Москва «Просвещение»Институт новых технологий образования

2003

ДопущеноДепартаментом общего среднего образования

Министерства образованияРоссийской Федерации

ИНФОРМАТИКА

Пособие для учителя

3 класс

УДК 372.8:004ББК 74.262.21

И74

Семёнов А. Л.Информатика: Пособие для учителя : 3 кл. / А. Л. Семёнов,

Т. А. Рудченко. – М.: Просвещение: Институт новых технологийобразования, 2003. – 208 с. : ил. – ISBN 5-09-011460-9.

Курс «Информатика» рассчитан на обучение в течение трёх летв объеме 34 ч или 68 ч в год и необязательно связан с компьютером.

Учебно-методический комплект для 3 класса состоит из учебни-ка-тетради (две части), тетради проектов и пособия для учителя,

В пособии приводятся сведения о построении всего курса ин-форматики для начальной школы и тематическое и почасовое пла-нирование для 3 класса. Авторы комментируют решение задач, об-ращают внимание учителя на наиболее важные и сложные понятия,на связь курса с разными дисциплинами в начальной школе и стар-ших классах. Специальный раздел содержит подробные методичес-кие комментарии к практическим занятиям по информационнымтехнологиям. Методическое пособие для учителя содержит и неко-торые общие комментарии, исходно не связанные с конкретным за-данием, но важные для всего курса. Электронная версия книги дляучителя размещена на сайтах: www.int-edu.ru/book/inf3;www.prosv.ru/inf3.

УДК 373.167.1:004ББК 32.81я72

Учебное изданиеСеменов Алексей ЛьвовичРудченко Татьяна Александровна

ИНФОРМАТИКА

Пособие для учителя3 класс

В подготовке учебного пособия принимали участие:В. И. Беликов, Е. С. Кузнецова, А. А.Муранов,

С. Ф. Сопрунов, С. А. Трактуева

Зав. редакцией Т. А. БурмистроваРедактор Т. А. БурмистроваКорректор Н. И. НовиковаДизайн обложки: Р. Е. СамолюбоваДизайн книги: О. П. БогомоловаВерстка выполнена Институтом новых технологий Отпечатано с диапозитивов, предоставленных издательством «Просвещение».Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93–953000.Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать . Формат

60 х 90 1/8. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Усл.

печ. л. 8.0. Усл. кр.-отт. 17.0. Уч.-изд. л. Тираж экз. Заказ № .

Институт новых технологий. 115162, Москва, Мытная, 50. Тел.: (095) 926-49-65,e-mail: int@mtu-net.ru.

Федеральное государственное унитарное предприятие ордена ТрудовогоКрасного Знамени «Издательство «Просвещение» Министерства РоссийскойФедерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовыхкоммуникаций. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

© Институт новых технологий, 2003© Художественное оформление

Институт новых технологий, 2003Все права защищены

ISBN 5-09-011460-9

С 30

3

Комментарии к Части 1

В третьем классе дети продолжают работу с базовыми объекта-ми математической информатики (и всей современной математики)– цепочками и мешками. Наряду с этим в курсе появляются новыеобъекты – деревья, цепочки цепочек, цепочки мешков. С однойстороны, эти объекты, как говорят математики, являются «естест-венным обобщением» цепочек. С другой стороны, они отражают оп-ределенные важные свойства нашего мышления, языка и окружаю-щего мира. В частности, объекты и события, входящие в цепочки,могут иметь какую-то собственную внутреннюю структуру; а ход со-бытий не обязательно будет однозначно заранее предопределен, иможет «ветвиться». Например, в цепочке дней каждый день являетсясамостоятельной цепочкой событий. Другой пример: отпуск будетпроходить так или иначе в зависимости от погоды и других условий.

Так же в третьем классе дети познакомятся с простейшим ис-полнителем – Роботом. Робот будет нашим главным партнером визучении соответствия между планом и его выполнением.

Как и в прошлом году, в третьем классе мы предлагаем вам с де-тьми провести несколько проектных занятий. Все необходимые ма-териалы для их проведения вы найдете в тетради проектов и в Раз-деле II настоящего пособия.

Для удобства работы с учебником мы пометили задачи, входя-щие в обязательный минимум (белые цифры на зеленом фоне) и не-обязательные задачи (оранжевые цифры на зеленом фоне). Приэтом в необязательные задачи попали как трудные, так и просто до-полнительные задачи, задачи на повторение, не вошедшие в обяза-тельный минимум.

Мы решили начать учебник третьего класса сразу с нового мате-риала – с введения деревьев. При этом повторение содержаниявторого класса будет вестись параллельно, по ходу работы. Основ-

4

ные определения из курса второго класса помещены на внутренниестороны обложки Части 1 – дети всегда смогут к ним обратиться.

В данном методическом пособии комментарии к темам и зада-чам учебника мы разбили на отдельные уроки – в соответствии с по-урочным планированием, которое вы найдете в разделе III.

Но сначала – несколько общих комментариев.

Способы решения задач: попытки, проверки, противоречия,тупики, возвраты, перебор, стратегия перебора

При решении задач из учебника, как и во многих других инфор-матических и жизненных ситуациях, могут быть использованы раз-личные общие стратегии. Попробуем описать некоторые из них. Приэтом мы будем пользоваться «взрослой» терминологией, которую,конечно, не будем вводить явно в учебнике. Но мы считаем возмож-ным употреблять ее здесь, в методическом пособии, а также предла-гаем вам пользоваться этой терминологией при разборе задач с де-тьми, постепенно приучая их к правильному словесному описаниюсвоей деятельности. Подчеркнем еще раз, что по нашему мнению,выучивать абстрактные формулировки детям бесполезно и дажевредно. Определенная польза состоит в том, что учащийся открыва-ет эти стратегии самостоятельно, возможно с помощью учителя,многократно применяет их на практике, постепенно осмысливает иначинает применять более сознательно.

Метод (последовательного) перебора. Идея этого метода вкакой-то степени противостоит распространенным школьным идеямо правильном первом шаге в решении, об искусственном приеме и т.п. Метод этот состоит в том, чтобы последовательно и систематиче-ски, в некотором смысле «тупо и механически», перебирать все воз-можные варианты решения (ответа). Иногда (и не так уж редко) этоприводит к полному решению задачи. Иногда (чаще) это позволяетнакопить экспериментальный материал для того, чтобы в дальней-шем сузить пространство перебора или даже начать явно строить от-вет.

Часто одна или несколько из рассматриваемых (перебираемых)возможностей сама в свою очередь состоит в последовательностивыборов. Тогда для перебора возможностей нам следует организо-вать перебор различных последовательностей выборов. Эту ситуа-цию естественно представлять в виде так называемого дерева пере-бора (деревьями мы будем заниматься с детьми в курсах третьего ичетвертого классов). В ходе реализации последовательности выбо-ров мы можем прийти к противоречию – оказаться в «тупике». Этозначит, что нам придется «вернуться назад» и выбрать следующуювозможность.

Одним из самых замечательных результатов «большой» инфор-матики является открытие того факта, что большое число задач, длякоторых ученые нашли пока только переборный метод решения, внекотором смысле одинаковы. Именно, скорее всего, ни для однойиз них более быстрого способа поиска ответа не существует, а если

5

он найдется для одной, то мы сразу же получим его для всех. Этотзамечательный факт был обнаружен на рубеже 70-х годов ХХ в. од-новременно советскими и американскими математиками.

Способы построения всех объектов данного типа, (например,всех цепочек из букв А и Б длины 5) мы будем рассматривать даль-ше, в четвертом классе.

Метод проб и ошибок («Метод тыка»). Идея этого метода со-стоит в том, что для накопления экспериментального материала намне обязательно последовательно и систематически перебирать всевозможные варианты ответа. Мы можем попробовать сделать нечто,а если выяснится, что результат не достигнут, то есть произошлаошибка, то сделать что-то другое и так пробовать, пока не найдемответ или не сумеем сузить пространство перебора или найти инойподход к решению. Иногда даже один, взятый наугад случайный ва-риант ответа (и не подошедший в качестве ответа) позволяет полу-чить достаточно информации, чтобы планомерно построить настоя-щий ответ. Иногда надо попытаться взять случайный, но типичныйили самый сложный объект и попытаться исследовать его и т. д. Час-то говорят также о «переборе вариантов» или «переборе возмож-ностей», и мы именно так и будем говорить.

Такой способ очень естествен для детей, хотя обычно и не по-ощряется школой. В названии способа имеется слово «ошибка», номы считаем, что ничего плохого в этом нет. С нашей точки зрениянужно приучить ребенка к тому, что без ошибок никакая человечес-кая деятельность не обходится, ошибаться не позорно, но надоучиться замечать и исправлять свои ошибки. Это вообще исключи-тельно важно: школа часто выстраивает перед ребенком идеал безо-шибочности, что вредит ему в дальнейшей учебе и жизни. Возмож-ность ошибиться и затем исправить, найти свою ошибку – психоло-гически важно для ребенка, надо его не ругать за пробы и переборвариантов, а хвалить. С другой стороны, в методе проб и ошибок вдействительности речь не идет о каком-то «ошибочном» действии,поэтому выражение «перебор вариантов» – удачнее.

В случае компьютерных алгоритмов методу «проб и ошибок» мо-жет соответствовать случайный выбор (с помощью так называемых«генераторов псевдослучайных чисел»), а также применение разно-образных приближенных, эвристических (основанных на имитациинеформального мышления человека) и других алгоритмов. Оказыва-ется, что при таком переборе «наугад» у человека более быстро и ак-тивно включаются на сознательном и подсознательном уровнях ал-горитмы выявления закономерностей, позволяющие как-то класси-фицировать объекты и сократить перебор, обнаружить различныезакономерности. В комментариях к задачам учебника мы будем об-суждать конкретные закономерности, которые можно найти и ис-пользовать в задачах. Однако еще до начала обсуждения, подчерк-нем важное положение.

В ходе перебора возможностей будет накапливаться опыт, пока-зывающий, какого типа действия стоит пробовать, а какого – беспо-

6

лезно. И в решении задачи возникнет более экономная стратегия, аможет даже появиться и готовое решение задачи, не базирующеесяна пробах, а исходящее из понимания того, «как все на самом делеустроено».

Вся эта ситуация в целом, правила, по которым мы выбираемследующую возможность и оцениваем результаты, называется ино-гда «стратегией перебора».

Метод Монте-Карло. Случайный выбор параметра при иссле-довании системы используется в так называемом методе Монте-Карло (это не фамилия автора метода, а отсылка к игорному (слу-чайному) выбору). Для компьютеров пишут специальные программы,позволяющие изготавливать объекты (например, числа), похожие наслучайные.

Метод «Разделяй и властвуй» Этот метод состоит в том, чтобыпостроить частичные решения задачи, а потом из них «склеить» всерешение. В вычислительных информатических задачах этот методназывают еще методом динамического программирования.

С упомянутым подходом тесно связано так называемое проек-тирование «сверху вниз», при котором мы описываем нужные намсвойства всего объекта (например, программы) затем разбиваемэтот объект на части (например, выделяем так называемые подпро-граммы) так, что если эти части имеют правильные свойства (напри-мер, работают правильно), то и весь объект будет решением задачи.Так можно поступать и далее, измельчая получающиеся объекты дотех пор, пока не станет совсем ясно, как построить самые мелкие.

В нашем курсе мы будем знакомиться с различными применени-ями метода «Разделяй и властвуй» и будем строить объекты «сверхувниз».

Описанные выше стратегии и методы, конечно, далеко не исчер-пывают подходов, накопленных человечеством, но в решении детьмизадач нашего курса они будут оказываться полезными довольно час-то, и вы можете их обсуждать с детьми, которые начинают активно исистематически их применять. Также постепенно вы можете им да-вать или изобретать названия.

В задачах и проектах третьего класса мы уделим много внима-ния тому, чтобы продемонстрировать и вложить в руки детей спосо-бы решения разных типов задач. Формирование эффективных спо-собов решения разных типов задач – одна из важных частей совре-менной науки информатики. С другой стороны, просто рассказатьдетям о разных способах и даже продемонстрировать их – дело не-эффективное (опять мы говорим об эффективности!) и даже в основ-ном бесполезное. Мы хотим, чтобы дети не просто были проинфор-мированы о разных способах, скажем, сортировки объектов, но дей-ствительно пользовались этими способами и не только при решениинаших задач.

Чтобы достичь этого, для начала нужно у каждого ребенка со-здать достаточную мотивацию использования того или иного спосо-

7

ба действия. Работая с задачами нашего курса, дети постоянносталкиваются с необходимостью как-то структурировать, планиро-вать свои действия. Не случайно в комментариях к таким задачам мычасто просим вас дать возможность каждому ребенку поработать сней самостоятельно, даже если вы заранее знаете, что задача будеттрудна для какого-то учащегося. Опыт самостоятельной работы надзадачей, поиск решения, изобретение своих собственных способоврешения – одно из самых развивающих интеллектуальных действий.При такой работе у ребенка постепенно формируется ощущение не-обходимости выработки стратегии решения.

Только после того, как ребенок накопил достаточный (самостоя-тельный!) опыт, он сможет понять и принять для себя те методы ра-боты, которые вы ему предложите, скажем, на проектном уроке илипри обсуждении решения очередной задачи.

Усвоенный алгоритм работы,например, сортировки, или попар-ного сравнения объектов, потом можно реализовывать в формали-зованном виде с абстрактными математическими объектами. Этаобщая схема – отработка алгоритма на видимых осязаемых объектахс последующим переносом на абстрактные математические объекты– используется во многих местах нашего курса.

В курсе четвертого класса мы продолжим обсуждать с детьмипроблемы планирования и построения стратегии на примере раз-личных игр.

Графические и телесные решенияКак и в курсе второго класса, в учебнике третьего класса практи-

чески все задачи формулируются и решаются в графической форме.Объекты – символы-бусины и их сочетания (цепочки, мешки, дере-вья) – наглядны. Действия – установление соответствия между объ-ектами, соединение объектов – также имеют графическое представ-ление. Однако такое представление объектов, операций и отноше-ний в большой степени статично: проделанные действия нелегко от-менить или изменить. При этом многие задачи особенно удобно ре-шать, если бусины или другие объекты, встречающиеся в задаче,можно разложить на столе, двигать и перекладывать, при необходи-мости соединять в цепочки, складывать в мешки, то есть перейти отграфического представления к тому, которое мы называем теле-сным. При этом эксперимент, в частности, перебор объектов и их со-четаний, можно производить уже не в уме, и не выписывать или вы-рисовывать символы на бумаге (что долго и утомительно), а легкопередвигать объекты на столе и выстраивать их в нужные сочетания,как это происходит в разнообразных играх (взять, хотя бы, доминоили шахматы). Особенно важно, что при этом легко отменить то илииное действие или последовательность действий. Это важно, в част-ности, когда мы перебираем различные возможные действия и от-брасываем те из них, которые (иногда после нескольких шагов) недали нужного результата.

На вкладыше в Части 2 учебника есть специальный лист с буси-

8

нами, которые можно вырезать и использовать для решения задач сбусинами. Для работы с фигурками удобно скопировать страницу ивырезать из нее нужные объекты. К некоторым задачам приложенспециальный лист вырезания, содержащий все фигурки (задачи 54,99 и 106 из Части 1 и 92 из Части 2). Можно просто изготовить необ-ходимое число маленьких карточек для применения в различных за-дачах и, если требуется, писать на них нужные названия: имена фи-гурок, обозначаемых бусинами. Учитель имеет возможность посту-пить по-разному: например, предложить детям, которые решают за-дачи быстрее и увереннее, сперва попытаться решить очередную за-дачу без дополнительных вырезанных бусин, а, если это не получит-ся – воспользоваться вырезанными бусинами. Тем, кто решает по-медленнее, можно сразу порекомендовать работать с вырезаннымибусинами. Начиная с некоторого момента лучше дождаться предло-жения поработать с вырезанными бусинами от самих детей и послеэтого договориться с разными детьми о разных моделях работы. Влюбом случае предпочтительно оставить каждого из детей решатьзадачу так, как он хочет.

Эти соображения относятся ко многим из последующих задач, ив дальнейшем мы более не будем их повторять.

ДеревьяНачиная разговор о цепочках, мы упоминали о последователь-

ности событий. Однако не всегда нас интересует линейная последо-вательность. Приведем несколько примеров:

– перед нами стоит возможность выбора и нам приходится рас-смотреть несколько вариантов дальнейшего хода событий: «Направопойдешь – коня потеряешь, налево пойдешь – буйну голову сло-жишь, прямо пойдешь – на царевне женишься»;

– мы выбираем один из возможных объектов и хотим потом из-менить свое решение и выбрать другой;

– мы выделяем в задаче подзадачи, раздаем их участникам дея-тельности, а потом собираем результаты для поиска одного решениязадачи.

Во всех этих случаях ситуация выбора, ветвления может повто-ряться, одним выбором дело не заканчивается. Например, в играхдва (или больше) партнера делают свои выборы много раз. При вы-полнении компьютерной программы также возможно большое числовыборов. При попытке изобразить эту ситуацию на бумаге возника-ют графические представления, называемые деревьями.

В нашем курсе мы используем не все деревья, которые рассмат-риваются в современной математике и информатике, а только те, ко-торые больше всего приближены к уже введенным нами цепочкам. Внашем курсе деревья обладают следующими фиксированными свой-ствами:

– в каждой вершине нашего дерева обязательно находится бу-сина (при этом, как и в цепочках, бусиной дерева может быть не

9

только «геометрическая» бусина, но и бусина-буква, бусина-цифра,а также фигурка) – в большой науке рассматриваются и такие дере-вья, не все вершины которых помечены (т. е. не в каждой вершинестоит какой-то объект, будь то буква или другой символ);

– в наших деревьях бусины, следующие после корня дерева, на-зываются корневыми бусинами, корневых бусин в дереве можетбыть несколько – есть разделы науки, в которых используются толь-ко деревья с единственной корневой бусиной (собственно эта един-ственная корневая бусина является корнем дерева);

- наши деревья направлены, они «растут» в одну сторону: у каж-дой бусины (если она не является листом) может быть несколькоследующих бусин и не больше одной предыдущей бусины (точнее,ровно одна предыдущая, если бусина не корневая и ни одной преды-дущей у корневой бусины) – в большой науке рассматриваются какдеревья, бусины которых могут иметь несколько предыдущих бусин,так и не направленные деревья, на которых понятия «следующий» и«предыдущий» вообще не работают.

Обратите внимание, что на листах определений «Дерево. Сле-дующие бусины. Листья» и «Дерево. Предыдущие бусины. Корневыебусины» есть части, где обсуждаются ситуации, в которых утвержде-ния о деревьях не имеют смысла. Как вы помните, во втором классетему «Если бусины нет. Если бусина не одна» мы отнесли к необяза-тельному материалу. Тем не менее следуя нашим «правилам игры»,мы не можем не обсудить подобные вопросы – ведь мы претендуемна полноту описания объектов курса и не можем себе позволить ос-тавить «темные» места. Ведь наверняка в вашем классе найдется хо-тя бы один ребенок, который любит исследовать именно разные не-ясности и такие «темные» места и часто задает себе и вам непро-стые вопросы. С другой стороны, слабым и отстающим детям такаятема будет слишком трудна, да и вопросов у них наверняка не воз-никнет. Как поступить с этой частью листов определений, мы остав-ляем на ваше усмотрение. Сильные дети, которые уже во второмклассе изучали эту тему, конечно, должны и теперь просмотреть ипонять, что имеется в виду. Слабым детям в индивидуальном поряд-ке можно разрешить опустить это обсуждение на листах определе-ний. Ведь в обязательных задачах эта тема им не встретится. С ос-тальными детьми можно провести общее обсуждение. Если у кого-тоиз детей останутся вопросы, подойти к ним и постараться вместе ра-зобраться в индивидуальном порядке. Если при этом окажется, чтотема слишком трудна для какого-то ребенка, оставьте ее, у вас бу-дет еще повод обсудить эту тему позже, на другом материале.

Уровни дереваПонятие уровня дерева не является, строго говоря, содержа-

тельным понятием нашего курса. Это, скорее, технический термин –как, скажем, понятия начала и конца цепочки. Введение понятияуровня дерева поможет ребенку при самостоятельном построениидерева. Также это понятие позволит нам сформулировать интерес-ные, но не слишком трудные для учащихся задания.

10

Математическое словоупотреблениеВозьмем мешок:

Верно ли утверждение «Все бусины в этом мешке – квадратные»?Вероятно, вы скажете, что верно. Однако многие люди, в том числе иученики вашего класса могут сказать: «Как же так, в утверждении го-ворится «все», а здесь всего одна бусина! Данное утверждение илибессмысленно, или неверно». На это можно возразить, приведя та-кой пример. Вы просите всех, кто не сделал (или, наоборот, сделал)домашнее задание, поднять руки и обещаете всем, кто его не сде-лал, поставить двойку (и всем, кто поднял руку, дать возможностьэту двойку «исправить»). Поднял руку один Вася (все остальные до-машнее задание сделали). Верно ли, что подняли руку все, кто зада-ние не сделал? – Вроде, да. Если вы поставите бездельнику-Васедвойку, верно ли, что все, кто не сделал домашнего задания, получи-ли двойку? Наверное, верно. Но ведь Вася один! Этот пример можеткого-то убедить, а кого-то нет.

Дело однако не в убедительности примера, а в том, что некото-рые слова математики используют не «по здравому смыслу» (хотя исогласуясь с ним), а «по договоренности». Это значит, что они, зара-нее договорившись о смысле какого-то слова, дальше всюду исполь-зуют именно его, несмотря на то, что у слова могут быть и другиесмыслы. Важно при этом, что математики заботятся о том, чтобы до-говоренности были осмысленными и простыми.

Математики договорились и о том, как понимать смысл словасуществует. Когда они говорят, что в мешке существует, найдетсяобъект с данными свойствами, то это верно, если в мешке объект сэтим свойством один, или два, или больше или даже все объекты вмешке этим свойством обладают. Конечно, и в этом случае можетвозникнуть некоторое ощущение несоответствия. Иногда, например,утверждение о том, что существуют объекты с каким-то негативнымсвойством, может быть воспринято как желание представить делолучше, чем оно есть. Например, в советское время был популяренодин штамп об «отдельных недостатках».

Комментарии к задачам 1–18Задача 1. Задача потребует от ребят аккуратности: ведь в окне

должны быть все листья дерева Ч, причем только они. Если вы опа-саетесь, что кто-то из слабых учеников запутается, посоветуйте емусразу помечать на дереве Ч каждый нарисованный в мешке лист.

Задача 2. Задача на закрепление понятия корневые бусины.

Задача 3. Эта задача объемней и сложней предыдущих. Здесь«работают» практически все понятия, относящиеся к теме «Дере-вья», особенно активно – понятия следующая бусина и предыду-

11

щая бусина. Необходимо заметить, что, несмотря на то, что эта тер-минология знакома учащимся по работе с цепочками, в применениик деревьям появятся дополнительные трудности. Дело в том, что вцепочке каждая бусина имеет не более одной предыдущей (т. е. однуили не одной) и не более одной следующей. Поэтому мы употребля-ли в единственном числе словосочетание «следующая бусина» ана-логично словосочетаниям «следующий день», «следующий урок». Вдереве же каждая бусина может иметь и несколько следующих бу-син, поэтому мы употребляем множественное число: «следующиебусины». Однако в русском языке словосочетание типа «следующиедни» имеет несколько другое значение: обычно имеется в виду иследующий день, и второй, третий за ним и еще несколько следую-щих за ним дней. Мы же на листе определений договорились с деть-ми понимать словосочетание «следующие бусины» только как «буси-ны, следующие непосредственно после указанной». Такое различиезначений может поначалу стать источником ошибок. Например, приопределении истинности утверждения «У бегемота четыре следую-щие фигуры – волк, гусь, заяц, индюк» кто-то из ребят может оши-бочно посчитать это утверждение истинным. В таком случае необхо-димо попросить такого ученика вернуться к примерам на листе опре-делений и разобраться, какие бусины дерева мы договорились счи-тать следующими за данной.

Ответы: (приводим только ложные утверждения, остальные ут-верждения – истинны).

Предыдущая фигурка перед дельфином – корова. –Л (Предыду-щая перед дельфином – белка.)

У жирафа две следующие фигурки – лев и лось. – Л (У жирафатри следующие фигурки – лево, лось и курица.)

В этом дереве нет фигурки верблюда. – Л (Фигурка верблюда вдереве есть.)

У бегемота четыре следующие фигурки –волк, гусь, заяц и ин-дюк. – Л (У бегемота две следующие фигурки – волк и гусь.)

Предыдущая фигурка перед курицей – крокодил. – Л (Предыду-щая фигурка перед курицей – жираф.)

Задача 4. Эта задача на повторение темы «Одинаковые меш-ки». Напомните детям, что, как всегда в подобных задачах, нужнопроверить свое решение – соединить одинаковые буквы в пары ипроверить, не осталось ли «непарных» букв.

Понаблюдайте, какой стратегией пользуются дети. Кто-то сразупометит в мешках все пары одинаковых букв. При этом, в мешке Wостанутся непомеченными три буквы (Н, А, А), которые необходимодописать в мешок S и в мешке S – три буквы (О, Е, К), которые нужнодописать в мешок W. Другой ученик будет помечать и дописыватьбуквы одновременно. Третий, возможно, вообще не захочет пользо-ваться пометками. В процессе работы в мешках могут появиться«лишние» буквы, например, ученик допишет в один из мешков буквуШ. Обратите внимание, что ее не надо вычеркивать, чтобы попра-вить дело, а надо в другой мешок тоже дописать эту букву.

12

«Место для разворота»

«Место стоянки»

«Тупик».Дорога, не имеющая сквозного проезда.

«Тупик»Дорога, не имеющая сквозного проезда.

«Выезд на дорогу с полосой для маршрутныхтранспортных средств»

«Выезд на дорогу с полосой для маршрутныхтранспортных средств»

«Дорога с полосой для маршрутных транспортныхсредств». Дорога, по которой движение маршрутных

транспортных средств осуществляется по специальновыделенной полосе навстречу общему потоку транс-

портных средств.«Направление движения по полосе»

«Направление движения по полосе»

«Начало полосы». Начало дополнительной полосы наподъеме или полосы торможения.

«Конец полосы». Конец участка средней полосы натрехполосной дороге, предназначенного для движения

в данном направлении.

«Пешеходный переход»

«Подземный пешеходный переход»

«Надземный пешеходный переход»

«Полоса для маршрутных транспортных средств».Полоса, предназначенная для движения только

маршрутных транспортных средств, движущихсяпопутно общему потоку транспортных средств.

«Дорога с односторонним движением». Дорога, покоторой движение транспортных средств по всей

ширине осуществляется в одном направлении.

3

3

2

3

1

3

3

2

0

2

1

5

2

3

4

3

13

Задача 5. Необязательная. Повторяем тему «Таблица длямешка», используя при этом знаки дорожного движения. Задача нетрудная, но достаточно объемная. Ученики, быстро выполнившиеобязательные задачи урока, вполне могут успеть справиться и с нео-бязательными дополнительными задачами. С другой стороны, еслиу вас будет несколько свободных минут на уроке, можно обсудитьзнаки, используемые в этой задаче, совместно всем классом. Этазадача может, например, стать перекидным мостиком к классномучасу по правилам дорожного движения, который во многих школахтрадиционно проводится в начале года. Можно поиграть с ребятамив игру «Кто знает, что обозначает этот знак?». Все знаки, которые ре-бята вспомнят, можно пометить прямо в таблице. Остальные знакиможно распределить по рядам и попросить выяснить ребят их назна-чение у родителей или знакомых автомобилистов или посмотреть в«Правилах дорожного движения». Мы приводим на следующей стра-ницы названия и назначение знаков, приведенных в таблице, а такжезаполненную таблицу.

По окончании решения хорошо бы организовать взаимную про-верку: попросите учащихся, которые решали эту задачу, сравнитьсвои таблицы и, если они не окажутся одинаковыми, выяснить, ктодопустил ошибку. Интересно, что вторую часть задания – «Обведичетыре одинаковых знака» – несложно выполнить и до заполнениятаблицы, так как в мешке выделяются по цвету пять одинаковых зна-ков «Пешеходный переход», а, значит, любые четыре из них можнообвести. После заполнения таблицы ребята найдут и другой вариантчетверки одинаковых знаков – «Полоса для маршрутных транспорт-ных средств».

Ответ: см. картинку на предыдущей странице.

Задача 6. Необязательная. Различные пары слов в мешках несвязаны между собой, поэтому, начав с любой пары слов, ученикдойдет, в конце концов, до правильного решения. Любое «частичноерешение» может быть продолжено до полного, любая пара сопостав-ленных слов является частью окончательного решения, при такомпроизвольном построении не возникает «тупиков». Далеко не все за-дачи нашего курса обладают этим свойством – «автономности» каж-дой части решения. Понятно, что задачи подобного сорта бывают иболее запутанными, при сопоставлении слов мы могли бы отождест-вить два слова, заполнив пробелы, а потом оказалось бы, что этоотождествление не удается продолжить до решения всей задачи, по-тому что некоторое другое слово с пробелами «осталось безработ-ным». Задачи с «тупиками» появятся в нашем учебнике позднее.

Ответ: слова МОЛОТОК и МОЛОКО.

Задача 7. В этой задаче дети впервые сталкиваются с явнымупотреблением понятия все в том случае, если объект всего один.Например, третий пункт инструкции гласит: «Раскрась все квадрат-ные бусины четвертого уровня синим», а среди бусин четвертогоуровня квадратная бусина всего одна. Такое употребление слова все

14

принято в математике, но несколько расходится с употреблениемслова «все» в русском языке. Именно привычное словоупотреблениеможет стать причиной того, что кого-то из ребят такие пункты инст-рукции смутят. Вас могут спросить: «Какие все, ведь бусина всегоодна?». С таким учеником непременно нужно побеседовать, найдяпростые для него примеры. Например: «Все доски в нашем кабинете– зеленые» (если доска одна) или: «Все отличники в нашем классе –девочки» (если отличница одна) и спросить, верно ли это. Если такихребят окажется достаточно много, стоит обсудить эту ситуацию всемклассом, но не на материале задачи, а на примерах из жизни. С за-данием же каждый ребенок должен справиться сам.

Ответ: Раскрашенные деревья ребят будут разных видов. Одна-ко, мешки бусин четвертого уровня должны получиться у всех одина-ковыми и состоять из двух красных круглых бусин и трех синих: квад-ратной, круглой и треугольной.

Задача 8. Наверняка, наибольшее число ошибок будет связанос заливкой «фона», который на нашей картинке состоит из трех обла-стей, две из которых небольшие, а третья занимает весь оставшийся«фон» и представляет собой довольно причудливую фигуру.

Если будет время и желание, обсудите с ребятами, где они мог-ли видеть этот знак. Можно дать ребятам задание поискать домаупаковки с таким экологическим знаком и принести их на следующийурок. Можно также попросить ребят подумать дома, зачем на това-рах рисуют подобный знак, хорошо это или плохо, что товар помеченэтим знаком и т. п.

Ответ: в этой картинке 9 областей (каждая из трех стрелок со-держит две области и еще три области «фона»).

Задача 9. Здесь мы продолжаем работать с понятием уровнидерева. Но, в отличие от задачи 7, где нужно было найти на готовомдереве бусины разных уровней, в этой задаче понятие уровни дере-в а впервые начинает «работать»: даны мешки бусин первых трехуровней дерева, детям необходимо нарисовать дерево в окне. Здесьи далее в подобных задачах, мы будем заранее рисовать в окне ли-нии-разделители для уровней дерева. Мы надеемся, что это помо-жет детям правильно расположить бусины дерева по уровням и на-рисовать в окне аккуратное дерево. В рассматриваемой задаче уча-щийся может, например, сразу нарисовать бусины из каждого мешкана соответствующем уровне (конечно, в любом порядке), добавитьпо желанию бусины на четвертом уровне, а потом уже соединить их вдерево. Обратите внимание на то, что в задаче не указано, скольковсего уровней должно быть в дереве, но нарисованное дерево долж-но обязательно поместиться в данное окно – значит, в нем должнобыть три или четыре уровня.

Задача 10. Необязательная. Задача напоминает детям такойспособ заполнения таблицы, при котором сначала работа ведется срабочей таблицей, и только потом заполняется окончательная свод-ная таблица. Похожую задачу с греческими буквами дети решали во

15

втором классе. Элементами мешка в этой задаче являются грузинские буквы.

Во втором классе ребята уже встречались с буквами грузинского ал-фавита. В пособии для учителя мы приводили названия букв, транс-крипции и всю сопутствующую информацию для проведения обсуж-дения с ребятами. Если во втором классе вы не проводили такое об-суждение, можно сделать это сейчас.

Задача помечена как необязательная, т к. решение задачи мо-жет занять слишком много времени у медлительных учеников. С дру-гой стороны, метод заполнения таблицы, который предлагается взадаче, оправдывает себя только при работе с большим количест-вом объектов (в данном случае букв). Поэтому сильным ученикам бу-дет полезно поработать именно с таким большим массивом, и мынадеемся, что это не займет у них слишком много времени.

Грузинские буквы, в отличие от знакомых букв или фигурок – дляребят лишь закорючки, которые очень легко спутать друг с другом.Возможно, стоит напомнить ребятам принцип работы: помечаембукву из мешка и ставим крестик в рабочей таблице в столбце, соот-ветствующем данной букве и т. д. Таблица для мешка, приведенная взадании, заполняется лишь после того, как заполнена рабочая таб-лица.

Ответ:

Задача 11. В этой задаче важна готовность детей рисовать «какхочешь». Ограничивают фантазию лишь размеры окна и «навязан-ное» разделение окна на уровни по вертикали.

Задача 12. Начинать решать эту задачу можно также, как и за-дачу 9: написать сначала все буквы на соответствующих уровнях.Здесь мы уже не можем соединять буквы в дереве как угодно: нужно,чтобы были истинны оба утверждения. Из первого утверждения сле-дует,что после каждой гласной на любом уровне можно сразу поста-вить стрелочку листа. Рисуем стрелочки, затем читаем второе ут-верждение. Если все листья гласные, то других листьев, кроме ужепомеченных на дереве, быть не должно. Остается соединить буквы,учитывая, что все согласные буквы не являются листьями и обяза-тельно должны иметь хотя бы одну следующую букву. Как видите, иэта задача не требует общего обсуждения. Проходя по классу, вамбудет достаточно указать ученику на то, что для какой-либо буквыполученного им дерева одно из утверждений ложно – дальше он,скорее всего, справится сам.

Обратите внимание на то, все ли дети справились с не оченьпростой ситуацией, связанной с «похожестью», утверждений, данныхв задаче. Возможно, кто-то из детей спросит вас, зачем здесь два

2 3 1 0 2 3 2 3 4 2 3 3 3 4 3 3

16

утверждения, в которых говорится «одно и то же». Такой вопрос нехотелось бы оставить необсужденным. По опыту учителей математи-ки среднего звена, часто для детей и в седьмом классе, например,утверждения «Вертикальные углы равны» и «Равные углы вертикаль-ны» кажутся одинаковыми. Поэтому если у кого-то из детей такой во-прос возник, то советуем вам остановиться и на понятных примерахпоказать такому ученику, что первое и второе утверждение отлича-ются по содержанию. Это можно сделать как в индивидуальном по-рядке, так и в форме совместного обсуждения всем классом. Это за-висит от того, сколько детей в вашем классеспоткнутся на этом месте. Советуем вампривести понятные ребенку примеры, на-пример, утверждения «Все мальчики на-шего класса – отличные спортсмены» и«Все отличные спортсмены – мальчикинашего класса» означают не одно и тоже (первое может быть истинным, а вто-рое – явно ложное). Если на примерах изжизни все понятно, то можно вернуться к за-даче – сначала откинуть второе утверждениеи попробовать построить дерево снова.

Ответ: Разных вариантов правильных отве-тов к этой задаче довольно много. Мы приводимтолько один их них (см. картинку).

Задача 13. Задачи подобного типа уже встречались ранее. По-добные задачи в нашем курсе преследуют сразу несколько целей:

– закрепление понятия «мешок»– тренировка зрительной памяти, наблюдательности– и самая важная: выработка на отдельных «занимательных» за-

дачах общих алгоритмов деятельности, которые полезны как сами посебе в последующей жизни, так и в математической информатике –для построения формализованных алгоритмов (помните, в началеданной книги мы уже касались этой темы).

Поэтому важно обсудить со всеми интересующимися детьми(как всегда, лучше всего индивидуально), как они решали эту задачу.Стратегии, конечно, могут быть разные. Одна из них – систематичес-ки перебирать все пары, например, так: первый мешок сравнить состальными, затем второй – с остальными и т. д. (метод последова-тельного перебора). Уже здесь возникает ряд интересных вопросов:например, как именно просматривать мешки, как ничего не забыть,как отмечать уже просмотренные мешки и объекты и т. д.

Вторая из стратегий, возникающая у детей и взрослых чаще все-го интуитивно и спонтанно, состоит в том, чтобы перебирать парынаугад (помните – метод «проб и ошибок»). Стратегия эта не такая ужбессмысленная, как может показаться на первый взгляд.

Задача для вас: подумайте, почему при такой стратегии имеетсяопасность затратить очень много времени или вовсе никогда не ре-шить задачу.

Y Б

А

ЕВ

А

У

ЮЖ

И

Г

Д

17

Как всегда, не надо навязывать и даже подсказывать закономер-ности детям, мы о них говорим здесь только для того, чтобы вам бы-ло проще их распознавать в действиях и не всегда достаточно внят-ных рассуждениях и объяснениях детей.

Вот пример закономерности, которую нетрудно обнаружить внашем собрании (будет справедливо сказать мешке) мешков: «Неко-торые объекты есть почти в каждом мешке, другие – только в не-большом числе мешков, третьи – во многих мешках встречаются, аво многих нет.» Начав рассматривать ситуацию под этим углом зре-ния, мы обнаруживаем, что, например, лампочка есть в каждом меш-ке. Открыв эту закономерность, мы можем «перестать видеть» лам-почки в мешках, не сравнивать мешки по наличию в них лампочки.

«Бросается в глаза» чайная ложка. В первой строке она навязчи-во маячит в правом верхнем углу мешка. Однако и в последующихмешках она присутствует почти всегда. Имеется только два исключе-ния – в нижнем ряду. Если эти два мешка совпадают, мы нашли от-вет. Но нет, они разные. Тем не менее, результат налицо, мы исклю-чаем оба этих мешка из дальнейших поисков, ни один из них не сов-падает ни с каким другим в задаче. Более того, и чайную ложку послеэтого можно «перестать видеть».

Еще одна хорошая идея – пересчитать число объектов в каждоммешке и разбить их на группы по этому числу. Такая идея уже «рабо-тала» ранее и не исключено, что кто-то из детей ее вспомнит илиизобретет заново. В нашем случае, однако, оказывается, что во всехмешках по четыре предмета.

Еще одна из идей может состоять в том, чтобы перейти от «на-глядного», но из-за различного взаимного расположения предметовсбивающего с толку представления, к более формальному. В частно-сти, перейти от мешка к его таблице. Такую таблицу удобно выписы-вать сокращенно, просто в виде списка столбиком (например, рядомс мешком), указывая в алфавитном порядке, какие объекты в мешкеесть: (В)илка, (К)арандаш, (ЛА)мпочка, (ЛО)жка, (Н)ож, (Ч)ашка. Приэтом, если мы уже исключили из рассмотрения электрическую лам-почку и ложку, столбики будут иметь высоту 2. После этого надо бу-дет искать одинаковые столбики.

Кстати, задача для вас: попытайтесь выписать все возможныестолбики высоты 2 из четырех предметов – сколько их будет?

Но повторим еще раз. При решении этой задачи необходимодать как можно больше свободы принятия решений каждому учаще-муся. Индивидуальное обсуждение способа работы с задачей полез-но только после того, как ребенок уже нашел решение или по край-ней мере достаточно много потрудился над решением и попросилвашей помощи. Эта задача является одной из подготовительных дляпроведения проекта «Одинаковые мешки». В работе над проектомбудет проведено уже общее обсуждение того, какие есть способырешения подобных задач.

Ответ: самый правый мешок в верхнем ряду и самый левый ме-

18

шок в нижнем ряду.Начать работу с Проектом «Одинаковые мешки» можно сразу по-

сле решения задачи 13. Впрочем, это можно сделать и позднее (впоурочном планировании работа с проектом запланирована на урок№ 5) – как вам будет удобнее. Описание проекта см. ниже в разделе«Комментарии к проектам».

В задаче 14. При внимательном прочтении второго утвержде-ния становится понятно, что все листья дерева Т должны быть распо-ложены на третьем уровне.

Задача 15. Мы уже говорили, что структуры, аналогичные на-шим цепочкам, деревьям и мешкам можно встретить где угодно, втом числе, конечно, и в сказках. Вообще говоря, даже житейских зна-ний ребят окажется достаточно, чтобы выполнить данную задачу.Тем не менее, перед решением задачи каждый из детей должен по-нять для себя, что ряд домочадцев, тянущих репку – это цепочка,первая бусина которой – дедка, а последняя – мышка.

Ответ:Дедка тянет из земли репку. Следующая после бабки – внучка.Предыдущая перед мышкой – кошка.Последней тянет мышка.Вторая перед Жучкой – бабка.Третья после внучки – мышка.Пятый перед мышкой – дедка.Четвертая с конца – внучка.

Задача 16. В этой задаче ограничений настолько мало, что кто-то из ребят, прочитав условие, возможно, будет просто сидеть, незная с чего начать. На самом деле это почти не важно – можно нари-совать одно из деревьев каким угодно, а затем из его бусин сконст-руировать второе дерево так, чтобы уровней в нем было больше (илименьше).

Задача 17. Необязательная. Скорее всего, дети вашего клас-са решали множество подобных задач, в которых точки пронумеро-ваны или помечены русскими буквами. Здесь ситуация посложнее:наверняка немногие из ваших учеников знают на зубок латинский ал-фавит (порядок букв). Поэтому задача 17 для большинства окажетсяне слишком простой.

Если захотите, то можно провести небезынтересную дискуссиюо частичном сходстве русской и латинской алфавитных линеек: букваА идет в алфавите раньше Д, так же и в латинском алфавите буква Aидет раньше D; буквы К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У в русском алфавитестоят в том же порядке, что и буквы K, L, M, N, O, P, R, S, T, U – в ла-тинском алфавите (впрочем, в латинском алфавите между P и R естьеще буква Q). Интересно было бы услышать от ваших детей какое-нибудь разумное объяснение этого сходства. Названия латинскихбукв дети найдут на второй странице обложки учебника-тетради.

19

Задача 18. Здесь опять «работает» уже знакомая ребятам идеяпорядка: понятия вчера и сегодня для дней недели аналогичны по-нятиям предыдущая и следующая для бусин в цепочке. Дальшебудет еще несколько таких задач, в которых будут использованы нетолько термины вчера, сегодня, и завтра, но послезавтра и позавче-ра.

Ответ: пятница, воскресенье, четверг, четверг.

Таблица для мешкаМешки-векторы

И мы с вами, и дети, которых мы учим, уже привыкли к мешкам, вкоторых лежат предметы разных сортов и к одномерным таблицамдля мешков. Надеемся, что такие математические объекты уже невызывают особых трудностей. Однако для математики введение этихобъектов оказалось достаточно важным шагом вперед. Дело в том,что числа, прежде всего, натуральные, очень удобны для измерений,например, времени (скажем, в секундах), или веса (в граммах), илипройденного расстояния (в метрах). Если, однако, мы хотим указать,не сколько мы прошли, а куда пришли, то ситуация становится слож-нее. Нам приходится указывать «два измерения» – два числа илидва символа. Это похоже на то, как мы указываем положение в горо-де (например, «угол Ленина и Розы Люксембург») или поле на шах-матной доске (например, «e2»). Самый распространенный в матема-тике способ состоит в том, что на землю наносится сетка, как на бу-маге в клетку. Если взять лист клетчатой бумаги, то с каждой клеткойна нем можно сопоставить два натуральных числа. Одно из этих чи-сел означает, сколько шагов надо сделать из нашей клетки, чтобыоказаться у левого края листа, а другое – сколько шагов надо сде-лать, чтобы добраться до нижнего края. Два таких числа называютсякоординатами квадратика. Важно, что эти два числа нельзя поме-нять местами – это не просто мешок, в котором лежат два числа, ноупорядоченная пара (цепочка!), про которую мы договорились, чтопервое число – это всегда расстояние до левого края листа, а второе– расстояния до нижнего края.

Тем не менее, координаты можно сложить в мешок. Для этогонам понадобятся бусины обязательно двух типов: бусина одного ти-па будет обозначать один шаг влево, а бусина другого – один шагвниз. Какими именно будут эти бусин – вопрос договоренности. На-пример, квадратными и круглыми, или синими и зелеными. А могутбыть просто карточки, на которых написано «влево» и «вниз». Такимобразом, каждой клетке на листе мы можем сопоставить мешок, вкотором будет сколько-то бусин «влево» и сколько-то бусины «вниз».

Построим теперь одномерную таблицу такого мешка: получимопять пару чисел, аналогичную координатам: ведь в таблице длякаждого числа ясно, число каких именно карточек оно обозначает.Получится так называемый вектор. Конечно, вектор может иметь нетолько два, а несколько параметров (чисел). Но и в нашем мешке мо-

20

гут лежать бусины многих типов. Важно, что, в отличии от множест-ва, в мешке (мультимножестве) может быть несколько объектов од-ного типа – значит, в таблице будут не только единицы и нули.

Именно с понятия вектора начинается то, что иногда называютаналитической геометрией. Эта конструкция лежит в фундаментевсей физики и многих разделов математики.

Тема нового урока – двумерные таблицы для мешков. Как выуже понимаете, с научной точки зрения двумерные таблицы – этоследующая по сложности структура – набор векторов. Конечно, мыне будем наших детей сейчас «грузить» такой сложной терминологи-ей. Достаточно того, что они научатся сортировать и классифициро-вать элементы мешка по двум признакам и аккуратно заполнять таб-лицу.

Комментарии к задачам 19–25Задача 19. В начале требуется запол-

нить четыре (одномерные) таблицы, т. е.классифицировать лица поочередно по четы-рем различным атрибутам – носу, рту, глазами бровям. Перед сильным ребенком можнопоставить вопрос – как проверить, правильноли он заполнил эти четыре таблицы. Скореевсего, сильные дети уже знают, что сумма чи-сел в каждой таблице должна быть одной итой же. Попросите такого ученика объяснить,почему так получается. Действительно, покакому бы (одному) принципу мы ни класси-фицировали лица, в сумме мы должны полу-чить то количество фигурок, которое лежит вмешке.

Ответ (одномерные таблицы): см. кар-тинку.

Вторая часть задачи – заполнение двумерных таблиц – конечно,технически более сложная. Трудность здесь, во-первых, в том, чтодети должны держать в голове одновременно два признака и полно-стью отключиться от остальных. Во-вторых, признаки, хотя и осмыс-ленные, но однотипные (палочки и закорючки), поэтому легко пута-ются, а предметы в мешке при этом не отличаются ни формой, ниразмером, ни цветом. В-третьих, одновременно с поиском лиц, уче-ник должен их еще и считать. Задание намеренно составлено такимобразом, чтобы каждый ребенок почувствовал необходимость выра-ботки какой-то системы своей работы. Лучше всего эти системы об-судить с каждым ребенком индивидуально, причем именно в тот мо-мент, когда ученик начал запутываться. Некоторые дети будут запол-нять клетки таблицы на удивление правильно, с ними не обязательносразу обсуждать, как они действуют. Не волнуйтесь, у них уже есть

8 11 7 0

4 8 5 9

15 7 4

8 10 8

21

своя система и возможно, в ходе наблюдения за работой учащихся,вы сможете позаимствовать у них какую-то новую стратегию подсче-та. Однако, тем ребятам, кто запутался и не может ничего приду-мать, необходимо помочь, самое разумное – выработать системувместе, в совместном обсуждении. В зависимости от того, к чему бу-дет склоняться ученик, мы можем предложить вам один из трех воз-можных подходов.

Первый подход состоит в том, чтобы заполнять клетки таблицыпоочередно, то есть искать каждый раз лица, где присутствуют дваопределенных признака (например, округлый нос и глаза, скошен-ные в сторону). Основные проблемы при такой работе:

1. Соскальзывание с эталона – в ходе переключения с таблицына объекты мешка ребенок может забывать, какие именно признакион ищет в данный момент и переключаться на другие;

2. Как было сказано выше, довольно сложно одновременно ис-кать лица и считать их, даже пользуясь различными пометками.

Что здесь можно посоветовать? Для устранения первой пробле-мы можно использовать шаблоны, то есть заранее нарисованные ли-ца, со всевозможными комбинациями двух признаков, которыевстречаются в таблице (всего 12 шаблонов для каждой таблицы). Та-кие шаблоны необходимы, видимо, только для самых слабых и рас-сеянных детей. Ребенку с большей устойчивостью внимания будетдостаточно нарисовать себе на черновике глаза и нос, которые онищет, и периодически поглядывать на этот образец. Для устранениявторой проблемы можно использовать пометки, то есть сначала ис-кать и помечать лица, а потом уже считать все пометки. Необходимотолько помнить – пометки должны быть такие, чтобы дети не путалилица, помеченные на текущем и предыдущих этапах. Для этого нуж-но либо после заполнения каждой клетки зачеркивать все лица, вы-деленные по этим двум признакам, либо использовать разные по-метки для каждой клетки. Для детей может оказаться довольно слож-ным придумать 12 разных пометок, поэтому проще всего пронуме-ровать все клетки таблицы и использовать в качестве пометок этиномера, при этом лучше всего «естественная» нумерация таблицы –слева направо и сверху вниз.

Второй подход состоит в том, чтобы поочередно брать лица измешка и соотносить их с определенной клеткой в таблице. Напри-мер, лицо в левом нижнем углу имеет рот прямой черточкой и «на-хмуренные» брови, значит должно находиться в верхней клетке са-мого левого столбца второй таблицы. Ставим в этой клетке неболь-шую пометку (например, палочку) и соответствующее лицо в мешкетоже помечаем (например, обводим). Когда все лица в мешке ока-жутся помеченными, посчитаем количество палочек в каждой клеткетаблицы и заменим их на полученные числа.

Третий подход – скопировать страничку учебника, вырезать всефигурки из мешка и сортировать их на столе по необходимым при-знакам. Рассортировав, посчитать, сколько фигурок оказалось вкаждой кучке и заполнить таблицу. Этот, способ, по-видимому, са-

22

мый простой. Не стоит его предлагать детям, которые хоть как-тосправляются без него. Но если вы видите, что ребенок никак не мо-жет сосредоточиться, внимание его рассеивается, то предложитеэтот способ, выдайте ему копию странички.

