EXPONENTIAL FUNCTION AND LOGARITHM FUNCTION · 2005. 10. 5. · y = ax y = log xa *...

คณิตศาสตร 1 (64) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

EXPONENTIAL FUNCTIONAND LOGARITHM FUNCTION

1. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ ฟงกชันท่ีอยูในรูป

f : y = ax, a∈R+ และ a ≠ 1จะเห็นวา 1. f เปนฟงกชัน 1-1, ถา ax1 = ax2 ↔ x1 = x2

2. Df = R3. Rf = R+

4. ถา a > 1 f จะเปนฟงกชันเพ่ิม (Increasing function)

y

x0(0, 1)

y = ax

กรณีนี้ 1. x1 > x2 ↔ ax1 > ax2

2. x1 < x2 ↔ ax1 < ax2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (65)

5. ถา 0 < a < 1 f จะเปนฟงกชันลด (Decreasing function)

y

x0

(0, 1)

y = ax

กรณีนี้ 1. x1 > x2 ↔ ax1 < ax2

2. x1 < x2 ↔ ax1 > ax2

กราฟสมมาตรแกน y

y

x(0, 1)

y = 2|x|

กราฟสมมาตรท้ังแกน x และแกน y

y

x(0, 1)

|y| = 2 |x|

(0, -1)

2. ฟงกชันลอการิทึมฟงกชันลอการิทึม คือ อินเวอรสของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล และเปนฟงกชัน 1-1 เชนเดียวกับฟงกชันเอกซโพเนนเชียล

f : y = ax, a ∈ R+ และ a ≠ 1f-1 : x = ay, a ∈ R+ และ a ≠ 1f-1 : y = loga x, a ∈ R+ และ a ≠ 1

จะเห็นวา 1. Dlog = R+, Rlog = R2. ถา a > 1 y = loga x จะเปนฟงกชันเพ่ิม

x1 > x2 ↔ loga x1 > loga x2 และ x1 < x2 ↔ loga x1 < loga x2


y

x0 (1, 0)

y = ax

y = log xa

* กราฟของ y = ax และ y = loga x ไมตัดกันเมื่อ a > 1* แสดงวาสมการ 2x = log2 x ไมมีคํ าตอบ

3. ถา 0 < a < 1 y = loga x จะเปนฟงกชันลดx1 > x2 ↔ loga x1 < loga x2 และ x1 < x2 ↔ loga x1 > loga x2

y

x0 (1, 0)

y = ax

y = log xa

* กราฟของ y = ax และ y = loga x ตัดกัน 1 จุด เมื่อ 0 < a < 1

* แสดงวาสมการ x51

= log1/5 x มี 1 คํ าตอบ

* 1. จํ านวนรากของสมการ log x3

= x)( 3 คือ 0 (a = 3 > 1)

2. จํ านวนรากของสมการ log2/3 x = x

32

คือ 1 (a = 23 < 1)


3. สูตรของ log1. loga (MN) = loga M + loga N เมื่อ M > 0, N > 0, * log5 [(-3)(-2)] = log5 | -3 | + log5 | -2 |

= log5 3 + log5 22. log

NM = loga M - loga N เมื่อ M > 0, N > 0

3. loga (Mp) = p loga M เมื่อ M > 0 * log5 (-3)2 = 2 log5 | -3 | = 2 log5 34. loga∝ M = 1

∝ loga M, M > 0, * log( 2)3-5 = 13 log|-2| 5 = 13 log2 5

5. loga M = log Mlog ab

b , b ∈ R+, b ≠ 1

6. loga M = 1log aM , M ∈ R+, M ≠ 17. a loga M = M > 0 * f(x) = 2 log2 x = x, g(x) = x แต f ≠ g เพราะ Df = R+, Dg = R8. x loga y = y loga x

9. loga 1 = 010. loga a = 111. คาแรกเตอรริสติกของ log N ท่ีมีคาเปนบวกหรือศูนย (กรณีนี้ N ≥ 1) จะมีคานอยกวาจํ านวนหลักของ N

อยู 1 เชน log 375 จะมีคาคาแรกเตอรริสติก = 212. คาแรกเตอรริสติกของ log N ท่ีมีคาเปนลบ (กรณีนี้ N < 1) จะมีคาสัมบูรณมากกวาจํ านวนศูนยหลังจุด

ทศนิยมของ N อยู 1 เชน log 0.0037 จะมีคาคาแรกเตอรริสติก = -3 (| -3 | = 3, 3 - 2 = 1)13. แมนติสซาของ log ของเลขชุดเดียวกันจะมีคาเทากัน

log 2 = 0.3010 (แมนติสซา), log 200 ก็จะมีแมนติสซา = 0.3010, ดังนั้น log 200 = 2.3010Ex 1 ถา log 27.125 = k จงหาคาของ log 2,712,500 ในเทอมของ kวิธีทํ า log 27.125 มีคา characteristic = 1 ใหคา mantissa = x

ดังนั้น 1 + x = k, x = k - 127.125 เปนเลขชุดเดียวกับ 2,712,500

ดังนั้น log 2,712,500 มีคา mantissa = k - 1 และมีคา characteristic = 6ดังนั้น log 2,712,500 = 6 + k - 1 = k + 5

14. e ≈ 2.718, log e ≈ log 2.718 = 0.4343loge N = ln N = log N

log e = log N0.4343 = 2.303 log N


Ex 2 จงหาเซตค ําตอบของสมการ logx

+ 1 x 3 x - ≥ 1

วีธีทํ า ในการหาคํ าตอบของโจทยขอนี้ตองใชสมบัติพ้ืนฐานของฟงกชันลอก คือ

1. ตัวตามหลัง log ตองเปนบวก 1 x3 x

-+ > 0��

+-3 1

-��

2. ฐานของ log มีได 2 กรณี2.1 0 < x < 12.2 x > 1

จาก 1. และ 2. ทํ าใหรูวาเราจะสนใจเฉพาะชวง x ≥ 1 เทานั้นดังนั้น logx

+ 1 x 3 x - เปนฟงกชันเพ่ิม

จาก logx

+ 1 x 3 x - ≥ 1

จะได

+ 1 x 3 x - ≥ x

1 x3 x

-+

- x ≥ 0

1 x1) 3)(x (x

--- + ≥ 0

1 x1) 3)(x (x

-- + ≤ 0

��+ +

1 3-1--

จากเสนจํ านวนเซตคํ าตอบคือ (1, 3]


แบบทดสอบ

1. เซตคํ าตอบของอสมการ 2x2(x - 3) <

x 3

28

- เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้

1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) 4) (-∞, 2) 2. เซตคํ าตอบของสมการ 4.32x + 9.22x = 13.6x เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้

1) [-4, 0] 2) [-3, 1] 3) [-2, 2] 4) [1, 3] 3. ถา x เปนคํ าตอบของสมการ 9x+1 = 729(31-2x) แลว log4 (x - 1) + log4 (4x - 3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) - 32 2) - 12 3) 12 4) 32 4. ถา logy x = logx y = 2 และ x2 - y = 20 แลว log2 (2x + 2y) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 5 2) 6 3) 8 4) 10 5. กํ าหนดให f(x) = log (1 + x) สํ าหรับ x ∈ R คาของ f(1) + f

21 + ... + f

n1

1) f(n + 1) 2) f(n) 3) f

n1 4) f

+ 1 n 1

6. ให A =

∈ 0=27+933 Rx 1+x1+2x2x+2x --

ผลบวกของกํ าลังสองของสมาชิกท้ังหมดของ A เทากับเทาใด 7. ให f(x) = log x 1 - และ g(x) = log x แลว Rf - Df+g คือเซตในขอใดตอไปนี้

1) [0, 1) 2) [0 ,1] 3) (-∞, 1) 4) (-∞, 1] 8. ฟงกชันในขอใดตอไปนี้เปนฟงกชันลด

1) f(x) = (sin 18°)-2x ทุกๆ x 2) f(x) = (cos 18°)-2x ทุกๆ x3) f(x) = | log2 1x | ทุกๆ x > 0 4) f(x) = log2 1x ทุกๆ x > 0

9. ผลบวกของรากของสมการ 2 log3 x - 2 logx2 9 + 3 = 0 มีคาใกลเคียงขอใดมากที่สุด1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

10. ให R+ เปนเซตของจํ านวนจริงบวก และ A = {x | 22x - 2x+1 - 23 > 0}, B =

≥ 1 2 x 2 2xx --- ขอใดถูกตอง

1) A ⊂ B 2) B ⊂ A 3) A I B = φ 4) A U B = R+

11. ถา f(x) = 10x, x เปนจํ านวนจริงบวก และ a, b เปนสมาชิกของเรนจของ f แลว f (ab)f (b)

11

-- คือขอใดตอไปนี้

1) log10 a 2) 1 + log10 a 3) 1 + logb a 4) 1 + loga b


12. เซตคํ าตอบของสมการ log9 3(x2+3x-30) = x เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้1) (-11, 0) 2) (0, 8) 3) (-10, 5) 4) (-7, 7)

13. ผลบวกของคํ าตอบทั้งหมดของสมการ log1/4 log1/3 log1/2

3 2 4 + 3xx1 - = 0 เทากับขอใดตอไปนี้

1) 1 2) 2 3) 3 4) 414. ถา x และ y เปนจํ านวนจริงซ่ึงสอดคลองสมการ (2 log3 0.5) log0.5 x = log3 4

3(y-1) = 2(2y-3)

แลว x และ y จะเปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) y < 0 < x 2) 0 < x < y 3) 0 < y < x 4) 0 < x = y

15. ถา A =

>∈

49

32Rx

x)x(1- แลวเซต B เปนชวงในขอใดตอไปนี้ ท่ีทํ าให BIA′ = φ

1) (-2, -1) 2) (-1, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 2)16. ให f(x) = log 1 sin x - , g(x) = log cos x + 1 Df , Rg คือเซตในขอใดตอไปนี้

1) Df =

∈ππ≠∈ + I n ,2 n xR x , Rg = (-∞, log 2)

2) Df =

ππππ + 3 n ,3 n - , Rg = (-∞, log 2]

3) Df =

∈ππ≠∈ + I n ,2 2n xR x , Rg =

∞ 2 log 21 , -

4) Df =

ππππ + 6 n ,6 n - , Rg = (-∞, 0]

17. ให A เปนเซตคํ าตอบของ 1x 2 x 1 - - - < log2.25 5.3

และ B เปนเซตคํ าตอบของสมการ 13 x - - 1

x 2 x 1 - - - > log0.43 7.25 แลว A - B คือเซตใดตอไปนี้1) (2, ∞) 2) (3, ∞) 3) [3, ∞) 4) (4, ∞)

18. จงพิจารณาก.

x23

= log3/2 x มีคํ าตอบมากกวา 1 คํ าตอบ

ข.x

32

= log2/3 x มีคํ าตอบเพียงคํ าตอบเดียวเทานั้น

ขอใดถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด


19. ผลบวกของรากของสมการ 2 log3 x - 2 logx2 9 + 3 = 0 มีคาใกลเคียงขอใดมากที่สุด1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

20. เซตคํ าตอบของอสมการ 1log x2 + 1log x3 + ... + xlog19 + xlog

110 ≤ 1 x ≠ 1 คือเซตใดตอไปนี้

1) (0, 1) 2) [10!, ∞) 3) (0, 1)U [10!, ∞) 4) (0, 1)U (1, ∞)21. กํ าหนดให y = 2 + 2 + 22x 2x

- เมื่อ x ≥ 0 แลว x เทากับขอใด

1) log2 (y + y 4 )

2

2 - 2) log2

(y + y + 4 )2

2

3) log (y + y 4 )2

2

- 4) log (y + y + 4 )2

2

22. ถา x และ y เปนจํ านวนจริงท่ีสอดคลองกับสมการ 2x ⋅ 5y = 1 และ 5x+1 ⋅ 2y = 2 แลวขอใดถูกตอง1) | x - y | = 0 2) 0 < | x - y | < 1 3) | x - y | = 1 4) | x - y | > 1

23. พ้ืนท่ีภายในวงกลมรัศมียาว 1 เมตร ถูกแบงเปน 2 สวน ดวยคอรดยาว 1 เมตร พ้ืนท่ีสวนนอยของวงกลมเทากับขอใด1) π2 - 3

8 ตารางเมตร 2) π2 - 34 ตารางเมตร

3) π6 - 38 ตารางเมตร 4) π6 - 3

4 ตารางเมตร

24. ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ log (x - 10) - 2 log (x 10)log (x 1)

-- + 1 = 2log (x 1) - เทากับขอใดตอไปนี้

1) 20.2 2) 111.1 3) 202 4) 111125. คํ าตอบของอสมการ ex2 ln 2 < 2x คือขอใดตอไปนี้

1)

∞ 3 ln2 ln , - 2)

3 ln 2 ln 0, 3)

0 ,3 ln 2 ln 4)

3 ln 3 ln 0,

26. ถา 10y = 21

xsin 1 xsin 1

+- เมื่อ π2 < x < π แลว y มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) log | sec x + tan x | 2) log | sin x | - log | cos x |3) log | cosec x - cot x | 4) log | sec x | + log | tan x |

27. เซตคํ าตอบของอสมการ (4x – 2) log (1 – x2) > 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้1)

21 2,- 2)

2 ,21- 3) (0, 10) 4)

20 ,21


28. กํ าหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซ่ึง f(x) < 0 ทุก xถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) – 4และ g-1(x) = 3

