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conception et réalisation d’un gyromètre à atomes froidsfondé sur l’effet Sagnac pour les ondes de matière

David Holleville

To cite this version:David Holleville. conception et réalisation d’un gyromètre à atomes froids fondé sur l’effet Sagnacpour les ondes de matière. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Paris Sud - Paris XI,2001. Français. tel-00001098

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ORSAY LABORATOIRE DE L’HORLOGE ATOMIQUEN° D’ORDRE :

Thèse présentée pour obtenir le grade de

Docteur en Sciencesde l’Université Paris XI

par

David HOLLEVILLE

Sujet :

CONCEPTION ET RÉALISATION D’UN GYROMÈTREÀ ATOMES FROIDS FONDÉ SUR L’EFFET SAGNAC POUR LES

ONDES DE MATIÈRES

Soutenue le 27 septembre 2001 devant le jury composé de :

MM. A. Aspect RapporteurJ. Vigué RapporteurJ.T. Audren ExaminateurCh. Bordé ExaminateurCh. Delsart ExaminateurN. Dimarcq Directeur de thèseE. Rasel Membre invité

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REMERCIEMENTS :

Mon travail de thèse s’est déroulé au Laboratoire de l’Horloge Atomique, situé sur lecampus de l’Université d’Orsay les trois premières années, puis sur le campus del’Observatoire de Paris la dernière année. Je remercie les directeurs successifs du LHAMichel DESAINTFUSCIEN et Michel GRANVAUD pour m’avoir accueilli et permis de travaillerdans de bonnes conditions, malgré les désagréments causés par le déménagement. A sonarrivée à Paris, le LHA a été intégré comme équipe du DANOF-UMR 8630. Je remercie sadirectrice, Nicole CAPITAINE pour sa disponibilité et son efficacité.

Je remercie chaleureusement les membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont porté à montravail, et plus particulièrement Christian DELSART pour avoir présidé ce jury. Un grand mercià Alain ASPECT et à Jacques VIGUÉ qui n’ont pas hésité une seconde à être rapporteurs decette thèse, malgré le travail que cela représente, et pour les précieuses remarques qu’ils ontapportées sur le manuscrit. Jean-Thierry AUDREN, Christian BORDÉ et Ernst M. RASEL m’ontfait le plaisir de participer à ce jury et je les en remercie sincèrement.

Le projet de gyromètre à atomes froids a été dirigé par Noël DIMARCQ avec qui j’ai eule bonheur de travailler. Il a su donner à ce projet l’impulsion nécessaire pour le fairedémarrer, puis pour le faire vivre auprès des différents organismes financiers (DGA, CNES,BNM). Il s’est investi sans compter dans la survie du LHA, afin que les doctorants et autrespersonnels puissent travailler correctement, et que le rapprochement avec le LPTF se fassedans les meilleures conditions possibles. Je le remercie profondément pour tout cela, le LHAlui doit énormément. Le côtoyer quotidiennement est un grand plaisir et travailler avec lui estun véritable enrichissement personnel. Il a su me stimuler et me motiver pour que, même dansles moments les plus difficiles, le travail soit toujours un plaisir. Sa conception de larecherche, pluridisciplinaire et technologique, est à l’origine de la plupart des astucestechniques du Gyro. Son enthousiasme, son dynamisme, son imagination débordante et sagentillesse n’ont toujours pas fini de m’impressionner, et je suis très fier d’être le premierdoctorant dont Noël soit officiellement le directeur de thèse.

J’ai eu la chance extrême de travailler trois années avec Pierre PETIT, avant qu’il neparte pour une retraite bien méritée. Concepteur de génie, personne ne connaît mieux le tubeGyro que lui. Il m’a initié aux techniques du vide, aux hyperfréquences, au magnétisme, à lamécanique, à la thermique, à la résistance des matériaux et à bien d’autres choses encore. Ilm’a également donné le goût de la technique et de la « belle mécanique ». Sa rigueur, saténacité et sa modestie restent pour moi un modèle. Si je peux dire que la thèse a été pour moiun lieu d’apprentissage, c’est en partie à lui que je le dois. Même si nous avons eu ensembledes moments parfois difficiles, travailler à ses côtés restera pour moi un grand souvenir,rempli à la fois de plaisir et de nostalgie.

L’équipe Gyro, c’est aussi Arnaud LANDRAGIN. Il a su s’intégrer dans l’équipeexistante, et c’est rapidement révélé comme une des pièces maîtresses. Expérimentateur horsdu commun, il possède une faculté à déterminer les problèmes et à concevoir les solutions, qui

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nous a tiré d’embarras bien des fois. Travailler à ces côtés a été pour moi un enrichissementformidable ; il a été une source intarissable de réponses à toutes les questions scientifiquesque je pouvais me poser, et même à celles que je ne me posais pas !

La présence d’André CLAIRON dans l’équipe a également été une grande chance pourmoi. Ses connaissances de la métrologie, des asservissements, des lasers, des matériaux et detout ce qui fait nos manips, semblent illimitées, et pour chaque problème qui s’est posé, Andréa toujours eu une solution à proposer.

J’ai eu la chance de travailler également avec Jérôme FILS. Sa double compétencethéorique / expérimentale a largement contribuée à l’avancement du gyro, et sa prise encharge de certaines parties de la manip a constitué un soutien important pour moi.

J’ai profité de la collaboration de Philippe BOUYER sur le projet. Son expérience sur legyromètre atomique américain a été pour nous d’un grand secours lors de la conception denotre appareil ; et son dynamisme et son enthousiasme au cours de nos réunions ont largementcontribuées à la stimulation du groupe.

Je ne pourrais assez remercier Christian BORDÉ, l’un des pères de l’interférométrieatomique, d’avoir bien voulu collaborer avec nous. Tous les outils et les formalismes qu’il adéveloppés depuis vingt ans se sont révélés irremplaçables pour la compréhension et l’analysede notre appareil. Son soutien à notre groupe face aux différents organismes de recherches atoujours été solide et déterminant, et son action auprès de la communauté scientifique et desorganismes financeurs est à l’origine de la notoriété du projet Gyro.

La famille Gyro s’agrandit encore avec l’arrivée d’un nouveau membre, FlorenceYVER. C’est avec enthousiasme que nous l’avions accueilli pour son stage de DEA sur lesbruits de phase des faisceaux Raman. C’est avec autant d’enthousiasme, mais avec laconfiance en plus, que nous l’accueillons maintenant pour une thèse sur le projet Gyro, et jelui souhaite autant de plaisir à faire fonctionner cet appareil, que j’en ai eu à le réaliser.

La conception et la réalisation du gyromètre ont demandé un énorme effort demécanique qui a été assuré de façon infaillible par les mécaniciens du LHA : DanielGUITARD et Jacques DUPONT. La dextérité et le savoir-faire de Daniel en font à mes yeux unvéritable artiste et un magicien qui m’a tiré d’embarras bien des fois pour un taraud cassé oupour un trou percé trop loin. Sa gentillesse et sa disponibilité mon permis de m’initier auxjoies de la réalisation mécanique et c’est toujours avec beaucoup de plaisir etd’émerveillement que je travaille avec lui, ou même que je le regarde juste travailler. Quant àJacques, sa présence rassurante et le travail de force qu’il a réalisé sur la mécanique du Gyroont été des ingrédients indispensables au bon déroulement de cette phase importante dans laréalisation de l’appareil.

Je remercie chaleureusement notre gestionnaire, Lina JEGAM-BOITIER pour tout letravail de l’ombre quelle effectue quotidiennement pour nous. Le code des marchés publicsest lourd, complexe, rigide et intransigeant, mais c’est toujours avec beaucoup de plaisir que

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je viens m’y confronter dans son bureau. Sans son efficacité et sa connaissance deslabyrinthes administratif et financier, le gyromètre ne serait toujours qu’un tas de devis etd’offre de prix en attente de « régularisation », de « passage de marché » ou de « mise encompétition ».

Ce projet de gyromètre à atomes froids a été supporté financièrement en grande partiepar la DGA. Je remercie Eric PLESKA pour avoir assuré l’interface entre le laboratoire et laDGA et de nous avoir permis ainsi de travailler dans de bonnes conditions.

Je remercie également le CNRS et le BNM pour le soutien financier qu’ils nous ontapporté.

La bourse BDI dont j’ai profité au cours de ma thèse a été cofinancée par SFIM-Industrie, puis par SAGEM. Je remercie mon « parrain SFIM », Jean-Thierry AUDREN quim’a fait confiance pour mener à bien ce projet. Ce cofinancement a constitué mon premiercontact avec le monde industriel, et J.T. AUDREN a été un interlocuteur disponible etcompréhensif. Même dans les périodes mouvementées de propriété industrielle, il a toujourssu rester franc avec le laboratoire et je l’en remercie.

La collaboration industrielle s’est poursuivie ensuite avec SAGEM. Grâce à PaulFEATONBY, notre interlocuteur SAGEM, cette collaboration a été fructueuse et enrichissantepour nous. Sa double expérience dans les domaines de la recherche puis de l’entreprise, lui apermis de nous sensibiliser en douceur, aux contraintes du monde industriel. Il a su gagnerma confiance totale, et c’est toujours avec un très grand plaisir que je participe aux réunionsde travail avec lui. Je remercie également Bernard BRUCHON et Jean-Michel CARON pourl’intérêt qu’ils portent au projet.

J’ai effectué mes premiers pas au LHA au cours de mon stage de DEA en été 1996,dans l’équipe Etalons Optiques. Je remercie sincèrement Marie HOUSSIN de m’y avoiraccueilli et pour sa gentillesse. J’ai eu la chance de travailler avec Bruno FERMIGIER, qui m’afait découvrir ce composant incroyable qu’est la diode laser, et surtout qui m’a initié aumontage des diodes laser en cavité étendue, élément indispensable d’un banc derefroidissement. Je le remercie pour sa simplicité et pour sa bonne humeur contagieuse.

Mon entrée dans le domaine des atomes froids a eu lieu pendant mon service militaireà l’IOTA en 96/97. Je remercie sincèrement Alain ASPECT de m’avoir accueilli pendant un andans son équipe. Cette année a été énormément enrichissante pour moi au niveau scientifique.J’ai eu la chance de travailler avec Laurent COGNET sur l’expérience de diffraction atomiquesur une onde évanescente. Il m’a fait partager son goût pour la physique expérimentale et m’aappris à appréhender efficacement ces dispositifs expérimentaux complexes que sont lesmanips à atomes froids. Son enthousiasme et sa perspicacité restent pour moi un exemple.Travailler aux côtés de Gabriel HORVATH a également été un grand plaisir et mes réalisationsinformatiques lui doivent beaucoup.

J’ai eu la chance d’effectuer un stage au DASGAL en 1995 avec mon quasihomonyme David HORVILLE, et c’est avec plaisir que j’ai retrouvé toute l’équipe lors du

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déménagement du LHA à l’observatoire de Paris. Je tiens à remercier plus particulièrementDavid HORVILLE pour nos nombreuses discussions dans les couloirs et pour nous avoir prêtél’analyseur de front d’onde Shack-Hartmann qui s’est révélé indispensable au réglage descollimateurs de refroidissement. Je remercie également Patrice BAROSO pour ces conseilsavisés sur le collage UV et pour les découpes d’optique qu’il a gentiment réalisées pour ladétection du Gyro. Plus généralement je remercie Françoise GEX pour sa bienveillance à monégard et l’ensemble de l’équipe du DASGAL pour leur gentillesse, leur disponibilité et lesnombreux services qu’ils nous ont rendus.

Pendant les deux dernières années de ma thèse, j’ai eu la possibilité d’encadrer destravaux pratiques d’optiques à l’Ecole Supérieure d’Optique. Je remercie le personnel desTPs pour m’avoir aidé et soutenu dans cette tâche. Le contrôle optique des hublots Raman aété réalisé grâce à l’interféromètre à décalage de phase Zygo des TPs et je remercie plusparticulièrement Gaëlle LUCAS-LECLIN, Thierry AVIGNON-VÉRITÉ, Lionel JACUBOVIEZ etMarie-Thérèse PLANTAGENEST pour m’avoir autorisé d’une part, et aidé d’autre part, à utilisercet appareil.

Je remercie de plus Catherine ARMELLIN, du service général d’optique de l’IOTA,pour avoir efficacement déterminé la combinaison optique des collimateurs derefroidissement, et l’atelier d’optique pour la découpe des lentilles cylindriques.

Je remercie sincèrement Pierre THEYSSANDIER et Peter WOLF pour les multiplesexplications théoriques qu’ils ont su m’apporter sur l’effet Sagnac et sur le lagrangien enphysique. Ils ont toujours été disponibles et surtout accessibles, pour un non relativiste commemoi. Le chapitre 3 leur doit énormément, et l’existence du chapitre 8 est liée en partie àl’intérêt qu’ils ont su susciter en moi pour les effets relativistes.

Je remercie également Pierre UHRICH pour avoir éclairer ma compréhension des bruitset des dérives.

L’ambiance au laboratoire a été pour moi un élément déterminant dans cette fin dethèse, et je ne pourrais remercier assez Virgile HERMANN et Luc CHASSAGNE, dont j’aipartagé le bureau, pour avoir su préserver malgré le stress ambiant, une atmosphèrechaleureuse, amicale et simulante. Virgile a été un soutien infaillible pendant toute cette thèseet il est certainement la seule personne en qui j’ai encore plus confiance qu’en moi-même.Son soutien logistique au moment de ma soutenance a été pour moi irremplaçable et m’apermis d’appréhender cette étape de la façon la plus sereine possible. Son organisation et sagestion des situations resteront des exemples (malheureusement inaccessibles) pour moi.Quant au Ptiluc, sa présence attachante a constitué un soutien important tout au long de cettethèse. Ses compétences en électronique ont été déterminantes notamment pour la modulationde diode à 4,6 GHz et ses connaissances générales en montage de manip m’ont permisd’éviter bien des erreurs. Durant la phase de rédaction, il a su m’extraire de mon travail auxbons moments et m’a ainsi permis de terminer en bonnes conditions physiques et morales.

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Je ne pourrais remercier assez Gaëlle qui ma prodigué un soutien indéfectible pendantces quatre années de thèse. Elle a toujours été là pour adoucir les moments les plus durs et asu, à chaque fois, me remotiver et me redonner espoir. L’intérêt qu’elle a porté àl’avancement des manips a été pour moi une source constante de stimulation, et ses multipleset incessantes relectures du manuscrit ont très largement participé à cette version finale.

Je remercie bien évidemment tous les thésards, stagiaires, scientifiques du contingentet post-doc que j’ai eu l’occasion de côtoyer pendant ces années de thèse, et qui ont contribuéà la bonne humeur générale. Je les cite en vrac, en espérant en oublier le moins possible :Emmanuel GUILLOT, Christelle GUILLEMOT, Paul-Eric POTTIE, Albane DOUILLET, To KAING,Sébastien BIZE, Yvan SORTAIS, Franck DUCOS, Shougang ZHANG, Michel ABGRALL, IrèneCOURTILLOT, Frédéric ALLARD, Florence YVER, Thomas ZANON, Audrey QUESSADA, CharlesANTOINE, Pascal, Valérie, Stéphanie, Karine, Julien …

Un énorme merci à tous le personnel du LHA qui m’a accueilli, m’a fait confiance etm’a toujours soutenu : Claude AUDOIN, Pierre CÉREZ, Geneviève THÉOBALD, MichèleFICHET, Pascale MICHEL, Roland BARILLET, Constance VALENTIN. Merci à tous le personneldu LPTF et en particulier à Catherine LAURENT, Annie GÉRARD et à l’équipe d’électroniciens(Gorgio SANTARELLI, Michel LOURS, Michel DEQUIN, Laurent VOLODIMER et Eric PIERRE)pour leur disponibilité et leur efficacité. Merci également aux différents services techniquesde l’Observatoire et surtout à J.P. AOUSTIN pour les dépannages imprévus en mécanique, et àMme KÉRIMIAN que j’ai eue si souvent au téléphone, pour sa gentillesse et son efficacité.

Je remercie chaleureusement Arnaud LANDRAGIN et Noël DIMARCQ pour la lecture dumanuscrit, et pour leurs commentaires et reproches éclairés. Un des objectifs de ce manuscritétait de présenter le travail de thèse de façon simple et surtout accessible par des nonspécialistes en interférométrie atomique. Je remercie sincèrement Gaëlle LUCAS-LECLIN etLuc CHASSAGNE pour avoir bien voulu jouer les rôles de candides. Leurs interrogations ontété à l’origine de la réécriture de plusieurs chapitres. Je remercie également Florence YVER,Jérôme FILS et Thomas ZANON pour la correction des diverses coquilles et autres fautesd’orthographe.

Je remercie bien sûr, ma famille et tous mes amis, qui m’ont soutenu pendant cesquatre années et surtout pendant les six derniers mois. Sans forcément comprendre, ils ontaccepté mes caprices, mes accès de mauvaise humeur et ma fatigue générale. Ils ont toujoursété là dans les moments de doute et de démotivation, et leur présence m’a donné l’impulsionnécessaire pour repartir et terminer ce travail.

Je sais ce que je leur dois, et je leur promets dorénavant, bonne humeur, dynamisme,attention et écoute :Julien et Laure, Julien et Valérie, Gaëlle, Nicolas, Anne, Jean-Baptiste et Annette, Mathieu etAnne, Laurence et Matthieu, Victor et Clément, Francine et Alain, Bruno, Ptiluc, Virgile etStéphanie, Jean-Pierre, Françoise et Fanny, Stéphane, Antoine et Sophie, Max, Xavier, Maud,Marie, Mathieu … et bien sûr mes parents, Mathilde, Isabelle et Bernard.

Que ceux que j’ai oubliés ici me pardonnent …

TABLE DES MATIERES

Chapitre 1 : INTRODUCTION

1.1 L'ATOME COMME APPAREIL DE MESURE 51.1.1 La mesure du temps 51.1.2 Les capteurs inertiels 6

1.1.2.1 Gravimètres et gradiomètres atomiques 61.1.2.2 Gyromètres atomiques 6

1.1.3 Intérêts des atomes froids 71.1.4 Des applications déjà envisagées 7

1.2 LE PROJET DE GYROMETRE A ATOMES FROIDS 81.3 PLAN DU MEMOIRE 9

Chapitre 2 : Caractérisation d'un capteur inertiel

2.1 RAPPEL DE MECANIQUE NEWTONIENNE 172.1.1 Notion de référentiel 172.1.2 L'inertie et le mouvement 19

2.1.2.1 Notion d'inertie et principe de Mach 192.1.2.2 Rappel sur la 2ième loi de Newton dans un repère non inertiel 20

2.1.2.3 Application du principe d'inertie aux senseurs inertiels 212.2 DESCRIPTION ET CARATERISATION D'UN CAPTEUR INERTIEL 24

2.2.1 Gyromètre, Gyroscope et Accéléromètre 242.2.2 Le modèle d'erreur 252.2.3 0K : Le facteur d'échelle 252.2.4 0B : Le biais 272.2.5 ( )tε~ : Le bruit limite en sortie 272.2.6 ( )tK et ( )tB : Les fluctuations du facteur d'échelle et du biais 272.2.7 Formes de bruits dans les capteurs inertiels optiques et mécaniques 282.2.8 Autres grandeurs importantes 322.2.9 Les unités 342.2.10 Caractérisation d'un capteur inertiel 352.2.11 Comparaison de deux capteurs inertiels 36

2.3 PERFORMANCES DES DIFFERENTS GYROSCOPES ET ... 362.3.1 Appareils industriels 372.3.2 Appareils de laboratoire 37

BIBLIOGRAPHIE 39

Chapitre 3 : L'EFFET SAGNAC

3.1 L'effet Sagnac 453.1.1 Un peu d'histoire sur l'effet Sagnac 453.1.2 Calcul de l'effet Sagnac optique 46

3.1.2.1 Méthode de calcul usuellement décrite 473.1.2.2 Remarques à propos de cette méthode de calcul 493.1.2.3 Méthode générale pour une onde se propageant à la vitesse V 50

3.1.3 Cas des ondes de matière 513.1.3.1 Calcul relativiste 513.1.3.2 Calcul classique / relativiste 523.1.3.3 Comparaison entre le calcul relativiste et le calcul quantique 533.1.3.4 Calcul quantique 543.1.3.4 Une idée fausse … mais tenace 55

3.2 Comparaison entre le déphasage optique et atomique 563.3 L'effet Sagnac pour mesurer les rotations 57

3.3.1 Gyromètre ou Gyroscope? 573.3.2 Axe d'entrée 573.3.3 Influence de la forme de l'interféromètre 583.3.4 Influence de la position de l'axe de rotation 583.3.5 Facteur d'échelle et biais 593.3.6 Sensibilité sur une seconde 603.3.7 Cas d'une vitesse de rotation non constante 60

3.4 Conclusion 61BIBLIOGRAPHIE 62

Chapitre 4 : TRANSITIONS RAMAN STIMULEES ETMACH-ZEHNDER ATOMIQUE

4.1 MODELE DE L'ATOME A DEUX NIVEAUX 694.1.1 Modèle sans degrés de liberté externe 694.1.2 Modèle avec les degrés de liberté externes 744.1.3 Séparation spatiale du paquet d'ondes 77

4.2 TRANSITIONS RAMAN STIMULEES 784.2.1 Description 784.2.2 Résolution du système à trois niveaux 794.2.3 Equivalence avec un système à deux niveaux 824.2.4 Compensation des déplacements lumineux 824.2.5 Séparation angulaire 834.2.6 Sélectivité en vitesse transverse 83

4.3 INTERFEROMETRE DE MACH-ZEHNDER 844.3.1 Le Mach-Zehnder optique 844.3.2 Le Mach-Zehnder atomique 854.3.3 Calcul général du déphasage 85

4.3.3.1 Cas d'un interféromètre optique 851) Calcul du déphasage dans le cas immobile 852) Déphasage en présence de rotation ou d'accélération 87

4.3.3.2 Interféromètres «spatiaux» - interféromètres «temporels» 874.4 LES DIFFERENTS OUTILS NECESSAIRES 89

4.4.1 Présentation de la méthode 894.4.2 Quelques mots sur le formalisme de Feynman et des «matrices S» 90

1) Formalisme de Feynnam 902) Formalisme des «matrices S» 92

4.5 CALCUL DU DEPHASAGE 944.5.1 Calcul le long des trajectoires non perturbées 95

1) Calcul du déphasage pour l'interféromètre immobile 95 2) Déphasage lié à la rotation ou à l'accélération 97

4.5.2 Calcul le long des trajectoires perturbées 981) Détermination des trajectoires perturbées dans le cas d'une rotation 992) Déphasage de propagation 1003) Déphasage lié aux passage dans les lames lumineuses 1014) Déphasage dû à l'écart en position 1025) Déphasage total 1036) Influence des fronts d'ondes des faisceaux Raman 106

4.6 LIMITES DE CE MODELE 1074.6.1 Impulsions infiniment courtes 1074.6.2 Ondes atomiques planes 107

BIBLIOGRAPHIE 109

Chapitre 5 : CONCEPTION DU GYROMETRE A ATOMES FROIDS

5.1 LA SOURCE ATOMIQUE 1175.1.1 Choix de l'atome 1175.1.2 Les différents types de sources 119

5.1.2.1 Le jet thermique 1195.1.2.2 Le jet supersonique 1205.1.2.3 Le piège magnéto-optique 1205.1.2.4 Le jet continu d'atomes froids 1215.1.2.5 Résumé 121

5.2 LA PREPARATION ATOMIQUE 1225.2.1 Pompage hyperfin + sélection Zeeman optique ou micro-onde 1225.2.2 Comparaison entre sélection micro-onde et sélection Raman 1235.2.3 Pompage Zeeman 1245.2.4 Notre configuration 124

5.3 CHOIX DE LA GEOMETRIE 1245.3.1 Le Ramsey-Bordé 1255.3.2 Le Mach-Zehnder 1265.3.3 Conclusion 1275.3.4 Le double jets atomiques 127

5.4 LES SEPARATRICES ATOMIQUES 1295.4.1 Les composants mécaniques 1305.4.2 Les lames lumineuses 1315.4.3 Fonctionnement spatial ou temporel 1325.4.4 Les impulsions multiples 1345.4.5 Avantages des transitions Raman stimulées 135

5.5 LA DETECTION 1355.5.1 Détection de l'impulsion 1365.5.2 Détection optique de l'état interne 1375.5.3 Détection avec renormalisation 137

5.6 LA CONCEPTION 138BIBLIOGRAPHIE 144

Chapitre 6: REALISATION DU PROTOTYPE

6.1 ENCEINTE A VIDE 1556.1.1 Choix du matériau 1556.1.2 Description de l'assemblage 1556.1.3 Précision mécanique 1566.1.4 Les hublots 1576.1.5 La réserve de Césium 160

6.2 LA SOURCE ATOMIQUE 1616.2.1 Le banc de refroidissement 1626.2.2 Les coupleurs de fibres optiques 169

6.2.2.2 Description et caractérisation 1696.2.2.3 Utilisation des coupleurs de fibres 171

6.2.3 La boule de refroidissement 1726.2.4 Les collimateurs de refroidissement 17362.5 Les gradients de champs magnétiques 1766.2.6 Les blindages magnétiques 1776.2.7 Les différentes phases de piégeage, de refroidissement et de ... 179

6.2.7.1 Piège magnéto-optique 1826.2.7.2 Coupure du gradient de champ magnétique 1856.2.7.3 Mélasse mouvante et lancement des atomes 185

6.3 PREPARATION ATOMIQUE 1876.3.1 La cavité micro-onde 1886.3.2 Le faisceau pousseur 1906.3.3 Mise en œuvre de la préparation atomique 190

6.4 LA ZONE D'INTERACTION RAMAN 1916.4.1 Production des faisceaux Raman 191

6.4.1.1 Diode modulée à 4,6 GHz 1926.4.1.2 Le verrouillage de phase 1946.4.1.3 Puissance optique nécessaire aux faisceaux Raman 195

6.4.2 Le reste du montage des faisceaux Raman 1966.5 LA DETECTION 197

6.5.1 Les faisceaux de détection 1976.5.2 Le système de détection 198

BIBLIOGRAPHE 200

Chapitre 7 : ELEMENTS DE CARACTERISATION DU GYROMETRE A ATOMESFROIDS

7.1 NOTATIONS 2087.2 LE CAS IDEAL 209

7.2.1 Description du problème 2097.2.2 Sensibilité à zΩ 211

7.2.3 Sensibilité à ya 2117.2.4 Réponse en fréquence du gyromètre / accéléromètre : 2127.2.5 Bande passante du gyromètre / accéléromètre: 2137.2.6 Vers une représentation plus réaliste 213

7.3 ORGANISATION DE L'ETUDE 2147.3.1 Description de la procédure de calcul de la simulation 2147.3.2 Forme générale du signal de sortie – Paramètres de sortie 2157.3.3 Facteur d'échelle et biais 2187.3.4 Quelques précisions sur ce que l'on veut faire 2187.3.5 Le bruit blanc limite de l'appareil 219

7.4 IDENTIFICATION DES DIFFERENTES DEPENDANCES 2207.5 ATOME MOYEN ARFAIT + DISTRIBUTION DE VITESSE 222

7.5.1 Influence de la température longitudinale xV∆ sur le contraste sur ϑ 2227.5.2 Influence de température zV∆ sur le contraste ϑ 224

7.5.3 Influence de température transverse yV∆ sur le facteur d'amplitude 225

7.5.3 Influence de l'accélération transverse ya sur le déphasage 2257.5.4 Conclusion sur un atome parfait avec distribution de vitesse 226

7.6 ATOME NON PARFAIT SANS DISTRIBUTION DE VITESSE 2267.6.1 Influence de la vitesse de lancement horizontale xV sur le déphasage 2267.6.2 Influence de la vitesse de lancement verticale zV sur le déphasage 2277.6.4 Les défauts d'impulsions 228

7.6.4.1 Description des faisceaux Raman 2287.6.4.2 Calcul du défaut d'aire des impulsions 2307.6.4.3 Influence des fluctuations d'intensité sur le facteur d'amplitude et ... 2317.6.4.4 Influence de la vitesse de lancement sur le facteur d'amplitude et ... 2337.6.4 Influence des déplacements lumineux 235

7.7 CONCLUSION 237BIBLIOGRAPHIE 238

Chapitre 8: APPLICATIONS DES CAPTEURS INERTIELS A ONDES ATOMIQUES

8.1 LES CAPTEURS INERTIELS EN PHYSIQUE FONDAMENTALE 2428.1.1 Introduction 242

8.1.1.1 Détection des ondes gravitationnelles 2438.1.1.2 Mise en évidence de l'effet Lense-Thirring 244

8.1.2 Notion de métrique 2458.1.2.1 Métrique en l'absence de gravitation 2468.1.2.2 Métrique en l'absence de gravitation dans un repère tournant 2468.1.2.3 La métrique en présence de gravitation 247

8.1.3 Analogie avec l'électromagnétisme 2488.1.3.1 Premier terme rotation de la Terre 2508.1.3.2 Deuxième terme: l'effet de Sitter 2518.1.3.3 troisième terme: l'effet Lense-Thirring 251

8.1.4 le formalisme PPN 2528.1.4.1 Le paramètre α1 2528.1.4.2 Le paramètre γ 2538.1.4.3 Les paramètres ∆1 et ∆2 2538.1.4.4 L'expérience de Schiff dans le formalisme PPN 2538.1.4.5 Comparaison des ordres de grandeurs 255

8.1.5 Les différents tests de l'effet Lense-Thirring 2558.1.5.1 Le projet Gravity Probe B 2578.1.5.2 Le projet HYPER 2588.1.5.3 Expériences avec les satellites LAGEOS 259

8.1.6 Conclusion 261BIBLIOGRAPHIE 262

ANNEXE A: L'ATOME DE CESIUM

A.1 Configuration électronique 270A.2 Configuration énergétique 270

A.2.1 Couplage spin de l'électron – moment orbital : structure fine 270A.2.2 Couplage spin nucléaire – moment cinétique : structure hyperfine 271A.2.3 Structure Zeeman 271

A.3 Transitions autorisées 273A.3.1 Probabilité de transition entre niveaux hyperfins par émission ... 273A.3.2 Coefficients de Clebsch-Gordan 273

A.4 les transitions utiles 273A.4.1 La transition cyclante F = 4 → F ' = 5 274A.4.2 La transition pompante F = 3 → F ' = 4 274A.4.3 La transition d'horloge F = 3 ↔ F = 4 275

ANNEXE B : NOTIONS SUR LES BRUITSPOUR LA CARATERISATION DESCAPTEURS INERTIELS

B.1 Position du problème 279B. 2 Bruits et densité spectrale de puissance 280B.3 Filtrage et détection d'un bruit 283B. 4 Bruit blanc 285

ANNEXE C: LES GYROSCOPES MECANIQUES

C.1 Un peu d'histoire 290C.2 Le moment d'inertie et les gyroscopes à élément tournant 291

C.2.1 Le moment d'inertie et la loi de la gyroscopie 291C.2.2 Gyroscopes à un degré de liberté 292C.2.3 Gyroscopes à deux degrés de liberté 294

C.3 Force de Coriolis et gyros à éléments vibrants 295C.3.1 La force de Coriolis 295C.3.2 Les gyroscopes à lames vibrantes 296C.3.3 Les gyroscopes à résonateur hémisphérique 296C.3.2 Conclusion 297

BIBLIOGRAPHIE 298

ANNEXE D: LES GYROMETRES OPTIQUES

D.1 Les gyros optiques 300D.1.1 Les gyromètres à fibre optique 301D.1.2 Les gyroscopes optiques actifs ou gyro-lasers 303D.1.3 Les gyros optiques à anneau résonnant passif 305

D.2 Conclusion sur les gyros optiques 306BIBLIOGRAPHIE 307

BIBLIOGRAPHIE 311

Chapitre 1 : INTRODUCTION 3

Chapitre 1 : INTRODUCTION

TABLE DES MATIÈRES :

1.1 L’ATOME COMME APPAREIL DE MESURE .............................................................. 5

1.1.1 La mesure du temps.................................................................................................... 5

1.1.2 Les capteurs inertiels.................................................................................................. 61.1.2.1 Gravimètres et gradiomètres atomiques................................................................. 61.1.2.2 Gyromètres atomiques............................................................................................ 6

1.1.3 Intérêts des atomes froids........................................................................................... 7

1.1.4 Des applications déjà envisagées ............................................................................... 8

1.2 LE PROJET DE GYROMÈTRE À ATOMES FROIDS................................................... 8

1.3 PLAN DU MÉMOIRE....................................................................................................... 9

Introduction 4

CHAPITRE 1 :

INTRODUCTION

Depuis une quinzaine d’années, le développement des techniques de manipulationd’atomes par lasers permet d’accéder de plus en plus facilement à la nature ondulatoire desatomes, et apporte tout un panel de composants applicables à ces ondes atomiques. On saitmaintenant réaliser des miroirs, des lames séparatrices, des réseaux de diffraction, des lentilleset toutes sorte d’autres composants permettant de développer une réelle optique atomique.

Contrairement aux photons, les atomes, de part leur structure complexe, interagissenténormément avec leur environnement. Bien que neutre électriquement, les atomes possèdentdes moments dipolaires électrique et magnétique, les rendant sensibles aux champsélectriques et magnétiques extérieurs. Ils interagissent donc avec les photons parl’intermédiaire d’une multitude d’effets (effet STARK, effet ZEEMAN, …) et leur structureénergétique permet alors toute une gamme de transitions (dipolaire électrique ou magnétique,quadripolaire, …). C’est aussi par cette interaction avec les champs électriques etmagnétiques que s’expliquent les phénomènes de collisions élastiques entre deux atomes, oùl’apparition de certaines forces (force de VAN DER WAALS, …). Dans certains cas, l’atomepeut même interagir avec les potentiels électrique et magnétique, sans qu’il y ait de champélectrique ou magnétique (effet AHARANOV-BOHM scalaire et vectoriel).

Les atomes possèdent également une masse qui leur permet d’interagir avec le champgravitationnel, comme n’importe quel autre corps massif. Leur vitesse d’agitation thermiqueélevée (plusieurs centaines de mètres voire plusieurs kilomètres par seconde) rendgénéralement imperceptible cette interaction. Mais on sait maintenant ralentir les atomes,grâce à des faisceaux laser, jusqu’à des vitesses de quelques mm.s-1, rendant ainsi l’interactionavec le champ de gravitation tout à fait observable. Leur masse rend les atomes égalementsensibles aux champs d’inertie (force de CORIOLIS, force centrifuge) qui apparaissent dans lesréférentiels non galiléens.


Avec ces multiples interactions possibles, l’atome apparaît donc comme un outil idéalpour sonder l’environnement extérieur. A la fois magnétomètre, balance, horloge, … quelleque soit la grandeur physique que vous souhaitez déterminer, l’atome possède une propriétéqui vous permettra de la mesurer. Le fait de pouvoir accéder à la nature ondulatoire del’atome permet alors d’imaginer des techniques de mesures interférométriques (mettant en jeula phase atomique), améliorant ainsi énormément la sensibilité de la mesure. L’interférométrieatomique est rendue possible grâce aux nombreux composants atomiques que nous évoquionsprécédemment. On sait maintenant réaliser des interféromètres à atomes équivalents à desinterféromètres de MICHELSON, de MACH-ZEHNDER, de FABRY-PEROT, et de bien d’autresencore. Ces dispositifs ont déjà permis de mesurer un certain nombre de grandeurs physiquesavec une extrême précision.

1.1 L’ATOME COMME APPAREIL DE MESURE

1.1.1 La mesure des fréquences

La première de ces grandeurs a bien sûr été la fréquence, qui a pu être mesurée sifinement grâce aux horloges atomiques, que l’atome est passé du statut de chronomètre àcelui d’étalon de temps. En effet, en 1967, la 13ème Conférence Internationale des Poids etMesures a décidé de changer la définition de la seconde. Ce n’est plus la Terre, mais l’atomequi décide de l’heure qu’il est. Cette nouvelle définition repose sur des horloges stables etexactes à quelques 10-15 , c’est à dire se décalant d’une seconde en 30 millions d’années. Onpeut se demander à quoi sert une telle précision, et pourtant les industriels sont déjàdemandeurs d’horloges à 10-11 pour la synchronisation des réseaux de télécommunications àhauts débits, et à 10-12 pour le nouveau système européen de navigation par satelliteGALILEO. La mise en orbite de l’horloge spatiale à atomes froids PHARAO [LAURENT 98],dans le cadre du projet ACES, permettra de comparer, grâce à des liens micro-ondes, leshorloges du monde entier avec une précision de 10-16. Et on peut imaginer un système depositionnement par satellites utilisant une constellation d’horloges PHARAO. Ce systèmepermettrait alors un positionnement sub-millimétrique en n’importe quel point de la surfacede la Terre. Les failles sismiques et la tectonique des plaques pourraient alors être étudiées demanière globale.

On peut ajouter que le développement des lasers ultra-stabilisés permet aujourd’huid’interroger des transitions atomiques dans le domaine optique, au lieu des transitions micro-ondes utilisées dans les horloges atomiques traditionnelles. Des projets d’horloges utilisantdes atomes de strontium, de magnésium ou même des ions hydrogénoïdes sont en cours, etces horloges à transition optique apparaissent déjà comme des candidats potentiels pouratteindre des stabilités sur une seconde dans la gamme des 10-16 voire 10-17.

Fort de son succès dans la mesure du temps, l’atome s’est ensuite attaqué à un certainnombre d’autres grandeurs. Parmi elles ont peut citer certaines grandeurs atomiques, comme

Partie 1. 1 : L’atome comme appareil de mesure 6

la mesure de polarisabilité atomique grâce à l’effet STARK DC [MORINAGA 93 et 96, RIEGER

93]. Puis grâce au développement des atomes refroidis par lasers, la mesure du champ depesanteur a été rendue possible.

1.1.2 Les capteurs inertiels

Les capteurs inertiels sont les appareils permettant de mettre en évidence le caractèreinertiel ou non, des repères auxquels ils sont liés. Ils s’agit donc essentiellement desgyromètres et des accéléromètres, et par extension des gravimètres et des gradiomètres. Lerapide développement de ces appareils a très largement profité des travaux théoriques de Ch.BORDÉ, qui a, à la fois introduit les notions utilisées en interférométrie atomique [BORDÉ 89,BORDÉ 91], et développé les outils permettant d’interpréter les résultats obtenus [BORDÉ 84,BORDÉ 92].

En une dizaine d’années, de nombreux capteurs inertiels atomiques ont alors étéréalisés à travers le monde.

1.1.2.1 Gravimètres et gradiomètres atomiques

Le phase induite par le champ de pesanteur sur l’onde atomique varie très rapidementavec la valeur de ce champ. Cette phase peut être mesurée très précisément grâce à uninterféromètre atomique de type MACH-ZEHNDER temporel par exemple [KASEVICH 91-2]. Onaccède ainsi à une mesure de g extrêmement précise. Les dernières expériences réaliséesrévèlent une sensibilité de quelques 10-9 g /√Hz [PETERS 99], correspondant à la variation duchamp de pesanteur au sol sur une hauteur de l’ordre du centimètre.

De la même façon le gradient du champ de pesanteur a pu être mesuré parinterférométrie atomique, et la sensibilité atteinte par cet appareil s’approche de celles desmeilleurs instruments mécaniques actuels [SNADDEN 98]. Ces gradiomètres mécaniques sontdéjà largement utilisés dans des domaines aussi variés que la recherche pétrolifère, le sondagedu sous-sol terrestre ou la navigation inertielle des sous-marins. Nul doute qu’un appareil dece type fonctionnant sur le principe de l’interférométrie atomique trouvera sa place parmitoutes ces applications.

1.1.2.2 Gyromètres atomiques

La mesure de vitesse de rotation a également subi sa révolution atomique. En 1991tout d’abord, où une équipe allemande de la PTB réalise le premier gyromètre atomique[RIEHLE 91]. Les résultats sont interprétés par Ch. BORDÉ en termes d’effet SAGNAC appliquéaux ondes atomiques. L’effet SAGNAC, appliqué aux ondes lumineuses est le principephysique à la base de tous les gyromètres optiques [SAGNAC 13]. On peut montrer que ce


principe, lorsqu’il est appliqué aux ondes atomiques, produit à aire d’interféromètre égale uneffet intrinsèquement cent milliards de fois plus sensible que dans le cas optique. Oncomprend donc l’intérêt que peut présenter le développement de tels capteurs inertielsutilisant des ondes atomiques. En 1998, l’équipe de M. KASEVICH à l’Université de Yale,présente un appareil dont la sensibilité de 6 10-10 rad.s-1.Hz-1/2 dépasse celles des meilleursgyroscopes mécaniques et gyromètres optiques existant [GUSTAVSON 00-2]. Cela signifiequ’en une seconde de mesure, cet appareil permet de déterminer des vitesses de rotation aussifaibles que 1/100.000ème de la rotation de la Terre. De telle performances ne sont pas tropluxueuses, voire même encore un peu faibles, pour les applications de géophysique ou pourcertains tests de relativité générale.

Si l’on effectue la mesure sur une durée plus longue, le bruit lié à la mesure semoyenne lentement et la sensibilité de l’appareil peut encore être améliorée. Ceci reste vraitant qu’aucune dérive ne vient perturber la mesure. Malheureusement, en pratique ces dérivesapparaissent toujours, au bout d’un temps plus ou moins long, liées à des fluctuations decertains paramètres expérimentaux (température, champs magnétiques, vibrationsmécaniques, …).

A titre d’exemple, le gyromètre atomique de M. KASEVICH que nous évoquionsprécédemment, utilise un jet thermique de césium à 300 m.s-1. La durée d’intégrationmaximale avant que les dérives n’apparaissent est limitée à quelques dizaines de secondes.

1.1.3 Intérêts des atomes froids

L’intérêt des atomes froids dans les capteurs inertiels atomiques ou dans les horlogesest double :

• D’une part les atomes froids, de part leur vitesse réduite, permettent d’augmenterconsidérablement la sensibilité court-terme de l’appareil en allongeant la durée d’interactionentre les atomes et la grandeur physique que l’on veut mesurer (champ de gravitation oud’inertie pour les capteurs inertiels, champ micro-onde pour une horloge atomique). La trèsbonne définition de la vitesse atomique et sa faible dispersion permettent également d’obtenirun facteur d’échelle très bien connu et très stable.

• D’autre part, dans le domaine des horloges atomiques, l’utilisation d’atomes froids adémontré que les dérives apparaissaient beaucoup plus tardivement que dans les horloges à jetthermique. Ainsi le signal de l’horloge à atomes froids FO1 du LPTF peut être intégré surplusieurs jours sans qu’aucune dérive n’apparaisse. Ceci permet alors aux meilleures horlogesà atomes froids d’atteindre des stabilités long termes et des exactitudes de quelques 10-15.

On peut espérer un gain similaire dans le domaine de l’interférométrie atomique. Unedurée d’intégration de plusieurs jours abaisserait alors de presque 3 ordres de grandeur lasensibilité ultime du gyromètre de M. KASEVICH.

Partie 1. 1 : L’atome comme appareil de mesure 8

1.1.4 Des applications déjà envisagées

Ces nouveaux capteurs atomiques aux performances si exceptionnelles intéressent ungrand nombre de personnes.

Certains aimeraient les installer dans des satellites afin de mettre en évidence deseffets de relativité générale jusqu’ici indécelables. Le projet Hyper par exemple vise à mettreen orbite deux gyromètres atomiques pour mesurer l’effet LENSE-THIRRING [RASEL 00]. Ceteffet pourrait être mis en évidence par la précession d’un repère d’inertie local défini grâce àdes gyroscopes et des accéléromètres, comparée à un repère défini par trois étoiles lointaines.

D’autres voudraient les embarquer à bord de sous-marins ; intégrés à un navigateurinertiel, ces capteurs atomiques permettraient aux sous-marins de naviguer pendant de trèslongues durées sans avoir à remonter à la surface pour faire le point [PLESKA 00].

Le problème principal est que pour l’instant, ces appareils ne sont pas transportables.Plutôt expériences de laboratoire que réels instruments de mesure, ces premiers dispositifsavaient pour objectif principal la démonstration de la faisabilité.

Il paraissait donc important de démontrer la faisabilité d’un tel capteur atomique detaille plus réduite, voire transportable, mais à performance sensiblement équivalente. C’estdans cette optique que le laboratoire s’est lancé dans un projet de gyromètre atomique àatomes refroidis par lasers.

1.2 LE PROJET DE GYROMÈTRE À ATOMES FROIDS

Le projet dans lequel nous nous sommes lancés consiste à réaliser un gyromètreatomique utilisant des atomes froids, ce qui n’a encore jamais été réalisé ailleurs pourl’instant. L’intérêt que présente un tel appareil est bien sûr grandement augmenté si cetappareil est transportable, compte tenu des applications potentielles que nous avons évoquées.Un des objectifs du projet est donc de réaliser un appareil relativement compact, afin d’ouvrirla voie des capteurs inertiels atomiques transportables.

Comme on l’a mentionné précédemment, l’utilisation d’atomes froids permet deconserver une stabilité à court-terme comparable à celle des grands instruments déjàconstruits. A titre d’exemple, la zone d’interaction du gyromètre de M. KASEVICH est longuede 2 mètres, alors que la notre ne fait que 3 centimètres. Les atomes froids nous permettentégalement d’espérer obtenir une stabilité à long terme bien meilleure, et d’envisager desdurées d’intégration de l’ordre de la journée, voire plus longues encore.

Afin de vérifier cette double condition de petites dimensions et de bonne stabilitélong-terme, un effort considérable a été fait dans la conception et la réalisation de cedispositif. A ce titre, notre gyromètre a beaucoup bénéficié du travail déjà effectué dans cesens sur le projet PHARAO, et surtout du savoir-faire de P. PETIT qui a conçu et dessiné lestubes de PHARAO et du GYRO. Cette phase de conception s’appuie sur un grand nombre deconsidérations technologiques que nous avons résumées dans le Chapitre 6. La mise en œuvre


et les tests de nouvelles solutions technologiques dans notre instrument, a constitué une grossepart du travail de thèse. C’est pourquoi nous les détaillons de façon approfondie.

Notre projet de gyromètre atomique se situe à la rencontre de deux communautés.D’une part la communauté de la physique atomique avec les nombreux laboratoiresparticipant au projet (LHA, LPTF, LCFIO, LPL, LKB), et d’autre part la communauté de lanavigation inertielle (DGA, LRBA, CNES, SFIM-Industrie, SAGEM). Les nombreusesréunions de travail ont permis à ces deux communautés de se rencontrer, de discuter … et dese rendre compte qu’elles ne parlaient pas la même langue. Même pour des laboratoiresaguerris dans l’art de la métrologie du temps et des fréquences, comme le LHA et le LPTF,les termes employés par l’autre partie restaient flous et obscurs. Là où les horlogers parlentstabilité et exactitude, les « gyroscopistes » répondent facteur d’échelle et dérive du biais !

Il a donc fallu commencer par définir les termes et se mettre d’accord sur lesdéfinitions. Le Chapitre 2 tente de faire une synthèse de ce travail, afin de poser les bases quiserviront à la caractérisation métrologique de ce gyromètre.

Les nombreuses interactions que nous avons eu avec la communauté des théoriciensde la gravitation nous ont montré que ceux-ci maîtrisaient bien mieux que nous l’effetSAGNAC, à la base du gyromètre atomique. Et pour cause, cet effet est purement relativiste. Ilnous a donc semblé utile de consacrer un chapitre à cet effet, afin de dissiper le voile flou etles erreurs que l’on rencontre parfois dans la littérature.

1.3 PLAN DU MÉMOIRE

Ce mémoire s’organise de la façon suivante :

Le « chapitre 2 – Caractérisation d’un capteur inertiel » traite de la caractérisationdes capteurs inertiels en général, et des gyroscopes et gyromètres en particulier. Nous ydétaillons les diverses sources de bruit propres à chaque type d’appareil, les grandeursessentielles permettant de les caractériser, ainsi que les considérations à prendre en comptequand on veut les comparer.

Le « chapitre 3 – L’effet SAGNAC » décrit de façon détaillée l’effet SAGNAC, toutd’abord dans le cas des ondes lumineuses, puis appliquée aux ondes atomiques. Nous verronsquelles différences entraînent ce changement de la nature de l’onde, et nous mettrons enévidence l’extrême sensibilité intrinsèque des gyromètres atomiques, comparée à celle desgyromètres optiques. Ce chapitre est également l’occasion d’adapter aux gyromètres à effetSAGNAC, les notions introduites au chapitre 2.

Le « chapitre 4 – MACH-ZEHNDER atomique » présente deux outils théoriques trèsimportants pour décrire notre gyromètre. D’une part nous décrivons les transitions RAMAN

Partie 1. 3 : Plan du mémoire 10

stimulées servant à séparer, à diriger et à recombiner les paquets d’ondes atomiques, grâce aumodèle de l’atome à deux niveaux avec degrés de liberté externes.

D’autre part nous présentons une méthode de calcul du déphasage introduit à la sortiedu gyromètre atomique, s’appuyant sur les formalismes des intégrales de FEYNMAN

(propagation dans l’espace libre) et des matrices S (passage dans les lames lumineuses).

Les chapitres 5 et 6 décrivent les phases de conception et de réalisation du prototype.Dans le « chapitre 5 – Conception du gyromètre à atomes froids » nous développons lesmultiples possibilités qui s’offraient à nous dans l’élaboration de la structure de l’appareil.Nous discutons des avantages et des inconvénients de chacune des solutions possibles etfinalement nous donnons les raisons qui ont motivé notre choix.

Le « chapitre 6 – Réalisation du prototype » quant à lui décrit de façon détailléenotre dispositif expérimental. Un certain nombre d’astuces technologiques ont étédéveloppées et il nous a semblé important d’en donner un aperçu dans ce mémoire.

Le « chapitre 7 – Caractérisation » présente les prémices de la caractérisationmétrologique de notre appareil. Un certain nombre de modèles sont développés, permettantd’interpréter le signal de sortie, et de le relier à la valeur de la vitesse de rotation, ou del’accélération. Ces modèles s’appuient sur les notions développées au chapitre 2.

Le « chapitre 8 – Applications des gyromètres de grande sensibilité » détaille uneapplication prometteuse dans laquelle le gyromètre atomique pourrait apporter de nouveauxrésultats. Ce chapitre aurait pu être mis en annexe, mais il nous a semblé important de justifierdans ce mémoire l’intérêt de cette course à la précision, qui pourrait sinon apparaître commeun pur caprice de métrologue. Cette application est la mise en évidence de l’effet relativisteLENSE-THIRRING, autrement appelé effet d’entraînement du repère d’inertie local. Nousdécrivons en quoi consiste cet effet, ce qu’apporterait sa mise en évidence, et nous donnons lecalcul permettant de trouver l’ordre de grandeur de la sensibilité nécessaire.

On trouvera également à la fin de ce mémoire une série d’annexes apportant desinformations complémentaires sur certains points développés.

Ainsi « l’annexe A – L’atome de césium » présente les caractéristiques importantesde l’atome de césium et les transitions utiles dans notre expérience.

« L’annexe B – Notions sur les bruits pour la caractérisation des capteursinertiels » donne quelques rappels sur les bruits blancs, les dérives, la variance d’ALLAN etsur différents outils utilisés pour la caractérisation.

Les « annexe C – gyroscopes mécaniques » et « annexe D – gyromètres optiques »développent les principes de fonctionnement de ces différents appareils. Ils nous a sembléimportant de décrire ces dispositifs car c’est à eux que se raccrochent les « gyroscopistes »pour appréhender le gyromètre atomique.


BIBLIOGRAPHIE

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BIBLIOGRAPHIE 12

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Chapitre 2 : CARACTERISATION DES CAPTEURS INERTIELS 15

Chapitre 2 : CARACTÉRISATION D’UN CAPTEUR INERTIEL

TABLE DES MATIERES :

2.1 RAPPEL DE MECANIQUE NEWTONIENNE ............................................................. 172.1.1 Notion de référentiel................................................................................................. 172.1.2 L'inertie et le mouvement......................................................................................... 19

2.1.2.1 Notion d'inertie et principe de MACH................................................................... 192.1.2.2 Rappel sur la 2ième loi de NEWTON dans un repère non inertiel............................ 202.1.2.3 Application du principe d'inertie aux senseurs inertiels....................................... 21

2.2 DESCRIPTION ET CARATERISATION D’UN CAPTEUR INERTIEL ..................... 242.2.1 Gyromètre, Gyroscope et Accéléromètre................................................................. 242.2.2 Le modèle d’erreur ................................................................................................... 252.2.3 0K : Le facteur d’échelle ......................................................................................... 262.2.4 0B : Le biais ............................................................................................................. 272.2.5 ( )tε~ : Le bruit limite en sortie.................................................................................. 272.2.6 ( )tK et ( )tB : Les fluctuations du facteur d’échelle et du biais .............................. 272.2.7 Formes de bruits dans les capteurs inertiels optiques et mécaniques....................... 282.2.8 Autres grandeurs importantes................................................................................... 322.2.9 Les unités.................................................................................................................. 342.2.10 Caractérisation d’un capteur inertiel ........................................................................ 352.2.11 Comparaison de deux capteurs inertiels................................................................... 36

2.3 PERFORMANCES DES DIFFERENTS GYROSCOPES ET GYROMETRES............ 362.3.1 Appareils industriels................................................................................................. 372.3.2 Appareils de laboratoire ........................................................................................... 37

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 39

Introduction 16

CHAPITRE 2 :

CARACTERISATION D’UN CAPTEUR INERTIEL

Le but de ce chapitre est d'énoncer les principes physiques qui conduisent à laréalisation de capteurs inertiels. Par capteur inertiel, on entend tout type d'appareil qui sert àmettre en évidence le caractère non inertiel du référentiel auquel il est lié. Comme on le verradans la première partie de ce chapitre, un référentiel perd son caractère inertiel lorsqu'il estsoumis à un mouvement de rotation ou d'accélération par rapport aux autres référentielsd'inertie. Les capteurs inertiels sont donc essentiellement les gyroscopes et les accéléromètres.

Les domaines de l'accélérométrie et surtout de la gyroscopie sont des domaines quiont évolué très rapidement depuis la seconde guerre mondiale grâce à la demande croissantepour les applications de navigation, de contrôle d'attitude et de guidage. Chaque applicationnécessite des besoins particuliers, en termes de performance, qui ont conduit à la réalisationde multitudes d'appareils, chacun adapté à une application bien particulière. Il est clair quel'on ne demande pas les mêmes performances à un gyroscope utilisé dans un stabilisateurd'image de caméscope, qu'à celui servant pour la navigation d'un sous-marin. Le terme"performance" regroupe ici un certain nombre de grandeurs qui permettent de caractériser etde comparer les différents capteurs inertiels. Par exemple, les notions de facteur d'échelle, debiais, de dynamique, permettent de comparer deux gyroscopes fonctionnant sur des principesphysiques complètement différents, comme un gyroscope mécanique et un gyro-laser. Cesgrandeurs caractéristiques se retrouvent dans la description de tous les capteurs (inertiels,thermiques, barométriques, …).


Le plan de ce chapitre est le suivant :

Dans le paragraphe 2.1 nous allons faire quelques rappels de mécanique classique, ceciavec un double objectif, d'une part définir précisément par rapport à quels repères sontdéfinies les rotations et les accélérations qui sont mesurées avec un capteur inertiel ; et d'autrepart mettre en évidence les lois physiques qui conduisent aux principes de fonctionnement deces capteurs. Nous verrons ainsi comment la deuxième loi de NEWTON et le principe d'inertiepermettent d'obtenir des effets sensibles aux rotations et aux accélérations.

Dans une seconde partie nous nous intéresserons à la caractérisation des capteursinertiels. A partir d’un modèle d’erreur assez général, nous définirons les notions, essentiellespar la suite, de facteur d'échelle, de biais, de dérive et de bruit limite qui nous permettront decaractériser et de comparer entre eux les différents gyroscopes et accéléromètres.

Dans une troisième partie nous présenterons les performances des différentsgyroscopes et gyromètres que l’on peut trouver sur le marché et dans les laboratoires.

2.1 RAPPEL DE MECANIQUE NEWTONIENNE

La principale application des capteurs inertiels de grande sensibilité est la navigationdes véhicules sur ou autour de la Terre. Cela signifie que lorsque l'on fait une mesure derotation ou d'accélération, on veut connaître cette valeur par rapport à la Terre. Mais parrapport à quoi les gyroscopes mesurent-ils les rotations en réalité ?

2.1.1 Notion de référentiel

Afin d'étudier les mouvements d'un point matériel ou d'un solide, on a besoin d'unRÉPÈRE D'ESPACE (ou d'un solide de référence) R par rapport auquel on va comparer lesdéplacements de tous les objets. Ce repère d'espace définit donc l'ensemble des pointsimmobiles. Les mouvements se repèrent également par rapport à un REPÈRE DE TEMPS, qui vapermettre de calculer des dérivées temporelles et ainsi de définir la vitesse et l'accélération.L'ensemble d'un repère d'espace et d'un repère de temps constitue un RÉFÉRENTIEL R, t.

En mécanique newtonienne le temps a un caractère absolu, c'est-à-dire que lorsque l'onchange de référentiel, seul le repère d'espace change. On verra au chapitre 8.1 qu'il n'en estplus de même en mécanique relativiste. Dans cette partie on utilisera donc indifféremment lestermes référentiel et repère (sous-entendu repère d'espace).

Afin de formuler les déplacements de façon analytique, on munit généralement lerepère d'espace d'un SYSTÈME DE COORDONNÉES. L'ensemble des trois vecteurs unitairesdéfinissant ce système de coordonnées s'appelle une BASE. Le repère d'espace est entièrementdécrit par la donnée d'une base B et d'un point origine O.

La mécanique newtonienne postule l'existence de référentiels particuliers dans lesquelsle mouvement du centre de gravité d’un solide soumis à aucune force est rectiligne uniforme.

Partie 2.1 : Rappels de mécanique newtonienne 18

De tels référentiels sont appelés RÉFÉRENTIELS D'INERTIE ou encore RÉFÉRENTIELS GALILÉENS.On peut montrer [BRIDGMAN 61] qu'une très bonne approximation de tels référentiels sonttous ceux dont le repère d'espace est donné par trois étoiles lointaines pour les directions desvecteurs de base, et par un point soumis à aucune force pour l’origine. En pratique, onchoisira généralement comme représentation du repère d'inertie, un repère d'espace centré surle Soleil et pointant vers trois étoiles lointaines. Ce repère s'appelle REPÈRE DE COPERNIC quel’on notera RCOP (1).

On définit également le REPÈRE GÉOCENTRIQUE (noté RGEO), dont l’origine est lecentre de la Terre, et qui est en translation par rapport au repère de COPERNIC (voir Figure 2. 1).Le référentiel géocentrique n'est pas un référentiel d'inertie car il n'est pas en translationrectiligne uniforme par rapport au référentiel de COPERNIC ; en effet, son origine (le centre dela Terre) est soumise à l’attraction du Soleil. Les points fixes du repère géocentriquecoïncidant avec la Terre, subissent de ce fait une accélération centripète de 6.10-3 m.s-2 dirigéevers le soleil.

Enfin on définit le REPÈRE TERRESTRE (noté RTER), donné par le centre de la Terre etdont les axes sont donnés par trois points fixes de la Terre (voir Figure 2. 2). Le référentielterrestre n'est pas un référentiel d'inertie non plus, car son origine est le centre de la Terre, etde plus parce que ses axes sont en rotation par rapport à ceux du repère de COPERNIC. Unpoint M lié à la Terre subit, en plus de l'attraction gravitationnelle terrestre, une accélérationcentripète d'environ 3,4 10-2 cos2(λ) m.s-2 dirigée vers la projection de M sur l'axe de rotationde la Terre (λ est la latitude du lieu de M).

(1) En fait on sait que le Soleil n'est pas immobile, il décrit une orbite circulaire (R ~ 3.1020 m) autour du centrede la Galaxie avec une vitesse d'environ 400 km.s-1 , ce qui provoque une accélération centripète de 3.10-10 m.s-2.En toute rigueur le repère de COPERNIC n'est donc pas un repère d'inertie, mais il en constitue une très bonneapproximation pour la majorité des expériences réalisées au voisinage de la Terre.

Terre

Soleil

RCOP

RGEO

RGEO

RGEO

x

y

z

z'

z'

z'

y' y'

y'

x'x'

x'

y'

Figure 2. 1 : repère géocentrique, les axes restentparallèles à ceux d’un repère d’inertie.

z'

x'y'

RCOP RTER

⊕Ω

x

y

z

M λ

Figure 2. 2 : repère terrestre, les axes tournentavec la Terre.


Il est clair que le repère le mieux adapté pour l'étude des mouvements sur la Terre –que ce soit le mouvement d'un véhicule ou celui d’un solide dans un laboratoire - est le repèreterrestre. Il est donc important de garder en mémoire que ce repère n'est pas un repère d'inertieet qu'il est animé d'un mouvement de rotation à la vitesse ⊕Ω selon l'axe des pôles, parrapport à un repère d'inertie.

2.1.2 L'inertie et le mouvement

2.1.2.1 Notion d'inertie et principe de MACH

Le problème de la définition d'un repère d'inertie est un problème complexe, et lanotion même de repère d'inertie n'est pas complètement claire. On a défini, dans le paragrapheprécédent, le repère d'inertie à partir du mouvement d'un solide soumis à aucune force et on adonné une des méthodes pour réaliser un tel repère à partir d'étoiles lointaines. Mais commenous allons le voir, la définition donnée par GALILÉE du repère d'inertie telle qu'elle estdonnée ici, pose encore quelques questions.

Afin de donner un aperçu des difficultés conceptuelles qui entourent l'inertie nousallons reprendre une expérience de pensée proposée par NEWTON [NEWTON 62 ou voir parexemple KITTEL 72]. Considérons un seau rempli d'eau suspendu à une corde. Si la corde estenroulée sur elle-même, le seau va se mettre à tourner sur lui-même, par rapport à un repèred'inertie donné par trois étoiles fixes, et la surface de l'eau va prendre une forme deparaboloïde. Que se passe-t-il maintenant si le seau est immobile (la corde n'est pas enroulée)mais que l'on fait tourner les étoiles et tout l'univers, par rapport au seau, de telle façon que lemouvement relatif soit le même que dans la première expérience ? NEWTON pensait que lasurface de l'eau resterait plane, il attribuait ainsi les propriétés d'inertie à l'espace géométriquefixe et par rapport auquel il pouvait alors définir une accélération absolue. Au contraireMACH, en 1933, a développé l'idée que l'inertie était liée à l'espace physique (c'est-à-dire auxmasses qui composent l'univers) et pensait donc que la surface de l'eau se courberait, car seulel'accélération relative du seau par rapport au reste de la matière importait. Le principe deMACH a ainsi initié les concepts de "repère d'inertie local" et "d'entraînement du repèred'inertie", que l'on retrouve en relativité générale (voir Chapitre 8). Aucune des deuxconceptions, de NEWTON ou de MACH, n'a pu être vérifiée par l'expérience, vue la difficultéde réaliser un quelconque test (1).

Nous ne développerons pas plus ici ces différentes conceptions de l'inertie, car quelque soit le point de vue que l'on adopte, la suite de ce que l'on va dire reste valable.

(1) Le projet spatial de recensement et de positionnement d'étoiles GAIA devrait permettre de définir de façontrès précise un repère d'inertie de MACH. Une comparaison du mouvement d'un repère d'inertie newtonien (définipar des accéléromètres et des gyroscopes) par rapport à un repère d'inertie machien (défini par rapport auxétoiles) pourra ainsi être réalisée.


2.1.2.2 Rappel sur la 2ème loi de NEWTON dans un repère non inertiel

Expérimentalement, la seule façon que l'on a de mettre en évidence le caractère inertielou non-inertiel d'un repère est d'étudier l'influence des forces d'inertie, c'est-à-dire de la forced'entraînement, de la force centrifuge, et de la force de CORIOLIS. On considère un pointmatériel M en mouvement dans le repère R non inertiel, on note alors OMR, V(M)R eta(M)R respectivement la position, la vitesse et l'accélération de M dans R. Si l'on veutexprimer la vitesse et l'accélération de M dans un repère d'inertie R0, on a alors leséquations de transformations suivantes :

( ) ( ) ( ) RRRRRR OMM OMVVV 000 / ×++= Ω (Eq. 2. 1)

vitesse relativevitesse d'entraînement = vitesse du point coïncidant

( ) ( ) ( ) ( ) ( )RRRRRR

RRRRRRRR Mdt

dOMM VOMOMaaa ×+×+××++= 00

0000 //

// 2 ΩΩ

ΩΩ

relative entraînement centripète CORIOLIS

(Eq. 2. 2)

où 0/RRΩ est le vecteur rotation instantané de R par rapport à R0. O, V(O)R0 et a(O)R0 sontrespectivement la position, la vitesse et l'accélération du point origine du repère Rexprimées dans le repère d'inertie R0.

• L'accélération d'entraînement correspond à l'accélération d'un repère R' dontl'origine est confondue avec O, mais dont les axes restent toujours parallèles à ceux deR0(translation).

• L'accélération centripète est le terme lié aux mouvements de rotation du repère Rpar rapport à R0. La somme de l'accélération d'entraînement et de l'accélération centripètecorrespond à l'accélération du point de R coïncidant avec M à l'instant considéré.

• L'accélération de CORIOLIS est purement liée au fait que le point M se déplace dansle repère R.

Dans le repère d'inertie R0 la seconde loi de NEWTON s'écrit :

( ) Fa 0 =RMm (Eq. 2. 3)

où F représente l'ensemble des forces physiques réelles auquel est soumis le point M de massem. On utilise ici le terme « forces physiques réelles », par opposition aux forces d'inertie.


La relation (Eq. 2.3) exprimée dans le repère non inertiel R s'écrit :

( ) CoCeeRMm FFFFa +++= (Eq. 2. 4)

avec la force d'inertie d'entraînement :

( ) 0 Re Om aF −= (Eq. 2. 5)

la force d'inertie centrifuge :

( ) 000

///Ce

×+××−= R

RRRRRRR dt

dm OMOMF ΩΩΩ (Eq. 2. 6)

la force d'inertie de CORIOLIS :

( )[ ]RRRCo Mm VF ×−= 0/ 2 Ω (Eq. 2. 7)

La relation (Eq. 2.4) exprime le fait que pour rester au repos dans un repère noninertiel, le point M doit subir un certain nombre de forces physiques compensant les forcesd'inertie : pour que a(M)R = 0 il faut que F = -Fe -FCe -FCo. Il n'y a que dans les repèresd'inertie que le point M peut rester au repos sans l'aide de forces physiques. Ceci constitue leprincipe d'inertie tel que nous allons l'utiliser pour réaliser un capteur inertiel. Parmi les troisforces d'inertie, la force de CORIOLIS est très utile pour déterminer les rotations car elle estdirectement proportionnelle à 0/RRΩ et indépendante de la position de l’axe de rotation. Demême pour déterminer les accélérations, les forces d'inertie d'entraînement et centrifuge vontêtre utilisées. En pratique, on choisit généralement l'origine du repère R là où est placé lecapteur inertiel, l’action de la force centrifuge est alors incluse dans le terme de forced’entraînement.

2.1.2.3 Application du principe d'inertie aux senseurs inertiels

Deux types de capteurs inertiels vont être étudiés : les accéléromètres, sensibles auxaccélérations, et les gyroscopes, sensibles aux rotations.

Il y a deux façons différentes de réaliser un capteur inertiel par application du principed'inertie. La première consiste à utiliser le capteur comme repère d'inertie, et à comparer lemouvement du laboratoire par rapport au capteur. La seconde méthode est de fixer le capteurau repère du laboratoire, et de mesurer les forces qu'il faut lui appliquer pour le maintenir aurepos dans ce repère. Ces deux méthodes vont être détaillées ici, afin de préciser clairement àquoi sont sensibles ces capteurs.

1ère méthode : on dispose d'une masse d’épreuve complètement découplée del'extérieur, c'est-à-dire que cette masse n'est soumise à aucune force, elle constitue donc unrepère d'inertie R0. On suppose qu'à l'instant t = 0 la masse M est en O origine de R. Oncompare alors les mouvements du repère du laboratoire R par rapport à cette massed’épreuve. L'orientation de la masse dans R donne l'information sur la rotation 0/RRΩ , et laposition donne l'information sur l'accélération OM = ½ a(M)R t2 (voir Figure 2. 3), et


( ) ( ) 0 RR OM aa −= . Le problème de cette méthode est que la masse d’épreuve se déplace dansle repère R s'il y a une accélération. Or le laboratoire n'est pas d'extension infinie et lamasse peut frapper les parois du laboratoire. Par contre, les rotations ne font que changerl'orientation de M dans R, on peut donc réaliser un gyroscope par cette méthode. Le capteurest alors lié au repère R par un dispositif ne transmettant que des forces (pour compenser lesaccélérations) mais aucun couple. Le capteur est donc totalement libre en rotation.

R x

y

z

y0

O

R0 x0

z0

M

a(M)R

Figure 2. 3 : la masse d’épreuve M est libre dans lerepère du laboratoire R et constitue donc unrepère d'inertie R0. L'orientation de M dans Rrenseigne sur la rotation de R0 par rapport à Ret la position de M renseigne sur l'accélération deR0 par rapport à R.

x

y

z

O y0

R0 x0

z0

M

R

systèmes transmettant descouples et des forces connus

Figure 2. 4 : la masse d’épreuve M est gardée fixepar rapport au repère du laboratoire R grâce à unsystème qui transmet des couples et des forcesconnus. La mesure de ce couple et de cette forcepermet de connaître l’orientation de R parrapport à un repère d'inertie R0.

