un bache tiene MAS, ¿Cuál es la constante del resorte para

que un auto de 1500 kg al caer en un bache experimente una amplitud de 4.00 cm?


181

Capítulo

7. Calor y Temperatura

Contenido:

7.1 Termodinámica

7.2 Temperatura

7.3 Termómetros

7.4 Calor

7.5 Temperatura de Equilibrio de una Mezcla

7.6 Dilatación Térmica

7.7 Modelo del Gas Ideal



182 182

7.1 TERMODINAMICA

La rama de la física que estudia el comportamiento de sistemas

macroscópicos bajo la las variaciones de su energía interna debido a

su entorno, se denomina Termodinámica, la palabra termodinámica

proviene de dos vocablos griegos “termo” que significa “calor” y

“dinámico” que significa “fuerza”. La termodinámica se desarrolla a

partir de la necesidad de mejorar el rendimiento y la eficiencia de las

primeras máquinas de vapor. Es labor principal de la termodinámica

el estudio de la circulación de la energía y cómo ésta infunde

movimiento a partir de la temperatura, presión y volumen e incluye

una magnitud llamada Entropía, que mide el orden y el estado

dinámico de los sistemas.

La rama de la Física que estudia los temas de Calor y Temperatura se conoce, en la gran mayoría de

los textos, como Termodinámica. Para ser un poco más precisos podemos establecer la siguiente

clasificación:

a) Termodinámica: es el estudio del calor y la temperatura (y sus cantidades físicas asociadas)

desde un punto de vista macroscópico.

b) Mecánica Estadística: es el estudio del calor y la temperatura (y sus cantidades físicas

asociadas) desde un punto de vista microscópico, y ésta se divide en: Teoría Cinética y

Física Estadística

Todo sistema que podemos apreciar con los sentidos se considera un sistema macroscópico, en este

tipo de sistema es posible la utilización de equipos y maquinarias, además las cantidades manejadas

son de un orden grande denominado numero de Avogadro (NA= 6.02 x 10 23

). De lo contrario

consideramos que el sistema es un sistema microscópico.

El estudio de los temas de calor y temperatura data de siglos, quizás porque ambos están muy

cercanos a la experiencia sensorial humana. Es prudente establecer, de entrada, que calor y

temperatura no son lo mismo, es decir, son cantidades físicas de diferente naturaleza. Como

una primera aproximación, digamos que si hacemos una comparación de Calor y Temperatura con

Trabajo y Energía, veríamos que el Calor se parece al Trabajo (porque ambas son variables de

proceso), mientras que la Energía se parece a la Temperatura (porque ambas son variables de

estado). En este tenor añadimos que, así como la masa se mueve desde la gran altura hacia la baja

altura (por tendencia natural), el calor fluye desde la alta temperatura hacia la baja temperatura (por

tendencia natural).



183 183

7.2 TEMPERATURA

La concepción de temperatura tiene su origen en percepción

sensorial del medio ambiente que nos rodea, ya que al tocar o

solamente con acercarnos a un objeto podemos establecer una de

dos condiciones, diciendo que está frio o que está caliente.

Imaginemos dos cuerpos diferentes A y B, y que al tacto notamos

que A está caliente y B está frío (no nos interesa definir ni “frío”

ni “caliente”). Ahora si aislamos estos dos cuerpos de modo que

solo intercambien energía entre ellos, no con el ambiente que los

rodea. Entonces podremos que a medida que A se va enfriando,

B se va calentando. Esto ocurrirá hasta un momento donde los

objetos A y B hayan llegado a una situación de equilibrio.

Decimos entonces que:

Al inicio, los objetos A y B intercambiaron energía porque tenían una condición diferente,

es decir, estaban en estados diferentes

Al final, los objetos A y B dejaron de intercambiar energía porque alcanzaron una misma

condición, es decir, un mismo estado

La condición o estado de A y B cuya diferencia (al inicio) provocó el intercambio de energía,

y cuya igualación (al final) lo detuvo, se llama temperatura

Vemos entonces que la temperatura se asocia a una condición o un estado (como la Energía). La

temperatura es una cantidad física escalar, indicada con la letra T (mayúscula), cuya unidad de

medida en el Sistema Internacional (SI) es el Kelvin (K). Otras unidades de medida son los grados

Celsius (ºC) y los grados Fahrenheit (ºF).

Ahora, consideremos dos cuerpos que aun sin estar en contacto físico intercambian energía entre si,

a esta condición se le conoce como contacto térmico. Cuando dos cuerpos en contacto térmico

dejan de intercambiar energía entre sí, decimos que han logrado el equilibrio térmico.

“Si dos objetos A y B por separados están en equilibrio térmico con un tercer objeto de prueba C,

entonces A y B están en equilibrio térmico entre sí” esto está establecido en la Ley Cero de la

Termodinámica.

