Los principales objetivos de los capıtulos dedicados a la Mecanica Clasica fueron como
predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posicion)
y las fuerzas que actuan sobre el. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al
desplazamiento del cuerpo desde su posicion de equilibrio. Si dicha fuerza siempre esta dirigida
hacia la posicion de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento
periodico u oscilatorio. En Fısica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos
de este tipo de movimiento y de ahı la importancia de su estudio:
los latidos del corazon
el movimiento del pendulo de un reloj
la vibracion de las moleculas de un solido alrededor de sus posiciones de equilibrio
la corriente electrica que circula por el filamento de una bombilla
las vibraciones de las cuerdas de un violın.
El movimiento oscilatorio esta intrınsecamente relacionado con los fenomenos ondulatorios.
Cuando vibra la cuerda de un violın se producen oscilaciones de las moleculas del aire que lo
rodea y, por el contacto o interaccion entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el
espacio en forma de onda. El ejemplo mas sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado
movimiento armonico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente
entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energıa mecanica. Ademas de ser el tipo de movi-
miento oscilatorio mas facil de describir matematicamente, constituye una buena aproximacion
a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.
2. Movimiento oscilatorio
2.1. Cinematica del movimiento armonico simple
Se dice que una partıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armonico
simple cuando su desplazamiento respecto a su posicion de equilibrio varıa con el tiempo de
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 4
acuerdo con la relacion 1:
x(t) = A cos(ωt+ δ),
donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2. La representacion grafica de x = x(t) tiene
esta forma:
t
ωt= π/2
ωt=3 π/2ωt= π
ωt=2 π
T
A
x
Conceptos basicos en la descripcion de este tipo de movimiento son los siguientes:
A: Amplitud −→ maximo desplazamiento de la partıcula (negativo o positivo) respecto
de su posicion de equilibrio.
δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del
movimiento. Se determina, como veremos mas adelante, a partir de la posicion y velocidad
iniciales.
ωt+ δ: Fase.
T : Periodo. Es el tiempo que necesita la partıcula para realizar un ciclo completo de su
movimiento. Es decir, x(t) = x(t+ T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π.
ω(t+ T ) + δ = ωt+ δ + 2π −→ ωT = 2π −→ ω =2π
To T =
2π
ω.
ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).
f = 1/T : Frecuencia −→ numero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la
partıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s o herzios (Hz).
1Conviene recordar que las funciones senx y cosx son periodicas: sen(x+2nπ) = senx; cos(x+2nπ) = cosx.Por lo que, como veremos mas adelante esta funcion para x(t) representa un movimiento periodico en el tiempo.
2Sabiendo que cosx = sen(x+π/2), se puede definir un MAS alternativamente segun x(t) = Asen(ωt+ δ+π/2) ≡ Asen(ωt+ δ′).
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 5
t
x(t)
t
v(t)
t
a(t)
-A
-ωA
-ω A2
δ=0
La velocidad y la aceleracion de una partıcula que realiza un MAS se obtienen sin mas que
derivar su posicion en funcion del tiempo:
v(t) =dx
dt= −ωA sen(ωt+ δ) (1)
a(t) =dv
dt= −ω2A cos(ωt+ δ) = −ω2x(t). (2)
v(t) y a(t) son tambien funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente
amplitud y desfase:
Amplitudes :
x −→ xmax = A
v −→ vmax = ωA
a −→ amax = ω2A
Desfases :
{x− v −→ π/2
x− a −→ π
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 6
La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones
Con esto podemos concluir que siempre que sobre una partıcula actue una fuerza proporcional
a su desplazamiento y en sentido opuesto a este, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del
desplazamiento son: T =
2π
ω= 2π
(mk
)1/2f =
1
T=
1
2π
(k
m
)1/2
T y f solo dependen de la masa y de la construccion del resorte. La frecuencia es mayor
para un resorte duro y al contrario.
2.3. Energıa de un oscilador armonico simple
En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su
energıa potencial viene dada por:
U(x) =1
2kx2.
