Movimiento Armonico Simple (1)

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE1. Si consideramos la solución del MAS: x=ACos(t+) ¿Cuál es la

constante de fase ?. Si la posición de la partícula oscilante en el instante t=0 es: a) 0, b) –A, c) A, d) A/2

SOLUCIONx=ACos(t+) t=0 x=ACos()

a) x=0 ACos()=0 =/2b) x=-A ACos()=-A Cos()=-1 = radc) x=A ACos()=A Cos()=1 =0d) x=A/2 ACos()=A/2 Cos()=1/2 =/3 rad

2. Un MAS tiene la gráfica que se muestra en la figura. Determinar las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración.

SOLUCION De la figura:

A=5 cm 1,5T=1,8 s de donde la frecuencia angular:

T=2πω =

2πT =

2π6/5=

5π3 rad/s

Puesto que el movimiento empieza en el extremo y=5, =π2 rad

Las ecuaciones en función del tiempo:

Ing. Orlando Paredes Acuña (949229274) 1


Posición: x=ASen¿ x=5Sen( 5πt3

+ π2 ) cm=5Cos( 5πt

3 ) cm

Velocidad: v=dydt =ACos¿ v=

25π3 Cos( 5πt

3+ π

2 ) cm/s

v=-25π

3 Sen( 5πt3 ) cm/s

Aceleración: a=dvdt =-A2Sen¿ a=-125π2

9 Sen( 5πt3

+ π2 ) cm/s2

a=-125π2

9 Cos( 5πt3 ) cm/s2

3. Se sabe que una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la velocidad máxima es 2 m/s y la aceleración máxima es de 4 m/s2

determine la frecuencia angular y la amplitud del movimiento.SOLUCION

La velocidad máxima: vmax=A=2 La aceleración máxima: amax=A2=4

Dividimos ambas expresiones: Aω

A ω2=24 =2 rad/s

La frecuencia angular: =2 rad/s

La amplitud: A=2ω=

22=1 m

4. Un oscilador armónico consta de una masa de 0,2 kg y un resorte ideal con una constante de fuerza k=140 N/m. Calcular: a) El periodo. b) La frecuencia de vibración. c) La frecuencia angular.

SOLUCIONDatos: m=0,2 kg k=140 N/ma) La constante elástica: k=m2 140=0,22 =26,46 rad/s

El periodo: T=2πω =

2π26,46=0,2375 s

b) La frecuencia: f=1T=

10,2375=4,21 Hz

c) La frecuencia angular: =26,46 rad/s5. Un objeto está animado de MAS con un periodo de /2 s y amplitud

A=0,4 m. En t=0 el objeto está en x=0. ¿A qué distancia está de la posición de equilibrio en t=/10 s?.



SOLUCION


π2 =4 rad/s La amplitud: A=0,4 m

La ecuación del movimiento: x=ASen(t+) pero t=0 x=0

=0 x=0,4Sen(4t) Para t=π10 s x=0,4Sen( 4 π

10 )=0,38 m

6. La posición de una partícula viene dada por x=(5 cm)Cos(4t) en donde t está dado en segundos. ¿Cuál es: a) La frecuencia de vibración. b) El período. c) La amplitud del movimiento de la partícula. d) ¿Cual es el primer instante después de t=0 en que la partícula está en su posición de equilibrio?. ¿En que sentido se está moviendo en ese instante?

SOLUCION Datos: x=(5 cm)Cos(4t)a) La frecuencia de vibración: =4 rad/s b) El periodo: c) La amplitud del movimiento: A=5 cmd) x=(5 cm)Cos(4t)= x=(5 cm)Sen(4t+/2)

Esto indica que el movimiento se inicia en el extreme. El tiempo de viaje de un amplitud es: moviéndose a la izquierda.

7. Una barra de 1 m de longitud y 3 kg de masa oscila suspendida de uno de sus extremos. Hallar el periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud angular.