Выработав вместе с ребенком систему работы, подходите к не-му время от времени и проверяйте, что он этой системе следует, об-суждайте снова, что он делает. После того, как все определились состратегией и углубились в работу, возможно, ребят начнут посещатьидеи о соотношении одномерных и двумерных таблиц и о том, какэто можно использовать при решении и проверке. Например, многиеребята вспомнят, что одного из видов глаз в мешке не обнаружено.Кто-то из этого сделает совершенно справедливый вывод, что ком-бинации этого вида глаз со всеми формами носа тем более отсутст-вуют, поэтому во всех строках последнего столбца левой двумернойтаблицы нужно написать нули. Если дальше этого вывода мысль непошла, попробуйте возродить идею о соотношении одномерных идвумерных таблиц в ходе проверки. Например, спросите ребят «Гдев левой двумерной таблице находятся все лица с округлым носом?».Ясное дело, в верхней строке. «А сколько у нас всего лиц с круглымносом?» Эту информацию можно найти в первой одномерной табли-це – таких лиц всего 15. Вывод – сумма всех чисел в верхней строкедолжна быть равна 15. Если у ученика это условие выполняется, онможет переходить ко второй строке и проводить для нее аналогич-ную работу, если нет, ищет ошибку в клетках верхней строки. Послепроверки по строкам, можно провести проверку по столбцам на ос-новании информации третьей одномерной таблицы. Если все схо-дится, это гарантирует правильность заполнения двумерной табли-цы (конечно, при условии, что одномерные таблицы заполнены вер-но). Таким образом, отпадает необходимость фронтальной провер-ки, которая хотя и является самой результативной в плане выявленияошибок, но для ученика приносит мало пользы. Самая полезная про-верка – это та, в ходе которой ребенок самостоятельно нашел своиошибки.

Ответ (двумерные таблицы):

Задача 20. «Строение» деревьев и форма бусин у всех ребят вэтой задаче должны быть одинаковым, различия будут только в рас-краске бусин. Поэтому значения истинности будут также одинаковыедля первого (Л), третьего (Л) и четвертого (И) утверждений таблицы.

6 6 3 0

2 3 2 0

0 2 2 0

3 2 2 1

0 2 3 5

1 4 0 3

23

Задача 21. Некоторую трудность может вызвать применениепонятия все для одного предмета. Такая ситуация нам уже встреча-лась в задаче 7. Из других утверждений ошибки по невнимательнос-ти может вызвать четвертое утверждения – ребята могут не заметитьсиний треугольный лист, который «прячется» на пятом уровне.

Ответ: 1-е, 3-е, 6-е и 7-е утверждения истинны; остальные –ложны.

Задача 22. Необязательная. Задачу, подобную этой, мы ужерешали (№ 13). В этой задаче мешков меньше, но предметов в меш-ках больше. Можно обсудить с детьми, которые решили обе задачи,какую задачу, по их мнению, проще решать и почему. Скорее всего,эта задача покажется ребятам сложнее, чем задача 13.

Ответ: два одинаковых мешка – это третий в верхнем ряду и пер-вый в нижнем ряду.

Задача 23. Эта задача несколько проще задачи 19: во-первых,элементов в мешке меньше, во-вторых, ребятам поможет цвет, кото-рый они выделяют лучше, чем форму.

Задача для вас: сосчитаем, сколько всего мышат в мешке исколько всего в таблице. Пусть оказалось, что в таблице и в мешкемышат одинаковое количество. Значит ли это, что задача решенаправильно?

Действительно, одинаковость общего количества мышей в таб-лице и в мешке является необходимым, но не достаточным условиемправильности решения. Если эти числа не совпадают, то в решенииточно допущена ошибка, если же они совпадают, то это не обяза-тельно гарантирует правильность заполнения таблицы. Например,ребенок мог заполняя одну клетку посчитать какую-то мышь дважды,а заполняя другую клетку – пропустить одну мышь.

Таблица будет заполнена верно, если не только общее числомышей, но и суммы по строкам и столбцам будут совпадать с дейст-вительным числом мышей в мешке, обладающих именно этим однимпризнаком. Например, в мешке всего 6 мышей в красных майках,значит, сумма всех клеток верхней строки должна быть равна 6. Еслиэто свойство не выполняется для какой-то строки или столбца, то та-ким образом мы узнаем, каких мышей нужно снова пересчитывать.Этот метод можно использовать и в том случае, если у ребенка сразуне сошлось число мышей в таблице и в мешке. Чтобы не пересчиты-вать все заново, можно просто посчитать число мышей в мешке вмайках каждого цвета, а затем проверить суммы по строкам. В тойстроке, где эти числа не сойдутся, нужно искать ошибку. Если прове-сти такую работу еще ипо столбцам, то можнобудет точно назватьклетку таблицы, гдечисло вписано невер-но.

Ответ:

КРАСНАЯ

КРАСНАЯ

МАЙКАЮБКА

СИНЯЯ

ЖЁЛТАЯ

ЗЕЛЁНАЯ

ЖЁЛТАЯ СИНЯЯ

1 3 21 1 14 1 02 3 0

24

Задача 24. Продолжаем работу, начатую в задаче 18. Однакоэта задача содержит и существенный элемент новизны: теперь вкаждом из утверждений подразумевается последовательность изтрех дней. В результате утверждения превращаются из одноступен-чатых: «из А следует Б», в двухступенчатые: «из А следует Б, а из Б –В». Поясним это на примере первого утверждения: «Завтра будетвторник, значит сегодня понедельник, тогда вчера было воскресе-нье.» Несмотря на это усложнение, мы надеемся, что ребята быстросправятся с задачей.

Ответ: воскресенье, понедельник, вторник.

Задача 25. Необязательная. Главное в этой задаче – работа сутверждениями, которые по тем или иным причинам не имеют смыс-ла.

Как мы уже обсуждали, тема «Если бусина не одна. Если бусинынет» достаточно сложная и является пока необязательной. Поэтому изадача 25, конечно, является необязательной. Напомним, что нужноиметь в виду при решении данной задачи. При определении истин-ности утверждений типа «В этом слове предыдущая буква перед А –З» мы предполагаем, что в этом слове имеется буква А, причем онаодна, а также имеется предыдущая бусина перед А. Только в этомслучае мы можем достоверно сказать, что предыдущая буква З (тог-да утверждение истинно) или не З (тогда утверждение ложно). В томже случае, если буквы А в этом слове нет, если букв А несколько (тог-да просто непонятно, о какой из них идет речь) или буква А – перваяв цепочке (нет буквы, предыдущей перед А), утверждение для данно-го слова не имеет смысла. Вы помните, что эта ситуация принципи-ально отличается от той, когда мы пишем «Н», говоря, что значениеутверждения неизвестно. В таком случае мы, в принципе, не отрица-ем возможности анализа утверждения с точки зрения его истинностиили ложности, просто говорим, что информации, необходимой дляэтого анализа у нас пока нет. Если же мы сталкиваемся с ситуацией,что бусина не одна или ее нет, то мы вообще выбрасываем из рас-смотрения такие утверждения как некорректные и поэтому в принци-пе не поддающиеся нашему анализу.

На третьей странице обложки мы поместили листы определе-ний, напоминающие, в какой ситуации утверждения оказываютсябессмысленными. Наверное, самое большое число ошибок вызоветтретье утверждение для слова Z. Ошибки эти связаны с тем, что ре-бята могут пытаться как-то домыслить и переформулировать (конеч-но, интуитивно) утверждения, которые сформулированы некоррект-но. Поэтому, видя, что одна буква Е в этом слове идет позже В и дру-гая буква Е идет позже В, кто-то может сделать вывод об истинностиутверждения. Однако, мы с вами помним, что основная задача курса– привить ребятам навык мыслить в рамках формальной логики, на-учить их работать в рамках общих правил.

Ответ:

25

Цепочки цепочекДлина цепочки

Как видно из листа определений, длина цепочки – это простообщее количество в ней бусин. В пустой цепочке бусин нет, поэтомуее длина – 0. Это относится к любым цепочкам – составленным избусин, фигурок, букв и т. п.

Цепочки цепочекИ вы, и ваши ученики уже вероятно привыкли к цепочкам и легко

выделяете их в объектах и явлениях окружающего мира. Цепочки це-почек, тем не менее, могут показаться какой-то экзотикой, чистоформальными объектами. Однако, если вы задумаетесь, то поймете,что цепочек, элементы которых – цепочки, тоже много.

Как вы помните, одним из основных источников цепочек являет-ся наше наблюдение за окружающим миром и выделение в ходе со-бытий и нашем восприятии его отдельных событий и явлений. На-пример, в обычных школьных примерах естественно говорить, чторебенок утром встал, сделал зарядку, умылся, оделся, позавтракал,пошел в школу. Однако в каждом событии этой цепочки нетрудно вы-делить внутреннюю структуру: зарядку разбить на отдельные упраж-нения; в одевании обсуждать, что сначала надевается майка или ру-башка; маршрут в школу расчленить на отдельные прямолинейныеучастки и повороты. Устная речь воспринимается нами как последо-вательность слов (и в некоторых письменностях они отображаютсяиероглифами), но во многих языках слова записываются в виде це-почек букв. В арифметических выражениях отдельные числа могутлибо считаться бусинами цепочек, либо представляться как после-довательности цифр. Использование скобок и подстановка выраже-ния вместо переменной есть примеры явлений того же рода.

Списки и языки программированияСамые первые компьютеры работали с числами. Их использова-

ли для расчета траектории ракеты, которая должна была точно по-пасть в столицу предполагаемого противника или объема сырья вядерном реакторе, который должен был произвести взрывчатый ма-

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е

В этом слове следующая буква после Ш – буква И.

В этом слове предыдущая буква перед А – буква З.

В этом слове буква Е идёт позже буквы В.

В этом слове буква К идёт раньше буквы Т.

Девятая с конца буква этого слова – буква А.

В этом слове третья буква после Т – буква И.

ZVR

ИИИ

–––

–ИИ

––И

И–Л

–––

26

териал для боеголовки той ракеты и т. п. В некоторый момент, одна-ко, все больше и больше задач, решаемых компьютерами, стало от-носиться не к числам, а к текстам, иногда – к изображениям, звукам.Сегодня обработка текстов и изображений – главное занятие ком-пьютеров.

Чтобы объяснить компьютеру, что делать с текстом, надо былосоздать специальные языки программирования (язык, на которомчеловек дает инструкцию компьютеру). Самым знаменитым языком,предназначенными для обработки текстов и записи программ, моде-лирующих интеллектуальную деятельность человека, стал язык LISP.При его разработке математики и специалисты по компьютерам вос-пользовались языком, изобретенным математиками еще в 30-е го-ды. (Вообще, очень многое из примененного в компьютерной техно-логии, было открыто внутри математики еще до появления компью-теров.) Основным информационным объектом этого языка были це-почки цепочек. В LISPе они называются списками (по-английскиlists). Английское слово list вошло и в название знаменитого языка:LISt Processing (в переводе на русский язык – обработка списков).Язык LISP послужил основой для многих систем так называемого ис-кусственного интеллекта, в которых люди пытались поручить машинезадачи, например, распознавания изображений (как роботу переме-щаться в пространстве, брать деталь и обрабатывать ее) и человече-ской речи (как компьютеру понимать устные приказания хозяина).

Прогресс в этой области шел и продолжает идти, хотя и медлен-нее, чем математики ожидали в начале. Тем не менее, сегодня пер-сональные компьютеры уже очень хорошо распознают напечатанныйтекст, сносно понимают устную речь и могут исправлять ошибки уча-щегося в (письменном и устном) английском, играют в шахматы начемпионском уровне. На многих заводах сегодня число рабочих итехников исчисляется всего десятками, а роботов – тысячами; про-стейшие роботы, в том числе, распознающие изображения, нашишкольники собирают в конструкторах ЛЕГО ДАКТА. Начинается всеэто с цепочек цепочек. (Кстати, мешки тоже появились в работах поискусственному интеллекту в 60-е годы.)

Комментарии к задачам 26–35Задача 26. Задача на определение. Единственная сложность

здесь – это новый формат таблицы. Впрочем, таблица настолькопроста и «прозрачна», что скорее всего трудностей не возникнет.

Ответ:

Задача 27.Ответ: СПРОСОНЬЯ, ПОПРЫГУНЬЯ, ГОВОРУНЬЯ, ХВАСТУНЬЯ.

Задача 28. Задача на понимание новых определений. Детидолжны усвоить, что Х – это цепочка, которая, как они привыкли,

Г Е Ж И Н П

Длина цепочки 7 0 11 3 5 7

Ц Е П О Ч К И

27

имеет начало, конец и бусины, сохраняющие строгий порядок. Отли-чие от тех цепочек, с которыми раньше работали ребята, лишь одно:каждая бусина цепочки Х сама является цепочкой бусин. Именно по-этому мы называем новый объект «цепочка цепочек».

Настолько же, насколько это название естественно с точки зре-ния формальной логики, оно непривычно с точки зрения разговорно-го языка. В русском языке, как вы знаете принято избегать повторе-ния однокоренных слов в одном предложении. Поэтому структуры,похожие на нашу цепочку цепочек, стараются назвать словосочета-нием из двух разных слов. Например, принято говорить «последова-тельность месяцев», а не «цепочка цепочек дней». Только в этой не-привычности и может корениться причина того, что кому-то из ребяттема вначале покажется сложной. Ведь со структурами «двойногопорядка» ребята уже имели дело и на уроках русского языка (пред-ложение – это цепочка цепочек букв) и на уроках математики (ариф-метический пример – это структура из цепочек цифр).

При ответе на первый вопрос кто-то из ребят может попытатьсясчитать общее число бусин, входящих в цепочки цепочки Х. Такомуученику, конечно, нужно посоветовать снова вернуться к листу опре-делений.

Ответ:Длина цепочки Х равна 4.Третья бусина цепочки Х – это цепочка длины 3.

Задача 29. Обратите внимание, что среди представленных це-почек есть две цепочки цепочек цепочек. Это такие цепочки, бусина-ми которых являются цепочки цепочек. Конечно, ребята видели та-кую цепочку на листе определений (цепочка V), но видеть и понимать– не одно и то же. Что же такое, например, цепочка В? Это цепочка изодной бусины (а, значит, длины 1), которая является цепочкой и тожев свою очередь состоит из одной бусины, которая также является це-почкой и состоит из одной бусины. Головоломка? Вспомним русскиенародные сказки. Баба-Яга в сказке говорит Ивану Царевичу:«Смерть Кощея – на конце иглы, та игла – в яйце, то яйцо – в утке, таутка – в зайце, тот заяц – в кованом ларце, а тот ларец – на вершинестарого дуба». Как видно, здесь конструкция еще более сложная, нодетям она понятна.

На что тогда похожа цепочка Г? Да на то же самое, но толькоИван Царевич разбил яйцо, а там пусто. С цепочкой Г, возможно, бу-дет дополнительная проблема – некоторые ребята будут считать еепросто пустой цепочкой. Это, конечно, легко проверить по тому какони определят истинность четвертого утверждения. Вернитесь с та-кими ребятами снова к Ивану Царевичу. Если он открыл сундук и изнего выбежал заяц, можно ли считать что сундук был пустой, вне за-висимости от того, найдет Иван в конце концов смерть Кощея в яйцеили там пусто?

Ответ:

28

Задача 30. Необязательная. Полное и формальное решениеэтой задачи потребует довольно значительных усилий: нужно пере-бирать все слова и дальше отмечать каждую букву в мешке и в слове.Существует, однако, способ сократить процесс, занявшись сначалаотдельными характеристиками слов. Например, в мешке всего 5букв, значит слова, где букв не пять, можно из рассмотрения выки-нуть. В мешке две гласных, обе О, выбрасываем еще пару слов. Вмешке есть буква Р, выбрасываем те слова, где Р нет. Остается про-верить только два слова, оба они подходят. Как всегда, мы не пред-лагаем объяснять эту модель рассуждения учащимся, но вполне ра-зумно поддерживать ее элементы в их рассуждениях, или даже где-то подтолкнуть появление такого элемента.

Ответ: ТОПОР и РОПОТ.

Задача 31. Каждое слово цепочки J по имеющимся буквам иобщему количеству окон отыскивается в цепочке L однозначно. По-этому вообще говоря, ученик может начинать решать с любого словацепочки J, постепенно заполняя окна (помните, мы обсуждали по-добный вопрос в комментарии к задаче 6). Указание к задаче ещеоблегчает работу. По мере соединения найденных слов в пары, спи-сок «незанятых» слов в цепочке L становится все меньше, поэтомуискать варианты для слов цепочки J становится все легче.

Однако, эта задача, как и некоторые другие многослойна. Онаимеет несколько интересных выходов на различные вопросы курса(и не только). Попробуем проследить возможные связи. Во-первых,и L и J – это цепочки цепочек. Во-вторых, мы здесь начинаем посте-пенно подводить ребят к теме «Словарный порядок». В цепочке Lслова расставлены в алфавитном порядке, а в цепочке J – произ-вольно. Здесь, конечно, рано начинать разговор об алгоритме сорти-ровки слов в алфавитном порядке, но ребята могут сами заметить,что со словами, расставленными в лексикографическом порядке, ра-ботать удобнее.

Задача 32. Необязательная. Задача продолжает работу, на-чатую в задачах 18 и 24. Небольшое отличие в том, что здесь учаще-муся придется работать с последовательностью как из трех, так и изчетырех дней. Именно поэтому данная задача помечена, как необя-зательная.

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е

Это цепочка цепочек.

Длина этой цепочки равна 1.

Каждая бусина этой цепочки – цепочка цепочек.

Среди бусин этой цепочки есть пустые цепочки.

Среди бусин этой цепочки есть две одинаковые бусины.

Среди бусин этой цепочки есть три одинаковые бусины.

А Б Щ В Г

И И И И И

Л Л Л И И

Л И Л И И

И Л Л Л Л

И И И Л Л

Л Л И Л Л

29

Ответ: понедельник, четверг, вторник, пятница.

Задача 33. Необязательная. Подобную задачу дети уже реша-ли (задачу 4). Отличаются эти задачи только объектами, лежащими вмешках: там были буквы, а здесь бусины. Напомните детям о необ-ходимости проверки – соединения одинаковых бусин в пары.

Задача 34. В решении этой задачи удобно воспользоватьсячерновиком. Читаем первое утверждение: «В этом слове буква Еидет раньше О». Значит, пишем на черновике Е, а потом О, но толькотак, чтобы оставалось свободное место перед Е, после О и междубуквами (ведь мы же не знаем, куда придется вставлять остальныебуквы). Второе утверждение не связано с уже написанными буквами,поэтому пока оставим его и займемся третьим. Оказывается У идетпозже О, значит пишем на черновике У после О (опять оставляя мес-то между буквами). Затем возвращаемся ко второму утверждению иполучаем следующую последовательность: Е-О-У-Ы. Теперь остает-ся вставить буквы в окна в соответствии с порядком их следования вслове. Однако, кто-то из ребят впишет буквы прямо-таки мгновенно.Причина в том, что наша цепочка – осмысленное слово (БЕЛОКУ-РЫЙ), которое можно просто угадать по имеющимся буквам, вообщене читая утверждения. Это тоже не плохо, но таких ребят нужно по-просить определить истинность всех утверждений в задаче, другимисловами, доказать, что это угаданное решение нам подходит. Такимобразом, наша задача – не отучить ребят догадываться (роль интуи-ции при решении задач трудно переоценить), а научиться проверятьправильность своей догадки или находить ошибку.

Задача 35. Необязательная. Здесь от ребят потребуется уме-ние анализировать не просто утверждения, а пары: утверждения и ихистинностные значения. Для ложных утверждений придется постро-ить их отрицания – соответствующие им истинные утверждения.

Конечно, эту задачу будет довольно трудно решать, если анали-зировать утверждения по одному. Проще вначале прочесть все ут-верждения и попытаться как-то объединить их по смыслу. Действи-тельно, можно сказать, что некоторые утверждения «про одно и тоже»: первое и последнее – про длину цепочки Е; второе и пятое – проодинаковые бусины; третье, четвертое и шестое – про длину бусин-цепочек.

Проще всего сначала разобраться с длиной. Первое утвержде-ние ложно, значит длина цепочки Е не 4. Из последнего утвержденияследует, что длина цепочки меньше 5. Вывод – длина цепочки можетбыть 3, 2 или 1.

Анализируем второе и пятое утверждение и видим, что второеутверждение по смыслу является частью пятого. Итак, в этой цепоч-ке должны быть две одинаковые пустые бусины-цепочки. Добавляяэтот вывод к первому, получаем – эта цепочка состоит или из двухпустых цепочек, или из трех цепочек, две из которых пустые.

Теперь прочтем оставшиеся утверждения. Видим, что третье ут-верждение не добавляет нам новой информации. Так как мы уже вы-

30

яснили, что в цепочке есть две пустые цепочки, значит, оно автома-тически становится ложным. Аналогично и четвертое утверждениеиз-за наличия пустых цепочек не может быть истинным. Что-то новоео цепочке Е мы узнаем только из шестого утверждения – среди бусинэтой цепочки есть цепочка длины 3. Добавляя эту информацию к вы-воду, сделанному нами на предыдущем этапе, получаем что Е – це-почка, состоящая из трех цепочек, две из которых пустые, а третья –длины три. Нарисовать такую цепочку теперь совсем не сложно.

Скорее всего, ваши ребята не смогут провести все эти рассуж-дения так гладко и в полном объеме. Возможно, они выделят какую-либо одну особенность цепочки Е, а дальше начнут действовать ме-тодом «проб и ошибок», рисуя разные цепочки. Это тоже неплохо,главное, чтобы они всегда сопоставляли получившуюся цепочку с ут-верждениями из таблицы, а если что-то не сходится, то делали пра-вильные выводы.

Исполнитель РоботВ курсе третьего класса мы знакомим ребенка с исполнителем

Робот. Исполнитель – это объект, который может выполнять опреде-ленные команды. Используя язык команд, мы можем управлять дей-ствиями Робота. Конечно, поскольку это наше первое соприкоснове-ние с программированием, язык Робота (те команды, которые он«понимает») очень ограничен.

Робот всегда находится на поле. Форма поля может быть самойразнообразной. Важно только, чтобы ее можно было разделить наквадратики, то есть полем Робота может быть любая фигура, выре-занная из листа клетчатой бумаги по границам клеток.

Форму поля, раскраску клеток и положение Робота на поле мыназываем позицией Робота. В четвертом классе мы будем зани-маться различными играми, и там говорить о позиции игры. Намважна такая преемственность терминологии. Аналогично мы будемговорить о начальной позиции Робота (при выполнении программы)и начальной позиции игры (та позиция, с которой игра начинается).

Робот передвигается по клеткам поля. Он не может выходить запределы поля: он сломается, если мы дадим команду, выполняя ко-торую Робот должен пройти через границу поля. В дальнейшем полеРобота будет устроено более сложно – внутри поля появятся стен-ки, через которые он тоже не сможет проходить насквозь. Также вдальнейшем Робот будет уметь оценивать (ощущать, распознавать)те или иные параметры ситуации, в которой он оказался, например,нет ли перед ним границы поля или стенки и т. п. Но пока наш Роботэтого делать не умеет.

Программа для РоботаПрограммы, с рассмотрения которых мы начинаем, представля-

ют собой простые последовательности (цепочки) команд. Програм-ма должна выполняться последовательно, команда за командой, на-

31

чиная с первой строчки. Нельзя пропускать строчки или выполнять ихне подряд. В таком случае это будет уже совсем другая программа.Поначалу формат задач про Робота неизменен: в задаче дается про-грамма, начальная позиция и позиция Робота после выполненияпрограммы. Как правило, нужно дорисовать позицию после выпол-нения программы (выполнить программу). Конечно, такие задачи немогут быт особенно трудными – важно только понимание материалаи внимательность при выполнении. Единственно, в чем может состо-ять некоторая трудность – это в наличии в задаче двух полей: пози-ции до и после выполнения программы, и важно рисовать результатвыполнения именно на втором поле, хотя начальная точка отмеченачасто только на первом поле. Уделите этому вопросу чуть большевнимания в самом начале, чтобы в дальнейшем дети рисовали путьРобота и его положение там, где это требуется, а не там, где им за-хочется. Не забывайте также: Робот всегда закрашивает клетки, покоторым проходит, и никогда не стирает краску при прохождении за-крашенной клетки. По внешнему виду клетки невозможно опреде-лить, побывал ли в ней Робот один раз или несколько.

На вкладыше в каждой части учебника вы найдете запасные поляпрактически для всех задач о Роботе. Как вы их будете использовать– зависит от задачи и от ребенка. Это может быть либо черновик, скоторого решение потом переносится в учебник, либо наоборот –если на поле уже не возможно разобраться, что зачеркнуто, а что яв-ляется окончательным решением, то можно вырезать запасное поле,заклеить им неразбериху и аккуратно выполнить задание заново.

Комментарии к задачам 36–51Задачи 36 и 37. Это не сложные задачи на отработку новых оп-

ределений. Здесь очень важно отработать с ребятами привычку пра-вильно действовать в подобных задачах. Необходимо обратить вни-мание на следующие моменты. Работа начинается с того, что рас-краска клеток в начальной позиции переносится на поле Робота, ко-торое должно стать позицией после выполнения программы. Жир-ную точку мы пока не ставим, так как положение Робота мы собира-емся менять. В данном случае в начальной позиции закрашена толь-ко одна клетка, но, как следует из листа определения, возможна иболее сложная предварительная раскраска. Теперь переходим к ра-боте с программой. Ее необходимо выполнять шаг за шагом по сле-дующей схеме: читаем команду, перемещаемся на одну клетку в за-данном направлении, закрашиваем клетку, в которую попал Робот. Вклетке, в которой Робот оказывается после выполнения последнейкоманды, ставим жирную точку. При такой работе ошибки практичес-ки исключаются. Остается одна проблема – если ученик отвлечется впроцессе выполнения программы, то ему придется начать работу за-ново, так как он потеряет последнюю выполненную команду. Чтобыисключить возможность таких досадных помех, посоветуйте ребятампомечать в программе каждую команду после ее выполнения.

32

Ответы: (см. картинку справа).

Задача 38. Здесь программа не только болеедлинная, но и более затейливая. Выше мы упоми-нали о том, что возможно «соскальзывание» с про-граммы, то есть утеря учащимся последней вы-полняемой команды и обсуждали, как этого избе-жать. Однако, возможно и другое – «соскальзыва-ние» с текущего положения Робота, то есть утерятой клетки, где он находится после выполнениятой или иной команды. В таких задачах как 36 и 37,где Робот не проходит дважды по одним клеткам ипрограмма достаточно проста, такого обычно непроисходит. Однако, если Робот движется с возвращениями, как вданной и во многих последующих задачах, это вполне возможно.Значит, нам необходимо иметь рецепт и на этот случай. Идея оче-видна – отмечать по ходу текущее положение Робота, но вот как во-плотить ее в жизнь? Если на том же поле, на котором мы заштрихо-вываем клетки, еще помечать текущее положение, то может возник-нуть неразбериха и грязь, ведь после каждого шага предыдущее те-кущее положение придется стирать. Лучше делать это на другом по-ле, например, на запасном поле с листа вырезания. Тогда наш алго-ритм пошагового выполнения программы несколько усложнится ибудет выглядеть так:

1) читаем очередную команду; 2) заштриховываем соответствующую клетку на поле, где долж-

на быть позиция после выполнения программы; 3) помечаем точкой новое положение Робота на запасном поле,

стирая при этом предыдущую пометку; 4) отмечаем выполненную команду в программе. В данной задаче, конечно, еще можно без этого обойтись, но в

дальнейшем проблема утери те-кущего положения будет вста-вать острее. Если вы увидите, чтокто-то из ребят ошибается, тостоит уже здесь обсудить, как из-бежать проблемы в дальнейшем.

Ответ: (см. картинку).

Задача 39.Ответ: (см. картинку на следующей странице). Три цвета поме-

чены белым, серым и черным. Каким цветам они соответствуют, бу-дет зависеть от того, как именно будут расположены бусины мешкаК на первом уровне.

Задача 40. В этой задаче появляется новая деталь – «вырезан-ное», не прямоугольное, поле. На листе определений показано, что вслучае, если Роботу нужно пройти через границу поля, он ломается.Если поле «фигурное», то ограничений на передвижение Робота ста-новится больше. Впоследствии эта особенность будет использо-

ваться содержательно: напри-мер, когда программу необхо-димо будет составить самим ре-бятам. Здесь же мы просто по-казываем, что такое бывает.

Ответ: (см. картинку).

Задача 41. Необязатель-ная. Задача может занять до-вольно много времени у медли-тельных детей, поэтому мы нестали делать ее обязательной.Таблица довольно большая – 4 на 5 клеток, и есть вероятность, чтокто-то посмотрит число не в той клетке или раскрасит не тот фрукт.Чтобы этого не случилось, посоветуйте ребятам выработать опреде-ленную систему раскрашивания. Например, можно раскрашиватьфрукты по строчкам (или по столбцам) таблицы. При этом полезносразу помечать ту клетку в таблице, которую мы уже использовали.Итак, берем первую клетку первой строки таблицы, в ней стоит число2, значит, в мешке должны быть две красные вишни. Раскрашиваемдве любые вишни в мешке красным и ставим в клетке галочку, озна-чающую, что эту информацию мы уже использовали. Таким образомможно продолжать работать до тех пор, пока все клетки в таблице небудут помечены (и все фрукты в мешке – раскрашены).

Задача 42. В этой задаче в начальной позиции на поле Роботауже закрашена не одна, а несколько клеток. Содержательного ус-ложнения это пока не дает, ре-бята должны лишь привыкнуть ктому, что такое бывает, и по-мнить, что, проходя по закра-шенной клетке, Робот не меняетее цвета. Однако, здесь особуюактуальность приобретает под-готовительный этап – аккурат-ное перенесение раскраскиклеток начальной позиции на

33

М

34

поле, где мы будем выполнять программу. Ответ: (см. картинку выше).

Задача 43. Необязательная. Некоторую трудность здесь мо-жет вызвать третье утверждение: ваши ребята, скорее всего, простоне задумывались над тем, что пустая цепочка тоже может быть сло-вом – словом, в котором нет ни одной буквы.

Задачу 44. Это первое задание, где, имея позицию Робота по-сле выполнения программы, требуется заполнить пропуски в самойпрограмме. Основная идея, «работающая» при решении подобныхзадач, проста – мы не можем писать такие команды, чтобы Робот по-падал в незакрашенные после выполнения программы клетки.

Ответ: пропущенные команды определяются однозначно: вниз,влево, вверх, вправо.

Задача 45. Необязательная. Обратите внимание на букву Р,которая на картинке закрашена черным цветом. На листе определе-ний во втором классе мы договорились не считать черный цвет какотдельную область (например, границу или какие-то другие линии).Пользуясь этим правилом, мы не считаем букву Р отдельной облас-тью.

Ответ: в этой картинке 5 областей: внутренность буквы С (вклю-чая внутренность буквы Р), внутренность буквы Т и три области фо-на.

Задача 46. В этой задаче очень легко сбиться с текущей коман-ды и с текущего положения Ро-бота, поэтому придется исполь-зовать весь опыт, накопленныйв предыдущих анаполгичных за-дачах.

Ответ: (см. картинку).

Задача 47. Необязательная. Возможно, кто-то из детей по-мнит латинский алфавит наизусть, особенно в том случае, если ваширебята изучают иностранный язык со второго класса, однако, мы наэто не рассчитываем. Предоставьте ребятам самостоятельно найтидля себя подсказку: латинский алфавит есть в учебнике в двух мес-тах: на второй странице обложки и в задаче 17. Формирование уме-ния ориентировки и поиска необходимой информации – одна из ос-новных задач курса, даже если эти операции ребята пока учатся вы-полнять в пределах одной части учебника.

Ответ: истинные утверждения – 3-е и 5-е, остальные ложные.

Задача 48. Эта задача, конечно, сложнее предыдущих задач оРоботе. Робот мог начать выполнять программу из любой закрашен-ной клетки поля, включая ту, на которой он закончил свой путь. По-этому, если решать задачу «в лоб», то придется проверять каждуюпрограмму из разных стартовых позиций. Для этого нужно будет пе-ребрать 45 вариантов (9 программ на 5 возможных начальных пози-ций). Подумаем, как можно избежать такого громоздкого перебора.

35

Можно просто выполнить все программы на листе в клетку (на«бесконечном» поле). Главное при этом – не забыть отметить поло-жение Робота в конце выполнения программы (например, при вы-полнении четвертой программы Робот «закрашивает» тот же узор, нов результате оказывается в другой клетке). В таком случае мы сразупоймем, какая программа нам подходит, ведь при ее выполненииРобот «закрасит» тот же узор и остановится в том же месте, как напозиции после выполнения программы С.

Однако, выполнять все 9 программ тоже долго. Попробуем при-думать идеи, которые еще больше уменьшат перебор. Опыт, накоп-ленный во всех предыдущих задачах про Робота, может подсказатьребятам, что в ту клетку, в которой Робот должен находится послевыполнения программы, он может попасть только из одной клетки,выполнив команду вправо. Таким образом, последняя команда про-граммы должна быть вправо: вычеркиваем все программы, для ко-торых это не верно. Остается три подходящие программы, что суще-ственно уменьшает перебор.

После того, как правильная программа (вторая слева в нижнемряду) вырезана и наклеена, надо не забыть отметить положение Ро-бота в начальной позиции (вторая слева клетка предпоследнего рядаполя).

Задача 49. Необязательная. Давайте вспомним, как часто нетолько дети, но и взрослые не могут понятно объяснить дорогу из од-ного места в другое. Необходимый компонент такого умения – указа-ние ясных, четких и однозначных ориентиров, которые понятны всем.Здесь мы предлагаем один из способов указания ориентиров – лек-сику из темы «Цепочки». Это совершенно естественно, если речьидет о домах, стоящих на одной стороне улице – они действительнообразуют цепочку, если мы указали направление движения.

Ответ:Следующий дом после кинотеатра – это универсам.Второй дом после универсама – это булочная.Третий дом после кинотеатра – это булочная.Кинотеатр называется «Сказка».Следующий дом после кинотеатра – это универсам.Предыдущий дом перед универсамом – это кинотеатр.Предыдущий дом перед универсамом – это кинотеатр.

Задача 50. С подобным заданием мы уже встречались в задаче44. Попробуем использовать те же рассуждения. Начнем с того, чтовыполним первые три данные команды. Дальше команда пропущена,но мы видим, что, оставаясь в пределах заштрихованных после вы-полнения программы клеток, Робот может выполнить после этоготолько одну команду – вниз, ее и вписываем в окно. Выполняем сле-дующие три данные команды. Ситуация стала немного иной – изданной клетки Робот может, оставаясь в пределах узора, выполнитькоманду как вверх, так и вниз. Но если Робот выполнит сейчас ко-манду вверх, то не сможет затем выполнить следующую – вправо,

36

значит, подходит только команда вниз. Продолжаем выполнять из-вестные команды программы и у нас остается последнее пустое ок-но. Его мы заполняем, исходя из положения Робота после выполне-ния программы – это снова команда вниз.

Задача 51. Необязательная. Задача на повторение, а также наработу с утверждениями, не имеющими смысла в какой-то ситуации.Следует отметить, что здесь мы впервые сталкиваемся с подобнымиутверждениями для деревьев. На листах определений на с. 4–5 этатема обсуждается и приводятся утверждения, не имеющие смысладля данных деревьев. Напомните об этом тем детям, которые возь-мутся за решение задачи.

Внимание, в издании 2003 года в этой задаче опечатка: в табли-це отсутствует шапка. Обратите на это внимание детей, которые бу-дут решать задачу и попросите их перед началом решения заполнитьпустые клетки шапки – написать слово «УТВЕРЖДЕНИЕ» в столбценад утверждениями, над остальными столбцами написать имена це-почек.

Какие рассуждения могут помочь при решении этой задачи?Возьмем, например, третье утверждение – «В этом дереве предыду-щая буква перед Т – буква О». Для дерева L оно не имеет смысла, таккак буква Т в нем не одна, а для деревьев R, S, Q оно не имеет смыс-ла, так как буквы Т в них нет. В дереве N буква Т есть, причем одна.Кроме того, есть бусина предыдущая перед Т, причем, естественно,тоже одна. Эта бусина – буква О, поэтому для дерева N третье ут-верждение истинно. Аналогичные рассуждения подойдут и для чет-вертого утверждения.

Вероятно, дети заметят, что деревья устроены из знакомых имслов, но некоторые слова они или не знают, или не сразу сумеютраспознать. Если кто-то не знает значения какого-то слова, попроси-те найти его в толковом словаре.

Ответ:

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е

В этом дереве три уровня бусин.

В этом дереве все корневые буквы – гласные.

В этом дереве предыдущая буква перед Т – буква О.

В этом дереве буква С – это лист.

В этом дереве все буквы второго уровня – согласные.

Все листья в этом дереве – согласные.

SRQNL

ИЛЛЛИ

ИЛИИЛ

–––И–

ИЛИ–И

ИЛИИЛ

ЛЛИЛИ

37

Перед каждой бусиной. После каждой бусиныМы живем в мире постоянно повторяющихся событий и явлений.

Периодические цепочки играют в нашей жизни достаточно большуюроль: смена времен года, месяцев, дней недели, дня и ночи, часы,идущие по кругу – все это примеры периодических цепочек, в основекоторых лежит конструкция после каждой: после каждого дня идетночь, после каждого вторника – среда, после каждого января – фев-раль и т. д. С периодическими цепочками мы в нашем курсе пока ра-ботать не будем, а пока мы знакомим детей с понятием после каж-дой – перед каждой. Обратите внимание, что, как и раньше, наэтом листе определений мы обсуждаем ситуации, в которых утверж-дения становятся бессмысленными. На этот раз обсудите этот во-прос со всем классом. Мы надеемся, что уже к этом моменту практически все дети будут готовы понять этот материал.

Комментарии к задачам 52–65Задача 52. Обратите внимание, что первая бусина после –

это то же самое, что следующая. Формулирование одного и того жеразными словами оказывается очень полезным, особенно для даль-нейшего курса математики. Это стимулирует ребят к более внима-тельной, неформальной работе с текстом задания. Как известно,чтение задания и понимание его смысла – первый, необходимый иотдельный этап решения любой задачи.

Некоторое затруднение могут вызвать две идущие подряд крас-ные треугольные бусины. Одна из них является следующей за другойи должна быть обведена.

Задача 53. Наверняка ваши дети легко справятся с этим не-сложным упражнением на новую тему и получат в цепочке словоСКАКАЛКА. Обратите внимание на второе утверждение. Хотя дети,скорее всего, интуитивно поймут его правильно и без дополнитель-ных рассуждений, это утверждение содержит «подводные камни».Действительно, с точки зрения формальной логики (и предыдущихлистов определений) утверждение «В этом слове буква С идет рань-ше буквы Л» означает, что в данном слове есть только одна буква С иесть только одна буква Л и С идет раньше Л. Это хороший пример,который объясняет, зачем мы постоянно обсуждаем ситуации, в ко-торых утверждения становятся бессмысленными. Если кто-то из ва-ших детей задавал вам подобный вопрос («Зачем все это?»), обсу-дите с ним индивидуально, что без этого нам было бы трудно корот-ко сформулировать такое задание, как в задаче 53.

Задача 54. Эта задача далеко не такая простая, как может пока-заться на первый взгляд. Во-первых, в самом утверждении: «...тре-тья фигура перед каждой морковью – луковица» заложен принциппостроения цепочки «от конца к началу», что для детей пока сложно.Во-вторых, чтобы это утверждение стало истинным, придется учесть

38

целый ряд условий. Поэтому наш совет – поработать с начала с вы-резанными фигурками с листа вырезания – будет актуален здесь нетолько для слабых детей, но практически для всех детей класса. Дей-ствительно, скорее всего, ребята будут решать методом «проб иошибок», то есть складывать различные цепочки, проверять для нихистинность утверждения и в случае неудачи возвращаться на шаг(или на несколько) назад. В данной задаче большинству ребят пробпотребуется достаточно много. Чтобы не тратить время на стираниеи не разводить грязь в задании, мы советуем производить все пробына «запасных» фигурках. Мы уже говорили выше о преимуществахработы с телесными объектами. В самом деле, возможность легкопоменять фигурки местами, разобрать цепочку и собрать зановоздесь приводит к тому, что в ходе проб и ошибок ребенок начинаетбыстрее понимать «как все устроено», то есть, как не надо строитьцепочку и к чему необходимо стремиться.

После нескольких проб действия ученика становятся более ос-мысленными и вот уже искомая цепочка выложена на столе. Теперьнеобходимо соединить в таком же порядке фигуры в задании. Хоро-шо, если кто-то из ребят будет стремиться к тому, чтобы цепочка непересекала себя и выглядела красиво. Возможно, кто-то догадается,что здесь цвет овоща не играет никакой роли, поэтому, например,две луковицы разного цвета можно просто поменять местами.

Правильных ответов здесь много. Главное, чтобы каждый ученикпроверил истинность утверждения для созданной им цепочки.

Задача 55. Это хорошее упражнение для проверки того, на-сколько качественно дети усвоили новый лист определений.

Ответ: В данном случае у всех ребят получатся одинаковые це-почки со следующей последовательностью цветов бусин: зеленый,красный, синий, желтый, красный, синий, зеленый, красный, синий,желтый.

Задача 56. Эта задача является важной (и помечена обязатель-ной) как первая задача нового типа. Действительно, здесь нам впер-вые необходимо полностью написать программу для Робота, имеяего начальную позицию и позицию после выполнения программы. Вданном случае путь Робота достаточно прост, ему незачем возвра-щаться, проходить дважды по одним и тем же клеткам. Поэтому, ско-рее всего, программа у ребят получится следующая:

вправовверхвверхвправовправовнизвнизвнизвправовправовправо

39

вверхвверхвправо

Это не единственный годящийся вариант программы. Напри-мер, в любом месте Робот может «сделать шаг назад» и потом опятьпойти дальше по указанному пути. Такая программа уже не будетоптимальной, но мы пока вопрос оптимальности с детьми не обсуж-даем.

На примере данной задачи ребята должны выработать опреде-ленный способ действий, который поможет им при решении подоб-ных задач в дальнейшем. Самый простой способ действия – пошаго-вое написание и выполнение программы. Можно использовать приэтом запасное поле с листа вырезания. Начинаем, как всегда, с того,что переносим на новое поле начальное положение Робота. Теперь,глядя на позицию Робота после выполнения программы, прогнози-руем, куда должен двигаться Робот из начального положения. Запи-сываем первую команду, выполняем ее и так далее. При таком спо-собе действий выполнение программы играет роль обратной связи,которая, с одной стороны, дает возможность не отклоняться от дан-ной траектории Робота, а с другой стороны – не «соскальзывать» сочередной команды.

Задача 57. Впервые подобная задача становится обязатель-ной. Здесь нам требуется определить истинность утверждений,включающих только что изученные конструкции перед каждой бу-синой и после каждой бусины. Эта задача содержит несколько ин-тересных и сложных моментов. Во-первых, некоторые утвержденияне имеют смысла. Такую ситуацию ребята видели на листе опреде-лений, но в задачах еще не встречали. Например, второе утвержде-ние для цепочек Б и В не имеет смысла, поскольку у первой желтойбусины нет предыдущей, а последнее утверждение не имеет смысладля цепочки В, так как в ней вообще нет красных бусин.

Во-вторых, по форме соответствующие бусины этих трех цепо-чек одинаковы (то есть, если бы все бусины были, например, белые,то у нас было бы три одинаковые цепочки). Оказывается, эту особен-ность можно использовать в решении. Действительно, в таблицеесть утверждения, которые относятся только к форме бусин, напри-мер, третье или пятое. Значения истинности такого утверждения длявсех данных цепочек будут одинаковыми.

В-третьих, данная задача – хороший повод обратить вниманиедетей на отличие конструкции после каждой бусины от конструк-ции перед каждой бусиной. До решения задачи спросите детей,отличаются ли первое и четвертое утверждения по смыслу. Наверня-ка часть учеников скажет, что в этих утверждениях говорится об од-ном и том же. Действительно, у некоторых ребят складывается пред-ставление, что здесь конструкции перед каждой и после каждойвзаимозаменяемы. Решив задачу, можно убедиться в ошибочностиданного представления. После того, как все ребята высказались, по-

40

старайтесь ничего не комментировать, а предложите учащимся об-ратиться к задаче. По окончании решения можно продолжить этотразговор. Становится ясно, что первое и четвертое утверждения немогут совпадать по содержанию, поскольку первое для всех трех це-почек истинно, а четвертое – принимает разные значения. Если естьвозможность, то с сильными ребятами можно обсудить, почему такполучается. Все перечисленные выше особенности лучше обсуждатьс ребятами по окончании решения. Если ребята предварительно са-мостоятельно поработают с задачей, то разговор, конечно, получит-ся более продуктивным.

Ответ:

Задача 58. Необязательная.Здесь мы продолжаем закреплятьумение выполнять длинные и сложныепрограммы на вырезанном поле.

Ответ: (см. картинку).

Задача 59. Это несложная зада-ча, самое трудное в ней (как и в любойзадаче на построение объекта по опи-санию) – понять, с какого утвержденияначать. В данном случае сразу можно использовать только второе ут-верждение. Поэтому наиболее очевидное решение – нарисовать двеквадратных бусины, а затем начать их «обстраивать». Довольно быс-тро получается ответ. Слабым ученикам в случае затруднения можновыдать полный набор бусин (он есть на листе вырезания в Части 2),пусть попробуют вначале сложить такую цепочку на столе.

Задача 60. В издании 2003 г. задача по ошибке помечена какнеобязательная, хотя предпочтительнее считать ее обязательной.

В нашем курсе ребенку уже много раз приходилось выполнятьинструкцию. Здесь мы впервые сопоставляем инструкцию с ее пред-полагаемыми результатами и среди них выбираем нужный.

Какие стратегии решения здесь можно выбрать? Первая – по-очередно брать каждую из цепочек и проверять для нее пункты дан-ной инструкции. При этом, как только мы сталкиваемся с тем, что ка-кой-то пункт инструкции не выполняется, останавливаемся и выбра-

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е

Следующая бусина после каждой синей – зелёная.

Предыдущая бусина перед каждой жёлтой – зелёная.

Вторая перед каждой треугольной – круглая.

Предыдущая бусина перед каждой зелёной – синяя.

Третья после каждой круглой – треугольная.

Следующая бусина после каждой красной – синяя.

ВБА

ИИИ

––И

ЛЛЛ

ЛИ–

ИИИ

–ИИ

41

сываем данную цепочку из дальнейшего рассмотрения (например,ставим около нее прочерк). Затем берем следующую цепочку т. д.Такая стратегия подходит и для слабого ребенка (возможность запу-таться здесь минимальна), однако, времени на эту работу уйдет до-вольно много. Вторая стратегия – поочередно брать пункты инструк-ции и проверять их выполнимость для каждой цепочки. При этом, ес-ли какой-то пункт для какой-то цепочки не выполняется, то мы еесразу вычеркиваем и остальные пункты инструкции для нее уже непроверяем. За счет этого происходит некоторая экономия времени.

Ответ: Четвертая цепочка.

Задача 61. Необязательная (в издании 2003 задача по ошиб-ке помечена как обязательная). Довольно сложная задача. Большевсего она похожа на задачу 54. Снова здесь нам поможет работа стелесными объектами (используйте бусины с листа вырезания Части2). После того, как необходимые бусины окажутся на столе, ребятаначнут строить из них различные цепочки и смотреть, что получается(используем метод «проб и ошибок»). В ходе этой работы кто-то изребят может получить искомую цепочку, но это маловероятно.

Придется изобретать какой-то способ. Мы предлагаем здесьдва способа рассуждений.

Первый способ. Рассмотрим сначала второе утверждение. Внашем мешке ровно две квадратные бусины и ровно две красные бу-сины. Получаем, что в нашей цепочке должны стоять две «слипшие-ся» пары красная–квадратная. Есть всего два варианта таких пар:

либо

Рассмотрим сначала первый вариант. При таком варианте пара«красная треугольная – зеленая квадратная» никак в первом утверж-дении не участвует – она не содержит ни круглых, ни синих бусин.Рассмотрим оставшиеся бусины. Справа от второй неразлучной па-ры должна стоять синяя бусина. Это может быть либо треугольнаясиняя, либо круглая синяя бусина. Поставим треугольную:

Осталось две круглых синих. Как им найти место? Одну синюю круг-лую можно поставить перед неразлучной парой, а вторую уже поста-вить будет некуда. Поставим круглую синюю:

ЗС КК

З СКК

З СКК С

З СКК С

42

Тогда через одну после нее нужно поставить еще одну синюю – неполучается, не хватает еще синих.

Рассмотрим теперь второй вариант «спаривания» красных и ква-дратных. После пары «красная круглая – зеленая квадратная» нужнопоставить (треугольную или круглую) синюю бусину. Поставим треу-гольную:

Тогда оставшиеся две круглые синие поставить будет некуда. Поста-вим круглую:

Тогда через одну после нее должна стоять еще одна круглая. Тутесть два варианта следующих двух бусин: либо вторая неразлучнаяпара, либо две оставшиеся синие:

В первом случае оставшиеся синие бусины будет некуда поставить,во втором случае, если поставить сначала треугольную, потом круг-лую – все получается:

Второй способ. Систематический перебор по последней буси-не цепочки Щ. Действительно, последняя бусина не может бытькруглой, иначе первое утверждение не будет иметь смысла, а такжене может быть красной, иначе на все квадратные бусины красныхпросто не хватит. Поэтому на последнем месте цепочки Щ могут сто-ять: синяя квадратная бусина, зеленая квадратная бусина или синяятреугольная бусина. Теперь рассмотрим каждый случай.

Пусть последняя бусина цепочки – зеленая квадратная, тогдаперед ней – красная треугольная (красная круглая здесь стоять неможет, иначе первое утверждение потеряет смысл):

Осталось 5 бусин и 5 свободных мест, снова начинаем пробоватьразличные варианты. При этом быстро выясняется, что круглые бу-сины не могут стоять на четвертом и пятом месте, иначе становится

ЗС КК

С

С

ЗС КК

СЗС КК

СЗ СК К

С С

СЗ СК КС С

ЗК

43

ложным первое утверждение. Значит, три круглые бусины должныстоять на первых трех местах. Но тут мы приходим к противоречию.Действительно, если красная бусина первая или вторая в этой трой-ке, то за ней обязательно должна идти квадратная (что не получает-ся), если же красная бусина последняя, то она вторая после круглой,а вторая после круглой должна быть синей. Делаем вывод: послед-няя бусина цепочки Щ – не зеленая квадратная. Аналогично прихо-дим к противоречию, если последняя бусина – синяя треугольная.