2ème méthode : on peut fixer la masse d’épreuve au repère du laboratoire parl'intermédiaire d'un système permettant de transmettre une force et un couple parfaitementconnus (voir Figure 2. 4). En mesurant la force et le couple qu'il faut fournir à la massed’épreuve pour la conserver au repos dans le repère du laboratoire on en déduit les valeurs desdifférentes forces d'inertie et ainsi le mouvement relatif du repère du laboratoire par rapport àun repère d'inertie. Les capteurs ainsi fixés sur la structure d’un véhicule sont appelés :composants liés (ou strapdown en anglais).

En pratique on ne peut pas complètement découpler la masse d’épreuve des forcesextérieures. Il est facile de s'affranchir des forces de contact qui transmettent les accélérationsinertielles, ainsi, une masse d’épreuve en apesanteur dans un satellite ne subira pas la force defreinage que l'atmosphère exerce sur celui-ci, la décélération du satellite pourra alors être miseen évidence par le mouvement relatif du repère du laboratoire (le satellite) par rapport à lamasse d’épreuve (voir Figure 2. 5).


Force de freinage

a(M)R

R

R0

Figure 2. 5 : la masse d’épreuve n'est pas soumise à la force de freinage car lesparois du satellite font écran. On détecte donc l'accélération de la masse d’épreuvea(M)R dans le repère du satellite R, qui est égale et opposée en direction àl'accélération du satellite par rapport à un repère d'inertie R0.

Par contre, il est impossible de s'affranchir des forces gravitationnelles qui entraînentles accélérations d'origine gravitationnelle. En effet si l'on reprend notre masse d’épreuvedans le satellite, l'accélération gravitationnelle est identique sur le satellite et sur la massed’épreuve. Le mouvement relatif de l'un par rapport à l'autre ne permet donc pas de mettre enévidence cette accélération. Ainsi, le satellite, tout au long de son orbite, est soumis à uneaccélération d'entraînement a(O)R0 dirigée vers le centre de la Terre, qui ne peut être détectéepar notre dispositif (voir Figure 2. 6). On peut expliquer cette différence entre les accélérationsd'origine inertielle et celles d'origine gravitationnelle, par le fait que les forces de contactagissent sur des surfaces, il est donc possible de les écranter, comme le font les parois dusatellite avec la force de freinage. Au contraire la force gravitationnelle agit sur des volumes(c'est un champ de force), il n'y a alors aucun écrantage possible [SAUMONT 88 – p 63],[SAUMONT 00]. Ou encore, une autre façon de voir les choses est de dire que pour lagravitation il n’existe des « charges » que d’un seul signe, conduisant forcément à une forceattractive, contrairement aux forces électromagnétiques par exemple.

R

R0

Accélération du satellite

Accélération de la masse

épreuve

O

Terre

Figure 2. 6: la gravité exerce la même accélération sur la masse d’épreuve et sur lesatellite. L'accélération gravitationnelle du satellite est donc indécelable.


Cette remarque a une implication très importante pour les accéléromètres. En effet, lefait que ce dispositif ne permette pas de déterminer les accélérations d'originegravitationnelle, entraîne que les accéléromètres ne sont sensibles qu'aux accélérations parrapport au repère uniformément accéléré par le champ de gravité local, et non par rapport à unrepère d'inertie. On appellera dans la suite de ce mémoire REPÈRE LOCAL, le repère accélérépar la gravité locale.

Au contraire, le fait que la force de gravitation n'affecte que le terme d'accélérationd'entraînement a(O)R0 et pas les termes dépendants de 0/RRΩ , implique que l'on mesureeffectivement le vecteur rotation instantané par rapport à un repère d'inertie ; les gyroscopesindiquent donc les rotations par rapport aux repères d'inertie.

Dans toute la suite de ce mémoire R0 représentera un repère d'inertie et R'0 sera unrepère local.

2.2 DESCRIPTION ET CARATERISATION D’UN CAPTEUR INERTIEL

Tous les appareils de mesures sont caractérisés par un certain nombre de données quipermettent d'évaluer la qualité et les performances de l'appareil. Ces données permettent dedéterminer la précision que l'on peut attendre d'une mesure, les précautions à prendre pourminimiser l'incertitude entachant une mesure, ou la gamme de mesure pour laquelle l'appareilest conçu. Ces différentes données seront utilisées dans toute la suite de ce mémoire afin decomparer les différents gyromètres, gyroscopes et accéléromètres, il est donc très importantde les définir précisément. Les grandeurs que l’on définit ici s’appuient largement sur cellesdonnées dans [IEEE - 74, IEEE - 81].

2.2.1 Gyromètre, Gyroscope et Accéléromètre

La langue française possèdent deux mots "gyromètre" et "gyroscope" pour définir lesappareils sensibles aux rotations. Ces deux mots ne sont pas synonymes et définissent deuxtypes d'appareils différents :

• Un GYROMÈTRE est un appareil sensible aux vitesses de rotation, c'est-à-dire queson signal de sortie est une fonction de la composante le long de l'axe d'entrée (1) de l'appareilea , du vecteur rotation instantanée de l'appareil S par rapport à un repère d'inertie R0.

( )aRSsortie fS e . 0/Ω= (Eq. 2. 8)

(1) Ce terme sera défini précisément au paragraphe 2.2.8. Il correspond à la direction suivant laquelle l'appareilest sensible.

Chapitre 2 : CAPTEURS INERTIELS MECANIQUES 25

• Un GYROSCOPE (ou gyromètre intégrateur) est un appareil sensible aux angles derotation, c'est-à-dire que le signal de sortie est une fonction du déplacement angulaire del'appareil S par rapport à un repère d'inertie R0.

( ) aθfSsortie = (Eq. 2. 9)

Cette distinction entre gyroscope et gyromètre a été introduite par RADIX en 1967 [RADIX 67].

En anglais le mot "gyroscope" existe , mais le mot "gyrometer" n'existe pas. On nepeut donc pas faire facilement la distinction entre les deux types d'appareils. Ce problèmepeut être écarté en utilisant le terme "gyro", qui ne donne aucune information sur le fait qu'ils'agisse d'un gyromètre ou d'un gyroscope. Une autre solution, consiste alors à appeler lesgyromètres : "rate gyro" ; et les gyroscopes : "rate-integrating gyro", bien que cettedénomination sous-entend généralement qu'il s'agit de gyromètres ou de gyroscopesmécaniques.

• Un ACCÉLÉROMÈTRE est un appareil sensible aux accélérations, c'est-à-dire que lesignal de sortie est proportionnel à l'accélération de l'appareil S par rapport à un repèrelocal R'0.

( ) . 0'/ aRSsortie fS ea= (Eq. 2. 10)

2.2.2 Le modèle d’erreur

Les capteurs sont caractérisés par un modèle d’erreur qui permet de relier la valeurindiquée par l’appareil à la valeur de la grandeur mesurée. La grandeur mesurée (vitesse ouangle de rotation, ou accélération) est appelée grandeur d’entrée. Nous allons traiter le cas oùla grandeur d’entrée est la vitesse de rotation, elle sera donc notée Ω . La valeur indiquée parl’appareil est appelée grandeur de sortie et sera notée S .

Le modèle que l’on prend est aussi général que possible. La grandeur de sortie S estreliée à la grandeur d’entrée Ω par la relation :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ttBBttKKtS ε~ 00 +++Ω+= (Eq. 2. 11)

Nous allons expliciter chacun des termes de ce modèle, mais nous pouvons dire d’ores et déjàque les termes 0K et 0B sont des constantes, ( )tK et ( )tB sont des termes dépendant de façondéterministe de l’environnement, et ( )tε~ est une fonction aléatoire de moyenne nulle. Danstoute la suite le ~ indiquera une fonction aléatoire. Nous appelons dans la suite « conditionsd’étalonnage », les conditions d’environnement et l’historique de l’appareil au moment del’étalonnage de celui-ci. C’est dans ces conditions que les valeurs 0K et 0B ont étédéterminées en prenant arbitrairement ( )tK = 0 et ( )tB = 0. Dans les conditions d’étalonnagele modèle (Eq. 2. 11) se réduit donc à :

( ) ( ) ( )tBtKtS ε~ 00 ++Ω= (Eq. 2. 12)

Partie 2.2 : Description et caractérisation d’un capteur inertiel 26

2.2.3 0K : Le facteur d’échelle

Lorsque l’appareil détecte un signal en entrée, il fournit un signal à sa sortie donné par(Eq. 2. 12). Une modification Ωd du signal d’entrée entraîne une modification dS du signalde sortie. Le rapport de la variation du signal de sortie à la variation du signal d'entrée, dansles conditions d’étalonnage, est appelé le facteur d'échelle et vaut :

Ω=

ddSK 0 (Eq. 2. 13)

Le signal de sortie du capteur peut être un signal électrique, une valeur angulaire, undéplacement, une intensité lumineuse, un nombre d'atomes détectés, … il peut être analogiqueou numérique. Dans la plupart des cas ce rapport est constant, le facteur d'échelle est alorsjuste un nombre qui définit le facteur de proportionnalité entre le signal d'entrée (vitesse derotation, angle ou accélération) et la valeur du signal de sortie.

Il arrive que le facteur d’échelle dépende de la valeur du signal d’entrée. Typiquement,dans notre gyromètre atomique la probabilité de transition eP varie comme le cosinus de lavitesse de rotation Ω (voir Eq. 3.38). On peut se rapprocher du modèle décrit par (Eq. 2 . 11)en faisant un développement limité du signal de sortie autour du point de fonctionnement.Notre gyromètre est utilisé autour du point 2/πφ =∆ total , le développement limité donnedonc :

( )[ ]

Ω−=∆+=

h

mAP totale

2121 cos1

21 φ (Eq. 2. 14)

avec ( )Ω+=∆ h/22/ mAtotal πφ (1). On retrouve alors le facteur d’échelle reliant eP à Ωautour du point de fonctionnement :

h

mAK −=0 (Eq. 2. 15)

Si l’on s’éloigne trop du point de fonctionnement, le développement limité doit alorsêtre poussé à des ordres supérieurs, le facteur d’échelle devient alors une fonction de lagrandeur d’entrée. Typiquement dans notre cas à l’ordre 3 on trouve :

Ω

+Ω−= 3

3231 21

21

hh

mAmAPe (Eq. 2. 16)

Le facteur d’échelle vaut alors :

( )

Ω

−−=Ω 2

3

02

31 2

21

hh

mAmAK (Eq. 2. 17)

(1) Cette expression du déphasage sera détaillée au chapitre 3, m est la masse de l’atome, A est l’aire del’interféromètre et h est la constante de PLANCK divisée par 2π.


Il est alors la somme du terme défini par (Eq. 2. 15) et d’un terme en 2Ω appelé nonlinéarité d’ordre 2 du facteur d’échelle. Plus on s’éloigne du point de fonctionnement, plus lenombre d’ordres dont il faudra tenir compte sera élevé.

2.2.4 0B : Le biais

Lorsque le signal d'entrée Ω est nul, il peut arriver que le signal de sortie S ne le soitpas. Cette valeur du signal de sortie, dans les conditions d’étalonnage, est appelée le biais del'appareil. Il correspond donc à 0B . On ne prend pas en compte ( )tε~ car on suppose que surun grand nombre de mesures à 0=Ω , lincertitude apportée par ( )tε~ est négligeable.

2.2.5 ( )tε~ : Le bruit limite en sortie

Lorsque l’on réalise une mesure dans les conditions d’étalonnage à l’instant 0tt = , lesignal de sortie est donné par (Eq. 2. 12), où 0K et 0B sont les seules valeurs déterministesconnues. Sur une mesure, la valeur estimée de Ω à partir de S , notée Ω~ est alors donnéepar :

0

0~K

BS −=Ω (Eq. 2. 18)

On réalise donc une erreur Ω∆ ~ sur la valeur de Ω de :

( ) ( )0

0~

~ ~Ktε

=Ω−Ω=Ω∆ (Eq. 2. 19)

( )tε~ est appelé le bruit limite en sortie, et ( )( )0/~ Ktε représente le bruit limite en entrée.L’écart-type Ω∆~σ de la variable aléatoire Ω∆ ~ correspond à l’incertitude sur la mesure de Ω .C’est ce paramètre qui caractérise la qualité de la mesure.

Si l’on suppose que le signal d’entrée reste constant au cours du temps, on peutréaliser un grand nombre de mesures. Le bruit ( )tε~ est alors moyenné et tend à s’annuler. Onréduit ainsi l’erreur faite sur la mesure de Ω . La façon dont Ω∆~σ évolue avec le nombre demesures réalisées dépend de la nature du bruit ( )tε~ . Même dans un appareil « parfait » ilexiste toujours une source de bruit intrinsèque à l'appareil que l'on ne peut pas supprimer. Cebruit d’origine quantique est une réelle limitation physique, et non une limitationexpérimentale. Nous verrons au paragraphe 2.2.7 l’influence de ce bruit limite sur Ω∆~σ , etd’autres formes de bruits que l’on peut également rencontrer.

2.2.6 ( )tK et ( )tB : Les fluctuations du facteur d’échelle et du biais

Les valeurs du facteur d'échelle et du biais peuvent fluctuer au cours du temps enfonction des différents paramètres propres à l’environnement (pression, température,vibrations, …), mais aussi en fonction de l’historique de l’appareil (nombre et durée desutilisations, chocs, …). Lorsque l’on s’éloigne des conditions d’étalonnage il faut remplacer lemodèle d’erreur (Eq. 2. 12) par le modèle (Eq. 2. 11) qui prend en compte les fluctuations du

Partie 2.2 : Description et caractérisation d’un capteur inertiel 28

facteur d’échelle et du biais. Ces fluctuations sont d’origine purement déterministe maisdépendent de tellement de paramètres que leur modélisation complète est impossible.

Les contributions modélisables à ces fluctuations peuvent être incorporées dans lestermes 0K et 0B . Par exemple, supposons que l’on connaisse parfaitement la dépendance dufacteur d’échelle avec la température, on peut alors remplacer le terme 0K par ( )TK 0 , et enmesurant constamment la température on en déduit alors la valeur du facteur d’échelle dansles nouvelles conditions de température.

Les contributions qui ne peuvent être modélisées de façon déterministe sont alorstraitées comme des bruits. On leur associe alors une fonction aléatoire dont la densitéspectrale de puissance est évaluée expérimentalement voire parfois empiriquement. Lemodèle d’erreur (Eq. 2. 12) peut alors être réécrit sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tbyBtxKtS ji~ 00 ++Ω= (Eq. 2. 20)

où les ix et les jy représentent tous les paramètres dont la dépendance respectivement dufacteur d’échelle et du biais peuvent être modélisables. ( )tb~ est une fonction aléatoirepossédant une contribution liée au bruit limite ( )tε~ , et une contribution liée à toutes lesdépendances non modélisables de façon déterministe du facteur d’échelle ( )tκ~ et du biais

( )tβ~ . ( )tb~ peut alors s’écrire :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tttttb εβκ ~~ ~~++Ω= (Eq. 2. 21)

Nous allons voir maintenant quelles sont les formes de bruits usuellement rencontréesdans les différents types de capteurs inertiels.

2.2.7 Formes de bruits dans les capteurs inertiels optiques et mécaniques

Les capteurs inertiels peuvent être divisés en deux catégories, suivant l’effet physiquequ’ils utilisent. On distingue ainsi dans le domaine de la gyrométrie, les gyroscopesmécaniques fonctionnant sur un principe mécanique (loi de la gyroscopie, force de CORIOLIS –voir Annexe C), et les gyromètres optiques exploitant l’effet SAGNAC (décrit au chapitre 3 eten Annexe D). Ces deux types de capteurs sont très différents, et les bruits qui lescaractérisent sont propres à chacun d’eux. Nous allons les détailler ici.

1) Les capteurs inertiels optiques et atomiques

Dans les capteurs optiques et atomiques les bruits liés aux fluctuations du facteurd’échelle et du biais sont très faibles, et c’est donc le bruit limite ( )tε~ qui prédomine. Dans lecas où le signal de sortie est un flux lumineux, ce bruit limite est appelé bruit de photons. Ilest lié à la statistique poissonienne du nombre de photons détectés par un photodétecteurpendant une durée T : c’est donc un bruit blanc.


Dans le cas d’un gyromètre optique, ce bruit blanc en détection ε~ se traduit par unbruit blanc Ω∆ ~ sur la vitesse de rotation mesurée Ω~ . Par intégration temporelle, ce bruitblanc induit alors un bruit de marche aléatoire sur la détermination de l’angle de rotation

TT Ω= ~~θ , qui conduit à une incertitude sur l’angle Tθσ ~

∆ proportionnelle à T , où T est ladurée d’observation. Par contre, la détermination de la vitesse de rotation moyenne TΩ~ , àpartir d’une observation sur une durée T, est entachée d’une incertitude TTT /~~ θσσ ∆Ω∆ =diminuant comme 1/ T (on pourra se reporter à l’Annexe B pour plus de précisions).

Les gyromètres

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 10

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1durée d'intégrat

pente –1/2pente

+1 et +2

palier descintillation

bruits descintillation

bruitblanc

bruit limite quantiqueen l’absence des

autres termes

Tlim Tcar

duréed’intégration T

dérives dubiais d’ordre1 et 2

ultimeΩ∆~σ

Ω∆~σ

TΩ∆~σ

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 10

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1durée d'intégrat

pente +1/2

pente +1

Tlim Tcar

Tθσ ~

∆~

bruit de scintillation de vitesse de

rotation

dérives du biaispente +2 et +3

durée d’intégration T

bruit blanc de vitesse de

rotation θσ ~

∆

Les gyroscopes

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 10

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1durée d'intégrat

pente –3/2

pente +1

bruits en 1/fen angle

dérivesdu biais

bruit blancd’angle

Tlim Tcar

TΩ∆~σ

pente –1

duréed’intégration T

Ω∆~σ

ultimeΩ∆~σ

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 10

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1durée d'intégrat

pente –1/2 pente +1

palier descintillation

bruits en 1/fen angle

dérivesdu biais

bruit blancd’angle

bruit limitequantique

Tlim Tcar

Tθσ ~

∆ duréed’intégration T

θσ ~∆

ultimeθσ ~

∆

Figure 2. 8 : évolution de l’incertitude sur la mesurede vitesse de rotation en fonction du tempsd’intégration, avec un gyromètre (en haut) et avec ungyroscope (en bas). Les unités mentionnées sur lesaxes sont purement arbitraires.

Figure 2. 9 : évolution de l’incertitude sur la mesurede l’angle de rotation en fonction du tempsd’intégration, avec un gyromètre (en haut) et avec ungyroscope (en bas). Les unités mentionnées sur lesaxes sont purement arbitraires.

Partie 2. 3 : Performances des différents gyroscopes et gyromètres 30

Si l’on considère maintenant un gyroscope (1), le bruit blanc de détection ε~ donne unbruit blanc θ~∆ sur l’angle de rotation mesuré θ~ . L’incertitude sur l’angle de rotation moyen

Tθσ ~

∆ sur une durée T diminue donc comme 1/ T , et celle sur la vitesse de rotation moyenne,TTT /~~ θσσ ∆Ω∆ = , est déduite des mesures d’angles et diminue comme 2/3/1 T .

Pour T = 1 seconde on a évidemment les relations :

seconde1seconde1

1seconde~~seconde1

~~

=∆∆=

Ω∆Ω∆ ===T

T θθ σσσσ (Eq. 2. 22)

Ω∆~σ (resp. θσ ~∆ ) est parfois appelée la sensibilité sur une seconde du gyromètre (resp. du

gyroscope).

θσ ~∆ s’exprime en (rad .Hz -1/2 ) et Ω∆~σ s’exprime en (rad.s-1. Hz -1/2 ). Pour un gyromètre on

utilise souvent comme unité de Ω∆~σ le (deg / √h), avec la conversion :

1 rad.s-1. Hz -1/2 = 360013600180

×

π = 3437,75 deg / √h (Eq. 2. 23)

Expérimentalement on observe qu’au bout d’un temps d’intégration limT l’incertitudeT

Ω∆~σ ne diminue plus, et peut même augmenter. Ce phénomène est lié au fait que pour destemps d’intégration relativement longs, les termes liés aux fluctuations du biais ( )tβ~ et dufacteur d’échelle ( )tκ~ deviennent prépondérants devant ( )tε~ . Ces deux termes contiennentessentiellement une contribution de bruit en 1/f, ainsi que des termes de dérives linéaires oud’ordres plus élevés. Par intégration sur une durée limTT ≥ , le bruit en 1/f conduit à un palierlimite appelé palier de scintillation (ou palier flicker). Les termes de dérives quant à euxinduisent une remontée de T

Ω∆~σ proportionnelle à T. L’évolution de TΩ∆~σ a alors la forme

représentée Figure 2. 9.

2) Les capteurs inertiels mécaniques

Expérimentalement on constate que les sources de bruits prédominantes dans uncapteur mécanique sont liées aux fluctuations du biais ( )tβ~ et du facteur d’échelle ( )tκ~ . Cesfluctuations ont des causes très diverses et la densité spectrale de puissance représentant cesfluctuations est généralement complexe. Elle présente souvent des fréquences caractéristiquesliées par exemple au nombre de billes contenues dans un roulement à billes, ou à la vitesse derotation du roulement.

(1) Il n’y a pas de gyroscope optique limité par un bruit blanc d’angle, par contre certains gyroscopes mécaniquespeuvent être limités par un bruit blanc d’angle pour une certaine durée d’intégration. Ce bruit blanc est toujoursbeaucoup plus élevé que le bruit limite quantique.


De même que pour un gyromètre optique, le bruit total ( )tb~ peut être décomposé entrois contributions suivant la formule (Eq. 2. 21). Mais à l’inverse du gyromètre optique, lesfluctuations du biais et du facteur d’échelle sont prédominantes par rapport à ( )tε~ , et celaquelle que soit la durée d’intégration. Les deux premiers termes de (Eq. 2. 21) produisent engénéral un bruit blanc d’origine technique, un bruit en 1/f d’origine thermique, et unecontribution liée aux dérives du biais, notamment d’origine mécanique. La dérive estgénéralement linéaire et devient prédominante devant toutes les autres sources de bruits aubout d’un temps caractéristique carT , typiquement de l’ordre de quelques secondes.

Le bruit limite d’origine quantique ( )tε~ existe aussi. Il est lié au bruit thermique(d’origine quantique) dans les composants mécaniques, mais il reste invisible, masqué par lesdeux autres contributions (1).

3) Comparaison entre les gyroscopes mécaniques et les gyromètres optiques

• Dans un gyroscope mécanique, les temps limT et carT sont tous les deux inférieurs àla seconde. On va donc considérer que les gyroscopes ne présentent que des dérives. Lesgyroscopes mécaniques sont donc généralement caractérisés par la fluctuation moyennerelative du facteur d’échelle ( ) 0/~ Ktκ exprimée en ppm (1 ppm = 10-6), et par la valeurmoyenne de la dérive du biais ( )tβ , exprimée en deg.h-1.

• Dans un gyromètre optique le temps limT est compris entre 10 minutes et deux heureset carT est de l’ordre de quelques heures. On caractérise généralement un gyromètre optiquepar les valeurs du palier de scintillation ultime

Ω∆ ~σ (appelé parfois sensibilité ultime de l’appareil)et de la durée limT au bout de laquelle ce palier est atteint. On remonte donc à la sensibilitésur une seconde

Ω∆~σ par la relation :

lim~~ Tultime ×= Ω∆Ω∆σσ (Eq. 2. 24)

On précise rarement la valeur de la dérive car celle-ci augmente tellement vite que l’onn’utilise jamais le gyromètre sur des durées d’intégration supérieures à limT .

On trouvera en Annexe D les descriptions de ces différents gyromètres optiques et descauses physiques qui provoquent les diverses fluctuations du biais et du facteur d’échelle,ainsi que leurs sensibilités ultimes.

• Comparaison :Dans le domaine de la navigation inertielle, c’est généralement l’incertitude sur l’angle

de mesure Tθσ ~

∆ qui importe, c’est donc ce paramètre que nous allons utiliser pour comparer

(1) Le seul gyroscope mécanique limité effectivement par un bruit blanc sur de longues durées d’intégration est,à notre connaissance, le gyroscope réalisé pour le test de relativité générale Gravity Probe B. Mais en tout état decause ce bruit blanc est largement supérieur au bruit limite quantique. Cette expérience, ainsi que le gyroscopesont décrits dans le paragraphe 8.1.


les sensibilités de gyroscopes mécaniques et des gyromètres optiques. On peut alors tracer lescourbes typiques de sensibilité des gyroscopes et gyromètres en fonction du tempsd’intégration (voir Figure 2. 10). On constate que pour des applications où le tempsd’intégration doit être long (plusieurs mois pour un sous-marin) et où aucun recalage n’estpossible pendant cette durée, les gyroscopes mécaniques sont mieux appropriés. Pour lestrajets de courte durée (avion de ligne, obus, drones, …) les gyromètres optiques sont utilisésd’autant plus qu’en général un recalage est possible grâce au système GPS ou à des balises ausol.

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1durée d'intégration TT0

Tθσ ~

∆

gyroscope

gyromètre

gyromètreθσ ~

∆

gyroscopeθσ ~

∆

Figure 2. 10 : sensibilité typique d’un gyroscope mécanique (trait plein) et d’ungyromètre optique (pointillé) en fonction du temps d’intégration. Au bout d’untemps T0 de l’ordre de quelques heures, la dérive du gyromètre devient supérieure àcelle du gyroscope. (unités arbitraires, voir paragraphe 2.3 pour plus d’informations)

2.2.8 Autres grandeurs importantes

1) Axe d’entrée

Les capteurs inertiels ne sont sensibles, en général, que suivant une seule directionparticulière. On appelle axe d'entrée la direction suivant laquelle le capteur est sensible. Cettedirection sera notée ae dans tout le reste de ce mémoire. Pour un gyromètre, la grandeurd’entrée (notée précédemment Ω ) est la projection du vecteur rotation instantanée sur l’axed’entrée de l’appareil.

• On considère un gyromètre avec son axe d'entrée donné par ae et on supposemaintenant que le repère R auquel est lié le gyromètre est animé d'un mouvement derotation par rapport à un repère d'inertie R0, donné par le vecteur rotation instantané 0/RRΩ .On exprime 0/RRΩ et ae dans la base x, y, z de R0 :


= 0/RRΩ

ΩΩΩ

z

y

x

=

za

ya

xa

a

eee

e

alors la grandeur d’entrée Ω est donnée par la projection du vecteur rotation instantané surl'axe d'entrée du gyromètre, c'est-à-dire à :

∝ S . 0 =aR/R eΩ ( )aR/Rzaz

yay

xax eee θ cos 0Ω=Ω+Ω+Ω (Eq. 2. 11)

où aθ est l'angle entre l'axe de rotation instantané 0/RRΩ et l'axe d'entrée du gyromètre ae .

On pourra trouver en Annexe C des gyroscopes mécaniques à deux axes d'entréedistincts. Dans ce cas, le gyroscope possède alors généralement deux sorties distinctes, unepour chacun des axes d'entrée, et il peut alors être traité comme un ensemble de deuxgyroscopes uni-axe.

2) Dynamique

On appelle la dynamique, la plage de valeurs de la grandeur d'entrée Ω qui donne unevaleur correcte du signal de sortie S, c’est-à-dire reliée par (Eq. 2.11) ou (Eq. 2.20). Ladynamique de l’appareil est un critère extrêmement important pour choisir le capteur inertielen fonction de l’application. Un gyromètre de très bonne sensibilité mais de dynamiquelimitée à 1 deg.s-1 sera par exemple inutilisable dans un sous-marin plongeant avec une vitessede rotation autour d’un axe horizontal de 3 deg.s-1. Il s’agit donc souvent de trouver lemeilleur compromis entre sensibilité et dynamique.

3) Bande passante

Tous les appareils se comportent comme des filtres passe-bas de fréquence de coupureplus ou moins élevée. On conçoit aisément que si la vitesse de rotation oscille entre deuxvaleurs avec une fréquence très rapide, l’appareil ne distinguera pas ces variations et donnera,dans le meilleur des cas, une valeur moyenne intégrée sur le temps de réponse de l’appareil.La bande passante correspond au domaine de fréquence dans lequel le signal de sortie del’appareil est relié à la grandeur d’entrée grâce au facteur d’échelle. Elle est définie en Hz.

Il arrive de plus que l’appareil ne soit pas sensible dans le continu, notamment pour lesaccéléromètres. On définit alors également une fréquence de coupure basse.


2.2.9 Les unités

1) rad, deg

• les angles de rotation• les dynamiques de gyroscope

sont mesurés en radian (rad) ou en degré (deg). On a :

1 rad = 180/π deg ~ 57,3 deg

2) rad.s-1, deg.h-1, deg.s-1

• les dérives angulaires linéaires (dérives du biais pour un gyroscope)• les vitesses de rotations• les dynamiques de gyromètre

s'expriment en radian par seconde (rad.s-1) ou bien en degré par heure (deg.h-1). Ces deuxunités sont liées par la relation :

1 rad.s-1 = 3600 ×180/π deg.h-1 = 206.265 deg.h-1 ~ 2.105 deg.h-1

Pour les gyroscopes de faibles performances on utilise aussi le degré par seconde (deg.s-1)pour caractériser la dérive du biais :

1 deg.s-1 = π/180 rad.s-1 = 1/3600 deg.h-1

3) rad.s-1.Hz-1/2, deg.h-1/2

Dans le cas d’un gyromètre limité par un bruit d’origine poissonnienne (typiquement ungyromètre optique ou atomique limité par le bruit de photons) on définit la sensibilité sur uneseconde Ω∆~σ en rad.s-1.Hz-1/2 ou en deg.h-1/2 avec la correspondance donnée en (Eq. 2. 23):

1 rad.s-1. Hz -1/2 = 360013600180

×

π = 3437,75 deg.h-1/2

4) m.s-2, Gal, g

• Les accélérations s'expriment en mètre par seconde carré (m.s-2).Lorsqu'il s'agit d'accélérations d'origines gravitationnelles on utilise généralement le Gal, avecla correspondance :

1 Gal = 1 cm.s-2 = 10-2 m.s-2


Dans la littérature, on utilise souvent abusivement le g comme unité (et ses sous-unitésle mg et le µg) pour les accéléromètres et les gravimètres. Cette unité n’est pas clairementdéfinie, c’est l’accélération de la gravité à la surface de la Terre. On a donc lacorrespondance approximative :

1 g ~ 9,81 m.s-2

2.2.10 Caractérisation d’un capteur inertiel

La caractérisation complète d'un capteur inertiel est un travail extrêmementcompliqué. Il n'est pas rare d'avoir une fiche technique de plusieurs dizaines de pages, justepour indiquer les spécifications de l'appareil. Ceci peut s'expliquer par deux considérationsimportantes :

• Les capteurs inertiels sont des appareils faisant appel à beaucoup de technologies dehaute précision. Les conditions d'utilisation et l'environnement sont donc souvent trèscritiques. Ainsi la dépendance du facteur d'échelle avec la température, la pressionatmosphérique ou l'hygrométrie sont des caractéristiques qui sont souvent indiquées. Demême, l'incertitude entachant une mesure peut être donnée en fonction de la durée depuislaquelle l'appareil est allumé, et du nombre d'allumages. Sans vraiment modéliser toutes cesinfluences, les constructeurs fournissent généralement des courbes et des abaques permettantde les évaluer.

• Les capteurs inertiels sont souvent sensibles à plusieurs effets inertiels. Ainsi ungyroscope peut avoir une dépendance de son signal de sortie en fonction de l'accélération etréciproquement un accéléromètre peut être sensible aux rotations. Le modèle d’erreur (Eq.2.11) doit alors être remplacé par un modèle dépendant de deux grandeurs d’entrée Ω et a :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ttBBtatKKttKKtS ε '' 000 +++++Ω+=

Il convient alors de caractériser précisément comment influent ces dépendances"parasites" sur le signal de sortie et de les intégrer dans un modèle similaire à (Eq. 2. 11) oùle facteur d’échelle et le biais sont décrits par des fonctions ( )axK i,0 et ( )ayB j,0 .

Nous verrons au chapitre 4 que notre gyromètre atomique est en fait un gyromètre /accéléromètre. Il convient donc, pour réaliser un appareil métrologique, de mettre en œuvredes méthodes permettant de séparer les dépendances accélérométrique et gyrométrique(double jet atomique détaillé paragraphe 5.3.4).


2.2.11 Comparaison de deux capteurs inertiels

La comparaison de capteurs inertiels fonctionnant sur des principes physiquesdifférents (mécanique, optique) est encore plus difficile. Les performances sont souventdonnées en fonction de l'utilisation qui sera faite du capteur. Ainsi, pour un capteur inertielutilisé en navigation, la performance sera couramment donnée en m-h, qui correspond aunombre de milles nautiques d'erreur par rapport à la position prévue, après une heure devoyage (1 mille nautique = 1852 mètres). Cette unité dépend donc de la vitesse du véhicule.

On peut retenir que :• les gyroscopes mécaniques sont limités par des bruits d'origine technique, et seront

généralement caractérisés par la dérive du biais, exprimée en rad.s-1 ou en deg.h-1 .

• Les gyromètres optiques (et notre gyromètre atomique) sont limités par le bruitlimite quantique et sont caractérisés par la sensibilité sur 1 seconde, exprimée en rad.s-1.Hz-1/2

ou en deg.h-1/2 et par la valeur du palier de scintillation (ou sensibilité ultime) exprimée enrad.s-1 ou en deg.h-1.

2.3 PERFORMANCES DES DIFFERENTS GYROSCOPES ET GYROMETRES

On a recensé dans le tableau ci-dessous les performances des différents gyroscopes etgyromètres de haute sensibilité que l’on trouve sur le marché et dans les laboratoires. Onpourra trouver une description des différents gyroscopes mécaniques en Annexe C et desgyromètres optiques en Annexe D.


2.3.1 Appareils industriels

Gyroscopesmécaniques

Nom DériveDeg.h-1

Commentaires

Disque tournant SDFG ~ 10-4 fragile et très cher

Sphère tournante 2DFG, GSE < 10-4

Elément vibrant THG, DART ~ 1 très robuste et bon marché

Bol vibrant HRG ~10-3 fragile et cher

Gyromètresoptiques

Nom Sensibilité sur 1 srad.s-1.Hz-1/2

palier ultime

Gyromètre à fibreoptique

IFOG 3 10-7 qq 10-3 deg.h-1 en 30 minutes

Gyrolaser RLG Qq 10-8 qq 10-4 deg.h-1 en qq heures

2.3.2 Appareils de laboratoire

Type degyromètre

référence Sensibilité sur 1 srad.s-1.Hz-1/2

Commentaires

Gyro atomiquePRITCHARD

[LENEF 97] 3,6 10-6 Réseaux mécaniques

Gyro à héliumsuperfluide

[AVENEL 97] 2 10 –7

Gyro laser [ROWE 99] 1,3 10-9 Aire = 1 m2

Gyro atomiqueKASEVICH

[GUSTAVSON 00] 6 10 –10 Séparatrices RAMANdurée d’intégration max ~10 s

Notre Gyro [HOLLEVILLE 00] Attendue : 3,5 10 –8 durée d’intégration espéréeplusieurs heures voire plus


On donne à titre d’exemple la sensibilité attendue pour le projet spatial Gravity ProbeB, visant à mettre en évidence l’effet relativiste LENSE-THIRRING provoqué par la rotation dela Terre. L’appareil est un gyroscope mécanique supraconducteur qui devrait présenter unbruit blanc d’angle sur de longues durées (typiquement 4 heures). Ce dispositif permettraitdonc de diminuer l’incertitude sur la mesure de vitesse de rotation comme T -3/2, où T est letemps d’intégration.

Appareilgyroscope

référence sensibilité sur 1 srad. Hz-1/2

palier limite estimé, ramené enrad.s-1 après 4 h d’intégration

Gravity Probe B [BUCHMAN 96] 5,8 10-7 3,4 10-13

Un autre projet spatial, visant également à mettre en évidence l’effet LENSE-THIRRING est en cours d’étude au CNES et à l’ESA. Il s’agit du projet Hyper qui devraitutiliser deux gyromètres à atomes froids de très grande sensibilité, et permettrait de réaliserune réelle cartographie du champ gravito-magnétique créé par la Terre (voir paragraphe 8.1).

Appareilgyromètre

référence sensibilité sur 1 srad.s-1.Hz-1/2

palier limite estimé en rad.s-1

Hyper [RASEL 00] ~ 10-12 qq 10-16


BIBLIOGRAPHIE

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[IEEE – 81] "IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure forSingle-Axis Laser Gyros", Published by The Institute of Electrical andElectronical Engineers, New York, (1981)

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[LAWRENCE 98] A. Lawrence, "Modern Inertial Technology : Navigation, Guidance, andControl", Ed. Springer, (1998) second edition, ISBN 0 387 98507 7

[LENEF 97] A. Lenef, T. D. Hammond, E. T. Smith, M. S. Chapman, R. A.Rubenstein, D. E. Pritchard, "Rotation Sensing with an AtomInterferometer", Phys. Rev. Lett., 78, p 760, (1997)

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[RADIX 67] J.C. Radix, "La navigation par inertie", ed. Que sais-je ?, Paris, 1235,(1967)


[ROWE 99] C. H. Rowe, U. K. Schreiber, S. J. Cooper, B. T. King, M. Poulton, G. E.Stedman, "Design and operation of a very large ring laser gyroscope",Appl. Opt., 38, p 2516, (1999)

[SAUMONT 88] R. Saumont, "Analyse dimensionnelle et similitude en physiquefondamentale", Editions Européennes, Antony, (1988)

[SAUMONT 00] R. Saumont, "Antigravitation mythe ou réalité ?", Fusion, 81, 9, (2000)

Chapitre 3 : L’EFFET SAGNAC 43

Chapitre 3 : L’EFFET SAGNAC


3.1 L'EFFET SAGNAC...................................................................................................... 453.1.1 Un peu d'histoire sur l'effet Sagnac...................................................................... 453.1.2 Calcul de l’effet Sagnac optique .......................................................................... 46

3.1.2.1 Méthode de calcul élémentaire pour les ondes lumineuses dans le vide ......... 473.1.2.2 Remarques à propos de cette méthode de calcul.............................................. 493.1.2.3 Cas général d’une onde se propageant à la vitesse V....................................... 50

3.1.3 Cas des ondes de matière ..................................................................................... 513.1.3.1 Calcul relativiste............................................................................................... 513.1.3.2 Calcul classique / relativiste............................................................................. 523.1.3.3 Comparaison entre le calcul relativiste et le calcul quantique ......................... 533.1.3.4 Calcul quantique............................................................................................... 543.1.3.5 Une idée fausse … mais tenace........................................................................ 55

3.2 COMPARAISON ENTRE LE DÉPHASAGE OPTIQUE ET ATOMIQUE.............. 56

3.3 L’EFFET SAGNAC POUR MESURER LES ROTATIONS...................................... 573.3.1 Gyromètre ou Gyroscope ? .................................................................................. 573.3.2 Axe d’entrée ......................................................................................................... 573.3.3 Influence de la forme de l'interféromètre ............................................................. 583.3.4 Influence de la position de l’axe de rotation ........................................................ 583.3.5 Facteur d'échelle et biais ...................................................................................... 593.3.6 Sensibilité sur une seconde .................................................................................. 603.3.7 Cas d'une vitesse de rotation non constante ......................................................... 60

3.4 CONCLUSION ............................................................................................................ 61

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 62

Introduction 44

CHAPITRE 3 :

L’EFFET SAGNAC

Nous avons décrit, au chapitre précédent, les moyens de caractériser des capteursinertiels, ainsi que les performances des appareils disponibles sur le marché. Deux typesd’appareils ont pu être distingués :

les gyroscopes mécaniques utilisant les principes d’inertie, et conduisant à desappareils performants (jusqu'à 10-4 deg.h-1 pour les gyroscopes mécaniques à suspensionélectrostatique) largement utilisés en navigation, mais qui restent fragiles et très coûteux.

les gyromètres optiques (ou atomiques) fondés sur l’effet SAGNAC, que nous allonsdétailler maintenant.

Sous certaines conditions, le déphasage à la sortie d'un interféromètre peut êtresensible à la rotation et à l'accélération du repère lié à l'appareil. Cet effet est connu sous lenom d'effet SAGNAC ; il est très général et peut s'appliquer à des ondes de natures trèsdifférentes.

En utilisant des ondes lumineuses dans l'interféromètre, l'effet SAGNAC optiqueconduit à la réalisation de gyromètres optiques qui constituent des capteurs de hautesensibilité, peu encombrants et faciles d'utilisation.

On peut également appliquer l'effet SAGNAC aux ondes de matière, et l'on réalise ainsides gyromètres neutroniques ou atomiques d'extrême sensibilité.

L'objectif de ce chapitre est de décrire comment fonctionne un capteur inertielinterférométrique. Nous commencerons, dans le paragraphe 3.1, par détailler l'effet SAGNAC

dans le cas optique. Le calcul que l’on trouve généralement dans la littérature s’appliqueexclusivement au cas d’une onde lumineuse se propageant dans le vide. Ce calcul simplecache en réalité un grand nombre de difficultés que nous allons tenter d’expliciter. Nousdonnerons alors la formule de l’effet SAGNAC dans le cas général d’une onde lumineuse dans


un milieu d’indice n. A partir du cas général précédent, nous déterminerons la forme queprend l’effet SAGNAC dans le cas des ondes de matière, en mettant l’accent sur les subtilitésqui apparaissent.

Au paragraphe 3.2 nous comparerons les deux relations obtenues dans le cas optiqueet dans le cas atomique, et nous montrerons que les gyromètres utilisant l’effet SAGNAC pourles ondes atomiques sont potentiellement beaucoup plus sensibles que les gyromètresoptiques.

Le paragraphe 3.3 reprendra les notions de facteur d’échelle et de biais introduites auparagraphe 2.2, et présentera comment celles-ci s’adaptent aux cas des gyromètres à effetSAGNAC.

3.1 L'EFFET SAGNAC

3.1.1 Un peu d'histoire sur l'effet SAGNAC

Cet effet a été mis en évidence en 1913 par G. SAGNAC [SAGNAC 13], [SAGNAC 14]grâce à un interféromètre optique pentagonal placé sur une table tournant rapidement.Pourtant, l'utilisation d'un interféromètre optique pour détecter la rotation de la Terre avaitdéjà été proposée par Sir OLIVER LODGE en 1893 [LODGE 93], mais ce travail est restéméconnu car il s'appuyait sur la théorie de l'Ether. On peut citer également le travail de thèsede F. HARRESS qui aurait vraisemblablement observé cet effet deux ans avant SAGNAC, aucours d'une expérience d’entraînement de la lumière dans un milieu optique en mouvement,mais sa mort prématurée l’a empêché de concrétiser ses travaux. HARZER en 1914 reprend lesétudes menées par HARRESS et donne, un an après SAGNAC, mais apparemment de façonindépendante la formule du déphasage produit par une rotation [HARZER 14]. La premièremise en évidence de la rotation de la Terre par effet SAGNAC a été réalisée en 1925 parMICHELSON, GALE et PEARSON [MICHELSON 25], grâce à un gigantesque interféromètreoptique d’aire 0,21 km2. De nos jours cet effet est utilisé dans tous les gyromètres optiques.Pour plus de précision sur l’historique de l'effet SAGNAC, on pourra se reporter à [HARIHARAN

75].Avec l'avènement du laser dans les années 60, des gyromètres optiques utilisables pour

la navigation se sont développés. Cette évolution a débuté avec le premier gyro-laser réalisépar MACEK et DAVIS Jr en 1963 [MACEK 63], puis s'est poursuivie essentiellement avecl'apparition des fibres optiques avec pour application directe : le gyromètre à fibre optiquedéveloppé par VALI et SHORTHILL en 1976 [VALI 76] et celui élaboré par EZEKIEL etBALSAMO en 1977 [EZEKIEL 77]. L'évolution de ce type d'appareil a été très rapide et leursensibilité n'a cessé de s’améliorer. Les meilleurs gyro-lasers commerciaux atteignent de nosjours des sensibilités ultimes proches de 10-4 deg.h-1 et certains appareils de laboratoireaffichent des sensibilités sur une seconde voisines de 10-9 rad.s-1.Hz -1/2 [ROWE 99].

L'effet SAGNAC optique peut être interprété comme une force de CORIOLIS appliquée àune particule de masse fictive m = hν /c². Il était donc logique d'essayer de réaliser des

Partie 3. 1 : L’effet SAGNAC 46

interféromètres avec de vraies particules massives. Historiquement, la première mise enévidence de l'influence d'une rotation sur le déphasage d'un interféromètre à ondes de matièrea été réalisée en 1964 par ZIMMERMAN et MERCEREAU [ZIMMERMAN 64], [ZIMMERMAN 65].Dans leur dispositif, les ondes de matière étaient des électrons associés en paires de COOPER

circulant dans une boucle supraconductrice. Un an plus tard BONSE et HART [BONSE 65]obtiennent des franges d'interférences avec un interféromètre optique utilisant des rayons X,ils ouvrent ainsi le domaine de l'interférométrie à l'échelle de l'angström. Dans leurinterféromètre, les rayons X sont séparés puis recombinés grâce à la diffraction dans un cristalde Silicium. En 1974 RAUCH, TREIMER et BONSE démontrent la possibilité de transposer cetype d'interféromètre à cristal aux ondes de matière associées à des neutrons [RAUCH 74], dontla longueur d'onde est du même ordre de grandeur que celle des rayons X. Ce sont finalementles expériences de OVERHAUSER, COLELLA, WERNER et STAUDENMANN qui démontreront lasensibilité des interféromètres à neutrons au champ de gravité [OVERHAUSER 74], [COLELLA

75] et de rotation [WERNER 79] (une revue globale sur l'ensemble de ces expériences pourraêtre trouvée dans la référence [STAUDENMANN 80]). Le premier interféromètre à ondesatomiques mettant en évidence un déphasage produit par une rotation date de 1991 et a étéréalisé avec des atomes de Calcium par RIEHLE, KISTER, WITTE, HELMCKE et BORDÉ [RIEHLE

91]. Depuis cette date, plusieurs projets de gyromètres à ondes atomiques se sont développés[LENEF 97], [GUSTAVSON 97], et les sensibilités obtenues sont maintenant équivalentes àcelles des meilleurs gyromètres optiques [LANDRAGIN 99].

3.1.2 Calcul de l’effet SAGNAC optique

L’effet SAGNAC est un effet complexe qui, si on n’y prend pas garde, peut être malinterprété. Les articles traitant de cet effet dans le cas optique ne manquent pas et les façonsde le calculer sont quasiment aussi nombreuses. On trouve ainsi des calculs à partir deconsidérations de relativité restreinte [HEHL 90], et générale [CHOW 85], des calculs d'effetDOPPLER dans le repère d'inertie [DRESDEN 79], ou de dynamique dans le repère tournant[TSAI 88], en réécrivant les équations de MAXWELL dans le repère tournant [WILKINSON 87],ou encore par des méthodes plus exotiques comme le calcul par extension de l'hypothèse delocalité [MASHHOON 88], ou par invariance adiabatique [FORDER 84]. Tous ces calculsdonnent évidemment le même résultat ; parfois par des méthodes très simples, alors qued’autres sont quasiment incompréhensibles pour des non relativistes !

Nous avons choisi de présenter ici, dans un premier temps, la méthode la plus simplepossible que l’on rencontre dans la plupart des ouvrages [STOREY 94, CHOW 85, ARANOWITZ

71, … ]. Cette méthode de calcul n’est pas à prendre telle quelle ; elle est donnée ici pourservir de base à un certain nombre de remarques qu’il nous semble important de développer.


3.1.2.1 Méthode de calcul élémentaire pour les ondes lumineuses dans le vide

Considérons un interféromètre optique circulaire de rayon R comme celui représentésur la Figure 3. 1. L’onde lumineuse peut parcourir la boucle dans les deux sens.Expérimentalement cette forme est obtenue avec une fibre optique, mais dans le calcul quinous intéresse ici, nous supposerons que la lumière se propage dans un milieu d’indice n = 1.

Cet appareil est posé sur un plateau tournant à la vitesse angulaire Ω par rapport à l'axe(Oz) (voir Figure 3. 2). R est un repère non inertiel lié au plateau et R0 est un repèred'inertie. C'est dans ce repère d'inertie que nous allons décrire le système, et les grandeursphysiques seront alors notées avec l'indice 0.

On injecte l'onde lumineuse en un point A le long des deux chemins (1) et (2). Aprèsavoir parcouru la moitié de la boucle, les deux ondes sont recombinées en B et interfèrentensemble. L'interféromètre, et en particulier les points A et B, sont liés au repère tournant R.

L’effet SAGNAC est l'apparition, à la sortie de cet interféromètre, d'un déphasage induitpar la rotation de l'ensemble du dispositif.

Chemin (2)Chemin (1)

R

A

O

B

Figure 3. 1 : Schéma de principe del’interféromètre. L’onde est injectée dans les deuxsens en A. Les ondes se propagent jusqu'en B oùelles vont interférer.

R0

R

x0

y0

z0 z

x

y A

B

Figure 3. 2 : l'interféromètre est fixé sur un plateaupouvant tourner autour de l'axe (Oz). R0 est unrepère d'inertie, R est un repère tournant lié auplateau.

Calculons pour commencer la différence des temps mis par les deux ondes pouratteindre le point B par les trajets (1) et (2). A un instant 0tt = , les deux ondes sont émises. Lavitesse des ondes définie dans le repère d’inertie R0 vaut c dans les deux sens. Le point Bétant lié à R, il tourne pendant que les ondes se propagent. L’onde (1) atteint le point Baprès une durée 0

)1(τ vérifiant la relation (voir Figure 3. 3) :

0)1(

0)1( τπτ Ω−= RRc donc

Ω+=

0)1( Rc

Rπτ (Eq. 3. 1)


Ω est pris positif dans le sens des aiguilles d’une montre.De même, l'onde (2) atteint le point B après une durée 0

)2(τ vérifiant :

0)2(

0)2( τπτ Ω+= RRc donc

Ω−=

0)2( Rc

Rπτ (Eq. 3. 2)

La différence entre les temps d’arrivée vaut alors :

222

20

)1(0

)2(0 2

Ω−Ω

=−=∆RcRπτττ (Eq. 3. 3)

En négligeant les termes du second ordre en (RΩ / c), on obtient l’expression :

20 2

cAΩ

≈∆τ (Eq. 3. 4)

Où 2 RA π= est l'aire de l'interféromètre.

RO

B à t0 B à t0+τ1

B à t0+τ2

A

Ω

Figure 3. 3 : l’interféromètre est en rotation à la vitesse Ω dans le sens des aiguillesd'une montre. Les deux ondes n'arrivent pas au même instant au point B.

Le déphasage au point B entre les deux ondes se calcule alors simplement à partir de(Eq. 3. 4) :

Ω=∆=∆ 2 20

cAB

sortie

ωτωφ (Eq. 3. 5)

où ω est la pulsation de l'onde lumineuse. Ce déphasage est appelé DÉPHASAGE SAGNAC.

Bien que la formule trouvée soit tout à fait correcte, la méthode de calcul utilisée iciuse d’un certain nombre de raccourcis que nous allons détailler maintenant.


3.1.2.2 Remarques à propos de cette méthode de calcul

1- Le fait d’avoir négliger les termes en 222 / cR Ω dans (Eq. 3. 3) ne signifie pas quele calcul n’est pas relativiste, comme nous allons le voir dans les remarques suivantes.

2- Pour calculer 0τ∆ , on a écrit que la vitesse de la lumière est la même dans les deuxsens, définie dans le repère d’inertie R0, ce qui est un des principes de base de la relativitérestreinte (1). Si l'on s'intéresse maintenant à la vitesse de l'onde dans le repère tournant R, ilsuffit de constater que la source lumineuse est liée à ce repère pour en conclure que la vitessede l'onde est c dans les deux sens définie dans R. Il est donc important de constater que lacomposition classique des vitesses ne s'applique évidemment pas dans cette expérience. Seuleune transformation relativiste permet de passer de R0 à R. Cette transformation esttoutefois complexe puisque R n'est pas un repère d'inertie, la simple transformation deLORENTZ ne s'applique donc pas. Cette transformation relativiste entre un repère d'inertie etun repère tournant à été développée par P. LANGEVIN [LANGEVIN 21], et un calcul complet dudéphasage à la sortie du gyromètre, traité dans le repère tournant peut être trouvé dans [POST

67]

3- La remarque précédente nous indique donc que le calcul direct de la différence τ∆entre les instants d’arrivée dans le repère tournant R doit forcément utiliser cettetransformation de LANGEVIN. Le raisonnement utilisant les deux arguments 1) que la vitessede la lumière définie dans R est c dans les deux sens, et 2) que les points A et B étant liés àR les deux chemins sont égaux ; conduit à un résultat faux puisqu'on trouve un déphasagenul.

On peut toutefois trouver simplement une estimation de τ∆ , à des termes en 1/c2 près,car la transformation de LANGEVIN est équivalente à la transformation de LORENTZ à destermes en 1/c2 près. On détermine donc τ∆ à partir de 0τ∆ et de la transformation deLORENTZ, ce qui donne :

02

22

1 ττ ∆Ω

−=∆c

R (Eq. 3. 6)

Le déphasage exprimé dans R vaut alors :

2

22

2 1 2 c

RcAB

sortie

Ω−Ω=∆=∆

ωτωφ (Eq. 3. 7)

qui est bien équivalent à (Eq. 3. 5) à des termes en ( ) 22 / cRΩ près.

(1) Le calcul que nous avons fait est donc valable en relativité restreinte, mais également dans le cadre de lathéorie de l'éther au repos par rapport à l'espace absolu, ce qui explique que SAGNAC ait trouvé la bonne relationalors qu'il appliquait la théorie de l'éther.


4 – Dans le cadre de la théorie de l’éther le terme 1/c2 qui apparaît dans (Eq. 3. 4) peutêtre relié à la vitesse de l’onde se propageant dans l’interféromètre. Au contraire dans le cadrede la relativité restreinte le terme 1/c2 est lié au caractère invariant de c dans la transformationde LORENTZ, et est donc totalement indépendant de la vitesse de propagation de l’onde. Enparticulier il serait faux de remplacer c par c/n ou par V dans (Eq. 3. 4) si l’onde se propage àla vitesse V. Cette remarque a une certaine importance car pour passer de (Eq. 3. 3) à (Eq. 3.4)on a été amené à négliger des termes en 222 / cR Ω . Ces termes restent donc en 222 / cR Ω ,même si la vitesse de propagation de l’onde est cV << .

3.1.2.3 Cas général d’une onde se propageant à la vitesse V

Nous effectuons ici le calcul dans le cadre de la relativité restreinte. On ne sepréoccupe pas ici de la nature de l’onde, il peut s’agir d’une onde lumineuse, d’une onde dematière, … Reprenons l’interféromètre en anneau de la Figure 3. 1, et supposons maintenant quel’onde se propage à la vitesse V par rapport au repère R. On aura par exemple V = c/n dansle cas de la propagation dans une fibre optique d’indice n. Déterminons 0

1V et 02V , les vitesses

de propagation des ondes (1) et (2) dans le repère R0. La formule d’addition des vitesses enrelativité restreinte donne :

2

01 1

cVR

RVVΩ

−

Ω−= et

2

02 1

cVR

RVVΩ

+

Ω+= (Eq. 3. 8)

Les instants 0)1(τ et 0

)2(τ d’arrivée en B sont alors donnés par :

0)1(

0)1(

01 τπτ Ω−= RRV (Eq. 3. 9)

0)2(

0)2(

02 τπτ Ω+= RRV (Eq. 3. 10)

La résolution de ces équations conduit à :

2222

20

)1(0

)2(0 2 2

cA

RcR Ω

≈Ω−Ω

=−=∆πτττ (Eq. 3. 11)

On retrouve exactement la même formule que (Eq. 3. 4).

Il faut souligner ici que la vitesse V de l’onde n’intervient pas dans (Eq. 3. 11), seule laconstante c intervient. En multipliant (Eq. 3. 11) par ω on trouve alors l’expression dudéphasage :


Ω=∆ 2 2cAB

sortie

ωφ (Eq. 3. 12)

La valeur du déphasage ne dépend donc pas de la vitesse de propagation de l’onde,mais uniquement de sa pulsation ω .

3.1.3 Cas des ondes de matière

Les méthodes pour calculer l’effet SAGNAC appliqué aux ondes de matière sont aussidiverses que dans le cas optique. On en a recensé ici quelques unes : calcul par analogieoptique [PAGE 75], approximation WKB [WERNER 79], calcul de cinématique classique[HASSELBACH 88], calcul de dynamique dans le repère tournant [TSAI 88], par analogie avecl'effet AHARANOV-BOHM [SAKURAI 90]. Nous allons présenter deux méthodes ici : lapremière s’appuie sur les mêmes considérations relativistes que celles développées auparagraphe précédent [POST 67]. La seconde utilise des arguments de mécanique classique etquantique [ANANDAN 81].

3.1.3.1 Calcul relativiste

Le calcul précédent donne l’expression générale (Eq. 3. 12) du déphasage à la sortie del’interféromètre pour une onde à la vitesse V .

La valeur de ω à prendre pour cette onde de matière à la vitesse V est donnée par larelation d’EINSTEIN-PLANCK [ANANDAN 81] :

2

2

2

1cV

mc

−

=ωh (Eq. 3. 16)

On obtient donc l’expression du déphasage SAGNAC pour une onde de matière à un terme en22 / cV près :

Ω=∆ 2 h

mABsortieφ (Eq. 3. 17)

En faisant un développement limité en ( 22 / cV ) de (Eq. 3. 16), on trouve :22

21 mVmc +=ωh (Eq. 3. 18)


Ce terme est l’analogue de l’hamiltonien d’un atome de masse m à la vitesse V incluantl’énergie de masse et l’énergie cinétique :

mPmcH2

22 += (Eq. 3. 19)

où P est l’impulsion de l’atome.

On constate donc que le terme de l’hamiltonien qui produit le déphasage SAGNAC

donné par (Eq. 3. 17) est celui correspondant à l’énergie de masse. Le terme d’énergiecinétique introduit une modification négligeable sur la pulsation ω (correction en 22 / cV ).On retrouve donc bien le fait que (Eq 3. 4) et (Eq 3. 17) sont indépendant de la vitesse V depropagation de l’onde.

3.1.3.2 Calcul classique / relativiste

Nous allons maintenant présenter un calcul de l’effet SAGNAC pour les ondes dematière qui ne fait pas intervenir d’argument relativiste pour le calcul de τ∆ , mais qui utilisel’expression relativiste de la pulsation puisqu’elle prend en compte l’énergie de masse de laparticule.

Reprenons l’interféromètre de la Figure 3.1, et considérons qu’un atome se trouve aupoint A. A l’instant t = t0, l’onde atomique est séparée en deux de façon cohérente, et chaque« partie » est lancée à la vitesse V (définie dans R), chacune dans un sens. Un calcul demécanique classique simple donne :

0=∆τ

Les deux fonctions d’ondes atomiques arrivent en même temps au point B. Les pulsationsatomiques sont données par (Eq. 3. 16) que l’on approxime par (Eq. 3. 18).

Dans le repère d’inertie R0, les vitesses sont données par la formule galiléenne decomposition des vitesses :

Ω−= RVV 01 (Eq. 3. 20)

Ω+= RVV 02 (Eq. 3. 21)

On en déduit les pulsations 1ω et 2ω par les relations relativistes :

( )

Ω−+= 22

1 21 RVcm

hω (Eq. 3. 22)

( )

Ω++= 22

2 21 RVcm

hω (Eq. 3. 23)

On écrit alors la différence des pulsations :


Ω=∆ RVm 2 h

ω (Eq. 3. 24)

On en déduit le déphasage Bsortieφ∆ par la relation :

VRRVmdt

trajetdudurée

Bsortie

2

πωφ ×Ω=∆=∆ ∫ h(Eq. 3. 25)

Ω=∆ 2 h

mABsortieφ (Eq. 3. 26)

toujours avec 2RA π= , l’aire de l’interféromètre.

L’indépendance de (Eq. 3. 26) avec la vitesse V résulte ici du fait que la différence depulsations ( 12 ωω − ) est proportionnelle à V, alors que la durée de propagation estinversement proportionnelle à V.

Dans le repère d’inertie R0, la différence de pulsations ( 12 ωω − ) est liée au fait queles vitesses 0

1V et 02V sont différentes.

Dans le repère tournant R, la différence de pulsations est liée au champ d’inertieproduit par Ω . L’hamiltonien dans R s’écrit :

( ) ( )rVr ×+×−= ΩΩ . 22

22

mmm

PH R (Eq. 3. 27)

On reconnaît dans (Eq. 3. 27) le terme d’énergie cinétique, le terme correspondant à la forcecentrifuge et celui de la force de CORIOLIS.

3.1.3.3 Comparaison entre le calcul relativiste et le calcul quantique

Le déphasage trouvé en (Eq. 3. 26) est bien égal à (Eq. 3. 17), mais il a été obtenucomme le déphasage de deux ondes atomiques de vitesses différentes (dans R0) arrivant aumême instant, et non pas comme le déphasage de deux ondes de même fréquence arrivant àdes instants différents. Les deux méthodes donnent la bonne formule à des termes en

222 / cR Ω près.


3.1.3.4 Calcul quantique

Nous présentons enfin un dernier calcul que l’on pourra trouver de façon plus détailléedans les références [BORDÉ 91 et BORDÉ 92]. Ce calcul s’appuie directement sur desconsidérations quantiques et consiste à intégrer l’équation de SHRÖNDINGER dans le repèretournant.

Cette équation permettant de déterminer l’évolution de la fonction d’onde atomique( )tψ s’écrit dans notre cas :

( ) ( )tm

Htt

i ψψ

. 2

2

0

×Ω−+=

∂∂

PrPh

• 0H est l’hamiltonien interne de l’atome.

• m2

2P est le terme d’énergie cinétique.

• Pr ×Ω− . est le terme lié au repère tournant à la vitesse de rotation Ω (1).

L’intégration de cette équation d’évolution donne une solution de la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ',1 ,0

00 dttttUi

tttUtt

tψψψ ∫+=

h

avec ( ) ( )

−

+−

×Ω= ∫ '

2exp .exp',

2

0' 1 ttm

HidtittUt

t

PPrhh

Appliquons cette relation à notre interféromètre en forme de boucle précédent. Enprenant l’origine des positions au centre de la boucle, At l’instant où les ondes sont en A et

( )VRtt AB /π+= l’instant où les ondes sont en B, Le calcul de l’intégrale le long de la boucle :

( ) ( )∫ Ω=−Ω=×ΩB

A

t

t AB AmttTRmRdt 2 / 2 . 1 πPr

On retrouve bien alors l’expression du déphasage lié à la rotation :

Ω=∆h

mABsortie

2φ

Précisons également qu’un calcul quantique / relativiste est également possible etconsiste à utiliser l’équation de DIRAC au lieu de l’équation de SHRÖDINGER. Un tel calcul estprésenté par exemple dans la référence [BORDÉ 00].

(1) Dans le cas où l’on veut déterminer la fonction d’onde d’un atome dans le champ de gravité, le terme–Ω. r×P est à remplacer par le potentiel de pesanteur : -mg.r.


3.1.3.5 Une idée fausse … mais tenace

La relation (Eq. 3. 12) peut être écrite en fonction de la longueur d’onde ωπλ /20 c=dans le vide de l’onde lumineuse :

Ω=∆ 4 0cAB

sortie λπφ (Eq. 3 .28)

De même l’équation (Eq. 3. 26) peut être écrite en fonction de la longueur d’onde DE BROGLIE

de l’onde atomique :

Ω=∆ 4 VA

dB

Bsortie λ

πφ (Eq. 3 .29)

Mais il est faux de penser que l’on peut passer de (Eq. 3 .28) à (Eq. 3. 29) en remplaçantdirectement c par V et 0λ par dBλ , car cela laisserait supposer que les termes négligés sontalors en 222 /VR Ω , ce qui est totalement faux, ils restent en 222 / cR Ω .

(Eq. 3. 29) provient en réalité de (Eq. 3. 12) dans laquelle on a exprimé ω en fonction dedBλ :

dB

Vλπ

ω ϕ2= (Eq. 3. 30)

où ϕV est la vitesse de phase de l’onde atomique, reliée à la vitesse de groupe V par larelation :

2 cVV =× ϕ (Eq. 3. 31)

(Eq. 3. 30) et (Eq. 3. 31) donnent alors :

Vc

dB 2 2

λπω = (Eq. 3. 32)

(Eq. 3. 29) est donc obtenu directement à partir de (Eq. 3. 12) en remplaçant ω par sonexpression donnée en (Eq. 3. 32). On peut remarquer qu’en remplaçant dBλ dans (Eq. 3. 32),par son expression bien connue :

mVh

dB =λ (Eq. 3. 33)

on trouve :

h

2mc=ω (Eq. 3. 34)

qui correspond bien à l’expression donnée en (Eq. 3. 16) à des termes en ( )22 / cV près.


3.2 COMPARAISON ENTRE LE DÉPHASAGE OPTIQUE ET ATOMIQUE

Nous allons comparer dans ce paragraphe, les déphasages produit par effet SAGNAC

dans un interféromètre à ondes lumineuses, et pour un interféromètre à ondes de matière. Onrappelle les deux expressions (Eq. 3. 4) et (Eq. 3. 17) :

Ondes optiques : Ω=∆ 2 2cAB

optique

ωφ

Ondes de matière : Ω=∆ 2 h

mABsatomiqueφ

Afin de comparer les effets, nous allons considérer deux interféromètres de même aire,soumis à la même rotation Ω . Le rapport des déphasages donne alors :

Le rapport des deux déphasages vaut donc :

ωφφ

h

2 cmBoptique

Bmatière =

∆∆ (Eq. 3. 35)

où m est la masse de la particule associée à l'onde de matière et ω est la pulsation de l'ondelumineuse. On reconnaît au numérateur l’énergie de masse de la particule, et au dénominateurle quantum d’énergie transporté par le photon. Avec les valeurs m = 133 UA (masse d'unatome de Césium) et ω = 1,8.1015 rad.s-1 (pulsation d'une onde à 1,06 µm), on trouve :

10 11≈∆∆

Boptique

Bmatière

φφ

Ainsi, à aire d'interféromètre égale, le facteur d'échelle du gyromètre à atomes de césium est1011 fois plus élevé que celui d'un gyromètre optique. Mais il convient de faire tout de suitedeux remarques :

• L’aire d’un gyromètre optique peut aisément atteindre 50 m2, alors que pour l'instant,les aires des interféromètres à ondes de matière ne dépassent pas le cm2. Des expériences ontdéjà montré que des solutions existaient pour augmenter considérablement l’aire del’interféromètre [PFAU 93, JOHNSON 95], mais ces techniques n’ont pour l’instant pas étémises en œuvre sur des gyromètres atomiques.

• Le rapport signal à bruit est beaucoup plus faible dans un interféromètre à ondes dematière comparé à celui d'un interféromètre optique, car il est difficile d'obtenir des sourcesintense d'ondes de matière. On donne par exemple les flux typiques pour quelques sources :

- jet thermique de Césium : 1011 atomes détectés /seconde [LANDRAGIN 99]- boule d'atomes de Césium froids : 108 atomes détectés / seconde


- jet de neutrons : 2.106 neutrons détectés / seconde [STAUDENMANN 80]Ces valeurs sont à comparer aux flux lumineux typiques utilisés dans les gyromètres optiquesqui sont 1014 photons /seconde.

Ces deux remarques permettent de comprendre pourquoi, bien que l'effet SAGNAC soit1011 fois plus sensible pour les ondes atomiques que pour les ondes optiques, les gyromètresatomiques réalisés jusqu'à présent n'affichent des sensibilités que très légèrement supérieuresaux meilleurs gyromètres optiques. Il convient de rajouter que les gyromètres optiques sontdéveloppés depuis presque 40 ans alors que les gyromètres atomiques n'ont démarré quedepuis une dizaine d'années, et restent encore à l'heure actuelle du domaine de la recherche.

3.3 L’EFFET SAGNAC POUR MESURER LES ROTATIONS

Nous allons considérer un interféromètre comme celui décrit sur la Figure 3.1. Tout ceque nous allons dire dans cette partie s’applique aussi bien aux interféromètres à ondesoptiques, qu’à ceux à ondes de matière. Nous allons écrire les formules dans le cas des ondesde matière, on pourra retrouver les formules pour le cas optique en remplaçant ( h/m ) par( 2/ cω ).

3.3.1 Gyromètre ou Gyroscope ?

D’après les expressions (Eq. 3. 4) et (Eq. 3. 17), le déphasage SAGNAC estproportionnel à la vitesse de rotation instantanée Ω de l’interféromètre. Cet appareil constituedonc un gyromètre, suivant la distinction définie paragraphe 2.2.1.

3.3.2 Axe d’entrée

L'effet SAGNAC ne donne un déphasage non nul que pour une rotation d'axeperpendiculaire au plan de l'interféromètre. On réalise donc un gyromètre à un axe d'entrée(voir Figure 3. 4). Dans le calcul permettant d'aboutir à (Eq. 3. 17) on a considéré une rotationsuivant l'axe d'entrée (Oz), L'expression générale du déphasage SAGNAC pour une rotationd'axe quelconque s'écrit :

.

2 aBsortie

Am eh

=∆φ Ω (Eq. 3. 36)

où ea est un vecteur unitaire normal à la surface de l’interféromètre, qui constitue alors l'axed'entrée du gyromètre. Le gyromètre est donc sensible à la composante de la vitesse derotation suivant son axe d’entrée. Si la surface de l'interféromètre n'est pas plane, l'aire A àconsidérer est alors la projection de cette surface courbe sur un plan perpendiculaire auvecteur Ω.

Partie 3. 2 : L’effet Sagnac pour mesurer les rotations 58

A

BΩ

θa

eaΩ mesurée

Figure 3. 4 : l'axe d'entrée d'un gyromètre optique est l'axe perpendiculaire au plande l'interféromètre

3.3.3 Influence de la forme de l'interféromètre

Au paragraphe 3.1, on a pu calculer facilement le retard d'arrivée des faisceaux (1) et(2) au point B car l'interféromètre est circulaire et on a supposé qu'il tournait par rapport à soncentre de symétrie O. On peut montrer [HARZER 14] que les formules (Eq. 3. 5) et (Eq. 3. 17)sont valables quelle que soit la forme de l'interféromètre (1), seule la valeur de l’aire projetéeest importante. En particulier la formule est valable pour notre gyromètre atomique dont lasurface est un parallélogramme.

