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Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Leccion 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES

1. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES

Los campos vectoriales son funciones de una o mas variables cuyas imagenes son vectores bidi-mensionales o tridimensionales y tienen una extraordinaria importancia en la construccion de losmodelos matematicos de problemas de la fısica, el electromagnetismo o la mecanica de fluidos.

Campos vectoriales. Un campo vectorial bidimensional es una funcion F:U ⊂ R2 → R2. Si para

cada (x, y) ∈ U , el dominio de definicion de F, escribimos F(x, y) en terminos de sus coordenadas

F(x, y) =(F1(x, y), F2(x, y)

)= F1(x, y)ı+ F2(x, y)ȷ,

vemos que F viene dado por los campos escalares F1, F2:U → R que se llaman componentes de F.

En la figura vemos una representacion de campo vectorial que nos da la velocidad del vientomediante una flecha en cada punto (tanto la longitud de la flecha como el color de fondo representansu modulo).

Mapa de vientos (tomado de la Agencia Estatal de Meteorologıa).

Un campo vectorial tridimensional es una funcion F:U ⊂ R3 → R3. Ahora, si para (x, y, z) ∈ U

escribimos F(x, y, z) en terminos de sus coordenadas

F(x, y, z) =(F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)

)= F1(x, y, z)ı+ F2(x, y, z)ȷ+ F3(x, y, z)k,

vemos que el campo vectorial F viene dado por tres campos escalares F1, F2, F3:U → R que, como

en el caso anterior, se llaman componentes de F.

En general, un campo vectorial es una funcion F:U ⊂ Rm → Rn de m variables independientescuyos valores son vectores n-dimensionales, ası que el campo consta de n funciones componentescada una de las cuales es un campo escalar que depende de m variables. Para este caso general seravalido casi todo lo que se diga en esta leccion, donde nos centraremos, esencialmente, en el casotridimensional m = n = 3. En particular, los resultados se trasladan a campos bidimensionales(m = n = 2) sin mas que suprimir la tercera coordenada (las excepciones se indicaran con claridad).

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56 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Ejemplos de campos vectoriales. (1) Las curvas parametrizadas, que son las imagenes de

campos r(t) = x(t)ı+ y(t)ȷ+ z(t)k que dependen de una variable t, el parametro de la curva, querecorre un intervalo I. Sus componentes son las funciones x(t), y(t) y z(t) que dan las coordenadas.

(2) Si f es un campo escalar diferenciable, entonces su diferencial es un campo vectorial ya que acada punto P le asigna el vector diferencial Df(P ).

(3) Para cada punto (x, y, z) ∈ R3, sean r su vector de posicion y r su distancia al origen.Entonces, la ley de la gravedad de Newton nos dice que la fuerza de atraccion que ejerce la Tierrasobre una masa m situada en el punto (x, y, z) puede describirse como el campo vectorial dado por

F = −GMmr−3r = −GMmr−2u, donde u = r/r es el vector unitario en la direccion del radiovector, G es la constante de gravitacion universal y M es la masa de la Tierra.

Una observacion importante es que este campo puede escribirse como un gradiente; de hecho, para

el campo escalar radial f = GMm/r se tiene, segun vimos en la Leccion 2, que ∇f = F.

(4) Se dice que un campo vectorial F(x, y, z) es un campo central o radial, (con centro en el origen)

cuando su direccion coincide con la del vector de posicion del punto r = xı+ yȷ+ zk y su modulodepende unicamente de la distancia r del punto al origen (el modulo de r). El campo gravitatorioproducido por la Tierra es un ejemplo de campo central.

Los campos vectoriales centrales podemos escribirlos como F(x, y, z) = ψ(r)r donde ψ(t) es unafuncion definida en un intervalo del semieje t ≥ 0. Para el caso bidimensional, basta con suprimirla coordenada z, es decir, los campos vectoriales centrales bidimensionales son los que se pueden

escribir como F(x, y) = ψ(r)r, donde r(x, y) =√x2 + y2.

(5) Un ejemplo de interes es cuando el campo vectorial representa un cambio de variables. Ası,un cambio de variables bidimensional x = x(u, v) e y = y(u, v) puede escribirse como el campo

F(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

). Analogamente, si el cambio de variables es tridimensional, entonces

podemos verlo como el campo vectorial F(u, v, w) =(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

).

(6) Se ha estudiado en la asignatura de Matematicas II que si y(t) es una solucion de la ecuaciony′ = f(t, y), entonces el valor f(t, y) nos proporciona la pendiente de la curva y = y(t) en cadapunto. En otras palabras, v(t, y) =

(1, f(t, y)

)es un vector tangente a dicha curva. Si trabajamos

en un plano cartesiano con la variable t en el eje de abscisas y la variable y en el eje de ordenadasy representamos en cada punto (t, y) el vector v(t, y), obtenemos un campo vectorial que se conocecomo el campo de direcciones de la ecuacion.

Campo de direcciones.

Continuidad. Se dice que un campo vectorial F:U → R3 es continuo en un punto P0 ∈ U si todas

sus funciones componentes son continuas en dicho punto. Diremos que F:U → R3 es continuo ensu dominio U si es continuo en todos los puntos de U .