SOLUCION Datos: L=1 m m=3 kg

Péndulo físico: T=2√ Imgh



Donde: I=I0+mh2=mL2

12 +m( L2 )2

=mL2

3 =33=1 kg.m2 h=

L2=

12 m

Luego: T=2√ 1

3 g( 12 )=1,64 s

8. Una masa se fija en el extremo libre de un resorte vertical cuya constante es k=500 N/m. Si la masa se desplaza 5 cm de su posición de equilibrio y se suelta cuando t=0 oscila con una frecuencia de 12 Hz. Escribir las ecuaciones del desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo. Calcular también el valor de la masa oscilante.

SOLUCION

Datos: k=500 N/m A=0,05 m f=12 Hz =π2 rad

(se suelta desde el extremo) La frecuencia angular: =2f=2(12)=24 rad/s La masa oscilante: k=m2 500=m(24)2 m=0,0879 kg Las ecuaciones en función del tiempo:

Posición: x=ASen¿ x=0,05Sen(24 πt+ π2 ) m

x=0,05Cos(24t) m

Velocidad: v=dydt =ACos¿

v=1,2Cos(24 π t+ π2 ) m/s v=-1,2Sen(24t) m/s

Aceleración: a=dvdt =-A2Sen¿

a=-62Sen(24 π t+ π2 ) m/s2 a=-62Cos(24t) m/s2

9. Un resorte de masa despreciable, se estira 5 cm cuando se suspende de su extremo libre un peso de 100 N. Determinar la frecuencia de vibración del resorte cuando sostiene en su extremo un peso de 240N.

SOLUCION Datos: F=100 N x=0,05 m La constante del resorte: F=kx 100=k(0,05) k=2000 N/m



Ahora con el peso de 240 N: m=240g kg si k=m2

2000=240g 2 =9,04 rad/s f=❑

2 =9,04

2 =1,44 Hz

10. Se tira hacia bajo de una masa de 2,5 kg que está suspendida de un resorte de constante k=40 N/m y después desplazarlo 12 cm por debajo de la posición de equilibrio se suelta. Determinar:a) La energía total de la masa.b) La energía cinética y potencial cuando t=0,6 s.c) ¿En qué instante la energía cinética vale los 3/4 de la energía total?

SOLUCION

a) La energía total: U= k A2

2 =40 (0,12 )2

2 =0,288 J

b) La ecuación de la posición: x=ASen(t+) A=0,12 m

Donde: k=m2 40=2,52 =4 rad/s =π2 rad (extremo)

x=0,12Sen(4 t+ π2 ) para t=0,6 s x=0,12Sen[4 (0,6)+ π

2 ]=-0,089 m

La energía potencial: UP=k x2

2 =40 (−0,089 )2

2 =0,158 J

La energía cinética: UC=UT-UP=0,288-0,158=0,130 J c) La energía cinética vale los 3/4 de la energía total:

UC=34UP mv

2

2 =34 ( k A2

2 ) mACos(4 t+ π2 )2=

34m2A2

A22Cos2(4 t+ π2 )=3

42A2 Cos2(4 t+ π

2 )=34 Cos(4 t+ π

2 )=√32

4t+π2=+

π6 t=

π12 s

11. Un oscilador armónico está formado por un bloque-muelle. La masa del bloque es 0,54 kg y la constante elástica del muelle k=125 N/m. Empieza a funcionar a partir de una posición extrema con una energía mecánica de 0,51 J.a) La amplitud del movimiento.b) La velocidad y aceleración máximas.



c) La velocidad y aceleración en el momento que su desplazamiento es 5 cm.

d) La energía cinética y potencial en el instante que ha transcurrido el tiempo t=T/16.

SOLUCION Datos: k=125 N/m m=0,54 kg U=0,51 J

a) La amplitud del movimiento: U= k A2

2 125 A2

2 =0,51 A=0,09 m

b) La frecuencia angular: k=m2 125=0,542 =15,21 rad/s vmax=A=0,09(15,21)=1,37 m/s

amax=A2=0,09(15,21)2=20,83 m/s2

c) Para x=0,05 m:- La velocidad: v=√A2−x2=15,21√0,092−0,052=1,14 m/s- La aceleración: a=-2x=-0,05(15,21)2=-11,56 m/s2

d) Para t=T16 donde T= 2

❑=2

15,21=0,413 s

t=0,413

16 =0,026 s

x=ASen(t+) x=0,09Sen[15,21(0,026)+ π2 ]=0,083 m

La energía potencial:

UP=k x2

2 =125 (0,055 )2

2 =0,189 J

La energía cinética: UC=UT-UP=0,51-0,189=0,321 J 12. Un resorte vibra con una frecuencia de 1,2 Hz cuando sostiene una

masa de 0,75 kg. ¿Cuál es su frecuencia de vibración si sostiene una masa de 1,8 kg?