1 x + แลวพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. gof เปนฟงกชันคงตัวข. f(100) + g(100) = 300

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

29. ถา 0 < x < 4π แลว เซตคํ าตอบของ log0.5 (sin x) + log0.5 (sin 2x) < log0.5 (cos x) + log0.5 (cos 2x)

คือเซตในขอใดตอไปนี้1) φ 2)

π

6 0, 3)

ππ

6 , 12 4)

ππ

4 , 630. กํ าหนดให a > 0 และ

g(x) =

≥

<

1 xเมื่อ 1 x1 xเมื่อ )a(10

3x

--

ถา Rg = (-2.5, ∞) แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ก. g-1(a - 1) = log 2

ข. g-1(x) =

≥

<

+ 0 xเมื่อ 1 x0 xเมื่อ )x(4 log

3 ||

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

31. ถา a, b เปนคํ าตอบของสมการ6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0

แลว คํ าตอบของสมการ(ab)2x+1 = (ab + 3)x

เทากับขอใดตอไปนี้1) 3 log 2 log

3 log- 2) 16 log 7 log

4 log- 3) 2 8log 1

5 - 4) 2 5log1

2 -


32. กํ าหนดให S เปนเซตคํ าตอบของอสมการlogx

+ 1 x 3 x - ≥ 1

และ T =

∈S xxlog |3

T เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้1) [0, 2] 2) [1, 3] 3)

25 ,21 4)

37 ,31

เฉลย

1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 2) 6. 4.25 7. 4) 8. 4) 9. 2) 10. 1)11. 3) 12. 4) 13. 3) 14. 2) 15. 1) 16. 3) 17. 3) 18. 3) 19. 2) 20. 3)21. 1) 22. 3) 23. 4) 24. 2) 25. 4) 26. 1) 27. 1) 28. 1) 29. 4) 30. 3)31. 4) 32. 1)


ตรีโกณมิติ

1. สูตรมุมประกอบ1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B3. cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B5. tan (A + B) = tan A+ tan B1 tan A tan B

-6. tan (A - B) = tan A tan B1 + tan A tan B

-

7. cot (A + B) = cot A cot B 1cot B+ cot A

-

8. cot (A - B) = cot A cot B+ 1cot B cot A

-

2. สูตรมุม 2 เทา1. sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan A

1 + tan A 2

2. cos 2A = cos2 A - sin2 A = 1 - 2 sin2 A = 2 cos2 A - 1 = 1 tan A1 + tan A

22

-

3. tan 2A = 2 tan A1 tan A

2-4. cot 2A = cot A 12 cot A

2 -

3. สูตรมุม 3 เทา1. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A2. cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A3. tan 3A = 3 tan A tan A

1 3 tan A

32

--

4. cot 3A = cot A 3 cot A3 cot A 13

2

--


4. สูตรมุมครึ่งเทา

1. sin

2A =

43

21

q ,q อยูใน 2A เมื่อ 2

A cos 1q ,q อยูใน 2

A เมื่อ 2A cos 1

--

-

2. cos

2A =

32

41

q ,q อยูใน 2A เมื่อ 2

A cos + 1q ,q อยูใน 2

A เมื่อ 2A cos + 1

-

3. tan

2A =

42

31

q ,q อยูใน 2A เมื่อ A cos + 1

A cos 1q ,q อยูใน 2

A เมื่อ A cos + 1A cos 1

--

-

= 1 cos Asin A -

= sin A1 + cos A

5. ถา a, b ∈ R+ เราจะเขียน

1. a cos θ + b sin θ =

θ

θ

)ba arctan+( sin b+a)a

b arctan( cos b+a22

22 -

2. a cos θ - b sin θ =

θ

θ

)ba (arctan sin b+a

)ab arctan+( cos b+a

22

22

-

α

a + b22 a

b

tan α = ab , arctan

ba = α

a cos θ - b sin θ = a + b2 2

θ sin b+a

b cos b+a

a2222 -

= a + b2 2 (sin α cos θ - cos α sin θ)

= a + b2 2 sin (α - θ)

= a + b2 2 sin (arctan ab - θ)


6. สูตรแปลงผลคูณเปนผลบวกหรือผลตาง1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)2. 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)4. 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)

7. สูตรแปลงผลบวกหรือผลตางเปนผลคูณ1. sin A + sin B = 2 sin

+2 B A cos

2 B A -

2. sin A - sin B = 2 cos

+2 B A sin

2 B A -

3. cos A + cos B = 2 cos

+2 B A cos

2 B A -

4. cos A - cos B = 2 sin

+2 B A sin

2 B A -

8. สูตรเก่ียวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ1. กฎของ sines

a

bcdO

A

B

C

asin A = bsin B = csin C = d(d = ความยาวของเสนผานศูนยกลางของวงกลมที่ลอมรอบสามเหลี่ยม ABC)

2. กฎของ cosinesa2 = b2 + c2 - 2bc cos Ab2 = a2 + c2 - 2ac cos Bc2 = a2 + b2 - 2ab cos C

3. กฎเสริมa = b cos C + c cos Bb = c cos A + a cos Cc = a cos B + b cos A

4. พ้ืนท่ีสามเหลี่ยม ABC = 12 ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A


9. อินเวอรสของฟงกชันตรีโกณมิติฟงกชันตรีโกณมิติทุกฟงกชันเปน many to one ฟงกชัน ดังนั้นอินเวอรสของฟงกชันตรีโกณมิติจึงไมเปนฟงกชัน

พิจารณา1. f : y = sin x โดย -π2 ≤ x ≤ π2 จะเห็นวาฟงกชันนี้เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ดังนั้นอินเวอรสของฟงกชัน

นี้ก็จะเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งf -1 : x = sin y, -π2 ≤ y ≤ π2

y = arcsin x, -1 ≤ x ≤ 1, -π2 ≤ y ≤ π2ในทํ านองเดียวกับ2. f : y = cos x, 0 ≤ x ≤ π เปน 1-1 ฟงกชัน

f -1 : x = cos y, y = arccos x, -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π เปนฟงกชัน 1-1 ฟงกชัน

3. f : y = tan x, -π2 < x < π2 เปน 1-1 ฟงกชันf -1 : x = tan y, y = arctan x, -∞ < x < ∞, -π2 < y < π2 เปน 1-1 ฟงกชัน

4. f : y = sec x, x ∈

π2 0, U

ππ ,2 เปน 1-1 ฟงกชัน

f -1 : x = sec y, y = arcsec x, x ∈ (-∞, -1]U [1, ∞), y ∈

π2 0, U

ππ ,2 เปน 1-1 ฟงกชัน

5. f : y = cosec x, x ∈

π 0 ,2 - U

π2 0, เปน 1-1 ฟงกชัน

f -1 : x = cosec y, y = arccos x, x ∈ (-∞, -1]U [1, ∞), y ∈

π 0 ,2 - U

π2 0, เปน 1-1 ฟงกชัน

6. f : y = cot x, x ∈ (0, π) เปน 1-1 ฟงกชันf -1 : x = cot y, y = arccot x, -∞ < x < ∞, y ∈ (0, π) เปน 1-1 ฟงกชัน

10. ทฤษฎีเก่ียวกับฟงกชันอินเวอรสของตรีโกณมิติ1. sin (arcsin x) = x เมื่อ -1 ≤ x ≤ 12. cos (arccos x) = x เมื่อ -1 ≤ x ≤ 13. tan (arctan x) = x เมื่อ -∞ < x < ∞4. cot (arccot x) = x เมื่อ -∞ < x < ∞5. sec (arcsec x) = x เมื่อ x ∈ (-∞, -1]U [1, ∞)6. cosec (arccosec x) = x เมื่อ x ∈ (-∞, -1]U [1, ∞)7. arcsin (sin x) = x เมื่อ x ∈

ππ

2,2 -

8. arccos (cos x) = x เมื่อ x ∈ [0, π)9. arctan (tan x) = x เมื่อ x ∈

ππ

2,2 -


10. arccot (cot x) = x เมื่อ x ∈ (0, π) 11. arcsec (sec x) = x เมื่อ x ∈

π2 0, U

ππ ,2

12. arccosec (cosec x) = x เมื่อ x ∈

π 0 ,2 - U

π2 0,

* ขอสังเกตให arctan 125 = α, arctan 158 = β

tan α = 125 , tan β = 158และ tan (α + β) = tan + tan

1 tan tan

α βα β-

=125 + 158

1 125 158

- ×

= - 171140 α + β = arctan

140171-

ตรงนี้ผิดนะ เพราะอะไร?เพราะ tan α = 125 > 1, α > 45°

tan β = 158 > 1, β > 45°α + β > 90°

ดังนั้น α + β จึงไมสามารถเขียนอยูในรูป arctan

140171-

กรณีนี้ จาก tan (α + β) = - 171140ตองสรุปวา α + β = π - arctan

140171

(α + β ตกในควอดรันตท่ี 2)ดังนั้น สูตรตอไปนี้ตองมีเง่ือนไข1. arctan x + arctan y = arctan

xy1y+x

- เมื่อ -π2 < arctan x + arctan y < π2

2. arctan x - arctan y = arctan

xy+1yx - เมื่อ -π2 < arctan x - arctan y < π2

3. arccot x + arccot y = arccot

y+x1xy - เมื่อ 0 < arccot x + arccot y < π

4. arccot x - arccot y = arccot

xy1+xy

- เมื่อ 0 < arccot x - arccot y < π

5. 2 arctan x = arctan

2x1

2x- เมื่อ -π2 < 2 arctan x < π2


6. 2 arccot x = arccot

2x

1x2 - เมื่อ 0 < 2 arccot x < π

7. arcsin x + arccos x = π28. arctan x + arccot x = π29. arcsec x + arccosec x = π2


1. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A, B และ C ตามลํ าดับ ถา cos B = 14และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 12 2) 20 3) 205 4) 403

2. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนจริงก. 0)= xcot2x (cotx -∃

ข.

=+∀ 2x sin 21 1 xcos xsinx 244 -

คาความจริงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปนี้1) ก. เปนจริง และ ข. เปนจริง 2) ก. เปนจริง และ ข. เปนเท็จ3) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนจริง 4) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนเท็จ

3. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากับขอใดตอไปนี้1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40°

4. จุด 2 จุดอยูบนพ้ืนราบหางจากเชิงหอคอยเปนระยะ a และ b เมตร จะเห็นยอดหอคอยเปนมุมยกขึ้น x° และ y°ตามลํ าดับ ถา x° + y° = 90° จงหาความสูงของหอคอย1) a + b เมตร 2) ab เมตร 3) ab เมตร 4) 22 b a + เมตร

5. คาของ tan

51arcsin 2 - เทากับขอใดตอไปนี้

1) -1 2) 1 3) 43 4) - 43 6. ถา cos A = 34 แลว sin A2 sin 5A2 เทากับขอใดตอไปนี้

1) 1132 2) 1116 3) 916 4) 912 7. กํ าหนดให f(x) = cos x2 + cos x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2π ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1) ถา 0 ≤ x ≤ π แลว f(x) = 2 cos x 2) ถา π ≤ x ≤ 2π แลว f(x) = 2 cos x3) ถา π2 ≤ x ≤ 32π แลว f(x) = 0 4) ถา 32π ≤ x ≤ 2π แลว f(x) = 0


8. สามเหลี่ยม ABC มีดาน a, b, c เปนดานตรงขามมุม A, B, C ซ่ึงมีความยาวเปน 3, 2.5 และ 1 หนวยตามลํ าดับ คาของ b cos C + c cos B เทากับเทาใด

9. กํ าหนดให 5 cos 3A cos A + 5 sin 3A sin A = -3 เมื่อ 0 < A < π2 ขอใดตอไปนี้คือคาของ tan A1) 12 2) 1 3) 32 4) 2

10. กํ าหนดให x ∈ [0, 4π] เซตคํ าตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คือขอใดตอไปนี้

1)

πππ 613 ,65 ,6 2)

πππ 613 ,2 ,65

3)

ππππ 25 ,613 ,2 ,6 4)

ππππ

45 ,2 ,6

5 ,611. จํ านวนสมาชิกของเซตคํ าตอบของสมการ arccos (x - x2) = arcsin x + arcsin (x - 1) เทากับขอใดตอไปนี้

1) 1 2) 2 3) 3 4) 412. tan

π1211 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -11 + 3

2) 1 31 + 3

- 3) 1 + 31 3

- 4) 31 3 -

13. ให ABC เปนสามเหล่ียมดังรูปA

C B7

85

คา sin2 B2 เทากับขอใดตอไปนี้1) 328 2) 728 3) 1228 4) 2128

14. กํ าหนดให A =

θθθθθ

cos

22cos = ) sin (1 tan sin - ผลบวกของสมาชิกในเซต A เทากับขอใดตอไปนี้

1) 23 2) 53 3) -13 4) -5315. กํ าหนดให arccos 45 + arcsin 1213 + x = π2 แลว tan x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1663 2) 663 3) -1663 4) -663


16. จากรูปจงหาวามุม B จะตองมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ จึงจะทํ าใหพ้ืนท่ีสามเหลี่ยม ABC มีคามากท่ีสุด

B

5

A3

C

1) arccos

345 2) arcsec

334 3) arctan

43 4) arcsin

53

17. กํ าหนดให cos (α + β) = 3 4 310

- และ cos (α - β) = 3 + 4 310

คาของ sin 2α sin 2β เทากับขอใดตอไปนี้

1) -12 325 2) -6 3

25 3) 6 32s 4) 12 3

2518. f(x) = sin x และ g(x) = arcsin 2x + 2 arcsin x แลวคาของ fog

31 คือขอใด

1) 49 2) 29 (1 + 8 ) 3) 4 2 + 1012 4) 227 (7 + 2 10 )

