Introduccion Al Mathcad

5/21/2018 Introduccion Al Mathcad

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2009

InnovacinEducativa

RicardoVillafaaFigueroa

ELCLCULOSIMBLICOENELSALNDECLASESMATHCADEjemplosdeclculosimblicoutilizandoMathcadparalaenseanzayaprendizajedelasmatemticas. Orientacinalaenseanzamediasuperior.


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2

ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa

TABLADECONTENIDO

Introduccin........................................................................................................................................ 4

EjemplosdeClculoSimblico.......................................................................................................... 10

Representacinsimblicaoalgebraicadeexpresionesmatemticas.......................................... 10

Simplificacindeexpresionesalgebraicas(comandoSimplify).................................................... 10

Expansindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinExpand)............................................ 11

Factorizacindeexpresionesalgebraicas(comando/funcin Factor)........................................ 13

Definicindefunciones................................................................................................................. 14

Solucindeecuaciones(comando/funcinSolve)....................................................................... 15

Solucindeunsistemadeecuaciones.......................................................................................... 16

Solucingrficadeecuaciones(comando/funcinPlot)............................................................. 17

Matricesydeterminantes(comando/funcinMatrix)................................................................ 20Suma ydiferenciadematrices................................................................................................. 20

Productodeunamatrizporunescalar..................................................................................... 20

Productodedosmatrices......................................................................................................... 20

Inversadeunamatriz................................................................................................................ 21

Determinantes.......................................................................................................................... 21

Clculodesumatorias(comando/funcinSum).......................................................................... 23

Clculodeproductos(comando/funcinMul)............................................................................ 24

Clculodelmites(comando/funcinLimit)................................................................................ 25

Clculodederivadas(comando/funcinDiff).............................................................................. 26

Clculodeintegrales(comando/funcin Int).............................................................................. 27

AplicacionesGeneralesdelClculoSimblicoenelSalndeClases................................................ 28

AplicacionesenTrigonometra.......................................................................................................... 33

Grficasdefuncionestrigonomtricas..................................................................................... 33

Ecuacionestrigonomtricas...................................................................................................... 35

AplicacionesenGeometraAnaltica................................................................................................ 36

Distanciaentredospuntos........................................................................................................... 36

PuntoMedio.................................................................................................................................. 37

Lnearecta..................................................................................................................................... 39


3/86

3


Ecuacindeunarectaquepasapordospuntosdados............................................................ 39

Ecuacindeunarectaformapendienteyordenadaalorigen................................................. 41

nguloentredosrectas............................................................................................................ 43

Tringulos...................................................................................................................................... 46

Clculodelosngulosinterioresdeuntringulo..................................................................... 46

Clculodelreadeuntringulo............................................................................................... 49

Clculodelbaricentro/centroidedeuntringulo.................................................................... 54

Clculodelortocentrodeuntringulo..................................................................................... 60

Circunferencia............................................................................................................................... 63

Parbola........................................................................................................................................ 69

AplicacionesenClculoDiferencial................................................................................................... 73

Lmites........................................................................................................................................... 73

Derivadas....................................................................................................................................... 75

Bibliografa........................................................................................................................................ 86


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4

INTRODUCCIN

Amaneradeintroduccin,podemosdecirqueloslenguajescomputacionalesdeclculosimblico

son aquellos que permiten la representacin y el manejo computacional de expresionesalgebraicas.


3 x 2+( ) 3 x 6+=

c radio2=

Loslenguajessimblicos trabajanconvariablesoletrastalcomoloharaunprofesorenun

pizarrnoennotasdeclasesparademostraralgnteoremaoderivaralgunafrmula

matemtica.

x y+( )2 x2 2 x y+ y2+

3 2+( )2

3( )2

2 3( ) 2( )+ 2( )2+ 25

Sucapacidaddeclculosepuedeobservarenlafacilidadconquerealizanoperaciones

algebraicasbsicascomoson:suma,resta,multiplicacin,divisinypotenciacindemonomiosy

polinomios.

3x2

4x+ x 2x2+ 5 x2 3+=

x 1+( ) x 1( ) x2

1

x y+

3 x y+( )

1

3

As mismo, tienen capacidades de simplificacin, factorizacin y expansin de expresiones

algebraicas.


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5

x

x x

x 1

simplify 1

x 2 1+=

2x y+( )2

expand 4 x2

4 x y+ y2

+=


4 x2

4 x y+ y2+ factor 2 x y+( )2=

El clculo simb lico

hace por el lgebra, por

la trigonometra, por el

clculo y por el lgebra

lineal lo que la

calculadora cientfica

hace por la aritmtica.

Estaampliagamade facilidadespermitenalprofesordisponer

de una calculadora algebraica para acelerar clculos o una

herramienta didctica para explicar o ejemplificar conceptos

terico prcticosdellgebra.

Ademsde lascapacidadesbsicasmencionadas, los lenguajesdeclculosimblicocuentancon

una amplia gama de funciones matemticas para solucionar sistemas de ecuaciones e

inecuacioneslineales,encontrarracesrealesycomplejasdepolinomios.

x2

1 solve1

1

=

7x 4y+ 13

5x 2y 19

solve x, y, 3 2( )=

Cuentanconherramientas,notacionesysmbolosque amplansuusoen latrigonometra,en la

geometraanalticayenelclculo integralydiferencial;proporcionandoconestoun contexto

pedaggico muy amplio para la explicacin conceptual del lgebra, sus herramientas y sus

consecuentesaplicacionesenlas matemticas,enlaingenierayenlasciencias.


6/86

6

1

5

x

x=

15=

1

5

i

i=

120=

2x

x 1+

x 1lim

3=

xx3

3x2+ 5+( )d

d3 x

26+=

x3 x2

6 x+

d x3

3 x2+=

Los lenguajes simblicos tienen la capacidad de generar grficas a partir de funciones o

representacionesalgebraicas.

f1 x( ) x2

=

h1 x( ) x2

3+=

g1 x( ) x2

3= 5 2.5 0 2.5 5

5

2.5

10

f1 x( )

g1 x( )

h1 x( )

x

Esta capacidad de graficacin permite al estudiante comprender ms fcilmente las relaciones

subyacentesentrelaestructuramatemticaysurepresentacinvisual,almismotiempoquehace

posible que el estudiante derive expresiones matemticas a travs de la visualizacin de una

grficaoviceversa(apropiacinvisual). Lagraficacintambinpermitecrearmodeloscambiando



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7

el valor de losparmetrosque generan las grficas y conesto analizar y entender conmayor

profundidadlasrelacionesentrecadaparmetroylagrficaquerepresenta.

f x( ) 2x3

9x2 12+=

0 1 2 33

4

5

6

f x( )

x

Lacapacidadyflexibilidaddeloslenguajesdeclculosimblicosepuedenampliarcontinuamente

atravsdesusfacilidadesdeprogramacinycreacindebibliotecasde funcionesmatemticas

especializadas. Estas facilidades han hecho que lenguajes comerciales como Mathematica,

Maple,MaximayMathcadseconviertanenverdaderoshitosdelacomputacinmodernaporsus

ampliasaplicacionespedaggicas,de investigacinydeaplicacinenreastandiversascomo la

Biologa,laMedicina,laFarmacia,laGenticaylasCienciasJurdicas,entreotras.