Пусть последняя бусина цепочки – синяя квадратная. Тогда пе-ред ней стоит красная треугольная (см. выше).

Продолжаем эксперименты. В оставшихся пяти бусинах выделяютсядве группы – пара красная-квадратная (круглая красная и зеленаяквадратная) и остальные бусины (все они синие). Поищем место дляпары. Она не может занимать четвертое и пятое место (противоре-чие с первым утверждением). Также эта пара не может заниматьтретье-четвертое место (не будет синей на втором месте после круг-лой, стоящей на первом или втором месте). Если поставить пару навторое-третье место, то придется на первое место поставить треу-гольную синюю, а круглые встанут на четвертое и пятое место – по-лучаем противоречие, т. к. на шестом месте не синяя бусина. Остал-ся последний вариант: пара стоит на первом и втором местах:

Осталось 3 места и 3 синих бусины, но четвертой бусиной цепочки неможет быть круглая, так как вторая за ней не является синей. Полу-чаем единственную возможную цепочку:

Как видите, решение этой задачи предполагает большое коли-чество достаточно сложных рассуждений. Как приведенные здесьрассуждения помогут вам при работе над этой задачей с детьми?Какие-то отдельные идеи вполне могут помочь вам при индивиду-альной работе с учеником, который совсем запутался и не знает, чтоделать дальше или начал решать, но зашел в тупик. Если вы видите,что он упорно выбирает варианты, которые заведомо не приведут кправильному ответу, порассуждайте с таким ребенком о том, почемуименно так быть не может. В зависимости от того, какие идеи выска-зывает ученик и в чем ошибается, наметьте возможные стратегиирешения и понаблюдайте, что он делает дальше. Так по принципу«горячо – холодно» вы вместе будете понемногу подбираться к иско-мой цепочке.

СК

СК

СЗ СК КС С

ЗК

44

Задача 62. Необязательная. На этот раз у нас есть программаи «следы» Робота, но неизвестно ни начальное, ни конечное его по-ложение. Прежде всего, необходимо решить, с чего начать. Конечно,можно выбрать в качестве начального положения Робота на поле лю-бую клетку и попробовать выполнить программу Д. Однако, мы до-вольно быстро вспоминаем, что Робот закрашивает все те клетки,где он бывает. Значит, и начинать движение ему следует с закрашен-ной клетки. Итак, имеется восемь клеток, с которых, в принципе, Ро-бот мог начать движение. Видимо здесь нам снова поможет методперебора (полного или систематического). Чтобы осуществить пол-ный перебор, необходимо поочередно выбирать каждую из закра-шенных клеток в качестве начального положения Робота и пытатьсяиз нее выполнить программу (можно использовать запасное поле слиста вырезания). Если при этом получается позиция, приведенная взадании, то мы нашли начальное положение, если в какой-то моментмы вышли за пределы закрашенных клеток, то предполагаемое на-чальное положение вычеркиваем и переходим к другой клетке. Приэтом, естественно следует выполнять программу и вычеркиватьклетки на разных полях, иначе легко запутаться.

Однако, многие дети наверняка достаточно быстро догадаются,что из некоторых позиций запускать Робота просто нет смысла. На-пример, если поместить Робота в верхнюю закрашенную строку, тоон первым же ходом выскакивает в незакрашенную часть. Постепен-но становится ясно, что Робот должен начинать выполнять програм-му из второй снизу строки. И действительно, анализ программы по-казывает, что в результате ее выполнения Робот сместился по вер-тикали сначала вверх на одну клетку, а затем на две клетки вниз (по-том еще раз на две клетки вверх, но это уже не столь важно). Чтобыне выйти за пределы закрашенных клеток, ему надо стартовать всреднем ряду. Применяя то же рассуждение для перемещений по го-ризонтали, видим, что сначала Робот сдвинулся на одну клетку впра-во, а затем на две влево. Такое возможно только из средней клеткисреднего ряда, она и дает нам положение Робота до выполненияпрограммы. Осталось выполнить программу и отметить конечное по-ложение Робота.

Конечно, есть и другой способ решения таких задач. Можно вы-полнить программу на клетчатой бумаге («поле без границ») и по-смотреть, из какой клетки конечного узора Робот начал работу. Ос-танется только перенести результат на заданные поля для Робота.Этот способ, с одной стороны, сильно облегчает работу, но с другойстороны, перенесение результата может оказаться затруднитель-ным для неготового учащегося. Поэтому мы бы предпочли, чтобы ре-бенок сам изобрел для себя такой способ: сделав такое интеллекту-альное усилие, он наверняка будет способен довести решение доконца. Если же навязать такой способ решения, то продолжение ра-боты может оказаться слишком сложным для ребенка. Таким обра-зом, если ребенок затрудняется в решении, покажите ему начало ре-шения первым способом: пытаться выполнить программу из разных

45

клеток заданного поля. Если же ребенок самостоя-тельно решил задачу (при помощи клетчатого лис-та или без него), обсудите с ним, каким способомон решал и похвалите его.

Ответ: (см. картинку).

Задача 63. Необязательная. Знакомая ре-бятам задача, которая может занять много време-ни, поэтому помечена как необязательная. Вопро-сы могут возникнуть только относительно глаз со-бачки. Мы договорились не считать областями всераскрашенное черным. Однако, глаза у собачки нечисто черные, а с небольшими белыми участками.Доверьте решать этот вопрос каждому ученику насвое усмотрение, это не слишком принципиальная деталь. Главное –правильность выполнения алгоритма подсчета областей с помощьюраскрашивания. При правильном выполнении всех операций у ре-бенка должно получиться либо 14 областей, если он не считал глазасобачки, либо 16, если считал.

Задача 64. Эта задача, скорее всего, не покажется ребятамсложной, а ответы здесь могут быть самые разные. Ограничиваетфантазию детей здесь лишь условие на количество команд в про-грамме и сложная форма небольшого поля. Конечно, все учащиеся кмоменту выполнения данной задачи должны понимать, что значит,что «Робот сможет выполнить программу». Они должны помнить, чтоРобот ломается, если мы «заставляем» его пройти через границу по-ля. В данном случае задача детей написать такую программу, чтобыРобот не вышел за пределы поля. При этом, конечно, Робот можетнесколько раз проходить по одним и тем же клеткам, что еще болееоблегчает задачу.

Однако, большое число возможных правильных решений, есте-ственно, осложнит вам этап проверки (как индивидуальной, так ифронтальной). Можно провести проверку в парах: например, послетого, как оба ученика выполнили задание, можно попросить их поме-няться тетрадями и выполнить программу соседа на таком же поле слиста вырезания. Другой способ парной проверки – попросить ребяттолько написать программу Т, а затем поменяться тетрадями. В этомслучае каждый ученик выполняет не свою программу, а программусоседа. При этом если Робот ее смог выполнить, то в тетради учени-ка появляется законченное задание, а если обнаруживается ошибка,то тетрадь возвращается автору и он переделывает программу.

Задача 65. Необязательная. Внимание, в издании 2003 года вэтой задаче опечатка: не заполнена таблица. Пожалуйста, сделайтенесколько копий с этой страницы (лучше уменьшенных) и попроситетех детей, которые будут эту задачу решать, предварительно выре-зать по одному следу каждого вида и наклеить в шапку таблицы.

При заполнении таблицы можно использовать пометки или про-сто вычеркивать каждый посчитанный след.

46

Ответ:

Знаки препинания, дефис и апострофВам может показаться странным, что мы как бы «вводим» знаки

препинания после того, как ребенок выполнил проект «Знакомство срусским текстом» во втором классе. На самом деле этот лист опре-делений обобщает и систематизирует тот опыт и ту информацию,которую ребенок получил в процессе работы над упомянутым проек-том и в другой языковой деятельности.

Особенностями нашего курса, в отличие от традиционныхшкольных курсов, являются следующие:

•высокая наглядность,•тесная связь учебной деятельности с окружающей ребенка

действительностью (прежде всего – языковой),•применение в учебном процессе исследовательских методов

(знания не всегда даются ребенку в готовой форме, их приходится«добывать и раскапывать», формулировать самостоятельно).

Эти принципы связаны с наиболее глубокими и перспективнымитрадициями мировой и отечественной педагогики. С другой сторо-ны, их реализация в образовании соответствует наиболее насущнымпотребностям современного человека и общества.

Именно в силу вышеизложенных принципов мы и предложилиребенку самостоятельную исследовательскую работу по анализурусских текстов для выявления различий между прописными истрочными буквами, а также для анализа состава используемых зна-ков. Теперь же мы просто упорядочиваем те знания, которыми ребе-нок уже, в сущности, обладает.

Дефис и апострофВ традиционных школьных курсах вопрос о статусе дефиса и

апострофа обходится стороной. Мы полагаем, что знание и умениеиспользовать эти знаки – не экзотика, а элемент языковой культуры.Мы также считаем необходимым, чтобы ребенок твердо уяснил себене только чисто графические различия между дефисом и тире, но иразличие в их статусе: если тире относится к знакам препинания, тодефис по своим функциям скорее похож на букву, чем на знак препи-нания – если знаки препинания ставятся между словами и предложе-ниями, то дефис существует только внутри слова, поэтому мы и на-зываем его внутрисловным знаком.

Чисто графически апостроф – это запятая вверху строки, ноопять-таки содержательно апостроф не имеет ничего общего ни с

9 7 7 6 5 5 4 3 7

47

запятой, ни с каким другим знаком препинания. Так же, как и дефис,апостроф существует только внутри слова, выполняя функции буквы.К слову сказать, апостроф обычно встречается только в иностранныхсловах (именах собственных). Одно время он использовался вместотвердого знака, но об этом говорить детям пока нет необходимости(конечно, если никто из них сам не вспомнит, что у него на доме на-писано «ПОД’ЕЗД № 2»). Встречается и «авторские» использованияапострофа, например, когда «изоб’ажают ка’тавость»; нас такаяфункция апострофа не интересует.

Есть небольшая вероятность того, что кто-то из детей сталки-вался с одинарными ‘кавычками’ (полиграфисты называют такие ка-вычки «марровскими»). Если такой вопрос возникнет, следует объяс-нить, что это (правая марровская кавычка и апостроф) – совсем раз-ные знаки и похожи они случайно (кавычки – парный знак и не внут-рисловный).

Таким образом, формально говоря, дефис и апостроф можноотнести к символам алфавита, хотя традиционно алфавит считаетсясостоящим только из букв.

Комментарии к задачам 66–82Задача 66. Во втором классе дети выполняли аналогичную ра-

боту в проекте «Знакомство с русским текстом», где мы давали уче-никам конкретный алгоритм выполнения такого задания. Скореевсего, ребята даже не вспомнят про таблицу и не потому, что они всезабыли или эти знания вообще не нужны. Просто в данном случаетекст небольшой, знаков препинания немного и ребятам легче по-очередно посчитать сначала точки, потом запятые и т. д. На случай,если кто-то из ребят вспомнит про таблицу, заготовьте несколькотаблиц (из тетради проектов для второго класса) или просто листоч-ков в клетку, ведь такую таблицу ученик легко сможет сделать сам.

По окончании работы полезно еще раз обсудить с ребятами, какони отличали при подсчете дефис от тире и чем они отличаются посодержанию. Если есть время можно вспомнить, из какого произве-дения взят данный отрывок текста, какие события предшествовалимоменту повествования и какие за ним последуют.

Ответ:

Задача 67. Задача, возможно, несколько непривычная, ноочень полезная. Наверняка вас интересует вопрос, зачем мы даемслова на иностранном языке, да еще на французском, ведь ясно, чтона данный момент ребята с иностранными языками, если и знакомы,то лишь поверхностно. Ребенок не знает, как произносить слова, азапомнить «бессмысленную», «беззвучную» последовательность

-. , – : ; … ? ! « » ( )3 12 4 0 0 0 0 2 0 0 1 1 2

48

букв трудно даже на короткое время, тем более, что некоторые словавесьма длинны. Дело в том, что наша цель – не изучение чужого язы-ка (как обычно в школе), а погружение в новую для ребят языковуюсреду (как обычно бывает в жизни). Действительно, жизнь, так илииначе, погружает наших ребят в иные языковые среды: названия ма-газинов, наименование и состав продуктов и многое другое бываетнаписано на иностранном языке, и ребята, конечно, с этим сталкива-ются.

В действительности, все слова – это названия французских го-родов. Вот как они читаются в фонетической транскрипции, русскойграфике и принятом переводе на русский. (Обратите внимание наразличие двух последних чтений.)

Фонетическая Транскрипция Перевод транскрипция в русской графике на русский язык*

Aix-Les-Thermes [εks-le-tεrm] [�экс-ле-т�ерм] Экс-ле-Т�ерм

Bordeaux [bodo] [борд�о] Борд�о

Clermont-Ferrand [klεmo˜�fεrɑ˜] [клерм�он-фэр�ан] Клерм�он-Ферр�ан

Limoges [limo��] [лим�ож] Лим�ож

Lyon [ljo˜] [льён] Ли�он

Marseille [marsεj] [марс�эй] Марс�ель

Mont-De-Marsan [mo-də-marsɑ˜] [м�он-дэ-марс�ан] М�он-де-Марс�ан

Nantes [nɑ˜nt] [н�ант] Н�ант

Nimes [nim] [н�им] Н�им

Nogent-Sur-Seine [no�ɑ-syr-sεn] [нож�ан-сюр-с�эн] Нож�ан-сюр-С�ен

Paris [pari] [пар�и] Пар�иж

Toulouse [tulu�z] [тул�уз] Тул�уза

*) Французские топонимы, транскрипция ГУГК на стандартной карте Франции (1:1750 000, М., 1978).

Знаком н обозначается носовое произношение предшествую-щей согласной. При очень сильном огрублении можно считать, чтоздесь произносится н.

Еще одна причина появления подобной задачи именно здесь –наличие в иностранных словах большого числа дефисов. К русскимсловам типа «жили-были» или «Баба-Яга» ребенок привыкает с дет-ства, а вот к подобным словам из других языков мы потихоньку начи-наем его приучать.

Теперь давайте обратимся к формулировке задачи. Условие за-дачи говорит о том, что в цепочке должны находится все слова измешка, но про то, что в мешке лежат все слова из цепочки не гово-рится нечего, таким образом, в мешке могут находиться и «лишние»слова. В подобной задаче 31 слов в цепочках было поровну, вопро-сов возникнуть и не могло. Здесь же неправильное понимание усло-вия может поставить ребенка в тупик. Как только ученик поймет, чтослов в цепочке больше, чем в мешке, у него может возникнуть во-прос «куда их девать». Если такой вопрос возникнет у многих, орга-низуйте общее обсуждение того, что может означать вторая фраза

49

условия (естественно, опираясь, на самые простые примеры). На-пример, мама ведет своих дочек в магазин, чтобы купить каждой поодному платью. Продавщица говорит: «Для каждой вашей дочери внашем магазине найдется платье». Что она имеет в виду? Означаетли это, что дочерей должно быть ровно столько, сколько платьев вмагазине? Примеры можно продумать и более увлекательные, при-чем лучше, если несколько примеров приведут и сами дети.

Задача 68. Данную задачу можно условно поделить на две час-ти. Первая – более простая, аналогична задаче 66, с той лишь разни-цей, что там мы знаки препинания считали по отдельности, а здесь –вместе. Вторая часть (касающаяся букв) – достаточно трудоемкая.Как и в задаче 66, желательно иметь наготове несколько чистых ра-бочих таблиц (тех, что использовались в проекте «Знакомство с рус-ским текстом»). Действительно, даже взрослому человеку на первыйвзгляд кажется непонятно, как можно ответить на вопросы о буквах,не считая количества каждой из строчных и прописных букв в отдель-ности. Но приготовьтесь к тому, что найдутся дети, которые будутрешать эту задачу методом проб и ошибок, выбирая наугад какую-нибудь букву и проверяя для нее истинность утверждения. Наверня-ка, в основном это будут ребята, которые не любят рутинную работуи всегда готовы что-то придумать, чтобы ее избежать. Интересно,что в данном случае их усилия, вполне возможно, будут вознаграж-дены правильным ответом.

Действительно, используя некоторые закономерности данноготекста (и еще немного смекалки), вполне реально ответить на вопро-сы, касающиеся строчных и прописных букв. Как при этом можнорассуждать? Сначала займемся прописными буквами. Оказывается,что в данном тексте встречается не так много различных прописныхбукв – это все буквы, входящие в заголовок (Ш, А, Л, Т, Й, Б, О) ипервые буквы строк (С, В, Н). Какая из них может встречаться одинраз? Нетрудно заметить, что это не Ш и не Б (они встречаются слиш-ком часто), а также не С, не В и не Н (они встречаются в стихотворе-нии попарно), значит, это какая-то из оставшихся букв заголовка ине трудно догадаться, что О. Следуя той же логике, отыскиваетсяпрописная буква, встречающаяся в тексте трижды. Теперь перехо-дим к строчным буквам. Какая из них встречается три раза? Кто-тоиз учеников, возможно, начнет производить перебор, отбрасывая походу буквы, которых в стихотворении явно больше (например, всестрочные буквы слова Шалтай-Болтай). Некоторых, букв в данномстихотворении вообще нет, что облегчает задачу. Таким образом, неудивляйтесь, если кто-то из ваших ребят достаточно быстро найдетбез таблицы правильные ответы.

Заключением решения задачи может быть совместное выясне-ние того, кто такой Шалтай-Болтай и почему его нельзя собрать(ведь это загадка).

Ответы:В окне 6 дефисов.В окне 8 знаков препинания.

50

Один раз встречается прописная буква О.Три раз встречается строчная буква и.Три раза встречается прописная буква А.Десять раз встречается строчная буква е.

Задача 69. Необязательная. Не слишком сложная задача наповторение. Можно предло-жить ее ребятам в том случае,если есть необходимость за-крепить умение выполнятьдлинные программы «с возвра-щениями».

Ответ: (см. картинку).

Задача 70. Несложная задача на выполнение инструкции.

Задача 71. Здесь снова предлагается заняться подсчетом зна-ков препинания и внутрисловных знаков. Как вы могли заметить, взадаче фигурирует текст, русский перевод которого был использо-ван в задаче 68. Однако, мы видим, что «рисунок» знаков препинанияи внутрисловных знаков изменился как количественно, так и качест-венно. Например, исчезли дефисы и появились апострофы, а коли-чество знаков препинания значительно уменьшилось. Что это, слу-чайность или вытекает из законов грамматики русского и английско-го языков? Если ребята уже начали изучать английский язык, то мож-но это обсудить. Возможно, вам захочется прочитать стихотворениедетям вслух. На всякий случай приводим транскрипцию (в фонетиче-ском алфавите и в русской графике и подстрочный перевод.

Транскрипция в фонетическом алфавите:

[�hmpt �dmpt �s�t ɔn ə �wɔl�hmpt �dmpt �h�d ə �greit �f l�ɔl ðə �kŋz �h sz ənd �ɔl ðə �kŋz �men�kυdnt �pυt �hmpt �dmpt tυgeðər �ə�gen]

Приблизительное произношение русскими буквами: Введены дополнительные знаки:

h – для очень слабого придыхания,

ð – для з-образного звука, произнесенного вставив кончик языка

между зубами,

w – для двугубного в/у-образного звука (как в слове космонаўт у

Брежнева и Горбачева).

При очень сильном огрублении их можно заменить, соответственно, на х,

д (не з!) и в. Двойные гласные следует читать как одну долгую. На одно-

сложных словах а и ðа совсем не надо делать ударения.

[h�ампты д�ампты с�эт он а w�оол

h�ампты д�ампты h�эд а гр�ээйт ф�оол

�ол �ðа к�инз h�оосыз энд �ол �ðа к�инз м�ен

к�уднт п�ут h�ампты д�ампты туг�е �ðар эг�ен]

51

Подстрочный перевод на русский язык:

Хампти Дампти сидел на стене,

Хампти Дампти упал.

Все королевские кони и все королевские ратники

Не могут собрать Хампти Дампти заново.

Как вы видите, перевод довольно близок к оригиналу, исключе-ние – это объяснение в русском тексте немотивированного в англий-ском падения персонажа. Если у вас есть желание, можно погово-рить с детьми о загадках, о стихах, о переводе стихов и т. п.

Ответ:В окне 3 апострофа.В окне 0 дефисов.В окне 3 знака препинания.

Задача 72. По формулировке задача идентична задаче 67. Есливы подробно обсуждали с ребятами, что означает «для каждого сло-ва из мешка в цепочке найдется такое же слово», то настало времяпроверить, насколько результативным был этот разговор. Постарай-тесь не комментировать этот момент вслух с самого начала. В дан-ной задаче имеется еще одна трудность – все слова содержат илидефис или апостроф. Возможно, придется напомнить некоторым де-тям, что дефис и апостроф, как ни малы, все же являются полноправ-ными символами, и каждый из них должен записываться на отдель-ной бусине.

Задача 73 кажется довольно трудной, но на самом деле она нетакая уж страшная. Дело в том, что в ней «на одну букву» не болееодного слова. Поэтому, еслиребенок знает алфавит, то ре-шать ее будет не слишкомсложно. Надо выписать словона букву А, потом – на букву Б,потом на букву В и т. д. Еслиже «забыть» о необходимостистроить цепочку в алфавитномпорядке, то задача не решает-ся однозначно.

Ответ:

Задача 74. Задача выглядит несложной, но все же требует оп-ределенных рассуждений. Некоторые дети нарисуют бусины первогоуровня, потом к ним как-то присоединят заданные бусины второгоуровня, а к ним приделают листья. После чего, будем надеяться, ониснова прочитают условие задачи, иначе, к сожалению, им придетсяуказать на начало условия, где говорится, что уровней всего два.Уяснение данного факта является для решения ключевым пунктом.

Действительно, если учащийся это понимает, то он может ре-шить задачу и чисто формально: вначале нарисовать бусины на пер-вом и втором уровнях, затем из бусин, которые должны быть листья-

АПТЕКАБИЛЕТВЕТКАГРЯДКАДРОВАЕДАЁЖИКЖЕЛЕЗАБОР

ИГОЛКАЙОДКЛУМБАЛОДКАМЕТРОНЕДЕЛЯОПУШКАПОЛЕНОРУЧКА

СЛЕПОЙТРАВАУЛИЦАФАКЕЛХОЛКАЦИФРАЧАШКАШАПКАЩЕПОТКА

52

ми, нарисовать стрелочку и наконец, соединить бусины в дерево (этобудет в данном случае уже совсем просто). Если ребенок любит рас-суждать, то он, скорее всего, использует следующие соображения.Так как дерево имеет два уровня, то все бусины второго уровня – ли-стья. Однако, видим, что не все листья – бусины второго уровня, зна-чит остальные – бусины первого уровня. В данном случае корневаяжелтая круглая бусина – лист, а синяя квадратная – не лист.

Задача 75. Необязательная. Ребята уже решали задачи и по-сложнее, поэтому не стоит сразу предлагать им воспользоваться те-лесными бусинами, лучше сделать это только в случае затруднений.Бумажные бусины можно вырезать из листа вырезания второй частиучебника. Сильный ребенок на текущем этапе должен быть уже готовпровести некоторые рассуждения, опираясь на два данных утверж-дения.

Например, всего в цепочке 8 бусин, 6 из них – синие, а две – несиние (любого другого цвета). При этом синие бусины не могут сто-ять ни на первом, ни на втором месте, иначе первое утверждение небудет иметь смысла. Итак, с цветом определились, пусть, например,первые две бусины – красные, остальные естественно синие, теперьразберемся с формой. Какую форму должна иметь первая бусинацепочки? Конечно круглую, ведь она вторая бусина перед синей. Тоже самое можно сказать про вторую, третью и т. д. бусины цепочки.Оказывается, что не обязаны быть круглыми только последние двебусины, вообще-то они могут иметь любую форму.

Самое простое – это нарисовать восемь круглых бусин и начатьих раскрашивать.

Как вы понимаете, ответов может получиться много, главное,чтобы соблюдались все перечисленные выше условия.

Задача 76. Это уже полноценная задача на расста-новку слов в алфавитном порядке. В отличие от преды-дущего подобного задания (№ 73), здесь отсутствуютподсказки в виде вписанных слов и букв. Дополнитель-ная сложность состоит в том, что первое слово в цепоч-ке – начинается не на А (и даже не на Б). Кроме того, вмешке есть слова на одну букву, что тоже обычно за-трудняет работу детей. Если вы следуете приведенномув этой книге планированию, то ребята уже выполнялиподобную работу в проекте «Лексикографический поря-док». В разделе, посвященном этому проекту мы по-дробно описали, какие ошибки могут возникать при ре-шении подобных задач, как и какие правила формули-ровать с ребятами, как постепенно переходя от простыхупражнений к сложным, сделать работу в проекте есте-ственной для учащихся. Однако, на примере данной за-дачи ребятам предстоит понять, насколько проще упо-рядочивать слова, написанные на карточках, чем «сло-женные» в мешок, поэтому необходимо подумать и об

ДОМДОРОГАДОРОГОЙЖАРЕНЫЙИГОЛКАКОНФЕТАЛЕНТАМАШИНАНАСМОРКОЧЕНЬРУССКИЙСЛОВОУТЮГФИНИКХОРОШОЦИРКЧАШКАШИШКАЩЁТКА

53

организации своей работы. Возможно, вам при оказании помощиребятам помогут следующие советы. Во-первых, можно помечатьслова в мешке, уже использованные в цепочке. Это поможет избе-жать пропусков слов из мешка, а в случае пропуска поможет быстронайти потерянное слово. Во-вторых, как обычно, при решении лучшепользоваться простым карандашом. В-третьих, можно вначале рас-ставить слова в мешке в алфавитном порядке, например, пронуме-ровав их, а затем по номерам записать их в цепочку.

Ответ: см. цепочку слов на предыдущей странице.

Задача 77. Необязательная. Ребята уже решали подобные за-дачи и с буквами (№ 53), и с бусинами (№ 59, 61), поэтому даннаязадача является дополнительной и помечена как необязательная.Мы надеемся, что для большинства детей она не будет сложной. За-метим, что САПСАН – это разновидность сокола.

Ответ: САПСАН.

Задача 78. В этой задаче алфавитный порядок слов в цепочкеустанавливается по вторым буквам слов. Если проигнорировать не-обходимость расстановки слов в алфавитном порядке, то в одномместе мы натолкнемся на неоднозначность заполнения (пара ВКУС-НЫЙ – ВЛАЖНЫЙ), востальных случаях окнав словах заполняютсяоднозначно. Тем не ме-нее, знание алфавитапоможет ребенку быст-рее справиться с зада-чей.

Ответ:

Задача 79. Необязательная. Подобную задачу мы уже решали(№ 62). Ребята, скорее всего, будут решать ее методом «проб и оши-бок» и возможно случайно найдут правильное начальное положение,но чтобы найти его наверняка, нужно воспользоваться методом пе-ребора. Если ребята поработали с задачей 62, то им уже ясно, чтоначальным положением Робота является одна из закрашенных кле-ток. Таким образом, решение состоит в том, чтобы поочередно ста-вить Робота в закрашенные клетки и пытаться выполнить из них дан-ную программу. Если получилась позиция, совпадающая с даннымположением Робота после выполнения про-граммы, значит, мы нашли ответ, если нет,то вычеркиваем эту клетку и продолжаем пе-ребор. Заметим, что перебор можно суще-ственно уменьшить, если внимательно по-смотреть на команды программы. Действи-тельно, сразу можно вычеркнуть клетки, изкоторых нельзя выполнить две первые ко-манды вправо. Таких клеток оказываетсядовольно много и остается проверить толь-

ВАЖНЫЙВБОКВВОЛЮВДОЛЬВЕЛИКИЙВЁДРАВЗАПРАВДУВИДНЫЙ

ВКУСНЫЙВЛАЖНЫЙВМЕСТОВНАЧАЛЕВОЛЬНЫЙВПРОКВРЕДНЫЙВСКОЛЬЗЬ

ВТОРОЙВУЛКАНВХОДНОЙВЪЕЗДНОЙВЫХОДНОЙВЬЮНОКВЯЗАНЫЙ

54

ко пять оставшихся клеток (см. рисунок выше), это ребятам вполнепод силу.

В результате находим начальное поло-жение Робота. Проверьте, что ребята не за-были отметить также и положение Роботапосле выполнения программы на соответст-вующем поле.

Следует обратить внимание на некото-рое отличие данной задачи от задачи 62.Вы, конечно, заметили, что узор, которыйзакрасил Робот в результате выполненияпрограммы, довольно причудливый. Этоприводит к тому, что нам очень сложно ста-новится анализировать отдельно положениеРобота на поле по горизонтали и по верти-кали (как мы это делали в задаче 62). Поэто-му попытки продолжения анализа програм-мы с целью еще уменьшить перебор не даютбольшого эффекта. Здесь оказывается про-ще честно проверить все оставшиеся вари-анты.

Ответ: (см. картинки).

Задача 80. Необязательная. Задача довольно сложная. Дей-ствительно, в данном случае однозначно по количеству букв опреде-ляются только МАЙ и СЕНТЯБРЬ, при заполнении других окон пол-ной однозначности нет. Например, имеется три месяца из четырехбукв: ИЮНЬ, ИЮЛЬ и МАРТ. Если ученик не успел еще об этом по-думать, то, увидев цепочку из четырех пустых окон, может написатьтуда, предположим, МАРТ, в этом случае довести до конца решениеуже не удастся. Поэтому в данной задаче ребенок не сможет дейст-вовать чисто формально, ему каж-дый раз придется сопоставлятьсразу несколько окон и слов, рас-суждать и прочее. При этом, ко-нечно, возможны ошибки. Какобычно при решении непростыхзадач есть смысл, по крайней ме-ре вначале, работать каранда-шом.

Ответ: (см. картинку).

Задача 81. Необязательная. Если ребенок затрудняется и вамхочется ему помочь, предложите ему для начала подумать, кудавставить буквы О из мешка. Но лучше, все-таки, пусть сам догадает-ся.

Ответ: ПОПОНА.

Задача 82. Необязательная. Эта задача для развлечения и от-дыха.

СЕНТЯБРЬ

АВГУСТ ОКТЯБРЬНОЯБРЬ ИЮЛЬ ИЮНЬ

ДЕКАБРЬ МАРТМАЙ АПРЕЛЬ

ФЕВРАЛЬЯНВАРЬ

55

Операции и их аргументыВ математике и в жизни мы часто говорим об операциях; всякая

операция к чему-то применяется и дает какой-то результат. Со мно-гими операциями вы хорошо знакомы – это, например, сложение,умножение и другие арифметические операции. Результат операциив общем виде так и называется – «результат», в частном случае –сумма, произведение, частное и т. п. То, к чему операция применяет-ся, может называться по-разному – операнды, аргументы, исходныеданные; в частных случаях – слагаемые, сомножители и т. д. В школечаще всего говорят об аргументах. «Исходные данные» – тоже непло-хое название; в информатике часто употребляют название «операн-ды». Мы условимся называть исходные данные аргументами. Чащевсего мы встречались с операциями, у которых два аргумента ( на-пример, сложение). В то же время операция смены знака имеет одинаргумент, один аргумент и у операции взятия обратного (минус пер-вой степени), и у операции «абсолютная величина» (модуль), и у опе-рации «синус». Нетрудно придумать операцию, у которой три аргу-мента. Можно ли представить себе операцию с переменным числомаргументов? Оказывается, да, и несложно. Это, например, операциясложения произвольного количества чисел. Операции с переменнымчислом аргументов можно представлять себе и как операцию с од-ним аргументом. Например, мы можем себе представить, что опера-ция сложения применяется к одному мешку чисел или к одной цепоч-ке чисел. Этот вполне ясный и удобный способ известен в математи-ке довольно давно. Математики даже придумали знак Σ (греческаяпрописная буква «сигма») и знак Π (греческая прописная буква «пи»)для обозначения операций взятия суммы и произведения любогочисла слагаемых / сомножителей (то есть, по-нашему – мешка). Этотподход нашел широкое применение и в некоторых языках програм-мирования. Мы тоже его применяем в разных ситуациях. Как вы мо-жете заметить, в случае склеивания цепочек мы как раз его и исполь-зуем. Фактически мы склеиваем несколько цепочек, но применяемоперацию к одному аргументу – одной цепочке цепочек.

Склеивание цепочки цепочекРазбиение цепочки на части и соединение частей – операции

очень естественные. Так в курсе русского и других языков ими зани-мается морфология (как часть грамматики). Бывает морфология идругих объектов, не языковых, а, например, растений и животных.Продолжая список аналогий, можно сказать, что склеивание цепочкицепочек больше всего напоминает стыковку нескольких поездов (цепочки поездов) в один состав. При этом сохраняется как последо-вательность вагонов в каждом поезде, так и порядок следования по-ездов. Если посмотреть на склеивание цепочек цепочек с точки зре-ния количества бусин, то из арифметических действий эта операциябольше всего напоминает сложение. Действительно, если мы склеи-ваем две цепочки – длиной три и пять бусин соответственно, то полу-

56

чаем цепочку из восьми бусин. Наряду с этим сразу обнаруживаютсяи различия данных операций. Как известно, сложение обладает пе-реместительным свойством, а при склеивании мы сохраняем поря-док следования бусин-цепочек. Вообще, если говорить о сложениичисел, то оно больше напоминает ссыпание объектов из несколькихмешков в один, поскольку здесь идея порядка практически никак непредставлена. Уместней сравнить склеивание цепочки цепочек сосложением нескольких многочленов. Рассмотрим следующий при-мер:

(а + в + c) + (k + d) + (t + f + l + y) = а + в + c + k + d + t + f + l + y

В самом деле, это очень похоже на операцию склеивания (ко-нечно, если добавить сюда идею порядка). При склеивании оболочкииграют роль скобок, которые в результате выполнения операциипросто убираются. Справедливости ради все же стоит заметить, чтопри выполнении операции сложения многочленов нам безразлично,стоит ли каждый из них в отдельных скобках, наши действия не изме-нятся, если мы будем работать, например, с таким примером:

(а + в + c) + k + d + (t + f + l + y) = а + в + c + k + d + t + f + l + y

А при склеивании мы рассматриваем только такие цепочки, каж-дая бусина которых находится в своей отдельной оболочке. Если унас цепочка цепочек цепочек и мы производим двойное (тройное и т.д. склеивание), то у нас всегда выполняется условие – для каждойконкретной бусины (в том числе и для пустой цепочки) общее числооболочек, «надетых» на нее всегда одинаково. Если переводить наязык сложения многочленов, то операция двойного склеивания мо-жет выглядеть так:

((а + в + c) + (k + d)) +((t + f) + (l + y)) = = ( а + в + c) + (k + d )+ (t + f) + (l + y) = а + в + c + k + d + t + f + l + y

Обратите внимание, при многократном склеивании мы соблю-даем строгую очередность раскрытия оболочек от внешних к внут-ренним, то есть при первом склеивании убираются только внешниеоболочки цепочек, которые для исходной цепочки цепочек являютсябусинами.

Еще один сложный момент связан с поведением пустой цепочкипри склеивании. Действительно, при склеивании от пустых цепочекничего не остается (так и написано на листе определений). Такимобразом, список общих черт операций сложения и склеивания мож-но продолжить. Как вы знаете, у операций сложения и умноженияесть так называемые нейтральные элементы: при прибавлении нуляи умножения на 1 число не меняется. Логично считать пустую цепоч-ку аналогом нуля в сложении, так как в ней нет ни одной бусины. Зна-чит пустая цепочка – нейтральный элемент относительно операциисклеивания.

57

Комментарии к задачам 83–108Задачи 83, 84 и 85 – упражнения на закрепление темы нового

листа определений. В задаче 83 ребята потренируются склеиватьцепочки, содержащие пустые цепочки-бусины. По окончании реше-ния можно поговорить с ребятами о том, на какие процессы из жизнипохоже склеивание цепочки цепочек вообще и склеивание с пустымицепочками в частности. Например, ребенок проводит выходной: ут-ром помогает маме, днем делает уроки на завтра, вечером гуляет.Каждая из перечисленных частей с одной стороны выглядит вполнеобособлено, а с другой сама представляет собой цепочку различныхдействий. Однако, уже на следующий день цепочка этих цепочексклеивается и начинает восприниматься просто как последователь-ность различных действий. При этом, если ребенок днем не делалничего (ну просто совсем ничего), то этот промежуток времени про-сто исчезает и от него ничего не остается; ровно также дело обстоити с пустыми цепочками. Заметьте, что цепочка Щ моделирует ситуа-цию «пустой день», когда ребенок утром ничего не делал, днем ниче-го не делал и вечером тоже ничего не делал. Такие дни, часто вооб-ще выпадают из памяти, как будто их не было вовсе.

Ответ к задаче 83:

В задачах 84 и 85 мы склеиваем цепочки цепочек цепочек. Призатруднении учащийся опять-таки может прибегнуть к помощи листаопределений (третий пример). Скорее всего, ошибки будут возни-кать в задаче 85. Усвоив, что пустая цепочка при склеивании пропа-дает, учащийся может убрать вторую бусину цепочки Р сразу, припервом же склеивании. Вы, конечно, понимаете, что вторая бусинацепочки Р не является пустой цепочкой. Нам уже приходилось встре-чаться с такой цепочкой в задаче 29. В комментарии к задаче 29 мы свами обсуждали, как разубедить заблуждающихся ребят и какиепримеры можно им привести. В конце концов, ребята должны по-нять, что при первом склеивании пропадают только внешние оболоч-ки цепочек. Поэтому склеенная цепочка Р состоит из трех бусин, од-на из которых пустая, а при следующем склеивании бусин будет ужедве.

Ответ к задаче 84:

⊕⊕Я

⊕⊕Н

З К С Ж С К К КС

К К КЗ ЗЖ ЖС

⊕⊕Щ

⊕⊕П КЗ Ж

58

Ответ к задаче 85:

Задача 86. Здесь мы напоминаем ребятам о том, что в началь-ной позиции Робота могут уже содержаться закрашенные клетки (на-пример, Робот закрасил их раньше,выполняя на этом же поле другую про-грамму). Программа Ф довольно боль-шая, но результат ее предсказуем –Робот закрашивает на поле все белыеклетки.

Ответ: (см. картинку).

Задача 87. В данной задаче ребятам предстоит впервые выпол-нить операцию, обратную склеиванию (условно можно назвать ее«разрезание»). Здесь уже не достаточно формального использова-ния листа определений, необходимо еще уметь идти с конца, от ре-зультата. Чтобы нарисовать цепочку J, учащийся должен очень четкопонимать, о чем говорится в условии, и обязательно разбираться взначках. Если вы видите, что ребенок сидит и не знает с чего начать,стоит спросить его, что означает данный значок (склеивания) и чтовообще необходимо сделать в задаче. Как только ученик поймет, чтонужно нарисовать цепочку цепочек, причем такую, чтобы при еесклеивании получалась цепочка U, надеемся, дальнейшая помощьему не потребуется. Дальше мы начинаем просто резать цепочку Uна куски (можно на два, на три или четыре) и обводить каждый кусокв отдельную оболочку, вот и все. Кто-то из сообразительных ребят,глядя на предыдущие задачи, начнет вставлять между получившими-ся кусками пустые цепочки. Таких учеников нужно поддержать.

Задача 88. С одной стороны, данная задача дает возможностьдетям почувствовать себя в роли сочинителей задач типа 83–85, по-нять, как могут появляться подобные задачи. С другой стороны, за-дача напоминает о том, что склеивание разных цепочек может при-водить к одному результату. С подобной ситуацией ребята сталкива-ются и на других уроках. Например, одно число можно представить ввиде нескольких различных сумм. Если при решении предыдущейзадачи вы не обсуждали с ребятами вопрос о том, почему столькоразных правильных ответов, то здесь стоит обратить на это внима-ние. Действительно, при выполнении операции склеивания цепочкицепочек у всех ребят получался один ответ, а здесь ситуация совер-шенно иная. Интересно послушать, как объясняют это учащиеся.

⊕⊕⊕⊕П КЗ Ж

⊕⊕Р З Ж

⊕⊕⊕⊕Р З Ж

59

Тем детям, кто справился с решением этой задачи очень быст-ро, можно предложить нарисовать цепочку-решение заданной длины(например, длины 7 или 12) или выяснить, является ли решением нарисованная вами цепочка.

Решений у задачи 88, конечно, гораздо больше, чем два, кото-рые требуется предъявить.

Задача 89. Необязательная. Подобные задачи уже встреча-лись нашим детям много раз. Решать ее можно по-разному. Самыйпрямой способ – рассмотреть сначала первое утверждение и найтиместо для одной буквы К. Затем, пользуясь вторым утверждением,поместить букву О (перед К) и найти место для второй пары О-К. Воставшееся после этого пустое окно необходимо просто вставитьбукву О.

Ответ: ОКОРОК.

Задача 90. Эта задача начинает небольшой цикл подобных за-дач. Цель этих задач – использование сочетаний кванторов поня-тий каждый и есть. С каждым из этих понятий в отдельности детиуже поработали достаточно много. Теперь акцент сделан именно наразличных сочетаниях кванторов.

При решении задачи 90 ребята могут столкнуться с двумя труд-ностями. Во-первых, в задании фигурируют два вида мешков: мешкимешков («внешние» мешки) и мешки с бусинами («внутренние» меш-ки), которые названы одним и тем же словом – мешок; кто-то из ре-бят может запутаться, где какой мешок имеется ввиду. В этом случаеможно прямо в условии сделать пометки – «внешний» и «внутренний»или «большой» и «маленький». Тогда, например, вторая фраза усло-вия приобретает вид: «Отметь галочкой один мешок мешков (боль-шой), в каждом мешке (маленьком) которого есть две одинаковыебусины».

Во-вторых, как мы уже упоминали, достаточно сложной можетоказаться логическая структура высказывания, поскольку содержитдва квантора: для каждого и есть. Если кому-то из ребят трудносразу понять структуру текста задания, то порассуждайте вместе.Нужно разобраться со всеми мешками: где есть две одинаковые бу-сины, а где их нет. Можно те мешки, где есть пара одинаковых бусин,как-то специально пометить. (Как всегда, надо проследить, чтобыпометки отличались от галочек, которые нужно поставить в соответ-ствии с заданием.) Чтобы довести рассуждения до конца, спросите:«В большом мешке, сколько должно быть мешков с двумя одинако-выми бусинами?» Читая условие, ребята обязательно обратят вни-мание на слово «каждый». Это означает, что каждый из трех (или че-тырех) внутренних мешков должен содержать две одинаковые буси-ны. Теперь посмотрим, в каком «большом» мешке все «маленькие»мешки оказались помечены. После такого обсуждения каждый ребе-нок скажет, что искомый мешок – второй слева.

Задача 91. Для того, чтобы справиться с этой задачей, доста-точно уметь склеивать цепочки цепочек и владеть основными поня-

60

тиями, касающимися цепочек. Ее можно использовать для текущегоконтроля. Несмотря на внешнюю простоту, это задание достаточноважное. В процессе его выполнения мы выделяем период в перио-дической цепочке. Похожие ситуации встретятся у нас при рассмот-рении циклических программ и конструкции повторения у Робота.

Ответ:

Задача 92. Необязательная. Похожие задачи ребятам ужевстречались. В данной задаче оказывается возможным сначала ре-шить вопрос о цвете пропущенных бусин, а затем о форме. Напри-мер, из первого утверждения следует, что пятая бусина – синяя, извторого – что вторая бусина зеленая, из третьего – что шестая буси-на красная. Не определился только цвет третьей бусины. На самомделе он может быть любым, в том числе, и синим, но не обязательно.Теперь начинаем разбираться с формой бусин. Интересно, что вданном случае самое простое решение одновременно и самое есте-ственное – просто раскрасить окна в найденные цвета, то есть сде-лать все бусины квадратными. Действительно, поскольку ни в одномутверждении про квадратные бусины не говорится, то на истинностьданных утверждений квадратные бусины не повлияют. Таким обра-зом мы получили цепочку Г (на самом деле с учетом возможных цве-тов третьей бусины мы получили 6 разных вариантов цепочки Г).Возможно, кто-то из ваших ребят захочет определить форму недо-стающих бусин по-честному, то есть провести полные рассуждения.В этом случае важно только проследить выполнение условия, есликакие-то бусины в окнах окажутся круглыми, треугольными илисиними.

Задача 93. Данная задача аналогична задаче 88, только теперьцепочка у нас составлена из букв, а не из бусин. Решений у этой за-дачи будет очень много.

Задача 94. Необязательная. О работе с такими задачами смо-три в комментариях к задачам 4 и 33.

Задача 95. Наверное, некоторые дети разобьют цепочку на от-дельные осмысленные слова. Другие разделят «как попало». И тех, идругих следует похвалить. Одних – за то, что они догадались, «чтоздесь написано», других – за математичность и формальность под-хода. Вероятно, у них разные стили восприятия и мышления.

Задача 96. Необязательная. Данная задача продолжает се-рию заданий на создание программ для Робота (см. задачи 56 и 64).Однако, здесь положение Робота до выполнения программы не за-дано. На самом деле начальным положением для Робота может слу-жить любая из закрашенных клеток, и в зависимости от выбора клет-ки, возможные варианты программы Е могут быть самыми разными,

⊕⊕Э Ж С Ж С Ж С Ж С Ж С

61

в том числе и по длине. Естественно, чем больше Робот возвращает-ся, то есть чем больше клеток он посещает дважды, тем длиннеепрограмма. При этом правильным ответом считается любая про-грамма, в результате выполнения которой Робот закрашивает на по-ле данный узор. При этом наверняка ваши ученики будут стремитьсяк простоте программы интуитивно, из соображений здравого смыс-ла. Большинство ребят «запустят» Робота из конца верхней или ниж-ней палочки буквы Е.

Задача 97. Задача отличается от подобных задач на «разреза-ние» цепочки лишь наличием дополнительного условия – одна из бу-син будущей цепочки уже задана. В таком случае нужно начать с то-го, чтобы найти в склеенной цепочке Ц часть, совпадающую с цепоч-кой Ч. В данном случае кусок, совпадающий с Ч, определяется одно-значно, что сразу дает нам первую и третью бусины цепочки. Поэто-му данная задача имеет единственный ответ.

Задача 98. Необязательная. Данная задача по сути соединяетв себе две: в первой части необходимо выполнить операцию склеи-вания цепочки цепочек, а во второй – обратную операцию («разреза-ние»). Обе эти операции ребятам знакомы, поэтому ваша помощь,скорее всего не потребуется. Многие ученики, возможно, выполняютоба действия совершенно формально: для того, что склеить цепочкустирают внешние оболочки, а чтобы выполнить обратную операцию– дорисовывают их. Это вполне допустимо, но здесь интересно идругое: понимают ли ваши ученики различие между цепочками Ш иМ. Чтобы это проверить, попросите ребят описать цепочку Ш, объяс-нить, что является ее бусинами. Важно, чтобы в процессе этого раз-говора прозвучало, что Ш – цепочка, состоящая из одной бусины –цепочки М, а М – цепочка, состоящая из 12 бусин.

Задача 99. Необязательная. Подобные задачи нам уже встре-чались (см. 54, 59, 61 и др.). Главное отличие данной задачи в том,что значки, которые в ней использованы, – непривычны, и детямпридется достаточно много раз обращаться к сноске, чтобы вспом-нить, какой значок обозначает какой вид спорта.

Несложно заметить, что, во-первых, фигурок каждого вида спор-та у нас поровну и, во-вторых, 4 фигурки различных видов можносложить в один фрагмент цепочки так, что оба утверждения стано-вятся истинными. Это означает, что дальше можно будет просто про-должать выкладывать фигурки в том же порядке, пока они не кончат-ся. При этом утверждения подсказывают нам порядок следованиязначков в каждом из четырех фрагментов: «велоспорт– фехтование –футбол – теннис», или «фехтование – велоспорт – теннис – футбол».

Задача 100. Если в задаче 60 детям пришлось решать задачу насопоставление инструкции с множеством ее предполагаемых ре-зультатов, то здесь мы имеем обратную задачу: надо сопоставитьрезультат с возможными вариантами инструкции и выбрать подхо-дящий.

62

Способов работы здесь, как всегда, много. Возможно, ребятабудут выполнять инструкцию до конца с каждым пунктом, приведен-ным на листе вырезания. Не отговаривайте таких, но дайте совет:можно подписывать цвета простым карандашом на бусинах первойцепочки и затем стирать. Так они затратят меньше времени и избе-гут грязи в тетради.

Ответ: Раскрась предыдущую бусину перед каждой красной синим.

Задача 101. Необязательная. Во втором классе, говоря о це-почках, мы приводили множество примеров объектов и явлений, по-строенных по принципу цепочки. Здесь мы предлагаем детям пора-ботать еще с одним таким примером. Интересно, что в данном слу-чае направление цепочки противоположно направлению движенияживотных. Действительно, начало и конец цепочки задает условие:«Первым идет аист… Последним в цепочке идет жираф», в соответ-ствии с этим мы и будем вписывать слова в утверждения.

Ответ:Первым идёт аист.Жираф идёт четвёртым после аиста.Страус идёт позже аиста/жеребёнка.Вторым с конца идёт слонёнок.Жеребёнок идёт раньше страуса/слонёнка/жирафа.

Третьим идёт аист/жеребёнок/слонёнок/жираф.Аист/страус/слонёнок идёт третьим перед жирафом.

Задача 102. Необя-зательная. Решение – вбыстром поиске в мешкеслова с очередной вто-рой буквой (А, Б, В, Г...).Задача решается одно-значно, даже если не об-ращать внимания на ал-фавитный порядок. Но сучетом порядка она ре-шается гораздо быстрее.

Ответ:

Задача 103. Необязательная. Формально все очень просто –в ходе первого склеивания убираем внешние оболочки (конечно,вместе со стрелочками), в ходе второго – повторяем то же самое сновой цепочкой. Однако для детей, которые всегда хотят добратьсядо сути и прежде понимать, а потом уже делать, все может оказатьсяне так просто. Порассуждайте вместе с таким ребенком, вспомнитепро Кощееву смерть (комментарий к задаче 29), попытайтесь приду-мать похожие примеры.

