Mat Fun1_Momento Lineal

MOMENTO LINEAL, ENERGIA CINETICA Y SUCONSERVACION

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Fsica

2010

ndice general

1. Momento lineal, energa cintica y su conservacin 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Vector posicin (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Vector desplazamiento (Dr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1. Vector velocidad media (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.2. Vector velocidad instantnea (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.3. Movimiento rectilneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Momento lineal o cantidad de movimiento (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.1. Conservacin del momento lineal en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Movimiento en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.1. Vector posicin en dos dimensiones (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones (Dr) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3. Vector velocidad en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.4. Vector velocidad media en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.5. Vector velocidad instantnea en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9. Momento lineal o cantidad de movimiento en dos dimensiones (p) . . . . . . . . . . 191.9.1. Conservacin del momento lineal en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . 201.9.2. Concepto de impulso (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10. Concepto de energa cintica Ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

Captulo1Momento lineal, energa cintica y suconservacin

CompetenciasEn esta unidad se busca que el estudiante

Infiera el concepto de partcula.

Identifique y defina las cantidades fsicasrelacionadas con la definicin del vectormomento lineal.

Distinga entre un sistema aislado y un sis-tema no aislado.

Analice situaciones fsicas en las que seconserva el momento lineal.

Defina y analice el concepto del escalarenerga cintica, relacionndolo con el con-cepto del vector momento lineal.

Defina el concepto de colisin.

Distinga entre choque y colisin.

Analice diferentes tipos de colisiones.

CONCEPTOS BASICOS DE LA UNIDADEn esta unidad, se definirn los siguientes con-ceptos: Sistema de referencia, partcula, vectorposicin (r), vector desplazamiento (Dr), vectorvelocidad (v), masa (m), vector momento lineal(p), sistema y sistema aislado, energa cintica(Ek).

1.1. Introduccin

El concepto de momento lineal o cantidad demovimiento, es de gran importancia en la fsica,ya que se presentan muchas situaciones realesen las que el momento lineal total de un sistemase conserva, tanto a nivel microscpico como anivel macroscpico. Esto da lugar al principiode conservacin del momento lineal, que porser una regla que no tiene excepcin, se aplicaen diferentes reas de la fsica.

1.2. Sistemas de referencia

La frase traer el cuerpo A que se encuentra a unadistancia de 2 m , es una frase incompleta, yaque como se ilustra en la figura 1.1, puede habermuchos cuerpos con una separcin de 2 m. Estolleva a la pregunta: 2 m a partir de qu o res-pecto a quin? Lo anterior muestra la necesidadde especificar un punto u observador de refe-rencia respecto al cual se miden los 2 m. Por elloes ms correcto decir: "Traer el cuerpo A que seencuentra a una distancia de 2 m respecto al ob-servador B".La frase anterior, aunque es menos ambigua,

tampoco est completa ya que hay un conjuntomuy grande de puntos ubicados a una distan-cia de 2 m respecto al observador B. Al unir esteconjunto de puntos se obtiene una esfera de ra-dio 2 m (espacio tridimensional), y una circun-ferencia de radio 2 m (espacio bidimensional)

2 CAPTULO 1. MOMENTO LINEAL, ENERGA CINTICA Y SU CONSERVACIN

2 m

2 m 2 m2 m

Figura 1.1: Cuerpos separados entre s por una dis-tancia de 2 m.

como se muestra en la figura 1.2 para el caso dedos dimensiones.

B

Figura 1.2: Cuerpos a una distancia de 2m respectoa B.

Para definir con toda claridad la posicin delcuerpo, se puede hacer la afirmacin: Traer elcuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 mrespecto a un observador B, de tal manera que la rec-ta que une a B con A coincide con el eje x, toma-do horizontalmente. Esto equivale a decir que seha adicionado un sistema de coordenadas uni-dimensional al observador B, como se muestraen la figura 1.3, donde lo que realmente se hadefinido es un sistema de referencia, que con-siste en un observador al que se le ha asignadoo ligado un sistema de coordenadas en una di-mensin.

Bx (m)

A

2O

Figura 1.3: Posicin de A respecto a B.

Por lo anterior, se puede concluir que paraconocer con certeza la posicin de un cuerpoes indispensable definir un punto de referen-

cia, esto es, un sistema de referencia, ya que delo contrario no tendra sentido la ubicacin delcuerpo en consideracin. Como se indica msadelante, para dar una descripcin completa delmovimiento de un cuerpo, se debe disponer deun cronmetro o reloj con el fin de poder cono-cer los instantes de tiempo en los que ocupa lasdiferentes posiciones sobre el eje x.Lo discutido anteriormente slo es vlido

para el observador B, ya que si se cambia de ob-servador, o lo que es equivalente, de sistema dereferencia, necesariamente la posicin del cuer-po sera completamente diferente.De esta forma, el movimiento de un cuerpo

puede definirse como un cambio continuo desu posicin respecto a otro cuerpo, es decir, elmovimiento de un cuerpo dado slo puede ex-presarse en funcin de un sistema de referen-cia. Adems, el movimiento del cuerpo A, res-pecto al cuerpo B, puede ser muy diferente almovimiento del cuerpo A respecto a otro cuer-po C.

MovimientoA

CBx

O

Figura 1.4: A y C se mueven respecto a B.

Suponga que un auto y su conductor, en re-poso entre s, se mueven sobre una pista rectahacia la derecha. Esta situacin real, se mode-lar de tal forma que en la figura 1.4, el conduc-tor es el cuerpo A, el auto el cuerpo C y un postefijo al lado de la va es el cuerpo B.Los cuerpos A y C en reposo uno respecto

al otro, se encuentran en movimiento hacia laderecha respecto al cuerpo B, como en la figu-ra 1.4. Pero una situacin diferente se presen-ta cuando se toma un sistema de referencia conorigen en el cuerpo C, como se indica en la figu-ra 1.5.En este caso, el cuerpo A est en reposo res-

pecto al cuerpo C y el cuerpo B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.De acuerdo con lo anterior, cuando se quiere

analizar el estado de reposo o de movimiento

1.3. CONCEPTO DE PARTCULA 3

MovimientoA

C

O '

Bx '

Figura 1.5: B se mueve respecto a C, A no se mueverespecto a C.

de un cuerpo, es necesario definir con toda cla-ridad cul es el sistema de referencia a utilizar,ya que como en la situacin de la figura 1.4, elmovimiento de A y C es hacia la derecha respec-to al cuerpo B, mientras que para la situacin dela figura 1.5, A est en reposo y B en movimien-to hacia la izquierda respecto al cuerpo C.Para obtener informacin completa sobre la

forma como cambia la posicin de un cuerporespecto a otro, es necesario medir tiempos, osea, que el observador debe disponer de un relojo cronmetro, adems del sistema de coorde-nadas.De la situacin anterior tambin se puede

concluir que reposo y movimiento son concep-tos relativos, ya que ambos dependen del sis-tema de referencia en consideracin. Si un cuer-po est en movimiento respecto a algunos sis-temas de referencia, simultneamente puede es-tar en reposo respecto a otros sistemas de refe-rencia, esto es, el movimiento es relativo.En lo que sigue, se supone que se tiene

un sistema de referencia unidimensional biendefinido. Los sistemas de referencia que se em-plearn en adelante, se supone que estn en re-poso respecto a la tierra. Estos sistemas recibenel nombre de sistemas de referencia inerciales.Posteriormente, se define de forma ms concisaeste tipo de sistemas de referencia, donde tam-bin se incluyen otros sistemas de referencia,que aunque estn en movimiento respecto a latierra, cumplen la condicin de ser inerciales.Necesariamente, cuando un cuerpo se mueve

en lnea recta respecto a la tierra, bien sea so-bre ella o a una altura determinada dentro de laatmsfera terrestre, estar sometido a los efec-tos del aire. Esta situacin se percibe cuando seviaja rectilneamente en un auto con las ventani-llas abiertas o cuando se deja caer verticalmente

una hoja de papel. En ambos casos los cuerpostienen un movimiento respecto al sistema de re-ferencia aire.Por ahora, no se consideran los efectos del

aire sobre el movimiento de los cuerpos. Elanlisis de esta situacin se hace ms adelante.

1.3. Concepto de partcula

Para ilustrar el concepto de partcula se consi-dera la siguiente situacin: Un bloque desliza ose traslada sobre una superficie horizontal sincambiar su orientacin ni su forma geomtrica,es decir, se mueve como un todo de una posi-cin a otra. En este caso, como se indica en lafigura 1.6, los puntos A y B, pertenecientes albloque, se mueven la misma distancia d.

A

B

x

x

A

B

x

x

d

d

Figura 1.6: Traslacin pura de un cuerpo.

Aunque slo se han considerado los puntos Ay B, es cierto que todos los puntos del bloque semueven la misma distancia d.Esto permite analizar el movimiento de solo

un punto del bloque, ya que el comportamien-to de l es idntico al comportamiento de todoslos dems puntos. Cuando es posible hacer lasimplificacin anterior, se dice que el cuerpo seha reducido al modelo de una partcula. Poste-riormente, se dar una definicin ms precisade este concepto.En esta unidad se considera slo el

movimiento de traslacin de los cuerpos a lolargo de una lnea recta; por ello el movimientode los cuerpos se describe mediante el modelode partcula.

1.4. Vector posicin (r)

Para el caso de una dimensin, un cuerpo trata-do bajo el modelo de partcula, se mueve a


lo largo de un camino recto, tambin conoci-do como trayectoria rectilnea. La posicin de lapartcula, en un instante determinado y respec-to al origen del sistema de referencia mostradoen la figura 1.7, est dada por el vector posicinr trazado desde el origen del sistema de refe-rencia hasta la posicin donde se encuentre lapartcula.

x

O i

r( )t

Movimiento

Figura 1.7: Vector posicin r de la partcula.

En este caso el vector posicin se expresa enla forma r = x i , donde su magnitud est dadapor

r = x (1.1)

La forma de la expresin dada por la ecuacin(1.1) es vlida en el caso de un sistema de refe-rencia unidimensional.En la figura 1.7 se observa que el vector posi-

cin r vara con el tiempo en magnitud, mien-tras la partcula semueve a lo largo de su trayec-toria rectilnea.

Ejemplo 1.1.El vector posicin de una partcula quese mueve sobre el eje x, est dado porr(t) = (t 3)i, donde r est dado en m y ten s. Cuando tA = 2.50 s la partcula pasapor el punto A. Determine la posicin dela partcula en dicho instante.

SolucinReemplazando tA = 2.50 s en la expresindada, se encuentra que el vector posicin,cuando la partcula pasa por el punto A,est dado por

rA = ( 0.50m)i.Como en una dimensin el vector posicinse expresa en la forma r = xi, al compararcon la igualdad anterior se tiene que

xA = 0.50m,es la coordenada de la partcula cuandopasa por el punto A.

El siguiente diagrama es una represen-tacin grfica del resultado obtenido.

