Movimiento armónico simple La pelota azul describe un movimiento armónico simple. El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple(abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.. En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide . En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste. [editar ]Cinemática del movimiento armónico simple Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento armónico simple. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
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Movimiento armónico simple
La pelota azul describe un movimiento armónico simple.El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple(abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
[editar]Cinemática del movimiento armónico simple
Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento armónico simple.El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.
Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.[editar]Ecuación del movimiento
[editar]ElongaciónEn un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en sentido contrario a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial
(1)Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
(2)La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma
(3)donde:
es la elongación de la partícula. es la amplitud del movimiento (elongación máxima). es la frecuencia angular
es el tiempo. es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como
(4) , y por lo tanto el periodo como La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la
expresión .[editar]VelocidadLa velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:
(5)[editar]AceleraciónLa aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
(6)[editar]Amplitud y fase inicialLa amplitud A y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0 iniciales.
(7)
(8)Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (4a) y (4b) obtenemos
(9)Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (4b) y (4a) obtenemos
(10)[editar]Dinámica del movimiento armónico simpleEn el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.(11)Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
(12)Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:
(13)Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
(14)[editar]Energía del movimiento armónico simple
Energía del movimiento armónico simple frente a la elongación.Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir uncampo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
(15)La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
(16)La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).
(17)Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.
(18)Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,
(19)O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio x = 0
(20)EjemplosMedición de masa en ingravidezEn condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M1721 ) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación T electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:
(21)
PénduloPara otros usos de este término, véase Péndulo (desambiguación).
Péndulo simple en movimiento armónico con oscilaciones pequeñas.El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente) es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo.Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal,doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera.Sus usos son muy variados: Medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo,...), medida de la intensidad de la gravedad,...
Contenido [ocultar]1 Péndulo simple o matemático1.1 Ecuación del movimiento1.2 Período de oscilación1.3 Solución de la ecuación de movimiento2 Péndulo esférico2.1 Período2.2 Solución de la ecuación de movimiento3 Véase también4 Referencias4.1 Bibliografía4.2 Enlaces externos
[editar]Péndulo simple o matemáticoArtículo principal: Péndulo simple
Componentes del peso de la masa pendular.También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.
Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.[editar]Ecuación del movimientoPara escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el pesode la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos
donde el signo negativo tiene en cuenta que la Ft tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular
obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple
[editar]Período de oscilación
Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:
Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:
[editar]Solución de la ecuación de movimiento
Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud φ0 = 0,999π (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud φ0 = 0,25π (gris).Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:
, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud .
, es la energía potencial.
Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:
Donde:
, es la función elíptica de Jacobi tipo seno.
El lagrangiano del sistema es , donde θ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y l es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las
ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: . Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.[editar]Péndulo esféricoArtículo principal: Péndulo esférico
Péndulo esférico animado.Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio l) comprendida entre dos paralelos. Existen dos integrales de movimiento, la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical Mz. La función lagrangiana viene dada por:
Donde φ es el ángulo polar y θ es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:
La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:
Y el problema queda reducido a un problema unidimensional.[editar]PeríodoEl movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico, lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo T tal que el movimiento pasará
a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.[editar]Solución de la ecuación de movimientoLas ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie:
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.
Contenido [ocultar]1 Ecuación del movimiento1.1 Método de Newton1.2 Método de Lagrange2 Pequeñas oscilaciones3 Isocronismo4 Oscilaciones de mayor amplitud5 Instrumento gravimétrico6 Véase también7 Referencias8 Bibliografía9 Referencias externas
[editar]Ecuación del movimiento
Péndulo simple. Esquema de fuerzas..[editar]Método de NewtonConsideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N). Tan sólo el peso de la partícula proporciona un componente tangencial a la trayectoria, de modo que la componente tangencial de la ecuación del movimiento, la única componente que nos interesa, se expresa como
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
siendo la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.[editar]Método de LagrangeEl lagrangiano del sistema es
donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
y obtenemos la ecuación del movimiento es
de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.[editar]Pequeñas oscilaciones
Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.
Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el tiempo, , es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud (gris).Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:
Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.
Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.