Ответ:

САБЛЯСБОРНИКСВЕТЛЫЙСГИБАТЬСДЕЛАТЬСЕВЕРСЁМГАСЖИМАТЬСЗАДИ

СИЛАЧСКАТЕРТЬСЛАБЫЙСМЕШНОЙСНАЧАЛАСОБАКАСПАСИБОСРАЗУССАДИНАСТАКАН

СУББОТАСФЕРАСХОДИТЬСЦЕПИТЬСЧАСТЬЕСШИТЬСЭРСЮДАСЯДЬ

63

Задача 104. Необязательная. Эта задача принадлежит к одно-му из наиболее сложных типов – на построение (достроение) объек-та по описанию. То, что ребята работают со столь знакомым и род-ным для них объектом – расписанием, – делает задачу более зани-мательной и увлекательной, но не делает ее более простой. Кто-тоиз детей может обратить внимание, что в этой задаче речь идет о це-почке цепочек слов: это цепочка дней, каждый день при этом – це-почка слов.

С самого начала стоит посоветовать детям работать каранда-шом. Легко заметить, что задача разделяется на три части: можно поотдельности восстанавливать расписание каждого дня.

Понедельник. Первое утверждение позволяет однозначно по-ставить на первое место урок чтения, а на пятое место – урок приро-доведения. После этого второе утверждение дает нам возможностьрасставить на места уроки русского языка и музыки.

Среда. Третье утверждение указывает на два возможных местадля урока английского языка: четвертое и пятое. Если учесть второеутверждение, то получаем, что английский язык должен стоять начетвертом месте (а, соответственно, математика – на первом), а ис-тория – на пятом. Урок русского языка, о котором становится извест-но из первого утверждения, становится на последнее свободное –второе – место.

Пятница. Здесь ситуация посложнее. Начнем и здесь с послед-него утверждения. Из него следует, что урок литературы идет черезодин после математики. У нас есть две возможности так поставитьуроки: либо первый и третий, либо третий и пятый. Попробуем, на-пример, второй вариант: впишем карандашом в расписание на пят-ницу литературу пятым уроком, а математику третьим. Читаем ос-тавшиеся утверждения. Из первого следует, что история стоит позжематематики, значит, она идет шестым уроком. Из второго утвержде-ния следует, что музыка идет позже истории, но у нас это уже не воз-можно. Итак, вариант «третий – пятый» не прошел, попробуем дру-гой. Стираем написанные уроки и ставим математику на первое мес-то, а литературу – на третье. При этом первое утверждение выполня-ется автоматически, ведь математика – самый первый урок. Второеутверждение позволяет расставить уроки музыки и истории.

Возможно, приведенные здесь рассуждения помогут вам приработе с учеником, который запутался или не знает с чего начать, нопостарайтесь не отбирать у ребенка лавры «создателя» Мишиногорасписания.

Ответ:

⊕⊕К

⊕⊕⊕⊕К

64

Задача 105. Необязательная. Знакомая задача, но обратитевнимание – в фигурах много квадратиков, поэтому ребятам нужнобыть особенно внимательными, чтобы ничего не упустить и не пере-путать. Лучше всего, конечно, иметь какую-то систему работы. На-пример, можно работать сначала на одной фигуре – просматриватьклетки слева направо и сверху вниз. Если клетка закрашена, то пере-ходим к следующей, а если нет – ищем аналогичную клетку на второйфигуре. Если клетка на второй фигуре закрашена, то нашу клетку за-крашиваем в тот же цвет, если нет – не делаем ничего. После того,как мы закончили работать с первой фигурой, мы уже для второй фи-гуры решаем более простую задачу – «сделай фигуру такой же». Ес-ли ребенок раскрашивал бессистемно, то особую актуальность при-обретает этап проверки. Проследите за тем, чтобы все ребята убе-дились в том, что фигуры действительно одинаковые.

Задачу 106. Необязательная. Как и всегда при решении по-добных задач, мы рекомендуем вырезать такие же фигурки с листавырезания и составить цепочку на столе, просто передвигая выре-занные фигурки. Строим сначала несколько фрагментов цепочки, на-пример, «крокодил – слон», «тигр – слон – жираф» (этот фрагмент мыстроим с конца). Потом построенные фрагменты объединяем в однуцепочку.

Задача 107. Необязательная. Задача имеет много разных ре-шений, но именно от этого многообразия ребенок и может расте-ряться. Первый вопрос, с какого условия начать. В данном случае на-иболее конкретную информацию дает нам последнее утверждение,ставим в пятую бусину вопросительный знак. Теперь есть смысл по-искать другие утверждения, связанные с вопросительным знаком, ихдва: третье и предпоследнее. Ставим точку в любую бусину, идущуюраньше вопросительного знака, а тире – в любую бусину, идущуюпозже. У нас есть утверждение, связанное с точкой, читаем его и ста-вим закрывающуюся скобку позже точки. Интересно, что куда бы мыдо этого не поставили точку, место для закрывающейся скобки мож-

ПОНЕДЕЛЬНИК СРЕДА ПЯТНИЦА

4 Информатика

3

1

2 Математика

5

6

5

6

4

2

3

1

4

3

2

1

6

5

Чтение

Русский язык

Природоведение

Музыка

Английский яз.

Русский язык

Математика

Литература

История

Музыка

Русский язык

Информатика

Математика

Литература

История

Музыка

65

но найти всегда. Остается заметить, что оставшиеся утвержденияникак не связаны с уже поставленными знаками, причем они не зада-ют конкретных мест для оставшихся знаков, а говорят лишь о поряд-ке между ними. Собственно все эти утверждения говорят лишь то,что двоеточие идет из оставшихся знаков позже всех, поэтому ста-вим его в последней свободной бусине, три оставшихся знака рас-ставляем как угодно.

Задача 108. Необязательная. Эта последняя задача Части 1 –необычная. Она обращает ребенка к реальному миру и реальномутексту. От ребенка требуется прочесть и, главное, понять естествен-но-научный текст, выудить из него то, что нужно для решения задачи,и затем ее решить.

Решение. Пронумеруем для удобства силуэты птиц:

Из второго абзаца текста узнаем, что силуэты с вытянутыми но-гами (2, 3 и 8) – могут быть силуэтами журавля, аиста и цапли. Аистау нас нет. Цапли втягивают голову в плечи, значит, 3 – это серая цап-ля. Итак, журавль – это 2 или 8.

Из третьего абзаца выясняем, что у уток и гусей лапы не выда-ются за пределы туловища и длинная шея. Под это описание подхо-дит только 6, значит 6 – это серый гусь (утки у нас нет).

Из третьего же абзаца выясняем, что силуэт гагар кажется ко-роткокрылым и видны сравнительно большие лапы. Лапы виднытолько у 2 и 8 силуэтов, но короткокрылым можно назвать только 2.Итак, 2 – это чернозобая гагара. А значит, 8 – это серый журавль (доэтого мы знали, что журавль – это 2 и 8).

Итак, остались силуэты 1, 4, 5 и 7. Из пятого абзаца выясняем, что коршун и канюк имеют широкие

и длинные крылья – это силуэты 1 и 4. Коршун имеет вырезку в хвос-те, значит 4 – это черный коршун, а 1 – это канюк.

Кан�юк Серый гусь

С�окол чегл�ок

Чернозобаягаг�ара

Чёрный к�оршун

5Ястреб-тетерев�ятник

Серый журавль

8 дую птицу с её силуэтом.

Серая цапля

1 2

34

5

6

78

66

Остались ястреб-тетеревятник и сокол чеглок. Из шестого абза-ца не очень ясно, какой же силуэт принадлежит ястребу-тетеревят-нику, зато из седьмого абзаца совершенно ясно, что 5 – это соколчеглок – у него узкие заостренные на конце крылья почти серповид-ной формы. А, значит, оставшийся силуэт 7 – это ястреб-тетеревят-ник (тем более что писание этого силуэта не противоречит шестомуабзацу).

Контрольная работа № 1. Ответы и решенияЗадачи контрольной работы мы поместили на вкладыше. Вы мо-

жете вынуть эти листы из учебников заранее, с самого начала рабо-ты с учебником, чтобы не искушать детей решить задачи до срока.Для этого же мы сняли с этих страниц название «Контрольная рабо-та», остались только номера вариантов. При этом первое число в но-мере варианта – это номер контрольной работы (их всего две в го-ду), а второе число – номер варианта. Страницы расположены так,что каждый вариант помещен на двух сторонах одного листа.

Задача 1. Ответов здесь может быть довольно много, в зависи-мости от того, насколько много Робот в ходе выполнения программы«возвращается». Мы приводим самые короткие программы (из 5 ко-манд). Таких для каждого варианта имеется лишь две:

Вариант 1 Вариант 2вправо вправо влево влевовправо вниз влево внизвниз вправо вниз влевовлево вверх вправо вверхвправо вниз влево вниз

Возможны и более длинные программы. Главное, чтобы позиция по-сле выполнения такой программы совпадала с данной в задаче.

Задача 2. В этой задаче все бусины, кроме первой, раскраши-ваются однозначно. Первая бусина цепочки, вообще говоря, можетбыть совершенно любого цвета. Поэтому, мы в ответе оставили этубусину белой, хотя, скорее всего, дети раскрасят ее.

Ответы:

NКК

К

ЗЗ

З СС

С

RСС

С

ЗЗ

З

К

К К

67

Задача 3. Здесь правильных ответов настолько много, что при-водить какой-то один или даже несколько просто бессмысленно. Вкаждой конкретной работе необходимо проверить истинность всехприведенных утверждений. Заметим, лишь, что листьями в дереве Z(в первом варианте) могут быть не только согласные, но и гласные.Важно только, чтобы все согласные были листьями. Аналогично вовтором варианте согласные тоже могут быть листьями, но все глас-ные должны быть листьями.

Задача 4. Ответы:

Задача 5.Ответы:

Вариант 1. Вчера была среда, значит завтра будет пятница.Завтра будет четверг, значит, вчера был вторник.

Вариант 2.Вчера был вторник, значит завтра будет четверг.Завтра будет пятница, значит, вчера была среда.

Задача 6. Необязательная.Ответ:

Вариант 1ПОВИДЛО ПОМИДОРПОГРЕБ ПООХАТЬПОЕХАЛИ ПОРЕЗПОЖАЛЕТЬ ПОТЁМКИПОЙТИ ПОЦЕЛУЙПОКАЗАТЬ ПОШЁЛ

⊕⊕X

⊕⊕Y

К С СЖ ЖЗ

К Ж К

⊕⊕⊕⊕Y К Ж К

⊕⊕S

⊕⊕T

С К ЖК ЗЖ

Ж С З

⊕⊕⊕⊕T Ж С З

68

Вариант 2ПОБЕЖАЛ ПОПУГАЙПОЖАР ПОСТОВОЙПОЗДНО ПОУТРУПОИТЬ ПОХОЖПОЛОМАТЬ ПОЧЕМУПОНЯТЬ ПОЭЗИЯ

Комментарии к Части 2

Путь дереваВетвление

Ветвление времени, возможность выбора в истории всегда за-нимала философов и теологов. Если весь ход истории заранее запи-сан в Книге или спланирован Господом, то что зависит от человека?Проблема эта неоднократно обыгрывалась и в научной фантастике.В частности, «Эффект бабочки» (Рей Бредбери) состоит в том, чтовыбор, случившийся в далеком прошлом и выглядящий там весьманезначительно (раздавленная бабочка), приводит к достаточно ра-дикальным изменениям в истории цивилизации, грамматическиеправила и политические партии становятся иными.

В математике и информатике ветвящееся время и возможныемиры – один из основных способов формального задания смыслалогических высказываний в различных формальных языках. Это по-пытка отразить в формальных языках особенности естественных, вчастности – такие понятия, как «возможно», «необходимо», «вероят-но», «когда-то», «желательно», «доказуемо». В другой ветви матема-тики рассматриваются «теория катастроф» и «теория хаоса», такжеизучающая то, каким образом очень маленькие изменения и незна-чительные ветвления приводят к глобальным эффектам.

Этим, однако, применение формальных деревьев и их графиче-ских представлений в человеческой практике не ограничиваются.Очень полезными оказываются деревья при классификации. Тогдаветвление соответствует выбору того или иного значения признакаклассификации. Например, можно классифицировать детей в школепо параллелям, внутри параллели – по буквам (третий «Б»), потом –по алфавиту или как-то еще.

В современном компьютерном мире широко распространилисьдеревья ссылок в составе так называемых гипертекстов. Однако де-ревья ссылок от одного слова к другому существуют и в обычных, бу-мажных, энциклопедиях.

Языковые структуры тоже удобно представлять в виде деревьев.

Полный перебор и деревьяКак вы уже знаете, конструкция полного, исчерпывающего пере-

бора важна в нашем курсе и вообще в жизни. (Представьте себе насекунду поиски пропавшего паспорта в квартире или ровно «той са-

69

мой» кофточки. В этой ситуации бывает нужно последовательно про-смотреть все места, полки, ящики и т. д. Часто вещь находится «в са-мом неожиданном» месте, там, куда вы ее положили, «чтобы она непропала». Надеемся, что в реальности вам не приходится занимать-ся такими поисками.)

Конечно, иногда бывает очень нужно сократить перебор, приду-мать, где вещи точно не может быть и т. п. Но прежде чем изобретатьразные стратегии сокращения перебора, нам следует понять, как ор-ганизовать действительно полный перебор. Выписывание всех путейдерева является примером полного перебора; с другой стороны, вомногих случаях перебор естественно представить себе в виде пере-мещения по дереву. Например, в случае поисков в квартире можносоотнести со всей квартирой корневую вершину (если вы уверены,что вещь в квартире, что к сожалению, не всегда так: вы могли за-быть ее на работе либо у знакомых или просто потерять на улице);следующие вершины – это комнаты квартиры; за комнатами идутшкафы, полки и столы, стоящие в комнатах; в шкафах есть отделенияи полки и т. д.

Комментарии к задачам 1–34Задача 1. Задача на понимание нового листа определений. По-

этому, если вы видите, что кто-то из учащихся упорно выписываетцепочки, которые путями дерева D не являются, попросите его ещераз разобрать примеры листа определения и внимательно прочитатьтекст. В тексте задания написано «Нарисуй …три разных пути дере-ва...». В данном дереве нет одинаковых путей. В дереве D всего 4 пу-ти – БУК, БУР, МИГ и МИР, все они различны и любые три в данномслучае устроят нас как ответ.

Задача 2. Такие деревья вполне осмысленны с точки зрения со-временной лингвистики. В данном дереве всего 6 путей, поэтому за-дание «напишите шесть разных путей дерева» здесь означает то же,что и «выпишите все пути дерева». Хорошо, если это заметят самиребята. Если этого не прозвучит – ничего страшного, разговор обэтом у нас еще впереди. Главное, чтобы учащийся нашел все 6 путейи убедился, что они действительно разные (как и в предыдущей за-даче, одинаковых путей в дереве J нет).

Ответ:ДЕТИ ЛЕТОМ КУПАЮТСЯДЕТИ ЛЕТОМ ЗАГОРАЮТДЕТИ ЛЕТОМ ИГРАЮТДЕТИ ЗИМОЙ КАТАЮТСЯ НА КОНЬКАХДЕТИ ЗИМОЙ КАТАЮТСЯ НА ЛЫЖАХДЕТИ ЗИМОЙ КАТАЮТСЯ НА САНКАХ

Задача 3. Данная задача требует от ребят уже более глубокого,неформального понимания того, что такое путь дерева. Дети могутзаметить, что некоторые пути дерева (выходящие из разных корне-вых бусин) совершенно не связаны между собой, то есть бусины, ко-

70

торые принадлежат одному пути, не принадлежат другому. Совер-шенно иной будет ситуация, если два пути «выходят» из одной корне-вой бусины. В этом случае корневая бусина определяет начало сразунескольких путей, которые из нее «выходят». Так, например, прогу-ливая школу, ученик определяет несколько возможных сценариевдальнейшего развития событий, связанных между собой и неприят-ных. Эти сценарии никак не связаны с развитием событий в том слу-чае, если бы он пошел в школу.

Скорее всего, ребята начнут решать задачу методом «проб иошибок», ставя различные знаки в различные бусины и проверяя ус-ловия. Здесь постепенно и начнет формироваться «идея связи». Входе экспериментов ребята начнут понимать, что нельзя поставить вкорневую бусину, из которой берут начало 4 пути, ни знак приорите-та, ни знак сервиса. Действительно, в этом случае мы задаем сразу 4пути и тогда путей в дереве потом у нас просто не хватит. Если же мыпоставим в эту бусину запрещающий знак, то дальше решение дост-раивается само собой – во все следующие за ней бусины мы ставимтакже запрещающие знаки, за той из них, что не является листом, то-же ставим запрещающие знаки. Итак, первое условие выполнено –есть четыре разных пути, все знаки в которых запрещающие. Приэтом все оставшиеся пути, оказывается, никак не связаны между со-бой, их можно строить по отдельности, три из знаков приоритета,один из знаков сервиса. Количество знаков на листе вырезания вданной задаче также не накладывает никаких дополнительных огра-ничений.

Данную задачу можно также рассматривать как хороший поводпродолжить знакомство со знаками дорожного движения. Вы, веро-ятно, помните, что задание с подобными объектами мы уже выпол-няли (Часть 1, № 5). Тогда в комментарии к задаче мы советовалиобсудить с ребятами смысл данных знаков и поговорить о них. Те-перь можно продолжить эту работу на другом наборе дорожных зна-ков. Ниже мы приводим информацию об использованных в задачедорожных знаках.

«Главная дорога».Дорога, на которой

предоставлено правопреимущественного

проезда нерегулируемыхперекрестков.

«Конец главной дороги»

«Пересечение совторостепенной

дорогой»

«Примыканиевторостепенной дороги»

«Примыканиевторостепенной дороги»

«Уступите дорогу».Водитель должен уступить

дорогу транспортнымсредствам, движущимсяпо пресекаемой дороге.

«Движение безостановки запрещено»

«Преимуществовстречного движения».

Запрещается выезд наузкий участок дороги, если

это может затруднитьвстречное движение.

«Въезд запрещен»

«Движение тракторовзапрещено»

71

«Движение гужевыхповозок запрещено».

Запрещается движениегужевых повозок (саней),

верховых и вьючныхживотных, а также прогон

скота. «Движение навелосипедах

запрещено». Запрещаетсядвижение велосипедов и

мопедов.«Движение грузовых

автомобилей запрещено»«Движение пешеходов

запрещено»

«Движение запрещено».Запрещается движение

всех транспортныхсредств.

«Обгон запрещен»

«Обгон грузовымавтомобилям запрещен»

«Подача звуковогосигнала запрещена».

Запрещается пользоватьсязвуковыми сигналами,

кроме тех случаев, когдасигнал подается для

предотвращения дорожно-транспортногопроисшествия.

«Движение мотоцикловзапрещено»

«»Ограничениемаксимальной скорости».

Запрещается движение соскоростью (км/ч),

превышающей указаннуюна знаке.

«Ограничение длины».Запрещается движение

транспортных средств(составов транспортных

средств), Габаритнаядлина которых (с грузом

или без груза) большеуказанной на знаке.

«Разворот запрещен»

«Поворот налевозапрещен»

«Поворот направозапрещен»

«Кемпинг«

«Место отдыха»

«Пост дорожно-патрульной службы»

«Больница»

«Автозаправочнаястанция»

«Техническоеобслуживаниеавтомобилей»

«Телефон»

«Мойка автомобилей»

«Пункт питания»

«Питьевая вода»

«Гостиница или мотель»

ДПС

72

Задача 4. Несложная задача на повторение темы «Перед каж-дой бусиной, после каждой бусины». Здесь от ребят требуется толь-ко аккуратность. Детям может быть интересно, как постепенно, в хо-де выполнения инструкции, проясняется структура цепочки, котораяпервоначально была не видна.

Задача 5. Это первая задача на новую тему, где требуется непросто выписать какие-нибудь пути дерева, а найти путь, удовлетво-ряющий определенным условиям. Эту работу будут затруднять осо-бенности дерева G. Во-первых, оно достаточно большое, во-вторых,слишком много одинаковых бусин на одном уровне (в том числе всекорневые бусины одинаковые). Задание (а) включает также новуюдеталь – словосочетание «путь длины 2»: путь – это цепочка, что та-кое длина цепочки, ребятам известно, значит, речь идет просто о це-почке длины 2. Найти ее не слишком сложно, так как деревья мы все-гда рисуем по уровням (и ребят приучаем к тому же). Поэтому доста-точно найти на втором уровне хотя бы один лист и пометить путь, ко-торый в него ведет (это слово КУ). Найти путь КРОНА оказываетсясложней. Здесь ребята, скорее всего, воспользуются методом пере-бора, просматривая пути один за другим до тех пор, пока не найдутнужный. Кто-то, конечно, может и схитрить. Действительно, КРОНА –путь длины 5, значит, его последняя бусина находится на пятомуровне. Последняя бусина этого пути – А, значит остается найти напоследнем уровне все бусины А (таких оказывается всего 4) и прове-рить все пути, идущие в эти листы. Если бы все корневые бусины илихотя бы бусины второго уровня были различны, то это задание вы-полнять было бы гораздо проще.

Задание (в) – самое сложное. Если ваши ребята в первых двухзаданиях могли случайно наткнуться на решение, то здесь идея пе-ребора приходит в головы все большему числу детей. Учитывая вто-рое утверждение, можно вести перебор только путей длины 5 (по ли-стьям последнего уровня), но и такой перебор будет достаточнобольшим. Поэтому предоставьте ребятам достаточно времени длявыполнения этого задания. Возможно, сообразительные ребята, несклонные к рутинной работе, придумают нечто, чтобы отсечь частьвариантов. Это очень хорошо, но не стоит требовать этого от всех.Например, нетрудно догадаться, что последняя буква искомого путине может быть гласной, иначе первое утверждение потеряет смысл.Тогда перебор по возможным буквам последнего уровня уже гораз-до меньше, их всего 5. При этом обнаруживается только два подхо-дящих слова – КРОЛЬ или КРЕСТ.

Задача 6. Необязательная. Несложная задача на повторениетемы «Склеивание цепочки цепочек». Здесь от ребят потребуетсяумение анализировать фрагменты слов.

Задача 7. Эта задача начинает серию задач – задач на работу столковым словарем. В задании даются толкования нескольких слов.Ребенок должен с помощью толкового словаря, который находитсяна вкладыше, определить истинность данных толкований. В наш тол-ковый словарь мы специально включили слова либо устаревшие, ли-

73

бо малоизвестные. Это сделано для того, чтобы ребенок был вынуж-ден при решении задач обращаться к словарю. Если кто-то из детейскажет, что может выполнить отдельные фрагменты задания и безсловаря, пусть он это сделает, а затем попросите его проверить пословарю правильность его решения.

На первых порах мы предложим детям не слишком сложные ва-рианты толкования: толкования слов будут либо полностью совпа-дать с токованиями, данными в словаре, либо, напротив, совершен-но с ними не совпадать. Позднее, в основном в необязательных за-дачах, мы предложим детям и более сложные варианты толкований.

Задачи на работу с толковым словарем вносят некоторое разно-образие в наши задачи на логику, а кроме того, как всякие «словар-ные» задачи, закрепляют знание алфавитного порядка. Но, пожалуй,не менее важная цель такого рода задач – привить ребенку привычкупользоваться толковым словарем, узнавая значение незнакомыхслов.

Ответ: второе утверждение ложно, остальные истинны.

Задача 8. Эта задача имеет довольно много ответов. Тем не ме-нее, здесь необходимо предоставить ребятам достаточно временидля самостоятельной работы. Если вы видите, что кто-то из ребят незнает, с чего начать, поговорите с ним о том, как он понимает, на-пример, фразу «В дереве есть три пути длины 2». На самом деле, этоусловие означает то же, что и «на втором уровне есть три листа».Когда ученик понял смысл всех условий, решение становится совсемпростым. Необходимо помнить, что все бусины должны быть круглы-ми. Цвет бусин существенной роли в данной задаче не играет, по-этому при дефиците времени бусины можно оставить нераскрашен-ными.

Задача 9. Данная задача представляетсобой комбинацию двух типов задач, с кото-рыми ребята по отдельности уже встреча-лись. Первый – вписать в программу пропу-щенные команды, когда начальная позицияи позиция Робота после выполнения про-граммы известны. Второй – найти началь-ное и конечное положение Робота на поле,если дана программа и ее результат. Здесьучащимся предстоит сделать и то, и другое.Прежде всего, конечно, стоит определитьначальное положение Робота на поле. Этоможно сделать разумным перебором, ставяРобота в любую закрашенную клетку и начи-ная выполнять команды. Оказывается, невыходя за пределы закрашенных клеток, триначальные команды программы можно вы-полнить только из одной клетки. Разобрав-шись с начальным положением Робота, уженетрудно установить пропущенные команды– влево, влево. Лучше всего по окончании

74

этой работы еще раз проверить себя – выполнить получившуюсяпрограмму из найденного начального положения Робота, например,на запасном поле с листа вырезания. Проконтролируйте также, чторебята не забыли отметить положение Робота на поле до и после вы-полнения программы.

Ответ: (см. картинку выше).

Задача 10. Данная задача – хорошая возможность сформиро-вать у детей понимание, откуда в дереве берутся одинаковые пути.Путь – это цепочка, значит, нам нужно найти две одинаковые цепоч-ки. Конечно, такую задачу можно решить, сравнивая каждую цепочкус каждой, но в случае, если цепочки – пути одного дерева, появляют-ся свои особенности. Скорее всего, ребята начнут хаотично сравни-вать пути, проглядывая дерево слева направо, сверху вниз и т. п. Од-нако, в ходе этой работы у детей постепенно начнет формироватьсяпонимание, где и что нужно искать (а также где искать не нужно). Во-первых, станет ясно, что одинаковыми могут быть лишь те пути, ко-торые выходят из одной корневой или из двух одинаковых корневыхбусин. Например, нет смысла сравнивать крайний правый путь икрайний левый, ведь уже первые бусины этих цепочек разные. Такимобразом, дерево К можно разделить на две части и искать пары оди-наковых в каждой части отдельно. Это пути, выходящие из синейквадратной бусины, и пути, выходящие из двух оставшихся одинако-вых треугольных синих. Это уже сильно облегчает задачу – из боль-шого дерева мы получили два небольших. Искать стало проще.

Если у ребят возникнет вопрос, как пометить два одинаковых пу-ти, попросите сделать это так же, как в задаче 5.

Ответ: Одинаковыми являются два пути, которые соответствуюткрасным круглым бусинам-листьям шестого уровня: пятой и восьмойслева.

Задача 11. Необязательная. Задача содержит два существен-ных ограничения: с одной стороны, Робот в ходе выполнения про-граммы должен закрасить все незакрашенные клетки, а с другой –длина программы не должна быть больше 16 команд, а, значит, нуж-но постараться как-то «экономить» команды. Какие соображения приэтом помогут? Из предыдущих задач про Робота можно было понять,что удлиняют программу «возвращения», то есть ситуации, когда Ро-бот без необходимости ходит по одним и тем же клеткам. В нашейзадаче добавляется и еще одно – чем меньше Робот будет ходить поизначально закрашенным клеткам, тем лучше.

Задача 12. Необязательная. Если начать рассматривать усло-вия с конца, то возникает естественное решение: последняя бусина– это конец длины 3 цепочки ⊕Г, первые две цепочки одинаковы.Правда, в результате получается цепочка длины 3, а не 4. Ситуациюможно исправить, поставив на третье или четвертое место пустуюцепочку.

Возможно и другое решение, тоже с использованием пустых це-почек. Ставим на первое и второе место пустые цепочки, затем идетцепочка длины 6, затем – «хвост» цепочки ⊕Г длины 3.

75

Задача 13. Необязательная. Элементов в мешке много, по-этому ребятам придется придумать какую-то систему, чтобы ничегоне потерять (см. рекомендации к задачам 19 и 23, 1 часть). Особуюактуальность приобретает этап проверки. Самое лучшее, если ребя-та проверят не только совпадение общего числа букв в таблице и вмешке (это, как было сказано ранее, не обеспечивает правильностиответа, хотя и позволяет выявить многие ошибки), но совпадениечисла букв по строкам (по цветам) и по столбцам (по каждой букве вотдельности).

Приводим здесь названия букв старославянской азбуки (кирил-лицы).

А Б В Г Д Е Жаз б�уки в�еди глаг�оль добр�о есть жив�ете

Ѕ З И Ї К Л Мзел�о земл�я �иже и к�ако л�юди мысл�ете

Н О П Р С Т унаш он пок�ой рцы сл�ово тв�ердо ук

Ф Х љ Ц Ч Ш Щферт хер от, ом�ега цы червь ша шта

Ъ Ы Ь ќ Ю ђ Яер ер�ы ерь ять ю я юс малый

Њ Ѓ ’ Ј ¬юс большой кси пси фит�а �ижица

Ответ:

Задача 14. Поскольку эта первая задача на новую тему, мы, какобычно, закрепляем в ходе ее решения именно тот материал, кото-рый содержится на листе определения, а также отрабатываем пра-вильный способ выполнения новой операции – построения всех пу-тей дерева. Понаблюдайте за тем, как работают ребята. Самый ра-циональный способ действия следующий. Находим свободный лист,двигаясь от конца, выписываем путь, ведущий в него, затем помеча-ем этот лист, чтобы по ошибке не выписать этот же путь еще раз. Вданной задаче вместо пометок можно сразу соединять лист с соот-ветствующим путем. Хорошо также пользоваться некоторой систе-мой движения по листьям, например, перебирать их сверху вниз.

Ответ: ВАС, ВАША, ВЕК, ВЫ, ВОЛ.

СИНИЙ

КРАСНЫЙ

ЖЁЛТЫЙ

ЗЕЛЁНЫЙ

ЦВЕТБУКВА

3 1 0 2 0 2 1 2 3 20 0 1 4 1 4 1 2 0 10 2 2 2 0 1 2 2 0 4

2 3 0 2 2 3 1 3 0 1

76

Задача 15. Первая часть задания будет для детей достаточнолегкой. При выполнении второй части важно, чтобы все ребята усво-или способ действия, описанный в предыдущей задаче. Возможно, увас в классе найдется «хитрый» ребенок, который сразу раскраситвсе бусины дерева в один цвет (например, красный), а потом не раз-думывая, раскрасит все бусины цепочек мешка Т в этот цвет. Что ж,строго говоря, задание выполнено правильно, однако, для такогослучая особую актуальность приобретает последнее задание, в ходекоторого устанавливается соответствие между листьями и путямимешка Т. Если хотите усложнить такому ребенку задачу, подойдите кнему и смените цвет хотя бы одной бусины в его дереве. В том слу-чае, если задание выполнено совершенно бездумно, ученик данныйпуть уже не найдет.

Задача 16. Продолжаем серию задач на работу с толковым сло-варем. В общем, задача похожа на задачу 7. Некоторые сложностимогут быть связаны с толкованием третьего слова: «Депо – это местопостройки и ремонта судов», т. к. внешне это толкование похоже нато, что написано в словаре. Можно спросить ребенка, как называет-ся место для постройки и ремонта судов (такое толкование можнонайти в нашем словаре).

Ответ: первое и четвертое утверждения истинны, остальные –ложны.

Задача 17. Задача логически довольно простая, но требует яс-ного понимания структуры дерева. Как и в других случаях, лучшийспособ решить ее – начать что-нибудь делать, а потом, когда что-тоне будет получаться, остановиться и подумать. В первое же рассуж-дение, для тех детей, которые растерялись, полезно включить во-прос о том, где должны быть написаны самые короткие слова. Какобычно, лучше сначала заполнять окна карандашом.

Решение. С первого взгляда на мешок слов становится ясно, чтокорневая бусина дерева – Б. У нее три следующие, но и у слов вмешке на втором месте также стоит Е, Л или У. Перед ребенкомвстает только одна проблема: какая буква должна стоять в какой бу-сине. Этот вопрос легко решить, просто посчитав количество слов вмешке с каждой из имеющихся вторых букв. Аналогично можно про-должать рассуждения до тех пор, пока все бусины дерева не будутзаполнены.

Вы, конечно, заметили, что в заполнении бусин дерева есть не-которая вариативность. Например, слова БУНТ и БУРЯ можно поме-нять в дереве местами. Если кто-то из ребят заметит это и спроситвас, как лучше расставить слова в таких случаях, то посоветуйте имставить все буквы, следующие за каждой бусиной в алфавитном по-рядке (сверху вниз). Возможно, вы заметили, что мы строим деревьяв задачах именно так. Такая система, с одной стороны, дает нам еди-нообразный подход к построению деревьев из букв, с другой сторо-ны, позволяет не запутаться, если мы ведем перебор по буквам, и,наконец, в таком дереве гораздо проще ориентироваться. Этот при-ем – лишь одно из проявлений системного подхода, к которому мыхотим приучить и ребят. Поэтому старайтесь, пока понемногу, учить

77

ребят при построении дерева из букв пользоваться алфавитным по-рядком.

Задача 18. Необязательная. С такими задачами ребятам час-тенько приходилось сталкиваться в первой части. Конечно, местодля буквы В быстро найдет каждый ученик. Дальше ребята начнутдействовать каждый по-своему. После того, как ребята получилислово ТЕТЕРЕВ, можно спросить у них, что оно означает. Если никтоне знает, попросите ребят найти это слово в большом толковом сло-варе. Такие задания необходимо время от времени давать ребятам,не только для того, чтобы повторить с ними лексикографический по-рядок и соответствующий проект. Иногда нужно обращать вниманиеребят на то, что в жизни постоянно случаются ситуации, когда мычто-то не знаем, и прививать им навык поиска необходимой инфор-мации.

Задача 19. В издании 2003 года эта задача содержит опечатку.В мешке Ю первая бусина цепочки 5 должна быть зеленой. Прежде,чем ребята начнут решать задачу, исправьте, пожалуйста, вместе сними эту опечатку.

В задаче нужно не полностью нарисовать мешок всех путей де-рева Ю, а лишь закончить раскраску его цепочек. Однако, это не об-легчает нашей задачи, а, скорее, только несколько изменяет ее. Дей-ствительно, здесь мы должны «узнать» каждый путь, установить со-ответствие между частично раскрашенными цепочками из мешка Юи путями дерева Э. В отличие от подобных задач, которые ребятауже решали (например, № 15) пути в мешке расположены не на уров-не соответствующих листьев, а в порядке возрастания числа бусин.Это дополнительно осложняет процесс «узнавания». Такое располо-жение цепочек в мешке, скорее всего, подтолкнет ребят искать пути,ориентируясь на их длину. Что ж, с путями длины 1 и 2 все пройдетгладко. Сложнее будет с путями длины 3, но разобраться все-такиможно. Особенно сложной для ребят будет ситуация с цепочками 8,9, 10 и 11, у которых не только длина, но и первая бусины одинаковы.Однако, легко увидеть, что и они определяются по дереву однознач-но. Мы надеемся, что работа с такой задачей будет для ребят нетолько сложной, но и увлекательной, поскольку она в некоторомсмысле напоминает игру («угадай», «узнай»). Последнее задание да-но для проверки, но кому-то из учащихся, возможно, захочется ста-вить имена цепочек по ходу. В этом случае число вариантов путей, изкоторых выбирает ребенок, будет уменьшаться в процессе работы,ведь на пути, около которых он поставил имя, можно уже не смот-реть.

Задача 20. Задача эта, конечно, простая, но требует вспомнитьв точности, что такое склеивание цепочки.

Задача 21. В задаче надо сопоставить множество возможныхинструкций с результатом выполнения инструкции (раскрашеннойцепочкой), но теперь уже подобрать требуется не отдельный пунктинструкции (как было в задаче 100 части 1), а всю инструкцию цели-ком. Это усложняет задачу. Самое первое, что приходит в голову

78

здесь – пытаться последовательно брать все инструкции и их приме-нять. Сильные дети, наверняка, будут ставить лишь пометки, соот-ветствующие цвету под бусинами исходной цепочки. Слабым детямзадачу можно облегчить, выдав им нераскрашенные цепочки. Тогдаребята смогут просто раскрашивать эти цепочки по инструкциям, азатем результат сопоставлять с данной цепочкой. Обратите внима-ние, что данная цепочка могла получиться в результате выполненияразных инструкций. И вы, и ребята, скорее всего, сталкивались стем, что в жизни порой совершенно разные действия приводят к од-ному и тому же результату. В условии задачи мы это подчеркиваемсловами «какую-нибудь», «могла». Однако, из приведенных инструк-ций подходит только одна – третья.

Задача 22. Данная задача аналогична предыдущим заданиямна работу с толковым словарем. В случае ложных утверждений, по-просите ребят объяснить, что обозначает это слово на самом деле –появится дополнительный повод заглянуть в словарик.

Ответ: первое и третье утверждения ложны, остальные – истин-ны.

Задача 23. Необязательная. Задача довольно объемная –нужно построить дерево из 15 данных в мешке бусин. Самый про-стой способ начать строить дерево, удовлетворяющее условию – вы-пустить из корня пять цепочек длины три каждая. Приступим к выпи-сыванию этих цепочек. Будем помещать в них по две одинаковые бу-сины, а третью – какую придется. Для этого нужно сразу выделитьпять пар одинаковых бусин, а остальные – добавлять по одной, чтобыполучились нужные тройки бусин. В этой задаче полезно еще развспомнить, что выражение «есть две одинаковые» не означает, что вцепочке нет и третьей, такой же, как эти две.

Задача 24. Необязательная. Эта задача на работу с толковымсловарем заслуживает отдельного внимания. Во всех предыдущихподобных задачах толкования были только двух типов: «в точности тоже самое» или «совершенно не то». Здесь же ребятам впервые пред-лагается толкование нового типа. Речь идет об утверждении «Антра-цит – это каменный уголь». Как видите, здесь предложено недоста-точное, неполное толкование, оно содержит лишь часть информа-ции, имеющейся в определении в словарике. Как же определить ис-тинность такого утверждения? Итак, в словаре написано: «Антрацит– лучший сорт каменного угля» (истинное утверждение). Верно ли,что «Антрацит – это каменный уголь»? Да, верно. Значит, наше ут-верждение истинно. С определением истинности остальных утверж-дений ученики вполне справятся самостоятельно.

Ответ: первое и последнее утверждения ложны, остальные – ис-тинны.

Задача 25. Необязательная. Первый шаг решения задачи со-стоит в том, чтобы понять, что сначала необходимо использовать ут-верждения, а уже потом таблицу. Начать можно с любого утвержде-ния, поскольку они не зависимы между собой (ни по форме бусин, нипо цвету). И все же в данной задаче существует один сложный, скры-

79

тый момент. Утверждения относятся к путям, то есть отдельным це-почкам, а работаем мы с деревом. Поэтому от ребенка требуютсяодновременно умения «выделять» пути в дереве и «собирать» из пу-тей дерево. В этом плане особую сложность представляет второе ут-верждение. Действительно, берем любую квадратную бусину, на-пример ту, что в центре второго уровня. Она одна, но путей, проходя-щих через нее – три. В каждой из этих цепочек существует собст-венная вторая после этой квадратной и каждую из них мы должныраскрасить красным цветом. В ходе работы с утверждениями мыраскрашиваем 5 красных и 5 зеленых бусин, положение которых оп-ределяется однозначно. Теперь, используя таблицу, можно раскра-сить остальные бусины.

Задача 26. Необязательная. Задача непростая. Полный ана-лиз всех программ и возможных начальных положений Робота доста-точно трудоемок. Поэтому можно попытаться сразу догадаться, ка-кая программа подходит, и потом уже рассматривать только ее.

Мы приведем некоторые соображения, показывающие, что не-которые программы не годятся. В первой Робот четыре раза подни-мается вверх – ему просто не хватит места на поле. Для второй про-граммы есть только одна клетка, из которой Робот может выполнитькоманды вправо, влево и вниз – третья слева в верхнем ряду. Вы-полняем программу, начиная с этой клетки, и видим, что узор, закра-шенный Роботом, не совпадает с данным в задаче. Анализируя тре-тью программу, выясняем, что есть ровно две клетки, из которыхможно идти вниз, влево, и обе они не годятся. В четвертой програм-ме есть подряд три команды вниз, значит, после их выполнения Ро-бот может находиться только в нижней строке, в третьей клетке сле-ва (если конечно Робот еще раньше не вышел за пределы закрашен-ных клеток). Но если из этой клетки выполнить оставшиеся команды,то данный узор уже не получится. Шестая программа нам не подхо-дит, так как в ней есть подряд две команды влево (в пределах закра-шенного узора их выполнить нельзя) и так далее. Оказывается, чтотолько пятая программа нам подходит, если начать ее выполнять вклетке второго ряда снизу. Детям, затрудняющимся в таких устныхрассуждениях, предложите просто выполнить каждую из программна листе в клетку, а дальше все будет видно.

Задача 27. Дерево в этой задаче довольно необычное – это ро-дословное дерево. Поэтому меняется и терминология, которую мы кнему применяем. Бусины теперь – это потомки, следующие бусины –дети, вторая бусина перед данной – дедушка, третья бусина предданной – прадедушка, одинаковые бусины в дереве обозначают двухпотомков, названных одинаково и т. д. Конечно, такая терминологиядля ребят является привычной и вполне естественной, но интересносопоставить знакомые слова с графической иллюстрацией, со струк-турой дерева. Несмотря на знакомые понятия, некоторые из утверж-дений являются довольно затейливыми. Например, седьмое утверж-дение, вполне возможно, придется обсуждать вместе – кто кому икем приходился, и кто чье имя носил.

Возможно, кого-то заинтересуют русские имена или русские ца-

80

ри. Стоит им помочь с дополнительной информацией.Ответ: второе и восьмое утверждения ложны, остальные – ис-

тинны.

Задача 28. Необязательная. Задача не включает новых эле-ментов по сравнению с тем, что ребята уже выполняли.

Ответ: первое утверждение истинно, второе – ложно.

Задача 29. Здесь ребятам снова предстоит работа с частью ро-дословного дерева. Данная задача несколько объемней, чем задача27, кроме вопросов о степени родства, в таблице содержатся вопро-сы, касающиеся дат царствования. Кроме уже привычных ребятамслов, обозначающих родственные отношения – «сын», «дедушка»,«внук», – утверждения содержат и более сложные: «двоюродная сес-тра», «племянник», «внучатый племянник». Перед решением задачихорошо бы выяснить у учащихся, все ли слова в таблице им понятны,лучше всего попросить ребят самим объяснить степени родства. Этоможет стать началом интересного разговора о том, кто знает еще ка-кие-либо слова, относящиеся к степени родства (теща, невестка,шурин, деверь, сноха и проч.).

Хотелось бы обратить ваше внимание на третье утверждение –«У Петра I было пятеро детей». В условии задачи сказано, что деревоР – часть родословного дерева, поэтому не обязательно в нем долж-ны быть все дети Петра I (также, как и всех остальных). По дереву Рможно сделать вывод о том, что у данного царя было не меньше 5 де-тей, но сказать что-то более определенное на основании этой частиполного генеалогического дерева нельзя. Поэтому правильнее всегов соответствующей клетке таблицы поставить «Н», то есть нам этонеизвестно. Нужно ли обсуждать эту деталь с ребятами, решите са-ми, в зависимости от уровня детей в классе.

Мы надеемся, что дети оценят удобство работы с деревом –ведь на нем наглядно представлены все родственные отношения,даже самые сложные.

Ответ: Александр I доводился Петру I внуком. – ЛПавел I – сын Петра III. – ИУ Петра I было пятеро детей. – НАнна Иоанновна – двоюродная сестра Елизаветы. – ИПетр I царствовал раньше своего брата Феодора. – ЛОдин из братьев Софьи Алексеевны носил имя своего прадеда. – ИИоанн Алексеевич доводился племянником Иоанну Михайловичу. – ИНаталья доводилась сестрой Маргарите. – ЛПетр II и Петр III – двоюродные братья. – ИВасилий Михайлович – дядя Петра I. – ИСледующей после Петра I царствовала Елизавета. – ЛУ Петра I был сын, носивший его имя. – ИФеодора доводилась племянницей Никите Федоровичу. – ЛПелагея – двоюродная сестра Петра I. – ЛТри сына Алексея Михайловича были царями. – И

81

Павел I – внучатый племянник Елизаветы. – И

Задача 30. Эта задача является пропедевтической (подготови-тельной) для восприятия темы следующего листа определений –конструкции повторения. Мы надеемся, что к настоящему моментуваши ребята уверенно выполняют даже длинные и сложные про-граммы для Робота. Здесь важно другое: мы обращаем вниманиеребенка на то, что получающийся в ходе выполнения программы Пузор состоит из трех оди-наковых фрагментов. Этифрагменты, в свою оче-редь, соответствуют тремодинаковым частям про-граммы.

Ответ: (см. картинку).

Задача 31. Здесь ребята снова встречаются с «недостаточны-ми» толкованиями (подробней см. в комментарии к задаче 24). Еслив прошлый раз вы не обсуждали этой тип толкований со всем клас-сом, так как задача была необязательной, то советуем провести об-суждение здесь (лучше после того, как большинство ребят решит за-дачу). Скорее всего, найдутся ребята, которые оба утверждения по-считают ложными, необходимо выслушать их аргументы. Навернякаони скажут, что толкования не такие как в словаре, в них не хватаетнекоторых деталей. Тогда можно спросить, согласуются ли утверж-дения с тем, что написано в словаре или противоречат этому. Нестоит давать ребятам никаких готовых рецептов или проводитьсложные рассуждения, достаточно просто сопоставлять утвержде-ния с толкованиями словаря из соображений здравого смысла и ло-гики. Если, например, первое утверждение ложно, то его отрицание:«Дягиль – не является высоким травянистым растением» должнобыть истинным, но это уж точно противоречит толкованию, данномув словаре.

Ответ: оба утверждения истинны.

Задача 32. Необязательная. У данной задачи имеется стан-дартное решение. Оно состоит в том, что мы рисуем красную круг-лую бусину, следом за ней – синюю квадратную (по первому усло-вию), затем – красную круглую и т. д. Двадцатая бусина оказываетсясиней квадратной. Проверяем: оба условия выполнены. Заметим дваобстоятельства. Первое: если мы начнем цепочку с синей квадрат-ной бусины, то построение не удастся, поскольку после последнейкрасной круглой бусины ничего не идет. Второе: мы можем начатьцепочку с любого числа бусин, отличных от красной круглой и синейквадратной, и только потом приступить к описанному выше чередо-ванию. В случае, если это обстоятельство будет обнаружено кем-тоиз учеников, стоит его подробно обсудить. Такое обсуждение в силуего важности может быть проведено и по вашей инициативе, дажеесли дети не догадались сами об указанной возможности. Наконец,необходимо иметь в виду, что в цепочке должна быть хотя бы одна

82

красная круглая и хотя бы одна синяя квадратная, иначе данные ут-верждения не будут иметь смысла.

Задача 33. Необязательная. Похожую задачу ребятам ужеприходилось решать (Часть 1, № 41). Правда в прошлый раз в мешкебыли фрукты, по количеству (в том числе и видов) их было меньше,поэтому данная задача является технически достаточно трудоемкой.Действительно, грузинские буквы для ребят – не более, чем краси-вые закорючки, их невозможно держать в голове в виде общих поня-тий (например, «раскрашиваем красным 3 буквы Ю»), поэтому прираскрашивании буквы из мешка постоянно приходится сличать с об-разцом из таблицы. Решать такую задачу без системы ученику будетдовольно сложно. Советы, для запутавшегося ученика см. в реко-мендациях к задаче 41, Часть 1.

Задача способствует тренировке наблю-дательности и умения работать с малознако-мой системой символов; кроме того дети ещераз увидят письменность наших добрых сосе-дей. Как называются и читаются грузинскиебуквы, вы можете посмотреть в Книге для учи-теля 2.

Задача 34. Необязательная. Подобныезадачи, как вы помните, можно решать мето-дом «проб и ошибок» или методом перебора,поочередно запуская Робота из каждой закра-шенной клетки. Здесь также поможет анализпрограммы и некоторые рассуждения, кото-рые позволят существенно уменьшить этот пе-ребор (подробно см. в комментариях к зада-чам 62 и 79 Части 1).

Ответ: (см. картинку).

Цикл – конструкция повторенияКак мы уже обсуждали в Книге для учителя 2, важнейшим мо-

ментом в формировании человеческого мышления, языка, деятель-ности было выделение в окружающем мире и самом себе отдельныхобъектов, событий и действий и присвоение им имен. Объекты,предметы оказываются расположенными в пространстве, события идействия – во времени. В частности, возникает представление о со-бытиях, следующих одно за другим, и о причинно-следственной свя-зи. То же происходит и в процессе развития ребенка.

Идя дальше, мы обнаруживаем, что циклическое повторение ка-ких-то событий или действий является одним из основных образцов,выделяемых человеком в окружающем мире и своей деятельности.Природа задает цикличность событий, человек, подчиняясь собы-тийным циклам, циклично организует свои действия. Цикличностьстала основой измерения времени, музыки, многих ритуалов и игр,организации производственных процессов.

83

В попытке выделить основные модели организации алгоритми-ческих процессов, выполняемых по определенным правилам челове-ком или машиной, люди (прежде всего – математики) также выдели-ли определенные, часто встречающиеся образцы. Среди них имеет-ся и цикл.

Комментарий к задачам 35–51Задача 35. В данной задаче дети впервые встречаются с конст-

рукцией повторения, поэтому необходимо проследить, все ли пра-вильно понимают ее смысл. Например, стоит обсудить с учащимися,зачем в конструкции нужно слово КОНЕЦ или зачем конструкция за-ключена в отдельную оболочку. Если у ребят возникнет затруднение,то попросите их записать программу Ы без оболочек и слов КОНЕЦ ипоинтересуйтесь, какие команды будет повторять Робот и сколькораз. Понятно, что в этом случае Робот повторит все команды, следу-ющие за строкой ПОВТОРИТЬ 3 РАЗА, и результат выполнения про-граммы будет совершенно иным, нежели для программы Ы. Получа-ется, что слово КОНЕЦ указывает, что команды, которые нужно по-вторять, закончились. Заключение конструкции в отдельную оболоч-ку-бусину, с одной стороны, подчеркивает целостность оператораповторения (от слов ПОВТОРИТЬ ... РАЗ до слова КОНЕЦ). С другойстороны, такая оболочка оставляет программу, содержащую конст-рукцию повторения, по-прежнему цепочкой – на этот раз бусинамицепочки являются отдельные команды и целые конструкции. Дажевыделение служебных слов конструкции (ПОВТОРИТЬ, КОНЕЦ) дру-гим шрифтом несет важную смысловую нагрузку. Цель здесь – отде-лить эти служебные слова от собственно команд исполнителя.

Конечно, все эти вопросы не обязательно сразу обсуждать совсем классом. Однако, возможно, кто-то из самых любопытных ва-ших учеников спросит: «А зачем писать слово КОНЕЦ?», «А зачем об-водить?», «А почему эти слова написаны более крупно, чем те?». По-этому вам нужно быть готовым к подобным вопросам. Мы надеемся,что большинство ваших учеников справятся с данной задачей.

