NOTAS COMPLEMENTARIOAS DECURSOS SIMILARES, A SEGUIR
• Constantinou M. (2013), Structural Dynamicand Earthquakes Enginnering. University at Buffalo, USA.
• Jerome P. (2004), Structural Dynamic, University of Michigan, USA
Dr. Roberto Aguiar 319/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
CLASE 2
VIBRACIONES LIBRES EN
SISTEMAS DE UN GRADO DE
LIBERTAD
419/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
EQUILIBRIO ESTÁTICO
FR = k*d
k
P.I.
dP.E.E.
m
M*g
(1) (2)
SF = 0
m*g = k*d
519/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
SF = 0
P.E.E.
(3)
m
c
𝑞0, 𝑞0
K*(q+d)
m
m*g
FA = c ∗ q
m ∗ q
(4)
k ∗ q + δ + c ∗ q − m ∗ g + 𝑚 ∗ q = 0k ∗ q + k ∗ δ + c ∗ q − m ∗ g + m ∗ q = 0
𝐦 ∗ 𝐪 + 𝐜 ∗ 𝐪 + 𝐤 ∗ 𝐪 = 𝟎 619/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
VIBRACIÓN LIBRE
𝐦 ∗ 𝐪 + 𝐜 ∗ 𝐪 + 𝐤 ∗ 𝐪 = 𝟎
Definiciones:
Wn =k
m T =2π
Wnξ =
c
2 𝑚 ∗ 𝑘
Al dividir para “m”
𝐪 +𝒄
𝒎∗ 𝐪 +
𝒌
𝒎∗ 𝐪 = 𝟎 c
m=
c ∗ 2 m ∗ k
2 m ∗ k ∗ m= 2ξWn
𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 +𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎
719/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 +𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎
q t = a ∗ 𝑒𝜆.𝑡
𝜆 = −𝜉𝑊𝑛 ±𝑊𝑛 𝜉2 − 1
• Vibración Libre sin Amortiguamiento x = 0
• Vibración Libre Sub Amortiguada 0 x 1
• Vibración Libre Sobre Amortiguada x 1
• Vibración Libre Críticamente Amortiguada x = 1
919/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
𝐪 𝐭 = 𝐀 𝐂𝐨𝐬 𝑾𝒏 ∗ 𝒕 + 𝑩 𝑺𝒆𝒏 𝑾𝒏 ∗ 𝒕
q t = 𝐶 ∗ 𝑆𝑒𝑛 𝑊𝑛 ∗ 𝑡 + 𝛾
𝛾 = 𝑡𝑔−1𝐵
𝐴𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2
1019/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
VIBRACIÓN LIBRE SUB AMORTIGUADA
q t = 𝑒−𝜉𝑊𝑛𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑊𝑎𝑡 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑎𝑡
Primera forma:
q t = 𝑒𝑥𝑝 −𝜉𝑊𝑛𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑊𝑎𝑡 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑎𝑡
Segunda forma:
q t = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 −𝜉𝑊𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛 −𝜉𝑊𝑎𝑡 𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2
1219/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
VIBRACIÓN LIBRE SOBRE AMORTIGUADA
𝐪 𝐭 = 𝑨 𝒆𝒙𝒑 −𝝃𝑾𝒏 +𝑾𝒏 𝝃𝟐 − 𝟏 𝒕 + 𝑩 𝒆𝒙𝒑 −𝝃𝑾𝒏 +𝑾𝒏 𝝃𝟐 − 𝟏 𝒕
1319/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
VIBRACIÓN LIBRE CRITICAMENTE AMORTIGUADA
𝐪 𝐭 = 𝑨𝒕 + 𝑩 𝒆𝒙𝒑 −𝑾𝒏 𝒕
1419/02/2014
IMPORTANCIA DE ESTUDIAR VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
• ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA.
• ENERGÍA DISIPADA
• INTODUCCIÓN A DISIPADORES DE ENERGÍA QUE TRABAJAN A FRICCIÓN
Dr. Roberto Aguiar 1519/02/2014
ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA
𝐪 𝐭 = 𝐀 𝐂𝐨𝐬 𝑾𝒏 ∗ 𝒕 + 𝑩 𝑺𝒆𝒏 𝑾𝒏 ∗ 𝒕
Dr. Roberto Aguiar
1619/02/2014
VIBRACIÓN LIBRE EN SISTEMAS DE 1GDLSIN AMORTIGUAMIENTO PERO CON FRICCIÓN
Dr. Roberto Aguiar1919/02/2014
APLICACIÓN DE RESORTES EN SERIEAISLADORES SÍSMICOS
2
2
1
1R
Wk
R
Wk DD ==
Dr. Roberto Aguiar
2819/02/2014
RESORTES EN SERIE
21
21
12
21
21
21
**
RR
W
RR
WRWR
R
W
R
W
R
W
R
W
R
W
R
W
kD
=
=
=
KF
KF*q
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
Dr. Roberto Aguiar
2919/02/2014
ENERGÍA DISIPADA
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
ED
Dr. Roberto Aguiar
3019/02/2014
ENERGÍA ELÁSTICA
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
KF*q
EL
KF
Dr. Roberto Aguiar
3119/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO x
Δ𝜉 = 𝑙𝑛𝑞 𝑡
𝑞 𝑡+𝑛𝑇𝑎=
2 𝜋 𝑛 𝜉
1−𝜉2
3419/02/2014
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR
MATERIAL Y/O SISTEMA
ESTRUTURAL
NIVEL DE ESFUERZOS O DEFORMACIONES x (%)
Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1
Sistemas de tuberías que pueden vibrar
libremente
Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 1 a 2
Cercanos a sy, sin excederlo 2 a 3
Sistemas estructurales de acero soldado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3
Cercanos a sy, sin excederlo 5 a 6
Concreto Pretensado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3
Cercanos a estados últimos, sin perdida de pretensión. 5 a 7
Sin pretensión residual 7 a 10
Sistemas estructurales de Hormigón
Armado
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible 2 a 3
Agrietamiento visible generalizado 3 a 5
Cercanos a estados últimos 7 a 10
Estructuras de acero apernadas Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 5 a 6
Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12
Sistemas estructurales de madera, con
elementos clavados o apernados
Esfuerzos admisibles 5 a 7
Cercano a estados últimos, con juntas apernadas 10 a 15
Estado de agotamiento con juntas clavadas 15 a 20
3619/02/2014
Factor de amortiguamiento equivalente
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
ED
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
KF*q
EL
KF
L
Deq
E
E
x
4=
Dr. Roberto Aguiar
3719/02/2014