SOLUCION La constante del resorte: k=m2=m(2f)2=42f2

Luego: 42(f1)2m1=42(f2)2m2 0,75(1,2)2=1,8(f2)2 f2=0,775 Hz

13.


El sistema mostrado en la fig. consta de tres masas y dos resortes idénticos, el sistema oscila con un periodo de 0,8 s. Si se retira la masa A, el periodo es 0,7 s. Determinar:


a) La masa del bloque C.b) La constante k de cada resortec) El periodo de oscilación si se retiran los bloques A y B.

SOLUCION

a) La constante del resorte: k=m2=m( 2πT )

2

=4 π2mT 2

Luego, al variar la masa, varia el periodo: La masa 1 es m+5 y la masa 2 cuando se retira

la masa A es m+3,5. 49(5+m)=64(m+3,5) 245+49m=64m+224

15m=21 m=1,4 kgb) La constante del resorte: c) El periodo de oscilación si se retiran los bloques A y B:

k=m2 394,78=1,42 =16,79 rad/s

14. Un péndulo de torsión consiste de un bloque de madera de forma

rectangular de dimensiones 8 cm x 12 cm x 3 cm y con una masa de 0,5 kg suspendido por medio de un alambre que pasa por su centro de masa de tal modo que el lado más corto es vertical. El periodo de las oscilaciones torsionales es 2,4 s. ¿Cuál es la constante de torsión del alambre?


El sistema mostrado en la fig. consta de tres masas y dos resortes idénticos, el sistema oscila con un periodo de 0,8 s. Si se retira la masa A, el periodo es 0,7 s. Determinar:


SOLUCION Periodo para un péndulo de torsión: Para el paralelepípedo:

15. Una masa m se hace oscilar unida a 3 resortes como se indica en la figura. El periodo de oscilación de la masa es de 1 s. Si se retira el resorte del centro se observa ahora que el periodo de oscilación es 1,5 s. Determinar la masa m del bloque si k2=50 N/m.

SOLUCIONLa constante del resorte: k=m2 Para los resortes en serie: k=k1+k2+k3

Ta=1 s con los 3 resortes y Tb=1,5 s sin k2. k1+k2+k3=1,52(k1+k3) 50=2,25(k1+k3)-(k1+k3)

16. Un péndulo de torsión está formado de una esfera maciza de 0,08 m

de radio y 0,5 kg de masa. La esfera está suspendida de un alambre a lico de longitud L=0,36 m como se indica en la figura. Puesto el péndulo a oscilar tiene un período 5 s. Determinar la constante de torsión .



SOLUCION Periodo para un péndulo de torsión: Para la esfera solida:

17. Un péndulo está hecho de una varilla de L=1,5 m de longitud y de 1 kg de masa. En el extremo inferior se fija un disco de 0,5 kg de masa y 15 cm de radio como se ve en la fig. Si la distancia entre el pivote y el centro del disco es de 1,45 m, determinar el periodo de periodo de oscilación del péndulo.

SOLUCION



18.

SOLUCION Datos: L=1 m m=1 kg


Una barra homogénea de 1 m de longitud y 1 kg de masa tiene orificios separados 10 cm uno del otro. Se hace oscilar la barra primero a 10 cm de su centro y después a 40 cm del mismo centro. Determinar la diferencia de los periodos de oscilación para ambos casos.


La diferencia de los periodos de oscilación:T=1,94-1,77=0,17 s

19.

SOLUCION Hallamos la constante equivalente del resorte. k1 y k2 antes de la barra CD en paralelo. Entre las barras CD y AB también en paralelo.