8/86

8

ELCLCULOSIMBLICOENELSALNDECLASES

Loslenguajesdeclculosimblicopermitenalprofesordematemticas,ingenierayciencias:

Crearambienteseducativosinteractivos,

desarrollarmaterialeducativoy

formarcomunidadesdeprofesores,estudiantes,e investigadores.

AMBIENTESACADMICOSINTERACTIVOS

Lasmltiplesalternativasqueofreceelclculosimblicoparaelmanejodeexpresionesmatemticasysurepresentacingrficavisualpermitenalprofesorcrearambientes

acadmicosinteractivosparalademostracin,exploracinyeldescubrimientodenuevos

conceptostantoenlascienciascomoenlasmatemticasmismas.

Losambientesacadmicosinteractivospermitenalestudianteinvestigarpropiedades,

relacionarconceptos,plantearyprobarhiptesis,hacerdeducciones,establecerteoremasy

plantearyresolverproblemasbasadosenmatemticas.

Lasimplificacinenelmanejoalgebraicopermitealestudianteyalprofesorconcentrarseen

problemasdemayorcomplejidadyalcance;yconesto,analizarmsalternativaspara

solucionarunproblemamatemticodado.

Loslenguajessimblicospermitendistinguirclaramenteentrelatecnologacomputacional,

losmtodosasociadosparasuuso,losconceptosmatemticosinvolucradosylosproblemas

quesedeseanresolver. Paradigmaqueesvlidoparaotrosusosdelatecnologaenelsaln

declases.



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9

DESARROLLODEMATERIALEDUCATIVO

Los lenguajes de clculo simblico son herramientas que facilitan el desarrollo de material

educativobasadoencomputadorasatravsde:

Libroselectrnicos

Calculadorasgraficadorasespecializadasparaelanlisisdefunciones

matemticasoelanlisisdeespaciosgeomtricos.

Desarrollodecuestionariosinteractivosdereforzamiento.

Desarrollodematerialdedifusin/textos/ejerciciosenlared(Internet)

COMUNIDADES

DE

PROFESORES

DE

MATEMTICAS

Y

DE

CIENCIAS

La facilidad que proporciona la Internet para publicar el material didctico elaborado con un

lenguajesimblico,permiteformarcomunidadesdeprofesores,investigadoresypracticantesque

intercambian continuamente experiencias y materiales en la red. Esta

colaboracin facilita la creacin de bibliotecas digitales que diseminan las

mejoresprcticasyherramientasparaelaprendizajede lasmatemticasy

delascienciasendiferentesnivelesydisciplinas.



10/86

10

EJEMPLOS DE CLCULO SIMBLICO

Elclculosimblicoreproducedesdeunacomputadoralosconceptos,lasreglasylasnotacionesutilizadasenellgebratradicional.

Representacinsimblicaoalgebraicadeexpresionesmatemticas

Enunlenguajedeclculosimblicoseutilizanlosmismossmbolosqueenellgebratradicional.


3x 2y+ 1+

x

2

y

2

+ 25+

x 1+( )2

x 1+( ) x 1( )+

2x 3y+ 16

Simplificacinde

expresiones

algebraicas

(comando

Simplify)

Normalmentelasimplificacindeexpresionesalgebraicasserealizademaneraautomticacomoseobservaenlossiguientesejemplos:

3 x 2+( ) 3 x 6+=

x 1+( )2

x 1+( )x 1+=

2

a

3

a+

2

b+

5

b+

5

a

7

b+=


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11

Sinembargo,siintentamossimplificarlasiguienteexpresintendramoscomoresultado:


Enestoscasosesnecesarioutilizarelcomandocorrespondientedesimplificacin(simplify):

Acontinuacinsemuestranotrosejemplosdesimplificacinalgebraica:

Expansindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinExpand)

Observemoselsiguienteejemplo.

Desarrollarlaexpresin:

x2

2 x+ 1+

x 1+

x2

2 x+ 1+

x 1+

=

x2

2 x+ 1+

x 1+ simplify x 1+=

1 a( )3

a 1 simplify a 1( )2=

x2

5x 6+

2a x 6a simplify

x 2

2 a=

a x2

9a

3x 3y x2 x y+simplify

a x 3+( )

x y

Siintentamosporlosmtodosanterioresobtendramos:

Multiplicacindirecta:

=

b

3a 2a b+( )

3 a 2a b+( ) 3 a 2 a +( )=


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12

Simplificacin:


3 a 2a b+( ) simplify 3 a 2 a b+( )=

Elmtododirectodelamultiplicacinyelmtododelasimplificacinnodesarrollanlaexpresin;

paraestoutilizamoselcomandoexpand:

3a 2a b+( ) expand 6 a2 3 b a

Veamosotrosdosejemplosdeexpansinalgebraica:

+=

a b+( ) a c+( ) expand a2 a b+ a c+ b c+=

3aa b+

a2

expand 3 b

a

Ejemplosdeexpansinalgebraicaaplicadaabinomiosytrinomios:

3+=

x y+( )3 expand x3 3 x2 y+ 3 x y2+ y3+=

x y+ z+( )2 expand x2 2 x y+ 2 x z+ y2+ 2 y z+ z2+=


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13

Factorizacindeexpresionesalgebraicas(comando/funcin Factor)

Elcomandofactorseutilizaparasimplificarexpresionesalgebraicas.

Factorizacindepolinomios:


Factorizacindediferenciadecuadrados:

Factorizacindeuntrinomiocuadradoperfecto:

Factorizacindeuntrinomiodelaforma:

3a3

6a2 factor 3 a2 a 2( )=

1

3

a2 2

6a

3+ factor a

2a 1+( )

3=

x2

y2 factor x y( ) x y+( )=

1

4m

4n

6 factor m

22 n

3( ) (m2 2 n3+ )4

=

x2

2x y+ y2+ factor x y+( )2=

x2

4 x y+ 4 y2+ factor x 2 y+( )2=

x2

b x+ c+

x2 5x 6+ factor x 2( ) x 3( )=


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14

Definicindefunciones

Loslenguajesdeclculosimblicopermitenalusuariodefinirsuspropiasfunciones. A

continuacinsemuestranalgunosejemplos.

Funcinparaelencontrareldobledeunnmerocualquiera:

f x( ) 2:=

Ejemplosdeuso:

f 4( ) 8

f 1

4

1

2

Clculossimblicos:

f a( ) 2 a

f z

2

Funcinparaencontrarelreadeuntringulo:

Area_TringuloBase Altura,( ) Base Altura

2:=

Ejemplosdeuso:

Area_Tringulo10 5,( ) 25

Clculosimblico:

Area_Tringuloa b,( ) a b

2



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15

Solucindeecuaciones(comando/funcinSolve)

Elcomandoutilizadopararesolverecuacionesessolve.

