TEMA I.2Movimiento Ondulatorio Simple
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato
DA-UG (Mexico)
Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA I.2: Movimiento Ondulatorio Simple J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 24
Velocidad de las ondas
Una propiedad general del movimiento ondulatorio simple o de las ondas,es que su velocidad depende de las propiedades del medio y que esindependiente del movimiento de la fuente de las ondas. Por ejemplo, lavelocidad del sonido de la bocina de un coche depende solo de laspropiedades del aire y no del movimiento del coche.
En el caso de los pulsos de onda en una cuerda, es facil demostrar quecuando mayor es la tension, mas rapidamente se propagan las ondas.Ademas, las ondas se propagan mas rapidamente en una cuerda ligera queen una cuerda pesada bajo la misma tension. Veremos posteriormente quesi FT (usamos FT para designar la tension porque reservamos T para elperiodo) es la tension y µ la densidad de masa lineal (masa por unidad delongitud), la velocidad de la onda es
ν =
√FTµ
(I.2.1)
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Velocidad de la onda en una cuerda
Ejemplo: El gusano que corre para salvar la vida.
Un gusano esta a 2.5 cm del extremo de la cuerda de un tendedero cuandoalguien lo ve y da un golpe a la cuerda de modo que por esta se propagaun pulso de 3 cm de altura que se dirige hacia el animal. Si el gusano semueve a 2.54 cm/s, ¿llegara al extremo de la cuerda antes que le alcanceel movimiento generado? La cuerda tiene 25 m de largo y una masa de0.25 kg y se mantiene gracias a un peso de 10 kg que cuelga de ella. Estapersona se encuentra a una distancia de 5 m del extremo de la cuerdaopuesto a la posicion del gusano.
Planteamiento del problema: Hay que saber a que velocidad se muevela onda. Para ello usamos la formula ν =
√FT/µ.
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Velocidad de la onda en una cuerda
Solucion del problema:
1 La velocidad esta relacionada con al tension FT y la densidad demasa lineal µ
2 Calcular la densidad de masa lineal y la tension a partir de lainformacion recibida: µ = mC
L y FT = mg
3 Aplicar estos valores a la expresion de ν para calcular la velocidad:
ν =√
mg LmC
=√
(10 kg)(9.81m/s2)(25m)0.25 kg ; ν = 99.0 m/s
4 Usar esta velocidad para determinar el tiempo que tarda en recorrerlos 20 m que le separan del otro extremo de la cuerda. ∆t = ∆x
ν= 20m
99.0m/s = 0.202 s
5 Determinar el tiempo que interviene el gusano en moverse los 2.5 cmque le separan del extremo de la cuerda y, por lo tanto, de lasalvacion. ∆t = ∆x ′
ν′ = 2.5 cm2.54 cm/s = 0.984 s
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Velocidad de la onda en una cuerda
Ejercicio: Si se sustituye la masa de 10 kg por otra de 20 kg ¿cual sera lavelocidad de la onda en la cuerda?
Ejercicio: Demostrar que las unidades de√
FTµ son m/s cuando FT es
expresa en Newtons y µ en kg/m.
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Velocidad de la onda en una cuerda
Ejercicio: Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas semueven de abajo hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen mas rapidamente,mas lentamente o a la misma velocidad que las ondas que se mueven dearriba hacia abajo? Razonar la respuesta.
Ejercicio: El chasquido del latigo lo produce la velocidad de la punta querompe la barrera del sonido. Explicar como la forma del latigo hace posibleque la punta del mismo se mueva mucho mas rapido que la mano que lomueve.
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Velocidad de la onda en un fluido
En el caso de las ondas sonoras en un fluido como el aire o el agua, lavelocidad ν viene expresada por
ν =
√B
ρ(I.2.2)
en donde ρ es la densidad del medio (en equilibrio) y B el modulo decompresibilidad.