On a considéré, dans tous les calculs précédents que le détecteur est placé au point B,symétrique de A sur le cercle. Chaque onde parcourt donc la moitié de l’interféromètre et ledéphasage est donné par les formules (Eq. 3. 5) et (Eq. 3. 17). Dans la plupart des gyromètresoptiques le détecteur est en réalité placé en A, tout comme la source. Dans ce cas chaque ondeparcourt l’ensemble de la boucle. On appelle « interféromètre bouclé » cette configuration,par opposition à « l’interféromètre non bouclé » décrit précédemment. Le déphasage en sortied’un interféromètre bouclé est deux fois plus important que celui d’un interféromètre ouvert,car les ondes parcourent deux fois plus de distance. Le déphasage pour un gyromètre optiquebouclé s’écrit donc :

Ω=∆ 4 2cAA

sortie

ωφ (Eq. 3. 37)

3.3.4 Influence de la position de l’axe de rotation

On peut montrer [HARZER 14] que pour un interféromètre bouclé, la position de l’axede rotation n’influe pas sur la valeur du déphasage. Par contre pour un interféromètre ouvert,si l'axe de rotation ne passe pas par le centre de symétrie de l'interféromètre, il faut alorsrajouter un déphasage supplémentaire dû à l'accélération centripète. Ce point sera approfondidans le cas particulier de l'interféromètre atomique au chapitre suivant.

(1) Cette démonstration sera faite dans le cas d’un interféromètre atomique dans le chapitre suivant.

plan del’interféromètre

axe d’entrée ea


3.3.5 Facteur d'échelle et biais

Comme dans la plupart des interféromètres, on n’a pas accès directement audéphasage, mais à l’intensité (1) sortieI , reliée à B

sortieφ∆ par (voir par exemple [PEREZ 84]) :

( )

∆+=

2 cos 1 0

Bsortie

sortie II φ (Eq. 3. 38)

-6 -4 -2 0 2 4 60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

π/2déphasage ∆φsortie

inte

nsité

(u.a

.)

facteur d'échelle

point de fonctionnementimposé par l'asservissement

Figure 3. 5 : variation de l'intensité en sortie de l'interféromètre, en fonction de lavitesse de rotation Ω. Afin d'être toujours dans une zone où le facteur d'échelle estlinéaire et au maximum de sensibilité, on se place autour du point φsortie = π/2.

La relation entre le signal de sortie sortieI et la grandeur d’entrée Ω n’est donc paslinéaire (voir Figure 3. 5) contrairement au modèle d’erreur décrit paragraphe 2.2.2. On peuttoutefois, comme mentionné au paragraphe 2.2.3, se ramener à un facteur d’échelle linéaire enfaisant fonctionner l’appareil autour d’un point, grâce à un asservissement imposant defonctionnement autour de B

sortieφ∆ = 2/π . Dans ce cas, le facteur d’échelle vaut alors (voirEq. 2. 14) :

Ω= ee . 0 aAmKh

(Eq. 3. 39)

où ae et Ωe sont des vecteurs unitaires respectivement suivant l’axe d’entrée du gyromètre, etsuivant l’axe de rotation de l’appareil.

Les fluctuations du facteur d'échelle sont essentiellement dues aux modifications del'aire de l'interféromètre, en valeur absolue (A) ou en direction (ea). (1) Le terme intensité désigne ici une intensité lumineuse pour un gyromètre optique ou bien un nombre d’atomesdétectés pour un gyromètre atomique.

Partie 3. 2 : L’effet Sagnac pour mesurer les rotations 60

Le biais peut être produit par tous les phénomènes qui introduisent des déphasagesdifférents sur les trajets (1) et (2). Afin de limiter ce biais on utilise, dans le cas optique, desinterféromètres bouclés. Ainsi les phases parasites sont identiques pour les ondes (1) et (2).Seuls les déphasages de nature non réciproque (i.e. dépendant du sens de propagation del’onde) influent sur le signal de sortie.

3.3.6 Sensibilité sur une seconde

On a indiqué au chapitre 2 que les gyromètres optiques sont limités par le bruit dephotons correspondant au bruit limite quantique. Dans ce cas, le rapport signal à bruit nedépend alors que du nombre de photons détectés phN :

phNBS =/ (Eq. 3. 40)

La plus petite rotation mesurable en une seconde est alors donnée par (voir Eq. 2. 19) :

phNK 0

~1

=Ω∆σ (Eq. 3. 41)

Lorsqu’on intègre le signal sur une durée T, la valeur de TΩ∆~σ s’améliore en T ,

jusqu’à une valeur ultimeΩ∆~σ :

lim

~~

Tultime Ω∆

Ω∆ =σ

σ (Eq. 3. 42)

Il est très difficile, voire impossible, de connaître la valeur de limT tant que l’on n’a paseffectué sa mesure.

3.3.7 Cas d'une vitesse de rotation non constante

Si la vitesse de rotation n'est pas constante entre les instants t0 et ( )0)2(0 τ+t alors les

équations (Eq. 3. 9) et (Eq. 3. 10) à résoudre deviennent :

( ) dttRRVt

t

0)1(0

0

0)1( ∫

+Ω−=

τπτ (Eq. 3. 43)

( ) dttRRVt

t

0)2(0

0

0)2( ∫

+Ω+=

τπτ (Eq. 3. 44)

On mesure donc la valeur moyenne de Ω sur 0)2(0 τ+t ou 0

)1(0 τ+t . Ces deux équations nepermettent pas d'obtenir une formule simple de ( ))1()2(

0 τττ −=∆ sans faire d'hypothèse sur lafaçon dont Ω varie avec le temps.

Il est clair que dans le cas d'un gyromètre optique, la durée )2(τ n'est jamais trèsgrande (exemple : pour un gyromètre optique avec une fibre de 1 kilomètre de longueur, ladurée est d'environ 5 µs), on peut alors généralement considérer Ω comme constante entre t0


et (t0 + )2(τ ). Dans le cas de notre gyromètre à atomes froids la durée )2(τ vaut environ 100ms, et Ω peut varier sur cette durée. On mesure alors la valeur moyenne de Ω sur 100 ms.

3.4 CONCLUSION

L’effet SAGNAC pour les ondes atomiques apparaît comme un effet extrêmementsensible, comparé à celui pour les ondes lumineuses. Sa mise en œuvre est toutefoisrelativement complexe puisqu’elle nécessite de réaliser un interféromètre à ondes atomiques.Les techniques de manipulation d’atomes par laser développées depuis une vingtaine d’annéesrendent accessible la réalisation de tels interféromètres.

Nous allons décrire, dans le chapitre suivant, un modèle permettant de calculer ledéphasage en sortie d’un interféromètre à ondes atomiques dans lequel la séparation despaquets d’ondes atomiques se fait de façon optique. Ce modèle nous permettra de retrouverl’expression du déphasage (Eq. 3. 17), et de façon générale, le déphasage produit parn’importe quelle accélération. Enfin, le modèle nous aidera à identifier les sources dedéphasages parasites et en évaluer les effets.

Partie 3. 6 : L’effet Sagnac et les gyromètres à ondes de matière 62

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Chapitre 4 : TRANSITIONS RAMAN STIMULEES ET MACH-ZEHNDER ATOMIQUE 65

Chapitre 4 : TRANSITIONS RAMAN STIMULEES ETMACH-ZEHNDER ATOMIQUE


4.1 MODÈLE DE L'ATOME À DEUX NIVEAUX ............................................................. 69

4.1.1 Modèle sans degrés de liberté externe...................................................................... 69

4.1.2 Modèle avec les degrés de liberté externes .............................................................. 75

4.1.3 Séparation spatiale du paquet d'ondes...................................................................... 77

4.2 TRANSITIONS RAMAN STIMULÉES......................................................................... 78

4.2.1 Description ............................................................................................................... 78

4.2.2 Résolution du système à trois niveaux ..................................................................... 79

4.2.3 Equivalence avec un système à deux niveaux.......................................................... 82

4.2.4 Compensation des déplacements lumineux.............................................................. 82

4.2.5 Séparation angulaire................................................................................................. 83

4.2.6 Sélectivité en vitesse transverse ............................................................................... 83

4.3 L'INTERFÉROMÈTRE DE MACH-ZEHNDER............................................................ 84

4.3.1 Le MACH-ZEHNDER optique..................................................................................... 84

4.3.2 Le MACH-ZEHNDER atomique .................................................................................. 85

4.3.3 Calcul général du déphasage .................................................................................... 864.3.3.1 Cas d’un interféromètre optique........................................................................... 861) Calcul du déphasage dans le cas immobile .............................................................. 862) Déphasage en présence de rotation ou d’accélération.............................................. 874.3.3.2 Interféromètres « spatiaux » - interféromètres « temporels » .............................. 87

4.4 LES DIFFÉRENTS OUTILS NÉCESSAIRES ............................................................... 89

4.4.1 Présentation de la méthode....................................................................................... 89

4.4.2 Quelques mots sur le formalisme de FEYNMAN et des « matrices S » ..................... 901) Formalisme de FEYNNAM......................................................................................... 902) Formalisme des « matrices S »................................................................................. 92

Table des matières 66

4.5 CALCUL DU DÉPHASAGE DANS L’INTERFÉROMÈTRE ATOMIQUE................ 94

4.5.1 Calcul le long des trajectoires non perturbées.......................................................... 951) Calcul du déphasage pour l’interféromètre immobile.............................................. 952) Déphasage lié à la rotation ou à l’accélération......................................................... 98

4.5.2 Calcul le long des trajectoires perturbées.................................................................... 991) Détermination des trajectoires perturbées dans le cas d’une rotation ...................... 992) Déphasage de propagation ..................................................................................... 1013) Déphasage lié aux passage dans les lames lumineuses .......................................... 1014) Déphasage dû à l’écart en position......................................................................... 1025) Déphasage total ...................................................................................................... 103

Influence des fronts d’ondes des faisceaux RAMAN........................................................... 106

4.6 LIMITES DE CE MODÈLE .......................................................................................... 107

4.6.1 Impulsions infiniment courtes................................................................................ 107

4.6.2 Ondes atomiques planes ......................................................................................... 107

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 109


Partie 4. 1 : Modèle de l’atome à deux niveaux 68

CHAPITRE 4 :

TRANSITIONS RAMAN STIMULEES ETMACH-ZEHNDER ATOMIQUE

Dans le chapitre précédent, nous avons déterminé le déphasage d’un interféromètreatomique en fonction de la rotation (Eq. 3. 17). Cette formule a été obtenue en considérant unmodèle très simple d’interféromètre circulaire, où l’on ne se préoccupait pas de savoircomment étaient réalisées la séparation et la recombinaison des paquets d’ondes atomiques.Nous allons reprendre ce calcul dans le cas de l’interféromètre atomique de type MACH-ZEHNDER à séparatrices optiques.

Ce chapitre se divise en six parties :

Dans le paragraphe 4.1 nous détaillons, à l’aide du modèle de l’atome à deux niveaux,la séparation cohérente des paquets d’ondes atomiques grâce à des « lames lumineuses ». Enprenant en compte les degrés de liberté externes de l’atome, nous mettrons en évidence laséparation spatiale des paquets d'ondes atomiques, grâce à l'impulsion de recul encaissée parl'atome au moment de l'absorption ou de l’émission d'un photon.

Nous nous intéresserons ensuite aux transitions RAMAN stimulées. Nous verronscomment ces transitions à deux photons peuvent, sous certaines conditions, être décrites par lemodèle détaillé au paragraphe 4.1. Nous mettrons en évidence les avantages de ces transitionspar rapport à celles à un seul photon.

La troisième partie est consacrée à la description de l’interféromètre de MACH-ZEHNDER, dans les cas optique et atomique. La comparaison de ces deux interféromètresmettra en évidence les différentes méthodes pour déterminer le déphasage à la sortie de


l’interféromètre atomique. Nous discuterons également des interféromètres dits « spatiaux »pour lesquels les impulsions lumineuses sont limitées dans l’espace, et les interféromètres« temporels » pour lesquels les impulsion sont limitées dans le temps.

Le paragraphe 4.4 développe les différents outils nécessaires au calcul du déphasageen sortie d’un interféromètre de MACH-ZEHNDER atomique utilisant des lames séparatricesoptiques. Nous nous attacherons au formalisme des intégrales de FEYNMAN pour déterminer ledéphasage lié à la propagation des ondes atomiques, et au formalisme des matrices S pourcalculer le déphasage lié au passages dans les lames lumineuses.

Au paragraphe 4.5 nous déterminerons le déphasage en sortie de notre interféromètregrâce aux outils développés au paragraphe précédent. Le calcul sera mené dans un premiertemps par intégration de la phase atomique le long des trajectoires non perturbées, puis dansun deuxième temps le long des trajectoires perturbées par la rotation. Enfin nous termineronsce paragraphe en montrant que l’on retrouve le même résultat par un calcul classique prenanten compte uniquement les déphasages introduit par les lames lumineuses.

Enfin dans la dernière partie nous regarderons les limitations de la méthode de calculutilisée, puis nous donnerons un aperçu des diverses techniques permettant de décrireprécisément le système.

4.1 MODÈLE DE L'ATOME À DEUX NIVEAUX

4.1.1 Modèle sans degrés de liberté externes

Description du système

Le modèle de l’atome à deux niveaux sans degrés de liberté externe est un modèlesimple très largement détaillé et utilisé dans la littérature [RAMSEY 56, VANIER 89],notamment pour les horloges atomiques utilisant des transitions micro-ondes. Nous nedévelopperons pas toutes les étapes du calcul, mais la description que l’on va faire icis’appuie sur la référence [YOUNG 97], à laquelle on pourra se reporter pour plus de détails.Nous ne réécrirons ici que les formules nécessaires à la compréhension.

Considérons un atome à deux niveaux f (fondamental) et e (excité) de très longuedurée de vie τvie, de telle sorte que l’émission spontanée puisse être négligée. Les énergiesassociées à ces deux niveaux sont :

0 ffE ωh= et 0 eeE ωh= (Eq. 4. 1)

On appelle :000 fe ωωω −=∆ (Eq. 4. 2)


la différence de pulsation entre ces deux niveaux de l’atome. Si l'on ne tient pas compte desdegrés de liberté externes et en l'absence de rayonnement, 0

fω et 0eω sont les valeurs propres

de l'hamiltonien du système.

000 eeffH ef ωω hh += (Eq. 4. 3)

Le fait d'avoir pris des valeurs bien définies pour les énergies propres se justifie par latrès longue durée de vie des niveaux atomiques (∆E = h /τvie ~ 0 d'après la relationd'incertitude d'HEISENBERG), et revient à considérer l'atome comme une onde plane du pointde vue temporel, puisque l'équation d'évolution de la fonction d’onde est donnée par :

( ) ( ) ( ) eetafetatt tie

tif

ef 00

0

00ωωψ −− +=+ (Eq. 4. 4)

On ajoute maintenant au système une onde laser de pulsation Lω qui introduit uncouplage électromagnétique entre les deux niveaux atomiques, que l’on supposera de typedipolaire électrique. Ceci se traduit dans l’hamiltonien par l'ajout d'un opérateur anti-symétrique proportionnel à l'amplitude du champ électrique :

Lef eeffH Ed . ˆ 00 −+= ωω hh (Eq. 4. 5)

où :( )LLL t φω += cos 0EE ε (Eq. 4. 6)

est le champ électrique défini comme une onde plane monochromatique polarisée dans ladirection ε , et d est l'opérateur vectoriel dipôle électrique associé à la transition atomiquef → e . On définit alors le désaccord à résonance par :

0 ωωδ ∆−= L (Eq. 4.7)

et la pulsation de RABI :

h

feef

. ˆ 0Ed

−=Ω (Eq. 4. 8)

Le couplage électromagnétique s’écrit alors :( )LLefL tV φω +Ω=−= cos . ˆ hEd (Eq. 4. 9)


énergie / h

∆ω0

ωL

δ

Figure 4. 1 : atome à deux niveaux soumis à une radiation de pufigure le désaccord δ est négatif (transition désaccordée vers le r

Recherche des états propres de H

Dans le cas où efΩ est très inférieure à 0fω et 0

eω , on SCHRÖDINGER dans le cadre de l’approximation du champ tournadans la base fe , , s’écrit alors :

( )

( )

ΩΩ= +

+−

0 0

2

L

L

tief

tief

eeH φδ

φδh

On supprime la dépendance temporelle de l’hamiltonien en se plaçà la pulsation δ . Dans ce repère, l’hamiltonien du système s’écrit,

ΩΩ−=

−

δδ

φ

φ

L

L

ief

ief

Re

eH

2h

On trouve alors les deux états propres −λ et +λ de l’ha10) [COHEN-TANNOUDJI 77], qui s'écrivent comme combinaisons

Re exprimés dans le repère tournant :

( ) ( )( ) ( )

+−=

+=−

−

−+

2/cos 2/sin 2/sin 2/ cos

2/2/

2/2/

iR

i

iR

i

eeeeee

LL

LL

φφ

φφ

θθλθθλ

avec 22 δ+Ω=Ω efr , rΩ

−=

δθcos , =θsin

Les valeurs propres associées à ces états propres sont alors :

(1) La nouvelle base est déduite de la première par la transformation :

eee tiR

δ= fef tiR

δ−=

0fω

0eω

o

m

ff

lsation Lω . Sur lauge).

peut réécrire l'équation dent. L’hamiltonien, exprimé

(Eq. 4. 10)

ant dans un repère tournantdans la base

RRfe , (1) :

(Eq. 4. 11)

iltonien donné par (Eq. 4.linéaires des états

Rf et

R

R (Eq. 4. 12)

r

ef

ΩΩ

et πθ ≤≤0


2rΩ

=+hλ et

2rΩ

−=−hλ (Eq. 4 .13)

Mise en évidence des déplacements lumineux

Par rapport aux niveaux d’énergie ( )2/δh− et ( )2/δh de l’hamiltonien non perturbé(Eq. 4.11 sans les termes anti-diagonaux), on constate que le couplage avec le champélectromagnétique déplace les niveaux d’énergie de :

( )δ−Ω=∆ + rE2h et ( ) +− ∆−=Ω−=∆ EE rδ

2h (Eq. 4. 14)

Ce décalage d’énergie est appelé déplacement lumineux, ou encore effet STARK AC.Lorsqu’on se place à grand désaccord efΩ>>δ , on peut faire un développement limité àl’ordre 2 en ( )δ/efΩ . Le déplacement lumineux prend alors la forme simplifiée :

δ4

2efEE

Ω=∆−=∆ −+h

(Eq. 4. 15)

C’est sous cette forme que nous l’utiliserons par la suite.

Evolution du système

Considérons maintenant un atome dans un état atomique initial quelconque :( ) ( ) ( ) ftcetct fe 000 +=ψ (Eq. 4. 16)

On obtient l’expression de la fonction d’onde atomique après une interaction de durée τ avecle champ laser par la méthode suivante :

1) on exprime ( )0tψ dans la base RR

fe , du repère tournant.

2) On décompose ( )R

t0ψ sur la base des vecteurs propres −+ λλ , .

( ) −−++ += λαλαψ 0 Rt (Eq. 4. 17)

3) On propage chacune des composantes pendant la durée τ , ce qui revient à multiplier +α et−α respectivement par les facteurs de phases 2/τrie Ω− et 2/τrie Ω .

( ) −Ω

−+Ω−

+ +=+ λαλατψ ττ 2/2/0

rr iiR

eet (Eq. 4. 18)

4) On réexprime ( )R

t τψ +0 dans la base RR

fe , puis dans la base fe , . On obtientalors les coefficients ( )τ+0tce et ( )τ+0tc f :


( ) ( ) ( ) ( ) 2/000

2sin sin

2sin cos

2cos 0 δτφδ τθτθττ irt-i

frr

ee eietcitctc L −+

Ω

−+

Ω

−

Ω

=+

(Eq. 4. 19)

( ) ( ) ( ) ( ) 2/000

2sin cos

2cos

2sin sin 0 δτφδ τθττθτ irr

frti

ef eitcietctc L

Ω

+

Ω

+

Ω

−=+ +

(Eq. 4. 20)

A partir de ces expressions, on peut déterminer la probabilité de présence de l’atomedans l’état e après une interaction de durée τ . Supposons que l’atome soit initialement dansl’état fondamental, on a alors ( ) 00 =tce et ( ) 10 =tc f . (Eq. 4. 19) donne alors :

( ) ( )

Ω

−=+ +−

2sin sin 0

0τθτ φδ rti

eLeitc (Eq. 4. 21)

et la probabilité de présence dans l’état e vaut :

( ) ( )

Ω

Ω

Ω=+=

2 sin 2

2

22

0τττ r

r

efee tcP (Eq. 4.22)

La probabilité de trouver l'atome dans l'état e oscille donc au cours du temps (voirFigure 4. 2). On appelle ce phénomène : oscillation de RABI. La pulsation de RABI efΩcorrespond à la pulsation temporelle de ces oscillations lorsque le désaccord δ est nul.

0,8

1,0

δ = 0 δ = 0,5 Ωfe

Prob

abilit

é de

tran

sitio

n ve

rs l'

état

exc

ité

Figure 4. 2: on l'atome dans l'étdésaccord n’interet négatif.

Pe(τ) = 1

0,6Pe(τ) =0,5

0 50 100 150 200 2500,0

0,2

0,4

δ = 2 Ωfe

temps (u.A)

a tracé pour trois désaccords différents la probabilité de trouverat excité en fonction du temps. Dans la formule (Eq. 4. 21), levient qu’au carré, on retrouve donc les même courbes pour δ positif

τπ/2 τπ


Impulsions π et π/2

Plaçons nous à désaccord nul ( )0=δ , dans ce cas 0cos =θ et 1sin =θ . Lesexpressions (Eq. 4. 19) et (Eq. 4. 20) se simplifient et donnent :

( ) ( ) ( ) L-ieff

efee etcitctc φττ

τ 2

sin 2

cos 000

Ω−

Ω=+ (Eq. 4. 23)

( ) ( ) ( )

Ω+

Ω−=+

2cos

2sin 000

τττ φ ef

fefi

ef tcetcitc L (Eq. 4. 24)

En choisissant maintenant la durée d’interactionτ on peut distinguer deux cas :

• Si πτ =Ωef

( ) ( ) L-ife etcitc φτ 00 −=+ (Eq. 4. 25)

( ) ( ) 00Li

ef etcitc φτ −=+ (Eq. 4. 26)

On échange les populations des états e et f , à un facteur de phase près, cette interactioncorrespondant donc à un miroir pour les populations atomiques. Une telle interaction seraappelée impulsion π .

• Si 2/πτ =Ωef

( ) ( ) ( )[ ]L-ifee etcitctc φτ

21

000 −=+ (Eq. 4. 27)

( ) ( ) ( )[ ] 2

1000 tcetcitc f

ief

L +−=+ φτ (Eq. 4. 28)

On obtient une superposition cohérente équiprobable des états e et f . Cette interactioncorrespondant donc à une lame séparatrice 50/50 pour les populations atomiques. Une telleinteraction sera appelée impulsion 2/π .

La phase Lφ de l’onde lumineuse est imprimée sur la composante qui effectue latransition ef → , et la phase Lφ− est imprimée pour la transition fe → . Cetteremarque sera importante lorsque l’on calculera le déphasage total dans un interféromètre deMACH-ZEHNDER.


4.1.2 Modèle avec les degrés de liberté externes

Position du problème

Lorsque le déplacement de l’atome dans la direction des faisceaux lumineux fait qu’ilpeut voir des phases lumineuses différentes dans les diverses zones d’interaction, il fautprendre en compte les degrés de liberté externes de l’atome. Ceci intervient typiquementlorsque ( ) λ≥mkT /h , où k et λ sont respectivement le vecteur d’onde et la longueur d’ondedu laser, m est la masse de l’atome et T est la durée moyenne entre deux impulsions. Plusieursméthodes ont été développées pour permettre de prendre en compte l’impulsion et la positionde l’atome [FRIEDBERG 93, ISHIKAWA 94]. Nous allons utiliser ici un modèle simple en ondesplanes. On suppose que l’atome se déplace suivant l’axe (Ox) perpendiculaire au faisceaulaser (Oy). Le mouvement de l’atome dans les directions (Ox) et (Oz) va être traitéclassiquement. Par contre son mouvement dans la direction (Oy) des lasers est traitéequantiquement. On affecte alors à l’atome une certaine impulsion P et une position r . Lafonction d’onde atomique s’exprime alors comme une onde plane progressive. Pour un atomeau repos, la fonction d’onde s’écrit :

( ) 0

.

, ψψω

−−

= h

rP

rti

eat (Eq. 4. 29)

où ω est la valeur propre de l’énergie, P et r sont l’impulsion et la position de l’atome, et 0ψreprésente la fonction d’onde en r = 0 et à t = 0.

De même l’expression du champ laser devient :( )LLLL t φω +−= rkEE . cos 0 (Eq. 4. 30)

Correspondance entre état interne et impulsion

Si on appelle fP l’impulsion de l’atome dans le niveau fondamental f , la transitionvers le niveau excité e s’effectue en absorbant un photon d’impulsion Lkh . L’impulsion del’atome dans l’état excité vaut alors Lfe kPP h+= .

De plus si l’on néglige les processus d’émission spontanée, l’atome se désexciteobligatoirement en émettant un photon stimulée d’impulsion Lkh . L’impulsion de l’atomedans l’état f , après un cycle absorption - émission stimulée, vaut de nouveau fP . Il y aalors une correspondance parfaite entre l’état atomique interne et l’impulsion. Les états avecdegrés de liberté externes sont alors notés ff P, et Lfe kP h+, . Les énergies associéessont données par les valeurs propres de l’hamiltonien incluant le terme d’énergie cinétique :

mHH

2

2

0P

+= (Eq. 4. 31)

où 0H est l’hamiltonien interne défini par (Eq. 4. 3). Ces énergies ont alors une dépendanceparabolique en fonction de l’impulsion (voir Figure 4. 3) :


Pour l'état ff P , : ff

ff mE

fωω

2

20

, hh =+=P

P (Eq. 4. 32)

Pour l'état Lfe kP h+ , :( )

eLf

ee mE

Lfωω

2

2 0

, hh

hh =+

+=+

kPkP (Eq. 4. 33)

Ces équations expriment la conservation de l’énergie et de l’impulsion.

0fωh

0eωh

0 ω∆h

eωh

fωh

Lωh

∆

( )m

Lf

2

2kP h+

énergie

Lkh

La

ave

et ω

0fωh fωh

ω∆h

f Lf kP h+mf

2

2P

Figure 4. 3 : en tenant compte des degrés de liberté externes de l’atome, les d’énergie sont des paraboles en fonction de l’impulsion.

différence d'énergie entre les deux états s'écrit alors :

( )RD ωωωω 0 ++∆=∆ hh

c 0ω∆ défini par (Eq. 4. 2). Dω est le terme lié à l'effet DOPPLER :

mfL

DPk .

=ω

R le terme lié à l'effet de recul :

mL

R 2

2kh

=ω

fP Lf kP h+mf

2

2P

impulsion

P

niveaux

(Eq. 4. 34

(Eq. 4. 35

(Eq. 4. 36

)

)

)


Conclusion

Tout le calcul effectué au paragraphe précédent reste donc valable (en particulier lesrelations Eq. 4.19 et Eq. 4. 20), à condition de remplacer le désaccord δ (défini par Eq. 4. 7)par le nouveau désaccord ∆ qui prend en compte l’effet DOPPLER et l’effet du recul :

RD ωωδ −−=∆ (Eq. 4. 37)

4.1.3 Séparation spatiale du paquet d'ondes

Considérons le cas où le faisceau lumineux se propage suivant l’axe (Oy)perpendiculaire à la trajectoire (Ox) de l'atome (ie : Lf kP ⊥ ), alors le passage vers l'état

Lfe kP h+ , s'accompagne d'un changement de direction d’un angle sepθ égal à (voir Figure4. 4) :

f

Lsep P

k h

≈θ (Eq. 4. 38)

effkhPf + effkh

θsep

effkh

Pf

laser

atome y

xO

Figure 4. 4 : lorsque l’atome encaisse l’impulsion du photon, sa trajectoire estmodifiée. Si l’atome est placé dans une superposition d’états ff P , et

Lfe kP h+ , , les deux composantes de la fonction d’onde ont des trajectoiresdifférentes, on obtient donc la séparation spatiale des états atomiques.

Si l'on reprend les impulsions π et π /2 définies au paragraphe 4.1.1, on constate que (voirFigure 4. 5) :

• Une impulsion π /2 place l'atome dans une superposition cohérente d'états ff P , etLfe kP h+ , et revient donc à séparer spatialement les deux composantes de la fonction

d'onde atomique.

• Une impulsion π échange les populations des niveaux ff P, et Lfe kP h+ , etrevient donc du point de vue des trajectoires à échanger les directions.


Impulsion π Impulsion π/2

Figure 4. 5 : évolution des différentes composantes de la fonction dd’impulsion π et π/2.

4.2 TRANSITIONS RAMAN STIMULÉES

Notre interféromètre atomique utilise des transitions à deuséparatrices. Le but de cette partie est d’expliquer le principe de cesqu’elles peuvent être décrites par le modèle de l’atome à deux niveau

Les transitions RAMAN stimulées sont largement utilisées eréaliser du refroidissement Raman sub-recul [KASEVICH 92, REICH

très finement une classe de vitesse transverse [KASEVICH 91, SAVAL

atomes dans une horloge atomique [VANIER 98, KITCHING 00], ou enle voir, pour séparer de façon cohérente les ondes atomiquinterférométrie atomique a été proposée par Ch. BORDÉ [BORDÉ 91]KASEVICH et S. CHU [KASEVICH 91, MOLER 92].

4.2.1 Description

Dans le cas de l’atome de césium, les deux états de très grandu modèle précédent correspondent aux deux niveaux hyperfins de(voir annexe A). L’écart d’énergie entre ces deux niveaux est de h ×donc à un photon micro-onde d’impulsion très faible. L’absorptiséparer le paquet d’ondes atomiques correspondrait à une modificatiode 100 nm.s-1, ce qui est négligeable. Afin d’accroître l’impulstransition ef ↔ , on peut réalisée une transition à deux photonstransition RAMAN stimulée. Nous allons montrer que du point deinternes, cette transition correspond à l’absorption d’un photon mipoint de vue de l’impulsion et des degrés de liberté externes, cettl’absorption de deux photons optiques.

ff P,

ff P,ff P,ff P,

ff P,Lfe kP h+,

Lfe kP h+,

Lfe kP h+, Lfe kP h+,

Lfe kP h+,

’

n

i

onde au passage

x photons comme lames transitions, et de montrerx détaillé précédemment. optique atomique, pour

EL 95], pour sélectionnerLI 00], pour interroger lescore, comme nous allonses. Son application en et mise en œuvre par M.

de durée de vie f et e l’état fondamental 6S1/2

9,2 GHz, qui correspondon d’un tel photon pourn de la vitesse transverseon transférée lors de la optiques, c'est alors unevue des états atomiquescro-onde à 9,2 GHz. Due transition correspond à


Dans ce type de processus, on effectue la transition ef → grâce à l’intermédiaired'un troisième état i . L'atome, initialement dans l'état f , absorbe un photon optique dulaser (1) et est excité vers l'état i . Il émet alors de façon stimulée un photon dans le mode dulaser (2) et il se désexcite alors vers l'état e (voir Figure 4. 6). Pour que ce processus à deuxphotons soit opérant, la différence de pulsation ω∆ entre les photons (1) et (2) doit être égaleà ( )fe ωωω −=∆ = 2π × 9,2 GHz.

(2)(1)

f e(2)(1)

f

e

i

(2)

(2)

f e

Figure 4. 6 : principe d'une transition RAMAN stimulée. L'atome, initialement dansl’état f , absorbe un photon (1), il est excité vers l'état intermédiaire i , puis il sedésexcite vers l’état e en émettant de façon stimulée un photon (2).

L'état intermédiaire utilisé dans notre expérience est le niveau 6P3/2. Les deux photonsoptiques ont donc une longueur d'onde proche de 852 nm (raie D2). On négligera dans la suitela structure hyperfine de ce niveau car les désaccords des deux lasers par rapport auxtransitions if ↔ et ie ↔ seront toujours beaucoup plus grands que la largeur enfréquence de cette structure (environ 600 MHz pour le niveau 6P3/2 – voir Annexe A).

4.2.2 Résolution du système à trois niveaux

L’hamiltonien de ce système à trois niveaux vaut alors :( ) ( )LL

ieifief iieeffH 21 . ˆˆ EEdd ++−++= ωωω hhh (Eq. 4. 39)

avec :( )LLLL t 111011 . cos φω +−= rkEE et ( )LLLL t 222022 . cos φω +−= rkEE (Eq. 4. 40)

ifd et ied sont les opérateurs dipôles électriques associés respectivement aux transitionsif ↔ et ie ↔ . Il faut alors considérer chacun des couplages if ↔ et ie ↔

induits par les champs L1E et L

2E . On a ainsi quatre termes de couplage, chacun caractérisépar une pulsation de RABI :

h

ij Lkij

kjEd .

=Ω (Eq. 4. 41)

Partie 4.2 : Transitions RAMAN stimulées 80

où k vaut 1 ou 2 et représente le champ laser, et j vaut e ou f et représente l’état atomique. Lesdifférents désaccords sont donnés par :

( )jikLkkji ωωω −−=∆ (Eq. 4.42)

avec :

mf

ff 2

20 P

+= ωω( )[ ]

mf

ee 2

2210 kkP −+

+=h

ωω[ ]

mkf

iik 2

20 kP h+

+= ωω

(Eq. 4.43)

laser (1)

laser (2)

laser (2)

laser (1)

ω∆

12δ

f1∆

f2∆

e1∆

L2ω

L1ω

niveau f6S1/2 , F = 3

niveau e6S1/2 , F = 4

niveau i6P3/2

Figure 4. 7 : système à trois niveaux équivalent à la transition RAMAN.

On obtient donc quatre états différents :

ff P, efffe kP h+, 1, kP h+fi 2, kP h+fi

Les deux états i traduisent le fait que l’atome peut être excité vers le niveau i par l’un oul’autre des lasers. L’impulsion qu’il acquiert au cours de cette transition dépend donc du laser.Afin de simplifier les écritures on pose :

ff P, → f 1, kP h+fi → 1iefffe kP h+, → e 2, kP h+fi → 2i

On écrit la fonction d’onde atomique comme une superposition linéaire des quatreétats possibles :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 202101000 itcitcftcetct iife +++=ψ (Eq. 4. 44)


L’équation de SHRÖDINGER permet d’obtenir le système d’équations différentiellestraduisant l’évolution temporelle des populations atomiques :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Ω+Ω=

Ω+Ω=

Ω+Ω=

Ω+Ω=

∆−∆−

∆−∆−

−∆−∆

−∆−∆

tceetceeitdt

dc

tceetceeitdt

dc

tceetceeitdt

dc

tceetceeitdt

dc

fiti

eeiti

ei

fiti

eeiti

ei

iiti

fiiti

ff

iiti

eiiti

ee

Lfi

Lei

Lfi

Lei

Lfi

Lfi

Lei

Lei

2 22 2

1 11 1

2 21 1

2 21 1

2

2

2

2

222

111

2*21

*1

2*21

*1

φφ

φφ

φφ

φφ

(Eq. 4. 45)

Dans la limite où Ω>>∆ , l’émission spontanée des niveaux intermédiaires 1i et2i peut être négligée. On peut alors éliminer les coefficients 1ic et 2ic de (Eq. 4. 45) de

façon adiabatique [MOLER 92]. On obtient ainsi un système équivalent à celui d’un système àdeux niveaux :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tceeitci

dttdc

tceeitcidt

tdc

eeffiti

fACf

f

feffiti

eACe

e

eff

eff

12

12

Ω−Ω−=

Ω−Ω−= −−

φδ

φδ

(Eq. 4. 46)

avec effΩ la pulsation de RABI équivalente de ce système :

f

efeff

1

2*1

2∆ΩΩ

=Ω (Eq. 4. 47)

effφ est la phase équivalente vue par l’atome qui effectue la transition RAMAN :LL

eff 2 1 φφφ −= (Eq . 4. 48)

ACeΩ et AC

fΩ sont les termes de déplacements lumineux :

e

e

e

eACe

2

22

1

21

44 ∆

Ω+

∆

Ω=Ω

f

f

f

fACf

2

22

1

21

44 ∆

Ω+

∆

Ω=Ω (Eq. 4. 49)

Le désaccord de la transition RAMAN s’exprime par (voir Figure 4. 6):( ) ( ) eifife

LL212112 ∆−∆=−−−= ωωωωδ (Eq. 4. 50)

On définit également la différence de déplacements lumineux :( )AC

fACe

AC Ω−Ω=δ (Eq. 4. 51)

Les valeurs propres +λ et −λ sont données par :

( )212

2

22AC

eff

Rr δδλ −+Ω±=

Ω±=±

hh (Eq. 4.52)

Partie 4.2 : Transitions RAMAN stimulées 82

4.2.3 Equivalence avec un système à deux niveaux

(Eq 4. 46) montre que le système à trois niveaux est équivalent à un système à deuxniveaux dont :• la pulsation de l’onde est : LL

eff 21 ωωω −= (Eq. 4. 53)

• le vecteur d’onde est : LLeff 21 kkk −= (Eq. 4. 54)

• la phase de l’onde est : effφ donnée par (Eq. 4. 48)• la pulsation de RABI est : effΩ donnée par (Eq. 4. 47)• le désaccord à résonance est : 12δ donné par (Eq. 4. 50)

On peut alors appliquer la méthode développée aux paragraphes 4.1.1 et 4.1.2 enfaisant la transposition suivante :

ω → effω

Lk → effk

efΩ → effΩ∆ → 12δ

rΩ → RrΩ

Il faut signaler que les formules (Eq. 4. 19) et (Eq. 4. 20) ne sont pas totalementexactes avec cette transposition, puisqu’il apparaît en plus un facteur de phase supplémentairedans ces deux équations. Ce facteur de phase traduit le fait que les niveaux d’énergie ne sontpas déplacés de façon symétrique par rapport à leur valeur d’origine, et il vaut [YOUNG 96] :

( ) 2/ τACf

ACeie Ω+Ω− (Eq. 4.55)

Ce facteur de phase étant identique pour les deux composantes de la fonction d’ondeatomique, il n’entraîne pas de déphasage supplémentaire.

4.2.4 Compensation des déplacements lumineux

On peut choisir les intensités lumineuses pour égaler les déplacements lumineux desdeux niveaux f et e . Dans ce cas 0=ACδ . En prenant fe 11 Ω≈Ω et fe 22 Ω≈Ω , (Eq. 4.49) donne la relation :

( )( )fe

ef

ef

ef

II

22

22

11

112

1

22

1

2 ∆−∆

∆∆×

∆∆∆−∆

=

Ω

Ω=

(Eq. 4.56)

En constatant que : ω∆+∆=∆ fe 11 δω +∆−∆=∆ ff 12 δ+∆=∆ fe 12

et en prenant : f1∆<<δ , on trouve la relation :

ωω

∆+∆∆−∆

=

f

f

II

1

1

1

2 (Eq. 4. 57)


avec 01 <∆ f et 0>∆ω sur la Figure 4. 6. Typiquement dans notre expérience, 0≈δ ,221 ×−=∆ πf GHz, et 2,92 ×=∆ πω GHz, on obtient donc ( ) 55,1/ 12 =II .

4.2.5 Séparation angulaire

Dans le cas où les lasers (1) et (2) sont contra-propageants, Leff 12kk ≈ l’atome

encaisse donc l’impulsion des deux photons dans le même sens, la séparation angulaire estalors deux fois plus importante. La variation de vitesse transverse produite par une transitionRAMAN vaut :

mV eff

ykh

=∆ (Eq. 4. 58)

ce qui donne reculy VV 2=∆ = 7 mm.s-1 dans le cas de la raie D2 du césium.

4.2.6 Sélectivité en vitesse transverse

Dans le cas où les deux ondes (1) et (2) sont contra-propageantes, le désaccordDOPPLER associé à une classe de vitesse atomique transverse transverseV est opposé pour lesdeux ondes :

πδ

2.1

1transverseDoppler Vk

−= (Eq. 4.59)

DopplertransverseDoppler1

22 2

. δπ

δ −≈−=Vk (Eq. 4.60)

Les durées de vie des états ff P, et efffe kP h+, étant très longues, la largeur de latransition RAMAN est limitée par la durée d’interactionτ entre l’atome et les lasers, elle vaut :

πτν

21

=∆ Raman (Eq. 4.61)

On obtient donc une sélectivité en vitesse transverse de la transition RAMAN (à mi-hauteur)donnée par :

( ) τωω 21LLtransverse

cV+

=∆ (Eq. 4.62)

Dans notre cas ≈τ 20 µs, donne un transverseV∆ de 3,4 mm.s-1 ~ 1 Vrecul.

Partie 4.3 :Interféromètre de MACH-ZEHNDER 84

4.3 L'INTERFÉROMÈTRE DE MACH-ZEHNDER

4.3.1 Le MACH-ZEHNDER optique

L'interféromètre de MACH-ZEHNDER est un interféromètre à séparation d'amplitudedont les bras englobent une surface d'aire non nulle. Dans sa version optique, une ondelumineuse de vecteur d'onde k1 est séparée spatialement, et de façon cohérente par une lameséparatrice L1, en deux composantes, de vecteur d'onde k1 et k2 réparties sur chacun des deuxbras (voir Figure 4. 8). Deux miroirs M1 et M2 viennent alors rediriger les ondes lumineusesvers un même point B. Les deux ondes atteignent le point B avec des vecteurs d'onde k1 et k2

différents. Afin de produire des interférences, une deuxième lame séparatrice L2 vient alorsrecombiner les deux ondes. On obtient ainsi une répartition d'énergie lumineuse suivant lesdeux directions k1 et k2, dépendante de la différence de phase entre les deux bras del'interféromètre.

Dans cet interféromètre, on peut décrire l’onde lumineuse par une fonction d'onde àdeux états d'impulsions différentes 1kh et 2kh . Chacune des deux sorties correspond à undes deux états donnés d’impulsion. Le passage d'un état à l'autre s'effectue par interactionavec une lame séparatrice, équivalente à une impulsion π/2, ou par interaction avec un miroir,équivalent à une impulsion π. Les trajets L1, M1, L2 et L1, M2, L2 sont donc équivalentsà une séquence d’impulsions π/2, π, π/2 .

B

A

onde incidente

miroir M2

lame séparatrice L2

chemin (1)

chemin (2)

miroir M1

lame séparatrice L1

k1

k1 k1

k2

k2

k2

k1

Sortie I

Sortie II

Figure 4. 8 : schéma d'un interféromètre de Mach-Zehnder optique. Une ondeincidente de vecteur d'onde k1 est séparée en deux composantes de vecteur d'onde k1et k2. Les deux composantes sont alors redirigées par des miroirs vers un mêmepoint B, où elles sont recombinées grâce à une deuxième lame séparatrice. Onobserve les deux sorties dans les deux directions k1 et k2.


4.3.2 Le MACH-ZEHNDER atomique

On réalise un interféromètre de MACH-ZEHNDER à ondes atomiques grâce à unesuccession d'impulsions π et π/2. La séquence correspondant à cette géométrie est(π/2, π, π/2), chaque impulsion étant séparée de la suivante par une durée T (voir Figure 4. 9).Cette géométrie d’interféromètre atomique a été proposée pour la première fois par Ch.BORDÉ en 1991 et est parfois appelée géométrie « RAMSEY-BORDÉ symétrique » dans lalittérature. Nous garderons dans la suite de ce mémoire l’appellation MACH-ZEHNDER

atomique, par analogie avec le cas optique, et pour éviter toute ambiguïté avec la géométrie« RAMSEY-BORDÉ asymétrique » qui est généralement appelée simplement géométrie« RAMSEY-BORDÉ » (voir paragraphe 5.3).

π/2 π/2π

A

B

ff P ,

Lfe kP h+ ,

t = 0 t = T t = 2T

ff P ,

ff P ,

Lfe kP h+ ,

Lfe kP h+ ,

Sortie I

Sortie II

Figure 4. 9 : schéma d'un interféromètre de MACH-ZEHNDER atomique avecséparatrices optiques. L'onde atomique de quantité de mouvement Pf est séparée endeux composantes de quantité de mouvement Pf et Pf +hkL par une impulsionlumineuse π/2. Les deux composantes sont redirigées par l'impulsion π vers unmême point B, où elles sont recombinées par la deuxième impulsion π/2. On observeles deux sorties dans les directions Pf et Pf +hkL.

L’objectif de cette partie est de déterminer le déphasage introduit entre les deux brasde cet interféromètre dans le cas où l’interféromètre est au repos, puis dans le cas où il estsoumis à une rotation ou à une accélération. Pour nous aider, nous allons tout d’abord étudierle cas de l’interféromètre optique de MACH-ZEHNDER présenté Figure 4. 8.


4.3.3 Calcul général du déphasage

4.3.3.1 Cas d’un interféromètre optique

1) Calcul du déphasage dans le cas immobile

La méthode que nous allons utiliser ici consiste a déterminer les phases accumulées 1φet 2φ sur chacun des deux trajets optiques 1 et 2 . Le déphasage en sortie est alors égal à ladifférence de ces deux phases : ( )12 φφφ −=∆ . Dans le cas simple où l’interféromètre estimmobile (pas de rotation ni d’accélération), les phases 1φ et 2φ se calculent très facilement,elles sont chacune composées de deux contributions :

• Déphasage de propagationune contribution due à la propagation de la phase de l’onde lumineuse le long des

chemins 1 et 2. Dans le cas d’une onde plane d’expression : ( ) ( )[ ]rkrE . exp , −−= tiat ω ,cette phase s’écrit, pour chacun des deux chemins :

rk . +−= Tnpropagatio ωφ (Eq. 4. 63)

où T est la durée mise par l’onde pour arriver au point B et r est la position de B par rapport àune origine donnée. Dans le cas du MACH-ZEHNDER optique, le déphasage lié à la propagationjusqu’au point B s’exprime par :

( ) ( ) ( )λ

πωωφ 121212

2 LLLLc

TTnpropagatio −=−=−=∆ (Eq. 4. 64)

où L1 et L2 sont les longueurs optiques des chemins 1 et 2, et λ est la longueur d’onde. Leterme k . r ne participe pas au déphasage car on observe les interférences au même point Bpour les deux chemins 1 et 2. Nous verrons dans la suite que pour les interféromètres« temporels », cette contribution n’est pas nulle (voir paragraphe 4.5.2).

• Déphasage lié aux composantsune contribution due au passage sur les miroirs ou les lames séparatrices. Chaque

réflexion d’un milieu d’indice n1 à un milieu d’indice n2, avec n1< n2 s’accompagne d’undéphasage de π, par rapport à la partie transmise. Ainsi, si l’on considère la sortie I del’interféromètre de la Figure 4. 8, il y a deux réflexions de ce type sur chacun des chemins 1 et2, la contribution au déphasage total est donc nulle. Par contre si l’on considère la sortie II, ily a deux réflexions de ce type sur le chemin 2, et une seule sur le chemin 1, la contributionvaut alors π.


On trouve finalement pour le déphasage total en B, pour la sortie I ou II :

( ) ( )λ

πφφφ 12

12 2 LLtotaltotaltotal

I−

=−=∆ (Eq. 4. 65)

( ) ( ) πλ

πφφφ +−

=−=∆ 1212

2 LLtotaltotaltotalII (Eq. 4. 66)

Les sorties I et II sont en opposition de phase, ceci exprime le fait que lorsque l’onobserve un maximum d’intensité sur la sortie I (frange brillante), on a un minimum d’intensitésur la sortie II (frange sombre).

2) Déphasage en présence de rotation ou d’accélération

Si l’interféromètre est soumis à une rotation ou une accélération, le déphasage possèdetoujours les deux mêmes contributions, mais le calcul devient plus compliqué. Il faut en effetdéterminer les instants où les faisceaux atteignent les lames séparatrices et les miroirs afind’évaluer leurs positions dans le repère d’inertie R0, et ainsi pouvoir remonter aux vraistrajets optiques 1 et 2. Les phases de propagation npropagatio

1φ et npropagatio2φ le long des deux

chemins sont alors modifiées (1). Nous ne ferons pas ici ce calcul quelque peu laborieux etinutile dans le cas de notre interféromètre. En effet, le fait que notre interféromètre soit detype « temporel » va grandement simplifier la détermination de ces phases liées à lapropagation.

4.3.3.2 Interféromètres « spatiaux » - interféromètres « temporels »

Lorsque l’on souhaite calculer le déphasage lié à la propagation de la phase lumineuse,on peut mener le calcul de deux façons différentes :

- On cherche le déphasage en un point B unique correspondant à la sortie del’interféromètre. Dans ce cas les deux ondes 1 et 2 arrivent à des instants différents en B et ledéphasage de propagation est uniquement dû au terme :

( )12 TTnpropagatio −−=∆ ωφ (Eq. 4. 67)

où T1 et T2 sont les durées des trajets 1 et 2. C’est ce que l’on vient de faire pourl’interféromètre optique de MACH-ZEHNDER immobile.

En réalité, il est clair que seules peuvent interférer les ondes qui arrivent au mêmeendroit au même instant. Il faut donc considérer deux ondes émises à des instants différents en

(1) Une autre façon de tenir compte de la rotation ou de l’accélération est de se placer dans le repère tournant ouaccéléré R. Dans ce repère, les longueurs optiques des deux chemins sont les mêmes que dans le cas oùl’interféromètre est immobile. Mais l’écriture des relations de Maxwell dans le repère tournant montre que lesvitesses de phase des deux ondes ne sont plus égales [WILKINSON 87]. Il apparaît alors un déphasage dû au faitque les ondes se propagent avec des fréquences différentes.


A. Ce qui rend la méthode valide est que la différence d’instants d’émission en A est justementégale à la différence ( )12 TT − d’arrivée en B.

- On peut également considérer qu’à un instant T supérieur à T1 et T2, les deux ondes1 et 2 sont à deux endroits différents B1 et B2 relativement proches (de distance inférieure à lalongueur de cohérence de l’onde), et le déphasage s’exprime alors par :

( )12 . rrk −=∆ npropagatioφ (Eq. 4. 68)

où r1 et r2 sont les positions des points B1 et B2 repérés par rapport à une origine commune O.De même que précédemment il faudrait en fait considérer que lorsque l’onde (2) est en A,l’onde (1) est en A’, et qu’après propagation elles arrivent simultanément en B. La distanceAA’ est bien sûr égale à B1B2.

A

B

B2

A

B1

A’

Figure 4. 9 : Le déphasage peut être calculé soit en considérant que les deux ondessont émises simultanément en A, quand la seconde arrive en B1, la première est alorsen B2. Soit en considérant que les deux ondes arrivent simultanément en B, ellesétaient alors respectivement en A et A’ .

Ces deux façons de calculer le déphasage (Eq. 4. 67) et (Eq. 4. 68) sont bien sûr équivalentescar ω et k sont reliés par la célérité de l’onde : ω = c k.

Dans le cas des interféromètres dits « spatiaux », pour lesquels la séparation et larecombinaison des deux ondes sont réalisées à des positions bien précises, on préférera lapremière méthode. L’interféromètre optique de MACH-ZEHNDER présenté Figure 4. 8, avec seslames séparatrices et ses miroirs, fait partie de cette catégorie.

Dans le cas des interféromètres dits « temporels », pour lesquels la séparation et larecombinaison sont réalisées à des instants bien précis quelle que soit la vitesse ou la position,on préférera la deuxième méthode. Le calcul du déphasage est alors grandement simplifié parle fait que les instants où se produisent la séparation et la recombinaison sont parfaitementconnus, quel que soit le mouvement de rotation ou d’accélération de l’interféromètre. Notregyromètre atomique correspond à cette deuxième catégorie.


4.4 LES DIFFÉRENTS OUTILS NÉCESSAIRES

4.4.1 Présentation de la méthode

De même que dans le cas optique, nous allons déterminer les phases 1φ et 2φaccumulées par l’onde atomique sur chacun des deux chemins. Le déphasage final est alors ladifférence entre ces deux phases. 1φ et 2φ s’expriment de nouveau comme une somme de deuxcontributions, une liée à la propagation de la phase atomique le long des deux chemins 1 et 2,et l’autre liée aux passages dans les lames lumineuses. Une différence importante toutefois estque dans le cas des ondes atomiques, l’impulsion n’est pas de norme constante le long desdeux chemins, contrairement au cas optique.

Nous allons détailler ici ces deux contributions, puis nous développerons ensuite leurcalcul.

• La contribution liée à la propagation de la phase atomique.De même que dans le cas optique, nous allons considérer ici uniquement le cas d’ondesplanes. Si l’on appelle ( )aa t,rψ la fonction d’onde associée à un atome au point A de positionra à l’instant t = ta, la fonction d’onde de cet atome au point B(rb, tb) est donnée par :

( ) ( )aaAB

t

tbb tddtHit b

a

, . exp ,

rrPr ψψ

−−= ∫∫h

(Eq. 4. 69)

La phase atomique le long d’un chemin s’obtient donc à partir de l’intégrale d’action S :

∫∫ +−=chemin

chemin du durée

. rP ddtHS (Eq. 4. 70)

où H est l’hamiltonien du système tenant compte de la structure interne et des degrés deliberté externes de l’atome, P est l’impulsion de l’atome. Cette contribution va être calculéegrâce au formalisme des « intégrales de FEYNMAN » qui nous indique le long de quel chemincette intégrale doit être calculée.

• La contribution liée au passage des lames lumineusesOn a vu au paragraphe 4.1.1 que chaque changement d’état s’accompagne d’un déphasageégal à effφ± où effφ est la phase lumineuse vue par l’atome à l’endroit où il interagit, donnéepar (Eq. 4. 48). Cette contribution va être calculée à partir du formalisme des « matrices S ».

Partie 4.4 :Différents outils nécessaires 90

4.4.2 Quelques mots sur le formalisme de FEYNMAN et des « matrices S »

1) Formalisme de FEYNMAN [FEYNMAN 65, COHEN-TANNOUDJI 92-cours IV,STOREY 94]

Lorsque nous avons écrit les équations (Eq. 4. 67) et (Eq. 4. 68), il se pose unproblème que nous n’avons pas encore soulevé. On considère un atome au point ra, et on luiassocie une fonction d’onde plane, qui correspond à un atome délocalisé dans tout l’espace.De même pour la fonction d’onde au point B. La question qui se pose alors est quel est lechemin reliant A à B sur lequel il faut intégrer la phase ? Le formalisme de FEYNMAN permetde répondre à cette question. L’idée de base est que le propagateur K donnant la probabilité detrouver l’atome en B(rb,tb) résulte de l’interférence de tous les chemins possibles Γ partant deA(ra,ta), et menant à B(rb,tb) :

∑Γ

Γ=

possiblesschelestous

iSeBAK

min

/),( h (Eq. 4. 71)

Ceci est en quelque sorte l’équivalent du principe d’HUYGHENS pour les ondesatomiques. Le point clé est alors que, dans la mesure où l’action S est très grande devant h ,seuls les chemins très proches de la trajectoire classique réelle (i.e. ceux vérifiant le principede moindre action : ∂S/∂z =0 et ∂S/∂t =0 pour une trajectoire classique) donnent desinterférences constructives. Les autres, oscillant trop rapidement se brouillent. Ainsi, seule latrajectoire classique contribue au propagateur. Il suffit alors de calculer l’action le long decette trajectoire classique pour avoir le facteur de phase entre A et B.

Ceci justifie donc l’utilisation d’ondes atomiques planes avec la Figure 4. 9, où l’on areprésenté les trajectoires classiques des atomes.

Pour déterminer le déphasage en présence de rotation ou d’accélération, il suffit alorsde déterminer les trajectoires classiques perturbées et de calculer la phase le long de cestrajectoires.

Dans le cas où les trajectoires classiques perturbées par la rotation ou l’accélérationsont compliquées à déterminer (ce qui est le cas pour les interféromètres « spatiaux »), onpeut connaître le déphasage au premier ordre en a ou en Ω, en considérant les trajectoiresclassiques non perturbées, puis en intégrant un terme de perturbation le long de cestrajectoires. Ce terme de perturbation est calculé dans [COHEN-TANNOUDJI 92-cours V] pourune accélération et dans [COHEN-TANNOUDJI 92-cours VII] pour une rotation. On donne icileurs expressions :

( )tmV onaccélérati ra . = (Eq. 4. 72)

( ) ( )( )ttmV rotation vr ×= . Ω (Eq. 4. 73)

où m est la masse de l’atome, a est le vecteur accélération, Ω est le vecteur rotation et( )tv est le vecteur vitesse de l’atome. Ces termes sont à ajouter dans l’hamiltonien, et ils

doivent être intégrés par rapport au temps, sur la durée du trajet, pour donner le déphasage.


Calcul de la phase accumulée sur un tronçon AB

Regardons ce que donne ce calcul pour la propagation pendant une durée T dansl’espace libre, d’un atome initialement décrit par la fonction d’onde atomique :

( ) ffefffeaa faeat PkPr ,,, ++= hψ (Eq. 4. 74)

La fonction d’onde après la propagation se trouve grâce à la relation (Eq. 4.69).L’intégrale d’action se calcule grâce à l’hamiltonien du système incluant l’énergie cinétiquedont l’expression est donnée en (Eq. 4. 31). L’intégrale d’action s’écrit alors :

∫∫ +

+−=

chemin chemin

du durée

2

0 . 2

rPP ddtm

HS (Eq. 4. 75)

On intègre le deuxième terme le long du chemin classique, on a alors :

dtm

dtd PVr == (Eq. 4. 76)

où V est le vecteur vitesse de l’atome. (Eq. 4. 75) se réécrit donc :

2

chemin du durée

2

0∫

−−= dt

mHS P (Eq. 4. 77)

A partir de l’expression précédente, de (Eq. 4. 69) et de (Eq. 4.74), on déduit :

( )( )

f

Tm

i

fefff

Tm

i

ebb feaeeatf

fefff

e

PkPrPkP

, , ,

2

2

20

20

−−

+−−

++=ωω

ψ h

h

(Eq. 4. 78)

On peut ainsi écrire un propagateur matriciel permettant de relier ( )aa t,rψ à ( )bb t,rψ :( ) ( ) ( )bbabbb tttKt , , rr ψψ −= (Eq. 4. 79)

avec : ( )

( ) ( )

( )

=−−

−−

−

+−−

abf

f

abefff

e

ttm

i

ttm

i

ab

e

ettK

2

2

20

20

0

0P

kP

ω

ωh

(Eq. 4. 80)

Afin de suivre l’atome le long des bras de l’interféromètre on va énoncer une règlede propagation s’appliquant directement à un atome dans un état propre ; cette règle découlenaturellement de (Eq. 4. 80). Un atome dans un état propre jj P, se propageant pendant unedurée T, accumule une phase liée à la propagation, donnée par :


Tmj

jnpropagatio ×

−=

2

20 P

ωφ (Eq. 4.81)

où j est un indice représentant l’état atomique et vaut e ou f, et représente l’impulsion del’atome dans l’atome dans l’état jj P, . Nous verrons au paragraphe 4.5.2 que l’atome peutêtre dans l’état interne f (resp. e ) et que son impulsion peut être différente de fP (resp.

efff kP h+ ).

2) Formalisme des « matrices S » [BORDÉ 84, COHEN-TANNOUDJI 92-cours II ]

Le but de cette partie est de déterminer les phases et les facteurs d’amplitude desdifférentes composantes de la fonction d’onde atomique, lors de la traversée d’une lamelumineuse. Ceci a déjà été fait au paragraphe 4.1.1 pour un atome au repos (i.e. pas de rotationni d’accélération) et sans degré de liberté externe, et a abouti à l’obtention des relations (Eq.4. 19) et (Eq. 4. 20).

Au paragraphe 4.1.2, les degrés de liberté externes de l’atome ont été ajoutés, et on amontré que les relations (Eq. 4. 19) et (Eq. 4. 20) restaient valables, à condition de remplacerle désaccord δ par ∆ , donné par (Eq. 4. 37).

Enfin au paragraphe 4.2 on a montré que les relations (Eq. 4. 19) et (Eq. 4. 20),moyennant une transposition indiquée au paragraphe 4.2.3, permettaient de calculer ledéphasage entre les deux composantes de la fonction d’onde atomique (mais pas les phases)dans le cas de transitions RAMAN stimulées.

En réécrivant (Eq. 4. 19) et (Eq. 4. 20) sous forme matricielle, dans le cas destransitions RAMAN, et en prenant 012 == ACδδ (ce qui est notre cas expérimentalement), onobtient :

( )( )

( )( )

Ω

Ω−

Ω−

Ω

=

++

−

0

0

0

0

2cos

2sin

2

sin 2

cos

tctc

ei

ei

tctc

f

e

effieff

ieffeff

f

e

eff

eff

ττ

ττ

ττ

φ

φ

(Eq. 4 .82)

On peut donc associer à chaque lame lumineuse, une matrice, appelée « matrice S »permettant de déterminer la fonction d’onde à la sortie ( )τψ +0t en fonction de celle àl’entrée ( )0tψ :

( ) ( ) ( )00 tSt L ψττψ =+ (Eq. 4 .83)

Ce formalisme repose sur un certain nombre d'approximations qui ont déjà été décriteslors des calculs précédents, mais que nous rappelons ici :


• Les atomes sont représentés par des ondes planes, et tout phénomène d'émissionspontanée est négligé. L'atome est supposé se déplacer suivant l'axe (Ox) à la vitesseVx (voir Figure 4. 10). Les deux grandeurs x et Vx seront considérées classiquement. Parcontre le mouvement dans la direction des faisceaux laser (Oy), sera traitéquantiquement.

x

y

Vx

keff

τ petit

Figure 4. 10 : l’atome est représenté par une onde plane. Il se propage suivant ladirection (Ox). L’onde lumineuse est perpendiculaire, suivant la direction (Oy).L’impulsion et la position de l’atome suivant (Oy) sont des observables. La duréed’interaction τ est courte devant la durée d’observation totale. Les fronts d’ondeslumineux sont plans.

Lorsque l'atome interagit avec le champ lumineux, on suppose :

• que la durée de passage τ de l'atome dans le champ lumineux est négligeable parrapport au temps d'observation de l'atome, ce qui signifie que ce modèle ne pourra pasdécrire l'atome à l'intérieur de la lame lumineuse ou même aux proches abords. Leprofil spatial du faisceau lumineux n’intervient pas, seule l’aire de l’impulsionintervient :

( )∫+∞

∞−Ω=Θ dtteff (Eq. 4 .84)

On peut alors remplacer τeffΩ par Θ dans (Eq. 4. 82)

• que les fronts d'onde des ondes lumineuses sont plans là où ils interagissent avecl’atome.

Notre interféromètre est composé uniquement d’impulsions 2/π et π . Nous allonsdonc expliciter la forme de la matrice S dans ces deux cas :

21

2

22

1

2/

−

−

=

−

eff

eff

i

i

ei

ei

Sφ

φ

π (Eq . 4. 85)


0

0

−

−=−

eff

eff

i

i

eieiS φ

φ

π (Eq . 4. 86)

Les deux matrices (Eq. 4. 85) et (Eq. 4. 86), associées avec le propagateur défini par(Eq. 4. 80) permettent de déterminer la fonction d’onde atomique en sortie del’interféromètre, en fonction de celle en entrée.

On peut également à partir de (Eq. 4. 81), (Eq. 4. 85) et (Eq. 4. 86) définir unensemble de règles lors de la propagation de l’atome dans une lame lumineuse ou dansl’espace libre :

Règles de d’évolution lors de la propagation dans une lame lumineuse ou dans l’espace libre

transition impulsion 2/π impulsion π Propagation dans l’espace libreamplitude phase amplitude phase amplitude phase

ee →2

1 0 1 ( )T

mefff

e ×

+−

2

20 kP h

ω

ff →2

1 0 1T

mf

f ×

−

2

20 P

ω

fe → ei2

− effφ− i− effφ−

ef → ei2

− effφ+ i− effφ+

(Eq. 4. 87)

L’avantage de ce tableau de règles de transition par rapport aux matrices (Eq . 4. 85) et (Eq. 4.86) est que l’on peut suivre l’atome sur chacun des bras de l’interféromètre.

4.5 CALCUL DU DÉPHASAGE DANS L’INTERFÉROMÈTRE ATOMIQUE

Nous allons calculer le déphasage en sortie d’un MACH-ZEHNDER atomique temporel.On suppose donc que quelle que soit la vitesse atomique ou les mouvements del’interféromètre, la séquence est toujours (π/2, T, π, T, π/2) avec T fixé (voir Figure 4.11). Nous allons effectuer ce calcul de deux façons différentes :

1ère méthode : calculer les déphasages dus à la propagation de la phase atomique et auxlames lumineuses pour un interféromètre immobile. On introduit ensuite le mouvement de


rotation ou d’accélération comme une petite perturbation. Le déphasage lié à cetteperturbation se détermine alors facilement grâce à (Eq. 4. 72) et (Eq. 4. 73). Cette méthodedonne un résultat valable au premier ordre en ( ) atomiqueVT /Ω ou en ( ) atomiqueVaT / avec Ω levecteur rotation, a l’accélération, T la durée du passage dans l’interféromètre et Vatomique lavitesse des atomes.

2ème méthode : calculer les déphasages dus à la propagation et aux lames lumineusesdirectement le long des trajectoires perturbées par le mouvement de rotation oud’accélération. Ces trajectoires perturbées se déterminent aisément dans le cas d’uninterféromètre temporel. Ce n’est pas le cas pour un interféromètre spatial.

4.5.1 Calcul le long des trajectoires non perturbées

On considère ici un interféromètre immobile, les trajectoires atomiques « classiques »le long desquelles se propagent les phases sont donc celles représentées Figure 4. 11. Larotation ou l’accélération sera introduite ensuite comme une perturbation.

Bφ

Cφ

A

B

t = 0 t = T t = 2T

Sortie I

Sortie II

C

C’

(1’)

(1’’)

(2’’)

(2’)

Aφ

'Cφ

Figure 4. 11 : trajectoires classiques non perturbées. Le chemin 1 (resp. 2) est coupéen deux tronçons 1’ et 1’’ (resp. 2’ et 2’’) le long desquels l’état atomique estdifférent.

1) Calcul du déphasage pour l’interféromètre immobile

Les règles de transitions (Eq. 4. 87) nous donnent les facteurs de phase et d’amplitudeà la traversée des lames lumineuses lors de la propagation.

Déphasage lié à la propagation

Nous allons décomposer chacun des deux trajets (1) et (2) en deux tronçons (voirFigure 4. 11) où l’impulsion est constante.

Partie 4. 5 : Calcul du déphasage dans l’interféromètre atomique 96

Sur le trajet (1), l’atome passe une durée T dans l’état ff P, (tronçon 1’) et unedurée T dans l’état efffe kP h+, (tronçon 1’’). La phase accumulée vaut donc :

( )T

mT

mefff

ef

fnpropagatio

2

2

20

20

1

+−+

−=

kPP hωωφ (Eq. 4. 88)

De même sur le trajet (2), l’atome passe une durée T dans l’étatefffe kP h+, (tronçon 2’) et une durée T dans l’état ff P, (tronçon 2’’). La phase

accumulée est donc identique à celle du trajet (1) : npropagationpropagatio12 φφ = .

0=∆ npropagatioφ (Eq. 4. 89)

Le déphasage lié à la propagation entre les deux bras est donc nul.

Déphasage lié au passage dans les lames lumineuses

On cherche le déphasage introduit sur la sortie I de l’interféromètre, on a alors :

• Pour le bras 1 : impulsion π/2 ( ff → ) à t = 0impulsion π ( ef → ) à t = Timpulsion π/2 ( fe → ) à t = 2T

Le facteur de phase - amplitude vaut donc d’après (Eq. 4. 79) pour la séquence :

( ) ( )BCBClaser iii-iφ eeie-i φφφφη −−− −

=−

××=21

2

21 e 1 (Eq. 4. 90)

• Pour le bras 2 : impulsion π/2 ( ef → ) à t = 0impulsion π ( fe → ) à t = Timpulsion π/2 ( ff → ) à t = 2T

( ) ( )''2

21-

21

2 e CACA

laser iii-iφ eeiei φφφφη −−− =×−×−

= (Eq. 4. 91)

lame π/2(f → f)

lame π(f → e)

lame π/2(e → f)

lame π/2(f → e)

lame π(e → f )

lame π/2(f → f)


où Aφ , Bφ , cφ et 'Cφ sont les phases des lasers (voir Figure 4.11) . On obtient donc ledéphasage entre les deux bras, lié aux passages dans les lames lumineuses :

( ) ( )BCCAlaserlaserlaser

I φφφφφφφ +−−=−=∆ '12 (Eq. 4. 92)

Dans le cas où l’onde laser est une onde plane et où la phase est conservée entre les troisimpulsions on à alors : CA φφ = et 'CB φφ = , et ainsi :

0=∆ laserIφ sortie I (Eq. 4. 93)

De même si l’on considère la sortie II :

Bras 1 : ( ) CC ii eie-i φφ −− −=××=

2

21

21 (Eq. 4. 94)

Bras 2 : ( ) ( )BCABA iiii eieieiei φφφφφφ +−−−− =−

×−×−

= 'C'

2

2

2 (Eq. 4. 95)

Ce qui donne : ( )πφφφφφ ++−−=∆ BCCAlaserII ' (Eq. 4. 96)

On a donc en considérant l’onde laser comme plane :

πφ =∆ laserII sortie II (Eq. 4. 97)

On retrouve bien le fait que les deux sorties sont en opposition de phase, comme dansle MACH-ZEHNDER optique.