La energıa total del sistema sera:
E = Ec + U =1
2mv2 +
1
2kx2.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 8
Por el principio de conservacion de la energıa, E debe ser una constante del movimiento (si
despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir
el punto mas comodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongacion es maxima y la
velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria:
x = A cos(ωt+ δ) −→ x = A
v = −Aω sen(ωt+ δ) −→ v = 0.
t
U(t)
E (t)c
E=cte.
En ese punto:
E =1
2kA2.
Esta es la energıa de un MAS. Como vemos solo depende de la amplitud del movimiento y de
la constante del muelle. Como la energıa mecanica es constante es instructivo representar como
se compensan Ec y U en un diagrama de energıas frente al tiempo (en la figura se ha elegido
δ = 0).
U =1
2kx2 =
1
2kA2 cos2(ωt+ δ)
Ec =1
2mω2A2 sen2(ωt+ δ) =
1
2kA2 sen2(ωt+ δ).
La energıa cinetica tambien se puede expresar en terminos de la posicion:
Ec = E − 1
2kx2 =
1
2k(A2 − x2),
que es la ecuacion de una parabola invertida y centrada en x = 0.
Ec =1
2mv2 =
1
2k(A2 − x2) −→ v =
[k
m(A2 − x2)
]1/2.
De esta ecuacion se deduce inmediatamente que la velocidad es maxima en x = 0 y que se
anula en los puntos de maxima elongacion: x = ±A.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 9
A-A
E
E (x)cU(x)
x
2.4. Ejemplos de movimiento armonico simple
2.4.1. Pendulo simple
El pendulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, `,
inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a
una posicion fija. Demostraremos que el pendulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente
de su posicion vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay
rozamientos.
P
T
θ
θs
l
m
La fuerza en la direccion tangente al movimiento viene dada por:
ft = −mg sen θ = md2s
dt2−→ d2s
dt2= `
d2θ
dt2= −g sen θ
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 10
=⇒ d2θ
dt2= −g
`sen θ.
Si θ es suficientemente pequeno se puede hacer la aproximacion, sen θ ' θ. Esto se debe a
que haciendo un desarrollo en serie de la funcion senx, y cortandolo en el primer termino, la
diferencia entre x y sen x solo es de un 1 % cuando θ ∼ 15o.
Luego si el pendulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuacion de movimiento angular
es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt+ δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son:
ω =(g`
)1/2; T =
2π
ω= 2π
(`
g
)1/2
.
Ambos parametros solo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los pendulos de igual
longitud oscilaran del mismo modo.
El pendulo simple suele utilizarse en la practica para gran cantidad de aplicaciones que se
podrıan dividir en dos bloques:
medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de ` por las
condiciones termodinamicas o de g por la latitud o altitud) y es facil visualizar el numero
de oscilaciones.
medir g −→ las medidas de g con este metodo son bastante precisas, lo que es importan-
te porque cambios locales de g pueden dar informacion valiosa sobre la localizacion de
recursos minerales o energeticos.
2.4.2. Pendulo fısico
Cualquier solido rıgido colgado de algun punto que no sea su centro de masas oscilara cuando
se desplace de su posicion de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de pendulo fısico o
compuesto.
El momento del peso respecto al eje de giro sera τ = mgh senφ y la segunda ley de Newton
para la rotacion se expresara,
τ = Iα = Id2φ
dt2.
El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el angulo φ por lo que:
−mgh senφ = Id2φ
dt2−→ d2φ
dt2= −mgh
Isenφ.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 11
Para un pendulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado
anterior. Cuando los desplazamientos angulares son pequenos senφ ' φ y
d2φ
dt2= −mgh
Iφ = −ω2φ donde ω =
(mgh
I
)1/2
y T = 2π
(I
mgh
)1/2
.
Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de solidos rıgidos.
φ
h sen φ c.m.