Ответ:

Задача 36. Здесь дети начинают понемногу учиться писать про-граммы с новой конструкцией. В этой задаче они опираются на гото-вую структуру и лишь вписывают команды в окна, но этого вполнедостаточно, чтобы почувствовать себя соавторами программы О.

84

Действительно, результат выполнения программы будет совершен-но разным, в зависимости от того, какие именно команды впишетучащийся. Размеры поля позволяют выполнить любую из возможныхпрограмм. Однако, подобная свобода для ребенка будет сильно ос-ложнять вам этап проверки. Можно попробовать осуществить пар-ную проверку, когда после окончания решения ученики меняются те-традями и выполняют программы друг друга на запасном поле с лис-та вырезания, а потом сопоставляют результаты.

Задача 37. Дети уже решали похожую задачу (задача 90, Часть1). Обратите внимание на две трудности. Первая – понять условие.Самый простой способ для этого – просто начать решать задачу.Вторая трудность состоит в том, чтобы быстро и аккуратно просмат-ривать слова в столбике и фиксировать наличие в них двух одинако-вых букв. Этому помогают пометки: можно ставить точку около ужепросмотренного слова и даже отмечать в нем две одинаковые буквы.Некоторая логическая тонкость для детей может состоять в том, что-бы прекращать просмотр столбца, как только в нем найдется слово,в котором нет двух одинаковых букв.

Хотя слова, находящиеся в мешках, знакомы детям, но все жекто-то может не знать или неправильно понимать значения слов «фу-файка», «деверь», «оглобли». Хорошо бы найти непонятные слова всловаре и вообще приучать ребят не пропускать в речи или текстенепонятные слова. Это пополняет словарный запас учащихся и раз-вивает любознательность.

Ответ: условиям задачи удовлетворяет средний мешок.

Задача 38. В этой задаче от учащегося требуется преобразо-вать данную программу, найдя в ней повторяющиеся участки и пере-писав их с использованием конструкции повторения. Кто-то из детейможет отметить, что при этом программа нестала короче, она занимает столько же, илипочти столько, или даже больше места. Спроси-те у детей, стала ли программа понятнее, легчели ее читать. Постарайтесь добиться, чтобы онипонимали, что программа стала лучше воспри-ниматься человеком, и скажите, что такую про-грамму проще выполнять и машине.

Разные дети могут по-разному выделитьциклические участки. Для нас здесь нет задачидостичь полной оптимальности, важны лишьправильность преобразования, эквивалент-ность исходной программы и полученной. На-пример, условию удовлетворяет следующаяпрограмма (см. картинку справа).

Вопрос об оптимальности программы, пожалуй, слишком слож-ный, чтобы мы могли его на этом этапе обсудить со всеми детьми –дать лист определения, достичь общей договоренности. Мы можемсравнивать две программы, дающие один результат, только как це-почки – по их длине. При этом каждая конструкция повторения счи-тается одной бусиной. Но такое сравнение похоже на сравнение про-

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗАвверхвправо

КОНЕЦ

ПОВТОРИТЬ 4 РАЗАвверхвправовниз

КОНЕЦ

вверхвправо

Х

85

грамм по оптимальности только если все конструкции в них «одинар-ные», т. е. внутри конструкции повторения нет других конструкций,как, например, в программе Р задачи 42.

В связи с этим в наших задачах мы избегаем давать задания осоздании «минимальной» или «оптимальной» программы. С другойстороны, вы, в разговоре с сильными учениками, конечно, можетепопросить их (в индивидуальном порядке!) на-писать другую, более короткую программу. Дляработы со всем классом задачу можно исполь-зовать как повод дополнительно поиграть илипорассуждать с учащимися. Например, можнопопросить ребят выписать все различные вари-анты своих программ на доске, затем выбратьэкспертов (которые будут в роли Роботов) и по-просить выбрать на их взгляд наиболее «понят-ную» и «простую» для исполнения программу. Вданном случае наиболее простой, понятной иодновременно наиболее короткой будет следу-ющая программа (см. картинку справа).

Задача 39. Необязательная. Ребята повторяют уже знакомыеим типы толкований, в том числе и «недостаточные».

Ответ: второе и третье утверждения ложны, остальные истинны.

Задача 40. В этой задаче важно не сбиться и правильно подсчи-тать число выполнений того или иного повторяющегося участка. Дляэтого, во-первых, нужно правильно подсчитать число клеток на полепо вертикали и по горизонта-ли, а во-вторых, сообразить,что на первую клетку того илииного отрезка пути Роботу ненадо шагать, он на ней ужестоит. Для проверки в зада-нии предлагается выполнитьнаписанную учащимся про-грамму на запасном поле слиста вырезания и сравнитьрезультаты. Здесь главное,чтобы учащиеся не отнеслиськ заданию формально, простоподогнав результат под дан-ную в условии позицию.

Данная задача, как и за-дача 38, не предполагает, чтокаждый ребенок напишет оп-тимальную, самую короткуюпрограмму. Достаточно, что-бы была написана какая-ни-будь программа, в которойиспользована конструкция по-вторения (хотя бы один раз) и

ПОВТОРИТЬ 3 РАЗАвверхвправо

КОНЕЦ

ПОВТОРИТЬ 4 РАЗАвнизвверхвправо

КОНЕЦ

Х

ПОВТОРИТЬ 6 РАЗвправовправо

КОНЕЦ

вправовнизвнизвнизвнизвниз

ПОВТОРИТЬ 13 РАЗвлево

КОНЕЦ

вверхвверхвверх

ПОВТОРИТЬ 11 РАЗвправо

КОНЕЦ

вниз

УПОВТОРИТЬ 13 РАЗ

вправоКОНЕЦ

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвниз

КОНЕЦ

ПОВТОРИТЬ 13 РАЗвлево

КОНЕЦ

ПОВТОРИТЬ 3 РАЗАвверх

КОНЕЦ

ПОВТОРИТЬ 11 РАЗвправо

КОНЕЦ

вниз

У

в результате выполнения которой Робот рисует нужный узор. Ответ: см. на картинке выше два из возможных вариантов про-

граммы У:

Задача 41. Необязательная. Формулировка задачи ребятамзнакома, подходы к решению тоже известны. Слабым детям и тем,которым трудно проводить рассуждения в отрыве от конкретныхобъектов, по-прежнему помогут вырезанные бусины. Одна из «рабо-тающих» здесь идей – составление цепочки из отдельных фрагмен-тов, которые вырисовываются достаточно четко, например, фраг-мент А–З или У–…–Д. Также ребятам в решении существенно по-может метод «проб и ошибок». Действительно, в ходе различныхэкспериментов по построению искомой цепочки, ученик может полу-чить ответы на многие вопросы. Пожалуй, самый каверзный из них –какая буква должна стоять после первой стоящей в цепочке буквы У.Если вы видите, что на этом месте ученик застопорился, то найдитеответ вместе, перебирая все возможные буквы. Например, может липосле У стоять А? Очевидно нет, так как после А должна идти З, авторая буква после У – Д. Аналогично, после У не может стоять и З.Следующий вопрос: может ли после первой У стоять Д. Ответ на не-го дети могут получить в ходе экспериментов – не может. Дело в том,что букв Д ровно столько же, сколько и У, значит каждая из них долж-на быть второй после какой-то У, а если мы поставим после первойже У букву Д, то она останется «безработной». Итак, после первой Уможет идти Б или другая У. Теперь закончить решение не сложно,достаточно собрать все частичные решения в одну цепочку.

Задача 42. В этой задаче нам впервые встречается то, что впрограммировании называется вложенным циклом, – мы несколь-ко раз выполняем программу, а сама эта программа содержит участ-ки, выполняемые по нескольку раз. Надеемся, что эта задача не вы-зовет у детей трудностей, ведь они уже видели и бусины внутри бу-син, и мешки внутри мешков, и (в математике) скобки внутри скобок.

Начать решение нужно с выполнения программы Ж. Вот позицияпосле выполнения программы Ж:

Дальнейшее решение состоит из двух этапов. Первый – убедить-ся с помощью рассуждений, что при выполнении программы Р Роботпроходит тот же путь, что и при выполнении программы Ж. Второй –еще раз убедиться в этом, выполнив программу Р. Возможно, вампокажется интереснее попросить ребят сначала выполнить програм-му, поскольку некоторым ученикам может быть скучно выполнятьпрограмму с заранее известным результатом и иначе они отнесутсяк заданию формально. Приготовьтесь к тому, что при всей простоте

86

выполнение программы Р может вызвать вопросы из-за новой конст-рукцией «вложенного цикла». Интересно и необходимо выслушатьрассуждения ребят, почему результаты выполнения программ полу-чились одинаковы.

После того, как задача решена, можно спросить ребят, какую изпрограмм легче читать, понимать и выполнять, и какую программувыбрали бы они. Выберите экспертную группу или решите голосова-нием. Кто-то может сказать, что программа Ж ему понятней, чем Р.Таких учеников не стоит разубеждать, они просто еще не свыклись сновой конструкцией.

Задача 43. Необязательная. Задача может оказаться несколь-ко сложной в силу определенной необычности формулировки. Еслиребенку потребуется помощь, начните с любого примера цепочки Ц,склеивание которой дает нарисованную цепочку. Можно спрашиватьу него, чем не подходит данная цепочка Ц и как можно поправить де-ло. Постепенно выяснится, что нужно найти в нарисованной цепочкедве одинаковых бусины, да еще и так, чтобы предыдущая бусина пе-ред первой из этих одинаковых была такой же, как следующая буси-на после второй из них. Когда это удастся, оформить решение будетуже легко.

Ответ: вот два из множества возможных решений (цвет не ука-зан, т. к. он восстанавливается однозначно):

Задача 44. Здесь ребятам снова необходимо выполнить про-грамму с вложенным циклом, но, в отличие от задачи 42, результатнеизвестен и его нельзя предугадать. Поэтому дети должны честно иаккуратно выполнить программу. Трудности, скорее всего, возникнуту тех ребят, которые попытаются одновременно считать количествоповторений внешнего и внутреннего циклов. Постарайтесь правиль-но организовать деятельность таких учащихся. Например, вначалепосоветуйте им просто (один раз) выполнить все команды внешнегоцикла, находящиеся после записи ПОВТОРИТЬ 4 РАЗА и до записиКОНЕЦ. Когда они дойдут до слова КОНЕЦ, попросите ребят поста-вить рядом с этим словом одну какую-нибудь пометку (например,палочку), так как на этот момент мы выполнили команды внешнегоцикла 1 раз. Аналогично можно работать и дальше. Как только околослова КОНЕЦ наберется 4 пометки – нужно остановиться. Для быст-рой проверки спросите ребят, где теперь находится Робот. Послевыполнения всей программы он должен оказаться в левом нижнемуглу.

Ответ:

87

Ц

Ц

Задача 45. Необязательная. Стоит обратить внимание на вто-рое утверждение. В словаре сказано, что «Доха – это шуба мехомнаружу». Верно ли, что «Доха – это шуба»? Конечно верно, хотя оп-ределение и неполное.

Ответ: первое утверждение ложно, второе – истинно.

Задача 46. Эта задача очень хорошо подходит для промежуточ-ного контроля, если вы хотите проверить, все ли ребята усвоили ма-териал предыдущего листа определения «Все пути дерева». На дан-ном этапе ребята должны быстро и уверенно выписывать все путидерева, не пропуская ни одного. Лучше всего, если каждый ученикиспользует при этом некоторую систему пометок. Мы советовалипомечать каждый лист после того, как выписан ведущий в него путь.Хорошо также, если ребенок имеет систему перебора листов (на-пример, сверху вниз). Особое внимание необходимо обратить на де-тей, которые выписывают пути как попало и при этом делаютошибки.

Ответ:МЕЛ МОЗГ СОММЕЛЬ МОЛ СОЛОМЕХ МОСТ СОЛЬМЕЧ МОХ

Задача 47. Это очередная задача на создание программы с ис-пользованием конструкции повторения. Как и раньше в подобных за-дачах, задание не содержит указаний, сколько именно и какие конст-рукции повторения должны быть использованы в программе. Такимобразом, как и раньше, любая программа, достигающая нужного ре-зультата и содержащая хотя бы одну конструкцию повторения, будетявляться решением.

С другой стороны, мы надеемся, что большинство детей вашегокласса уже «поднаторели» в решении задач с конструкцией повторе-ния, знакомы с возможностью вложенного цикла. Поэтому, в зависи-мости от готовности детей, вы можете обсудить процесс решениязадачи всем классом или индивидуально. Спросите детей, когда онипознакомятся с условием и посмотрят на картинку, как они собира-ются организовать, спланировать свою программу, какие в ней будутциклы, каким участкам на рисунке они будут отвечать. Затем можноспросить, сколько раз будет выполняться тот или иной отрезок в цик-ле. Подведите детей к идее, что они сами тоже могут использовать

88

форму вложенного цикла. Для начала обсу-дите особенности рисунка, который нарисо-вал Робот – рисунок состоит из двух одина-ковых узоров. Для нас это означает, что бу-дет конструкция ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА. Затемпосоветуйте ребятам детально рассмотретьодин из этих двух узоров, и выяснить, как онорганизован. Видим, что он также состоит издвух, но различных частей: одна часть узора– лесенка вниз, другая – ровный вертикаль-ный подъем вверх. Это означает, что первуючасть узора задают повторяющиеся командывправо, вниз, а вторую – повторяющаясякоманда вверх. Итак, общую структуру про-граммы мы выяснили: у нас будет внешняяконструкция повторения (из двух повторе-ний) и две внутренних. Осталось только под-считать, сколько будет повторений в каждойиз внутренних конструкций и нужны ли ка-кие-либо дополнительные команды, связы-вающие эти конструкции между собой.

Ответ: Как и раньше, мы приводим дваиз возможных решений (см. картинку).

Задача 48. Необязательная. Это про-стая задача, требующая аккуратного чтенияусловия и небольшого размышления о местебуквы А.

Ответ: КАРТОШКА.

Задача 49. Необязательная. При ре-шении этой задачи можно применить обыч-ную тактику – перебирать все возможные па-ры фигурок, каждый раз проверяя, можно ли из одной фигуры сде-лать другую, раскрасив лишь один квадратик. Однако, условие зада-чи подводит нас к идее, позволяющей существенно уменьшить пере-бор. Действительно, то, что мы должны закрасить лишь в одной фи-гурке один квадратик, подсказывает использовать в решении числоквадратиков, закрашенных в фигурках. Считаем, получается, что за-крашенных квадратиков в фигурках, соответственно 8, 6, 7, 8, 8 и 9(нумерация фигурок слева направо и сверху вниз). Значит, исходя изэтого, мы можем: или из второй фигурки сделать третью, или из тре-тьей сделать какую-либо из трех с восьмью закрашенными квадрати-ками, или из одной из них сделать шестую фигуру. Вариантов сталоуже не так много. Видно, что из второй фигурки третью сделать нель-зя (мешает нижний ряд). Теперь берем третью фигурку и начинаемсравнивать ее по очереди с первой, четвертой и пятой, здесь мы инаходим решение, достаточно в третьей фигурке закрасить нижнийлевый угол в желтый цвет.

89

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвправовниз

КОНЕЦ

вправовправо

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвверх

КОНЕЦ

вправоКОНЕЦ

Ч

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА

вправоПОВТОРИТЬ 5 РАЗ

внизвправо

КОНЕЦ

вправо

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвверх

КОНЕЦ

вправоКОНЕЦ

Ч

Задача 50. Необязательная. В этой задаче дополнительнаятрудность состоит в том, что недостаточно анализировать только двепервых буквы. Конечно, задача станет намного легче, если выписатьвсе слова на карточки и разложить их в алфавитном порядке, а потомперенести с карточек в таблицу (копировальная машина поможет ав-томатизировать эту работу).

Эта задача помечена как не-обязательная. Тем не менее, наследующем уроке вы будете за-ниматься проектом «Сортировкаслиянием», поэтому детям бу-дет полезно вспомнить алфа-витный порядок букв и правиласортировки слов в словарномпорядке.

Ответ:

Задача 51. Необязательная.Ответ: первое утверждение ложно, второе – истинно.

Операция раскрытия цепочки мешковВ этом определении мы снова обращаемся к комбинаторике.

Раскрытие цепочки мешков связано с тем, как можно комбиниро-вать, какие получать комбинации из бусин мешков этой цепочки.

Вы, может быть, обратили внимание на то, что раскрытие цепоч-ки мешков очень похоже на раскрытие скобок в произведении сумм.Это не случайно: по существу мы производим в этих случаях одни ите же действия. Для нас важно, однако, что такая деятельность, какраскрытие скобок, не связана с какими-то специальными свойства-ми сложения и умножения чисел, она точно так же может относитьсяк последовательности выборов в игре, образованию семейства словиз частей этих слов и т. д.

В самом общем виде раскрыть цепочку мешков – значит превра-тить ее в мешок всех возможных цепочек, составленных по следую-щему правилу: на первом месте должна стоять бусина из первогомешка, на втором – бусина из второго мешка и т. д., на последнемместе – бусина из последнего мешка. Видим, что в процессе выпол-нения данного действия нам необходимо найти все возможные ком-бинации из бусин, взятых соответственно из каждого мешка по од-ной; значит, мы снова попадаем в область комбинаторики.

Мы полагаем, что, потренировавшись в раскрытии мешков, детипотом будут более уверенно работать с алгебраическими многочле-нами.

Чтобы продемонстрировать общие черты операции раскрытияцепочки мешков и, скажем, раскрытия скобок в произведении сумм валгебре, приведем следующий пример:

90

ГАДКИЙГАЗЕТАГАЛКАГАРАЖГАСНУТЬГВОЗДЬГДЕГЕНИЙГЕРЦОГ

ГИБЕЛЬГИРЯГЛАГОЛГНАТЬГНЕЗДОГОВОРИТГОДГОЛЫЙГОНКА

ГОРДЫЙГОСТЬГОТОВГРАВИЙГУБКАГУДЕТЬГУСТОЙ

Таким образом, используя этот результат, легко получить мешок⊗А:

На этом примере легко видеть следующие общие черты данныхопераций:

1) Порядок действий меняется на обратный. В одном случаепроизведение сумм превращается в сумму произведений, в другом– цепочка мешков превращается в мешок цепочек.

2) И в том и в другом случае мы ищем все возможные комбина-ции из элементов, взятых по одному из каждого множества (суммыили мешка).

3) Количество элементов, над которыми производится внешнеедействие, не изменяется: взяв произведение трех сумм, мы получимсумму произведений, состоящих из трех множителей. В нашем слу-чае после раскрытия длина каждой цепочки в мешке должна быть та-кая же, какой была длина исходной цепочки мешков.

4) Число элементов получившегося результата (мешка или сум-мы) зависит от числа элементов в исходных мешках или суммах. (На-верное, вы уже догадались, как можно его подсчитать.)

Рассмотрим еще один пример – такой, чтобы в мешках цепочкивстречались одинаковые бусины:

З С С

С

С

Ж

К⊗⊗A

К

СК

СК

З С

Ж

К

С

С

= • • + • • + • • + К З ССС ККК Ж

+ • • + • • + • • К З ССС Ж

= a•c•f + a•d•f + a•e•f + b•c•f + b•d•f + b•e•f

C C C

A КЗC СК Ж

( + ) • ( + + ) • =К ЗC С

( a + b ) • ( c + d + e ) • f =

К Ж

91

Как видите, и здесь аналогия сохраняется: получаем мешок ⊗B:

Необходимо отметить также и различия, которые обнаружива-ются в ходе проведения двух данных операций. Операция умноже-ния обладает переместительным свойством. Поэтому мы можем по-менять местами как множители в исходном произведении, так и ком-поненты произведений в результате. Цепочка же – упорядоченнаяструктура, изменение порядка бусин дает совершенно другую це-почку. Мы надеемся, что ваши ребята уже освоились с цепочкой и вэтом плане путаницы не возникнет. Впрочем, для полноты картиныприведем и такой пример, в котором полное соответствие не дости-гается:

З С С

С

С

С

С

С К⊗⊗B

С

С

З

З З

С

К

С

С

= • • + • • + • • + К З ССС

+ • • + • • + • • К З

З

З ССС

= a•b•d + a•c•d + a•c•d + a•b•d + a•c•d + a•c•d == 2 a•b•d + 4 a•c•d

C C C

C C C

С СЗC СК К

( + ) •( + + ) • =С ЗC С

( a + b ) • ( b + c + a ) • d =

К К

92

B КЗ

ЗC

C С

( + ) •( + + ) • =К З ЗCC С

( a + a ) • ( b + c + c ) • d =

Пользуясь той же моделью, легко понять, почему раскрытие це-почки, в которой один мешок пустой, дает пустой мешок. Здесь опе-рация раскрытия цепочки мешков проявляет свойство, аналогичноеумножению на нуль. Вы, конечно, помните, что при склеивании цепо-чек, одна из которых пустая, эта цепочка исчезает: пустая цепочкаотносительно операции склеивания ведет себя точно также, как нульотносительно сложения. При раскрытии цепочки мешков ситуацияпринципиально изменяется. Какие рассуждения можно по этому по-воду привести детям – мы обсудим в комментариях к задачам.

Итак, раскрытие цепочки напоминает раскрытие скобок в алгеб-ре и выбор возможности в игре или другом процессе (и на самом де-ле с ними связано). Очень полезно параллельно с решением задачпослушать детей – как они раскрывают цепочки мешков. Интересны,в частности, их объяснения – что и почему получается, если в цепоч-ке есть пустой мешок.

Дерево раскрытия цепочки мешковЗдесь становится наглядной связь между операцией раскрытия

мешка и структурой дерева. По существу, мы здесь опять встречаем-ся с деревом возможностей – «возможностей выбора» бусины измешка, входящего в раскрываемую цепочку. При этом мы опять пе-реходим от процесса последовательных выборов к одному статичес-кому объекту, где все выборы представлены: каждой последователь-ности выборов соответствует свой результат в виде пути.

Такое дерево можно построить и для конкретного произведенияскобок, каждая из которых – сумма слагаемых. Это может помочь де-тям, которым не удается выработать умение безошибочно раскры-вать скобки.

= • • + • • + • • + С З ССС ККК К

+ • • + • • + • • С З ССС К

= a•b•d + a•c•d + a•a•d + b•b•d + b•c•d + b•a•d == 2 a•b•d + a•c•d + a•a•d + b•b•d + b•c•d

C C C

З С С

С

С

К

С⊗⊗С

К

СК

СК

З С

К

С

С

С

93

Комментарии к задачам 52–98Задача 52. Раскрытие цепочки Б – упражнение на отработку оп-

ределения, пока на несложном примере. Поэтому главное – дать де-тям побольше порассуждать, чтобы понять, как устроено это дейст-вие. Рассуждения могут быть, например, такими. В результате рас-крытия цепочки у нас должен получиться мешок с цепочками. Сколь-ко бусин будет в каждой из таких цепочек? Конечно три, ведь, строякаждую цепочку, мы возьмем из каждого мешка ровно по одной бу-сине. Интересно также узнать, сколько цепочек у нас получится. Что-бы это прикинуть, можно просто начать построение. Первой бусинойв каждой цепочке должна быть одна из бусин первого мешка. Их две,значит, у нас возникают сразу две возможности (и соответственнодве цепочки). Можно начать рисовать их одновременно, чтобы ниче-го потом не забыть. Первой бусиной одной цепочки будет желтыйквадрат, а другой – синий треугольник. Чтобы понять, какую бусинупоставить на второе место, обратимся ко второму мешку. В немлишь одна зеленая круглая буси-на; значит, она и должна стоятьна втором месте в каждой из на-ших цепочек. Аналогично, рас-смотрев третью бусину, получа-ем мешок ⊗Б (см. картинку).

Задача 53. Работа с цепочкой R по содержанию не сложнее,чем с цепочкой Б, отличие лишь в материале – он буквенный. Поэто-му задачу можно немного усложнить – попросить ребят заранее ска-зать, сколько должно получиться цепочек в мешке. Рассужденияздесь такие же, как для цепочки Б. Видим, что бусины, которые будутстоять на первых пяти местах цепочек мешка, определяются одно-значно, так как в каждом из первых пяти мешков всего одна бусина.На шестом месте может стоять любая из четырех бусин шестогомешка, поэтому получаем 4 цепочки-слова: АПТЕКА, АПТЕКИ, АПТЕ-КЕ, АПТЕКУ.

Если позволит время, можно обсудить с ребятами, что за мешокслов получился. Вы, конечно, заметили, что это мешок всех падеж-ных форм единственного числа слова АПТЕКА.

Задача 54. Здесь мы закрепляем материал листа определений,относящийся к ситуации, когда в одном из мешков цепочки есть двеодинаковые бусины. На самом деле, идея здесь очень проста – спо-соб раскрытия цепочки мешков не зависит от того, сколько и какиеобъекты лежат в мешках. Каждая бусина, будь она отличной от ос-тальных бусин своего мешка или такой же, как какая-то другая,должна «выполнить свою часть работы», то есть поучаствовать в по-строении такого же числа цепочек, что и все остальные. Если кто-тоиз ребят, прочитав лист определения, не понял, как в данном случаеобстоит дело, то на примере этой несложной цепочки хорошо бы ра-зобраться. Лучший способ – начать строить цепочки по общему пра-вилу. Также можно помечать бусины четвертого мешка, которые уже«поучаствовали» в построении. Наверняка, всем ребятам уже понят-

С

З

З

⊗⊗БК

К

Ж

94

но, какие бусины будут стоять на первых трех местах всех цепочек вмешке. Итак, рисуем начало – зеленую треугольную, синюю квадрат-ную, желтую круглую. Теперь берем любую бусину из четвертогомешка, например, красную круглую, рисуем ее на последнем местецепочки, а затем помечаем в мешке – она уже «поучаствовала» в по-строении. Продолжаем рабо-тать таким образом, пока всебусины четвертого мешка небудут помечены. В результатеполучаем то, о чем уже читалина листе определений – в меш-ке есть две одинаковые цепоч-ки.

Ответ:

Задача 55. Упражнение на раскрытие цепочки, один из мешковкоторой пуст. Вот пример рассуждений: у нас должен получиться ме-шок цепочек, в каждой из которых на первом месте стоит какая-ни-будь бусина из первого мешка цепочки О, на втором месте – какая-нибудь бусина из второго мешка этой цепочки и т. д. Попробуем по-строить какую-нибудь такую цепочку. Понятно, что на первом месте вней должна стоять зеленая треугольная – единственная бусина пер-вого мешка, на втором – синяя квадратная – единственная бусинавторого мешка. А что будет на третьем месте? Там должна стоять бу-сина из третьего мешка, но в этом мешке ничего нет! Поэтому пост-роить нужную цепочку мы не можем. А это значит, что в мешке ⊗Онет ни одной цепочки: это пустой мешок.

Возможно, ваши дети обратят внимание на то, что внешне це-почки мешков О и Д (из задачи 54) очень похожи. Можно сказать, ониотличаются только на одну бусину. Однако, мешки после раскрытияотличаются довольно сильно. Это кажется странным, но именно та-кой будет ситуация в произведении любого числа множителей, еслимы один из них заменим на ноль.

Задача 56. Необязательная. Большинство детей эта задача незатруднит. Тем, у кого дело сразу не пойдет, посоветуйте, как все-гда, сперва понять, где Робот мог стоять в начале, до выполненияпрограммы. Ребенок, скорее всего, быстро сообразит, что Роботдолжен находиться на раскрашенной клетке и иметь возможностьдважды сдвинуться вниз. Теперь вместе поставьте Робота на одну извозможных клеток (любую из трех «верхушек» буквы Ш).

Ответ: пропущенные команды: влево, вверх, влево, вверх.

Задача 57. Надеемся, что ваши ребята к моменту решения дан-ной задачи уже усвоили суть определения раскрытия цепочки меш-ков. Здесь перед ними возникнет еще одна проблема – как ничего непропустить и не нарисовать лишних цепочек. Одним из подходов яв-ляется дерево раскрытия, обсуждаемое позднее. Мы намеренно по-мещаем эту задачу (и следующую) до темы «Дерево раскрытия це-почки мешков» – нужно, чтобы дети на своем опыте убедились в не-обходимости какого-то правила работы при раскрытии цепочки

З Ж⊗⊗Д

ЖС

З Ж КС

З Ж КС

95

мешков. Полезно обсудить с детьми, как каждый организует своюработу, чтобы надежно и уверенно получить правильный ответ. Воз-можно, кто-то из ребят изобретет свое правило.

Вам же на вооружение мы можем предложить следующий под-ход к этому вопросу: можно подсчитать заранее, сколько цепочекдолжно быть в мешке, а получив ответ, проверить, совпадает ли чис-ло цепочек с найденным, верно ли построены цепочки и нет ли срединих двух одинаковых (ведь в мешках цепочки Q нет одинаковых бу-син!). Это гарантирует правильность ответа. Чтобы подсчитать,сколько цепочек в будущем мешке, нужно собрать воедино весьопыт, полученный при решении задач 52, 53 и 54. Дети, навернякауже заметили, что каждый мешок в цепочке, где бусин больше од-ной, увеличивает число цепочек ровно во столько раз, сколько в нембусин. Поэтому количество цепочек в мешке можно находить какпроизведение числа бусин в мешках. В данном случае цепочек долж-но быть четыре.

Ответ: ПАПА, ПАМА, МАМА, МАПА.

Задача 58. Проверьте, что данную задачу все решили правиль-но и самостоятельно. Ее вполне можно использовать для текущегоконтроля умения выполнять раскрытие цепочки мешков. Как видите,эта задача по существу ничем не отличается от предыдущей, други-ми стали только объекты в мешках, теперь – это бусины. Поэтому ес-ли кто-то из ребят не может с ней справиться, значит, ему нужно воз-вращаться к самому началу – к листу определений.

Ответ:

Задача 59. Все ребята, скорее всего, решат эту задачу мгно-венно, ведь искомый мешок – пустой.

Задача 60. Необязательная. Обратите внимание на третийпункт инструкции. Конечно, к настоящему моменту ваши ребята хо-рошо знают алфавит, но это знание не предполагает, что они должнынаизусть знать, какая буква на каком по счету месте должна стоять,тем более с конца. Вам придется решить перед уроком, хотите ли выоблегчить ребятам задачу и предложить готовый алфавит, или вы хо-тите, чтобы они самостоятельно (в уме) отсчитали от конца десятуюбукву (тем более, что задача необязательная).

По окончании решения можно предложить ребятам посмотреть втолковом словаре, что означает получившееся слово и попробоватьэто нарисовать...

Ответ: КАРАКАТИЦА.

К К

К

З

З

К

К⊗⊗И

С

К ЖЖС

КК К

К

96

Задача 61. Необязательная. Обратите внимание на второе ут-верждение. Здесь ребята встретятся с новым для них типом толкова-ний – «избыточным» толкованием. Прочитаем внимательно утверж-дение. Оно добавляет к информации толкового словаря нечто «от се-бя». Ситуация действительно сложная, ведь мы никак не можем про-верить эту новую информацию. Самое естественное в этой ситуациипросто написать Н – нам это не известно, вполне возможно, что не-которые ребята так и поступят.

Избыточное толкование дает более развернутое, чем в словаретолкование, включающее новые подробности и детали. Приведемпример. Предположим, в словаре мы имеем толкование: «Клест –небольшая лесная птица». А в задании приведено утверждение:«Клест – небольшая лесная птица с перекрещивающимися концамиклюва». Вообще-то такое толкование может быть и истинным, и лож-ным, в зависимости от того, соответствуют ли новые подробностиреальному объекту, к которому относится толкование (в данном при-мере оно истинно). Но мы в таких случаях совершенно правомерноможем ставить Н, то есть мы этого определить не можем.

Иногда избыточные толкования включением новых деталей от-брасывают часть объема понятия, которая к нему действительно от-носится. В результате толкование, по сути, становится ложным, по-скольку оно уже не отражает все то понятие, к которому относится.Примером может служить утверждение в нашей задаче: «Дефицит –это недостаток, нехватка лимонада». Сравнивая это утверждение столкованием слова «дефицит» в словаре, мы понимаем, что объемпонятия стал слишком узким и уже не соответствует толкованию всловаре. Например, из него следует, что это понятие уже не приме-нимо к колбасе, рабочей силе, времени и проч. (а мы знаем, что насамом деле оно применимо). Поэтому такое толкование правильнейсчитать ложным, чем неопределенным. Многие дети знают данноеслово и вряд ли согласятся на такое узкое его применение.

Ответ: оба утверждения ложны.

Задача 62. Необязательная. Задача эта, по существу неслож-ная, но требует работы с определением в обратную сторону. Какправило, невозможно выполнить обратную операцию, недостаточноразобравшись в прямой. Поэтому данная задача сразу выявит тех,кто подошел к определению недостаточно осознанно. Все остальныеучащиеся обязательно заметят, что первая буква у всех слов одина-ковая, одинаковых слов в мешке нет, и поэтому в первом мешке це-почки одна буква – К. Аналогично, проанализировав вторую и третьюбуквы, можно увидеть, что слова в мешке различаются только по-следней, четвертой буквой, а значит, только в четвертом мешке бу-дет несколько различных букв. Понятно, что в данном случае ихстолько же, сколько слов в мешке ⊗Z. Таким образом, действуя стро-го по правилу, нужно первые буквы слов обвести бусинами-мешка-ми, а из всех вариантов последней буквы образовать отдельный –последний мешок.

Ответ:

97

Z К О Н ИЮ

Я ЕЬ

Задача 63. Как мы уже обсуждали, раскрытие цепочки мешковбез использования дерева предполагает довольно сложный для ре-бенка процесс «перебора в уме». Рисование дерева, хотя и требуетопределенных усилий и времени, зато делает перебор видимым. Та-ким образом, дерево есть способ статического, одновременногопредставления процесса, в данном случае – процесса раскрытия це-почки. После изучения ребятами листа определений, полезно вер-нуться к задачам 57 и 58. Учащиеся наверняка вспомнят, что основ-ная проблема, которая обсуждалась в этих задачах – как ничего непропустить и не написать лишнего. Хорошо, если учащиеся самискажут, что дерево раскрытия цепочки мешка – универсальный спо-соб решения данной проблемы, и объяснят, почему. Действительно,все появляющиеся возможности мы сразу изображаем на дереве,поэтому наверняка ничего не потеряем.

Задачу 63 можно использовать, чтобы установить взаимосвязьмежду цепочкой мешков, мешком цепочек и деревом раскрытия це-почки мешков. Связь здесь имеется самая тесная, но ребята, кото-рые склонны подходить к листам определения формально, могут этоупустить. По возможности, до построения дерева нужно задать уча-щимся следующие вопросы: «Сколько уровней будет у дере-ва Е?» (Четыре – столько же, сколько мешков в цепочке, таккак каждый следующий мешок дает нам новую бусину вцепочку мешка, а значит, новый уровень бусин в дере-ве.) «Сколько будет корневых бусин?» (Две, так как впервом мешке цепочки две бусины, а значит, дляпервой бусины цепочки мешка существует ровнодве возможности.) «Сколько в дереве будетбусин второго уровня?» Здесь необходимообратить внимание, что количество бу-син второго уровня зависит уже нетолько от количества бусин вовтором мешке, но и от количе-ства корневых бусин, так каквторой уровень пристраива-ется к первому. Вот и в дан-ном случае во втором мешкеодна бусина, а на втором уров-не дерева их будет две – по од-ной после каждой из двух корне-вых бусин. Аналогично можно обсу-дить, сколько должно быть в дереве бу-син третьего и четвертого уровня.

Вторую часть задачи – «раскрась бусины вцепочках мешка…» можно считать задачей на по-вторение. Действительно, мешок ⊗Щ – мешок всехпутей дерева Е, значит, с такой задачей ребята ужевстречались.

Ответ: (см. картинку).

98

Е

З

С

К

Ж

С

К

ЖЗ

С

З

С

З

С

З

С

З

С

З

С

Ж

ЖК

Задача 64. Мы надеемся, что большинство ребят к настоящемумоменту уже понимает закономерности операции раскрытия цепоч-ки мешков. Например то, что на первом, третьем и четвертом местевсех цепочек мешка будут стоять одни и те же буквы (К, Ш, К). Крометого, учащиеся, скорей всего, смогут посчитать, сколько цепочекдолжно быть в мешке. Если при решении предыдущей задачи подоб-ные вопросы обсуждались, то проблем не возникнет, если нет – об-судите их здесь. Итак, у нас должно получиться 6 цепочек, поэтому вмешке ⊗Y можно сделать сразу 6 заготовок типа К–...–Ш–К–....

Во втором мешке у нас две разные буквы, значит в трех цепочкахна втором месте будет стоять одна буква (А) и в трех цепочках – дру-гая (О). Вписываем буквы А и О таким образом, получаем:

К–А–Ш–К–... К–О–Ш–К–...К–А–Ш–К–... К–О–Ш–К–...К–А–Ш–К–... К–О–Ш–К–...

Теперь дописываем последние буквы (А, Е или И) к цепочкамтак, чтобы все они стали разными (в данном случае одинаковых це-почек в мешке быть не должно).

Ответ:КАШКА КОШКАКАШКИ КОШКИКАШКЕ КОШКЕ

Задача 65. Эта задача продолжает тему «Де-рево раскрытия цепочки мешков». Ее выполне-ние не потребует от ребят больше усилий, чемзадача 63. Однако эта задача все же содержитодну новую деталь – в одном из мешков всетри бусины одинаковые. Главное, чтодолжны понять ребята при решении этойзадачи – наличие одинаковых бусин вмешке не изменяет способа построе-ния дерева, числа веток, листьев и т.д., а влечет лишь появление одинако-вых путей. Действительно, при пост-роении дерева раскрытия цепочкимешка работает одно и то же правило –каждая бусина имеет ровно столько сле-дующих бусин, сколько лежит в следую-щем по счету мешке цепочки. Раскрасивбусины в мешке ⊗Ф, ребята смогут еще разубедиться в том, что наличие одинаковых бу-син в мешках цепочки ведет к появлению оди-наковых цепочек в мешке.

Ответ: (см. картинку).

Задача 66. Несмотря на то, что программа большая, надеемся,все ваши ученики справятся с ней самостоятельно. Со слабым уче-ником можно работать в режиме пошаговой проверки, то есть по-просить его выполнить первую конструкцию повторения, затем про-верить результат, затем – вторую и т. д. На самом деле рисунок Ро-

99

С

З

Ж

Ж

Ж

Ж

Ж

Ж

Ж

Ж

Ж

З

З

С

З

К

З

С

К

З

С

К

бота, как видите, состоит из пяти непересекающихся узоров, каждыйиз которых соответствует определенной конструкции повторения.Поэтому, проходя поклассу, вы всегда смо-жете определить, в ка-кой конструкции (илидвух соседних) ученикдопустил ошибку. В та-ком случае можно по-просить его взять новоеполе с листа вырезанияи выполнить программуеще раз.

Ответ:

Задача 67. Задачу, обратную раскрытию цепочки мешков, неко-торым ребятам выполнять уже приходилось (необязательная задача62). Здесь, однако, в мешке есть одинаковые слова, значит в одномиз мешков цепочки V (или в нескольких) должны быть одинаковыебуквы. Необходимо понять, в каком мешке они лежат. Скорее всегоребята не будут так глубоко в это вдумываться и пойдут по привыч-ному пути: напишут в первом мешке цепочки букву П, во втором – И,в третьем – Р, в четвертом – О, в пятом – Г. Проблемы возникнутлишь в том случае, если в шестом мешке учащийся напишет толькочетыре буквы: Е, А, И, У. В таком случае можно попросить его рас-крыть полученную им цепочку. Тогда ребенок поймет, что в данномслучае букв в последнем мешке должно быть ровно столько же,сколько слов в ⊗V и допишет недостающие буквы. Возможна и дру-гая крайность – учащийся напишет в какой-то из мешков (возможнои не в шестой) лишние буквы. Совет тот же, попросите его раскрытьсвою цепочку и обсудите, почему цепочек в мешке оказалось гораз-до больше, чем нужно.

Задача 68. Необязательная. В этой задаче не все окна запол-няются однозначно, да и сами мешки, которые получатся у ребят,возможно, будут разными.

Однозначно заполняются окна в четырех словах:

К НИБУДЬ КАК-НИБУДЬ

К НИБУДЬ ОТКУДА-НИБУДЬ

Е -НИБУДЬ ЗАЧЕМ-НИБУДЬ

Е-НИБУДЬ ГДЕ-НИБУДЬ

Остальные слова делятся на группы в соответствии с количест-вом букв, идущих перед НИБУДЬ.

Три буквы (КЕМ-, КТО-, ЧЕЙ-, ЧЕМ-, ЧТО-):

К -НИБУДЬ КЕМ-/КТО-НИБУДЬ

Е -НИБУДЬ КЕМ/ЧЕЙ-НИБУДЬ

Ч НИБУДЬ ЧЕЙ-/ЧЕМ-/ЧТО-НИБУДЬ

100

Четыре буквы (КОГО-, КОМУ-, КУДА-, ЧЕГО-, ЧЕМУ-):

Е НИБУДЬ ЧЕГО-/ЧЕМУ-НИБУДЬ

ЧЕ НИБУДЬ ЧЕГО-/ЧЕМУ-НИБУДЬ

М -НИБУДЬ КОМУ-/ЧЕМУ-НИБУДЬ

О НИБУДЬ КОГО-/КОМУ-НИБУДЬ

Пять букв (КАКОЙ-, КОГДА-):

К НИБУДЬ КАКОЙ-/КОГДА-НИБУДЬ

К -НИБУДЬ КАКОЙ-/КОГДА-НИБУДЬ

Шесть букв (ОТЧЕГО-, ПОЧЕМУ-):

ЧЕ НИБУДЬ ОТЧЕГО-/ПОЧЕМУ-НИБУДЬ

ОТ -НИБУДЬ ОТЧЕГО-/ОТКУДА-НИБУДЬ

Как видно теперь, когда мы все выписали, шести-буквеные сло-ва восстанавливаются однозначно, для двух пяти-буквенных есть дваварианта. Среди четырех-буквенных КОМУ- и КОГО- восстанавлива-ются однозначно, а для пары ЧЕГО-/ЧЕМУ- есть два варианта. Вари-антов заполнения трех-буквенных есть довольно много.

Если вы видите, что кто-то из ребят запутался совсем, то попро-сите найти его в мешке какое-нибудь слово, определяющееся одно-значно, например, КАК-НИБУДЬ или ОТКУДА-НИБУДЬ (первое ивторое слова сверху). Глядя на то, как ученик работает, вы легко пой-мете, в чем причина ошибок. Скорее всего, ребенок просто забыл,что дефис - отдельный символ и должен занимать при заполненииокон отдельную бусину. Посоветуйте такому ученику сначала запол-нить все окна, соответствующие дефисам (перед частицей НИБУДЬ),а затем уже приступить к дальнейшей работе.

Задача 69. Надеемся, что с первыми двумя заданиями на на-стоящий момент могут справиться все ваши ребята, предоставьтеим полную самостоятельность. Последнее задание требует некото-рого обсуждения. Как минимум нужно выслушать все идеи ребят илучше подытожить их общим выводом. В третьем задании мы пере-брасываем мостик между нашей комбинаторикой и комбинаторикойклассической. Мы в нашем курсе пытаемся построить все объекты,удовлетворяющие условию, а классическая комбинаторика обычноспрашивает: «Сколько (таких объектов)?». До этого момента мы ре-шали задачи только на построение всех объектов, удовлетворяющихкакому-то условию, а затем их пересчитывали, если того требовалозадание. В данном случае задача другая: провести такие рассужде-ния и вычисления, которые позволили бы, не рисуя дерево, сосчи-тать количество цепочек в мешке. Мы советовали вам вести пропе-девтику такого задания постепенно, задавая в каждой задаче на рас-крытие цепочки мешков вопрос о том, откуда берется такое количе-ство цепочек – сначала более сильным ученикам, а затем и всем ос-тальным. Оказывается, что число путей дерева равно произведению

101

чисел бусин в мешках исходной цепочки мешков. В данном случаеполучаем 5 ⋅⋅ 1 ⋅⋅ 2 = 10 путей.

Задача 70. Необязательная.Ответ: первое и второе утверждения ложны, третье – истинно.

Задача 71. Тем, кто запутался, можно предложить следующиенаводящие вопросы: «Сколько бусин-мешков должно получиться вцепочке?» (Две, ведь в каждом числе два знака, а при составлениичисла нужно взять по одной цифре из каждого мешка.) «Что должнонаходиться в первом мешке?» (Цифра 2, ведь у всех чисел от 20 до29 первая цифра одинаковая – 2.) «Какие цифры должны лежать вовтором мешке, чтобы при раскрытии получить все числа от 20 до29?» (Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.)

Интересно, что данная задача устанавливает еще одну связьмежду миром цепочек и миром чисел. В предыдущих задачах мы ужестолкнулись с тем, что операция раскрытия мешка может приме-няться к заданию разных форм одного слова. В данной задаче мы ви-дим аналогию этой конструкции с построением десятичных чисел.

Ответ:

Задача 72. В издании 2003 г. в формулировке этого заданиядопущена опечатка: вместо «⊗F» следует читать «всех путей дереваF».

Идея произвольного сочетания различных слов во фразе былашироко распространена еще в средние века. (Один из ее отголосковприсутствует в «Путешествиях Гулливера» и часто цитируется исто-риками информатики.) Постройте сами вместе с детьми такую ком-бинаторную «машину», где можно будет произвольным образом вы-бирать подлежащее, затем сказуемое, затем дополнение и т. д., по-лучая неожиданные эффекты.

Задача 73. Необязательная. Возможно, кто-то из ваших неслишком внимательных учеников посчитает второе утверждение ис-тинным. На самом деле оно является ложным и противоречит толко-ванию в словаре, ведь цветочные горшки не ставят в печку.

Ответ: оба утверждения ложны.

Задача 74. Необязательная. При решении подобных задач пе-ред ребенком встает три вопроса: сколько мешков в цепочке, какиебуквы лежат в мешках цепочки, и есть ли в мешках одинаковые буквы(если есть, то сколько). Ответ на третий вопрос представляется наи-более сложным. Действительно, на первый взгляд наша задачаочень напоминает задачу 67. Однако, в нашем мешке нет одинако-вых слов, поэтому каждая буква должна встречаться в одном мешкеровно один раз.

Ответ:

D У Ш К АЕ

ИПС

Т

У 20

51 2

63

74

8 9

102

Задача 75. Подобную задачу дети уже решали, только для дву-значных, а не для трехзначных чисел. Если у кого-то из учеников воз-никли трудности, то отошлите его к задаче 71. Пусть вспомнит, какрешал подобную задачу в прошлый раз.

Ответ:

Задача 76. Необязательная. Данная задача – первая из новойсерии задач про Робота. Здесь даны только форма поля и програм-ма, все остальное придется выяснить ребятам. Естественно, самыйглавный вопрос, – где находился Робот в начальной позиции. Конеч-но, эту задачу можно решать «методом проб и ошибок»: просто пе-ребирать все возможные квадратики поля и ставить в них Робота вначальной позиции. Однако ценность метода «проб и ошибок» нетолько в том, что он позволяет случайно набрести на решение. По-мните, мы говорили, что часто в ходе поиска человек накапливаетопыт, начинает понимать «как все устроено». Оказывается, напри-мер, что некоторые виды «проб» можно уже и не делать. Кто-то издетей, сделав несколько первых попыток, может понять, что из неко-торых квадратов нельзя выполнить даже первую команду, почему еевыполнить нельзя, и где такие «заведомо неподходящие» клетки на-ходятся. В дальнейшем это наблюдение можнообобщить на два первых хода и т. д. Такие «не-подходящие» квадратики надо каким-то обра-зом помечать, но не так, как квадратики закра-шивает Робот, а, например, можно их вычерки-вать крест-накрест.

Вычеркивая те клетки, из которых нельзявыполнить первую команду влево, мы получа-ем следующий вид поля Робота:

Двигаясь по этому пути, можно, последова-тельно добавляя каждую следующую команду,вычеркивать все новые и новые клетки. Так,вторая команда – вправо – никакой новой ин-формации не дает. Дальше Робот должен вы-полнить две команды вверх. Значит, он не мо-жет начинать свой путь ни в одной и клеток двухверхних рядов. Вычеркивая эти ряды, получаемследующий вид поля:

По ходу дела могут появиться новые, обоб-щающие, идеи. Например, можно заметить, чтоРобот, выполнив почти всю программу, кромепоследней команды, выполнил лишь одну ко-манду влево, но пять раз выполнил командувправо. Поэтому Робот не может начинатьсвой путь в клетках четырех правых столбцовсвоего поля (учитывая и неполные столбцы):

И 34

051 2

63

74

8 90

51 2

63

74

8 9

103

У нас остается лишь одна незачеркнутая клетка; пробуем выпол-нить программу, начиная из нее – все получилось. Вот эта начальнаяпозиция и позиция после выполнения программы:

Нетрудно понять, что такая модификация метода «проб и оши-бок» подразумевает существенный элемент прогнозирования, забе-гания вперед. Если у каких-то учащихся это вызовет трудности, мож-но предложить им другой подход к решению задачи – решение «сконца». Он заключается в том, чтобы выполнить программу на листеклетчатой бумаги (на «поле без границ») и получить рисунок закра-шенных Роботом клеток. Теперь останется найти возможное положе-ние этого рисунка на поле, данном в задаче. Это не так уж просто ипотребует от ребенка уже совсем других мыслительных навыков,скорее геометрических: ведь потребуется вложить одну сложную ге-ометрическую фигуру в другую.

Задача 77. В формулировке этого задания, в отличие от анало-гичных задач, рассматривавшихся раньше, появилось отрицание:«…нет мешка с двумя одинаковыми бусинами». Это, конечно, вызо-вет дополнительные трудности при решении. Главное здесь – неспешить, все аккуратно отмечать и время от времени снова читатьусловие задачи.

Чтобы не запутаться с мешками, рекомендуем, как и раньше вподобных задачах поставить прямо в задании рядом с каждым сло-вом «мешок» пометку – внутренний или внешний. Получаем фразу:«Отметь галочкой мешок (внешний), в котором нет мешка (внутрен-него) с двумя одинаковыми бусинами». Теперь проверяем выполни-мость этого утверждения для каждого мешка. Начнем с первого.Просматриваем его внутренние мешки сверху вниз на предмет нали-чия двух одинаковых бусин: в первом внутреннем мешке двух одина-ковых бусин нет, а во втором – есть. Это означает, что в первомбольшом мешке есть мешок (второй) с двумя одинаковыми бусина-ми – значит, он нам не подходит. Аналогично проверяем утвержде-ние для второго мешка. Убеждаемся, что в его третьем внутреннеммешке также есть две одинаковые бусины; значит, он тоже не подхо-дит. Продолжая перебор, выясняем, что условию удовлетворяет тре-тий большой мешок. Можно, на всякий случай проверить и четвер-тый большой мешок – проверить, что он не удовлетворяет условию.

Задача 78. Необязательная. Возможно, у кого-то из ребятвозникнут вопросы по формулировке задания. Таким ученикам сле-дует напомнить, что выражение «чтобы Робот смог выполнить про-грамму» означает, что Робот сможет дойти до конца программы, ниразу не попытавшись выйти за границы поля. На листе определений

104

мы писали, что в случае, если Роботу нужно пройти через границу, онломается.

Начав выполнять внутренние команды первого цикла, ребенокпонимает, что их можно выполнить два раза. После этого Робот по-падает в клетку, из которой уже невозможно движение вверх. Зна-чит, в первом пустом окошке нужно написать 2 (один в конструкцииповторения использовать просто бессмысленно – к чему тогда кон-струкция?). Аналогично анализируем следующую конструкцию по-вторения. Видим, что есть лишь одна клетка на текущей строке, изкоторой можно будет потом выполнить команды вверх и вправо хо-тя бы один раз. До этой клетки Робот должен сделать 3 шага влево,значит, во втором окне ученик пишет 3 и т. д. Таким образом получа-ем единственный правильный ответ – в пустые окна необходимовписать соответственно 2, 3, 2. Теперь остается лишь дорисоватьпозицию Робота после выполнения программы, то есть убедиться,что Робот действительно сможет ее выполнить.

Задача 79. Необязательная. Прежде всего, чтобы решить дан-ную задачу, ребенок должен вспомнить, в каком случае в мешке по-являются одинаковые цепочки (слова) – хотя бы в одном мешке ис-ходной цепочки должны лежать две одинаковые бусины. В качественаводящего вопроса можно попросить ученика нарисовать цепочкуиз двух мешков, при раскрытии которой в мешке окажутся хотя быдве одинаковые цепочки. Если нам нужны четыре одинаковых словав мешке, то в одном из мешков цепочки должно быть четыре одина-ковые буквы (есть и еще вариант – по две одинаковых буквы в двухмешках). При этом никаких других букв, кроме одинаковых, в этоммешке быть не должно – ведь в мешке ⊗К должно быть только четы-ре одинаковых слова. В остальных мешках цепочки должно быть поодной букве.

Теперь можно построить цепочку К. Поскольку в условии не ска-зано, сколько букв в должно быть словах, число мешков в цепочкеможно взять произвольным. Простейшее решение – взять цепочку изодного мешка и в этот мешок положить четыре одинаковые буквы.Вот и все. Интересно, додумаются ли дети до такого решения?

Можно также составить цепочку из нескольких мешков. В такомслучае сначала нужно решить, какое именно слово в четырех экземп-лярах будет лежать в мешке ⊗К. Пусть это будет, например, словоГУСЬ. Затем нужно решить, какая именно буква будет повторяться вмешке 4 раза – это совершенно все равно, но нужно выбрать одну.Пусть это будет первая; тогда получим такую цепочку:

Сильным детям можно предложить подумать, есть ли еще вари-

105

КУ

УУ

У

К У С ЬГГ

ГГ

анты построения подобной цепочки, можно ли не класть в один ме-шок четыре буквы. Действительно, можно повторить две буквы подва раза, и в мешке ⊗К тоже окажется четыре одинаковых цепочки.Вот пример такого решения:

Задача 80. В случае затруднения, предложите начать с какого-нибудь одного слова, например, со слова ДЫМ.

Правильных ответов здесь довольно много, поскольку на деревоL не накладывается никаких условий, кроме того,что мешок его путей должен совпадать с меш-ком U. Конфигурация такого дерева можетбыть самая разная, в частности, подой-дет и дерево, имеющее 9 корневыхбукв Д, где каждое слово расположе-но на отдельной «ветке». В такомслучае дерево будет иметь 33 бу-сины.

Однако, кто-то из ребят захо-чет «экономить», рисуя на каждомуровне вместо нескольких одинаковыхбусин одну, как обычно поступаем мы,когда рисуем деревья на листах определе-ний. Самое «экономное» дерево будет иметь18 бусин и будет выглядеть так (см. картинку):

В случае построения дерева подобным образом кто-то из ребятможет ошибиться с расположением двух бусин Ш третьего уровня.Действительно, на букве Ш нельзя сэкономить, придется поставитьее на третьем уровне дважды, поскольку в одном пути она являетсялистом, а в другом имеет следующую букву.

Задаче 81. При решении этой задачи ребенок впервые столк-нется с построением периодической цепочки. Периодические цепоч-ки ожидают нас в будущем, а пока можно просто спросить детей, чтов этой цепочке особенного, что отличает ее от всех цепочек, с кото-рыми они до сих пор сталкивались. В сущности, выполняя это зада-ние, ребенок будет выполнять «рекурсивное» действие, то есть в точ-ности повторять некую последовательность операций, а именно:«раскрась красным», «раскрась синим». Надо заметить, однако, чтозадание сформулировано в общем виде, причем, сложном для пони-мания, поэтому ребенок, вероятно, не сразу осознает, что за этойформулировкой стоит исключительно простая процедура. Заметимтакже, что впервые в нашем курсе ребенок сталкивается с алгорит-мической конструкцией выбора – «если».

Задача 82. Необязательная. Эта задача может показаться не-которым детям сложной. Действительно, на первый взгляд совер-шенно непонятно, откуда можно узнать, какого слова не хватает в

L Д Ь

И

А

М

Ш

Ш

У

АВ О

Т

Х

Р

Е

Ы

К Г СУУ

ЬЬ

106

107

мешке ⊗S, и почему вообще в мешке может чего-либо не хватать.Ведь, например, в задачах, где было нужно построить дерево помешку его путей, было неважно, какой именно набор слов содержитмешок – всегда было возможно построить дерево. Оказывается, вданной ситуации это не так. Чтобы мешок являлся мешком раскры-тия какой-либо цепочки мешков, он должен обладать некоторымиспециальными свойствами.

Начнем строить цепочку S пока для тех слов, которые уже есть вмешке ⊗S. Все слова в мешке ⊗S – длины 4, поэтому в цепочке S бу-дет 4 бусины-мешка. (Вот и первый вопрос детям: «Могут ли цепочкив мешке, который является результатом раскрытия какой-то цепочкимешков, быть разной длины?» – ответ, конечно: «Не могут, просто поопределению операции раскрытия цепочки мешков».)

Теперь посмотрим, какие же буквы должны лежать в мешках це-почки S. Первый мешок, видимо, содержит только букву П, причем водном экземпляре – ведь пока все слова в мешке ⊗S разные. Второймешок содержит буквы А и О. Третий мешок – одну букву К, послед-ний, четвертый мешок – буквы И, У, А, О, Е. Получилась такая цепоч-ка S:

Теперь раскроем полученную цепочкуS. Получим следующий мешок ⊗S (см.картинку).

Осталось сравнить полученный намимешок с тем, который дан в задаче. Легконаходим, что слово, которого не хватает –ПОКО.

Сильным ученикам можно предложитьпроделать подобные рассуждения устно, попытаться найти сначаланедостающее слово, а уже потом выписать цепочку S.

Задача 83. Необязательная. Задача на повторение операциисклеивания цепочки цепочек. Условие выглядит запутанным, но за-дача упрощается, если дойти до ключевой идеи, что та самая буква,о которой идет речь – это единственная буква, встречающаяся в сло-ве дважды: О.

Задача 84. Здесь ребята продолжают заниматься индуктивнымпостроением цепочек. Все утверждения второго пункта инструкциикасаются формы, поэтому цвет всех бусин, кроме первой, можетбыть любым. Если у кого-то из учеников с раскрашиванием очеред-ной бусины возникнет заминка, то просто спросите его, какая поформе бусина предыдущая перед данной и затем попросите найтиподпункт пункта 2, подходящий для такого случая. Определение ис-тинности утверждений, как у нас часто бывает, служит также и про-веркой. Если ученик построил цепочку Ы правильно, то все три ут-верждения для нее должны быть истинными.

ПАКАПАКЕПАКИПАКОПАКУ

⊗⊗S

S П КАО

АУ

И ОЕ

ПОКАПОКЕПОКИПОКОПОКУ

108

Задача 85. Необязательная. Задача помечена как необяза-тельная, поскольку здесь встречаются и довольно сложные случаи,когда «бусина не одна» и «бусины нет». Например, для всех путей,выходящих из корневой желтой круглой бусины данное утверждениене имеет смысла, поскольку в четырех верхних путях желтая круглаябусина не одна, а в остальных – нет красной треугольной. Если вы,проходя по классу, видите, что ученик выписывает какой-то из этихпутей, то есть смысл остановить его и вспомнить вместе соответст-вующие листы определений (см. 3-ю страницу обложки). Также важ-но, чтобы каждый ребенок (из тех, кто будет решать задачу) просмо-трел все пути дерева, ведь в условии говорится, что необходимо вы-писать все цепочки, удовлетворяющие условию. Если вы видите, чторебенок потерял часть решений, попросите его просмотреть деревоеще раз, помечая листья, ведущие в уже просмотренные пути. Ско-рее всего, в процессе этой работы ученик сам найдет ошибку.

Ответ:

Задача 86. В издании 2003 года в этой задаче есть опечатка: впоследнем утверждении вместо слова «после» следует написатьслово «перед».

Надеемся, что после решения задач 81 и 84, ребята уже освои-лись с индуктивным построением объектов. Разница заключаетсялишь в том, что здесь мы по индукции достраиваем (раскрашиваем)дерево. Если кто-то из учеников застопорится на четвертом пунктеинструкции, то либо он неверно выбрал бусину, либо не смог найтиподпункт, соответствующий ей. Для одной бусины этот сложный мо-мент полезно обсудить, с дальнейшим раскрашиванием ученик на-верняка справиться сам.

Задача 87. Необязательная. Несложная задача на повторениеоперации склеивания цепочки цепочек.

Задача 88. Необязательная. Вы, наверное, заметили, что дан-ная задача похожа на задачу 82, и решать ее можно аналогично. Темребятам, которые не знают, с чего начать, посоветуйте сначала на-рисовать цепочку мешков для тех слов, которые в мешке есть. Послеэтого они наверняка догадаются, что в первый мешок нужно поло-жить первые буквы слов в мешке, во второй – букву Е, в третий – Ч, вчетвертый – И и Ь. При этом ребенок может заметить, что после рас-крытия такой цепочки, в мешке должно быть как раз 8 слов, значит онна верном пути, 4 слова уже есть, 4 необходимо дописать. Теперь ос-тается только раскрыть получившуюся цепочку, отмечая по ходу сло-

З Ж З

З Ж

З Ж З

К

З Ж

К

К

КС

109

ва, которые в мешке уже есть, все остальные туда нужно дописать. Ответ: в мешке не хватает слов СЕЧИ, ТЕЧЬ, ПЕЧИ, РЕЧИ.

Задача 89. Необязательная. В словах цепочки часть букв ужевписана, но в отличие от большинства предыдущих подобных задач,они не определяют полностью положение слов, а лишь освобождаютребят от части рутинной работы. Данную задачу невозможно выпол-нить, не имея четкого представления о словарном порядке. Напри-мер, под первый шаблон подходит три слова из мешка, а нужное ус-танавливается лишь с помощью алфавитного порядка. Как всегда,посоветуйте ребятам сначала вписывать слова карандашом, чтобыих всегда можно было исправить.

Ответ:УБИРАТЬ УЖАС УМНИЦА УТЮГУВАЖАТЬ УЗОР УНИВЕРМАГ УХОУГАДАТЬ УЙМА УПРЯМЫЙ УЧЕНИКУДОЧКА УКАЗКА УРОЖАЙ УШАНКАУЕЗЖАТЬ УЛИТКА УСНУТЬ

Задача 90. Необязательная. В отличие от похожей задачи 78,решение здесь не единственно, хотя до него также ученик можетдойти естественным путем. При этом фактически ребенок будет дей-ствовать методом перебора – берем команду, получается – идемдальше, не получается – возвращаемся и берем другую. Несмотряна внешнюю сложность, программа составлена так, что ученику влюбом случае не придется возвращаться больше, чем на шаг назад.Поэтому дайте ребятам побольше времени и они сами доберутся доответа. Если ученик запутался, то начните рассуждать вместе с ним.Итак, какую команду вписать в первую конструкцию повторения?Сразу становится понятно, что не подойдут команды вверх и влево.Берем любую из оставшихся двух, например, вправо (на самом де-ле, если взять вниз, то решение тоже можно достроить до конца).Теперь выполняем первую конструкцию повторения. При этом Роботоказывается в клетке, из которой невозможно движение ни вправо,ни вверх. Поставим в окно, например, влево и проанализируем сле-дующую конструкцию повторения – не получается. Действительно,на данном поле ни из какой клетки не сделать 5 шагов ни вверх, нивниз, а из той клетки, где очутился Робот, не сдвинуться на 5 шаговни вправо, ни влево. Вывод – надо вернуться и поставить во второепустое окно команду вниз, тогда в следующее пустое окно вполнеможно написать – вправо. Аналогичные рассуждения можно продол-жить, пусть ребенок сделает это самостоятельно. Ниже мы приводимлишь два варианта программы: первая – если мы вначале вписаликоманду вправо, вторая – если мы вначале вписали команду вниз,на самом деле их гораздо больше. Попробуйте сами найти хотя быеще две возможные программы, тогда вам будет проще ориентиро-

D Е Ч ЬИ

РП

СТ

110

ваться в решениях ребят.

Задача 91. Необязательная. Первое утверждение представля-ет собой «недостаточное» толкование, которое, как мы уже говорили,является истинным.

Ответ: первое и второе утверждения истинны, третье – ложно.

Задача 92. Необязательная. Это задача на повторение. Веро-ятно, многие дети догадаются ее решать, рассматривая требованияк строящейся цепочке не «в порядке поступления», а начиная с са-мых простых – первого и последнего. Когда будут построены фраг-менты цепочки, отвечающие первому и последнему требованию, до-строить их до фрагментов, для которых выполнено третье, будет уженесложно, а сборка фрагментов в полную цепочку – дело уже совсемпростое. Слабым детям можно посоветовать воспользоваться теле-сными объектами с листа вырезания, но от всех детей на данный мо-мент этого требовать уже не стоит.

Задача 93. Необязательная. Эта задача учит детей не толькоформальному сравнению двух утверждений, но и внимательности.Действительно, здесь понадобится умение дочитывать утверждениедо конца и вникать в его смысл.

Ответ: последнее утверждение истинно, остальные – ложны.

ПОВТОРИТЬ 3 РАЗАвверхвправо

КОНЕЦ

вниз

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвправо

КОНЕЦ

вверхвверх

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвлевовниз

КОНЕЦ

НПОВТОРИТЬ 3 РАЗА

вверхвниз

КОНЕЦ

вверх

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвправо

КОНЕЦ

вправовправо

ПОВТОРИТЬ 5 РАЗвверхвниз

КОНЕЦ

Н

111

Задача 94. Необязательная. При решении этой задачи полез-но, как и в других случаях, начать с выполнения требований, которыеоднозначно задают те или иные элементы строящегося объекта.Здесь таким условием является, в частности, последнее. Итак, вселистья дерева помечаем буквой В. Первое условие тоже выглядитбезопасным, но все же в нем говорится о каких-то неопределенныхгласных буквах. Заменим временно все эти буквы, например, буквойА и посмотрим, что будет дальше. Второе условие можно было быиспользовать, если бы после какой-то Л уже что-то стояло. В сущно-сти, так оно и есть, потому что за одним из Л следует лист, а все лис-тья у нас – буквы В. Итак, все бусины, следующие за Л, – это В. На-пишем их. Третье условие диктует нам, что все буквы, идущие за на-писанной нами буквой А, это Е (если бы мы взяли не А, а другуюгласную, буквы Е появились бы все равно). Заметим далее, что в тре-тьем уровне есть еще одна гласная – Е. Значит, за ней тоже идет Е.Обратите внимание, что у нас уже заполнился первый, второй, тре-тий и четвертый уровни. На пятом уровне в соответствии с четвер-тым условием после Е идут Л. Как мы уже знаем, после Л надо по-ставить В. Все дерево получилось заполненным. Произвол имелся,как оказалось, только в расстановке гласных, следующих за А. Те-перь видно, что их действительно можно было брать любыми.

Задача 95. Необязательная. Если отбросить условие про чис-ло бусин в дереве, то решений могло бы быть много – например, мымогли бы каждое слово написать на отдельной «ветке»-пути. Однако,как сразу становится ясно, при таком подходе в дереве окажетсяслишком много бусин. Надо быть более экономным. Все слова вмешке J начинаются на букву О, поэтому ясно, что можно взять ров-но одну бусину первого уровня – букву О. На втором уровне однойбусиной уже не обойдешься – мы должны допустить две возможнос-ти для второй буквы: Б и В. Путь, начинающийся с ОВ (слово ОВОД)определен теперь однозначно. К этому моменту мы потратили уже 5бусин. Давайте попробуем экономить и далее… Примерно таким мо-жет быть и ход рассуждений у кого-то из учеников, но, как всегда, мыне хотим его никому навязывать. Если у кого-то получилось иное(большее) число бусин, скажите, что все очень здорово, но нельзя лиуменьшить число бусин. У кого-то из детей может появиться идея«сэкономить» за счет того, что бусина с буквой Д будет одновремен-но и листом в пути (слове) ОБЕД, и «проходной» в слове ОБЕДНЯ.Это, однако, невозможно, и надо добиться ясного понимания этогофакта, быть может обсудив эту проблему со всем классом. Ведь поопределению у бусин-листьев нет следующих бусин.

Как и в других подобных задачах, поучительно обсудить с деть-ми, нельзя ли еще уменьшить число бусин, и если нет, то почему.Действительно, какие же есть способы сокращения общего количе-ства бусин в дереве с данным мешком его путей? По-видимому,только один: если после какой-то бусины следуют две одинаковыебуквы, то стоит попробовать обойтись только одной такой буквой,«слепив» дерево в этом месте. Как видно из нашего дерева, здесьнеобходимо выполнение только одного условия: ни одна из этих двух

112

одинаковых букв не должна быть листом. В нашем дереве нет дубли-рующих букв (таких, одна из которых не является листом), поэтомуобщее число бусин уменьшить не удастся. Достичь здесь полной яс-ности нелегко, но обсуждение может быть полезно детям для выра-ботки определенного рода интуиции.

Ответ: вот дерево Q, построенное в лексикографическом поряд-ке:

Задача 96. Необязательная. Подобная формулировка – «со-ставь самостоятельно задачу» – в нашем курсе встречается впервые.Тем не менее, мы надеемся, что эта работа будет для ребят доста-точно увлекательной и не слишком сложной. Во-первых, ребятам не-обходимо пока только вписать слова в окна. Во-вторых, утвержденияникак не связаны между собой, поэтому в любое окно, по сути, мож-но вписать любое животное. Единственное условие, которое необхо-димо соблюдать – чтобы животных потом хватило для решения зада-чи. Например, неверно будет написать во всех окнах слово «рыба».Но даже в этом случае ребенку не обязательно помогать. Факт нека-чественного составления задачи все равно обнаружится при ее ре-шении. Тогда ученик будет вынужден вернуться обратно к первомузаданию и изменять слова в окнах.

Задача 97. Необязательная. Как подчеркнуто в тексте зада-ния, это задача не математическая, а лингвистическая. Различиямежду этими видами задач многочисленны (хотя между ними бываети много общего). Однако для нас сейчас наиболее существенно сле-дующее. В математических задачах мы все время старались, чтобывсе правила игры были выписаны явно. Например, чтобы говорить обуквах русского языка, следует их все выписать, чтобы говорить огласных буквах, их опять-таки надо выписать явно. В лингвистичес-ких же задачах часто используются сведения, явно не выписанные,но которые могут быть почерпнуты из других источников или пред-ставляться очень правдоподобными. Так, при решении данной зада-чи должен быть привлечен тот факт, что буква, пишущаяся как рус-ское С, является в разных языках согласной, а пишущаяся, как рус-ское О – гласной.

Эта разница весьма принципиальна и отличает математику отдругих наук, обращающихся, как и лингвистика, за информацией квнешнему миру, а не только к правилам математической игры. Мате-матическая информатика работает с абстрактными моделями реаль-ных компьютеров, которые работают по ясным и явно заданным пра-

Q ОБ

В

Е

И

О

Д

Д

Д

Д

Н

А

Е

Т

Я

Ь

ЬТ

А

113

вилам и, в частности, не могут допустить сбой. В отличие от такихабстрактных моделей, обычная вычислительная машина может датьсбой по разным причинам, например, из-за колебания напряжения вэлектрической сети или из-за того, что авторы операционной систе-мы этой машины написали систему так, что она работают не в точно-сти как задумано, а зависает в ходе вполне законной деятельностипользователя.

Решение. В предложениях 1 и 3 знак ударения стоит только надгласными (a, i, e, o) – это словацкий и венгерский языки. В предло-жении 4 – только над согласной (c) – это словенский. Таким обра-зом, предложение 2, где это знак используется и над гласной (o), инад согласными (c, s) – написано на польском языке.

Задача 98. Необязательная. Как видите, условие задачи со-держит общую информацию о четырех рассматриваемых нами язы-ках. При этом утверждения о них носят нематематический характер.Например, говорится о похожести чтения, похожести слов. Тем инте-ресней будет поиграть с детьми в такую нематематическую игру ивыслушать все их соображения о языках. Кстати, попутно можно по-пытаться догадаться, что же все-таки означает надпись на коробке.

Если записать тексты «соответствующими» русскими буквами,то в трех случаях кое-что действительно понятно:

Поварте в малом мнозстве миерне осоленей води 5-10 минут; Варзива винни биц готоване в малей илосци лекко посоленей

води 5-10 мин.; Кухати в майни колицине мало посолйене воде окрог 5-10 мин.

Не только 5-10 минут/5-10 мин., но и нечто более содержатель-ное – речь идет о

малом мнозстве миерне осоленей води; малей илосци лекко посоленей води; майни колицине мало посолйене воде.

Вероятно, это и есть славянские языки, а говорится о малом ко-личестве подсоленной воды.

В четвертом языке в этом месте (и других тоже) полная тарабар-щина:

енихен сос визбен 5-10перциг фоззук –

вряд ли какое-то из слов (а особенно все они вместе) хоть чем-то по-хоже на русский язык. Это и есть венгерский (предложение 3).

114

Контрольная работа № 2. Ответы и решения.Задача 1.Ответы:Вариант 1. Вариант 2.

Задача 2.Ответы:Вариант 1.

Вариант 2.

Задача 3.Ответы:Вариант 1. Вариант 2.ДАЧА КАФЕДАЧИ КАШАДО КАШУДОМ КАДОХА КОТДОЧЬ КОФЕ

ТОМКОМСОМ

⊗⊗Y ⊗⊗Д ТОРСВОРСМОРС

⊗⊗V ⊗⊗Ж

115

Задача 4.Ответы:Вариант 1. Вариант 2.

Задача 5.Ответы:Вариант 1.

Вариант 2.

Задача 6.Данную задачу следует считать необязательной и предупредить

об этом ребят (в тетради это не помечено).Ответы:Вариант 1.

П Ж

Ж

Ж

Ж

Ш

Ж

Ж

Ж

К

К

С

]

С

С

С

З

З

З

К

К

К

К

К

⊗⊗Z К С Ж З

⊗⊗W З К С Ж

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е

Все корневые бусины в этом дереве квадратные.

В этом дереве три уровня бусин.

В этом дереве есть пути длины 2.

В этом дереве каждая следующая бусина после каждойквадратной – круглая.

В этом дереве предыдущая бусина перед каждой треугольной –жёлтая.

ЧФУ

ЛИЛ

ИЛИ

ЛЛИ

И–Л

––И

116

Вариант 2.

Комментарии к Проектам

О содержании предлагаемых проектовВ курсе 3 класса мы предлагаем выполнить следующие пять

проектов.

Проект «Одинаковые мешки»Изучая тему «Мешки» еще во 2 классе, дети научились сравни-

вать небольшие мешки. Задача этого проекта – показать, что визу-альные способы сравнения не приводят к результату, когда числомешков и число элементов в каждом мешке становятся достаточнобольшими. При возрастании объема обрабатываемой информациинеобходимо придумывать способы ее регулярной последовательнойобработки. Одним из способов сравнения мешков является состав-ление таблиц мешков и последующее их сравнение.

Проект проводится в два этапа. Первый этап проекта – сравне-ние мешков, данных в Тетради проектов, с помощью помещенноготам же бланка таблицы мешков. На втором этапе предусмотренагрупповая работа с реальными мешками бусин (картонными бусина-ми, деталями ЛЕГО, мелкими канцелярскими принадлежностями и т.п.).

Проект «Лексикографический (алфавитный) порядок»Умение пользоваться различными словарями и справочниками –

важная часть информатической культуры. Современному человекунеобходимо умение ориентироваться в огромном потоке информа-ции, захлестнувшем все области теоретического и практическогознания. Данный проект будет первой ступенькой на пути ребенка вмир «настоящих» объемов информации и наглядно покажет, что да-же очень большие объемы могут быть организованы таким образом,что поиск информации становится сравнительно быстрым и легким.

Проект состоит из двух этапов. На первом этапе в ходе практи-ческой деятельности дети знакомятся с устройством (организацией)«настоящего» словаря, учатся им пользоваться. Выполняя задания,

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е

Все корневые бусины в этом дереве круглые.

В этом дереве три уровня бусин.

В этом дереве есть пути длины 2.

В этом дереве каждая следующая бусина после каждой круглой –квадратная.

В этом дереве предыдущая бусина перед каждой треугольной –жёлтая.

ТРП

ЛИЛ

ИЛИ

ЛЛИ

И––

––И

117

ребенок сам, на деле, убеждается в важности и необходимости лек-сикографического (алфавитного) порядка. В завершение первогоэтапа в ходе общей дискуссии детям предлагается сформулировать,в чем же состоит правило упорядочивания слов в словаре (лексико-графический, или алфавитный, порядок).

На втором этапе каждому ребенку предлагается расположить валфавитном порядке от 12 слов на карточках.

Проект «Сортировка слиянием»В этом проекте мы предлагаем детям продолжение деятельнос-

ти по сортировке слов в лексикографическом (алфавитном) порядке– теперь они должны будут не только упорядочить слова в своем на-боре из 12–24 карточек, но затем «слить» свои карточки с упорядо-ченными стопками других учеников и получить в конце концов однуполную упорядоченную стопку карточек.

Проект «Фамильное дерево»Ценность проекта не ограничивается практическим применени-

ем «древесной» структуры. Проект предполагает индивидуальнуюдомашнюю работу ребенка в тесном контакте с родителями: строит-ся фамильное дерево семьи (с помощью бланка из Тетради проек-тов).

Проект «Турниры и соревнования»Задача проекта – изучение нелинейных порядков и иллюстрация

применения деревьев. Учащиеся проводят в Тетради проектов ана-лиз турнирных таблиц и деревьев турниров. В рамках проекта преду-смотрена организация соревнований детей с занесением результа-тов в турнирные таблицы и по кубковой системе, с выбыванием про-игравшего.

Об организации работы над проектамиКак вы уже знаете по опыту, приобретенному во втором классе,

работа с проектом требует другой организации, чем при работе сучебником. Проекты предполагают комплексную деятельность в ре-альном мире, не всегда полностью формализованную и опирающую-ся на большой объем информации. Основная цель проектов – при-менение приобретенных знаний к практическим жизненным ситуа-циям. Тем самым мотивируется изучение достаточно сложных во-просов информатики. Важнейшая задача проектов – показать, чтоинформатика – не только учебный предмет, но она позволяет пра-вильно решать многие жизненные проблемы.

В отличие от занятий с учебником – на уроках индивидуально и висключительных случаях (также индивидуально) дома, реализацияпроектов включает в себя большой объем групповой работы – как науроках, так и вне уроков, дома и на переменах. При правильной мо-тивации каждый проект может на некоторое время «поглотить» детейи способствовать приобретению ими важных информатических зна-ний в процессе реальной деятельности.

Работу над проектами можно проводить несколькими способа-ми.

118

Способ 1. Погружение ребенка в материал. В этом случае урокцеликом (или даже несколько уроков подряд) посвящается одномупроекту. При такой организации от ребенка требуется длительноеинтеллектуальное напряжение, понимание объяснений и инструк-ций, высокий уровень заинтересованности в получении результата ив тренировке во взаимодействии с другими участниками (в том чис-ле и взрослым – организатором этой деятельности). Здесь оченьважно, чтобы ребенок постоянно получал естественную целостнуюмотивацию: «Я хочу выиграть! Я хочу успеть раньше всех! Я хочу пер-вым узнать, что получится!»

Способ 2. Разбиение деятельности на мелкие фрагменты. Такойвариант предполагает дробление проекта на мелкие части с их реа-лизацией на нескольких уроках. Каждый кусочек, «мини-проект», ре-шает определенные задачи и подготавливает учеников к следующе-му этапу. Происходит многократное возвращение к материалу на бо-лее высоком уровне сложности через определенные промежуткивремени.

Мы считаем, что при работе над проектами наиболее правиль-ным является сочетание этих двух способов – разбиения и погруже-ния. Прежде всего на уроке ставятся основные задачи проекта и рас-сматриваются простейшие случаи, формулируется задание для до-машнего исследования. После нескольких подобных проектныхвключений и домашних исследований проводятся один или два уро-ка-погружения в проект. При погружении в проект без такой предва-рительной подготовки ребенок может не понять чего-то важного и врезультате он может потерять интерес ко всей деятельности. В слу-чае же организации предварительной фрагментарной деятельности,вы всегда будете иметь возможность вернуться на шаг назад – такисчезнет опасность, что кто-то из детей потеряет нить рассужденийгде-то в середине пути.

Проект 1. Одинаковые мешкиМатериалы к проекту: задача 1 на с. 3–5 Тетради проектов, вкла-

дыши Тетради проектов: «Таблица для задачи 1» на с. XXIII, «Таблицыдля телесных мешков» на с. XXI, «Общая таблица для телесных меш-ков» на с. XXII.

На первом этапе дети самостоятельно работают с задачей 1,участвуя время от времени в общем обсуждении того, что и как де-лать дальше.

Сначала детям предлагается придумать, как лучше искать оди-наковые мешки в задаче 1. Для этого они обычно начинают беспоря-дочно сравнивать пары (ведь именно так они находили одинаковыемешки в задачах учебника). Надо сразу договориться: тот, кто счита-ет, что получил ответ, показывает его только учителю, чтобы не ли-шать товарищей радости самостоятельного поиска. Вполне возмож-но, что кто-то из детей, выбирая пары случайно, найдет два одинако-вых мешка. В этом случае надо попросить удачливого ученика прове-

119

рить, нет ли еще пар одинаковых мешков.В процессе обсуждения с учащимися возможностей сравнения

мешков, обязательно должен прозвучать вариант составления таб-лиц мешков. Действительно, сравнить две колонки чисел гораздолегче, чем два беспорядочно уложенных мешка. Значит, каждый ме-шок нужно представить в виде колонки чисел – какие фигурки и вкаком количестве в нем лежат. Но состав фигурок в каждом мешкесвой. Что делать? Можно для начала взять только два мешка, скажеммешки А и С (пара А и В не годится, т. к. эти мешки вообще не пере-секаются) и попытаться сравнить их с помощью таблиц. Предложитедетям подумать, как составить таблицы для мешков так, чтобы ихвпоследствии было удобно сравнивать. Действительно, если состав-лять таблицы для А и С по отдельности (дети уже делали это в зада-чах), то сравнивать их потом будет не намного проще, чем самимешки. Так рождается мысль о том, что таблицы мешков должныбыть «унифицированы», то есть список и порядок фигурок для запол-нения таблицы каждого мешка должен быть одинаковым. В такомслучае таблицы для данных мешков могут быть колонками однойтаблицы, которые достаточно легко сравнить. Первый столбец в этойтаблице – список всех фигурок, встречающихся с данных мешках, аво втором и третьем столбце мы сможем записать, сколько какихфигурок в мешках, то есть заполнить таблицы для мешков А и С. Есликакой-то фигурки в одном из мешков нет, то в соответствующейклетке мы просто поставим ноль. В ходе этого разговора на доскепоявится таблица, похожая на таблицу к задаче 1, но только меньше.Первый столбец вашей таблицы появиться естественно, в ходе про-смотра мешков А и С: берем мешок А, выписываем все фигурки, ко-торые там встречаются, затем берем мешок С и дописываем из неготе фигурки, который в первом столбце таблицы еще нет.

Главная проблема при выполнении этой работы – не записать всписок дважды одну и ту же фигурку. После того, как общий списокготов, можно заполнить колонки (таблицы мешков) для А и С. Поокончании этой работы учащиеся не только убеждаются в том, чтомешки А и С разные, но и получают алгоритм для дальнейшей рабо-ты, ведь в точности также можно поступать и с остальными мешками.Составив один общий список всех фигурок, которые встречаются внаших мешках хотя бы один раз, можно заполнить таблицу для каж-дого мешка и потом сравнить колонки чисел.

По окончании общего обсуждения каждому учащемуся предла-гается самостоятельно поработать со сводной таблице на с. XXIIIвкладыша. В первом столбце должен содержаться общий списоквсех фигурок, встречающихся в мешках. Ребенок может составитьего сразу целиком или по ходу просмотра мешков добавлять живот-ных, которые еще не встречались. В данной задаче полный списокфигурок появится после просмотра первых трех мешков (А, В, С). За-тем учащийся заполняет таблицу, имея в виду, что таблица каждогомешка – это колонка в сводной таблице, то есть в столбце под име-нем каждого мешка

Ниже приводится один из возможных вариантов заполнения таб-

120

лицы для четырех первых мешков.

Фигурка A B С DЖук 1 0 0 1Ослик 2 0 1 0Верблюд 1 0 0 2Улитка 1 0 2 0Черепаха 1 0 0 1Лось 1 0 0 1Волк 1 0 1 0Попугай 0 1 0 0Белка 0 2 0 0Рыбка 0 1 1 0Свинья 0 1 0 2Крокодил 0 1 0 1Индюк 0 1 1 0Медведь 0 1 0 0Кит 0 0 2 0

После заполнения всей таблицы (а, точнее, таблиц всех меш-ков), нужно найти два одинаковых столбца. Можно выявить пару оди-наковых столбцов, просто проглядывая таблицу глазами, но лучшеотсортировать таблицы мешков (мы специально постарались соста-вить мешки и таблицу так, чтобы, просто просматривая глазами,найти два одинаковых столбца было трудно). Предложите детям сле-дующий способ: разрезать нашу заполненную большую таблицу наотдельные таблицы мешков (на столбцы). Теперь разделим их накучки с одинаковыми цифрами в первой строке. Затем каждую кучкуделим на меньшие кучки, выбирая таблицы с одинаковыми цифрамиво втором ряду и так далее, пока не просмотрим все ряды. Посте-пенно число кучек будет увеличиваться, а число таблиц в кучках –уменьшаться. Кучки с одной таблицей (одиночные таблицы) можносразу откладывать в сторону. Возвращаться к ним не придется. В ре-зультате останется только одна кучка, содержащая две таблицы. Этои будут таблицы одинаковых мешков.

Для работы на втором этапе проекта вам понадобятся настоя-щие мешки (например, полиэтиленовые пакетики) и телесные пред-меты (скажем детали конструктора ЛЕГО или мелкие канцелярскиепринадлежности). Мешки надо подготовить заранее по числу учени-ков, не больше 26 штук (из расчета один мешок на одного-двух уча-щихся), не забыв изготовить ровно два одинаковых. Лучше сразу на-клеить на каждый мешок имя (буквы латинского алфавита), именавсех мешков должны быть конечно разные. При этом различныхпредметов, которые вы положите в эти мешки должно быть не более20 – тогда список этих предметов поместится в заготовленные намитаблицы.

Вначале каждый учащийся получает свой мешок (пакетик) и со-

121

ставляет таблицу этого мешка (три бланка таких таблиц помещенына с. XXI вкладыша). Для заполнения таблицы вначале надо соста-вить список предметов мешка. Можно посоветовать детям выниматьпредметы из мешка, одновременно записывая в таблицу названиятех предметов, которые ему еще не встречались. Затем остается по-считать, сколько раз каждый из предметов встречался в мешке и за-полнить таблицу.

Предмет Миша Предмет МашаКарандаш 2 Ластик 3Скрепка 3 Кнопка 2Ластик 1 Карандаш 1Фломастер 1 Фломастер 2

Затем работа ведется всем классом. Нужно составить общийсписок всех предметов, которые есть в мешке хотя бы у одного уче-ника в классе. Для этого первый ученик выписывает на доске списоквсех предметов из своего мешка. Затем второй ученик дописывает кнему те предметы, которые есть в его мешке, но еще не внесены всписок. Все остальные ученики контролируют ход работы.

1-ый ученик: 2-й ученик:

Предмет ПредметКарандаш КарандашСкрепка СкрепкаЛастик ЛастикФломастер Фломастер

Кнопка

Далее список предметов продолжает следующий ученик. Посте-пенно в списке оказываются все предметы.

Далее можно организовать два варианта работы: индивидуаль-ный и групповой. В первом случае каждый ученик работает с этой за-дачей так же, как он работал с задачей 1. Он заполняет сводную таб-лицу на с. XXII, затем разрезает ее на отдельные столбцы и находитдва одинаковых столбца. Единственное отличие от задачи 1 состоитв том, что у каждого ученика имеется только одна таблица для своегомешка. Чтобы дети могли заполнить сводную таблицу, необходимоорганизовать обмен информацией. На доске записан общий списокпредметов. Попросите каждого ребенка по очереди выйти к доске ивыписать столбец для своего мешка. Так каждый ученик сможет за-полнить сводную таблицу и найти два одинаковых столбца.

Для другого варианта работы – совместно всем классом – каж-дый ученик должен заполнить таблицу для своего мешка на с. XXIеще раз, но уже с новым списком предметов. Перечень и порядокпредметов в этой таблице должны теперь быть в точности такими же,как в составленном общем списке на доске. Против предметов изсписка, которых в мешке у учащегося нет, ставится ноль. Далее про-исходит поиск одинаковых таблиц. При этом если раньше мы делили

122

на кучки столбцы таблицы, теперь на группы делятся дети. Напри-мер, первый ученик говорит: «У меня в первой строчке единица, у ко-го еще столько же». Все дети, у кого в первой строчке 1 подходят кнему. Учитель спрашивает у одного из оставшихся сидеть: «А у тебякакое число в первой строчке?». Ученик отвечает и к нему собирают-ся все, у кого в первой строчке такое же число. Образуется несколь-ко довольно больших групп учеников. Каждая из этих групп должнатеперь разделиться на несколько частей с одинаковыми числами вовторой строке и т. д.

Постепенно групп становится все больше, а детей в группах всеменьше. В конце концов совпадающие таблицы будут найдены и ос-танется только проверить результат, достав элементы из мешков. Неисключено, что при этом дети обнаружат ошибки.

Ошибки могут быть двух типов:1. Ученик неправильно составил таблицу мешка.2. Два разных предмета были названы одинаково. Например, де-

ти считали карандаши, а после проверки оказалась, что у одного ка-рандаш красный, а у другого синий. Скрепки могут оказаться разно-го размера.

В этом случае необходимо довести работу по сравнению меш-ков до конца, внеся изменения в таблицы. Обязательно надо обсу-дить, можно ли было из-за этой ошибки пропустить одинаковыемешки.

При работе с мешками предметов можно организовать и теле-сное составление таблиц мешков. Для этого понадобится горизон-тальная поверхность, на которой следует нарисовать таблицу такогоразмера, чтобы в любой ее клеточке можно было положить все оди-наковые элементы одного мешка. Еще лучше сделать каждый стол-бец таблицы в виде отдельной картонки, фанерки, или полоски ло-точков. Подобная конструкция таблицы позволит перемещать (сор-тировать) ее столбцы с разложенными на них предметами.

Рассмотрим пример организации работы с телесной таблицей.Сначала каждому мешку присваивается номер или имя (скажем, имядержащего его ученика). Если в классе несколько учеников с одина-ковыми именами, то придется использовать имя и фамилию. Затемкаждый подписывает один столбец таблицы именем своего мешка.После этого начинается заполнение таблицы элементами мешка.Один ученик достает из своего мешка первый попавшийся ему эле-мент, называет его и кладет в верхнюю ячейку таблицы. Например:«В верхнюю ячейку таблицы я положу скрепку». Слово «скрепка» за-писывается на доске и все ученики, которые находят в своих мешкахскрепки, кладут их в свою верхнюю ячейку. Затем тот же или любойдругой ученик достает из мешка другой предмет, называет его и кла-дет во вторую сверху ячейку. Постепенно все предметы из всех меш-ков оказываются выложенными в таблицы, причем у всех в одинако-вых строчках лежат одинаковые предметы. По завершении первогоэтапа работы следует приступить к сортировке таблиц. Ее можнопроводить так же, как и описанную выше сортировку обычных таб-лиц. Во время сортировки иногда выясняется, что при заполнении

123

таблиц разные предметы были названы одинаково. Например, в пер-вую строчку решили поместить карандаши, а когда таблицы положи-ли рядом, выяснилось, что в одном мешке карандаши синие, а в дру-гом – красные. Придется заполнить в таблице новую строчку, напи-сав в ней, скажем, «карандаши красные», а старую строчку «каранда-ши» исправить на «карандаши синие».

Выполнив данный проект, дети получают инструмент нахожде-ния одинаковых мешков, одинаковых массивов, независимо от коли-чества элементов в мешках и числа мешков. Главное, что должно ос-таться у детей, – это ощущение могущества придуманного ими спо-соба решения задачи о нахождении одинаковых мешков; возможно,что работа будет долгой, но она точно приведет к результату.

Проект 2. Лексикографический (алфавитный)порядок

Умение пользоваться различными словарями и справочниками –важная часть информатической культуры. Современному человекунужен не только и не столько «багаж» знаний, которым «загрузила»его школа (а впоследствии институт), каким бы большим ни был этот«багаж», сколько умение ориентироваться в огромном потоке ин-формации, захлестнувшем все области теоретического и практичес-кого знания. Даже простому потребителю, если он хочет с макси-мальной эффективностью использовать существующий рынок това-ров и услуг, необходимы определенные навыки поиска и отбора ин-формации. Данный проект будет первой ступенькой на пути ребенкав мир «настоящих» объемов информации и наглядно покажет, чтодаже очень большие объемы могут быть организованы таким обра-зом, что поиск информации становится сравнительно быстрым илегким.

Как известно, слова в словарях стоят в лексикографическом по-рядке, основанном на алфавитной цепочке (алфавитном порядкебукв).

Лексикографический порядок можно описать следующим обра-зом. Рассмотрим два произвольных слова, которые нужно располо-жить в лексикографическом порядке. Если первые буквы в этих сло-вах разные, то порядок следования слов будет определяться по пер-вой букве. Когда же первые буквы в словах одинаковы, порядок сле-дования слов будет определяться по второй букве. Если и вторыебуквы в рассматриваемых словах одинаковы, то порядок следованияслов будет определяться по третьей букве. И так далее, пока мы недойдем либо до различающейся пары букв, либо до конца одного изслов. В первом случае раньше идет то слово, в котором буква из рас-сматриваемой пары стоит раньше в алфавитной цепочке. В послед-нем случае более короткое слово будет предшествовать более длин-ному.

В наших учебных словарях, которые дети использовали для ре-шения задач в учебнике, слова, конечно же, стоят в лексикографиче-ском порядке. Словари эти достаточно велики, чтобы ребенку в ра-

124

боте с ними пригодилось знание алфавитной цепочки. Во втором классе дети уже использовали для решения задач из

учебника словарик. Слова в этом словарике,конечно же, стояли влексикографическом порядке. Однако, в силу небольшого объемасловарика (весь он помещался на одном развороте) и специфики за-дач, детям при работе с таким словарем не требовалось знание лек-сикографического порядка – всегда можно было найти слово про-стым перебором. Теперь, выполняя задания в рамках данного проек-та, ребенок будет вынужден использовать не только алфавитную це-почку, но и лексикографический порядок слов.

В 3 классе дети встречаются с задачами, для решения которыхзнание лексикографическго порядка необходимо (первая такая за-дача – № 76 части 1). Мы советуем (в соответствии с приведеннымниже плнированием) вначале провести проект «Лексикографический(словарный) порядок», где провести общее обсуждение правил рас-становки слов в словаре, а затем уже перейти к решению подобныхзадач.

Структура проектаПроект состоит из двух этапов. На первом этапе в ходе практи-

ческой деятельности дети знакомятся с устройством (организацией)«настоящего» словаря, учатся им пользоваться. Выполняя заданиянастоящего проекта, ребенок сам, на деле, убеждается в важности инеобходимости алфавитного порядка. В завершение первого этападетям предлагается в ходе общей дискуссии сформулировать, в чемже состоит лексикографический порядок.

На втором этапе каждому ребенку предлагается расположить влексикографическом порядке 12 слов на карточках. В курсе третьегокласса мы предложим детям продолжение этой деятельности – онидолжны будут не только упорядочить слова в своем наборе, но затем«слить» свои карточки с упорядоченными стопками карточек другихучеников и получить в конце концов полную упорядоченную стопкукарточек (Проект «Сортировка слиянием»).

Задача упорядочивания элементов списка является одной изклассических программистских задач. И, скорее всего, впоследст-вии, на уроках программирования детям эту задачу придется ре-шать. Это, конечно, в будущем. Но уже сейчас, предлагая ребенкуупорядочить карточки в стопке, мы подводим его к пониманию алго-ритма упорядочивания.

Материалы проектаДля проведения проекта вам понадобятся:•Книга для учителя (вы держите ее в руках);•большие настоящие словари (по одному на каждого ребенка,

см. комментарий ниже);•большая алфавитная линейка – которую придется сделать за-

ранее с помощью детей или родителей; она должна висеть в классена стене так, чтобы ее было хорошо видно всем детям; вы можетепопробовать сделать линейку вертикальной, но в таком случае, как

125

нам кажется, она не может быть действительно большой; по-види-мому, лучше сделать линейку горизонтальной (на всю стену) и пове-сить над доской;

•листы с карточками – полный набор карточек имеется в тетра-ди проектов каждого учащегося. Важный комментарий

Ваши ученики, конечно, уже хорошо должны знать русский алфа-вит. Однако мы считаем вполне возможным использование алфавит-ных линеек в ходе работы над проектом. Дело в том, что работа спроектом будет и так достаточно сложной для детей – ведь им при-дется впервые столкнуться с большим числом новых понятий, рабо-тать с непривычными книгами (большими словарями), а также вы-полнять непривычные задания. Наверно, очень немногие дети вы-учили алфавит настолько хорошо, чтобы сходу ответить на вопрос:«Какая буква идет раньше – н или р?» Подумайте, ведь и вам самимпонадобится некоторое время, чтобы ответить на этот вопрос – при-дется восстановить в уме часть алфавитного порядка. Что же касает-ся детей, то они, скорее всего, будут проговаривать в уме вообщевесь алфавит! К тому же, в ходе проекта детям потребуется прибе-гать к алфавитной цепочке десятки раз и отсутствие алфавитной ли-нейки перед глазами учеников может сделать работы в проекте нео-правданно утомительной и сильно затянутой.

И еще, конечно, не следует забывать, что мы с детьми занима-емся информатикой, и умение грамотно пользоваться справочнымматериалом – не последняя по важности часть информатическойкультуры. А что же такое алфавитная линейка, как не справочный ма-териал?

Первый этапНа этом этапе вам понадобятся большие словари. Это должны

быть однотомные толстые словари большого формата. Лучше всего,если словарей будет по одному на каждого учащегося. Словари мо-гут быть самыми разными – например, можно использовать орфо-графический словарь, энциклопедический словарь, русско-англий-ский, русско-французский словари и т. п., но только такие, в которыхрусские слова стоят в лексикографическом порядке. Напомним ещераз, что это должны быть не сокращенные школьные словари, а на-стоящие, «взрослые». Кроме того, не стоит пользоваться такимиспециальными словарями, как словарь иностранных слов, словарьслов с удвоенными согласными и пр.: велика вероятность, что в та-ких словарях не окажется тех слов, которые мы предложим детямдля поиска. Может быть, нужные словари найдутся в школьной биб-лиотеке, возможно, кто-то сможет принести подходящий словарь издома. Полезно обсудить этот вопрос с родителями.

До сих пор в нашем курсе ребенку приходилось иметь дело лишьс учебными словарями. Для ребенка, знающего алфавитный поря-док, поиск слова в таком словаре не составлял труда: слов на однубукву – не больше одиннадцати, перебрать одиннадцать слов – ми-нутное дело. Совсем не так просто обстоит дело с поиском слова в

126

«настоящем» словаре: ведь там на одну букву могут быть сотни слов.Давайте проанализируем, как мы с вами стали бы искать, скажем,слово скатерть.

Сначала нам нужно добраться до вообще каких-нибудь слов «нас». Соответственно положению буквы с в алфавитной цепочке откры-ваем словарь где-то ближе к концу. Допустим, что мы не угадали исловарь открылся на букве п. Буква с идет в алфавите позже п, такчто перелистываем вперед сразу целую порцию страниц. Если мыпереборщили и попали сразу, скажем, на у, листаем обратно. Но вот,наконец, мы дошли до с. Смотрим наугад какое-нибудь слово. Пустьэто слово – суровый. Буква к (вторая буква слова скатерть) идет валфавитной цепочке раньше буквы у (второй буквы слова суровый),следовательно, слово скатерть стоит в словаре раньше слова суро-вый. Значит, листаем назад, но перелистываем уже не так многостраниц. Смотрим теперь наугад какое-нибудь слово. Допустим, этослово – скалолаз. Сравниваем слова скалолаз и скатерть. В этихсловах одинаковы не только первые, но также и вторые, и третьи бук-вы. Смотрим четвертые буквы: т идет позже л в алфавитной цепочке,следовательно, слово скатерть идет в словаре позже слова скало-лаз. Значит, листаем вперед. Таким образом продолжаем поиск, по-ка не найдем слово скатерть.

В связи с использованием больших словарей, с заданиями пер-вого этапа проекта надо будет работать в основном в классе, не за-давая домашних заданий, – ведь детям носить такие словари домойдостаточно тяжело. К тому же, если словари будут чужие, лучше ихне выносить из класса.