Esta Ley es de gran importancia ya que nos permite definir el concepto de temperatura como la

condición que determina el equilibrio térmico (“Dos objetos en equilibrio térmico están a la

misma temperatura”).



184 184

4.3 TERMOMETROS

El instrumento utilizado para medir la temperatura es el

Termómetro, en este instrumento se aprovecha la posibilidad de

cambio de alguna propiedad física de una sustancia en virtud a un

cambio de temperatura, es preferible utilizar la propiedad física de

la sustancia que cambie proporcionalmente con la temperatura.

Algunas propiedades físicas afectadas por los cambios en la

temperatura son:

volumen de un líquido,

dimensiones de un sólido,

presión de un gas,

resistencia eléctrica,

color de un objeto.

Un termómetro de uso común es el de mercurio, el cual es un tubo hueco capilar (tan fino como un

“capilo” o cabello) en cuyo interior se coloca mercurio. El líquido experimenta cambios en su

volumen proporcionales a los cambios de temperatura. Como la sección transversal del tubo es

constante, cualquier variación en el volumen del mercurio se manifestará como una variación en la

longitud de la columna del mercurio. Otros termómetros usan la dilatación de una sustancia, y otros

son de circuitos electrónicos.

ESCALA DE TEMPERATURA CELSIUS

Esta escala de temperatura debe su nombre a Anders Celsius, físico y

astrónomo sueco, nacido en 1701 y fallecido en 1744. Fue profesor de

astronomía, participó en una expedición a Laponia para medir un arco

de meridiano terrestre, lo cual confirmó la teoría de Isaac Newton de

que la Tierra se achataba en los polos. En una memoria que presentó a

la Academia de Ciencias Sueca propuso la escala centígrada de

temperaturas, conocida posteriormente como escala Celsius. La

temperatura se indica, en esta escala, usando la expresión “grados

Celsius” luego del valor de temperatura. Así, 25.0 ºC se lee 25.0

grados Celsius.

La escala Celsius se establece a partir de dos referencias:

Una mezcla de hielo y agua en equilibrio térmico, a presión atmosférica, define la

temperatura de cero grados Celsius (0 ºC), llamada punto de hielo del agua

Una mezcla de agua y vapor de agua en equilibrio térmico, a presión atmosférica, define la

temperatura de cien grados Celsius (100 ºC), llamada punto de vapor del agua

Una vez establecidos estos dos puntos sobre un objeto que nos sirva para medir (por ejemplo, en un

termómetro de mercurio), se divide la longitud entre los dos puntos en cien partes iguales,

correspondiendo cada división a 1 ºC.

http://es.wikipedia.org/wiki/Laponia

http://es.wikipedia.org/wiki/Meridiano

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/Polo

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_Celsius



185 185

ESCALA DE TEMPERATURA FAHRENHEIT

Esta escala de temperatura lleva el nombre de Gabriel Fahrenheit,

físico alemán nacido en 1686 y fallecido en 1736. Diseñó una escala

de temperatura usando una mezcla de agua y sal de cloruro de

amonio, en igual proporción. Esta mezcla tiene un punto de

congelación más bajo y un punto de ebullición más alto que el agua.

La temperatura se indica, en esta escala, usando la expresión “grados

Fahrenheit” luego del valor de temperatura. Por ejemplo, 75.0 ºF se

lee 75.0 grados Fahrenheit.

La ventaja de la escala Fahrenheit es que tiene más divisiones que la escala Celsius. Por ejemplo,

mientras la escala Celsius tiene 100 divisiones entre el punto de congelación del agua (0 °C) y la

ebullición de la misma (100 °C), la escala Fahrenheit tiene 180 divisiones, lo que permite hacer

mediciones más precisas.

CONVERSIÓN DE LAS ESCALAS DE TEMPERATURA EN CELSIUS Y FAHRENHEIT

Consideremos dos recipientes: uno A, que contiene una mezcla de hielo y agua en equilibrio

térmico (congelación), y otro B, que contiene una mezcla de agua y vapor de agua en equilibrio

térmico (ebullición). Ahora se introducen dos termómetros, simultáneamente, uno con escala

Celsius y otro con escala Fahrenheit, primero en el recipiente A y luego en el recipiente B, y se

observa lo siguiente:

a) La lectura del termómetro Celsius en el

recipiente A es 0°, mientras que la

lectura del termómetro Fahrenheit es

32°

b) La lectura del termómetro Celsius en el

recipiente B es 100°, mientras que la

lectura del termómetro Fahrenheit es

212°

Si ubicamos estos dos puntos en un sistema de ejes cartesianos de forma que el eje vertical

corresponda con las lecturas del termómetro calibrado en Fahrenheit y el eje horizontal corresponda

con las lecturas del termómetro calibrado en Celsius, tendríamos el gráfico T(°F) = f [(T (°C)],

como se ilustra en la figura. Ahora, si calculamos la pendiente de esta recta, tenemos:

(

)

http://es.wikipedia.org/wiki/Alemania



186 186

“Aquí se puede ver, que cada grado Celsius de variación en la temperatura existe una variación

equivalente de

grados Fahrenheit.”