Kcd=k1+k2=75+45=120 N/m KAB=k3+k4=32+40=72 N/m

Ahora para los resortes en serie:


La fig. muestra 4 resortes de constantes k1=75 N/m, k2=45 N/m, k3=32 N/m, k4=40 N/m, unidos a dos barras AD y CD que en todo momento permanecen horizontales. La barra AB sostiene un peso G=9,8 N. El sistema está fijo en su parte superior y oscila con MAS. Determinar el periodo de oscilación.


20. Si en cada ciclo un oscilador reduce su energía en un décimo de su energía del ciclo anterior. ¿Qué energía tiene el oscilador al término del segundo ciclo?

SOLUCION La energía para un oscilador amortiguado: E=E0e-2t

El oscilador al termino del segundo ciclo tiene el 81% de la energía inicial.

21. Un oscilador amortiguado pierde 1/15 de su energía durante cada ciclo. ¿Cuántos ciclos han pasado cuando disipa 3/4 de su energía inicial?


La energía remanente en un ciclo: E=E0(1− 115 )=14 E0

15 14 E0

15=E0e-2T 14

15=e-2(1) e-2=14

15

Cuando su energía se ha disipado en 3/4 de su energía inicial, queda ¼ en n ciclos:

E=E0e-2(n) 14E0=E0(e-2)n

14=( 14

15 )n

Ln( 14 )=nLn( 14

15 )



n=ln( 1

4 )ln( 14

15 )=20,0920 ciclos

22. El movimiento oscilatorio de un péndulo en el aire se atenúa de tal manera que su amplitud se reduce en un 25% de su valor inicial después de transcurrir 1 minuto. Si la longitud del péndulo es 2,45 m. Determinar: a) El coeficiente de amortiguamiento b/2. b) La frecuencia angular del movimiento. c) El número de oscilaciones completas realizado completas este tiempo.

SOLUCIONa) La amplitud para un oscilador amortiguado: A=A0e-t

La amplitud remanente en t=60 s: A=3 A0

4 =A0e-60 34=e-60 -60=Ln( 3

4 )=4,79x10-3 rad/s

b) La frecuencia angular del movimiento: =2πT

Pero T=2√ Lg=2√ 2,45g = s =2π

❑ =2 rad/s

c) Para el numero de oscilaciones en t=60 s:

t=nT n=60π =19,119 oscilaciones

23. Determinar el número de resortes idénticos de constante k=100 N/m. que deben asociarse en paralelo para que el periodo del conjunto sea 1,57 s cuando oscila soportando, una masa de 50 kilos.

SOLUCION Para resortes en paralelo, la constante equivalente del sistema:

Ke=ki Ke=100n N/m

La velocidad angular: =2πT =

2π1,57=4,0 rad/s

Para la constante del resorte: k=m2 100n=50(4)2

N=8 resortes



24. Una masa m se coloca en el extremo libre de un resorte y vibra con una frecuencia de 120 Hz. Si a la masa m se le agrega una masa de 0,125 kg la frecuencia de vibración es ahora 80 Hz, Determinar el valor de la masa m.

SOLUCION Datos: f1=120 Hz m1=m f2=80 Hz m2=m+0,125 kg La constante de un resorte: k=m2 =2f Luego: m1(1)2=m2(2)2 m1(2f1)2=m2(2f2)2

m1(f1)2=m2(f2)2 m(120)2=(m+0,125)(80)2

2,25m=m+0,125 m=0,1 kg25. Dos masas iguales se suspenden de dos resortes distintos. Uno de los

resortes se estira 8 cm y el otro 12 cm debido al peso de la masa que soportan. Si el resorte que se estira más, oscila con una amplitud doble que el otro, determine la relación de las energías de los dos sistemas.

SOLUCION

F=kx Pero mg=F mg=kx k=mgx

Para el primer resorte: x1=0,08 m k=mg

0,08=12,5mg

Para el segundo resorte: x2=0,12 m k=mg

0,12=8,33mg

Además A2=2A1 La energía: E=k A2

2

La relación de energías: E1

E2=

k A12

2k A2

2

2

=

m1g A12

x1

m2g ( 2 A1 )2

x2

=x2m1

4 x1m2=

0,124 (0,08)=

38

26. Un cuerpo que describe movimiento armónico simple, tiene una aceleración máxima de 72 m/s2 y una velocidad máxima de 9 m/s. Determinar su periodo de oscilación.