Campo vectorial diferenciable. Diremos que un campo vectorial F:U → R3 es diferenciable en

un punto P interior de U si sus funciones componentes son diferenciables en P . Diremos que F es

4. Campos vectoriales diferenciables 57

diferenciable en U cuando todas sus funciones componentes son diferenciables en U y diremos que

F es de clase Cn(U) cuando todas sus funciones componentes son de clase Cn(U). En particular,

si F = (F1, F2, F3) es de clase C1(U), entonces la condicion suficiente de diferenciabilidad nos dice

que las tres componentes F1, F2, F3 son diferenciables y, por tanto, que el campo F es diferenciable.

Matriz diferencial. La matriz DF formada fila a fila por los vectores diferenciales de las compo-

nentes de F se llama matriz diferencial de F y se denota por

DF =

DF1

DF2

DF2

=

∂F1

∂x

∂F1

∂y

∂F1

∂z

∂F2

∂x

∂F2

∂y

∂F2

∂z

∂F3

∂x

∂F3

∂y

∂F3

∂z

.

En el caso de una curva parametrizada por r = x(t) ı + y(t) ȷ + z(t)k, la matriz diferencial es la

derivada r ′(t) = x′(t) ı+ y′(t) ȷ+ z′(t) k. Veamos que tenemos en otros de los ejemplos dados.

Matriz hessiana de un campo escalar. Sea f un campo escalar de tres variables de clase C2 ensu dominio U . Su diferencial es el campo vectorial que a cada punto le asigna el vector diferencial

Df = fx ı+ fy ȷ+ fz k. Puesto que las componentes de Df admiten, a su vez, derivadas parcialescontinuas (las derivadas parciales segundas de f), el campo Df es diferenciable y su diferencial es

D(Df

)=

fxx fxy fxz

fyx fyy fyz

fzx fzy fzz

= D2f,

lo que justifica la notacion D2f para la matriz hessiana de f .

Matriz jacobiana de un cambio de variables. Cuando el campo vectorial F representa uncambio de variables diferenciable, entonces su matriz diferencial se llama matriz jacobiana, o matriz

de Jacobi, del cambio de variables, y en el caso bidimensional F(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

)se suele

representar mediante

DF =∂(x, y)

∂(u, v)=

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

.Analogamente, en el caso tridimensional, la matriz jacobiana de un cambio de variables se suele

representar por∂(x, y, z)

∂(u, v, w). En esta leccion y las siguientes iremos viendo la importancia y utilidad

de esta matriz.

Matriz jacobiana del cambio a coordenadas polares. Si f es un campo escalar de dosvariables y cambiamos a coordenadas polares, de manera que x = r cos(θ) e y = r sen(θ), la matrizjacobiana del cambio es

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

=

[cos(θ) −r sen(θ)sen(θ) r cos(θ)

].


La matriz jacobiana y la regla de la cadena. La regla de la cadena para dos variablesindependientes nos dice que si f(x, y) es un campo escalar de clase C1(U) y hacemos un cambiode variables x = x(u, v) e y = y(u, v) mediante funciones diferenciables con respecto a las nuevasvariables u y v, entonces la composicion g(u, v) = f

(x(u, v), y(u, v)

)es diferenciable y se verifica

∂g

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂uy

∂g

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v

Si escribimos estas igualdades en forma matricial obtenemos

[∂g

∂u

∂g

∂v

]=

[∂f

∂x

∂f

∂y

]∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

.Los vectores fila son los diferenciales de f y de g y la matriz de la derecha es la matriz jacobiana∂(x, y)

∂(u, v)del cambio de variables, de manera que la igualdad queda Dg = Df

∂(x, y)

∂(u, v); en otras

palabras, la matriz jacobiana es la matriz que relaciona los correspondientes diferenciales del campoescalar con respecto a las variables antiguas y las nuevas.

Para tres variables ocurre lo mismo. La regla de la cadena nos dice que si f(x, y, z) es un campoescalar de clase C1(U) y hacemos un cambio x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = z(u, v, w) dadopor funciones diferenciables con respecto a las variables u, v y w, entonces el campo expresado enlas nuevas variables g(u, v, w) = f

(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)es diferenciable y se verifica

∂g

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂u+∂f

∂z

∂z

∂u,

∂g

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v+∂f

∂z

∂z

∂v,

∂g

∂w=∂f

∂x

∂x

∂w+∂f

∂y

∂y

∂w+∂f

∂z

∂z

∂w.

En otras palabras, Dg(u, v, w) = Df(x, y, z)∂(x, y, z)

∂(u, v, w)como en el caso bidimensional.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Sea F(x, y) = xı− yȷ. Haz un esbozo del campo F en el cuadrado −2 ≤ x, y ≤ 2.

Ejercicio 2. Sea F(x, y) = yı− xȷ. Haz un esbozo del campo F en el cuadrado −1 ≤ x, y ≤ 1.

Ejercicio 3. Sea F(x, y) = yı. Haz un esbozo del campo F en el cırculo x2 + y2 ≤ 1.

Ejercicio 3. Calcula las matrices diferenciales de los siguientes campos en el origen y en (1,−3):

F1(x, y) =(x2 − y2, 2xy

), F2(x, y) =

(ex cos(y), ex sen(y)

), F3(x, y) =

(x3, y3

).