El modulo de compresibilidad es el cociente, con signo negativo, entre elcambio en la presion y el correspondiente cambio de volumen por unidadde volumen: B = − ∆P
∆V /V .
Comprobar las unidades de ν =√B/ρ.
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Velocidad de la onda en un fluido
Comparando las ecuaciones I.2.1 y I.2.2 puede verse que, en general, lavelocidad de las ondas dependen de una propiedad elastica del medio (latension en el caso de la onda de las cuerdas y el modulo de compresibilidadde las ondas sonoras) y de una propiedad inercial del mismo (la densidadde masa lineal o de la densidad de masa volumica).
Para las ondas sonoras en un gas, tal como el aire, el modulo decompresibilidad (este describe cambios en el volumen que ocurren atemperaturas constante) es proporcional a la presion, la cual a su vez esproporcional a la densidad ρ y a la temperatura absoluta T del gas. Larelacion B/ρ es por tanto, independiente de la densidad y simplementeproporcional a la temperatura absoluta T . Mas adelante demostraremosque en este caso, la ecuacion I.2.2 es equivalente a
ν =
√γRT
M(I.2.3)
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Velocidad del sonido en un gas
En la ecuacion I.2.3, T es la temperatura absoluta medida en kelvins (K )que esta relacionada con la temperatura Celsius, tC por
T = tC + 273 (I.2.4)
La constante γ depende del tipo de gas. Para moleculas diatomicas comoel O2 y N2, γ tiene el valor 1.4 y como el O2 y N2 constituyen el 98 % dela atmosfera, este es el valor que corresponde tambien al aire (paramoleculas monoatomicas como el He, el γ posee el valor 1.67). Laconstante R es la constante universal de los gases
R = 8.314 J/(mol · K ) (I.2.5)
y M la masa molar del gas (es decir, la masa de 1 mol del gas), que parael aire es
M = 29× 10−3 kg/mol
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Velocidad del sonido en un gas
Ejemplo: Velocidad del sonido en el aire.
Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 0 oC y (b) a 20 oC .
Planeacion del Problema:
1 Escribir la ecuacion I.2.3
2 Introducir los valores en la ecuacion y despejar la velocidad. νa = 331m/s
3 Calcular a 293 K o 20 oC . νb = 343 m/s.
Observacion: En este ejemplo vemos que la velocidad del sonido en el airees aproximadamente 340 m/s a temperaturas ordinarias.
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Velocidad del sonido en un gas
Ejercicio: Comprobar las unidades de ν =√
γRTM .
Ejercicio: Para el Helio ¿cual es la velocidad de las ondas sonoras a 20oC?
Ejercicio: Verdadero o FalsoLa velocidad del sonido a 20oC es el doble que a 5oC.
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La Ecuacion de Onda
Podemos aplicar las leyes de Newton a un segmento de cuerda paradeducir una ecuacion diferencial llamada ecuacion de onda que relacionalas derivadas espaciales de la funcion y(x , t) con sus derivadas temporales.La Figura I.2.1 muestra un segmento de una cuerda. Consideremos soloangulos pequenos θ1 y θ2. En este caso, la longitud del segmento esaproximadamente ∆x y su masa m = µ∆x (µ = m/∆x), en donde µ es lamasa de la cuerda por unidad de longitud. Primero demostraremos que,para desplazamientos verticales pequenos, la fuerza resultante horizontalsobre un segmento es cero y que la tension es uniforme y constante. Esdecir, ∑
Fx = FT2 cos(θ2)− FT1 cos(θ1) = 0
en donde θ1 y θ2 son los angulos indicados y FT es la tension en la cuerda.Como se supone que los angulos son pequenos, podemos aproximar cos(θ)por 1.
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La Ecuacion de Onda
Figura I.2.1: Segmento de una cuerda tensa utilizado para la deduccion de laecuacion de onda.
