Ministerio de Educación Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario Departamento de Materias Básicas ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA Ing. Sandra Silvester Página 11 I.2 Movimiento Ondulatorio Introducción: Cuando estudiamos las leyes de la reflexión y de la refracción a través de la óptica geométrica, vimos que los fenómenos ópticos a gran escala pueden explicarse mediante rayos luminosos (aplicación de la teoría corpuscular). Pero cuando se estudian fenómenos en pequeña escala, se aprecian detalles para los cuales resulta necesaria una interpretación ondulatoria. La mayoría de estos detalles no son de observación habitual, pero se hacen evidentes cuando examinamos, por ejemplo, la luz que pasa por rendijas estrechas o que se refleja en superficies rayadas. A los fenómenos ópticos que requieren de la teoría ondulatoria para su explicación, se los incluye dentro de la óptica física (que forma parte de este curso), la cual estudia las interacciones entre haces luminosos y entre luz y materia. Finalmente, si los fenómenos ópticos tienen lugar a escala atómica, es preciso hacer uso de la teoría cuántica para explicarlos de modo riguroso. Cabe aclarar que la teoría ondulatoria es apta para estudiar los fenómenos de reflexión y refracción, como así también la teoría cuántica es apta para estudiar los fenómenos ondulatorios. Cuando estudiamos la luz como fenómeno ondulatorio, sabemos que podemos generalizar nuestras conclusiones para el conjunto de las ondas electromagnéticas. Propiedades Comunes de las Ondas: La noción de onda es familiar a la mayoría de la gente. Cuando se deja caer una piedra en un estanque, las ondulaciones del agua se alejan radialmente; al tocar el piano vibran las cuerdas y las ondas sonoras se desplazan a través del el aire; las imágenes de la televisión se forman mediante la decodificación de
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I.2 Movimiento Ondulatorio
Introducción:
Cuando estudiamos las leyes de la reflexión y de la refracción a través de la
óptica geométrica, vimos que los fenómenos ópticos a gran escala pueden
explicarse mediante rayos luminosos (aplicación de la teoría corpuscular). Pero
cuando se estudian fenómenos en pequeña escala, se aprecian detalles para
los cuales resulta necesaria una interpretación ondulatoria. La mayoría de
estos detalles no son de observación habitual, pero se hacen evidentes cuando
examinamos, por ejemplo, la luz que pasa por rendijas estrechas o que se
refleja en superficies rayadas.
A los fenómenos ópticos que requieren de la teoría ondulatoria para su
explicación, se los incluye dentro de la óptica física (que forma parte de este curso),
la cual estudia las interacciones entre haces luminosos y entre luz y materia.
Finalmente, si los fenómenos ópticos tienen lugar a escala atómica, es preciso
hacer uso de la teoría cuántica para explicarlos de modo riguroso.
Cabe aclarar que la teoría ondulatoria es apta para estudiar los fenómenos de
reflexión y refracción, como así también la teoría cuántica es apta para
estudiar los fenómenos ondulatorios.
Cuando estudiamos la luz como fenómeno ondulatorio, sabemos que podemos
generalizar nuestras conclusiones para el conjunto de las ondas electromagnéticas.
Propiedades Comunes de las Ondas:
La noción de onda es familiar a la mayoría de la gente. Cuando se deja caer
una piedra en un estanque, las ondulaciones del agua se alejan radialmente; al
tocar el piano vibran las cuerdas y las ondas sonoras se desplazan a través del
el aire; las imágenes de la televisión se forman mediante la decodificación de
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN EL AGUA figura 10
y = f (x ± v t) (1)
Ecuación diferencial en derivadas parciales para una onda que se
propaga a lo largo del eje x
∂�y∂t� � v� ∂
�y∂x�
PRODUCCIÓN DE
ONDAS TRANSVERSALES
EN UN SÓLIDO
ELÁSTICO
figura 11
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Las ondas planas pueden producirse, por ejemplo, en un bloque de una
sustancia elástica como el de la figura 11. Sujetando una lámina a una de las
superficies del bloque y comunicándole un movimiento periódico en su propio
plano, se originarán ondas planas en dicho bloque. Estas ondas estarán
representadas por las ecuaciones que hemos visto, siempre que la
perpendicular a los frentes de onda sea paralela al eje x.
Si queremos generalizar las ecuaciones para que representen ondas planas que
se propagan en cualquier dirección, basta sustituir x por la expresión:
l x + m y + n z donde l, m y n son los cosenos directores de tal dirección para los ejes x, y y z.