Ax (m)

i

rA

-0.50 O

Ejercicio 1.1.El vector posicin de una partcula quese mueve sobre el x, est dado por r =(2t2 1)i donde r est dado en m y t ens. Cuando tA = 2.50 s la partcula pasapor el punto A. Determine la posicin dela partcula en dicho instante. Muestre enun diagrama el resultado obtenido.

1.5. Vector desplazamiento (Dr)

Como se indica en la figura 1.8, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el puntoA, definido por el vector posicin rA . Si en uncierto tiempo posterior tB (tB > tA) la partculapasa por el punto B, definido mediante el vec-tor posicin rB, el vector desplazamiento, que des-cribe el cambio de posicin de la partcula con-forme se mueve de A a B, es dado por

Dr = rB rA= (xB xA)i. (1.2)

x

O i A BDr

rB

rA

Figura 1.8: Vector desplazamiento Dr entre A y B.

Ejemplo 1.2.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i se encuentraen el punto A en tA = 2.50 s. Si en eltiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,calcule la magnitud y direccin del vectordesplazamiento entre A y B.

SolucinAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 sen la expresin dada, se encuentra que losvectores posicin de la partcula, en com-ponentes rectangulares, respectivamente

1.6. VECTOR VELOCIDAD (V) 5

estn dados por

rA = ( 0.50m)i,rB = (1.00m)i.

Ahora, utilizando la ecuacin (1.2),para este caso se tiene que el vector des-plazamiento, entre A y B, en componentesrectangulares est dado por

Dr = (1.50m)i.

Por consiguiente, las magnitud del vectordesplazamiento est dada por

Dr = 1.5 m,

En el diagrama siguiente se muestra,el vector desplazamiento.

x(m)

Or

Ar

B

Dr i= (1.5 m)

-0.5 1.0

Ejercicio 1.2.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r = (2t2 1)i , donde r est dadoen m y t en s, se encuentra en el punto Aen tA = 2.50 s . Si en el tiempo tB = 4.00 spasa por el punto B, calcule el vector des-plazamiento de la partcula entre A y B.

1.6. Vector velocidad (v)

Cuando la posicin de una partcula respecto aun observador, cambia al transcurrir el tiempo,se dice que la partcula ha adquirido una veloci-dad respecto a dicho observador. En general, lavelocidad de una partcula se define como larapidez con la cual cambia el vector posicin deun cuerpo al transcurrir el tiempo.

1.6.1. Vector velocidad media (v)

De acuerdo con la figura 1.9, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posicin rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA) la partculapasa por el punto B, determinado por el vector

posicin rB, la velocidad media de la partcula du-rante el intervalo de tiempo Dt = tB tA , sedefine como el desplazamiento dividido entreel intervalo de tiempo correspondiente, es decir

v DrDt

=rB rAtB tA

=(xB xA)itB tA

= vxi.

(1.3)

x

O A BDr

rB

rA

v

Figura 1.9: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuacin (1.3), las dimen-siones del vector velocidad media y en generalde la velocidad, son LT1 . Por consiguiente, lasunidades son ms1 en el sistema SI, cm s1 enel sistema gaussiano, m s1 en el sistema Ingls;y en general, cualquier unidad de longituddividida por una unidad de tiempo, tal comokmh1.

La definicin (1.3) muestra que la velocidadmedia, v , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector Dr entre el escalar Dt, por lo tan-to, la velocidad media incluye tanto magnitudcomo direccin. Donde su magnitud est dadapor jDr/Dtj y su direccin por la del vector des-plazamiento Dr. Esta cantidad es una velocidadmedia, ya que la expresin no dice cmo fue elmovimiento entre A y B. El movimiento pudohaber sido continuo o variable.La siguiente es una situacin en la que el vec-

tor velocidad media es nulo. En la figura 1.10,un auto parte del punto A y pasando por elpunto B regresa al punto A, luego de un tiem-po Dt . En este caso, la velocidad media es ceroya que el desplazamiento de la partcula es cero,aunque la distancia recorrida es diferente decero.


x

O A B

rBA

-rBA

Figura 1.10: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.3.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i, se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, determinela magnitud y direccin de la velocidadmedia entre A y B.

SolucinObteniendo el vector desplazamiento Dry sabiendo que Dt = 1.5 s, mediante laecuacin (1.3), se encuentra que la veloci-dad media en componentes rectangularesest dada por

v = (1.00m s1)i.Para este caso se encuentra que la magni-tud del vector velocidad media es

v = 1.00m s1

Se observa que el vector desplaza-miento y el vector velocidad media sonparalelos, como se esperaba.

Ejercicio 1.3.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i, con r en m y t ens, se encuentra en el punto A en el instantetA. Si en el tiempo tB pasa por el punto B,demuestre que la velocidad media cuan-do la partcula pasa del punto A al puntoB, est dada por v = (1m s1)i.

Ejercicio 1.4.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r = (2t2 1)i, se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, calcule elvector desplazamiento entre A y B.

Ejemplo 1.4.La velocidad media cuando una partcula

pasa del punto A al punto B, est dada porv = (tB + tA)i . Obtenga la magnitud dela velocidad media, cuando la partcula semueve durante los intervalos de tiempomostrados en la tercera columna de latabla 1.1.

SolucinEn la tabla 1.1 se muestran los valoresobtenidos para la magnitud (v) del vectorvelocidad media, en diferentes intervalosde tiempo (Dt) con tB = 3.0 s.Tabla 1.1

tA(s) tB(s) Dt(s) v(m/s)

2.980000 3.0 0.020000 5.9800002.990000 3.0 0.010000 5.9900002.995000 3.0 0.005000 5.9950002.998000 3.0 0.002000 5.9980002.999000 3.0 0.001000 5.9990002.999500 3.0 0.000500 5.9995002.999800 3.0 0.000200 5.9998002.999900 3.0 0.000100 5.9999002.999990 3.0 0.000010 5.9999902.999995 3.0 0.000005 5.999995

PreguntaQu puede concluir al observar los valo-res de las dos ltimas columnas de la tabla1.1?

Ejercicio 1.5.Para una partcula, el vector posicin enfuncin del tiempo est dado por r =(2t2 1)i , donde r est dado en m y t ens. a) Si la partcula pasa por el punto A enel instante tA y por el punto B en el instan-te tB , halle el vector velocidad media. b)Obtenga la magnitud de la velocidad me-dia, cuando la partcula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla 1.1.

1.6.2. Vector velocidad instantnea (v)

Es la velocidad de una partcula en un instantedado cualquiera. O tambin, la velocidad respectoa determinado sistema de referencia, que en el caso de


una dimensin puede variar slo en magnitud, mien-tras el sentido de movimiento no cambie.Para el movimiento de una partcula, repre-

sentado en la figura 1.11, cmo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

O i A BBB

DrrA

rB

B

Dr Dr

Dr

Figura 1.11: Vector velocidad instantnea.

Al considerar las posiciones intermedias de lapartcula en t2, t,2, t

,,2, t

,,,2 , determinadas por los

vectores posicin r2, r,2, r,,2, r

,,,2 , se observa que los

vectores desplazamiento Dr, Dr,, Dr,,, Dr,,,, cam-bian en magnitud.Igualmente, los intervalos de tiempo corres-

pondientes Dt = t2 t1, Dt, = t,2 t1, Dt,, =t,,2 t1, Dt,,, = t,,,2 t1, cada vez se hacen mspequeos.Si se contina este proceso haciendo que B se

aproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez ms pequeo hasta que tiendea un valor lmite. Este valor lmite de Dr/Dt seconoce como velocidad instantnea en el punto A,o sea, la velocidad de la partcula en el instantede tiempo tA .Si Dr es el desplazamiento en un pequeo in-

tervalo de tiempo Dt , a partir de un tiempo to,la velocidad en un tiempo posterior t , es el va-lor al que tiende Dr/Dt cuando tanto Dr comoDt, tienden a cero, es decir,

v = lmDt!0

DrDt

. (1.4)

La ecuacin (1.4) no es ms que la definicin dederivada, esto es

v =drdt

. (1.5)

De la ecuacin (1.5), se concluye que la ve-locidad instantnea es tangente a la trayecto-ria seguida por la partcula, ya que el despla-zamiento dr es paralelo a ella. La magnitud de

la velocidad se llama rapidez y es igual a

v = jvj =drdt

. (1.6)Como r = xi , se tiene que

v =drdt

=dxdt

i

= vxi= vi.

De acuerdo con la definicin del vector velocidadinstantnea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.En adelante, siempre que se hable de veloci-

dad, se hace referencia a la velocidad instant-nea.Como, en este caso, la trayectoria rectilnea de

la partcula coincide con el eje de coordenadasx, la velocidad es un vector cuya magnitud estdada por la ecuacin (1.6) y cuya direccin coin-cide con la del movimiento. As, la velocidad vestar dirigida en el sentido del vector unitarioi si dx

dt > 0 y en el sentido opuesto de i si

dxdt < 0. O sea, el signo de dx

dt indica el

sentido de movimiento, como se muestra en lafigura 1.12.En sntesis, de acuerdo con lo anterior, se

tiene que el signo de la velocidad est dado porel sistema de referencia empleado.

O

O

i

ix

x

Movimiento

Movimiento

v > 0

v < 0

v

v

A

A

Figura 1.12: El signo de v indica el sentido demovimiento.

Partiendo de la definicin del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posicin de


una partcula si se conoce la forma como varael vector velocidad con el tiempo.Mediante la ecuacin (1.5) y sabiendo que en

el instante to la partcula se encuentra en la posi-cin ro, se encuentra que la posicin en el ins-tante t est dada por

r = ro +tZ

to

v(t)dt. (1.7)

Mientras no se conozca la forma como vara elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es posi-ble resolver la integral de la ecuacin (1.7).Para movimiento a lo largo del eje x, esto

es en una dimensin, la expresin dada por laecuacin (1.7) adquiere la forma

x = xo +tZ

to

v(t)dt, (1.8)

que como se sabe, es posible resolver la integralsi se conoce la forma funcional de v(t).Un caso particular se presenta cuando el vec-

tor velocidad permanece constante en magni-tud y direccin. Cuando ello ocurre, las ecua-ciones (1.7) y (1.8), respectivamente, se transfor-man en

r = ro + v(t to), (1.9)x = xo + v(t to), (1.10)

Las ecuaciones (1.9) y (1.10) corresponden a unmovimiento conocido como movimiento rectil-neo uniforme, ya que al no cambiar la direccinde la velocidad, la trayectoria es rectilnea y alno cambiar la magnitud de la velocidad su rapi-dez es constante.

Ejemplo 1.5.El vector posicin de una partcula que semueve a lo largo del eje x, est dado porr(t) = (t2 15)i, donde r est dado enm y t en s. Determine la velocidad de lapartcula t = 3 s.

SolucinEmpleando la ecuacin (1.5) se tiene que lavelocidad en cualquier instante de tiempot est dada por

v = 2ti.

Reemplazando t = 3 s en la expresinpara v, se tiene que el vector velocidad es-t dado por

v = (6m s1)i.

PreguntaCompare este resultado con los valores dela velocidad media mostrados en la tabla1.1 del ejemplo 1.4. Qu puede concluir?

Ejercicio 1.6.El vector posicin de una partcula que semueve sobre el eje x, est dado por r =(2t2 1)i donde r est dado en m y t en s.Determine la velocidad de la partcula enel instante t = 3 s . Compare el resultadocon lo obtenido en el ejercicio 1.4.

Ejemplo 1.6.Si la velocidad de una partcula est dadapor v = 2ti, halle el vector posicin dela partcula en el instante de tiempo t,sabiendo que parti de una posicin en lacual ro = (15m)i en to = 0.

SolucinReemplazando los vectores ro y v en laecuacin (1.8), se encuentra que al inte-grar, evaluar y simplificar, el vector posi-cin de partcula est dado por

r = (t2 15)i,

De este resultado, se puede concluir quesi se conoce el vector posicin de unapartcula, en funcin del tiempo, es posi-ble conocer el vector velocidad y si seconoce el vector velocidad, en funcin deltiempo, se puede conocer el vector posi-cin de la partcula (recuerde que la in-tegracin es la operacin inversa de laderivacin).

Ejercicio 1.7.Si la velocidad de una partcula est da-da por v = 3t2i , halle el vector posicinde la partcula en el instante de tiempo t,sabiendo que parti de una posicin en lacual en ro = (1.00m)i en to = 0.


Hasta este momento se han definido, para elcaso de movimiento rectilneo, las cantidadescinemticas vector posicin y vector velocidadque permiten describir el movimiento de cuer-pos tratados bajo el modelo de partcula y quese mueven en lnea recta. El movimiento rec-tilneo es el movimiento ms simple que puedeadquirir un cuerpo.Aunque en el anlisis anterior se hizo coinci-

dir la trayectoria rectilnea con el eje x, esta tam-bin puede hacerse coincidir con el eje y. Igual-mente, la trayectoria y por ende el eje coorde-nado puede ser horizontal o tener cualquier ori-entacin es decir, la trayectoria en lnea recta,puede ser vertical, horizontal u oblicua, comola mostrada en la figura 1.13.

MovimientoiO

x

Figura 1.13: Movimiento rectilneo de una partcu-la.

Aunque el desplazamiento, por definicin esuna cantidad vectorial, se ha considerado lasituacin en la cual slo una componente deldesplazamiento es diferente de cero, al hacercoincidir el eje de coordenadas con la trayecto-ria rectilnea descrita por la partcula.En la figura 1.13, el eje x coincide con la

trayectoria descrita por una partcula, por loque su vector posicin y su vector velocidad es-tn dados, respectivamente, por

r = xi, v = vi.

Ahora, la coincidencia entre el eje x y la trayec-toria rectilnea de la partcula, define la direc-cin del movimiento, por lo que es posible es-cribir las cantidades anteriores en la forma

r = x, v =dxdt

. (1.11)

O sea, las definiciones y conceptos considera-dos anteriormente son vlidos, ecuaciones (1.1)

a (1.9), siempre y cuando se tenga presente quesolo aparece una componente en cada uno delos vectores, esto es, cuando la trayectoria coin-cida con el eje utilizado.

A BO

x

Figura 1.14: Desplazamiento y distancia recorrida.

Es preciso tener presente que no se debeconfundir desplazamiento con distancia recorrida,como se ilustra en la figura 1.14, donde unapartcula va del origen de coordenadas O alpunto A y luego regresa, pasando por O, has-ta llegar al punto B.As, en este caso, el vector desplazamiento

de la partcula tiene una magnitud dada porDx = OB, apuntando hacia la derecha; estocorresponde al vector que va del punto O alpunto B, mientras que la distancia recorrida esd = 2OA+OB.

Ejercicio 1.8.Una partcula, cuya ecuacin cinemticade posicin est dada por x(t) = 3t3 4t2 t + 5, donde x se da en m y t en s,se mueve paralelamente al eje x . a) Deter-mine la velocidad de la partcula en fun-cin del tiempo. b) Calcule la posicin yla velocidad de la partcula en el instantet = 2.5 s. c) Cules son las dimensionesde los coeficientes numricos, en cada unode los trminos de las ecuaciones cinem-ticas de posicin y velocidad?

Ejercicio 1.9.Determine, en funcin del tiempo, la posi-cin de una partcula que se mueve a lolargo del eje x, sabiendo que su ecuacincinemtica de velocidad est dada por v =9t2 8t 1, con xo = 5m en to = 0. Com-pare su resultado con la expresin parax(t) dada en el ejercicio 1.8.


1.6.3. Movimiento rectilneo uniforme(MRU)

En esta seccin se analiza con mayor detalleel caso de un movimiento con velocidad cons-tante, es decir, v = Constante. Esta situacinocurre, por ejemplo, cuando la aguja del ve-locmetro de un auto no cambia de posicinmientras el auto est enmovimiento por una varecta. De este modo, la ecuacin (1.10),

x = xo + v(t to), (1.12)es la ecuacin cinemtica de posicin para estemovimiento, denominado movimiento rectilneouniforme (MRU).En muchos casos, es posible tomar to = 0.

x

x

xo

to

t

tO

Figura 1.15: Grfica de la posicin en funcin deltiempo para un MRU.

De acuerdo con la geometra analtica, laecuacin (1.12) corresponde a la ecuacin deuna lnea recta, donde su pendiente es la mag-nitud de la velocidad del movimiento.

v

v

to

ttO

Area= Dx

Figura 1.16: Grfica de la velocidad en funcin deltiempo para un MRU.

En las figuras 1.15 y 1.16 semuestran las grfi-cas de posicin y velocidad en funcin del tiem-

po, para el caso de una partcula con movimien-to rectilneo uniforme.En la figura 1.15 se tiene que la pendiente de

la grfica de posicin en funcin del tiempo estdada por

Pendiente =x xot to = v. (1.13)

Al comparar las ecuaciones.(1.12) y (1.13) se en-cuentra que realmente la pendiente de la rectacorresponde a la velocidad de una partcula conmovimiento rectilneo uniforme.

Ejercicio 1.10.Utilizando la figura 1.16, demuestre quepara el intervalo de tiempo Dt = t to, el rea sombreada es igual al despla-zamiento Dx de una partcula que tienemovimiento rectilneo uniforme.

Ejemplo 1.7.Un auto A y y una moto B se muevencon velocidades vA y vB, sobre una pistarecta, en carriles paralelos y con sentidosopuestos. Inicialmente, los mviles estnseparados una distancia d. a) Haga undiagrama ilustrativo de la situacinplanteada, donde se muestre el sistemade referencia a emplear. b) Teniendo encuenta el sistema de referencia elegido,plantee las ecuaciones cinemticas deposicin para cada mvil. c) Determine eltiempo que demoran los mviles en pasaruno frente al otro. d) Halle el valor de lacantidad obtenida en el numeral anterior,si vA = 216 km h1, vB = 40m s1 yd = 50m

Solucina) Diagrama ilustrativo de la situacinplanteada, en el cual se muestra el sistemade referencia a emplear.

Movimiento

O

Movimiento

A

d

x

B

b) De acuerdo con el enunciado, lascantidades d, vA y vB son dadas ylos mviles se mueven con velocidades

1.7. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 11

constantes, por lo que cada uno tienemovimiento rectilneo uniforme. As, lasecuaciones cinemticas de posicin tienenla forma general dada por la ecuacin(1.12), con to = 0, xoA = 0 y xoB = d.

Respecto al sistema de referenciamostrado en el diagrama y con origen enO, las ecuaciones cinemticas de posicinpara el auto A y para la moto B, respecti-vamente, adquieren la forma

xA = vAt. (1)

xB = d vBt. (2)c) Cuando un vehculo pasa frente al otrola posicin es la misma, por lo que lasecuaciones (1) y (2) son iguales, teniendoen cuenta que a partir de la situacin ini-cial, el tiempo que demoran los mviles enencontrarse es el mismo.

Por lo tanto, luego de igualar las ecua-ciones (1) y (2), y simplificar, se encuentraque el tiempo que demoran en encontrarseest dado por

t =d

vA + vB. (3)

d) Al reemplazar en la ecuacin (3) losvalores vA = 216 km h1 60m s1,vB = 40m s1 y d = 50m, se tiene

t =50m

60m s1 + 40m s1= 0.5 s,

que es el tiempo que los mviles demoranen pasar uno frente al otro.

Ejercicio 1.11.Dos autos A y B se mueven con veloci-dades vA y vB (vA > vB), sobre una pistarecta, en carriles paralelos y en el mismosentido. Inicialmente, los autos estn se-parados una distancia d. a) Haga un dia-grama ilustrativo de la situacin plantea-da, donde se muestre el sistema de refe-rencia a emplear. b) Teniendo en cuentael sistema de referencia elegido, plantee laecuacin cinemtica de posicin para cadaauto. c) Determine el tiempo que demo-ran los autos en pasar uno frente al otro.d) Halle el valor de la cantidad obtenida

en el numeral anterior, si vA = 60m s1,vB = 144 km h1 y d = 50m, e) Qu sepuede afirmar respecto al tiempo, cuandolas velocidades de los autos son iguales?

1.7. Momento lineal o cantidad demovimiento (p)

En esta seccin se analiza la expresinmatemtica que relaciona los conceptos demasa y velocidad con el concepto de momentolineal o cantidad de movimiento, en el casode una dimensin. Por ello, es necesario hacerreferencia a las cantidades dinmicas masa ymomento lineal que son el punto de partida dela mayora de los conceptos que se tratarn enadelante.La fsica dispone de una cantidad escalar

que es caracterstica o propia de cada cuerpo yla cual permite conectar la cinemtica de unapartcula con la dinmica de una partcula; es-ta propiedad de los cuerpos es su masa. En loque sigue, no se hace una definicin operacionalde la masa, sino que en su lugar se emplea elconcepto intuitivo que de ella se tiene, esto es,lo que marca una balanza cuando un cuerpo secoloca sobre ella.La masa de un cuerpo, que se representa me-

diante los smbolos M o m, es una cantidad fun-damental cuya dimensin es M. De acuerdo conesta dimensin, las unidades respectivas son: elkilogramo (kg) en el sistema de unidades SI, y elgramo (g) en el sistema gaussiano de unidades.En el sistema ingls la unidad de masa es elslug, que se definir ms adelante.La equivalencia entre estas unidades est da-

da por la identidad: 1kg 103g.La primera cantidad dinmica a definir, es el

momento lineal o cantidad de movimiento, que esde gran importancia en la fsica ya que permiteobtener ms informacin que la velocidad.

O

pmx

Figura 1.17:Momento lineal de una partcula.


Cuando una partcula de masa m, posee unavelocidad v respecto a determinado observador,se dice que su vector momento lineal est dadopor

p mv= mvi, (1.14)

De acuerdo con la definicin dada por laecuacin (1.14), se tiene que el momento lineales una cantidad vectorial que apunta en la mis-ma direccin del vector velocidad, como se ilus-tra en la figura 1.17.Adems, como la velocidad depende del sis-

tema de referencia, entonces el momento linealtambin depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es paralela a latrayectoria descrita por la partcula, el momen-to lineal tambin es paralelo a la trayectoria quela partcula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definicin de momento li-neal, se tiene que sus dimensiones son igualesa la dimensin de masa por la dimensin develocidad, es decir [p] = [m][v] = MLT1 .Por lo tanto, las unidades en los respectivos sis-temas estn dadas por: kg m s1 en el sistemaSI de unidades, g cm s1 en el sistema gaus-siano de unidades y lb s en el sistema ingls deunidades.En el ejemplo 1.8, se muestra que el momento

lineal permite obtener mayor informacin quela velocidad.

Ejemplo 1.8.El camin de masa M y el auto de masa mde la figura 1.18 (M > m), se mueven conigual velocidad v respecto al sistema dereferencia mostrado. Cul es ms difcilllevar al estado de reposo?

SolucinLa experiencia muestra que el camin, conmayor momento lineal, es ms difcil dellevar al estado de reposo. Lo anterior in-dica que aunque cinemticamente no exis-te diferencia alguna entre el estado de losdos autos, velocidades iguales, dinmica-mente se presenta una diferencia como

consecuencia de la diferencia en sus mo-mentos lineales.

x

v

v

O

mM

Figura 1.18: Cuerpos con igual velocidad y diferentemomento lineal.

1.7.1. Conservacin del momento linealen una dimensin

Aunque solo se consideran dos casos particula-res, el principio de conservacin del momentolineal tiene validez general, sin importar elnmero de partculas que intervengan en unsistema. Este principio es de gran utilidad enla fsica, tanto desde el punto de vista tericocomo experimental. En los dos casos que seconsideran a continuacin, se recurre a losresultados que muestra el experimento, cuandoeste se lleva a cabo.

1. Como primer experimento se considera lasituacin en la que a una partcula, de masa my en movimiento rectilneo, se le impide inte-ractuar con cualquier otra, como se ilustra enla figura 1.19. Al no interactuar la partcula conninguna otra, el resultado que se obtiene es quesu estado de movimiento no es alterado, es-to es, su velocidad permanecer constante, olo que es igual, su momento lineal debe per-manecer constante. Lo anterior se puede expre-sar matemticamente en la forma

p = mv = mvi = Constante o sea Dp = 0

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.20, se aslan, del resto del uni-verso, dos partculas con masas constantes m1y m2. Decir que se aslan del resto del universo,equivale a afirmar que slo se permiten sus in-teracciones mutuas. A un sistema como este sele llama sistema aislado.

1.7. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 13

vm

x

Figura 1.19: Conservacin del momento lineal deuna partcula aislada.

v1

m1

v2

m2

t

t>t

v1

m1

v2

m2

x

x

Figura 1.20: Momento lineal de dos partculas ais-ladas.

Cuando a las partculas se les permite in-teractuar entre s, se encuentra que sus mo-mentos lineales individuales pueden cambiar altranscurrir el tiempo. Por otro lado, el momen-to lineal total del sistema formado por las dospartculas, en cualquier instante, est dado porla suma de los momentos lineales de las partcu-las. De acuerdo con lo anterior, en el instante tel momento lineal del sistema aislado, est dadopor

P = p1 + p2= m1v1 +m2v2= m1v1i+m2v2i, (1.15)

y en el instante posterior t0 por

P0 = p01 + p02

= m1v01 +m2v02

= m1v01i+m2v02i. (1.16)

Cuando se realiza este experimento, se encuen-tra que independientemente de los valores det y t0, el momento lineal total del sistema per-manece constante, o sea,

P = P0

Pi = P0i (1.17)

Para el caso unidimensional, se puede enun-ciar el principio de conservacin del momen-to lineal, en la forma: El momento lineal total delsistema aislado formado por las dos partculas, per-manece constante.Para la situacin de inters, se tiene que

el momento lineal ganado (o perdido) poruna partcula, es perdido (o ganado) por laotra partcula; as, al reemplazar las ecuaciones(1.15) y (1.16) en la ecuacin (1.17) se tiene

p1 + p2 = p01 + p02

= Constantep1i+ p2i = p01i+ p

02i

= Constante,

o lo que es igual

Dp1 = Dp2Dp1i = Dp2i, (1.18)

de donde, el momento lineal que gana unapartcula es igual al momento lineal que pierdela otra.Como consecuencia de este resultado, de

validez general, el cambio en el momento linealde una partcula se debe a su interaccin con laotra partcula. En conclusin, toda interaccin en-tre dos partculas genera cambios en sus momentoslineales individuales.A diario se presentan situaciones en las que se

manifiesta la conservacin del momento lineal.Por ejemplo, cuando un rifle en reposo respec-to a la tierra es disparado, se observa que el ri-fle retrocede. Este retroceso es una consecuenciadel principio de conservacin del momento li-neal, ya que en este caso, el momento lineal totaldel sistema inmediatamente antes del disparo einmediatamente despus del disparo, debe sernulo.


1.8. Movimiento en un plano

Las cantidades fsicas vector posicin (r), vec-tor desplazamiento (Dr), vector velocidad (v)y vector momento lineal (p), se han definidopara el caso de una dimensin. En lo que sigue,se analizan situaciones en las que los cuerposse mueven sobre un plano y no slo en lnearecta. Por consiguiente, los vectores anteriorestendrn dos componentes rectangulares, lo cualsignifica que en este caso los sistemas de refe-rencia deben ser bidimensionales.

1.8.1. Vector posicin en dos dimen-siones (r)

Para el caso de dos dimensiones, un cuerpotratado bajo el modelo de partcula, se muevea lo largo de un camino, tambin conocido co-mo trayectoria. La posicin de la partcula, enun instante determinado y respecto al sistemade referencia mostrado en la figura 1.21, est da-da por el vector posicin r trazado desde el ori-gen del sistema de referencia hasta la posicindonde se encuentre la partcula.

x

y

O i

j

r( )t

A( , )x y

Trayectoria

q

Figura 1.21: Vector posicin r de la partcula.

Si el vector posicin en componentes rectan-gulares est dado por r = x i+ yj , se tiene quesu magnitud y direccin estn dadas, respecti-vamente, por

r =q

x2 + y2 y q = tan1yx. (1.19)

La forma de las expresiones dadas por laecuacin (1.19) son vlidas, en general, paraobtener la magnitud y direccin de cualquiervector, si se conocen sus componentes rectangu-lares.

En la figura 1.21 se observa que el vector posi-cin r vara con el tiempo tanto en magnitud co-mo en direccin, mientras la partcula se muevea lo largo de su trayectoria.

Ejemplo 1.9.El vector posicin de una partcula quese mueve en el plano xy, est dado porr(t) = (t 3)i (t2 15)j, donde r estdado en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s lapartcula pasa por el punto A. Determine:a) Las coordenadas de la partcula en elpunto A. b) La magnitud y direccin delvector posicin en dicho instante.

Solucina) Reemplazando tA = 2.50 s en la expre-sin dada, se encuentra que el vector posi-cin en componentes rectangulares, cuan-do la partcula pasa por el punto A, estdado por

rA = ( 0.50m)i+ (8.75m)j.Como en el plano el vector posicin en ge-neral se expresa en la forma r = xi+ yj, alcomparar con la igualdad anterior se tieneque

xA = 0.50m y yA = 8.75m,que son las coordenadas de la partculacuando pasa por el punto A.

b) Utilizando las ecuaciones (1.19), seencuentra que la magnitud y direccin delvector posicin estn dadas por

rA = 8.76m y qA = 86.73o.

As, el vector posicin se puede expresaren la forma

rA

= 8.76 m 86.73o

El siguiente diagrama es una represen-tacin grfica de los resultados obtenidos.

Ejercicio 1.12.El vector posicin de una partcula quese mueve en el plano xy, est dado porr(t) = (t 3)i (t2 15)j donde r est da-do en m y t en s. a) Encuentre la ecuacinde la trayectoria seguida por la partcula.

1.8. MOVIMIENTO EN UN PLANO 15

A

x (m)

y (m)

i

j

rA

8.75

-0.50 O

qA

De acuerdo con su resultado, qu trayec-toria describe la partcula? b) Halle el ins-tante en que la partcula pasa por el eje xy el instante en que pasa por el eje y . c)Obtenga el vector posicin de la partculaen el instante t = 0.

Ejercicio 1.13.El vector posicin de una partcula quese mueve en el plano xy, est dado porrt = (2t2 1)i (t3 + 2)j donde r est da-do en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s lapartcula pasa por el punto A. Determine:a) Las coordenadas de la partcula en elpunto A. b) La magnitud y direccin delvector posicin en dicho instante.

1.8.2. Vector desplazamiento en dos di-mensiones (Dr)

Para el caso de movimiento en dos dimen-siones, como lo muestra la figura 1.22, se con-sidera una partcula que en el instante tA pasapor el punto A, definido por el vector posicinrA. Si en un cierto tiempo posterior tB (tB > tA )la partcula pasa por el punto B, definido me-diante el vector posicin rB, el vector desplaza-miento, que describe el cambio de posicin de lapartcula conforme se mueve de A a B, es dadopor

Dr = rB rA= (xB xA)i+ (yB yA)j. (1.20)

Ejemplo 1.10.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i (t2 15)j se

x

y

O ij

A( , )x yA A

B( , )x yB B

Dr

rB

rA

Figura 1.22: Vector desplazamiento Dr entre A y B.

encuentra en el punto A en tA = 2.50 s.Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por elpunto B, calcule la magnitud y direccindel vector desplazamiento entre A y B.

SolucinAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 sen la expresin dada, se encuentra que losvectores posicin de la partcula, en com-ponentes rectangulares, respectivamenteestn dados por

rA = ( 0.50m)i+ (8.75m)j,rB = (1.00m)i (1.00m)j.

Ahora, utilizando la ecuacin (1.20), paraeste caso se tiene que el vector desplaza-miento, entre A y B, en componentes rec-tangulares est dado por

Dr = (1.50m)i (9.75m)j.Por ltimo, utilizando las ecuaciones(1.19), se encuentra que la magnitud y di-reccin del vector desplazamiento estndadas por

Dr = 9.86 m y b = 81.25o,

Es decir

rA

= 9.86 m 81.25o

En el diagrama siguiente se muestra,tanto el vector desplazamiento como el n-gulo que forma con la horizontal.

Ejercicio 1.14.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (2t2 1)i (t3 + 2)j,donde r est dado en m y t en s, se en-cuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si en


x

y

O

b

rA

rB

D r

el tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,calcule la magnitud y direccin del vectordesplazamiento entre A y B.

1.8.3. Vector velocidad en dos dimen-siones (v)

Cuando la posicin de una partcula cambia conrespecto al tiempo, se dice que la partcula haadquirido una velocidad. En general, la veloci-dad de una partcula se define como la rapidezcon la cual cambia la posicin al transcurrir eltiempo.

1.8.4. Vector velocidad media en dos di-mensiones (v)

Para el caso de movimiento en el plano y deacuerdo con la figura 1.23, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posicin rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA ) la partculapasa por el punto B, determinado por el vectorposicin rB, la velocidad media durante el inter-valo de tiempo Dt = tB tA , se define comoel desplazamiento dividido entre el intervalo detiempo correspondiente, es decir

v DrDt

=rB rAtB tA

=(xB xA)i+ (yB yA)j

tB tA= vxi+ vyj.

(1.21)

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuacin (1.21), las dimen-siones del vector velocidad media y en general

x

y

O i

j

A( , )x yA A

B( , )x yB B

v

rA

rB

D r

Figura 1.23: Vector velocidad media entre A y B.

de la velocidad, son LT1 . Por consiguiente,las unidades son ms1 en el sistema SI, cm s1en el sistema gaussiano, p s1 en el sistemaIngls; y en general, cualquier unidad de lon-gitud dividida por una unidad de tiempo, talcomo kmh1.

La definicin (1.21) muestra que la velocidadmedia, v , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector Dr entre el escalar Dt, por lo tan-to, la velocidad media incluye tanto magnitudcomo direccin. Donde su magnitud est dadapor jDr/Dtj y su direccin por la del vector des-plazamiento Dr. Esta cantidad es una velocidadmedia, ya que la expresin no dice cmo fue elmovimiento entre A y B. La trayectoria pudohaber sido curva o recta, el movimiento pudohaber sido continuo o variable.La siguiente es una situacin en la que el

vector velocidad media es nulo. La figura 1.24,muestra la trayectoria de un auto que parte delpunto A y pasando por el punto B regresa alpunto A, luego de un tiempo Dt. En este caso,la velocidad media es cero ya que el desplaza-miento de la partcula es cero, aunque la distan-cia recorrida es diferente de cero.

Ejemplo 1.11.Una partcula de masa m = 500 g ycuyo vector posicin est dado porr(t) = (t 3)i (t2 15)j, se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, determinela magnitud y direccin de la velocidadmedia entre A y B.

SolucinObteniendo el vector desplazamiento Dr

1.8. MOVIMIENTO EN UN PLANO 17

x

y

O

A

B

Figura 1.24: Vector desplazamiento nulo.

y sabiendo que Dt = 1.5 s, utilizando laecuacin (1.3), se encuentra que la veloci-dad media en componentes rectangularesest dada por

v = (1.00m s1)i (6.5m s1)j. (1)Mediante las ecuaciones (1.19) y para estecaso, se encuentra que la magnitud y di-reccin del vector velocidad media, estndadas por

v = 6.58m s1 y b= 81.25o

o sea que es la misma direccin del vector

v = 6.58 ms-1

81.25o

desplazamiento Dr , como se esperaba.

Ejercicio 1.15.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i (t2 15)j, se en-cuentra en el punto A en el instante tA. Sien el tiempo tB pasa por el punto B, de-muestre que la velocidad media cuando lapartcula pasa del punto A al punto B, estdada por v = i (tB + tA)j.

Ejercicio 1.16.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (2t2 1)i (t3 + 2)j, seencuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Sien el tiempo tB = 4.00 s pasa por el puntoB, calcule la magnitud y direccin del vec-tor desplazamiento entre A y B y del vec-tor velocidad media en dicho intervalo.

Ejemplo 1.12.La velocidad media cuando una partcula

pasa del punto A al punto B, est dadapor v = i (tB + tA)j . Obtenga la mag-nitud y direccin de la velocidad media,cuando la partcula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla 1.2.

SolucinEn la tabla 1.2 se muestran los valoresobtenidos para la magnitud (v) y ladireccin (q) del vector velocidad media,en diferentes intervalos de tiempo (Dt)con tB = 3.0 s.

Tabla 1.2

tA(s) tB(s) Dt(s) v(m/s) q(o)

2.980000 3.0 0.020000 6.060000 80.500002.990000 3.0 0.010000 6.070000 80.520002.995000 3.0 0.005000 6.078000 80.530002.998000 3.0 0.002000 6.081000 80.534002.999000 3.0 0.001000 6.082000 80.536002.999500 3.0 0.000500 6.082300 80.536902.999800 3.0 0.000200 6.082600 80.537402.999900 3.0 0.000100 6.082700 80.537502.999990 3.0 0.000010 6.082750 80.537662.999995 3.0 0.000005 6.082758 80.53767

PreguntaQu puede concluir al observar los valo-res de las tres ltimas columnas de la tabla1.2

Ejercicio 1.17.Para una partcula, el vector posicin enfuncin del tiempo est dado por r(t) =(2t2 1)i (t3 + 2)j , donde r est dadoen m y t en s. a) Si la partcula pasa por elpunto A en el instante tA y por el puntoB en el instante tB , halle el vector veloci-dad media en sus componentes rectangu-lares. b) Obtenga la magnitud y direccinde la velocidad media, cuando la partculase mueve durante los intervalos de tiem-po mostrados en la tercera columna de latabla 1.2.


1.8.5. Vector velocidad instantnea endos dimensiones (v)

Es la velocidad de una partcula en un instantedado cualquiera. O tambin, la velocidad, respectoa determinado sistema de referencia, que puede vari-ar bien sea porque cambia slo su magnitud slo sudireccin simultneamente cambian tanto su mag-nitud como su direccin.Para el movimiento de una partcula, repre-

sentado en la figura 1.25, cmo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

y

O i

j

A

B

v

B '

B ''Dr''

Dr'Dr

rA

rB

Figura 1.25: Vector velocidad instantnea.

Al considerar las posiciones intermedias dela partcula en t,2, t

,,2, t

,,,2 , determinadas por los

vectores posicin r,2, r,,2, r

,,,2 , se observa que los

vectores desplazamiento Dr,, Dr,,, Dr,,,, cambiantanto en magnitud como en direccin, o sea quela velocidad media vara tanto en magnitud co-mo en direccin al tener en cuenta los puntosentre A y B.Igualmente, los intervalos de tiempo corres-

pondientes Dt = t2 t1, Dt, = t,2 t,1, Dt,, =t,,2 t,,1, Dt,,, = t,,,2 t,,,1 , cada vez se hacen mspequeos.Si se contina este proceso haciendo que B se

aproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez ms pequeo hasta que tiendea un valor y a una direccin lmite, que corre-sponde a la de la tangente a la trayectoria dela partcula en el punto A. Este valor lmite deDr/Dt se conoce como velocidad instantnea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partcula en elinstante de tiempo tA .Si Dr es el desplazamiento en un pequeo in-

tervalo de tiempo Dt, a partir de un tiempo to,la velocidad en un tiempo posterior t, es el valor

al que tiende Dr/Dt cuando tanto Dr como Dt,tienden a cero, es decir,

v = lmDt!0

DrDt

. (1.22)

La ecuacin (1.22) no es ms que la definicinde derivada, esto es

v =drdt

. (1.23)

De la ecuacin (1.23), se concluye que la ve-locidad instantnea es tangente a la trayectoriaseguida por la partcula. La magnitud de la ve-locidad se llama rapidez y es igual a

v = jvj =drdt

.Como r = xi+ yj , se tiene que en componentesrectangulares

v =drdt

=dxdt

i+dydt

j

= vxi+ vyj.

Si en la figura 1.26, se conocen las componentesrectangulares, se tiene que su magnitud y direc-cin estn dadas por

v =q

v2x + v2y y q = tan1 vy

vx.

De acuerdo con la definicin del vector velocidad ins-tantnea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.En adelante, siempre que se hable de veloci-

dad, se hace referencia a la velocidad instant-nea.Partiendo de la definicin del vector veloci-

dad, es posible conocer el vector posicin deuna partcula si se conoce la forma como varael vector velocidad con el tiempo.Teniendo en cuenta que en el instante de

tiempo to la partcula se encuentra en la posi-cin ro, mediante la ecuacin (1.23) se encuentraque que la posicin de la partcula en el instantet est dada por

r = ro +tZ

to

v(t)dt. (1.24)

1.9. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (P) 19

x

y

O i

j

r( )t

q

vy

vx

v

Figura 1.26: Componentes rectangulares del vectorvelocidad.

Mientras no se conozca la forma como vara elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es posi-ble resolver la integral de la ecuacin (1.24).

Ejemplo 1.13.El vector posicin de una partcula demasa 800 g que se mueve en el plano xy,est dado por r(t) = (t 3)i (t2 15)j,donde r est dado enm y t en s. Determinela velocidad de la partcula, magnitud ydireccin, en el instante t = 3 s.

Solucina) Empleando la ecuacin (1.23) se tieneque la velocidad en cualquier instante detiempo t est dada por

v = i 2tj.Reemplazando t = 3 s en la expresinpara v, se tiene que el vector velocidad encomponentes rectangulares est dado por

v = (1m s1)i (6m s1)j. (1)As que su magnitud y direccin estndadas respectivamente por

v = 6.083m s1 y q = 80.54o,es decir

v= 6.083m.s-1

80.54o

Ejercicio 1.18.El vector posicin de una partcula quese mueve en el plano xy, est dado porr(t) = (2t2 1)i (t3 + 2)j donde r estdado en m y t en s. Determine la veloci-dad de la partcula, magnitud y direccin,en el instante t = 3 s . Compare el resulta-do con lo obtenido en el ejercicio 1.12.

1.9. Momento lineal o cantidad demovimiento en dos dimen-siones (p)

En esta seccin, de nuevo se hace referencia alas cantidades dinmicas masa y momento linealque son el punto de partida de la mayora de losconceptos que se tratarn en adelante.Como ya se sabe, la fsica dispone de una can-

tidad escalar que es caracterstica o propia decada cuerpo como es su masa. Recuerde que nose hace una definicin operacional de la masa,sino que en su lugar se emplea el concepto in-tuitivo que de ella se tiene, esto es, lo que marcauna balanza cuando un cuerpo se coloca sobreella.Igualmente, tenga presente que la masa de un

cuerpo es una cantidad fundamental cuya di-mensin es M y que de acuerdo con esta dimen-sin, las unidades respectivas son: el kilogramo(kg) en el sistema de unidades SI, y el gramo (g)en el sistema gaussiano de unidades.En el caso de dos dimensiones, la primera

cantidad dinmica a definir, es el vector momen-to lineal o vector cantidad de movimiento, de granimportancia en la fsica pues permite obtenerms informacin que el vector velocidad.

O

p

m

y

x

Figura 1.27:Momento lineal de una partcula.

Una partcula de masa m y que posee una ve-locidad v respecto a determinado observador,tiene un momento lineal dado por

p mv. (1.25)

De acuerdo con la definicin dada por laecuacin (1.25), se tiene que el momento lineal


es una cantidad vectorial que apunta en la mis-ma direccin del vector velocidad, como se ilus-tra en la figura 1.27.Adems, como la velocidad depende del sis-

tema de referencia, entonces el momento linealtambin depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es tangente a latrayectoria descrita por la partcula, el momen-to lineal tambin es tangente a la trayectoriaque la partcula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definicin demomento lineal,se tiene que sus dimensiones son iguales a la di-mensin de masa por la dimensin de veloci-dad, es decir [p] = [m][v] = MLT1 . Por lotanto, las unidades en los respectivos sistemasestn dadas por: kgms1 en el sistema SI deunidades, g cm s1 en el sistema gaussiano deunidades y lb s en el sistema ingls de unidades.

Ejemplo 1.14.Si el momento lineal de una partcula demasa 600 g, est dado por p = 0.6i 1.2tj,halle el vector posicin de la partculaen el instante de tiempo t, sabiendoque parti de una posicin en la cualro = (3.0m)i+ (15m)j en to = 0.

SolucinPartiendo de la definicin del vector mo-mento lineal, se encuentra que en compo-nentes rectangulares el vector velocidadest dado por

v = i 2tj (1). Al reemplazar los vectores ro y v en laecuacin (1.24), se encuentra que al inte-grar, evaluar y simplificar, el vector posi-cin de partcula est dado por

r = (t 3)i (t2 15)j,que es el mismo vector posicin conside-rado en el ejemplo 1.1. De este resulta-do, se puede concluir que si se conoce elvector posicin de una partcula, en fun-cin del tiempo, es posible conocer el vec-tor momento lineal y si se conoce el vec-tor momento lineal, en funcin del tiem-po, se puede conocer el vector posicin de

la partcula (recuerde que la integracin esla operacin inversa de la derivacin).

Ejercicio 1.19.Si el momento lineal de una partcula conmasa 400g est dado por p = 1.6ti 1.2t2j,halle el vector posicin de la partcula enel instante de tiempo t, sabiendo que par-ti de una posicin en la cual en ro =(1.00m)i (2.00m)j en to = 0. Com-pare su resultado con el vector posicindado en el ejercicio 1.17.

1.9.1. Conservacin del momento linealen dos dimensiones

Como se indic antes, aunque solo se consi-deran dos casos particulares, el principio deconservacin del momento lineal tiene validezgeneral, sin importar el nmero de partculasque intervienen en un sistema. Este principioes de gran utilidad en la fsica, tanto desde unpunto de vista terico como experimental. Enlos dos casos que se consideran a continuacin,se recurre a los resultados que muestra elexperimento, cuando este se lleva a cabo.

1. En el primer experimento se considera lasituacin en la que a una partcula, de masam y con movimiento en el plano, se le impideinteractuar con cualquier otra, como se ilustraen la figura 1.28. Al no interactuar la partcu-la con ninguna otra, el resultado que se obtienees que su estado de movimiento no es alterado,esto es, su velocidad permanecer constante, olo que es igual, su momento lineal debe per-manecer constante. Lo anterior se puede expre-sar matemticamente en la forma

p = mv = Constante o sea Dp = 0

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.29, se aslan, del resto del uni-verso, dos partculas con masas constantes m1 ym2 y que se mueven en un plano. Decir que seaslan del resto del universo, equivale a afirmarque slo se permiten sus interacciones mutuas.A un sistema como este se le llama sistema aisla-do.

1.9. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (P) 21

v

m

Figura 1.28: Conservacin del momento lineal deuna partcula aislada.

v1

m1

v2

m2

t

t>t'm

1

m2

v1'

v2'

Figura 1.29: Momento lineal de dos partculas ais-ladas.

Una vez que se le permite a las partculas in-teractuar entre s, se encuentra que sus momen-tos lineales individuales cambian al transcurrirel tiempo. Adicionalmente, el momento linealtotal del sistema formado por las dos partcu-las, en cualquier instante, est dado por la sumade los momentos lineales de las partculas. Deacuerdo con lo anterior, en el instante t el mo-mento lineal del sistema aislado, est dado por

P = p1 + p2= m1v1 +m2v2, (1.26)

y en el instante posterior t0 por

P0 = p01 + p02

= m1v01 +m2v02. (1.27)

El experimento muestra, que independiente-mente de los valores de t y t0, el momento linealtotal del sistema permanece constante, o sea,

P = P0 (1.28)

Como la ecuacin (1.28) es vlida independien-temente del nmero de partculas que con-forman el sistema, se enuncia el principio deconservacin del momento lineal, en la forma:El momento lineal total de un sistema aislado departculas, permanece constante.De este modo, el momento lineal ganado

(perdido) por una partcula, es perdido (gana-do) por el resto del sistema.Para la situacin que interesa en este mo-

mento, se tiene que el momento lineal ganado(o perdido) por una de las partculas, es per-dido (o ganado) por la otra partcula. As, alreemplazar las ecuaciones (1.26) y (1.27) en laecuacin (1.28) se tiene

p1 + p2 = p01 + p02

= Constante,

o lo que es igual

Dp1 = Dp2, (1.29)de donde, el momento lineal que gana unapartcula es igual al momento lineal que pierdela otra.El resultado anterior tiene validez general y

permite afirmar que el momento lineal de unapartcula cambia cuando interacta con otra uotras partculas. En conclusin, toda interaccinentre partculas genera cambios en sus momentoslineales individuales.A menudo ocurren situaciones en las que se

manifiesta claramente la conservacin del mo-mento lineal en dos dimensiones. Un ejemplo,claro de conservacin del momento lineal endos dimensiones, se presenta cuando una mo-to choca contra un camin. Es evidente que elcamin prcticamente no cambia su trayectoria,en cambio la moto generalmente termina en unlugar relativamente alejado de donde ocurri elchoque.

1.9.2. Concepto de impulso (I)

El impulso es una cantidad fsica que se de-fine en funcin del momento lineal, en la forma

Dp = p po, I, (1.30)


donde la ecuacin (1.30) la define como elcambio en el vector momento lineal. De acuerdocon esta definicin, las dimensiones y unidadesde impulso son las mismas de momento lineal.De este modo, por definicin, el impulso no de-pende explcitamente de la masa m ni de la ve-locidad inicial vo de la partcula, ya que slo im-porta el cambio en el momento lineal la partcu-la.El impulso es una cantidad fsica que

adquiere importancia cuando se presenta ungran cambio en el momento lineal de unapartcula pero durante un pequeo intervalo detiempo. Por ejemplo, cuando el bate le da a unapelota de bisbol o cuando se le pega con el paloa una pelota de golf.

1.10. Concepto de energa cinticaEk

Otra cantidad fsica de importancia en la fsi-ca es la energa cintica de una partcula. Estacantidad es un escalar, que se puede expresaren funcin de la magnitud del vector velocidado de la magnitud del vector momento lineal.Como se vio anteriormente, el momento li-

neal de una partcula en movimiento cambiacon el tiempo mientras esta interacta con otrapartcula. Se supone que el momento lineal dela partcula sufre un cambio dp durante un in-tervalo de tiempo dt en el cual la partcula se hadesplazado un dr.Derivando respecto al tiempo, a ambos lados

de la ecuacin (1.25), se tiene

dpdt

= mdvdt

. (1.31)

Multiplicando escalarmente, a ambos lados dela ecuacin (1.31), por el desplazamiento dr, esposible obtener la igualdad

1mp dp = mv dv. (1.32)

Como se muestra en la figura 1.30, se consideraque la partcula se mueve desde una posicin Adonde la rapidez es vA y la magnitud del mo-mento lineal pA, hasta una posicin B donde la

rapidez es vB y la magnitud de su momento li-neal pB. Mediante la ecuacin (1.32) y luego deintegrar y evaluar, se llega a

p2

2m p

2o

2m=

12mv2 1

2mv2o

D(p2

2m) = D(

12mv2). (1.33)

x

y

O

BA

m

m

vA

vB

pA

pB

Figura 1.30:Movimiento de m entre A y B

La ecuacin (1.33) muestra que el cambio enla cantidad D( p

2

2m ) es igual al cambio en la can-tidad D( 12mv

2), mostrando con ello que ambasexpresiones se refieren a la misma cantidad fsi-ca conocida como energa cintica, es decir, laenerga cintica se define matemticamente por

Ek p2

2m 1

2mv2. (1.34)

Como lo muestra la ecuacin (1.34) la energacintica es una cantidad escalar ya que dependebien sea de la magnitud del vector momentolineal o de la rapidez de la partcula, es de-cir, es independiente de la direccin en que semueve la partcula. O sea, la definicin de ener-ga cintica no tiene en cuenta el hecho que elsistema de referencia sea unidimensional o bidi-mensional.Como la energa cintica es una cantidad fsi-

ca que depende, bien sea de la magnitud de lavelocidad de la magnitud del momento lineal,entonces depende del sistema de referencia yaque la velocidad, igual que el momento lineal,depende de l. Por otro lado, al ser la energacintica una funcin de la rapidez o de la mag-nitud del momento lineal, es una energa quese le asocia a los cuerpos como consecuenciade su movimiento. Un cuerpo en reposo respec-to a determinado observador, no tiene energa

1.11. COLISIONES 23

cintica respecto al sistema de referencia asocia-do, aunque puede ser diferente de cero respectoa otros observadores, es decir, la energa cinticaes una cantidad relativa.En el caso particular de un movimiento rec-

tilneo uniforme, esto es, cuando una partcu-la se mueve con velocidad constante, el cambioen la energa cintica es nulo, es decir, DEk =0, lo que indica que la energa cintica per-manece constante durante su movimiento. Estasituacin se ilustra en la figura 1.31

x

O

v = Constante

Figura 1.31: Cuerpo con movimiento rectilneo uni-forme.

Dimensiones y unidades de energa cinticaDe acuerdo con las ecuaciones (1.33) y (1.34),las dimensiones de energa cintica sonML2T2por lo que su unidad en el sistema interna-cional de unidades es el kgm2 s2, unidad cono-cida como Joule, en el sistema gaussiano deunidades es el g cm2 s2 unidad conocida comoergio y en el sistema ingls de unidades lb p. Esdecir

1kgm2 s2 1J(Joule)1g cm2 s2 1 (ergio)

En mecnica cuntica y particularmente fsi-ca nuclear, se encuentra que las unidadesdefinidas anteriormente para trabajo y energason muy grandes, por ello, a nivel microscpicose utiliza otra unidad ms pequea de energallamada electronvoltio (eV) y cuya relacin conla unidad SI es

1 eV 1 .602 1019 J.Un mltiplo de esta unidad bastante utilizadoes el MeV, cuya relacin es 1MeV 106 eV.

1.11. Colisiones

Se habla de una colisin, cuando ocurre una in-teraccin entre dos oms partculas, en un inter-valo corto de tiempo, en una regin limitada del

espacio y donde las fuerzas entre los cuerpos in-teractuantes son muy intensas, al compararlascon la otras fuerzas actuantes sobre los cuerpos.En toda colisin, la interaccin entre las

partculas altera su movimiento, ya que gen-eralmente se presenta un intercambio de mo-mento lineal y de energa. Lo anterior, no sig-nifica necesariamente que las partculas hayanestado en contacto fsico. En general, se quiereindicar que ha ocurrido una interaccin cuandolas partculas estaban prximas como se mues-tra en la regin encerrada de la figura 1.32 parael caso de dos partculas. Cuando se presentacontacto fsico entre las partculas, se acostum-bra denominar la colisin como un choque, estoocurre por ejemplo entre dos bolas de billar oentre dos autos.En muchos casos, los cuerpos antes de un

choque son diferentes a los cuerpos despus delchoque. En una reaccin qumica, por ejemplo,el tomo A choca con la molcula BC, apare-ciendo luego del choque la molcula AB y eltomo C, esto es A+ BC $ AB+ C. En el ca-so de un disparo, antes de la colisin se tieneun cuerpo formado por el arma y el proyectil yluego del disparo se tienen dos cuerpos, el ar-ma y el proyectil. En el enganche de vagones deun tren, antes del choque se tienen dos cuerpos,cada uno de los vagones, y luego del choque setiene un cuerpo formado por los dos vagonesenganchados.Se dice que ocurre una dispersin, cuando en

un choque o colisin los cuerpos iniciales sonlos mismas cuerpos finales.

Regindecolisin

m1

m1'

m2

m2'

v1

v2v2'

v1'

Figura 1.32: Colisin entre dos partculas.

Como un resultado del experimento y sabien-do que en un choque se tiene un sistema aislado,puesto que nicamente actan fuerzas internas


que afectan el estado de cada cuerpo, se puedeafirmar, el momento lineal total de un sistema esigual antes y despus de una colisin. Matemtica-mente y para el caso de dos partculas se tiene

p1 + p2 = p,1 + p

,2, (1.35)

donde p1 y p2 son los momentos lineales decada una de las partculas antes de la colisin,p,1 y p

,2 los momentos lineales de cada una de

las partculas despus de la colisin.Comnmente, la ecuacin (1.35) se escribe en

la forma

m1v1 +m2v2 = m,1v,1 +m

,2v

,2 ,

siendo m1, m2 las masas de las partculas antesde la colisin y m,1, m

,2 las masas despus de la

colisin.En general, uno de los objetivos al analizar

una colisin es poder relacionar las velocidadesde las partculas antes y despus que esta ocu-rra. Para el caso de una colisin en dos di-mensiones y entre dos partculas, si se cono-cen las velocidades antes de la colisin se tienencuatro incgnitas, correspondientes a las com-ponentes de las velocidades de cada partculaen las dos dimensiones; pero como la conser-vacin del momento lineal slo proporciona dosecuaciones, una en cada direccin, es necesarioobtener ms informacin y para ello se recurrea la conservacin de la energa.Como en una colisin el sistema de cuer-

pos interactuantes conforman un sistema ais-lado, significa que no intervienen fuerzas ex-ternas al sistema. Por ello, la energa mecnicamacroscpica del sistema se conserva y en estecaso solo aparece en forma de energa cintica.Para considerar la conservacin de la energa,

se define el factor de colisin Q en la forma

Q E0k Ek,donde Ek y E

,k son, respectivamente, las ener-

gas cinticas totales del sistema antes y des-pus de la colisin.Para el caso de dos partculas que colisionan,

el factor de colisin adquiere la forma

Q = ( 12m,1v

,21 +

12m

,2v

,22 )

( 12m1v21 + 12m2v22). (1.36)

Dependiendo del valor en el factor de colisin,puede ocurrir

i) Que la colisin sea elstica, esto se presentacuando Q = 0, por lo que en este caso nohay cambio en la energa cintica del sis-tema, o sea, E

0k = Ek. De acuerdo con lo

anterior, en toda colisin elstica se conservatanto la energa cintica total del sistema, comoel momento lineal total del sistema.

ii) Que la colisin sea inelstica, ello se pre-senta cuando Q 6= 0 y en esta situacin,la energa cintica aumenta si Q > 0 odisminuye si Q < 0 . En el primer ca-so, las partculas al colisionar desprendenparte de su energa interna y en el segun-do absorben parte de la energa mecnicaintercambiada en la colisin. En este casoes vlido afirmar en una colisin inelstica nose conserva la energa cintica total del sistema,pero s se conserva el momento lineal total delsistema.

De las dos definiciones anteriores se concluyeque en toda colisin se conserva el momento li-neal total del sistema.Si despus del choque slo aparece una

partcula, se dice que se tiene una colisin com-pletamente inelstica o plstica. Debe quedar claroque toda colisin completamente inelstica esuna colisin inelstica, pero una colisin ine-lstica no tiene que ser una colisin completa-mente inelstica.El parmetro de impacto b, es una cantidad que

permite saber si una colisin ocurre en una odos dimensiones. Este parmetro est dado porla distancia de separacin b entre la lnea demovimiento de la partcula incidente y la lneaparalela que pasa por la otra partcula, como semuestra en la figura 1.33.De este modo, el parmetro de impacto es la

distancia por la cual una colisin deja de serfrontal. Una colisin frontal, o en una dimen-sin, corresponde a b = 0 y valoresmayores quecero para b, indican que la colisin es oblicua, oen dos dimensiones.

Ejemplo 1.14.Como se muestra en la figura, un auto de

1.11. COLISIONES 25

bm

1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2=0

v2'

j

Figura 1.33: Parmetro de impacto.

masa m1 y que se mueve con velocidad v1hacia la derecha, choca frontalmente conotro auto de masa m2 que se encuentra enreposo sobre la misma va. Analice la co-lisin de los autos si esta es a) comple-tamente inelstica, b) elstica. c) Sabien-do que m1 = 300 g, m2 = 700 g y v1 =10m s1, halle los valores de las canti-dades obtenidas en los numerales anterio-res.

v1

v2= 0

2

m2m1

SolucinComo en toda colisin, el momento linealtotal del sistema formado por los dos au-tos se conserva en el choque. De este mo-do, la ecuacin (1.35) adquiere la forma

m1v1 = m1v,1 +m2v

,2, (1)

donde se ha tomado como positivo el sen-tido inicial de movimiento para el auto demasa m1.

Por otro lado, por la conservacin dela energa, la ecuacin (1.36) para el factorde colisin, se transforma en

Q =12m1v

,12 + 12m2v

,22 12m1v21. (2)

a) Cuando la colisin es completamenteinelstica, despus del choque aparece s-lo una partcula de masa m1 + m2 con ve-locidad v,1 = v

,2 = V.

As, mediante la ecuacin (1) se en-cuentra que la velocidad final del sistematiene la forma

V =m1

m1 +m2v1. (3)

Por consiguiente, independientemente dela relacin entre las masas m1 y m2, des-pus de la colisin plstica, la velocidaddel sistema esmenor y apunta en el mismosentido que la velocidad con la cual incideel auto de masa m1.

Igualmente, para el factor de colisin,la ecuacin (2) permite llegar a

Q = m1m22(m1 +m2)

v21. (4)

En esta colisin los autos se deforman, osea que parte de la energa cintica del sis-tema se transforma en energa interna yaque Q < 0, sin tener en cuenta cual au-to tiene masa mayor. En sntesis la colisines inelstica.

b) Si la colisin es elstica, la energacintica total del sistema se conserva en elchoque, por lo que el factor de colisin esnulo y las ecuaciones (1) y (2) se puedenescribir, respectivamente, en la forma

m1(v,1 v1) = m2v,2, (5)

m1(v,1 v1)(v,1 + v1) = m2v,22. (6)

Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) se ob-tiene

v,1 + v1 = v,2. (7)

Finalmente, por medio de las ecuaciones(5) y (7) y luego de simplificar, se encuen-tra que las velocidades de los autos des-pus del choque estn dadas por

v,1 =m1 m2m1 +m2

v1

v,2 =2m1

m1 +m2v1. (8)

En esta colisin, la velocidad del bloquem2 tiene el mismo sentido que la velocidadde incidencia de m1. En cambio, el senti-do de movimiento de m1 despus de lacolisin, depende de la relacin entre lasmasas de los bloques, esto es, si m1 > m2el bloque de masa m1 se mueve en el mis-mo sentido que m2; si m1 < m2 el bloquede masa m1 rebota en el choque movin-dose en sentido opuesto am2, y sim1 = m2el bloque de masa m1 queda en reposodespus de la colisin.

c) Reemplazando valores, con m1 =0.3 kg, m2 = 0.7 kg, se tiene


- Para la colisin completamente inelsti-ca, por las ecuaciones (3) y (4), se encuen-tra

V = 3.0m s1,Q = 10.5 J.

- Para la colisin elstica, la ecuacin (8)lleva a los valores

v,1 = 4.0ms1,v,2 = 6.0ms

1.

El signo menos en la velocidad de m1, sig-nifica que este bloque rebota en el choquepor cumplirse la relacin m1 < m2.

Ejercicio 1.20.Como se muestra en la figura, un autode masa m1 y con velocidad v1 hacia laderecha, choca frontalmente con un se-gundo auto de masa m2 que inicialmentese mueve hacia la izquierda con velocidadv2 = v1. Analice la colisin de los au-tos si esta es a) completamente inelstica,b) elstica. c) Sabiendo que m1 = 300 g,m2 = 700 g y v1 = 10m s1, halle losvalores de las cantidades obtenidas en losnumerales anteriores.

v1 v

2

2

m2m1

Ejemplo 1.15.El cuerpo de la figura de masam1 y veloci-dad v1, tiene una colisin oblicua con elcuerpo demasam2 inicialmente en reposo.a) Determine la magnitud de la veloci-dad de los bloques inmediatamente des-pus del choque, si las masas despus dela colisin se mueven en las direccionesmostradas. b) Resolver para m1 = 0.2kg,m2 = 0.3kg, v1 = 15.0ms1, j1 = 30o yj=40o. Es la colisin elstica o inelstica?

Solucina) Como el momento lineal total de lasdos partculas se conserva en la colisin,la ecuacin (1.35) adquiere la forma

m1v1 = m1v,1 +m2v

,2.

j

2

m1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2=0

v2'

x

y

j

1

Descomponiendo las velocidades en suscomponentes rectangulares, se obtienepara las direcciones x y y, respectiva-mente, las expresiones

m1v1 = m1v,1cosj1 +m2v

,2cosj2, (1)

0 = m1v,1senj1 +m2v,2senj2. (2)Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se ob-tiene

v,1 =senj2

sen(j1 + j2)v1,

v,2 =m1m2

senj1sen(j1 + j2)

v1.

De estos resultados se tiene que para va-lores fijos de j1 y j2, la velocidad de m1despus del choque es independiente dela masa de los cuerpos, mientras que param2 la velocidad s depende de la relacinentre las masas de los cuerpos.

b) Reemplazando valores se encuentraque la magnitud de las velocidades son

v,1 = 10.3ms1,

v,2 = 5.3ms1.

Al calcular el factor de colisin, se encuen-tra que la colisin es inelstica ya que Q =7.7J. De este modo, parte de la energamecnica se transforma en energa internade las partculas.

1.12. ENUNCIADOS

1. La fuerza neta F que acta sobre unapartcula, debido a las fuerzas F1 y F2 apli-cadas simultneamente sobre ella, est di-rigida horizontalmente hacia la derecha,como se muestra en la figura. La magnitudde la fuerza F1 es 10N. a) Utilizando la figu-ra, muestre grficamente que los tres vec-tores han sido trazados correctamente. b)

1.12. ENUNCIADOS 27

Determine las magnitudes de los vectoresfuerza F y F1. Resolverlo por dos mtodosdiferentes.

y

x45

o

F1

F

F2

2. Sobre la partcula de la figura, actan lasfuerzas F1 y F2, con magnitudes respecti-vas de 800N y 500N. Encuentre a) las com-ponentes rectangulares de las fuerzas F1 yF2, b) los ngulos que cada fuerza formacon cada uno de los ejes de coordenadas,c) el ngulo entre las fuerzas F1 y F2 y d)la magnitud y direccin de la fuerza netaque acta sobre la partcula debido a lasdos fuerzas aplicadas.

xy

z

70o

40o

30o25

o

F1

F2

3. Un auto que se mueve en lnea recta ha-cia la izquierda, pasa por las ciudades con-secutivas A, B y C, regresando luego ala ciudad B. En un diagrama que incluyael sistema de referencia, muestre el vec-tor desplazamiento del auto y exprselomatemticamente en funcin de su respec-tiva componente.

4. Un auto est 16m al Este de la seal dePARE en el instante de tiempo ti , y 37mal Oeste de la seal al tiempo tf. Si la seales el origen de coordenadas y el eje x apun-ta hacia el este. Determine: (a) xi , (b) xf, (c)ri, (d) rf y (e) Dr.

5. Un ciclista se movi en lnea recta durantecierto intervalo de tiempo y de tal formaque el vector desplazamiento es paralelo alvector unitario i. De lo anterior es posibleconcluir que el ciclista slo se desplaz en

el mismo sentido del vector unitario i? Ex-plique.

6. Las grficas de la figura muestran lavariacin de la posicin x en funcin deltiempo t, para un atleta que se mueveen lnea recta. Describa el movimiento delatleta y llvelo a cabo con la punta de sulpiz.

x

t

x

t

x

t

7. La grfica de la figura muestra la forma co-mo cambia la posicin de una hormiga enfuncin del tiempo, cuando se mueve a lolargo de una trayectoria rectilnea. (a) Traceel vector desplazamiento en la grfica y ex-prselo matemticamente. (b) Obtenga lagrfica de la forma como vara la veloci-dad de la hormiga en funcin del tiempo.(c) Utilizando la grfica anterior, encuentrela magnitud del desplazamiento durante elmovimiento y compare su resultado con elhallado en el numeral (a).

x (cm)

t (s)

10

-10

20

-20

1 2 3 4 5

8. En la grfica se indica el cambio de la rapi-dez v en funcin del tiempo (t), para un au-to que se mueve sobre una autopista recta.Obtenga la grfica de la posicin en fun-cin del tiempo para el auto, suponiendoque pas por el origen en t = 0.

9. La ecuacin cinemtica de posicin, parauna bicicleta que semueve sobre el eje x, es-t dada por la expresin x(t) = 14t+ 74


v (ms )-1

t (s)

30

60

1 2 3 4 5-30

-60

, donde x se da en m y t en s. (a) Cul esla posicin inicial de la bicicleta? (b) Cules el momento lineal de la bicicleta, en fun-cin del tiempo, si esta tiene una masa de10.5 kg? De acuerdo con el resultado, qumovimiento tiene la bicicleta? Por qu? (c)Haga un diagrama que ilustre la situacin,teniendo en cuenta las respuestas de los nu-merales anteriores. (d) Haga una grfica dela posicin de la bicicleta en funcin deltiempo, desde t = 0 s a t = 6 s. (e) Hagauna grfica de la velocidad de la bicicle-ta en funcin del tiempo, desde t = 0 s at = 6 s.

10. Un auto A se mueve hacia la derechapor una pista recta y con una rapidez80 km h1. El conductor del auto A obser-va otro auto B que se encuentra 50m de-lante de l sobre un carril paralelo. Supon-ga que el auto B se mueve en el mismo sen-tido que el auto A con una velocidad demagnitud 60 km h1. (a) Halle la posicinen la cual un auto pasa frente al otro. (b)Encuentre el momento lineal de cada autosi cada uno tiene una masa de 103kg. Re-suelva la misma situacin para el caso en elcual un auto se mueve hacia el otro.

11. Ser posible encontrar una situacin fsi-ca, de un cuerpo en movimiento, en la queel momento lineal no sea paralelo a la ve-locidad? Explique.

12. Un nio tira un juguete para que su pe-rro, de masa 8 kg, lo recoja. El perro em-prende la carrera en busca del juguete, quese encuentra a 9m de distancia, y lo trae devuelta. El viaje le toma 4.3 s . (a) Cul es

el desplazamiento del perro? (b) Cul esla distancia total que recorri el perro? (c)Cul es el momento lineal medio del pe-rro?

13. La magnitud del momento lineal de unauto con movimiento rectilneo, vara conla magnitud de la velocidad en la formamostrada en la figura. Cul es el significa-do fsico de la pendiente de la recta? Halleel valor numrico correspondiente.

16v ( 10ms )x -1

p

( 10 kgms )x 4 -1

1 3 5 7

48

112

80

14. Un camin y su carga, con una masa de2 104 kg, se mueve en lnea recta conuna rapidez de 1 km h1. Con qu rapi-dez tendr que correr usted para adquirirla misma magnitud de la cantidad demovimiento del camin? Utilice su propiamasa. Exprese su resultado en km h1 yen m s1.

15. Una bala de 30 g tiene una velocidad hori-zontal de magnitud 100m s1. Con qurapidez tendr que correr usted para al-canzar la magnitud de la cantidad demovimiento de la bala? Utilice su propiamasa. Exprese su resultado en km h1 yen m s1.

16. La partcula a es un ncleo de helio con unamasa de 6.88 1027kg, la cual es emitidaen una desintegracin radiactiva del 23892 U.Una partcula a tiene una rapidez de 1.4107m s1. Esta es una rapidez pequeacomparada con la de la luz (3 108m s1).(a) Cul es la magnitud de la cantidad demovimiento de la partcula a? (b) Cul esla magnitud velocidad de una masa de 1 gcon la misma magnitud de la cantidad de

1.12. ENUNCIADOS 29

movimiento de la partcula a? (c) Cuntotiempo demora la masa de 1 g en recorrer1m con esta rapidez? Exprese su resultadoen aos.

17. Con qu rapidez debe correr usted para al-canzar la misma magnitud de la cantidadde movimiento que un auto de 103kg demasa que se desplaza a 1 km h1?

18. La figura muestra la forma como vara laposicin x de una partcula en funcin deltiempo t, mientras esta se mueve en lnearecta. La masa de la partcula es 400 g. (a)El momento lineal de la partcula es ceroen algn instante? Explique. (b) Es cons-tante el momento lineal de la partcula? Ex-plique. (c) Cul es el momento lineal dela partcula en el instante t = 0 s (d) Cules su momento lineal en el instante t = 3 s(e) En qu instante la partcula pasa por elorigen? Cul es su momento lineal en eseinstante?

x (m)

t (s)

1

-1

2

-2

1 2 3 4 5

19. Un auto de masa 1.2 103kg se desplazacon una velocidad horizontal de magnitud100 km h1 en direccin Suroeste. El sis-tema de coordenadas se toma de tal formaque el eje x apunta hacia el Este y el eje y ha-cia el Norte. (a) Cul es el momento linealdel auto? (b) Cules son las componentesrectangulares de la cantidad de movimien-to?

20. Una granada explota en dos fragmentos deigual masa. Si un fragmento sale disparadoen la direccin oeste, en que direccin semueve el otro fragmento? Por qu?

21. Un auto de 103kg que se desplaza hacia laizquierda sobre una pista recta, choca con-tra un camin estacionado de 4 103kg. In-

mediatamente despus de la colisin, el au-to queda en reposo, mientras que el caminse desplaza con una rapidez de 2m s1.(a) Halle la velocidad del auto inmediata-mente antes de la colisin. (b) En el choque,se conserva el momento lineal del auto?Explique.

22. Una bola de masa 4 kg y velocidad1.2m s1, choca frontalmente con otra bo-la de masa 5 kg movindose a 0.6m s1 enel mismo sentido. Si la velocidad de la bolade 4 kg despus del choque es 0.54m s1,encuentre el cambio en el momento linealde cada bola. Qu puede concluir de losresultados obtenidos?

23. Repita la situacin anterior, suponiendoque la bola de 5 kg se mueve en sentidoopuesto antes del choque y con una veloci-dad de 1.13m s1 luego del choque.

24. En los dos enunciados anteriores, supon-ga que las bolas quedan pegadas en elchoque. (a) Encuentre la velocidad de lasbolas inmediatamente despus del choque.(b) Halle el cambio en el momento lineal decada bola en el choque. Qu puede con-cluir de los resultados obtenidos?

25. Un bloque se lanza sobre una superficie ho-rizontal, de tal manera que este mueve enlnea recta. Se conserva el momento linealdel bloque? Explique.

26. Un ciclista y su bicicleta, de masa 103kg, semueven en el plano xy de tal manera quelas ecuaciones cinemticas de posicin es-tn dadas por x = 30t 6 y y = 60t 9,donde x, y se dan en m y t en s. (a) Obtengala ecuacin de la trayectoria seguida por elsistema ciclista-bicicleta. (b) Exprese el vec-tor momento lineal del sistema en sus com-ponentes rectangulares, cuando t = 15 s.Halle lamagnitud y direccin del momentolineal del sistema en t = 15 s. (c) Encuentrela energa cintica del sistema en t = 15 s.

27. La energa cintica de un auto vara con elcuadrado de su rapidez en la formamostra-da en la figura. Cul es el significado fsico


de la pendiente de la recta? Halle el valornumrico de la masa del auto.

v2( 10 ms )

2 2 -2x

Ek

( 10 J)x3

2 4 6 8 91

5

20

45

28. La velocidad de un bloque de 2 kg es v1 =(3i 3j)m s1 en el instante t = 3 s. Pos-teriormente, cuando t = 6 s, la velocidades v2 = (8i+ 4j)m s1. (a) Halle el cam-bio en la velocidad del bloque. (b) Calculeel cambio en el momento lineal del bloque.(c)Encuentre el cambio en la energa cinti-ca del bloque.

Date post:	18-Sep-2015
Category:	Documents
Upload:	luis-dario-alvarez-toscano
View:	3 times
Download:	0 times

Mat Fun1_Momento Lineal

Documents