Funciones Vectoriales de Variable Real

Indice general

Indice general I

1. Funciones vectoriales de una variable real 2

1.1. Funciones vectoriales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Dominio, rango de una funcion vectorial de variable real . . . . . . 3

1.1.2. Lımite de funciones vectoriales de variable real . . . . . . . . . . . . 6

Ejercicios de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3. Continuidad de funciones vectoriales de variable real . . . . . . . . 11

1.1.4. Derivacion de una funcion vectorial de variable real . . . . . . . . . 14

1.1.5. Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion vectorial

de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.6. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.7. Integracion de una funcion vectorial de variable real . . . . . . . . . 17

1.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Reparametrizacion de una curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2. Longitud de arco como parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Vectores Tangente unitario, Normal principal y Binormal . . . . . . . . . . 23

1.4.1. Vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3. Vector binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Curvatura y Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.1. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.2. Cırculo de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i

INDICE GENERAL 1

Bibliografıa 38

Capıtulo 1

Funciones vectoriales de una variable

real

Muchos fenomenos de la naturaleza, tales como la caida libre de un cuerpo, la trayec-

toria de un proyectil, la orbita de un cometa, entre otros son descritos matematicamente

por el concepto de funciones vectoriales de una variable real que pasaremos a desarrollar.

1.1. Funciones vectoriales de una variable real

Definicion 1.1.1. Una funcion vectorial de una variable real, es una funcion de la forma

f : I ⊂ R → Rn la cual, a cada numero real t de algun subconjunto I de R, le asocia

un (y solamente uno) valor f(t) en el espacio Rn. Como f(t) es punto del espacio Rn,

este tiene n-coordenadas, las cuales son en general, funciones de variable t. Ası podemos

escribir

f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t)) ∈ Rn

donde fi : I ⊂ R → R , i = 1, 2, ..., n son funciones reales de la variable t, llamadas

FUNCIONES COORDENADAS de la funcion f .

La grafica de la funcion vectorial f(t) de argumento escalar t, es el conjunto de

los puntos que describen los extremos del radio vector f(t) cuando varia t [7].

Ejemplo 1.1.1. Trace la grafica de la funcion f(t) = (sen(t), cos(t), sen2(t)) ∀t ∈ [0, 2π]

Solucion

La grafica de f podemos obtenerla tabulando de la siguiente manera:

2

1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3

Figura 1.1: curva C definida por la funcion f .

Es importante notar la orientacion que toma una partıcula que se encuentra sobre la

grafica de f . Este es lo que diferencia de su representacion como interseccion de superficies

(ecuacion cartesiana de la curva).

La ecuacion cartesiana de la grafica de f se obtiene haciendo desaparecer la variable t

de la representacion parametrica de f , esto es:

Figura 1.2: Interseccion de las supercies: x2 +y2 = 1

y z = x2

x = sen(t)

y = cos(t) ⇒ C :

x2 + y2 = 1

z = x2

z = sen2(t)

1.1.1. Dominio, rango de una funcion vectorial de variable real

Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion vectorial de variable real.

El dominio de f esta definida como la interseccion de los dominios de las funciones

coordenadas de f , esto es.

I = Dom f = Dom f1 ∩Domf2∩, ...,∩Domfn

El rango de f esta definida como el conjunto de todas las n- uplas (f1(t), f2(t), ..., fn(t))

tal que t ∈ Domf , esto es:

Ran f = {(f1(t), f2(t), ..., fn(t)) / t ∈ Domf}


Ejemplo 1.1.2. Halle el dominio y rango de la funcion vectorial f(t) = (t2,√

t− 1,√

5− t)

Solucion

f1(t) = t2 ⇒ Dom f1 = R

f2(t) =√

t− 1 ⇒ Dom f2 = [1,∞〉 ⇒ Dom f = Domf1 ∩Dom f2 ∩Domf3 = [1, 5]

f3(t) =√

5− t ⇒ Dom f3 = 〈−∞, 5]

Figura 1.3: Grafica de f como interseccion

de superficies

La ecuacion cartesiana de la grafica de f es:

x = t2

y =√

t− 1 ⇒ C :

z =√

5−√x, 1 ≤ x ≤ 25

z =√

4− y2, 0 ≤ y ≤ 2

z =√

5− t

El rango de f es:

Ran f = {(x, y, z) ∈ R3 /√

x− y2 = 1 , z =√

4− y2 , 1 ≤ x ≤ 25 , 0 ≤ y ≤ 2}

Ejemplo 1.1.3. Halle el rango de la funcion f(t) = (senh(t), cosh(t))

Solucion


x = senh(t)

y = cosh(t)⇒ x2 = senh2(t)

y2 = cosh2(t)⇒ y2 − x2 = 1

Como cosh(t) ≥ 1 , ∀t ∈ R, entonces y ≥ 1. Luego

Ran f = {(x, y) ∈ R2 / y2 − x2 = 1 , y ≥ 1}

Ejemplo 1.1.4. Encuentre una funcion vectorial que represente la curva de interseccion

de las dos superficies: el cono z =√

x2 + y2 y el plano z = 1 + y


Solucion

z =√

x2 + y2

z = 1 + y⇒ (1 + y)2 = x2 + y2 ⇒ 1 + 2y = x2 ⇒ y = x2−1

2

Figura 1.5: curva C definida por la interseccion de superficies

Luego

x = t

y = t2−12

z = t2+12

⇒ f(t) = (t, t2−12

, t2+12

) , ∀t ∈ R.

Antes de continuar, definamos el siguiente resultado fundamental de la topologıa de

R[8].

Definicion 1.1.2. Sea X ⊂ R:

1. Decimos que a ∈ R es un punto de acumulacion o punto lımite de X si y solo si

(a− ε , a + ε) ∩X − {a} 6= φ , ∀ ε > 0.

2. El conjunto de todos los puntos de acumulacion de X es llamado conjunto derivado

de X y sera denotado por X ′.

Ejemplo 1.1.5. .

1. (3, 5]′ = [3, 5]

2. (3, 5)′ = [3, 5]

3. Si X = {2} entonces X ′ = φ. En efecto, demostremos tal afirmacion por reduccion

al absurdo.

a) Supongamos que 2 ∈ X ′. Entonces para cualquier ε > 0 se debe cumplir (2 −ε , 2 + ε) ∩X − {2} 6= φ, la cual es falsa, ya que para ε = 0, 5 (por ejemplo) no

se cumple.


b) Supongamos ahora que a ∈ X ′, donde a es cualquier numero real diferente de 2.

Entonces para cualquier ε > 0 se debe cumplir (a− ε , a + ε) ∩X − {a} 6= φ, la

cual es falsa, ya que para ε = |a−2|2

(por ejemplo) no se cumple. Por lo tanto,

{2}′ = φ.

4. Z′ = φ

5. R′ = R

6. Q′ = R

7. (R−Q)′ = R

De los ejemplos mostrados, observemos que un punto de acumulacion de un conjunto

dado, no necesariamente pertenece al conjunto (ejemplos 1 y 2)

1.1.2. Lımite de funciones vectoriales de variable real

Sea f : I ⊂ R → Rn una funcion definida en un intervalo abierto I de R y sea to un

punto de acumulacion de I. Se dice que el limite de la funcion f cuando t tiende a to es

L ∈ Rn lo cual se escribe como:

lımt→to

f(t) = L

Si para cualquier ε > 0, es posible hallar un δ > 0 tal que t ∈ I , 0 <| t− to |< δ implica

‖ f(t)− L ‖< ε, donde ‖ ‖ es la norma euclidiana de vectores de Rn [7]. Simbolicamente

lımt→to

f(t) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Dom f ∧ 0 <| t− to |< δ ⇒ ‖ f(t)− L ‖< ε

Ejemplo 1.1.6.

Demuestre por definicion que: lımt→2

(2t,t2(t− 2)

t− 2) = (4, 4)

Solucion

Primero calculemos el dominio de la funcion f(t) = (2t,t2(t− 2)

t− 2).

f1(t) = 2t

f2(t) = t2(t−2)t−2

⇒ Domf1 = R

Domf2 = R− {2}⇒ Domf = R− {2}

En seguida calculemos el valor que debe tomar δ, para cualquier valor que le asignemos

a ε en la definicion de lımite.

∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Dom f ∧ 0 <| t− 2 |< δ ⇒ ‖ f(t)− (4, 4) ‖< ε

‖ f(t)− (4, 4) ‖ =√

(2t− 4)2 + (t2 − 4)2

≤ | 2t− 4 | + | t2 − 4 |= 2 | t− 2 | + | t + 2 | | t− 2 | ?


Acotemos | t + 2 |.Sea δ1 = 1 ⇒ 0 <| t − 2 |< 1 ⇒ −1 < t − 2 < 1 ⇒ 1 < t < 3.

⇒ 3 < t + 2 < 5. Luego | t + 2 |< 5.

Reemplazando este ultimo resultado en (?) se tiene:

‖ f(t)− (4, 4) ‖≤ 2 | t− 2 | + | t + 2 | | t− 2 |< 2δ + 5δ = 7δ = ε, luego δ2 = ε/7.

Por lo tanto δ = min{1, ε/7}.

Figura 1.6: Notemos que para ε = 2 se tiene δ = min{1, 2/7} = 2/7

Ejemplo 1.1.7.

Demuestre por definicion que: lımt→2

(1

1− t3,√

5t− 1,t√2) = (−1

7, 3,

2√2)

Solucion

Primero calculemos el dominio de la funcion f(t) = (1

1− t3,√

5t− 1,t√2).

f1(t) = 11−t3

f2(t) =√

5t− 1

f3(t) = t√2

⇒Dom f1 = R− {1}Dom f2 = [1

5,∞〉

Dom f3 = R

⇒ Dom f = [15, 1〉 ∪ 〈1,∞〉 En seguida

calculemos el valor que debe tomar δ, para cualquier valor que le asignemos a ε en la

definicion de lımite.

∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Domf ∧ 0 <| t− 2 |< δ ⇒ ‖ f(t)− (−1

7, 3,

2√2) ‖< ε

‖ f(t)− (−1

7, 3,

2√2) ‖ = ‖ (

8− t3

7(1− t3),√

5t− 1− 3,t√2− 2√

2) ‖

≤ | 2− t | | 4 + 2t + t2 |7 | t− 1 | | t2 + t + 1 | +

5 | t− 2 |√5t− 1 + 3

+| t− 2 |√

2

=| t− 2 | | (t + 1)2 + 3 |

7 | t− 1 | | (t + 12)2 + 3

4| +

5 | t− 2 |√5t− 1 + 3

+| t− 2 |√

2

En seguida acotemos los terminos diferentes de | t− 2 |.


Como 34≤ (t + 1

2)2 + 3

4⇒ 1

(t+ 12)2+ 3

4

≤ 43

, ∀t ∈ Dom f . De igual forma, dado que

3 ≤ √5t− 1 + 3 ⇒ 1√

5t−1+3≤ 1

3, ∀t ∈ Dom f . Entonces

‖ f(t)− (−1

7, 3,

2√2) ‖≤ | t− 2 | | (t + 1)2 + 3 |

7 | t− 1 |4

3+

5 | t− 2 |3

+| t− 2 |√

2(?)

Consideremos δ < min{| 1− 2 |} = 1. Luego en particular sea δ1 = 1/2.

Ahora 0 <| t− 2 |< 1/2 ⇒ 32

< t < 52. Luego se tiene:

254

+ 3 < (t + 1)2 + 3 < 494

+ 3

23

< 1t−1

< 2

⇒| (t + 1)2 + 3 |< 61

4

| 1t−1

|< 2

Reemplazando estos ultimos resultados en (?) se tiene:

‖ f(t)− (−1

7, 3,

2√2) ‖ ≤ 61

4. 2 .

4

3.1

7| t− 2 | +5 | t− 2 |

3+| t− 2 |√

2

<122

21δ +

5 δ

3+

δ√2

= ε ⇒ δ =ε

12221

+ 53

+ 1√2

Por lo tanto, el valor de δ que buscamos para cualquier ε es:

δ = min{1

2,

ε12221

+ 53

+ 1√2

}

Teorema 1.1.1. Sea f : I ⊂ R → Rn una funcion definida en un intervalo abierto I de

R y sea to un punto de acumulacion de I. Entonces

lımt→to

f(t) = L = (l1, l2, ..., ln) ∈ Rn si y solo si lımt→to

fi(t) = li ∀i = 1, 2, ..., n

Prueba Ver [7]

Ejemplo 1.1.8.

Calcule si existe lımt→0

(e2t − 1

Ln(1− 4t),

sen23t

Ln2(1 + 2t)

)

Solucion

Aplicando L’Hopital se tiene:

lımt→0

e2t − 1

Ln(1− 4t)= lım

t→0

2e2t

−41−4t

= −1

2

lımt→0

sen23t

Ln2(1 + 2t)= lım

t→0

6cos(3t) sen(3t)

2Ln(1 + 2t) 21+2t

= lımt→0

3sen(6t) (1 + 2t)

4Ln(1 + 2t)

= lımt→0

18cos(6t) (1 + 2t) + 3sen(6t) 28

1+2t

=9

4


Por lo tanto:

lımt→0

(e2t − 1

Ln(1− 4t),

sen23t

Ln2(1 + 2t)

)=

(−1

2,9

4

)

Definicion 1.1.3. Si f y g son funciones vectoriales de variable real con rango en Rn y

dominios Dom f y Domg en R, entonces f + g , f − g , f × g (solo cuando n = 3) son

funciones vectoriales y f.g es una funcion escalar, cuyos dominios son Dom f ∩Domg y

sus reglas de correspondencia son:

1. (f ± g)(t) = f(t)± g(t)

2. (f.g)(t) = f(t).g(t)

3. (f × g)(t) = f(t)× g(t) (definida solo en R3)

Si ϕ es una funcion real de una variable real entonces la funcion ϕf se define como:

(ϕ f)(t) = ϕ(t) f(t) , ∀t ∈ Dom(ϕf) = Dom ϕ ∩Dom f

Teorema 1.1.2. Si f y g son funciones vectoriales tales que lımt→to

f(t) = B y lımt→to

g(t) = C

donde to es punto de acumulacion de Dom f ∩Dom g, entonces:

1. lımt→to

(f ± g)(t) = B ± C

2. lımt→to

(f.g)(t) = B.C

3. lımt→to

(f × g)(t) = B × C

4. Si f es una funcion vectorial y ϕ una funcion real talque lımt→to

f(t) = B y lımt→to

ϕ(t) = k

donde to es punto de acumulacion de Dom f ∩Dom ϕ, entonces: lımt→to

(ϕf)(t) = k B

Prueba Ver [1]

EJERCICIOS DE APLICACION

1. Trace las curvas representadas por las siguientes ecuaciones parametricas y encuentre

las sus ecuaciones cartesianas:

a) x = t2 , y = 6− 3t

b) x = et , y = e−t

c) x = cosht , y = senht

2. Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones parametricas x = t2 ,

y = t3 − ct. ¿Como cambia la forma al aumentar c?. Ilustre la respuesta graficando

varios miembros de la familia.


3. Las curvas de catastrofe de cola de milano se definen mediante las ecuaciones

parametricas x = t2 , y = t3 − ct. Grafica varias de ellas. ¿Que caracteristicas

tienen en comun? ¿Como cambian cuando aumenta c?

4. Las curvas cuyas ecuaciones son x = asen(nt) , y = bcost se denominan figuras

figuras de Lissajous. Investigue como varıan al cambiar a, b y n (n es un entero

positivo).

5. Un par de trayectorias de [0,∞) en R3 se definen por c(t) = (cost, sint, bt) y r(t) =

(1, 0, t). Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Se intersectan las curvas generadas por c(t) y r(t)?

b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partıculas. ¿En

que puntos ,si los hay, estas partıculas se encuentran?

b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partıculas. ¿En

que puntos ,si los hay, estas partıculas se encuentran?

6. Sea C la curva descrita por la funcion α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4) , t ∈ R. Trace la

grafica de la curva C indicando, si existen, simetrıa, puntos dobles y asıntotas.

7. Sea C la curva descrita por f(t) = ( 11−t

,√

5t− 1, t√2). Pruebe por definicion que

lımt→2

f(t) = (−1, 3,2√2)

8. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales:

a) f(t) = (Ln(4− t2),√

t2 − 3t + 2)

b) f(t) = (e−t, Ln(4− t)2, t Ln( 2t−3

))

c) f(t) = (−t√

9− t2, tt−3

, Ln(2 + t))

9. Demuestre por definicion los siguientes lımites:

a) lımt→2

(2t ,t3 − 2t2

t− 2) = (4, 4)

b) lımt→2

(2t ,t3 − 2t2

t− 2,

sen(t− 2)

t− 2) = (4, 4, 1)

c) lımt→0+

(√

t sen(1

t) ,

3√

t cos(1

t) ,

5√

t) = (0, 0, 0)

10. Sea C la curva descrita por la funcion f(t) =

(t, t2, 3

√1− t2

25− t4

16

)

a) Trace la curva C.


b) Pruebe por definicion que lımt→0

f(t) = (0, 0, 3)

11. Usando la definicion de limite demuestre que:

lımt→2

(t,√

t (2− t),√

2 (2− t)) = (2, 0, 0)

12. Calcule si existe los siguientes limites:

a) lımt→1+

(1− [|t|] , 1 + cosπt

1− t,√

t− 1)

b) lımt→1/2

(t4 ,√

5t2 + 1 ,t4 sen3(π [|t|])

t6 + 1)

c) lımt→1

(1

2− t,

4√

1− [|t|]t [|2t− 1|] , [|t|])

1.1.3. Continuidad de funciones vectoriales de variable real

Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion definida en un subconjunto I de R. Se dice que f es

continua en el punto to ∈ I si y solo si

∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Dom f ∧ | t− to |< δ ⇒ ‖ f(t)− L ‖< ε

En particular, si to ∈ I es un punto de acumulacion de I entonces f es continua en to si

y solo si

lımt→to

f(t) = f(to)

NOTA 1.1.1.

Si to ∈ I no es punto de acumulacion de I entonces f es continua en to.

Teorema 1.1.3.

Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion definida en un subconjunto I de R. Se dice que f es

continua en el punto to ∈ I si y solo si sus funciones coordenadas fi , ∀i = 1, 2, ..., n son

continuas en to.

Ejemplo 1.1.9.

Sea f(t) =(t3, ‖sen2(π t

2)‖, t− ‖t‖2

) ∀ t ∈ [−1, 1]

1. Determine los puntos de discontinuidad.

2. ¿Es posible redefinir f en dichos puntos de discontinuidad de tal forma que sea

continua?


Solucion

Desarrollando los maximos enteros en f , se tiene:

f(t) =

(−1, 1, 2) t = −1

(t3, 0, t− 1), −1 < t < 0

(t3, 0, t), 0 ≤ t < 1

(1, 1, 0), t = 1

1). i) ¿Es f continua en t = −1?

lımt→−1+

(t3, 0, t− 1) = (−1, 0,−2) 6= (−1, 1,−2) = f(−1)

Entonce f es discontinua (evitable) en t = −1.

ii) ¿Es f continua en t = 0?

lımt→0−

(t3, 0, t− 1) = (0, 0,−1)

lımt→0+

(t3, 0, t) = (0, 0, 0)

Entonce f es discontinua (discontinuidad de primera especie) en t = 0.

iii) ¿Es f continua en t = 1?

lımt→1−

(t3, 0, t) = (1, 0, 1) 6= (1, 1, 0) = f(1)

Entonce f es discontinua (evitable) en t = 1.

2). la funcion f solo se puede redefinir en t = −1 y en t = 1, de tal forma que sea

continua. Esto es:

f ∗(t) =

(−1, 0,−2) t = −1

(t3, 0, t− 1), −1 ≤ t < 0

f ∗(t) =

(1, 0, 1) t = 1

(t3, 0, t), −1 < t ≤ 0

Teorema 1.1.4. Sea ϕ : J → I una funcion real donde J, I ⊂ R y f : I → Rn una

funcion vectorial de variable real. Si ϕ es continua en to ∈ J y f es continua en ϕ(to) ∈ I

entonces f ◦ ϕ es continua en to.

Teorema 1.1.5. Si las funciones vectoriales f , g : I ⊂ R → Rn son continuas en to,

entonces f ± g , f.g y f × g (solo cuando n = 3) son tambien continuas en to. Lo

reciproco no es cierto.


Figura 1.7: Grafica de la funcion f(t) =(t3, ‖sen2(π t

2 )‖, t− ‖t‖2) ∀ t ∈ [−1, 1]

Ejemplo 1.1.10. Dadas las funciones:

f(t) =

(sent, Ln(t + 1), sent

t

), t ∈ 〈−1, 1〉 − {0}

(0, 1, 1), t = 0y

g(t) =

(t, t

sent, Ln(t + 1)

), t ∈ 〈−1, 1〉 − {0}

(0, 1, 0), t = 0

¿Son las funciones f , g y f × g continuas en t = 0?

Solucion

i) ¿Es f continua en t = 0?

lımt→0

(sent, Ln(t + 1),

sent

t

)= (0, 0, 1) 6= (0, 1, 1) = f(0)

Por lo tanto f no es continua en t = 0

ii) ¿Es g continua en t = 0?

lımt→0

(t,

t

sent, Ln(t + 1)

)= (0, 1, 0) = g(0)

Por lo tanto g es continua en t = 0

Notemos que este caso el ultimo teorema no concluye nada a cerca de la continuidad

de f × g en t = 0, ya que f no es continua en t = 0.

iii) ¿Es f × g continua en t = 0?

Primero definamos f × g:

f(t)×g(t) =

(Ln2(t + 1)− 1, sent− sent Ln(t + 1), t− t Ln(t + 1)) , t ∈ 〈−1, 1〉 − {0}(−1, 0, 0), t = 0

Ahora calculemos:

lımt→0

(Ln2(t + 1)− 1, sent− sent Ln(t + 1), t− t Ln(t + 1)

)= (−1, 0, 0) = (f × g)(0)


Por lo tanto f × g es continua en t = 0.

1.1.4. Derivacion de una funcion vectorial de variable real

Definicion 1.1.4. Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion vectorial definida en un intervalo I y

to ∈ I un punto de acumulacion de I. Decimos que f es derivable en to, si y solo si existe

lımt→to

f(t)− f(to)

t− to. En caso afirmativo, denotamos por f ′(to) a este limite y le llamaremos

DERIVADA de f en to.

f ′(to) = lımt→to

f(t)− f(to)

t− to

Observacion 1.1.1. 1. Decimos que f es diferenciable en J ⊂ I si y solo si f es

derivable en todos los puntos to ∈ J .

2. Si f es derivable en J ⊂ I, podemos definir la funcion

f ′ : J → Rn

t → f ′(t)

3. f ′(to) = lımt→to

f(t)− f(to)

t− to= lım

h→0

f(to + h)− f(to)

h

1.1.5. Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion vectorial de

variable real

Figura 1.8: Interpretacion geometrica de la derivada

La derivada de f en to es interpretada como el vector direccion de la recta tangente a

la curva f en el punto f(to) siempre que f ′(to) 6= 0.

El vector f(to+h)−f(to)h

tiene la direccion de la recta secante Ls, a la curva definida por

f . Cuando h → 0 , f(to+h)−f(to)h

→ f ′(to), es decir cuando h → 0 la recta secante Ls toma


una posicion limite que es la recta tangente Lt a la curva f en el punto f(to), cuyo vector

direccional es f ′(to).

lımh→0

f(to + h)− f(to)

h= f ′(to)

A f ′(to) se le llama vector tangente a la curva en el punto f(to) siempre que f ′(to) 6= 0.

Si f es derivable en to y f ′(to) 6= 0, la recta tangente a la curva f en el punto f(to) es

definida por:

Lt = {f(to) + t f ′(to) : t ∈ R}

la derivada de f en to se interpreta fısicamente como la velocidad de una partıcula cuyo

movimiento es descrito por la funcion vectorial (funcion posicion) f = f(t) en el instante

t = to. En este caso f ′(to) es llamado vector velocidad de f en el instante t = to y su

magnitud ‖ f ′(to) ‖ es llamada rapidez de f en el instante t = to.

Las siguientes son notaciones usuales para la derivada de f en to:

df

dt(to) , D f(to) , f(to)

Teorema 1.1.6.

Sea f = (f1, f2, ...fn) : I → Rn una funcion vectorial definida en el intervalo abierto

I ⊂ R y to ∈ I. Se dice quef es derivable en to si y solo si fi son derivables en

to , ∀i = 1, 2, ...n. En este caso:

f ′(to) = (f ′1(to), f′2(to), ...f

′n(to)).

Definicion 1.1.5. Se dice que la funcion vectorial f : I ⊂ R→ Rn derivable es de clase

C1 si f ′ es continua en I. En general decimos que f es de clase Ck en I (k ≥ 2) si y solo

si f (k−1) : I → Rn es derivable en I y fk es continua en I.

Teorema 1.1.7.

Si la funcion f es derivable en to entonces es f es continua en to.

Teorema 1.1.8.

Si f , g y ϕ son derivables sobre [a, b], entonces f ± g , f.g , ϕ f y f × g son

tambien diferenciables sobre [a, b] y

1. (f ± g)′ = f ′ ± g′

2. (f.g)′ = f ′.g + f.g′


3. (f × g)′ = f ′ × g + f × g′

4. (ϕf)′ = ϕ′ f + ϕf ′ (ϕ es una funcion escalar).

1.1.6. La diferencial

Sea la funcion f : [a, b] → Rn. Si definimos

Figura 1.9: Interpretacion geometrica de la diferencial

ϕ(to; h) =

f(to+h)−f(to)h

− f ′(to), si h 6= 0

0, si h = 0

entonces se puede escribir:

4f(to; h) = f(to + h)− f(to) = h f ′(to) + h ϕ(to; h)

Definicion 1.1.6. Al vector h f ′(to) se le llama el diferencial de la funcion f en to para

el incremento h y se denota por:

df(to; h) = h f ′(to)

Como ϕ(to; h) = 0 entonces para pequenos incrementos h, el diferencial es una aproxi-

macion para el incremento de f , esto es, 4f(to; h) ≈ df(to; h). Si usamos dt en vez de h

y df en vez de df(to; h), podemos escribir:

df = f ′(to)dt

Si f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t)) entonces df = (df1, df2, ...dfn).

Teorema 1.1.9.

Se cumplen los siguientes resultados:


1. d(f ± g) = df ± dg

2. d(f.g) = f.dg + df.g

3. d(f × g) = f × dg + df × g

4. d(φ f) = φ df + (dφ)f

5. d(f ◦ φ) = (f ◦ φ)′dφ

1.1.7. Integracion de una funcion vectorial de variable real

Si f = (f1, f2, ...fn) es una funcion vectorial definida sobre [a, b] entonces

∫ b

a

f(t)dt =

(∫ b

a

f1(t)dt,

∫ b

a

f2(t)dt, ...,

∫ b

a

fn(t)dt

)

Esta integral existe si cada una de las integrales

∫ b

a

fi(t)dt existe para todo i = 1, 2, ..., n.

NOTA 1.1.2.

La integral indefinida de una funcion vectorial f se define como:∫

f(t)dt = g(t) + C si g′(t) = f(t) y C : es un vector constante

Teorema 1.1.10.

Primer teorema fundamental del calculo

Sea f(t) = (f1(t), f2(t), ...fn(t)) continua sobre un intervalo I y sea to ∈ I entonces

d

dt

∫ t

to

f(u)du = f(t) t ∈ I

Teorema 1.1.11.

Segundo teorema fundamental del calculo

Si f(t) = (f1(t), f2(t), ...fn(t)) tiene derivadas continuas sobre un intervalo I entonces

para todo a, b ∈ I ∫ b

a

f ′(t)dt = f(b)− f(a)

Ejemplo 1.1.11. Usando diferenciales halle el valor aproximado de la rapidez de una

partıcula en el instante t = 1, 4 seg.. Si para cualquier instante t:

V ′(t) = (−π2sen(πt), πcos(πt), 2π t e1−t2)

y V (0) = (π, 0,−πe)

1.2. CURVAS REGULARES 18

Solucion

Integrando y usando el segundo teorema fundamental del calculo se tiene:∫ t

0

V ′(u)du =

∫ t

0

(−π2sen(πu), πcos(πu), 2π u e1−u2

)du

V (t)− V (0) =

(∫ t

0

−π2sen(πu)du,

∫ t

0

πcos(πu)du,

∫ t

0

2π u e1−u2

du

)

V (t)− (π, 0,−πe) = (π cos(π t)− π, sen(π t),−π e1−t2 + π e)

V (t) = (π cos(π t), sen(π t),−π e1−t2)

Haciendo V (1, 4) = V (1 + 0, 4), consideremos to = 1 y h = 0, 4 para usar diferenciales

V (to + h)− V (to) ≈ hV ′(to)

Luego

V (1 + 0, 4) ≈ v(1) + h V ′(1)

V (1, 4) ≈ (−π, 0,−π) + (0, 4) (0,−π, 2π)

≈ (−π,−0, 4π,−0, 2π)

Finalmente el valor aproximado de la rapidez es:

‖ V (1, 4) ‖≈√

1, 2 π

1.2. Curvas regulares

Definicion 1.2.1. Se dice que una curva C ⊂ Rn es una curva parametrizada, si existe una

funcion vectorial α : [a, b] → Rn tal que α([a, b]) = C.A la funcion α(t) = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)) se le llama parametrizacion de la curva C[3].

Ejemplo 1.2.1. Sea C una curva originada por la interseccion del cilindro

(x− 2)2 + y2 = 4 y el plano x + z = 4.¿ Es C una curva parametrizada?

Solucion

De la ecuacion del cilindro se tiene que x = 2+2cos(t) e y = 2sen(t). Luego reemplazan-

do estos resultados en la ecuacion del plano x+z = 4 obtenemos z = 2−2cos(t). Entonces

la curva C esta parametrizada por la funcion vectorial α(t) = (2 + 2cos(t), 2sen(t), 2 −2cos(t)) para todo t ∈ [0, 2π]

Definicion 1.2.2. Sea C ⊂ Rn una curva parametrizada por α : [a, b] → Rn.

1.2. CURVAS REGULARES 19

Figura 1.10: Interseccion del

cilindro con el plano

Figura 1.11: Grafica de la curva

C

1. Se dice que C es una curva con puntos dobles si: α(t1) = α2(t), t1 6= t2

2. Se dice que C es una curva simple si no posee puntos dobles

3. Se dice que C es una curva cerrada si: α(a) = α(b)

4. Se dice que C es una curva regular, si α(t) es de clase C ′ y α′(t) 6= 0 , ∀ t ∈ [a, b].

NOTA 1.2.1.

Una curva regular es aquella curva que admite rectas tangentes en todos los puntos

α(t) para todo t ∈ Domα.

Ejemplo 1.2.2. ¿la curva C definida por f(t) = (t3− 4t, t2− 4) es una curva con puntos

dobles?. ¿Es regular?

Solucion

f(t1) = f(t2) entonces (t31 − 4t1, t21 − 4) = (t32 − 4t2, t

22 − 4) Luego

t31 − 4t1 = t32 − 4t2 (1.1)

t21 − 4 = t22 − 4 (1.2)

De (2) se tiene que t1 = t2 o t1 = −t2. El primer resultado no se considera ya que estamos

buscando puntos dobles. Luego reemplazando t1 = −t2 en (1) se tiene que: t = 0 o t2 = 2

o t2 = −2. Luego consideramos como t1 = 2 y t2 = −2. Por lo tanto C es una curva con

puntos dobles.

Finalmente veamos la regularidad de C.

f ′(t) = (3t2 − 4, 2t), luego f ′(t) 6= 0 para todo t ∈ Domf = R y f ∈ C1. por lo tanto

C es una curva regular.

1.3. REPARAMETRIZACION DE UNA CURVA PARAMETRIZADA 20


1.3. Reparametrizacion de una curva parametrizada

Definicion 1.3.1. Sea λ : [a, b] → Rn la parametrizacion de la curva C. Decimos que

µ : [c, d] → Rn es una repametrizacion de λ si y solo si existe una funcion ϕ : [a, b] → [c, d]

monotona y sobreyectiva tal que λ = µ ◦ ϕ

Ejemplo 1.3.1. Reparametrice la curva C definida por la funcion

λ(t) = (cos(t), sen(t)) , t ∈ [0, 2π],

de tal menera que este definida sobre el intervalo [0, 1] y que:

1. mantenga su orientacion

2. invierta la orientacion.

Solucion

1. Definamos ϕ(t) = t2π

y notemos que ϕ es una funcion sobreyectiva y monotona

creciente (ϕ′(t) > 0). Como λ(t) = µ(ϕ(t)) V λ(t) = µ(k) y dado que t = 2πk se

tiene:

µ(k) = (cos(2πk), sen(2πk)) , k ∈ [0, 1]



2. Definamos ϕ(t) = 1 − t2π

y notemos que ϕ es una funcion sobreyectiva y monotona

decreciente (ϕ′(t) < 0). Como λ(t) = µ(ϕ(t)) V λ(t) = µ(k) y dado que t = 2π−2πk

se tiene:

µ(k) = (cos(2πk),−sen(2πk)) , k ∈ [0, 1]


1.3.1. Longitud de arco

Definicion 1.3.2. Si C es la curva definida por la funcion vectorial

α(t) = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)) y α′1, α′2, ..., α

′n son continuas en el intervalo cerrado [a, b]

entonces si L unidades es la longitud de arco de la curva medida desde el punto f(a) hasta

el punto f(b),

L =

∫ b

a

‖ α′(t) ‖ dt

Ejemplo 1.3.2. Halle la longitud de la curva C descrita por funcion

f(t) = (−cos(t), 0) , t ∈ [π

2,3π

2]

Solucion

Se tiene que

L =

∫ b

a

‖ f ′(t) ‖ dt =

∫ 3π2

π2

| sen(t) | dt =

∫ π

π2

sen(t)dt−∫ 3π

2

π

sen(t)dt = 2

observemos que la traza del la curva C es el segmento de recta cuya longitud es 1. Este

ejemplo nos demuestra en general, que la longitud de arco de una curva no es la longitud

de su traza.

NOTA 1.3.1.


Figura 1.15: Traza de f

La curva C descrita por la funcion λ(t) = (t, φ(t)) , ∀t ∈ [0, 1] donde

φ(t) =

tsen( π2t

) si t 6= 0

0 si t = 0

es una curva que no se puede hallar su longitud de arco, ya que es una curva que no es

de clase C1.

Figura 1.16: Traza de λ

1.3.2. Longitud de arco como parametro

Sea C la curva en R3 definida por la funcion vectorial

α(t) = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)). Si α es de clase C1 entonces se dice que dentro de di-

cho intervalo C es rectificable (esto es, la longitud de su arco entre dos puntos puede

medirse). Si s unidades es la longitud de arco medida desde un punto arbitrario α(t0)

hasta un punto cualquiera α(t), de tal manera que s aumenta cuando t aumenta, entonces

s =

∫ t

t0

‖ α′(u) ‖ du

Asi s sera positivo si la longitud de arco mide en la direccion en que t aumenta y s sera

negativo si se mide en la direccion en que t disminuye. por lo tanto s es una distancia

dirigida. A cada valor de s le corresponde un unico punto P de la curva C. En consecuencia,

las coordenadas de P son funciones de s y s es funcion de t. Entonces la curva puede

definirse por una funcion vectorial del parametro s.

1.4. VECTORES TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL 23

Teorema 1.3.1. Sea µ : [c, d] → Rn una funcion vectorial de clase C1 en [c, d]. Las

siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. µ es parametrizado por longitud de arco.

2. ‖µ′(s)‖ = 1 para todo s ∈ [c, d]

1 ⇔ 2

Ejemplo 1.3.3. Sea C la curva descrita por la funcion

f(t) = (acos(kt), asen(kt), bkt) k > 0 , t ≥ 0

describe la curva C en terminos de la longitud de arco.

Solucion

f ′(t) = (−aksen(kt), akcos(kt), bk)

‖f ′(t)‖ =√

a2k2 + b2k2

s =

∫ t

0

‖f ′(u)‖du = k√

a2 + b2t V t =s

k√

a2 + b2∀s ≥ 0

Ası,

µ(s) = (acos(s√

a2 + b2), asen(

s√a2 + b2

),sb√

a2 + b2)

(se verifica, ‖µ′(s)‖ = 1).

1.4. Vectores Tangente unitario, Normal principal y Binormal

Sea f : [a, b] → R3 una curva regular sobre [a, b] definida por f(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Es decir f ′(t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b].

1.4.1. Vector tangente

Definicion 1.4.1. 1. El vector f ′(t) es el vector tangente a la curva C en el punto f(t)

y sigue la direccion de la curva.

2. El vector T (t) = f ′(t)‖f ′(t)‖ es el vector tangente unitario en el punto f(t)

Observacion 1.4.1.

1. Como s(t) =∫ t

0‖f ′(u)‖du , ∀t ∈ [a, b] es la longitud de arco entonces T (t) = f ′(t)

s′(t)

luego f ′(t) = T (t)s′(t)


Figura 1.17:

2. Se cumple T ′(t) es ortogonal al vector T (t), esto es, T ′(t).T (t) = 0. En efecto como

T es unitario,

‖T‖ = 1 ⇒ ‖T‖2 = 1 ⇒ T.T = 1

Luego derivando se tiene:

T ′.T + T.T ′ = 0 ⇒ T ′.T = 0 ∀t ∈ [a, b]

3. Si para algun t0, f ′(t0) = 0 entonces:

T (t0) = lımt→t0

f ′(t)‖f ′(t)‖ = lım

t→t0T (t)

si existe el limite.

1.4.2. Vector normal

Definicion 1.4.2. 1. Cualquier vector que pasa por el punto f(t) de una curva C y es

ortogonal a la tangente f ′(t) en ese punto, se llama normal a la curva.

2. El vector T ′(t) se llama normal principal a la curva C en el punto f(t).

3. Si T ′(t) 6= 0 entonces N(t) = T ′(t)‖T ′(t)‖ es el vector unitario normal principal.

Observacion 1.4.2.

1. Considerando el parametro t como tiempo, si derivamos f ′(t) = T (t)s′(t) se tiene el

vector aceleracion

f ′′(t) = s′′(t)T (t) + s′(t)T ′(t)

y como T ′(t) = N(t)‖T ′(t)‖, se tiene

f ′′(t) = s′′(t)T (t) + s′(t)‖T ′(t)‖N(t)

Esta ultima ecuacion expresa el vector aceleracion como una combinacion lineal de

los vectores T y N . Geometricamente f ′′ se encuentra en el plano determinado por

T y N .


2. La componente tangencial del vector aceleracion es: aT = s′′ = f ′.f ′′‖f ′‖

3. La componente normal del vector aceleracion es aN = s′‖T ′‖

Figura 1.18:

1.4.3. Vector binormal

Definicion 1.4.3. Se llama vector binormal al vector B(t) = T (t)×N(t).

Figura 1.19:

NOTA 1.4.1. 1. El plano que pasa por f(t0) determinado por los vectores T (t0) y N(t0)

se llama plano osculador de C en f(t0) y su ecuacion es:

B(t0)((x, y, z)− f(t0)) = 0

2. El plano que pasa por f(t0) determinado por los vectores N(t0) y B(t0) se llama

plano normal de C en f(t0) y su ecuacion es:

T (t0)((x, y, z)− f(t0)) = 0

3. El plano que pasa por f(t0) determinado por los vectores B(t0) y T (t0) se llama

plano rectificante de C en f(t0) y su ecuacion es:

N(t0)((x, y, z)− f(t0)) = 0


4. En cada punto f(t) de C los vectores T (t), N(t) y B(t) forman una basa ortonormal

de R3

Teorema 1.4.1. Si C es una curva en R3 descrita por f entonces

a) B(t) =f ′(t)× f ′′(t)‖f ′(t)× f ′′(t)‖ b) N(t) = B(t)× T (t) =

(f ′(t)× f ′′(t))× f ′(t)‖(f ′(t)× f ′′(t))× f ′(t)‖

Ejemplo 1.4.1. El plano osculador de la curva C :

y =√

x

z = x2en el punto (1,1,1), corta

al cilindro x2 + y2 = 1 determinando la curva D. Halle los vectores T , N y B de D en el

punto (0,1,-5).

Solucion

Primero hallemos el plano osculador Posc : ((x, y, z) − f(to)) B(to) = 0 de la curva C

en el punto (1,1,1). Para esto parametricemos la curva C por: x = t , y =√

t , z = t2,

luego C esta representado por la funcion vectorial f(t) = (t,√

t, t2).

El valor de to se obtiene de f(to) = (1, 1, 1). Entonces to = 1.

Por otro lado

f ′(t) = (1, 12√

t, 2t) ⇒ f ′(1) = (1, 1/2, 2)

f ′′(t) = (0,− t−3/2

4, 2) ⇒ f ′′(1) = (1,−1/4, 2)

B(1) = f ′(1)×f ′′(1)‖f ′(1)×f ′′(1)‖ = 2√

87(6,−8,−1)

Reemplazando este ultimo resultado en la ecuacion del plano osculador se tiene:

Posc : ((x, y, z)− (1, 1, 1))2√87

(6,−8,−1) = 0 ⇒ 6x− 8y − z + 3 = 0

Determinemos ahora la curva D, que es la interseccion del plano osculador con el

cilindro: x2 + y2 = 1.

D = Posc ∩Cilindro :

6x− 8y − z + 3 = 0

x2 + y2 = 1⇒ α(t) = (cost, sent, 6cost− 8sent + 3)

De α(to) = (0, 1,−5) se tiene to = π/2. Luego:

α′(t) = (−sent, cost,−6sent− 8cost) ⇒ α′(π/2) = (−1, 0,−6)

α′′(t) = (−cost,−sent,−6cost + 8sent) ⇒ α′′(π/2) = (0,−1, 8)

α′(π/2)× α′′(π/2) = (−6, 8, 1)

(α′(π/2)× α′′(π/2))× α′(π/2) = (−48,−37, 8)

Finalmente

T (π/2) = α′(π/2)‖α′(π/2)‖ = 1√

37(−1, 0,−6)

N(π/2) = (α′(π/2)×α′′(π/2))×α′(π/2)‖(α′(π/2)×α′′(π/2))×α′(π/2)‖ = 1√

3737(−48,−37, 8)

B(π/2) = α′(π/2)×α′′(π/2)‖α′(π/2)×α′′(π/2)‖ = 1√

101(−6, 8, 1)

1.5. CURVATURA Y TORSION 27

Figura 1.20:

1.5. Curvatura y Torsion

Uno de los problemas fundamentales de la geometrıa es determinar con exactitud cuan-

tificandolos, los elementos geometricos que distinguen unas figuras de otras. Por ejemplo,

los segmentos de recta quedan determinados unicamente por su longitud, las circunfer-

encias por su radio etc. Se demuestra que estos problemas se pueden resolver en general

para curvas regulares suficientemente suaves. Veremos que una curva regular viene deter-

minada por solo dos cantidades escalares llamadas curvatura y torsion, las cuales se

expresan como funciones del parametro natural(longitud de arco).

Podemos imaginar la traza de una curva R3 como el resultado de someter una recta a

un proceso de combamiento (curvatura) y otro de atornillamiento (torsion) [3] .

1.5.1. Curvatura

La idea general que se persigue en el estudio de la curvatura de una curva es la de

medir la rapidez con que la curva se aleja de su recta tangente en un punto P dado de

ella. En terminos generales a esta rapidez se llama curvatura de la curva en el punto P .

Figura 1.21: La curvatura es

pequena

Figura 1.22: La cur-

vatura es grande.

Al estudiar la curvatura de una curva en un punto P de ella nos interesa tener infor-

macion sobre la variacion del vector tangente f(t) en el punto P . Por su puesto solo la


variacion en la direccion de f ′(t) y no su magnitud.

Sea f : [a, b] → R3 un camino regular en [a, b]

Eligiendo dos puntos: f(t0) y f(t) de la curva C con sus respectivos vectores tangentes

unitarios T (t) y T (t), nos interesa estudiar la razon∥∥∥∥T (t)− T (t0)

s(t)− s(t0)

∥∥∥∥ (1.3)

que es el cambio promedio de direccion por unidad de distancia.

Figura 1.23:

La razon (3) es la medida de cuanto se curva la curva C y la razon instantanea se

obtiene tomando el limite cuando t se aproxima a t0. Ası

lımt→t0

∥∥∥T (t)−T (t0)t−t0

∥∥∥| s(t)−s(t0)

t−t0|

=‖T ′(t0)‖| s′(t0) | =

‖T ′(t0)‖‖f ′(t0)‖

El numero K(t0) =‖T ′(t0)‖‖f ′(t0)‖ se llama curvatura de C en el punto f(t0).

Ejemplo 1.5.1. Halle la curvatura de la recta L : P = Po + t~a , t ∈ R.

Solucion

Representemos la recta L por la funcion vectorial f(t) = Po + t~a , ∀t ∈ R.

Se tiene que T (t) = f ′(t)‖f ′(t)‖ =

−→a‖−→a ‖ . Luego T ′(t) =

−→0 .

Entonces K(t) = ‖T ′(t)‖‖f ′(t)‖ = 0 , ∀ t ∈ R.

De este ultimo resultado podemos concluir, las curvas de curvatura cero son rec-

tas.

Ejemplo 1.5.2. Halle la curvatura de la circunferencia x2 + y2 = R2.

Solucion

Sea f(t) = (Rcost, Rsent) , ∀ t ∈ [0, 2π] la funcion vectorial que representa a la

circunferencia x2 + y2 = R2.


Se tiene que f ′(t) = (−Rsent, Rcost) , T (t) = (cost, sent) y T ′(t) = (−sent, cost).

Luego K(t) = 1R∀ t ∈ [0, 2π].

De este ultimo resultado se concluye que la circunferencia tiene curvatura con-

stante y es inversamente proporcional al radio de la circunferencia.

Definicion 1.5.1. El vector−→K (t) =

T ′(t)‖f ′(t)‖ se denomina vector curvatura en el punto

f(t). El escalar K = ‖−→K (t)‖ se llama curvatura

Teorema 1.5.1. Si f : I ⊂ R→ R3 es una curva regular con segunda derivada continua

entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:

K =‖f ′ × f ′′‖‖f ′‖3

(1.4)

Teorema 1.5.2. Si f : I ⊂ R→ R2 es una curva regular con segunda derivada dada por

f(t) = (x(t), y(t)) entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:

K =| x′ y′′ − x′′ y′ |(x′2 + y′2)3/2

(1.5)

Teorema 1.5.3. Si una curva C esta definida por la funcion polar g : [α, β] → R que

tiene segunda derivada entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:

K =| g′ + 2g′2 − g g′′ |

(g2 + g′2)3/2(1.6)

Teorema 1.5.4. Si una curva C es la grafica de la funcion real de variable real y = h(x)

que tiene segunda derivada entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:

K =| h′′ |

(1 + h′2)3/2(1.7)

Ejemplo 1.5.3. Sea Γ la curva de ecuaciones parametricas

x = 3t , y = 3 t2 , z = t3 ∀ t ∈ R

Sea Γ∗ la curva de interseccion de las rectas tangentes a Γ con el plano osculador de la

curva Γ en el punto (3,3,1). Calcule la curvatura de la curva Γ∗.

Solucion

Primero hallemos el plano osculador

NOTA 1.5.1.

Observemos que la curvatura de un camino tal como ha sido definida, es siempre un

numero no negativo. Sin embargo en el caso de curvas en R2, es posible asociar un signo

a la curvatura .


Figura 1.24:

Si f : J ⊂ R → R2 es la reparametrizacion de f por longitud de arco, el vector

T (s) = f ′(s) es un vector unitario para toda s ∈ J .

Considerando el vector unitario N(s) que se obtiene al girar el vector T (s) un angulo

de π2

en sentido antihorario. Tenemos asi que los vectores T ′(s) y N(s) son ortogonales

a T (s), y por lo tanto colineales, de modo que para cada s ∈ J , existe un numero K(s)

bien definido

T ′(s) = f ′′(s) = K(s) N(s)

a este numero K(s) lo llamaremos curvatura de f en s.

1.5.2. Cırculo de Curvatura

Definicion 1.5.2. Sea f : I ⊂ R → R2 la funcion que describe la curva regular C dos

veces diferenciable para los puntos f(t) en los cuales K(t) 6= 0. Se definen:

Figura 1.25:

1. El radio de curvatura ρ(t) de la curva C en el punto f(t) por

ρ(t) =1

K(t)

2. El centro de curvatura de la curva C en el punto f(t) por

C(t) = f(t) + ρ(t) N(t)


3. El circulo de curvatura de C, corresponde a f(t) es la circunferencia de radio ρ y

centro el centro de curvatura.

Ejemplo 1.5.4. Se llama EVOLUTA de una curva parametrizada regular con curvatura

no nula, al lugar geometrico de los centros de curvatura. Halle la evoluta de la helice

α(s) = (√

22

cos(s),√

22

sen(s),√

22

s) y compruebe que es regular y que s es su parametro

longitud de arco.

Solucion

La evoluta de la helice esta dada por: C(s) = α(s) + ρ(s) N(s) donde debemos notar

que el parametro s no es necesariamente el parametro longitud de arco para la evoluta

(por probar), pero si es parametro longitud de arco para la helice.

Primero probemos que s es parametro longitud de arco para la helice.

‖ α′(s) ‖=‖(−√2

2sen(s),

√2

2cos(s),

√2

2

)‖= 1

Como s es parametro longitud de arco para la helice, se tiene que:

K(s) =‖ T ′(s) ‖=‖ α′ ′(s) ‖=‖(−√2

2cos(s),−

√2

2sen(s), 0

)‖=

√2

2

Luego ρ(s) = 1K(s)

=√

2. Del hecho que T ′(s) = K(s) N(s) se tiene:

N(s) = (−cos(s),−sen(s), 0)

Figura 1.26: grafica de la helice (rojo) y su evoluta (azul)

Finalmente reemplazando los resultados anteriores se tiene:

C(s) = α(s) + ρ(s) N(s) =

(−√

2

2cos(s),−

√2

2sen(s),

√2

2s

)

Se verifica que C(s) es regular, pues C(s) es de clase C1 y C ′(s) 6= (0, 0, 0) para todo

s ≥ 0. Tambien se verifica que s es parametro longitud de arco de la evoluta, en efecto:

|| C ′(s) ||=||(√

2

2sen(s),−

√2

2cos(s),

√2

2

)||= 1


1.5.3. Torsion

Ahora centraremos nuestra atencion en la rapidez con que una curva se aleja de su

plano osculador en la vecindad de un punto dado de ella. Esta rapidez esta relacionada

(directamente) con el concepto de torsion

Figura 1.27: La curva C2 tiene mas torsion que la curva C1 en P .

La idea intuitiva del concepto de torsion es la medida de cuanto se tuerce la curva.

Definicion 1.5.3. Sea f : I ⊂ R → R3 la parametrizacion de la curva regular C. La

torsion es un numero real que indica el levantamiento de la curva C en un punto f(t0)

respecto de su plano osculador en dicho punto. Este valor esta determinado por la razon

de cambio instantaneo del vector binormal respecto a la longitud de arco

lımt→t0

∥∥∥B(t)−B(t0)t−t0

∥∥∥| s(t)−s(t0)

t−t0|

=‖B′(t0)‖| s′(t0) | =

‖B′(t0)‖‖f ′(t0)‖

Como el vectorB′

s′es paralelo al vector normal principal N [ver observacion a seguir],

esto es,B′

s′es igual a N multiplicado por un numero real; al opuesto de este numero real se

denomina torsion de la curva C en f(t) y denotaremos por τ es decir,B′(t)s′(t)

= −τ(t) N(t).

Luego

B′(t) = −τ(t) s′(t) N(t) (1.8)

Observacion 1.5.1. .

1. Se tiene que el vector B′ y N son paralelos. En efecto:

Como B = T ×N se tiene:

B′ = T ′ ×N + T ×N ′

= ‖T ′‖N ×N + T ×N ′

= T ×N ′


Por otro lado N ×B′ = N × (T ×N ′) = (N.N ′)T − (N.T )N ′ =−→0 ⇒ N/ / B′.

2. Notemos que | τ(t0) |= ‖B′(t0)‖‖f ′(t0)‖

3. Si la curva C parametrizada por f(t) es plana, entonces su torsion es nula (τ = 0)

por lo tanto B = constante.

Teorema 1.5.5. Si C es una curva en R3 definida por f(t) entonces

τ(t) =f ′(t)× f ′′(t).f ′′′(t)‖f ′(t)× f ′′(t)‖2

(1.9)

Para todo t ∈ [a, b] se tiene:

T ′(t) = K(t) s′(t) N(t)

N ′(t) = −K(t) s′(t) T (t) + τ(t) s′(t) B(t)

B′(t) = −τ(t) s′(t) N(t)

Este sistema es llamado Ecuaciones de Frenet de la funcion f en el punto f(t).

Teorema 1.5.6. Si C es una curva en R3 parametrizada por g en terminos de la longitud

de arco s, entonces se tiene:

τ(s) =g′(s)× g′′(s).g′′′(s)

‖g′′(s)‖2(1.10)

Para todo s ∈ [c, d] se tiene:

T ′(s) = K(s) N(s)

N ′(s) = −K(s) T (s) + τ(s) B(s)

B′(s) = −τ(s) N(s)

Este sistema es llamado Ecuaciones de Frenet de la funcion g en el punto g(s).

Ejemplo 1.5.5. Halle la curvatura y la torsion para la curva Γ descrita por

f(s) =

(4

5cos s, 1− sens,−3

5cos s

), s ≥ 0

siendo s el parametro longitud de arco de la curva Γ. Identifique la curva Γ.

Solucion

De la ecuacion T ′(s) = K(s) N(s) se tiene que ‖T ′(s)‖ = ‖K(s) N(s)‖, luego K(s) =

‖T ′(s)‖.Por otro lado, como T (s) = f ′(s) se tiene T ′(s) = f ′′(s). Asi K(s) = ‖f ′′(s)‖.


f ′(s) =(−4

5sens,− cos s, 3

5sens

)

f ′′(s) =(−4

5cos s, sens, 3

5cos s

)

f ′′′(s) =(

45sens, cos s,−3

5sens

)

Luego, K(s) = ‖f ′′(s)‖ = 1 , ∀ s ≥ 0 (curvatura constante).

Ahora hallemos la torsion mediante:

τ(s) =f ′(s)× f ′′(s).f ′′′(s)

‖f ′′(s)‖2

Notemos que f ′′′ es paralelo a f ′, luego f ′ × f ′′.f ′′′ = f ′′′.f ′ × f ′′ = f ′′.f ′′′ × f ′ = 0. Por lo

tanto τ(s) = 0.

Como la curva tiene curvatura constante y torsion nula, entonces la curva es una cir-

cunferencia. Esto es, la circunferencia esta caracterizado por tener una curvatura

constante y torsion nula.

Figura 1.28:

Ejemplo 1.5.6. Sea α : R+ → R3, definida por α(t) = (t2, 23t3, t), la trayectoria regular

que describe una partıcula que se mueve a lo largo de una curva C. Para el instante t = 1.

Determine:

1. Su velocidad ,rapidez y aceleracion.

2. Los vectores tangente, normal y binormal de la curva en ese instante

3. La curvatura y torsion de la curva en ese punto.

4. Las componentes tangencial y normal de la aceleracion en el punto.

Solucion

1. A partir de la definicion tenemos que el vector velocidad, rapidez, vector aceleracion

y aceleracion en funcion del tiempo estan dadas por:

V (t) = α′(t) = (2t, 2t2, 1) ⇒ V (1) = α′(1) = (2, 2, 1)

v(t) = ‖V (t)‖ =√

α′(t).α′(t) =√

4t2 + 4t4 + 1 ⇒ v(1) = 3

1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 35

Figura 1.29: Vectores T, N, B de la curva C : α(t) = (t2, 23 t3, t) en el punto t = 1

α′′(t) = (2, 4t, 0) ⇒ α′′(1) = (2, 4, 0)

a(t) = ‖α′′(t)‖ =√

α′′(t).α′′(t) =√

4 + 16t2 ⇒ a(1) =√

20

2. Los vectores tangente, normal y binormal de la curva en t = 1 esta dada por:

T (t) = α′(t)‖α′(t)‖ ⇒ T (1) = (2,2,1)

3

B(t) = α′(t)×α′′(t)‖α′(t)×α′′(t)‖ ⇒ B(1) = (−4,2,4)

6

N(t) = (α×α′′(t))×α′(t)‖(α′(t)×α′′(t))×α′(t)‖ ⇒ N(1) = (−1,2,−2)

3

3. La curvatura y torsion de la curva en t = 1 esta dada por:

K(t) = ‖α′×α′′‖‖α′‖3 ⇒ K(1) = 2

9

τ(t) = α′(t)×α′′(t).α′′′(t)‖α′(t)×α′′(t)‖2 ⇒ τ(1) = 2

9

4. Las componentes tangencial y normal de la aceleracion en el punto t = 1 son:

aT (t) = s′′(t) = α′(t).α′′(t)‖α′(t)‖ ⇒ aT (1) = 4

aN(t) = s′(t)‖T ′(t)‖ = s′(t)‖K(t) s′(t) N(t)‖ = K(t) (s′(t))2 = K(t) ‖α′(t)‖2 ⇒aN(1) = 2

1.6. Ejercicios propuestos

1. Dada la curva x2 − 2yz = 0 y y + z −√2x− 1 = 0

a) Halle la ecuacion del plano osculador en el punto (− 12√

2, 1

4, 1

4)

b) Halle la curvatura en el dado anteriormente.


2. Dada la curva C definida por:

C :

x2 + y2 + 2y = 3

z + x = 2

a) Describa la curva C mediante una funcion vectorial −→r : R→ R3 y grafique dicha

curva.

b) Halle el centro de la circunferencia de curvatura en el punto P (0, 1, 2).

3. Una curva llamada bruja de Marıa Agnesi, costa de todos lod puntos P , determi-

nados como se ilustra en la figura de abajo.

a) Halle la ecuacion parametrica de esta curva, usando el angulo θ como parametro

y grafique.

b) Halle el punto mas alto de la curva.

c) Halle los vectores T y N en el punto mas alto de la curva.

4. Halle la representacion parametrica de la curva f = f(λ) sabiendo que su torsion es

τ = − 1a

(a es una constante positiva) y que un vector en la direccion y sentido del

vector binormal es (cos2λ , senλ cosλ , senλ).

5. Sea C una curva descrita por la funcion f(t) = (√

1− t2 , 1 , t − ln(1 + t√1− t2

)) y

dados los planos P1 : x + z = 1 y P2 : x− z = 1 Halle la curvatura de C en el punto

de se interseccion C , , P1 y P2.

6. Dadas las superficies S1 : x2 + y2 + z2 = 6 y S2 : x2 + y2 = z

a) Halle la representacion parametrica de la curva C definida como la interseccion

de S1 y S2, dirigida de manera que desde el origen de coordenadas se observa en

el sentido antihorario.

b) Halle el vector tangente a la curva C en el punto (−1 , −1 , 2)

c) Halle la torsion en cualquier punto de la curva C.


d) Represente la curva C mediante el paametro longitud de arco.

7. pruebe que la normal principal a una curva Γ (en el punto con curvatura K 6= 0

) tenga la misma direecion que la tangente al lugar geometrico de los centros de

curvatura, si la curva es una curva plana.

8. Si la representacion parametrica de la curva C esta dada por la funcion vectorial f(t),

su torsion es τ = − 1a, a > 0, y que un vector en la direccion y sentido del vector

binormal es (cos2t, sen(2t)2

, sen t). Halle f(t).

9. Una partıcula se desplaza en el plano a lo largo de la curva C con la ecuacion y =

Ln(x +√

x2 − 1) x ≥ 1 con rapidez constante√

32

m/s y parte del punto (1,0) en el

instante t = 0, halle la ecuacion de la circunferencia osculatriz en el punto en que

se encuentra la particula, despues de haber transcurrido 2 segundos despues de su

partida.

10. Dado el vector aceleracion de una partıcula α ′′(t) = (0, 0,−10) m/s2, t ≥ 0. Si

α(0) = (0, 0, 0) y α ′(0) = (10, 0, 10):

a) ¿Cual es el radio de curvatura de la trayectoria α = α(t) en el instantes en que

la partıcula impacta al plano P : x + y + 2z + 40 = 0?

b) Halle la componente tangencial de la aceleracion en el instante t.

11. Halle las intersecciones del plano XY con las rectas tangentes a la helice descrita por

α(t) = ( cos t , sen t , t) (t > 0). ¿Cual es la ecuacion del plano osculador?

12. Halle la representacion parametrica de la curva C definida como la interseccion de S1

y S2, dirigida de manera que desde el origen de coordenadas se observa en el sentido

antihorario.

a) Halle el vector tangente a la curva C en el punto (−1 , −1 , 2)

b) Halle la torsion en cualquier punto de la curva C.

c) Represente la curva C mediante el paametro longitud de arco.

13. Sea Γ la curva de ecuaciones parametricas x = 3t, y = 3t2 , z = t3 para t ∈ R. sea

Γ∗ la curva de interseccion de las rectas tangentes a Γ con el plano osculador de la

curva γ en el punto (3, 3, 1). Calcule la curvatura y torsion de la curva Γ∗.

14. Halle la curvatura y torsion de una curva γ situada en el plano z = 0 para la cual s

es el arco y su vector normal principal es N(s) = (− cos(s2), sen(s2), 0)

Bibliografıa

[1] Apostol Tom, M. Calculus Vol I . Ed. Reverte. Barcelona 2001.

[2] Apostol Tom, M. Calculus Vol II. Ed. Reverte. Barcelona 2001.

[3] Benazic R. Caminos en Espacios Euclideanos. Ed. Sociedad Matematica Peruana.

Lima 2002.

[4] Castro Chadid, I. Como hacer matematicas con DERIVE. Ed. Reverte Colombiana,

1992.

[5] De Guzman, M. Aventuras Matematicas. Ed. piramide. Madrid 2004.

[6] Galindo Soto, F. Guıa practica de calculo infinitesimal en varias variables. Ed.

Thomson. Madrid 2005.

[7] Lima, E. Curso de Analise, Volume 2. Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro

1981.

[8] Lima, E. Analisis Real. Ed. IMCA. Lima 1997.

[9] Stewart, J. Calculo Mutivariable. Cuarta Edicion Ed. Thomson Learning 2006.

[10] Velasco Sotomayor, G. Problemario de calculo multivariable. Ed. Thomson, Learning,

Mexico, D.F. 2003.

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Funciones Vectoriales de Variable Real

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