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La Ecuacion de Onda
Por lo tanto, la fuerza neta horizontal que actua sobre el segmento decuerda puede expresarse en la forma
Fx = FT2 − FT1 = 0
Con lo cual,FT2 = FT1 = FT
El segmento de cuerda se mueve verticalmente y la fuerza neta en estadireccion es
Fy = FT sen(θ2)− FT sen(θ1)
Se supone que los angulos son pequenos, por lo tanto se puede aproximarsen(θ) por tan(θ) para cada uno de ellos. En estas condiciones la fuerzavertical neta sobre el segmento de cuerda se escribe como
Fy = FT (sen(θ2)− sen(θ1)) ≈ FT (tan(θ2)− tan(θ1))
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La Ecuacion de Onda
La tangente del angulo formado por la cuerda con la horizontal es lapendiente de la curva formada por la cuerda. La pendiente S es la primeraderivada de y(x , t) respecto a x para t constante. Una derivada de unafuncion de dos variables respecto a una de ellas, manteniendo la otra, sedenomina una derivada parcial. La derivada parcial de y respecto a t sedescribe ∂y/∂x . Ası tenemos
S = tan(θ) =∂y
∂x
Por lo tanto,Fy = FT (S2 − S1) = FT∆S
donde S2 y S1 son las pendientes de ambos extremos del segmento decuerda y ∆S la variacion de la pendiente. Haciendo que esta fuerza netasea igual a la masa µ∆x multiplicada por la aceleracion ∂2y/∂t2, se tiene
FT∆S = ma = m∂2y
∂t2= µ∆x
∂2y
∂t2(I.2.6)
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La Ecuacion de Onda
o bien
FT∆S
∆x= µ
∂2y
∂t2(I.2.7)
En el limite ∆x → 0, tenemos
lım∆x→0
∆S
∆x=∂S
∂x=
∂
∂x
∂y
∂x=∂2y
∂x2
Ası pues, la ecuacion I.2.7 se reduce a
∂2y
∂x2=
µ
FT
∂2y
∂t2(I.2.8a)
La ecuacion I.2.8a es la ecuacion de onda para una cuerda tensa.
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La Ecuacion de Onda
Ahora demostraremos que la ecuacion de onda es satisfecha por cualquierfuncion de x − νt. Hagamos α = x − νt y consideremos cualquier funcionde onda
y = y(x − νt) = y(α)
La derivada de y respecto α la denominaremos y ′. Entonces, por la reglade la derivacion en cadena, tenemos
∂y
∂x=∂y
∂α
∂α
∂x= y ′
∂α
∂x
y∂y
∂t=∂y
∂α
∂α
∂t= y ′
∂α
∂t
Dado que ∂α∂x = ∂(x−νt)
∂x = 1 y ∂α∂t = ∂(x−νt)
∂t = −ν
Se obtiene ∂y∂x = y ′ y ∂y
∂t = −νy ′
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La Ecuacion de Onda
Tomando segundas derivadas, tenemos
∂2y
∂x2=
∂
∂x
∂y
∂x=
∂
∂xy ′ =
∂y ′
∂α
∂α
∂x= y ′′
∂α
∂x= y ′′
y∂2y
∂t2=
∂
∂t
∂y
∂t=
∂
∂t(−ν y ′) = −ν ∂y
′
∂t= −ν ∂y
′
∂α
∂α
∂t= +ν2y ′′
Ası pues,
∂2y
∂x2=
1
ν2
∂2y
∂t2(I.2.8b)
Comparando las ecuaciones I.2.8a y I.2.8b vemos que la velocidad depropagacion de la onda es 1/ν2 = µ/FT despejando, ν =
√FT/µ, que es
la ecuacion I.2.1.
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La Ecuacion de Onda
Ejercicio: Demostrar que la ecuacion de onda satisface la funcion x + ν t.