Le facteur d’amplitude =η –1/2 apparaissant pour le deux bras 1 et 2 dans les équations (Eq.4. 90) et (Eq. 4. 91), nous indique que les deux ondes qui interfèrent ont même amplitude, lecontraste des franges d’interférences est donc égal à 1. La probabilité de présence de l’atomesur les sorties I et II est donc de la forme :

( )2

cos1 laserI

IP φ∆+= et ( )

I

laserII

II PP −=∆+

= 12

cos1 φ (Eq. 4. 98)

quelles que soit les valeurs de laserIφ∆ et laser

IIφ∆ . Cela signifie que ces deux formules resterontvraies même en présence de rotation ou d’accélération.


2) Déphasage lié à la rotation ou à l’accélération

Comme indiqué au paragraphe 4.4.2, on obtient le déphasage lié à la perturbation(rotation ou accélération) en intégrant le terme de perturbation donné par (Eq. 4. 72) et (Eq. 4.73) sur les chemins non perturbés.

• cas d’une rotation :

=∆ rotationφ ( ) ( ) ( ) ( )

×−× ∫∫ dtttdtttm

ACBBAC

. '

VrVrΩh

(Eq. 4. 99)

Si on suppose que le chemin sur lequel on intègre est un segment de droite [MN].Comme ( ) ( )tddtt rV = , le terme :

( ) ( )∫ ×MN

dttt Vr (Eq. 4. 100)

est égal à deux fois l’aire orientée du triangle OMN, où O est l’origine du repère.

En intégrant ce terme sur les quatre tronçons 1’, 1’’, 2’ et 2’’ et en faisant la différence(2’+ 2’’-1’-1’’) on trouve finalement :

h

mrotation 2=∆φ Ω A . (Eq. 4. 101)

où A est un vecteur normal au parallélogramme AC’BC et de norme égale à l’aire de ceparallélogramme et de direction donnée par la règle du bonhomme d’AMPÈRE. Ce déphasageest donc proportionnel au flux du vecteur rotation à travers l’aire de l’interféromètre. Onretrouve bien le fait que l’interféromètre n’est sensible qu’aux rotations d’axe perpendiculaireau plan de celui-ci.

• cas d’une accélération :

( ) ( )

−=∆ ∫∫ dttdttm

ACBBAC

onaccélérati . '

rrah

φ (Eq. 4. 102)

Le calcul de ce terme le long des deux bras donne alors :

( )∫=∆BCAC'

. dttmonaccélérati rah

φ (Eq. 4. 103)

où l’intégrale représente une intégrale de contour le long du parallélogramme AC’BC. Lecalcul de cette intégrale donne :


( ) 2

'

' T

mTCCdtt eff

BCAC

kr

h=×=∫ (Eq. 4. 104)

on a ainsi :2 . Teff

onaccélérati ak=∆φ (Eq. 4. 105)

4.5.2 Calcul le long des trajectoires perturbées

Nous allons refaire le calcul du déphasage dû à la propagation de la phase de l’ondeatomique, et aux passages dans les lames lumineuses, mais en considérant cette fois lestrajectoires perturbées par la rotation. Nous aurons alors directement le déphasage en présencede rotation, sans avoir à ajouter le terme de perturbation que l’on a considéré précédemment.On pourra trouver le calcul du déphasage le long des trajectoires perturbées par uneaccélération (en l’occurrence par la gravité) dans [PETERS 98, COHEN-TANNOUDJI 92 cours Vet VI].

1) Détermination des trajectoires perturbées dans le cas d’une rotation

On va se placer dans le repère d’inertie R0. Dans ce repère on peut considérer queles atomes sont libres (hamiltonien H = H0 + P2/2m) et que ce sont les lasers qui tournent. Onsuppose que la rotation se fait par rapport à l’axe perpendiculaire au plan défini par la vitesseatomique et les faisceaux laser. Les trois impulsions n’ont plus la même direction (voirFigure 4. 12). L’impulsion de recul subie par l’atome n’est donc plus forcément perpendiculaireà son impulsion de départ.

Angle des lames lumineuses en fonction du temps :Première impulsion à t = 0 → 01 =αDeuxième impulsion à t = T → TΩ=2αTroisième impulsion à t = 2T → TΩ= 23α

On en déduit les composantes de l’impulsion de l’atome sur chacun des quatre tronçons 1’,1’’, 2’ et 2’’ :

=

0'1fPP

( )( )

Ω

Ω−=

TT

eff

efff

cossin

''1 kkP

Ph

h

(Eq. 4. 106)

=

eff

f

kP

Ph

'2

( )( )( )

Ω−

Ω+=

TT

eff

efff

cos1sin

''2 kkP

Ph

h


En intégrant les deux composantes de l’impulsion par rapport au temps, on en déduit lespositions pour t = 2T, instant où l’on recombine les ondes atomiques :

Pour le bras 1 :

( )[ ]( )

( )[ ]( )

Ω

Ω−=

Ω

Ω−+=

∫∫ ∫

TTTT

mdtT

dtTdt

mB

eff

efffT

T eff

T T

T effff

cos sin21

cos

sin12

0

2

1 kkP

k

kPP

h

h

h

h

(Eq. 4. 107)

Pour le bras 2 :

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

Ω

Ω+=

Ω−+

Ω++=

∫∫∫ ∫

TTTT

mdtTdt

dtTdt

mB

eff

efffT

T eff

T

eff

T T

T effff

cos-2 sin21

cos1

sin12

0

0

2

2 kkP

kk

kPP

h

h

hh

h

(Eq. 4. 108)Les deux points d’arrivée sont donc différents et séparés de :

( )( )[ ]

Ω−

Ω−=

TT

mBB

eff

eff

cos12sin21

12 kk

h

h(Eq. 4. 109)

il faudra donc ajouter en plus, un déphasage dû à l’écart en position (voir paragraphe 4.3.3.1) :

12 . BBatomiqueposition k=∆φ (Eq. 4. 110)

L2φ

AC

C’

(1’)

(1’’)

(2’’)

(2’)

L1φ

L' 2φ

ΩT

Figure 4. 12 : trajectoires perturbées par la rotation. La dede ΩT et la troisième de 2ΩT. A t = 2T, les deux ondes ne soelles sont en B1 et B2.

( )TΩsin2 kh

L3φ

B2

B1

L'3φ

2

uxième lame est nt pas au même

eff

( )( )TΩ− cos12 kh

ΩT

tournéepoint B,

eff


2) Déphasage de propagation

De même qu’au paragraphe précédent, on va utiliser la relation (Eq. 4. 73) sur lesquatre tronçons. On obtient alors les quatre phases :

hh mmf

22

22'1

'1PP

==φ

( ) ( )h

hh

h mT

meffeffff

2sin2

2

222''1

''1kkPPP +Ω−

==φ

( )h

h

h mmefff

22

222'2

'2kPP +

==φ (Eq. 4. 111)

( ) ( ) ( )( )h

hh

h mTT

meffeffff

2cos12sin2

2

222''2

''2Ω−+Ω+

==kkPPPφ

On en déduit donc :

( )''1'1'2''2 φφφφφ −−+=∆ npropagatio

( ) ( ) ( )( )[ ]TTmT

efffeff Ω−+Ω= cos12sin42

2kPk hhh

(Eq. 4. 112)

Si on suppose que TΩ est très petit devant 1, alors on peut faire un développement limité àl’ordre 1 en TΩ , on a alors :

TmT

feffnpropagatio Ω=∆ Pkh2φ (Eq. 4. 113)

Que l’on peut réécrire :

Ω=∆ Amnpropagatio

h

2φ à l’ordre 1 en TΩ (Eq. 4. 114)

où A est l’aire du parallélogramme ACBC’.

3) Déphasage lié au passage dans les lames lumineuses

De la même façon qu’au paragraphe 4.5.1, le déphasage sur la sortie I vaut : ( )'1 CCBA

LaserI φφφφφ −−+=∆ (Eq. 4. 115)

et sur la sortie II : ( )πφφφφφ −−−+=∆ '2 CCBA

LaserII (Eq. 4. 116)

En prenant l’origine des position au point A on peut déterminer les différentes phases par :ieffi rk . −=φ (Eq. 4. 117)


On trouve alors :0=Aφ

( )TLeffC Ω= sinkφ

( ) ( )TTm

TL effeffC Ω−Ω= cossin

2

'k

kh

φ (Eq. 4. 118)

( ) ( )TTm

TL effeffB Ω−Ω= cos2sin2

2

1

kk

hφ

( ) ( ) ( )[ ]TTTm

TL effeffB Ω−Ω+Ω= 2cos2cos2sin2

2

2

kk

hφ

où L est la longueur AC = mTf /P .

On obtient donc en rassemblant tous ces termes:

( ) ( )[ ]1cos2sin2 −ΩΩ=∆ TTLeffLaserI kφ (Eq. 4. 119)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] πφ −Ω−Ω+−ΩΩ=∆ TTTm

TTL effeff

LaserII 2coscos

21cos2sin2

2kk

h

(Eq. 4. 120)Si on suppose que TΩ est très petit devant 1, alors on peut faire un développement limité àl’ordre 1 en TΩ . On a alors :

TLeffLaserI Ω=∆ k2φ (Eq. 4. 121)

πφ −Ω=∆ TLeffLaserII k2 (Eq. 4. 122)

Que l’on peut réécrire :

Ω=∆ AmLaserI

h

2φ à l’ordre 1 en TΩ (Eq. 4. 123)

πφ −Ω=∆ AmLaserII

h

2 (Eq. 4. 124)

4) Déphasage dû à l’écart en position

Ce déphasage est donné par la formule (Eq. 4. 110). Suivant que l’on regarde la sortieI ou II, atomiquek a pour expression à l’ordre 1 en TΩ :

Ω+==0

1''2 TefffIatomique

kPPk h

hh(Eq. 4. 125)

et

Ω−==

eff

efffIIatomique

TkkPPk

h

h

hh

1''1 (Eq. 4. 126)


Le vecteur 12 BB est donné par (Eq 4. 109). On peut réécrire ses coordonnées au premierordre en TΩ :

Ω−=0

2112

Tm

BB effkh (Eq. 4. 127)

On trouve donc que le déphasage dû à l’écart de position est le même pour les sorties I et II, etil vaut :

Tm feff

position Ω−=∆ 2 Pkφ (Eq. 4. 128)

Ce terme peut être réécrit :

Ω−=∆ Amposition

h

2φ (Eq. 4. 129)

Dans le cas où TΩ n’est pas très petit devant 1, les deux ondes issues des chemins 1 et 2 nesortent pas exactement avec la même direction (leur quantité de mouvements diffèrent d’unterme du deuxième ordre en TΩ ). Le déphasage de position est alors donné par :

[ ]2

21

1 . .1 OBOB IsortieIsortiepositionI PP −=∆

hφ (Eq. 4. 130)

Où Isortie 1P est la quantité de mouvement de l’atome issu du chemin 1 sur la sortie I, et Isortie

2Pest la quantité de mouvement de l’atome issu du chemin 2 sur la sortie I.

5) Déphasage total

En sommant tous les déphasages trouvés, on obtient :

positionLasernpropagatiototal φφφφ ∆+∆+∆=∆ (Eq. 4. 131)

On trouve donc finalement

On retrouve bien ici au prepar la méthode perturbative

m2 m2 m2

:

∆φ

mier ordre en au paragrap

ΩAh

Ω= Amtotal

h

2

( )TΩ l’exprehe précédent.

ΩAh

(Eq. 4. 132)

ssion (Eq. 4. 101) qui avait été calculée

Ω− Ah


Comparaison des deux méthodes

Il est clair que le calcul perturbatif (le long des trajectoires non perturbées), n’estqu’une approximation du calcul le long des trajectoires perturbées. Pourtant les deuxméthodes donnent le même résultat à l’ordre 1 en TΩ . Toutefois, comme le fait remarquer A.PETERS [PETERS 98], STOREY et COHEN-TANNOUDJI ne donnent pas une justification claire dela validité de cette méthode perturbative lorsqu’on prend en compte les modifications detrajectoire introduites par l’interaction avec le champ lumineux.

4.5.3 Calcul avec une particule classique

Les formules obtenues pour les déphasages liés à la rotation et à l’accélération sontdonnées par (Eq. 4. 101) et (Eq. 4. 105). De la même façon que (Eq . 4. 105), (Eq. 4. 101)peut être réécrite en faisant intervenir effk , V, et T, plutôt que m, A et h . On obtient alors :

. 2 2eff

rotation T k=∆φ ( )Ω×V (Eq. 4.133)

On retrouve alors exactement la même expression que (Eq. 4. 105) avec la transposition :( )Ω×↔ Va 2

qui n’est autre que l’expression de l’accélération de CORIOLIS.

Le déphasage total à la sortie de l’interféromètre peut donc s’écrire sous la forme généraleprenant en compte la rotation et l’accélération :

totaleeff

total T ak . 2=∆φ (Eq. 4.134)

où totalea est la somme de toutes les accélérations (entraînement, centripète, CORIOLIS) subiespar l’atome.

Cette approche laisse penser que totalφ∆ a une origine purement classique. Regardonsce qui se passe si l’on considère une particule classique qui se propage dans l’interféromètre.On considère donc la limite où 0→h . Dans ce cas, l’impulsion de recul fournie par les lasersà la particule est nulle , les deux bras de l’interféromètre sont donc confondus. Le seuldéphasage à prendre en compte est celui produit par l’interaction avec les lames lumineusesdonné par (Eq. 4. 92). Si l’on suppose que la particule classique est en 0r à l’instant 0t avec lavitesse 0V , et est soumis à l’accélération (supposée constante) totalea , alors on en déduit saposition aux instants 1t , 2t et 3t :

( ) ( ) ( )20000 2

1 ttttt totale −+−+= aVrr (Eq. 4.135)


Les phases sont données par ( )ieffi trk .−=φ . Si on se place dans le repère R lié aux lasers,le vecteur d’onde est constant et vaut yeff k ek = . Seule la composante suivant l’axe (Oy) de

( )tr intervient donc. On en déduit en prenant 01 tt = :01 yk−=φ (Eq. 4.136)

+−= 2

1 2 21 TaTVk totale

yyφφ (Eq. 4.137)

( )21 3 22 TaTVk totale

yy +−= φφ (Eq. 4.138)

On a posé ( ) ( ) Ttttt =−=− 2312

et le déphasage vaut alors :( ) totale

ytotal akT 2

3 2 1 2 −=+−=∆ φφφφ (Eq. 4.139)

Le calcul avec une particule classique donne bien la même expression que celle trouvée en(Eq. 4. 134).

Physiquement, ce calcul revient à déterminer la position d’une particule classique avecune règle finement graduée (l’onde laser), et ce, à trois instants différents (voir Figure 4. 13).La différences des deux premières mesures permet de déterminer la vitesse moyenne entre 1tet 2t . De même, la différence des deux dernières mesures permet de déterminer la vitessemoyenne entre 2t et 3t . La différence des deux vitesses moyennes trouvées permet alors deconnaître l’accélération moyenne entre 1t et 3t .

x z

y

φ1

φ2

φ3

t1 t2 t3

ay

Figure 4. 13 : avec une particule classique, le mesure consiste à déterminer lespositions de la particule aux trois instants t1, t2 et t3, et ainsi à remonter aux vitessesmoyennes, puis à l’accélération moyenne.

Si l’appareil est en rotation par rapport à l’axe (Oz) et que le centre de rotation est unpoint H quelconque, le repère R est alors un repère tournant par rapport au repère d’inertieR0. L’accélération prend donc la forme donnée par (Eq. 2. 2) faisant intervenir les termesd’accélération d’entraînement, centripète et de CORIOLIS.


Vraa ×+××+= ΩΩΩ 20RR (Eq. 4.140)

Les deux premiers termes (entraînement et centripète) seront considérés comme destermes d’accélération ; le troisième (CORIOLIS) est le terme de rotation. Pourtant le termed’accélération centripète dépend aussi de Ω . Il pourrait donc être considéré comme un termede rotation, mais nous verrons au chapitre suivant que la méthode du double jet utilisé pourdiscriminer les contributions liées à l’accélération et à la rotation fait apparaître l’accélérationcentripète comme un terme équivalent à une accélération, et non à une rotation (voirparagraphe 5.2.4 ).

On aurait pu faire tout ce calcul classique dans le repère d’inertie R0. Dans cerepère, les atomes ont alors une trajectoire rectiligne uniforme (en négligeant la pesanteur). Ledéphasage totalφ∆ provient de l’effet DOPPLER lié au fait que les lasers sont en mouvementdans R0[RIEHLE 91].

Il est clair que cette méthode de calcul, bien que très simple, ne s’applique plus du toutdans le cas où un déphasage supplémentaire est introduit sur l’un des deux bras del’interféromètre, puisque ce calcul ne prend qu’un seul bras en compte. Dans la plupart desautres cas, ce calcul donne un résultat valable au premier ordre en TΩ , simple et intuitif.Nous l’utiliserons donc au chapitre 7 pour l’étude des différents paramètres influants sur lesignal de sortie.

4.5.4 Influence des fronts d’ondes des faisceaux RAMAN

Lorsque l’on a écrit (Eq. 4. 139), on a supposé que les fronts d’ondes étaient plans,c’est à dire que si 321 yyy == , alors 3 2 1 φφφ == . Dans le cas où les fronts d’ondes nepeuvent être considérés comme plans, il faut alors rajouter le déphasage lié aux défauts defront d’onde.Posons 0φ la phase en 1y position de la particule à l’instant 1t . On peut alors écrire la phaseau instants 2t et 3t toujours en 1yy = , en prenant en compte les défauts de fronts d’ondes :

ab2 0 2 φφφ += (Eq. 4.141)ab3 0 3 φφφ += (Eq. 4.142)

Le déphasage total vaut alors : ( ) aberrationtotale

ytotal akT φφφφφ ∆+−=+−=∆ 2

3 2 1 2 (Eq. 4.143)

avec abababerration2 3 2φφφ −=∆ (Eq. 4.144)


Nous verrons au chapitre 5 que dans notre cas d’un faisceau Raman unique pourréaliser les trois impulsions, il est très important de connaître précisément ce déphasage liéaux aberrations géométriques.

4.6 LIMITES DE CE MODÈLE

4.6.1 Impulsions infiniment courtes

La principale limitation du modèle que l’on vient de développer est que l’on négligetous les effets extérieurs (effets inertiels en particulier) pendant la durée des impulsionslumineuses. C’est une des raisons pour lesquelles on suppose que les impulsions sont dedurées très courtes devant la durée d’observation des atomes.Une méthode de résolution de l’équation de SHRÖDINGER incluant le couplageélectromagnétique lié à l’onde laser ainsi que le potentiel de gravitation a été proposée par Ch.BORDÉ [LÄMMERZAHL 95].

4.6.2 Ondes atomiques planes

Les ondes atomiques ont été considérées comme planes aussi bien au niveau temporel(énergie interne parfaitement définie) qu’au niveau spatial (vecteur quantité de mouvementparfaitement défini). Si cette approximation se justifie au niveau temporel compte tenu de latrès longue durée de vie des états atomiques mis en jeu, elle est beaucoup moins valable auniveau spatial puisqu’elle conduit à considérer l’atome comme complètement délocalisé dansla direction des faisceaux laser. Un modèle plus correct est de représenter l’atome par unpaquet d’onde planes d’impulsions différentes.

( )

−−=

h

rPr . exp, tit ωψ ↔ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) PrPPr diftit . exp exp,-

−= ∫

∞+

∞ hωψ

(Eq. 4. 141)

où ( )Pf est une fonction de P de largeur caractéristique P∆ vérifiant le principed’incertitude d’HEISENBERG : h≥∆∆ rP . , avec r∆ le volume dans lequel se situe l’atome.

En considérant ( )Pf comme une fonction gaussienne, la fonction d’onde atomique( )t,rψ décrite par (Eq. 4. 29) s’écrit alors comme une fonction sphérico-gaussienne analogue

à celle décrivant le champ électrique dans un laser. On peut alors reprendre le calcul desphases accumulées le long des deux bras de l’interféromètre, en remplaçant les ondes planesutilisées précédemment par ces ondes sphérico-gaussiennes. Ce calcul peut être réalisé trèssimplement dans le cadre du formalisme des « matrices ABCD » introduit par Ch. BORDÉ en1989 [BORDÉ 89] et largement détaillé dans [BORDÉ 91]. Ce formalisme est analogue aux


matrices utilisées pour propager le champ laser dans un montage optique (voir par exemple[SIEGMAN 86] ) et il présente plusieurs intérêts :

• Il prend en compte la diffraction naturelle du paquet d’onde (optique ou atomique)au cours de sa propagation.

• Il permet de définir clairement la longueur de cohérence de paquet d’onde atomiquecorrespondant à un atome, et ainsi de déterminer la perte de contraste dû au recouvrementpartiel des deux paquets d’ondes à la sortie de l’interféromètre.

Dans ce cadre, la résolution de l’équation de SHRÖDINGER incluant un terme de gravitéet un gradient de gravité a été réalisée dans [BORDÉ 92]. La prise en compte supplémentairede la rotation devient compliquée car disymétrise le problème. Néanmoins, un calcul completpermettant de traiter ces paquets d’ondes sphérico-gaussiens en présence de rotation,d’accélération, de gravitation et d’un gradient de gravitation sera détaillé dans la thèse de J.FILS [FILS 02]. Nous n’en parlerons donc pas davantage dans ce mémoire.


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Chapitre 5 : CONCEPTION DU GYROMETRE A ATOMES FROIDS 113

Chapitre 5 : CONCEPTION DU GYROMETRE A ATOMES FROIDS


5.1 La SOURCE ATOMIQUE............................................................................................ 117

5.1.1 Choix de l'atome..................................................................................................... 117

5.1.2 Les différents types de sources............................................................................... 119

5.1.2.1 Le jet thermique ................................................................................................. 119

5.1.2.2 Le jet supersonique............................................................................................. 120

5.1.2.3 Le piège magnéto-optique.................................................................................. 120

5.1.2.4 Le jet continu d'atomes froids ............................................................................ 121

5.1.2.5 Résumé ............................................................................................................... 121

5.2 LA PREPARATION ATOMIQUE................................................................................ 122

5.3.1 Pompage hyperfin + sélection ZEEMAN optique ou micro-onde............................ 122

5.3.2 Comparaison entre sélection micro-onde et sélection Raman ............................... 123

5.3.3 Pompage ZEEMAN .................................................................................................. 124

5.3.4 Notre configuration ................................................................................................ 124

5.3 CHOIX DE LA GÉOMÉTRIE ...................................................................................... 124

5.3.1 Le RAMSEY-BORDÉ ................................................................................................ 125

5.3.2 Le MACH-ZEHNDER................................................................................................ 126

5.3.3 Conclusion.............................................................................................................. 127

5.3.4 Le double jet atomique........................................................................................... 127

5.4 LES SEPARATRICES ATOMIQUES .......................................................................... 129

5.4.1 Les composants mécaniques .................................................................................. 130

5.4.2 Les lames lumineuses............................................................................................. 131

5.4.3 Fonctionnement spatial ou temporel ...................................................................... 132

5.4.4 Les impulsions multiples........................................................................................ 134

5.4.5 Avantages des transitions RAMAN stimulées.......................................................... 135

TABLE DES MATIERES 114

5.5 LA DÉTECTION ........................................................................................................... 125

5.5.1 Détection de l’impulsion ........................................................................................ 136

5.5.2 Détection optique de l’état interne ......................................................................... 137

5.5.3 Détection avec renormalisation.............................................................................. 137

5.6 LA CONCEPTION .................................................................................................... 138

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 144


Partie 5. 1 : la source atomique 116

CHAPITRE 5 :

CONCEPTION DU GYROMETRE A ATOMESFROIDS

Le but de ce chapitre est de détailler l’ensemble des choix qui ont guidé la conceptionde notre gyromètre atomique, et qui sont responsables de son anatomie. Pour chacun deséléments constituant l’appareil, nous discuterons les différentes possibilités qui s’offraient ànous, et nous expliquerons les motivations qui nous ont orientés vers telle ou telle solution.

La structure générale d'un interféromètre atomique est similaire à celle d'uninterféromètre optique, on y trouve donc une source d'atomes suivie d'un dispositif permettantde préparer un état atomique "pur", puis des composants servants à séparer et à diriger lespaquets d'ondes atomiques, et pour finir un système de détection permettant de déterminer ledéphasage entre les deux bras de l'interféromètre.

Le schéma de principe de l'interféromètre est donc le suivant :

cho(the

exiqueparRA

source

atomique préparation

d'un état "pur"lames séparatrices

et miroirs détection

Figure 5. 1 : schéma de principe d'un interféromètre à onde atomique.

La source d’atomes est détaillée paragraphe 5.1, nous y discutons en particulier leix de l’atome utilisé, et nous comparons les intérêts et inconvénients des jets thermiquesrmique et supersonique) et des sources d’atomes froids (continue ou pulsée).

La phase de préparation atomique ne pose pas de problème particulier. Bien qu’ilste de multiples techniques pour préparer un état atomique pur, la méthode utilisée n’influe très peu sur la suite de l’expérience. Nous regarderons deux méthodes différentes auagraphe 5.2 , l’une utilisant une transition micro-onde, et l’autre à base de transitionsMAN stimulées.


La zone d’interaction constituant l’interféromètre est de loin la plus importante, c’estle cœur du gyromètre. Tous les choix concernant cette zone influeront directement sur lesperformances du gyromètre. Nous discuterons du choix de la géométrie de l’interféromètre(RAMSEY-BORDÉ, MACH-ZEHNDER), de la façon de séparer et de recombiner les paquetsd’ondes atomiques (nano-composants mécaniques, lames lumineuses) et de la manière donton peut mettre en œuvre ces actions cohérentes sur les atomes (impulsions spatiales outemporelles, impulsions multiples, faisceau RAMAN unique). Toutes ces considérations sontétudiées dans les paragraphes 5.3 et 5.4.

Il est clair que chaque élément de notre expérience n’est pas indépendant des autres.Ainsi, le fait d’utiliser des séparatrices lumineuses dans la zone d’interaction, va nouspermettre de réaliser une détection sur les états atomiques internes, et non sur la quantité demouvement. La méthode de détection est donc très classique pour une expérience d’optiqueatomique. Nous détaillerons toutefois la technique de renormalisation mise en œuvre dansnotre dispositif, qui permet de s’affranchir des fluctuations du nombre d’atomes participant ausignal.

Enfin nous terminerons ce chapitre en récapitulant les choix effectués et nousdonnerons la structure générale de notre interféromètre ainsi que les différentes configurationsdans lesquelles il peut être utilisé.

5.1 LA SOURCE ATOMIQUE

5.1.1 Choix de l'atome

Lorsque l’on veut réaliser une source d’atomes pour une expérience de physiqueatomique, la première question à se poser est : « est ce que l’atome à utiliser doit avoir despropriétés physiques particulières ? ». Ainsi, il est clair que si l’on veut faire une expériencede condensation de BOSE-EINSTEIN, l’atome doit absolument être un boson, ou si l’on veutréaliser une horloge atomique, il faut choisir un atome possédant une transition atomique trèsfine.

Dans le cas du gyromètre atomique, la seule contrainte physique à priori, est d’éviterabsolument tout phénomène de décohérence (en particulier les processus d’émissionspontanée) entre le moment où le paquet d’ondes est séparé en deux, et celui où il estrecombiné. A ce titre, Les atomes hydrogénoïdes (Li, Rb, Cs, Hg+, …) sont bien adaptés pourcette expérience, car leur état fondamental se décompose en deux sous-niveaux hyperfins detrès longue durée de vie.

Contrairement à ce que peut laisser penser la formule (Eq. 3.17), la masse de l'atomen'intervient pas dans le facteur d'échelle d’un gyromètre utilisant des lames lumineuses ou desréseaux mécaniques pour séparer les paquets d’ondes atomiques. En effet l'aire de

Partie 5.1 : La source atomique 118

l'interféromètre est proportionnelle à 1/m, par l'intermédiaire de la vitesse transverse acquiseau moment de la transition RAMAN :

LmT

A eff

×=kh

(Eq. 5. 1)

En remplaçant l’aire par cette expression dans (Eq. 3. 17), on retrouve l’expressiondonnée en (Eq. 4. 133), qui ne dépend que des paramètres expérimentaux.

. 2 2eff

rotation T k=∆φ ( )Ω×V (Eq. 5. 2)

Il n'y a donc aucun intérêt, a priori, à prendre un atome de masse élevée.Expérimentalement, lorsque l’on utilise des atomes refroidis par laser, la dispersion de vitesseest inversement proportionnelle à la masse de l’atome. Or dans notre expérience, une tropforte dispersion de vitesse entraîne une perte de contraste des franges d’interférences et unediminution du nombre d’atomes sensible aux transitions RAMAN sélectives en vitessetransverse. De ce point de vue là, il est donc intéressant de prendre des atomes de masseélevée. On donne, à titre d’exemple, la dispersion de vitesse classique pour un piège delithium, de rubidium et de césium :

Atome Masse (u.a.) Température DispersionLithium 7 ~ 100 µK ~20 cm.s-1

Rubidium 87 ~10 µK ~ 2 cm.s-1

Césium 133 Quelques µK 1 cm.s-1

Un certain nombre de contraintes supplémentaires, liés aux techniques que l’on vamettre en œuvre dans l’expérience doivent également être considérées. Ainsi pour réaliser ungyromètre à atomes froids, il faut évidemment choisir un atome que l’on sait refroidir. Demême l’utilisation de lames lumineuses pour séparer les paquets d’ondes atomiques guide lechoix de l’atome.

Compte tenu de toutes ces contraintes, nous avons finalement sélectionné le césiumcomme atome pour notre expérience. On pourra trouver ces principales caractéristiques dansl’annexe A. Il présente pourtant certains désavantages par rapport au rubidium, comme parexemple un déplacement de fréquence collisionnel presque 50 fois plus élevé [SORTAIS 00]),ou encore la valeur de la longueur de diffusion qui empêche, jusqu’à présent, la productiond’un condensat de BOSE-EINSTEIN de césium. Le choix du césium se justifie par desconsidérations plus technologiques : les fréquences de transitions sont accessibles par desdiodes laser dont la puissance atteint jusqu’à 200 mW (contre seulement 70 mW pour lerubidium) ; et de plus le laboratoire possède une grande expérience du césium car il est utilisédans les horloges atomiques.


Les deux états atomiques de grandes durées de vie f et e considérés au chapitreprécédent correspondent donc aux deux sous-niveaux hyperfins de l’état fondamental 6 2S1/2 :

0 ,3 == FmF et 0 ,4 == FmF . Il s’agit donc des mêmes niveaux atomiques que ceuxutilisés dans une horloge atomique. L'utilisation des sous-niveaux ZEEMAN mF = 0 permet des'affranchir, au premier ordre, des fluctuations du champ magnétique qui pourrait introduiredes déphasages parasites dans la partie interféromètre.

5.1.2 Les différents types de sources

Plusieurs types de sources atomiques peuvent être utilisées dans ce genre d'expérience.Les quatre sources différentes que nous allons considérer dans cette partie sont, le jetthermique, le jet supersonique, le piège magnéto-optique et le jet continu d'atomes froids.Chacune de ces sources possède des avantages et des inconvénients que nous allons discuter.Les caractéristiques de ces sources portent essentiellement sur la distribution de vitesse desatomes.

5.1.2.1 Le jet thermique

Les atomes qui sortent d'un four chauffé aux alentours de 100°C, ont une répartition devitesse longitudinale donnée par la formule [RAMSEY 56] :

( ) ( )

∆−

−−=2

0300 2

3expVVV

VVIVI (Eq. 5. 3)

avec mTkV B

23

=∆ (Eq. 5. 4)

Pour un four de césium chauffé à 100 °C, on trouve généralement une courbe centréesur V = 300 m.s-1 et d'environ ∆VL = 200 m.s-1 de large à (1/e). La vitesse atomique n'estdonc pas bien définie, et, dans le cas d’un gyromètre atomique, le signal de sortie est alors lasomme d'une multitude d'interféromètres d'aires différentes, qui se traduit par un brouillagerapide des franges d'interférences en fonction du déphasage (voir Chapitre 7).

Les jets thermiques ont généralement une forte divergence, et donc une fortedispersion en vitesse transverse ∆VT, dont la valeur dépend de la forme de l'éjecteur du four(valeur typique : 100 mrad de demi angle). la divergence du jet peut être réduite en utilisantdeux diaphragmes (diamètre typique 10 µm) qui tronquent la distribution de vitessetransverse, mais la perte d’atomes est alors importante. Une autre solution consiste àcollimater le jet atomique grâce à une mélasse DOPPLER 2-D, la perte d'atomes est alorsmoindre.

En contrepartie de ces inconvénients, les jets thermiques sont des sources faciles àmettre en œuvre, et qui ont des flux relativement importants pour des sources atomiques,permettant ainsi d’obtenir un rapport signal à bruit de plusieurs dizaines de milliers. De plus


ils présentent l'intérêt de fournir un signal de sortie continu, contrairement aux piègesmagnéto-optiques. Cette dernière remarque est importante car le fonctionnement pulsé d’unehorloge ou d’un capteur inertiel atomique entraîne un bruit lié aux phénomènesd’échantillonnage appelé : effet DICK [DICK 87, SANTARELLI 96].

A titre d’exemple, on donne ici les caractéristiques du jet thermique de césium utilisépar KASEVICH, dans son expérience de gyromètre atomique [LANDRAGIN 99, GUSTAVSON 00]:V = 300 m.s-1 (∆VL /V ~ 0,7). Cette dispersion relativement importante, fait chuter lecontraste des franges de plus de 80 % dès la troisième frange.

Le jet est collimaté transversalement par un mélasse 2-D. Le flux d’atomes participantau signal vaut alors 1010 atomes/s à 2,5 mètres de distance, permettant d’atteindre un rapportsignal à bruit expérimental de 33.000. La divergence du jet est ramenée à quelques 10-2 deg,ce qui donne une dispersion en vitesse transverse de l'ordre de ∆VT = 30 Vrecul.

5.1.2.2 Le jet supersonique

Les jets supersoniques sont très similaires aux jets thermiques, mais leur distributionen vitesse longitudinale est beaucoup plus réduite. L’idée est d’ajouter aux atomes issus de lasource, un gaz inerte porteur en régime supersonique. Grâce à des mécanismes d’expansionadiabatique, tous les atomes se propagent à la vitesse supersonique avec une très faibledispersion. L’inconvénient principal de ces sources est que leur vitesse moyenne est toujoursrelativement rapide.

Un jet supersonique de sodium, entraîné par de l’argon, est utilisé par PRITCHARD

[KEITH 91, LENEF 97] , les caractéristiques sont les suivantes : V = 1030 m.s-1et ∆VL /V ~0,04.

5.1.2.3 Le piège magnéto-optique

Le piège magnéto-optique (noté PMO dans la suite) présente l'intérêt de fournir desatomes très froids (typiquement quelques µK pour le césium), donc avec une dispersion devitesse longitudinale et transverse très étroite. Ceci implique que l'aire de l'interféromètre estbien mieux définie, le contraste varie lentement avec le déphasage et le nombre de frangesvisibles en est d’autant plus important. La vitesse longitudinale moyenne des atomes V estaussi beaucoup plus faible, et permet donc de réaliser des aires plus grandes pour unelongueur d’appareil fixée. A longueur d'interféromètre 2L fixée, l’aire est donnée par :

VLA eff

2

kh= (Eq. 5. 5)

L'inconvénient majeur de ce type de source est son fonctionnement pulsé. Outrel’apparition de bruits parasites tel que l’effet DICK, le fonctionnement pulsé d’un capteurinertiel tel qu’un gyromètre limite sérieusement la bande passante de l’appareil. La durée


nécessaire pour piéger une boule d'atomes est typiquement de 0,5 seconde, la cadence decycle du gyromètre ne peut donc pas excéder 2 Hz. Des méthodes permettant d’augmenter labande passante, voire d’arriver à un fonctionnement discret jointif peuvent être étudiées, maisrestent difficiles à mettre en œuvre.

Les ordres de grandeurs typiques pour un PMO ( et pour le notre en particulier) sont :nombre d’atomes N ~108 (dont seulement 106 participent au signal), V = 30 cm.s-1, ∆VL /V =3 % , et ∆VL = ∆VT < 3 Vrecul (voir paragraphe 6.2.7 pour plus de détails).

5.1.2.4 Le jet continu d'atomes froids

Des jets continus d’atomes froids peuvent être obtenus à partir de pièges magnéto-optiques 2D. L’extraction des atomes se fait soit de façon magnéto-optique [AUCOUTURIER

97, WEYERS 97, BERTHOUD 98], soit par une technique de mélasse mouvante (voir paragraphe6.2.7 et [CLAIRON 91]). Une des difficultés principales de ce type d’expérience est d’éviterque la lumière parasite produite dans la zone de piégeage ne se propage dans le reste dudispositif.

Ces sources présentent des températures tout de même très supérieures aux PMO, maisont l’énorme intérêt de fournir un signal continu (voir les remarques du paragrapheprécédent).

On donne à titre d’exemple les performances du jet continu réalisé dans l’équipe de P.THOMANN [BERTHOUD 99]. Un flux de 2. 108 atomes de césium par seconde à unetempérature longitudinale de 70 µK a été obtenu. La température transverse est estimée àenviron 100 µK dans les deux directions. La vitesse du jet peut être ajustée entre 1 et 10 m.s-1.

5.1.2.5 Résumé

Nous présentons dans le tableau récapitulatif ci-dessous l’ensemble descaractéristiques des quatre sources atomiques passées en revue.

Type Flux(atomes /s)

V(m.s-1)

∆VL /V(%)

∆VT

(Vrecul)Commentaires

jet thermique ~1011 300 60 % 30 Continujet supersonique ~ 1010 1000 4 % 30 Continujet continu 2.108 de 1 à 10 de 10 à 1 % ~ 30 ContinuPMO qq 106 0,1 à 10 de 10 à 0,1 % < 3 Pulsé


C’est le piège magnéto-optique 3D qui a été retenu pour notre dispositif. Sa faibledispersion de vitesse dans les trois directions, nous garantit un contraste élevé des frangesd’interférence, et une bonne stabilité du facteur d’échelle à long terme. De plus les faiblesvitesses de lancement permettent d’obtenir une bonne sensibilité avec un encombrementrelativement réduit. Enfin les techniques d’obtention des PMO sont maintenant bien connueset ne présentent plus de difficultés particulières.

5.2 LA PREPARATION ATOMIQUE

Le rôle de la phase de préparation atomique est de préparer les atomes dans un étatinsensible au premier ordre au champ magnétique, à l'entrée de l'interféromètre. En effet, il esttrès important que l'état atomique soit parfaitement connu, si l'on veut pouvoir relier lenombre final d'atomes dans un état donné, au déphasage entre les deux bras del'interféromètre. La phase de préparation atomique permet donc de sélectionner l'état

0,3 == FmF . Les atomes qui ne sont pas dans cet état à l'entrée de l'interféromètre doiventêtre éjectés car ce sont des atomes qui ne contribuent pas au signal mais qui contribuent aubruit de fond. Plusieurs solutions sont possibles pour réaliser cette préparation.

5.2.1 Pompage hyperfin + sélection ZEEMAN optique ou micro-onde

A la sortie du piège magnéto-optique, on effectue un pompage hyperfin en éteignant lefaisceau repompeur légèrement après le faisceau refroidisseur. Il est important que cepompage soit total afin d’éviter le bruit associé aux atomes non pompés [LUCAS-LECLIN 98].En pratique il l’est, compte tenu de la probabilité de désexcitation vers l’état F = 4, et dunombre de cycles absorption-émission spontanée réalisables. Les atomes à la sortie du PMOsont donc tous dans l'état F = 4, mais sont dans une superposition de tous les sous-niveauxZEEMAN.

Le principe de la sélection ZEEMAN est de séparer les différents sous-niveaux ZEEMAN

grâce à un champ magnétique constant, afin que seule la transition F = 4, mF = 0 → F = 3, mF

= 0 soit résonante. Cette transition est alors réalisée par une impulsion π (probabilité detransition = 100 %) d'un champ micro-onde ou bien d'une transition à deux photons (voirparagraphe 4.2). Les atomes restants dans F = 4 sont alors expulsés de l'expérience grâce à lapression de radiation induite par une onde progressive accordée sur la transition F = 4 → F ' =5 (voir Figure 5. 2).


9,2 GHz

852 nm

F=3

F=4

F=3

F=4

F=3

F=4

6P3/2 F=5

Sortie du piège Cavité micro-onde Faisceau pousseur

atomes utiles pour lasuite de l'expérience

PMO cavitémicro-onde

faisceaupousseur

Figure 5. 2 : à la sortie du piège les atomes sont dans l'état F =4. La phase depréparation se déroule en deux étapes: une cavité micro-onde ou une transition àdeux photons induit la transition F =4, mF =0 F =3,mF =0. Un faisceau pousseurexpulse de l'expérience tous les atomes qui restent dans F =4.

L'inconvénient de cette méthode est que l'on perd un grand nombre d'atomes, ce quidiminue le rapport signal à bruit final. En supposant les atomes équi-répartis dans tous lessous-niveaux ZEEMAN du niveau F = 4 à la sortie du PMO, la perte d’atomes est de 8/9ième ,soit presque 90 %. Des calculs plus précis d’efficacité de pompage prenant en compte lalargeur de raie et la polarisation du laser peuvent être trouvés dans [CÉREZ 91].

5.2.2 Comparaison entre sélection micro-onde et sélection Raman

Dans le principe il est équivalent de réaliser la sélection ZEEMAN avec une transitionmicro-onde ou bien une transition RAMAN stimulée. Néanmoins, dans notre cas où lesséparatrices atomiques utilisent des transitions RAMAN sélectives en vitesse transverse (voirparagraphe 4.2.6 et Eq. 4.62), il peut être intéressant de supprimer, dès la phase de préparationatomique, les atomes qui sont dans le bon état interne mais qui ont une impulsion telle qu’ilsne seront pas adressés par la séparatrice atomique. Ainsi en utilisant une transition RAMAN

sélective en vitesse transverse (faisceaux contra-propageants) pour induire la transition F = 4,mF = 0 vers F = 3, mF = 0, on s’assure que seuls les atomes qui ont aussi la bonne vitessetransverse vont effectuer la transition. Les autres sont éjectés avec le faisceau pousseur. Cetteméthode garantit que seuls les atomes qui vont effectivement participer au signal sont encoreprésents à l’entrée de l’interféromètre.

Partie 5.2 : La préparation atomique 124

Une telle sélection ZEEMAN utilisant des transitions RAMAN sélectives en vitessetransverse à été mise en œuvre par A. PETERS dans son gravimètre à atomes froids [PETERS

98].

5.2.3 Pompage ZEEMAN

Le pompage ZEEMAN, ou pompage total, est une solution pour accumuler tous lesatomes dans un sous-niveau ZEEMAN déterminé, grâce à une combinaison astucieuse defréquences et de polarisations [DE CLERCQ 84]. Des taux de pompage supérieurs à 99 %peuvent être obtenus, rendant ainsi négligeable la perte d'atomes.

L’inconvénient de cette technique est qu’elle réchauffe considérablement les atomes, ilfaut donc réaliser ensuite une sélection en vitesse, qui fait perdre quasiment autant d’atomesque ceux qu’on a gagnés avec le pompage total.

5.2.4 Notre configuration

La phase de préparation atomique est donc réalisée par un pompage hyperfin suivid’une sélection ZEEMAN par transition micro-onde dans une cavité résonnante. Bien qu’unetransition Raman sélective en vitesse transverse eut probablement été plus judicieuse, lelaboratoire a une grande expérience des cavités micro-ondes, et de plus cette solutionprésentait l’avantage de ne pas nécessiter d’accès optique supplémentaire.

5.3 CHOIX DE LA GÉOMÉTRIE

Le choix de la géométrie est guidé par un certain nombre de considérations :

- pour pouvoir observer le phénomène d’interférence atomique, les paquets d’ondesissus des deux bras de l’interféromètre doivent se recombiner sur une distanceinférieure à la longueur de cohérence de l’onde atomique. Cette longueur estdonnée dans chaque direction par :

ucohérence Vm

u∆

=∆2h où u vaut x, y, ou z (Eq. 5. 6)

et m représente la masse de l’atome et uV∆ sa dispersion de vitesse dans ladirection u.

- pour que le déphasage soit sensible à la rotation, les deux bras de l’interféromètredoivent englober une surface d’aire non nulle (d’après Eq. 3. 17) , ce qui exclut lesgéométries de type MICHELSON.


Le premier gyromètre atomique réalisé utilisait une configuration de type RAMSEY-BORDÉ [RIEHLE 91], celui de KASEVICH [GUSTAVSON 97] utilise une configuration de typeMACH-ZEHNDER. Nous allons détailler ces deux configurations pour voir quels en sont lesavantages et les inconvénients (voir Figure 5. 3).

π/2 π/2

π/2 π/2RAMSEY-BORDE

aire 1

aire 2

π/2 π/2π

MACH-ZENDER

Figure 5. 3 : configuration de RAMSEY-BORDÉ (à gauche) et configuration de MACH-ZENDER (à droite).

5.3.2 Le RAMSEY-BORDÉ - (autrement appelé RAMSEY-BORDÉ asymétrique)

Cette géométrie a été utilisée pour la première fois par CHEBOTAYEV en 1976 [BAKLANOV

76] et par HALL en 1977 [BERQUIST 77], dans le but d'étendre le phénomène des franges deRAMSEY au domaine optique. C'est en 1984 que Ch. BORDÉ interprète cette configuration enterme d'interférométrie atomique [BORDÉ 84]. Cette géométrie est maintenant usuellementutilisée pour réaliser des horloges atomiques à transition optique, pour des mesures de recul[WEISS 93], de polarisabilité atomique [RIEGER 93, EKSTROM 95], de déphasages liés à l’effetSTARK AC ou DC [RIEHLE 92, MORINAGA 93], de moment dipolaire électrique pour destransitions faibles [MORINAGA 88], de phase de BERRY [MORINAGA 89] ou encore d’effetAHARANOV-BOHM [MÜLLER 95] ou AHARANOV-CASHER [ZEISKE 95]. On peut rajouter que lepremier gyromètre atomique a été réalisé en 1991 à la PTB [RIEHLE 91], il utilisait égalementcette géométrie et il présentait une stabilité sur une seconde de 0,3 rad.s-1.Hz-1/2.

On obtient en réalité deux interféromètres distincts (Figure 5. 3), dont les déphasagesen sortie diffèrent de TRω2 , où Rω est le désaccord lié au recul induit par le photon donnépar (Eq. 4. 36), et T est la durée entre la première et la seconde lame lumineuse.

Si l’on ne considère maintenant plus qu’un seul des deux interféromètres (voir Figure5.4), on constate que sur le trajet (1) l’atome se propage pendant la durée (2T+ T’ ) dans l’étatf , alors que sur le trajet (2) il se propage pendant la durée T’ dans l’état f et la durée 2T

dans l’état e . D’après les remarques faites au chapitre 4, le déphasage en sortie de cetinterféromètre aura donc une contribution liée au désaccord des lasers utilisés par rapport à latransition atomique.

Un calcul du déphasage entre les deux bras par la méthode de calcul développée auchapitre précédent donne le résultat :

( ) Ttotal 2 4321 δφφφφφ −−+−=∆ (Eq. 5. 7)

Partie 5.3 : Choix de la géométrie 126

où i φ est la phase du ième laser et δ est le désaccord à résonance donné par (Eq. 4. 7).

La probabilité de transition s’écrit alors :

( )[ ]totalfP φ∆+= cos 1

81 (Eq. 5. 8)

Le facteur 1/8 est lié au nombre important de trajectoires classiques dans l’interféromètre (16au total).

π/2 π/2 π/2 π/2

T T’ T

trajet (2)

trajet (1)φ1 φ3φ2 φ4

Figure 5. 4 : interféromètre de RAMSEY-BORDÉ. Le déphasage en sortie possède unecontribution dépendant du désaccord des lasers par rapport à la transition atomique.

De plus l’interféromètre est sensible à toutes les sources de déphasages qui influentdifféremment sur les états f et e . Parmi celles-ci, le champ magnétique provoquedirectement un déphasage en modifiant la fréquence de transition atomique. Cetteconfiguration impose donc de connaître précisément la valeur du champ magnétique dans lapartie interféromètre.

5.3.3 Le MACH-ZEHNDER – (autrement appelé RAMSEY-BORDÉ symétrique)

Cette géométrie, proposée initialement par Ch. Bordé en 1991, a été utilisée pour lapremière fois par KASEVICH et CHU en 1991, pour réaliser un mesure de g [KASEVICH 91].

On rappelle la probabilité de transition à la sortie de l’interféromètre, calculée auchapitre précédent:

( )[ ]321 2 cos 1 21 φφφ +−+=fP (Eq. 5. 9)


Contrairement au RAMSEY-BORDÉ, le MACH-ZEHNDER est insensible au désaccord. Lechamp magnétique n’a donc pas besoin d’être connu, il faut juste limiter ses fluctuations. Ilest donc plus approprié pour réaliser un appareil métrologique tel qu’un gyromètre.

De plus, le nombre de trajets interférant dans le MACH-ZEHNDER est beaucoup plusfaible que dans le RAMSEY-BORDÉ. L’amplitude du signal est donc plus importante (comparerle facteur 1/2 dans Eq. 5. 9, contre 1/8 dans Eq. 5. 8).

π/2 π/2π

T T

φ2 φ3φ1

Figure 5. 5 : interféromètre de MACH-ZEHNDER.

Cette géométrie est très bien appropriée pour mesurer les effets inertiels [AUDRETSCH

92] et est maintenant couramment utilisée pour réaliser des capteurs inertiels (gravimètre[PETERS 99], gyromètre [LENEF 97, GUSTAVSON 97], gradiomètre [SNADDEN 98])

5.3.4 Conclusion

Pour plus de détails sur la comparaison des deux configurations, et d’autres encore, onpourra se reporter à [BORDÉ 91] et [STERR 98].

Dans l’optique de réaliser un appareil métrologique stable et exact, nous avons choisiune configuration de type MACH-ZEHNDER, qui à l’avantage d’être insensible à plus d’effetsparasites que le RAMSEY-BORDÉ.

5.3.5 Le double jet atomique

Les calculs du déphasage réalisés au chapitre précédent nous ont montré quel’interféromètre était sensible aux rotations, aux accélérations et aux défauts de fronts d’ondesdes lasers RAMAN. La probabilité de transition d’un atome est alors donnée par :

Partie 5.3 : Choix de la géométrie 128

( )

∆+∆+∆+=

2cos1 aberrationonaccélératirotation

fP φφφ (Eq. 5. 10)

avec rotationφ∆ , onaccélératiφ∆ et aberrationφ∆ donnés par les expressions (Eq. 4. 101), (Eq. 4. 105)et (Eq. 4. 144), que l’on rappelle ici :

. 2 2eff

rotation T k=∆φ ( )V×Ω (Eq. 5. 11)

ak . 2eff

onaccélérati T=∆φ (Eq. 5. 12)

( )ababababerration3 2 1 2 φφφφ +−=∆ (Eq. 5. 13)

L’expression (Eq. 5. 10) fait apparaître un problème de discrimination entre lesdifférents déphasages. Pour être utilisable, un gyromètre doit être insensible aux accélérations,et vice versa, un accéléromètre doit être insensible aux rotations.

La comparaison de (Eq. 5. 11 ) et (Eq. 5. 12) nous montre que le signe de rotationφ∆dépend du signe de la vitesse atomique V, alors que onaccélératiφ∆ et aberrationφ∆ n’en dépendentpas. Ainsi, en réalisant deux interféromètres notés + et - dans lesquels la vitesse atomique estrespectivement xxV eV +=+ et xxV eV −=− (voir Figure 5. 6), on obtient deux déphasagesdonnés par :

aberrationonaccélératirotationtotal++++ ∆+∆+∆=∆ φφφφ (Eq. 5. 14)

aberrationonaccélératirotationtotal−−−− ∆+∆+∆=∆ φφφφ (Eq. 5. 15)

avec : rotationrotation+− ∆−=∆ φφ (Eq. 5. 16)

En faisant la différence de ces deux déphasages, on obtient donc :

( ) rotationtotaltotal+−+ ∆=∆−∆ φφφ 2 (Eq. 5. 17)

x z

y

Figure 5. 6 : les déphasages liés à l’accélération et aux aberrations des front d’ondessont identiques pour les deux jets atomiques. Par contre le déphasage lié à la rotationchange de signe avec le sens de propagation.

+∆φ rotation

+∆φ accélération

+∆φ aberration

−∆φ rotation

+∆φ accélération

+∆φ aberration


On a supposé que onaccélérationaccélérati+− ∆=∆ φφ et que aberrationaberration

+− ∆=∆ φφ . La premièreégalité est vraie dès que les deux interféromètres sont montés sur un même châssis rigide. Parcontre la deuxième égalité suppose que les trajectoires atomiques des deux interféromètressont parfaitement superposées et parcourues dans des sens opposés. Cette condition nousassure que les défauts de front d’onde vus par les atomes au moment des trois impulsionsRaman sont bien identiques pour les deux sens de propagation.

De même en faisant la somme des deux déphasages on a :

( ) ( )aberrationonaccélératitotaltotal++−+ ∆+∆=∆+∆ φφφφ 2 (Eq. 5. 18)

Le aberrationφ∆ peut être connu par d’autres techniques. Si l’on suppose par exemple,qu’il ne contient que des termes d’aberrations géométriques indépendants du temps, on peutpréalablement mesurer les fronts d’ondes grâce à un analyseur de front d’onde de typeSCHACK-HARTMANN, et connaître ainsi la valeur de aberrationφ∆ . Cette valeur est ensuitesoustraite de la somme des déphasages lorsque l’on veut avoir accès à onaccélératiφ∆ .

Cette technique de double jet atomique est en quelque sorte l’équivalent de l’allerretour des atomes dans la cavité micro-onde d’une horloge atomique de type fontaine. Cetteméthode permet de s’affranchir de la plupart des déphasages parasites, en particulier, lesdéphasages propres à la cavité et ceux liés à l’effet DOPPLER du premier ordre.

Un double jet atomique a été mis en œuvre sur le gyromètre de Yale [GUSTAVSON 98],et a montré son intérêt puisqu’il a permis de distinguer la rotation de l’accélération, et ainsid’augmenter la stabilité court terme.

On peut rajouter que la réjection de l’accélération devrait être encore plus efficaceavec des atomes froids. En effet, le déphasage lié à l’accélération (Eq. 5.12) dépend de lavitesse des atomes, par l’intermédiaire de T. Si les atomes dans les direction + et – n’ont pasla même vitesse, les déphasages onaccélératiφ∆ sont différents et la réjection ne se fait pasparfaitement. Pour des atomes froids la vitesse moyenne est bien mieux contrôlée et laréjection en est alors d’autant meilleure.

5.3 LES SEPARATRICES ATOMIQUES

La méthode utilisée pour séparer et recombiner les ondes atomiques a une importancecapitale sur les performances de l’appareil et sur sa conception. De la même façon que lacavité micro-onde dans une horloge atomique, les séparatrices atomiques sont le cœur del’appareil.

Il y a un grand nombre de façons de séparer de façon cohérente des ondes atomiques,mais toutes ces méthodes se regroupent en deux grandes catégories : les composantsmécaniques et les lames lumineuses.

Partie 5.4 : Les séparatrices atomiques 130

5.4.1 Les composants mécaniques

De la même façon que la lumière est diffractée dans plusieurs ordres par un réseau, onpeut réaliser des réseaux pour les ondes atomiques. Le pas du réseau a détermine l’angle dediffraction des différents ordres. En incidence normale, l’angle de diffraction est donné par :

( )amV

hadB

diffdiffsin ==≈λθθ (Eq. 5. 19)

On constate donc que pour avoir un angle de diffraction du même ordre de grandeurque celui donné par le recul d’un photon de longueur d’onde λ (voir paragraphe 4.1.3 et Eq.4. 38), le pas du réseau doit être de l’ordre de λ soit typiquement inférieur au micromètre. Detels réseaux ont été réalisés [KEITH 91, EKSTROM 92], par dépôt de méthacrylate depolyméthyle (PPMA) sur des substrats de silicone. Le pas typique obtenu est de 140 nm avecune précision de quelques dizaines de nanomètres. Ces composants permettent doncd’atteindre des angles de séparation plus important qu’avec des séparatrices optiques.

Ces réseaux présentent toutefois un certains nombre de désavantages :

1) La surface utile du réseau n’étant jamais très grande (environ 50µm × 50µm), lediamètre du faisceau atomique doit donc être du même ordre de grandeur.

2) Le réseau est constitué de fentes d’environ 140 nm à travers lesquelles passent lesatomes, ces fentes étant séparées de la même distance par un matériau opaque auxatomes. La transmission totale du réseau est donc proche de 50%.

3) Ces réseaux nécessitent l’utilisation de sources atomiques très bien collimatées carl’angle de divergence du jet atomique doit être très faible par rapport à diffθ afin deséparer les ordres de diffraction [SCHMIEDMAYER 97].

4) Les réseaux de diffraction ne provoquent pas de changement de l’état interne del’atome, mais seulement de son impulsion. La détection est donc plus difficile àmettre en œuvre et les ordres doivent être parfaitement séparés (voir paragraphe5.6).

5) La formule (Eq. 5.19) indique que l’angle de déviation de l’onde atomique, doncl’aire de l’interféromètre dépend du pas du réseau a. La valeur du pas doit être trèsbien connue et constante sur toute la surface des réseaux afin de garantir une bonneconnaissance du facteur d’échelle. Les technologies actuelles ne donnent unereproductibilité que de 10 % sur la valeur du pas.

6) Si l’on veut réaliser un interféromètre de type MACH-ZEHNDER avec des réseauxde diffraction, les trois réseaux doivent être parfaitement alignés. La moindrerotation d’un des réseaux par rapport à l’un de ses axes entraîne un déphasage


supplémentaire en sortie, une perte du contraste des franges, et une modification dela valeur du facteur d’échelle [CHAMPENOIS 99].

5.4.2 Les lames lumineuses

Il existe un grand nombre de lames lumineuses différentes, utilisant des ondesstationnaires ou progressives, des transitions à un ou deux photons. Certaines méthodespermettent de transférer un grand nombre de fois l’impulsion du photon et ainsi d’augmenterconsidérablement l’angle de déviation.

Les interféromètres utilisant la diffraction de BRAGG de l’onde atomique sur des lameslumineuses stationnaires très désaccordées sont très similaires à ceux utilisant des réseauxmécaniques puisque la séparation des paquets d’ondes se fait sans changement d’état interne.Par contre le facteur d’échelle est bien connu car il dépend directement de la longueur d’ondeoptique. Parmi ces interféromètres on peut citer [RASEL 95 , GILTNER 95, DELHUILLE 01].

La séparation des ondes atomiques avec des lames lumineuses fonctionne sur leprincipe décrit au paragraphe 4.1.3. C’est l’impulsion de recul transférée par le photon àl’atome qui provoque la déviation angulaire de la trajectoire atomique. L’angle de déviationvaut alors (Eq 4. 38) :

mVmVh eff

devkh

==0 λ

θ (Eq. 5. 20)

où 0λ est la longueur d’onde du laser utilisé. Dans le cas de transitions RAMAN

stimulées à faisceaux contra-propageants, 212 2kkkk ≈−=eff , l’angle de déviation est doncdeux fois plus important que dans le cas d’une transition à un seul photon.

On peut voir la lame lumineuse également comme un réseau de phase dont le pas estdonné par effka /2π= , et dont la transmission est proche de 100 %.

Intérêts des lames lumineuses :

1) l’angle de déviation dépend directement de la longueur d’onde du laser, celle-ciétant très bien définie, le facteur d’échelle est donc connu très précisément.

2) les lames lumineuses peuvent être utilisées pour créer des impulsions limitées dansl’espace (interféromètre spatial) ou dans le temps (interféromètre temporel), ce quipermet d’avoir plus de souplesse dans la séquence d’impulsions.

3) l’interféromètre est plus lumineux puisque les lames transmettent quasiment 100%des atomes.


4) Si l’on se place dans le régime de BRAGG, un seul ordre de diffraction peut êtrepeuplé, on obtient alors un contraste théorique de 100%.

5) Dans le cas de transitions RAMAN la diffraction se fait avec changement de l’étatatomique interne, rendant ainsi la détection plus simple à mettre en œuvre. De plusla source n’a alors pas besoin d’être collimatée à un angle inférieur à devθ .

5.4.3 Fonctionnement spatial ou temporel

Les lames lumineuses peuvent être limitées dans l’espace ou dans le temps. Nousavons déjà vu au chapitre 4 comment cette différence se traduisait sur les lois de conservationde l’énergie et de l’impulsion. Nous allons détailler ici d’autres caractéristiques, plus propresaux interféromètres atomiques.

5.4.3.1 Fonctionnement spatial

Dans le premier cas, le faisceau laser est allumé en permanence et est généralement dedirection perpendiculaire à la trajectoire atomique. La durée d’interaction est alors donnée parla vitesse atomique : VD /=τ , où D est le diamètre du faisceau laser et V est la vitesseatomique. Dans un interféromètre réalisé avec de tel lames lumineuses, la durée depropagation entre les différentes lames dépend également de la vitesse atomique. Ladispersion en vitesse atomique influe donc à deux niveaux :

• Une lame lumineuse est caractérisée par son aire Θ donnée par (Eq. 4. 84) :τeffΩ=Θ , où effΩ est la pulsation de RABI correspondant à la transition utilisée. Si la durée

d’interaction τ dépend de la vitesse atomique, des atomes répartis dans des classes devitesses différentes 0V et dVV +0 ne verront donc pas le même type d’impulsion.Typiquement, un développement limité à l’ordre 1 en ( )0/VdV montre qu’une lame 50/ 50(impulsion π/2) pour la vitesse 0V , a un coefficient de réflexion R de :

−×=0

2

1 5,0 VdVR π (Eq. 5. 21)

pour la classe de vitesse dVV +0 . Ce phénomène est parfois appelé aberration chromatiqueatomique. Il est du premier ordre en ( )0/VdV pour une impulsion π /2 et du deuxième ordrepour une impulsion π (1). (1) on peut montrer que dans le cas général d’une lame lumineuse d’aire Θ , le coefficient de réflexion sansaberration vaut ( )2/sin 2 Θ , et le coefficient avec aberration chromatique due à la vitesse atomique est donné au

premier ordre en ( )0/VdV par : ( )

ΘΘ−=

000 2

sin 1VdV

RRR


• La séparation transverse entre les paquets d’ondes atomiques est donnée par :Ty sepθ=∆ (Eq. 5. 22)

où sepθ est donné par (Eq. 4. 38) et VLT /= est le temps de propagation entre deux lamessuccessives séparées d’un distance L. Ainsi y∆ , et par conséquent l’aire de l’interféromètre

VL

mk

yLA eff2h

=∆×= (Eq. 5. 23)

dépendent de la vitesse atomique. Pour un gyromètre, ceci est très gênant car cela conduit àun brouillage des franges (comme mentionné au paragraphe 5.1.2.1).

La plupart des interféromètres à jet thermique et tous les interféromètres à réseaux dediffraction mécaniques utilisent un fonctionnement spatial.

5.4.3.2 Fonctionnement temporel

Dans ce cas les lasers sont allumés et éteints au cours du temps. Ce type defonctionnement à l’avantage d’être plus souple et de permettre de changer facilement lesparamètres expérimentaux tels que l’aire, la séquence d’impulsions, …

• La durée de la lame lumineuse est donc parfaitement déterminée, et identique pourtous les atomes quelle que soit leur vitesse. Il peut néanmoins exister une aberrationchromatique due au fait que le faisceau lumineux n’a pas un profil d’intensité uniforme, dansce cas, des atomes situés à des endroits différents voient des intensités différentes, et donc desaires d’impulsion différentes. De la même façon que (Eq. 5. 21), le coefficient de réflexion dela lame lumineuse peut être relié au défaut relatif d’intensité ( )0/ IdI . Pour une impulsionπ/2, Ce coefficient de réflexion vaut, au premier ordre en ( )0/ IdI :

−×=0

4

1 5,0 IdIR π (Eq. 5. 24)

• La séparation transverse du paquet d’onde est donnée par (Eq. 5. 22), mais où T estindépendant de la vitesse atomique V. Par contre, l’aire de l’interféromètre dépend toujours deV :

2VTmk

TLA effsep

h=×= θ (Eq. 5. 25)

Ainsi le fonctionnement temporel conduit également à un brouillage des frangesd’interférences, pour un gyromètre, car l’aire A dépend de la vitesse atomique.

Les expériences fonctionnant de façon temporelle sont principalement celles utilisantdes atomes froids En effet, déterminons, dans le cas d’une transition RAMAN spatiale, lediamètre τVD = du laser nécessaire pour effectuer une impulsion π sur un atome froid lancé


à 1 m.s-1. La relation (Eq. 4. 62) donne la sélectivité en vitesse transverse pour une telleimpulsion. Si l’on veut au moins sélectionner les atomes à 1 reculV = 3,5 mm.s-1, la durée del’impulsion doit être au plus de quelques dizaines de µs, le diamètre du faisceau vaut alorstypiquement une dizaine de µm. Un tel faisceau est très difficile à réaliser, d’un part parcequ’il doit être collimaté et que pour de telles dimensions la divergence naturelle vaut environ3°, d’autre part parce que les deux faisceaux RAMAN doivent être superposés à beaucoupmieux que le diamètre afin d’éviter les déphasages liés aux déplacements lumineux.

5.4.4 Les impulsions multiples

Il existe des méthodes pour transférer l’impulsion de plusieurs photons pendant lepassage dans la lame lumineuse. On appelle ces méthodes « à impulsions multiples », ouencore « multipulse ».

Dans le cas d’impulsion temporelle, des séparations de kh24 et kh8 ont été obtenus[FEATONBY 98, WEITZ 96] mais en utilisant des transitions sensibles au premier ordre auchamp magnétique, ce qui n’est pas souhaitable pour un interféromètre ayant pour but unebonne stabilité et une bonne exactitude. Des techniques utilisant des transitions insensibles aupremier ordre au champ magnétique on été réalisées en rajoutant une succession d’impulsionsπ entre les trois lames lumineuses initiales. La difficulté de la méthode est d’inverser le sensde propagation de l’onde lumineuse après chaque impulsion pour que le transfert d’impulsionse fasse toujours dans le même sens. Des séparations de kh6 ont été produites par cettetechnique [MCGUIRK 00].

Dans le cas d’impulsion spatiale, plusieurs méthodes sont réalisables. On peut citer lecas de la lame magnéto-optique développée dans l’équipe de MLYNEK [ADAMS 93]. Cettetechnique consiste à diffracter l’onde atomique sur un potentiel magnéto-optique triangulaire.Ce potentiel est alors analogue à un réseau de phase blazé. L’efficacité de la diffraction esttrès bonne et des séparations de 42 kh ont ainsi été obtenues [PFAU 93].

Un tel potentiel triangulaire peut également être obtenu sans champ magnétique,grâce à deux ondes stationnaires désaccordées symétriquement par rapport aux deuxtransitions d’un atome à trois niveaux en V. Si les deux ondes ont un déphasage spatial relatifde π/2, l’un des trois états propres de l’atome est alors modulé spatialement par une fonctionapproximativement triangulaire. Une impulsion de 38 kh a ainsi été transférée à l’atome[JOHNSON 95].

Précisons que ces deux dernières techniques ne permettent pas encore de placer tousles atomes dans un ordre de diffraction unique, on obtient donc une multituded’interféromètres d’aires différentes.

Toutes ces techniques permettent d’augmenter considérablement l’aire del’interféromètre, et donc le facteur d’échelle, dans le cas d’un gyromètre.


5.4.5 Avantages des transitions Raman stimulées

L’utilisation de transitions RAMAN stimulées dans les interféromètres atomiques a étéproposé par Ch. BORDÉ [BORDÉ 91] et la réalisation expérimentale a été faite par M.KASEVICH et S. CHU en 1991 [KASEVICH 91]. Ces transitions présentent un certain nombred’avantages :

• Les transitions RAMAN provoquent la transition vers un niveau atomique internedifférent, ce qui rend la détection beaucoup plus simple à mettre en œuvre, et ne nécessitentpas de collimation du jet atomique plus petite que devθ .

• Seule la différence de fréquence entre les deux lasers doit être stabilisée (i.e.fréquence dans le domaine micro-onde), ce qui est beaucoup plus simple que de stabiliser unefréquence dans le domaine optique. Dans le cas du césium, cette différence de fréquence vaut9,2 GHz.

• La séparation des paquets d’ondes par transitions RAMAN s’apparente à de ladiffraction en régime de BRAGG. Il est donc possible de peupler un unique ordre de diffractionet ainsi d’obtenir un contraste très élevé.

• L’efficacité de diffraction peut être ajustée simplement pour réaliser des lames 50/50ou une déflexion de 100%.

5.4.6 Le faisceau unique

De même que dans le cas des réseaux mécaniques, les lames lumineuses composant uninterféromètre doivent être parfaitement alignées, et leur direction ne doit pas fluctuer aucours du temps.

Une des limitations sur la stabilité long terme du gyromètre réalisé à Yale est due auxfluctuations de direction et de position des trois faisceaux laser composant l’interféromètre.En effet, le moindre défaut d’alignement des deux faisceaux induisant une transition RAMAN,provoque un déphasage parasite lié au fait que les faisceaux ne se recouvrent plus exactement,et donc les déplacements lumineux ne se compensent plus (voir paragraphe 4.2.4).L’utilisation d’un gros faisceau laser unique, appliqué dans le domaine temporel, pour réaliserles trois lames lumineuses permet de réduire considérablement ces fluctuations(voir Figure 5.7). Le calcul des déplacements lumineux sera explicité au chapitre 7.