Un manantial luminoso suficientemente pequeño, genera ondas esféricas en
vez de planas. Como la curvatura disminuye con la distancia, puede suponerse
que las ondas son planas a una distancia suficientemente grande del
manantial.
Un procedimiento usual para obtener ondas luminosas planas, consiste en situar un
manantial puntual en el foco objeto de una lente o de un espejo. En la práctica, el
manantial nunca es un punto matemático y el haz luminoso se compone en realidad
de muchas ondas planas ligeramente inclinadas entre sí y procedentes cada una de un
punto distinto de dicho manantial. Para minimizar este defecto, en los laboratorios
normalmente se emplea como manantial un pequeño orificio iluminado, cuyo diámetro
es extremadamente reducido.
Ondas Sinusoidales:
El tipo más sencillo de onda es aquella cuya ecuación está conformada por un
seno o un coseno. Las partículas individuales están sometidas en este caso a
un movimiento armónico simple.
Consideremos ondas transversales en las que los movimientos de las partículas
son movimientos perpendiculares a la dirección de propagación. Los
desplazamientos instantáneos y pueden expresarse por la siguiente ecuación:
� = !"# (2%&/λ)
figura 12
PERFIL DE UNA ONDA SINUSOIDAL EN EL INSTANTE t = 0
� � !"# (2%&λ
)
(2) � � !"# 2%λ�& * +,�
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Estas ecuaciones representarán la onda de la figura 12, si la curva se inicia en
los instantes t = T/4 o t = T/2, respectivamente, en lugar de t = 0. Un haz luminoso al cual le sean aplicables las ecuaciones anteriores, tiene las
siguientes características: a) es perfectamente paralelo; b) es absolutamente
monocromático, por tener una longitud de onda perfectamente definida; c)
está polarizado linealmente, puesto que las vibraciones se producen en un
plano único que pasa por la dirección de propagación. Este tipo de luz es una
idealización imposible de realizar en la práctica, especialmente en lo que se refiere a su
carácter monocromático. No obstante, en muchos casos se obtiene una aproximación bastante
cercana a esta idealización.
Fase y Diferencia de Fase:
En una onda plana, el movimiento vibratorio de cualquier punto del sistema es
idéntico si se exceptúa su fase. Ésta está representada por la magnitud entre
paréntesis de la ecuación (3) y nos indica la fracción de vibración completa que
ha ejecutado la partícula en un instante dado.
En una vibración completa, la fase aumenta en 2π. Dando a t un valor
particular, vemos que la fase varía a lo largo de la onda proporcionalmente a x.
La diferencia de fase en cualquier instante entre dos partículas situadas en x2 y
x1, es:
en donde ∆ se llama diferencia de camino.
El valor absoluto de la fase es imposible de medir en la práctica, máxime en el
caso de la luz, pero tampoco resulta necesario. Lo que tiene importancia es la
diferencia de fase, la cual puede medirse con gran precisión.
Si un haz de luz monocromática es dividido en otros dos mediante reflexión
parcial (o cualquier otro método) y luego de efectuar distintos recorridos se les
δ = . (&� − &/) = (2πλ
)∆
(3)
� = 01! (ω, – .&) � = !"# (ω, – .&)
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hace coincidir en un punto (superponiéndolos), la intensidad luminosa resultante
depende en gran parte de la diferencia de fase exacta entre ambos trenes de
ondas. Esta diferencia está determinada por las distancias recorridas por cada
una de las ondas. La designación “diferencia de camino ∆”, indica que lo que
interesa es la diferencia entre dos ondas separadas y no entre dos puntos de
una misma onda.
En el caso descripto, puede ocurrir que las trayectorias de las ondas se realicen
en sustancias en las cuales la velocidad de la luz difiera de la que tiene en el
vacío (o en el aire). Para calcular en este caso diferencias de fase, no se utiliza el
recorrido geométrico real sino el camino óptico, que es el “producto de la
distancia por el índice de refracción n de la sustancia” (esto deriva de que la
velocidad de la luz es 1/n veces menor en el medio más denso).
En consecuencia, si se desea obtener el camino equivalente en el vacío, o sea
la distancia que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo, se utilizará el
camino óptico en lugar del geométrico. Para ello se aplicará la siguiente
expresión:
Las sumatorias representan los caminos ópticos totales de los dos haces
luminosos anteriormente mencionados.