Подготовительный урокПрежде чем дети начнут работать со словарем, необходимо дать

им возможность познакомиться с книгой, которая у каждого лежит настоле (ведь наверняка все или почти все словари будут разными!). И,конечно, нужно повторить алфавитный порядок букв, вспомнить, за-чем нужна алфавитная линейка и как ею пользоваться.

Как именно проводить такой ознакомительный урок (или частьурока) – мы, конечно же, оставляем на ваше усмотрение. Вот тольконесколько советов и предложений.

1. Работа с алфавитной линейкой (и алфавитным порядком). Скорее всего, вопросы «на алфавитную линейку» не вызовут за-

труднений и не потребуют письменных ответов. Вот приблизитель-ный список вопросов для устного обсуждения с детьми:

Какая буква первая (последняя, предпоследняя, вторая с конца,четвёртая и т. п.) в алфавите?

Какая буква следующая после буквы к (или любой другой буквы,кроме я)?

Какая буква предыдущая перед буквой м (или любой другой бук-вой, кроме а)?

Назовите три буквы, которые идут в алфавитной линейке раньше(позже) буквы щ (или другой буквы).

Назовите букву, которая идет позже буквы б и раньше к (любые

127

пары букв, между которыми есть хотя бы одна буква).Вы можете придумать и предложить детям и другие вопросы с

использованием «цепочечной» лексики, пройденной в учебнике.Особое внимание, конечно, нужно обратить на отработку понятийидёт раньше/идёт позже. Этой теме уделялось довольно многоместа в наших учебниках, но все же нужно проконтролировать, всели хорошо это усвоили.

2. Первое знакомство с большим словарем. Раздайте каждомуребенку по словарю, проследите, чтобы у каждого ребенка была тет-радь или хотя бы листы бумаги для записей.

Прежде чем начать работать со словарем, ребенку нужно с нимосвоиться. Объясните ребенку, почему книга, которая лежит передним, называется словарем, с какими именно словами в этом словареон будет работать – ведь, если это не орфографический словарь, то,с точки зрения данного проекта, в этом словаре есть «лишние» сло-ва, на которые он не должен обращать внимания. Мы советуем вамраспределить словари в соответствии со способностями ваших уче-ников. Слабым и медлительным детям имеет смысл дать орфогра-фические словари, не содержащие почти никаких лишних слов. Этостоит продумать заранее.

Хорошо бы с каждым ребенком обсудить, какое слово в его сло-варе первое, какое – последнее, попросить найти страницу, где на-чинаются слова, например, на в (к, р, ю и т. д.) Какое слово первоена букву в? На какой странице оно находится? Какое слово послед-нее на букву в? На какой странице оно находится?

Если будет время, то можно попросить детей сравнить количест-во страниц со словами, скажем на букву к (б, н, т), с количествомстраниц со словами на букву ю (щ, я) и т. п. У всех ли получилосьпримерно одинаковое соотношение страниц?

Есть ли у кого-нибудь в словаре хоть одно слово на букву ь?А на ъ?

Вот более трудные задания:Найти второе слово на букву к (или другую заданную букву).Найти первое слово на букву к, длина которого больше 1

(т. е. слово, состоящее из двух или более букв). Найти предпоследнее слово на букву к.

Проектные заданияЗадание первое. Самый простой, но очень важный тип задания

при работе с большим словарем – найти в словаре какое-нибудьслово, начинающееся на заданную букву, например, такое задание:

Найди в словаре слово, в котором первая буква – р. Запиши это слово в тетрадь.Запиши в тетрадь номер страницы твоего словаря, где находится это слово.

Номер страницы нужен, чтобы вы могли подойти к любому ре-бенку и проверить его решение, даже если он случайно уже закрылсвой словарь. Кроме того, конечно, это просто очень полезное зада-

128

ние с точки зрения информатической культуры – во-первых, найтинужную информацию (слово) и, во-вторых, снабдить найденную ин-формацию ссылкой на ее источник (номер страницы словаря).

Можно в первом таком задании задать для поиска всем одну и туже букву (написав ее на доске). А буквы для следующих аналогичныхзаданий вы можете написать в тетради каждого ученика, пройдя поклассу, – так ученик не забудет, с какой буквой он работает, и вампотом будет проще проверять, то ли задание выполнено.

Не мешайте детям изобретать свои способы поиска слова нанужную букву. Пусть пройдет некоторое время, прежде, чем вы нач-нете помогать и подсказывать. По возможности посмотрите, какимспособом каждый ребенок находит нужное слово.

Задание такого типа является достаточно сложным. Посмотри-те, какие сложные, с информатической точки зрения, операции нуж-но будет осуществить:

1. Открыть словарь на произвольной странице. 2. Понять, на какую букву начинаются слова, находящиеся на

этой странице.3. Сообразить, в какую сторону от этой страницы надо двигать-

ся, чтобы найти нужную букву (и, вообще говоря, как далеко нужно вэту сторону шагнуть).

4. Сделать шаг в правильном направлении – открыть другуюстраницу, раньше или позже первой (в зависимости от того, раньшеили позже в алфавитной линейке стоит искомая буква). И так далее.

Конечно, большинство детей сначала будут просто быстро пере-листывать весь словарь (с начала до конца или просто беспорядоч-но) и случайно наткнутся на страницы со словами на букву р. И этосовсем не плохо. Это тоже стратегия, хотя и весьма неэффективная.Очень полезно дать детям, которые выбрали такую стратегию, сле-дующее подобное задание с буквой, на которую слов сравнительномало – например, на буквы ж, й, х, ц, щ, ю. При поиске слов на такиебуквы выявится неэффективность стратегии простого перелистыва-ния. Если ребенок не сможет придумать никакой другой стратегии,то подойдите к нему и обсудите с ним, используя алфавитную линей-ку, в какой части словаря находится нужная буква, раньше или позжекаких букв она идет в алфавите и т. п. Откройте с ним вместе словарьна произвольной странице, спросите, куда нужно дальше двигаться вего поиске. После этого оставьте ребенка одного, пусть все-таки онпопытается дальше додуматься сам. Такие обсуждения-подсказкимы советуем вам проводить индивидуально. Не надо других детейлишать шанса придумать более оптимальную стратегию поиска са-мостоятельно. Сильным детям, чтобы они вас часто не теребили, вы-пишите сразу много букв, на которые нужно искать слова, – пусть ра-ботают.

После того как каждый ребенок найдет самостоятельно по край-ней мере одно слово, можно провести общую дискуссию в классе.Обсудите, кто как искал в словаре нужную букву. Постарайтесь вы-слушать каждого желающего рассказать, помогите ему в формули-ровании того, что он хочет сказать. Попытайтесь добиться, чтобы

129

практически все дети в классе участвовали в дискуссии – уж если невысказывались, то хотя бы слушали и пытались понять. Постепенноперейдите к обсуждению общего алгоритма, начало которого мы вы-писали выше: «Итак, как мы искали слово на букву р? Вот мы открылисловарь где-то посередине, там оказались слова на о. Что делатьдальше?» Вы можете просто сами взять словарь, и на самом делеискать в нем слова на р, советуясь с детьми на каждом следующемшаге, что надо делать дальше. Постарайтесь работать медленно,чтобы все дети успевали проследить за вашими действиями.

После того как вы все вместе найдете нужное слово, дайте де-тям еще одно аналогичное задание (лучше на редкую букву) – для за-крепления.

Особое внимание нужно уделить букве ё. Как вы, может быть,знаете, в большинстве «взрослых» словарей буквы е и ё не различа-ются – в том смысле, что в лексикографическом порядке буквы е и ёсчитаются одной и той же буквой. Вот, например, как упорядоченыслова на е/ё в орфографическом словаре (Орфографический сло-варь русского языка: 106000 слов/АН СССР, Ин-т рус. яз.; под ред.С. Г. Бархударова и др., изд. 26-е, стереотипное, М.: Рус. яз., 1988):

Как видите, в этом словаре, в основном, при упорядочиваниислов, буквы е и ё не различаются. Исключение составляют только теслучаи, когда нужно упорядочить два совсем похожих слова, отлича-ющихся только буквами е и ё (например, еканье и ёканье, екать иёкать, все и всё). В этих случаях слово с буквой е идет раньше сло-ва с ё.

В большинстве учебных словарей (включая и словари в нашихучебниках), напротив, буквы е и ё различаются, т. е. сначала идут всеслова на е, а за ними – все слова на ё. Поэтому, чтобы при работе с«настоящим» словарем факт неразличения е и ё не был неожидан-ным для детей, необходимо обсудить это отдельно. Впрочем, тутнужно быть внимательным – не все «взрослые» словари так относят-ся к букве ё. Например, «Толковый словарь русского языка»(С. И. Ожегов, Н. Ю. Шведова, М., «Азъ», 2-е изд., 1994) буквы е и ёразличает и в нем слово ёлка идет позже слова ехать. А посколькусловари у детей могут оказаться разными, то и ситуации с буквой ё в

ежесекундныйежесуточныйежечасныйёжикёжикомёжистыйёжить(ся)ежихаежовникежовыйежомежонокёж-рыбаезда

ездитьездкаездовойездокезжай(те)езжалыйезжено-

переезженоезженыйезживатьей-богуей-ейей-же-ейеканье

ёканьеекатериненскийекатьёкатьёкнутьектеньяелеелевыйеле-елеелейелейностьелейныйелеосвящениеелец

елизаветинскийелико возможноёлкаеловыйелозитьёлочкаёлочныйельельникельнинскийельничекёмкийёмкостныйёмкость

130

этих словарях будут тоже не одинаковыми. Имейте это обстоятель-ство в виду и обратите на него внимание детей.

Попросите детей найти в словаре какое-нибудь слово на е, а за-тем – какое-нибудь слово на ё. Пусть дети столкнутся с неразличени-ем букв е и ё сами. Может быть, кто-то из учеников попробует само-стоятельно объяснить этот феномен. Выслушайте его и помогитеобъяснить всем остальным. Если никто не будет готов выступить, тообъясните детям, в чем тут дело. Предложите каждому ребенку про-верить, как обстоят дела в его словаре – есть ли там отдельная главасо словами на ё или нет.

Пожалуй, не стоит в этом проекте обращать внимание детей напары типа еканье и ёканье – наш комментарий предназначалсятолько для вас. Иначе дети получат слишком много новой информа-ции одновременно и могут запутаться. Если кто-то из детей сам за-метит этот факт (сейчас или потом, в ходе работы с проектом), то по-хвалите его и обсудите этот факт с ним отдельно.

Существует еще одна проблема, с которой вашим ученикам,возможно, придется столкнуться уже сейчас, в процессе работы надданным проектом. Это учет дефиса и пробела при распределениистатей (слов и словосочетаний) по алфавиту. В отношении дефисапочти все словари единодушны: соответствующие статьи занимаютто место, на котором бы они оказались, если бы написание былослитным. С пробелом дело обстоит сложнее. Энциклопедическиеиздания обращаются с ним как с самым первым символом алфавита.Ср., например, такие фрагменты цепочки из БСЭ-3:

бурбур почвенныйбура...

ИванИван ПодковаИванайненИван-да-МарьяИваненкоИван-КупалаИвановИванов деньИванова

Орфографические словари, напротив, поступают с пробелом как сдефисом, ср.:

навекна веканавекина веки вечные

повзводнопо-военномупо возвращениипо-волчьипо временамповсюду

131

(так и в Орфографическом словаре 1988 года, и в словаре Б. З. Бук-чиной и Л. П. Калакуцкой «Слитно или раздельно?», М., 1981).

В тех редких случаях, когда две словарные статьи отличаютсялишь наличием/отсутствием пробела, возможны различные реше-ния:

тожето же

(Орфографический словарь)

то жетоже

(«Слитно или раздельно?»)

Задание второе. Итак, у каждого ребенка есть большой словарь,алфавитная линейка и тетрадь для записей. Вот второй тип заданий,который мы предлагаем детям:

Найди в словаре слово птица. Запиши в тетрадь номер страницы, где находится слово птица в твоем словаре.

Есть надежда, что слово птица найдется в любом словаре. Же-лательно, однако, проверить это заранее.

Для начала лучше предложить всем учащимся одно и то же сло-во. Тогда общее задание можно будет написать на доске.

Как и раньше, мы советуем сначала не давать детям никаких со-ветов. На наш взгляд, хорошо бы именно «окунуть» детей в эту новуюи, с первого взгляда, непонятную проблему. Наверное, вам самимбудет интересно некоторое время понаблюдать за работой детей, заих реакцией и первыми действиями. Постарайтесь продержаться хо-тя бы 10 минут и не отвечать ни на один содержательный вопрос. Ко-нечно, на вопросы типа «А где взять словарь?», «А с какой стороны оноткрывается?», «А где писать?» отвечать можно.

С первого взгляда может показаться, что, давая такое задание,мы, так сказать, «учим его плавать, бросая на глубину». На самом де-ле это не так. Во-первых, большинство детей уже освоилось с тем,что в словарях слова определенным образом упорядочены (напри-мер, все слова на букву а идут раньше слов на букву б). Не так ужтрудно догадаться, что и «внутри» одной буквы слова должны стоятьв определенном порядке и что, вероятно, этот порядок тоже как-тосвязан с алфавитной цепочкой. Таким образом, если ребенок дога-дается, что в словаре слово птица идет раньше слова пять и позжеслова пташка – этого будет достаточно для успешного поиска. Дай-те детям время додуматься до этого самим.

Итак, как же ваши ученики будут выполнять это задание? Скореевсего, большинство детей додумается для начала найти то место всловаре, где находятся слова на п. Если кто-то из детей от этогобольшинства отстанет, то подтолкните его аккуратно, например,просто спросив: какая буква первая в слове птица?

Найдя, где находятся какие-то слова на п, большинство детей,

132

конечно, же будет опять пытаться применить стратегию «беспоря-дочного поиска» – просто просматривать разные страницы со слова-ми на п, надеясь случайно найти нужное слово. Не мешайте им вэтом некоторое время. Наверняка очень немногим детям повезет иони смогут найти нужное слово хоть сколько-нибудь быстро. Боль-шинство детей все-таки завязнет в словах на п. Выждите некотороевремя, а затем начните подталкивать их к более эффективной стра-тегии поиска. Это можно делать как индивидуально, так и со всемиодновременно – смотря по тому, насколько «дружно» ваш класс несправляется с заданием. Предложите детям обратить внимание навторую букву слов на п, с которыми они работают. Не найдет ли кто-нибудь закономерности их расположения в словаре? Кто отыскал хо-тя бы какое-нибудь слово на п? Тут дети наверняка назовут какие-ли-бо слова. Выберите среди них слово, которое отличается от словаптица второй буквой, например, пусть это будет слово пачка. Ктознает, какое слово должно идти раньше в словаре – слово птица илислово пачка? Напишите слова пачка и птица на доске друг под дру-гом. Не обязательно при этом, чтобы слово птица было ниже словапачка.

Тут, конечно, хорошо бы сделать паузу в обсуждении. Надо датьвозможность хотя бы нескольким детям додуматься самим, как отве-тить на этот вопрос. Этот вопрос будет полезен даже детям, которыеуже нашли случайно слово птица в своем словаре – именно потому,что они нашли слово случайно, у них нет ответа на этот вопрос. Че-рез некоторое время выслушайте предположения, обсудите разныеответы – все ли согласны с каждым, и т. п. В ходе дискуссии поти-хоньку выведите детей на то, что неплохо бы сравнить вторые буквыдвух предъявленных слов. Может быть, кто-то из детей сам предло-жит выяснить, какая буква идет раньше в алфавите.

Вообще, чтобы не повторяться далее, мы сразу же просим васочень постепенно и очень небольшими шажками наводить детей направильные выводы.

Гораздо полезнее, чтобы ребенок поучаствовал в обсуждении,попытался сам найти решение, а не просто выслушал сухое объясне-ние учителя у доски. Во втором случае ребенок может даже вообщеничего не понять – ведь обсуждаемый материал достаточно сложендля восприятия в его возрасте. Итак, мы просим вас лишь потихонь-ку направлять обсуждение в правильное русло и как можно дольше итерпеливее ждать, не родится ли у кого-нибудь правильное реше-ние.

После того как выяснится, что слова на п упорядочены по второйбукве, попросите детей найти какое-нибудь слово, начинающееся напт. Пусть кто-нибудь назовет какое-то слово, но не птица. Напри-мер, слово птенчик. Выпишите слова птенчик и птица на доске другпод другом. Слов на пт будет в словарях уже заметно меньше, поэто-му многие дети найдут слово птица простым перебором. Тем не ме-нее, попросите всех вернуться и просмотреть все слова на пт – какупорядочены эти слова? Какое слово идет раньше – птица или птен-чик? Кто догадается, по какому правилу?

133

И так далее. Можно выяснить ситуацию со словами птица и птичий, птица и

птицелов. Не готов ли кто-нибудь из детей попытаться рассказатьвсе правило? Выслушайте желающих что-нибудь сказать, но пока недоводите дискуссию до конца. Попросите авторов проверить своиправила при поиске следующих слов.

Список слов, предлагаемых для поиска в словаре, приведен настр. 134. Каждое слово для поиска запишите ребенку в тетрадь.Пусть он поставит рядом с каждым вашим словом номер страницы,где это слово стоит в словаре, с которым он работает. Потом вы смо-жете выборочно проверить работу учеников.

Предлагаемые слова – достаточно простые и общеупотреби-тельные, поэтому есть надежда, что они встретятся в любом слова-ре. Впрочем, если какой-то сильный ребенок точно уяснит для себя(и сможет доказать вам), что предложенного ему слова нет в его сло-варе – это просто замечательно! Если же слабый ребенок нужногослова не обнаружит, то просто поменяйте ему задание – дайте дляпоиска другое слово.

Обратите особое внимание на короткие слова. Вы ведь пока необсуждали, как узнать, какое слово стоит раньше – сто или стол.Дайте сначала несколько коротких слов сильным ученикам, затемобсудите это с ними и со всем классом, а уже потом дайте по одномукороткому слову более слабым детям. Не стоит также сразу даватьслабым детям слова, в которых есть буквы е или ё, чтобы их лишнийраз не запутывать. А вот сильным надо дать такие слова обязатель-но!

Если в какой-то момент вы обнаружите, что некоторые сильныедети находят заданные слова уже без труда, то прервите их поиски ипопросите по возможности описать на бумаге те действия, которыеони совершают (или совершили бы) в поисках слова, например,порт. Пусть постараются написать для начала, как получится – не-важно, насколько понятно и точно (и, уж конечно, неважно, насколькограмотно и аккуратно). Не нужно сразу подталкивать таких детей ктому, чтобы они расписали все точно по пунктам. Просто когда ка-кой-то текст у ребенка будет готов, попытайтесь вместе с ним, сле-дуя его тексту, отыскать слово порт.

Возможно, некоторые дети просто напишут, например, что, что-бы найти слово порт, надо открыть словарь на 452 странице и отсчи-тать пятое слово снизу в первой колонке. Вообще говоря, это тожеспособ поиска. Только не универсальный. Он совсем не годится дляпоиска какого-либо другого слова – например, торт. Попросите та-ких детей описать более общий способ поиска, который бы помогалнайти и слово порт, и слово торт (просто заменив в нужных местахбукву п на букву т). Напомните детям, как вы все вместе обсуждали,как искать слово птица: сначала искали хотя бы какое-нибудь словона п, потом... Если вы видите, что ребенок уже понял, чего от него хо-тят и достаточно легко формулирует то, что надо написать – то пред-ложите ему постараться все дописать до конца (например, дома).Если же ребенок не настолько силен, чтобы формулировать такие

134

автомобильантеннаантилопаарфааэродромбалбалетбеспокоитьсябиблиотекаблескбобвеликийвелосипедвместеводоёмвыступголубьгородгрузовикдвадцатьдиректордобродоктордочкажёлтыйживотноезабавазакатзверьзвукзоопаркиграизбушкаизобретательилиндюкисторияйодкалейдоскопкастрюляклубникакоридоркочкакруглыйкукурузалампочкаледенецлеслетатьлитературалучлягушка

магазинмаломелметрмногомолокомуравейникмышьнаграданаизустьнапугатьнародневестанеряханетножницыобезьянаоблакообразованиеобувьобъездовцаогорододиннадцатьожиданиеокошечкоопятьосаотсюдаочагпалаткапарпарадпервыйпереплясперсикпетухплащпобедаповоротподушкапойматьпокрывалополкполторапользапорошокпортпоэмапояспрививкаприрода

проездпростотапрохладапуговицапустьрадиоразбеграссказрезинарисростротрубльрукарыбасадсамоварсамолётсахарсекретсеносериясерыйсиласиницасказкасловосливаслонсмородинаснегсовасольсонспорсреднийстарухастостолстрелкасчитатьсыртанецтелёноктелефонтёмныйтеплотогдатопорторттраватрактор

тресктридцатьтуристтяжёлыйуборкауголузкийуксусулыбкаумникураганусуткаучебникфантазияфлагфотоаппаратфруктхлебхлопокхолодхудожникцапляцветцветокцерковьцифрачайчасточашкачеловекчёрныйчистыйчудесашагшаршестнадцатьшкольникшоколадшумщенокэкранэкскурсияэскадронэтажюбкаюморяблокоязыкямаяхтаящерица

Список слов для поиска в словаре

135

сложные описания, то не «давите» на него слишком сильно, остано-вите работу на каком-то этапе.

Заметьте, что здесь речь идет не о выписывании правил лекси-кографического порядка, а о создании алгоритма поиска нужногослова в словаре – это несколько разные вещи.

Заключительное обсуждение. В заключение первого этапа надопровести в классе общее обсуждение того, как, собственно, строит-ся словарь – правила, по которому слова в словаре стоят именно натех местах, куда их поставили (по-научному – сущности лексикогра-фического порядка).

Задачу перед детьми можно поставить, скажем, таким образом:«Допустим, мы с вами составляем словарь. Вот два слова – армия ивагон. Какое слово в словаре должно идти раньше и почему?» Тот жевопрос необходимо решить еще для нескольких пар: вагон и велоси-пед, велосипед и верховой, верховой и верхний и так далее. Попы-тайтесь добиться от детей четкости в их рассуждениях: «Первые бук-вы в этих словах разные, значит мы должны их сравнить...» или «Пер-вые буквы в этих словах одинаковы, значит надо сравнить вторыебуквы...» и т. п. Обязательно нужно выделить время и просить детейотыскать в словарях примеры пар слов на каждый пункт формулиру-емого вами вместе правила – здесь уже не должно быть большихсложностей. Конечно, слова будут попадаться самые разные и неочень понятные. Объясните детям, что в данном случае это неважно:ведь все слова – русские, а их значения вы сейчас обсуждать не бу-дете.

Отдельно вам придется решать проблему разных неблагозвуч-ных слов и слов из совсем взрослого лексикона – ведь работа проис-ходит с неадаптированными словарями! Постарайтесь сами выби-рать из предлагаемых детьми слов те, которые вам кажутся болееблагозвучными, а детей, старательно вычитывающих из словаряименно «взрослые» слова, попросите быть взрослыми и самостоя-тельно решать, годятся ли такие слова для общей работы в классе.Конечно, у вас есть свои методы воздействия на «хулиганов» и шут-ников в вашем классе. Здесь – и личные беседы, и общая дискуссиясо всем классом о том, что, работая со взрослым, полным словаремв школе, не стоит все-таки тратить время на обсуждение разных слови хихиканье. Пусть дети представят себя взрослыми лингвистами,работающими со всеми словами русского языка, независимо от ихокраски, и работают с научной точки зрения – какая буква первая, ка-кая – вторая и т. п.

Пары слов типа вагон и вагоновожатый или лес и лесопилка,когда не удается найти пару различающихся букв, требуют отдельно-го обсуждения. Задайте сначала такой вопрос устно: «Какое словоидет в словаре раньше – лес или лесополоса? вес или весы?» Мо-жет быть, кто-то из детей, находивших подобные короткие слова,сможет сформулировать (или хотя бы попытаться сформулировать)правило для таких слов. Если нет – предложите детям обратиться ксловарям и самим вывести правило. Конечно, при этом не обяза-тельно искать именно те пары слов, которые вы назвали, – пусть про-

136

сто полистают словарь и поищут другие подобные случаи.

Если какие-то пункты правила постепенно формируются в ходевашей дискуссии, то выписывайте их на доске. В конце концов долж-но получиться полное правило построения словаря (лексикографи-ческий порядок). Мы не советуем вам постоянно употреблять труд-нопроизносимый термин «лексикографический порядок». Однако вывполне можете «познакомить» детей с этим термином – наверное,им интересно будет узнать, как по-научному называется то, над чемони работают.

Для вашего удобства мы приводим здесь полное правило:

Пусть нам даны два слова. Как узнать, какое слово должно идти всловаре раньше?

1. Сравниваем первые буквы данных слов. А. Если первые буквы разные, то раньше идет слово,

первая буква которого идет раньше в алфавите.Б. Если первые буквы одинаковы, то переходим

к пункту 2.

2. Сравниваем вторые буквы данных слов.А. Если в одном из слов нет второй буквы, то оно идет

раньше другого слова.Б. Если вторые буквы существуют и они разные,

то раньше идет слово, вторая буква которого идет раньше в алфавите.

В. Если вторые буквы одинаковы, то переходим к пункту 3.

3. Сравниваем третьи буквы данных слов.А. Если в одном из слов нет третьей буквы, то оно идет

раньше другого слова.Б. Если третьи буквы существуют и они разные,

то раньше идет слово, третья буква которого идет раньше в алфавите.

В. Если третьи буквы одинаковы, то переходим к пункту 4.

И так далее, пока не дойдем до последней буквы одного из слов.

После того как все правило будет сформулировано и записанона доске, можно дать детям задания (например, на дом):

1. Выпишите (можно из словаря) два слова, первые буквы которых –разные. Напишите, какое слово должно в словаре идти раньше, и,пользуясь Правилом, объясните, почему.

2. Выпишите (например, пользуясь словарем) два слова, в которых:первые буквы – одинаковые,вторые буквы – есть в каждом слове и они разные.

Напишите, какое слово должно в словаре идти раньше и почему.

3. Выпишите (можно из словаря) два слова, в которых:первые буквы – одинаковые,

137

вторые буквы – есть в каждом слове и они одинаковые, третьи буквы – есть в каждом слове и они одинаковые,четвертые буквы – есть в каждом слове и они разные.

Напишите, какое слово должно в словаре идти раньше и почему.

4. Выпишите (можно из словаря) два слова, в которых:первые буквы – одинаковые, вторые буквы – есть в каждом слове и они одинаковые, третьи буквы – есть в каждом слове и они одинаковые,четвертой буквы в одном из слов нет.

Напишите, какое слово должно в словаре идти раньше и почему.

А эти задания более сложные, они – для сильных учеников.

1*. Пусть у нас есть два слова. Мы применили к ним наше правилодля выяснения, какое из слов должно идти раньше в словаре. Приэтом, дойдя до конца слов, мы так этого и не выяснили. Как это мо-жет быть?

2*. Выпишите (можно из словаря) пять слов, в которых есть дефис.Выпишите еще три слова, в которых есть по два дефиса. Исследуйте,как в словарях (в одном каком-нибудь словаре) обходятся с такимисловами. Дополните наше правило так, чтобы оно работало и с таки-ми словами тоже.

Игры и развлечения. Конечно, вы сами или вместе с детьми смо-жете придумать массу игр, непосредственно связанных с темой про-екта. Вот, например, одна такая игра.

1. Учитель вызывает одного ученика и просит его произнести инаписать на доске (повыше) какое-нибудь слово из словаря. Послеэтого учитель пишет внизу на доске другое слово, которое идет всловаре позже первого.

2. Цель второго ученика – написать какое-нибудь слово, котороестоит между двумя данными (т. е. позже первого и раньше второгослова). После этого учитель тоже пишет слово, стоящее между дву-мя последними появившимися, – т. е. слово, которое идет позжеслова второго ученика и раньше предыдущего слова учителя.

3. И так далее – ученики по очереди выходят к доске и пишут поодному такому слову, которое стоит в словаре позже слова, напи-санного предыдущим учеником, и раньше слова, которое перед этимнаписал учитель.

Проигрывает тот, кто не может найти никакого подходящего сло-ва.

Можно играть в парах или как в чепуху – заворачивать листочек,пущенный по рядам, – какой ряд закончит быстрее?

При этом не обязательно задаваться целью выявить проиграв-шего – можно просто поиграть, позаниматься интересной деятель-ностью. Конечно, в такой игре надо начинать с менее сильных учени-ков – потому что в начале игры найти нужное слово гораздо легче,чем в конце. Как вы, вероятно, понимаете, роль учителя в этой игреочень важна – именно вы, выбирая соответствующим образом сло-ва, можете регулировать сложность работы следующих учеников. От

138

того, какое «расстояние» между словами вы оставляете на каждомшагу, зависит и насколько трудным будет выбор для каждого следу-ющего ученика.

Советуем вам предварительно самим поиграть в эту игру, чтобыпонять ее специфику.

Надеемся, что, прочитав эти комментарии, вы сами сможетепридумать еще какие-нибудь игры и развлечения – простые илисложные.

Второй этапИтак, мы считаем, что, пройдя первый этап проекта, дети знают

правило упорядочивания слов в словаре (лексикографический поря-док) и умеют найти в словаре практически любое слово. Теперь, навтором этапе, им предстоит решить противоположную задачу – рас-положить карточки с русскими словами в лексикографическом по-рядке.

В Тетради проектов каждого ребенка есть полный набор карто-чек – 17 комплектов по 24 слова. Советуем вам для каждого проектабрать и разрезать ровно столько комплектов, сколько необходимо.Если карточки комплекта разрезаны, то желательно хранить их в от-дельных конвертиках, чтобы не перепутать. Дело в том, что на каж-дой странице содержится специально подобранный набор слов.Предлагаемые наборы различаются по степени сложности их упоря-дочивания. При этом комплекты 1 и 2 несколько проще остальных, акомплекты 15-17 сложнее (номер комплекта стоит на обороте листас комплектом). Остальные комплекты более или менее одинаковы ирассчитаны на среднего ученика. При составлении этих наборов мыруководствовались следующими соображениями:

1. В каждом наборе должно быть примерно двенадцать слов, на-чинающихся на одну и ту же букву. Первые буквы в остальных словахв достаточной степени разбросаны по алфавиту.

2. Среди этих двенадцати слов есть несколько, в которых и вто-рые (а иногда и третьи) буквы одинаковы – чтобы в процессе работыребенок в полной мере использовал правило лексикографическогопорядка.

3. В каждом наборе есть не менее трех слов, для расстановки ко-торых необходимо использовать правило о буквах е и ё, причем, па-ра е/ё встречается как в начале, так и в середине слова.

В сложном наборе все слова начинаются на одну из двух букв,кроме того, здесь существенно больше пар и троек слов, имеющихсовпадающие начальные фрагменты, причем совпадающие фраг-менты могут быть длиной в 6 и более букв.

В облегченном наборе дается не более трех слов на одну букву,а совпадающие фрагменты в словах невелики – не длиннее трехбукв.

Проектное заданиеКаждому ребенку нужно выдать для работы половину комплекта

– 12 карточек (разрезав каждый комплект пополам). Сильным детям

139

можно дать и целый комплект. Слабым или медлительным детямможно выдать и меньше карточек. Для работы с классом в этом про-екте одного полного комплекта карточек будет достаточно, поэтомусоветуем вам взять этот комплект, например, из вашего рабочегоили из запасного экземпляра Тетради проектов.Общее задание для всех звучит так:

Аккуратно вырежи все карточки из листа. Расположи слова на кар-точках в алфавитном порядке. Спиши в тетрадь все слова в том по-рядке, который у тебя получился.

Как и раньше, задание можно проговорить вслух, но лучше напи-сать на доске. Как и раньше, не торопитесь приходить на помощь –дайте детям время на размышление.

Если ребенок совсем не знает, с чего начать, то предложите емусначала упорядочить карточки только по первой букве, сложив в однустопку слова с одинаковой первой буквой, не упорядочивая их внут-ри стопки. С таким заданием справятся, наверное, уже все дети.Дальше попросите ребенка открыть свою тетрадь, где написано пра-вило, и пользоваться этим правилом в дальнейшей работе.

Если в вашем классе есть совсем слабый, медлительный илипропустивший предыдущие занятия ребенок, то вы можете отобратьу него часть карточек, например те, в которых самые большие совпа-дающие начальные фрагменты, – это существенно снизит трудностьзадания и тогда даже такой ребенок сможет с ним справиться в ра-зумное время. Если ребенок успеет сделать это упрощенное зада-ние быстрее остальных, то выдайте ему еще несколько карточек –пусть найдет им место в своей уже готовой стопке. То же относится ик слишком быстрым детям: вы всегда можете добавить им еще не-сколько слов – например, из лишних наборов или из тех карточек, ко-торые вы забрали у слабых учеников.

Если вы видите, что конец урока застает детей посередине ра-боты, то попросите их заранее записать в тетрадь получившийся наданный момент порядок слов, даже если он еще не правильный, –тогда его можно будет легко восстановить на следующем уроке ипродолжать работать дальше.

Как и на первом этапе, в конце работы можно поиграть – напри-мер, если кто-то из детей сделал работу раньше остальных, попро-сите их проверить друг у друга правильность выполнения задания.Такого рода задача тоже весьма полезна.

Так как все слова на карточках (24 х 17 = 408) будут разными, тоо «списывании» здесь даже и речи быть не может. Поэтому, если выготовы к некоторому «гулу» в классе, можно разрешить совместнуюработу двух-трех детей. Правда, в этом случае им придется работатьсразу со всеми словами, которые были выданы каждому, – т. е. упо-рядочивать уже не 12, а 24 или 36 карточек.

Сильным ученикам полезно предложить описать на листе бумагиту стратегию, которую они использовали в своей работе. Можно так-же попросить такого ученика написать своего рода инструкцию (чтонужно делать, чтобы упорядочить набор карточек):

140

1. Взять пару карточек..., сравнить...2. Если..., то...и так далее.

Написание такой инструкции – дело очень сложное. Это уже, каквы понимаете, программа. Пока нет смысла настаивать на написа-нии исчерпывающей инструкции – таким заданием можно на какое-то время занять сильных детей.

После того как задание будет, в основном, закончено, разумнопровести обсуждение в классе: какие стратегии использовались де-тьми, чем одна стратегия лучше другой и т. п. Это, как и многое дру-гое, мы оставляем на ваше усмотрение.

ПослесловиеКак видите, проект очень объемный – и по времени, которое на

него необходимо выделить, и по знаниям, умениям и навыкам, кото-рые дети приобретают в процессе работы над проектом. Мы пере-числим здесь наиболее важные из них «научным языком».

1. Знакомство с нелинейным порядком. Кроме того, что дети во-обще впервые сталкиваются с нелинейным порядком, это заклады-вает базисные основы таких тем, как графы, нелинейные алгоритмыи т. п.

2. Знакомство с лексикографическим порядком и опыт работысо словарем. Создается основная мотивация для изучения алфавит-ного порядка (не только в русском языке) и активного его использо-вания.

3. Навыки работы с информационной и справочной литературой(на русском языке). Закладываются также навыки работы с подобнойлитературой на других языках мира, а также с международными (имногоязыковыми) информационными сетями и базами данных.

Мы просим вас отнестись к этому проекту очень ответственно.Не исключено, что запланированных на проект часов окажется недо-статочно. В этом случае было бы разумно обратиться к администра-ции школы. Огромный объем информатических знаний, умений и на-выков дает серьезные основания для выделения на этот проект до-полнительных уроков.

141

Проект 3. Сортировка слияниемМатериалы к проекту: по одному комплекту карточек на учащего-

ся из Тетради проектов с. I –XVIII, XXIX – XLIV вкладыша; зерна риса игречки, горох и фасоль, бусины, детали ЛЕГО и т. п.

Несколько слов о сортировке информацииВ информатике сортировкой называется наведение порядка в

информации. Давайте разберемся, какие виды сортировок нам мо-гут понадобиться, и постараемся понять, что в них общего, а в чемони отличаются друг от друга.

Рассмотрим это на примере списка учеников класса. В журналесписок учеников класса приводится в алфавитном порядке. Чтобытакой список появился, классный руководитель и секретарь школыпроделали некоторые манипуляции: может быть, просто нажималикнопки на компьютере, а возможно, раскладывали личные дела. Налинейке в честь 1 сентября и на уроках физкультуры во многих шко-лах принято выстраивать детей по росту, а чтобы не забыть поздра-вить ребенка с днем рождения, удобно иметь список детей в порядкедат рождения. Во всех приведенных случаях наводился определен-ный порядок по заранее выбранному правилу. Операцию по наведе-нию порядка мы будем называть упорядочением. В терминологиинашего курса можно говорить, что при упорядочении информацион-ные бусины выстраиваются в цепочку.

В процессе выполнения проектов мы постарались разобраться вспособах упорядочения информации. Как мы только что выяснили,при упорядочении все элементы списка выстраиваются в цепочкудруг за другом в соответствии с заранее выбранным правилом. Ноочень часто нам нужно не расставлять учеников в каком-то порядке,а объединить их в некоторые группы – опять же по заранее установ-ленным правилам (признакам): мальчики – девочки. Отличники – хо-рошисты – троечники – двоечники. Дети из полных семей – дети изнеполных семей, общее любимое блюдо, близкоживущие дети, бо-лельщики одной команды и т. д. Операцию по объединению в группымы будем называть группировкой. В терминологии нашего курсаможно говорить, что при группировке информационные бусины рас-кладываются в мешки по определенным правилам.

На первый взгляд между упорядочением и группировкой малообщего, но на самом деле это не так. В большинстве случаев насдействительно не интересует порядок, в котором мы рассматрива-ем результаты группировки. Не имеет значения, кто стоит впереди –мальчики или девочки и в каком порядке рассматривать отличников,троечников и хорошистов. Важно только, что они объединены в груп-пы.

Попробуем проследить, как мы группируем учеников. Мы обяза-тельно вырабатываем для себя некоторый порядок. Например, в ле-вый столбик выписываем фамилии отличников, правее – хорошис-тов, еще правее учеников с одной тройкой и т. д. Затем начинаем встолбики вписывать фамилии. Зрительно у нас снова получаются це-почки (ведь в каждом столбике слова идут друг за другом), но здесь

142

порядок слов нам неважен. При упорядочении учеников у нас тоже могло получаться так, что

два или более учеников имеют одинаковые фамилии, имена и отче-ства или совпадающий день рождения. В этом случае согласно уста-новленным правилам упорядочения из них нельзя выбрать идущегораньше, поэтому получится маленький мешок с фамилиями несколь-ких учеников. Мы, конечно, впишем их в цепочку в произвольном по-рядке.

Из приведенных примеров понятно, что процессы упорядоченияи группировки имеют очень много общего. Отличаться будет нашеотношение к результату. При группировке для нас существенно толь-ко, в какой мешок (группу) попала фамилия, а при упорядоченииважна последовательность. Упорядочение часто является способом(элементом) сортировки. Так, в списке, упорядоченном по датамрождения, легко выделить группы учеников, родившихся в разныевремена года. Или наоборот, проводя упорядочение по алфавиту,часто бывает удобно сначала сгруппировать фамилии по первымбуквам, а затем уже упорядочивать в группах.

В математике понятие сортировка объединяет понятия упорядо-чение и группировка. Мы также используем только термин сортиров-ка, иногда уточняя: «Сортировать в алфавитном порядке».

Описание проектаУмение ориентироваться в больших массивах информации явля-

ется для человека важнейшим в век информационных технологий.При этом прежде всего нужно иметь возможность легко находить ин-формацию, соответствующую определенным критериям, сортиро-вать и группировать ее по определенным правилам. В нашей совре-менной повседневной жизни основную «черновую» работу по обра-ботке больших массивов информации проводят компьютеры. Вы-полнять ее вместо компьютера в реальной жизни нам не надо, ночтобы правильно интерпретировать результаты работы компьютерови должным образом подготовить запрос для компьютера (правильнопоставить задачу поиска и обработки информации), важно понимать,как они это делают. Знакомству с алгоритмом сортировки и посвя-щен настоящий проект. Часто в жизни бывают моменты, когда требу-ется расставить или разложить в заданном порядке различные пред-меты (книги, тетрадки). Такую работу не удастся передать компью-теру.

В ходе предыдущего проекта учащиеся познакомились с устрой-ством «настоящих словарей», иначе говоря — с сущностью лексико-графического порядка (проект «Лексикографический (алфавитный)порядок»). Дети уже умеют расставить в алфавитном порядке не-большое количество слов и объяснить, почему слово АРБУЗ идет пе-ред словом ВОРОТА, а слово ВОРОТА – идет после слова ВОРОНА.Однако мы не обсуждали с ними стратегию, используя которую мож-но быстро и безошибочно расположить все слова в алфавитном по-рядке. Мы просто раскладывали все карточки со словами перед со-бой и, пробегая взглядом по ним, выбирали сначала самое первое

143

слово, затем второе и так далее. Мы не обсуждали с ними, какимименно способом выбирается очередное слово, потому что для ма-ленького списка слов не возникало проблемы. Как правило, дети,проговаривая про себя или тихо вслух алфавит (а может быть, и созрительной опорой на напечатанный алфавит) пробегают глазамивсе слова и ищут: нет ли среди них слова на очередную букву. Еслитакое слово есть, то его откладывают в стопку с результатами. По-степенно в стопке формируется упорядоченная по алфавиту цепочкаслов. Если на очередную букву больше одного слова, начинают раз-бираться с ними по второй букве.

Теперь мы усложним задачу. Попросим расположить в алфавит-ном порядке весьма значительный массив (до 408 – 17 листов по 24карточки) слов. Количественное увеличение слов в данном случаеприводит к качественным изменениям (попробуйте подумать, к ка-ким именно, прежде чем продолжите читать текст). 408 слов уженельзя увидеть сразу все и даже найти первое из них – не простаязадача. Методика, интуитивно применяемая детьми при сортировкенебольшого числа слов, здесь неприменима.

Приступая к выполнению проекта, выньте листы вкладыша изодной Тетради проектов и вырежьте из них отдельные карточки. Каж-дый ребенок имеет в Тетради проектов полный список всех слов, чтопозволит ему заняться их сортировкой и дома, вместе с родителями;в классе же на первых порах рекомендуется использовать толькоодин набор слов. Можно попробовать поставить задачу сортировки,не давая сначала никаких «руководящих» указаний и понаблюдать,что и как они будут делать.

Даже если дети организованные и рабочее место в классе поз-воляет всем собраться вокруг одного стола, дело будет продвигать-ся небыстро. И главное здесь, что увеличение объема работы приво-дит к необходимости изменить способы ее выполнения. В большойкуче не удастся увидеть сразу все слова, так что нельзя, просто про-сматривая все слова, найти первое из них. Надо придумать способ,который позволит отыскать такое слово, про которое мы сможемуверенно утверждать, что оно первое. Для этого следует восстано-вить и обсудить с детьми, что они делали, разыскивая первое словосреди 12 слов. Проговаривая, как они ищут слово одновременно сперекладыванием и передвижением карточек, дети убеждаются втом, что они обязательно наводят в этом процессе определенныйпорядок, действуют по определенному алгоритму.

При сортировке большого массива возникает два вопроса: 1. Какую выбрать стратегию сортировки? Существует много раз-

ных алгоритмов сортировки различной информации при созданиикомпьютерных программ. Работая в проекте, учащиеся проведутсортировку разными способами и попробуют понять их преимущест-ва и недостатки.

2. Как правильно распределить работу? Когда на долю человекавыпадает очень много работы, он зовет себе на помощь других лю-дей и они делают ее вместе. Но, работая вместе, нужно уметь дого-вориться о том, кто что будет делать. Ведь может так получиться, что

144

люди будут не помогать, а только мешать друг другу. Не исключено,что работать будут только один или два человека, а остальные – на-блюдать. Обучаясь в этом проекте организации совместной парал-лельной работы людей над общей задачей (что само по себе оченьважно), мы познаем и то, как это делают компьютеры.

Прежде, чем приступить собственно к исполнению проекта, сле-дует провести подготовительную работу:

1. Повторить алфавит.2. Поиграть всем классом в игру со словами, например, в такую:

узнать, какое слово из пары идет раньше в словаре: ВОРОТА или СО-БАКА, ВОРОТА или ВОРОНА, ЧАШКА или ШАПКА. Наибольшие за-труднения у детей обычно вызывают буквы второй половины алфа-вита.

3. Нарезать карточки со словами из Тетради проектов. С карточ-ками можно будет провести несколько разных проектов. Можно до-полнительно изготовить и другие наборы карточек, например со сло-варными словами или словами на различные правила. Их можно бу-дет использовать не только для сортировки, но и при повторенииразличных тем по русскому языку.

Повторение алфавитаФронтальная работаУчащиеся сидят за партами так, чтобы им была хорошо видна

доска. На доске написан русский алфавит, но некоторые буквы про-пущены. Пропуск обозначен многоточием, причем число пропущен-ных букв соответствует числу многоточий. Детям нужно назвать про-пущенные буквы. (Надпись на доске вначале закрыта, учитель откры-вает ее в нужный момент.)

А... ... Г... Е Ё ... ... И Й ... Л ... Н ... П Р ... ... У ... Х Ц Ч ... Щ Ъ ... ... Э ... Я

Учитель. Закройте глаза и представьте расположение букв в ал-фавите. Может быть, кто-то из вас про себя проговорит, как распо-ложены буквы в нашем алфавите? Откройте глаза и посмотрите надоску. Что вы видите?

Дети. Буквы русского алфавита. Они стоят в алфавитном поряд-ке, но некоторые буквы пропущены. (На самом деле дети видят частьалфавита, а что пропущено – это удел фантазии. На этом этапе лю-бая фантазия детей будет правильной. Например, могут быть пропу-щены картинки. Хорошо, если дети предложат какие-то варианты,отличные от стандартного – не буквы алфавита. Любое предложениедетей следует принять.)

Учитель. Я написал алфавит, а затем часть букв стер. От каждойстертой буквы остались только точки. Кто может назвать пропущен-ные буквы в том порядке, в котором они должны идти в алфавите?

Дети. Б, В, Д, Ж, З, К, М, О, С, Т, Ф, Щ, Ы, Ь, Ю. (По мере того,как дети называют буквы, учитель вписывает их в алфавит на доске.В другом варианте вызванный к доске ученик вписывает буквы, а де-ти класса проверяют запись.)

Следующий этап, более сложный, состоит в том, что на доске

145

предлагается запись алфавита с пропущенными буквами, но пропус-ки не обозначены, так что неизвестно, сколько букв пропущено:

Б Д Ж З К М О С Т Ф Ш Ы Ю

Учитель. Посоветуйтесь с соседом и примите решение – какиебуквы пропущены. (Дети вслух обсуждают между собой и восстанав-ливают цепочку алфавита. Затем один человек – по выбору учителяиз всех желающих – выходит к доске и вносит изменения, дописываяниже цепочку букв. Остальные внимательно следят и при необходи-мости вносят коррективы.)

Индивидуальная работаУчащимся раздаются листы бумаги, на которых они по памяти

пишут русский алфавит, затем проверяют свою работу по настеннойтаблице либо записи на доске, либо по словарю и т. п. (особенностьсостоит в том, что ребенок работает совершенно самостоятельно,углубившись в собственные воспоминания и самопроверку). Если невсе сразу получится, следует внести изменения и повторить упраж-нение еще раз.

По возможности эту работу лучше провести на компьютере.Удобство работы с компьютером состоит в том, что все измененияможно внести сразу.

Работа в малых группахМалые группы целесообразно (в целях экономии времени и если

учитель в данный момент не ставит перед собой задач, в которыхкоммуникативные навыки должны стать основополагающими) обра-зовывать из детей, сидящих рядом друг с другом (справа, слева,спереди, сзади).

Учитель. Напишите на листе бумаги буквы в алфавитном поряд-ке. Подпишите свою работу. А теперь передайте лист с записямисвоему партнеру по игре для проверки. (Дети обмениваются работа-ми по оговоренной схеме и проверяют, внося необходимые измене-ния. Важно, чтобы по окончании взаимопроверки партнеры обсуди-ли между собой проверенные работы и постарались прийти к согла-шению. В случае возникновения конфликтной ситуации или неболь-шого разногласия, нужно обратиться за помощью к учителю, либо кученикам-консультантам, которых заранее выбрали в классе, либоназначил учитель. Обсуждение может идти с опорой на алфавит – онесть на доске в классе либо в словаре.)

Каждый ребенок, работая за компьютером, набирает по памятиалфавит, затем пересаживается за компьютер соседа и проверяетего работу. Учителю следует подумать заранее о системе внесенияизменений в зависимости от возможностей машин и умений детей.

Работа в больших группахПеремешанные буквы (из магнитной азбуки, из конструктора

«Мы играем», вырезанные из картона) раскладываются в алфавит-ном порядке. Делается это так. Учитель высыпает в беспорядке бук-вы алфавита (по одному экземпляру каждой буквы). Каждый ребенок

146

в группе из 12–15 берет себе по 2–3 буквы (в произвольном порядке)разбирают буквы по 2–3 штуки и по команде учителя начинают рас-кладывать их в алфавитном порядке. В этой игре дети должны одно-временно решать несколько важных задач как содержательного (по-вторение алфавита), так и коммуникативного (суметь услышать другдруга и договориться) характера. Проверять данную работу можетлибо учитель, либо другая группа детей.

Задача окажется более сложной, если учитель положит на столенекоторые буквы не в одном экземпляре. Сложной не столько по со-держанию (с этим дети справятся быстро), сколько в коммуникатив-ном плане: при обнаружении повторяющейся буквы: чью букву оста-вить, а чью убрать?

Повторить расположения букв в алфавитном порядке обязатель-но следует перед началом выполнения проекта по сортировке мас-сивов слов. Объем и количество упражнений, связанных с повторе-нием зависит от подготовленности класса и учителя. Эту деятель-ность можно либо оформить как мини-проект в один-два урока, либоразбить на серию упражнений и включать фрагментами в различныепо тематике уроки.

Еще раз необходимо подчеркнуть, что автоматизированный на-вык построения алфавитной цепочки поможет в дальнейшей успеш-ному осуществлению проекта.

Основной проектРазобьем наш большой проект «Сортировка слиянием» на 6 бо-

лее мелких мини-проектов, каждый из которых имеет свою содержа-тельную цель. Эти мини-проекты выстроены в цепочку, и каждый по-следующий элемент в ней продолжает предыдущий. Их обязательнонадо выполнять по порядку. Правильней считать все мини-проектычастями одного большого проекта. Мы выделяем их, так как каждыйиз них, являясь частью целого, имеет и свою законченную цель.