π/2 π/2π

L L

π/2 π/2π

T T x t

Figure 5. 7 : l’interféromètre peut être réalisé dans le domaine spatial avec troisfaisceaux distincts, la longueur L peut alors être relativement grande (L = 1 mètrepour le gyromètre de Yale [GUSTAVSON 97] ). Il peut être réalisé dans le domainetemporel avec un gros faisceau laser. Dans ce cas la distance entre deux impulsionssuccessives est limitée par la taille du faisceau.

5.5 LA DETECTION

Il existe plusieurs méthodes de détection de l’état atomique en sortie del’interféromètre. Nous allons en considérer deux ici, la première est une détection directe del’impulsion des atomes, la seconde est une détection de l’état atomique interne.

5.5.1 Détection de l’impulsion

A la sortie de l’interféromètre, les atomes peuvent sortir dans deux états d’impulsionsdifférentes fP et efff kP h+ . Après une durée dt après la dernière impulsion π/2, ces deuxétats se retrouvent séparés transversalement d’une distance d égale à :

deff t

md

kh= (Eq. 5. 27)

On peut alors mettre en œuvre une détection des atomes utilisant le fait qu’ils sontlocalisés à des endroits différents. Ce type de détection est généralement constitué de filschaud pour les atomes alcalins, ou bien de galettes de micro-canaux (chaneltron) pour les gazrares métastables. L’inconvénient de ces techniques est que le jet atomique doit être collimatéà mieux que la séparation transverse du paquet d’onde. On est obligé d’attendre un certaintemps dt après la dernière lame séparatrice avant de détecter les atomes.

Fonctionnement spatial à trois faisceaux Fonctionnement temporel à un faisceau


L’utilisation de sources cohérentes telles que les condensats de BOSE-EINSTEIN

présenterait un réel intérêt pour ce type de détection.

5.5.2 Détection optique de l’état interne

Dans notre expérience, l’utilisation de transitions RAMAN stimulées pour séparer lespaquets d’ondes atomiques s’accompagne d’un changement d’état interne de l’atome (voirparagraphe 4.2). Les deux états possibles en sortie de l’interféromètre sont alors ff P, et

efffe kP h+, . La détection des états internes est beaucoup plus simple à mettre œuvre quecelle sur les états externes. Un simple laser accordé sur une transition cyclante if →(resp. ie → ) permet, grâce au signal de fluorescence recueilli, de déterminer le nombred’atomes dans l’état f (resp. e ), avec une très bonne efficacité. Le nombre d’atomes dansl’état e eN permet alors de déterminer la probabilité de transition vers l’état e :

0NNP e

e = (Eq. 5. 28)

où 0N est le nombre d’atomes initial, ce nombre étant supposé connu et/ou constant au coursdu temps.

5.5.3 Détection avec renormalisation

Afin de s’affranchir des fluctuations du nombre d’atomes initial 0N , on peut mettre enœuvre une détection avec renormalisation. Cette technique consiste à déterminer les nombresd’atomes fN et eN respectivement dans les états f et e , la probabilité de transition versl’état e est alors donnée par :

ef

ee NN

NP+

= (Eq. 5. 29)

Dans notre expérience, cette renormalisation est relativement simple à appliquer.Comme indiqué au paragraphe 5.3, les états f et e correspondent respectivement auxdeux sous niveaux hyperfins de l’état 6S1/2, 0,3 == FmF et 0,4 == FmF . La détectionavec renormalisation se déroule en quatre étapes successives (voir Figure 5. 8) :

1) Une onde stationnaire accordée sur la transition F = 4 → F ’ = 5 de la raie D2

permet de déterminer le nombre d’atomes eN .2) Une onde progressive de même fréquence que la précédente expulse ensuite ces

atomes de l’expérience.3) Une onde stationnaire accordée sur la transition F = 3 → F ’ = 4 de la raie D2

permet de repomper tous les atomes restant vers le niveau F = 4.4) Une onde stationnaire identique à celle utilisée pour la première étape permet alors

de déterminer le nombre d’atomes fN .

Partie 5.5 : La détection 138

Ne Nf

4 → 5’ 4 → 5’ 4 → 5’ 3 → 4’

F = 3

F = 4

F = 4

Figure 5. 8 : détection avec renormalisation en quatre phases : détermination desatomes dans F = 4, éjection de ces atomes, pompage des atomes de F = 3 vers F = 4,détermination des atomes dans F = 4.

5.6 LA CONCEPTION

Nous résumons ici l’ensemble des choix effectués pour la conception de l’appareil.

La source atomique

La source atomique est un piège magnéto-optique d’atome de césium, lancée par uneméthode de mélasse mouvante. L’angle de lancement est de 8° par rapport à la verticale et aété choisi pour optimiser la durée passée dans le faisceau RAMAN unique. La trajectoire estdonc parabolique dans le plan (Oxz). Cet angle a été choisi car il réalise un bon compromisentre une grande durée d’interaction (aire relativement importante) et faible temps de parcoursdes atomes avant la zone d’interaction, afin de réduire la dispersion de position des atomesdans le faisceau RAMAN.

La préparation atomique

La préparation des atomes se fait par pompage hyperfin puis par sélection ZEEMAN

micro-onde. La zone de préparation contient donc une cavité micro-onde et un faisceaupousseur.


Les séparatrices atomiques

Les séparatrices atomiques sont réalisées grâce à des transitions Raman stimulées. Cesimpulsions lumineuses sont de type temporel, compte tenu de la faible vitesse des atomes.Dans le but d’avoir une très bonne stabilité long terme, on utilise un seul gros faisceau Ramanpour les trois impulsions. Ceci limite notre zone d’interaction RAMAN à environ 3 centimètres.

La direction suivant laquelle les faisceaux sont appliqués donne l’axe d’entrée del’appareil. On peut réaliser trois configurations différentes :

• Sensibilité à zΩ et à ya :

Les faisceaux RAMAN se propagent suivant la direction (Oy) et permettent de séparerle paquet d’ondes atomiques suivant la direction (Oy). La formule (Eq. 4. 105) indique quel’appareil est sensible aux accélérations d’axe (Oy). En effectuant l’impulsion π, juste ausommet de la trajectoire atomique, les deux contributions de l’aire dans le plan (Oyz)s’annulent, et seule reste la contribution de l’aire dans le plan (Oxz), l’appareil est ainsisensible aux rotations d’axe (Oz) (voir Figure 5. 9).

π/2 x

z y

O

π/2 π

Ωz

ay

Figure 5. 9 : Les lasers sont suivant (Oy) et sont appliqués de façon symétrique parrapport au sommet de la trajectoire atomique. La composante de l’aire dans le plan(Oyz) s’annule et seule reste la composante dans le plan (Oxy).

• Sensibilité à xΩ et à ya :

Si on effectue l’impulsion lorsque les atomes ne sont pas au sommet de leur trajectoirealors il reste une aire résiduelle dans le plan(Oyz). Cette aire donne une sensibilité auxrotations d’axe (Ox) (voir Figure 5. 10).

Partie 5. 6 : La conception 140

π/2

x

z y

O

π

Ωx

ay

π/2

Figure 5. 10 : Les lasers sont suivant (Oy) et les trois impulsions sont appliquéespendant la montée. On obtient ainsi une composante de l’aire dans le plan (Oxy) etune dans le plan (Oyz).

• Sensibilité à yΩ et à za :

En plaçant les faisceaux laser dans la direction (Oz), l’appareil devient sensible auxaccélérations d’axe (Oz). L’aire de l’interféromètre apparaît dans le plan (Oxz), et produitdonc une sensibilité aux rotations d’axe (Oy) (voir Figure 5. 11).

x

z y

O

π

Ωy az

π/2 π/2

Figure 5. 11 : Les lasers sont suivant l’axe (Oz), l’aire de l’interféromètre est doncdans le plan (Oxz).


Le fait de pouvoir accéder aux trois configurations décrites complique sérieusement ledispositif expérimental. Outre les problèmes d’accès optiques dans les directions (Oy) et (Oz),les faisceaux RAMAN sont associés à un champ magnétique statique dirigé dans le sens deslasers, afin de ne rendre résonnant que les transitions F = 3, mF = 0 ↔ F = 4, mF = 0. Il fautdonc prévoir deux champs magnétiques orthogonaux dans la zone d’interaction RAMAN. Deplus afin d’éviter les transitions de MAJORANA, le même champ magnétique est appliqué dansla zone d’interaction RAMAN et dans la zone de préparation atomique. Cette préparation étantréalisée grâce à une cavité micro-onde rectangulaire TE0,1,1 , la cavité doit être alignée avec lechamp magnétique statique. On prévoit alors deux cavités, la première alignée avec le champmagnétique suivant (Oy), et la seconde suivant (Oz) (voir Figure 5. 12).

x

y

z

Figure 5. 12 : L’appareil dispose de deux cavités micro-ondes, une pour chacunedes directions des faisceaux Raman (Oz) à gauche et (Oy) à droite.

La détection

La détection, avec renormalisation, se fait de façon optique sur les états atomiquesinternes. Le fonctionnement séquentiel et la trajectoire parabolique permettent d’utiliser lemême faisceau laser comme pousseur, au moment de la préparation atomique, et commesonde au moment de la détection (voir Figure 5. 13).

faisceaux Ramanhorizontaux

faisceaux Ramanverticaux

BB

BB cavités micro-ondes

Partie 5. 6 : La conception 142

miroirs

hublots Raman

cavité micro-onde

faisceau pousseur

détection

x

y z

Figure 5. 13 : Le même faisceau sert de pousseur au moment de la préparationatomique (désaccordé vers le bleu), et de sonde pour la phase de détection (accordésur la transition).

Le double jet atomique

L’appareil possède deux sources atomiques symétriques afin de mettre en œuvre unetechnique de double jet atomique dans le but de discriminer les déphasages liés à la rotation età l’accélération (voir paragraphe 5.2.4).

Schéma général

On donne Figure 5. 14 le schéma de principe global de notre interféromètre.


Figure 5. 14 : schéma de principe de notre appareil. On reconnaît les deux sourcesd’atomes froids symétriques, les deux doubles cavités micro-ondes et le faisceaupousseur pour la préparation atomique, le gros faisceau Raman et les faisceaux dedétection.

Nous allons voir dans le chapitre suivant, comment toutes ces fonctions ont étéintégrées dans le dispositif expérimental. De gros efforts ont été faits pour rendre cet appareille plus compact et le plus modulable possible. De plus, les considérations de rapport signal àbruit, de contraste des franges de déphasage parasite et de stabilité à court et long terme ontété prises en compte afin de réaliser un appareil à vocation métrologique.

BIBLIOGRAPHIE 144

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Chapitre 6 : REALISATION DU PROTOTYPE 151

Chapitre 6 : REALISATION DU PROTOTYPE


6.1 ENCEINTE A VIDE.................................................................................................. 155

6.1.1 Choix du matériau .................................................................................. 155

6.1.2 Description de l'assemblage ....................................................................... 155

6.1.4 Précision mécanique................................................................................... 156

6.1.3 Les hublots ................................................................................................. 157

6.1.5 La réserve de césium.................................................................................. 160

6.2 LA SOURCE ATOMIQUE ....................................................................................... 161

6.2.1 Le banc de refroidissement ........................................................................ 162

6.2.2 Les coupleurs de fibres optiques ................................................................ 1696.2.2.2 Description et caractérisation ................................................................ 1696.2.2.3 Utilisation des coupleurs de fibres ........................................................ 171

6.2.3 La boule de refroidissement ....................................................................... 172

6.2.4 Les collimateurs de refroidissement........................................................... 173

6.2.5 Les gradients de champs magnétiques ....................................................... 176

6.2.6 Les blindages magnétiques......................................................................... 177

6.2.7 Les différentes phases de piégeage, de refroidissement et de lancement... 1796.2.7.1 Piège magnéto-optique.......................................................................... 1826.2.7.2 Coupure du gradient de champ magnétique.......................................... 1856.2.7.3 Mélasse mouvante et lancement des atomes ......................................... 185

6.3 PREPARATION ATOMIQUE.................................................................................. 187

6.3.1 La cavité micro-onde.................................................................................. 188

6.3.2 Le faisceau pousseur ..................................................................................... 190

6.3.3 Mise en œuvre de la préparation atomique.................................................... 190

6.4 LA ZONE D'INTERACTION RAMAN.................................................................... 191

6.4.1 Production des faisceaux RAMAN............................................................... 1916.4.1.1 Diode modulée à 4,6 GHz ..................................................................... 1926.4.1.2 Le verrouillage de phase ....................................................................... 194

TABLE DES MATIERES 152

6.4.1.3 Puissance optique nécessaire aux faisceaux RAMAN.............................. 195

6.4.2 Le reste du montage des faisceaux RAMAN............................................ 196

6.5 LA DETECTION ....................................................................................................... 197

6.5.1 Les faisceaux de détection...................................................................... 197

6.5.2 Le système de détection ......................................................................... 198

6.6 CONCLUSION .......................................................................................................... 199

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 200


Introduction 154

CHAPITRE 6 :

REALISATION DU PROTOTYPE

Le but de ce chapitre est de décrire le prototype. Cette réalisation a constitué laprincipale partie du travail de thèse et il nous semble donc important de la décrire en détail. Siles bancs optiques de refroidissement et RAMAN ressemblent beaucoup à ceux qui sontcouramment utilisés dans les expériences à atomes froids, une attention toute particulière a étéapportée au TUBE. On désigne ici par TUBE, l'ensemble de l'enceinte à vide et de tous lescomposants optiques qui viennent se fixer sur cette enceinte mécanique. Cette partie del'expérience a été complexe à concevoir, et l'est aussi à décrire. Un certain nombre d'élémentssont connectés entre eux et il n'est pas toujours facile d'en décrire un sans avoir décrit lesautres.

Afin de rendre compte de la complexité du TUBE, on peut le résumer en quelqueschiffres : 2 pièges magnéto-optiques, 4 cavités micro-ondes, 4 blindages magnétiques, 7 typesde colles différents, 16 ou 18 fibres optiques reliant le tube aux différents bancs optiques, 28hublots permettant de rentrer les faisceaux lasers ou de récupérer les photons de fluorescence,plus d’une centaine de composants optiques (lentilles, cubes, lames, …) fixés directement surle TUBE, plusieurs centaines de vis et plusieurs milliers d'heures de travail. Au bout ducompte, plus qu'un simple gyromètre, on obtient un appareil qui potentiellement peut mesurer3 rotations suivants trois axes orthogonaux, et 2 accélérations dans un plan vertical.

La stratégie choisie pour décrire cette machine infernale est de suivre les atomes dansun cycle expérimental complet, du piégeage jusqu'à la détection.

On commence ainsi par détailler l'enceinte à vide.On verra ensuite les ingrédients nécessaires aux phases de piégeage, de

refroidissement et de lancement des atomes. Ceci nous amènera à décrire les BOULES DE

REFROIDISSEMENT, les coupleurs de fibres optiques et le banc de refroidissement.Une fois les atomes lancés vers le haut, ils vont subir la phase de PRÉPARATION

ATOMIQUE, grâce aux cavités micro-ondes et au faisceau pousseur.

Les atomes ainsi préparés dans un état atomique insensible au champ magnétique,pénètrent alors dans la ZONE D'INTERACTION, qui constitue véritablement le cœur de l'appareil.


C'est dans cette zone que les paquets d'ondes atomiques sont, grâce aux impulsions RAMAN,séparés en deux puis recombinés pour interférer. Nous détaillerons le banc optique RAMAN,ainsi que toute l'optique in vitro, permettant de contrôler la phase des faisceaux RAMAN.

Nous terminerons notre voyage par la ZONE DE DÉTECTION, où les atomes sontinterrogés sur les différents effets inertiels qu'ils ont subis pendant la phase d'interactionRAMAN.

6.1 ENCEINTE A VIDE

6.1.1 Choix du matériau

L'inox, qui est couramment utilisé pour réaliser des enceintes à vide, était dans notrecas exclu car son magnétisme est trop important, même dans sa version inox "amagnétique",et il nécessite un étuvage à 300°C pour désorber l'hydrogène. Notre enceinte à vide est doncréalisée en alliage d'aluminium : le dural AU4G, qui nous garantit une très bonne tenue àl'ultra-vide, un magnétisme résiduel inférieur à quelques µGauss, et un étuvage proche de100°C pour désorber la vapeur d'eau. Cette dernière remarque est importante car dans notrecas, les traitements antireflet des hublots ne supportent pas des températures supérieures à150°C. Il faut préciser de plus, qu'aucun des autres éléments que l'on place dans l'enceinte àvide ne nécessite d'étuvage supérieur à 100 °C. Le dural est alors très bien adapté (1) (lesgraphites sont étuvés séparément à 800°C)

6.1.2 Description de l'assemblage

Vue de l'extérieur, cette enceinte est composée de cinq sous-ensembles principaux : unbloc central qui constitue la partie interféromètre de l'expérience, auquel sont reliés, parl'intermédiaire de raccords, deux boules de refroidissement dans lesquelles les atomes vontêtre piégés (voir Figure 6. 1). Les atomes sont lancés à partir des boules de refroidissement, lesphases de préparation atomique, d'interaction RAMAN et de détection se situent quant à ellesdans le bloc central.

L'ensemble de cette enceinte à vide fait environ 500 mm de haut sur 250 mm de largeet 150 mm de profondeur. Elle est pompée par une pompe ionique de 25 litres/s, assurant unvide de quelques 10-9 à 10-10 hPa, ce qui nous permet de minimiser considérablement leseffets de collision avec le gaz résiduel.

(1) Dans le cas où l'on veut une enceinte amagnétique mais pouvoir étuver à plus de 200°C, on peut

utiliser un alliage de titane (TA6V), qui présente en plus l’avantage d’être plus dur, on obtient alors des états desurfaces de meilleurs qualités. C'est ce qui a été fait pour l'enceinte à vide de l'horloge spatiale PHARAO. Cetalliage coûte cependant deux fois plus cher que le dural et présente une moins bonne conductivité thermique quece dernier.

Partie 6.1 : Enceinte à vide 156

bloc central

raccords

boules de refroidissement

phase de préparation atomique

phase d'interaction

Raman

phase de détection

phase de refroidissement

Figure 6. 1 : schéma de l'enceinte à vide où l'on peut voir les principaux éléments :le bloc central, les deux raccords et les deux boules de refroidissement.

6.1.4 Précision mécanique

La précision mécanique des pièces constituant l'enceinte à vide est typiquement de 50µm (5/100ième de millimètre) pour les longueurs et de quelques arcsecondes pour les angles. Ilfaut préciser que l'étanchéité entre les cinq sous-ensembles constituant l'enceinte à vide estréalisée avec des joints en indium. Lorsque ceux-ci s'écrasent ils gardent une épaisseurrésiduelle d'environ 100 µm qui conduit à une légère incertitude (10-3 radian) sur l'angle entreles différentes pièces (voir Figure 6. 2).

La rigidité de l'ensemble du dispositif est assurée par un châssis en plaques pré-usinéesde fortal (1). En jouant sur l'orientation du châssis grâce à des cales piézo-électriques ou avecdu clinquant, on peut à l’aide d’un niveau électronique, régler la verticalité du dispositif avecune précision de quelques µrad.

(1) C’est un alliage d’aluminium plus robuste que le dural et qui présente une meilleure qualité d’usinage et deplus faibles déformations thermiques.


pompeionique

cales piézo-électriques

joints d'indium

table optique

réservesde césium

Figure 6. 2 : schéma du châssis supportant l'enceinte à vide.

Les atomes sont en interaction avec la lumière laser dans plusieurs zones différentesdu gyro, au cours de leur refroidissement et de leur piégeage, lors du lancement, pendant laphase de préparation atomique, dans la partie interféromètre, et enfin au cours de la détection.Tous ces faisceaux lasers sont injectés dans l'enceinte à vide à travers des hublots en verre.

6.1.3 Les hublots

Le rôle des hublots est de permettre le passage de la lumière (faisceaux lasers oulumière de fluorescence) à travers l'enceinte à vide, tout en assurant une très bonne étanchéité.Deux techniques de montages de hublot sur l'enceinte (toutes les deux amagnétiques) ont étéutilisées, suivant la qualité de front d'onde que l'on souhaitait obtenir.

1) Hublots bridésAu niveau des boules de refroidissement, les faisceaux lasers rentrent dans l'enceinte à

vide en passant à travers des hublots en verre BK7 de diamètre 30 mm (∅30), de qualitéoptique λ/10, traités antireflet et serrés sur les boules avec une bride en dural. L’étanchéité estassurée grâce à un joint en indium de 1 mm de diamètre (voir Figure 6. 3). Le serrage estréalisé avec des vis en Arcap amagnétique. Une rondelle de téflon est placée entre le hublot etla bride pour répartir les contraintes mécaniques et limiter le risque de casse. Cette techniquede serrage par bride exerce des contraintes importantes sur le hublot qui tend à se déformer.


Des tests réalisés par mesure interférométrique (1) sur un hublot initialement à λ/20 montrequ'après le serrage par bride, sa qualité optique se dégrade à λ/2,5 (voir Figure 6. 5).

Chaque boule de refroidissement possède également trois hublots ∅25 à λ/4 pourrécupérer la fluorescence du piège, et imager ce dernier avec une caméra, afin d'en déterminerles caractéristiques. Ces hublots sont bridés de la même façon que les précédents.

Le bloc central possède six hublots de détection ∅40 à λ/4 traités antireflet, deux pourrentrer les faisceaux de détection et quatre pour récupérer la fluorescence. Vu la faible qualitéoptique nécessaire, ces hublots sont également bridés sur l'enceinte à vide.

enceinte à vide

bride

hublot

vis de serrage

joint d’indium

rondelle de téflon

Hublot bridé

Figure 6. 3 : le hublot en verre est serré sur l'enceinte à vide grâce à une bride enaluminium. L'étanchéité est assurée par un joint en indium.

1) Hublots collésLes faisceaux RAMAN rentrent dans le bloc central par quatre hublots ∅50 à λ/20. La

qualité optique de ces hublots doit être extrêmement bonne pour ne pas rajouter dansl’interféromètre, des déphasages dus aux aberrations géométriques des faisceaux. Ces hublotsne peuvent donc pas être bridés comme les autres, vu les contraintes mécaniques que cettetechnique introduit.

Une solution consiste à serrer préalablement la bride sans hublot, sur l’enceinte à vide,puis à venir coller le hublot sur la bride (voir Figure 6. 4). Une bride en titane a été choisie carson coefficient de dilatation (8,5 10-6 m/°C) est très proche de celui du verre BK7 (7,3 10-6

m/°C). Les fluctuations de température n'introduisent donc quasiment pas de contrainte pardilatation différentielle. Cette solution a également été testée et la qualité optique du hublotcollé s’est révélée être de l’ordre de λ/16 (voir Figure 6. 6).

(1) Ces tests ont été réalisés à l’Institut d’Optique Théorique et Appliquée, grâce à l'interféromètre à

décalage de phase (Zygo).


Enceinte à vide

Bride en titane

hublot

Vis de serrage

joint d’indium

Colle ultravide

Hublot collé

Figure 6. 4 : la bride est vissée sur l'enceinte à vide avec un joint d'indium pourassurer l'étanchéité. Le hublot en verre est ensuite collé sur la bride avec de la colleultravide.

On observe que si on serre ou on desserre une vis de la bride, une fois le hublot colléalors des contraintes réapparaissent sur le hublot. Ainsi en tournant une des vis d’un angle de5°, on détériore la qualité optique du hublot à λ/7. Le système reste donc démontable (dans lecas où on raye un hublot par exemple) mais dès que l'on démonte la bride il faut changer lehublot.

Figure 6. 5 : hublot ∅50 bridé, qualité : observe les courbes isophases sur la suhublot. L'écart entre deux courbes correspovariation d'épaisseur optique de λ/26. Onune dizaine de courbes sur la surface utile.

La colle utilisée pour coller lniveau de 10-10 hPa et avoir un tdifférentes ont été testées. C'est finacelle-ci permettant d'obtenir un vide

surface utile

λ/2,5. Onrface dund à une observe

Figure 6. 6 : hublot ∅50 collé, : qualité : λ/16.L'écart entre deux courbes correspond à unevariation d'épaisseur optique de λ/22. On observeenviron une courbe et demi sur la surface utile.

es hublots doit assurer l’étanchéité de l’enceinte à vide auaux de dégazage le plus faible possible. Quatre colleslement une colle bi-composant Epotek qui a été retenue, de 2.10-10 mbar (2.10-8 Pa) après un étuvage à 100°C en


un temps de pompage d'environ une journée. Cette colle est de plus conçue spécialement pourle collage d’optique de précision car elle introduit très peu de tension mécanique.

6.1.5 La réserve de césium

L'enceinte à vide dispose de deux réserves de césium placées en dessous des boules derefroidissement (voir Figure 6. 2). C'est une ampoule de verre contenant 1 gramme de césiumplacée dans un tube en titane de paroi très mince (300 µm). Ce dispositif permet de casserl'ampoule de verre par pincement élastique du tube de titane, lorsque l'expérience est sousvide. Pour augmenter l'efficacité, une amorce de rupture est réalisée au diamant sur l'ampoulede verre, et celle-ci est placée dans une pièce en U, de telle façon que l'ensemble ampoule +pièce en U soit ajusté dans le tube en titane (voir Figure 6. 7).

On contrôle la pression de césium dans la boule grâce à un élément PELTIER fixé sur letube en titane. La face chaude du PELTIER est reliée au châssis, qui sert de radiateur, parl'intermédiaire d'un drain thermique.

Afin d'éviter tout jet de césium direct dans l'expérience, une chicane peut être disposéeà la sortie du tube en titane.

tube en titanechicane

ampoulede césium

pièce en U

élément Peltier

drain thermique en cuivre

chassis

pression exercée pourcasser l'ampoule

Figure 6. 7 : schéma de la réserve de césium. On y voit le système pour casserl'ampoule de césium, le système de régulation de température pour contrôler lapression de césium dans la boule, et la chicane qui sert à éviter le jet direct decésium dans l'expérience.

Dans les expériences qui vont suivre, la température de la réserve de césium est régléeà 40 °C, la densité de vapeur de césium dans la zone de piégeage, mesurée en absorption, estde l’ordre de quelques 109 atomes par cm3.


6.2 LA SOURCE ATOMIQUE

Notre source atomique est un piège magnéto-optique [RAAB 87, DALIBARD 89]contenant environ 108 atomes refroidis à une température proche du µK. Cette boule d’atomesest ensuite lancée vers le haut par une technique dite de "mélasse mouvante" [CLAIRON 91].Ce dispositif nécessite l’utilisation de six faisceaux laser de polarisation adaptée, associés parpaire dans les trois directions de l'espace, et d'un gradient de champ magnétique dans lesdirections des lasers (voir Figure 6. 8).

bobines de champmagnétique boule d'atomes froids

σ+σ+σ+

σ+

σ -

σ -

σ -

Figure 6. 8 : schéma de principe du piège magnéto-optique. Il est composéde 6 faisceaux refroidisseurs de polarisation adaptées et d’un gradient de champmagnétique. Un laser repompeur est superposé au faisceaux refroidisseurs.

La mise en œuvre de ces techniques étant très largement détaillée dans la littérature[METCALF 99], nous ne reviendrons pas ici sur les différents mécanismes physiques quientrent en jeu.

L’originalité de notre source atomique réside essentiellement dans deux points :

• Tout d’abord sa réalisation technique. Nous avons élaboré un « module » sourced’atomes froids de petites dimensions (cube de 200 mm de côté), facilement transportablegrâce à l’utilisation de fibres optiques, et relativement indépendant de l’environnementmagnétique grâce à des blindages magnétiques.

• Ensuite sa modularité, qui fait qu’il est aussi facile à partir de notre système deréaliser une ou deux sources d’atomes froids identiques, ceci grâce à l’utilisation de coupleursà fibres optiques. Notre expérience utilise donc deux sources d’atomes froids identiques,symétriques, comme décrit dans le paragraphe 5.6.


Nous allons détailler chacun des six éléments constituant cette source d’atomes froids :- Un banc optique permettant de produire les différentes fréquences optiques utiles.

Dans la suite du chapitre, ce banc optique sera appelé le BANC DE REFROIDISSEMENT.- Un système transportant les faisceaux générés par le banc de refroidissement jusqu’à

l’enceinte à vide. Nous allons voir que dans notre expérience, cette fonction est assurée pardeux COUPLEURS À FIBRES OPTIQUES.

- Une zone mécanique ayant la géométrie adéquate pour réaliser le refroidissement etle piégeage. Cette partie de l’enceinte à vide est la BOULE DE REFROIDISSEMENT, déjàmentionnée au paragraphe 6.1.2.

- Une optique de mise en forme pour chacun des différents faisceaux laser,directement disposée sur le tube à vide. Ces systèmes optiques sont appelés COLLIMATEURS DE

REFROIDISSEMENT par la suite.- Un système de BOBINES DE CHAMP, en configuration anti-HELMOLTZ créant un

gradient de champ magnétique dans les trois directions de l’espace.- Un BLINDAGE MAGNÉTIQUE servant à isoler magnétiquement la zone de piégeage du

reste de l’environnement.

Nous terminerons cette partie en détaillant les différentes phases nécessaires à laproduction de cette source (refroidissement DOPPLER, sub-DOPPLER, lancement), puis nousregarderons les performances de cette source atomique, nous donnerons en particulier lesvaleurs du flux et de la température atomique, et la stabilité de la vitesse et de la direction delancement.

6.2.1 Le banc de refroidissement

Ce banc fournit les faisceaux nécessaires au refroidissement, au piégeage et aulancement des atomes. Il génère différents faisceaux dont les fréquences sont voisines de laraie D2 du césium (voir Figure 6. 9) :

• Un faisceau appelé REFROIDISSEUR, accordé à une fréquence proche de la fréquencede transition atomique F = 4 → F' = 5 (transition cyclante). C’est en jouant sur le désaccordde ce faisceau par rapport à la transition atomique que l’on réalise soit un refroidissementDOPPLER, soit un refroidissement sub-DOPPLER, soit le lancement des atomes.

• Un faisceau appelé REPOMPEUR, qui est asservi sur la transition atomique F = 3 →F' = 4 (transition pompante). Sa fréquence et son intensité sont fixes tout au long desdifférentes phases.

Le refroidissement des atomes est réalisé grâce aux cycles absorption-émission induitspar le laser refroidisseur. Le laser repompeur sert à ramener dans le cycle de refroidissement,les atomes qui seraient retombés sur le niveau F = 3, et pour qui le laser refroidisseur est alorstrop désaccordé.


F' = 5

6P3/2

6S1/2

raie D2

λ = 852,12 nm

251,4 MHz

201,5 MHz

151,3 MHz

9,192 GHz

F' = 4

F' = 3

F' = 2

F = 4

F = 3

repompeur

refroidisseur

désaccord variableentre +10 et -90 MHz

Figure 6. 9 : diagramme d’énergie de la raie D2 du césium. Le repompeur estaccordé sur la transition F = 3 → F’ = 4, son rôle étant de ramener vers le niveauF = 4 les atomes qui ont échoué dans F = 3. Le refroidisseur, légèrement décalé versle rouge par rapport à la transition F = 4 → F’ = 5, fait effectuer aux atomes descycles de refroidissement absorption – émission.

6.2.1.1 Faisceaux refroidisseurs

Les faisceaux refroidisseurs sont générés à partir de deux diodes de puissance R1 etR2, qui réalisent respectivement les faisceaux refroidisseurs du bas et du haut. R1 et R2 sontinjectées optiquement par une même diode laser maître RM de bonne finesse spectrale. Cecinous assure que les fluctuations de fréquence des différents faisceaux refroidisseurs serontcomplètement corrélées (pas de dissymétrie de la force de friction), et que l’intensité optiquesera suffisante pour chaque faisceau refroidisseur.

Pour les phases de piégeage et de refroidissement, les fréquences de R1 et R2 sontidentiques. Par contre, au moment de la phase de lancement la fréquence de R2 doit différerde quelques MHz de celle de R1. Les chemins optiques servant à faire les injections desdiodes R1 et R2, à partir de la diode maître RM, sont donc indépendants, permettant ainsid’obtenir des fréquences différentes sur ces deux diodes.


Les diodes R1 et R2 servent également à générer les faisceaux de détection. C’est pource rôle que la contrainte sur la largeur de raie des lasers est la plus sévère. Une largeur de raieinférieure à quelques centaines de kHz doit être obtenue si l’on ne veut pas dégrader lerapport signal à bruit au niveau de la détection [DIMARCQ 93, SIMON 97]. Ceci expliquepourquoi la diode maître RM est un laser en cavité étendue, et non pas une diode DBR(largeur de raie : ~ 3 MHz).

1) Diode maître RM et trajet d’injection

• Description de la diode RMLa diode maître RM est une diode laser 150 mW (SDL 5422 G1) montée en cavité

étendue auto-alignée dépliée [DIMARCQ 94, FERMIGIER 98]. L’élément sélectif utilisé est unréseau (1500 traits / mm) et l’auto-alignement est réalisé par un dièdre plein. La diode laserest régulée en température par un élément PELTIER externe, au niveau de quelques centièmesde degré. Ce montage est issu des études réalisées dans le cadre du projet d’horloge spatialePHARAO. Par rapport à une cavité étendue auto-alignée standard, il possède troisparticularités techniques intéressantes :

- La semelle du montage et le support de la diode laser sont réalisés en un seul blocd’INVAR, garantissant une très bonne stabilité mécanique.

- L’accord en fréquence est assuré par deux cales piézo-électriques permettant deréaliser un mouvement de rotation / translation du dièdre de renvoi. Ceci assure un accordcontinu plus important que pour un mouvement de translation simple [FAVRE 86].

- Le mouvement de rotation est transmis au dièdre par une pièce spéciale réalisée parélectro-érosion, assurant ainsi une transmission du mouvement sans contrainte au niveau dudièdre.

diode laser

dièdre

réseau

lentille decollimation

cales piézo-électrique

Figure 6. 10 : schéma du laser en cavité étendue dépliée auto-alignée


La largeur de raie de cette diode en cavité n’a pas été mesurée, mais cette mesure a étéfaite sur des lasers équivalents. Elle est de l’ordre de 150 kHz. La puissance de sortie estvolontairement limitée à 15 mW pour un courant de 68 mA, afin d’augmenter la durée de viede la diode.

• Asservissement de la diode RMLa diode maître RM est asservie sur la transition atomique F = 4 → F' = 5 de la raie

D2 par une technique d’absorption saturée dans une cellule de césium. En réalité ce n’est pasle faisceau directement issu de RM qui est asservi, mais ce faisceau, dont la fréquence estdécalée de - 1f∆ grâce à un modulateur acousto-optique AO1 ( 1f∆ varie entre 150 et 250MHz). Comme AO1 est dans la boucle d’asservissement, le faisceau sortant de RM a donc safréquence asservie à + 1f∆ par rapport à la fréquence f4,5 de la transition F = 4 → F' = 5 (voirFigure 6. 11). L’asservissement de fréquence est réalisé grâce à une détection synchronefonctionnant autour de 100 kHz. Le signal d’erreur est une première fois intégré et envoyésur le courant de diode, puis intégré une seconde fois et envoyé sur la commande des calespiézo-électriques.

Pour éviter que cet asservissement ne décroche lorsque l’on change brutalement lafréquence 1f∆ de 160 MHz à 250 MHz au moment du refroidissement sub-DOPPLER, onajoute un petit courant sur l’entrée de diode pour aider l’asservissement à suivre la fréquence.D’après l’amplitude du signal d’erreur en boucle fermée, les fluctuations de fréquencesrésiduelles de RM sont de l’ordre de quelques dizaines de kHz.

LCERM

AO1−∆f1AO1−∆f1

AO2−∆f2

AO3−∆f3

vers injection R1

vers injection R2

f4,5+∆f1 -2∆f2

f4,5+∆f1 -2∆f3

f4,5+∆f1

Absorptionsaturée

F = 4 →F’ = 5

f4,5

électroniqued’asservissement

Figure 6. 11 : schéma de l’asservissement de la diode maître RM, et des trajetsd’injection des diodes esclaves R1 et R2 .

• Injection des diodes R1 et R2.Le faisceau issu de RM à la fréquence f4.5 + ∆f1 est séparé en deux parties égales, puis

chacune des deux parties passe dans un modulateur acousto-optique (AO2 de fréquence -∆f2

et AO3 de fréquence -∆f3) utilisé en double passage. Les fréquences ∆f2 et ∆f3 sont égales à 80MHz pour le piégeage et le refroidissement et ne différent entre elles que pour la phase de


lancement : on a alors ∆f2 = 80 MHz - 2/fδ = 79,2 MHz et ∆f3 = 80 MHz + 2/fδ = 80,8MHz. Les deux faisceaux sont ensuite utilisés pour injecter optiquement les deux diodes laseresclaves R1 et R2. La forme des faisceaux et leur polarisation sont adaptées pour optimiserl’injection. Quelques centaines de µW seulement sont nécessaires pour les faisceauxd’injection.

• Pilotage des modulateurs acousto-optiquesTous les modulateurs acousto-optiques sont pilotés par des VCO générant des

fréquences commandables en tension. Afin d’éviter toute fluctuation de fréquence entre lesfaisceaux servant à injecter R1 et R2, AO2 et AO3 sont pilotés par le même VCO lors desphases de piégeage et de refroidissement. Ce VCO délivre un signal à 80 MHz, issu de lamultiplication par 8 du signal 10 MHz généré par synthétiseur DS 45 SRS. Pour la phase delancement AO2 et AO3 sont pilotés par deux VCO distincts eux mêmes pilotés par deuxsynthétiseurs utilisant la même base de temps à 10 MHz. Pour réaliser le lancement, lesfréquences de ces synthétiseurs sont fixées à (10MHz - δf /16) et (10 MHz +δf /16). Ongénère ainsi les fréquences symétriques nécessaires au lancement.

2) Les diodes esclaves R1 et R2 Les diodes utilisées pour R1 et R2 sont des diodes SDL 5422- H1 de type FABRY-

PEROT avec élément PELTIER intégré, dont la puissance de sortie atteint 150 mW. L’injectionoptique transfère les qualités spectrales de la diode maître RM, aux deux diodes esclaves R1et R2 [KOBAYASHI 81]. La largeur de raie de R1 et R2 est donc voisine de 100 kHz.

La diode R1 est utilisée pour générer les faisceaux refroidisseurs du bas, et R2 réaliseceux du haut. La coupure en intensité de ces deux faisceaux est réalisée par deux modulateursacousto-optiques AO4 et AO5 fonctionnant à ∆f4 = ∆f5 = -80 MHz. Les VCO pilotant AO4 etAO5 sont également asservis en fréquence sur la même référence, pour éviter toutesfluctuations de fréquence de l’un par rapport à l’autre. On rappelle qu’une différence defréquence de 1 kHz suffit pour lancer les atomes à 1 mm.s-1. Les faisceaux sont ensuiteinjectés chacun dans un coupleur à fibres optiques (détaillé paragraphe 6.2.2). On disposepour chacun de ces faisceaux d’environ 75 mW de puissance optique à l'entrée de chaquecoupleur.

On a ainsi réalisé deux faisceaux refroidisseurs asservis en fréquence l’un avec l’autre,dont les désaccords respectifs par rapport à la transition F = 4 → F' = 5 peuvent être différentsl’un de l’autre, et varier entre –90 MHz et +10 MHz.

On a représenté dans le tableau ci-dessous les fréquences typiques des cinqmodulateurs acousto-optiques en fonction des phases de refroidissement. Les colonnes HAUT

et BAS désignent respectivement les désaccords résultants par rapport à f4,5 pour le trièdre defaisceaux du haut et pour celui du bas. Les différentes phases seront décrites en détails auparagraphe 6.2.7.


Phase AO1 AO2 AO3 AO4 AO5 BAS HAUTDOPPLER -230 -80 (×2) -80 (×2) -80 -80 -10 MHz -10 MHz

Coupure B -215 -80 (×2) -80 (×2) -80 -80 -25 MHz -25 MHzLancement -230 -79,2 (×2) -80,8 (×2) -80 -80 -23,4 MHz -26,6 MHz

Sub-DOPPLER -165 -80 (×2) -80 (×2) -80 -80 -75 MHz -75 MHz

6.2.1.2 Faisceau repompeur

Le faisceau repompeur est issu d'une diode laser 150 mW (SDL 5422-H1) montée encavité étendue de type LITTROW. Ce montage est bien connu et décrit largement dans lalittérature [LUCAS-LECLIN 98]. Ce laser est asservi en fréquence sur le croisement de niveauxF = 3, F'= 4, par un montage en absorption saturée. La diode laser est donc asservie à -100MHz par rapport à la transition F = 3 → F' = 4. La partie utile du faisceau est remise àrésonance avec cette transition grâce au modulateur acousto-optique AO6, puis est injectéedans la deuxième entrée du coupleur n° II. La puissance du faisceau repompeur à l’entrée ducoupleur est de l’ordre de 5 mW. Le modulateur acousto-optique AO6 est utilisé à fréquencefixe =∆ 6f 100 MHz, et il ne sert qu’à la coupure rapide ( ≤ 1µs) du faisceau repompeur.L’association du modulateur AO6 et de l’injection dans le coupleur donne une extinctionsupérieure à 80 dB.

On présente Figure 6. 12, un schéma détaillé du banc de refroidissement.


λ/2λ/2

λ/2

λ/2

λ/2

λ/2

λ/2

λ/2

λ/2 λ/2

λ/2

λ/2

λ/4

λ/4

λ/4

λ/4

LCE Littman

LCE Littrow

Césium

Césium

60 dB

60 dB

-80 MHz

-80 MHz

-80 MHz

-80 MHz

-200 MHz

f=35

f=35

f=80f=150

f=100

f=100

Laser esclavesREFROIDISSEURS

Laser maîtreREFROIDISSEUR

F = 4 , F’ = 5

Laser REPOMPEURF = 3 → F’ = 4

-80 MHz

1 2

fente defiltrage

fente defiltrage

f=100f=100

f=50f=50

vers le coupleur defibre n° 1



98/2

98/2

50/50

CésiumCésium

37 dB37 dB

F = 3

F’ = 4

6S1/2

6P3/2

F’=5

F=46S1/2

6P3/2

f=300

AO1

AO2

AO3

AO4

AO5

AO6

Figure 6. 12 : schéma du banc de refroidissement


6.2.2 Les coupleurs de fibres optiques

6.2.2.2 Description et caractérisation

Pour relier le banc de refroidissement optique à l’enceinte à vide, on utilise des fibresoptiques. Cette technique permet d'avoir un dispositif plus souple au niveau de la dispositiondes éléments et de le rendre transportable. Quatorze fibres optiques vont jusqu'à l'enceinte àvide : six pour chacune des zones de refroidissement, et deux pour la détection. Afin d'éviterd'injecter séparément quatorze fibres optiques, on utilise deux coupleurs à fibres à 2 entrées et8 sorties.

Ces coupleurs sont réalisés en fibre à maintien de polarisation par la technique decouplage évanescent (1). Ils ont été réalisés par la société Canadian Instrument, mais ontnécessité un grand nombre de caractérisations complémentaires et de modifications par nous-mêmes afin de remplir les spécifications demandées.

Ces coupleurs 2×8 sont composés de sept coupleurs 2×2 mis en cascade (Figure 6. 13).

entrée A

entrée B

sortie 1

sortie 2

sortie 3

sortie 4

sortie 7

sortie 6

sortie 8

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

coupleur 2x8

sortie 5

Figure 6. 13 : schéma du coupleur à 2 entrées et 8 sorties. Il est composé de7 coupleurs 2×2 disposés en cascade.

(1) Cette technique a l'avantage, sur la technique de fusion étirage, de minimiser les pertes, et d'assurer

une meilleure stabilité du couplage.


Les caractéristiques de ces coupleurs sont résumés dans le tableau suivant :

Perte totale de puissance dans le coupleur 42 % au mieuxEquilibrage des sorties très mauvaisFluctuations de puissance lié à la température assez faibleFluctuations de puissance lié à la polarisation ~ 60 % après un cube

Les caractéristiques de ces coupleurs de fibres sont très mauvaises, et loin desspécifications demandées.

On constate que l'équilibrage des huit sorties est plutôt mauvais : la sortie la pluspuissante est environ 6 fois plus forte que la plus faible. Une étude plus poussée a permisd'établir que ce problème est induit par le fait que chaque coupleur 2×2 composant le système,a un équilibrage de sortie proche de 35/65 au lieu de 50/50 comme spécifié. On obtient doncen sortie du système :

1 sortie très faible (0,35)3 ~ 0,042 sorties moyennement faibles 0,65 × (0,35)2 ~ 0,082 sorties moyennement fortes 0,35 × (0,65)2 ~ 0,151 sortie très forte (0,65)3 ~ 0,27

On suppose que cette différence est liée à une erreur dans la longueur d'onde utiliséelors de l’étalonnage par le fabricant, bien que ce dernier aie toujours refusé de l'admettre. Destests supplémentaires ont en effet montré que le rapport de sorties des coupleurs 2×2 tendaientvers 50/50 pour une longueur d'onde proche de 815 nm (voir Figure 6. 14). Une solution pouraméliorer l'équilibrage des huit sorties est de chauffer le coupleur. Le rapport de sorties descoupleurs 2×2 dépend lentement de la température comme le montre la Figure 6. 15. Uneextrapolation linéaire permet de dire que ces rapports s'équilibreront à environ 160 °C.


810 815 820 825 830 835 840 845 85030

35

40

45

50co

upla

ge e

n so

rtie

faib

le(%

)

longueur d'onde (nm)

Figure 6. 14 : taux de couplage faible moyen enfonction de la longueur d’onde. Les barres d'erreurcorrespondent à la dispersion sur les 7 coupleurs 2×2.

20 40 60 80 1030

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

coup

lage

sor

tie fa

ible

(%

)

températu

Figure 6. 15 : taux de couplagefonction de la température. Lecorrespondent à la dispersion su2×2.

Afin de minimiser les fluctuations de puissance liées à la température, l'équilibrage des sorties, les coupleurs sont asservis en température à une valeufixée à 42 °C.

Un autre problème rencontré lors de l’utilisation de ce coupleur estmaintien de polarisation n’est pas correctement conservé à la traversée de ch2×2. La direction de la polarisation en sortie de fibre est alors très sensible athermiques et mécaniques subies tout au long des fibres. Il en résulte, à la traverséparateur de polarisation, des interférences entre les deux composantes ddonnées par la fibre. Le déphasage entre ces deux ondes fluctuant avec la teobserve des variations d’intensité lumineuse allant jusqu’à 50 % sur cerL’utilisation de polariseurs Polarcor (fabriqué par Corning), garantissantransmission et 40 dB d’atténuation sur la mauvaise polarisation permet depolarisation à la sortie de la fibre, et ainsi de supprimer le phénomène d’intarrive ainsi à réduire les fluctuations d’intensité à ± 2%.

6.2.2.3 Utilisation des coupleurs de fibres

Chacun des deux coupleurs de fibres fournit huit sorties, qui vont êtrerefroidir les atomes et pour les détecter. Pendant la phase de lancement de la bles faisceaux refroidisseurs du haut et du bas doivent être désaccordés syd'environ 1 MHz. Il est clair que si les six faisceaux d'un piège provienncoupleur, il est impossible de réaliser ce désaccord symétrique car les huit somême fréquence. Le premier coupleur est donc utilisé pour produire les trois faide chacun des deux pièges, l'autre coupleur est utilisé pour les faisceaux du hausorties de chaque coupleur sont ainsi utilisées pour le refroidissement d'atome

couplage 50/500

162 °C

couplage 50/5

816 nm

0 120 140 160 180

re (°C)

faible moyen ens barres d'erreurr les 7 coupleurs

et d'améliorerr de consigne

que l’axe deaque coupleurux contraintessée d’un cubee polarisationmpérature, ontaines sorties.t 97 % de nettoyer laerférence. On

utilisées pouroule d'atomes,métriquementent du mêmerties sont à lasceaux du bast. Six des huits. Le faisceau


refroidisseur (F = 4 → F' = 5) est injecté en entrée de chacun des deux coupleurs, le faisceaurepompeur (F = 3 → F' = 4) quant à lui n'est injecté que sur un seul des deux coupleurs (voirFigure 6. 16). La raison de cette façon de faire sera expliquée au paragraphe 6.5 à propos de ladétection. Les deux dernières sorties de chaque coupleur sont utilisées pour la détection etpour réaliser un contrôle de puissance.

refroidisseur

refroidisseur

repompeur

contrôle de puissance

contrôle de puissance détection

I

II

Figure 6. 16 : utilisation des deux coupleurs de fibres optiques. Le coupleur I estutilisé pour faire les faisceaux du bas des deux pièges, le coupleur II sert auxfaisceaux du haut.

Les fibres optiques issues des coupleurs amènent donc les faisceaux refroidisseurs etrepompeurs jusqu’à l’enceinte à vide, et plus particulièrement jusqu’à la BOULE DE

REFROIDISSEMENT que nous allons décrire maintenant.

6.2.3 La boule de refroidissement

La boule de refroidissement est similaire à celle réalisée pour le prototype d'horlogespatiale PHARAO [SIMON 97, LEMONDE 97], mais à l'échelle 8/10. C'est en fait un cube de 83mm de côté auquel on a coupé les huit coins. On dispose donc d'un volume avec quatorzefaces. Les six faces initiales du cubes sont utilisées pour injecter les six faisceaux derefroidissement, qui sont alors dirigés selon un trièdre trirectangle, dont la diagonale est ladirection de lancement des atomes. Les autres faces sont utilisées pour placer la réserve decésium, relier la boule au reste du dispositif, et visualiser le piège magnéto-optique à l'aide


d'une photodiode et de deux caméras (voir Figure 6. 17). Comme on l'a vu au paragraphe 6.1.3,tous les hublots sont bridés sur la boule.

Leoptiques icollimatioet fixés di

6.2.4 Le

Porefroidisscollimatéset des pocentrés l'u

Leune contrblindage les collimcollimateu

Unfaisceauxnumériqucontrainte

(1) Ces blin

directions des six lasers

t

réserve de césium

entrées pour visualisation(photodiode et

raccord au reste dudispositif

Figure 6. 17 : photographie de la boule de refroidiss

s faisceaux laser de refroidissement sont assues des coupleurs décris précédemment, la n, polarisation, intensité) étant assurée par drectement sur la boule de refroidissement.

s collimateurs de refroidissement

ur réaliser un refroidissement et un piégeement doivent avoir des caractéristiques bie ; deux lasers de directions opposées doivent

larisations circulaires σ+ et σ- [DALIBARD 8n sur l'autre.s collimateurs sont chargés de réaliser toutes ainte d'encombrement car chaque boule d

magnétique (1), afin de s'affranchir de l'influenateurs doivent donc rentrer dans ce blindr, suivant l'axe du faisceaux laser est de 60 me combinaison optique à trois lentilles a

collimatés de 18 mm de diamètre à partie 0,1 (ce qui correspond à la sortie des fis d'encombrement, l'axe optique de la combin

dages seront décrits au paragraphe 6.2.6.

direction de lancemen

ement en cours de réalisation.

menés jusqu'à la boule par des fibresmise en forme des faisceaux (diamètre,es collimateurs situés en sortie de fibre

age efficace, les faisceaux lasers den particulières : les lasers doivent être avoir des intensités lumineuses égales9]. Ils doivent de plus être alignés et

ces fonctions. Ils sont de plus soumis àe refroidissement est placée dans unce magnétique d'une boule sur l'autre,

age. La longueur disponible pour lem.

été élaborée, permettant d'obtenir desr d'une source ponctuelle d'ouverturebres optiques). Afin de s'adapter auxaison est replié par un cube séparateur


de polarisation. Une lame λ/4 ordre 0 placée après le cube permet de régler la polarisationfinale du faisceau. L'intensité lumineuse est réglée par une lame λ/2 placée devant le cubeséparateur de polarisation (voir Figure 6. 18).

ferrule de sortie de fibre

lame λ/2

Cube séparateur depolarisation

lame λ/4combinaison à 3 lentilles

∅18

polariseurpolarcor

Figure 6. 18 : schéma optique du collimateur de refroidissement. La lameλ/2 sert à régler la puissance du faisceau, la lame λ/4 assure une polarisationcirculaire.

La combinaison optique a été calculée et optimisée pour minimiser les aberrationsgéométriques (2). Un front d'onde théorique meilleur que λ/100 a ainsi été obtenu. En pratique,les collimateurs ont été caractérisés avec un analyseur de front d'onde de type SCHACK-HARTMANN (3) (H-Line commercialisé par la société Imagine Optic) et après montage etalignement, des qualités de fronts d'onde typiques de λ/30 ont été obtenues, et certainesétaient même meilleures que λ/50 (limite de résolution de l'appareil) (voir Figure 6. 19).

(2) Ce travail a été effectué par Catherine ARMELLIN de l'Institut d'Optique Théorique et Appliquée.(3) Cet appareil nous a été prêté par le Département d'Astrophysique Stellaire et Galactique (DASGAL) del'Observatoire de Paris.


10 20 30 40 50 60

écar

t nor

mal

(e

n fra

ctio

n de

λ)

X Axis

Figure 6. 19 : courbe de front d’onde d’un des collimateurs. L’écart normalpic-vallée est inférieur à λ/10, sa valeur RMS vaut λ/30.

Ces collimateurs sont réglés une fois grâce à l'analyseur de front d'onde et ensuite lesdifférents éléments (cube, lame λ/4, ferrule (1) ) sont collés à la colle UV. La lame λ/2 estplacée dans un support qui permet sa rotation afin de permettre le réglage de l'intensitélumineuse. Les faisceaux sont équilibrés par paire, mais les paires ne sont pas équilibréesentre elles. La puissance de chaque paire dépend de la sortie de fibre utilisée. L'alignement etle centrage de chaque faisceau laser est réalisé par rapport à sa face de référencerespectivement avec une précision d'environ 100 µrad, et 2/10ème de mm. Deux photographiesde collimateurs sont présentées Figure 6. 20.

L’alignement des faisceaux par paire ne peux pas être fait par autocollimation commedans [LEMONDE 97], car compte tenu des polarisations le faisceau ne peux pas être réinjectédans la fibre. On réalise donc l’alignement en ré-injectant le faisceau issu de chaquecollimateur du haut (coupleur II) dans le collimateur en face. Cette intensité rentre donc dansle coupleur I par une sortie et est récupérée sur l’entrée inutilisée de ce coupleur. Le réglagede l’alignement ce fait en jouant sur les vis de fixation de chaque collimateur. La très bonnequalité de front d’onde des collimateurs permet une remarquable réinjection de la lumière, àtel point que les diodes R1 et R2 peuvent se perturber mutuellement si leurs isolateursoptiques (37 dB) ne sont pas parfaitement réglés. Compte tenu de l’acceptance angulaire pourinjecter de la lumière dans une fibre optique, on estime que ce réglage garantit un alignementde chaque faisceau composant une paire à mieux que 100 µrad.

(1) On a utilisé des sorties de fibres non connectorisées car le ressort qui est usuellement placé dans le connecteura un magnétisme de plusieurs dizaines de mGauss (plusieurs µT). De plus les sorties de fibres sont clivées avecun angle de 8 degrés (norme APC). Le faisceau sort donc avec un angle de 4 degrés par rapport à l'axe de lafibre.

λ/10


Les douze faisceaux refroidisseurs ont une puissance finale comprise entre 2 et 3 mWsuivant les paires, ce qui donne une intensité lumineuse au centre comprise entre 2,5 et 3,6mW.cm-2, correspondant à une saturation à résonance de 2,3 à 3,3 (Isat = 1,1 mW.cm-2).

dofaç

0,1cen

6.2

dirplama

de

l /4
cube
ame λ

Figurcollimateur simcollimateur ave

Douze collimatennant des faisceaux don.

Afin de réaliser l T.m-1 (10 G.cm-1) dotre du piège.

.5 Les gradients de

Le piège magnétections des faisceauxcées suivant l'axe zgnétique vaut alors [D

= bB 0

et le gradient vau

b 0 =

où a est le rayon spires de chaque bobi

lame λ/2
ferrule
e 6. 20 : photographies de collimateurs réglés et collés. On voit ple (à gauche) avec ces différents composants, et à droite

c le support de bobine.

urs de fibre totalement amagnétiques, d'encombreme très bonne qualité de front d'onde ont ainsi été réa

e piège magnéto-optique, un gradient de champ magnétit être ajouté afin de créer la force de rappel qui attire

champs magnétiques

o-optique nécessite un gradient de champ magnétique refroidisseurs. Ce gradient est réalisé grâce à une pa (voir Figure 6. 8) en configuration anti-HELMHOLT

URAND 53] :

−− yxz yxz eee .

21 .

21 . (Eq.

t :

( ) NIda

daz

BZ 3

2/5 22

20

+=

∂∂ µ

(Eq

des bobines, d est la demi distance entres les bobines, Nnes et I est le courant circulant dans chaque bobine.

bobine

unun

ent réduit etlisés de cette

ique d’environ les atomes au

dans les troisire de bobinesZ. Le champ

6.1)

. 6.2)

est le nombre


La géométrie de l’expérience nous impose a = 27 mm et d = 43,5 mm. Le produit N.Idoit donc valoir environ 300 pour réaliser un gradient de 10 G.cm-1 (0,1 T.m-1). On réalisequatre bobines de 150 spires chacune, dans lesquelles circule un courant de 2 A.

Les champs magnétiques longitudinal et transverse ont été mesurés expérimentalementà l’intérieur des blindages magnétiques (voir Figure 6. 21 et Figure 6. 22).

-20 0 20 40 60 80

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

cham

p m

agné

tique

long

itudi

nal (

G)

Figure 6. 21 : champ magnétique longradient de 1G.cm-1 (10 mT.m-1) a étéun courant de 0,2 A.

0,4

0,6

0,8

1,0

sver

se (G

)

Les bobines sont montéesrôle de dissipateur de chaleur (puissance électrique chacune qu'i

Chaque boule de refroidboules étant relativement prochmagnétisme de l'autre grâce à un

6.2.6 Les blindages magnétiqu

Afin de protéger les zonemagnétiques réalisés en µ-métal.ce type, ceci avec un double but :

Limiter les fluctuationsconduiraient à des fluctuations de

Eviter que le champ l'environnement magnétique ded'interaction RAMAN.

Les coefficients d’atténuaété mesurés dans les trois direcblindage, et µX = µY = 125 dans le

bobines

0,5 G.cm-1
I
100 120 140 160

gitudinal. Un obtenu avec

-

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

cham

p m

agné

tique

tran

Figure 6obtient ucourant d

directement sur les collimvoir Figure 6. 20). Ellesl faut dissiper.

issement a son gradiente l'une de l'autre, on pblindage magnétique.

es

s sensibles aux champs m La zone de refroidissem

du champ magnétique d position du piège magnémagnétique important crs autres zones du disp

tions magnétiques des bltions. Les valeurs trouvés directions transverses (

Distance (mm)
bobines
I

(5 mT.m-1)
1
G.cm-1

80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

distance au centre (mm)

. 22 : champ magnétique transverse. Onn gradient de 0,5 G.cm-1 (5mT.m-1) avec une 0,2 A.

ateurs de fibres qui jouent alors le consomment environ 6 Watts de

de champ magnétique. Les deuxrotège chacune de ces zones du

agnétiques on utilise des blindagesent est protégée par un blindage de

ans le zone de refroidissement quito-optique.éé par les bobines vienne polluerositif, principalement de la zone

indages, après démagnétisation, ontes sont µZ = 450 suivant l'axe du

voir Figure 6. 23) :


Atténuation suivant Z :450

Atténuation suivant X :125

Atténuation suivant Y :125

Z

X

Y

Figure 6. 23 : coefficients d’atténuationsmagnétiques dans les trois directions.

Z

X

Y

Figure 6. 24 : bobine à quatre spires pour créer lechamp magnétique uniforme suivant l’axe Z.

Le blindage magnétique joue aussi le rôle de miroir pour les champs magnétiques situés àl’intérieur du blindage. Ainsi, afin d’assurer un champ magnétique homogène dans la zone derefroidissement, on place une bobine dans le blindage pour créer un champ constant suivant l’axeZ. Le rôle de ce champ est aussi de donner un axe de quantification en levant la dégénérescencedes sous-niveaux ZEEMAN. Une bobine avec seulement quatre spires (voir Figure 6. 24) permet,grâce à "l’effet miroir" du blindage, d’obtenir un champ magnétique homogène. Afin de mettre enévidence cet effet, le champ magnétique créé par la bobine a été mesuré à l'extérieur du blindagepuis à l'intérieur (voir Figure 6. 25 et Figure 6. 26). Un courant de 15 mA suffit pour créer un champmagnétique constant de 0,4 µT (4 mG) dans la zone de refroidissement.

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 1601,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

cham

p m

agné

tique

(mG

)

distance au bord de la bobine (mm)

Figure 6. 25 champ créé par la bobine à quatrespires suivant l'axe Z, sans blindage.

-20 0 20 400

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20courbe pour I=15 mA

Cha

mp

B da

ns le

blin

dage

(en

mG

)

distanc

Figure 6. 26 : champl'intérieur du blindaga un palier au centre

palier à 4 mG( 0,4 µT )

60 80 100 120 140 160 180 200

e au bord du blindage (mm)

créé par la bobine à quatre spires àe suivant l'axe Z. Pour I=15mA ondu blindage à 4 mG (0,4 µT).


Des mesures de temps de coupure du gradient de champ magnétique (décrit auparagraphe précédent) ont également été effectuées. En effet, il était important de contrôlerque la présence du blindage magnétique autour du gradient ne rallonge pas de façonsignificative le temps de coupure. Ces tests, d’abord effectués avec une boucle recueillant lesvariations du flux magnétique, puis grâce à un sonde magnétique, montrent que le gradientpeut être coupé en moins de 5 ms, et ce même à l’intérieur du blindage magnétique.

10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 27,5 30,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

sans blindage avec blindage

10 ms

cham

p m

agné

tique

(U.A

.)

temps (ms)

Figure : temps de coupure du gradient de champ magnétique dans le blindage. Onn’observe quasiment aucune différence entre la durée avec les blindages et sans lesblindages.

Nous avons maintenant tous les ingrédients pour réaliser un piège magnéto-optique etpour le lancer. Nous allons détailler les différentes phases nécessaires en donnant les résultatsobtenus.

6.2.7 Les différentes phases de piégeage, de refroidissement et de lancement

Un cycle classique de production d’une boule d’atomes froids se décompose commesuit :

1) Piégeage ( ~ 500 ms)Les atomes sont refroidis par un processus de refroidissement DOPPLER, et sontramenés au centre du piège grâce aux gradients de champs magnétiques. A ce stade onobtient une boule de 2 mm de diamètre contenant environ 108 atomes à unetempérature de l’ordre de 100 µK.

2) Coupure du champ magnétique ( ~ 15 ms)


On coupe le gradient de champ magnétique, le désaccord des lasers refroidisseurs estchoisi pour minimiser la diffusion des atomes en position pendant l’amortissement duchamp magnétique.

3) Lancement (~ 2 ms)Les lasers refroidisseurs sont désaccordés symétriquement pour créer la mélassemouvante. Un désaccord symétrique de 1,6 MHz permet de lancer les atomes à 2,4m.s-1.

4) Refroidissement sub-DOPPLER (~1 ms)Le désaccord des faisceaux refroidisseurs est augmenté jusqu’à –15 Γ. La températureatomique décroît alors jusqu’à quelques µK grâce à des mécanismes derefroidissement sub-DOPPLER.

5) Coupure adiabatiqueL’intensité des lasers est coupée le plus adiabatiquement possible. Le faisceaurepompeur est coupé légèrement après les faisceaux refroidisseurs afin d’effectuer unpompage hyperfin vers l’état F = 4.

On représente sur la Figure 6. 27 les fréquences et les intensités des différentesfaisceaux suivant les phases :


intensitérefroidisseurs

fréquencerefroidisseur

bas

accordé sur F=3 , F'=4fréquencerepompeur

piégeage DOPPLERCoupurechamp B

lancement

intensitérepompeur

-2Γ

-2Γ−δf

-2Γ+δf

-5Γ

-15Γ

-5Γ

-15Γ

-2Γ

fréquencerefroidisseur

haut

RefroidissementSub-DOPPLER

coupureadiabatique

Pompagehyperfin

Figure 6. 27 : représentation des fréquences et des intensités des différentsfaisceaux au cours des phases de piégeage et de refroidissement sub-DOPPLER et delancement.

Il est important de signaler que la mise au point des différents paramètres pour lesphase de piégeage de refroidissement et de lancement a été réalisé sur une expériencepréliminaire baptisée « MANIP VERTICALE ». L’intérêt de cette configuration est de lancer laboule d’atomes verticalement, ce qui est beaucoup plus simple pour l’étude de la mélassemouvante. Cette expérience intermédiaire nous a de plus permis de démarrer l’étude de lasource atomique alors que le tube de l’expérience définitive (« tube GYRO ») n’était pasencore prêt. La MANIP VERTICALE contient donc une source atomique complète, telle quellevient d’être décrite, un tube permettant de lancer les atomes jusqu’à 280 mm au dessus de lazone de piégeage, un faisceau sonde et deux optiques de détection centrées à une hauteur de228,8 mm. Le plan de cette expérience est représenté Figure 6. 28.


caméra

pompeionique

faisceauxsondes

boule derefroidissement

caméra

Figure 6. 28 : schéma de la « MANIP VERTICALE ». Les atomes sont piégés dans laboule de refroidissement puis lancés vers le haut jusqu’à une hauteur pouvantatteindre 280 mm. Un système de détection avec renormalisation permet de faire desmesures de temps de vol afin d’optimiser les paramètres de refroidissement delancement.

6.2.7.1 Piège magnéto-optique

Les pièges magnéto-optiques sont habituellement caractérisés par un certain nombrede grandeurs qui permettent de déterminer leurs performances. Les grandeurs que nous allonsutiliser ici sont : le nombre d’atomes piégés, le temps de chargement du piège, la taille dupiège et la température atomique à l’issue de la phase de piégeage. Si les trois premièresgrandeurs peuvent aisément être mesurées grâce à un système de visualisation, ladétermination de la température atomique nécessite une mesure en temps de vol qui nousoblige à lancer les atomes.

1) Système de visualisation du piège

On utilise une optique qui réalise l'image de la boule d'atomes sur une photodiodecarrée en silicium de 6 mm de côté. Cette photodiode ainsi que le circuit trans-impédance quil'accompagne sont déportés à l'extérieur du blindage magnétique.

Le système optique, composé d'une lentille simple biconvexe (f = 20 mm), assure unangle solide de détection de Ω = 0,6 stéradians. Compte tenu du grandissement du système(gy = -0,85), la taille de la zone imagée sur la photodiode est de 5×5 mm, ce qui est largement

280 mm


suffisant, attendu que la taille du piège est d'environ 2 mm de diamètre. Le facteur desensibilité de la photodiode est de S = 0,55 A/W, et le gain du circuit trans-impédance est G =2,2.106 V/A.

On peut alors relier le nombre d’atomes dans le piège à la tension fournie par le circuittrans-impédance grâce à la formule :

( ) 6/ 10.2,255,0

412×××

Ω

×

+

Γ= ν

πh

ss

ntotale

totaleVoltatomes (Eq. 6.3)

avec totales la saturation totale dans le piège avec les six faisceaux :

( )

Γ++×= 2totale / 4 / 1

/ 6

δsat

sat

IIII

s (Eq. 6.4)

On néglige ici les effets d’interférences entre les faisceaux refroidisseurs et on prend lescoefficients de CLEBSH-GORDAN égaux à 1 (ce qui donnera la valeur la plus pessimiste).

Dans notre cas on a I ~ 2,5 Isat, et δ = -2Γ, ce qui donne totales ~ 0,8.On obtient alors finalement un nombre d’atomes par volt de : Voltatomesn / = 1,8.107 at/V.

2) Résultats

Une mesure de chargement du piège nous permet ainsi de déterminer (voir Figure 6. 29) :

• Le nombre d’atomes : N = 108 atomes.• La constante de temps de chargement à mi hauteur : τchargement = 160 ms.

La température de la réserve de Césium était fixée à 40 °C pour ces mesures.

Figure 6. 29 : courbe de chargement du piège magnéto-optique. On trouve unevaleur maximale de 5,44 Volts correspondant à environ 108 atomes dans le piège. Laconstante de temps de chargement à mi hauteur vaut 160 ms.


Le piège peut aussi être visualisé par deux caméras placées à 90° l'une de l'autre dansun plan incliné d’environ 60° par rapport à la direction de lancement. Ceci permet d’étudier laforme du piège afin de déceler d’éventuels problèmes de symétrie ou d’équilibrage desfaisceaux refroidisseurs (voir Figure 6. 30). Cette image du piège nous permet également dedéterminer les dimensions de la boule d’atomes dans deux directions (voir Figure 6. 31).

Figure 6. 30 : image du piège magnéto-optique donnée par la caméra. Vued’ensemble (à gauche), l’image du piège est saturée. Grossissement du piège (àdroite), le gain a été réglé pour ne pas saturer l’image.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10150000

200000

250000

300000

350000

400000

inte

nsité

lum

ineu

se (u

.a.)

direction suivant l'axe du champ magnétique(en mm)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

inte

nsité

lum

ineu

se (u

.a.)

direction perpendiculaire l'axe du champ magnétique(en mm)

Figure 6. 31 : dimension du piège dans deux directions. Le piège est plus étroit dansla direction de l’axe des bobines car le gradient est deux fois plus important. Enpointillé on a représenté un fit par une fonction gaussienne. Les courbes ont étémoyennées sur 50 images.

1/e

1,5 mm

1/e

2,6 mm


6.2.7.2 Coupure du gradient de champ magnétique

On a mentionné au paragraphe 6.2.6 que la coupure du gradient de champ magnétiqueà l’intérieur du blindage ne pose pas de problème particulier. Afin d’éviter la diffusionspatiale des atomes, entraîné par les fluctuations de champ magnétique pendant la phased’amortissement, les lasers refroidisseurs sont désaccordés de –5 Γ, désaccord correspondantau minimum de diffusion spatiale des atomes.