P
eje de
giro
m, I
z
h
2.5. Movimiento armonico amortiguado
Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas
ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la accion de una fuerza lineal opuesta al despla-
zamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre estan presentes fuerzas disipativas que
hacen que la energıa mecanica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el
movimiento armonico esta amortiguado.
Un tipo habitual de fuerzas de friccion son las proporcionales a la velocidad fr = −bv. La
ecuacion de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento serıa:
md2x
dt2= −kx− bv.
Un ejemplo fısico de esta situacion serıa un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la
ecuacion diferencial anterior se puede obtener que su solucion es de la forma,
x(t) = Ae−b
2mt cos(ωt+ δ),
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 12
donde la frecuencia viene dada por:
ω =
[k
m−(
b
2m
)2]1/2
.
Evidentemente en el lımite b = 0 se recupera la solucion de un MAS. Exceptuando la expo-
nencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una
frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, ademas, el factor exponencial hace que
la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es pequeno la
ecuacion anterior da como solucion una funcion de la siguiente forma:
t
x
A Ae-(b/2m) t
x(t)
Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matematicamente se produce cuando (b/2m)2 <
k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2 > k/m], ni siquiera se producen os-
cilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la solucion matematica es:
x(t) = e−b
2mt(Aeωt +Be−ωt
)x
t
crítico
sobreamortiguado
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 13
Existe ademas el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situacion, ademas de no
haber oscilaciones la caıda de la amplitud es mas rapida que en el caso sobreamortiguado. Se
dice que el amortiguamiento es crıtico. Matematicamente la solucion es de la forma:
x(t) = e−ωt(A+Bt) con ω =
√k
m.
2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias
Es posible compensar la perdida de energıa de un oscilador amortiguado aplicando una
fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un nino en un columpio para mantenerse
en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las
fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una
fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso mas comun las
fuerzas aplicadas son periodicas , por ejemplo de la forma,
f = f0 cosω0t.
La ecuacion de movimiento ahora sera:
md2x
dt2= f0 cosω0t− b
dx
dt− kx.
La solucion de esta ecuacion consta de dos partes, la solucion transitoria y la solucion estaciona-
ria. La transitoria es analoga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de
las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa
hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto
tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la solucion de la ecuacion es estacionaria, ya
no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir ası,
x(t) = A cos(ω0t− δ),
donde ω = (k/m)1/2, ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:A =
f0
[m2(ω20 − ω2)2 + b2ω2]
1/2
tan δ =bω
m(ω20 − ω2)
Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es
fija y variamos la externa, se obtiene una figura ası para la amplitud A:
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 14
A
ω0ω = ω0
A =f /bω0máx 0
El drastico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina re-
sonancia. Fısicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del
oscilador estan en fase. Entonces como P = ~f.~v, la potencia transferida es maxima. Ejemplos
de situaciones con resonancia son los siguientes:
Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para
repetir los impulsos con esa frecuencia.
Cuando un peloton de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la
frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente.
Un vaso se puede romper si se emite cerca de el un sonido de frecuencia parecida a su
frecuencia de resonancia.
Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibracion similar
a la de su resonancia.
Sintonizar un aparato de radio o TV no es mas que buscar la frecuencia con que emite la
fuente para que coincida en resonancia con la del circuito electrico del receptor.
3. Movimiento ondulatorio
3.1. Conceptos basicos y tipos de ondas
El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energıa y cantidad
de movimiento de una region a otra del espacio sin que tenga lugar ningun transporte neto de
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 15
materia.
En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas
en dos grandes grupos:
} Ondas mecanicas : En este caso las ondas se originan mediante una perturbacion en el
espacio que se propaga a traves de un medio material debido a sus propiedades elasticas.
Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las moleculas de
aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en
una cuerda, ondas sısmicas, etc.
} Ondas electromagneticas : Estas ondas no necesitan de ningun medio material para propa-
garse. Pueden hacerlo en el vacıo. La energıa y el momento son transportados por campos
electricos y magneticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas
ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o television, las ondas de telefonıa
movil, los rayos X, etc.
Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras . Sin embargo, hay
otro tipo de ondas (que estudiaremos mas adelante con detalle) que se denominan estacionarias
y que estan confinadas en una determinada region del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda
de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la region entre los extremos de la cuerda.
Para una onda estacionaria, la energıa que lleva asociada permanece acotada en una cierta
region del espacio.
Cuando una onda se propaga a traves de un medio, las partıculas de este no acompanan su
movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento
de una onda hemos de distinguir dos aspectos:
� el movimiento de la onda a traves del medio
� el movimiento oscilatorio de las propias partıculas del medio.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 16
x
x
x
y
y
y
propagación
oscilación
Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relacion entre la direccion de propa-
gacion y la direccion en que vibran las partıculas del medio.
• Ondas transversales son aquellas en que las partıculas oscilan perpendicularmente a la
direccion de propagacion de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejem-
plos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba
y abajo uno de sus extremos.3
• Ondas longitudinales son aquellas en que las partıculas oscilan en la misma direccion en
que se propaga la onda.
3Las ondas electromagneticas tambien son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ningunavibracion de las partıculas del medio, sino que son los propios campos electrico y magnetico los que vibranperpendicularmente entre sı y a la direccion de propagacion.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 17
propagación
oscilación
Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un mue-
lle situado horizontalmente. La compresion entre las espiras del muelle, se transmite a
traves de el debido a sus propiedades elasticas y pinzamiento y direccion de propagacion
coinciden. Las ondas sonoras tambien son ondas longitudinales. Se pueden entender como
perturbaciones de la posicion de las partıculas del medio (aire) que se propagan por las
interacciones entre unas y otras.
En este tema nos ocuparemos unicamente de ondas mecanicas. Estas ondas requieren tres
elementos basicos:
a) Alguna fuente que produzca la perturbacion.
b) Un medio que se pueda perturbar.
c) Un mecanismo fısico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar
la perturbacion.
Conceptos basicos en cualquier tipo de ondas:
∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante estan a la misma
distancia de su posicion de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que
vibran del mismo modo).
∗ Frecuencia: numero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbacion.
∗ Velocidad de propagacion: velocidad con que se transmite la perturbacion.
∗ Amplitud: maxima separacion de un punto respecto a su posicion de equilibrio.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 18
3.2. Pulsos unidimensionales
Un pulso es una onda de extension relativamente corta, interesante desde el punto de vista
teorico porque permite visualizar el comportamiento generico de cualquier onda. Matematica-
mente, un pulso se puede representar como una cierta funcion, y = f(x), que se mueve con una
cierta velocidad.
Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando
el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de
tiempo.
propagación
Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial,
la curva f(x) se movera con la velocidad de propagacion del pulso, v. Es decir, matematicamente
un pulso que se desplaza hacia la derecha sera una funcion:
y = f(x− vt),
y si se mueve hacia la izquierda:
y = f(x+ vt).
La forma funcional f(x ± vt) se denomina funcion de ondas. De otro modo: y = y(x, t) =
f(x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con
que vibran las partıculas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar
velocidad de fase y se obtiene como:
v =dx
dt.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 19
y=f(x)
y
x
y=f(x')=f(x-vt)
y
x'
vt
O
y'
O'O
xx'
t = 0 t
3.3. Ondas armonicas
Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un
tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier
instante de tiempo es una funcion senoidal y ademas se propaga con una cierta velocidad. Este
tipo de onda, que tiene como origen una perturbacion de tipo armonico simple, se denomina
onda armonica.
En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:
y = A sen
(2π
λx
).
~ Amplitud: Maximo desplazamiento respecto a la posicion de equilibrio
~ Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos
adyacentes con la misma fase.
y(x) = y(x+ nλ), n = 1, 2, 3, . . .
porque:
y(x+ nλ) = A sen
[2π
λ(x+ nλ)
]= A sen
(2πx
λ+ 2nπ
)= y(x).
Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la
funcion de onda sera:
y(x, t) = A sen
[2π
λ(x− vt)
].