SOLUCION Datos: amax=72 m/s2 vmax=9 m/s



Si: amax=A2 vmax=A A ω2

Aω =729 =8 rad/s

Periodo: T=2πω =

2π8 =

π4 s

27. Un cuerpo está vibrando con M.A.S a lo largo de una recta horizontal. Cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio tiene una aceleración de 0,57 m/s2. Determinar a) Su periodo de oscilación, b) La frecuencia de vibración si en ese mismo punto su aceleración fuese el doble.

SOLUCIONDatos: x=0.1 m a=0.57 m/s2 a) a=2x 0.57=0.12 =√5.7=2.39 rad/s


2π2.39=2.63 s

b) Si a=2(0.57) a=2x 2(0.57)=0.12

=√11.4=3.39 rad/s f=ω

2π=3.382π =0.38 Hz

28. Una masa de 0,4 kg se mueve en el extremo de un resorte de constante k=300 N/m sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fx=-bv a) Si b=9 kg/s ¿Qué frecuencia de oscilación tiene la masa? ¿Con qué valor de b la amortiguación será crítica?

SOLUCION Datos: m=0,4 kg k=300 N/m

a) La frecuencia en un péndulo amortiguado:

=√ω02−γ 2=√ km−( b2m )

2

=√ 3000,4

−( 90,8 )

2

=24,97 rad/s

La frecuencia: f=ω

2π=

29. Una masa de 1 kg realiza un M.A.S de acuerdo con la ecuación x=0,45Cos(5t) donde las unidades se dan en el SI. Determinar: a) El



periodo de oscilación. b) La energía total. c) La energía cinética cuando t=1/4 s. d) La energía potencial cuando t=1/85.

SOLUCIONa) El periodo:

x=0,45Cos(5t) =5 rad/s

T=2πω =

30. Una partícula esta animada e M.A.S y viaja una distancia total de 6,98 cm durante un ciclo de 1,71 s. a) ¿Cuál es la rapidez media de la partícula?. b) ¿Cuáles son su rapidez y aceleración máxima?



31. Un objeto animado de M.A.S con un periodo de /2 s y amplitud A=0,400 m. En t=0 el objeto está en x=0. ¿A que distancia está de la posición de equilibrio en t=/10 s?



32. Un bloque está animado de M.A.S con amplitud de 0,1 m sobre la superficie horizontal sin fricción En un punto a 0,06 m del equilibrio, la rapidez del bloque es de 0.36 m/s. a) ¿Cuánto vale el periodo? b) ¿Cuánto vale el desplazamiento cuando la rapidez es de 0,12 m/s. c) Un objeto pequeño cuya masa es mucho menor que la del bloque se coloca sobre el bloque, si el objeto está a punto de resbalar en el extremo del movimiento. ¿Cuánto vale el coeficiente de fricción estática entre el y el bloque?



x2=0,12-(0,12/0,4,5)2 x=0,096 m



33. Si en cada ciclo un oscilador reduce su energía en un décimo de su energía del ciclo anterior. ¿Qué energía tiene el oscilador al término del segundo ciclo?


La energía remanente en un ciclo: E=E0(1− 110 )=9 E0

10 9 E0

10=E0e-2T 9

10=e-2(1) e-2= 9

10

Al término del segundo ciclo: t=2

E=E0e-2(2)=E0(e-2)2= E0( 910 )

2

=81E0

100

El oscilador al término del segundo ciclo tiene el 81% de la energía inicial.

33. Se tiene un liquido de densidad que ocupa una longitud L dentro del tubo de un manómetro Si se le da un desplazamiento inicial x hacia abajo como indica la fig. Determine el periodo de oscilación despreciando al amortiguamiento por fricción.



34. Un peso G 150 N e5tá suspendido de 1 burra Al la cual se esta unida a otra barra CI) mediante 2 resortes de constantes 60 N/m k .«40 N/m. La barra CD está f ¡a al punto P mediante un resorte de constante — 30 N/m como se



indica en la figura. Durante la oscilación del sistema la barras permanecen en su posición horizontal despreciando el peso de las barras. Hallar el periodo de oscilación de la fuerza Ci.