6.2.7.3 Mélasse mouvante et lancement des atomes

Afin de lancer la boule d’atomes, on désaccorde de façon symétrique les lasersrefroidisseurs du haut (issus du coupleur de fibres II) et du bas (issus du coupleur de fibres I).On montre alors que les pressions de radiation s’équilibrent non plus dans le repère fixe, maisdans un repère en mouvement à la vitesse lancementV . La direction de lancement est donnée parla trisectrice des faisceaux supérieurs et inférieurs, et la vitesse de lancement est reliée audésaccord par la relation [LEMONDE 97] :

λδ 3 fVlancement = (Eq. 6. 5)

où fδ est le désaccord en fréquence, et λ est la longueur d’onde des faisceaux refroidisseurs.Afin de lancer la boule d’atomes vers le haut, on désaccorde les faisceaux du haut vers lerouge ( fδ <0), et ceux du bas vers le bleu ( fδ >0).

Pour obtenir une vitesse de lancement de 2,4 m.s-1 il faut désaccorder de fδ =1,62MHz. Le décalage fδ étant réalisé par un synthétiseur DS 45 SRS ayant une résolution de 1µHz, la vitesse moyenne de lancement est théoriquement connue avec une très bonneprécision (< 1nm.s-1). En réalité les fluctuations d’intensité et de direction des faisceauxrefroidisseurs limite notre connaissance de la vitesse de lancement au niveau de( )1000/lancementV . De même la direction de lancement est imposée par l’orientation descollimateurs sur la BOULE DE REFROIDISSEMENT. Cette direction est donc constante au coursdu temps mais n’est connue qu’à la précision mécanique des angles de la boule près.

Le lancement des atomes nous permet de faire une mesure de temps de vol, etd’obtenir ainsi la valeur de la température atomique.

Vitesse de lancement

La fréquence de lancement est choisie égale à 1,62 MHz (ce qui donne lancementV = 2,4m.s-1). La sonde, située 288,8 mm au dessus de la zone de lancement, est un pinceau lumineuxde lumière horizontal de 2 mm de hauteur. Le signal de temps de vol est représenté sur laFigure 6. 32).


-0,05 0,00-50

-40

-30

-20

-10

0

10

sign

al d

e flu

ores

cenc

e (u

.a.)

Figure 6. 32 : signal de temps de vmodulateur acousto-optique AO1.lancement des atomes. Le signal duphotodiode de détection, au niveasignal est obtenu en un coup sans m

Afin de vérifier que l’on contrôleétudie la durée du temps de vol en fondésaccords fδ± imposés aux faisceaux 6.33 présente les résultats obtenus : la vavec celle déterminée à partir de (Eq. 6.5issus des mêmes coupleurs à fibres optiqtrop tôt pour ne pas pousser les atomespiégeage. Pour cette raison, le premier pdurée de temps vol légèrement plus court

lancementdes atomes
129 ms
0,05 0,10 0,15 0,20

temps (secondes)

ol. La courbe du haut représente la fréquence du Ce signal sert de référence pour l’instant de bas est le signal de fluorescence recueilli par lau des faisceaux sondes (voir Figure 6.28). Ceoyennage.

correctement la vitesse de lancement des atomes onction de cette vitesse. Cette vitesse est reliée aux

refroidisseurs grâce à la relation (Eq. 6.5). La Figureitesse de lancement observée est en parfaite accord). Les faisceaux pièges et les faisceaux sondes étantues, il faut prendre garde à ne pas allumer la sonde avec la pression de radiation issue de la zone deoint expérimental présenté Figure 6. 33 présente unee que celle attendue,.

désaccord de AO1

signal de détection


80 90 100 110 120 130 140 1500,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

duré

e du

tem

ps d

e vo

l en

ms

(h =

288,

8 m

m)

désaccord de AO2 (en kHz)

Figure 6. 33 : durée du temps de vol en fonction du désaccord appliqué auxmodulateurs acousto-optiques AO2 (positif) et AO3 (négatif). La valeur de fδ estobtenue en multipliant par 16 ce désaccord. La courbe en pointillée représente lesvaleurs attendues à partir de (Eq. 6.5) et les ronds noirs représentent les pointsexpérimentaux obtenus.

6.3 PREPARATION ATOMIQUE

A la sortie du piège magnéto-optique, les atomes sont dans une superposition desdifférents sous-niveaux ZEEMAN de l'état hyperfin F = 4. Pour la suite de l'expérience, on neveut conserver que les atomes dans le sous-niveau mF = 0, car ce sous-niveau est insensible aupremier ordre aux déphasages d’origine magnétique. Pour réaliser cette préparation on sépareles différents sous-niveaux ZEEMAN de ×=∆ Fm mE

F 70 kHz avec un champ magnétique

constant de 10 µT (100 mG), puis on utilise une cavité micro-onde résonante à 9,2 GHz,induisant une transition (F = 4, mF = 0) → (F = 3, mF = 0). La durée d’interaction micro-ondeet la puissance à injecter dans la cavité pour produire une impulsion π sont alors donnée par larelation πτµ =Ω onde .

Un faisceau pousseur (onde progressive) accordé sur la transition F = 4 → F' = 5expulse alors de l’expérience tous les atomes qui n'ont pas effectué la transition vers le niveauF = 3. Il ne reste donc après cette phase de préparation atomique que des atomes dans l'état F= 3, mF = 0. (voir Figure 6. 31).


cavitémicro-onde

Faisceaupousseur

9,2 GHzF=3

F=4

sortie du piègeF=3

F=4

F=4

F=3

852 nm

impulsionmicro-onde

Figure 6. 31 : la phase de préparation à lieu après le lancement de la bouled'atomes. Elle est réalisée en deux temps : les atomes subissent une impulsionmicro-onde dans la cavité, ensuite un faisceau expulse de l'expérience tous lesatomes qui n'ont pas effectué la transition micro-onde.

Nous allons décrire ici les deux éléments qui réalisent cette préparation atomique : lacavité micro-onde et le faisceau pousseur.

6.3.1 La cavité micro-onde

La cavité micro-onde utilisée est une cavité rectangulaire TE011 réalisée en alliaged'aluminium étiré. Comme mentionné au paragraphe 5.6 , il y a en réalité deux cavités micro-ondes, une orientée suivant l’axe (Oy) et la seconde suivant l’axe (Oz). Elles sont placées àl'intérieur du bloc central, posées sur le raccord (voir Figure 6. 31). Le couplage est réalisé parune boucle de courant (1). Les dimensions de ces cavités font qu’elles sont résonnantes à unefréquence proche de la fréquence de transition hyperfine F = 4 → F = 3 : 9,192 631 770 Hz.

1) Accord de la cavité

Contrairement aux cavités utilisées dans les horloges atomiques, notre cavité desélection n’a pas besoin d’avoir un bon facteur de qualité. Son accord précis en est d’autantmoins important. Il faut tout de même tenir compte de deux effets importants :

• Le passage sous vide augmente la fréquence de résonance de la cavité de 2,5 MHzenviron.

• La fréquence de résonance de la cavité varie avec la température d’environ –150kHz/°K.

(1) Les couplages par antennes sont beaucoup moins propres que les couplages par boucles, autant au

niveau de l’amplitude du champ que de sa polarisation.


L’accord de la cavité à la fréquence du césium se fait en réduisant la dimension de lacavité dans une direction, la dépendance typique est de –300 kHz.µm-1.

Notre cavité a un facteur de qualité d’environ 500, c’est à dire que la largeur de raie àmi-hauteur de la courbe de résonance vaut près de 20 MHz (voir Figure 6. 32).

9140 9160 910

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110 Cavité haute ensemble gauchesi

gnal

réflé

chi (

u.a.

)

fréquen

Figure 6. 32 : courbe de résonance d’uen réflexion. La largeur à mi-hauteur de l

2) Etanchéité des câbles coaxiaux

La difficulté principale dans la réalisatiétanche au vide et amagnétique pour le câbleonde dans la cavité. En effet, le téflon, utilisé n’est pas étanche au vide. Une technique de cdéveloppée pour remédier à ce problème (vquelques 10-10 mbar (10-8 Pa) a pu ainsi être ob

20 MHz

80 920

ce micro-o

ne des qua résonan

on de ce coaxiacomme ollage doir Figutenue p

9 192 MHz

0 9220 9240 9260

nde (MHz)

atre cavités micro-ondes, réaliséece vaut environ 20 MHz.

tte cavité a été de concevoir un passagel servant à amener la puissance micro-isolant entre l’âme et la gaine du câble,u bout du connecteur coaxial a donc étére 6. 33). Une étanchéité au niveau dear cette méthode.


colleboucle decouplage

cavitéhaute

cavitébasse

soudureétanche

câbles coaxiauxavec sortie SMA

parois del’enceinte à

vide

passage desatomes

Figure 6. 33 : schéma du montage des boucles de couplage. L’étanchéité interne ducâble coaxial est assurée par un point de colle.

6.3.2 Le faisceau pousseur

Comme mentionné au paragraphe 5.6 le faisceau pousseur est un des faisceaux sondesde la détection. La seul différence est qu’il est désaccordé vers le bleu de la transition F = 4→F’ = 5 afin de rester résonnant plus longtemps avec les atomes lorsqu’ils sont éjectés.

Ce faisceau sera donc décrit avec la détection au paragraphe 6.5.

6.3.3 Mise en œuvre de la préparation atomique

Au champ micro-onde créé dans la cavité est superposé le champ magnétique constantde 100 mG qui écartent des différents sous-niveaux ZEEMAN de mF × 70 kHz. Afin d'éviter lestransitions de MAJORANA entre la sortie de la cavité et la zone d'interaction RAMAN, tout lebloc central baigne dans ce champ magnétique constant. La Figure 6. 34 présente unephotographie de cette double cavité.


Figure 6. 34 : photographie de la double cavité.

6.4 LA ZONE D'INTERACTION RAMAN

6.4.1 Production des faisceaux RAMAN

Les transitions RAMAN sont induites par deux faisceaux laser stabilisés en fréquence,désaccordés par rapport à une transition optique. Le point essentiel est que la différence defréquence des lasers doit être égale à l’écart en fréquence entre les deux niveaux hyperfins del’état fondamental du césium, soit 9,2 GHz (la théorie des transitions RAMAN stimulées estdécrite paragraphe 4.2). De plus, la phase effφ (donnée par Eq. 4. 48) ne doit pas fluctuer entreles trois impulsions (voir par exemple Eq. 4. 92). Plus qu’un asservissement de fréquence,c’est donc un réel asservissement de phase qu’il faut réaliser entre les deux lasers afin delimiter les fluctuations de phases à un niveau inférieur au mrad (1)sur au moins 100 ms.

Plusieurs méthodes sont disponibles pour produire ces deux faisceaux laser asservis enphase.

Une méthode, utilisée par T. GUSTAVSON à Yale [BOUYER 96], utilise un modulateuracousto-optique à 4,6 GHz. L’ordre +1 est utilisé pour injecter une diode de puissance R1.L’ordre 0 est rétro-réfléchi puis est diffracté dans l’ordre –1 au second passage dans lemodulateur acousto-optique et est finalement utilisé pour injecter une deuxième diode R2.L’écart entre les ordres-1 et +1 vaut bien 9,2 GHz. L’efficacité de diffraction n’est que de0,03 % mais les 30 µW diffractés dans les deux ordres suffisent pour injecter les diodes R1 etR2.

(1) Cette valeur provient d’une estimation du rapport signal à bruit de 1000, ne nous permettant pas dediscriminer du bruit blanc les déphasages inférieurs au mrad .

raccord

cavité haute

cavité basse

câble coaxial

Partie 6.4 : La zone d’interaction RAMAN 192

Une seconde méthode consiste à faire une modulation de fréquence ou de phase à lafréquence 0f sur un faisceau laser. On fait alors apparaître des bandes latérales dans sonprofil spectral, séparées en fréquence de 0f par rapport à la porteuse. Cette modulation peutêtre réalisée grâce à un modulateur électro-optique [SZYMANIEC 97], ou encore parmodulation directe sur le courant d’alimentation de la diode [RINGOT 98]. C’est cette secondeméthode que nous avons développée initialement, et bien que ce ne soit pas celle qui aie étéfinalement retenue, nous allons la présenter brièvement.

6.4.1.1 Diode modulée à 4,6 GHz

Nous avons modulé le courant d’alimentation d’une diode laser DBR 150 mW (SDL5722 – H1), à 4,6 GHz, dans le but de créer deux bandes latérales espacées l’une de l’autre de9,2 GHz.

Pour amener le signal hyperfréquence jusqu’à la partie active de la diode, on ne peutpas utiliser les connecteurs de la diode car ses contacts ne réalisent pas un circuit adapté pourcette fréquence. La puissance RF est alors réfléchie et ne parvient pas jusqu’à la surfaceactive. Une ligne adaptée 50 Ω à 4,6 GHz (microstrip) a donc été conçue puis branchéedirectement sur la jonction laser (1) (voir Figure 6. 35). Cette ligne adaptée est constituée d’unecouche d’or de largeur et d’épaisseur déterminée déposée sur un substrat d’alumine.

L’alimentation de la diode laser et la modulation à 4,6 GHz sont additionnées dans unTé de polarisation, puis injectées dans la diode laser par l’intermédiaire de cette ligne adaptée.Un triple stub permet d’adapter l’impédance de l’ensemble (diode – ligne adaptée – Té depolarisation) vis à vis de l’amplificateur RF. Ce triple stub est un élément essentiel pouroptimiser la puissance RF parvenant jusqu’à la diode.

Figure 6. 35 : photographie de la diode modulée.

(1) Ces deux opérations ont été réalisées par la société Micronic.

diode laser

lentille decollimation

ligne adaptée 50Ω

arrivée du courantcontinu +

hyperfréquence


Le profil spectral de la diode modulée est analysé grâce à un interféromètre de FABRY-PEROT modulé. On optimise alors l’amplitude des bandes latérales grâce à la puissance RF, austub, au courant et à la température de la diode. Le profil spectral présenté Figure 6. 36 a étéobtenu pour 2W de puissance RF et pour un courant de diode de 75 mA (soit une puissancetotale de 20 mW).

Figure 6. 36 : spectre de la diode modulée à 4,6 GHz. Cette courbe a été obtenue paranalyse dans un FABRY-PEROT d’intervalle spectrale libre 12 GHz. On voitapparaître deux bandes latérales séparées entres elles de 9,2 GHz.

La puissance optique dans chacune des bandes latérales d’ordre 1 est environ de 7mW. Il reste 3,5 mW dans l’ordre 0 et on retrouve 1,7 mW dans chacune des bandes latéralesd’ordre 2. Cette méthode est donc particulièrement efficace, puisqu’elle permet d’obtenir prèsd’un tiers de la puissance totale dans chacune des bandes d’ordre 1.

Des tests d’injection de diode directement à partir de ce faisceau ont été faits et ontmontré que bien que la plage d’injection typique d’une diode laser SDL (5422) soit d’environ3 GHz, une petite partie de la puissance s’injecte tout de même sur l’ordre 0 (voir Figure 6. 37).Un filtrage de l’ordre 0 par absorption dans une cellule de césium a montré ses qualités (voirFigure 6. 38), mais nécessite que l’ordre 0 soit à résonance, les deux faisceaux RAMAN (ordre±1) se retrouvent alors désaccordés de 4,6 GHz.

Cette technique de modulation de diode ne permettant pas d’obtenir simplement, et defaçon satisfaisante les deux faisceaux nécessaires à la transition RAMAN, nous avonsfinalement choisi d’utiliser une autre méthode, déjà bien connue au laboratoire, le verrouillagede phase grâce à un asservissement électronique.

fréquence

Intensité transmise à travers un FABRY-PEROT

9,2 GHz

ordre 0

ordre +1ordre -1

Partie 6.4 : La zone d’interaction RAMAN 194

Figure 6. 37 : spectre de la diode esclave injectéesur l’ordre -1. De la puissance s’injecte également àla fréquence des ordre 0 et +1.

Figure 6. 38 : spectre de la diode modulée. Le piccentral (ordre 0) a été filtré par le passage dans unecellule de césium.

6.4.1.2 Le verrouillage de phase

Cette technique consiste à utiliser deux diodes laser différentes pour générer les deuxfaisceaux RAMAN. La cohérence en phase entre ces deux faisceaux est alors assurée par unasservissement électronique de grande bande passante, qui vient réagir sur la fréquence d’unedes deux diodes (la diode esclave) pour reproduire les variations de l’autre diode (la diodemaître). Le signal d’erreur est obtenu en réalisant le battement optique des deux faisceaux surune photodiode rapide, et en ne conservant que la composante du battement à 9,2 GHz (voirFigure 6 .39).

photodiode rapidebattement à 9,2 GHz

Faisceau Raman 2

Faisceau Raman 1Diode laserRaman maître

Diode laserRamanesclave

asservissement

Figure 6. 39 : schéma du montage des deux diodes laser RAMAN asservies en phase.La photodiode rapide recueille le battement à 9,2 GHz, puis un asservissementélectronique reproduit les variation de la diode maître sur la fréquence de la diodeesclave.

Spectre de la diode esclave

ordre -1

ordre 0 ordre +1

ordre -1 ordre +1

Spectre de la diode modulée

ordre 0 filtré


La courbe de battement visualisée à l’analyseur de spectre est représentée Figure 6. 40.

Figure 6. 40 : courbe de battement visualisée à l’anlyseur de spectre.

Dans notre montage, la diode maître est le laser proche de la transition F = 3 → F’ =4, et la diode esclave est le laser proche de la transition F = 4 → F’ = 4. On ajuste ensuite ledésaccord f1∆ (voir Figure 4. 7) entre la diode maître et la transition F = 3 → F’ = 4 enréalisant un battement entre cette diode et le laser repompeur. Ce battement est recueilli surune deuxième photodiode rapide, puis grâce à un asservissement de fréquence, permet decontrôler le désaccord f1∆ entre 0 et 2 GHz. On a dit précédemment que ce désaccord devaitêtre de l’ordre du GHz afin de minimiser les phénomènes d’émission spontanée au moment dela transition RAMAN.

6.4.1.3 Puissance optique nécessaire aux faisceaux RAMAN

Pour réaliser une impulsion π (resp. π/2), l’aire de l’impulsion RAMAN doit vérifier larelation πτ =Ωeff (resp. 2/πτ =Ωeff ), où effΩ est la pulsation de RABI équivalente à latransition RAMAN et τ est la durée de l’impulsion. Or d’après la relation (Eq. 4. 62) la largeurde la distribution en vitesse transverse transverseV∆ des atomes adressés par la transition RAMAN

est inversement proportionnelle à τ . Pour avoir le plus grand nombre d’atomes participant ausignal, on a donc intérêt à faire des impulsions les plus courtes possibles. Pour que la relation

πτ =Ωeff reste vérifiée, il faut donc que effΩ , et par conséquent la puissance optique, soitplus grand.

Nous utilisons donc des puissances optiques relativement importantes pour lesfaisceaux Raman. Les diodes maître et esclave de faible puissance asservies en phase viennentalors injecter des composants de forte puissance. Il s’agit dans notre montage d’une diodeSDL 5432-H1 de 200 mW pour la diode maître (transition F = 3 → F’ = 4), et d’un MOPA(Master Oscillator Power Amplifier) SDL pouvant émettre jusqu’à 450mW pour la diodeesclave (transition F = 4 → F’ = 4). Le déséquilibre entre ces deux puissances est dicté par larelation (Eq. 4. 57) traduisant la compensation des déplacements lumineux.

BIBLIOGRAPHIE 196

6.4.2 Le reste du montage des faisceaux RAMAN

Les deux faisceaux issus de la diode 200mW et du MOPA sont alors recombinésensemble en polarisation croisée puis passent dans un modulateur acousto-optique servant àpréparer et à contrôler les impulsions, puis sont amenés jusqu’à la zone d’interaction RAMAN

dans l’enceinte à vide grâce à des fibres optiques. Le reste de ce montage, en particulier lecontrôle des phases des faisceaux RAMAN, jusqu’à la zone d’interaction et le contrôle desdurées d’impulsions, sera détaillé dans la thèse de J. FILS [FILS 02]. Nous pouvons tout demême préciser que la configuration retenue pour la zone d’interaction est de réaliser les troisimpulsions Raman de façon symétrique par rapport au sommet de la trajectoire atomique. Ladurée totale d’interaction est alors de 1002 =T ms et la longueur de cette zone est de

302 =L mm (voir Figure 6. 41). La petite taille de cette zone d’interaction nous permet alorsd’utiliser un gros couple de faisceaux Raman pour réaliser les trois impulsions, comme décritau paragraphe 5.4.6.

30 mm

9,89 mm

faisceau :∅ 42 mm(à 1/e2)

π/2 π π/2

100 ms

Figure 6. 41 : schéma de la zone d’interaction RAMAN. La zone fait 30 mm de longet a une durée total de 100 ms. LA séquence d’impulsions est répartie de façonsymétrique par rapport au sommet de la trajectoire.


6.5 LA DETECTION

La technique de détection avec renormalisation a été détaillée paragraphe 5.5.3. Elleest très similaire à celle utilisée dans le prototype d’horloge spatiale PHARAO [LEMONDE

97].

6.5.1 Les faisceaux de détection

Elle se compose de trois faisceaux de polarisation circulaire, deux sont accordés sur latransition cyclante F = 4 → F’ = 5, ils seront appelés faisceaux sondes dans la suite, et unaccordé sur la transition pompante F = 3 → F’ = 4, appelé faisceau de pompage. Ces deuxfréquences sont disponibles sur le banc de refroidissement, et sont amenées jusqu’à la zone dedétection grâce aux coupleurs à fibres optiques. Les deux faisceaux sondes sont issus de lamême fibre et séparés en deux au dernier moment, afin de s’affranchir de la partie bassefréquence du bruit d’amplitude du laser [SIMON 97]. Les trois faisceaux sont diaphragméspour donner des tranches lumineuses horizontales de 10 mm de long et de 2 mm de haut pourle faisceau de pompage, et de 5 mm pour les faisceaux sondes.

• Les faisceaux sondes :La polarisation circulaire des faisceaux sondes provoque le pompage des atomes dans

le sous niveau ZEEMAN F = 4, mF = 4 où ils vont effectuer un grand nombre de cyclesabsorption-émission, avec une très faible probabilité de retomber vers le niveau F = 3. Lapuissance de chacun de ces deux faisceaux est de 100µW, ce qui correspond à une intensitélumineuse de 200 µW.cm-2. Compte tenu du temps que les atomes passent dans chacun desfaisceaux sondes (environ 5 ms), le nombre de photons de fluorescence par atome vautenviron 2 104.

• Le faisceau de pompage :Un atome initialement dans l’état F = 3 a 60 % de chance de passer dans l’état F = 4

après un cycle absorption-émission. Au bout de huit cycles il ne reste donc plus que 1/1000ème

des atomes dans le niveau F = 3. Le faisceau de pompage a une puissance de 3 µW, ce quidonne une intensité moyenne de 10µW/cm-2. Compte tenu du temps d’interaction de 2 ms lenombre de cycles effectués vaut plusieurs milliers, le pompage vers le niveau F = 4 est donctotal.

BIBLIOGRAPHIE 198

cube pour ajuster lapuissance

cube 50 / 50

lame λ /2polarcor

faisceau sonde

faisceau de pompage

lame λ /4 miroir derétro-réflexion

cacheboule d’atomes

x

z

Figure 6. 39 : schéma de la détection. Les ondes stationnaires sont réalisées parrétro-réflexion sur un miroir. Un petit cache sur le miroir permet d’obtenir une ondeprogressive pour le faisceau pousseur.

6.5.2 Le système de détection

La fluorescence produite lors du passage des atomes dans les deux faisceaux sondesest recueillie par deux photodiodes faible bruit (Hamamatsu 1327BQ de sensibilité 0,55 A/W)par l’intermédiaire de deux condenseurs, fixant l’angle solide de collection des photons à 0,6stéradians. Les photodiodes sont reliées à des circuits trans-impédances de gain G = 106 V/A,

Les mêmes faisceaux de détection servent pour les deux sources atomiques, par contreil y a un système de deux photodiodes par boule d’atomes.


détection hauteboule 2

détection hauteboule 1

détection basseboule 1détection basse

boule 2

faisceauxsondes

x

y

Figure 6. 40 : schéma des quatre détections Les détections hautes sont situées dansun plan z = 222,6 mm, et les détections basses sont dans le plan z = 234 mm.

6.6 CONCLUSION

Nous avons décrit ici les éléments du dispositif expérimental déjà existant. Bien que lemontage ne soit pas encore terminé, ces éléments vont nous permettre d’évaluer la forme dusignal de sortie attendue, et de caractériser un certain nombre d’effets parasites. C’est ce quenous allons faire dans le chapitre suivant.

BIBLIOGRAPHIE 200

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Chapitre 7 : ÉLÉMENTS DE CARACTÉRISATION DU GYROMÈTRE À ATOMES FROIDS 205

Chapitre 7 : ÉLÉMENTS DE CARACTÉRISATION DUGYROMÈTRE À ATOMES FROIDS


7.1 NOTATION ........................................................................................................ 208

7.2 LE CAS IDEAL .................................................................................................. 209

7.2.1 Description du problème....................................................................................... 209

7.2.2 Sensibilité à zΩ .................................................................................................... 211

7.2.3 Sensibilité à ya .................................................................................................... 211

7.2.4 Réponse en fréquence du gyromètre / accéléromètre : ........................................ 212

7.2.5 Bande passante du gyromètre / accéléromètre :.................................................... 213

7.2.6 Vers une représentation plus réaliste..................................................................... 213

7.3 ORGANISATION DE L’ÉTUDE....................................................................... 214

7.3.1 Description de la procédure de calcul de la simulation......................................... 214

7.3.2 Forme générale du signal de sortie – Paramètres de sortie ................................... 215

7.3.3 Facteur d’échelle et biais ...................................................................................... 218

7.3.4 Quelques précisions sur ce que l’on veut faire ..................................................... 218

7.3.5 Le bruit blanc limite de l’appareil......................................................................... 219

7.4 IDENTIFICATIONS DES DIFFÉRENTES DÉPENDANCES ......................... 220

7.5 ATOME MOYEN PARFAIT + DISTRIBUTION DE VITESSE...................... 222

7.5.1 Influence de la température longitudinale xV∆ sur le contraste ϑ ..................... 222

7.5.2 Influence de température zV∆ sur le contraste ϑ ............................................... 224

7.5.3 Influence de température transverse yV∆ sur le facteur d’amplitude A ............. 225

7.5.3 Influence de l’accélération transverse ya sur le déphasage totalφ∆ .................... 225

7.5.4 Conclusion pour un atome parfait avec distribution de vitesse............................. 226

Table des matières 206

7.6 ATOME NON PARFAIT SANS DISTRIBUTION DE VITESSE.................... 226

7.6.1 Influence de la vitesse de lancement horizontale xV sur le déphasage totalφ∆ ... 226

7.6.2 Influence de la vitesse de lancement verticale zV sur le déphasage totalφ∆ ........ 227

7.6.4 Les défauts d’impulsions ...................................................................................... 2287.6.4.1 Description des faisceaux RAMAN ............................................................................... 2287.6.4.2 Calcul du défaut d’aire des impulsions ........................................................................ 2307.6.4.3 Influence des fluctuations d’intensité sur le facteur d’amplitude et le contraste ......... 2317.6.4.4 Influence de la vitesse de lancement sur le facteur d’amplitude et le contraste........... 233

7.6.4 Influence des déplacements lumineux .................................................................. 235

7.7 CONCLUSION ................................................................................................... 237

BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................... 238


Chapitre 7 :

ÉLÉMENTS DE CARACTÉRISATION DUGYROMÈTRE À ATOMES FROIDS

L’objectif de ce chapitre est de donner un certain nombre d’éléments qui vontpermettre d’interpréter les résultats expérimentaux donnés par l’appareil. Au Chapitre 2 on adéfini un modèle d’erreur permettant de relier, dans le cas général, le signal de sortie à lagrandeur d’entrée. Trois paramètres importants ont été identifiés : le facteur d’échelle, le biaiset le bruit limite de sortie. Les valeurs du biais et du facteur d’échelle peuvent dépendre d’uncertain nombre de paramètres intérieurs ou extérieurs à l’appareil. Les dépendances que l’onpeut modéliser (sous forme d’expressions mathématiques ou d’abaques) sont appeléesvariation du biais ou du facteur d’échelle. Les dépendances trop complexes pour êtremodélisées de façon déterministe sont appelées fluctuations du biais ou du facteur d’échelle.Ce sont elles qui entraînent les phénomènes de dérive qui viennent limiter le tempsd’intégration (et par conséquent la sensibilité ultime de l’appareil). Il est clair qu’un appareilsi bien caractérisé que toutes les dépendances ont pu être modélisées, ne présentera pas defluctuation, et donc pas de dérive. Avec un tel appareil on pourrait diminuer indéfinimentl’incertitude de mesure en allongeant le temps d’intégration. Cet appareil parfait n’existe pas,mais le but de la caractérisation métrologique est de s’en approcher le plus possible enexplicitant les dépendances du biais et du facteur d’échelle.

La première partie de ce chapitre va traiter le cas d’un appareil parfait placé dans unmonde parfait. Nous rappellerons alors le calcul permettant d’aboutir à la mesure de vitesse derotation ou d’accélération, et ceci nous permettra alors de décrire le cheminement calculatoireréalisé par la simulation que l’on utilisera dans toute la suite de ce chapitre.

La seconde partie sera l’occasion de dresser un tableau des différents effetsperturbateurs, ainsi que de décrire leurs influences qualitatives sur le signal de sortie. Nous

Partie 7.1 : Notation 208

étudierons alors précisément ces effets à l’aide de la simulation et de formules analytiques,puis nous déterminerons des courbes de dépendance qui nous permettrons de prévoirl’évolution du signal de sortie en fonction de ces différents paramètres.

7.1 NOTATION

Atome parfait → 0

Nous considérons ici un cas idéal dans lequel les trois interactions RAMAN sontconsidérées comme parfaites. C’est à dire que les trois impulsions sont exactement 2/π , π et

2/π , que le déphasage lié à ces interactions est nul, et que l’impulsion π à lieu juste aumoment où l’atome arrive au sommet de sa trajectoire. En pratique, cette condition ne peutêtre vérifiée que pour une seule classe de vitesse et de position atomique. Dans toute la suitede ce chapitre on appellera atome parfait, un atome vérifiant la condition précédente. Lesparamètres se rapportant à cet atome parfait (vitesse, position, intensité vue, …) seront repéréspar : 0.

Distribution de position et de vitesse initiales → g , f

En pratique les atomes sont répartis suivant des distributions de position et de vitesseinitiales à la sortie du piège, notées respectivement ( )zyx ,,g et ( )zyx VVVf ,,

Atome moyen → m

Pour chacune des deux distributions ( )zyx ,,g et ( )zyx VVVf ,, , on peut définir unevaleur moyenne ( )gE et ( )fE . L’atome dont la position et la vitesse sont données par ( )gEet ( )fE sera appelé atome moyen. Les paramètres se rapportant à cet atome moyen serontrepérés par : m.

n, i, j, r

n servira à indicer les atomes (n varie de 1 à 0N , le nombre total d’atomes) i sera utilisé pour représenter les trois impulsions RAMAN (i = 1, 2 ou 3)j représentera les trois directions de l’espace ( j = x, y ou z )r désignera chacun des deux faisceaux RAMAN (r = 1 ou 2)

Dans toute la suite de ce chapitre, l’origine des positions est prise au sommet de latrajectoire de l’atome parfait. L’axe (Oy) est un axe horizontal dans la direction des faisceauxRAMAN, l’axe (Ox) est horizontal et perpendiculaire à (Oy), l’axe (Oz) est un axe verticalascendant.


x

z

y

PMO

zone d’interaction

Raman

Figure 7. 1 : définition des axes par rapport au dispositif.

7.2 LE CAS IDEAL

7.2.1 Description du problème

On suppose pour le moment que tous les atomes sont des atomes parfaits. La bouleatomique a donc une dimension et une température nulle. On peut dans ce cas considérer unatome unique, et dire que le signal de sortie est égal à 0N fois le signal donné pour cet atome,où 0N est le nombre total d’atomes.

Le calcul du signal de sortie devient alors très simple. Ce calcul a été explicité dans lecadre du modèle perturbatif au paragraphe 4.5.1, on en rappelle ici les grandes lignes :

• Le signal de sortie a exactement la même forme que pour un interféromètre deMACH-ZENDER optique, on remplace juste l’intensité lumineuse par le nombre d’atomes :

( )

+

=2

cos10

φNN (Eq. 7. 1)

Le fait que les impulsions soient parfaites (π/2, π et π/2) nous garantit que les deuxondes atomiques qui interfèrent ont même amplitude, le contraste des franges d’interférencesest donc maximal et égal à 1.

• Le déphasage φ est obtenu en sommant trois termes :le déphasage dû à la propagation de l’onde atomique

Partie 7.2 : Cas idéal 210

le déphasage dû aux interactions avec les lasersle déphasage dû aux perturbations (rotation ou accélération)

L’expression de ces différents déphasages donne finalement (voir Eq. 4. 89, Eq. 4.92, Eq. 4.101, Eq. 4.105 et Figure 4. 11) :

0=∆ npropagatioφ (Eq. 7. 2)RamanRamanRamanRaman321 2 φφφφ +−=∆ (Eq. 7. 3)

onaccélératirotationonperturbati φφφ ∆+∆=∆ (Eq. 7. 4)

Dans le cas idéal considéré pour l’instant, l’aire de l’interféromètre est plane ethorizontale (impulsion π au sommet de la trajectoire et impulsions π/2 répartiessymétriquement par rapport à l’impulsion π). Le terme rotationφ∆ ne dépend donc que de lacomposante zΩ . De même, les faisceaux RAMAN étant suivant l’axe y, le terme onaccélératiφ∆ne dépend que de ya . Et enfin Ramanφ∆ = 0 car les fronts d’ondes sont plans et on néglige lesfluctuations de phase entre les trois impulsions.

On peut alors tracer l’évolution du nombre d’atomes détectés dans l’état F = 4, enfonction de zΩ d’une part, et en fonction de ya d’autre part. Ces deux courbes sont tracéespour les valeurs utilisées dans notre expérience :

33,0=xatomeV m.s-1, T = 45 ms et =effk 2 laserk = 14,7. 106 m-1.

Dépendance à la rotation d’axe (Oz) Dépendance à l’accélération

-40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

nom

bre

d'at

omes

dan

s F=

4 (e

n fra

ctio

n de

N0)

Figure (Oz). Udéphasavaut 5,4

Dépendance à l’accélération suivant (Oy)

0,6

0,8

1,0

(en

fract

ion

de N

0)

3,17 10-4 rad.s-12. 10-4 m.s-2

rotation terrestre :5,4 10-5 rad.s-1

x10-4 -2x10-4 0 2x10-4 4x10-4

7. 2 : courbe de sensibilité aux rotations d’axene rotation de 3,17 10-4 rad.s-1 provoque unge de 2π. La rotation de la Terre suivant cet axe 10-5 rad.s-1, soit 1/6ème de frange.

-6x10-4 -4x10-4 -2x10-4 0 2x10-4 4x10-4 6x10-40,0

0,2

0,4

nom

bre

d'at

ome

dans

F =

4

Figure 7. 3 : courbe de sensibilité aux accélérations dedirection (Oy). Une accélération de 2 10-4 m.s-2 provoque undéphasage de 2π.

Vitesse de rotation (en rad.s-1)

Accélération suivant (Oy) (en m.s-2)


7.2.2 Sensibilité à zΩ

Sur la Figure 7. 2, on constate qu’une frange correspond à une vitesse de rotation deπ2Ω = 3,17 10-4 rad.s-1. Pour comparaison, la composante verticale de la vitesse de rotation

terrestre vaut ( ) ( )ϕϕ sin10.27,7 5 ×=Ω −Terrez rad.s-1, où ϕ est la latitudes. Soit pour Paris

°= 48Parisϕ donne ( ) 510.46,5 −=Ω ParisTerrez ϕ rad.s-1, ce qui correspond à environ 1/6ième de

frange de notre gyromètre.

La formule (Eq. 3. 34) donne alors la plus petite vitesse de rotation mesurable en uneseconde :

( ) mesnBS ××Ω

=Ω∆ /22~

πσ π

(Eq. 7. 5)

où (S/B) est le rapport signal à bruit et nmes est le nombre de mesures réalisables par seconde.Avec notre appareil : (S/B) = 1000, et mesn = 2, on obtient : Ω∆~σ = 35,4 .10-9 rad.s-1. Cettevaleur est à comparer avec celle obtenue dans l’expérience de M. KASEVICH de 6 .10-10 rad.s-1

[GUSTAVSON 00-2]. Le rapport 60 entre les deux valeurs s’explique d’une part par ladifférence d’aires des deux interféromètres, et d’autre part par la différence des fluxatomiques qui entraîne des valeurs de (S/B) très différentes. On compare ces différences dansle tableau ci-dessous :

Notre gyromètre Gyromètre de M. KASEVICH

aire atomique 4,8 mm2 26 mm2

Flux atomique N0 106 atomes par coups 1010 atomes par seconde(S/B) ≤ √N0 1000 33000

7.2.3 Sensibilité à ya

De même la Figure 7. 3 présente la courbe de dépendance avec l’accélération suivantl’axe (Oy). Une frange correspond à une accélération de : =π2a 2. 10-4 m.s-2. De la mêmefaçon que précédemment on peut déterminer la plus petite accélération mesurable en 1seconde, et on obtient alors : a~∆σ =22 .10-9 m.s-2. Cette valeur nous indique que notre appareilest également très sensible à l’accélération. Compte tenu du niveau d’accélération résiduellequi règne sur Terre (vibrations du sol, déformations des bâtiments, tectonique des plaques,…), cette forte sensibilité à l’accélération va produire un effet parasite très important lorsquel’appareil fonctionne en gyromètre. Afin de s’affranchir de cette dépendanceaccélérométrique, plusieurs solutions peuvent être mises en œuvre, utilisant des dispositifsd’amortissement des accélérations [PETERS 98], un accéléromètre de très grande sensibilité,ou encore le double jet atomique décrit au paragraphe 5.3.5.


7.2.4 Réponse en fréquence du gyromètre / accéléromètre :

Comme mentionné au chapitre 4, le principe de la mesure de vitesse de rotation avecun interféromètre de MACH-ZEHNDER consiste à échantilloner la position, dans la direction(Oy), d’une particule test à trois instants différents t1, t2 et t3 espacés chacun d’une durée T.On en déduit alors la vitesse moyenne aux deux instants (t1+ t2)/2 et (t2+ t3)/2, d’où l’on tirealors l’accélération moyenne à l’instant t2 dans la direction (Oy) pendant la durée 2T. Cetteaccélération peut être une accélération de CORIOLIS due à la rotation de l’appareil suivantl’axe (Oz), ou bien une accélération d’entraînement dans la direction (Oy).

L’accélération à laquelle est soumis l’appareil peut être décomposée partransformation de FOURIER en ses différentes composantes spectrales. Considérons une de cescomposantes à la pulsation ω , et déterminons la réponse de l’appareil.

Nous allons faire le calcul en utilisant les trajectoires perturbées, pour une accélérationd’entraînement. On retrouve le résultat pour une rotation en utilisant la relation

atomec Va ×= Ω2 . La composante spectrale de l’accélération à la pulsation ω s’écrit :( ) ( )ϕωωω += tata cos (Eq. 7. 6)

Le déphasage à la sortie du gyromètre est donné en fonction des phases des faisceauxRAMAN vues aux instants t1, t2 et t3 par (Eq. 4. 117), avec :

ieffieffRamani yk . −=−= rkφ (Eq. 7. 7)

On en déduit alors l’expression du déphasage :( )321 2 yyykeff

Ramantotal +−−=∆=∆ φφ (Eq. 7. 8)

On pose 01 =y et on calcule 2y et 3y par double intégration de (Eq. 7. 6). On obtient alors :

( ) ( )[ ]TTakefftotal cos1 cos 22 ωϕω

ωφ ω −+−=∆ (Eq. 7. 9)

On trouve ainsi que pour T/2πω = , le déphasage est nul, quelle que soit la valeur de ωa . Laréponse spectrale de l’appareil a donc la forme présentée sur la Figure 7. 4 (tracée pour 0=ϕ ).Les deux asymptotes tracées sur la courbe correspondent à :

2 . 10-4 m.s-2 dans la bande 0 – 10 Hz2. 10 –6 2f× m.s-2 au dessus de 10 Hzsensibilité nulle pour toutes les fréquences f telles que Tnf /= .

On retrouve évidemment le même type de courbe pour la réponse spectrale en vitessede rotation, en remplaçant l’accélération a par l’accélération de CORIOLIS atomec Va ×= Ω2 .


1

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

10

accé

léra

tion

prod

uisa

ntun

dép

hasa

ge d

e 2π

(en

m.s

-2)

Figure 7. 4 : réponse spectrale de notre apla valeur de l’accélération produisant ufréquence.

7.2.5 Bande passante du gyromètre / accélér

Notre appareil donne une valeur moyenndéterminée sur une durée égale à 2T = 90 ms. déterminée sur la Figure 7. 4 et est voisine de 10

7.2.6 Vers une représentation plus réaliste

Par rapport au cas idéal que l’on vientmodifications importantes sont à apporter pour d

1) Tous les atomes ne sont pas équivalents, vitesse et de position initiales f et g.

2) L’atome moyen n’est pas forcément un atomdistributions de vitesse et de position peut ctransition n’est pas forcément donnée par la

3) L’appareil n’est pas parfait ; l’intensité lumRAMAN peuvent varier ; l’alignement de l’ap

Afin d’étudier l’influence de ces trois mréalisé une étude s’appuyant à la fois sur une simtransition par la méthode perturbative décrite

2

2 .10 m

100 1000

z

)
10
fréquence (Hz)fréquence (Hz

pn

eLH

d

or

ip

o

a

-4 .s-2

areil en mode déphasage d

omètre :

de l’accéléa bande paz.

’étudier daécrire correc

ils sont rép

e parfait, ainnduire à un

elation (Eq.

neuse, la phareil avec l

difications ulation numu paragrap

Pente en f

environ 10 H

accéléromètre. On a tracée 2π, en fonction de la

ration (entraînement et CORIOLIS)ssante, définie à –3 dB, peut être

ns le paragraphe précédent, troistement le signal de sortie :

artis suivant les distributions de

si même si le moyennage sur les déphasage nul, la probabilité de

7. 1)

ase et la direction des faisceauxa verticale peut changer, …

sur le signal d’erreur, nous avonsérique calculant la probabilité de

he 4.5.1, et sur un ensemble de


modèles analytiques permettant de valider la simulation et d’obtenir des formules analytiquesplutôt que des abaques pour décrire les différentes dépendances. Nous présentons brièvementla procédure de calcul de la simulation, puis nous développerons l’organisation de cette étude.

7.3 ORGANISATION DE L’ÉTUDE

7.3.1 Description de la procédure de calcul de la simulation

Chaque atome a une probabilité de sortir dans l’état F = 4 qui dépend de la phase et del’intensité des faisceaux RAMAN vues au moment de chacune des trois impulsions. Cettephase et cette intensité dépendent entre autre de la trajectoire de l’atome, et donc de saposition et de sa vitesse initiales.

Le signal de sortie de l’interféromètre, correspond à la probabilité de transitionmoyenne des atomes, et s’exprime donc comme la somme des probabilités de tous les atomes,divisée par le nombre total d’atomes participant au signal 0N .

∑=

=∝0

10

1 N

nnmoy P

NPS (Eq. 7. 13)

que l’on peut réécrire en introduisant les distributions de vitesse ( )zyx VVVf ,, et de position( )zyx ,,g des atomes à la sortie du piège :

( ) ( ) ( ) zyxzyxnzyx dVdVdVdzdydxVVVzyxPzyxVVVfNS ,,,,, ,,g ,,0 ∫=

(Eq. 7. 14)

Ces deux distributions sont supposées gaussiennes, caractérisées par leur demi-largeurà e/1 dans chaque direction jV∆ et j∆ , où j vaut x, y ou z. La simulation détermine donc laprobabilité ( )zyxn VVVzyxP ,,,,, puis intègre numériquement sur les deux distributions.

Le calcul de iP se fait sur les trajectoires non perturbées, de la même façon qu’auparagraphe 4.5.1.

1) L’atome est affecté d’une position et d’une vitesse initiales, ainsi que d’une fonctiond’onde :

=

0

0

0

0

zyx

r

=

0

0

0

0

z

y

x

VVV

V

=

f

e

aa

0ψ (Eq. 7. 15)

2) Les trois positions 1r , 2r et 3r où l’atome subit les impulsions RAMAN sont déterminéesde façon classique :


−+++

=2

00

00

00

2/1 iiz

iy

ix

i

gttVztVytVx

r i = 1, 2 ou 3 (Eq. 7. 16)

3) On en déduit l’intensité et la phase RAMAN vues par l’atome au moment des troisimpulsions :

1I , 2I , 3I et Raman1 φ , Raman

2 φ , Raman3 φ

Le produit des trois matrices S correspondantes (données par Eq. 4 . 82) nous permet alors dedéterminer la fonction d’onde à la sortie B de l’interféromètre.

= B

f

Be

B aaψ (Eq. 7. 17)

4) On rajoute « à la main » les déphasages liés à la rotation et à l’accélération donnés par(Eq. 4. 101 et Eq. 4. 105).

5) La probabilité de transition vers l’état F= 4 ( e ) s’exprime alors par :2B

en aP = (Eq. 7. 18)

Voici donc la simulation que nous allons utiliser pour étudier les différentesdépendances du signal de sortie avec les paramètres de l’expérience.

7.3.2 Forme générale du signal de sortie – Paramètres de sortie

La simulation nous donne des courbes brutes en fonction des valeurs des différentsparamètres expérimentaux. Afin de pouvoir interpréter et comparer ces courbes, il estimportant de définir un ensemble de paramètres de sortie qui caractérisent le signal. Lacaractérisation de l’appareil consiste alors à expliciter les dépendances de ces paramètres desortie, en fonction des paramètres expérimentaux.

Au chapitre 2 nous avons décrit de manière générale les capteurs inertiels par unmodèle d’erreur qui nous a permis de définir différentes grandeurs telle que le facteurd’échelle ou le biais. De la même façon nous allons ici développer un modèle permettant deprévoir la forme générale du signal de sortie, ceci afin de dégager les paramètres de sortie.

Comme mentionné au paragraphe précédent, à chaque atome n correspond uninterféromètre de MACH-ZEHNDER fournissant un signal nP en sortie. Le signal total est doncla somme, sur tous les atomes, des signaux de tous ces interféromètres.

Dans un modèle en ondes planes, l’état d’interférence en sortie d’un interféromètre deMACH-ZEHNDER réalisé avec trois lames séparatrices de coefficients de réflexion /

Partie 7.3 : Organisation de l’étude 216

transmission ( )ii tr / et de déphasages iφ est donné par une expression relativementcompliquée, car résultant des interférences de quatre ondes distinctes (voir Figure 7. 5).

(a1)

(b1) (c1)

(d1)

φ 1Raman φ 2Raman φ 3Raman

R1 / T1

(a2)

(b2)

(c2)

(d2) R2 / T2 R3 / T3

Figure 7. 5 : si les impulsions π/2 et π ne sont pas parfaites, il apparaît quatre ondesdistinctes qui, dans un modèle en ondes planes, interfèrent à la sortie de l’appareil.

En réalité, dans notre cas, les ondes (a1, a2, d1 et d2) doivent être négligées pourdéterminer l’expression du signal de sortie. En effet, les ondes (a1, a2, d1 et d2) transmises parla deuxième lame lumineuse sont séparées transversalement des autres ondes d’une distancede 300 µm dans notre cas. Si l’on prend en compte l’extension finie du paquet d’ondesatomiques, cette distance est bien supérieure à la longueur de cohérence de l’onde atomique,les quatre ondes en pointillé ne participent donc pas aux interférences. Dans un calcul enondes planes, ces termes se moyennent sur la distribution de vitesse transverse, leurcontribution est donc nulle.

D’autre part on montrera au paragraphe 7.7.4.2 que l’aire de l’impulsion π ne variequ’au deuxième ordre avec la vitesse atomique et les fluctuations d’intensité, le coefficient detransmission T2 de la deuxième séparatrice est donc toujours très faible.

Le signal de sortie correspond alors à l’interférence de deux ondes d’amplitude et dephase différentes, il est donné par (voir par exemple [PEREZ 84]) :

( ) ( )

∆

+

++= totaln TRRT

rtrtTRRRRTP φcos21 3131

3311321321 (Eq. 7. 19)


Cette expression peut se mettre sous la forme générale :

( )[ ]totaln

AP φϑ ∆+= cos1 2

(Eq. 7. 20)

où A est le facteur d’amplitude du signal, ϑ est le facteur de visibilité (ou le contraste) ettotalφ∆ est le déphasage total. Les trois paramètres A, ϑ et totalφ∆ seront nos paramètres de

sortie. Chaque courbe donnée par la simulation sera comparée à cette expression pour tenterd’en déduire les valeurs des paramètres de sortie.

Le déphasage totalφ∆ peut être exprimé en fonction des différentes contributions audéphasage :

0φφφφφ ∆+∆+∆+∆=∆ parasiteRamaninertieltotal (Eq. 7. 21)

• inertielφ∆ est le déphasage lié aux rotations et aux accélérations de l’appareil. En considérantque les faisceaux RAMAN sont orientés dans la direction (Oy), on peut donner l’expression de

inertielφ∆ :( )zxxzyeff

inertiel VVaTk Ω−Ω+−=∆ 222φ (Eq. 7. 22)

où xV et zV sont les composantes de la vitesse de l’atome au moment de l’impulsion π .

• Ramanφ∆ est le déphasage lié aux passages dans les lames lumineuses. Ce déphasage estessentiellement lié aux aberrations géométriques des faisceaux RAMAN. On suppose que cedéphasage a été mesuré au cours d’une phase d’étalonnage de l’appareil. Si l’on reste dans lesconditions d’étalonnage, ce déphasage est donc constant et connu. Son expression est donnéepar (Eq. 4. 92), que l’on rappelle ici :

RamanRamanRamanRaman3 2 1 2 φφφφ +−=∆ (Eq. 7. 23)

• parasiteφ∆ est un déphasage parasite, non prévu qui peut être dû aux fluctuations de Ramanφ∆lorsque l’on s’éloigne des conditions d’étalonnage. Son origine peut également être liée auxdéplacements lumineux dans les lames séparatrices. Il correspond à toutes les contributions audéphasage totalφ∆ , qui ne pourront pas être modélisées. De la même façon qu’au chapitre 2, ceterme pourra être décrit par une fonction aléatoire dont la densité de probabilité sera àdéterminer.

• 0φ∆ est un déphasage contrôlable que l’on s’autorise à ajouter expérimentalement, afind’asservir le signal à flanc de frange par exemple. Il peut également servir à moduler ledéphasage de part et d’autre du sommet de la frange afin de déterminer précisément lesommet.


7.3.3 Facteur d’échelle et biais

Dans tout le reste de ce chapitre nous considérerons que l’appareil est un gyromètredont l’axe d’entrée est orienté suivant la direction (Oz). Notre grandeur d’entrée est donc zΩ .C’est par rapport à la mesure de cette grandeur que l’on va étudier les dépendances desdifférents paramètres expérimentaux. Une étude en fonction de ya ou de xΩ pourra êtremenée de la même manière.

Par rapport à l’expression du déphasage totalφ∆ donnée en (Eq. 7. 21), on peutregrouper les termes afin de faire apparaître explicitement le facteur d’échelle et le biais, dansle terme de déphasage :

φφφ BK ztotal +Ω=∆ (Eq. 7. 24)

avec :xeff VTkK 22=φ (Eq. 7. 25)

( )[ ]02 2 φφφφ ∆+∆+∆+Ω+= parasiteRaman

xzyeff VaTkB (Eq. 7. 26)

On peut choisir 0φ∆ de telle façon que ( ) 2/0 πφφ =∆+∆ Raman , on peut ainsi linéariserle signal de sortie Pn en fonction de zΩ en effectuant un développement limité à l’ordre 1 en( )parasiteinertiel φφ ∆+∆ de (Eq. 7. 20) :

( )

2 1

2 φφ ϑϑ BAKA

P zn+

+Ω= (Eq. 7. 27)

On pose :

2 φϑ KA

K p = et( )

2 1 φϑ BA

Bp+

= (Eq. 7. 28)

pK et pB sont respectivement le facteur d’échelle et le biais du signal de sortie, autour dupoint ( ) 2/0 πφφ =∆+∆ Raman . Dans le cas où l’on asservit le signal de sortie autour de cepoint, les paramètres pK et pB pourront être utilisés comme paramètres de sortie à la placede A, ϑ et totalφ∆ .

7.3.4 Quelques précisions sur ce que l’on veut faire

Dans notre étude, les paramètres de sortie sont l’amplitude A, le contraste ϑ et ledéphasage totalφ∆ . Ces paramètres subissent des variations liées à l’environnement extérieuret au fonctionnement de l’appareil. Les variations des paramètres de sortie en fonction decertains paramètres expérimentaux peuvent être modélisées, dans ce cas le paramètre de sortie


devient une fonction de ce paramètre expérimental. Typiquement si le contraste ϑ dépend dela température atomique dans la direction x par exemple, on remplace ϑ par ( )xV∆ϑ dans(Eq. 7. 20) et on sait qu’en mesurant cette température on a accès à ( )xV∆ϑ .

L’objectif de cette étude est donc de déterminer dans quelles situations le signal desortie de l’appareil pourra être représenté par un expression de la forme (Eq. 7. 1) :

( )

∆+=

2cos1 total

nP φ (Eq. 7. 29)

et dans quelles situations ce signal de sortie sera mieux représenté par une expression de laforme (Eq. 7. 20) :

( )[ ]totaln

AP φϑ ∆+= cos1 2

(Eq. 7. 30)

Dans ce deuxième cas quelles sont les dépendances de A , ϑ et totalφ∆ en fonction desdifférents paramètres perturbateurs seront mises en évidence

Afin de faire une étude quantitative de l’influence de ces paramètres, il est importantde savoir à partir de quelles valeurs les variations des paramètres de sortie ne peuvent plusêtre négligées. On est alors amené à distinguer deux cas :

• Les fluctuations rapides qui modifient le signal d’une mesure à l’autre. Lorsque l’onmoyenne sur un grand nombre de mesures, ces fluctuations s’annulent, mais sur une mesureles variations doivent être inférieures au bruit quantique de l’appareil sur un coup, donné parle niveau de bruit blanc. Ce niveau va être calculé dans le prochain paragraphe.

• Les dérives lentes du signal de sortie. Ces dérives ne perturbent pas la mesure sur uncoup, mais limitent la durée d’intégration maximale accessible par l’appareil. Le niveau deces dérives doit être inférieur à la sensibilité ultime de l’appareil. Seule la déterminationexpérimentale de la stabilité du dispositif nous permettra de savoir à quel niveau se trouvecette sensibilité ultime.

7.3.5 Le bruit blanc limite de l’appareil

A partir de (Eq. 7.27), on peut réécrire un modèle d’erreur analogue à celui décrit auchapitre 2. La grandeur de sortie nP est alors reliée à la grandeur d’entrée zΩ par la relation :

( )[ ] ( ) ~cos1 2

tAP totaln εφϑ +∆+= (Eq. 7. 31)

où ( )tε~ est le bruit limite en sortie de l’appareil, correspondant au bruit blanc lié au nombred’atomes détectés. L’écart-type de ce bruit est relié au rapport signal à bruit (S/B) sur un couppar la relation :


( ) mesnBS /1

~ =εσ (Eq. 7. 32)

où mesn est le nombre de mesures par seconde. La grandeur ( ) mesnBS / correspond donc aurapport signal à bruit sur une seconde.

Pour notre appareil ( ) mesnBS / vaut environ 1400, on trouve donc =εσ ~ 7 10-4, quel’on arrondira par la suite à 10-3, ceci afin de nous laisser un peu de marge. Ce bruitcorrespond donc au bruit quantique de l’appareil sur une seconde. Afin d’exploiter pleinementles performances de l’appareil, toutes les autres sources de fluctuations non contrôlablesdoivent donc avoir un niveau inférieur à 10-3.

L’objectif de la caractérisation est donc de connaître les variations du facteurd’amplitude A à mieux que 2.10-3, et celles du contraste ϑ et du déphasage totalφ∆ à mieuxque 10-3.

7.4 IDENTIFICATIONS DES DIFFÉRENTES DÉPENDANCES

Le nombre de paramètres expérimentaux dont dépend le signal de sortie estrelativement important, et un même paramètre peut influer sur plusieurs paramètres de sortie,comme le montre la Figure 7. 6. Le but de ce paragraphe est d’élaborer une stratégie d’étude deces différentes dépendances.

L’étude que nous allons mener maintenant s’organise en deux étapes :

Dans un premier temps nous allons supposer que l’atome moyen est un atome parfait,et nous regarderons alors les modifications qu’apporte le moyennage sur la distribution devitesse. La taille de la boule d’atomes étant relativement petite (environ 2 mm de diamètre), ladistribution de position est très étroite. Une étude à l’aide de la simulation numérique amontré que son influence était négligeable devant celle liée à la distribution de vitesse.

Dans un second temps, nous regarderons comment évolue le signal de sortie pour unatome qui n’est pas parfait. Cette étude nous permettra également d’exprimer les dépendancesdu signal de sortie par rapport aux différents paramètres expérimentaux tels que l’intensité oula phase des faisceaux lasers, ou encore les défauts d’alignement par rapport à la verticale.


x, z Vx Vz g Vy

position dans lefaisceau Raman

I1, I2, I3 φ1, φ 2, φ 3

fluctuationsd’intensité

DésaccordDoppler

KΩx

KΩz brouillagedes franges

facteur devisibilité

facteur devisibilité

déphasageparasite

défauts defronts d’onde

nombred’atomes

Figure 7. 6 : diagramme des différents paramètres influant sur le facteurd’amplitude (nombre d’atomes), le facteur de visibilité et le déphasage.

Partie 7.5 : Atome moyen parfait + distribution de vitesse 222

7.5 ATOME MOYEN PARFAIT + DISTRIBUTION DE VITESSE

On a vu au paragraphe 7.1 que le signal de sortie pour un atome parfait est donné par :

( )

Ω+−+= zxeffy

effn VTka

TkP

2

cos121 2

2

(Eq. 7. 33)

On a pris ici Ramanφ∆ = 0 et parasiteφ∆ = 0. La dépendance en xΩ a disparu puisque, pour unatome parfait, l’aire dans le plan (Oyz) s’annule. On ne se préoccupe pas pour l’instant dufacteur de visibilité ϑ introduit par le fait que les impulsions ne sont pas forcément 2/π , πet 2/π . Cela revient à considérer que les faisceaux RAMAN ont des profils d’intensitérectangulaires.

On habille cet atome parfait de la distribution de vitesse. On suppose que les atomessont répartis dans une distribution gaussienne de vitesse dans les trois directions. Cettedistribution est donc caractérisée par les trois demi-largeurs à 1/√e jV∆ . La distribution devitesse s’écrit ainsi :

( )( )

∆−

−

∆−

−

∆−

−∆∆∆

=202020

3 21

21

21exp

2

1,,z

zz

y

yy

x

xx

zyx

zyx VVV

VVV

VVV

VVVVVVf

π(Eq. 7. 34)

A la sortie du piège magnéto-optique les jV∆ sont égaux et valent typiquement 7 mm.s-1.

7.5.1 Influence de la température longitudinale xV∆ sur le contraste sur ϑ

Le facteur d’échelle φK est directement proportionnel à xV d’après (Eq. 7. 25). Cettedépendance va conduire à un brouillage des franges d’interférences de la même façon quedans un interféromètre optique utilisant une source étendue spectralement. Le contraste vautalors 1 à la teinte plate ( 0=Ω z dans notre cas) et diminue lorsque zΩ augmente. Dans le casd’un profil de vitesse gaussien, le contraste est alors également gaussien (d’après le théorèmede VAN CITTER et ZERNIKE, c’est la transformée de FOURIER de la distribution de vitesse).Son expression est alors donnée par :

( )( ) 22 2

21

xzeff VTk

zx e∆Ω−

=Ωϑ (Eq. 7. 35)


On retrouve évidemment ce résultat en exprimant directement la somme sur ladistribution de vitesse des signaux de sortie des multiples interféromètres de MACH-ZEHNDER

correspondant à chaque atome.

( )( ) xVVV

zxeffx

dVeTVkV

P x

xx

2cos122

120

21

2∫∞

∞−

∆−

−

Ω+∆

=π

(Eq. 7. 36)

Cette intégrale se calcule et donne :

( ) ( )2

2cos21 20 2

21 22

zxeff

VTkTVke

Pzxeff

Ω+=

Ω∆−

(Eq. 7. 37)

On retrouve donc bien le résultat obtenu en (Eq. 7. 35).

En prenant les paramètres de notre expérience : xV∆ = 7 mm.s-1 et T = 45 ms, ontrouve ( )zx Ωϑ = 10 % pour zΩ =5.10-3 rad.s-1. En prenant la valeur de π2Ω =3,17.10-4 rad.s-1

on trouve donc 32 franges (voir Figure 7. 7).

-1x10-2 -5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

prob

abilit

é de

tran

sitio

n

Figure 7. 7 : chute du contrastcontraste baisse lentement, on osupposé le profil d’intensité des f

En faisant tourner la simulationun profil d’intensité rectangulaire, on la Figure 7. 7. Par contre l’expressicomplètement ce que donne la simulatique des atomes dont la vitesse xV n’esdes impulsions π/2, π et π/2, à cause du

environ 30 franges

x10-3 0 5x10-3 1x1

e lié à la distribution de vitesse lonbserve environ 30 franges d’interféaisceaux RAMAN rectangulaire).

avec les valeurs de xV∆ et de Tretrouve bien exactement la mêon (Eq. 7. 37) n’est pas sufon. En effet (Eq. 7. 37) ne pren

t pas celle de l’atome parfait, ne profil d’intensité gaussien des

10 %

0-2

vitesse de rotation Ωz (en rad.s-1)vitesse de rotation Ωz (en rad.s-1)

gitudinale. Lerences. (On a

données, et en prenantme courbe que celle defisante pour expliquerd pas en compte le fait voient pas exactement faisceaux RAMAN. Cet


effet sera détaillé au paragraphe 7.7.4. La Figure 7. 8 présente la différence entre le signal desortie obtenu avec (Eq. 7. 37) et celui obtenu avec la simulation. On constate que le fait deprendre en compte le profil gaussien introduit un biais, variant avec zΩ , dont la valeurmoyenne est de 5,5 %. On reconnaît dans cette fonction, une structure oscillante à laquelle sesuperpose une décroissance de type exponentielle.

-1x10-2 -5x10-3 0 5x10-3 1x10-2

-1x10-1

-1x10-1

-1x10-1

-8x10-2

-6x10-2

-4x10-2

-2x10-2

0

2x10-2di

ffére

nce

entre

les

deux

mod

èles

vitesse de rotation Ωz (en rad.s-1)

Figure 7. 8 : différence entre l’expression (Eq. 7. 37) et la simulation.un biais de 5,5 % et une structure oscillante dont l’enveloppe pdécroissance exponentielle.

7.5.2 Influence de température zV∆ sur le contraste ϑ

La distribution de vitesse dans la direction z n’influe pas dired’échelle φK . Par contre le moyennage sur la distribution zV modifie évisibilité :

( )( )( )[ ]( )

VtVV

zxxzeffz

etVVTkV

P z

zz

∫∞

∞−

∆−

−

Ω−Ω+∆

=2

0

21

22 2cos1

221

π

pour un atome parfait on a bien sûr ( ) 020 =tVz , puisqu’en 2tt = , il

trajectoire. Cette intégrale donne donc :

( ) ( )2

2cos21 22

21 22

xzeff

VTkVTke

Pzxeff

Ω+=

∆Ω−

Le moyennage sur la distribution de vitesse suivant la direction (pas par un déphasage mais par un facteur de visibilité indépendant dvisibilité vaut :

( )22221

zxeff VTk

z e∆Ω−

=ϑ

5,5 %

On observerésente une

ctement sur le facteurgalement le facteur de

zdV

2

(Eq. 7. 38)

est au sommet de la

(Eq. 7. 39)

Oz) ne se traduit donce zΩ . Ce facteur de

(Eq. 7. 40)


Avec nos paramètres zV∆ = 7 mm.s-1, T = 45 ms, et ( ) 510.79,4 −=Ω=Ω ParisTerrexx ϕ rad.s-1 on

trouve 9998,0=ϑ . Ce terme est bien inférieur à 2 10-3, les modifications du signal qu’il vaintroduire seront donc invisibles car masquées par le bruit blanc de l’appareil. On le négligeradonc dans la suite de ce chapitre.

Par contre si l’appareil est soumis à une rotation suivant l’axe (Ox) de vitesse derotation supérieure à 9 10-3 rad.s-1, la réduction du facteur de visibilité devient discernable.

7.5.3 Influence de la température transverse yV∆ sur le facteur d’amplitude A

La distribution de vitesse suivant l’axe (Oy) n’intervient pas dans l’expression de φK .Par contre ce paramètre va influer sur le nombre d’atomes détectés en sortie del’interféromètre. En effet, les transitions RAMAN sont sélectives en vitesse transverse. Lalargeur de cette transition est donnée par (Eq. 4. 62) dont on donne une expression approchéeici :

τeff

Ramany k

V 1≈∆ (Eq. 7. 41)

Il apparaît donc une diminution relative du nombre d’atomes donnée en premièreapproximation par :

yV

V

VV

y

y dVeV

ARamany

Ramany

y

y

∫∆

∆−

∆−

∆=

2

21

21

π(Eq. 7. 42)

Dans notre cas RamanyV∆ vaut environ 3,4 mm.s-1. La distribution de vitesse dans la direction

(Oy) ayant pour largeur yV∆ = 7 mm.s-1, on trouve une perte d’atomes de 32 %. Si l’on veutconnaître yA à mieux que 2 10-3, il faut connaître la valeur de yV∆ à 4.10-3 près en valeurrelative, ce qui est relativement compliqué. Néanmoins des méthodes particulières permettentde s’affranchir des variations du facteur d’amplitude. Ainsi dans les horloges atomiques, undéphasage est ajouté afin de se placer de part et d’autre du sommet de la frange à chaquecoup. Cette méthode permet de pointer le sommet en s’affranchissant des fluctuationsd’amplitude.

7.5.4 Influence de l’accélération transverse ya sur le déphasage totalφ∆

Comme on l’a déjà mentionné, les accélérations suivant l’axe des faisceaux RAMAN

provoquent directement un déphasage donné par (Eq. 4. 105). On a déjà donné au paragraphe7.2.3 la dépendance du déphasage totalφ∆ avec l’accélération transverse.

On s’affranchit de cette dépendance grâce à la méthode du double jet atomique. Laprécision avec laquelle les deux trajectoires atomiques doivent se superposer pour pouvoirnégliger l’influence des aberrations géométriques des faisceaux RAMAN sera étudiée en détailsdans la thèse J. FILS [FILS 02]. Dans la suite de notre étude nous supposerons donc que

0=∆ onaccélératiyφ .


7.5.5 Conclusion pour un atome parfait avec distribution de vitesse

L’étude que l’on vient de mener nous permet d’expliciter les coefficients A , ϑ et φ∆de (Eq. 7.20) ou (Eq. 7.27) dans le cas d’un interféromètre pour lequel l’atome moyen est unatome parfait, et en négligeant le profil gaussien des faisceaux RAMAN. On a alors trouvé :

yAA = donné par (Eq. 7.42)

( ) zzx ϑϑϑ ×Ω= avec ( )( ) 22 2

21

xzeff VTk

zx e∆Ω−

=Ωϑ et ( )222

21

zxeff VTk

z e∆Ω−

=ϑ0=∆φ

Le signal de sortie dans ce cas prend donc la forme générale suivante :

( ) ( )[ ]0cos 12

φφφφϑϑ ∆+∆+∆+∆Ω+= parasiteRamanrotationzzzx

yAP (Eq. 7. 43)

7.6 ATOME NON PARFAIT SANS DISTRIBUTION DE VITESSE

On considère maintenant le cas d’un atome unique dont les paramètres initiaux necorrespondent pas à ceux d’un atome parfait.

7.6.1 Influence de la vitesse de lancement horizontale xV sur le déphasage totalφ∆

Le facteur d’échelle φK dépend linéairement de xV . Si l’on veut connaître la valeur detotalφ∆ à 10-3, il faut contrôler la vitesse de lancement xV à mieux que 10-3 en valeur relative.

L’utilisation d’un décalage de fréquence pour définir la vitesse de lancement V nous permetde la contrôler très précisément. xV est alors donné par :

( )αcosV=xV (Eq. 7. 44)

Pour connaître la valeur de ( )xx VdV / à 10-3 près, il faut donc connaître αprécisément. Un développement limité en αd nous donne :

( ) αα dtgVdV

x

x −= (Eq. 7. 45)

Avec α =82° on obtient αd =140 µrad. La précision mécanique et le réglage des collimateursde refroidissement permettent d’atteindre cette valeur au moment de l’étalonnage del’appareil. Par contre si l’on veut éviter les dérives long terme du facteur d’échelle il fautcontrôler cet angle régulièrement.


7.6.2 Influence de la vitesse de lancement verticale zV sur le déphasage totalφ∆

Supposons que la vitesse initiale de l’atome suivant (Oz) diffère de celle de l’atomeparfait de 0

zdV . Cela signifie que l’impulsion π ne se produit plus au sommet de la trajectoireatomique, il apparaît alors une aire dans le plan (Oyz) qui donne une sensibilité aux rotationsd’axe (Ox). Cette aire vaut :

( )2

2

2 tVm

TkA z

effx

h=Ω (Eq. 7. 46)

où ( )2tVz est la vitesse de l’atome dans la direction z au moment de l’impulsion π.