Partiendo de este resultado podemos escribir las ecuaciones que nos permitan cambiar la

temperatura de grados Celsius a grados Fahrenheit, y viceversa.

(

) ( )

Recordando las condiciones iniciales, para 0 °C corresponde con 32 °F. Entonces tenemos:

(

) ( )

Para convertir de Celsius a Fahrenheit:

(

) (7.1)

Para convertir de Fahrenheit a Celsius:

(

) ( ) (7.2)

Ejemplo 7.1:

Determine la lectura de un termómetro de escala Fahrenheit cuando otro termómetro de escala

Celsius (en la misma situación) indica 0ºC.

Solución:

Esta lectura en °F será:

(

) (

) ( )

“Es decir que ”

Ejemplo 7.2:

Se utiliza dos termómetros para medir la temperatura en un recipiente de agua hirviendo. Uno de los

termómetros esta calibrado en Celsius e indica una 100 °C, ¿Cuál es la lectura del otro termómetro

si esta calibrado en Fahrenheit?

Solución:

Esta lectura en °F será:

(

) (

) ( )

“Es decir que ”



187 187

Ejemplo 7.3:

En un día “caluroso” en la ciudad de Nueva York la temperatura es 95.0 ºF. Calcular la equivalencia

de esta temperatura en la escala Celsius.

Solución:

Esta lectura en °C será:

(

) ( ) (

) ( )

“Es decir que ”

ESCALA DE TEMPERATURA KELVIN (O ABSOLUTA)

Esta escala fue creada por William Thomson (Lord Kelvin), físico y

matemático británico, nacido en 1824 y falleció en 1907. La base que usó

Kelvin fue la escala Celsius, pero estableció el punto cero de su nueva

escala en – 273.15 °C, a lo que se le llama cero absoluto. La unidad de

medida de temperatura absoluta del Sistema Internacional (SI) es el Kelvin

(sin usar la palabra “grado”).

Si se usa un termómetro de gas, a volumen constante, se puede medir el

cambio de presión (P) del gas en virtud del cambio en temperatura (T). Con

estos datos se podría hacer un gráfico P = f (T), lo que sería una recta

inclinada de pendiente positiva (a mayor temperatura, mayor presión).

Si ahora se usara otro tipo de gas se obtendría

otra recta con diferente pendiente, y así

sucesivamente.

Si proyectamos todas las rectas del gráfico

hacia las temperaturas negativas todas

coincidirían en – 273.15 ºC.

La ecuación para hacer la conversión entre las

escalas Celsius y Kelvin es la siguiente:

(7.3)

(- 273.15)

http://es.wikipedia.org/wiki/William_Thomson



188 188

Ejemplo 7.4:

¿Cuál es la lectura de un termómetro calibrado en Celsius, en una sustancia tiene una temperatura

absoluta de 400 K?

Solución:

Esta lectura en °C será:

“Es decir que ”

7.4 CALOR

Considerando dos cuerpos A y B, que están a diferentes temperaturas. Si estos cuerpos están

aislados de medio ambiente de modo que solo se intercambian energía entre sí, se puede observar

que la energía fluye del cuerpo de mayor temperatura hacia el de menor temperatura. A la

transferencia de energía en la frontera de dos cuerpos debido a la diferencia de temperatura le

llamamos calor. Debemos resaltar que no basta con señalar la palabra energía para el concepto

calor; debemos insistir en la expresión transferencia de energía (compatible con la idea de

proceso, como el trabajo).

Observe que el calor se define en un proceso ó transferencia. Esto significa, como advertíamos al

inicio, que el calor es una variable de proceso (como el Trabajo). Es importante señalar este

intercambio de energía (calor) no provoca que los cuerpos cambien de masa (ninguno de ellos se

pone más pesado ni más ligero).

El calor se transfiere, por tendencia natural (es decir, sin demandar un gasto energético de un

agente externo), desde las altas temperaturas hacia las bajas temperaturas. Por ejemplo, al colocar

una taza de avena “caliente” en un recipiente con agua a temperatura ambiente, el calor se transfiere

desde la avena hacia el agua. También podemos observar el proceso inverso, es decir, que el calor

sea transferido desde las bajas temperaturas hacia las altas temperaturas, pero no por tendencia

natural (es decir, demandando un gasto energético de un agente externo). Por ejemplo, el aire

en el interior de una nevera está a baja temperatura “frío” respecto al aire fuera de la nevera que está

a mayor temperatura “caliente”. En este caso está saliendo calor desde el interior de la nevera hacia

el exterior, pero hay una demanda de energía para operar el motor o compresor de la nevera que es

quien realiza trabajo para que fluya calor de modo “artificial”.