Ejercicio 4. Halla la matriz jacobiana del cambio de coordenadas polares a coordenadas car-

tesianas∂(r, θ)

∂(x, y)expresando sus componentes tanto en coordenadas polares como en cartesianas.

Comprueba que cuando es invertible, su inversa es la matriz jacobiana del cambio de coordenadas

cartesianas a coordenadas polares∂(x, y)

∂(r, θ).

Ejercicio 5. Calcula las matrices diferenciales de los siguientes campos en el origen y en (−1, 1, 2):

F1(x, y, z) =(x2 − y2 + z2, 2xy, z2

)F2(x, y, z) =

(ex cos(y), ex sen(y), z

).

Ejercicio 6. Sean r = (x, y, z) el campo vectorial que da el vector de posicion de un punto (x, y, z)

y r =√x2 + y2 + z2 el campo que da su distancia hasta el origen. Calcula la diferencial del campo

vectorial central F = rnr siendo n un numero entero.

2. CAMBIOS DE VARIABLES

Visualizacion geometrica de los cambios de variables en el plano. En muchas situacioneses conveniente cambiar las variables de las que depende un campo, escalar o vectorial. La regla dela cadena nos dice que ocurre con las derivadas parciales del campo cuando se hace el cambio. Enesta seccion estudiaremos mas a fondo los cambios de variables en dimension dos, en particular,los cambios lineales y las coordenadas polares, y en dimension tres, donde introduciremos lascoordenadas cilındricas y esfericas.

Dado que un cambio de variables bidimensional x = x(u, v) e y = y(u, v) puede escribirse como

un campo vectorial F(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

), su grafica serıa un conjunto en R4 por lo que no

es posible visualizarla. Una opcion alternativa es estudiar como el cambio de variables transformael plano de las variables (u, v) en su imagen en el plano de las variables (x, y). Para ello, hacemoslos siguiente: en el plano (u, v) trazamos una retıcula mediante lıneas horizontales de ecuacionv = constante y lıneas verticales de ecuacion u = constante y dibujamos las imagenes de estaslıneas en el plano (x, y); esto puede hacerse usando alguno de los programas para dibujar curvasparametricas que se recomiendan en la Bibliografıa. El resultado es una retıcula para las variables(x, y) que puede ayudarnos a entender como actua el cambio de variables.

Retıcula para u, v. Retıcula para x, y.


Determinante jacobiano y su interpretacion geometrica. El determinante de la matrizjacobiana se llama determinante jacobiano o, simplemente, jacobiano del cambio de variables:

det

(∂(x, y)

∂(u, v)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u.

Veremos que el determinante jacobiano de un cambio de variables es de enorme importancia envarias aplicaciones; por ejemplo, a la hora de cambiar variables en una integral doble o triple, dondetendra el mismo papel que x′(t) cuando escribimos dx = x′(t)dt al hacer un cambio de variable enlas integrales de funciones de una variable. Esto se debe a que el determinante actua como factorde dilatacion de las areas a pequena escala.

Rectangulo pequeno para u, v. Rectangulo curvilıneo pequeno para x, y.

Para verlo, construimos un rectangulo OABC en el plano de las variables u, v con base ∆u yaltura ∆v y, por tanto, con area ∆u∆v. Suponiendo, por comodidad, que x(0, 0) = y(0, 0) = 0,este rectangulo se transforma en el paralelogramo de lados curvos OA′B′C ′. Si los incrementos∆u,∆v son suficientemente pequenos, entonces, por continuidad, el area del paralelogramo de ladoscurvos OA′B′C ′ es aproximadamente igual al area del paralelogramo de lados rectos con los mismosvertices que, como se conoce del Bachillerato, puede hallarse como el valor absoluto del determinan-te formado por las coordenadas de A′ =

(x(∆u, 0), y(∆u, 0)

)y C ′ =

(x(0,∆v), y(0,∆v)

). Usando

la aproximacion dada por las derivadas parciales, para este determinante tenemos

∣∣∣∣x(∆u, 0) y(∆u, 0)

x(0,∆v) y(0,∆v)

∣∣∣∣ ≈∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u∆u

∂y

∂u∆u

∂x

∂v∆v

∂y

∂v∆v

∣∣∣∣∣∣∣ =(∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)∆u∆v.

Es decir, el area el paralelogramo de lados curvos OA′B′C ′ es, aproximadamente,∣∣∣∣∂x∂u ∂y∂v − ∂x

∂v

∂y

∂u

∣∣∣∣∆u∆v =

∣∣∣∣det(∂(x, y)∂(u, v)

)∣∣∣∣∆u∆v(En la figura hemos usado J para la matriz jacobiana).

Cambios de variables lineales. Sea A =

[a11 a12a21 a22

], entonces el cambio de variables

(xy

)= A

(uv

)o, en forma extendida,

{x(u, v) = a11u+ a12vy(u, v) = a21u+ a22v


se dice que es lineal porque transforma las variables (u, v) en (x, y) de manera lineal. La matrizjacobiana del cambio coincide con A y el cambio puede invertirse si A es invertible; en ese caso, elcambio inverso tambien es lineal y su matriz es A−1.

Retıcula para u, v. Retıcula para x, y.

Cuando es invertible, un cambio lineal transforma los cuadrados de la retıcula para u, v en para-lelogramos que conforman la retıcula para x, y. Como el determinante jacobiano es constante eigual a det(A), es facil comprobar que el area de cada paralelogramo es igual al area del cuadradodel que proviene multiplicada por |det(A)|; es decir, en este caso el determinante jacobiano es elfactor de dilatacion de areas global, no solo local.

Los giros son casos especiales de cambios lineales. Un giro de angulo α (en el sentido positivo) es

el cambio lineal que se obtiene para A =

[cos(α) − sen(α)sen(α) cos(α)

]. Los giros son siempre invertibles y

conservan los angulos y las areas ya que para la matriz de un giro se tiene det(A) = 1.

Cambios entre coordenadas polares y cartesianas. En el caso bidimensional, el cambio devariables mas habitual es el cambio a coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sen(θ).

Retıcula para r, θ. Retıcula para x, y.

Hemos visto que la matriz jacobiana de este cambio es

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

=

[cos(θ) −r sen(θ)sen(θ) r cos(θ)

]

con determinante jacobiano det

(∂(x, y)

∂(r, θ)

)= r.


Tambien hemos visto que si f es un campo escalar de dos variables, entonces las derivadas parcialesde f como funcion de (x, y) estan relacionadas con las derivadas parciales de f como funcion de

(r, θ) mediante Df(r, θ) = Df(x, y)∂(x, y)

∂(r, θ), o sea,

∂f

∂r=∂f

∂xcos(θ) +

∂f

∂ysen(θ) y

∂f

∂θ= −∂f

∂xr sen(θ) +

∂f

∂yr cos(θ),

En la Leccion 1 vimos como calcular directamente las derivadas parciales con respecto a las coor-denadas cartesianas en terminos de las derivadas parciales con respecto a las coordenadas polares,es decir, la matriz jacobiana del cambio de coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Estopodemos hacerlo, si r = 0, despejando las derivadas parciales con respecto a las coordenadas

cartesianas sin mas que invertir la matriz jacobiana∂(x, y)

∂(r, θ):

(∂(x, y)

∂(r, θ)

)−1

=1

r

[r cos(θ) r sen(θ)− sen(θ) cos(θ)

]=

[cos(θ) sen(θ)

− sen(θ)/r cos(θ)/r

].

Por lo tanto,

∂f

∂x=∂f

∂rcos(θ)− ∂f

∂θ

sen(θ)

ry

∂f

∂y=∂f

∂rsen(θ) +

∂f

∂θ

cos(θ)

r.

O sea, si r = 0, entonces la matriz jacobiana del cambio inverso∂(r, θ)

∂(x, y)es la inversa de

∂(x, y)

∂(r, θ):

∂(r, θ)

∂(x, y)=

∂r

∂x

∂r

∂y

∂θ

∂x

∂θ

∂y

=

[cos(θ) sen(θ)

− sen(θ)/r cos(θ)/r

]

El final de esta seccion lo dedicaremos al problema de analizar cuando puede deshacerse un cambiode variables y veremos que este resultado, que hemos visto para el caso especial de las coordenadaspolares, es cierto para cambios de variables cualesquiera.

Cambio de variables en el espacio. En el caso tridimensional, si hacemos un cambio de varia-bles x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = z(u, v, w), que son funciones diferenciables con respecto a

las nuevas variables u, v y w, entonces la matriz jacobiana del cambio de variables∂(x, y, z)

∂(u, v, w)es

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)=

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

y su determinante se llama determinante jacobiano del cambio de variables. De manera analoga alcaso bidimensional, puede probarse que el valor absoluto del determinante jacobiano a actua comofactor de dilatacion de los volumenes a pequena escala.

Veamos ahora los principales cambios de variable tridimensionales.


Cambios de variables lineales. Si A es una matriz 3 × 3, el cambio (x, y, z)T = A(u, v, w)T

se llama, como en el caso de dos variables, lineal . La matriz jacobiana del cambio de variablescoincide con A y el cambio puede invertirse si A es invertible, o sea, si det(A) = 0. En ese caso, elcambio inverso tambien es lineal y su matriz es A−1.

Coordenadas cilındricas. Este cambio consiste simplemente en hacer el cambio a coordenadaspolares en el plano XY y mantener la z como variable independiente. Las coordenadas cilındricasde un punto (x, y, z) son, entonces, (r, θ, z) de manera que

x(r, θ, z) = r cos(θ), y(r, θ, z) = r sen(θ), z(r, θ, z) = z.

La matriz jacobiana del cambio a coordenadas cilındricas es

∂(x, y, z)

∂(r, θ, z)=

cos(θ) −r sen(θ) 0sen(θ) r cos(θ) 0

0 0 1

Su determinante jacobiano es igual a r y es util para solidos que presentan simetrıa axial.

Coordenadas cilındricas. Coordenadas esfericas.

Coordenadas esfericas. Las coordenadas esfericas de un punto P = (x, y, z) ∈ R3 son los tresvalores (ρ, θ, ϕ) definidos por las siguientes relaciones:

x(ρ, θ, ϕ) = ρ cos(θ) sen(ϕ), y(ρ, θ, ϕ) = ρ sen(θ) sen(ϕ), z(ρ, θ, ϕ) = ρ cos(ϕ),

de manera que ρ es la distancia de P al origen de coordenadas; θ es el angulo polar de la proyeccionde P sobre el plano XY y se llama angulo azimutal; y ϕ es el angulo que forma OP con el eje OZpositivo y se llama colatitud. En otras palabras, θ y ϕ permiten determinar, respectivamente, lalongitud y la latitud de P .