[editar]IsocronismoObsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Esta última propiedad, conocida comoisocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa:"Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el mismo compás"J. Bertrand: Galileo y sus trabajosEsta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la duración de las mismas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673, Christian Huygens encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo.Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo (vide relojes de péndulo).[editar]Oscilaciones de mayor amplitudLa integración de la ecuación del movimiento, sin la aproximación de pequeñas oscilaciones, es considerablemente más complicada e involucraintegrales elípticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente solución:
Dependencia del período del péndulo con la amplitud angular de las oscilaciones. Para pequeñas oscilaciones, el cociente T/T0 tiende a la unidad 1; pero tiende a infinito para ángulos cercanos a 180º.donde es la amplitud angular. Así pues, el periodo es función de la amplitud de las oscilaciones.En la Figura hemos representado gráficamente la variación de T (en unidades de T0) en función de Θ, tomando un número creciente de términos en la expresión anterior. Se observará que el periodo T difiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud (T0) cuando Θ > 20º. Para valores de Θ suficientemente pequeños, la serie converge muy rápidamente; en esas condiciones será suficiente tomar tan sólo el primer término correctivo e, incluso, sustituir senΘ/2 por Θ/2, de modo que tendremos
donde Θ se expresará en radianes. Esta aproximación resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la práctica; de hecho, la corrección que introduce el término Θ2/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10°.Para oscilaciones de pequeña amplitud, las expresiones anteriores se reducen a
Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.
Contenido [ocultar]1 Deducción del periodo2 Longitud reducida3 Puntos conjugados4 Demostración del Teorema de Huygens5 Referencias5.1 Bibliografía5.2 Véase también5.3 Referencias externas
[editar]Deducción del periodo
Figura 1. Péndulo físico..El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ ′ (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ ) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje′ de rotación.Llamaremos a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ . Cuando el péndulo está′ desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ , en el sentido negativo del′ ′ mismo; i.e.,(1)
Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ y llamamos′ a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:
(2)que podemos escribir en la forma
(3)que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma
(4)que corresponde a un movimiento armónico simple.El periodo de las oscilaciones es
(5)[editar]Longitud reducidaEs siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir
(6)y, por lo tanto, tenemos que
(7)Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O ) cuya distancia al eje de suspensión es′ λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia delpéndulo simple equivalente, de longitud λ.[editar]Puntos conjugadosEs conveniente sustituir en la expresión [5] el valor del momento de inercia IO del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ por el momento de inercia′ IG del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad del péndulo. Así, sirviéndonos del teorema de Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo respecto a este último eje, podemos escribir
Figura 2. Representación gráfica de la dependencia del periodo con la distancia entre el centro de suspensión (O) y el de gravedad (G).
(8)de modo que la expresión [5] se transforma en
(9)En la Figura 2 hemos representado gráficamente la función T(h). Obtenemos una curva con dos ramas, que corresponden a colocar el eje de suspensión a un lado u otro del centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramas son simétricas respecto al eje vertical, en la práctica bastará con hacer observaciones a un sólo lado del c.d.g.. Como queda bien manifiesto en la representación gráfica de Figura 2, la función T(h) dada por [9], el periodo de las oscilaciones presenta un valor mínimo para un cierto valor de la distancia h existente entre el centro de gravedad y el eje de suspensión. A partir de la expresión [9] es fácil demostrar que el valor mínimo del periodo se presenta cuando h = K, esto es, cuando la distancia entre el c.d.g. y el eje de suspensión coincide con el radio de giro respecto a un eje que pasa por el c.d.g..La gráfica de la Figura 2 también pone de manifiesto que para un valor del periodo T > Tmín existen cuatro puntos (O,O,Q,Q ) tales que al hacer pasar por ellos el eje de suspensión (en direcciones paralelas entre sí) las oscilaciones del′ ′