Resolverlaecuacin6x 7 2x 1+

6x 7 2x 1+ solve x, 2=

Resolverlaecuacin

x

x 1+

5

8+

5

2 x 1+( )

3

4+

x

x 1+

5

8


Resolverlaecuacin

Resolverlaecuacin

+ 5

2 x 1+( )

3

4solve x, 3=+

x2

7x 10+ 0

x

2

7x 10+ 0 solve x,

5

2

=

a x2

b x+ c+ 0

a x2 b x+ c+ 0 solve x,

b b2

4 a c 2 a

b b2

4 a c

=

+

2 a


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16

Solucindeunsistemadeecuaciones

Resolverelsiguientesistemadeecuaciones

2x 3y+ 163x 7y 1

2x 3y+ 16


Unsistemacontresvariables

3x 7y 1

solve x, y, z, 5 2 0( )=

x y+ z+ 6

x y+ z+ 6

x y 2x+ 5

x y 3x 10

x y 2x+ 5 solve x, y, z, 1 8 15( )=

x y 3x 10


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17

Solucingrficadeecuaciones(comando/funcinPlot)

Encontrarlasolucingrficadelasiguienteecuacin

y 4x 8+Graficamoselladoderechodelaecuacin:

4 2 0 2 4

8

8

16

24

4x 8+

x

Conelcomandosolvetenemoselsiguienteresultado:

4x 8+ solve 2=

Encontrarlasolucingrficadelasiguienteecuacin

y x2

x 2

Otraformaderesolverestaecuacinesescribirlaenfuncindex:

f x( ) x2

x 2=

ygraficarlafuncinobtenida:



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18

2 1 0 1 2f x( )

x

Utilizandoelcomandosolveobtendramos:


Resolverelsiguientesistemadeecuacionesporelmtodogrfico

Representamoselpardeecuacionescomofuncionesparasugraficacin:

f x( ) solve x,

1

2

=

x y+ 5

x y 1

x y+ 5 solve y, 5 =

f1 x( ) 5 =

x y 1 solve y, x 1=

f2 x( ) x 1=


19/86

19

6 3 0 3 67

2.5

2

6.5

11

f1 x( )

f2 x( )

x

Utilizandoelcomandosolve:


x y+ 5

x y 1

solve x, y, 3 2( )=


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20

Matricesydeterminantes(comando/funcinMatrix)

Suma

y

diferencia

de

matrices

Sumaryrestarlassiguientesmatrices:

M1

1

2

0

2

5

1

3

2

5

= M11

2

0

2

5

1

3

2

5

=


Productodeunamatrizporunescalar

Multiplicarlasiguientematrizpor5:

Producto

de

dos

matrices

Multiplicarlasdossiguientesmatrices:

M1 N1+

1

3

3

0

6

1

6

3

5

= M1 N111

3

4

4

3

0

1

5

=

M1

1

20

2

5

1

3

2

5

=

M1( ) 5( )

5

10

0

10

25

5

15

10

25

=


21/86

21

A1

1

0

1

2

1

0

= B11

1

0

1

=


InversadeunamatrizInvertirlasiguientematrizymultiplicarelresultadoobtenidoporlamatizoriginal:

Determinantes

Obtenereldeterminantedelasiguientematriz:

A1( ) B1( )

3

1

1

2

1

0

=

C1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

C1 1

1

2

1

2

0

1

20

1

2

0

1

2

1

2

= C1 C1 11

0

0

0

1

0

0

0

1

=

D2

1

2

1

3

7

3

5

9

5

=


22/86

22

D2 0=



23/86

23

Clculodesumatorias(comando/funcinSum)

Sumatorianumricadelosprimeroscinconmerosnaturales


Sumatoriasimblicadelosprimeroscinconmerosnaturales.

1

5

x

x=

15=

1

5

i

ni=

n1 n2+ n3+ n4+ n

Sumatoriasimblicadelinversodelosprimeroscinconmerosnaturales:

+=

1

5

i

1

ni

5

1

n2

=

1

n1+

1

n3+

1

n4+

1

n5+=


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24

Clculodeproductos(comando/funcinMul)

Productonumricodelosprimeroscinconmerosnaturales:

1

5

i

i=

120


Productosimblicodelosprimeroscinconmerosnaturales:

=

1

5

i

ni=

n1n2n3n4n

Productosimblicodelinversodelosprimeroscinconmerosnaturales:

=

1

5

i

1

ni

5

=

1

n1n2n3n4n5=


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25

Clculodelmites(comando/funcinLimit)

Ejemplosbsicos:

3x

2x2

1+( )lim

19=

1x

x2

x x

1lim

3=

2x

x2

4

x 2

lim

4=

Clculosdellmiteporlaizquierdayporladerecha:

f x( ) 1

1 x2

=

1x

f x( )lim+

=

1x

f x( )lim

=



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26

Clculodederivadas(comando/funcinDiff)

Calcularladerivadadelassiguientesexpresionesysimplificarelresultadosiesnecesario:

x5 3x4+ x3+ 10+

x3

3x2

x2

x

xx5

3x4+ x3+ 10+( )


d

d5 x

412 x

3+ 3 x2+=

x

x3

3x2

x2

x

(

d

d

6 x 3 x2

x x2

x3

3 x2 ) 2 x 1( )

x x2( )

2=

6 x 3 x2

x x2

(x3 3 x2 ) 2 x 1( )

x x2( )

2 simplify

2

x 1( )21+=


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27

Clculodeintegrales(comando/funcin Int)

Ejemplodeclculodeintegralesindefinidas:

xx3

d x

4

4=

xx2

5+( )2

d x

5

5

10 x3

3


Ejemplosdeclculodeintegralesdefinidas:

+ 25+=

xex

d ex=

0

3

xx2

d 9=

1

1

xx2

1+( )2

d 56

15=

1

0

1

xex

d e =


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28

APLICACIONES GENERALES DEL CLCULO SIMBLICO EN EL

SALN DE CLASES

Ejemplo1

Elsiguienteejemplomuestraelmanejoalgebraicotradicionalversuselmanejosimblicoparala

solucindeunsistemadeecuaciones.

Resolve deecuaciones:relsiguientesistema

1 7 4 13

2 5 2 19

Mtodotradicional(igualacin)

DespejarlaincgnitaXenelpardadodeecuaciones:

7x 4y+ 13=

x 13 4y

7=

5x 2y 19=

x 19 2y+

5=

IgualarlosvaloresobtenidosparalasX:


13 4y

7

19 2y+

5

ResolverentrminosdeYlaecuacinanterior:

=

2y5 13 4y( ) 7 19 +( )=

65 20y 133 14+=


29/86

29

20 y 14y 133 65=

34 y 68=

y 2=

SustituirelvalordelaYobtenidaenlaecuacin(1)seobtiene:

7x 4 2( )+ 13= 7x 8 13=

x 3=

Solucindadaconunlenguajedeclculosimblico:

7x 4y+ 13=

5x 2y 19=

solve x, y, 3 2( )=

Reflexiones:

Enelmtodotradicionalnosinteresaelconocimientopormenorizadodelprocesoalgebraicoparalasolucindelsistemadeecuaciones

Estemtodotieneunenfoquedidctico. Elestudianteyelprofesorestninteresadosen

conocerunmtodoenparticularparalasolucindeunsistemadeecuaciones.

Conelusodelclculosimbliconosinteresanicamentelasolucin(independientementedelmtodoutilizadoporelsistemacomputacionalpararesolverlo)

Estemtodotieneunenfoquedeeficiencia:rapidezyexactitud.Elprofesoryel

estudiantebuscannicamentelasolucinalsistemadeecuacionesdado.



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30

Ejemplo2

Supongamosquelaecuacin 12representaelcomportamientoseguidoporuna

pelotadebeisboldespusdequeunjugadorlehapegadoconciertavelocidadyconcierto

ngulo. Calcularlossiguientesdatos:

a) Elalcancehorizontaldelapelotay

b) laalturamximaalcanzada.