Si la onda viaja hacia la izquierda, serıa:
y(x, t) = A sen
[2π
λ(x+ vt)
].
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 20
~ Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina
periodo:
v =λ
T.
y
x
t=0t
vt
y
x
λ
A
t = 0
t
Luego una manera alternativa de expresar la funcion de ondas es:
y(x, t) = A sen
[2π
(x
λ− t
T
)]Esta funcion muestra el caracter periodico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones
x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posicion dada, x, y toma el mismo valor en los
instantes: t, t + 2T , t + 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal
T . Matematicamente:
y(x, t) = y(x+ nλ, t) −→ λ periodicidad espacial
y(x, t) = y(x, t+ nT ) −→ T periodicidad temporal
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 21
Otras definiciones usuales son las siguientes:
k ≡ 2π
λ−→ numero de onda (1/m)
ω ≡ 2π
T−→ frecuencia angular (rad/s)
f ≡ 1
T−→ frecuencia (1/s=Hz) (herzio)
En terminos de algunos de estos parametros:
y(x, t) = A sen(kx− ωt),
y la velocidad se puede expresar:
v =ω
kv = λf.
Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x =
0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porque suceder.
Para ello matematicamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma
mas general de la funcion de ondas es:
y(x, t) = A sen(kx− ωt− δ).
El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales.
La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite
la onda y su aceleracion, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:
vy =∂y
∂t
)x=cte
= ωA cos(kx− ωt)
ay =∂2y
∂t2
)x=cte
= −ω2A sen(kx− ωt).
Los valores maximos son:
vy,max = ωA
ay,max = ω2A.
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 22
4. Problemas
1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a
las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encuentrese
el periodo y la frecuencia de vibracion cuando el automovil pasa por un bache llevando
en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg.
(Respuestas : T = 0,85 s; f = 1,18 Hz )
2. Una partıcula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo
efectua media vibracion. Calculense:
a) La ecuacion que rige el movimiento.
b) La fuerza que lo produce.
c) Los valores de la elongacion para los que sera maxima la velocidad.
d) Los valores de la elongacion para los que sera nula la aceleracion.
(Respuestas : a) x(t) = 5 cos πt; b) f = −mπ2x; c) x(vmax) = 0; d) x(a = 0) = 0)
3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de el se cuelga una masa de 50 g
queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula:
a) La constante de recuperacion del resorte.
b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa
de 90 g.
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la
trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm.
(Respuestas : a) k = 24,5 N/m; b) f = 2,63 Hz; c) W = 0,053 J)
4. El pendulo de un reloj de pared esta constituido por una varilla homogenea de 1 m
de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un pequeno cilindro macizo y
homogeneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calculese el radio que debe tener este
cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s.
(Respuestas : r = 5,11 cm)
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 23
5. Un anillo de 10 cm de radio esta suspendido de una varilla de modo que puede oscilar
libremente. Determina su periodo de oscilacion.
(Respuestas : T = 0,90 s)
6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una
bascula de masa 10 kg . El muelle de la bascula tiene una constante elastica de 8 kg/cm.
Suponiendo que despues del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calculense:
a) el desplazamiento maximo del plato de la bascula y b) la ecuacion del movimiento del
conjunto cuerpo-plato.
(Respuestas : y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.))
7. Por la garganta de una polea, cuya masaM puede considerarse concentrada en su periferia,
pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa
m y el otro extremo del hilo esta atado a un resorte vertical cuyo extremo esta fijo en el
suelo. Calcula el periodo para pequenas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g
; k = 1600 N/m.
(Respuestas : T = 0,16 s)
8. La funcion de ondas de una onda armonica que se propaga a traves de una cuerda es,
y(x, t) = 0,03 sen(2,2x− 3,5t)
en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, pe-
riodo, numero de ondas y velocidad de propagacion.
(Respuestas : A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s;
k = 2,2 m−1; v = 1,6 m/s)
9. Determina la ecuacion de una onda armonica que se propaga en el sentido negativo del
eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud.
Se sabe ademas que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posicion de