El calor es una cantidad física escalar, generalmente indicado con la letra Q (mayúscula), cuya

unidad de medida en el Sistema Internacional (SI) es el Joule (J), al igual que la Energía. Otras

unidades de calor son: Btu (British thermal unit, que en español es “unidad térmica británica”),

caloría, kilowatt-hora (kWh).



189 189

Algunos factores de conversión útiles, para las unidades de medida comunes del calor, son los

siguientes:

1 Joule = 0.2389 caloría = 9.481 x 10-4

Btu = 2.778 x 10-7

kWh

La cantidad de calor necesario para que un gramo de agua eleve su temperatura de 14.5 °C hasta

15.5 °C se le denomina caloría, esta es una unidad de medida ampliamente usada en

termodinámica, y se indica como “cal” (note que la “c” es minúscula). Hay otra unidad de medida

muy parecida, que puede confundir, y es la caloría nutricional, que equivale a 1000 calorías, y se

abrevia así: “Cal” (note que la “C” es mayúscula), llamada también kilocaloría.

CALOR ESPECIFICO DE UN MATERIAL

El calor se transfiere entre dos cuerpos, en principio, porque éstos están a diferentes temperaturas, y

la tendencia natural de este proceso de transferencia es alcanzar la condición de equilibrio térmico.

Pero se observa que todos los materiales no cambian de temperatura del mismo modo para el mismo

proceso de transferencia de calor. Por ejemplo, si usted sumerge dos cuerpos A y B de materiales

diferentes (A hecho de cobre y B hecho de plomo), de igual masa, y que se encuentran a una

temperatura inicial de 25 ºC. Si luego se introducen durante el mismo tiempo, en un recipiente con

agua a 60 ºC, al sacarlos observará que el aumento de temperatura de A es menor que el de B.

Entonces, alguna diferencia existe entre el cobre y el plomo en cuanto a su forma de reaccionar a

los procesos de transferencia de calor. A esta diferencia se le conoce como calor específico (c) del

material, y se define como la cantidad de calor (Q) que debe recibir una masa (m) unitaria (una

unidad de masa) de dicho material para experimentar un cambio de temperatura ( T) unitario (una

unidad de temperatura).

(7.4)

Mientras mayor sea el calor específico de

un material mayor será la cantidad de calor

que debe suministrarse a una masa de dicho

material para aumentar su temperatura. Por

ejemplo, si colocamos una masa de agua al

sol, y a su lado una masa igual de metal,

observaremos que la masa de metal se

calentará más rápido que la de agua, porque

el agua tiene mayor calor específico que el

metal.

Tabla 7.1

Calor Especifico

(de algunos materiales a 25 °C y presión atmosférica)

Agua (a 15ºC) 1.00 cal / g ºC

Vidrio 0.200 cal / g ºC

Madera 0.410 cal / g ºC

Plomo 0.030 cal / g ºC

Cobre 0.092 cal / g ºC

Alcohol (etílico) 0.580 cal / g ºC

Aluminio 0.215 cal / g ºC



190 190

Ejemplo 7.5

¿Cuál es la variación de temperatura que experimentan 50.0 g de agua, que ha recibido 200 cal?

Solución:

De la definición de calor especifico tenemos:

( ) (

)

Ejemplo 7.6 ¿Cuánto calor es necesario para que 40.0 g de madera experimente un cambio de temperatura de

3.00 °C?

Solución:

De la tabla 7.1, buscamos el calor especifico de la madera y tenemos


( ) (

) ( )

CALOR LATENTE DE UN MATERIAL

El calor transferido está relacionado al cambio en la temperatura, y también puede envolver un

cambio de fase o de estado físico de los cuerpos. Por ejemplo, al poner a calentar agua,

observamos que el agua va aumentando de temperatura mientras el calor está fluyendo hacia ella

desde el fuego. Luego, de alcanzada la máxima temperatura de calentamiento (temperatura de

ebullición), sin importar la cantidad de calor que se suministre al agua ni el combustible utilizado, el

agua no seguirá aumentando su temperatura, sino que empezará a evaporarse (a cambiar de fase).

