Movimiento Armónico

Simple (M.A.S)

Se llama Movimiento vibratorio u Oscilatorio al desplazamiento de una partícula entre dos extremos de forma repetitiva (Vaivén) siguiendo alguna ley periódica

El Movimiento Armónico Simple (MAS)Un tipo de movimiento vibratorio causado por la

proyección de un Movimiento Circular Uniforme (MCU) en una recta lineal.

NOTA: El movimiento armónico simple, se le llama SIMPLE porque proviene de un Movimiento Circular

Uniforme, el cual posee velocidad constante de rotación. Si el movimiento circular NO tiene velocidad

constante (pudiendo ser acelerado o variado), la proyección que genera forma el llamado Movimiento

Armónico Complejo (MAC), cuyo estudio es semejante al primero pero teniendo en cuenta al cambio de la

velocidad en el tiempo aplicado en las diversas formulas del mismo.

FORMAS DE REPRESENTAR LA

PROYECCIÓN

1. Consiste en tomar un diámetro cualquiera de la circunferencia

de un Movimiento Circular (MCU), y prolongar sobre esta recta la componente vertical de

la partícula. El Movimiento Circular se reducirá a un

movimiento de vaivén en la recta.

2. En el caso de una partícula A que rota en el eje de un motor, el

Movimiento Circular Uniforme (MCU) que se genera, es alumbrado desde

arriba por una fuente de luz, produciéndose la proyección de la

sombra de la partícula A en el punto B en la superficie de la mesa. La luz esta dispuesta de modo que solo se vea una línea fina del movimiento del vaivén (la luz cae perpendicular a la mesa). Este

ultimo es el Movimiento Armónico Simple (MAS).

NOTA: Este ejemplo, al igual que muchos otros, demuestra que las

proyecciones deben de ser perpendiculares al movimiento de

rotación, para que desde el punto de vista del observador se vea una recta

fina en forma de vaivén.

PARTES DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

OSCILACIÓN SENCILLA: Es el movimiento de un extremo al otro

de la trayectoria.

FRECUENCIA (f): Es la cantidad de oscilaciones completas que la partícula realiza en la unidad de tiempo ( 1 segundo). Se sigue

cumpliendo que: f=1/T

OSCILACIÓN COMPLETA: Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria y regreso hasta el

punto de partida, es decir, una oscilación completa es igual a dos

oscilaciones sencillas

PUNTO DE EQUILIBRIO: Es el punto central de la trayectoria de la

partícula

ELONGACION (x): Es la distancia que separa la partícula

de su posición de equilibrio

AMPLITUD (A): Es la máxima elongación posible y equivale a la

distancia entre el punto de equilibrio y uno de los puntos de

retorno

PERIODO (T): Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación

completa.

PUNTO DE RETORNO: Son los extremos de la trayectoria que limitan

al movimiento de la partícula

ELONGACIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS:

Si la elongación del Movimiento Armónico Simple, se representa según avanza el tiempo, se obtiene una grafica periódica que

corresponde a una función trigonométrica del tipo SENO o COSENO.

De igual modo, si se considera además la velocidad lineal y la aceleración Centrípeta de la partícula al mismo tiempo que

transcurre la elongación, se obtiene los siguientes registros:

Variables de las formulas

anteriores:

NOTA: En las formulas de aceleración, aparece un signo (-) el cual indica que apunta siempre en dirección contraria a la velocidad, para hacer que la

partícula regrese al punto de equilibrio

X=ElongaciónV=Velocidad Lineal

a= Aceleración centrípetaA= Amplitud

W=Velocidad angulart= Tiempo transcurrido

CARACTERISTICAS

La velocidad de la partícula es mayor mientras mas lejos se encuentra de los puntos de retorno, siendo

máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y mínima (cero) en los puntos de retorno.

La aceleración de las partículas es mayor mientras mas lejos se encuentra del punto de equilibrio, siendo máxima en los puntos de retorno y mínima (cero) en

el punto de equilibrio.

IMPORTANTE: Las formulas de Velocidad y Aceleración descritas en la tabla anterior, son

consecuencias de la grafica inicial de elongación, ya que de esta se derivan las demás. Sin embargo las mismas formulas también se puede expresar como:

• Por este motivo se cumple la siguiente regla general:

Esto se debe a que: las graficas del Seno y del Coseno son iguales en su forma, y solo se encuentran desfasadas entre si por un valor de π/2 o 90°

Si la elongación se expresa en forma de Seno entonces su velocidad esta en términos de Coseno y su aceleración en Seno, y viceversa: si la

elongación se expresa en forma de Coseno, entonces su velocidad esta en términos de Seno y su aceleración en Coseno.

Decidir entre el uso del Seno o el Coseno para expresar la elongación, depende del instante en que se comienza a

contar una oscilación completa: si es desde el punto de equilibrio (como en la ilustración) es un grafica

senosoidal, y si se inicia desde algún punto de retorno, la grafica es del tipo cosenoidal.

En todo caso, cualquier forma de la gráfica describirá el Movimiento Armónico Simple de la partícula y sus

propiedades particulares, ya que ambas formas son validas.

FUERZA RECUPERADORA

Es la fuerza que tiende a llevar la partícula a su punto de equilibrio. Su formula es:

La fuerza recuperadora posee las mismas características de la aceleración: Es mayor

mientras mas lejos se encuentre la partícula del punto de equilibrio, siendo máxima en los

puntos de retorno (FR= m x A x w2) y mínima en el punto de equilibrio (FR=0)

Como la Energía Total (E) del sistema es la suma de las energías cinéticas (k) y

potencial (Ue), se tiene que:

Mientras la partícula oscila, esta posee Energía Cinética (k) en forma de

movimiento y Energía Potencial Elástica (Ue) con respecto al punto de equilibrio:

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

CASOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. Masa suspendida en un resorte Un extremo de un resorte es atado a una masa y el otro extremo a un punto fijo. La masa se puede disponer horizontalmente (en una superficie libre de fricción) pero también verticalmente desde una viga. Si ‘’m’’ es la masa de la partícula y ‘’k’’ es la constante de elasticidad del resorte, entonces el periodo ‘’T’’ del MAS es:

2. Péndulo Simple El péndulo simple es una masa sujeta a una cuerda o cable que oscila desde un punto fijo con un ángulo pequeño (<15°). Si ‘’L’’ es la longitud de su cuerda y ‘’g’’ es la aceleración gravitacional, la formula de su periodo ‘’T’’ de oscilación es:

Leyes del péndulo: El periodo del péndulo simple es:1) Directamente proporcional a la

raíz cuadrada de su longitud.2) Inversamente proporcional a la

raíz cuadrada de la aceleración gravitacional.

3) Independiente de la masa del péndulo.

4) Independiente de la amplitud mientras sea pequeña.

Formula de la Fuerza Recuperadora

en un péndulo simple

AHORA PUEDES RESOLVER ALGUNOS

PROBLEMAS