péndulo físico tendrán el mismo periodo. De la simetría de la gráfica de la Figura 2 se deduce que los puntos O y Q, son equidistantes del centro de gravedad del cuerpo, y que lo mismo ocurre para los puntos O y Q . Además, dado que la′ ′ distancia que separa los puntos O y O , esto es, OO = λ, es la misma que separa los puntos Q y Q (QQ = λ), decimos que′ ′ ′ ′ los puntos O y O son′ conjugados entre sí; y lo mismo decimos de los puntos Q yy Q . Veamos a que obedece tal′ denominación.Cuando el péndulo oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O, dicho punto recibe el nombre de centro de suspensión, y el punto O , que se encuentra a una distancia′ λ del punto O, recibe el nombre de centro de oscilación.El centro de oscilación recibe también el nombre de centro de percusión porque cuando se aplica a él una percusión (impulso producido por una fuerza de corta duración) su conjugado, esto es, el centro de suspensión, no acusa percusión alguna. El cuerpo tiende a girar alrededor del centro de suspensión aun cuando no pase por él ningún eje fijo.Si ahora hacemos pasar el eje de suspensión por el punto O , de modo que sea paralelo al anterior eje de suspensión, el′ punto O pasa a ser el punto de suspensión, en tanto que el punto O pasa a ser el centro de oscilación. Ambos puntos′ han permutado entre sí sus papeles; por eso se dice que son conjugados. Lo mismo podemos decir para los puntos Q y Q
. Los resultados anteriores constituyen el llamado′ Teorema de Huygens (1629-1695), que podemos enunciar en la forma siguiente:La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de oscilación O pasa a ser centro de suspensión (O),′ pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles. El periodo del péndulo será el mismo en ambos casos.Esta propiedad se aprovecha para la construcción del llamado péndulo reversible de Kater, instrumento que permite medir el valor de la aceleración gravitatoria con gran precisión.[editar]Demostración del Teorema de HuygensHemos demostrado el teorema de Huygens a partir de unas consideraciones semicualitativas acerca de la simetría de las dos ramas de la curva que representa a la función T(h). Veamos ahora una demostración analítica más rigurosa. Consideremos que el eje de suspensión del péndulo pase por el punto O, situado a una distancia h del centro de gravedad del cuerpo. Combinando las expresiones [7] y [8], la longitud reducida del péndulo, respecto a ese eje de suspensión, puede expresarse en la forma
(10)Ahora, hagamos pasar el eje de suspensión por otro punto, situado sobre la recta OG y que se encuentre a una distancia h del centro de gravedad de modo que el periodo de las oscilaciones sea el mismo que antes; esto equivale a′ decir que la longitud reducida del péndulo, respecto a este nuevo eje de suspensión, es la misma que anteriormente (λ=λ ). Podemos escribir′
(11)
donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad de las proporciones }} y, por lo tanto,
(12)ecuación que tiene dos soluciones:Puede ser h = h ; i.e., se trata del punto Q, situado al otro lado del centro de gravedad y a la misma distancia de éste que′ el punto O.En el caso de que sea h ≠ h , dividiendo por (′ h-h ) ambos miembros de la igualdad [12] y teniendo en cuenta [10], nos′ quedará:
(13)<correspondiendo la distancia h a la posición del punto O , conjugado del O, que se encuentra situado al otro lado del′ ′ centro de gravedad y de modo que la suma de distancias al mismo (h+h ) es la longitud reducida (′ λ) del péndulo.
Oscilador armónicoSe dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en
libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.
La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico.El ejemplo típico es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).
1.1 Oscilador armónico sin pérdidas 1.2 Oscilador armónico amortiguado 1.2.1 Oscilador sobreamortiguado 1.2.2 Oscilador con amortiguamiento crítico 1.2.3 Oscilador con amortiguamiento débil 1.2.3.1 Factor de calidad Q 1.3 Oscilaciones forzadas 1.4 Respuesta en frecuencia 1.5 Oscilador forzado y caos 2 Importancia en Física 3 Ejemplos 3.1 Circuito LC 3.1.1 Circuito LC sin pérdidas 3.1.2 Circuito LC con pérdidas 3.1.3 Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas 4 Oscilador armónico cuántico 5 Véase también 6 Referencias 6.1 Bibliografía 7 Enlaces externos
[editar]Casos[editar]Oscilador armónico sin pérdidasArtículo principal: Movimiento armónico simpleSe denominará a la masa e a la distancia entre la posición de la masa y la posición de equilibrio. Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: (ley de Hooke). es la fuerza y la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando es positiva la fuerza está dirigida hacia las negativas.La segunda ley de Newton nos dice:
remplazando la fuerza obtenemos:
La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:
La curva de arriba da la posición del oscilador en función del tiempo. La del medio da la velocidad. Abajo están las curvas
de las energías. En azul está la energía cinética y en rojo la energía potencial del resorte
es la amplitud, que depende de las condiciones iniciales. es la pulsación (o frecuencia angular) y la frecuencia.
es el tiempo. es la fase inicial (para ).