La matriz jacobiana del cambio a coordenadas esfericas es

∂(x, y, z)

∂(ρ, θ, ϕ)=

cos(θ) sen(ϕ) −ρ sen(θ) sen(ϕ) ρ cos(θ) cos(ϕ)sen(θ) sen(ϕ) ρ cos(θ) sen(ϕ) ρ sen(θ) cos(ϕ)

cos(ϕ) 0 −ρ sen(ϕ)

con determinante jacobiano −ρ2 sen(ϕ). Este cambio de variables resulta apropiado cuando setrabaja en conjuntos que tienen simetrıa esferica. Las formulas para invertir este cambio son

ρ =√x2 + y2 + z2, θ = arctan(y/x), ϕ = arccos

(z/

√x2 + y2 + z2

).


Inversion de un cambio de variables. ¿Cuando podemos deshacer un cambio de variables?Recordemos el caso unidimensional. Supongamos que estamos trabajando con una variable x yque, por la razon que sea, queremos trabajar con una nueva variable t = ϕ(x), donde ϕ es unafuncion derivable. Si al final del proceso queremos deshacer el cambio de variables, esto es, obtenerx = ψ(t) como funcion de t, la condicion suficiente es que ϕ′(x) = 0, en cuyo caso la funcion inversaψ(t) es derivable y se verifica que ψ′(t) = 1/ϕ′

(ψ(t)

). La funcion x = ψ(t) que deshace el cambio

de variable se llama funcion inversa de ϕ(x) con respecto a la composicion de funciones y se suelerepresentar por x = ϕ−1(t). Esta notacion puede ser confusa: en este contexto, ϕ−1(t) no debeconfundirse con 1/ϕ(t), la inversa con respecto a la division.

Para cambios de mas variables, la condicion de que la derivada no se anule se traduce en la invertibi-lidad de la matriz jacobiana del cambio o, equivalentemente, en que el determinante jacobiano no seanule, como hemos visto en el caso de los cambios lineales y las coordenadas polares. Estudiaremoslos detalles solo en el caso bidimensional; para cambios de tres variables el resultado es analogo.

Teorema de la funcion inversa para dos variables. Sea x = x(u, v) e y = y(u, v) un cambiode variables de clase Cn en la region U en la que se mueven las variables u, v. Sea P = (u0, v0)un punto interior de la region U que se transforma, mediante el cambio de variables, en el puntoP ′ = (x0, y0). Si la matriz jacobiana

∂(x, y)

∂(u, v)=

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

es invertible en P , entonces existen un cuadrado D ⊂ U centrado en P , un conjunto D′ conteniendoel punto P ′ en su interior y dos funciones u(x, y), v(x, y) de clase Cn(D′) que deshacen el cambiode variables; es decir, dado (x, y) ∈ D′ los valores u(x, y), v(x, y) son la unica solucion en D delsistema x = x(u, v), y = y(u, v). Ademas, la matriz jacobiana del cambio inverso es la inversa dela matriz jacobiana del cambio original:

∂(u, v)

∂(x, y)=

∂u

∂x

∂u

∂y

∂v

∂x

∂v

∂y

=

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

−1

=

(∂(x, y)

∂(u, v)

)−1

.

Teorema de la funcion inversa.

En el caso del cambio a coordenadas polares, ya sabemos que el cambio puede deshacerse cercade cualquier punto que no sea el origen; esto se refleja en el hecho de que la matriz jacobiana delcambio a coordenadas polares no es invertible en el origen porque, como vimos, su determinantees el radio polar r, que vale cero en dicho punto.


Teorema de la funcion inversa para tres variables. Supongamos que tenemos un puntoP = (u0, v0, w0) que se transforma en el punto P ′ = (x0, y0, z0) mediante un cambio de variablesx = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), que son funciones de clase C1(U). Si la matriz

jacobiana ∂(x,y,z)∂(u,v,w) es invertible en P , entonces existen un cubo D ⊂ U centrado en P , un conjunto

D′ conteniendo el punto P ′ en su interior y tres funciones u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) de claseCn(D′) que deshacen el cambio de variables. Ademas, la matriz jacobiana del cambio inverso es

la inversa de la matriz jacobiana del cambio directo: ∂(u,v,w)∂(x,y,z) =

(∂(x,y,z)∂(u,v,w)

)−1

.

En particular, tanto el cambio a coordenadas cilındricas como el cambio a coordenadas esfericaspueden deshacerse en todo el espacio tridimensional salvo en el eje OZ.


Ejercicio 1. Halla la matriz y el determinante jacobianos de los siguientes cambios de variables.

(1) x(u, v) = u+ v, y(u, v) = u− v. (2) x(u, v) = 2u+ v, y(u, v) = u+ 3v.(3) x(u, v) = uv, y(u, v) = u− v. (4) x(u, v) = u2 − v2, y(u, v) = uv.

