UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MOVIMIENTO ARMONICO

SIMPLE

MOVIMIENTO ARMONICO

SIMPLE

Ing. JORGE COSCO GRIMANEYIng. JORGE COSCO GRIMANEY

CEPRE UNI

Son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza

La partícula se desplaza entre dos posiciones extremas siguiendo la misma trayectoria en torno a un punto de equilibrio

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

x

y

0

PE

N

mg

Fek

x

Es aquel movimiento que a intervalos

regulares de tiempo se repiten los

valores de las magnitudes que lo

caracterizan, El tiempo regular se

denomina periodo.

MOVIMIENTO PERIODICO

MOVIMIENTO PERIODICO

Es el movimiento en que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. De todos los movimientos armónicos, el más sencillo es el Movimiento Armónico Simple

MOVIMIENTO ARMONICO

CAUSAS DE LA OSCILACION

La causa del movimiento oscilatorio es la fuerza restauradora que aparece cuando se saca el cuerpo de su posición de equilibrio

TIPOS DE EQUILIBRIO

El equilibrio es estable si el cuerpo, al apartarse de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la fuerza de recuperadora. Ejemplo: El péndulo, la plomada, una campana colgada.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLEEs un movimiento rectilíneo, periódico y oscilante de unapartícula que ocurre debido a la acción de una fuerzarecuperadora, de la forma -Kx en donde su posición varía con el tiempo y se representa con una función seno o coseno

Función seno

t

POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD

x=-A x=0 x=Ax(t)

x(t)Elongación

Elongación Es la posición de la partícula medida desde la PE. Amplitud de oscilación (A) Es la máxima elongación, es decir: xmax= A

PARAMETROS EN EL MAS

PARAMETROS EN EL MAS

Periodo (T) Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa

Frecuencia () Es el número de vibraciones por unidad de tiempo =1/T

Frecuencia angular ()Es el número de periodos comprendidos en 2 π segundos. En el S.I. se mide en rad/s .

Se expresa : = 2 / T = 2

Fase del movimiento (t + )Es el argumento de la función seno o coseno

Fase inicial ()Esta relacionada con las condiciones iníciales del movimientoes decir nos da información sobre la posición y velocidad en el instante t0 = 0

t=0

Fase inicial de la función Seno ()

MAS y MCU

Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.

Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre una circunferencia, su proyección sobre el diámetro coincide con la posición de un objeto que describe un MAS sobre ella.

t=0

Cada revolución en el MCU se convierte en una oscilación en el MAS

La proyección del vector velocidad del MCU sobre el diámetro da lugar al vector velocidad del MAS

La proyección del vector aceleración normal del MCU sobre el diámetro da lugar al vector aceleración del MAS

MAS y MCU

v

na

v

a

CINEMATICA DEL MAS

Consideremos una partícula que se mueve con un MAS en el eje X, como se muestra en la figura.

0+A-A

v=0 v=0v máx.

-X +X

P.EZona de movim iento

Se mide desde el centro (0), que corresponde a la posición de equilibrio (PE). Alcanza sus máximos (amplitud) en los extremos de la trayectoria. Donde A y –A es la amplitud máxima

X(t) = A Sen (wt + φ1) o

X(t) = A Cos (wt + φ2)

POSICION DE LA PARTICULA

La posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple puede ser determinada por una ecuación de movimiento

La partícula describe un movimiento armónico simple

POSICION DE LA PARTICULA

(t + ) : Es el argumento de la función armónica (en radianes) y

: Fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto (xo) donde se empieza a medir el tiempo (to = 0).

VELOCIDAD DE LA PARTICULA

v

v(t) = ωA Cos (ωt + φ)

ACELERACION DE LA PARTICULA

Siempre señala hacia la PE. Su magnitud es proporcional a la posición del móvil.

a(t) = - ω2A Sen (ωt + φ)

a(t) = - ω2 X(t)

Ecuaciones cinématicas

Posición:

Velocidad :

Aceleración :

( ) ( )x t Asen wt

( ) cos( )v t wA wt

2 2( ) ( )a t w Asen wt w x

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Fasorxva.gif

Gráficas de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, para el caso ( = 0 )

x=-A x=0 x=A x(t)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

v

sen(t+) = cos(t+ - /2)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

0 T/4 T/2 3T/4 T

x(t)

t-A

A

GRÁFICA posición - tiempo

sen(t+) = cos(t+ - /2)

x=-A x=0 x=A x(t)

v

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

A/2

sen(t+150) = cos(t+150 -/2)

x=-A x=0 x=A x(t)

v

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

v

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

x=-A x=0 x=A x(t)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

v

x=-A x=0 x=A x(t)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

v

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.

El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

RESUMEN de CINEMATIVA DEL MAS

DINAMICA DEL MAS

La fuerza recuperadora sobre el móvil es proporcional a su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio

Sistema Masa- Resorte Horizontal

Estudiemos la oscilación de un cuerpo de masa m, unido a un resorte de constante elástica k y masa despreciable denominado oscilador armonico simple.

x

y

0

PE

N

mg

Fek

x

El sistema cuerpo-resorte realiza oscilaciones armónicassimples sobre una superficie horizontal sin fricción.La fuerza restauradora es elástica,

Como la masa se mueve con MAS, entonces:

ax = - 2x

Planteando la segunda Ley de Newton para el movimiento del cuerpo:

Fres = Felást = -kx = m ax = m(-2x)= -m 2x

Comparando: k x = m 2 x

kw

m

PE

y

y

A

-A

PE

mg

-k(+y)

-k

mg

SISTEMA MASA - RESORTE VERTICAL

k

wm

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICAEN EL MAS

Consideremos el sistema masa-resorte y la fuerza del tipo conservativo

0

yk

x

PEx

v

2 21 1

2 2m c peE E E mv kx

2 2 21 1

2 2 mE kA m A

T

21

2peE kx

21

2kE mv

21

2kA

=0

21

2peE kx

21

2kE mv

2 2 21 1

2 2 mE kA m A

24

1

2

1Ep

2

1

2

1

2

1EcEp la que para ¿?x

4

3

2

1

4

3

4

3

2

1)

4(

2

1)(

2

1

4

1

2

1

4

1

42

1

2

1 Ep

2

222

222

222

22

2

AxkAkxkAEm

EmkAA

kA

AkxAkEc

EmkAA

kkxA

x

-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)

Energías E. POTENCIAL

E. CINÉTICA

E. MECÁNICA

ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES EN EL MAS

La fuerza elástica que origina un M.A.S. es conservativa. La energía potencial elástica que lleva asociada es nula en el centro de la trayectoria y máxima en sus extremos.

La energía cinética en el M.A.S. varía continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en sus extremos.

Dado el carácter conservativo de la fuerza elástica, la energía mecánica total del cuerpo permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

RESUMEN de ENERGIA del MAS

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

PENDULO SIMPLE

Fres = - mgsen

2( )res

mgF x ma m w x

l

Para oscilaciones pequeñas

22

lT

w g

x

L

El periodo de oscilación no depende de la masa ni del Angulo α

( ) ( )At sen wt

( ) cos( )At w wt

2( ) ( )At w sen wt

ECUACIONES DEL PENDULO SIMPLE