Integrales impropias - Universidad de Chile · Integrales impropias Semana 12 [2/63] Deﬁniciones...

Semana 12 [1/63]

Integrales impropias

October 29, 2007


Integrales impropias Semana 12 [2/63]

Definiciones

En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:

1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b

2 Se define para funciones acotadas en [a, b]

Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.

Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:

(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por

limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones







limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones







limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones







limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones







limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones







limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones







limx→+∞

∫ x

af =

∫ +∞

af



Definiciones

Análogamente se definen:

i)∫ b

−∞f = lim

x→∞

∫ b

xf

ii)∫ ∞

−∞f =

∫ c

−∞f +

∫ ∞

cf donde la constante c ∈ R puede ser cualquiera.

Ejemplos:

Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞

a

dxx

.

Dado a > 0 y α 6= 1, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞

a

dxxα

.



Definiciones


i)∫ b

−∞f = lim

x→∞

∫ b

xf

ii)∫ ∞

−∞f =

∫ c

−∞f +

∫ ∞


Ejemplos:


a

dxx

.


a

dxxα

.



Definiciones


i)∫ b

−∞f = lim

x→∞

∫ b

xf

ii)∫ ∞

−∞f =

∫ c

−∞f +

∫ ∞


Ejemplos:


a

dxx

.


a

dxxα

.



Definiciones


i)∫ b

−∞f = lim

x→∞

∫ b

xf

ii)∫ ∞

−∞f =

∫ c

−∞f +

∫ ∞


Ejemplos:


a

dxx

.


a

dxxα

.



Definiciones


i)∫ b

−∞f = lim

x→∞

∫ b

xf

ii)∫ ∞

−∞f =

∫ c

−∞f +

∫ ∞


Ejemplos:


a

dxx

.


a

dxxα

.



Definiciones

Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:

(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]

(ii) El límite limx→b−

∫ x

af existe.Y si existe se anota

∫ −b

af .

En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:

(i)∫ b

a+f = lim

x→a+

∫ b

xf

(ii)∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

cf , c ∈ (a, b)



Definiciones




∫ x


∫ −b

af .


(i)∫ b

a+f = lim

x→a+

∫ b

xf

(ii)∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

cf , c ∈ (a, b)



Definiciones




∫ x


∫ −b

af .


(i)∫ b

a+f = lim

x→a+

∫ b

xf

(ii)∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

cf , c ∈ (a, b)



Definiciones




∫ x


∫ −b

af .


(i)∫ b

a+f = lim

x→a+

∫ b

xf

(ii)∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

cf , c ∈ (a, b)



Definiciones




∫ x


∫ −b

af .


(i)∫ b

a+f = lim

x→a+

∫ b

xf

(ii)∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

cf , c ∈ (a, b)



Definiciones




∫ x


∫ −b

af .


(i)∫ b

a+f = lim

x→a+

∫ b

xf

(ii)∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

cf , c ∈ (a, b)



Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral impropia∫ b−

a

dx(b − x)α

para diversos valores de α ∈ R.



Integrales Impropias de Tercera Especie o MixtasSon las que se obtienen combinando integrales impropias de 1◦ y 2◦

especie.

Por ejemplo ∫ +∞

−1

dxx2 =

∫ 0−

−1

dxx2 +

∫ 1

0+

dxx2 +

∫ +∞

1

dxx2 .

Este tipo de integral será convergente ssi cada una de sus componentes esuna integral convergente.




especie.


−1

dxx2 =

∫ 0−

−1

dxx2 +

∫ 1

0+

dxx2 +

∫ +∞

1

dxx2 .





especie.


−1

dxx2 =

∫ 0−

−1

dxx2 +

∫ 1

0+

dxx2 +

∫ +∞

1

dxx2 .




Algunos criterios de convergencia

Veremos algunos criterios de convergencia para integrales impropias nonegativas.

Un par de cosas previas:

1 Si F es creciente en [a, +∞), entonces, cuando x → +∞, F (x) → L ∈ Ro bien F (x) → +∞.

2 Si F es una función creciente en [a, b), entonces cuandox → b−; F (x) → L ∈ R o bien F (x) → +∞.


















Teorema (Criterio de comparación)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) tales que:

(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

entonces:

Si∫ +∞

ag converge entonces

∫ +∞

af converge .

Recíprocamente si∫ +∞

af diverge ⇒

∫ +∞

ag diverge

Ejemplo:

Estudiar la integral∫ +∞

1

|sen x |x2 dx .





(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

entonces:

Si∫ +∞


∫ +∞

af converge .


af diverge ⇒

∫ +∞

ag diverge

Ejemplo:


1

|sen x |x2 dx .





(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

entonces:

Si∫ +∞


∫ +∞

af converge .


af diverge ⇒

∫ +∞

ag diverge

Ejemplo:


1

|sen x |x2 dx .





(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

entonces:

Si∫ +∞


∫ +∞

af converge .


af diverge ⇒

∫ +∞

ag diverge

Ejemplo:


1

|sen x |x2 dx .




Teorema (Criterio del cociente de funciones)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) y no negativas en [b, +∞), dondeb ≥ a y tales que:

limx→+∞

f (x)

g(x)= L 6= 0

Entonces las integrales impropias∫ +∞

af y

∫ +∞

ag son ambas convergentes

o ambas divergentes.




Teorema (Criterio del cociente de funciones)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) y no negativas en [b, +∞), dondeb ≥ a y tales que:

limx→+∞

f (x)

g(x)= L 6= 0

Entonces las integrales impropias∫ +∞

af y

∫ +∞

ag son ambas convergentes

o ambas divergentes.




Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞

1

1xα

dx o bien∫ b−

a

1(b − x)α

dx

Y se obtiene:

1

∫ +∞

af (x)dx converge si lim

x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.

2

∫ b

−∞f (x)dx converge si lim

x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.

3

∫ b−


x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.

4

∫ b

a+f (x)dx converge si lim

x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.





1

1xα

dx o bien∫ b−

a

1(b − x)α

dx

Y se obtiene:

1

∫ +∞


x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.

2

∫ b


x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.

3

∫ b−


x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.

4

∫ b


x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.





1

1xα

dx o bien∫ b−

a

1(b − x)α

dx

Y se obtiene:

1

∫ +∞


x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.

2

∫ b


x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.

3

∫ b−


x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.

4

∫ b


x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.





1

1xα

dx o bien∫ b−

a

1(b − x)α

dx

Y se obtiene:

1

∫ +∞


x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.

2

∫ b


x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.

3

∫ b−


x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.

4

∫ b


x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.





1

1xα

dx o bien∫ b−

a

1(b − x)α

dx

Y se obtiene:

1

∫ +∞


x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.

2

∫ b


x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.

3

∫ b−


x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.

4

∫ b


x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.





1

1xα

dx o bien∫ b−

a

1(b − x)α

dx

Y se obtiene:

1

∫ +∞


x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.

2

∫ b


x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.

3

∫ b−


x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.

4

∫ b


x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.


Series numéricas Semana 12 [39/63]

Definición

SerieUna serie es un par ordenado (A, (an))

donde A es un subconjunto de R numerable y (an)n≥0 es una numeración(ordenamiento) del conjunto A.

(an) se llama el término general de la serie.

Definimos la sucesión (sn) de las sumas parciales por sn =∑n

k=0 ak .

El valor de la serie existe cuando la sucesión (sn) posee límite. Decimosque la serie converge.



Definición





k=0 ak .




Definición





k=0 ak .




Definición





k=0 ak .




Definición





k=0 ak .




Condiciones para la convergencia

Teorema (Criterio de Cauchy)Sea (an) una sucesión y (sn) la sucesión de sus sumas parciales. La serie∑

ak converge si y sólo si

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε (1)

Ejemplo:∑ 1k no converge.

TeoremaSi la serie

∑ak converge entonces la sucesión (an) → 0.






∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε (1)


TeoremaSi la serie







∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε (1)


TeoremaSi la serie







∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε (1)


TeoremaSi la serie




Álgebra de series

TeoremaSean

∑ak y

∑bk dos series convergentes. Entonces

1

∑(ak + bk) es convergente y su valor es (

∑ak) + (

∑bk).

2 Para todo λ ∈ R,∑

(λak) es convergente y su valor es λ (∑

ak).



Álgebra de series

TeoremaSean

∑ak y


1


∑ak) + (

∑bk).



ak).



Álgebra de series

TeoremaSean

∑ak y


1


∑ak) + (

∑bk).



ak).



Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos

TeoremaUna serie de términos no negativos converge si y sólo si las sumas parcialesson acotadas superiormente.

TeoremaSea

∑ak una serie de términos no-negativos y convergente. Sea (bk) una

numeración del conjunto A = {ak : k ∈ N}.Entonces

∑bk es convergente y

∑bk =

∑ak .





TeoremaSea




∑bk =

∑ak .





TeoremaSea




∑bk =

∑ak .




Teorema (Mayoración de series)Sean (an) y (bn) dos sucesiones no negativas de modo que existen n0 yα > 0 tales que, para todo n ≥ n0, an ≤ αbn.

Se tiene que si∑

bk < +∞ entonces∑

ak < +∞.

Teorema (Comparación por cuociente)Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que, para todo n ≥ 0, 0 < an, bn ysupongamos que c := lim an

bnexiste. Se tiene:

1 Caso c = 0. Si∑


ak < +∞.

2 Caso c > 0. Se tiene que∑

bk < +∞ si y sólo si∑

ak < +∞.





Se tiene que si∑


ak < +∞.


bnexiste. Se tiene:

1 Caso c = 0. Si∑


ak < +∞.



ak < +∞.





Se tiene que si∑


ak < +∞.


bnexiste. Se tiene:

1 Caso c = 0. Si∑


ak < +∞.



ak < +∞.





Se tiene que si∑


ak < +∞.


bnexiste. Se tiene:

1 Caso c = 0. Si∑


ak < +∞.



ak < +∞.





Se tiene que si∑


ak < +∞.


bnexiste. Se tiene:

1 Caso c = 0. Si∑


ak < +∞.



ak < +∞.




Teorema (Criterio del couciente)Sea (an) una sucesión de términos positivos y supongamos que r := lim an+1

anexiste.

1 Si r < 1 entonces∑

ak converge.

2 Si r > 1 o r = +∞ entonces∑

ak diverge.

3 Si r = 1 entonces∑

ak puede converger o divergir, es decir, en este casoel criterio no nos ayuda a determinar la convergencia de la serie.





anexiste.


ak converge.


ak diverge.







anexiste.


ak converge.


ak diverge.







anexiste.


ak converge.


ak diverge.






Teorema (Criterio de la integral impropia)Sea f : [1, +∞) → R

+ una función decreciente.

Se tiene que∑n≥1

f (n) < +∞ equivale a∫ +∞

1f (x) dx < +∞.




Teorema (Criterio de la integral impropia)Sea f : [1, +∞) → R

+ una función decreciente.

Se tiene que∑n≥1

f (n) < +∞ equivale a∫ +∞

1f (x) dx < +∞.


Date post:	31-May-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	20 times
Download:	1 times

Integrales impropias - Universidad de Chile · Integrales impropias Semana 12 [2/63] Deﬁniciones...

Documents