Si tomamos un sólido y le suministramos calor hasta que este inicie a cambiar al estado liquido

entonces hemos logrado el punto de fusión del material, si continuamos suministrando calor al

mismo material llegaremos a un punto donde inicie el cambio del estado liquido a gas entonces

hemos logrado el punto de evaporación del material; pero si continuamos suministrando calor a

este material se llegara al punto de sublimación del material, en este punto los átomos que

componen la materia se desintegran y se conforman partículas eléctricamente cargas conocidas

como iones y al estado alcanzado se considera el cuarto estado de la materia llamado estado de

plasma. Ahora, cuando un material en estado plasma pierde calor inicia la sublimación regresiva,



191 191

y este pasa del estado plasma al estado gaseoso, si continua la perdida de calor pasa de estado

gaseoso al estado liquido y se logra el punto de condensación, y si continua perdiendo calor

entonces pasa del estado liquido a estado sólido y se ha alcanzado el punto de solidificación.

Para cada cambio de fase de un material existe un calor latente (L) relacionado a ese cambio de

estado. Esto es, la cantidad de calor (Q) que debe recibir una masa (m) de un material para cambiar

de fase. Como un mismo material puede experimentar diferentes cambios de fase, entonces existen

diferentes valores de calor latente para un mismo tipo de material, uno para cada cambio de fase.

Cuando el material pasa por los cambios de

estado sólido hasta el estado plasma (fusión,

evaporación y sublimación) el material gana

calor, y su calor latente será positivo. Ahora,

cuando el material pasa del estado plasma

hasta el estado sólido (sublimación

regresiva, condensación, y solidificación) el

material pierde calor, y su calor latente será

negativo.

(7.5)

Ejemplo 7.7

¿Cuánto calor se necesita para fundir 1.0 g de hielo, se encuentra inicialmente a 0 °C? ¿Cuál es el

incremento en la temperatura?

Solución:

De la tabla 7.2, buscamos el calor latente de fusión del agua

De la tabla 7.1, buscamos el calor especifico del agua

De la definición de calor latente tenemos:

(

) ( )


El calor en calorías es:

( ) (

)

La variación de temperatura es:

( ) (

)

Tabla 7.2

Calor Latente

MATERIAL Fusión Evaporación

Agua 3.33 x 105 J /kg

(hielo)

2.26 x 106 J/ kg

(vapor de agua)

Alcohol (etílico) 1.04 x 105 J /kg 8.54 x 10

5 J /kg

Plomo 2.45 x 104 J /kg 8.70 x 10

5 J /kg

Aluminio 3.97 x 105 J /kg 1.14 x 10

7 J /kg

Cobre 1.34 x 105 J /kg 5.06 x 10

6 J /kg



192 192

Ejemplo 7.8

¿Cuánta masa de plomo se funde si se calienta hasta que acumule 1000 J de calor?

Solución:

De la tabla 7.2, buscamos el calor latente de fusión del plomo

De la definición de calor latente tenemos:

(

)

7.5 TEMPERATURA DE EQUILIBRIO DE UNA MEZCLA

Si ponemos en contacto varios cuerpos con temperaturas diferentes y que se encuentran aislado del

medio ambiente, estos solo transfieren calor entre ellos, alcanzando en un momento dado una

temperatura final que es la misma para todos, la temperatura alcanza por todos los cuerpos se le

conoce como temperatura de equilibrio. Ahora consideremos que tenemos varias sustancias que

podemos mezclar hasta obtener una sola, si inicialmente las sustancias estaban a diferentes

temperaturas, luego de mezclarla la temperatura a la que quedará la mezcla es la temperatura de

equilibrio de una mezcla.

Considerando el principio de conservación de la energía, pero en función al calor tenemos:

∑

Si despejamos el calor de la expresión del calor específico, y sustituimos en la expresión anterior

tenemos:

( )

(7.6)

∑

∑



193 193

Ejemplo 7.9

Se vierten 100 g de agua helada a 15.0 °C, y 10.0 g de alcohol a 20.0 °C en un vaso de vidrio con

una masa de 25.0 g, y una temperatura de 30.0 °C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio del

sistema?

Solución:

Vidrio: ( )

Agua: ( )

Alcohol: ( )

La temperatura de equilibrio será:

( )( ( ))( ) ( )( ( ))( ) ( )( ( ))( )

( )( ( )) ( )( ( )) ( )( ( ))

7.6 DILATACION TERMICA

Un fenómeno muy común, observado como consecuencia de la ganancia o pérdida de calor, es que

las dimensiones (largo, ancho, espesor) de los cuerpos pueden cambiar, a estos cambios de

dimensiones debidas al cambio de temperatura se le denomina dilatación térmica. Si el cambio de

temperatura ( T) no es muy grande (que no excede los 100 ºC) se observa que el cambio en

longitud ( L) es directamente proporcional al cambio en temperatura ( T) y directamente

proporcional a L0

La dilatación lineal está dada por:

(7.7)

La constante de proporcionalidad se identifica

como una característica particular de los materiales

y se llama “coeficiente de dilatación lineal (α)

para el caso de una sola dimensión. Para el caso de

dos dimensiones se habla de “coeficiente de

dilatación superficial (γ)”, y para el caso de tres

dimensiones se habla de “coeficiente de dilatación

Tabla 7.3

Coeficientes de Dilatación Lineal (K-1

ó ºC-1

)

Material Coeficiente “”

Aluminio 2.4 x 10-5

Cobre 1.7 x 10-5

Vidrio 0.4 0.9 x 10-5

Acero 1.2 x 10-5



194 194

volumétrica (β)”. Con una buena aproximación

experimental, podemos asumir que la si conocemos “α”

también conocemos a “γ” y a “β”. Esto es así porque se

cumple que: γ = 2 α y también se cumple que: β = 3 α.

La dilatación superficial está dada por:

(7.8)

La dilatación volumétrica está dada por:

(7.9)

Ejemplo 7.10 Una barra de aluminio tiene una longitud de 25.0 m, ¿Cuál es el cambio de longitud que

experimenta si su temperatura baja de 30.0 °C hasta 0 °C?

Solución:

Longitud: L = 25.0 m

Coeficiente de dilatación lineal del aluminio: = 2.4 x 10-5

ºC-1

Variación de la temperatura:

El cambio en la longitud de la barra es:

( )( )( )

“la barra redujo su longitud 18 milímetros”

7.7 MODELO DEL GAS IDEAL

Ahora consideraremos una masa gaseosa, a la que impondremos una serie de consideraciones con

la finalidad de facilitar su estudio de este modelo molecular, pero mantendremos la cercanía con la

realidad, este modelo le llamaremos gas ideal. En todo gas ideal debe cumplirse que:

Todas sus moléculas son idénticas e indistinguibles

Está compuesto por un gran número de moléculas

El volumen molecular es despreciable a compararlo con el volumen total del gas

Las interacciones entre las moléculas son choques elásticos

La temperatura no debe ser muy baja (para evitar condensación), ni muy alta,

y la presión no debe ser muy alta

Tabla 7.4

Coeficientes de Dilatación Volumétrica

Sólidos “”(K-1

ó ºC-1

)

Aluminio 7.2 x 10-5

Cobre 5.1 x 10-5

Vidrio 1.2 2.7 x 10-5

Acero 3.6 x 10-5

Líquidos

Etanol 75 x 10-5

Disulfuro de

carbono

115 x 10-5

Glicerina 49 x 10-5

Mercurio 18 x 10-5



195 195

Una vez establecido este modelo de gas ideal podemos expresar algunas de las relaciones entre: la

presión del gas, el volumen del gas y la temperatura del gas.

LEY DE BOYLE

Fue descubierta por Robert Boyle en 1662. Edme Mariotte también llegó a la misma

conclusión que Boyle, pero no publicó sus trabajos hasta 1676. Esta es la razón por la que en

muchos libros encontramos esta ley con el nombre de Ley de Boyle y Mariotte.

“La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente

proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante”

(7.10)

LEY DE CHARLES

Esta con frecuencia es llamada ley de Charles y Gay-Lussac, es una de las leyes de

los gases ideales que relaciona el volumen y la temperatura.

“La ley de Charles establece que la Temperatura de un gas en un recipiente cerrado es

directamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la presión es constante”

(7.11)

LEY DE CHARLES

Fue enunciada por Joseph Louis Gay-Lussac a principios de 1800. Establece la relación

entre la temperatura y la presión de un gas cuando el volumen es constante.

“La ley de Charles establece que la Temperatura de un gas en un recipiente cerrado es

directamente proporcional a la presión, cuando el volumen es constante”

(7.12)

Ejemplo 7.11

Considere un gas ideal sometido a 1.50 atm de presión, ocupando un volumen de 3.00 L. Si la

temperatura se mantiene constante, ¿Cuál será el nuevo volumen si la presión aumenta a 2.00 atm?

Solución:

Al inicio tenemos:

Luego:

Aplicando la Ley de Boyle:

( ) (

) ( )

http://enciclopedia.us.es/index.php/Jacques_Charles

http://enciclopedia.us.es/index.php/Joseph-Louis_Gay-Lussac

http://enciclopedia.us.es/index.php/Gas_ideal

http://enciclopedia.us.es/index.php/Volumen

http://enciclopedia.us.es/index.php/Temperatura



196 196

Ejemplo 7.11 Si un gas ideal ocupa un volumen de 2.00 L a una temperatura de 300 K, cuando la presión es

constante la temperatura cambia a 350 K, ¿Cuál será el nuevo volumen?