¿Cuando son invertibles estos cambios de variables? Para cada uno de ellos, dibuja en el planoXY el recinto en el que se transforma el rectangulo 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1 del plano UV .

Ejercicio 2. Determina las matrices de los cambios de variables lineales que consisten en girar,respectivamente, 2π/3, π/2, π/6 y −π/3 radianes, y dibuja en el plano XY el recinto en el que setransforma el sector u2 + v2 ≤ 1, u ≤ v, del plano UV .

Ejercicio 3. Considera el cambio de variables dado por x = u2 + cos(v) e y = sen(v) y el puntoP cuyas coordenadas en el plano de las variables u, v son u0 = 1 y v0 = 2π.

(1) Calcula el punto Q = (x0, y0) que es la imagen del punto P mediante el cambio de variablesdado. Prueba que dicho cambio de variables puede invertirse cerca del punto Q y halla lamatriz jacobiana del cambio de variables inverso en el punto Q.

(2) De un campo escalar f(x, y) se sabe que la ecuacion del plano tangente a su grafica en elpunto Q es z = 3− 2x+ y. ¿Cuanto valen fx(Q) y fy(Q)? ¿Cual es la ecuacion del planotangente a la grafica del campo g(u, v) = f

(x(u, v), y(u, v)

)en el punto P?

Ejercicio 4. El cambio de variables x = u2−v2, y = uv transforma el punto P = (u0, v0) = (2, 1)del plano UV en el punto P ′ = (x0, y0) = (3, 2) del plano XY .

(1) Dibuja las curvas del plano XY que se obtienen al aplicar el cambio de variables a lasrectas u = 2 y v = 1 del plano UV .

(2) Calcula la matriz jacobiana ∂(x,y)∂(u,v) del cambio de variables y prueba que el cambio de

variables es invertible cerca del punto P ′.(3) De acuerdo con el apartado 3, sea v(x, y) la funcion que expresa v en terminos de las

variables x e y cerca de P ′. Halla el polinomio de Taylor de grado 1 de v(x, y) en P ′.

Ejercicio 5. En la region plana D ={(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x+ y ≤ 2, y ≤ x, x2 − y2 ≤ 1

}hacemos el

cambio de variables u = x2−y2, v = x+y. ¿Cual es el punto (x0, y0) que se transforma en el punto(u0, v0) = (1, 1) mediante el cambio de variables ? Prueba que en un entorno del punto (u0, v0), elcambio de variables es invertible, con lo que se pueden obtener x e y como funciones x = x(u, v)e y = y(u, v) de u y v, y halla el polinomio de Taylor de grado 2 de las funciones x = x(u, v) ey(u, v) alrededor del punto (u0, v0).


Ejercicio 6. Calcula la matriz y el determinante jacobianos de los siguientes cambios de variablese indica donde son invertibles.

(1) x(u, v, w) = u− v, y(u, v, w) = u+ v, z(u, v, w) = w.(2) x(u, v, w) = eu cos(v), y(u, v, w) = eu sen(v), z(u, v, w) = log(w).

Ejercicio 7. Calcula la matriz y el determinante jacobianos y determina cuando son invertibleslos siguientes cambios de variables:

(1) x(u, v, w) = u− v, y(u, v, w) = v − w, z(u, v, w) = w − u.(2) x(u, v, w) = 2u+ 3v − w, y(u, v, w) = 4u− v, z(u, v, w) = v + 5w.(3) x(u, v, w) = 2u+ 3v − w, y(u, v, w) = 2u− v − w, z(u, v, w) = 2v − w.(4) x(u, v, w) = u+ v, y(u, v, w) = u+ w, z(u, v, w) = 2u+ v + w.(5) x(u, v, w) = uv, y(u, v, w) = u− w, z(u, v, w) = w.

Ejercicio 8. Determina las coordenadas cilındricas y esfericas de los siguientes puntos dados encoordenadas cartesianas: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2− 1, 2), (−2,−2, 1), (0, 3,−4) y (0, 0,−1).

Ejercicio 9. Determina, buscando en internet sus latitudes y longitudes respectivas, las coorde-nadas esfericas de Sevilla, Londres, Tokyo, Moscu, Nueva York y Buenos Aires. ¿Puedes dar unaformula general para pasar la longitud y la latitud a coordenadas esfericas?

3. DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO

En muchas aplicaciones las variables x, y, z son coordenadas espaciales y se usan para representar

posiciones, r = xı + yȷ en el plano o r = xı + yȷ + zk en el espacio tridimensional. Para estecaso, hemos visto que el concepto de gradiente de un campo escalar o de diferencial de un campovectorial, formado por los gradientes de sus componentes, es la forma natural de extender la nocionde derivada de una funcion en un punto; sus componentes son las derivadas parciales del campoescalar o las derivadas parciales de las componentes del campo vectorial.

Ademas del gradiente, hay otras formas de combinar las derivadas parciales que son importantesen el desarrollo posterior de la teorıa y en sus aplicaciones en otras disciplinas. Estas diversasformas de combinar las derivadas espaciales se llaman, genericamente, operadores diferenciales yen esta seccion estudiaremos los tres mas importantes: la divergencia, el rotacional y el laplaciano,ası como las relaciones que se dan entre ellos y con el gradiente.

Divergencia de un campo vectorial tridimensional. Sea F =(F1, F2, F3

)un campo vecto-

rial tridimensional de clase C1 en su dominio U . La divergencia de F es el campo escalar continuo

div(F) definido en U por

div(F) =∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z.

Los campos vectoriales que tienen divergencia nula se llaman campos solenoidales.

Rotacional de un campo vectorial tridimensional. Sea F =(F1, F2, F3

)un campo vectorial

tridimensional de clase C1 en su dominio U . El rotacional de F es el campo vectorial continuo

rot(F) definido en U por

rot(F) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)ı+

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)ȷ+

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)k =

∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣Los campos vectoriales que tienen rotacional nulo se llaman campos irrotacionales.


Divergencia y rotacional de un campo vectorial central. Supongamos que F es un campo

vectorial central dado por F(x, y, z) = ψ(r)(xı+ yȷ+zk

). Entonces, usando las derivadas parciales

de ψ(r) calculadas en la Leccion 1, tenemos

div(F) =∂[ψ(r)x]

∂x+∂[ψ(r)y]

∂y+∂[ψ(r)z]

∂z

=

[(ψ′(r)

rx

)x+ ψ(r)

]+

[(ψ′(r)

ry

)y + ψ(r)

]+

[(ψ′(r)

rz

)z + ψ(r)

]= 3ψ(r) + rψ′(r).

En particular, para ψ(r) = rn, tenemos div(F) = 3rn + rnrn−1 = (3 + n)rn.

Usando de nuevo las derivadas parciales de ψ(r) puede probarse que rot(F) = 0, es decir, que loscampos vectoriales centrales son irrotacionales.

Divergencia y rotacional para un campo bidimensional. La divergencia y el rotacional seusan basicamente con campos tridimensionales; no obstante, a veces se usan con campos de dos

variables en cuyo caso, si tenemos F = (F1, F2), se definen de la siguiente manera:

div(F) =∂F1

∂x+∂F2

∂yy rot(F) =

∂F2

∂x− ∂F1

∂y.

Observemos que, por tanto, el “rotacional bidimensional” no es un campo vectorial, sino escalar.

Laplaciano de un campo escalar. Sea f un campo escalar de tres variables de clase C2(U). Eloperador de Laplace o laplaciano de f es el campo escalar dado por

∇2f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2= div

(∇f

)(en algunos libros tamien se usa la notacion ∆f para el operador de Laplace). Si el campo es dedos variables, su laplaciano es ∇2f = fxx + fyy.

Los campos escalares con laplaciano igual a cero se llaman campos armonicos.

Interpretacion del operador ∇. El sımbolo ∇ (se lee “nabla”) que aparece en la definicion de

gradiente, ∇f (r) = fxı+ fyȷ+ fzk, se puede interpretar como un vector

∇ =

[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]=

∂

∂xı+

∂

∂yȷ+

∂

∂zk.

Las componentes de ∇ son operaciones de derivacion parcial que pueden actuar sobre un campoescalar f . Si tratamos ∇ como si fuera un vector usual, entonces ∇f es el producto de cadacomponente de ∇ por el escalar f , interpretando las componentes de ∇ como operadores queactuan sobre f :

∇f =

[∂

∂xf,

∂

∂yf,

∂

∂zf

]=

[∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

]= grad(f),

que es de donde surge la notacion ∇f para el gradiente de f .

Siguiendo con esta interpretacion, si F = (F1, F2, F3) es un campo vectorial, entonces el “producto

escalar” ∇ · F es la divergencia de F:

∇ · F =

[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]· (F1, F2, F3) =

∂

∂xF1 +

∂

∂yF2 +

∂

∂zF3 = div(F).


Y, por otro lado, el “producto vectorial” ∇× F es el rotacional de F:

∇× F =

∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣ = rot(F).

Observemos tambien que para el laplaciano se tiene que ∇2(f) = div(grad(f)

)= ∇ · ∇f, lo que

justifica la notacion ∇2(f) para esta operacion.

En resumen, con esta interpretacion, si f es un campo escalar y F es un campo vectorial entonces

grad(f) = ∇f, ∇2f = ∇ · ∇f, div(F) = ∇ · F, rot(F) = ∇× F.

Algebra del operador nabla. Sean f un campo escalar y F un campo vectorial ambos de claseC2 en su dominio de definicion. Entonces

rot(grad(f)

)= 0,

div(grad(f)

)= ∇2f,

rot(rot(F)

)= grad

(div(F)

)−∇2F,

div(rot F

)= 0.

o, simbolicamente,

∇× (∇f) = 0,

∇ · (∇f) = ∇2f,

∇× (∇× F) = ∇(∇ · F)−∇2F,

∇ · (∇× F) = 0.


Ejercicio 1. Calcula las divergencias y los rotacionales de los siguientes campos vectoriales en elorigen y en el punto (1,−3)

(1) F(x, y) =(x2 − y2, 2xy

)(2) F(x, y) =

(ex cos(y), ex sen(y)

)(3) F(x, y) =

(x3, y3

)Ejercicio 2. Calcula las diferenciales, las divergencias y los rotacionales de los siguientes camposvectoriales en el origen y en el punto (1, 0,−3)

(1) F(x, y, z) =(x2, y2, z2

)(2) F(x, y, z) =

(yz, xz, xy

)(3) F(x, y, z) =

(x2 − y2 + z2, 2xy, z2

)(4) F(x, y, z) =

(ex cos(y), ex sen(y), z

)(5) F(x, y, z) =

(x3, y3, z3

)(6) F(x, y, z) =

(cos(y + z), cos(x+ z), cos(x+ y)

)Ejercicio 3. Calcula la divergencia y el rotacional del campo gravitatorio.