Hagamos α = x + ν t y consideremos cualquier funcion de onda
y = y(x + νt) = y(α)
La derivada de y respecto α la denominaremos y ′. Entonces, por la reglade la derivacion en cadena, tenemos
∂y
∂x=∂y
∂α
∂α
∂x= y ′
∂α
∂x
y∂y
∂t=∂y
∂α
∂α
∂t= y ′
∂α
∂t
Dado que ∂α∂x = ∂(x+νt)
∂x = 1 y ∂α∂t = ∂(x+νt)
∂t = ν
Se obtiene ∂y∂x = y ′ y ∂y
∂t = νy ′
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La Ecuacion de Onda
Tomando segundas derivadas, tenemos
∂2y
∂x2=
∂
∂x
∂y
∂x=
∂
∂xy ′ =
∂y ′
∂α
∂α
∂x= y ′′
∂α
∂x= y ′′
y∂2y
∂t2=
∂
∂t
∂y
∂t=
∂
∂t(ν y ′) = ν
∂y ′
∂t= ν
∂y ′
∂α
∂α
∂t= ν2y ′′
Ası pues,
∂2y
∂x2=
1
ν2
∂2y
∂t2(I.2.8b)
Comparando una ves mas las ecuaciones I.2.8a y I.2.8b vemos que lavelocidad de propagacion de la onda es 1/ν2 = µ/FT despejando, ν =√
FT/µ, que es la ecuacion I.2.1.
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La Ecuacion de Onda
Ejemplo: Funcion de onda armonica
En el apartado siguiente se define las ondas armonicas mediante la funcionde onda y(x , t) = A sen(κx − ωt), en donde ν = ω/κ.Demostrar, calculando explıcitamente las derivadas, que la funcion y(x , t)= A sen(κx − ωt) satisface la ecuacion I.2.8b
Planteamiento del problema:
1.- Calcular la primera y segunda derivada de y respecto a x
∂y
∂x=
∂
∂x[A sen(κx − ωt)]
= A cos(κx − ωt)∂(κx − ωt)
∂x= κA cos(κx − ωt)
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La Ecuacion de Onda
∂2y
∂x2=
∂
∂x
∂y
∂x=
∂
∂x[κA cos(κx − ωt)]
= −κA sen(κx − ωt)∂(κx − ωt)
∂x= −κ2A sen(κx − ωt)
2.- De igual modo, las dos derivadas parciales respecto al tiempo, t, son:
∂y
∂t=
∂
∂t[A sen(κx − ωt)]
= A cos(κx − ωt)∂(κx − ωt)
∂t= −ω A cos(κx − ωt)
∂2y
∂t2=
∂
∂t[−ωA cos(κx − ωt)]
= ω A sen(κx − ωt)∂(κx − ωt)
∂t
= −ω2A sen(κx − ωt)
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La Ecuacion de Onda
3.- Sustituyendo estos resultados en la ecuacion I.2.8b se obtiene:
−κ2A sen(κx − ωt) =1
ν2[−ω2A sen(κx − ωt)]
o bienA sen(κx − ωt) = (ω2/κ2)/ν2A sen(κx − ωt)
4.- Sustituyendo κ utilizando ν = ω/κ se obtiene:
A sen(κx − ωt) = ν2/ν2A sen(κx − ωt) = A sen(κx − ωt)
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La Ecuacion de Onda
Observacion: Hemos demostrado que la funcion y = A sen(κx − ωt) esuna solucion a la ecuacion de onda si ν = ω/κ.
Ejercicio: Demostrar que cualquier funcion y = A sen(κx + ωt) estambien una solucion a la ecuacion de onda si ν = ω/κ.
Ejercicio: Demostrar que cualquier funcion y = A sen(κx) cos(ωt) estambien una solucion a la ecuacion de onda si ν = ω/κ.
Utilizando las leyes de Newton puede deducirse tambien una ecuacion deonda para las ondas sonoras. En una dimension esta ecuacion es
∂2s
∂x2=
1
ν2s
∂2s
∂t2
donde s es el desplazamiento del medio en la direccion x y νs es lavelocidad del sonido.
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