Solución:

Al inicio tenemos:

Luego:

Aplicando la Ley de Charles:

(

) (

) ( )

Ejemplo 7.12 Un gas ideal está a una presión de 1.60 atm, y a una temperatura de 300 K. Cuando el volumen se

mantiene constante, la presión cambia 2.50 atm, ¿Cuál es la nueva temperatura?

Solución:

Al inicio tenemos:

Luego:

Aplicando la Ley de Charles:

(

) (

) ( )

ECUACION DE ESTADO DEL GAS IDEAL

Las tres relaciones anteriores se agrupan en una sola expresión, conocida como la Ecuación de

estado de los gases ideales.

(7.13)

Donde:

- n representa la cantidad de sustancia en mol. Un mol es la cantidad de sustancia que

contiene tantas unidades elementales como átomos hay en 12 gramos de Carbono 12. El

número de unidades elementales presentes en un mol es equivalente a 6.02 x 1023

. Este

número se conoce como número de Avogadro. Al observar este número podemos entender

mejor que la cantidad de moléculas de un gas ideal es enorme.

- R es la constante universal de los gases ideales, cuyo valor, en unidades del SI, es 8.314

J/mol K. Usando otras unidades: R = 0.08206 L atm / mol K



197 197

Ejemplo 7.13

¿Cuál es el volumen que ocupa un mol de un gas ideal que se encuentra a 273 K, y una presión de

1.00 atm?

Solución:

Usamos la ecuación de estado:

( ) (

) ( )

Es importante resaltar que el producto “PV” tiene unidades de energía (Joule, en el SI). Por tanto, la

ecuación de estado de los gases ideales nos informa acerca de la cantidad de energía de un gas ideal

para un estado particular. Dicho estado está definido por una presión, un volumen, y una

temperatura (todas variables de estado). Ahora deberíamos entender más claramente la idea de

“estado” que hemos venido manejando para energía y para temperatura.

Más exactamente, el producto

“PV” nos informa acerca de la

energía interna del gas ideal. Si

hacemos una comparación con el

estudio del movimiento, tenemos:

Es prudente llamar la atención al hecho de que el gas ideal es una aproximación muy simplificada

de la realidad. Por tanto, se considera que en su interior no se verifican enlaces entre las moléculas,

luego, no hay energía de enlace (no hay energía potencial). En consecuencia toda la energía interna

es de tipo térmico y depende de la temperatura. Pero en los gases reales (no ideales) la situación

empieza a cambiar (hay enlaces entre las moléculas) y ya la energía interna no puede ser igualada a

la energía térmica

PROCESOS ESPECIALES DE INTERCAMBIO DE CALOR

Cuando estamos estudiando el gas ideal, son de mucho interés algunos procesos termodinámicos

particulares. Si en un proceso no existe pedida ni ganancia de calor este es un proceso adiabático,

si durante el proceso la temperatura no se altera (se mantiene constante), se estable que es un

proceso isotérmico. Cuando es el volumen que se mantiene constante, entonces es un proceso

isovolumetrico o isocorico, y cuando la presión es que se mantiene constante es un proceso

isobárico.

Estudio del Movimiento Estudio del Calor

Energía mecánica = EM Energía interna = EI

Energía cinética = K = EC Energía térmica

(relacionada a la temperatura)

Energía potencial = U = EP Energía de enlace



198 198

En un gráfico P = f (V) como el mostrado, la recta horizontal representa proceso a presión constante

(isobárico), mientras que la vertical representa proceso a volumen constante (isocórico o

isovolumetrico). La curva hiperbólica azul representa proceso a temperatura constante (isotérmico),

mientras que la curva cuasi-hiperbólica negra representa proceso sin ganancia ni perdida de calor

(adiabático).

Aunque todos estos procesos son ideales, los estudiamos porque nos facilitan en mucho estudio de

los procesos reales, y nos permiten hacer cálculos que están bastante cercanos de los valores

experimentales. Por ejemplo, para estudiar el funcionamiento de un motor de combustión, así como

el funcionamiento de un refrigerador, nos basamos en los procesos anteriores para construir un

nuevo proceso ideal llamado “Ciclo de Carnot” (ver Física General).

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150

Isobárico

Isocórico

Isotérmico

Adiabático



199 199

RESUMEN

La parte de la física que se encarga del estudio del calor y la temperatura desde el punto de vista

macroscópico es la Termodinámica, la cantidad física escalar utilizada para determinar el

equilibrio térmico es la Temperatura. El Termómetro es un instrumento de medición que

experimenta un cambio (preferiblemente proporcional) en alguna de sus propiedades físicas en

virtud de un cambio en la temperatura.