34. Una masa m en el extremo de un resorte oscila con frecuencia angular w. Se quita la masa, se parte en dos el resorte, y se vuelve a fijar la masa. ¿Cuál es la nueva frecuencia angular?

35. Un disco delgado y uniforme, de la masa M y radio R, cuelga de un clavo que lo perfora perpendicularmente a una distancia D del



centro. u) Cual es el momento de inercia del disco con respecto al clavo? h) ¿Cuál es la ecuación del movimiento para oscilaciones pequeñas de este péndulo, respecto al punw en donde lo traspasa el clavo? (sugerencia la ley de Newton para el par con respecto al plinto ‘n cuestión) e) ¿Cuál es el período T de las oseiaoioncs alrededor del punto de suspensión? d) ¿Cual es T en el limite donde D se hace cero?



37. Un objeto oseila con una amplitud de 6 cm unido a un muelle horizontal de constante 2 kN/m. Su velocidad máxima es 2,20 m/s. Hallar: a) La masa del objeto. h) La frecuencia del movimiento c) El periodo riel movimiento.



38, Un disco delgado de 5 Kg. de masa y Con Lin radio de 20 cm se suspende mediante un eje horizontal perpendicular al disco y que pasa por su periferia. El disco se desplaza ligeramente del equilibrio y se deja libremente. Hallar el periodo del movimiento armónico simple subsiguiente.



39. Un objeto de 1,2 Kg. que cuelga de un muelle de constante 300 N/m escila con una velocidad máxima de 30 cm/s. a) ¿Cuál es su desplazamiento máxima? Cuando el objeto esta n su desplazamiento máximo, hallar b) La energía total del sistema. e) La energía potencial gravitatoria rl) La energía potencial del muelle.



40. Un cuerpo de 2.5 kg cuelga de un muelle vertical de constante 600 N/m. oscila con una amplitud de 3 cm. Cuando el cuerpo posee su máximo desplazamiento hacia abajo, encuentra a La energía total del sistema b) La energía potencial gravitatoria e) La energía potencial del muelle d) ¿Cuál es la energía cinética máxima del cuerpo? escoger E• O cuando el cuerpo está en equilibrio.



41. Una masa m tija al extremo de un resorte se suelta, partiendo del reposo, cuando t = O s, desde una posición estirada xm. La masa m 0,2 kg, y la constante k 1 N/m. Después de 0,5 s, se mide la rapidez de la masa y resulta 1,5 m/s. Calcule x, tu rapidez máxima del movimiento, y la energía total.



42. Un péndulo simple tiene wa frecuencia de0.342 Hz. La longitud de su hilo es 2,12 m. ¿Cuál es el valor local de g?



43. Dos resortes idénticos, ambos con constante k, se fijan extremo a extremo para formar un resorte más largo, Demuestre que este nuevo resorte tiene una constante k12. Se dice que los resortes están conectados en serie. En el caso de a resortes conectados en serie se obtiene un resorte con n veces la longitud, y cuya constante kr, = km







44. Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud de 3.0 cm. ¿,E.n que desplazamiento, respecto del punto medio de su movimiento, su rapidez será igual a la mitad de la rapidez máxima?

45. La amplitud de un sistema moviéndose con un movimiento armónico simple se duplica. Determine el cambio en: a) La energía total. b) La velocidad máxima, e) La aceleración máxima. d) El periodo.





46. Un alambre delgado de 8,33 m de longitud se fija al techo de un salón de clases grande. Al alambre se fija un libro. El libro se desplaza un ángulo de 0,19 Rad., y se suelta. Exprese el desplazamiento angular del libro como función del tiempo, para g=9,8 m/s2

47. Una masa en un resorte con frecuencia angular natural (o = 38 rad/s, se coloca en un ambiente en el cual hay . uno fuerza de amortiguamiento pre$)rcional a. la velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0.82



veCes su valor inicial en 9,9 s, ¿Cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?

48. Un oscilador armónico, con periodo natural 1,5 s, se coloca en un ambiente donde su movimiento se amortigua con una resistencia proporcional a su velocidad. La amplitud dc la oscilación baja a 50% de su valor original en 9 s. ¿Cuál es el periodo del oscilador en el nuevo ambiente?




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