Мини-проект 1. Найти слово, которое идет раньше всех из не-большого массива слов

Выполнять этот мини-проект лучше всего в небольших группах(по 2–4 человека). Раздайте каждой группе по одному комплекту (24слова), предварительно разрезав его на карточки. Каждую группу по-просите из своих слов найти первое слово – слово, идущее раньшевсех других. В процессе поиска учащиеся должны постараться объ-яснить друг другу, как и что они делают. Им надо ответить на 2 во-проса:

1. Как они нашли это слово?2. Почему они уверены, что это слово первое?

Чтобы быть уверенным, что выбранное слово – первое, надосравнить его с каждым из остальных в своей кучке слов и убедиться,что оно идет раньше всех остальных. Самым простым способом дей-ствия (при условии, что заняты один или несколько человек, которыене разделяют работу между собой) будет следующий:

1. Взять два первых попавшихся слова.

147

2. Из них выбрать то, которое стоит раньше, а второе отложить всторону. 3. Выбрать из кучки карточек новое слово вместо

отложенного и вернуться ко второму пункту алгоритма – снова выбрать первое из двух, а ненужное отложить.

4. Когда в исходной кучке карточек не останется слов, у нас в руках будет самое первое слово.

Дети могут предложить много различных способов действия, инеобходимо только отследить их правильность – выбранное словонадо обязательно сравнить (прямо или косвенно) со всеми осталь-ными. На этом этапе особенно важно, чтобы дети проговаривали то,что они делают.

Мини-проект 2. Найти слово, идущее раньше всех из несколь-ких массивов слов

Этот проект очень короткий, но его выполнение и последующееобсуждение имеют большое значение для понимания оптимального,наиболее быстро приводящего к достижению результата, алгоритмаслияния нескольких массивов слов. После завершения Мини-проек-та 1, обычно кто-то из детей довольно быстро догадывается, чтопервое из всех слов надо искать среди первых слов каждой группы.Поскольку таких слов немного, то нужное слово увидеть нетрудно –так же, как в Мини-проекте 1, даже еще быстрее. Но стоит прогово-рить еще раз необходимость сравнения выбранного слова со всемиостальными первыми словами из групп, и про косвенное (по транзи-тивности) сравнение со всеми 24×17=408 словами.

Можно предложить такой порядок действий: 1. Все группы поднимают свое первое слово на всеобщее обо-

зрение. Теперь каждая группа имеет возможность сравнить своепервое слово с первыми словами остальных групп.

2. Далее все, считающие, что их слово не первое, опускают его.Через некоторое время поднятым останется одно слово, которое ибудет самым первым среди всех. Дети могут ошибаться, поэтому на-до попросить каждого опускающего слово объяснить, почему он этоделает. Например: «У нас слово ВОРОТА, а у Саши БАРАБАН. БАРА-БАН стоит раньше, чем ВОРОТА, значит, мы можем опустить своеслово». Не сразу все группы понимают, что они могут опустить своеслово, если увидели хотя бы одно слово, которое стоит раньше него.

Стоит задать вопрос и о том, как можно найти второе слово. Этазадача – значительно более трудная для понимания. Скорее всегодети предложат искать второе слово среди оставшихся первых слов.На самом деле выбранное таким способом слово совсем не обяза-тельно будет вторым из всех слов. Постарайтесь при раздаче карто-чек в группы предусмотреть, чтобы первые два слова оказались у од-ной группы (это необходимо сделать для того чтобы дети смогли по-нять, как происходит поиск второго, третьего и т. д. слова).

148

Несколько слов о параллельной организации работыВ первой части проекта учащиеся научились находить первое

слово из 24 слов. Это задача, скорее всего, не была для них слож-ной. Обсуждая правила нахождения первого слова, мы выяснили, чтопри самом «быстром» способе нахождения для 24 слов необходимосделать 23 сравнения. Если на каждое сравнение уходило приблизи-тельно 20 секунд, то на отыскание первого слова у группы ушло чутьменее 8 минут (на практике в такое время укладываются все группы;столько же времени потребовалось бы и одному человеку).

Теперь подумаем, сколько времени израсходует один человек наупорядочение 408 слов (при применении такого же алгоритма пона-добится уже 407 сравнений). Если бы на каждое сравнение уходилоопять 20 секунд, то вся работа заняла бы уже

407 х 20 : 60 ≈ 136 минут (2 часа 16 минут).

Причем совершенно неважно, работает по этому алгоритму один че-ловек или сразу весь класс – дело будет продвигаться одинаковомедленно. А нам вместе с детьми в первом и втором мини-проектахудалось найти первое слово из 408 гораздо быстрее. Почему? Да-вайте обсудим это с ними.

У детей, вероятно, появятся различные версии. Важно вместе сними выделить главную из них: на первом этапе проекта все группыработали одновременно, и каждая группа делала свою часть работыпараллельно с другими. Во второй части мини-проекта учащиеся длявыполнения общей задачи использовали результаты работы групп.На первый мини-проект ушло около 8 минут, на второй – еще около 8минут. Время значительно отличается от 2 часов 16 минут!

Если удается разделить работу на части и каждую из частей по-ручить отдельной группе, то выигрыш во времени при ее выполнениибудет значительным. Правда это достигается только в том случае,если группы работают одновременно. Действительно, если 408 словразделить на 12 групп, то каждой достанется 34 слова и потребуетсясделать 33 сравнения (всего 33×12=396), а затем для поиска первогослова из 12 первых всему классу придется выполнить еще 11 срав-нений. В сумме получаются все те же 407 сравнений. Если бы группыработали друг за другом, то времени понадобилось бы больше трехуроков. Но группы действовали одновременно, и можно считать, чтовремени было затрачено всего на 33+11=34 сравнения – чуть больше11 минут. Таким образом удалось значительно сэкономить время,правда, в данном случае за счет увеличения числа работников (ре-сурсов). Реально из-за временных затрат на объяснения и обсужде-ния мини-проекты оказываются более продолжительными.

Интересно измерить чистое время, необходимое для выполне-ния работы. Засекать начальный момент следует всегда после окон-чания объяснений и обсуждений по команде «начали». Хорошо, еслив классе будут большие часы с секундной стрелкой или спортивныйсекундомер (лучше иметь и то, и другое).

149

Мини-проект 3. Сортировка слов в небольших группахТеперь попросим все группы упорядочить все свои 24 слова.Можно вначале обсудить, какие варианты организации работы

существуют, но лучше просто предложить упорядочить слова и пона-блюдать, как каждая группа будет это делать. Если какая-то группасправилась со своей работой быстрее, то имеет смысл попросить еепомочь другой, лучше всего самой «медленной» группе. Помогатьможно по-разному, но разумнее всего порекомендовать взять у от-стающей группы несколько слов и разместить их в своей упорядо-ченной цепочке.

После того, как все мешки слов будут превращены в цепочкирасставленных в алфавитном порядке слов, попросите каждую груп-пу рассказать о том, как она это делала. Не исключено, что какая-тогруппа действовала неправильно; в таком случае будет хорошо, еслидругие группы заметят это. Можно и предварительно попроситьгруппы проверить правильность расстановки слов друг у друга.

Скорее всего, учащиеся не станут делить свою работу в группахна части, а просто будут действовать вместе, как делал бы один че-ловек, только контролируя друг друга. Часто получается так, что посуществу все выполняет один – лидер, а другие лишь помогают емудвигать карточки. Впрочем, здесь самоорганизация детей обычно неотличается от их самоорганизации в любой другой групповой дея-тельности.

В этом проекте для нас важнее не организация взаимодействийв группе, а те правила, по которым слова упорядочиваются. Дажетем, кто быстро и правильно справился с задачей, бывает труднорассказать о том, как они это делали.

Обсуждая результаты, полученные группами, надо отличать не-правильно выполненную работу (в результате которой слова былинеправильно упорядочены) от нерациональной (порядок слов ока-зался правильным, но выполнялось много «лишних» действий). Нестоит оценивать, кто сделал рациональней: детям понять это будетпока трудно, даже если учителю все ясно. Важно, чтобы дети прого-ворили свои действия.

Мини-проект 4. Слияние упорядоченных массивовТеперь настало время объединить работу групп и создать один

упорядоченный массив слов. После постановки задачи надо обсудить с детьми их предложе-

ния по дальнейшей организации работы. Учащиеся обычно сразу от-метают предложение все опять смешать и начать заново. Всегда во-зобладает идея воспользоваться уже наведенным порядком. Детивспоминают второй мини-проект, когда при поиске первого словаиспользовался результат, полученный группами.

Сначала предложим детям объединить только две цепочки слов.Правильной будет такой порядок действий, который позволит сли-вать два упорядоченных массива, сразу создавая порядок.

Например, так. Перед учениками лежат две упорядоченныестопки карточек, причем сверху находятся те, что идут в словаре

150

раньше. Сравниваем две верхние карточки в стопках и первую из нихкладем в третью (вновь созданную) словом вниз.

Дальше сравниваем оставшиеся верхние карточки и теперь пер-вую из них кладем в третью стопку на первую карточку снова словомвниз. И так продолжаем до тех пор, пока все карточки не будут пере-ложены в новую стопку.

Например, пусть у нас есть две упорядоченные стопки, каждая из че-тырех слов. Вот последовательность действий:

Этот способ должен появиться при обсуждении у доски порядкаслияния цепочек двух групп. Тут не следует торопиться, надо фикси-ровать и обсуждать все выполняемые шаги. Желательно, чтобы каж-дый шаг возникал как результат обсуждения предложений учащихся.

После того, как всем станет понятна последовательность дейст-вий, предложите группам объединиться по две и слить свои цепочки.Учителю необходимо внимательно следить за организацией работыи в случае нарушения правил слияния вмешиваться. В отличие отпредыдущих мини-проектов, здесь нам важно усвоение выработан-ного способа слияния цепочек. Отклонений от правил слияния быва-ет меньше, если слова у групп лежат не рядом друг с другом, а одноповерх другого, карточка на карточке. Очень существенно, чтобы удетей сформировалось (пусть не сразу) понимание того, что прислиянии нам достаточно видеть только первое слово в группе и быть

РОБОТ

ПАРОХОД

ТЫКВА

РОВ РОБОТ

ТЫКВА

РОВ

5 6

➦➦

1 2

РОБОТПАРОХОД

ВОРОНА

АРБУЗ

ТЫКВАРОВ

КОРОВА

ВОРОТА➦

РОБОТПАРОХОД

ВОРОНА

ТЫКВАРОВ

КОРОВА

ВОРОТА➦

РОБОТ

ПАРОХОД

ТЫКВАРОВ

КОРОВА

ВОРОТА

➥

РОБОТ

ПАРОХОД

ТЫКВАРОВ

КОРОВА

➥

3

4

ТЫКВА

РОВ ТЫКВА

7 8

➥➥

ТЫКВАРОВ

РОБОТПАРОХОДКОРОВАВОРОТА

ВОРОНА

АРБУЗ9

151

уверенными, что все слова в группе упорядочены. Нет никакой необ-ходимости заглядывать в остальные слова. Такая работа будет вы-полнена довольно быстро, и число цепочек слов у нас уменьшится вдва раза, но эти цепочки окажутся в два раза длиннее.

Как продолжить работу дальше, детям обычно бывает понятно.Надо объединять новые цепочки в еще более длинные. Замешатель-ство обычно возникает тогда, когда число групп становится нечет-ным. В этом случае возможны два варианта. В первом варианте сло-ва одной группы дожидаются следующего этапа слияния, а во вто-ром – одновременно сливаются сразу три цепочки. Второй вариантявляется более сложным, и его можно предложить при наличии вэтих группах сильных учащихся.

Нужно выполнить еще несколько этапов и последовательнослить все цепочки в одну. Основная проблема здесь – это постепен-ное увеличение численности незадействованных в работе учениковпо мере уменьшения числа групп. А сливать две цепочки по приве-денному в этом мини-проекте правилу может и один человек. Удобноэто делать и вдвоем, нобольше людей не нужно.

Необходимо приду-мать, чем в это время будутзаниматься остальные.Иначе в конце проекта по-лучится, что «один с сош-кой, а семеро с ложкой».Особенно много временипотребуется для слияния напоследнем этапе всех словв единую цепочку, и именнона этом этапе окажетсябольше всего не участвую-щих в работе детей. Един-ственный известный намвыход – поручить послед-нее слияние выполнить од-ному ученику у доски подконтролем всего класса.Возможно, вы придумаетееще какой-то вариант.

Проделанную работу надо зарисовать в виде дерева слияний(см. рисунок). Ваше дерево будет отличаться от приведенного на ри-сунке, его вид зависит от количества «кучек» на первом этапе сорти-ровки.

Еще несколько слов о параллельной работеСпособ слияния двух упорядоченных массивов информации

очень важен. Учащиеся осваивают его в ходе практической деятель-ности. Можно обсудить, сколько времени потребовалось бы одномучеловеку для того, чтобы упорядочить все 408 слов. Мы уже опреде-

152

лили, что для нахождения только одного первого слова может пона-добиться целый урок; значит, на упорядочение всех слов, если вто-рое и все остальные слова искать по тем же правилам, что и первое,уйдет больше четверти. Нам же удалось методом слияния упорядо-ченных массивов и с использованием параллельной работы группвыполнить задачу гораздо быстрее. При поиске первого слова выиг-рыш во времени получался только благодаря параллельной работемногих учащихся. Попросите детей подумать, что происходит в слу-чае упорядочения. Получится ли быстрее, если один человек будетупорядочивать не сразу все 408 слов, а попытается в одиночку по-вторить способ работы, объединяющий третий и четвертый мини-проекты. Попробуйте сами ответить на этот вопрос.

Предложите учащимся провести эксперимент. Пусть один уче-ник упорядочивает 24 слова, находя сначала первое слово, затемвторое, затем третье и т. д. а другой, разбив их на четыре кучки, упо-рядочивает каждую кучку, а затем сливает полученные цепочки словпо уже выработанным в проекте правилам. Интересно сравнить вре-мя выполнения работы и занести результаты в таблицу. Затем стоитпоменяться стратегиями и заполнить таблицу еще раз.

Маша Даша Марфа Миша Федя Аня Сумма1 способ2 способ

Полезно устроить соревнование, разбив весь класс на подобныепары. В силу разных случайностей у каждого конкретного ученикаиногда получаются и не соответствующие эффективности выбранно-го способа сортировки результаты, но в значительном большинствеслучаев все должно быть правильно. Суммарное время будет боль-ше при использовании первого способа.

Важно понять в процессе работы, что ускорение происходит нетолько за счет правильного объединения усилий большого коллекти-ва, но и благодаря выбору эффективного алгоритма. Даже если бу-дет работать один человек (одна вычислительная машина) сортиров-ка слиянием (разбиение мешка на части с последующей сортиров-кой и слиянием упорядоченных частей) окажется самой быстрой.

Мини-проект 5. Сортировочное деревоВ предыдущем мини-проекте мы научились сливать упорядочен-

ные массивы. Мы справились с задачей довольно быстро, но от эта-па к этапу оставалось все больше не участвующих в деле детей. По-пробуем поставить дело так, чтобы возможности каждого в сорти-ровке использовались наиболее эффективно. Дети уже при выпол-нении четвертого мини-проекта могли заметить, что для продолже-ния слияния более длинных цепочек не обязательно дожидатьсяокончания слияния ее более коротких составных частей. Ведь слия-ние мы начинаем сверху, и к нему можно приступать, даже если ра-бота внизу еще не завершена. Давайте для решения задачи упоря-дочения всего мешка слов организуем деятельность так, чтобы каж-

153

дый ученик выполнял своючасть задачи.

Попробуем нарисоватьдерево слияний. Каждый уче-ник может сливать два масси-ва, поэтому у каждой бусины(кроме листьев конечно) бу-дут ровно две следующие. Ли-стьями этого дерева будутстопки слов. Число всех ос-тальных бусин на этом дереведолжно равняться числу уче-ников. Для 29 учеников дере-во будет выглядеть так (см.рисунок: каждый ученик обо-значен круглой бусиной, всебусины пронумерованы).

Каждая круглая бусинаобозначает одного ученика,поэтому можно их подписатьили пронумеровать (как этосделано на нашем дереве), арядом заполнить таблицу, вкоторой каждому номеру по-ставить в соответствие учени-ка. Следует обсудить, на чьюдолю в этой схеме выпадаетбольше всего работы. Исходяиз опыта предыдущего мини-проекта, дети сообразят, чтоосновная часть работы доста-нется тому, кто стоит в корнедерева. Поэтому лучше, еслиэто будет наиболее сильныйученик, а, возможно, и учи-тель.

Приведенное дерево достаточно просто перестроить для любо-го нечетного числа учеников от 15 до 31. Для 31 ученика можно доба-вить две бусины на пятый уровень так, чтобы нижняя ветка деревастала в точности такой же, как верхняя. Если учеников в классе боль-ше 31, то можно оставшихся детей назначить «контролерами» наразные уровни. Они будут следить за правильным выполнением ого-воренного алгоритма. Кроме того, корневому ученику возможно про-сто понадобится помощь. Чтобы построить дерево для нечетногочисла учеников, меньшего чем 29, можно убирать с пятого уровня подве бусины, следующие за некоторой бусиной четвертого уровня дотех пор, пока нужное число бусин не будет достигнуто. При этом сле-дующие за убранными бусинами-учениками, бусины-стопки, конеч-но, тоже убираются, а затем за каждой вновь появившейся бусиной-

2

3

4

5

6

7

8

16

17

15

18

19

20

21

25

24

27

28

29

23

26

9

10

11

12

13

14

22

1

154

листом четвертого уровня,ставим по две бусины стоп-ки. Например, дерево для25 учащихся приведено нана рисунке справа.

Если в вашем классечисло учеников четное, томожете либо сами поучаст-вовать в сортировочном де-реве, либо одного учениканаправить помощником к«корневому».

На первом этапе разо-бьем все слова на кучки почислу участвующих в мини-проекте учеников и попро-сим всех упорядочить своислова в алфавитном поряд-ке. Слов у каждого ученикабудет немного, и такая за-дача не должна вызвать уучащихся затруднения – оназнакома всем. Вы конечнопонимаете, чтобы каждыйученик сливал ровно двемассива, число стопокдолжно быть четным. По-этому, если число учащихсяв классе нечетное, то стопокследует заготовить на однубольше. Одну дополнительную кучку может упорядочить учитель.

Теперь надо придумать, как организовать работу. Возможенследующий вариант.

На столах выложены в ряд все упорядоченные массивы. Передними встает в два раза меньшее (чем число массивов) число учащих-ся. Далее учащиеся выстраиваются в соответствии с сортировочнымдеревом для вашего класса. Правила взаимодействия могут бытьразличными (см. рисунок на следующей странице).

1. Каждый ученик занимается слиянием двух массивов (массивау левой руки и массива у правой руки), но складывает карточки сословами в стопку только «корневой» ученик, а остальные отдают пер-вую из своих двух карточек ученику за спиной, причем только послетого, как ученик попросит об этом (например, прикоснувшись кплечу).

2. У ученика в руках две карточки. Он выбирает из них первую иотдает ее ученику за спиной. Если первой была карточка в левой ру-ке, то новую карточку надо попросить у ученика слева (для ученикаиз первого ряда – взять карточку из левой кучки), а в противном слу-чае – у правого.

1

2

3

4

5

6

7

12

13

14

23

24

25

8

9

10

11

2218

17

15

21

16

20

19

155

Ускорение упорядочения происходит за счет параллельностиработы. Хотя при такой схеме, как мы уже выяснили с детьми, не всеодинаково загружены работой, эффективность может быть очень вы-сокой. Если «корневой» ученик (или учитель) работает быстро, а детихорошо читают или быстро узнают слова, то процесс сортировки 408слов потребует 15 – 25 минут. После окончания сортировки нужноеще раз обсудить, кто больше был загружен и во сколько раз. Можноподсчитать, сколько сравнений сделал каждый ученик.

Алгоритм, описанный в данном мини-проекте, называется алго-ритмом пузырькового всплытия.

Мини-проект 6. Сортировка через классификациюДанный мини-проект дает третий алгоритм выполнения той же

задачи – сортировки большого массива слов (17×24 слов) силамивсего класса.

1. Разделите все карточки поровну на всех учащихся и попроси-те рассортировать их по мешкам (коробочкам, столам), так, чтобы вкаждом мешке оказались слова на одну букву. При этом мы предва-рительно распределяем столы под мешки и подписываем эти столыс помощью большой таблички с буквой. Раскладывать слова могутвсе одновременно, перемещаясь по классу.

2. Затем каждый ученик садится за один стол (или берет одинящик) со словами на определенную букву и наводит порядок в дан-ных карточках. О том, кому какая буква достанется, вам надо поду-мать заранее. Действительно, количество слов в нашем наборе наразные буквы различно. Есть очень «популярные» буквы, слов на ко-торые больше 20 (В, К, Л, М, Н, П, С,Т). Ящики с такими буквами луч-ше поручить сильным учащимся. Есть буквы, на которые в нашем на-боре слов меньше 10 (А, Г, Е, Ё, З, И, Ф, Х, Ц, Э, Ю, Я). В соответству-ющих этим буквам ящиках смогут разобраться даже слабые и медли-тельные дети. С другой стороны, кому-то из ребят придется зани-маться сразу двумя ящиками. Все эти детали лучше продумать приподготовке урока.

3. Работы всех учеников собираются в алфавитном порядке пер-вых букв.

Обсудите с учениками, как проходила работа, и спросите, какони думают – всегда ли будет получаться так удачно? Они должныпонять, что такой способ хорош лишь в определенных случаях. Про-демонстрируйте это, предложив массив слов, у которых первые 2 – 3буквы будут одинаковыми. В этом случае придется по ходу действияменять алгоритм работы. В результате последующих обсуждений удетей должно отложиться, что данный алгоритм сортировки не уни-версальный (эффективность алгоритма зависит от конкретного на-бора слов), в отличие от универсального алгоритма сортировки сли-янием упорядоченных массивов (эффективность не зависит от кон-кретного набора слов).

4. Стоит обсудить, нужны ли неуниверсальные алгоритмы. Еслине возникнет никаких побочных проблем (например, неудобно стоя-

156

щие столы) то при «хорошем» наборе слов (на каждую букву словприблизительно одинаково) задача сортировки массива с помощьюалгоритма упорядочения через классификацию будет выполненазначительно быстрее, чем посредством алгоритма пузырьковоговсплытия.

5. Важно обговорить роль каждого человека – маленького про-цессора, и координатора их работы – главного процессора (учителяили ученика).

Список всех слов (в словарном порядке)

АВТОРАЛФАВИТАНГИНААППАРАТАППЕТИТАСФАЛЬТАФИША

БАЛКОНБАРАНБАРАНКАБЕГБЕГЕМОТБЕСШУМНЫЙБИБЛИОТЕКАБОЛЕЗНЬБОЛЬБОЛЬНИЦАБОТИНОК

ВАГОНВАЛЬСВАРЕНЬЕВАРИТЬВЕЖЛИВЫЙВЕРБЛЮДВЕРТОЛЁТВЕСЁЛЫЙВЕСЛОВЕСНАВЕСНОЙВЕТЕРВЕТКАВЕЧЕРВЕЩЬВИДВИДНОВИНОВАТВИНОВАТЫЙ

ВИНОГРАДВКУСНЫЙВОРОТНИКВСТРЕЧАВТОРНИКВЫХОД

ГАЗГАЗЕТАГЛУПОСТЬГНЕЗДОГОЛОДГОЛОДНЫЙГРОЗАГРОМКОГРОХОТ

ДВИГАТЬСЯДЕЛАТЬДЕЛОДЕЛОВИТЫЙДЕРЕВНЯДЕРЕВОДИВАНДЛИНАДЛИННЕЕДЛИННЫЙДОЖДЛИВЫЙДОМДОМАШНИЙДОМИНОДОМОЙДОРОГАДРЕВНИЙДРЕМУЧИЙДУБДУБИНА

ЕДВА

ЕДИНИЦАЕЛЬЕЛЬНИКЕРУНДАЁРШЕСЛИЕСТЕСТВЕННОЕХАТЬ

ЖАВОРОНОКЖАДНЫЙЖАЖДАЖАРАЖАРИТЬЖАРКОЖЕВАТЬЖЕЛАТЬЖЁЛТЫЙЖЁЛУДЬЖЕНИХЖЕНЩИНАЖИВОТНОЕЖИЗНЬЖУРАВЛЬЖУРНАЛ

ЗАВТРАЗАВТРАКЗАКИПЕТЬЗАНОЗАЗАПАСЗАПАСНОЙЗАПЯТАЯЗАТЫЛОКЗОНТИК

ИЗГОРОДЬИЗДАЛИИЗЮМ

ИНСТРУМЕНТИСПЕЧЬИСТИННЫЙ

КАБАЧОККАБИНАКАБИНЕТКАЛЕНДАРЬКАМЕННЫЙКАМЕНЬКАПУСТАКАРАНДАШКАРТОНКАРТОННЫЙКАРТОШКАКАТУШКАКВАРТИРАКЕНГУРУКИПЯТОККЛЁВКЛЕЙКЛЕЙМОКЛЁНКЛЁСТКЛЕТКАКЛУБКЛУБНИКАКЛЮЧКОЖУРАКОРАКОРАБЛЬКРАСОТАКРОКОДИЛКУРИЦА

ЛАВОЧКАЛАМПОЧКАЛАНДЫШЛАСТОЧКА

157

ЛАЯТЬЛЕВЛЕВЫЙЛЁГКИЙЛЁДЛЕДЕНЕЦЛЕЙКАЛЕКАРСТВОЛЕНИВЫЙЛЕНТЯЙЛЕНЬЛЕСЛЕСКАЛЕСТНИЦАЛИВЕНЬЛИМОНЛИМОНАДЛИСАЛИСТЛИСТВАЛИШНИЙЛОПАТАЛОПАТКАЛУКОВИЦАЛЫЖНЯЛЮБОПЫТСТВОЛЮСТРАЛЯГУШКА

МАКМАКАРОНЫМАКУШКАМАЛЬЧИКМАРТЫШКАМАРШРУТМАСЛЁНКАМАСЛЁНОКМЁДМЕДВЕДИЦАМЕДВЕДЬМЕДВЕЖОНОКМЕДЛЕННОМЕЛКИЙМЁРЗНУТЬМЕТЕЛЬМИКРОБМОКРЫЙ

МОСТМОСТОВАЯМУЖСКОЙМУРАВЕЙМУРАВЕЙНИКМЫЛЬНИЦАМЯГКИЙМЯСОРУБКА

НАВЕРНОЕНАВЕРНЯКАНАВОЛОЧКАНАДОНАДОЕСТЬНАЗВАНИЕНАМОЧИТЬНАОБОРОТНАСЕКОМОЕНАСМОРКНАСТРОЕНИЕНАУГАДНАУКАНАУТРОНАУЧНЫЙНЕБОНЕКРАСИВЫЙНЕЧАЯННОНИЩИЙНОВОСТЬНОЖНОЖНИЦЫНУЖЕН

ОБЕДОБЕЗЬЯНАОДЕЯЛООДНАЖДЫОДУВАНЧИКОРКЕСТРОСЕННИЙОСТАНОВКАОТВЕДАТЬОТВЁРТКАОТДЫХОТДЫХАТЬОХОТАОШИБКА

ПАЛЕЦ

ПАРИКМАХЕРПАСМУРНЫЙПАУКПЕРЕУЛОКПЕРОПЕРСИКПЁСПЁСТРЫЙПЕТУХПЕЩЕРАПИЩАПИЩАТЬПЛАТЬЕПОВЯЗКАПОКУПКАПОЛПОЛЕЗНОПОЛОТЕНЦЕПРИВЫЧКАПРЯНИКПЫЛИНКА

РАДОСТЬРАССВЕТРАСЧЁСКАРЕМОНТРЕЦЕПТРЕЧКАРОДИНКАРОДИТЕЛИРЫБАРЫБАЛКА

САЛКИСАЛФЕТКАСАЛЮТСВЕЖИЙСВЁКЛАСВЕКОЛЬНИКСВЁРТОКСВЕТСВЕЧАСЕРЬЁЗНЫЙСЛАДКИЙСЛОВАРЬСЛУЧАЙНОСМЕТАНАСМЕХ

СОБАКАСОРОКСОРОКАСОСУЛЬКАССАДИНАСТАНЦИЯСТЕБЕЛЬСТЁКЛЫШКОСТЕНАСТОЛСТОЛИЦАСУХАРЬСЪЕДОБНЫЙСЪЁЖИТЬСЯСЪЕСТНОЕСЫРОЕЖКА

ТАБЛЕТКАТАБУРЕТКАТАКСИТАНЦЕВАТЬТАПОЧКИТАРАКАНТЕЛЕГАТЕЛЁНОКТЕЛЕФОНТЕНЬТЁПЛЫЙТЁРКАТЕРМОСТЕСТОТЕТРАДЬТЁТЯТИШИНАТОВАРТОВАРИЩТРЕНИРОВКАТРЁПКАТРЕУГОЛЬНИКТРЁХЭТАЖНЫЙТРОТУАРТРУДТРУДНОТЮЛЬПАНТЯЖЕЛО

УДОБНЫЙУЛИЦА

158

Дополнительные мини-проекты: сортировка без обязательногоупорядочения

Часть 1Часто в жизни приходится раскладывать по коробочкам и ящич-

кам какие-то предметы, по тем или иным обстоятельствам свален-ные в одну общую кучу – так, чтобы в каждом ящичке оказались толь-ко одинаковые.

Например, в шкафу на кухне порвались два пакета с крупой –один с гречкой, другой с рисом. Когда крупу собрали с полки, полу-чился один мешок, в котором смешаны рис и гречка. Теперь надорассортировать этот мешок. Одному человеку это сделать сложно.Даже Золушка смогла быстро выполнить порученную ей работу толь-ко с помощью большого числа ловких помощников. Попробуем ре-шить задачу сортировки в классе. Задача на всех одна, поэтому надонайти способ объединить усилия. Собраться всем вокруг одногомешка и начать раскладывать крупу в два других мешка очень не-удобно. 30 человек начнут просто толкаться, и дело будет продви-гаться медленно. Давайте попробуем распределить работу междувсеми учащимися в классе равномерно. Для этого разделим мешоксмеси на маленькие кучки по числу детей в классе и попросим за-няться сортировкой своей маленькой кучки каждого ученика само-стоятельно. В этом случае каждый работает в своем собственномтемпе и ему никто не мешает. Если кто-то успел выполнить сорти-ровку своей кучки быстрее других, то он может помочь товарищам,забрав у них часть смеси.

Дальше все просто. Надо лишь объединить все кучки с рисом в

УМНИЦАУПРЯМЫЙУСНУТЬУТКАУТРОУЧЁБАУЧЕНИКУЧЁТУЧИТЕЛЬ

ФАМИЛИЯФИЛЬМФОКУСФОКУСНИКФОНАРЬФОРТОЧКА

ХОЗЯЙКАХОЛОДИЛЬНИКХОРОШИЙХРАБРЫЙХУДОЖНИК

ЦАРАПИНАЦЕПОЧКАЦЕРКОВЬЦЫПЛЁНОК

ЧАЙНИКЧАШКАЧАЩЕЧЕМПИОНЧЕРЕЗЧЕРЁМУХАЧЕРЕПАХАЧЕРЕШНЯЧЕСНОКЧЕСТНЫЙЧЁТКИЙЧЕХОЛЧИСТИТЬЧИСТОЧИСТОТА

ЧУДЕСНЫЙЧУЛОК

ШАМПУНЬШАПКАШАРШАРФШАХМАТЫШАШКИШВАБРАШЕЛЕСТШЁПОТШЕЯШИШКАШКОЛЬНИК

ЩАВЕЛЬЩЕКОТКАЩЁЛКАЩЕТИНАЩЁТКАЩИ

ЩИПАТЬЩИПЦЫЩУКАЩУПАЛЬЦЕ

ЭВКАЛИПТЭКСКУРСИЯЭЛЕКТРИЧКАЭСКАЛАТОР

ЮБКАЮЖНЫЙЮМОР

ЯБЕДАЯБЛОНЯЯГОДАЯЗЫЧОКЯЙЦОЯНВАРЬ

159

один мешок, а все кучки с гречкой в другой. Работа будет выполненаочень быстро. Затем следует обсудить, почему всем классом уда-лось рассортировать рис и гречку так быстро: 30 человек должнысправиться с задачей в 30 раз быстрее, чем 1 человек, если они бу-дут работать одновременно.

В данном случае разделение задачи на подзадачи принесло намвыигрыш во времени только потому, что все подзадачи выполнялисьодновременно разными исполнителями. На самом деле во многихслучаях и один человек будет выполнять задачу быстрее, если пра-вильно разделит ее на подзадачи. Мы убедились в этом при рассмо-трении проекта сортировки слов методом слияния.

Конечно, не обязательно сортировать рис и гречку. Можно взятьлюбые объекты: пуговицы, винты и гайки из железного конструктораи т. д. Хорошо, если удастся найти что-то такое, что действительнонадо рассортировать для дальнейшего использования в классе.Главное, чтобы куча объектов была достаточно большой, а различ-ных типов объектов в ней было не больше четырех.

В сортировке надо выделить два случая: 1. Заранее известно количество маленьких мешочков (типов

разных бусин). 2. Заранее неизвестно количество типов бусин.

Часть 2. Сортировка большого количества объектов, разли-чающихся по нескольким признакам

Для сортировки подойдут детали ЛЕГО, бусины из учебника иличто-то подобное. Главное, чтобы различных типов объектов было немного (около 10), а самих объектов было достаточно много.

Предложите детям в небольших группах рассортировать всеобъекты, самостоятельно придумав, как это сделать. У детей обычнопоявляется два способа.

1. Сначала объекты группируются поодному признаку, затем каждую группуделят на части по другому признаку:

2. Для каждого нового вида объектовсразу заводится новый мешок. Сорти-ровка производится в один этап:

Обсудите с учащимися преимущества первого способа (легчеразделить задачу на части, на каждом этапе появляется небольшоечисло групп).

Если предварительно известно, какие мешки надо завести, тосортировка по второму способу тоже не будет сложной. Хотя дети,скорее всего, все равно будут размещать квадраты с одной стороны,а треугольники с другой. Так проще.

160

Обсуждая второй вариант классификации, необходимо заост-рить внимание на основной проблеме: если неизвестно, скольковсего типов предметов существует (мешки заранее не приготовле-ны), то надо знать, есть ли уже для каждого очередного предмета ме-шок (такой же предмет уже был) или надо заводить новый. Еслимешков мало, то можно обойтись без всякой системы, но с увеличе-нием их числа при отсутствии системы сложно быть уверенным, чтов разных углах комнаты не лежат совершенно одинаковые кубики.

Часть 3. Сортировка большого числа разнородных объ-ектов

Для сортировки лучше всего подойдут детали ЛЕГО из различ-ных наборов, особенно технологических. Если таких или других под-ходящих объектов нет, то можно специально для проекта изготовитьнабор плоских картонных фигурок разных форм и цветов или вос-пользоваться рисунками лиц людей (например, несколькими копия-ми соответствующей задачи из учебника для второго класса). Глав-ное, чтобы различных типов объектов было много (не меньше 50) икаждый объект встречался несколько раз.

В процессе работы учащиеся довольно быстро придут к выводу,что во избежание ошибок необходимо навести в процессе сортиров-ки определенный порядок: выстроить мешки в цепочку и каждую но-вую бусину (или любой другой объект) проводить по этой цепочке.Если при продвижении по цепочке не удастся найти подходящий ме-шок для очередной бусины, то ее надо будет положить в самом кон-це цепочки, тем самым заведя новый мешок. На рисунке дерева сор-тировки ветки дерева можно обходить слева направо, ища подходя-щую ветку:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Каждая бусина дерева сортировки – мешок с определеннымкритерием.

ЗаключениеУмение сортировать (группировать и упорядочивать) различные

массивы информации очень важно. Поэтому сортировке следуетуделить достаточно много времени, благо материал для этого в шко-ле всегда под рукой.

Вот несколько примеров:• книги (сортируются по различным признакам: по авторам, по

названиям, по темам, по жанрам, по наличию/отсутствию иллюстра-ций);

• детали различных конструкторов;• карточки с названиями городов и числами (сортируются, на-

пример, по дате рождения города, по числу жителей и т. п.);

161

• карточки с названиями стран и их столицами (можно сортиро-вать по алфавитному порядку стран или столиц либо раскладыватьпо материкам и частям света).

Богатые возможности предоставляют карточки с фамилиямиучеников, раскладываемые по адресам: большие мешки – улицы,мешки поменьше – дома; следующие уровни – подъезд, этаж, квар-тира. Можно нарисовать дерево сортировки.

Интересно продолжить этот проект в форме проекта «Моя се-мья», поселить на это дерево родственников учеников. В таком слу-чае, скорее всего, появятся другие города и придется достраиватьдерево вниз. Можно по этому дереву посылать друг другу письма исчитать длину пути почтальона.

Предложите детям построиться по дням рождения в календар-ном порядке, чтобы найти самого старшего в группе или самогомладшего (для этого у каждого ребенка должна быть заготовка в ви-де небольшого плакатика с датой рождения – год, месяц, день):

– сначала дети выясняют, одного ли они года рождения;– если год совпадает, то смотрят на месяц и выстраиваются в

порядке возрастания;– в группе одного года и одного месяца дети разбираются с дня-

ми рождения и снова строятся в порядке возрастания.

Проект 4. Фамильное деревоМатериалы к проекту: вкладыш Тетради проектов «Фамильное

дерево», стр. XX и XXV.

В Части 2 учебника учащиеся столкнутся с двумя задачами, со-держащими анализ фамильных (генеалогических) деревьев. Оченьполезно с информатической и педагогической точек зрения каждомуученику составить дерево своих предков. Этот проект предполагаетбольшой объем домашних «исследований», связанных с расспроса-ми родителей и просмотром семейных архивов. Начинать работу надпроектом можно в соответствии с приведенным в данной книге пла-нированием или раньше. «Древесная» структура семьи совершенноестественна и понятна детям.

Прежде чем приступать к проекту, следует обязательно расска-зать о нем родителям на родительском собрании и попросить их по-мочь детям. Отдельно надо обсудить вопрос работы над проектом внеполных семьях. Предложите каждому из родителей высказать вамсвои опасения в связи с проектом индивидуально. Очень хорошо, ес-ли ребенку, не имеющему информации о родителе по одной ветке(чаще всего об отце), помогут собрать как можно больше информа-ции о другой ветке. В этом случае стоит сразу отказаться от заполне-ния бланка из Тетради проектов и самостоятельно сделать бланк содной длинной веткой, снабженной небольшими отростками.

Если при выполнении проекта используется бланк из Тетрадипроектов, то после заполнения этого бланка можно расширить про-ект. Например, поместить семейные деревья на больших листах бу-

162

маги, украсить их рисунками и фотографиями и сопроводить ма-ленькими рассказами. Работа над проектами может стать элементомуроков истории и литературы, а результаты – экспонатами выставки.

Проект 5. Турниры и соревнованияЗадачи 2 - 5 из Тетради проектов, материалы к проекту на с.

8–11 Тетради проектов.

Весь мир постоянно соревнуется. Различным соревнованиям(спортивным и не только) отводится большое место в жизни людей.Спортивные соревнования проводятся по разным правилам, но мыне будем сейчас заниматься правилами конкретных видов спорта иигр (хоккей, бег или камешки), а обсудим, как выявляется победи-тель.

Существует много вариантов определения победителя в состя-заниях. Попросите детей вспомнить или придумать правила выявле-ния лучшего в различных состязаниях: бег, спортивные игры, прыжкив высоту, прыжки в длину.

Затем ограничьте задачу играми, в которых два человека илидве команды встречаются между собой. Для начала лучше считать,что такие встречи заканчиваются обязательно победой одной илидругой стороны. В паре всегда будут выигравший и проигравший. Нолюдей у нас не двое, а целый класс. Как определить лучшего?

Скорее всего, дети (особенно мальчики) знают, что на соревно-ваниях либо каждый участник встречается с каждым (как в первенст-ве страны по футболу), либо проигравший сразу выбывает (так разы-грывают кубок страны, так проходят соревнования по теннису).

Круговой турнир, в котором все соперники встречается междусобой, изображается в виде таблицы:

Кубковый турнир удобно наглядно представить в виде дерева:

1 2:0 3:1 1:4 6 5Ветер

Ве

тер

Ур

аган

Тай

фун

То

рн

адо

№

забр

о-ш

енны

е

пр

оп

у-щ

ен

ны

е

Очки

Шайбы

МестоКоманда

2 0:2 2:2 3:1 5 5Ураган

3 1:3 2:2 3:3 6 8Тайфун

4 4:1 1:3 3:3 8 7Торнадо

6 1

4 2

2 4

4 3

Ветер

УраганВетер

Торнадо

ТорнадоТайфун

Торнадо

163

Увлекающиеся спортивными зрелищами мальчики могут ска-зать, что часто в соревнованиях сначала проводятся круговые турни-ры в группах, а затем победители или призеры групп играют кубко-вые матчи на выбывание. Такой вариант соревнования снова можноизобразить в виде дерева, листья которого содержат таблицы круго-вых турниров.

Выслушав, все, что известно детям, обсудите, какие схемы онисчитают справедливыми, а какие нет. В этом обсуждении стоит от-дельно рассмотреть два случая.

1. Более реальный – победитель игры в паре заранее неизвес-тен. Именно так обстоит дело в огромном большинстве игр и состя-заний, поскольку все они имеют элемент случайности.

2. Менее реальный – силы соревнующихся очень разные, и мызаранее знаем, кто в какой паре победит.

Дети, скорее всего, скажут, что круговой турнир более справед-ливый, чем кубковый. Можно не выяснять сразу до конца, в чем спра-ведливее и почему они так считают, а оставить это до подведенияитогов классных соревнований.

Работа над проектом предполагает решение задач из Тетрадипроектов и проведение реальных соревнований в классе. Ниже при-водится описание нескольких игр, математическое содержание ко-торых будет рассматриваться в четвертом классе. Можно предло-жить детям посоревноваться в умении играть в некоторые из этихигр. В Тетради проектов есть бланки для кругового и кубкового тур-ниров.

На страницах 6 и 7 Тетради проектов для конкретных примеровописаны правила проведения круговых и кубковых турниров. Приме-ры показывают, что в турнирах, проводимых по разным системам,могут быть разные победители – даже при одинаковых результатахигр. Решение задач подтвердит такую возможность.

В круговом турнире (задача 2) места команд распределятся сле-дующим образом:

Место Команда Очки1 4 «А» 162 4 «В» 143 4 «Г» 134 4 «Б» 125 3 «А» 126 3 «Б» 77 3 «Г» 48 3 «В» 2

В кубковом турнире уже в первом круге выбудет из борьбы побе-дитель кругового турнира – 4 «А» класс. В результате победителемкубкового турнира становится 4 «В» класс.

Решая задачу 5 на с. 12 Тетради проектов, учащиеся еще разубеждаются в том, что результаты турниров зависят от правил их

164

проведения и первоначальной расстановки игроков в листьях дереватурнира.

После всех обсуждений полезно провести в классе какой-нибудьигровой турнир и занести его результаты в таблицу (таблицы длякубкового и кругового турниров приведены на стр. 8-11 Тетради про-ектов). Можно играть и в спортивные игры, и в математические. Ко-нечно, выбирать нужно такие игры, в которых не существует просто-го способа выигрыша или он не известен детям.

Например, каждый урок можно начинать с короткой игры в парах(круговой турнир потребует значительно большего времени).

Света Саша Володя ТаняСвета *Саша *Володя *Таня *

Нарисовав таблицу, попросите детей подсчитать, сколько игрпридется провести, если в турнире один круг (6 игр).

После этого можно изобразить дерево кубкового турнира и под-считать, сколько потребуется игр для выявления победителя в кубко-вом турнире.

Если в классе 30 человек, то надо будет проводить очень боль-шое число игр – более 400. Можно подсчитать, сколько времени зай-мут все игры при продолжительности каждой игры всего 4 минуты.После этого обсудите, сколько времени понадобится на турнир сучетом того, что некоторое количество игр может происходить одно-временно. Если будет очевидно, что времени на турнир с участиемвсего класса не хватает, лучше разбиться на группы и устроить кру-говые турниры в группах, а среди победителей провести кубковыйтурнир для определения сильнейшего в классе.

Довольно интересно строить турнирные деревья по таблице. Втаблице имеются результаты игр каждого с каждым. Можно случай-ным образом расставить учеников в листья таблицы турниров и вы-явить победителя, не проводя реальных игр, а списывая результатыигр из турнирной таблицы. Потом расставить учеников иначе и сновапопробовать выявить победителя. Если победитель кругового турни-ра не выиграл у всех своих конкурентов, то всегда можно так расста-вить учеников, что победитель кругового турнира вылетит из кубко-вого турнира уже на первом этапе. При проведении реального турни-ра результат, скорее всего, будет другим. Почему?

Обсудите с детьми, в чем состоит сходство выявления первого(победителя) в кубковом турнире с определением первого элементав множестве методом пузырькового всплытия (см. проект «Сорти-ровка», Мини-проект 5). Принцип определения первого в обоих слу-чаях одинаков, только в множестве чисел всегда 15 больше 9, словоВОРОТА всегда в алфавитном порядке идет раньше слова МОЛОКО,а вот в футбол сборная России выигрывает у сборной Франции невсегда. В играх, как правило, результат заранее не известен. Иначезачем проводить соревнования?

165

Дополнение. Игра в камешкиВ эту игру часто играют дети, используется она и в различных

соревнованиях на смекалку. Вы можете использовать эту игру приработе с проектом «Турниры и соревнования».

Правила игры такие. Перед играющими кладется кучка камеш-ков. Из этой кучки за один ход игрок берет не меньше одного, но небольше некоторого, заранее оговоренного, числа камешков. Игрокиделают ходы по очереди. Пропускать ход нельзя. Тот, кто сделает по-следний ход, выиграл. А тот игрок, которому при очередном ходебрать нечего – проиграл. Обычно разрешается брать один, два илитри камешка.

Вот еще три варианта игры.1. Из кучи можно брать один, два или три камешка. Выигрывает

тот игрок, у которого в конце игры на руках оказывается четное числокамешков.

2. Камешки лежат в двух кучках. За один ход можно брать любоечисло камешков, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто дела-ет последний ход.

3. Камешки лежат рядами. В первом ряду три камешка, во вто-ром ряду – пять, а в третьем ряду – семь камешков. За один ход мож-но брать любое число камешков, но только из одного ряда.

ЗаключениеУмение правильно организовать деятельность группы людей для

решения общей задачи и точно выполнять отведенную тебе роль –важный для общества результат обучения. Развитие этих умений –еще одна педагогическая цель наших проектов.

В процессе выполнения проектов учащиеся выступают и как ор-ганизаторы – в момент выработки стратегии сортировки или страте-гий победы в игре, и как исполнители – занимаясь сортировкой позаранее придуманному алгоритму. Попеременное исполнение уче-ником этих ролей – организатора и исполнителя – очень полезно.

166

Тематическое планированиеИНФОРМАТИКА 3 КЛАСС

Часть 1 (17 ч)

Урок 1. Дерево. Следующие бусины. Листья. Предыдущие бусины.Корневые бусины. Стр. 3-7.Уроки 2-3. Уровни дерева. Стр. 8-13.Урок 4. Таблица для мешка. Стр. 14-17.Урок 5. Проект «Одинаковые мешки».Урок 6. Длина цепочки. Цепочка цепочек. Стр. 18-22.Уроки 7-8. Робот. Команды для Робота. Программа для Робота.Стр. 23-29.Уроки 9-10. Перед каждой бусиной, после каждой бусины.Стр. 30-35.Урок 11. Знаки препинания. Дефис и апостроф. Стр. 36-39.Урок 12. Проект «Лексикографический порядок».Урок 13. Задачи на лексикографический порядок. Стр. 40-43.Уроки 14-15. Склеивание цепочки цепочек. Стр. 44-51.Урок 16. Контрольная работа. Варианты 1, 2. Вкладыш.Урок 17. Выравнивание, дополнительные и трудные задачи.Стр. 52-55.

Часть 2 (17 ч)

Уроки 18-19. Путь дерева. Стр. 3-8.Уроки 20-21. Все пути дерева. Стр. 9-14.Урок 22. Проект «Генеалогическое дерево».Урок 23. Задачи с генеалогическими деревьями. Стр. 15-18.Уроки 24-25. Робот. Конструкция повторения. Стр. 19-26.Уроки 26-27. Проект «Сортировка слиянием».Урок 28. Цепочки мешков. Раскрытие цепочки мешков. Стр. 27-31.Урок 29-30. Дерево раскрытия цепочки мешков. Стр. 32-39.Урок 31. Проект «Турниры и соревнования». Урок 32. Индуктивное построение цепочек. Лингвистическиезадачи. Стр. 40-44.Урок 33. Контрольная работа. Варианты 1, 2. Вкладыш.Урок 34. Выравнивание, трудные задачи. Стр. 45-51.

167

СОДЕРЖАНИЕКомментарии к Части 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Способы решения задач: попытки, проверки, противоречия, тупики, возвраты, перебор, стратегия перебора . . . . . . . . . . . . .4Графические и телесные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Уровни дерева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Комментарии к задачам 1–18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Таблица для мешка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Мешки-векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Комментарии к задачам 19–25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Цепочки цепочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Цепочки цепочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Списки и языки программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Комментарии к задачам 26–35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Исполнитель Робот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Программа для Робота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Комментарии к задачам 36–51

Перед каждой бусиной. После каждой бусины . . . . . . . .37Комментарии к задачам 52–65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Знаки препинания. Дефис и апостроф . . . . . . . . . . . . . . .46Дефис и апостроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46Комментарии к задачам 66–82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Операции и их аргументы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Комментарии к задачам 83–108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Контрольная работа № 1. Ответы и решения . . . . . . . . . .66

Комментарии к Части 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Путь дерева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

Ветвление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Полный перебор и деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Комментарии к задачам 1–34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

Цикл – конструкция повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82Комментарии к задачам 35–51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Операция раскрытия цеочки мешков . . . . . . . . . . . . . . . .90Дерево раскрытия цепочки мешков . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93Комментарии к задачам 52–98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

Контрольная работа № 2. Ответы и решения . . . . . . . . .114

Комментарии к Проектам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116О содержании предлагаемых проектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116Об организации работы над проектами . . . . . . . . . . . . . . . . . .117Проект 1. Одинаковые мешки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118Проект 2. Лексикографический (алфавитный) порядок . . . . .123Проект 3. Сортировка слиянием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141Проект 4. Фамильное дерево . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161Проект 5. Турниры и соревнования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

Тематическое планирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166