19. กํ าหนดให sin A - sin 2A + sin 3A = 0 โดยท่ี 0 < A < π2 แลว tan A - tan 2A + tan 3A จะมีคาเทาใด1) - 3 2) 0 3) 2 3 4) 3 3

20. กํ าหนดให 2 arcsin a + arcsin (2a 1 a

2- ) = π3 ดังนั้น arcsin a มีคาอยูในชวงใด

1)

ππ 4 ,2 - 2)

π 0 ,4 - 3)

π4 0, 4)

ππ 2 ,4

21. (1 - tan 15°)(1 + tan 15°) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 2 3 + 1 2) 2 3 - 1 3) 2 3 - 6 4) 4 3 - 6

22. 4(cos3 20° + cos3 40°) - 3(cos 20° + cos 40°) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) -1 2) 0 3) 1 4) 2

23. กํ าหนดให sin θ = a ดังนั้น 42 + 2 + 2 cos 4 θ

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 21 a - 2) 21 + a 3) 2

1 a - 4) 21 a

2-24. tan 20° + tan 40° + 3 tan 20° tan 40° มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 3 - 1 2) 3 3) 3 + 1 4) 2( 3 - 1)25. cos2 A + cos2

π+ 32 A + cos2

π32 A - เทากับขอใดตอไปนี้

1) 12 2) 23 3) 34 4) 32


26. sin 82° 30′ sin 142° 30′ + sin 7° 30′ sin 52° 30′ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 2 2) 2 3) 1 4) 1

227. ถา A + B + C = π แลว sin A + sin B + sin C เทากับขอใดตอไปนี้

1) 2 cos A2 cos B2 cos C2 2) 2 sin A2 sin B2 sin C23) 2 cos A2 cos B2 sin C2 4) 2 sin A2 sin B2 cos C2

28. ถา A + B = 54π แลว (1 + tan A)(1 + tan B) เทากับขอใดตอไปนี้1) -1 2) 12 3) 1 4) 2

29. ผลบวกของคํ าตอบของสมการ arcsin x + arcsin (1 - x) = arccos x คือขอใด1) 12 2) 1 3) 32 4) - 12

30. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มี ACB$ = 90°, BC = 3a และ AC = 3b จดุ D และ E แบง AB ออกเปน 3 สวนเทาๆ กัน ถา CD = cos x และ CE = sin x โดย 0 < x < π2 แลว AB ยาวเทาใด

A

D

E

B

C

3a

3b

sin x

cos x

1) 5 2) 3 3) 3 55 4) 3 5

31. จงหาคาสูงสุดและตํ่ าสุดของ y = cos2 x + 2 sin2 x - sin x - 31) ymax = 0 , ymin = - 94 2) ymax = 12 , ymin = -13) ymax = 1 , ymin = - 32 4) ymax = 0 , ymin = - 32

32. จงหาเซตคํ าตอบของอสมการ cos θ - sin θ ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π1)

ππ4

3 ,2 2)

π

23 0, U {2π} 3)

ππ

43 ,4 4)

ππ

45 ,4

3

33. จงหาผลบวกของคํ าตอบของสมการ tan

π7 3x - = cot

π+ 7 2x , 0 ≤ x ≤ π

1) 52π 2) 32π 3) 72π 4) 92π


34. ถา arccos x – arcsin x = 6π แลวarccos x – arctan 2x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 12π 2) 125π 3) 127π 4) 1211π

35. ถา B sinA sin = 3

2 และ B cosA cos = 2

1 แลว tan2 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 4 2) 23 3) 1 4) 32

เฉลย

1. 1) 2. 3) 3. 1) 4. 3) 5. 4) 6. 1) 7. 3) 8. 3 9. 2) 10. 3)11. 1) 12. 2) 13. 1) 14. 1) 15. 3) 16. 1) 17. 4) 18. 4) 19. 3) 20. 3)21. 4) 22. 2) 23. 4) 24. 2) 25. 4) 26. 4) 27. 1) 28. 4) 29. 1) 30. 3)31. 1) 32. 2) 33. 1) 34. 1) 35. 2)


MATRICES AND DETERMINANTS

1. ความรูพ้ืนฐานเก่ียวกับเมตริกซ1. เมตริกซ A = [aij]m+n หมายถึง เมตริกซท่ีมิติ m × n คือ มี m แถว และ n หลัก มีสมาชิกอยูในแถวที่ i

และหลักท่ี j เปน aij

A =

mnmjm2m1iniji2i12n2j22211n1j1211

a ,a , ... ,a ,aa ,a , ... ,a ,aa ,a , ... ,a ,aa ,a , ... ,a ,a

...

จะเห็นวา จํ านวนสมาชิกในแตละแถวเทากับจํ านวนหลัก = n จํ านวนสมาชิกในแตละหลักเทากับจํ านวนแถว = m

2. เมตริกซจัตุรัส (Square matrix) คือ เมตริกซท่ีมีจํ านวนแถวเทากับจํ านวนหลัก เชน A2×2 =

22211211

a aa a

3. เมตริกซศูนย (Zero matrix) คือ เมตริกซท่ีมีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย4. เสนทแยงมุมหลัก (Diagonal line) หมายถึง แนวท่ีผานสมาชิก aij เมื่อ i = j

333231232221131211

a a aa a aa a a

5. เมตริกซทแยงมุม (Diagonal matrix) คือ เมตริกซท่ีมีสมาชิกทุกตัวบนเสนทแยงมุมหลักเทากันหมด สวนสมาชิกตัวอื่นเปนศูนย

3 0 00 3 00 0 3

6. เมตริกซเอกลักษณ (Identity matrix)

I3 × 3 =

1 0 00 1 00 0 1

7. การเทากันของเมตริกซ เมตริกซ 2 เมตริกซจะเทากันเมื่อมีมิติเดียวกัน และสมาชิกท่ีอยูในตํ าแหนงเดียวกันเทากันAm × n = [aij]m × n, Bm × n = [bij]m × n, A = B ↔ aij = bij


2. การบวกและการลบของเมตริกซ1. เมตริกซ 2 เมตริกซจะบวกหรือลบกันไดเมื่อเมตริกซท้ังสองมีมิติเดียวกัน

A = [aij]m × n, B = [bij]m × nA + B = [aij]m × n + [bij]m × n = [aij + bij]m × nA - B = [aij]m × n - [bij]m × n = [aij - bij]m × n

2. สมบัติเก่ียวกับการบวกของเมตริกซใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของเมตริกซท่ีมีมิติ m × n

1. มีสมบัติปดสํ าหรับการบวกAm × n + Bm × n = Cm × n

2. มีสมบัติเปล่ียนกลุม(A + B) + C = A + (B + C)

3. มีสมบัติสลับท่ีA + B = B + A

4. เอกลักษณการบวกคือ [0]m × nAm × n + [0]m × n = [0]m × n + Am × n = Am × n

5. ทุกเมตริกซ Am + n ใดๆ จะมี -Am × n = (-1)Am × n (อินเวอรสการบวก)Am × n + (-Am × n) = (-Am × n) + Am × n = [0]m × n

3. การคูณเมตริกซดวยคาคงท่ีถา A = [aij]m × n และ c เปนคาคงที่แลว

cA = [caij]m × n เชน 3

7 52 1

=

3(7) 3(5)3(2) 3(1)

=

21 156 3

ถา b, c เปนคาคงที่ A, B เปนเมตริกซท่ีมีมิติเดียวกัน จะได1. (bc)A = b(cA)2. b(A + B) = bA + bB3. (b + c)A = bA + cA

4. การคูณเมตริกซดวยเมตริกซเมตริกซ 2 เมตริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อจํ านวนหลักของตัวหนาตองเทากับจํ านวนแถวของตัวหลัง* ตรงนี้เห็นไดชัดเลยวา การคูณกันของเมตริกซไมมีสมบัติสลับท่ี เชน

A B2 3× 3 4×

เทากัน คูณกันได แต B A3 4× 2 3×

ไมเทากัน คูณกันไมได

[aij]m × n[bij]n + r = [cij]m × r โดย cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj = a bik kjk = 1

n

∑


สมบัติเก่ียวกับการคูณเมตริกซดวยเมตริกซ ใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของเมตริกซจตุรัสท่ีมีมิติเดียวกัน (n × n)1. มีสมบัติปดการคูณ An × n Bn × n = Cn × n2. มีสมบัติเปล่ียนกลุมได (AB)C = A(BC)3. ไมมีสมบัติสลับท่ี AB ไมจํ าเปนตองเทากับ BA โดยสวนใหญแลว AB ≠ BA

4. มีเอกลักษณการคูณ In × n =

1 0 ... 0 00 ... 0 1 00 ... 0 1

AI = IA = A5. ถา det A ≠ 0 A จะมีอินเวอรสการคูณ A-1

AA-1 = A-1A = I ถา A =

d cba

, A-1 = 1ad bc -

a cb d -

-

6. A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA7. (A + B)(A - B) = AA - AB + BA - BB = A2 - AB + BA - B2 ≠ A2 - B2

(Q AB ≠ BA)8. (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 ≠ A2 + 2AB + B2

9. AB = [0] ไมจํ าเปนท่ี A = [0] หรือ B = [0] 10. AB = AC ไมจํ าเปนท่ี B = C

5. ทรานสโพสของเมตริกซ A (At)

A =

22211211

a aa a

, At =

22122111

a aa a

เปล่ียนแถว i ไปเปนหลักท่ี i

* สมบัติทรานสโพสของเมตริกซ1. (At)t = A2. (cA)t = cAt

3. (A ± B)t = At ± Bt

4. (AB)t = BtAt

* สมบัติของอินเวอรสการคูณ1. A-1 = adj (A)

det (A)* adj (A) = [cofactor (aij)]t

2. (AB)-1 = B-1A-1 เมื่อ A, B เปนเมตริกซจัตุรัส(C2 × 2 = A2 × 3 B3 × 2)* (A2 × 3 B3 × 2)-1 = (C2 × 2)-1 ถา det C2 × 2 ≠ 0 แตกรณีนี ้(A2 × 3 B3 × 2)-1 ≠ 1 23B-

× 1 32A-×

เพราะ B3 21×

- และ A2 31×

- ไมนิยาม


3. (A-1)-1 = A4. (At)-1 = (A-1)t5. (An)-1 = (A-1)n

6. ดีเทอรมิแนนต (Determinant)เปนฟงกชันจากเซตของเมตริกซจัตุรัสใดๆ ไปยังเซตของจํ านวนจริงถา A เปนเมตริกซ 1 × 1 A = [a] จะได det (A) = a

1. ถา A = [aij]n×n จะได minor ของ aij = determinant ของสับเมตริกซของ A ท่ีเกิดจากการตัดแถวท่ี i และหลักท่ี j ของ A ออก = Mij และ cofactor ของ aij = (-1)i+j Mij = Cij

A =

333231232221131211

a a aa a aa a a

cofactor ของ a21 = (-1)2+1

33321312

aaaa

det

= c21

= a12 a33 - a13 a32

ให cof(An × n) =

nnn2n1

2n2221

1n1211

C ... C CC ... C CC ... C C

...

นิยามเมตริกซผูกผัน (Adjoint matrix) ของ An × n คือ (cof(An × n))t

adj (A) =

nn2n1nn22212n11211

c ... c cc ... c cc ... c c

...

ถา det (A) ≠ 0 จะได A-1 = adj (A)det (A)

adj (A) = det (A)A-1

det (adj (A)) = det (det (A)A-1)= (det A)n ⋅ det (A-1)

= (det A)det A

n = (det A)n-1


Ex จงหา A-1 จาก A =

d cba

c11 = (-1)1+1 det [d] = d, c12 = (-1)1+2 det [c] = -cc21 = (-1)2+1 det [b] = -b, c22 = (-1)2+2 det [a] = a

cof (A) =

22211211

c cc c

=

a bc d

--

adj (A) = [cof (A)]t =t

a bc d

-- =

a cb d

--

A-1 = adj (A)det (A)

= bcada cb d

--

-

7. กฎคราเมอร (Cramer's rule)1. ในระบบสมการเชิงเสน 2 สมการ 2 ตัวแปร

a11x + a12y = a1

→

22211211

a aa a

yx

=

21

bb

Ax = B

a21x + a22y = b2

จะได x =

b ab a

|A|

1 122 22 , y =

a ba b

|A|

11 121 2 เมื่อ | A | ≠ 0

2. ในระบบสมการเชิงเสน 3 สมการ 3 ตัวแปรa11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2 →

333231232221131211

a a aa a aa a a

zyx

=

321

bbb

→ Ax = B

a31x + a32y + a33z = b3

จะได x =

b a ab a ab a a

A

1 12 13

2 22 23

3 32 33| | , y =

a b aa b aa b a

A

11 1 13

21 2 23

31 3 33| | , z =

a a ba a ba a b

A

11 12 1

21 22 2

31 32 3| | เมื่อ | A | ≠ 0


คุณสมบัติเก่ียวกับดีเทอรมิแนนต เมื่อ A, B เปนเมตริกซท่ีมีมิติเดียวกัน1. det (AB) = det A ⋅ det B2. det (At) = det (A)3. det (A-1) = 1det A4. det (I) = 15. det (An) = (det (A))n6. det (k An × n) = kn det (A) (k เปนคาคงที่)

7.

a a a...11 12 1na a a...21 220 0 0...a a a...n1 n2 nn

...

2n =

a a a...11 12 1na a a

...21 22

0

00...a a a...n1 n2 nn

... 2n...... = 0

8.

a a a...11 12 1na a a...11 12

...a a a

...

n1 n2 nn

k k k 1na a a31 32 3n...

= 0

9.a a a11 12 1na a a

...21 22...

a a a...n1 n2 nn

... 2n = -a a a21 22 2na a a

...11 12...a a a...n1 n2 nn

... 1n = -a a a12 11 1na a a

...22 21...a a a...n2 n1 nn

... 2n... ... (สลับแถว, สลับหลัก)

10. a (b + c) de (f + g) hi ( j + k) m

=

a b de f hi j m

+

a c de g hi k m

11.

a a aka ka kaa a a

11 12 13 21 22 23

31 32 33

= k

a a aa a aa a a

11 12 1321 22 2331 32 33

12.

a a aa a aa a a

11 12 1321 22 2331 32 33

=

a a a(a + ka ) (a + ka ) (a + ka )a a a

11 12 13 21 11 22 12 23 1331 32 33




x 0 02 4 01 5 x

---

โดยท่ี det A = -1 และ x เปนจํ านวนจริง ถา I เปนเมตริกซเอกลักษณขนาด

3 × 3 แลว det [2(I - A)At] มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 4 2) 8 3) 12 4) 18

2. ถา A = [aij]3 × 3 =

1 x 10 2 1 0 y x

-- , det A = 1 และโคแฟกเตอรของ a21 = 3 แลว det (A + I) เทากับเทาใด

(เมื่อ I เปนเมตริกซเอกลักษณขนาด 3 × 3)1) 6 2) 5 3) 4 4) 3


1 002

- และ B =

d cba

โดยท่ี a, b, c, d เปนจํ านวนจริง ถา A + B = AB

แลว det

B 21 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) - 14 2) - 12 3) 14 4) 12

4. ให f(x) = det

11x2101xx

2 - ถาชวง [a, b] เปนเซตคํ าตอบของอสมการ f(x) ≥ -2 แลว | a - b |

คือขอใดตอไปนี้1) 13 2) 23 3) 43 4) 53

5. ให a, b, c เปนจํ านวนจริง และ A =

1 1 c1 1 b0 1a

-

-

ให Cij(A) คือ โคเฟกเตอรของสมาชิกในตํ าแหนงแถวท่ี i หลักท่ี j ของ Aถา C12(A) = 1 และ det (A) = -5 แลว a เทากับคาในขอใดตอไปนี้1) -5 2) -1 3) 2 4) 3



0 1 11 1 2 1 2 1

- -

และ I =

1 0 00 1 00 0 1

ถา B เปนเมตริกซท่ีทํ าให AB = BA = I แลวคาของ

det (adj B-1) เทากับขอใดตอไปนี้1) 1 2) 16 3) 25 4) 36


1 y x0 8 34 y x

--- โดยท่ีโคแฟกเตอรของ a21 = -6 โคแฟกเตอรของ a23 = 4 แลวโคแฟกเตอร

ของ a33 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) -14 2) -13 3) 13 4) 14


3 24 3

, B =

3 12 1

- , X =

d cba

ถา AX + B = A แลว b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 7 2) 9 3) 10 4) 11


c 0 1b 3 2 a 2 1

- , X =

zyx

, B =

011

โดยท่ี a, b, c เปนจํ านวนจริง ถา AX = B

และ A ∼

2 0 11 1 0 3 2 1

--- R2 - 2R1 แลว x มีคาเทากับคาใดตอไปนี้

1) -1 2) - 23 3) 34 4) 2


0 1 2 0 1 0 3 2 1

- และ x =

rqp

ถา A2(adj A)x =

061

แลว P มีคาเทากับเทาใด

1) 0.5 2) 1.5 3) 2 4) 2.5

11. ถา A =

2 14 3

และ C =

8 1218 30

และ B เปนเมตริกซซ่ึงทํ าให AB = C แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1) det (B-1) = 12 2) det (B-1A-1) = 243) det (2Bt) = 24 4) det (A2B) = 48


12. ถา A =

4 32 1

--

, B =

4 2 1 1 -

แลว 2A-1Bt คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้

1)

7 210 2--

2)

7 210 2

--

3)

6 62 5

4)

6 62 5

--


a 1 1 1a 12 1 1

--

- , X =

321

xxx

และ B =

10 1

-

แลวคาของ a ท้ังหมดท่ีทํ าใหระบบสมการ

AX = B หาคํ าตอบ (X) ได จะเปนสมาชิกของเซตในขอใดตอไปนี้1) R - {1} 2) R - {1, 2} 3) R - {3} 4) R - {-1, 3}


3 11 2

- และ M =

+ 3 x 73

x 1

- เซตของจ ํานวนจรงิ x ท่ีทํ าให det M = det [(2A + At)A-1]

คือเซตในขอใดตอไปนี้

1)

5 ,711 - 2)

5 ,711 3)

5 ,711 -- 4)

5 ,711-

15. กํ าหนดให A และ B เปนนอนซิงกูลารเมตริกซขนาด 2 × 2 โดยท่ี det (A-1) = - 12 และ B =

yx

2 1

--

เมื่อ x, y ∈ R ถา AB + 3A = 2I แลว x + y เทากับเทาใด1) -4 2) -2 3) 2 4) 4


θθθθ

cos sin sin cos

-

, I =

1 00 1

และ B = A2 + (A-1)2 + 2I ดังนั้น (A-1)2B มีคาตรงกับ

ขอใดตอไปนี้1) 2I 2) 4I 3) 4A 4) 8A

17. กํ าหนดให

x y zp q rs t u

= -1 ดังนั้น 3x 3y 3z(2p s) (2q t) (2r u)

2s 2t 2u

- - - - - -

เทากับขอใด

1) -12 2) -6 3) 6 4) 12

18. ให A =

3 0 0 01 2 0 00 0 3 00 0 2 1

, A-1 = [aij]4×4 จงหา a12

1) - 23 2) 23 3) - 43 4) 43


19. ให A =

3x cos 3x sin 2 xcos xsin 2x cos -

และ

S = {x ∈ [0, π] | 2 det (A2) - 3 3 det (A) + det ( 3 I) = 9} เมื่อ I เปนเมตริกซเอกลักษณมิติ 2 × 2ผลบวกของสมาชิกของ S ท้ังหมดมีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 26π 2) 36π 3) 46π 4) 56π

20. ถา A เปนเมตริกซซ่ึง A-1 =

2 0 x1 1 30 2 1

-- , x > 0

และ det (2 adj A) = 118 แลว x เปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) x < 5 2) 5 ≤ x < 9 3) 9 ≤ x < 13 4) x ≥ 13


+

+

++

x1 1 x1 xx 0 1 xx 2 x

- และ B =

+

3 2x1 x x

ถา x เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าให det (A) = 0 แลว adj B คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้

1)

1 22 3

--

2)

1 20 3

-

3)

2 43 3

--

4)

2 41 3

-

22. กํ าหนดให a เปนจํ านวนจริง และ A =

+

a 2a 3a 6

6 2a 1a

ถา M11(A) = 18 และ M22(A) = -12 แลว C31(A) เทากับขอใดตอไปนี้1) -57 2) -33 3) -15 4) -3

23. กํ าหนดให a เปนจํ านวนจริง และ A =

a 0 40 3 02 0 1

ถา a > 10 และ det (adj A) = 225 แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 11 2) 12 3) 13 4) 14

เฉลย

1. 4) 2. 1) 3. 3) 4. 4) 5. 3) 6. 4) 7. 4) 8. 4) 9. 2) 10. 1)11. 4) 12. 1) 13. 2) 14. 1) 15. 1) 16. 2) 17. 4) 18. 1) 19. 4) 20. 3)21. 4) 22. 2) 23. 3)


เวกเตอร

1. ความรูพ้ืนฐานเก่ียวกับเวกเตอรเวกเตอร เปนปริมาณที่มีท้ังขนาดและทิศทาง ไดแก แรง, นํ้ าหนัก, ความเร็ว, ความเรง, โมเมนต ฯลฯการเทากันของเวกเตอร เวกเตอร 2 เวกเตอรจะเทากันเมื่อมีขนาดเทากัน และมีทิศทางเดียวกัน

2. การบวกกันของเวกเตอร

vv1

vv2

v vv+v12

vv1vv2

vv

v

v+v+v12

3

vv3

สมบัติการบวกเวกเตอร1. vu + vv = vv + vu2. (vu + vv ) + vw = vu + (vv + vw )3. vu + v0 = v0 + vu = vu (v0 เปนเอกลักษณการบวกของเวกเตอร)4. vu + (-vu ) = v0 (-vu เปนอินเวอรสการบวกของ vu )

* -vu = (-1)vu เปนนิเสธของ vu คือ เวกเตอรท่ีมีขนาดเทา | vu | แตมีทิศตรงกันขาม

3. การลบของเวกเตอรvu - vv = vu + (-vv )

vuu + (-v) = u -

v

vv-vv

vv

vv

v - uvvvu

vvส่ีเหล่ียมดานขนานของเวกเตอร

Bvu

= v - u vv u +

vv + (-u)-vu v - uvv

A

CDvvvv

vv

vv

v - uvvv v

vu

u + vvv


1. เสนทแยงมุม ACAC = vu + vv

2. เสนทแยงมุม BDBD = vv - vu (จากรูป ปลายของ vv - vu จะแตะกับปลายของ vv )

3. จะเห็นวา ถา ABCD เปนส่ีเหล่ียมขนมเปยกปูนจะไดวา | vu | = | vv | และ vu + vv จะต้ังฉากกับ vv - vuสรุปไดวา vu + vv จะต้ังฉากกับ vv - vu (หรือ vu - vv ) ก็ตอเมื่อ | vu | = | vv |

4. การคูณเวกเตอรดวยสเกลารถา m เปนคาคงที่ vv เปนเวกเตอร

= vmv

เวกเตอรท่ีมีขนาด m| v | และมีทิศเดียวกับ ถา m > 0เวกเตอรท่ีมีขนาด (-m)| v | และมีทิศตรงขามกับ ถา m < 0เม่ือ m = 0v0

v

v

vvvv

1. a(bvv ) = (ab)vv , a, b เปนคาคงที่2. (a + b)vv = avv + bvv3. a(vu + vv ) = avu + avv4. ถา vu และ vv ไมเปนเวกเตอรศูนยท้ังคู และ vu = mvv , m เปนคาคงที่ไมเทากับศูนย จะสรุปไดวา vu กับvv ขนานกัน

5.A

O

B

Cvv1

vv2

จากรูป ถา AC : BC = m1 : m2 จะได OC = m v +m vm +m1 2 2 1

1 2

v v


5. เวกเตอรในระบบแกนมุมฉาก

A(a, b)

x

y

O B

b jv

a iv

A(x , y )1 1

B(x , y )2 2

vi แทน เวกเตอรหนึ่งหนวย มีทิศตามแนวแกน x ขวามือvj แทน เวกเตอรหนึ่งหนวย มีทิศตามแนวแกน y ดิ่งขึ้น

OA = OB + BA = a iv + b jv =

ba

จากรูป A(x1, y1) เปนจุดเริ่มตนของ ABB(x2, y2) เปนจุดปลายของ AB

AB = (x2 - x1)vi + (y2 - y1)

vj

=

1212

yyxx

--

ขนาดของ AB = AB = (x x ) + (y y )2 12

2 12

- -

* เวกเตอรหนึ่งหนวยมีทิศเดียวกับ vv = avi + bvjv|v| = a i + b j

a + b

2 2

v v


6. ผลคูณเชิงสเกลาร (Scalar product or Dot product)นิยาม ถา vu = avi + bvj และ vv = cvi + dvj จะได

vu ⋅ vv = ac + bdทฤษฎี ถามุมระหวาง vu และ vv เปน θ จะได

vu ⋅ vv = | vu || vv | cos θ

θ

vu

vv* สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร

1. vu ⋅ vu = | vu || vu | cos 0° = | vu |2

2. vu ⋅ vv = vv ⋅ vu3. vu ⋅ (vv + vw ) = vu ⋅ vv + vu ⋅ vw4. (mvu ⋅ vv ) = m(vu ⋅ vv ) = vu ⋅ (mvv )5. ถา vu และ vv ต้ังฉากกัน vu ⋅ vv = | vu || vv | cos 90° = 0

6. ถา vu และ vv ขนานกัน vu ⋅ vv =

v ,u |,v||u| = 180 cos |v||u| v ,u |,v||u| = 0 cos |v||u| vvvvvv

vvvvvv

o

o

-มีทิศเดียวกัน

มีทิศตรงกันขาม7. | vu + vv |2 = (vu + vv ) ⋅ (vu + vv ) = | vu |2 + 2vu ⋅ vv + | vv |2

8. | vu - vv |2 = (vu - vv ) ⋅ (vu - vv ) = | vu |2 - 2vu ⋅ vv + | vv |2

9. projection ของ vu บน vvvu

vv 124 34proj ของ u บน vv v

= v vvu vv | |⋅ (เปนสเกลาร)

10. เวกเตอร projection ของ vu บน vv

vu

vv

A

BO C

= OC =

⋅

|||| vv

vvu v

vvvv

(เปนเวกเตอร)


11. เวกเตอรหนึ่งหนวยท่ีต้ังฉากกับ vv = avi + bvj คือ

±

2 2

1a + b

(bvi - avj )

vv

มี 2 เวกเตอร

* เวกเตอรหนึ่งหนวยท่ีต้ังฉากกับ vA ในเทอม vA คือ± 1

A| |v [(vA ⋅ vj )vi - (vA ⋅

vi )vj ]12. พ้ืนท่ีสามเหลี่ยมท่ีมีดานประชิดเปน vu และ vv

θ

vu

C B

A

vvจากรูปพ้ืนท่ีสามเหลี่ยม ABC = 12 | vu || vv | sin θ

= 12 | vu || vv | 1 cos 2- θ

= 12 | | | | | | | |u v u v cos 2 2 2 2 2

v v v v- θ

= 12 (u u)( v v) (u v ) 2v v v v v v⋅ ⋅ ⋅-

13. พ้ืนท่ีส่ีเหล่ียมดานขนานท่ีมีเสนทแยงมุมเปน vu และ vv

vuA

vv

B

CD

E

-vu

จากรูปพ้ืนท่ีส่ีเหล่ียมดานขนาน ABCD = พ้ืนท่ีสามเหลี่ยม BDE (พ้ืนท่ีสามเหลี่ยมท่ีมีดานประชิดเปน vu กับ vv )= 12 (u u)( v v) (u v )

2v v v v v v⋅ ⋅ ⋅-



1. ให v v vu = a i + b j โดย a > 0 และ b > 0 และ v v vu (5 i 2 j ) = 14 ⋅ - ถา vu ทํ ามุม θ กับเวกเตอร vi และcos θ = 35 แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 7 2) 14 3) 18 4) 21

2. ให A, B, C เปนจุดในระนาบ และ O เปนจุดกํ าเนิด โดย OA = 3 i 2 j

v v- และ OB = 2 i 5 j

v v+ถา AC = 23 AB แลว |OC|2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 1139 2) 989 3) 1939 4) 1539

3. กํ าหนดให |vu | = 22 , |vu + vv | = 5, |vu - vv | = 4 ถา θ เปนมุมระหวาง vu และ vv แลว θ อยูในชวงใด

ตอไปนี้

1)

π

6 0, 2)

ππ

4 ,6 3)

ππ

3 ,4 4)

ππ

2 ,3

4. กํ าหนด A(1, 1), B(4, 10), C(7, 9) และ D เปนจุดท่ีอยูบนดาน AB โดยท่ี |AD||AB| = 23 ถา θ คือมุมระหวาง

CA และ DA แลว cos θ คือคาในขอใดตอไปนี้1) -2

5 2) -210 3) 2

5 4) 210

5. กํ าหนดให A, B และ C คือจุดท่ีมีพิกัดเปน (-5, 0), (3, 6) และ

51 ,52 - ตามลํ าดับ ถา D(a, b) เปนจุดท่ีทํ าให CD มีทิศทางเดียวกับ AB และขนาดของ CD เทากับ 2 แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้1) 3 2) 6 3) 295 4) 715

6. ABC เปนสามเหล่ียม มี D เปนจดุบนดาน AB ซ่ึงแบง AB เปนอตัราสวน |AD| : | DB | = 3 : 2 และCA = 3vi - 2vj , CB = 2vi + 3vj แลว |CD| เทากับขอใดตอไปนี้1) 95 2) 115 3) 135 4) 145

7. ถา vu ⋅ vv = 5, | vu | = 2 และมุมระหวาง vu และ vv เปน 60 องศา แลว | vu + vv | เทากับขอใดตอไปนี้1) 7 2) 12 3) 29 4) 39

8. vu = -vi - vj , vv = vi - 3vj และ vu ⋅ vv = vv ⋅ vw แลว เวกเตอร vw ในขอใดตอไปนี้มีขนาด 2 หนวย1) )j3 i(45

2 vv+- 2) )j3 i(45

2 vv --

3) )j i(5262 vv

+ 4) )j i(5262 vv -

คณิตศาสตร 1 (100) _____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

9. กํ าหนด A(1, -1), B(5, -4) และ P(2, 3) เปนจดุในระนาบ XY ถา Q เปนจดุในระนาบ XY ท่ี PQ = AB2แลว AP ⋅ BQ เทากับขอใดตอไปนี้1) -9 2) -1 3) 9 4) 1

10. กํ าหนดให OA = vi + 3vj , OB = 4vi + vj จากจุด A ลากเสนตรงไปตั้งฉากกับ OB ท่ีจุด D พ้ืนท่ีของ∆ OAD คือขอใด1) 77

34 2) 772 17 3) 7717 4) 7734

11. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อ vu , vv เปนเวกเตอรก. ถา | vu | = | vv | ≠ 0 แลว (vu - vv ) ⋅ (vu + vv ) = 0ข. ถา | 2vu + vv | = | vv | แลว (vu - vv ) ⋅ (vu + vv ) = 0

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

12. ให va = 2vi - vj , vb = vi + 2vj ถา vc เปนเวกเตอรหนึ่งหนวยซ่ึงทํ ามุมกับเวกเตอร va เทากับท่ีทํ ากับเวกเตอร vb แลว vc คือ เวกเตอรในขอใดตอไปนี้1) ± 1

10 (vi - 3vj ) 2) ± 110 (vi + 3vj )

3) ± 110 (3vi + vj ) 4) ± 1

10 (3vi - vj )

13. กํ าหนดให A และ B คือจุด (-10, 0) และ (2, 4) ตามลํ าดับ แบงสวนของเสนตรง AB ท่ีจุด C ดวยอัตรา|AC||CB| = 13 ถา 0 คือ จุดกํ าเนิด แลวโคไซนของมุม COB มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -210 2) -1

10 3) 110 4) 2

1014. กํ าหนดให OA = va , OB = 13 (2va + vb ) และ OC = vb ดังนั้น AB : BC เทากับอัตราสวนในขอใด

ตอไปนี้1) 1 : 2 2) 1 : 3 3) 2 : 3 4) 3 : 5

15. จากรูปกํ าหนดให OA = va , OB = vb และ P, R แบง OA และ PB ดวยอัตราสวน 1 : 2 ถา ARBQ เปนรูปส่ีเหล่ียมดานขนานแลว OQ เทากับเวกเตอรใดตอไปนี้

B

QR

O P A1) 19 (2va + 3vb ) 2) 19 (6vb - 2va ) 3) 19 (6vb + 7va ) 4) 19 (6vb - 7va )

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 ______________________________คณิตศาสตร 1 (101)

16. จากรูปให OA = va , OB = vb , M และ N เปนจุดก่ึงกลางของดาน OA และ OB ตามลํ าดับ ถา AN และBM ตัดกันท่ีจุด G แลว OG เทากับขอใดตอไปนี้

B

A

GM

O N1) 12 (va + vb ) 2) 13 (va + vb ) 3) 12 (va - vb ) 4) 13 (va - vb )

17. ถา vu และ vv เปนเวกเตอรหนึ่งหนวย และ θ เปนมุมระหวาง vu และ vv ขอความใดตอไปนี้ไมเปนจริง1) (vu + vv ) ⋅ (vu - vv ) = | vu |2 - | vv |2 2) vu ⋅ vv = 4

1 (| vu + vv |2 - | vu - vv |2)3) 12 |

vu - vv | = sin 2θ 4) 12 | vu + vv | = sin 2θ

18. จากรูปถากํ าหนดให | vA | = 3, | vB | = 2 และ | vC | = 6 แลว vC เขียนอยูในรูป vA และ vB ไดดังขอใดตอไปนี้

30o30o vA

vBvC

1) vC = 32vA + 1

3vB 2) vC = 12

vA + 3 vB

3) vC = 3vA + 2vB 4) vC = 23vA + 3 vB

19. จากรูป O เปนจุดศูนยกลางของวงกลมรัศมี 3 หนวย ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทาแนบในวงกลม ADเปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม แลว AC ⋅ CD + AD ⋅ DC + CA ⋅ AD มีคาเทาใด

A

O

B CD

1) -12 2) -6 3) 6 4) 12


20. ในรูปสามเหลี่ยม OAB มี OA = 3va , OB = 3vb และ P เปนจุดบน OA ทํ าให OPPA = 12 และ Q เปนจุดบน OB ทํ าให OQQB = 12 ดังรูป

X

QO

P

A

Bพิจารณา

ก. PQ = 13 ABข. OX = 34 (va + vb )

ขอใดถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

21. ให A, B, C เปนจุดในระนาบ และ O เปนจุดกํ าเนิดโดยท่ี OA = 3i - 2 j และ OB = 2i + 5 jถา AC = 23 AB แลว | OC |2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 1139 2) 989 3) 1939 4) 1539

22. ให u = ai + b j โดยท่ี a > 0 และ b > 0 และ u ⋅ (5i - 2 j ) = 14 ถา u ทํ ามุม θ กับเวกเตอร iและ cos θ = 35 แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 7 2) 14 3) 18 4) 21

23. กํ าหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม โดยท่ี |BC | = 1, |CA| = 2 ถา u = 13 (CA + 2CB), θ เปนมุมระหวาง u และ CB และ cos BCA$ = 14 แลว cos θ เทากับขอใดตอไปนี้

1) 54 2) 5

2 3) 54 2 4) 5

2 224. กํ าหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม โดยท่ี |AB| = c, |BC | = a, |CA| = b ถา a2 + b2 + c2 = 13 แลว

AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ AB เทากับขอใดตอไปนี้

1) 132 2) - 13

2 3) 133 4) - 13

325. ให A, B เปนจุดสองจุดบนเสนตรง y = 2x ถาจุด C(–2, 1) ทํ าให CA ⋅ CB = 0 และ | CA | = | CB | แลว

รูปสามเหลี่ยม ABC มีพ้ืนท่ีเทากับขอใดตอไปนี้1) 2 5 ตารางหนวย 2) 10 ตารางหนวย 3) 5 ตารางหนวย 4) 10 ตารางหนวย

26. ถา uv = 4 iv + 3 jv , | vv | = | uv | และ | uv + vv | = 8 แลว uv ⋅ vv มีคาเทาใด


27. กํ าหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา และ D เปนจุดบนดาน BC ซ่ึงทํ าให |BD | : |BC

| = 1 : 3 พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. 3AD = 2AB + BCข. AD ⋅ BC = - 6

1 |BC |2

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

28. กํ าหนดเวกเตอร av , bv , cv ดังนี้av = 4 iv - 2 jv , av + bv = 6 iv + 4 jv

และ cv = c1 iv + c2 jv โดยท่ี c1 > 0, c2 > 0 และ | cv | = 2 17ถา cv ต้ังฉากกับ ( av - bv ) แลว c1 + c2 มีคาเทากับเทาใด

เฉลย

1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 1) 6. 3) 7. 4) 8. 1) 9. 3) 10. 4)11. 1) 12. 3) 13. 2) 14. 1) 15. 3) 16. 2) 17. 4) 18. 4) 19. 1) 20. 1)21. 1) 22. 2) 23. 4) 24. 2) 25. 3) 26. 7 27. 3) 28. 10


จํ านวนเชิงซอน

1. จํ านวนเชิงซอนจํ านวนเชิงซอน คือ จํ านวนท่ีเขียนอยูในรูป a + bi โดย a, b เปนจํ านวนจริง และ i = -1 เรียก a วาสวนจริง เรียก b วา สวนจินตภาพถา b = 0, a + bi = a เปนจํ านวนจริงถา b ≠ 0, a + bi เปนจํ านวนจินตภาพ

2. การเทากันของจํ านวนเชิงซอนถา z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1 = z2 ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d

3. การบวกและการลบจํ านวนเชิงซอนถา z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iz1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

4. คอนจูเกต (สังยุค) ของจํ านวนเชิงซอนถา z = a + bi คอนจูเกตของ z (z ) = a - biสมบัติของคอนจูเกต

1. ถา z = a + bi จะได z ⋅ z = (a + bi)(a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 (i2 = -1) = | z |2

2. (z) = z3. (z + z )1 2 = z1 + z24. (z z )1 2 - = z1 - z25. (z z )1 2 = z1 z2

6.

21

zz = z

z12

7.

+54

321 z z)z (z z

- = z (z + z )z z1 2 34 5

-


5. คาสัมบูรณของจํ านวนเชิงซอนถา z = a + bi จะได | z | = | a + bi | = a + b2 2

สมบัติคาสัมบูรณของจํ านวนเชิงซอน1. zz = | z |2

2. | z1 + z2 |2 = (z1 + z2) (z + z )1 2 = (z1 + z2)(z1+ z2 ) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 = | z1 |2 + z1z2 + z2z1 + | z2 |2

3. | z1 - z2 |2 = | z1 |2 - z1z2 - z2z1 + | z2 |2

4. | z1 + z2 |2 + | z1 - z2 |2 = 2| z1 |2 + 2| z2 |2

5. | z1 + z2 |2 - | z1 - z2 |2 = 2z1z2 + 2z2z16. | z1z2 | = | z1 || z2 |

7. zz12 = |z |

|z |128. | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |9. | z1 - z2 | ≥ | z1 | - | z2 |

6. สมบัติของ i1. i2 = -1, i3 = i2i = (-1)i = -i, i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 12. i4n = (i4)n = 13. i4n+1 = i4n ⋅ i = (1)i = i4. i4n+2 = i4n ⋅ i2 = (1)(-1) = -15. i4n+3 = i4n ⋅ i3 = (1)i2 ⋅ i = -i6. i4n+4 = i4(n+1) = (i4)n+1 = (1)n+1 = 17. in + in+1 + in+2 + in+3 = 0 (i7 + i8 + i9 + i10 = 1)


7. จํ านวนเชิงซอนในระบบพิกัดเชิงข้ัวy

x0 ab

θ

A(a, b)r

จํ านวนเชิงซอน z = a + bi เขียนอยูในรูปคูอันดับในระบบพิกัดฉากไดเปน (a, b) ถาเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้วจะเขียนไดเปน (r, θ)

โดย a = r cos θ, b = r sin θ, tan θ = baเรียก r วาโมดูลัส (Modulus) ของจํ านวนเชิงซอนเรียก θ วาอารกิวเมนต (Argument) ของจํ านวนเชิงซอน

หาคา r ไดจากสูตรr = a + b2 2

หาคา θ ไดจากสูตรtan θ = ba

แลวตองพิจารณาวา θ ตกอยูในควอดรันตใด โดยดูจาก (a, b)ถา z = 1 + 3 i = (1, 3 ) ตกควอดรันตท่ี 1

tan θ = 31 = 3 , θ = arctan ( 3 ) = π3

ถา z = -1 + 3 i = (-1, 3 ) ตกควอดรันตท่ี 2

tan θ = 31- = - 3 , θ = π - π3 ≠ arctan (- 3 ) = -π3 (ตองระวัง!)

ถา z = -1 - 3 i = (-1, - 3 ) ตกควอดรันตท่ี 3

tan θ = --3

1 = 3 , θ = π + π3 ≠ arctan ( 3 ) = π3ถา z = 1 - 3i = (1, - 3 ) ตกควอดรันตท่ี 4

tan θ = - 31 = - 3 , θ = 2π - π3 ≠ arctan (- 3 ) = -π3


7.1 การหารากท่ี 2 ของ z = a + bi1. โดยสูตรสํ าเร็จ

0 < b เมื่อ

2a b + a + 2

a + b + a

กับ i 2a b + a + 2

a + b + a

0 > b เมื่อ

i 2a b + a 2

a + b + a

กับ i 2a b + a + 2

a +b + a

2222

2222

2222

2222

--

--

---

-

รากท่ี 2 ของ a + bi =

2. โดยวิธีจัดใหอยูในรูปกํ าลัง 2 สมบูรณ เมื่อ a2 + b2 อยูในรูปกํ าลัง 2 สมบูรณ3 + 4i = 22 + 2(2)i + i2 = (2 + i)2 (32 + 42 = 52)ดังนั้นรากท่ี 2 ของ 3 + 4i คือ ±(2 + i)

-4 + 3i = -8 + 6i2 = 1 + 2(3i)(1) + (3i)2

2 2 =

2

23i)+(1

ดังนั้นรากท่ี 2 ของ -4 + 3i คือ ±

2i3+1

7.2 การคูณ-หารของจํ านวนเชิงซอนในระบบพิกัดเชิงขั้วถา z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) , z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

z1z2 = r1r2[cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)]zz12 = r

r12 [cos (θ1 - θ2) + i sin (θ1 - θ2)]7.3 การยกกํ าลังของจํ านวนเชิงซอนในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ถา z = r(cos θ + i sin θ) จะได zn = rn(cos nθ + i sin nθ) เมื่อ n เปนจํ านวนเต็มบวกและ ถา z = r(cos θ - i sin θ) จะได zn = rn(cos nθ - i sin nθ)

7.4 การหารากท่ี 2 ของจํ านวนเชิงซอนในระบบพิกัดเชิงขั้วถา r = r(cos θ + i sin θ)รากที่ n ของ r จะมี n คา = r1/n

πθπθ

n2k+ sin i+n

2k+ cosเมื่อ k = 0, 1, 2, ... , (n - 1)


7.5 ทฤษฎีเก่ียวกับสมการพหุนาม1. สมการพหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 โดย an ≠ 0 และ a0, a1, ... , an

เปนจํ านวนจริง ถา a + bi เปนคํ าตอบของสมการ จะไดวา a - bi เปนคํ าตอบของสมการดวย2. ถา α1, α2 เปนคํ าตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0

จะได α1 + α2 = -ba และ α1α2 = ca3. ถา α1, α2, α3 เปนคํ าตอบของสมการ ax3 + bx2 + cx + d = 0

จะได α1 + α2 + α3 = -baα1α2 + α1α3 + α2α3 = ca

α1α2α3 = -da


1. ถา 2z3 = 1 + 3 i และ zi z

1827

- = a + bi เมื่อ a, b เปนจํ านวนจริงแลว a + b จะมีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1 + i 2) 1 - i 3) -1 + i 4) -1 - i

2. ถา 34 + 394 i เปนคํ าตอบของสมการ ax2 - 3x + c = 0 โดยท่ี a และ c เปนจํ านวนจริงแลว เศษที่เหลือ

จากการหาร ax2 - 3x + c ดวย x + 2 เทากับขอใดตอไปนี้1) 8 2) 12 3) 16 4) 20

3. ถา z เปนจํ านวนเชิงซอน ซ่ึง | z | = | 3 - 4i | และ | z - 1 | = 30 แลวสวนจนิตภาพของ z อยูในเซตใดตอไปนี้1) {-4, 4} 2) {- 21 , 21 } 3) {-3, 3} 4) {- 24 , 24 }

4. ให P(x) เปนฟงกชันพหุนามกํ าลังสาม ซ่ึงมีสัมประสิทธิ์เปนจํ านวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ x3 เปน 1 ถา x - 2หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ (1 + 3 i) เปนรากหนึ่งของ P(x) = 0 แลวรากที่เปนจํ านวนจริงของ P(x) = 0คือคาในขอใดตอไปนี้1) 34 2) 43 3) 54 4) 45

5. กํ าหนดให z = 12 + 32 i สวนจริงของ 1

1 + z 5 เทากับขอใดตอไปนี้

1) -1 2) - 12 3) 12 4) 1 6. ถา z เปนจํ านวนเชิงซอน ซ่ึง z ≠ 0 และ (5 - 12i)z3 (-3 + 4i) = 130z แลว | z | มีคาเทาใด

1) 2 2) 12 3) 12 4) 2


7. รากท่ี 6 ของ -64 ท่ีไมเปนจํ านวนจริง เปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) มี 4 ราก คือ 3 ± i และ ± 2i 2) มี 4 ราก คือ 1 ± 3 i และ -1 ± 3 i3) มี 6 ราก คือ 1 ± 3 i, -1 ± 3 i และ ±2i 4) มี 6 ราก คือ 3 ± i, - 3 ± i และ ±2i

8. ถา (2 + i) เปนรากหนึ่งของสมการ f(x) = 0 เมื่อ f(x) = 2x3 + ax2 + bx + 10 แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) f(1) = 8, f(-1) = 0 2) f(1) = 0, f(-1) = 83) f(1) = 4, f(-1) = 0 4) f(1) = 0, f(-1) = 4

9. ถา z1 และ z2 เปนจํ านวนเชิงซอนซ่ึง z1 = 4

16 sin i+16 cos

ππ และ z = 2 + i 2

z2 1 - แลว z2

มีคาเทากับขอใด1) 1 2) -1 3) i 4) -i

10. ให f(x) = x3 + ax2 + bx + 10 โดยท่ี a, b เปนจํ านวนจริง และ f(1 + 2i) = 0 จงหาสวนจริงของ f(i10)11. ถา (x + yi)1/3 = a + bi แลว xa + y

b เทากับขอใดตอไปนี้1) 4(a2 + b2) 2) 4(a2 - b2) 3) 2(a2 + b2) 4) 2(a2 - b2)

12.8

2i + 1

+ 8

2i 1

- มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 0 2) 2 3) 4 4) 8

13. ถา 5 + 12i + 5 12i5 + 12i 5 12i

-- - = ai แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) - 32 2) - 12 3) 1 4) 214. ถา z = x + iy, w = 1 izz i

-- และ | w | = 1 แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1) z อยูบนแกนจินตภาพ 2) z อยูบนแกนจริง3) z อยูบนวงกลมหนึ่งหนวย 4) ไมมีขอใดถูก

15. ถา mi 1 i 1

+- = 1 และ m เปนจํ านวนเต็มท่ีนอยท่ีสุดแลว m มีคาเทาใด

1) 4 2) 8 3) 12 4) 1616. (-1 + i 3 )13 + (-1 - i 3 )13 มีคาเทากับขอใด

1) -1 2) -2 3) -1213 4) 213

17. จํ านวนเชิงซอน z ซ่ึง

z + 1z + (3 2i)

- = 1 และ zz = 29 คือจํ านวนในขอใด1) -5 ± 2i 2) 2 ± 5i 3) -5 - 2i, 2 - 5i 4) 2 + 5i, -5 - 2I

18. กํ าหนดให z1, z2, z3 เปนรากของสมการ (1 – i)z3 = 2 โดยท่ี z1, z2, z3 อยูในควอดรันตท่ี 1, 2, 3 ตามลํ าดับz1z3 + 22z เทากับขอใดตอไปนี้1) -2i 2) 2i 3) -2 4) 2


19. กํ าหนดให a, b เปนจํ านวนจริง และ (x) = x4 – 6x3 + 15x2 + ax + bถาจํ านวนเชิงซอน 1 + i และ 2 + i เปนรากของ f(x) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) -10 2) -8 3) 8 4) 10

20. กํ าหนดให z1, z2, z3 เปนจํ านวนเชิงซอน ซ่ึงมีสมบัติวา | z1 | = | z2 | = | z3 | = 1, z1 + z2 + z3 = 0 และใหRe(z) แทนสวนจริงของจํ านวนเชิงซอน zพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. Re(z1z2 ) = 12ข. | z1 - z2 | = 3

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

21. กํ าหนดให z เปนจํ านวนเชิงซอน ถา -1 + 3 i เปนรากท่ี 5 ของ z แลว รากที่ 2 ของ z คือจํ านวนในขอใดตอไปนี้1) 2 2 (- 3 - i) , 2 2 ( 3 + i) 2) 2 2 (-1 - 3 i) , 2 2 (1 + 3 i)3) 2 2 (- 3 + i) , 2 2 ( 3 - i) 4) 2 2 (-1 + 3 i) , 2 2 (1 - 3 i)

22. กํ าหนดจํ านวนเชิงซอนz1 = a, z2 = b(cos θ + i sin θ)

โดยท่ี a > 0, b > 0 และ 0 < θ < 2π

ถา 2i | z1z2 | sin θ = c 21zz + d 21zz โดยท่ี c, d เปนจํ านวนจริง แลว 5c + 2d มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 4 2) 3 3) 2 4) 1

23. ให z = a + bi ซ่ึง b > 0 ถา z สอดคลองกับ 64 z

32 4z z2

2

--+ = 1 และ z z = 61 แลว a + b มีคา

เทากับขอใดตอไปนี้1) 9 2) 10 3) 11 4) 12

เฉลย

1. 2) 2. 4) 3. 2) 4. 1) 5. 3) 6. 1) 7. 4) 8. 1) 9. 1) 10. 811. 2) 12. 2) 13. 1) 14. 2) 15. 1) 16. 3) 17. 4) 18. 1) 19. 2) 20. 3)21. 4) 22. 2) 23. 3)


สถิติ

การหาคาสถิติท่ีเก่ียวของกับการเรียงลํ าดับคะแนนจากตารางแจกแจงความถี่ เมื่อทราบตํ าแหนง iXi = L + I (i F )

f Li

-

L เปนขีดจํ ากัดลางของชั้นท่ี Xi อยูI เปนความกวางอันตรภาคชั้นของชั้นท่ี Xi อยูi เปนตํ าแหนงของ XiFL เปนความถ่ีสะสมกอนชั้นท่ี Xi อยู (เรียงคะแนนจากนอยไปมาก)fi เปนความถ่ีชั้นท่ี Xi อยู

มัธยฐาน คือ X N2

= L + I iL

fF 2N

-

(N = จํ านวนขอมูลท้ังหมด)

เปอรเซ็นไทลท่ี k คือ X kN100

= L + I iL

fF 100kN

-

, k = 1, 2, ... , 99

ควอรไทลท่ี k คือ X kN4

= L + I iL

fF 4kN

-

, k = 1, 2, 3

เดไซลท่ี k คือ X kN10

= L + I iL

fF 10kN

-

, k = 1, 2, 3, ... , 9

ตัวอยาง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น ม.4 ของโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้คะแนน จํ านวนนักเรียน21-3031-4041-5051-6061-7071-8081-90

2582410101

จงหาคาของ1. มัธยฐาน2. P723. Q34. D8


วิธีทํ า N = 60, I = 10

Xi fi Fi21-3031-4041-5051-6061-7071-8081-90

2582410101

271539495960

1. มัธยฐาน = 260X = X30 อยูชั้นท่ี 4

X30 = 50.5 + 2415) 10(30 -

= 50.5 + 6.25 = 56.752. P72 =

6010070

X

× = X43.2 อยูในชั้นท่ี 5

X43.2 = 60.5 + 1039) 10(43.2 -

= 60.5 + 4.2 = 64.73. Q3 =

6043

X×

= X45 อยูในชั้นท่ี 5

X45 = 60.5 + 1039) 10(45 -

= 60.5 + 6 = 66.54. D8 = X 8

10 60 × = X48 อยูในชั้นท่ี 5

X48 = 60.5 + 10(48 39)10

-

= 60.5 + 9 = 69.5ตัววัดการกระจาย เปนคาสถิติท่ีบอกวาขอมูลกลุมนั้นมีความแตกตางของคะแนนมากนอยเพียงใด ถาตัววัด

การกระจายมีคามาก ก็แสดงวาขอมูลกลุมนั้นมีความแตกตางของคะแนนมาก ถามีคานอยก็แสดงวามีความแตกตางของคะแนนนอย

1. พิสัย = Xmax - Xmin

2. สวนเบ่ียงเบนควอรไทล Q.D. = Q Q3 1 -2

3. สวนเบ่ียงเบนเฉล่ีย M.D. = f |X X|ii = 1

Ni

∑ -N


4. สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน S.D. = f (X X)

Ni i 2

i = 1

N

-∑

=f X N (X)i i

2i = 1

N

2

∑-

= If d N (d)i i

2i = 1

N

2

∑-

5. ความแปรปรวน = (S.D.)2

สัมประสิทธ์ิของตัววัดการกระจาย เปนคาสถิติท่ีใชสํ าหรับเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลต้ังแต 2 กลุมขึ้นไป1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย = X X

X + Xmax minmax min

-

2. สัมประสิทธิ์ของสวนเบ่ียงเบนควอรไทล = Q QQ + Q3 1

3 1

-

3. สัมประสิทธิ์ของสวนเบ่ียงเบนเฉล่ีย = M.D.X

4. สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน = S.D.X

ขอสังเกตที่ควรจํ า

1. f X Ai ii = 1

N| | -∑ จะมีคานอยท่ีสุดเมื่อ A = มัธยฐาน

2. f (X A)i i 2i = 1

N -∑ จะมีคานอยท่ีสุดเมื่อ A = ตัวกลางเลขคณิต

3. ถาขอมูล x1, x2, x3, ... , xi, ... มีคา1. พิสัยเปน r2. สวนเบ่ียงเบนควอรไทลเปน q3. สวนเบ่ียงเบนเฉล่ียเปน m4. สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน S

แลวขอมูล y1, y2, y3, ... , yi, ... โดย yi = AXi + B จะไดวา ขอมูลนี้จะมีคา1. พิสัยเปน | A |r2. สวนเบ่ียงเบนควอรไทลเปน | A |q3. สวนเบ่ียงเบนเฉล่ียเปน | A |m4. สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน | A |s5. y = Ax + B6. Medy = A Medx + B (Med = มัธยฐาน)


คามาตรฐาน เปนการปรับคาของคะแนน Xi ใหเปนคามาตรฐาน Zi เพ่ือท่ีจะสามารถเปรียบเทียบคาของคะแนนท่ีอยูคนละกลุมกันได

Zi = X XS.D.i -

* 1. Zii = 1

N∑ = (X X)

S.D.i

i = 1

N -

∑ = 1S.D. (X X)i

i = 1

N -∑

= 1S.D. (0) = 0

2. Zi2i = 1

N∑ = (X X)

S.D.i 2

2i = 1

N -

∑ = 1S.D.2 N

(X X)Ni 2

i=1

N-∑

= 1S.D.2 N.(S.D.)2 = N = จํ านวนขอมูลท้ังหมด

3. พ้ืนท่ีใตเสนโคงปกติท่ีสอดคลองกับคา z จะอธิบายเก่ียวกับตํ าแหนงของคา z จะเก่ียวโยงกับตํ าแหนงเปอรเซ็นไทล, ควอรไทล, เดไซล


1. นักเรียนอนุบาล 4 คน มีอายุ x1, x2, x3, x4 ป โดยมีคาเฉล่ียเลขคณิตของอายุ 5.5 ป และ i = 1

4i2

x∑ = 141

ถามีนักเรียนอายุ 3 ป มาเพ่ิมอีก 1 คนแลว สัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุนักเรียนท้ัง 5 คนนี้ เทากับขอใดตอไปนี้

1) 55 2) 1 3) 2 5

5 4) 5 2. พ้ืนท่ีใตเสนโคงปกติ ระหวาง Z = -1.2 ถึง Z = 0 เทากับ 0.3849 คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการ

แจกแจงปกติโดยมีคาเฉล่ียเลขคณิต และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 50 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลํ าดับถานายคํ านวณสอบไดในตํ าแหนงเปอรเซ็นไทลเทากับ 88.49 แลว นายคํ านวณสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้1) 58 คะแนน 2) 60 คะแนน 3) 62 คะแนน 4) 65 คะแนน

3. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ปรากฏวาคาเฉล่ียเลขคณิต และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน 55และ 10 ตามลํ าดับ โดยท่ีนาย ก ไดคะแนนคิดเปนคามาตรฐานเทากับ 1.3 เมื่อรวมคะแนนเก็บระหวางภาคการศึกษาซ่ึงนักเรียนทุกคนไดคนละ 5 คะแนนแลว นาย ข ไดคะแนนรวมนอยกวาคะแนนของนาย ก 8 คะแนนขอใดตอไปนี้เปนคะแนนรวม และคามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข ตามลํ าดับ1) 60, 0.5 2) 60, 1 3) 65, 0.5 4) 65, 1


4. กํ าหนดตารางแสดงพื้นท่ีใตเสนโคงปกติดังนี้

Z 0.97 1.58A 0.334 0.443

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นายคณิตและนายวิทยาเปนนักเรียนหองนี้ถาปรากฏวามีนักเรียน 5.7 เปอรเซ็นตท่ีสอบไดคะแนนมากกวานายคณิตและมีนักเรียน 16.6 เปอรเซ็นตท่ีสอบไดคะแนนนอยกวานายวิทยา และนายคณิตไดคะแนนมากกวานายวิทยาอยู 51 คะแนน สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของการสอบครั้งนี้ เทากับขอใดตอไปนี้1) 12 2) 15 3) 18 4) 20

5. กํ าหนดขอมูล 2 ชุด ดังนี้ ชุดท่ีหนึ่ง คือ 5, 8, 6, 7, 9 ชุดท่ีสอง คือ x1, x2, x3, x4, x5 ถาสัมประสิทธิ์การแปรผันของขอมูลชุดท่ีหนึ่งเปน 2 เทาของขอมูลชุดท่ีสอง และความแปรปรวนของขอมูลชุดท่ีสองเทากับ 9แลว คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดท่ีสองเทากับขอใดตอไปนี้1) 21 2 2) 42 2 3) 18 4) 16

6. อายุของคนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน x และความแปรปรวนเปน s2 สมหวังมีอายุx - 0.51s ป จํ านวนคนในกลุมนี้ท่ีมีอายุนอยกวาสมหวังมีจํ านวนเปนรอยละเทาใด (พ้ืนท่ีใตเสนโคงปกติระหวางZ = 0 และ Z = 0.51 เทากับ 0.195)

7. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํ านวน มีฐานนิยม มัธยฐาน และคาเฉล่ียเลขคณิตเปน 15, 16 และ 17 ตามลํ าดับ และพิสัยของขอมูลชุดนี้เทากับ 5 ความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 315 2) 245 3) 225 4) 195

8. คาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํ านวน เทากับ 15 และ 33 ตามลํ าดับปรากฏวาลืมรวมจํ านวนหนึ่งซ่ึงมีคาเทากับ 26 จงหาคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานที่ถูกตอง1) X = 15.2, S.D. = 35 2) X = 15.7, S.D. = 43) X = 15.6, S.D. = 40 4) X = 16, S.D. = 40

9. ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนกลุมหนึ่ง พบวาคะแนนเฉล่ียเทากับ 75 ความแปรปรวนเทากับ 36 นักเรียนท่ีไดเกรด A จะตองไดคามาตรฐานไมต่ํ ากวา 2.5 ถาสมชายสอบไดเกรด B แลวคะแนนของสมชายควรเปนดังขอใดตอไปนี้1) มากกวา 90 2) นอยกวา 90 3) มากกวา 85 4) นอยกวา 85

10. จากผลการสอบของนักเรียนหองหนึ่ง 40 คน ปรากฏวาเดนสอบไดเปนเปอรเซ็นไทลท่ี 85 ขอความใดตอไปนี้มีความหมายตรงกับขอความดังกลาว1) เดนสอบได 85 เปอรเซ็นต 2) เดนสอบไดตํ าแหนงท่ี 853) มีผูสอบไดคะแนนมากกวาเดน 15 คน 4) มีนักเรียนท่ีสอบไดคะแนนต่ํ ากวาเดนอยู 34 คน

11. ถาขอมูล a, b, c, d มีตัวกลางเลขคณิตเทากับ p และมีสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ q แลวผลคูณของตัวกลางเลขคณิตกับสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูล 3 - 4a, 3 - 4b, 3 - 4c, 3 - 4d เทากับขอใดตอไปนี้1) 12q - 16pq 2) 9q - 12pq 3) 12p - 9pq 4) 16p - 12pq


12. ขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํ านวน มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 13 และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 4

คาของ (X 1)(X 2)

10i i

i=1

10 - -∑

เทากับจํ านวนใดตอไปนี้1) 128 2) 133 3) 144 4) 148

13. นักเรียนอนุบาล 4 คน มีอายุเปน x1, x2, x3, x4 ป โดยมีคาเฉล่ียเลขคณติของอายุเปน 5.5 ป และ xi2

i=1

4∑ = 141

ถามีนักเรียนท่ีมีอายุ 3 ป มาเพ่ิมอีก 1 คน แลว สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของอายุนักเรียนท้ัง 5 คนนี้ เทากับขอใดตอไปนี้

1) 55 2) 1 3) 5

52 4) 5

14. พ้ืนท่ีใตเสนโคงปกติระหวาง Z = -1.2 ถึง Z = 0 เทากับ 0.3849 คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 50 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลํ าดับถานายคํ านวณสอบไดในตํ าแหนงเปอรเซ็นไทลเทากับ 88.49 แลว นายคํ านวณสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้1) 58 คะแนน 2) 60 คะแนน 3) 62 คะแนน 4) 65 คะแนน

15. กํ าหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งดังนี้

คะแนน ความถี่16-1819-2122-2425-2728-30

a2364

ถาควอรไทลท่ีหนึ่ง (Q1) เทากับ 18.5 คะแนนแลว มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองนี้เทากับเทาใด

16. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีผูเขาสอบจํ านวนหนึ่งซ่ึงมีนายคณิตและนายวิทยารวมอยูดวย โดยท่ีคาเฉล่ียเลขคณิตของผลการสอบเทากับ 60 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 0.25 นายคณิตสอบไดมากกวานายวิทยา9 คะแนน และผลบวกของคามาตรฐานของคะแนนของคนทั้งสองเทากับ 1.5ถาให A = คามาตรฐานของคะแนนของนายคณิต และ

B = คะแนนของนายวิทยาแลว A และ B เปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) A = 0.45 B = 65.75 คะแนน 2) A = 0.45 B = 66 คะแนน3) A = 1.05 B = 66.75 คะแนน 4) A = 1.05 B = 68 คะแนน


17. การแจกแจงความสงูของนกัเรยีนกลุมหนึ่งเปนการแจกแจงปกติ ถานักเรียนท่ีมีความสูงมากกวา 149.4 เซนติเมตรมีอยู 3% และนักเรียนท่ีมคีวามสูงนอยกวาฐานนยิมแตมากกวา 136.5 เซนติเมตร มีอยู 25.8% แลว ขอใดตอไปนี้คือฐานนิยมและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนกลุมนี้ตามลํ าดับ (หนวยเปนเซนติเมตร)กํ าหนดตารางแสดงพื้นท่ีใตเสนโคงปกติมาตรฐานท่ีอยูระหวาง 0 ถึง 2

Z 0.3 0.7 1.49 1.88พ้ืนท่ี 0.1179 0.2580 0.4319 0.4700

1) 144.4 , 5 2) 144.4 , 25 3) 140 , 5 4) 140 , 2518. ถานํ้ าหนักของนักเรียนชั้นอนุบาลในโรงเรียนแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคามัธยฐานเปนสามเทาของ

สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอรเซ็นตของนกัเรยีนกลุมนีม้นีํ ้าหนกันอยกวา 15.7 กิโลกรัม แลวเปอรเซ็นตของนักเรียนกลุมนี้ท่ีมีนํ้ าหนักอยูระหวาง 13 กิโลกรัม ถึง 18 กิโลกรัม เทากับขอใดตอไปนี้กํ าหนดตารางแสดงพื้นท่ีใตโคงปกติมาตรฐานท่ีอยูระหวาง 0 ถึง Z

Z 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7พ้ืนท่ี 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.2580

1) 30.51% 2) 33.73% 3) 38.12% 4) 41.34%19. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งซ่ึงมีคะแนนเต็ม 70 คะแนน มีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของ

คะแนนเทากับ 27 ถานายบัณฑิตสอบได 65 คะแนน ซ่ึงคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 3 และนางสาวบังอรสอบไดคะแนนซ่ึงคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.9 แลวนางสาวบังอรสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้1) 50 คะแนน 2) 52 คะแนน 3) 54 คะแนน 4) 56 คะแนน

20. ในการสํ ารวจนํ้ าหนักตัวของนักเรียน 200 คน มีการแจกแจงความถี่ดังนี้

น้ํ าหนักตัว (กิโลกรัม) ความถี่19–22 2023–26 6027–30 3031–34 4035–38 50

จงพิจารณาขอความตอไปนี้ก. นํ้ าหนักตัวของนักเรียน 200 คนนี้ มีฐานนิยมมากกวามัธยฐานข. สัมประสิทธิ์ของสวนเบ่ียงเบนควอไทลของนํ้ าหนักตัวของนักเรียน 200 คนนี้ เทากับ 0.15