Montée Descente

Tmklaserh2

( ) 22

21

+

gtVTg z

+

-

t1

t2

t3

( ) 22

21

−

gtVTg z

Sommet de latrajectoire

t1 t2 t3

Figure 7. 9 : si la vitesse suivant l’axe (Oz) ne s’annule pas au moment del’impulsion π, il apparaît une aire dans le plan (Oyz).

Le signal de sortie présente alors un déphasage lié aux rotations autour de l’axe (Ox), valant :( ) xzeff

rotationx tdVTk Ω−=∆ 4 2

2φ (Eq. 7. 47)

En prenant xΩ = 4,8 10-5 rad.s-1 (valeur de la rotation de la Terre dans la direction x),on obtient un déphasage de 2 mrad pour une erreur de vitesse de 0

zdV = 7 10-4 m.s-1. Commeprécédemment la précision que l’on a sur le module de la vitesse de lancement des atomesnous permet d’être bien en dessous de cette valeur. La précision sur l’angle est moins critiquequ’au paragraphe précédent, on trouve αd = 5 mrad.

Si l’on considère maintenant le signal donné par la méthode du double jet atomique,(les deux sources atomiques étant supposées identiques et symétriques), le déphasage

rotationxφ∆ ne dépend pas du sens de la vitesse xV , la réjection de ce déphasage se fait donc.

Partie 7.6 : Atome non parfait sans distribution de vitesse 228

7.6.3 Influence du champ de pesanteur g sur le déphasage totalφ∆

De même qu’au paragraphe précédent, si le champ de pesanteur g n’a pas la valeurprévue, alors l’atome a une composante non nulle de sa vitesse dans la direction (Oz) aumoment de l’impulsion π. Il apparaît alors de nouveau une sensibilité à zΩ donnée par (Eq. 7.47). Une variation dg sur la valeur de g est équivalente à une variation zdV sur la vitesse

( )2tVz donnée par :2tdgdVz ×= (Eq. 7. 48)

avec =2t 242 ms et toujours avec xΩ = 4,8 10-5 rad.s-1, on trouve qu’une variation de ( )gdg /= 3 10-4 produit un déphasage de 2 mrad. A titre d’exemple, cette variation de g estéquivalente à un défaut d’alignement par rapport à la verticale de 300 µrad (~ 1’ d’arc). Dansle cas des vibrations rapides du sol, il faut donc isoler l’appareil grâce à un amortisseur. Pouréviter les dérives long terme du biais, il sera donc indispensable de contrôler la verticalité dudispositif régulièrement.

7.6.4 Les défauts d’impulsions

7.6.4.1 Description des faisceaux RAMAN

Le fait d’utiliser une seule paire de gros faisceaux RAMAN pour les trois impulsionspose un réel problème de puissance. Les faisceaux doivent en effet couvrir la boule d’atomesau moment des impulsions. Compte tenu des caractéristiques de la trajectoire atomique, cespositions sont donc exprimées en millimètres dans la base zx ee , (voir Figure 7. 10) :

−−= 89,9

151r

= 00

2r

−+= 89,9

151r (Eq. 7. 49)

D’après la dispersion de vitesse atomique, on peut également estimer le diamètreiii tVmmD ×∆+= 22 de la boule d’atomes (défini à e/1 ) en 1t , 2t et 3t . On trouve alors 1D

= 4,7 mm, 2D = 5,4 mm et 3D = 6 mm (on a pris 7=∆ iV mm.s-1, t1 = 197 ms, t2 = 242 ms ett3 = 287 ms)


15 mm

9,89 mm 6 mm

5,4 mm

4,7 mm

faisceau :∅ 40 mm(à 1/e2)

centre du faisceau,décalé de 8,5 mm

sous le sommet de latrajectoire

Figure 7. 10 : schéma du faisceau RAMAN avec les positions de la boule d’atomesaux moments des trois impulsions. Afin d’optimiser la répartition de puissancelumineuse, le faisceau RAMAN est centré 8,5 mm sous le sommet de la trajectoire.

Afin de conserver un bonne qualité de front d’onde, nous avons choisi des optiquessphériques ce qui explique que le faisceau RAMAN est circulaire. On aurait pu utiliser desoptiques cylindriques pour mieux répartir l’intensité lumineuse, mais les qualités des frontsd’ondes seraient alors moins bonnes. Le diamètre des faisceaux RAMAN a été choisi afin deminimiser la durée d’interaction aux moments des trois impulsions 2/π , π et 2/π . Sondiamètre à 1/e2 vaut 40 mm et il est décalé de 8,5 mm sous le sommet de la trajectoire.

-30 -20 -10 0 10 20 300,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Figure 7. 11 : profil d’intensité lumineuse en z = 0 (impulsion π) et en z =(impulsion π/2). Le diamètre et la position du centre du faisceau RAMAN spour minimiser la durée des trois impulsions, afin de sélectionner unevitesse transverse la plus large possible.

bords du hublotbords du hublot40 mm

position suivant x (en mm)

profil d’intensité pourles impulsions π/2

profil d’intensité pourl’impulsion π

9,98 mmont choisis classe de


Le profil d’intensité de chacun de deux faisceaux RAMAN est donné par la relation :

( )

−

+

−

=

22

2

0 ,wzz

wx

rrR

eIzxI (Eq.7. 50)

avec 20=w mm et 5,8=Rz mm. r vaut 1 ou 2 et désigne les deux faisceaux composant lapaire RAMAN. Dans notre expérience, ( ) ( )zxIzxI , , 12 α= afin de compenser lesdéplacements lumineux. α est un coefficient qui ne dépend que du désaccord du faisceau Apar rapport à la transition atomique (voir paragraphe 4.2.4 et Eq. 4. 57).En posant ( ) ( )zxIzxI , , 1α= , on a alors d’après (Eq. 4. 47) :

( ) ( )zxIzxeff ,, ∝Ω (Eq.7. 51)

Et on pose : =01I intensité ( )11 , zxI vue par l’atome parfait pour la première impulsion.

=02I intensité ( )22 , zxI vue par l’atome parfait pour la seconde impulsion.

=03I intensité ( )33 , zxI vue par l’atome parfait pour la troisième impulsion.

On constate aisément, sur la Figure 7. 11, que si les atomes ne sont pas aux bonnes positionsaux moments des impulsions 2/π , π et 2/π , ils vont voir une aire d’impulsion incorrecte.

7.6.4.2 Calcul du défaut d’aire des impulsions

On a vu que si les impulsions n’étaient pas exactement 2/π , et π , l’expression de laprobabilité de transition pour un atome n’est plus donnée par (Eq. 7. 1) mais par (Eq. 7. 19),que l’on rappelle ici :

( ) ( )

∆

+

++= totaln TRRT

rtrtTRRRRTP φcos21 3131

3311321321 (Eq. 7. 52)

Dans ce paragraphe nous allons exprimer la dépendance des divers coefficients deréflexion et transmission Ri / Ti en fonction de la vitesse atomique et des fluctuations del’intensité des faisceaux RAMAN.

Le modèle développé au chapitre 4 décrivant le passage dans les lames lumineusesnous permet de relier les coefficients de réflexion et transmission (r / t) en amplitude, à l’airede l’impulsion lumineuse (voir Eq. 4. 23 par exemple). On obtient donc ces coefficients enintensité :

Θ

=2

cos2 iiT

Θ

=2

sin 2 iiR (Eq. 7. 53)

Ces coefficients dépendent de l’aire iΘ vue par l’atome aux moments des trois impulsions.Pour l’atome parfait ces aires valent 2/1 π=Θ , π=Θ 2 et 2/3 π=Θ . Pour un atome dont la


vitesse diffère de celle de l’atome parfait de xdV , ydV et zdV , sa position dans le faisceauRAMAN aux moments des trois impulsions va être différente de celle de l’atome parfait, etcompte tenu du profil gaussien d’intensité de ce faisceau, les aires vues par l’atome ne valentplus exactement 2/π , π et 2/π . On définit alors la nouvelle variable iξ par :

( )ii ξπ+=Θ 1

2pour i = 1 et 3

( )22 1 ξπ +=Θ

Un développement limité au deuxième ordre en iξ des coefficients de transmission etde réflexion iR et iT des trois impulsions RAMAN donne alors :

−= iiT ξπ

21

21

+= iiR ξπ

21

21 (Eq.7. 54)

( )4

22

2πξ

=T ( )

−=

41

22

2πξR (Eq.7. 55)

Les coefficients iR et iT varient donc au premier ordre en iξ pour une impulsion 2/π ,et au deuxième ordre pour une impulsion π . On peut également exprimer le facteurd’amplitude A et le facteur de visibilité ϑ définis en (Eq. 7. 20). On trouve, tout calcul fait audeuxième ordre en iξ :

( )

+−= 2

231

2

41 ξξξπA (Eq.7. 56)

( )

−−=

231

2

81 ξξπϑ (Eq.7. 57)

On constate que, bien que (Eq . 7. 54) soit du premier ordre en iξ , les coefficients Aet ϑ sont quant à eux du second ordre en iξ . Ceci est lié à la géométrie MACH-ZEHNDER.L’impulsion π réalisée au milieu de l’interféromètre renverse un grand nombre d’effetsparasites entre la première partie π /2 - π , et la seconde partie π - π /2.

7.6.4.3 Influence des fluctuations d’intensité sur le facteur d’amplitude et le contraste

Supposons que les deux faisceaux RAMAN présentent une variation relative d’intensitéidentique ( )IIm /∆= , par exemple causée par un désalignement de l’injection dans la fibreoptique. D’après leur définition, les iξ sont reliés à m par :

mII

i

ii =

∆= 0ξ pour i = 1, 2 ou 3 (Eq. 7. 58)

On peut alors directement exprimer les termes A et ϑ en fonction de m :


−= 2

2

21 mA π et 1=ϑ (Eq.7. 59)

Le signal de sortie s’exprime alors par :

( )[ ]totaln mP φπ

∆+

−= cos1

21

21 2

2

(Eq. 7. 60)

On peut comparer cette expression au résultat donné par la simulation, en prenant m =5%. La Figure 7. 12 représente la différence des résultats donnés par (Eq. 7. 60) et par lasimulation. On constate que la différence est toujours très inférieure à 10-3, l’expression (Eq.7. 60) sera donc suffisante pour exprimer la dépendance du signal de sortie avec lesfluctuations d’intensité, au niveau de précision que l’on veut atteindre.

Différence entre le modèle et la simulation pour un défaut relatif d’intensité de 5%

-6x10-4 -4x10-4 -2x10-4 0 2x10-4 4x10-4 6x10-4-1x10-4

01x10-4

2x10-4

3x10-4

4x10-4

5x10-4

6x10-4

7x10-4

8x10-4


diffé

renc

e en

tre le

mod

èle

et la

sim

ulat

ion

Figure 7. 12 : différence entre le modèle donné par(Eq. 7. 60) et la simulation. On constate que lesdeux descriptions concordent à 7 10-4 près pour unefluctuation d’intensité de 5 %.

-6x10-4 -4x10-4 -2x10-4 0 2x10-4 4x10-4 6x10-4

0

2x10-3

4x10-3

6x10-3

8x10-3

1x10-2

1x10-2

1x10-2

diffé

renc

e en

tre le

mod

èle

et la

sim

ulat

ion


Figure 7. 13 : différence entre le modèle donné par(Eq. 7. 60) et la simulation (en trait plein). Si l’onne prend pas en compte la modification du facteurd’amplitude A, on constate que la différence avec lasimulation augmente à 1,2 10-2, ce qui est largementsupérieur au niveau de bruit blanc de l’appareil.

On peut se demander s’il est nécessaire de prendre en compte la modification apportéepar (Eq. 7. 60), par rapport à la formule de base (Eq. 7. 1). La Figure 7. 13 présente les deuxdifférences (Eq. 7. 60 – simulation) et (Eq. 7. 1 – simulation). On constate que le fait d’utiliser(Eq. 7. 1) par rapport à (Eq. 7. 60) fait augmenter l’erreur de 7 10-4 à 1,2 10-2. L’erreur quiétait noyée dans le bruit blanc de l’appareil devient alors parfaitement discernable.

On peut préciser que l’on pourra utiliser la formule simple (Eq. 7. 1) dans le modèled’erreur tant que les fluctuations d’intensité des faisceaux RAMAN ( )II /∆ seront inférieures à

7 10-4

7 10-4

1,2 10-2

vitesse de rotation Ωz (en rad.s-1) vitesse de rotation Ωz (en rad.s-1)


1%. Si les fluctuations d’intensité sont supérieures à cette valeur, il faudra alors en tenircompte dans le modèle en utilisant les relations (Eq. 7. 60).

Si les intensités des deux faisceaux RAMAN fluctuent différemment, les déplacementslumineux ne sont alors plus exactement compensés et il apparaît un terme de déphasage

parasiteφ∆ . Ce terme sera étudié au paragraphe 7.6.5.

7.6.4.4 Influence de la vitesse de lancement sur le facteur d’amplitude et le contraste

Considérons un atome avec une vitesse initiale différente de xdV et zdV de la vitessede l’atome parfait. Exprimons alors iξ en fonction de xdV et zdV :

La position ir , par rapport au sommet de la trajectoire de l’atome parfait s’écrit alors :

( )

−−−

−= 2

22

20

20

21 ttgtVtV

tVtV

iziz

xix

ir (Eq. 7. 61)

que l’on peut réécrire en fonction de xdV et zdV :( )

( ) ( )

−−+−

+−= 2

22

20

20

21

ttgtdVttV

tdVttV

iiziz

ixix

ir (Eq. 7. 62)

L’intensité lumineuse iI vues aux moments de trois impulsions est alors donnée par :

( ) ( ) ( )

−−−+−+

+−=

22

22

202

20

021 2-exp

w

zttgtdVttV

wtdVttVII

Riizizixix

i

(Eq. 7. 63)

En effectuant un développement limité à l’ordre 1 en xdV et zdV , on trouve :

( ) ( ) ( )

−−−−

+−

−= 2

22

22

0z

22

0x0

21

41 w

tdVzttgttV

wtdVttVII

izRiiixi

ii

(Eq. 7. 64)

En utilisant la relation (Eq. 7. 58) on peut exprimer les iξ en fonction de xdV et zdV :

( ) ( ) ( )

−−−−

+−

=−

= 2

22

22

0z

22

0x

0

0 21

-4w

tdVzttgttV

wtdVttV

III izRii

ixi

i

iiiξ

(Eq. 7. 65)


En injectant ces valeurs de iξ dans (Eq. 7. 56) et (Eq. 7. 57), on en déduit les variations desfacteurs d’amplitude et de visibilité en fonction de xdV et zdV .

Variation avec la vitesse de lancement horizontale xV

La détermination de 1ξ , 2ξ et 3ξ à partir de (Eq. 7. 65) donne, avec nos paramètresexpérimentaux :

xdV 301 =ξ 02 =ξ xdV 433 −=ξ ( xdV en m.s-1)

On en déduit alors l’expression des facteurs d’amplitude et de visibilité :A = 1 + 3161 2

xdV 2 65491 xdV−=ϑ

En prenant %1/ 0 =xx VdV , on obtient A = 1,0352 et =ϑ 0,927. On Compare la formuleobtenue avec la courbe donnée par la simulation. La Figure 7. 14 représente la différence entre(Eq. 7. 20) et la simulation.

-6x10-4 -4x10-4 -2x10-4 0 2x10-4 4x10-4 6x10-4

-1x10-3

-5x10-4

0

5x10-4

1x10-3

diffé

renc

e en

tre le

mod

èle

et la

sim

ulat

ion


Figure 7. 14 : différence entre l’équation (Eq. 7. 20) avec les valeurs déterminées deA et ϑ , et la simulation. On constate que pour une erreur de vitesse de lancementhorizontale de 1 %, le modèle s’écarte de près de 2.10-3 de la simulation. Cecicorrespond donc à la limite de validité de (Eq 7.20) dans ce cas précis.

On trouve évidemment le même type de résultat en étudiant l’influence de zV sur A etϑ , à la différence que dans la direction verticale, 2ξ est du premier ordre en zdV (alors qu’ilétait du second ordre en xdV ) car le profil d’intensité ne présente pas une dérivée nulle danscette direction pour l’impulsion π . On donne les valeurs de A et ϑ en fonction de zdV :

2 10301 zdVA −= 2 1281 zdV−=ϑ

2 10-3



Ceci donne, pour une erreur relative zdV de 1 % (ce qui correspond à zdV ~ 2 mm.s-1) : A=0,9945 et ϑ = 0,99932.

7.6.5 Influence des déplacements lumineux

Dans le cas où l’intensité des deux faisceaux RAMAN n’est pas adaptée pourcompenser les déplacements lumineux, il apparaît un déphasage lié à cet effet. Ceci apparaîtpar exemple si l’un des faisceaux RAMAN s’est déplacé par rapport à l’autre. Les deux profilsgaussiens ne sont alors plus superposés. L’effet apparaît aussi dans le cas où l’intensité d’undes faisceaux RAMAN fluctue par rapport à l’autre.

Le déplacement des deux niveaux d’énergie a été donné au chapitre 4 (Eq. 4. 49) :

e

eACe

2

22

4∆

Ω≈Ω et

f

fACf

1

21

4∆

Ω≈Ω

On rappelle que l’on définit ACδ la différence des déplacements des deux niveaux par :ACf

ACe

AC Ω−Ω=δ .

Le déphasage résultant a été calculé dans le cas d’un interféromètre de MACH-ZEHNDER dans [WEISS 94] et est relié à ACδ par :

eff

AC

eff

ACAC

Ω−

Ω=∆ 13 δδφ (Eq. 7. 66)

où AC1δ et AC

3δ représentent les différences de déplacements lumineux aux instants 1t et 3t , eteffΩ est la pulsation de RABI équivalente pour la transition RAMAN, donnée par (Eq. 4. 47) :

f

efeff

1

2*1

2∆ΩΩ

=Ω (Eq. 7. 67)

On constate donc que le déplacement lumineux au moment de l’impulsion π n’influe pas surle déphasage final.

Le rapport d’intensité des deux faisceaux RAMAN a été choisi pour compenser lesdéplacements lumineux (voir paragraphe 4.2.4), on a donc ( ) ( )zxIzxI , , 12 α= avec lesnotations du paragraphe 7.7.4 et ACδ = 0. Exprimons ACδ en fonction de la variation αd durapport des intensités. Un calcul simple permet de mettre en évidence qu’au voisinage dupoint ACδ =0, ACδ varie au premier ordre en fonction de αd . On trouve :

2/32ααδ dd

eff

AC

=

Ω(Eq. 7. 68)

Et le déphasage donné par (Eq. 7. 66) devient alors :


( )

−=∆ 2/3

1

12/3

3

3

αα

ααφ ddd total

Variation de l’intensité d’un des faisceaux RAMAN

Si l’intensité rI d’un faisceau RAMAN varie de rdI (r valant 1 ou 2), cela entraîne unevariation de la valeur de α de :

1

1

2

2

IId

IIdd

−=αα

Les deux impulsions π/2 ont lieu à des positions symétriques dans le faisceau RAMAN,les variations sont donc identiques 13 αα dd = , le déphasage associé au déplacement lumineuxest donc nul. La symétrie du problème peut toutefois être brisée par le fait que les boulesd’atomes ont des tailles différentes aux instants 1t et 3t .

Défaut d’alignement d’un des deux faisceaux RAMAN

Si les deux faisceaux RAMAN ne sont pas alignés l’un sur l’autre de dx et dz , lesprofils gaussiens ne se superposent plus et les déplacements lumineux ne sont donc pluscompensés. Au trois instants 1t , 2t et 3t , on a donc trois valeurs de α différentes. En 2t il estclair que α n’est sensible qu’au deuxième ordre en dx dans la direction horizontale, et aupremier ordre en dz dans la direction verticale. On peut dire également que 31 αα dd −≈ aupremier ordre en dx et dz pour les deux impulsions π/2 (voir Figure 7. 15).

-30 -20 -10 0 10 20 30

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

position dans le faisceau (en mm)

Figure 7. 15 : profil d’intensité des deux faisceaux RAMAN en fonction de laposition horizontale. Les faisceaux sont décalés de 1 mm l’un par rapport à l’autre.On constate que pour l’impulsion π, l’effet est du second, ordre, alors qu’il est dupremier ordre et opposé pour les deux impulsions π/2.

impulsion π/2impulsion π/2

impulsion π


Si l’on considère que le faisceau 1 est décalé de dx =1 mm dans la direction horizontale parrapport au faisceau 2, de telle façon que 31 αα > , on trouve :

21

1

4w

dxxI

dId ii −==αα

où ix représente les positions suivant l’axe (Ox) pour les trois impulsions. On a donc 1x =-15mm et 3x = +15 mm. Le déphasage en sortie de l’interféromètre vaut alors :

( ) 1,0220

115421

22/31

12/3

3

3 ≈×

−=

−=∆

αα

ααφ ddd total rad

Pour que les fluctuations du déphasage liées aux déplacements lumineux soient inférieures à10-3, il faut donc contrôler la superposition des faisceaux Raman à 10µm près. Cette valeur estrelativement contraignante et va vraisemblablement être une des sources principales de ladérive du biais.

7.7 CONCLUSION

Cette étude, bien que théorique, nous permet de mieux interpréter le signal de sortiedu gyromètre. Plusieurs modèles, plus ou moins complexes, peuvent être utilisés suivant ledegré de précision que l’on souhaite obtenir. Certains de ces modèles nécessitent de mesurerdes paramètres expérimentaux, comme la vitesse de lancement ou l’intensité lumineuse parexemple. Nous avons indiqué pour chacun de ces paramètres la précision à laquelle sa valeurdoit être connue pour obtenir la valeur du signal de sortie à mieux que 10-3.

De cette étude, on peut identifier les paramètres les plus critiques à court terme : lesfluctuations de la température atomique qui modifient le contraste, et les déplacementslumineux qui introduisent un déphasage parasite. A plus long terme, les modifications de ladirection de vitesse de lancement risquent d’être le paramètre prédominant.

Nous avons présenté dans ce chapitre les premiers éléments de la caractérisation dugyromètre à atomes froids. Il reste bien sûr encore beaucoup de paramètres à étudier. Parexemple l’influence des aberrations géométriques des faisceaux RAMAN jouent un rôleimportant sur le déphasage total et surtout sur la qualité de la réjection des effets parasiteslorsque le gyromètre fonctionne avec le double jet. La suite de la caractérisation seralargement développée dans la thèse de J. FILS [FILS 02].

BIBLIOGRAPHIE 238

BIBLIOGRAPHIE



[WEISS 94] D. Weiss, B. Young, S. Chu, Appl. Phys. B, 59, p 217, (1994)

Chapitre 8 : APPLICATIONS DES CAPTEURS INERTIELS A ONDES ATOMIQUES 241

Chapitre 8 : APPLICATIONS DES CAPTEURSINERTIELS A ONDES ATOMIQUES


8.1 LES CAPTEURS INERTIELS EN PHYSIQUE FONDAMENTALE ....................... 242

8.1.1 Introduction ........................................................................................................... 2428.1.1.1 Détection des ondes gravitationnelles............................................................. 2438.1.1.2 Mise en évidence de l’effet Lense-Thirring ........................................................ 244

8.1.2 Notion de métrique ................................................................................................ 2458.1.2.1 Métrique en l’absence de gravitation.............................................................. 2468.1.2.2 Métrique en l’absence de gravitation dans un repère tournant ....................... 2468.1.2.3 La métrique en présence de gravitation .......................................................... 247

8.1.3 Analogie avec l’électromagnétisme....................................................................... 2488.1.3.1 Premier terme : rotation de la Terre ............................................................... 2518.1.3.2 Deuxième terme : l’effet de Sitter................................................................... 2518.1.3.3 Troisième terme : l’effet Lense-Thirring ........................................................ 251

8.1.4 Le formalisme PPN ............................................................................................... 2528.1.4.1 Le paramètre α1 .............................................................................................. 2538.1.4.2 Le paramètre γ................................................................................................. 2538.1.4.3 Les paramètres∆1 et ∆2.................................................................................... 2538.1.4.4 L’expérience de Schiff dans le formalisme PPN ............................................ 2548.1.4.5 Comparaison des ordres de grandeur............................................................... 255

8.1.5 Les différents tests de l’effet Lense-Thirring ........................................................ 2568.1.5.1 Le projet Gravity Probe B............................................................................... 2578.1.5.2 Le projet HYPER............................................................................................ 2588.1.5.3 Expériences avec les satellites LAGEOS ....................................................... 259

8.1.6 Conclusion ............................................................................................................. 261

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 262

Partie 8.1 : LES CAPTEURS INERTIELS EN PHYSIQUE FONDAMENTALE 242

CHAPITRE 8 :

APPLICATIONS DES CAPTEURS INERTIELSA ONDES ATOMIQUES

L'objectif de ce chapitre est de présenter trois applications particulières dans lesquellesl’utilisation de capteurs inertiels de grande sensibilité, et en particulier de gyromètresatomiques, pourraient apporter des résultats importants.

8.1 LES CAPTEURS INERTIELS EN PHYSIQUE FONDAMENTALE

8.1.1 Introduction

Depuis le début des années 60 avec la mise en évidence du décalage vers le rouge dela fréquence d’un photon s’éloignant d’un corps massif [POUND 60], les scientifiques n’ontcessé d’imaginer des expériences visant à tester la validité de la relativité générale. L’objectifde ces expériences est de mettre en évidence des effets prédits par la théorie, mais encorejamais observés, et de comparer leur ordre de grandeur avec celui prédit. Jusqu’à présent,essentiellement quatre effets ont permis de valider la théorie de la relativité générale (1).

Parallèlement à ces travaux expérimentaux, la théorie de la gravitation a subi deprofonds changements avec l’apparition d’une multitudes de théories alternatives à larelativité générale d’EINSTEIN. On comptait plus de vingt théories alternatives au début desannées 80. Certaines d’entre elles se sont révélées non viables face aux résultatsexpérimentaux toujours plus précis, mais d’autres sont encore en compétition avec la théoriede la relativité générale. Il est donc important d’une part de faire des mesures encore plusprécises des effets déjà démontrés (tester le principe d’équivalence à 10-18 avec le projet

(1) Il s’agit du décalage vers le rouge des photons s’éloignant d’un corps massif [POUND 60], [VESSOT 79], de ladéflexion par le soleil des photons issus des étoiles [MUHLEMAN 70], [JONES 76], [FOMALONT 77], dudéplacement du périhélie de Mercure [DICKE 74], et de la mise en évidence de l’effet SHAPIRO [SHAPIRO 64],[REASENBERG 79].


STEP par exemple), et d’autre part de mettre en œuvre de nouveaux tests permettantd’infirmer ou de confirmer telle ou telle théorie.

La difficulté de mise en œuvre de ces expériences réside principalement dans le faitque les effets que l’on cherche à mettre en évidence sont extrêmement faibles dans notresystème solaire, celui-ci étant trop peu massif pour que les effets relativistes dus à lagravitation aient un ordre de grandeur conséquent. Ces expériences s’appuient donc à la foissur un travail très important de modélisation des différents effets parasites, et sur l’utilisationde capteurs extrêmement précis. C’est donc dans ce sens que les gyromètres de très grandesensibilité peuvent apporter leur contribution à ce type d’expériences.

Parmi ces expériences, imaginées mais encore jamais mises en œuvre, deux sont encours de développement.

8.1.1.1 Détection des ondes gravitationnelles

La première expérience en cours, et la plus avancée, est la détection des ondesgravitationnelles [SCHUTZ 84] dont l’existence est prédite par la relativité générale. Plusieursprojets d’antennes gravitationnelles sont en cours de réalisation dans le monde (LIGO auxUSA, VIRGO et GEO 600 en Europe, TAMA au Japon, …). Le but de ces expériences est dedétecter le passage d’une onde gravitationnelle grâce à la variation de longueur qu’elleprovoque sur l’un des bras d’un interféromètre optique ultra-sensible de type MICHELSON.D’après la théorie d’EINSTEIN, ces ondes sont émises par les corps très massifs en accélération(coalescence d’étoiles, trous noirs en rotation, …) et se propagent à la vitesse de la lumière.La difficulté de la mesure tient au fait que la variation de longueur à détecter est tellementfaible qu’elle sera souvent noyée dans le bruit. La méthode de détection se fait donc parcorrélation avec les formes de signaux attendus a priori, et repose également sur lacoïncidence d’un même événement détecté par plusieurs antennes gravitationnelles.

On a résumé dans le tableau ci-dessous les différents projets en cours (1) :

Nom Pays Taille d’un bras Sensibilité attendueTAMA JaponGEO 600 GB / Allemagne 600 mètres 10-20 ..10-26 sur 1 anVIRGO France / Italie 3 kilomètres 10-22 ..10-23

LIGO USA 4 kilomètres

(1) On peut citer également la préparation d’une antenne gravitationnelle spatiale : c’est le projet

international (américain / européen) LISA. L’interféromètre a une forme de triangle équilatéral (cavité enanneau) de 4,3 millions de kilomètres de côté, situé dans le plan de l’écliptique derrière la Terre. Un satellite està chaque sommet et envoie un faisceau vers les deux autres, en même temps qu’il reçoit les faisceaux provenantdes deux autres. Les distances entre les trois satellites sont alors déterminées par interférométrie. La sensibilitéde cette antenne devrait atteindre le niveau de 10-23

dans la bande de fréquence 10-3 – 10-2 Hz en intégrant un an,ce qui semble suffisant d’après les études théoriques réalisées pour espérer détecter les ondes gravitationnellesémises par des systèmes binaires de notre galaxie ou par des trous noirs en formation.


8.1.1.2 Mise en évidence de l’effet LENSE-THIRRING

La seconde expérience est la mise en évidence de l’effet d’entraînement du repèred’inertie local par un corps massif en rotation, autrement appelé effet LENSE-THIRRING

[LENSE 18]. Cet effet repose sur l’existence du champ gravito-magnétique, également préditpar la relativité générale, mais encore jamais détecté. La mise en évidence de l’effet LENSE-THIRRING s’appuie sur la notion d’inertie (comme définie au paragraphe 2.1.2.1), et reposesur la méthode suivante. Imaginons un satellite muni de deux repères d’inertie. Le premier,que l’on appelle repère d’inertie global, est défini par rapport à trois étoiles lointainespointées par des viseurs d’étoiles. Le second, appelé repère d’inertie local, est défini à l’aided’accéléromètres et de gyromètres embarqués. Ces deux repères ont la même origine etinitialement les même axes. L’effet LENSE-THIRRING se traduit par l’apparition d’unmouvement de précession des axes du repère local par rapport à ceux du repère global. Cetteprécession est liée à la présence d’un corps massif en rotation au voisinage du satellite (laTerre par exemple).

Cette expérience a été initialement proposée par SCHIFF en 1960 [SCHIFF 60], à ladifférence qu’elle était proposée sur Terre et non dans un satellite. Les gyroscopes auraientalors été également sensibles à la rotation de la Terre (voir Figure 8. 1). Nous ferons référenceà cette expérience dans la suite de cette partie, et nous l’appellerons expérience de SCHIFF.Nous supposerons que le capteur inertiel n’est plus un gyroscope mais un gyromètreatomique, il ne s’agira donc plus de détecter le mouvement de précession de l’axe dugyroscope, mais le déphasage en sortie du gyromètre.

θz

O

z

r

Ω⊕

Ω0

r⊕

Figure 8. 1 : expérience de mise en évidence de l’effet LENSE-THIRRING proposéepar SCHIFF. Un gyroscope mécanique est placé sur Terre en un point de latitudedonnée par l’angle de colatitude θz. Par rapport à un repère d’inertie global définipar trois étoiles lointaines, ce gyroscope va présenter un mouvement de précessionde son axe dont l’origine a une contribution liée à la rotation de la Terre et unecontribution d’origine relativiste.


Parmi les deux expériences que nous venons de décrire (détection des ondesgravitationnelles et mise en évidence de l’effet LENSE-THIRRING), seule la seconde seradéveloppée ici car c’est la seule qui nécessite l’utilisation de gyromètres de très grandesensibilité. Nous allons dans la suite de cette partie développer les notions nécessaires àl’interprétation du mouvement de précession que l’on vient d’évoquer, et à son évaluationquantitative. Cette étude passe nécessairement par l’utilisation de quelques formules issues dela relativité générale. Ces formules font appel à un formalisme assez complexe qu’il n’est pasquestion de détailler ici. Nous indiquons les références nécessaires pour plus d’informations.

La structure de cette partie est la suivante :

Nous commençons par donner quelques informations sur les métriques qui sont à labase des théories métriques de la gravitation. Le calcul du déphasage du gyromètre dansl’expérience de SCHIFF à partir de la métrique est compliqué et peu intuitif pour des nonrelativistes. Nous ne le présenterons donc pas ici.

L’expression du déphasage à la sortie du gyromètre sera déterminée par analogie avecl’électromagnétisme. Nous définirons la notion importante de champ gravito-magnétique etnous mettrons en évidence un autre effet associé à l’effet LENSE-THIRRING : l’effet DE SITTER.

La mise en évidence de l’effet LENSE-THIRRING présente un grand intérêt pourcomparer et départager différentes théories alternatives. Cette étude est facilitée par leformalisme PPN, que nous présenterons au paragraphe 8.1.4.

Enfin nous terminerons en présentant les projets en cours visant à mesurer l’effetLENSE-THIRRING . Il s’agit des deux projet spatiaux Gravity-Probe B et HYPER. Nousprésenterons également l’étude réalisée par CIUFOLINI à partir des données orbitographiquesdes satellites LAGEOS.

8.1.2 Notion de métrique

La théorie de la relativité générale n’est pas la seule théorie de la gravitationpermettant d’expliquer les phénomènes physiques déjà observés. Il existe plusieurs dizainesde théories alternatives, plus ou moins complexes. Toutes ces théories s’appuient sur larelativité restreinte (à la limite où le potentiel de gravitation est nul) et utilisent donc unespace à quatre dimensions (une dimension de temps et trois dimensions d’espace) pourdécrire les évènements physiques. Cet espace est appelé espace-temps et les évènements sontreprésentés par des points spatio-temporels.

Parmi toutes ces théories, on peut distinguer celles qui interprètent la gravitationcomme une modification de la courbure de l’espace-temps, de la même façon qu’une masseposée sur un trampoline déforme localement ce dernier. La forme locale de l’espace-temps enun point est alors donnée par une grandeur que l’on appelle la métrique et qui dépend de larépartition des masses et des courants de masses au voisinage de ce point. Toutes les théories


qui vérifient cette condition sont appelées théories métriques de la gravitation. La relativitégénérale en est un exemple, ainsi que les théories de NI ou de BRANS-DICKE-JORDAN. Lesthéories métriques diffèrent entre elles par la façon dont les distributions de masses et decourants de masses influent sur la métrique.

8.1.2.1 Métrique en l’absence de gravitation

Dans la limite où, localement au voisinage d’un point, les champs de gravitation sontnégligeables, la courbure de l’espace temps est nulle et l’espace prend alors la forme d’unespace de MINKOWSKI (c’est l’espace fixant le cadre de la relativité restreinte). Cet espace estplan et isotrope, et sa métrique est donnée par l’équation d’un rayon lumineux :

222222 dzdydxdtcds −−−= (Eq. 8. 1)

Cet équation exprime le fait que pendant une durée t, un rayon lumineux aura parcouruune distance ct, et ce quelle que soit la direction dans laquelle il va et le point d’où il part.

8.1.2.2 Métrique en l’absence de gravitation dans un repère tournant

Reprenons le cas d’un point complètement isolé de tout champ gravitationnel, maisexprimons la métrique ds dans un repère tournant à la vitesse Ω par rapport à l’axe (Oz). Lechangement de repère permettant de passer du repère galiléen zyxt ,,, au repère tournant ',',',' zyxt s’écrit alors :

( ) ( )( ) ( )

=Ω+Ω=Ω−Ω=

=

⊕⊕

⊕⊕

z z' cos in ' sin cos '

' '

tytsxytytxx

tctc

(Eq. 8. 2)

La métrique dans ce nouveau repère s’écrit donc :

( ) ( ) ' ' '2' ' '2''' ' ''1' 222222

2222 dydtc

cxdxdtc

cydzdydxdtc

cyxds ⊕⊕

⊕ Ω−Ω+++−

+Ω−=

(Eq. 8. 3)

On constate que le fait de passer dans un repère tournant change la métrique.


8.1.2.3 La métrique en présence de gravitation

Le principe d’équivalence d’EINSTEIN inertepesante mm ≡ implique qu’un observateurqui réalise une expérience de physique en présence de gravitation peut considérer qu’il n’y apas de gravitation mais que son référentiel est accéléré par rapport à un référentiel d’inertie.Ainsi tous les champs de gravitation peuvent être interprétés comme des mouvements duréférentiel du laboratoire par rapport à un référentiel d’inertie, et réciproquement, toutmouvement du référentiel du laboratoire par rapport à un référentiel d’inertie peut êtreinterprété comme un champ de gravitation dans un référentiel d’inertie.

Par conséquent, de la même façon que le passage dans un référentiel tournant modifiela métrique (voir paragraphe précédent et Eq. 8.3), les champs de gravitation vont modifier lamétrique de l’espace de MINKOWSKI. La métrique ne correspond plus à un espace-tempshomogène et isotrope : on parle alors d’espace de MINKOWSKI courbe, ou d’espace deRIEMANN.

1) Métrique au voisinage d’un corps massif au repos

Si l’on considère un point situé au voisinage d’un corps sphérique massif, et parconséquent dans son champ direct de gravitation, la métrique en ce point est déformée parrapport à celle d’un espace de MINKOWSKI. Dans le cadre de la relativité générale, cettemétrique prend la forme suivante en coordonnées sphériques (appelée métrique deSCHWARZSCHILD) :

)sin(2121 222221

222 ϕθθ ddrdrr

GMdtr

GMcds +−

−−

−=

−

(Eq. 8. 4)

où G est la constante de gravitation et M la masse du corps massif. On reconnaît leterme de potentiel gravitationnel newtonien classique rGMU /−= . La métrique donnée par(Eq. 8. 4) permet d’expliquer le décalage vers le rouge des photons s’éloignant d’un corpsmassif, ou encore la déflexion des rayons lumineux. Nous verrons qu’elle induit égalementl’effet DE SITTER [DE SITTER 16], inséparable de l’effet LENSE-THIRRING. Dans la limite où onse trouve très loin du corps massif ( )∞→r , la métrique reprend la forme de celle d’un espacede MINKOWSKI donnée par (Eq. 8. 1).

2) Métrique au voisinage d’un corps massif en rotation

Si l’on reprend le corps massif du paragraphe précédent en supposant qu’il est enrotation sur lui même, il possède alors un moment cinétique J. La métrique étant déterminéepar la répartition des masses, et par les courants de masse, la métrique au voisinage de cecorps est donc modifiée par le fait que le corps tourne sur lui-même. Dans le cas où la vitessede rotation du corps n’est pas trop rapide, la métrique prend la forme suivante (appeléemétrique de KERR-NEWMAN) :


dtdrJddrdr

rGMdt

rGMcds sin4) sin(2121 222222

1222 ϕθϕθθ ++−

−−

−=

−

(Eq. 8. 5)

On reconnaît dans les trois premiers termes la métrique de SCHWARZSCHILD, auquels’ajoute un terme lié au moment cinétique du corps en rotation. C’est cette métrique quipermet d’interpréter l’effet LENSE-THIRRING que nous évoquions au paragraphe 8.1.1. Lecalcul du mouvement de précession du gyroscope ou du déphasage du gyromètre atomiquedans l’expérience de SCHIFF peut se faire à partir de cette métrique. Le calcul est néanmoinscompliqué. Notre propos ici n’est pas de présenter un calcul rigoureux des différents effetsrelativistes apparaissant au voisinage d’un corps massif en rotation, mais plutôt de donner uneinterprétation simple des différents termes apparaissant dans le mouvement de précession.

Nous avons indiqué précédemment que l’intérêt de mettre en évidence l’effet LENSE-THIRRING est double : d’une part démontrer l’existence du champ gravito-magnétique, etd’autre part fournir un test supplémentaire pour départager les différentes théories de lagravitation. Nous allons donc reprendre l’expérience de SCHIFF et voir comment elle permetd’atteindre ces deux objectifs. Dans la prochaine partie, nous allons détailler le lien entrel’effet LENSE-THIRRING et le champ gravito-magnétique. Dans le paragraphe 8.1.4 nousétudierons l’influence de ce test sur les différentes théories alternatives grâce au formalismePPN.

8.1.3 Analogie avec l’électromagnétisme

Il existe une analogie au niveau du formalisme entre la gravitation etl’électromagnétisme. Cette analogie, déjà soupçonnée par HEAVISIDE en 1893, a été montréepar FORWARD (1961) et BRAGINSKY (1977) [BRAGINSKY 77].

En électromagnétisme, le champ électrique E découle du potentiel coulombienscalaire V et le champ magnétique B découle du potentiel vecteur A . De même engravitation, le champ de pesanteur G (appelé aussi champ gravito-électrique) découle dupotentiel newtonien U et, par analogie il devrait exister un champ gravito-magnétique

hH ×∇= qui découlerait d’un potentiel vecteur h .

On sait par exemple qu’un champ électrique pur E dans un référentiel donné peutapparaître comme un mélange de champs E et B dans un autre référentiel. Ainsi unobservateur, qui se déplace à la vitesse v par rapport à un champ E pur voit apparaître unchamp B perpendiculaire à v donné par l’expression : EvB ×≈ . De la même façon on peutdire que la Terre rayonne du fait de sa masse, un champ G radial pur. Un observateur placé àune distance r d’une masse M et se déplaçant par rapport à elle à la vitesse v, va se déplacerdans ce champ de gravitation et va donc voir apparaître un champ gravito-magnétique H ,dont l’expression est donnée par :


( )vrhH ×−=×∇= 23 32rc

MG (Eq. 8.6)

Considérons maintenant une sphère de rayon a uniformément chargée et en rotationsur elle-même. Du fait de sa rotation cette sphère produit, en plus du champ électrique E , , unchamp magnétique B donné par :

( )3

. 3 r

rr MeMeB −= (Eq. 8. 7)

où re est un vecteur unitaire dans la direction radiale, M est le moment magnétique de lasphère, a est le rayon de la sphère et r est la distance du point d’observation par rapport aucentre de la sphère. Le point d’observation est extérieur à la sphère ( )ar ≥ .

Par analogie entre le champ magnétique et le champ gravito-magnétique, une sphèrede masse M , de rayon a , et de vitesse de rotation Ω , va avoir un moment cinétique

5/2 2ΩMa=J et va produire, outre le champ de pesanteur G dû à sa masse, un champgravito-magnétique H donné par l’expression :

( ) ( ) . 3 1 32

−

−=×∇=rc

rr JeJehH (Eq. 8. 8)

J

Figure 8. 2 : les lignes de champ du champ gravito-magnétique ressemblent auxlignes de champs magnétiques créées par un dipôle.

Si l’on reprend l’expérience du gyromètre proposé par SCHIFF, le point qui manquemaintenant pour interpréter le déphasage d’origine relativiste à la sortie de l’interféromètre estque le déphasage est proportionnel au flux du champ gravito-magnétique à travers l’aire de

H


l’interféromètre. Ce résultat a été montré dans le cas d’un gyromètre optique par PLEBANSKI

[PLEBANSKI 60]. Le point de départ de cette démonstration est d’écrire les équations deMAXWELL en tenant compte de la métrique associée à la Terre en rotation (métrique de KERR-NEWMAN). PLEBANSKI montre alors qu’il aurait obtenu les mêmes équations s’il avait négligéla métrique mais supposé que les ondes lumineuses se propagent dans un diélectrique. Leséquations constitutives de ce matériau fictif sont directement reliées au potentiel gravito-magnétique (1).

On détermine alors le déphasage entre les deux ondes en écrivant l’équation depropagation pour le champ électrique E, on trouve que ce déphasage est directementproportionnel au flux du champ gravito-magnétique à travers l’aire de l’interféromètre :

∫∫ ==∆aire

optique d AHSH . 2 . 2λλ

φ (Eq. 8. 9)

et de la même façon dans le cas d’un interféromètre à ondes atomiques on obtient :

AHSH . 2 . 2h

mcdmc

aire

atomique ==∆ ∫∫λφ (Eq. 8. 10)

Le déphasage total à la sortie du gyromètre est donc donné par la valeur du champgravito-magnétique, qui dans le cas de la Terre en rotation vaut :

( ) ( )( )

−−×Ω−

Ω= ⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ JeJeeeeH rrrzzrcrc

GMc

..31 sin23

22 ϕθ (Eq. 8. 11)

On a supposé que le gyromètre était posé sur la Terre en un point dont la colatitude est zθ . Side plus l’axe d’entrée du gyromètre est suivant l’axe (Oz), on obtient alors :

( ) ( )( )

−−Ω−Ω=∆⊕

⊕⊕

⊕

⊕⊕ zz

total

rJ

rGM

cAm θθφ 22 cos31sin

2312

h(Eq. 8. 12)

où ⊕M , ⊕r , ⊕Ω et ⊕J sont respectivement la masse, le rayon, la vitesse de rotation et lemoment angulaire de la Terre.

Nous allons maintenant détailler ces trois termes :

(1) On pourra trouver un calcul précis du déphasage, dans le cas d’un atome à deux niveaux de spin ½, parintégration de l’équation de DIRAC dans le cadre de la métrique relativiste limitée aux champs faibles dans[BORDÉ 94]. Ce calcul est ensuite généralisé et interprété en terme de champs gravito-magnétique et gravito-électrique dans les références [BORDÉ 01 et BORDÉ 01-2]. Ce dernier calcul montre que l’effet LENSE-THIRRINGest dû pour moitié à l’action du champ gravito-magnétique et pour l’autre moitié, à l’action du champ gravito-électrique.


8.1.3.1 Premier terme : rotation de la Terre

Le premier terme est bien sûr le déphasage lié à la rotation de la Terre. Le gyromètreétant posé sur le sol avec son axe d’entrée parallèle à celui de la rotation de la Terre, lacontribution au déphasage est directement :

⊕Ω=∆h

Amrotation 2φ (Eq. 8. 13)

8.1.3.2 Deuxième terme : l’effet DE SITTER

Ce terme correspond à l’effet de SITTER. Il est dû au fait que la masse de la Terrecourbe légèrement l’espace-temps et que les ondes atomiques de notre gyromètre se déplacentdans cet espace courbé.

( )zdeSitter

rGM

cAm θφ 2sin

23

2

⊕⊕

⊕ Ω=∆h

(Eq. 8. 14)

On constate que si le gyromètre est placé à l’un des pôles de la Terre ( )0=zθ , ceteffet est nul, ce qui se comprend bien car le mouvement du gyromètre dans le champ degravitation est alors nul.

8.1.3.3 Troisième terme : l’effet LENSE-THIRRING

Ce terme correspond à l’effet LENSE-THIRRING. Il est lié au fait que la Terre tournesur elle même, et entraîne avec elle le repère d’inertie local.

( )( )zThirringLense

rJ

cAm θφ 2cos31

2−−=∆

⊕

⊕−

h(Eq. 8. 15)

Les masses en mouvement produisent une double modification de la courbure : unemodification liée à leur masse, comme on vient de le voir, et une modification liée à leurénergie cinétique. Pour un corps en rotation par exemple, on peut donner une image simple.Considérons une serviette quadrillée sur laquelle on pose son doigt. Le quadrillage va êtrenotre référentiel d’inertie. Si on tourne son doigt sur lui même, on entraîne localement laserviette, qui va donc s’enrouler autour du doigt, ainsi le quadrillage va localement sedéformer et se mettre à tourner avec le doigt, mais pas forcément à la même vitesse : lavitesse d’enroulement dépend de la pression que l’on exerce avec le doigt sur la serviette.L’effet LENSE-THIRRING est analogue à cette expérience. Le référentiel d’inertie local estentraîné en rotation par les courants de masses proches de lui, qui vont provoquer unchangement d’orientation de ses axes par rapport à un autre référentiel d’inertie donné partrois étoiles lointaines. C’est pourquoi cet effet s’appelle aussi effet « d’entraînement duréférentiel d’inertie local ».


On constate que l’entraînement du repère d’inertie local se fait dans le même sens quela rotation de la Terre pour ( )( )1cos3 ≥zθ , et dans le sens inverse de la rotation de la Terrepour les points proches de l’équateur ( )( )1cos3 ≤zθ . Un entraînement dans le sens inversepeut paraître surprenant, on peut toutefois en donner une explication intuitive dans le cas d’ungyroscope mécanique. Si ce gyroscope est placé au niveau de l’équateur, l’action del’entraînement de repère local est plus important sur la partie du gyroscope proche de laTerre, que sur la partie plus éloignée. L’entraînement du repère d’inertie a alors tendance àprovoquer la rotation du gyroscope comme s’il était lié à la Terre comme un engrenage, larotation du gyroscope est alors de sens opposée à celle de la Terre.

Tous les calculs que nous présentés dans cette partie supposent que la théorie de larelativité générale est correcte. Ils peuvent être généralisés dans le cas des champs degravitation faibles et des déplacement lents, à l’ensemble des théories métriques alternatives.Nous allons décrire, dans le paragraphe suivant, le formalisme PPN qui offre un cadre d’étudeidéal pour la comparaison des théories alternatives.

8.1.4 Le formalisme PPN

Dans le domaine des champs de gravitation faibles et des faibles déplacements, dont lesystème solaire constitue un bon exemple, le couplage entre les distributions de masses et lamétrique peut être caractérisé par un certain nombre de paramètres, que l’on appelleparamètres post newtoniens, ou paramètres PPN. Ces paramètres sont à la base duformalisme PPN développé par M. WILL et K. NORDTVEDT en 1972 [WILL 72-1], [WILL 72-2]. Outre le fait de présenter un cadre d’étude simplifié pour les champs faibles et les faiblesdéplacements, l’intérêt de ce formalisme est de comparer entre elles les différentes théoriesmétriques de la gravitation. Chaque théorie est représentée par la donnée d’un ensemble dedix paramètres PPN. On compare donc les théories en comparant les valeurs de leursparamètres PPN.

Le principal objectif des tests de la gravitation est donc de déterminerexpérimentalement les valeurs de ces dix paramètres le plus précisément possible afin devalider ou d’éliminer certaines théories. Parmi les dix paramètres PPN, nous n’en utiliseronsque quatre dans cette étude ; ils sont notés α1, γ, ∆1 et ∆2 (1).

(1) En fait α1 ne fait pas partie des dix paramètres PPN car il se déduit des autres : α1= 7∆1+ ∆2 - 4 (γ+1). Nousavons choisi de décrire le formalisme PPN avec cet ensemble de paramètres introduit par Will [WILL 71]. Ilexiste d’autres descriptions de ce formalisme s’appuyant sur d’autres paramètres avec des noms différents, maisparfois aussi avec des noms identiques, d’où une certaine confusion possible. Les quatre paramètres utilisés sontdécrits par la suite. Dans le cadre de la relativité générale d’EINSTEIN : γ =∆1 =∆2 =1 et α1= 0.


8.1.4.1 Le paramètre α1

Ce paramètre est associé au « référentiel de préférence ». La théorie de la relativitégénérale d’EINSTEIN prévoit qu’il n’existe pas de référentiel de préférence pour appliquer leslois de la physique. Tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autressont équivalents. Dans cette théorie le paramètre α1 est donc nul. D’autres théories prévoientl’existence d’un référentiel dans lequel l’univers est au repos qui serait le référentiel depréférence. Ce référentiel serait par exemple celui dans lequel le rayonnement à 3 K(rayonnement fossile du Big Bang correspondant au rayonnement du corps noir de l’ensemblede l’univers) serait isotrope. Des expériences réalisées en 1977 [SMOOT 77] et en 1979[SMOOT 79] dans les hémisphères nord et sud ont déjà montré une anisotropie de cerayonnement dont la température serait, bien qu’elle varie un peu suivant les expériences etles termes correctifs utilisés, de 3,5 K ± 0,6 mK. Ces résultats indiqueraient que la Terre sedéplace par rapport au référentiel de repos du rayonnement fossile avec une vitesse de 390 ±60 km.s-1 dans la direction de la constellation du Lion (direction 11 ± 0,5 h R.A, 6° ± 10°dec).

La théorie d’EINSTEIN prévoit que α1 est nul. Les expériences permettent pour l’instantde dire qu’il est inférieur, en valeur absolue, à 0,02 [SCULLY 81].

8.1.4.2 Le paramètre γ

Ce paramètre est associé à la courbure de l’espace-temps provoquée par la présenced’une masse. Le paramètre γ détermine le rayon de courbure produit par une masse au reposde 1 kg. Il intervient dans l’effet de décalage vers le rouge ou dans la déflexion des rayonslumineux. Dans la théorie de la relativité générale, γ vaut 1. La valeur de γ a été déterminéeexpérimentalement en 1991 [ROBERTSON 91] en utilisant des techniques de VLBI (VeryLarge Base Interferometry) et a été trouvée égale à 1,0002 ± 0,002.

8.1.4.3 Les paramètres ∆1 et ∆2

Ces paramètres sont associés à l’effet d’entraînement des axes d’un référentield’inertie par un corps massif en rotation. Les paramètres ∆1 et ∆2 déterminent l’amplitude decet entraînement. Dans la théorie de la relativité générale ∆1 et ∆2 valent tous les deux 1, maisces deux paramètres n’ont, pour l’instant, jamais été mesurés expérimentalement (voircependant le paragraphe 8.1.5.3 et [CIUFOLINI 97]).

On donne à titre d’exemple les valeurs des paramètres α1, γ, ∆1 et ∆2 pour différentesmétriques issues de diverses théories alternatives :


Théories α1 γ ∆1 ∆2Théorie de la relativité genérale d’EINSTEIN 0 1 1 1Théorie de NI (1) -8 1 -1/7 1Théorie de BRANS-DICKE-JORDAN 0

ωω

++

21

ωω

714710

++ 1

ω est un paramètre que nous ne détaillerons pas ici. Pour plus de précisions sur les autresparamètres PPN et sur les théories alternatives on pourra se reporter à [WILL 81 p 116 et 255,MISNER 73, p 1066].

8.1.4.4 L’expérience de SCHIFF dans le formalisme PPN

L’expression (Eq. 8. 12) nous a permis de déterminer l’expression du déphasage à lasortie du gyromètre atomique dans le cadre de la relativité générale. Cette expression peutêtre généralisée dans le cadre du formalisme PPN. On pourra trouver le détail de ce calculdans [HAUGAN 80], on ne donne ici que le résultat :

( ) ( )

∆+∆++++Ω=∆ ∆⊕ TTTAmtotal 7

81 1

21 2 211 γα γαφ

h(Eq. 8. 16)

• αT est le terme lié à l’effet du référentiel de préférence. Le déphasage associé à ceteffet vaut :

wr

GMc

Ampréférence 2

2 1

⊕

⊕

=∆αφ

h(Eq. 8.17)

où w est la vitesse de la Terre par rapport au référentiel de préférence. La mesure de cedéphasage permet donc d’accéder au paramètre α1. En relativité générale ce terme n’apparaîtpas car il n’y a pas de référentiel de préférence ( )01=α .

• γT est le terme lié à l’effet DE SITTER dû à la courbure de l’espace, provoquée par lamasse de la Terre. L’équation (Eq. 8. 14) de la relativité générale doit donc être remplacéedans le formalisme PPN par :

(1) Il est clair que compte tenu de la valeur de α1 prédite par la théorie de NI, et de celle déterminéeexpérimentalement par SCULLY [SCULLY 82], cette théorie n’est pas viable. Elle est donnée ici juste à titred’exemple.


( )zdeSitter

rGM

cAm θγφ 2sin

23

21

2

⊕⊕

⊕ Ω

+

=∆h

(Eq. 8.18)

On constate donc que la mesure de l’effet DE SITTER permet d’accéder à la valeur duparamètre γ. Dans le cadre de la relativité générale ( ) 2/1+γ est égal à 1, et on retrouve bien(Eq. 8.14).

• ∆T est le terme lié à l’effet LENSE-THIRRING induit par la rotation de la Terre.L’expression (Eq. 8.15) doit alors être remplacée par :

( )( )zThirringLense

rJ

cAm θφ 221 cos31

87

2

−

∆+∆

−=∆⊕

⊕−

h(Eq. 8.19)

La mesure de l’effet LENSE-THIRRING permet donc d’accéder à la valeur des paramètres ∆1 et∆2.

8.1.4.5 Comparaison des ordres de grandeurs

En optimisant la latitude et la direction de l’axe d’entrée du gyromètre [CHOW 85], lesordres de grandeur de ces termes sont :

1,2 10-7 ⊕Ω 1α pour l’effet du référentiel de préférence.1,4 10-9 ( ) ⊕Ω+ 2/1γ pour l’effet DE SITTER.5,6 10-10 ( ) ⊕Ω∆+∆ 8/7 21 pour l’effet LENSE-THIRRING.

On peut donner des valeurs précises de ces effets pour la relativité généraled’EINSTEIN, dans le cas d’une expérience réalisée sur Terre :

aucun effet dû au référentiel de préférence car 01=α .Effet DE SITTER : 1,02 10-13 rad.s-1

Effet LENSE-THIRRING : 4,07 10-14 rad.s-1

On constate que le niveau de sensibilité nécessaire à cette expérience est bien inférieurà celui des meilleurs gyroscopes et gyromètres actuels. Néanmoins le fonctionnement enmicrogravité des capteurs atomiques apparaît comme une des solutions les plus prometteusespour augmenter la sensibilité et assurer une bonne stabilité long terme. C’est deans ce cadreque se situe le projet PHARAO/ACES d’horloge spatiale à atomes froids [LAURENT 98] et leprojet HYPER décrit dans le paragraphe 8.1.5.2.


8.1.5 Les différents tests de l’effet LENSE-THIRRING

Les effets DE SITTER et LENSE-THIRRING n'ont pour l'instant jamais été observés.Cependant des mesures du paramètre γ ont déjà été réalisées avec de très bonnes précisions (~10-3) par d'autres expériences, notamment par des techniques de VLBI [ROBERTSON 91], etpar des mesures de l'effet SHAPIRO [REASENBERG 79]. On comprend donc l'intérêt quepourrait avoir la mise en évidence de l'effet LENSE-THIRRING pour l'évaluation des paramètres∆1 et ∆2, et pour la mise en évidence du champ gravito-magnétique.

Nous allons détailler deux projets visant à mettre en évidence l’effet LENSE-THIRRING.Le principe de ces tests repose sur l’expérience proposée par SCHIFF, à la différence que lecapteur inertiel est placé dans un satellite en orbite autour de la Terre.

Réaliser ce type d’expérience sur un satellite présente plusieurs avantages importants.D’une part le déphasage induit par l'effet LENSE-THIRRING est masqué par des déphasagesbien plus grands produits par des effets "parasites" (moment quadrupolaire de la Terre, effetDE SITTER, précession de THOMAS, …). Réaliser l’expérience sur Terre augmente encore lenombre et l'amplitude de ces effets parasites (vibrations du sol, effet de marée, déplacementdes plaques tectoniques, …).

D’autre part, le choix de l’orbite devrait permettre de séparer les contributions deseffets LENSE-THIRRING et DE SITTER. Cette séparation est impossible pour un fonctionnementsur Terre.

Ainsi, à partir des équations (Eq.8. 14) et (Eq. 8. 15), on trouve que pour une orbiteéquatoriale circulaire ( )2/πθ =z , les deux contributions au champ gravito-magnétique(LENSE-THIRRING et DE SITTER) sont constantes tout au long de l'orbite et valent :

zéquatorial

rcJ eH 32Thirring-Lense

⊕−∝ (Eq. 8. 20)

zéquatorial

rcMG eH 2deSitter ω⊕−∝ (Eq. 8. 21)

où r est la distance du satellite au centre de la Terre et ω est sa vitesse de rotation le long deson orbite. Les deux effets étant suivant le même axe (Oz), il sera par conséquent impossiblede séparer leurs contributions.

Au contraire, si l'on considère une orbite polaire dans le plan (Oxz), les deuxcontributions au champ gravito-magnétique ne sont plus constantes sur la trajectoire :

( ) ( )

( )

cos 3 10

sin cos 3

2

z

32Thirring-Lense

−−∝ ⊕

z

zpolaire

rcJ

θ

θθH (Eq. 8. 22)


ypolaire

rMG eH deSitter ω⊕−∝ (Eq. 8. 23)

où zθ est l'angle de colatitude du satellite sur sa trajectoire. On constate alors que les deuxeffets sont suivant des axes perpendiculaires : il sont donc parfaitement discernables. D'après(Eq. 8. 22) on constate de plus que les deux composantes de l'effet LENSE-THIRRING sont dansle plan de l'orbite et sont modulées dans le temps. On peut déterminer la valeur moyenne deces deux composantes sur la trajectoire :

2/1

02/3

32orbiteThirring-Lense

−−∝ ⊕

rcJpolaireH (Eq. 8. 24)

En pratique, on choisira généralement une orbite polaire pour ce type d'expérience afin dedécoupler les effets DE SITTER et LENSE-THIRRING.

8.1.5.1 Le projet Gravity Probe B

Le projet Gravity-Probe B [EVERITT 74] a été initié dans les années 1970 àl’université de Stanford. Ce projet est maintenant une collaboration entre la NASA et cetteuniversité.

Trois gyroscopes mécaniques sont placés dans un satellite en orbite polaire autour dela Terre à une altitude de 650 kilomètres. L’effet LENSE-THIRRING fait tourner l’axe duréférentiel local de 42.10-3 arcsec en un an dans le sens de rotation de la Terre. Ce référentielest aussi soumis à l’effet DE SITTER. Cet effet fait tourner le référentiel local de 6,6 arcsecdans le plan de son orbite. Gravity-Probe B devrait être capable de mesurer l’effet LENSE-THIRRING à 10-2 près et l’effet DE SITTER à 10-5 près (Figure 8. 3). La mesure se fait parintégration du signal moyenné (Eq. 7.24) sur la trajectoire du satellite.

Le gyroscope mécanique est constitué d’un rotor – une sphère en quartz de 3,8 cm dediamètre recouverte de Niobium supraconducteur – en suspension électrostatique. La lecturede la direction de l’axe de rotation du rotor se fait par effet LONDON afin de ne pas perturberle dispositif. L’ensemble est placé dans un dewar refroidi à l’Hélium liquide (1,8 K). Lesdéfauts de forme de la sphère sont inférieurs à 10 nm (1), ce qui fait dire à ses concepteurs quecette boule est l’objet le plus rond jamais réalisé (Figure 8. 4). Le gyroscope est limité par unbruit blanc sur une très longue durée, l’amélioration de la mesure se fait donc en T -3/2, où Test le temps d’intégration (voir Chapitre 2).

(1) Cette contrainte de forme a pour but de minimiser l’effet de marée produit par la Terre sur la boule. La boulen’etant pas ponctuelle, elle est donc dans un champ de gravitation non constant (décroissance en 1/r²) qui faitque l’attraction Terrestre d’un côté de la boule n’est pas égale à celle du côté opposé. On montre que pour uncorps parfaitement sphérique, l’effet de marée est nul.


L’attitude du satellite est asservie en rotation grâce à un viseur d’étoile pointantl’étoile Rigel, et en accélération grâce à une masse épreuve en apesanteur. Ces deux systèmescontrôlent de petites fusées de poussée permettant de corriger l’attitude du satellite, quiconstitue ainsi un référentiel d’inertie. Le but de cette expérience est de mettre en évidence unmouvement de précession de l’axe des gyroscopes proportionnel à la valeur moyenne del’effet LENSE-THIRRING sur toute la trajectoire.

Le lancement est prévu fin 2002 pour une durée de deux ans.

LENSE-THIRRING42.10-3 arcsec/an

DE SITTER6,6. arcsec/an

Figure 8. 3 : les différentes précessions subies parles gyroscopes de Gravity-Probe B.

Figure 8. 4 : photographie du rotor du gyroscope deGravity-Probe B.

8.1.5.2 Le projet HYPER

Le projet HYPER [RASEL 00] est une collaboration européenne (France, Allemagne,Grande-Bretagne, Italie) financée par l’Agence Spatiale Européenne (ESA). Ce projet estsimilaire au projet Gravity-Probe B, mais à la différence que les gyroscopes mécaniques sontremplacés par deux gyromètres à ondes atomiques dont les axes d'entrée sont dans le plan del'orbite, suivant les axes (Ox) et (Oz). L'extrême sensibilité des gyromètres utilisés (~ 10-12

rad.s-1.Hz-1/2) devrait permettre de mettre en évidence la modulation des deux composantes duchamp gravito-magnétique au cours du temps (voir Eq. 8.22). Sur une orbite polaire à 450 km


d'altitude, l'effet LENSE-THIRRING induit une vitesse de rotation variant de –2,5 10-14 rad.s-1

aux pôles, à 1,25 10-14 rad.s-1 à l'équateur (voir Figure 8. 5). Ce niveau est donc accessible enmoins d'une heure d'intégration, et ainsi, une véritable cartographie du champ gravito-magnétique à 1 % près pourrait être envisagée en un an.

On peut préciser de plus que ce projet se propose aussi la mesure de la constante destructure fine [KINOSHITA 96].

Ce projet a démarré en 1999, pour un lancement prévu dans les années 2015.

- 2,5 10-14 rad.s-1

- 2,5 10-14 rad.s-1

1,25 10-14 rad.s-11,25 10-14 rad.s-1

HYPER

Figure 8. 5 : champ gravito-magnétique de la Terre avec l'orbite de HYPER.

8.1.5.3 Expériences avec les satellites LAGEOS

L’orbite d’un satellite tournant autour de la Terre se comporte comme un énormegyroscope (pour un mouvement soumis à une force centrale) qui va être entraîné par le champgravito-magnétique créé par la Terre en rotation. L’orbite du satellite va subir un couple quise traduit par un mouvement de rotation des points d’intersection entre l’orbite du satellite etle plan équatorial de la Terre (voir Figure 8. 6), avec une vitesse angulaire [CIUFOLINI 97] :

( )[ ]3r

. . 3 JrrJ −=Ω −ThirringLense (Eq. 8. 25)

où J est le moment cinétique de la Terre. Cet équation ressemble beaucoup à l'équation (Eq.8. 8), mais elle est obtenue d'une façon complètement différente. L'équation (Eq. 8.25) estobtenue en déterminant la trajectoire d'un point matériel (le satellite) dans l'espace courbe


produit par la Terre en rotation en utilisant la métrique de KERR-NEWMAN (voir paragraphe8.1.2.3.

z

ΩLense-Thirring

Ω⊕

Plan de l’orbite initiale du satellite

Plan de l’orbite après un certain temps

précession

θ0

Figure 8. 6 : précession du plan de l’orbite d’un satellite soumis à l’effet LENSE-THIRRING.

Ce type d’expérience a été proposée par VAN PATEN et EVERITT en 1976 [VAN

PATTEN 76], puis par CIUFOLINI en 1989 [CIUFOLINI 89]. La principale difficulté est desoustraire les différents effets parasites, en particulier les effets de marée et du momentquadrupolaire (1) de la Terre, qui entraînent une précession environ 10 millions de fois plusgrande que celle que l’on veut détecter. L’utilisation de deux satellites dont les plans d’orbitessont symétriques de part et d’autre de l’axe de rotation de la Terre permet une bien meilleureréjection de ces effets parasites. L’expérience a été réalisée en 1997 [CIUFOLINI 97] endépouillant les données d’orbites et de trajectoires des satellites LAGEOS (θ0 = 109,9° etr~12000 km) et LAGEOS II (θ0 = 52,65° et r ~12000 km) sur une durée d’observation de troisans. Les auteurs déduisent de leur mesure une valeur de :

( )217 81 ∆+∆=−ThirringLenseµ = 1,1 ± 0,3

Ce résultat reste pour l’instant assez controversé compte tenu de l'incertitude très importante(30 %) qui entache la valeur trouvée et de l’utilisation de modèles pour déterminer les effetsparasites à soustraire.

(1) Le potentiel gravitationnel ne vaut exactement U=-GM/r que pour une distribution sphérique de matière. Dansle cas contraire on doit faire un développement multipolaire du potentiel. La Terre n’est pas une sphère parfaite(le diamètre équatorial diffère du diamètre polaire d’environ 0,3 %), il faut donc tenir compte du momentquadripolaire lorsque l’on calcule les trajectoires de satellites par exemple. L’influence de ce terme est de faireprécesser le plan de l’orbite du satellite autour de l’axe de rotation de la Terre.


8.1.6 Conclusion

La mise en évidence de l’effet LENSE-THIRRING reste donc un enjeu important pour lavalidation de la relativité générale. Bien que prédit en 1917, ce n’est que depuis les années 60que les premiers projets expérimentaux sont apparus. L’extrême petitesse de l’effet à observer(~ 4.10-14 rad.s-1) place les gyromètres atomiques en microgravité comme des candidatsidéaux pour déceler cet effet.


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ANNEXES 267

ANNEXES

Annexe A : L’atome de Césium

Annexe B : Notions sur les bruits pour lacaractérisation des capteurs inertiels

Annexe C : Les gyroscopes mécaniques

Annexe D : Les gyromètres optiques

Annexe A : L’ATOME DE CESIUM 269

ANNEXE A : L’ATOME DE CESIUM

Table des matières

A.1 CONFIGURATION ÉLECTRONIQUE.................................................................... 270

A.2 CONFIGURATION ÉNERGÉTIQUE ...................................................................... 270A.2.1 Couplage spin de l'électron – moment orbital : structure fine ........................... 270A.2.2 Couplage spin nucléaire – moment cinétique : structure hyperfine ................... 271A.2.3 Structure Zeeman ............................................................................................... 271

A.3 TRANSITIONS AUTORISÉES ................................................................................ 273A.3.1 Probabilité de transition entre niveaux hyperfins par émission spontanée ........ 273A.3.2 Coefficients de Clebsch-Gordan ........................................................................ 273

A.4 LES TRANSITIONS UTILES................................................................................... 273A.4.1 La transition cyclante F = 4 → F ' = 5................................................................ 274A.4.2 La transition pompante F = 3 → F ' = 4 ............................................................ 274A.4.3 La transition d’horloge F = 3 ↔ F = 4............................................................... 275

Partie A.1 :Configuration électronique 270

ANNEXE A :

L’ATOME DE CESIUM

Le césium est un métal alcalin, il est placé dans le tableau de MENDELEIV dans lapremière colonne et sur la sixième ligne. Son numéro atomique est 55 (nombre de protons),son nombre de masse vaut 133 (nombre total de nucléons) et sa masse atomique est de 220,810-27 kg.