Velocidad de Fase o de Onda:
La velocidad con que se desplaza la cresta de una onda se suele denominar
velocidad de onda, aunque a veces se utiliza el término más preciso de
velocidad de fase. Esta magnitud es idéntica a la velocidad v vista en las
ecuaciones anteriores (v = λ/T = f λ) y se demuestra calculando la derivada de
x respecto al tiempo, con la condición de fase constante. Usando la expresión
de la fase en la ecuación (3), dicha condición se convierte en:
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ωt – kx = constante y la velocidad de onda es:
Sustituyendo ω = 2πf y k = 2π/λ , se obtiene la ecuación v = f λ . Para una onda que se desplaza hacia las x negativas, la fase constante toma la
forma ωt + kx y entonces + = − ω/. . El coeficiente ω/. para un tipo dado de ondas depende de las propiedades
físicas del medio en que éstas se desplazan y, en general, también de la
misma pulsación ω.
En las ondas elásticas transversales, la velocidad de la onda es independiente de la frecuencia
y viene dada por: + = BC D⁄ (siendo N el módulo de rigidez y ρ la densidad).
Por el hecho de poder polarizarse, se sabe que las ondas luminosas son transversales.
Además, las mediciones revelan que su velocidad en el vacío es aproximadamente de 300.000
km/s. Si se supone que son ondas elásticas (como se creía en el siglo XIX), se plantea la
cuestión de cuál es el medio en que se propagan. Dado que la velocidad es tan grande, la
ecuación anterior requeriría que el cociente entre la rigidez y la densidad fuera también muy
grande. En la primitiva “Teoría del Sólido Elástico”, se supuso la existencia de un medio con
ésas propiedades llamado “éter”. Esta hipótesis tenía muchas objeciones; por ejemplo, si su
rigidez era tan elevada debía tener gran resistencia a las deformaciones, pero no se detectaba
que el éter produjera efecto alguno en el movimiento de los cuerpos celestes.
Todas las dificultades desaparecieron al desarrollar Maxwell la Teoría Electromagnética de la
Luz, en la cual se reemplaza el desplazamiento mecánico de un elemento del medio por la
variación de un campo eléctrico en el punto correspondiente.
Hay un gran paralelismo entre ambas teorías. La primera consiguió explicar importantes
propiedades de la luz y gran parte de su formulación matemática inicial pudo ponerse sin
dificultad en términos electromagnéticos. Por lo tanto, con frecuencia hallamos analogías
mecánicas útiles para comprender el comportamiento de la luz.
Amplitud e Intensidad:
Se denomina intensidad de una onda a la “cantidad de energía que fluye, en la
unidad de tiempo, a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de
propagación”.
+ = 6&6, = ω. (5)
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Si la onda fluye continuamente con velocidad v, existe una densidad de
energía definida o energía total por unidad de volumen. Toda la energía
contenida en una columna del medio de sección unidad y longitud v, pasará
por la unidad de área en un segundo. Por lo tanto, la intensidad es igual al
“producto de v por la densidad de energía”.
Tanto la intensidad como la densidad de energía son proporcionales al
cuadrado de la amplitud y la frecuencia. Para demostrar esto en el caso de
ondas sinusoidales en un medio elástico, basta con determinar la energía
vibratoria de una sola partícula que efectúa un movimiento armónico simple.
Consideremos por ejemplo una partícula en el punto P de la figura 12. En esta
posición está moviéndose hacia arriba y posee simultáneamente energía
cinética y potencial. En la posición P´, tendrá energía cinética nula y energía
potencial máxima. Al descender, ganará energía cinética y perderá energía
potencial, de modo que su energía total permanezca constante. En la posición
P´´, toda su energía será cinética. Podemos por lo tanto calcular su energía
total como la potencial máxima que tiene en P´ o como la cinética máxima que
tiene en P´´. Adoptamos esta última por ser la más sencilla.
De acuerdo con la ecuación (3), el desplazamiento de una partícula varía con el
tiempo según la relación:
Su velocidad es:
Cuando y = 0, el seno se anula y el coseno es máximo. En este caso, la
velocidad máxima es ω a. La energía cinética máxima será entonces:
½ > + KáL� = ½ > ω� �
Como ésta es también la energía total de la partícula y es proporcional a la
energía por unidad de volumen, concluimos que:
6�6, = ω 01! (ω, − α)
y = sen (ωt −−−− α) donde (α = kx)
la densidad de energía es proporcional a ωωωω2 a2 (6)
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La intensidad, que es v veces esta magnitud, será también proporcional a ω2 a2.