Solucin

Parafacilitarlasolucindelproblema,vamosestablecerlaecuacinenfuncindexygraficarla:

f x( ) x2 x+ 12+=

10 5 0 5 10

100

50

50

f x( )

x

Ajustemoslosparmetrosoriginalesparatenerunmayoracercamientoalagrfica(zoom):

4

2 0 2 4

10

10

f x( )

x



31/86

31

VamosaencontrarlospuntosdeintercepcinconelejedelasX:

f x( ) solve3

4

=

Lospuntosdeintercepcinsonx1=3yx2=4.

Paraencontrarelalcancehorizontaldelapelota,supondremosquelapelotahasidogolpeadaen

elpuntox1yquelapelotatocaelsueloenpuntox2:

Distanciahorizontalx2x1=4(3)=7(unidadesdedistancia)

Enunaecua n ma elvrticedelaparbolavienedadoporci delafor

2 ,

4

4

Sustituyendolosvaloresdea,bycdelaecuacindadaenlafrmulaobtenemos:

a 1=

b 1=

c 12=

b2a

1

2= 0.5=

4a c b2

4a

49

4


LaalturamximalaalcanzaenelpuntoX=0.5yesdeY=12.25(unidadesdealtura).

= 12.25=


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32


Reflexiones:

Enestecaso,elmtodoseguidoparalasolucindelaecuacindesegundogradonoestanrelevantecomoloeslacomprensindeloquerepresentaenslamismaecuacin:

o Unaparbola

o Elpuntomximo(omnimo)delaparboladadoporsuvrticeo LospuntosdecorteenelejedelasX(dadasenlasolucindelaecuacin)

Estostreselementosnosconducenalasolucindelproblema:

o Elpuntodearranquedelabola(lospuntosdecorteenelejedelasX)

o Lamximaalturaalcanzada(elvrticedelaparbola)

Enesteejemplo,tomarelevanciaelusodeunacalculadoraodeunpaquetecomputacional

paracentrarseenelproblemaysusolucin,ydejarensegundotrminoelmtodoalgebraico

odeprocedimiento.


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33

APLICACIONES EN TRIGONOMETRA

Grficasdefuncionestrigonomtricas

Ejemplo1

Graficarlasfuncionessenoycosenoenelrangode0 a2.

Solucin

Definir rafica

0 1 2

elrangode g cin:

0 1.571 3.142 4.712 6.2831.5

0.75

0

0.75

1.5

sin x( )

cos x( )

x

Ejemplo2

Graficarlasfunciones,3 y5 enelrangode 2a2. Observarel

efectodelcoeficientedelafuncinenamplituddelafuncin.

Solucin

Definirelra godegra

0 2 ,1 2

n ficacin:

Graficarlasfunciones:



34/86

34

6.283 3.142 0 3.142 6.283

5

0

5

sin x( )

3sin x( )

5sin x( )

x

Ejemplo

3

Graficarlasfuncionesy 3enelrangode 2a2. Observarelefectodel

coeficientedelaX,enelargumentodelafuncin, sobrelafrecuenciadelafuncin.

Solucin

Definirelra rafica

0 2 1 2

ngode g cin:

Graficarlasfunciones:

6.283 3.142 0 3.142 6.2832

1

0

1

2

sin x( )

sin 3x( )

x



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35

Ecuacionestrigonomtricas

Ejemplo4

Resulvaselasiguienteecuacinparavaloresnonegativosde ymenoresde2. Grafiquela

ecuacin.

2sin ( ) 1 0

Solucin


Paraobservarmejorlospuntosdecorteenelejedelas,convertiremoslosresultadosobtenidos

aunnmerorealdetresdecimalesygraficaremoslafuncinenunrangode0a.

2sin ( ) 1 0 solve ,

6

5

6

=

60.524=

5

62.618=

0 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.142

1

0.5

0.5

1

2sin ( ) 1


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36

APLICACIONES EN GEOMETRAANALTICA

Distanciaentredospuntos

Ejemplo

DemostraranalticamentequelasdiagonalesdeunrectnguloABCDsoniguales.

Solucin

Definirloscuatropuntosqueformanlasdiagonales:


A0

0

= B0

Definirunafrmulaparaencontrarladistanciaentredospuntosdados:

Utilizarlafrmuladedistanciadefinidaanteriormenteparaencontrarlalongituddelas

diagonales.

DistanciaentreladiagonalAC:

b

= Ca

b

= a

Da

0

= a

b

Distancia P Q,( ) P1 Q1( )2

P2 Q2( )2+=

DistanciaA C,( ) a2 b2+=


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37

DistanciaentreladiagonalBD:

Distancia B D,( ) a2 b2+=

El resultado encontrado demuestra que las diagonales son iguales.

PuntoMedio

Ejemplo

Demostraranalticamentequeelsegmentoqueunelospuntosmediosdelosdosladosdeun

tringulo,esparaleloaltercerladoytienelamitaddesulongitud.

Solucin

Solucin

Definirlostrespuntosquedeterminaneltringulo:


A0

0

= B

0

Definirunafrmulaparaencontrarelpuntomedioentredospuntosdados:

ConsideremoslospuntosmediosdelosladosAByAC:

b

=

b

aC

0

=

a

PuntoMedio X Y,( )

X1 Y1+

2X2 Y2+

2

=


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38


D PuntoMedio A B,( )= B

D

0

b

2

=

E PuntoMedio A ,( )= CC

E

a

2

0

=

Calculemos la delsegm

1 DE DistanciaD, E

longitud entoDEqueunelospuntosmediosdeltringulo:

DE a

2

4

b2

4+=

Simplificandoelresultadoobtenido(asumimosqueelvalordeaybsonmayoresquecero):

a2

4

b2

4+

simplifyassume ALL 0>,

a2

b2+

2=

CalculemoslalongituddeltercerladoparaleloyqueesparaleloalsegmentoDE:

BC Distancia C,( )= BB

BC a2

b2+=

Dividamoselresultadoobtenidoentredos:

BC

2

a2

b2+

2=

AldividirentredoslalongituddelsegmentoBC,obtenemoselmismovalorqueelobtenidopara

DEenlaexpresin(1).


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39

Lnearecta

Ecuacindeunarectaquepasapordospuntosdados

TEOREMA

Laecuacindeunarectaquepasaporlospuntos 1 1( , )x y y 2 2( , )x y estdadapor:

2 12 2

2 1

( )(y y

y y x xx x

)

=

con 1 2x x

Ejemplo

DeterminarlaecuacindelarectaquepasaporlospuntosP1(10,5)yP2(0,5);graficarla

ecuacinobtenida,calcularsupendienteyngulodeinclinacin, ydeterminarlascoordenadasde

corteenelejeXyenelejeY.