A.1 CONFIGURATION ÉLECTRONIQUE

L'atome de césium a 55 électrons, sa configuration électronique est donc :

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3f10 4p6 5s2 4f10 5p6 6s1

Seule la couche incomplète nous intéresse, il s'agit de la couche 6s1 donc de l'électronunique situé sur la couche énergétique repérée par le nombre quantique principal n = 6.

A.2 CONFIGURATION ÉNERGÉTIQUE

A.2.1 Couplage spin de l'électron – moment orbital : structure fine

• L'atome de césium dans l'état fondamental 6S1 a un moment orbital L =0. Associéavec le spin de l'électron unique S = 1/2, le moment cinétique issu du couplage spin-orbite(couplage L - S) vaut :

SLJSL +≤≤− (Eq. A. 1)

On trouve ici la valeur unique: J = 1/2.


• Lorsque l'atome de césium est excité, il passe dans l'état 6P1, son moment orbitalvaut donc L = 1. Le moment cinétique peut alors valoir J = 1/2 ou J = 3/2, d'après (Eq. A.1).

A.2.2 Couplage spin nucléaire – moment cinétique : structure hyperfine

Le spin nucléaire du césium vaut I = 7/2. Associé au moment cinétique trouvéprécédemment, on obtient le nombre quantique hyperfin F, issu du couplage J – I, donné par :

IJFIJ +≤≤− (Eq. A. 2)

pour le niveau 6S1/2 : L = 0, J = 1/2 on trouve F = 3 et F = 4.pour le niveau 6P1/2 : L = 1, J = 1/2 on trouve F' = 3 et F' = 4.pour le niveau 6P3/2 : L = 1, J = 3/2 on trouve F' = 2, F' = 3, F' = 4 et F' = 5.

A.2.3 Structure ZEEMAN

Chaque niveau hyperfin est dégénéré en m sous-niveaux ZEEMAN avec :FmF ≤≤− (Eq. A. 3)

On peut lever cette dégénérescence en appliquant un champ magnétique. Chaque sous-niveaux ZEEMAN est alors déplacé en énergie d'une quantité :

BgmE BF µ−=∆ (Eq. A. 4)

où gF est le facteur de LANDÉ du niveau hyperfin F, µB est la magnéton de BOHR, et B est lemodule du champ magnétique. Ce déplacement d'énergie peut être traduit en déplacement defréquence ∆f = ∆E / h.

On obtient ainsi la structure énergétique de l'atome de césium représentée Figure A. 1 :

Partie A.2 : configuration énergétique 272

F' = 2

F' = 3

F' = 4

F' = 5

F' = 4

F' = 3

F = 4

F = 3

6P3/2

6P1/2

6S1/2

raie D2 λ = 852,12 nm

structure hyperfine

structure fine

structure Zeeman

m = 40 m = -4

m = 30 m = -3

m = 5 0 m = -5

m = 20 m = -2

m = 40 m = -4

m = 30 m = -3

m = 3 0 m = -3

m = 4 0 m = -4

251,4 MHz

201,5 MHz

151,3 MHz

m ×560 kHz/G

m ×373 kHz/G

-m ×0,588 kHz/G

-m ×334 kHz/G

m ×116 kHz/G

-m ×117 kHz/G

m ×350 kHz/G

-m ×351 kHz/G

9,192 GHz

raie D1 λ = 894,36 nm

1068 MHz

Figure A. 1 : diagramme énergétique du Césium. Seules les raies D1 et D2 sont représentées.


A.3 TRANSITIONS AUTORISÉES

La conservation du moment cinétique au cours d'une transition impose des règles desélection. Seules les transitions ∆F = 0, ±1 et ∆m = 0, ±1 sont autorisées, à l'exception de latransition ∆F = 0 et ∆m = 0.

A.3.1 Probabilité de transition entre niveaux hyperfins par émission spontanée

Lorsqu'un atome est dans l'état excité 6P3/2, il se désexcite par émission spontanée versle niveau 6S1/2. La probabilité de redescendre dans les sous-niveaux hyperfins F = 3 ou F = 4est donnée par la force de raie. Ces probabilités sont résumées dans le tableau ci-dessous :

F' = 2 F' = 3 F' = 4 F' = 5F = 3 1 3/4 5/12 0F = 4 0 1/4 7/12 1

Figure A. 2 : probabilité de désexcitation par émission spontanée du niveau 6P3/2vers le niveau 6S1/2.

A.3.2 Coefficients de CLEBSCH-GORDAN

Lors d'une transition qmFmF +→ ,', , la probabilité de transition estproportionnelle au carré du coefficient de CLEBSCH-GORDAN

qmmcg =∆

défini par :

mFdqmFcg qqm

m , ˆ . ˆ ,' +=∆ += ε (Eq. A. 5)

où d est l'opérateur dipôle réduit et qε est le vecteur polarisation du champ électrique, q =0,+1 ou –1 respectivement pour les polarisations π, σ + et σ -, définies par rapport à l'axe dequantification donné par le champ magnétique.

Ces coefficients sont normalisés pour que la somme des carrés des coefficients partantdes sous-niveaux ZEEMAN de l'état excité soit égal à 1. Pour une transition F → F ' = F+1, cecoefficient est défini suivant la valeur de q par :

( ) ( )( ) ( )22 12

2 1 1

++++=±=∆

FFmFmFcg m

mmm et ( )

( ) ( )1 12 1

220

++−+==∆

FFmFcg m

m (Eq. A. 6)

A.4 LES TRANSITIONS UTILES

Toutes les interactions atomes / lasers que nous utilisons pour les différentes phases del’expérience (refroidissement, faisceau pousseur, interaction RAMAN, détection) peuvent êtredécrites par trois transitions différentes que nous allons détailler ici.

Partie A.4 : Transitions utiles 274

A.4.1 La transition cyclante F = 4 → F ' = 5

Dans notre expérience, la transition dite "cyclante" ou "fermée" F = 4 → F ' = 5 esttrès souvent utilisée, comme par exemple pour les phases de refroidissement ou de détection.

Un atome initialement dans l'état F = 4 est placé dans un champ lumineux accordé surla transition F = 4 → F ' = 5. Cet atome est alors excité vers l'état F ' = 5. Il n'a pas d'autrechoix ensuite que de se désexciter par émission spontanée vers le niveau F = 4, seul niveauautorisé par les règles de sélection. L'atome revenu dans l'état F = 4 va pouvoir effectuer ànouveau un cycle absorption – émission spontanée. Le nombre de cycles que l'atome vaeffectuer par seconde dépend de la largeur de raie de la transition F = 4 → F ' = 5, del’intensité lumineuse du laser et du désaccord à résonance :

( )

Γ++Γ

= 2/ 4 / 1/

2

δsat

satcycles

IIIIn (Eq. A. 7)

Pour la transition considérée ici Γ = 2π × 5,3 MHz et =satI 1,1 mW.cm-2.

Cette formule nous sera très utile pour relier le nombre de photons détectés au nombred'atomes présents au cours de la détection par exemple, ou pour calculer le nombre de reculspris par un atome pendant la phase de refroidissement ou avec le faisceau pousseur.

En pratique la transition F = 4 → F ' = 5 n'est pas complètement fermée. En effet, il ya une probabilité non nulle (donnée par Eq. 4. 22), avec un laser accordé sur cette transition,d'exciter la transition F = 4 → F ' = 4, qui n'est séparée de la première que de 251,4 MHz. Orun atome dans l'état 6P3/2, F' = 4 à une probabilité 5/12 de se désexciter vers l'état 6S1/2, F = 3par émission spontanée, ce qui le met alors complètement hors résonance du laser cardésaccordé d'environ 9,2 GHz, les cycles absoption-émission sont alors interrompus. Pouréviter cette perte d'atomes pendant la phase de refroidissement, on utilise un deuxième laser,accordé sur la transition F = 3 → F ' = 4 qui va ré-exciter les atomes vers le niveau F' = 4 afinqu’ils réintègrent le cycle de refroidissement.. Nous allons décrire plus précisément cettetransition.

A.4.2 La transition pompante F = 3 → F ' = 4

Cette transition est utilisée pendant la phase de refroidissement pour récupérer lesatomes qui quittent le cycle de refroidissement en tombant dans l’état F = 3, ou bien pendantla phase de détection pour repomper tous les atomes de F = 3 vers F = 4 afin de les détecterpar la transition cyclante F = 4 → F ' = 5.

D’après le tableau (Figure A. 2), un atome dans sur le niveau F’ = 4 a une probabilité7/12 (~ 60 %) de se désexciter vers le niveau F = 4. Ainsi après n cycles, le nombre d’atomesqui sont passés dans l’état F = 4 vaut 1-(5/12)n. Après 10 cycles par exemple le nombre


d’atomes restant dans F = 4 est de 2/10.000ème. Le nombre de cycles par seconde est donnépar la relation (Eq. A. 7). Ce pompage est donc extrêmement performant car une intensitérésonnante de 1nW.cm-2 appliquée pendant une durée de 1ms est suffisante pour que lesatomes effectuent 10 cycles.

A.4.3 La transition d’horloge F = 3 ↔ F = 4

Dans notre expérience nous utilisons une autre transition très importante. C'est latransition entre les deux niveaux hyperfins fondamentaux : 6S1/2, F = 3 et 6S1/2, F = 4. Cesdeux niveaux sont séparés de 9,2 GHz. La transition se situe donc dans le domaine micro-onde. Compte tenu de la très longue durée de vie des deux états fondamentaux, l’émissionspontanée peut être négligée et la transition est alors décrite par le modèle de l’atome à deuxniveaux développé au paragraphe 4.1.

La transition peut être induite par un photon micro-onde (généralement à l’intérieurd’une cavité) : c'est ce qui est fait au moment de la préparation atomique.

La transition peut également être induite par un processus à deux photons, il s’agitalors d’une transition RAMAN stimulée. Ce mécanisme est détaillé au paragraphe 4.2.

Annexe B : Notions sur les bruits 277

ANNEXE B : NOTIONS SUR LE BRUIT POUR LA CARACTERISATIONDES CAPTEURS INERTIELS

Table des matières

B.1 POSITION DU PROBLÈME ................................................................................... 279

B.2 BRUIT ET DENSITÉ SPECTRALE DE PUISSANCE .......................................... 280

B.3 FILTRAGE ET DÉTECTION D’UN BRUIT .......................................................... 283

B.4 BRUIT BLANC........................................................................................................ 285

Partie B . 1 : Position du problème 278

ANNEXE B :

NOTIONS SUR LES BRUITSPOUR LA CARATERISATION DES CAPTEURS INERTIELS

La caractérisation d’un appareil est effectuée au moment de la phase d’étalonnage.Comme on l’a vu au chapitre 2, c’est au cours de cette phase que l’on va construire le modèled’erreur de l’appareil, et déterminer son facteur d’échelle et son biais, ainsi que leurdépendance en fonction de différents paramètres extérieurs. Toutes les contributions que l’onne peut pas caractériser de façon déterministe sont alors incorporées dans un modèle de bruit.Ceci se traduit par l’expression (Eq 2. 20) qui relie le signal de sortie aux différentsparamètres d’entrées de l’appareil :

( ) ( ) ( ) ( )tbxBxKtS ii~

++Ω= (Eq. B. 1)

( )ixK et ( )ixB représentent respectivement le facteur d’échelle et le biais en fonction desparamètres ix dont on a réussi à modéliser la dépendance. Le terme ( )tb est une fonctionaléatoire représentant le modèle d’erreur de l’appareil. Ce terme contient évidemment le bruitlimite quantique de l’appareil ( )tε qui est très bien représenté par un bruit blanc, et toutes lescontributions non modélisables de façon déterministe du facteur d’échelle ( )tκ~ et du biais ( )tβ~ :

( ) ( ) ( ) ( )ttttb εβκ ~~~~++Ω= (Eq. B. 2)


B.1 POSITION DU PROBLÈME

Dans la description que nous venons de faire, nous avons négligé une étape trèsimportante qui est à la base de la caractérisation, c’est la construction du modèle de bruit.C’est-à-dire que l’on cherche à partir des quelques mesures effectuées au moment del’étalonnage, à déterminer les fonctions ( )tκ~ et ( )tβ~ .

Considérons un capteur avec lequel on effectue une série de N mesures d’une grandeurd’entrée x que l’on supposera indépendante du temps. Si l’appareil n’a aucun bruit, onobtient N fois la même valeur 0S . Si de plus le facteur d’échelle et le biais de l’appareil sontparfaitement connus, on peut dire que la grandeur d’entrée vaut 0x de façon certaine. 0x estrelié à 0S par la relation issue du modèle d’erreur :

0000 BxKS += (Eq. B. 3)

Si l’appareil est bruité, ce qui en pratique est toujours le cas, on obtient une série devaleurs Ni SSS ,...,...1 . Cette série nous permet de déterminer la valeur moyenne des Nvaleurs trouvées, ainsi que l’écart-type :

( ) ∑=

=N

iiS

NNS

1

1 (Eq. B. 4)

Et ( ) ( )( )∑=

−=N

iiS NSS

NN

1

21σ (Eq. B. 5)

Comme on a supposé la grandeur d’entrée constante, il est clair que si l’on observeune dérive sur la série de mesures, celle-ci doit être corrigée grâce à une droite de régressiondans le cas d’une dérive linéaire ou par une forme plus complexe dans le cas de dérivesd’ordres supérieurs.

La valeur moyenne ( )NS nous permet alors de décomposer a posteriori chaque mesure iS endeux contributions :

( ) ii bNSS += (Eq. B. 6)

( )NS est la contribution du signal, c’est une valeur constante, c’est à dire indépendantede i, mais qui dépend de N.

ib est la contribution du bruit, c’est la ième valeur d’une variable ( )Nb à moyennenulle (par construction) et d’écart-type ( )NSσ , mais dont on ne connaît pas, a priori, la loi deprobabilité.

On peut alors, à partir de ( )NS et de ( )NSσ définir un intervalle de confiance, c’est àdire que l’on pourra prétendre que la valeur de x que l’on cherche est incluse dansl’intervalle [ ]σσ +− xx , , avec une forte probabilité. Les deux valeurs x et σ sont reliées à( )NS et ( )NSσ par la relation (Eq. B. 3). Afin de donner une information plus quantitative à

l’expression « forte probabilité », il est intéressant d’étudier plus précisément le terme de bruit

Partie B . 1 : Position du problème 280

( )Nb , et d’essayer de l’approcher par des fonctions aléatoires dont on connaît la loi deprobabilité.

B. 2 BRUIT ET DENSITÉ SPECTRALE DE PUISSANCE

Cette approximation de ( )Nb par des fonctions aléatoires consiste en quelque sorte àfaire un passage à la limite ( )∞→N . Bien qu’impossible expérimentalement, ceci va nouspermettre d’estimer le modèle de bruit de l’appareil. Les variables aléatoires iS et ib sontalors remplacées par des fonctions aléatoires ( )tS et ( )tb qui sont reliées entre elles par larelation :

( ) ( ) ( )tbSEtS += (Eq. B. 7)

( )SE représente l’espérance de ( )tS , et va être définie dans le prochain paragraphe.

Le fait d’avoir transformé nos N valeurs ib en une fonction aléatoire ( )tb nous permetalors de définir un ensemble de grandeurs caractéristiques que nous présentons icibrièvement (on a donné des unités à ces grandeurs en supposant que ( )tb était un bruit devitesse de rotation en rad.s-1) :

• l’espérance (ou la moyenne) :

( ) ( )∫∞→=

T

Tdttb

TbE

0 1 lim en rad.s-1 (Eq. B. 8)

pour un bruit l’espérance est toujours nulle (car on s’est affranchi des dérives) : ( ) 0=bE .

• la fonction d’auto-corrélation :

( ) ( ) ( )∫ −=∞→

T

Tb dttbtbT

R

0 1 lim ττ en (rad.s-1)2 (Eq. B. 9)

cette fonction traduit la corrélation entre l’amplitude du bruit à deux instants séparés d’unedurée τ . Si l’amplitude du bruit à l’instant t n’influe pas du tout sur son amplitude à l’instantτ+t , alors ( ) 0=τbR . Par contre l’amplitude du bruit à l’instant t est toujours corrélée avec elle

même et on a : ( ) 20 bbR σ= .

• la densité spectrale de puissance unilatérale (notée DSP dans la suite) :

( ) ( )∫∞ −=

0

2 2 ττ τπ deRfS fibb en (rad.s-1)2.Hz-1 (Eq. B. 10)

C’est la transformée de FOURIER de la fonction d’auto-corrélation qui traduit la densité depuissance de bruit pour chaque composante de fréquence. On ne considère ici que le domainedes fréquences positives, ce qui explique le facteur 2 dans (Eq. B.10).

• la puissance totale de bruit :


( ) ( )∫∞

===

0

20 bbbb RdffSP σ en (rad.s-1)2 (Eq. B. 11)

La puissance totale de bruit est donc égale à la variance. L’incertitude qui entache unemesure, du fait de ce bruit est donnée par l’écart-type, qui est donc égal à la racine carrée de lapuissance totale de bruit.

Pour approximer le bruit ( )Nb avec des fonctions aléatoires dont on connaît le loi deprobabilité, on utilise généralement la densité spectrale de puissance comme moyen decomparaison. En appliquant les expressions (Eq. B. 9) puis (Eq. B. 10) à ( )Nb , on obtient saDSP. Si N est suffisamment grand, on obtient typiquement une courbe comme cellereprésentée Figure B. 1.

0,01 0,1 1 100,01

0,1

1

10

fréquence (u.a.)

DSP

(u.a

.)

Figure B. 1 : forme classique de la DSP d’un bruit dans un capteur inertiel (entraits pleins). En pointillés on a représenté une approximation de cette courbepar des processus de bruits en puissances de f. On peut approximer la DSP partrois fonctions différentes comme indiqué par (Eq. B.13) dans chacune deszones [0, f-1], [ f-1 , f0] et [f0 , ∞ [.

Cette DSP peut alors être approximée par une expression de la forme :( ) ∑ ×=

α

αα fhfSb (Eq. B. 12)

suivant que la DSP de ( )Nb présente une remontée plus ou moins rapide en basse fréquence,on fera intervenir des valeurs de α plus ou moins grandes. Par exemple pour la courbereprésentée Figure B. 1, une décomposition sous la forme :

( ) 012211 hf

hf

hfSb +

×+

×= −− (Eq. B. 13)

semble une bonne approximation. On reconnaît alors un bruit de marche aléatoire en ( )2/1 f ,un bruit de scintillation en ( )f/1 , et un bruit blanc indépendant de f.

Pente 0

Pente -1

Pente-2

f-1 f0

Partie B . 2 :Bruits et densité spectrale de puissance 282

On ne s’est pas préoccupé des problèmes de convergence des intégrales dans lesexpressions (Eq. B. 8) à (Eq. B. 11). Ce problème de convergence peut être levé en utilisantdes variances plus élaborées que la variance statistique. La variance d’ALLAN par exemplepermet de rendre convergentes en f = 0 les intégrales pour 2−=α ou -1. La convergence en

∞→f ne pose pas de problème car en pratique le système de détection se comporte toujourscomme un filtre passe-bas de fréquence de coupure cf . Nous ne développerons pas lavariance d’ALLAN dans cette annexe mais on pourra se reporter à [CHRONOS 91] pour plus deprécisions.

Cette approximation de ( )Nb par des fonctions aléatoires connues nous permet alorsde déterminer l’incertitude qui entache une mesure. En effet on a vu que cette incertitude estégale à la racine carrée de la puissance de bruit, or cette puissance de bruit se calculesimplement grâce à l’expression (Eq. B. 12). On donne dans le Tableau B. 1 les puissances debruit pour les différentes valeurs de α (on a supposé que la grandeur d’entrée est la vitesse derotation, 0=α correspond donc à un bruit blanc de vitesse de rotation).

α Type de bruit Forme de la DSP Puissance de bruit Pente destabilité

2 Bruit blanc en θ 22 fh ×

22

83

Tfh c

π

-1

1 Bruit de scintillation en θ fh ×1 ( )22

1

423T

TfLogh c

ππ -1

0 Bruit blanc en Ω ou marchealéatoire en θ

0hT

h2

0 -1/2

-1 Bruit de scintillation en Ω 11

−− × fh ( )22 1Logh− 0

-2 Marche aléatoire en Ω 22

−− × fh

32 2

2 Th−π 1/2

Tableau B. 1 : La puissance de bruit est donnée dans le cas où la fréquence de coupure fc dufiltre passe bas est bien plus grande que 1/(2T), où T est la durée d’observation. Pour les deuxderniers bruits (scintillation et marche aléatoire de fréquence) la variance n’est pas définie carl’intégrale n’est pas convergeante. On utilise alors la variance d’ALLAN qui s’interprètecomme la variance de l’incrément du premier ordre.

Une question importante à laquelle on va essayer de répondre est comment évoluel’incertitude de mesure lorsque l’on intègre le signal sur une durée T. Pour répondre à cettequestion nous allons utiliser la notion de filtre qui est rappelée brièvement dans le paragraphesuivant.


B.3 FILTRAGE ET DÉTECTION D’UN BRUIT

Lorsque l’on détecte un signal bruité, il faut tenir compte du filtrage introduit par lesystème de détection. Ce filtrage a pour effet que la densité spectrale de puissance du bruitdétecté n’est pas égale à celle du bruit initial. En particulier, tous les systèmes de détection secomportent comme des filtres passe-bas de fréquence de coupure cf . Pour un filtre dupremier ordre cf est reliée au temps de réponse Rτ du détecteur par :

Rcf

πτ21

= (Eq. B. 14)

Ainsi, les composantes spectrales du bruit dont les fréquences sont supérieures à cfseront filtrées, c’est à dire atténuées. Afin de déterminer la DSP du bruit détecté, on introduitla notion de réponse impulsionnelle du filtre de détection ( )th . Cette fonction correspond à laréponse en sortie du système de détection lorsque le signal d’entrée est une distribution deDIRAC. Si on appelle ( )td la fonction aléatoire décrivant le bruit après filtrage par le systèmede détection, on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' '

dttthtbthtbtd −=∗= ∫

∞

∞− (Eq. B. 15)

La fonction d’auto-corrélation ( )τdR est alors donnée par :

( ) ( ) ( ) ( )ττττ hhRR bd ∗−∗= (Eq. B. 16)

Et la densité spectrale de puissance s’en déduit par :

( ) ( ) ( ) 2 fHfSfS bd = (Eq. B. 17)

où ( )fH est la transformée de FOURIER de la réponse impulsionnelle, on l’appelle fonctionde transfert du filtre de détection.

On définit enfin la bande de bruit f∆ d’un filtre comme :

( )( ) 2

max

0

2

fH

dffHf ∫

∞

=∆ (Eq. B. 18)

Cette définition nous sera utile pour calculer la puissance de bruit d’un bruit blancfiltré. Dans la suite de cette partie, nous allons considérer trois filtres très importants. Il s’agitdu filtre passe bas du premier ordre qui représentera notre système de détection, del’intégration sur une durée T, et de la moyenne temporelle sur une durée T. Les grandeurscaractéristiques de ces filtres sont résumées dans le Tableau B. 2 :

Partie B . 3 :Bruits et densité spectrale de puissance 284

Filtre réponse impulsionnelle module carré de lafonction de transfert

Bande de bruit

Premier ordre ( ) Rt

Rpb eth τ

τ/

1,1 −=

( )Rcf πτ2/1=

( ) 2

2

1,

1

1

+

=

c

pb

ff

fH cR

pb ff24

11,

πτ

==∆

Intégration sur unedurée T

( ) ( )tRectth TT = ( ) ( )( )2

222

sin

fTfTTfHT π

π=

TfT 2

1=∆

Moyenne temporellesur une durée T ( ) ( )tRect

Tth TTmoy

1 , = ( ) ( )

( )2

22

, sin

fTfTfH Tmoy π

π=

TfT 2

1=∆

Tableau B. 2 : réponse impulsionnelle, fonction de transfert et bande de bruitpour trois filtres que nous allons utiliser dans la suite.

Filtre passe-bas du premier ordre

0,0 1,0x10-5 2,0x10-5 3,0x10-5 4,0x10-50,0

5,0x104

1,0x105

1,5x105

2,0x105

répo

nse

impu

lsio

nnel

le

temps (s)104 105 106

10-2

10-1

100

|H(f)

|2

fréquence (Hz)

Figure B. 2 : réponse impulsionnelle (à gauche) et module carré de la fonctionde transfert (à droite en échelle logarithmique) pour un filtre passe-bas dupremier ordre de constante de temps 5µs. La fréquence de coupure vaut alorsenviron 50 kHz.

fc

pente en 1/f 2

∆f ~ 50kHz

5µs


Intégration sur une durée T

-0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,300,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

répo

nse

impu

lsio

nnel

le

temps (s)

100 101 102

10-4

10-3

10-2

|H(f)

|2

fréquence (Hz)

Figure B. 3 : réponse impulsionnelle (à gauche) et module carré de la fonctionde transfert (à droite en échelle logarithmique) pour un filtre correspondant àune intégration sur 100 ms.

Pour un moyennage sur une durée T la réponse impulsionnelle et le module carré de lafonction de transfert sont semblables à ceux présentés Figure B. 3, seuls les niveaux sontdifférents (voir les valeurs dans le tableau présenté précédemment).

Nous allons regarder maintenant comment ces différents filtres interviennent enfonction de la forme de DSP de ( )Nb . Nous allons supposer que l’appareil a un bruit blanc etnous déterminerons comment évolue l’incertitude de mesure en fonction du tempsd’intégration T. Ce cas est typiquement ce qui se produit dans un gyromètre optique ouatomique. La grandeur d’entrée de l’appareil est alors la vitesse de rotation.

B. 4 BRUIT BLANC

Le bruit blanc est le bruit qui donne la limite ultime théorique de tous les appareils. Ilest dû essentiellement au bruit de photons (distribution de POISSON) pour un capteur optique,ou au bruit thermique (distribution de BOLTZMANN) pour un capteur mécanique ouélectronique.

On note dans cette partie ( )tΩ le bruit car on suppose qu’il s’agit d’un bruit de vitesse derotation. Ceci nous permettra de retrouver les notations utilisées dans le chapitre 2.Considérons que ( )tΩ est un bruit blanc c’est à dire que :• Sa fonction d’auto-corrélation est une distribution de DIRAC : ( ) ( )τδστ 2

ΩΩ =R• sa densité spectrale de puissance est une fonction constante : ( ) 0hfS =Ω

• la puissance de bruit contenue dans une bande spectrale de largeur f∆ est égale à :

( ) fhfP ∆=∆Ω 0 (Eq. B. 19)

100 ms

∆f ~5 Hz

pente en 1/f 2

Partie B . 3 :Bruits blancs 286

On constate que si la bande passante de mesure est infinie ( )∞→∆f , la puissance debruit est infinie aussi. Le filtre passe-bas introduit par le système de détection transforme lebruit blanc ( )tΩ en un bruit ( )t1Ω dont la DSP est donnée par :

( )( )2

0

/11

cffhfS

+=Ω (Eq. B. 20)

La puissance du bruit détecté vaut alors :

Rpb

hfhPτ4

01,01 =∆×=Ω (Eq. B. 21)

L’incertitude de mesure sur un coup, sur la vitesse de rotation avec un tel gyromètre est alorsdonnée par :

Rb

hPτ

σ 0

21

11 ==Ω (Eq. B. 22)

Si l’on suppose que toutes les fréquences que l’on va considérer par la suite sontinférieures à cf , alors le bruit détecté peut à nouveau être considéré comme blanc, car on seplace dans la partie constante de la fonction de transfert (voir Figure B. 2). Pour un temps deréponse de 5 µs, la fréquence de coupure cf est d’environ 50 kHz.

On peut avec ce gyromètre essayer d’estimer l’angle de rotation en faisant une intégration dusignal sur une durée T . La fonction aléatoire à considérer est alors ( ) ( ) ( )thtt TT ∗Ω=θ , où

( )thT est la réponse impulsionnelle d’un intégration de durée T . On obtient alors :

( ) ( )( )2

22

0 sin

fTfTThfS

T ππ

θ ×= (Eq. B. 23)

La DSP est en 2/1 f , ( )tTθ n’est donc pas un bruit blanc. L’intégrale d’un bruit blanccorrespond à un bruit de marche aléatoire (bruit brownien).

On en déduit alors la puissance de bruit en intégrant la DSP :

( )202

02 Th

fThT TT=∆××=θσ (Eq. B. 24)

Ainsi l’incertitude qui entache l’estimation de la valeur de l’angle de rotation ( )tTθ croîtcomme T , lorsque la mesure est effectuée à l’aide d’un gyromètre limité par un bruit blanc.

Si l’on s’intéresse maintenant à l’estimation de la moyenne temporelle de la vitesse derotation, sur une durée T , la fonction aléatoire à considérer est alors :

( ) ( ) ( )thtt TmoyTmoy ,, ∗Ω=Ω . De la même façon que précédemment, on obtient :

( ) ( )( )2

2

0 sin

, fTfThfS

Tmoy ππ

×=Ω (Eq. B. 25)


Et la puissance de bruit vaut alors :

( )T

hT

Tmoy 202

,=Ωσ (Eq. B. 26)

Ainsi l’incertitude qui entache l’estimation de la valeur de ( )tTmoy ,Ω décroît comme 1/ T .

On retrouve bien ce que l’on disait au chapitre 2 : si ( )tΩ correspond à la vitesse derotation mesurée avec un gyromètre optique, la présence de bruit blanc (lié au bruit dephotons) va produire un bruit de marche aléatoire sur la valeur intégrée ( )tTθ , donc surl’angle de rotation. Ainsi l’incertitude sur l’angle de rotation augmente comme T . Parcontre la valeur de la vitesse de rotation déduite d’une mesure intégrée sur la durée T ,correspondant à ( )tTmoy ,Ω , conduit à une diminution de l’incertitude sur la vitesse de rotationmoyenne comme 1/ T .

100 1000 1000

0,01

0,1

1

10

100

ince

rtitu

de

temps d'intégration

Figure B. 4 : évolution de l’incertitude sur la vitesse dedescendante) et sur l’angle (courbe montante) en fonction du temesurée avec un gyromètre.

L’étude que l’on vient de faire pour un bruit blanc peut êtypes de bruit en fonction de la valeur de α . Nous ne ferons pas juste donner l’évolution de l’incertitude de mesure en fonction dles valeurs =α -2, -1, 0, 1 et 2. Cette évolution est caractérisée pardigramme logarithmique. On a vu que pour un bruit blanc moyΩσcorrespond à une pente –1/2. Les pentes ont été indiquées pour ldernière colonne du tableau B. 1. On résume graphiquement ces résu

bruit de marche alépente +1/2

bruit blanc enpente -1/2

( )Tσ

0

m

tcu lT,

el

atoire en θ

Ω

( )TTθσ

rotation (courbeps d’intégration,

re répétée pour les autresette étude ici. Nous allonstemps d’intégration, poura pente de Tmoy ,Ωσ dans un évolue en 1/ T , ce quis différents bruits dans latats sur la Figure B. 5.

( )TTmoy ,Ωσ

Partie B . 3 :Bruits blancs 288

0,01 0,1 1 100,01

0,1

1

10

fréquence (u.a.)

DSP

(u.a

.)

0,01 0,1 1 100,01

0,1

1

10

temps d'intégration (u.a.)

ince

rtitu

de d

e m

esur

e (u

.a.)

Figure B. 5 : à gauche, courbe représentant les DSP pour les différentes valeurs deα. A droite courbe représentant l’évolution de l’incertitude de mesure en, fonctionde la durée d’intégration pour les différentes formes de DSP représentée à gauche.Les valeurs au dessus de la courbe représentent la pente de la courbe. Les valeursnotées sous la courbe représentent les valeurs de α correspondantes.

On retrouve bien le résultat que l’on indiquait précédemment, pour un bruit blanc (α =0), l’incertitude de mesure diminue comme 1/ T (pente –1/2) alors que pour un bruit demarche aléatoire (α = -2), l’incertitude de mesure augmente comme T (pente +1/2). Enpratique au bout d’un temps T suffisamment long il apparaît toujours des phénomènes dedérive (qui ont été négligés jusqu’à présent) qui provoquent une augmentation de l’incertitudede mesure avec une pente dépendant du type de dérive. On retrouve alors des courbessimilaires à celles présentées au chapitre 2 Figures 2. 8 et 2. 9.

BIBLIOGRAPHIE

[CHRONOS 91] C. Audoin, M.Y. Bernard, R. Besson, J.J. Gagnepain, J. Groslambert, M.Granveaud, J.C. Neau, M. Olivier, J. Rutman, « La mesure de lafréquence des oscillateurs », Collection Technique et Scientifique desTélécomunications, Masson, (1991)

0+1

+2

-1

-2

0α = +1 et +2 -1/2

-1

α = -2α = -1

+1/2

α = 0

Annexe C : LES GYROSCOPES MECANIQUES 289

ANNEXE C : LES GYROSCOPES MECANIQUES

Table des matières

C.1 UN PEU D'HISTOIRE............................................................................................... 290

C.2 LE MOMENT D'INERTIE ET LES GYROSCOPES À ÉLÉMENT TOURNANT. 291

C.2.1 Le moment d'inertie et la loi de la gyroscopie ....................................................... 291

C.2.2 Gyroscopes à un degré de liberté ........................................................................... 292

C.2.3 Gyroscopes à deux degrés de liberté ...................................................................... 294

C.3 FORCE DE CORIOLIS ET GYROS À ÉLÉMENTS VIBRANTS.......................... 295

C.3.1 La force de Coriolis................................................................................................ 295

C.3.2 Les gyroscopes à lames vibrantes .......................................................................... 296

C.3.3 Les gyroscopes à résonateur hémisphérique .......................................................... 296

C.4 CONCLUSION .......................................................................................................... 297

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 298

Partie C.1 : Un peu d’histoire 290

ANNEXE C :

LES GYROSCOPES MECANIQUES

Cette annexe a pour but de présenter les principes de fonctionnement et lesperformances des gyroscopes mécaniques de grande sensibilité. Deux classes de gyroscopesvont être étudiées : les gyroscopes à élément tournant, fondés sur la loi de la gyroscopie, et lesgyroscopes à élément vibrant, utilisant la force de CORIOLIS.

Pour plus d’informations sur tous ces gyroscopes mécaniques, on pourra se reporter à laréférence [LAWRENCE 98].

C.1 UN PEU D'HISTOIRE

La première mise en évidence de la rotation de la Terre à l'aide d'un gyroscope a étéréalisée par L. FOUCAULT en 1851. Il avait alors utilisé un pendule mécanique de 67 mètres delong muni d'une boule en acier de 28 kilogrammes, le tout étant suspendu sous le dôme duPanthéon à Paris. La période de ce pendule était de 16,4 secondes ( )gLT /2π= etl'amplitude des oscillations d'environ 3 mètres. Sous l'action de la rotation de la Terre, lependule subissait alors dans le référentiel terrestre une rotation de son plan d'oscillation dansle sens des aiguilles d'une montre à la vitesse ( )λsin ⊕Ω=Ω (λ est l'angle des latitudes, λ =45° pour cette expérience) correspondant à une période d'environ 34 heures. Cette expérience,relativement sensible, était aussi très sujette aux courants d'air, qui faussaient les mesures.L'année suivante, FOUCAULT développe alors un nouvel appareil constitué d'une roue tournantà l'intérieur d'un cardan. Il appelle cet appareil : gyroscope [FOUCAULT 52-1], [FOUCAULT 52-2].

C'est durant la seconde guerre mondiale que les premiers gyros mécaniques sontutilisés pour la navigation des missiles V2, mais le véritable essor de la navigation inertielledate des années 50. De nombreuses études sur des gyros mécaniques à éléments tournants

ANNEXE C : CAPTEURS INERTIELS MECANIQUES 291

(SDFG et 2DFG) sont alors réalisées aux Etats-Unis, en particulier par DRAPER au MIT. Detels gyros sont rapidement commercialisés et utilisés en navigation inertielle, mais ils restentfragiles et très chers. Ces gyros vont être détaillés dans le prochain paragraphe.

Dans les années 60, un nouveau type de gyroscope vibrant (HRG) est développé,fondé sur les travaux de G. BRYAN datant de plus d'un siècle. A l’heure actuelle, cesgyroscopes vibrants restent peu utilisés. Pourtant leurs performances les rendent intéressantspour de nombreuses applications. Nous décrirons ces gyroscopes au paragraphe C.3.3. Leprincipe des gyroscopes vibrants, associé au développement de la micro-électronique, ouvremaintenant la voie des micro-capteurs très peu encombrants et peu cher. Leurs performancesencore faibles sont néanmoins suffisantes pour le guidage de munitions ou de drones.

Pour plus d’informations sur les nouvelles technologies dans le domaine de lagyroscopie et de l’accélérométrie, on pourra se reporter à la référence [PLESKA 00].

C.2 LE MOMENT D'INERTIE ET LES GYROSCOPES À ÉLÉMENT TOURNANT

C.2.1 Le moment d'inertie et la loi de la gyroscopie

Considérons un disque tournant sans frottement à la vitesse de rotation ω par rapportà son axe de symétrie (Oz) dans un repère d'inertie R0. Le disque est caractérisé par sonmoment d'inertie Iz par rapport à l'axe (Oz), et par son moment angulaire H = Iz ω ez (voirFigure C. 1). Si le disque subit un couple de torsion C, l'évolution de son moment angulairedans R0 est donnée par la deuxième loi de NEWTON :

CH =

dtd (Eq. C. 1)

Nous allons distinguer deux cas distincts :

• Si le couple C est parallèle à (Oz) alors la vitesse de rotation du disque va êtremodifiée selon la formule :

zIdtd C

=

=

ωα (Eq. C. 2)

où α est l'accélération angulaire dans R0 du disque le long de l'axe (Oz).

• Si le couple C est perpendiculaire à (Oz), la vitesse de rotation ω n'est pas modifiée,mais le moment angulaire H du disque va subir un changement de direction, donné par larelation :

HCH ×==

Ω

dtd (LOI DE LA GYROSCOPIE) (Eq. C. 3)

Partie C.2 : Le moment d’inertie et les gyroscopes à élément tournant 292

Le moment angulaire du disque H tend donc à s'aligner avec le couple C (voir Figure C. 2). Htourne autour de la direction perpendiculaire à H et à C avec une vitesse de rotation Ω= C / H.

H = Iω ez

ω

z

O

R0

Figure C. 1: éléments d'inertied'un disque tournant autour del'axe (Oz).

z

H

ω O

dH

Ω

C

Figure C. 2 : lorsque le disqueest soumis à un couple C, lemoment angulaire H tend às'aligner avec C.

z

H

ω

O

Ω

g

x

y

Figure C. 3 : le disque tournantsoumis au couple produit par lapesanteur se met à précesserautour de la verticale.

Comme application directe de la loi de la gyroscopie, on trouve l'explication dumouvement de précession d'une toupie soumise à la gravité. En effet, si le disque estlégèrement décalé par rapport à la verticale dans le plan (Oxz), alors la pesanteur exerce uncouple suivant l'axe (Oy), c'est à dire que le couple tend à faire tourner l'axe du disque dans leplan (Oxz) (voir Figure C. 3). D'après la loi de la gyroscopie, le moment angulaire H du disquetend donc à s'aligner avec C, et le vecteur H sort donc du plan (Oxz). Mais au fur et à mesureque H se déplace, le couple C tourne en même temps que H. Le mouvement résultant est alorsun précession de H autour de la verticale (Oz).

Le principe que l'on vient de voir est utilisé pour réaliser des gyroscopes et desgyromètres mécaniques à un ou deux axes d'entrée. Le nombre d'axes d'entrée est égal aunombre de degrés de liberté de l'axe de rotation du disque. Nous allons présentersuccinctement la conception de tels gyros en indiquant les performances et les limitations.

C.2.2 Gyroscopes à un degré de liberté

Nous présentons ici les gyros à un degré de liberté appelés couramment SDFG del'anglais "single degree of freedom gyroscope". Nous allons voir que suivant que l'appareil estutilisé en boucle ouverte ou en boucle fermée, il constitue respectivement un gyromètre ou ungyroscope.

Le cœur d'un tel appareil est un disque en rotation que l'on appelle toupie. La toupietournant très rapidement ( entre 12.000 et 60.000 tours par minute) autour de l'axe (Oy),acquiert un moment d'inertie très élevé H, même si le disque est petit et léger. Cette toupie estfixé dans un cardan, l'ensemble pouvant alors tourner par rapport au châssis, autour de l'axe


(Ox), par l'intermédiaire d'une barre de torsion. L'axe (Ox) constitue alors l'axe de sortie dugyromètre. L'axe d'entrée du gyromètre est l'axe (Oz).

Lorsque l'appareil tourne autour de (Oz), un couple gyroscopique C = Ω × H apparaîtet tend à faire tourner le cardan autour de (Ox). La barre de torsion se tord alors jusqu'à se quele couple Ctorsion = Ktorsion θ .ex qu'elle exerce sur le cardan compense le couple gyroscopique.Le cardan a alors tourné d'un angle :

Ω= torsionKH

θ (Eq. C. 4)

Un dispositif convertit ensuite l'angle θ en tension électrique proportionnel à Ω Cetappareil constitue donc un gyromètre. Afin d'éviter tout phénomène d'oscillation du cardan,un système d'amortissement est installé entre le cardan et le châssis.

Figure C. 4 : schéma de principe d’un gyromètre àdisque tournant. Lorsque l’appareil tourne atour del’axe d’entrée, l’effet gyroscopique provoque uncouple autour de l’axe de sortie, qui entraîne larotation du cardan. On mesure l’angle de rotationgrâce à un système de lecture.

Figure C. 5 : plan d’un SDFG. On retrouve, ledisque tournant, le cardan, le couple de torsion etle système de mesure. (d’après [Lawrence 98] )

L'équation dynamique de l'angle du cardan est alors une équation différentielle dudeuxième ordre [LAWRENCE 98] :

( ) Ω=++

2

2

0 HθθθtorsionKdt

dcdtdI (Eq. C. 5)

où I0 est le moment d'inertie du cardan autour de (Ox), et c le coefficient d'amortissement, Onretrouve bien la solution stationnaire indiquée (Eq. C. 4).

Le principal point dur dans la conception de tels gyromètres est de suspendre la toupied'une manière très rigide en translation, tout en ne lui transmettant qu'un couple minimum, carce couple introduit des dérives du signal de sortie. En particulier, l'axe du cardan qui transmet

rotor

cardan

barre detorsion

axe d’entrée

axe desortie

système delecture

Partie C.2 : Le moment d’inertie et les gyroscopes à élément tournant 294

les forces doit passer exactement par le centre de gravité du disque, afin d'éviter lesmouvement de précession décrits précédemment. Plusieurs types de suspension sont utilisés,parmi lesquels on peut citer : les roulements à billes (dérives ~ 0,1 deg.h-1), la suspensionélectrostatique (dérives ~ 10-3 deg.h-1) ou encore la suspension supraconductrice.

On peut aussi faire fonctionner cet appareil en boucle fermée. La barre de torsion estalors remplacée par un "générateur de couple" commandé par la tension électrique Vsortie.Comme il n'y a plus de barre de torsion l'équation (Eq C. 5) devient alors :

( ) Ω=+

2

2

0 Hdtdc

dtdI θθ (Eq. C. 6)

dont la solution est :

( ) ( )

−=

− tIc

i ectt

0 1 H

θθ (Eq. C. 7)

où ( ) ( )∫+

Ω=tt

ti dttt 0

0

θ est l'angle dont à tourné le gyro pendant la durée t. La limite de (Eq.

2.24) quand t devient grand est :

( ) ( ) tct iθθH

= (Eq. C. 8)

et l'on constate ainsi que le signal de sortie est proportionnel, cette fois, à l'angle iθ dont atourné l'appareil. On a donc réalisé un gyroscope.

Les gyros à suspension électrostatique (GSE) ont été très largement développés etaméliorés depuis les années 50 et leurs performances actuelles en font des instrumentsindispensables pour la navigation des engins dits stratégiques (sous-marins nucléaires,missiles balistiques intercontinentaux). Leurs performances sont pour cette raison assezdifficiles à connaître précisément. On peut néanmoins dire que pour les plus performants deces appareils, la dérive est inférieure à 10-4 deg.h-1, soit exprimée en terme de navigation unedérive inférieure à 1 mile par jour (< 1 m-d). Depuis une dizaine d'années, ils sont aussiutilisés pour la navigation des avions de ligne, soit comme navigateur principal (dérive < 1 m-h), soit pour assister le guidage par système GPS (dérive < 10 m-h).

C.2.3 Gyroscopes à deux degrés de liberté

Les gyros à deux degrés de liberté (appelés usuellement 2DFG ou "free gyros")ressemblent beaucoup aux SDFG, sauf que l'axe de la toupie est libre dans deux directions.Ceci est réalisé soit en utilisant deux cardans d'axes de rotation perpendiculaire (Ox) et (Oy),soit en utilisant une toupie en forme de sphère et placée en suspension (électro ou hydrostatique, supraconductive, …). L'axe de rotation de la toupie garde alors toujours la mêmedirection dans un repère d'inertie.


Figure C. 6 : plan d’un 2DFG à suspension aérostatique. (d’après [Lawrence 98] ).

Les gyroscopes à deux degrés de liberté ont longtemps été délaissés par les industrielsqui pensaient que leurs performances seraient moindres que celles des SDFG. Finalement cesgyros se sont révélés très bons (dérive < 0,1 m-h pour les gyros à suspension électrostatique,cryogénique ou à gaz), et ils équipent maintenant un grand nombre d'avions de ligne et sontutilisés dans les plates-formes inertielles.

C.3 FORCE DE CORIOLIS ET GYROS À ÉLÉMENTS VIBRANTS

Parallèlement aux gyroscopes à élément tournant, il existe toute une gamme de gyrosutilisant un élément vibrant. Ces dispositifs exploitent le couplage de modes transverses induitpar la force de CORIOLIS sur les vibrations acoustiques dans un résonateur solide. Cet effetpeut être produit à une dimension (corde vibrante), ou bien à deux dimensions, de type bolvibrant. Ces appareils sont décrit en détail dans [LÉGER 97].

C.3.1 La force de CORIOLIS

Considérons un point M de masse m oscillant suivant l'axe (Ox) d'un repère R. Lemouvement de ce point est donc :

( ) ( ) xR tAM er cos ω= (Eq. C. 9)

Si le repère R se met à tourner par rapport à un repère d'inertie R0 à la vitesseangulaire 0/RRΩ suivant l'axe (Oz), le point M est alors soumis à la force de CORIOLIS dontl'expression a été donnée (Eq. 2.7). Le mouvement du point M devient alors :

Partie C.3 : La force de CORIOLIS et les gyroscopes à élément vibrant 296

( )( )

( )

Ω−= tA

tAM R sin

cos ωω

ωr (Eq. C. 10)

En mesurant l'amplitude du mouvement suivant l'axe (Oy), on a donc directement un signalproportionnel à 0/RRΩ (voir Figure C. 7).

x y y0

x0

A

-A

Ω

Figure C. 7 : force de CORIOLIS sur une masse oscillante. La masse A oscillesuivant l’axe (Ox).SI cet axe se met à tourner par rapport l’axe (Oz0) d’un repèreinertie, la force de CORIOLIS provoque un déplacement de la masse suivant l’axe(Oy). L’oscillation rectiligne se transforme alors en ellipse.

C.3.2 Les gyroscopes à lames vibrantes

Les gyroscopes à lames et à cordes vibrantes [QUICK 84] ont été les premiers gyrosréalisés sur le principe que l'on vient de décrire. Leur conception a nécessité énormément detravail et les performances sont toujours restées bien inférieures à celles des SDFG. Ils sontnéanmoins beaucoup plus robustes et bien meilleur marché que ces derniers. Avec unesensibilité d'environ 10-2 deg.s-1, ils sont suffisamment performants pour être utilisés pour leguidage de bombes et de missiles de courte portée.

C.3.3 Les gyroscopes à résonateur hémisphérique

Les gyroscopes à résonateur hémisphérique HRG (Hemispherical ResonatorGyroscope), autrement appelés bols vibrants, sont constitués d’une cavité en quartz danslaquelle résonnent deux modes acoustiques. Le premier mode est appelé mode pilote oumoteur, il est entretenu de façon électrique. Le second mode, transverse au premier, estproduit par la force de CORIOLIS, il est appelé mode récepteur ou mode de CORIOLIS. Lorsquel’appareil tourne, le plan de vibration de ce mode se met à précesser d’un angle proportionnelà l’angle de rotation de l’appareil. La constante de proportionnalité dépend de la géométrie dela cavité, et vaut typiquement 0,3.


La cavité est recouverte d’une couche conductrice de chrome, pour la rendreconductrice, et permettre ainsi l’excitation du mode pilote et la détection du mode deCORIOLIS.

De tels dispositifs ont démontré des performances remarquables avec des dérivesinférieures à 5 10-3 deg.h-1 [LYNCH 84], et une stabilité du facteur d'échelle de l’ordre de 0,02ppm.

Figure C. 7 : schéma d’un gyroscope hémisphérique résonnant (d’après [Lawrence 98] )

C.4 CONCLUSION

On a résumé dans le tableau ci-dessous les principales performances des gyroscopesmécaniques présentés. On pourra se reporter à la fin du chapitre 2 pour trouver les différentstableaux récapitulatifs des performances des gyromètres optiques et des prototypes delaboratoire, et à la fin de l’Annexe D pour une comparaison de l’utilisation des gyroscopesmécaniques et des gyromètres optiques en navigation inertielle.

Type de gyros Nom Dérive Commentaires

Disque tournant SDFG ~ 10-4 deg.h-1 fragile et très cher

Sphère tournante 2DFG, GSE < 10-4 deg.h-1 fragile et très cher

Elément vibrant THG, DART ~10-2 deg.s-1 très robuste et bon marché

Bol vibrant HRG ~10-3 deg.h-1 fragile et cher

BIBLIOGRAPHIE 298

BIBLIOGRAPHIE

[BRIDGMAN 61] P. W. Bridgman, Am. J. Phys., 29, 32, (1961)[FOUCAULT 52-1] L. Foucault, "Sur un nouvelle démonstration expérimentale du

mouvement de la Terre fondée sur la fixité du plan de rotation", C. R.Acad. Sci., 35, 421, (1852)

[FOUCAULT 52-2] L. Foucault, "Sur les phénomènes d'orientation des corps tournantsentraînés par un axe fixe à la surface de la Terre", C. R. Acad. Sci., 35,424, (1852)


[LÉGER 97] P. Léger, "Gyroscopes mécaniques vibrants", Revue technique del’ingénieur, traité mesures et contrôle, France, (1997)

[LYNCH 84] D. D. Lynch, "Hemispherical resonator gyro", in "Inertial technology forthe future" IEEE Trans. On Aerospace and Electronic Systems AES-20,4 , 414, (1984)

[PLESKA 00] E.M.A. Pleska, J.F. Kieffer, P. Bouniol, « les senseurs inertiels du XXIe

siècle », Revue scientifique et technique de la défense, 49, 115, juillet(2000)

[QUICK 84] W. H. Quick, "Theory of the vibrating strings as an angular motionsensor", Trans. ASME, J. Appl. Mech., 523, sept. (1964)

Annexe D : LES GYROMETRES OPTIQUES 299

ANNEXE D : LES GYROMETRES OPTIQUES

Table des matières

D.1 LES GYROS OPTIQUES............................................................................................ 300

D.1.1 Les gyromètres à fibre optique .............................................................................. 301

D.1.2 Les gyroscopes optiques actifs ou gyro-lasers ...................................................... 303

D.1.3 Les gyros optiques à anneau résonnant passif ....................................................... 305

D.2 CONCLUSION SUR LES GYROS OPTIQUES ........................................................ 306

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 307

Partie D. 2 : Gyromètres optiques 300

ANNEXE D :

LES GYROMETRES OPTIQUES

On pourra se reporter à l’introduction du chapitre 3 pour une brève description historique del’effet Sagnac et des gyromètres optiques.

D.1 LES GYROS OPTIQUES

Nous allons voir maintenant comment cet effet peut être exploité dans différents typesd'appareils à visée commerciale, utilisés principalement pour la navigation. Un calculpréalable d'ordre de grandeur va nous permettre de commenter les différents choix techniqueseffectués dans la conception de ces appareils.

Considérons un interféromètre optique bouclé englobant une aire de 1m². Ledéphasage produit par une rotation de 1 deg.h-1 (i.e. 5.10-6 rad.s-1) n'est que

=∆ sortieφ 2π/50.000 (avec λ0 = 1µm ⇒ ω =1,9 1015 rad.s-1), ce qui est relativement faiblequand on sait que les besoins en navigation se situent dans la gamme de 10-4 à 1 deg.h-1.Ainsi, avec les dimensions réalistes des appareils que l'on peut fabriquer, l'effet SAGNAC n'estpas très sensible à la rotation. Les appareils que nous allons décrire s'appuient donc surquelques développements techniques permettant d'améliorer leur sensibilité à la rotation.

Bien qu'ils aient été réalisés après les gyro-lasers, nous allons commencer par décrireles gyromètres à fibres optiques, dont le fonctionnement se rapproche le plus du modèleutilisé au paragraphe 3.1.1.


D.1.1 Les gyromètres à fibre optique

Les gyromètres à fibre optique ( en anglais "Interferometric Fiber-Optic Gyro" -IFOG) sont fondés exactement sur l'effet SAGNAC tel qu'il vient d'être décrit. La solutionchoisie ici pour améliorer la sensibilité du gyromètre est d'augmenter son aire géométrique.Ceci est réalisé grâce à une fibre optique (1) que l'on enroule en N spires de surface unitaire

2Rπ . L'aire totale d'un tel gyromètre est alors :2/ 2 LRRNA == π (Eq. D. 1)

où L est la longueur de la fibre et R le rayon de chaque spire (voir Figure 3. 8). Le déphasage àla sortie de cet interféromètre s'écrit donc (il s’agit d’un interféromètre bouclé, on utilise doncEq. 3. 37) :

entréecRL

Ω=∆

2 2

ωφ (Eq. D. 2)

que l’on exprime avec la longueur d’onde dans le vide 0λ :

entréecRL

Ω=∆

4 0λ

πφ (Eq. D. 3)

Avec les dimensions typiquement utilisées : R = 10 cm et L = 1 km, l’aire vaut A = 50 m2. Onréalise ainsi un appareil de grande aire dans un volume réduit. Le déphasage provoqué par unerotation de 1 deg.h-1 est donc de 1/1000ième de frange environ. Le flux lumineux vaut quelquescentaines de pW (~ 1012 photons.s-1), et permet ainsi d’avoir un très bon rapport signal à bruitpermettant théoriquement de voir le millionième de frange.

sourcesuperluminescente

modulateurélectro-optique

fibreoptique

RN spirescoupleurdétecteur

Figure D. 1 : schéma d'un gyromètre à fibre optique. On augmente l’aire del’interféromètre jusqu’à 100 m2 en enroulant une fibre optique. En fonctionnementen boucle fermée, on compense le déphasage dû à la rotation en décalant un desfaisceau par un modulateur acousto ou électro-optique.

(1) Cette solution a été proposée par R. BROWN en 1968 (Naval Research Laboratories), et réaliséeexpérimentalement pour la première fois au milieu des années 70.


Les pertes de puissance lumineuse dans la fibre donnent une limite à la longueur defibre que l'on peut utiliser dans ces appareils. Cette longueur limite est de quelques kilomètres[EZEKIEL 77], ce qui donnerait, en théorie, une sensibilité sur une seconde limitée par le bruitde photons (2), d'environ 10-3 deg.h-1. En pratique, le bruit relatif d’intensité lié à la lumièrerétro-diffusée dans la fibre est souvent prépondérant et limite donc la sensibilité sur uneseconde [LIN 78, TAYLOR 90]. Ce bruit diminue comme 1/√Γ, où Γ est la largeur de raie de lasource. On utilise alors généralement des sources de largeur de raie de 50 nm ou plus, tellesque des diodes superluminescentes, des diodes lasers modulées en fréquence, ou encore desfibres superfluorescentes ("Superfluorescent Fiber Source" - SFS) (3) [WYSOCKI 94].

D'autres bruits à plus long terme viennent limiter la durée d’intégration des gyromètresà fibre. Parmi les principaux on peut citer les effets de polarisation [ULRICH 79] et le bruitd'origine thermique qui induit des non-réciprocités dans la fibre, conduisant à des fluctuationsdu biais. Ainsi une variation de température de 3,5.10-3 °C en une heure induit desfluctuations du biais équivalentes à un niveau de dérive de 4.10-3 deg.h-1 [SHUPE 80].

Les meilleures sensibilités que l'on obtient avec des gyros à fibre fonctionnant sur leprincipe que l'on vient de décrire sont de l’ordre de 0,2 deg.h-1 (10-6 rad.s-1) sur une duréed'intégration de 30 minutes [BERGH 81], limitée par la lumière rétro-diffusée et les pertes dansla fibre.

Pour utiliser en permanence le gyromètre au point où son facteur d'échelle est maximal( 2/πφ =∆ ) on utilise généralement un modulateur acousto-optique [DAVIS 81], ou électro-optique [LEONBERGER 82] sur l'une des voies du coupleur afin de rajouter un déphasage (voirFigure D. 1). On travaille en boucle fermée, le signal de sortie est alors la différence defréquence que l'on applique par le modulateur pour compenser la rotation. Cette différence defréquence vérifie la relation :

( ) Ω−=∆+c

RLff

4 2

20

0 λππτπ (Eq. D. 4)

où ( )cnL /=τ est le temps de parcours dans la fibre, et ( )τ4/10 =f est la fréquence àappliquer au modulateur acousto-optique pour obtenir le déphasage de π/2 en l'absence derotation. f∆ est alors donné par la relation :

Ω=∆ 2

0λnRf (Eq. D. 5)

(2) Les flux lumineux importants que l'on utilise dans ces appareils ( quelques 1014 photons / seconde) permettentd'obtenir un rapport signal à bruit élevé de l'ordre de 107. On suppose ici que le rapport signal à bruit est limitépar le bruit de photons. Nous allons voir que ce n'est pas toujours le cas.

(3) Ce sont des fibres dopées à l'Erbium pompées par laser. Le faisceau en sortie fait environ 50 mW à 1,55 µmet de largeur de raie 50 nm.


Pour plus d'informations sur les gyroscopes à fibre optique on pourra se reporter auxrecueils d'articles des références [EZEKIEL 82] et [SMITH 89] et à la référence [LAWRENCE 98p 188].

D.1.2 Les gyroscopes optiques actifs ou gyro-lasers

Le gyro-laser (1) ( en anglais "Ring Laser Gyro" RLG) est une autre solution pouraugmenter la sensibilité de l’appareil à la rotation. Il se compose d'un milieu amplificateuractif placé à l'intérieur d’une cavité en anneau de grande finesse F. Les ondes laser peuventcirculer dans les deux sens à l'intérieur de la cavité et on récupère le battement entre les deuxondes sur un des miroirs de la cavité (voir Figure D. 2) [MACEK 63]. Si la cavité ne tourne pas,les deux ondes ont même fréquence et le battement est à fréquence nulle. Si la cavité tourne,les longueurs de cavité vues par chaque onde diffèrent et les fréquences des deux ondes nesont alors plus égales. On obtient un battement à une fréquence donnée par la relation :

Ω=cA∆f

8 2

0λπτπ (Eq. D. 6)

Avec ( )cnL /=τ le temps de parcourt dans la cavité. Cette relation est équivalente à (Eq.D.5). La différence de fréquence est alors donnée par :

Ω=∆0

4λnLAf (Eq. D. 7)

L'intérêt de ce dispositif est que le facteur d’échelle en intensité est F fois plusimportant que celui en f∆ . L’effet FABRY-PEROT qui se produit dans la cavité donne uneréponse en intensité extrêmement fine (voir Figure D. 3), qui augmente d’un facteur F, lasensibilité du gyromètre lorsqu’on se place à flanc de frange. La finesse de la cavité d’un bongyro-laser vaut typiquement 5000.

(1) La théorie du gyro-laser a été développée par C. HEER [HEER 61] et A. ROSENTHAL en 1961 [ROSENTHAL62], et la première réalisation date de 1963 par W. MACEK et D. DAVIS [MACEK 63].

Milieu amplificateur

détecteur

Ω

Figure D. 2 : schéma d'un gyro-laser. Lesdeux faisceaux voient des longueurs de cavitédifférentes et ont donc des fréquencesdifférentes. On réalise le battement des deuxfaisceaux sur le détecteur.


0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0in

tens

ité lu

min

euse

(U.A

.)

vitesse de rotation Ω (U.A.)

Figure D. 3 : réponse comparée d’un gyromètre demême aire, sans (pointillé) et avec (trait plein) effetFABRY-PEROT. Dans le deuxième cas, la pente àflanc de frange est beaucoup importante, lasensibilité à la rotation s’en trouve donc largementaugmentée.

Du fait que le milieu amplificateur est à l’intérieur de la cavité, les gyro-lasers sontextrêmement sensibles à la rétro-diffusion sur les miroirs qui provoque le verrouillage de lafréquence d'un mode sur l'autre mode, lorsque les deux fréquences sont trop proches (voirFigure D. 4). Ceci se produit pour les très faibles vitesses de rotation et donne naissance à unezone aveugle autour de la vitesse de rotation nulle. On peut déporter le problème vers uneautre zone en rajoutant un déphasage entre les deux ondes. Ce déphasage peut être créé soit enfaisant tourner mécaniquement le gyro-laser sur lui même à une vitesse de rotation constanteet symétrique (par exemple alternativement +50 deg/s et –50 deg/s) [MATTHEWS 89], soit àl'aide de composants déphasants non réciproques comme des miroirs magnétiques parexemple [KREBS 80].

On peut faire une application numérique à partir de données typiques de gyro-lasers :géométrie en triangle équilatéral de P = 30cm de périmètre, et d'aire A = 43cm2 , longueurd'onde de λ =630nm, finesse de la cavité F =5000. La sensibilité en une seconde vaut alorsenviron 10-8 rad.s-1 (~ 10-4 deg.h-1).Le bruit limitant la stabilité court terme de ce type d'appareil est essentiellement l'émissionspontanée dans le milieu amplificateur [EZEKIEL 82 - p7]. Pour les limitation à plus longterme, on peut citer les dérives dans le système mécanique de rotation utilisé pour déporter lazone aveugle. On verra au paragraphe suivant une solution où le milieu amplificateur est placéà l’extérieur de la cavité, évitant ainsi les problème de verrouillage de modes.

On considère souvent comme signal de sortie le nombre de franges N qui ont défilédevant le photodétecteur pendant la durée T. Ce nombre est proportionnel à :

entréeLnAdt

LnAN θ

λλ 4 4

entrée

T

0 =Ω= ∫ (Eq. D. 8)

L'appareil a donc une sortie digitale dont la valeur est proportionnelle à l'angle duqueltourne le dispositif pendant le durée T, il constitue alors un gyroscope. Cependant l’appareilprésente un bruit blanc en Ω , qui se traduit par un bruit de marche aléatoire en θ lorsqu’ilfonctionne en gyroscope. Contrairement aux gyroscopes mécaniques où l’incertitude surl’angle diminue en 1/√T, pour le gyro-laser cette incertitude augmente comme √T.


Pour plus d'informations sur les gyro-lasers on pourra se reporter aux références[ARANOWITZ 71] et [LAWRENCE 98 - p 208].

zone aveugle

vitesse de rotation Ω

différence de fréquence ∆f

facteur d'échelle

Figure D. 4 : signal de sortie d'un gyro-laser en fonction de la rotation (courberouge). On voit le facteur d'échelle (courbe pointillée) et la zone aveugle (zonehachurée), due au verrouillage d'un mode sur l'autre.

D.1.3 Les gyros optiques à anneau résonnant passif

Cet appareil ressemble à un gyro-laser, mais le faisceau est issu d'une source laser delongueur d'onde λ0 placé à l’extérieur de la cavité. On s’affranchit ainsi de tous les effetsparasites liés à la présence du milieu amplificateur dans la cavité. (voir Figure D. 5) [EZEKIEL

77]. La longueur de la cavité est choisie pour être résonnante à la fréquence ν0 associée à λ0

lorsque l'appareil ne tourne pas.Lorsque l'appareil subit une rotation Ω, on maintient les deux ondes résonnantes dans

la cavité grâce à deux modulateurs acousto-optiques placés hors cavité. La différence desfréquences à appliquer aux deux modulateurs acousto-optiques est la même que celle quiapparaît dans un gyro-laser, donnée par (Eq. D. 7).

Les phénomènes qui limitent la stabilité long terme de ce type d'appareil sont lesfluctuations de fréquence du laser source, ainsi que les désalignements des miroirs de lacavités.


Détecteur 1

Ω

Détecteur 2

laser

Modulateurs acousto-optiques

f1

f2

Figure D. 5 : schéma d'un gyroscope à anneau résonnant passif. Les deux faisceaux,issus du même laser, sont décalés en fréquence par des modulateurs acousto-optiques pour les garder en résonance avec la cavité.

D.2 CONCLUSION SUR LES GYROS OPTIQUES

Bien que les performances des gyromètres résonnants passifs soient prometteuses,aucun appareil de ce genre n'a pour l'instant été commercialisé. Nous allons donc nousintéresser plus particulièrement aux gyromètres à fibre optique et aux gyro-lasers. Lescomparaisons porteront essentiellement sur les applications militaires, qui constituent de loinla plus grosse part du marché des gyroscopes et gyromètres de haute performance.

Parmi les gyromètres optiques, les gyro-lasers sont les plus performants. Dans lagamme de sensibilité stratégique de 10-4 deg.h-1 à 10-3 deg.h-1, ils concurrencent même lesgyroscopes mécaniques dans le domaine du guidage des missiles balistiques inter-continentaux.

Dans la gamme de sensibilité des 10-2 deg.h-1 jusqu'à 1 deg.h-1, les gyro-lasers sontlargement concurrencés par les gyromètres à fibre optique plus robustes et moins chers,notamment dans les systèmes de navigation assistés par GPS. Toutefois pour les applicationsoù le facteur d'échelle doit être constant à mieux que 100 ppm (10-4), le gyro-laser serapréféré.

Dans la gamme tactique (1 deg.h-1 et plus), le prix devient le critère décisif et lesgyromètres à fibres optiques sont plus largement utilisés en concurrence avec les petitsgyroscopes mécaniques à éléments vibrants.


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Résumé :

L’objectif de la thèse était d’utiliser les développements de la manipulation d’atomespar lasers pour réaliser un appareil capable de mesurer les vitesses de rotation avec unesensibilité équivalente à celle des meilleurs gyromètres optiques. Les gyromètres atomiques,comme les gyromètres optiques sont fondés sur l’effet Sagnac. Cet effet est l’apparition d’undéphasage à la sortie d’un interféromètre d’aire non nulle, lorsque le dispositif est en rotation.On montre que l’effet Sagnac appliqué aux ondes de matière associées à des atomes decésium par exemple, est 1011 fois plus sensible que lorsqu’il est appliqué aux ondeslumineuses.

La principale difficulté du dispositif est de séparer et de recombiner de façoncohérente les ondes atomiques. Dans notre dispositif, ceci est réalisé dans la zoned’interaction, grâce à des transitions à deux photons appelées transitions Raman stimulées.C’est l’impulsion des deux photons qui, une fois transférée à l’atome au cours de la transition,va provoquer la séparation angulaire des deux paquets d’ondes atomiques.

La réalisation du dispositif s’appuie sur un grand nombre de nouvelles solutionstechniques qui ont été validées au cours de la thèse. L’un des soucis principal a été de réaliserun appareil compact et suffisamment insensible aux paramètres extérieurs (champmagnétique, température, …) pour qu’il puisse être transportable. Notre source atomique estune source à atomes refroidis par lasers, permettant ainsi d’avoir une zone d’interactionréduite tout en conservant un très bon niveau de performance. L’appareil est égalementsensible aux accélérations ; une technique de double jets atomiques contra-propageant a doncété mise en œuvre pour discriminer les déphasages liés à la rotation et à l’accélération.

Mots-cléfs :

interférométrie atomique, gyromètre, effet Sagnac, Mach-Zehnder, Ramsey-Bordé, atomesrefroidis par laser

Abstract :

The purpose of my thesis was to use the recent developments of atom lasermanipulation to build a device that can measure rotation rate as accurately as the best opticalgyroscopes. Like optical gyroscopes, atomic gyroscopes are based on the Sagnac effect. TheSagnac effect consists in a extra phase shift at the output of a non zero area interferometer,when it is rotating. We show that the Sagnac effect for matter waves of Cesium atoms, forexample, is 1011 times more sensitive than for optical waves.

The main difficulty concerning the device is to coherently separate and recombine theatomic waves. We do this in the interaction zone thanks to two-photon transitions calledstimulated Raman transitions. The impulsions of the two photons, once transferred to theatom, is what provokes the angular separation for the two atomic wave packets.

Building the device implied finding many new technical solutions, which proved towork well. One of the main problems was to build a device small enough, and as unchangedby outside parameters (magnetic fields, temperature, etc.) as possible, to be transportable. Ouratomic source is a laser cooled atom source, which allows a small interaction zone whilemaintaining a very good level of performance. The device is also sensitive to accelerations ; acounter-propagating double atomic jet technique has therefore been used to discriminatebetween rotation and acceleration phase shift.

Keywords

Atomic interferometry, gyroscope, Sagnac effect, Mach-Zehnder, Ramsey-Bordé, laser cooledatoms

Date post:	05-Nov-2021
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conception et réalisation d’un gyromètre à atomes froids ...

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