En las ondas esféricas, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia al manantial puntual (siempre que no haya conversión de energía en
otras formas, pasará la misma cantidad de energía por cualquier esfera cuyo centro esté en el
manantial). Como el área de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio,
la energía por unidad de área a una distancia r del manantial (o sea la intensidad)
variará como 1/r2. Por lo tanto, la amplitud variará como 1/r. Podemos
entonces escribir la ecuación de una onda esférica en la forma:
Si parte de la energía se transforma en calor, es decir, si hay absorción, la
amplitud e intensidad de las ondas planas no será constante, sino que
disminuirán a medida que avanzan en el medio. Análogamente, para las ondas
esféricas la pérdida de intensidad es más rápida que la requerida por la ley de
proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia.
En las ondas planas, la fracción dI/I de la pérdida de intensidad al atravesar un
espesor infinitesimal dx, es proporcional a dx :
Para obtener la pérdida total en un espesor finito x, integramos:
M 6NN
L
O = − P M 6&
L
O
Resolviendo estas integrales definidas, se obtiene:
Esta expresión se denomina ley exponencial de la absorción. En la figura 13 se
representa la intensidad de acuerdo con esta ley, en función del espesor de un
medio absorbente cuyo αααα = 0,4 cm−1. La intensidad de la luz solar es de
aproximadamente 1.400 W/m2. Pero no todo este flujo de energía afecta visualmente al ojo ni
la intensidad así definida corresponde necesariamente a la sensación de brillo; por ello, el flujo
de energía luminosa se expresa normalmente en otras unidades llamadas fotométricas. La
amplitud de un manantial de luz solar cuya intensidad es la anteriormente mencionada,
representa un campo eléctrico de 730 V/m junto con un campo magnético de 2,4 µT.
y = (a/r) sen (ω t − k r)
(7)
dI/I = − αααα dx
NL = NO "QRL (8)
figura 13
DISMINUCIÓN DE LA INTENSIDAD EN UN MEDIO ABSORBENTE
(índice de refracción) (9) λ
λK� 0+ � #
#6 � ( λλK
) 6 número de longitudes de onda en
dicha distancia, multiplicado por (10)
la longitud de onda en el vacío
figura 14
Las longitudes de onda del espectro visible (figura 14) están comprendidas entre 800 nm (rojo lejano) y 400 nm (violeta
extremo). La radiación cuya longitud es inferior a la visible se denomina ultravioleta y se extiende hasta los 5 nm. Entre esta longitud y 6 x 10−4 nm (1.000.000
de veces más pequeñaIque la longitud media de la
luz) se encuentran los rayos X. Aún más cortos que éstos son los rayos gamma, emitidos por las sustancias radiactivas. En el lado de las longitudes más largas del espectro visible está el infrarrojo, que empalma con las microondas con una longitud de onda de 6 x 105 nm (1.000 veces
más grande que la longitud media de la luz). Por debajo de éstas se encuentran las ondas de radio y televisión. Los límites de separación entre las distintas regiones del espectro son puramente formales y han sido fijados de manera aproximada, ya que las propiedades inherentes a dos regiones se superponen. La radiación visible (luz) cubre una fracción casi insignificante del intervalo total.
;´ � 0 � Sλ
� ; T1 �S0U
EJEMPLO DE UN PAQUETE DE ONDAS figura 15
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Cuanto mayor sea el número N de ondas del grupo, menor será la dispersión
∆λ. Se demuestra que ∆λ/λ0 es aproximadamente igual a 1/N. Por lo tanto,
sólo cuando N es muy grande puede considerarse que la onda tiene una
longitud definida con precisión.
Si el medio en el cual se desplaza el paquete es tal que la velocidad depende
de la frecuencia, se observa que las crestas de las ondas se desplazan con
velocidad diferente a la del paquete en conjunto (el cual se extiende a medida
que avanza). Nos encontramos por lo tanto con dos velocidades: la de onda (o
de fase) y la de grupo.
En los manantiales luminosos, los átomos radiantes emiten trenes de onda de
longitud finita. Corrientemente, a causa de las colisiones y de otros debilita-
mientos, tales paquetes son muy cortos. De acuerdo con lo anteriormente
mencionado, deducimos que las rayas del espectro no son muy estrechas, sino
que tienen una anchura apreciable ∆λ. Midiendo esta anchura podemos saber
la longitud media de los paquetes de ondas.