Existen varias escalas para medir temperatura, entre las que tenemos la escala Celsius, Fahrenheit y

Kelvin. Conversión de temperaturas:

(

) (

) ( )

La Ley cero de la Termodinámica establece el equilibrio térmico sin la necesidad del contacto

físico entre los cuerpos que se transfieren energía.

El Calor es la energía transferida como consecuencia de la diferencia en temperatura, y se mide en

Caloría, esta es cantidad de calor que a suministrarse a un gramo de agua para producirle un

aumento de temperatura de 14.5ºC a 15.5 C (se abrevia así: “cal”). En una caloría nutricional se

tiene el equivale a 1000 calorías (se abrevia “Cal”) llamada también kilocaloría.

La cantidad de calor por unidad de masa para que se experimente un cambio de temperatura unitario

se denomina Calor específico y se indica como “c”

Calor latente (L): cantidad de calor que debe recibir una masa unitaria para cambiar de fase. Hay

diferentes “L”, uno para cada cambio de fase:

La temperatura de equilibrio (Tf) de una mezcla:

[ ]

El aumento o disminución de temperatura que experimenta un cuerpo producen cambios en sus

dimensiones a estos cambios se le conoce como Dilatación térmica, y puede ser:

- Lineal

- Superficial

- Volumétrica

Un gas ideal está regido por tres leyes fundamentales:

Ley de Boyle: si T = constante, entonces

Ley de Charles: si la P = constante,

Ley de Gay-Lussac: si el V = constante,

Estas tres leyes unidas conforman la ecuación de estado de los gases ideales:

“mol” (n): cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 12

gramos de Carbono 12 = 6.02 x 1023

(llamado “número de Avogadro)



200 200


1. Haga las conversiones de temperatura siguientes:

a. 37.0 ºC a la escala Fahrenheit.

b. 640 K a la escala Celsius

c. 96.0 °F a la escala Kelvin

d. 100 °C a la escala Kelvin

e. 300 K a la escala Fahrenheit

f. 85.0 °F a la escala Celsius

2. Un gas ideal se mantiene a presión constante, si este tiene un volumen inicial de 10.0 L cuando

su temperatura es 5.00 °C, y luego se le suministra calor hasta que su volumen es 15.0 L, ¿Cuál

es la temperatura final del gas?

3. ¿Cuánto calor debe suministrarse a una masa de 100 g de agua para provocarle un aumento de

temperatura 5.00 ºC?

4. Un cantinero prepara un trago con 200 g de agua tónica a 10.0 °C, 30.0 g de ron a 5.00 °C y

20.0 g de hielo a 0 °C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio de esta mezcla?

5. ¿Cuánto calor (en calorías y en Joule) es requerido para elevar la temperatura de 12 kg de

plomo, desde 80 °C hasta 180 °C?

6. ¿Qué cantidad de calor se libera cuando 50 g de agua, en un vaso de aluminio de 40 g,

descienden su temperatura desde 60 °C hasta 20 °C?

7. Se tiene un tanque que contiene 20.0 g de agua a 10 °C. ¿Cuántas kilocalorías absorbe cuando

su temperatura sube hasta 40 °C?

8. Un recipiente de hierro de 2 kg contiene 500 g de agua, ambos a 25 °C. ¿Cuántas calorías se

requieren para elevar la temperatura hasta 80 °C?

9. En un recipiente se han colocado 10 kg de agua a 9 °C. ¿Qué masa de agua hirviendo es

necesario agregar al recipiente para que la temperatura de la mezcla sea de 30 °C?

10. Se mezclan 30 kg de agua, a 60 °C, con 20 kg de agua a 30 °C. ¿Cuál será la temperatura de

equilibrio de la mezcla?

11. Una masa de gas se encuentra a la presión de 4 atm. y volumen de 6 litros. ¿Cuál será su nuevo

volumen si duplicamos la presión, manteniendo constante la temperatura?

12. Se dispone de un gas a 300 K cuyo volumen es de 20 L ¿Qué volumen ocupará cuando la

temperatura sea de 200 K si mantenemos constante la presión?



201 201

13. ¿Qué presión tendrá un gas a 100 °C, si a 150 °C tiene una presión de 1.5 atmosferas,

manteniendo constante el volumen?

14. Si tenemos 1.0 mol de un gas, a 1.0 atmosfera de presión, a 0 °C ¿Cuál será su volumen?

15. La sales de nitrato (NO3) al calentarse producen nitritos (NO2). Una muestra de nitrato de

potasio se calienta de manera que el gas O2 producido se recolecta en un matraz de 750 mL. La

presión de este gas en el matraz es de 2.8 atmosferas y la temperatura medida es de 53.6 °C

¿Cuántos moles de O2 se han producido?

Date post:	13-May-2023
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Libro Fisica Basica

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