Ejercicio 4. Sea F(x, y, z) = ψ(r)(xı+ yȷ+ zk

), con r = ∥(x, y, z)∥, un campo vectorial central.

¿Cuando es F un campo solenoidal?

Ejercicio 5. Prueba que los campos vectoriales centrales son irrotacionales.

Ejercicio 6. Sea f(x, y, z) = ψ(r), siendo r = ∥(x, y, z)∥, un campo escalar central de clase C2.Prueba que su laplaciano es ∇2f = ψ′′(r) + 2

rψ′(r) y, en particular, que para ψ(r) = rn se tiene

∇2f = n(n+ 1)rn−2.

Ejercicio 7. Sea f(x, y, z) = ψ(r), siendo r = ∥(x, y, z)∥, un campo escalar central de clase C2.Usa el ejercicio anterior para determinar cuando es f un campo armonico.

Ejercicio 8. Calcula los laplacianos de los siguientes campos escalares

f1(x, y) = ex sen(y), f2(x, y) = ex cos(y), f3(x, y) = log(x2+y2), f4(x, y, z) = arctan(y/x)+z.

Ejercicio 9. ¿Para que valores de las constantes a, b y c es armonico el campo escalar definidopor f(x, y) = ax2 + bxy + cy2?

Ejercicio 10. Dado el campo vectorial F(x, y, z) = (y3+xyz)ı+(z3+xyz)ȷ+(x3+xyz)k, calcula

(1) su matriz diferencial DF,

(2) su rotacional rot(F),

(3) su divergencia div(F),

(4) el gradiente de su divergencia grad(div(F)

),

(5) la divergencia de su rotacional div(rot(F)

).

Ejercicio 11. Prueba las formulas del algebra del operador nabla dadas al final de la seccion.

Ejercicio 12. Sean f un campo escalar y F y G dos campos vectoriales, los tres de clase C2 enel mismo dominio de definicion. Prueba las siguientes formulas para el operador nabla:

∇ · (f F) = f∇(F) +∇(f) · F,

∇× (f F) = f(∇× F) + (∇f)× F,

∇ · (F× G) = G · (∇× F)− F · (∇× G).

ALGUNAS NOTAS HISTORICAS.

Los conceptos de divergencia, rotacional y laplaciano nacieron en el siglo xix con el desarrollo del electromagnetismo

y la mecanica de fluidos, disciplinas en las que admiten interpretaciones fısicas. El termino “rotacional” se debea James C. Maxwell, aunque el concepto ya fue considerado en 1839 por James MacCullagh, en el contexto de lateorıa de campos aplicada a la optica. El termino “divergencia” se debe a William K. Clifford, que lo introdujocomo el negativo de la “convergencia” introducida por James C. Maxwell a la vez que “rotacional”. Hablando sin

mucha precision, si tenemos un campo vectorial y consideramos un espacio infinitesimalmente pequeno que rodeaun punto, entonces la divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrantey el rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a inducir una rotacion en dicho espacio.

El termino “operador de Laplace” tambien fue acunado por James C. Maxwell en honor a Pierre Simon de Laplaceque lo introdujo en sus estudios de mecanica celestial. El laplaciano tambien aparece en multiples contextos comola teorıa del potencial, la electrostatica, la mecanica cuantica, la propagacion de ondas, la conduccion del calor o

la distribucion de tensiones en un solido deformable, por mencionar unos cuantos. Por ejemplo, en la mecanicacuantica el laplaciano de la funcion de onda de una partıcula da la energıa cinetica de la misma.


Las formulas que nacen de la interpretacion de ∇ como si fuera un vector, son muy utiles cuando se hacen calculos endiversas disciplinas; especialmente en electromagnetismo o mecanica de fluidos. De hecho, estas formulas aparecieron

por primera vez en el contexto del estudio de los campos electricos y magneticos llevado a cabo a lo largo del sigloxix desde sus orıgenes con Carl F. Gauss hasta su culminacion con James C. Maxwell. El sımbolo ∇ para indicarel gradiente, introducido por el matematico irlandes William R. Hamilton en 1853, fue utilizado por Maxwell paraestablecer el modelo matematico de la teorıa del campo electromagnetico, las famosas ecuaciones de Maxwell:

∇ · E =ρ

ϵ0∇ · B = 0

∇× E = −∂B

∂t∇× B = µ0J+ µ0ϵ0

∂E

∂t,

donde E es el campo electrico, B es la induccion magnetica, J es la densidad de corriente y los valores ρ, ϵ0, µ0 sonconstantes; los campos dependen de las tres variables espaciales (x, y, z) y el tiempo t.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Secciones 13.7, 13.8 y 14.1.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Secciones 13.7, 13.8 y 14.1.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Secciones 15.8, 16.7 y 16.8.

Paginas web de interes:

http://www.wolframalpha.com

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm

http://www.desmos.com/

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