Movimiento armónico simple

Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. Las órbita es periódica.

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

Índice 1 Mecánica clásica

o 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple o 1.2 Velocidad o 1.3 Aceleración o 1.4 Amplitud y fase inicial o 1.5 Dinámica del movimiento armónico simple o 1.6 Energía del movimiento armónico simple

2 Ejemplos o 2.1 Medición de masa en ingravidez

3 Mecánica relativista y mecánica cuántica o 3.1 Mecánica relativista o 3.2 Mecánica cuántica

4 Véase también 5 Referencias

o 5.1 Bibliografía

o 5.2 Enlaces externos

Mecánica clásica

Cinemática del movimiento armónico simple

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento circular uniforme.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:

(2)

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

(3)

donde:

es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.es la amplitud del movimiento (elongación máxima).es la frecuencia angular

es el tiempo.

es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

(4) , y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión .

Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

(5)

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

(6)

Amplitud y fase inicial

La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad iniciales.

(7)

(8)

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9)

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10)

Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional:

(11)

Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12)

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

(13)

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14)

Energía del movimiento armónico simple

Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica (Em) en el movimiento armónico en función de la elongación.

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta

con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15)

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16)

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17)

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18)

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos y . Se obtiene entonces que,

(19)

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio

(20)

Ejemplos

Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M1721 ) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

(21)

Mecánica relativista y mecánica cuánticaEn mecánica relativista el análogo del movimiento armónico simple, es un movimiento en el que la fuerza es proporcional a la elongación pero debido a las peculiaridades de la teoría de la relatividad el movimiento resultante es sólo cuasiarmónico, y no exactamente armónico. En mecánica cuántica no puede hablarse propiamente de trayectorias, pero existe también un análogo cuántico de dicho movimiento.

Mecánica relativista

El problema del oscilador en mecánica relativista no admite una solución analítica simple debido a que la ecuación del movimiento implica integrar la siguiente ecuación:2

Sin embargo, puede una solución aproximada con las condiciones de contorno dada por:2

donde:

Mecánica cuántica

Artículo principal: Oscilador armónico cuántico

Funciones de onda para los ocho primeros autoestados, . El eje horizontal muestra la posición y en unidades (h/2πmω)1/2. Las gráficas están sin normalizar.

Una partícula de masa m sin espín sometida a un potencial cuadrático ejecuta en mecánica clásica un movimiento armónico simple, el equivalente cuántico de este movimiento, es el de una partícula sometida al potencial:

Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energías de la partícula será puramente puntual (es decir, será una combinación de funciones de niveles energéticos separados). Los posibles valores de la energía son:

y las funciones de onda asociadas son:

donde son los polinomios de Hermite.

Péndulo simpleEl péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Índice

1 Ecuación del movimiento o 1.1 Método de Newton o 1.2 Método de Lagrange

2 Pequeñas oscilaciones 3 Isocronismo 4 Oscilaciones de mayor amplitud 5 Instrumento gravimétrico 6 Véase también 7 Referencias 8 Bibliografía 9 Referencias externas

Ecuación del movimiento

Péndulo simple. Esquema de fuerzas..

Método de Newton

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

siendo la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es

donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

y obtenemos la ecuación del movimiento es

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Pequeñas oscilaciones

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el tiempo, , es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud (gris).

Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. % Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. %

0 0,00000 0,00000 0,00 15 0,26180 0,25882 1,152 0,03491 0,03490 0,02 20 0,34907 0,34202 2,065 0,08727 0,08716 0,13 25 0,43633 0,42262 3,25

10 0,17453 0,17365 0,51 30 0,52360 0,50000 4,72

IsocronismoObsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Esta última propiedad, conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa:

"Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el mismo compás"

J. Bertrand: Galileo y sus trabajos

Esta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la duración de las mismas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673, Christian Huygens encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo.

Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo (vide relojes de péndulo).

Oscilaciones de mayor amplitud

La integración de la ecuación del movimiento, sin la aproximación de pequeñas oscilaciones, es considerablemente más complicada e involucra integrales elípticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente solución:

Dependencia del período del péndulo con la amplitud angular de las oscilaciones. Para pequeñas oscilaciones, el cociente T/T0 tiende a la unidad 1; pero tiende a infinito para ángulos cercanos a 180º.

donde es la amplitud angular. Así pues, el periodo es función de la amplitud de las oscilaciones.

En la Figura hemos representado gráficamente la variación de T (en unidades de T0) en función de θ, tomando un número creciente de términos en la expresión anterior. Se observará que el periodo T difiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud (T0) cuando θ > 20º. Para valores de θ suficientemente pequeños, la serie converge muy rápidamente; en esas condiciones será suficiente tomar tan sólo el primer término correctivo e, incluso, sustituir sen θ/2 por θ/2, de modo que tendremos

donde θ se expresará en radianes. Esta aproximación resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la práctica; de hecho, la corrección que introduce el término θ2/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10°.

Para oscilaciones de pequeña amplitud, las expresiones anteriores se reducen a

center.

Instrumento gravimétricoEl péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresar g en función de T y de :

Ejemplo: Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando T=2π√(1/g , el periodo T medido fue de (1.24±0.02) s. Y la longitud de (0.381±0.002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con 50% de incertidumbre absoluta y relativa?

T^2 = 4 π^2 l / g

g = 4 π^2 l / T^2

g = 4 π^2 0.381 / (1.24)^2 = 15.641 / 1.5376 = 9.7821 m/s^2

∆g = (∆l/l +2 ∆T/T) g

∆g = [(0.002/0.381) + 2 (0.02/1.24)] 9.7821 = 0.36 m/s^2

g = 9.78±0.36 m/s^2

PénduloPara otros usos de este término, véase Péndulo (desambiguación).

Péndulo simple en movimiento armónico con oscilaciones pequeñas.

Péndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de México.

El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente)1 es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.

Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera.

Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo, ...), medida de la intensidad de la gravedad, etc.

Índice 1 Péndulo simple o matemático

o 1.1 Ecuación del movimiento o 1.2 Período de oscilación o 1.3 Solución de la ecuación de movimiento

2 Péndulo esférico o 2.1 Período o 2.2 Solución de la ecuación de movimiento

3 Véase también 4 Referencias

o 4.1 Bibliografía o 4.2 Enlaces externos

Péndulo simple o matemáticoArtículo principal: Péndulo simple

Componentes del peso de la masa pendular.

También llamado péndulo ideal está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.

Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimiento

Para escribir la ecuación del movimiento observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

donde el signo negativo tiene en cuenta que la tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

Período de oscilación

Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

Solución de la ecuación de movimiento

Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud

(negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud (gris).

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:

, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud .

, es la energía potencial.

Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

Donde:

, es la función elíptica de Jacobi tipo seno.

El lagrangiano del sistema es , donde es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se

llega a la ecuación final del movimiento: . Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.

Péndulo esféricoArtículo principal: Péndulo esférico

Péndulo de Foucault en el hemisferio sur.

Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio l) comprendida entre dos paralelos. Existen dos integrales de movimiento, la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical Mz. La función lagrangiana viene dada por:

Donde es el ángulo polar y es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

Y el problema queda reducido a un problema unidimensional.

Período

El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente inconmensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico, lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo T tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.

Solución de la ecuación de movimiento

Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie: