+ All Categories
Home > Technology > Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

Date post: 25-May-2015
Category:
Upload: project-krit
View: 122 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
Description:
М.Г.Гоман, А.Н.Храмбров. А.В.Храмцовский «Хаотическая динамика простой аэромеханической системы», глава в книге под ред. Дж.Блэклиджа, А.Иванса и М.Тернера «Фрактальная геометрия: Математические методы. алгоритмы, приложения» (Fractal Geometry: Mathematical Methods, Algorithms, Applications), Horwood Publishing, 2002 г. M.G.Goman, A.N.Khrabrov, A.V.Khramtsovsky "Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system", chapter in a book: J.Blackledge, A.Evans, and M.Turner (eds.), "Fractal Geometry: Mathematical Methods, Algorithms, Applications", Horwood Publishing Series in Mathematics and Applications, 2002. Dynamics of a free-to-roll delta wing installed at high incidence in a wind tunnel is outlined using the experimental and mathematical modeling results. A simple analytical model applied allows to simulate the multiattractor and chaotic dynamics observed in wind tunnel tests and thus to validate the used method for nonlinear and unsteady aerodynamics loads representation.
Popular Tags:
15
Transcript
Page 1: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

������� ������ � � ������������������ ����

���� ������ �� �� �� ��� ��� ��� �� ���������

���� ����� ���� � ��������� �� ����� ����� ���� ������� ��� ������ �� !� ���� �����"�� ������ #$�!%�&� '��(���(�� ������

��������

�������� � ��� � ��� ����� ���� ��������� �� ���� ��������� �� ����� ������ �� ������� ����� ��� ������������ ��� ������������ �� ������ �������� � ������ ���������� ���� ������� ����� �� � �������� ���������������� ��� ������ �������� ������� �� ���� ������ ����� ������� � �������� ��� ���� ����� � �������� ��� �������� �������� ��� ���� ��������������

��� �� ��� )���* ��(� +���,�� ���� ��� ������ ������� �� �����"�� "�����"���*� ��� ����"���� ������ "����-

� ����������

$�� +� � �� "���*�����.���� � ��� � �� ����� �� . �+�+�� �� "�� �". ���������� �� ������� �� �� ��� ���� �� �������- !+�� +��� ����� ��� "����� � �".� � "���"����� ����"���� ����"� ��� �� ��"+���� ����"���� ����/����+* ��" �� "�����"���� � ���� ���"� � � ��� �� ���� ���.�� � �0.���� "���. �+��"� �� �� �� .�� � � ����� �� ���+�� 1�2-

3� ��� ���� ��0���� ������ �� �� � "� ���� �� ������������ ���

������� �������� ������ �������� ��- ��"� . �+��"� �� �� �� ��4 � ��� ��� ������� "�. +��� ����� ���� �"� �� ������+ � ���� ��-� ������ �� ��+�������� �� �� ��� � �� "���� +���"� �� �.���� ��+��� ��� ��� ��� �����" �� �� ���� � �� ��"� ��� �0+��(�-

$�� "��� ���� � �� ������ +������ �� ��5� �� ����"� �� "����� ���������� ���� ��������� � ������ ��������� ��� � �0.������� ���� ����� �� ��� �6��� ��� ����� �� �� � ����� � ��� �� ���� �� �� "���� +������ �� ��.���� �.���- ������� � �� ��+�� ������ � ��� � �� � 78� +� ��-�� ��4 �� ����"�������� �����.���� ����"� �� ��� ���0.����- !�� � ��..���� �+��98 ��� � ��� ��� � :����� ;�� +���� �� ��� ���� �� � ��*+���*. �+��" �� �����*��� "�������� #����� ����� ����"&� . ������� ��< ������ ��� ��� ���� ���

������� �� �� ������ ���������� ����� ��� ���� ��� �� �� ��� ������� �

��� ���� �� �� ����� �� ����� �� ������� ���� �� �� ������ ���������

Page 2: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

= ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

����� ������� ���� ��� !� ��� +� ��� � � ��� +����� �� �� �����.���� ���*�"� �� � �0�� ��+�� � ��� � ���� �� �� �� " �� �/����+ ��� ������*� +����� � � ��� ���"�� �� ��� � :����� ;� ��� �� +��� . �.� �� ��� � �� ����� ���� �"�- !�� ���� �� �..�� ���� �� ��".�� � ��� ��� � �������� ��� ���.����"����- ���� � ��".�� � ���+�� �� � �..��� �� ������ ����"��� ��*����������� /�������� "����� 1>2� ���� . ����� ���"� ���� ��� �.�������������� ��� �������� ����"���-

�� ��� .�.� �� . �+��" �� �� ?��� ��(@ .����"���� � ����� �� � ��"�������� �� ���� ��������� A��� �� "��� � "������ �+�� �� � �� �� ��������� ��� "� �� ������ +������ ����-

! ��".�� �� �"��������� ����" �� �� �� " �� � � ��*�* ��� ���� ���"����� �� � B0�� ���� �� � ��� ����� #��� C��-�& � �� ��� ������������ ���.��� ������ ����"���� ���� �� �".� �� �� � "� �� �� �B����� ���� �����"��� "�������� "���� �� �� . ������ �� �� ���� ��� ��.� ��� A����������-

! ��". �������� ���� �� ��"� ��� .�.� � ������ � ����������� �� ��?��� ��(@ .����"���� ��� +� ����� �� 1=2 �� "� � ��� � ���� �� ��� �����-$���� � (� ���� � �" ?��� ��(@ �+�� ����� �� A��� ��� ��� �0.� �"�������� �� ��� ����� � �".� ���� ��� ��".�� A��� ����"��� "��������- $��?��� ��(@ ����������� ���� � . �������� �� ��� "��� � B��� � ��� ��� ���� ����� ������ �� ���( � ��+����� �.���� ��� � A��� �� ������� �.���� �� �������� �� ������ �� ���(-

$�� �����B�� ������ �� ?��� ��(@ "���� � � �������� �� �� ��� ������� ���� +��� "���� �� �� ���� ��� ��.� ��� A� . �������� ������ ��� �� ��� ��� ����"���- $�� ��� �� ��.������� �".� ��� +������ �� ����������.. ���� � �� �����"�� ����� "�������� �� A��� "�������� �� +���� �� �������� �� �����"�� �� ������� �����. ��� . �������� ���� �� �� ��� ��� A�����"���-

C���� � ���� ��������� �� "��� � ��� �������� �� � �� ���� ��"���� �����/��� "���� �� "���"����� "�������� �� �������� ��� ������� �� ���*��"��� ������� � �� ����"��� ��"������ ��� ��� �� ����" ������ 1D� E2- $��?��� ��(@ "��������� ���� �� � �� " �� ���*��� ��*��*� ����" ����"� . �����������+�� �..� ���� �� ������"�� �� �� �� �����"�� "���� �������- ! ��"*.�� "���"����� "���� �� �� ?��� ��(@ ����" ���.������ "���*� ��� ����"��� ��� ������ +������ �� �����4�� �� ��� .�.� ��� /���������� ��"*.� �� �� ��� ����� �0.� �"���� ���-

� � ��������� �������

! �� ��� �� ���� ���� �� ��5� �� ���. ����� 7>�� 98�� F8� ��� ���+�� ������� F8�78� ���� +��� ���� �� � � ��*�* ��� B0�� ���� �� $�!%�@� �� �.������ �����- $��� ��"��� ��� �� ���� �.�� �� "���� ���� �� ��+�� �/��*��+ ��" � 4� � +��( ������ ��""� ���� ��+�� �� �� �".����� .� ����� �����*������� ���""� ���� �/����+ ��� ���""� ���� .� ����� ����������� ��� ���� ���*

Page 3: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ��� D

���� � ��������� ���������� � ��� � ��� ���������� ����� ���� � !"�

�� �� �� "� �� ������ ����"���- ��"� ���� � �� ��� ��������� ���.�����"���*� ��� ����"���-

�� C��-= � ��*�* ��� F8� ���� ��� �"� ���� ��� �� +��( ����� ��� .����.� ��� �� �� .���� �� �� ������ "�"�� ������� �� ��� +��( ����� � �. ������ �� � ��5� �� ������ ���������� �-�- �#8& G F� ��� �#8& G =E��� �� G D7�- �� �� B � ���� �� ��� ��������� �� � ������ "���� ���"��� �".����� � ���� 4� � +��( �����- $�� ������ "�"�� ������� 6�".�+���� � + ������ �� �������� ��.������� �� � ���� ���� +���� ��"-! �� �� �#8& ��� ��� ��� �� ���� �� �� �� �� �".����� ��"� ����� �������� �4���� �� �� ������ "�"�� ������� ��.������� ��� � �"� ��� �5���-��� �� ��� ���� �� ��� ��� � ��+�� �������� � � ��� �-

�� C���-D*> �0.� �"���� ����� �� � ��*�* ��� 7>� ���� ��� � � . �������� ��5� �� ���������� ������ �� G =8�� D8�� D>�� E8�- �� � �� G =8� �� ��� ���� ��+�� 4� � �/����+ ��" #C��-D� ���&� �� � � � �� ���� � �� ��+�� �/����+ ��� �� G D8�< � G 8��==� #C��-D� ���&- ! �� G D>�� E8� �� ��� �� ����� ���� ��� �� �� � ����""� ���� � ��� � �� �� �� " �� � ����� �����������#C��-E&-

!������� �� �� .���� .� �� . �6������ �� �� �0.� �"���� �6��� ������.� �� � "�(� �� �".� �� ���������� �+�� �� ����"��� "����- C� �0*�".��� � �� G D8� #C��-D� ���& �� .���� �6��� ���� . �6���� �� �� .����

#����

� �&� �.. ���� � �� ��5� �� � ��� � ��� ��� ��� ���� ��� - $��� "����

�� �� "���� ���� #��� 1=2& �� ������ � �� ����"���� ����"� ���� �+��� 6�� ���� +��� "���� �� �� �����"�� "�"�� +���� �� ��������� �� �����"��

Page 4: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

E ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

�� ������� �. ��������� �� �� ��������- $�� ��� ������ �� �� .���� �*6��� ��� �����B�� �� �� � �� ��������� ��� ��� ����"��� �� ��� ����" ���� ��"�� � �" �� ���� A� . �������-

$�� 7>� ���� ��� �0.� �"���� �"� ���� ��� �� ��� ���������� �������� G =8�� D8�� D>�� E8� � � . ������ �� C��->- 3�� ��� ��� ��5� �� ��� ��� ������"���- $�� �/����+ ��" � G 8 � �� G =8� �� ��+��� � ����� �"��� �".���������������� ��� +� � �+��� � �0� ��� ���� +����� ���� �� A� � +��������� ���� ��+ �����- $�� ���""� ���� ����������� �� � � ==� � �� G D8�

��� +� ���� �� ����"��� �� � ��(�� ��+�� �/����+ ��" ������ �� �0� ������� +����� � �� � �"��� �".����� � ��� �..�� �� ��� �� ���""� ���/����+ ��" ��� �� ��+����- ! �� G D>� ��� E8� �� ���""� ���� �����������+���"� "� � � ����� . �������� ��� �� �"� ���� ��� �� ���� ���"+�� ��+������� �� ��� "������ �����-

���� �� #��� � ��� $%� ����� ���� ������������ �������� &������� �������� �����

��� �� �� ' ()��

� ����� ����� �� ��� ��� ������

H���"���� �� � � ��*�* ��� ���� ��� �������� �� � B0�� ���� � .��� ������ G �� � �� ��� ����� A� �� �0. ����� � ���� �� ���(� +���� ����� �����( � ��� �������. � ��� +��( ����� �<

��� G �� �� �������� G ��� �� ����

#D-�&

$�� �� ����� �� +��( ����� �#�& . ������ ������� �� ����� �� ���( ��� �������.�#�&� �#�&� ���� �.����� �� �� �����"�� �����-

Page 5: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ��� >

−50 0 50−0.05

0

0.05

θ0=20 deg

Cl

φ, deg

−50 0 50−500

0

500

dφ/d

t, de

g/s

φ, deg

−100 −50 0 50 100−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

θ0=30 deg

Cl

φ, deg

−100 −50 0 50 100−1000

−500

0

500

1000

dφ/d

t, de

g/s

φ, deg

���� �� #��� � ��� )*� ����� ���� ������������ �������� ������ �������� �� �� ' %�

����" ��� �������� �������� �������� �� �� ' (%� ������"�

−100 −50 0 50 100−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

θ0=35 deg

Cl

φ, deg

−100 −50 0 50 100−1000

−500

0

500

1000

dφ/d

t, de

g/s

φ, deg

−100 −50 0 50 100−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

θ0=40 deg

Cl

φ, deg

−100 −50 0 50 100−1000

−500

0

500

1000

dφ/d

t, de

g/s

φ, deg

���� �� #��� � ��� )*� ����� ���� ������������ �������� &���� �������� ��������

�� �� ' (*� ��� +%��

Page 6: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

7 ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25Free to roll dynamics of 65 degree delta wing (experimenta l results)

Time, sec

φ, d

eg

θ0=20 deg

θ0=30o

θ0=35o

θ0=40o

���� �� #��� � ��� �������� )*� ����� ���� �� ��,����� ����������� ������ ��������������� ���� ��������"�

$�� �� ���� A� � ��� � � ���� � ��� �� ���� ��������� ��.���� �� �������� �� ���( ��� �������.- ����"��� ������ �� ��5� �� A� � ��� �� 1D2��� ��������� �� (���"��� "���� .� �"�� � #��� �& � � ����� �� C��-7-

! "��� �� ������ �� ���( �� �� ���� ����� �������� � �" � ��� ������������ �� " �� �� ���� A� �+��� � ���� ���� ���� ��� �����B��� ��� �"����� �� "�� �� ��� .������ ��� ������ "�"���-

! ����� ������ �� ���( �� 4� � �������. �� ���� +� � ��""� ������ �4� � �������. #���� �� �� � �� ���� .����+�� ����""� ���� .�� � �� ������ ���� ���. ����� � F8�&- I� �0 + ��(��� .���� � ��� �� ������ ������� � ������� �.. ���� �� ��� �.�0- �������. . ������ ���""� � �� �� ������� �� � ���� �0�� � ������ �� � "�0�� A� � ��� � �� ���� ���� ��� � ���� +� � �� �0-

�� ��� ��� "���� �� �� ���� A� ��� � �� ����"�� . �.� ��� ��� ��6��� �� ���.� ��� ��� �+���� � ���� ��������� �� ��"� ����� ��� ��� . �*���� ������� �� �����"�� ������ ���� ��� �� +� ���� ��.����� ���� ��

Page 7: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ��� 9

���� �� #��� � ��� ���� -��������� ��� ��,����� .� �����������

��� ���� �� ��+���- $� �(� ��� �5�� ��� ������ ��"� ��������� ����"������ �� ��� ��� A� ����"��� ���� � +� �� ������-

$�� �.. �. ��� � ��� � �� �� "���"����� "���� �� �� �����"�� ������� ���� A� ��������� ��� +��� . �.���� �� 1D� E2 +���� �� � .� �������"����- �� C��-9 �� �0.� �"���� ��.������� �� �� �� "�� �� �� ��������� ����� �� ���( �� ����� ����� �� �� �.. �0�"�� ��.��������� ��".�������� ��".�� A� "����� ���� �� ������ A� ##�&*�� �0 ����� "����&� ��*+� � �� ���� A� ##=&*�� �0 ������ ������� �� :����"��& ��� ����� ������A� ##D&*������� �.. �0�"���� �� H� ����5 "���� �� �� ����� �� ������. ���� � �+��� �� ���&- $�� �� ���� ���� ��� �� �� ������� ����� �� ������ ��� . ����� �����B��� ��� ���� �� �� �� "�� �� �� J��

�� ��.��� �� ������ A� ���� #�&- $�� ���� � � � D8� ��� �� �� ������."���� �� �0 + ��(��� ���� � �� ���� �� �� �� "�� �� �� J���

�� ��.�� ���+� � �� ���� A� #=&- C������� ��� �� �� �0 +� � �������� ���� �� �.�0�� �� ��� #� � E> ���& �� �� �����"�� ���� �.. ������ �� �� �� ��B���+� �� ����� ������ A� #D&- ���� ��".�� �������� ������ �� .����+�� �� ��*

Page 8: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

F ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

0 10 20 30 40 50 60 700

0.5

1

1.5

2

2.5

365 degree delta wing with sharp leading edges

Angle of attack, deg

Nor

mal

forc

e co

effic

ient

CN Δ C

Nvb

Δ CN

v

1

2

3

1

2

3

attached flow

fully stalled flow

unburst vortical flow

experiment

���� �� ���������� ���� �� ��,����� .� ����������� /�� ����� ��� �������

� ��� )*� ����� ����0 1" �������� .�2 " ������� ������� .�2 (" ���� ���������

.�2 3�������4 ������������ �����

���� �� �� �� �����"�� ����� ��� � A� � ��� � �������- !� ���� �� ���� �0 + ��(��� ��� A� ��.� ���� . ������� ���.��� +�� ������ �� A� ��*6��"�� �� ������� �� �����"�� ��.����� ��� +� ���������� ���*����� ����".�����,� �/����� ��.�����-

$�� �������� ��� ����"��� �� �� �� �0 +� � .��� . ������ ������� �+���"� ���� �� �� �����"�� ������ ���� � � "��� +���� ��� �� ��������� �"������- $�� ��� �+���� � �� �����"�� ����� � �" �� �0 + ��(��� J��

�� ��� � ������ +� ���� �+�� +� ��"� ����"���� "���� �0.������ �. ���������� ��� ���� �"� ������ ��B���� �� ��6��"�� . �������-

��"��� ����".������ �� �� ���� ������ "�"�� ������� �� ��� ��������� �+���� � �" ������ A� ��� ����"�� ��� �+���� � �" �� ���� A� � �. ������ �� C��-F� �� � � ��".�� ��������� �. �������� �� �� ���� A� �5���� ������� ��-

$�� ������ "�"�� ������� �� �0. ����� +� � ��" �� ������ A� ��� �*+���� ���� ��.���� ���� �� �� ��� ��� �� ��+��� #� * �������.� � * ��� ��&

Page 9: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ���

��� �� ���� A� ��� �+���� �� � ���� �� ����"����<

� G ���� K ���

��

= K �� �

�����

��K �� G

������

� K ������#D-=&

$�� ���� ��.��������� �� �� ������ "�"�� �������

����� G ����

�� K

��

� K ������

�#D-D&

�� ���� �� C��-F �� ���G �8�E ��� ��5� �� �� G �>���� 8� � #�� G ����

��� ������������ �� G �&-

$�� �������� ��.������� #D-D& � �� � 8 ���"+��� �� ������ "�"��������� � ������ �� ���( �� ��+� � �� ���� A�� � �� � 8 �� ������"�"�� ��.������� �� ��(� �� �� ���� �� �� �0 + ��(���- ! �� � �� �� ��..�� � ���""� ���� ��� �/����+ �� ��� �0 � � �/����+ ��" � G 8 #���C��-F&- $� �(� ��� ������ �5�� �� �� � ����� ���� � ������ �� �������� � " �� ����"�� �/����� �� �� ���� ��� �+���� �� �� #D-=& ������ ������"� � ��.�������� �������� ����� ����� � � ��� �� ������� ��� �� �� .�.� -

$� ����� �� "���"����� "���� �� � ��� ����" �� ��� ��� ��*��*� ����"�� ��� � ���� � ��� ����"�� �/����� �� ���� +��� "����<

���

���G

� ���

=����� #D-E&

�� � � �� �� ������ "�"�� �������� � �� �� �� ������� �� A� ��������� ��� � � � ��� � �� ��� �.��� ��� �� ��� "�"�� �� ��� ��-

�/������ #D-�&�#D-=& ��� #D-E& ��� ����� ��� ��" � ��"���������� �� �*�+��� �� " �� �������� ����" #�� �&<

���

��G �� ��� ��

���

��G �

����

�� K ����� K �

��

����

��

��G ��

��K

�������

� K ��� �

#D->&

�� � � G�

��=�� ��"���������� �"�� �� G

��� �� G

��

= ��� �

��G

��

��

� � ��"���������� ��� �� ��+���� � G�

F�� L�L���� ��"���������� .� �"�� � �� ��

Page 10: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

�8 ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

���� �� 5����� ����� ������������ ������� �� ������� .�0 ������� �������

�� � %2 ����� ������� �� � %�

��� ��� ���� �"� ����� �� �� ���� A� ��6��"��� �� �� � ��� ������� L� G�

�� ������ ��� ���(����� L� GL��

�� ������ ��� ����� �� �� ����-

:� �"�� � �� ��� ��� �� �� � �� ���������� ����� ��� ��� ��� ��� ��������� �� ���. ������ ���.� �� ������� ������ "��� ��� �+���� ��� ������- C� �0�".��� � � #8�88=� 8�8=&� �� � #��8� �&� �� � #�8� D8&� �� � #8�8�� 8�=>&- ���+� �������� �� ���� .� �"�� � � �" �� �+��� ����� ��� ��� �����4� �� �����.�� �� ��� ����"���-

� ��������� ������� �� ��� ��� ������

����"���� ����" #D->& +������ � � ����� �� �������� � ����"� �� ��� �������*�0������ 172- $�� ��"��� �� ��4 �/������ +����� � ��� ����� ��-

�� ��� .�.� � ���B�� �� �������� ���� +� ��".����� �� +��� ��������� �" ������ .� �"�� �� ����� �� �� ��"� ���� ��"������ ��� "�..���"����- ! ��� � B0�� ����� �� .� �"�� �� �� ��"� ���� ��"������ �� .� *

Page 11: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ��� ��

−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6−15

−10

−5

0

5

10

15

k2

β*

Clb0

=−0.4; Clp0

=−0.1; k=0.008; θ0=0.5

chaotic motion period doublingbifurcation

asymmetricallimit cycle

large amplitude symmetrical limit cycle

stable asymmetricalequilibrium

k2pfbif=−1

k2Hopf=0.07

���� �� 6�������� ������� ���� ��- ��������� ������ �*"�

�� "�� �� �� �"� ��� ��� ������ �� �.. ������� �� ����� ����"��� ������� "�..��� .���� �� �� .���� �� G 8 � � .����-

% ����� �� ����� �� �� .� �"�� �� ����� �� � ��".�� � +��� ��������� �" �A����� ���� ��+�� � ��� �- �� +��� ����� ���� �"� ��".��� ������ � �� � ��+�� �/����+ ��" �� ��B��� +� ���� ��� .���� � ��"� ����� �� �. ������ +� �� ��� � ���� ��� "� � ��.� ��� .����� ��� B����� � ������� ��� �..�� � �� � ��������� ��� �+���� �� .����-

C��- ���� �� +��� ����� ���� �" �� ��� .� �"�� �� ��".��� �� ����"#D->& �� "�..��� �������� �� G 8 � � G 8�88F ��� �� G 8�>� ���

G �8�E���� G �8��-

! .������ ������ �� .� �"�� �� �� ��.� +��� ����� �(�� .���� � �� G8�89 ������ �� +� � � ��""� ���� ��+�� ��"� �����- $�� ������ �".������� � ��"� ����� ��� �� ��.� +��� ����� "�� +� ��� �� �� �� � > #������ � ��".�� �� .������� �".����� � � ������ +� "���.���� +� �� �

#�8�� =8�&&- 3��� �� ���� � ��"� ����� �� �.���� �� F8� ���� ���- M��� ���� ��".����� �� ��� ���� ��� +��� "��� �� ��� ��� ���� �"� ������

Page 12: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

�= ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

�� G �8-

! ������� ������ �� .� �"�� �� �� ��.������ � �� A� �� �� �0+ ��(��� �� +��� ����� ���� �" ��� +��� ��".��� �� ��� ��� ���� �"������� �� G D=-

$�� ���� �" ��� � .���*�� ( +��� ����� � �� G �� ������ �� +� � � ���+�� ���""� ���� �/����+ ��- $���� ���""� ���� �/����+ �� �"��� ��+�� �.� �� G �=�� ��� ��� �� ��.� +��� ����� ��� +���"� �������� � ����+���� ���� �� � ��+�� ���""� ���� ��"� ������- )�� �� �� ������ ��.� �"�� �� ���""� ���� ��"� ������ ���� ��� ��+���� � �� G �D�9> ����� � �..�� � ��+�� ������ �� ���+��� .� ���- $��� �� ������� +� � �� ����� .� ���*���+���� +��� ������- M� "���� ��� ��/����� �� +��� ������ ����� ��� ���� �� ������ ����� � �� �� ���� �� � �� ���� � �� � 4��� �� "���*���+��� ������ ������- M��� �� � ����� ����" .� �"�� � 4���� �� ����������"��� �� ���""� ���� ����������� ���� +��� �+�� ���-

! �� � �>�� �� ��� ����������� +���"� ��""� ���� ��� � ��"���������+��� ����� ��� � �� � �>� ��� � � ����� "�� � ������ ����������� �� ��� ���� �� ��"� ������ �� �� �� � ���� �� .� �"�� � �= � �� � �F�9=-

$�� +��� ����� ���� �" ���� �� ������ �".����� �� ����������� �� �������.�� �� � � .������� �� ��+��� � ������ +� "���.���� +� ��� ��� ���� ����� ������� �� �� ���� �� �� �0 + ��(��� �� �����B����� ���� �� � #��� >�&-

��5� �� �.�� �� ��� ����"��� . ������ �� �� �� " �� �"� ���� ��� �� ������ �� ��+��� ��� ��� �

����� �� .���� .� �� �� �� �.��� �� ��� �� ��+���

� � ���� �� C��-�8*�= �� �� G 8�>��E�>��9�8 ��.�������-

$�� +����*�. �� ��"� ����� ����������� � �� G 8�> �� ���� �� C��-�8- ����.� ����� ��""� ���� ����������� � � �.���� �� F8� ���� ��� �� ��+� �������� ���� �� ���� � ���������� ����� �� G D8�-

$� ���""� ���� .� ����� � ��� � � �� G �E�> ��� ���� �� .� ��� ���*+���� +��� ������ � � ���� �� C��-��� �� ����������� �� ��� ���� ���( ��(�� ����� ����-

!�� B����� �� C��-�= ��� ��� ��� ������ ����"��� � �� G �9�8- $�����+�� �/����+ ��" .���� � .������ ��� ������� +��( ����� +����� ��(� � �.���� ��� � ��� ��"����������� �� �� �6��� � 6�".� � �" ��� ���� ������ �� � ��� ����� ������ "���� -

�� "���"����� "���� #D->& �� ������ "�"�� ������� ��� +��� ��".��*B�� �� ��".� ���� �� �� ��� �0.� �"���� ��.������� #"��� �������� �������� +��� �"���& ��� �� � ���� �� ���� �� � �� ��5� �� � ��� � #C��-D� ���& �� ��� �� �� "����- ����� � �� . �.���� "���"����� "���� ��.� ���� "��� /�������� ���� �� �� �� ��� ��( "���� �+�� ��� �� �� ��� ������0.� �"��� �� ��5� �� ���� ����� �-� +����*�. �� �� �� �".����� ��""� ��������������� #��� C��-�8 ��� C��-=&� � ����� ���""� ���� ����������� #��� C��-����� C��->& ��� �"��� �".����� ������ ����������� #��� C��-�= ��� C��-=&-