Solucin

Definicinnumricadelospuntos:

P1 105

= P2 0

5

=

Definicindelarectaenfuncindedospuntos:

recta A B, x,( )B2 A2

B1 A1 x A1( ) A2+=

Definicindelapendientedelarecta:

m A B,( )B2 A2

B1 A1=



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40

Clculodelaecuacinsimblicadelarecta:


Graficarlafuncin:

Clculodelapendienteyngulodeinclinacin:

PuntodecorteenX (cuandoy = 0):

PuntodecorteenY(cuando x = 0):

recta P1 P2, x,( ) x 5+=

10 5 0 5 10

5

5

10

15

recta P1 P2, x,( )

x

m P1 P2,( ) 1=atan m P1 P2,( )( ) 45 de=

y 0

recta P1 P2, x,( ) y solve x, 5

=

x

0

recta P1 P2, x,( ) 5=


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41

Ecuacindeunarectaformapendienteyordenadaalorigen

TEOREMA

Laecuacindeunarecta(noparalelaalejeY)quecortaointerceptaalejeYenelpunto(0,b),y

tieneunapendienteigualames:

Ejemplo

Hallarlaecuacindelarectaconpendientem=1yconordenadaenelorigenb=5. Graficarla

ecuacinencontradaycalcularelgradodeinclinacindesupendiente

Solucin

Definirlosvaloresparamyparab:


m 1:= b 5:=

Definirlafrmulaentrminosdem,byx:

f m b, x,( ) m x b+=

Encontrarlaecuacindelarectasolicitada:

f m b, x,( ) x 5


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42

Apartirdelafuncindefinidagraficarlafuncin:

10 5 0 5 10

15

10

5

5

f m b, x,( )

x

Calcularelngulodependientedelarecta:

atan 45m( ) de=



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43

nguloentredosrectas

TEOREMA

DadasdosrectaL1yL2,conpendientesm1ym2,respectivamente,elngulo queseformacuando

sevadeL1 aL2enladireccincontraria a llasdelrelojestdadaporalasdel smaneci

tan

1

con 1

Ejemplo

Encuentreelnguloentrelasrectas:

x 3y+ 2+ 0

x 3y+ 5+ 0

PrimeraSolucin

DefinimoslosvaloresdeA1,B1,A2yB2paralasecuacionesdadas:

A1 1:= B1 3:= A2 1:= B2 3:=

Calculamoslaspendientesdecadaunadelasrectas:

m1A1

B1

1

3:=

m2A2

B2

1

3:=



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44

Calculamoselnguloentrelasdosrectas:

tan m1 m2

1 m1 m2+

3

4:=

atan tan( )180

36.87=

Segundasolucin

Aislandoloscoeficientesdelaprimeraecuacinycalculandolaprimerapendiente:

A x 3yy+ 2+ coeffs x, 3 y 2+1

:=


B x 3y+ 2+ coeffs y,x 2+

3

:=x

A1 A2 1:=

B1 B2 3:=

m1A1

B1

1

3:=

Aislandoloscoeficientesdelasegundaecuacinycalculandolasegundapendiente:

A x 3+ 5+ coeffs x,3 y 5

y+

1

:= y

B x 3y+ 5+ coeffs y,5 x

3

:= x


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45

A2 A2 1:=

B2 B2 3:=

m2A2

B2

1

3:=

Calculandoelnguloentrelasdosrectas:

tan m1 m2

1 m1 m2+

3

4:=

atan tan( )180

36.87=

SolucingrficadadaporGeogebra:



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46

Tringulos

Clculodelosngulosinterioresdeuntringulo

Ejemplo

CuntomidenlosngulosinterioresdeltringulocuyosvrticessonlospuntosA(2,6),B(3,1)

yC(4,5)?

Solucin

Representacingrficadelproblema:

Frmulaparacalcularlapendienteentredospuntosdados:

my2 y1

x2 x1

yy:=



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47

RepresentacindelospuntosylapendienteenMathcad:


Clculodelngulo entrelosladosAByAC:

Clculodelngulo entrelosladosAByBC:

Ay1

x1

:=

x1 x2B

y2

:=

x2

mB2 A2

B1 A1

B:=

m1B2 A2

B1 A1

7

5:=

m3C2 A2

C1 A1

11

2:=

tan m3 m1

1 m3 m1+

69

67:=

atan tan( )180

45.843=:=

m2B2 C2

B1 C1

4

7:=

tan m1 m2

1 m1 m2+

69

7:=

atan tan( )180

84.207=:=


48/86

48

Clculodeltercerngulodeltringulo:


180 49.95=:=

ClculoSimblicoconMathcad



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49

Clculodelreadeuntringulo

Ejemplo

CalcularelreadeltringulocuyosvrticessonA(1,1),B(3,4)yC(5,1).

Primerasolucin

Dadaslascoordenadasdelosvrtices,elreadeuntringulovienedadaporlasiguientefrmula:

K 1

2y1 y3( ) x2 x1 x3( ) y2 x1 y3+ x3 y1

DefinirlosvrticesdadosentrminosdeMathcad:

A1

1

:= B

3

4

:= C

5

1

:=

SuequivalenteencoordenadasX,Yeselsiguiente:

x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:= 2:= x3 C y3 C1:= 2:=

DefinirelreaentrminosdeMathcadycalcularsuvalor:

K 12

y1 y3( ) x2 x1 x3( ) y2 x1 y3+ x3 y1:=

K 13



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50

Segundasolucin

Lafrmula

K 1

2

y1 y3( ) x2 x1 x3( ) y2 x1 y3+ x3 y1

Sepuedeexpresarentrminosdeundeterminante:

K 1

2

x1

x2

x3

y1

y2

y3

1

1

1

:=

Donde

x1 A1

:= y1 A2

:= x2 B y2 B1

:= 2

:= x3 C y3 C1

:= 2

:=

Obtenemos:

K 13



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51

Tercerasolucin

Sepuedeobtenerelreadeuntringuloenfuncindelalongituddecadaunodesuslados

utilizandolafrmuladeHern:


cK s s a( ) s b( ) s ( ) Dondea,bycrepresentancadaunadelaslongitudesdeltringuloysvienedadaporlafrmula:

s 1

2a b+ c+( )

Grficamentepodemosobservareltringulodadodelasiguientemanera:

Paracalcularlalongituddecadaunodeloslados,definimoslasiguientefrmula(distanciaentre

dospuntosdados):

Longitud P Q,( ) P1 Q1( )2

P2 Q2( )2+:=


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52

Calculamoslalongituddecadaunodeloslados.

LadoBC:


a LongitudB C,( ) 29:= a 5.385=

LadoAC:

b Longitud A C,( ) 2 10:= b 6.325=

LadoAB:

c Longitud A B,( ) := 5

CalculamoselvalordesydeK(readeltringulo):

s

1

2 a b+ c+( ):=

s 10 29

2+

5

2

+

cK s s a( ) s b( ) s ( ):=

K 10 29

2

5

2

+

10

29

2

+ 5

2

10

29

2

+ 5

2

+

29

2

10 5

2

+

K simplify 13


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53




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54

Clculodelbaricentro/centroidedeuntringulo

Ejemplo

Losvrticesdeuntringulosonlossiguientes:A(4,0),B(3,4)yC(4,1). Encontrarelbaricentro

deltringulo.

Solucin

Mediana:rectaquepasaporelvrticeyporelpuntomediodelladoopuesto.

Baricentro:puntodeinterseccindelasmedianasdeuntringulo.

Representacinvisualdelproblema(Geogebra):

Definirlafrmulaparacalcularelpuntomediodeunsegmento:

PuntoMedio X Y,( )

X1 Y1+

2

X2 Y2+

2

:=

Definirlostrespuntosdados:

A4

0

:= B

3

4

:= C

4

1

:=



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55

Calcularlospuntosmediosdecadaunodelosladosdeltringulo:


D PuntoMedio A B,( ):= E PuntoMedio B C,( ):= F PuntoMedio A C,( ):=

D12

2

E

7

2

3

2

F0

1

2

Definirlafrmulaparacalcularlaecuacindelasmediatrices:

f A B, x,( )B2 A2

B1 A1 x A1( ) A2+:=

Calcularlasecuacionesdelasmediatrices:

l1 f A E, ,( ):= l1

x

5

4

5+

xx

l2 3 x

2

1

2

l2 f B F, x,( ):= x

l3 f C D, ,( ):=

l3 5

3

2 x

3

xx

Calcularelpuntodeinterseccin(baricentro/centroide)dedosdelasmediatrices:

l1 y

l2 y solve x, y, 1 1( )

l1 y solve x, y, 1 1( )

l3 y


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56

Baricentro/centroide. RepresentacingrficadelasolucindadaporGeogebra.

Nota. Elpuntodeinterseccindelasmedianastambinsepuedeencontrarmediantelasiguiente

frmula:

Interseccion A B, C,( )

A1

3

B1

3+

C1

3+

A2

3

B2

3+

C2

3+

:=

Interseccion A B, C,( ) 11



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57

Ejemplo

Demostrarquesiuntringulotienelosvrticesen x1, y1` a

, x2 , y2` a

, x3, y3` a

,elpuntode

interseccindesusmedianasestenx1 + x2 + x2

3fffffffffffffffffffffffffffffffffffff

,y1 +y2 +y2

3fffffffffffffffffffffffffffffffffffff

f g

Paraesteejercicio,tomeencuentaquelasmedianasdeltringuloconcurrenenunpuntoque

estadosterciosdeladistanciadecadavrticealamitaddesuladoopuesto.

Solucin

Definirlostrespuntosquedeterminaneltringulo:


Definirlafrmulaparacalcularelpuntomediodeunsegmento:

Calcularcadaunodelospuntosmediosdelosladosdelafiguradada:

A y1

x1

:=

x1 x2

B y2

:=

x2 x3

C y3

:=

x3

PuntoMedio X Y,( )

X1 Y1+

2

X2 Y2+

2

:=

D PuntoMedio B,( ):= AA


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58

D

x1

2

x2

2+

y1

2

y2

2+


E PuntoMedio C,( ):= AA

E

x1

2

x3

2+

y1

2

y3

2+

F PuntoMedio C,( ):= BB

F

x22

x32

+

y2

2

y3

2+

Definirlafrmulaquecalculaelpuntodedivisindeunsegmentoenunarazndada:

PuntoRazon A B, r,( )A1 r B1 A1( )+

A2 r B2 A2( )+

:=

Definirlarazn:

razon 2

3:=

Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeA:

PuntoRazon A F, razon,( )

x1

3

x2

3+

x3

3+

y1

3

y2

3+ y3

3+


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59

Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeB:

PuntoRazon B E, razon,( )

x1

3

x2

3+

x3

3+

y1

3

y2

3+ y3

3+

Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeC:

PuntoRazon C D, razon,( )

x1

3

x2

3+

x3

3+

y1

3

y2

3+

y3

3+

Las coordenadas del punto de interseccin de los segmentos AF, BE y CD son

iguales.



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60

Clculodelortocentrodeuntringulo

Ejemplo

Losvrticesdeuntringulosonlossiguientes:A(3,0),B(0,2)yC(1,2). Encontrarlas

ecuacionesdecadaunodesusladosyelortocentro.

Solucin

Alturadeuntringulo:eslarectaquepasaporunvrticeyesperpendicularalarectaque

contienealladoopuesto.

Ortocentro:Interseccinde lastresalturasdeltringulo.

Representacinvisualdelproblema(Geogebra):

Definirlostrespuntosdados:

A3

0

:= B

0

2

:= C

1

2

:=



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61

Definirlafrmulaparacalcularlapendienteentredospuntos:

m A B,( )B2 A2

B1 A1:=

Calcularlapendienteparacadaunodelosladosdeltringulo:

LadoAB:


mAB m A B,( ):=

mAB 2

3

LadoBC:

mBC m B C,( ):=

mBC 4

LadoCA:

mCA m C A,( ):=

mCA 1

2

Definirlafrmulapuntopendienteparacalcularcadaunadelasecuacionesdelasalturas:

f A m, x,( ) m x A1( ) A2+:=

AlturaquepasaporA(perpendicularaBC):

m 1

mBC:=

eqA f A m, x,( )y

y x

4

3

4+:= y

AlturaquepasaporB(perpendicularaCA):

m 1

mCA:=


62/86

62

eqB y f B m, x,( ) y 2 x 2+:=y

AlturaquepasaporC(perpendicularaAB):

m 1

mAB

:=

eqC f C m, x,( )y

ClculoSimblicoconMathcad


y 3 x

2

1

2:= y

Calcularelpuntodeinterseccindedosdelasalturas:

eqAeqB

Ortocentro. RepresentacingrficadelasolucindadaporGeogebra.

solve x, y,

5

7

47

0.714 0.571( )=

eqA

eqC

solve x, y,

5

7

47

0.714 0.571( )=


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63

Circunferencia

Ejemplo1

Encontrarlaecuacindelacircunferenciaqueestangentealarecta3 4 4 0ycuyocentroestsobrelasrectas5 7 0, 4 9 0.Graficarcadaunadelasecuaciones

queintervienenenelproblema.

Solucin

Encontrarelcentrodelacircunferencia(laintercepcinentrelasdosrectas):


Encontrarlascoordenadashykdelcentroobtenido(elresultadovienedadoenunvectordeunacolumnaydosfilas)

Calcularlalongituddelradio(ladistanciadelcentroalatangentedelacircunferencia).

Frmulaparacalcularladistanciadeunpuntoaunarecta:

Asignarlosvaloresdeloscoeficientesdelatangentedada

ylascoordenadasdelcentroenlafrmuladedistanciaparaobtenerelradio

Centro5x y 7+ 0

x 4 0

y 9+ solve x, y, 1 2( ):=

h Centro h 11 1,:=

k Centro1 2,:= k 2

distanciaA B, C, x1, y1,( ) A x1 B y1+ C+A B+

:=2 2

A 3:= B 4:= C 4:=

r distancia A B, C, h, k,( ):=


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64

Sustituirlascoordenadasdelcentroyelradioenlafrmulageneralparaobtenerlacircunferencia

pedida:

Circunferencia h( )2 y k( )2+ r2x


simplify x2

2 x+ y2+ 4 y 5+ 9:= x

Circunferencia x2

2 x+ y2+ 4 y 5+ 9

Visualizargrficamenteelproblema.

Paragraficarlasrectasdadasylacircunferenciaencontrada,ponemos cadaunadelasecuaciones

enfuncindex.

Rectasdelcentro:

f1 x( ) 5x y 7+ 0 solve y, 5 x 7+:=

f1 x( ) 5 x 7+

f2 x( ) x 4y 9+ 0 solve y,x

4

9

4+:=

f2 x( ) x

4

9

4+

Rectatangente:

f3 x( ) 3x 4y 4 0 solve y,3 x

41:=

f3 x( ) 3 x

41

Circunferenciaencontrada:

Cir x( ) Circunferenciasolve y,x 2( ) x 4+( ) 2+

2 x 2( ) x 4+( )

:=

Lasolucindelacircunferencianosdevuelvedosmediascircunferencias(elresultado

dadoesunvectordeunacolumnaydosfilas):


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65

Primeracircunferencia:

Cir x( )1 1, x 2( ) x 4+( ) 2+

Segundacircunferencia:

Cir x( )2 1, 2 x 2( ) x +( ) 4

Grficafinal

10 5 0 5 10

10

5

5

10

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

Cir x( )1 1,

Cir x( )2 1,

x



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66

Ejemplo2

Deduciruna(s)ecuacin(es)delodeloscrculosderadio4,cuyocentroestenlarecta

4 3 7 0yes(oson)tangentesa3 4 34 0.

Solucin

Disponemosdetrescondicionespararesolverelproblema:

1. Elradio

radio 4:=

2. Unpuntocualquiera(h,k)quepaseporlacircunferenciadebetambinsatisfaceralarecta

quepasaporelcentro:

4h 3k + 7+ 0

3. Lafrmuladedistanciadeunpunto(elcentrodelarecta)aunarecta(latangenteala

recta):

distancia A x B y1+ C1

+

A2

B2+

:= x1

3 h 4 k+ 34+

32

42+

radio

Con estas tres condiciones podemos plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valoresde las coordenadas del centro, h y k.

Centro1

4 3k+ 7h + 0

3 h 4 k+ 34+

32

42+

radio

:=

hh



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67

El valor absoluto del numerador nos da dos valores.

Primera solucin (valor positivo):

Centro1

4h 3k + 7+ 0

3 h 4 k+ 34+3

24

2+radio

solve h, k, 2 5( ):=

h Centro11 1,:= h 2

k Centro11 2,:= k 5

Sustituyendoelvalordehykobtenidos:

x h( )2 y k( )2+ radio2 x 2( )2 y 5+( )2+ 16

Expandiendolaexpresinresultante:

x 2( )2 y 5+( )2+ 16 0 expand x2 4 x y2+ 10 y+ 13+ 0

Segunda solucin (valor negativo)

Reiniciar valores para el segundo clculo

h h:= k k:=

Centro2

4h 3k + 7+ 0

3 h 4 k+ 34+

32

42+

radio

solve h, k,134

7

195

7

:=

h Centro21 1,:=

k Centro21 2,:=

Sustituyendoelvalordehykpreviamentecalculados:

x h( )2 y k( )2+ radio2 x 134

7

2

y 195

7+

2+ 16



68/86

68

Expandiendolaexpresinencontrada:

x 134

7

2

y 195

7+

2

+ 16 expand x2 268 x

7 y2+

390 y

7+

55981

49+ 16

Simplificandolaexpresin:


49 x2 268 x

7

y2+ 390 y7

+ 55981

4949 x

2 1876 x 49 y2+ 2730 y+ 55197++ 16 0 0


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69

Parbola

Ejemplo1

Graficarlastressiguientesfuncionesyobservarelefectodeltrminoindependiente:

f x( ) x2= g x( ) x2 10+= h x( ) x2 10=

Solucin

20

40

f x( )

g x( )

h x( )

x



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70

Ejemplo2

Graficarlasdossiguientesfuncionesyobservarelefecto delsignonegativoenelcoeficientedeX:

f x( ) x2= g x( ) x2=

40

20

20

40

f x( )

g x( )

x

Ejemplo3

GraficarlasdossiguientesfuncionesyobservarelefectodelcoeficientedelaX:

f x( ) x

2

= g x( ) 3x2

= h x( ) 10x2

=

20

20

40

f x( )

g x( )

h x( )

x



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71

Ejemplo4

Determinarlaecuacindelaparbolaensuformanormalquepasaporlospuntos(3,4),(0,1)y

(2,9)ycuyoejeesparaleloalejey. Graficarlaecuacinresultante,

Solucin

Comoelejedelaparbolaesparaleloalejey,sustituimosenlaecuacin

x2

D x+ E y+ F+ 0

lostrespuntosdadosylaecuacinresultantelaalmacenamosenunavariabletemporalpara

despusutilizarlaenlasolucindelsistemadeecuacionesresultante:

f1 x2

x+ E y+ F+ substitutex 3D


, y 4, 3 D 4 E+ F+ 9+:= D

E f2 x2 D x+ y+ F+ substitutex 0, y 1, E F+:= E

E f3 x2

D x+ y+ F+ substitutex 2, y 9, 9 E 2 D F+ 4+:= E

Resolviendoelsistemadeecuaciones:

f1 0

f2 0

f3 0

solve D, E, F, 2 1 1( )

Sustituyendolosvaloresobtenidosenlaformanormal:

f4 D x+ E y+ F+ substituteD 2x2

, E 1, F 1, x2 2 x y 1+:=x

f4 x

22 x y 1+


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72

Paragraficarlaecuacin,dejamoslaexpresinobtenidasloentrminosdexyalmacenamosel

resultadoenunanuevaecuacin:

f5 x( ) f4 0 solve y, x2 2 x 1+:=

10 5 0 5 10

50

100

150

f5 x( )

x



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73

APLICACIONES EN CLCULO DIFERENCIAL

Lmites

Ejemplo1

Puededemostrarsequeelreadeunpolgonodenladosigualesinscritoenuncrculoderadio1

estdadopor

Ann

2sin

2

n

=

Completarlafrmulaconlossiguientesvaloresden:6,10,1000,10000.

Solucin

Definimoslafrmulaenfuncindenyprocedemosasustituirlosvaloressolicitados:

A n( ) n

2sin

2

n

=

A 6( ) 2.5980762114=

A 10( ) 2.9389262615=

A 1000( ) 3.1415719828=


Nota. Observecomoelltimovalortiendea.Calculemoselvalordelafuncincuandontiende

ainfinito:

A 10000( ) 3.1415924469=

n 2

nsin

2

n

lim =


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74

Ejemplo2

Estudiarelcomportamientodelasiguientesucesin cuandontiendeainfinito.2 1

2n

+

Solucin

Representarlasucesinenformadefuncinparafacilitarsuestudio:

f n( ) 2 1

2n

+=

Construirunatabladevaloresbajounrangodadoyobservarelcomportamientodelafuncin.

Paraesto,leasignaremosanunvalorquevayacambiandodesdeunvalorinicialde1hastaun

valorfinaldadode50(puedeescogercualquierrangodevaloresparasuestudioeneserangoen

particular):


n 1 50..=

f n( )

2.5

2.25

2.125

2.063

2.031

2.016

2.008

2.004

2.002

2.001

2

2

2

...

=

Observarquelafuncintomaelvalorde2cuandoxtiendeaunvalormuygrande. Utilizandolafuncinparaelclculodellmitedeunafuncintambinobtenemoselmismovalor:

xf x( )lim

2=


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75

SemuestralagrficadelafuncindadaparacomprobarvisualmentequecuandoXtiendea

infinitoelvalordellmitetiendea2:

10 0 10

2

3

4

5

f x( )

x

Derivadas

Ejemplo1

Encontrarlosvrtices(puntomximoomnimo)delafuncin completando

eltrinomiocuadradoperfecto.

