Leccion 26: Extremos relativos condicionados:

Multiplicadores de Lagrange

Introduccion al Calculo Infinitesimal

I.T.I. Gestion

Ligaduras y extremos condicionados

f : Rn → R funcion de varias variables

Buscaremos los extremos relativos de f , pero no en todo

su dominio, sino centrandonos en los puntos (x1, . . . , xn) ∈ Rn

que satisfacen ciertas relaciones:

φ1(x1, . . . , xn) = 0, · · · , φq(x1, . . . , xn) = 0

• Dichas relaciones se denominan ligaduras (independientes)

• Los extremos se denominan condicionados (a las ligaduras)

Ligaduras y extremos condicionados

f : Rn → R funcion de varias variables

Buscaremos los extremos relativos de f , pero no en todo

su dominio, sino centrandonos en los puntos (x1, . . . , xn) ∈ Rn

que satisfacen ciertas relaciones:

φ1(x1, . . . , xn) = 0, · · · , φq(x1, . . . , xn) = 0

• Dichas relaciones se denominan ligaduras (independientes)

• Los extremos se denominan condicionados (a las ligaduras)

Restringimos la funcion al subconjunto de Rn que satisface

las ligaduras, y buscamos ahı cuales son los extremos relativos

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

1. Extremos condicionados de f (x, y) = (x− 1)2 + y2

bajo la ligadura x2 + y2 = 1:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}(circunferencia de radio unidad) y buscamos los extremos relativos

-5-2.50

2.55

-5-2.5

02.5

50

20

40

60

80-5-2.52.55

Figure 1: f tiene un mınimo relativo en (1, 0), y no tiene maximo relativos

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

1. Extremos condicionados de f (x, y) = (x− 1)2 + y2

bajo la ligadura x2 + y2 = 1:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}(circunferencia de radio unidad) y buscamos los extremos relativos

-2-1012

-2-1

01

2

0

5

10

-10

12

Figure 2: Extremos condicionados: nos centramos unicamente en C

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

1. Extremos condicionados de f (x, y) = (x− 1)2 + y2

bajo la ligadura x2 + y2 = 1:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}(circunferencia de radio unidad) y buscamos los extremos relativos

-2-10

1

2

-2 -1 0 1 2

0

5

10

0

5

10

Figure 3: f tiene un mınimo condicionado en (1, 0), y un maximo condicionado en (−1, 0)

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

2. Extremos condicionados de f (x, y) = x y

bajo la ligadura x + y = 0:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}y buscamos los extremos relativos

-202

-202

-5

0

5

-202

Figure 4: f no tiene extremos relativos (solo un punto de silla)

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

2. Extremos condicionados de f (x, y) = x y

bajo la ligadura x + y = 0:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}y buscamos los extremos relativos

-202

-20

2

-5

0

5

Figure 5: Extremos condicionados: nos centramos unicamente en C

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

2. Extremos condicionados de f (x, y) = x y

bajo la ligadura x + y = 0:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}y buscamos los extremos relativos

-2

0

2

-20

2

-5

0

5

-2

0

2

-20

2

Figure 6: f tiene un maximo condicionado en (0, 0)

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

3. Extremos condicionados de f (x, y) = x y

bajo la ligadura x− y = 0:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}y buscamos los extremos relativos

-202

-202

-5

0

5

-202

Figure 7: f no tiene extremos relativos (solo un punto de silla)

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

3. Extremos condicionados de f (x, y) = x y

bajo la ligadura x− y = 0:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}y buscamos los extremos relativos

-2

02

-20

2

-5

0

5

-2

02

-20

2

Figure 8: Extremos condicionados: nos centramos unicamente en C

Ligaduras y extremos condicionados

Ejemplos:

3. Extremos condicionados de f (x, y) = x y

bajo la ligadura x− y = 0:

Restringimos f al conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}y buscamos los extremos relativos

-20

2

-20

2

-5

0

5

-20

2

-20

2

Figure 9: f tiene un mınimo condicionado en (0, 0)

Resolucion mediante sustitucion

En ciertas situaciones, las ligaduras permitiran expresar algunas

variables en funcion de otras, reduciendo todo a un problema

de calculo de extremos relativos

Resolucion mediante sustitucion

En ciertas situaciones, las ligaduras permitiran expresar algunas

variables en funcion de otras, reduciendo todo a un problema

de calculo de extremos relativos

Ejemplo:

f (x, y) = xy

Ligadura x−y = 0 : x−y = 0 ⇒ y = x ⇒ f (x, y) = x2 = g(x)

Los extremos condicionados coinciden con los extremos relativos

de g(x) = x2

Multiplicadores de Lagrange

- Metodo general para obtener extremos condicionados:

f : Rn → R, ligaduras φ1, . . . , φq : Rn → R

Multiplicadores de Lagrange

- Metodo general para obtener extremos condicionados:

f : Rn → R, ligaduras φ1, . . . , φq : Rn → R

1. Consideramos la funcion de Lagrange asociada:

g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λq) = f + λ1φ1 + · · · + λqφq

Multiplicadores de Lagrange

- Metodo general para obtener extremos condicionados:

f : Rn → R, ligaduras φ1, . . . , φq : Rn → R

1. Consideramos la funcion de Lagrange asociada:

g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λq) = f + λ1φ1 + · · · + λqφq

2. Hallamos los puntos crıticos de g:

∇g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λq) = (0, . . . , 0)

Multiplicadores de Lagrange

- Metodo general para obtener extremos condicionados:

f : Rn → R, ligaduras φ1, . . . , φq : Rn → R

1. Consideramos la funcion de Lagrange asociada:

g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λq) = f + λ1φ1 + · · · + λqφq

2. Hallamos los puntos crıticos de g:

∇g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λq) = (0, . . . , 0)

3. Estudiamos los puntos crıticos obtenidos → Criterio

Multiplicadores de Lagrange

f : Rn → R, ligaduras φ1, . . . , φq : Rn → R

3. Estudiamos los puntos crıticos obtenidos → Criterio:

Sea P ∈ Rn+q un punto crıtico de g

Se estudia la forma cuadratica ω dada por las derivadas parciales

segundas de g respecto x1, . . . , xn en el punto P , restringidas al

subespacio

V = {(y1, . . . , yn) ∈ Rn : 〈∇φi(P ), (y1, . . . , yn)〉 = 0, i = 1, . . . , q}

Multiplicadores de Lagrange

f : Rn → R, ligaduras φ1, . . . , φq : Rn → R

3. Estudiamos los puntos crıticos obtenidos → Criterio:

- Si ω es definida positiva ⇒ Mınimo relativo condicionado

- Si ω es definida negativa ⇒ Maximo relativo condicionado

- Si ω no es definida ni semidefinida ⇒ No hay extremo relativo

condicionado

- Si ω es semidefinida ⇒ Sin informacion

Ejemplos:

1. Extremos condicionados de

f (x, y, z) = xLn(x) + yLn(y) + zLn(z)

bajo la ligadura x + y + z = 1

2. Extremos condicionados de f (x, y, z) = 8xyz

(con x, y, z > 0) bajo la ligadura x2 + y2 + z2 = 1

3. Extremos condicionados de f (x, y, z) = xz + yz

bajo las ligaduras x3 − y3 − 4z − 4 = 0, x + y + z2 − 3 = 0

Ejemplos:

4. Extremos condicionados de f (x, y, z) = xyz bajo la

ligadura x + y + z − 3 = 0

5. Extremos condicionados de f (x, y) = xy bajo la

ligadura 2x + y = 2400

6. Extremos condicionados de f (x, y, z) = ez−x + 2xyz,

bajo las ligaduras x + y + z = 1, 2x + y − 2 = 0

Nota:

Para hallar los extremos absolutos de una funcion en una region

cerrada y acotada del plano, se puede proceder hallando primero

los extremos en el interior de dicha region (calculo de extremos

relativos habitual), y luego los extremos condicionados a las

ligaduras que determinan la frontera de nuestra region (metodo

de los multiplicadores de Lagrange).

Un ejemplo serıa el calculo de los extremos absolutos de una

funcion en la region {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} (que es un

disco de radio unidad)