Page 13: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ��� �D

−4

−2

0

2

4

−0.3−0.2

−0.10

0.10.2

0.3

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

β*p*

Clv*

limit cycle

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−5

0

5

β*

Clb0

=−0.4; Clp0

=−0.1; θ0=0.5; k=0.008; k

2=0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.5

0

0.5

1

p*

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Clv*

Time*10−2

���� �� 7���� ������� ��� ���� �������� ��� ���� ��- ������ �� �� ' %�*�

6���� �� ����� ����� �����������

−3−2

−10

12

3

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

β*p*

Clv* saddle point

unstable focus

unstable focus

irregular periodicattractor

irregular periodic attractor

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−5

0

5

β*

Clv0

=−0.4; Clp0

=−0.1; θ0=0.5; k=0.008; k

2=−4.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

p*

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.5

0

0.5

1

C* lv

Time*10−2

���� � 7���� ������� ��� ���� �������� ��� ���� ��- ������ �� �� ' �+�*�

8�������� ������������ �����������

Page 14: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

�E ������� �������� �� � ������ � ����������� ������

−5

0

5

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

−1

−0.5

0

0.5

1

β*

p*

Clv*

chaotic attractor

unstable focus

unstable focus

saddle

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−5

0

5

β*

Clb0

=−0.4; Clp0

=−0.1; θ0=0.5; k=0.008; k

2=−7.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

p*

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−2

−1

0

1

2

C* lv

Time*10−2

���� �� 7���� ������� ��� ���� �������� ��� ���� ��- ������ �� �� ' �9�

:����� ����������� �����������

�������� �������

$�� �0.� �"���� ��� "���"����� "�������� ����� �� � � ��*�* ��� ������� ��"��� �� �� �".� ���� �� ����"�� ��� ����� +���� �� ��� ����� ���� A� . �������� �-�- �� �".� ���� �� �������� ���� ��� �"� ��� �5����� �� �����"�� �����- $�� . �.���� "���"����� "���� �� � � ��*�* ��� ������� �������� �� � B0�� ���� �� � ��� ����� +������ � � ����� �� �������*� � ����"� �� ��� ��� ����*�0������- � ����� �� � �+��� ���� /���������� ��"�� �� �0.� �"���� ��� ����� ����� �� � "� �� ���� �� ��"� ����������������� "���� ��� ��� ������ ����"���- ���� �� ��"���������� .� �"*�� � �� �� "���"����� "���� �.����� ��5� �� �.�� �� ����" "���� ��� ������ �� � �����4� � ��� ���� �� �0.� �"���� �����-

��������������

$��� � ( ��� +��� ������ +� N����N #. �������� ���!� ����� � �H&-

!������"�

�- !-�- ��"+��� ������ ��� ������� � ������� ��� ����������� !����"��: ��� ���-� MO� � D-

=- P- H�4� )���,�� �0 ��� ����� ��� ��� ��(� ������ �� ���� ���� ����

���� D> #� &� ..-9=9*9>8� ������� ������� ��-

D- M- !+ �"��� �- %�"��� !- H� �+ �� ��� H- H����(�� ��".�� )���� ��*����� !� �����"��� � ���� !����� �� !��(< �0.� �"���� ��� ��������

Page 15: Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system

���� ����� �� ��� �>

������� :�.� M *E8�D����� ���� ������ ������ �������� ����������!���� � � :� ����� 3�-

E- M- !+ �"��� �- %�"��� �- % ������ ��� !- H� �+ ��� $�*��. ����� ��� ������ ����� �� �����B����� �� ���� ��������� ������� !� ���*��"�� ������ :�.� M =88�*E8F8� ���� ���� ������ ������ ��������

���������� !���� =88�� ��� ���� ������-

>- �- %�"��� %- '������� ��� !- H� �"����(�� !..������� �� ���� ����������� � M������� C���� ����"��� : �+��"�� ������ �� ���� ����

������� DD #� 99&� ..- >D *>F7� ������� ������� ��-

7- O�-�- M��"� ( ��� :-�- ������ ����� ��� �� ������ � ��������� � M��(�������� � F9 #�� ������&-


Recommended