Parafacilitarelejercicio,ledamosalafuncinlasiguienteforma:

Multiplicamoslaecuacinpora,elcoeficientedela :

a x2

b x+ c+

x2 b

ax+ c

a+

y

a

Pasamoseltrminoindependientealaderechadelaecuacin:

x2 b

ax+ y

a

c

a

Completamoselcuadradoalaizquierdadelaexpresinsumandoaambosmiembroselcuadrado

delamitaddelcoeficientedex:



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76

x2 b

ax+ b

2

4 a2

+ y

a

c

a

b2

4 a2

+

Reducimoseltrinomiocuadradoresultanteenladoizquierdodelaecuacin:

x b

2a+

2y

a

c

a

b2

4 a2

+

Simplificamoselextremodeladerechadelaecuacin:

x b

2a+

2 1

ay

b2

4 a+ c

o

x b

2a+

2 1

ay

4 a c b2

4 a

Laexpresinobtenidarepresentalasegundaformaordinariadelaecuacindelaparbolacuyo

vrticeeselpunto

2 ,4

4

Reflexiones:

Esteejercicioesesencialmentedeprocedimientoydeinterpretacindelresultadoobtenido. Esdepocaayudaunacalculadoraounpaquetecomputacional



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77

Ejemplo2

Laecuacingeneraldeunaparbolavienedadaporlafrmula 0;utilizandoel

conceptodederivada,determinelascoordenadasdelvrticedelaecuacin.

Solucin

DefinimoslaecuacinenfuncindeX:

f x( ) a x2

b x+ c+=

DerivamoslafuncinconrespectoaX:

xf x( )

d

db 2 a+=

Igualamosacerolaexpresinencontrada(elvalordelapendientevaleceroenelpuntomximoomnimodeunafuncin), resolvemosparaXyencontramoslaprimeracoordenada:

b 2 a x+ 0

b 2 a x+ 0 solve x,b

2 a=

ConelvalordeXencontramoselvalorY,lasegundacoordenadabuscada:


f b

2 a

c b

2

4 a=

c b

2

4 a factor

4 a c b2

4 a=

Lascoordenadasdelvrticedelaparbolavienendadapor:

2 ,

4

4


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78

Reflexiones

Esteejerciciomuestralafacilidadpararesolverelproblemaconlaayudadeunaherramientadeclculosimblico. Elestudiantedebeconocerlosprincipiosmatemticosquesustentan

estasolucin

Ejemplo3

A desudefinicinalgebraica,calcule laderivadadelafuncin 1 enelpuntopartir

5.Compruebesuresultadoutilizandolafuncinlmiteylafuncinderivadadadaporun

sistema computacional.

Solucin

Definimosenvalordelavariableyeldelafuncindada:


x

x 5=

f x( ) x2

1+=

Ladefinicinalgebraicadeladerivadadeunafuncinvienedadaporlafrmula:

f x h+( ) f ( )

h

Paraencontrarsusolucinnumricaconstruiremosunatabladevaloresyobservaremos su

tendencia. Paraesto,establecemosunvalorinicialde0.001,unvalorfinalde0.0001yun

incrementoparalavariablehde0.0009:

h 0.001 0.0009, 0.0001..=


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79

Conlosvaloresdadosparaxyparah,calculamoslatablacorrespondienteyobservamosla

tendenciadelaexpresin:

f x h+( ) f ( )

h

x

10.001

10.001

10.001

10.001

10.001

10

10

10

10

10

Enlatablaanteriorseobservaunatendenciaalnmero10.

Aplicandolafrmuladelmitesobrelamismaexpresintenemos:

0h

f x h+( ) f x( )

h


Aplicandolafuncindederivacinseobtieneelmismoresultado:

Ejemplo4

Dadalasiguientefuncin , (1)encontrarsuderivada,(2)elvalorde lapendienteencualquierpuntodadodelacurva,(3)laecuacindelapendienteenelpuntoseleccionadoy(4)

graficarlaecuacinylaecuacindelapendienteenelpuntodado.

Solucin

lim

10=

xf x( )

d

d10=


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80

1) Encontrarladerivada

Definirlafuncin:

f x( ) x2=

Calcularladerivadasimblicamente:


2) Valorde lapendienteencualquierpuntodadodelacurva

Definircualquierpuntonyasignarleunvalor:

Calcularelvalordeladerivadaenelpuntondefinidoanterior(sealmacenarelvalorencontrado

enunavariablellamadam(dependiente)parasuusoposterior:

3) Ecuacindelapendienteenelpuntoseleccionado

Paraidentificarlaecuacindelapendiente,definimosunafrmuladeclculoenfuncindela

pendienteyunpunto:

Calculamoslascoordenadasdelpuntodeinterseccinentrelarectaylacurvadada:

xf x( )

d

d2=

n 1

2=

mn

f n( )d

d=

m 1=

recta pendiente P, x,( ) pendiente x P1( ) P2+=

P nf n( )

=


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81

P

1

2

1

4

=

ConlapendientemyelpuntoPpodemosidentificarlaecuacindelarectapendiente:

recta m P, x,( ) x 1

4=

Gradodeinclinacindelapendiente:

atan 45m( ) de=

atan m( )

4=

4) Graficade laecuacindada ylaecuacindelapendienteenelpuntodado:

Definirelrangodegraficacin:

x2 8=x1 5= y2 30=y1 5=

5 0 5

10

20

30

f x( )

recta m P, x,( )

x



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82

Nota.

Enesteejerciciosemuestralaposibilidaddecrearunaplantillaparalasolucindeestetipode

problemas.Conlaplantillacreadasepuedenresolverproblemassemejantesyobservarelcambio

quesetieneenlasolucinalcambiarunparmetrodado;porejemplo,vamosaresolverelmismo

problemacambiandoelvalordelpuntodeintercepcinden=an=3:


n 3=

mn

f n( )d

d=

m 6=

Pn

f n( )

=

P3

9

=

recta m P, x,( ) 6 x 9=

atan m( ) 80.538de=

5 0 5

10

20

30

f x( )

recta m P, x,( )

x


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83

Ejemplo5

Dadalacurva

2,hallar:

a) Lainclinacindelacurvacuando 1

b) LospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalejeX.c) Lospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalarecta2 3 6

Solucin

a) Lainclinacindelacurvacuando 1

DefinimoslacurvaenfuncindeX:

f x( ) x

3

3x2 2+=

Calculamoslainclinacindelacurvaenelpunto x=1:

x 1=

xf x( )

d

d1=

Inclinacindelacurva:

atanx

f x( )


b) LospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalejeX.

LacurvaesparalelaalejeXcuandolapendienteenesepunto(s)esigualacero; sederivala

funcin,seigualaaceroyseencuentraelpuntobuscado:

c) Lospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalarecta2x3y=6.

d

d45 de

=

xf x( )d

d 0 solve x,

2

0

=


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84

Silarectadadaesparalelaalapendientebuscadadebetenerlamismapendiente:

Pendientedelarecta2x3y=6:

Transformamoslaecuacindadaalaforma dondemeslapendientedelarecta.

2x 3y 6 solve y, 2 x3

2=

m 2

3

2 0.75 0.5 1.75 3

5

2.5

2.5

5

x3

3x

2 2+

x



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85

2 0.75 0.5 1.75 3

5

2.5

2.5

5

x3

3x

2 2+

2 x

32



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86


BIBLIOGRAFA

Diferentesejemplospresentadosenestosapuntesacadmicoshansidotomadosdelossiguientes

libros:

LehmanC.,1959,GeometraAnaltica. EditorialUTHEA,Mxico.

OteyzaE.,LamE.,HernndezC.,Carrillo,RamrezA.,2005,GeometraAnaltica. EditorialPearson,

PrenticeHall,Mxico.

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Introduccion Al Mathcad

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