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด


21. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนสอบสองหองเปนหอง ก และหอง ข พบวาคะแนนสอบของทั้งสองหองมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานเทากัน และเทากับ a สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนหอง กและหอง ข เทากับ c และ c + a

5 ตามลํ าดับ ถาในการสอบครั้งนี้ เด็กหญิงสด ซ่ึงอยูหอง ก และเด็กหญิงใสซ่ึงอยูหอง ข ทํ าคะแนนไดในตํ าแหนงเปอรเซ็นไทลท่ี 78.81 ท้ังคูแลว เด็กหญิงใสไดคะแนนมากกวาเด็กหญิงสดเทากับขอใดตอไปนี้กํ าหนดตารางแสดงพื้นท่ีใตเสนโคงปกติดังนี้

Z 0.70 0.80 0.90A 0.2580 0.2881 0.3159

1) 5 2) 4 3) 3.5 4) 222. โรงงานแหงหนึ่งคัดเลือกคนงานจากผูสมัครเขาทํ างานท้ังหมด โดยมีเง่ือนไขวา ผูท่ีจะไดรับการพิจารณาคัดเลือก

เขาทํ างานตองมีคามาตรฐานของอายุไมนอยกวา 1.5 และไมเกิน 3.5ถาคาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนของอายุของผูสมัครท้ังหมดเปน 23 ป และ a ป ตามลํ าดับ และถานํ าคามาตรฐานของอายุของผูสมัครท้ังหมดมาหาความแปรปรวนไดความแปรปรวนเทากับ 4

a แลว ผูสมัครท่ีอยูในขายท่ีจะไดรับการคัดเลือกเขาทํ างานจะตองมีอายุตามขอใดตอไปนี้1) ไมนอยกวา 26 ป และไมเกิน 37 ป 2) ไมนอยกวา 29 ป และไมเกิน 37 ป3) ไมนอยกวา 26 ป และไมเกิน 30 ป 4) ไมนอยกวา 29 ป และไมเกิน 30 ป

เฉลย

1. 1) 2. 3) 3. 3) 4. 4) 5. 1) 6. 30.5 7. 3) 8. 4) 9. 2) 10. 4)11. 1) 12. 4) 13. 1) 14. 3) 15. 24.5 16. 3) 17. 4) 18. 3) 19. 3) 20. 4)21. 2) 22. 3)


กํ าหนดการเชิงเสน

กํ าหนดการเชิงเสน (Linear Programming) เปนกระบวนการหาคาสูงสุดหรือต่ํ าสุดของฟงกชันเชิงเสน(P = Ax + By, A, B เปนจํ านวนจริง) โดยอาศัยเครื่องมือท่ีสํ าคัญ คือ กราฟ (กราฟเสนตรง)

กระบวนการดังกลาวนี้จะประกอบดวย1. อสมการขอจํ ากัด จะอยูในรูปกลุมอสมการเชิงเสน ไดมาจากเง่ือนไขท่ีมักจะเกี่ยวกับความจํ ากัดของปริมาณ

วัตถุดิบท่ีใชในการผลิต2. สมการจุดประสงค P = Ax + By ซ่ึงเปนสมการของฟงกชันเชิงเสนท่ีเราตองการหาคาสูงสุดหรือคาต่ํ าสุดขั้นตอนของการหาคาต่ํ าสุดหรือคาสูงสุดของ P = Ax + By มีดังนี้1. เขียนกราฟจากอสมการขอจํ ากัด จะไดบริเวณที่ลอมรอบดวยเสนตรง อาจจะเปนบริเวณปดหรือบริเวณเปด

ก็ได2. หาจุดมุมของบริเวณในขอ 1 แลวหาคา P = Ax + By จากจุดมุมเหลานีทุ้กจดุ แลวน ําคา P ท่ีไดมาเปรียบกัน

ก็จะไดคาสูงสุดหรือคาต่ํ าสุดของ PEx 1 ให P = 28x + 35y

และ 2x + y ≤ 1102x + 3y ≤ 170 x ≥ 0 , y ≥ 0

จงหาคาสูงสุดของ Pวิธีทํ า

��

0 55 85

BC

110y

1703A

2x + y = 110

2x + 3y = 170

จากรูป จะเห็นวาบริเวณที่ไดจากอสมการขอจํ ากัดในกรณีนี้เปนบริเวณปด พ้ืนท่ีแรเงาสี่เหล่ียม AOBC หาจุดตัด C จากระบบสมการ

2x + y = 110 ...(1)2x + 3y = 170 ...(2)

(2) - (1) ; 2y = 60 , y = 30 แทนใน (1)ได x = 110 302 - = 40

ดังนั้นจุด C มีพิกัดเปน (40, 30)


หาคา P จากจุดมุม

(x, y) P = 28x + 35yA(55, 0) 1540

B

3170 0, 35950

C(40, 30) 2,170

จากตารางได Pmax = 2,170Ex 2 โรงงานผลิตรองเทาแหงหนึ่งจายคาจางคนงานหญิงวันละ 300 บาท และคนงานชายวันละ 200 บาท คนงานหญิง

สามารถทํ ารองเทาหญิงได 500 คู และรองเทาชายได 80 คูตอวัน คนงานชายสามารถทํ ารองเทาหญิงได 240 คู และรองเทาชายได 200 คูตอวัน โรงงานนี้รับงานทํ ารองเทาหญิง 5000 คู และรองเทาชาย 2500 คู จะตองจางคนงานหญิงและชายอยางละกี่วันจึงจะทํ าใหเสียคาใชจายนอยท่ีสุด

วิธีทํ า ใหจางคนงานหญิง x วัน จางคนงานชาย y วันให P เปนคาใชจายในการจางคนงานP = 300x + 200y เปนสมการจุดประสงคอสมการขอจํ ากัด คือ 500x + 240y ≥ 5000 หรือ 25x + 12y ≥ 250

80x + 200y ≥ 2500 หรือ 4x + 10y ≥ 125x ≥ 0 , y ≥ 0

��

x

C(0, 20.83)

(0, 12.5)B

(10, 0) A(31.25, 0)25x + 12y = 250

4x + 10y = 125y

หาจุดตัด B ระหวางเสนตรง25x + 12y = 250 ...(1)4x + 10y = 125 ...(2)


(1) ÷ 25 ; x + 1225 y = 10 ...(3)(2) ÷ 4 ; x + 104 y = 1254 ...(4)

(4) - (3) ;

2512 410 - y = 1254 - 10202100 y = 854

y = 854 × 100202= 85 25202 × = 10.52

แทน y = 85 25202 × ใน (3) ได x = 10 - 1225 ×

×20225 85

= 10 - 6 85101 ×

= 4.95ดังนั้นจุด B มีพิกัด (4.95, 10.52)เนื่องจาก x, y เปนจํ านวนวันตองเปนจํ านวนเต็ม ปรับคาพิกัดของจุดมุม A, B, C ใหม พรอมท้ังคํ านวณหาคา P ของจุดมุมใหมจะได

(x, y) P = 300x + 200yA(31, 0)B(5, 11)C(0, 21)

930037004200

ดังนั้นตองจางคนงานหญิงทํ ารองเทา 5 วัน และคนงานชาย 11 วัน


1. กํ าหนดอสมการขอจํ ากัดเปนx + 2y ≤ 8 x + y ≤ 6

x ≥ 0 , y ≥ 0และสมการจุดประสงค P = 3x + 2y คาสูงสุดของ P เปนเทาใด1) 8 2) 16 3) 18 4) 24

2. กํ าหนดอสมการขอจํ ากัดเปน 3x + 5y ≤ 30, y ≤ 2x, y ≥ 12 x, x ≥ 0, y ≥ 0 และสมการจุดประสงคP = 11x + 13y จงหา Pmax1) 13

1110 2) 111050 3) 13

1050 4) 111110


3. กํ าหนดอสมการขอจํ ากัดเปน 50x + 15y ≤ 120, 8x + 5y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 สมการจุดประสงคP = 13x + 13y คาสูงสุดของ P เทากับขอใด1) 31.2 2) 48.0 3) 56.0 4) 62.4

4. กํ าหนดสมการจุดประสงค P = 35x + 25y และอสมการขอจํ ากัด 2x + 3y ≥ 15, 3x + y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0คาต่ํ าสุดของ P เทากับขอใด1) 180 2) 210 3) 26.25 4) 300

5. กํ าหนดสมการจุดประสงค P = 5x + 4y และอสมการขอจํ ากัด 5x + 2y ≥ 25, x ≥ 2, y ≥ 3 คาต่ํ าสุดของ Pเปนเทาใด1) 29 2) 31 3) 40 4) 41

6. ถาผูปวยจํ าเปนตองรบัประทานอาหารใหไดพลังงานไมนอยกวา 1000 แคลอรี และวิตามินซีไมนอยกวา 600 หนวยตอวัน จงหาวาผูปวยควรรับประทานอาหารชนิดละก่ีกรัมจึงจะไดพลังงานและวิตามินซีตามตองการ และเสียคาอาหารนอยท่ีสุด เมื่ออาหารชนิดแรก 1 กรัม ใหพลังงาน 20 แคลอรี และวิตามินซี 10 หนวย อาหารชนิดท่ีสอง1 กรัม ใหพลังงาน 15 แคลอรี และวิตามินซี 10 หนวย โดยอาหารชนิดแรกและชนิดท่ีสองราคากรัมละ 1 บาท และ 0.8 บาท ตามลํ าดับ1) ชนิดแรก 20, ชนิดท่ีสอง 40 2) ชนิดแรก 30, ชนิดท่ีสอง 253) ชนิดแรก 25, ชนิดท่ีสอง 35 4) ชนิดแรก 40, ชนิดท่ีสอง 20

7. รานขนมปงแหงหนึ่งจางคนงานชายชั่วโมงละ 15 บาท และจางคนงานหญิงชั่วโมงละ 10 บาท คนงานชายสามารถทํ าขนมปงปอนดได 24 ชิ้น และเคก 6 ชิ้นตอชั่วโมง คนงานหญิงสามารถทํ าขนมปงปอนดได 12 ชิ้น และเคก10 ชิ้นตอชั่วโมง ถาโรงงานตองการทํ าขนมปงปอนด 504 ชิน้ และเคก 154 ชิน้ จะมีวิธีใหคนงานชายและคนงานหญิงทํ างานคนละก่ีชั่วโมงจึงจะเสียคาจางนอยท่ีสุด1) คนงานชายทํ างาน 16 ชั่วโมง คนงานหญิงทํ างาน 4 ชั่วโมง2) คนงานชายทํ างาน 19 ชั่วโมง คนงานหญิงทํ างาน 4 ชั่วโมง3) คนงานชายทํ างาน 19 ชั่วโมง คนงานหญิงทํ างาน 5 ชั่วโมง4) คนงานชายทํ างาน 20 ชั่วโมง คนงานหญิงทํ างาน 5 ชั่วโมง

8. โรงงานผลิตรถยนตแหงหนึ่งมีวิธีผลิตสวนประกอบรถยนต A, B และ C อยูสองวิธี วิธีหนึ่งผลิตสวนประกอบA, B และ C ไดอยางละ 1 หนวย ทุกๆ 3 ชัว่โมง วธิท่ีีสองผลติสวนประกอบ A ได 3 หนวย และ C ได 1 หนวยทุกๆ 4 ชั่วโมง โรงงานนี้สัญญาท่ีจะผลิตสวนประกอบ A, B และ C จํ านวน 6, 2 และ 4 หนวย ตามลํ าดับโรงงานนี้จะใชเวลาผลิตสวนประกอบรถยนตอยางนอยท่ีสุดก่ีชั่วโมง1) 13 ชั่วโมง 2) 14 ชั่วโมง 3) 16 ชั่วโมง 4) 18 ชั่วโมง

9. กํ าหนดสมการจุดประสงคคือ P = 3x + 2y โดยมีอสมการขอจํ ากัดคือ 0 ≤ x ≤ 4 และ 6 ≤ x + y ≤ 7 แลวคาสูงสุดของ P เทากับเทาใด


10. กํ าหนดให สมการจุดประสงคคือ P = 2ax + 3ay โดยท่ี a > 0 อสมการขอจํ ากัดคือ2x + y ≤ 1000x + 3y ≤ 900

x ≥ 0 , y ≥ 0ถาคาสูงสุดของ P คือ 33000 แลว a เปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) 10 < a ≤ 20 2) 20 < a ≤ 30 3) 30 < a ≤ 40 4) 40 < a ≤ 50

11. กํ าหนดสมการจุดประสงคคือ P(x, y) = (a2 - 1)x + ayโดยท่ี a เปนจํ านวนจริงบวก ซ่ึง a2 - a - 2 ≥ 0 และมีอสมการขอจํ ากัดคือ

2 ≤ x ≤ 4 , y ≥ 1และ x + y ≤ 7ถาคาสูงสุดของ P(x, y) เทากับ 41 แลว a มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้1) [2, 2.5) 2) [2.5, 3) 3) [3, 3.5) 4) [3.5, 4)

เฉลย

1. 3) 2. 2) 3. 4) 4. 1) 5. 2) 6. 1) 7. 2) 8. 1) 9. 18 10. 2)11. 3)

Date post:	05-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

EXPONENTIAL FUNCTION AND LOGARITHM FUNCTION · 2005. 10. 5. · y = ax y = log xa *...

Documents