Ejercicio Nº 1: Demostrar, utilizando la ecuación + = V W = V;⁄ , que la fase de una onda sinusoidal puede expresarse en las siguientes formas:
a) � XY T, − L
ZU ; b) 2% T[Y − L
\U ; c) 2%; T, − LZU
] = 2%; ; . = �X\
a) � XY , − �X
YZ & = 2%;, − �X\ & = (], − .&)
b) � XY , − �X
\ & = 2%;, − �X\ & = (], − .&)
c) 2%;, − �X_Z & = 2%;, − �X
\ & = (], − .&)
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Ejercicio Nº 2: Representar una onda sinusoidal de v = 20 cm/s, λ = 15 cm y a = 5
cm, como función de x en el instante t = 0. Suponer que en dicho instante la elongación de la partícula es máxima en el origen.
� = 0,05 01! (], − .&) [m]
+ = V; → ; = +V = 0,2
0,15 = 1,3333 … g"<,h
] = 2%; = 8,377 < 6 !⁄
. = 2%V = 41,8879 < 6 >⁄
� = 0,05 cos (8,377 , − 41,8879 &) [>]
? < , = 0 "! → � = 0,05 cos (−41,8879 &) [>]
Para representar gráficamente la onda, necesitamos saber los valores x para los cuales y = 0 :
0,05 cos (−41,8879 &) = 0
Debe ser ⇒ (−41,8879 &) = a) ± X� ; b) ± 3 X
� ; c) ± 5 X� ; d) ± 7 X
� ; …..
a) x = 0,0375 m = 3,75 cm
b) x = 0,1125 m = 11,25 cm
c) x = 0,1875 m = 18,75 cm
d) x = 0,2625 m = 26,25 cm
Ejercicio Nº 3: Una onda está representada por y = 10 sen (6 t ─ 0,5 x), donde x e y están en cm y t en segundos. Hallar la velocidad y la aceleración de una partícula a 3 cm del origen para t = 24 segundos.
Para x = 3 cm :
y = 10 sen (6 t ─ 1,5) [cm] v = (dy/dt) = 6 x 10 cos (6 t ─ 1,5) [cm/s] a = (dv/dt) = ─ 6 x 60 sen (6 t ─ 1,5) [cm/s2) Para t = 24 s : v = 60 cos (6 x 24 ─ 1,5) = 60 cos 142,5 rad = 60 cos 4,27 rad = ─ 25,7 cm/s
no p n
o
q no
r no
0,05
-0,05
(t = 0)(t = 0)(t = 0)(t = 0) y [m]y [m]y [m]y [m]
x [m]x [m]x [m]x [m]
(∗)
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a = ─ 360 sen 4,27 rad = 325,3 cm/s2 y = 10 sen 4,27 rad = ─ 9,04 cm
/s�,t uvw� X uvw/Zxyz[v = 22,68 vueltas
0,68 vuelta x 2 π rad/vuelta = 4,27 rad
Ejercicio Nº 4: Ondas esféricas procedentes de un manantial puntual producen el movimiento y = 4,2 cos 6 t [mm] a 3 m del manantial. Hállese la ecuación de tales ondas, así como la que describe el movimiento a 50 cm del manantial.
La ecuación de una onda esférica es: y = {| sen (ωt ─ k r), donde a es la amplitud a la
unidad de distancia del manantial (r = 1 mm). Luego: {| = 4,2 mm
Cuando r = 3.000 mm ⇒⇒⇒⇒ {
}.OOO = 4,2 ⇒⇒⇒⇒ a = 12.600 mm2
Luego: y = /�.~OO
| sen (6 t ─ k r) [mm]
La amplitud para la ecuación del movimiento a 500 mm del manantial es: /�.~OO
tOO = 25,2 mm ⇒⇒⇒⇒ Finalmente: y = 25,2 cos 6 t [mm]
Ejercicio Nº 5: Ondas planas sinusoidales que tienen una longitud de onda de 62 cm, se propagan en un cierto medio. En un instante dado, una de las partículas tiene una elongación creciente de + 2,6 mm. Hallar: a) la amplitud de la onda si la fase de la partícula en dicho instante es 72º, siendo la fase nula cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio moviéndose en sentido positivo; b) la elongación y la fase de otra partícula situada a 19 cm de la anterior, contados en el sentido de la propagación.
a) y = a sen (ωt ─ k x)
2,6 mm = a sen 72º = a . 0,951056 ⇒⇒⇒⇒ a = 2,73 mm