Es fácil comprobar que el valor de es:
El período de oscilación es:
Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).
Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la realidad. Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior se prolongaría indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero en ningún momento). Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:
Donde es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden1 (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de y). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :Si el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)[editar]Oscilador sobreamortiguado
Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado.curva azul: amortiguamiento crítico.
curva roja: amortiguamiento doble que el crítico.
curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico.En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:
donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):
y
y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones
tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.[editar]Oscilador con amortiguamiento críticoEste caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando
La solución única es:
como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales.El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).[editar]Oscilador con amortiguamiento débil
Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial.En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:
La solución es:
como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:
La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.
La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia cuya amplitud está
multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es .[editar]Factor de calidad QEn un sistema poco amortiguado es interesante de definir el factor de calidad (Quality factor en inglés) o simplemente Q como:
esta cantidad es igual a veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más interesante, Q es también veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor . Si se puede aceptar una aproximación más grosera, Q es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal).[editar]Oscilaciones forzadasPodemos poner en movimiento un oscilador armónico sacándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes). También se puede poner en movimiento aplicándole una fuerza variable con el tiempo. Se tratará solo el caso en el cual la fuerza varía de manera sinusoidal con el tiempo seg.En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.2 Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:
Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que en electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza imaginaria . Como en electrónica, se utiliza en lugar de i. Ahora la ecuación a resolver es:
Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés. La solución es inmediata:
Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se encuentra el valor de A:
Pero A puede escribirse como y la solución de compleja es:
El valor de real es la parte real de la expresión precedente:
donde es el módulo de y su argumento:
Como en electricidad, el ángulo da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa. Si es positivo, el movimiento está en avance de fase y si es negativo el movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase será siempre negativo.[editar]Respuesta en frecuenciaLa amplitud de las oscilaciones forzadas dependerá, por supuesto, de la amplitud de la fuerza externa. Pero para una misma amplitud de la fuerza, la amplitud de la oscilación dependerá también de la frecuencia. Veamos como varia la amplitud con . Utilizando la definición de frecuencia propia del sistema (sin amortiguamiento ni fuerza externa):
Respuesta en frecuencia de un oscilador armónico. A la frecuencia de resonancia, la amplitud es Q veces más grande que a muy baja frecuencia.
se puede escribir:
Si además se utiliza la definición de , se obtiene:
En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilación forzada en función de la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q. A muy baja frecuencia la amplitud es la misma que si la fuerza fuese estática , y
el sistema oscilará entre las posiciones y . Cuando la frecuencia aumenta, la amplitud también, alcanzando un máximo cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia también se le llama frecuencia de resonancia. También se dice que un sistema excitado a una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia "resuena" o "entra en resonancia". A la frecuencia de resonancia, la amplitud de las oscilaciones será Q veces más grande que la que se obtiene en baja frecuencia.El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a la mitad del máximo, es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q. Ese ancho también se llama banda pasante.[editar]Oscilador forzado y caosEl oscilador armónico no perturbado en una dimensión es un ejemplo de sistema integrable, con comportamiento regular. Sin embargo, el oscilador armónico perturbado puede presentar un comportamiento caótico 3 caracterizado por un atractor extraño. Por ejemplo en el caso de una perturbación de tipo la ecuación de movimiento es:
Este sistema es no integrable y el movimiento tiende rápidamente hacia el llamado atractor de Duffing.4
[editar]Importancia en FísicaConsidérese el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional: F(y). Desarrollando dicha fuerza en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio (y = 0):
Como el origen es el punto de equilibrio, el primer término del desarrollo es nulo. Si las oscilaciones en torno a y = 0 son lo suficientemente pequeñas, uno se puede quedar con la aproximación lineal y despreciar los términos de orden superior:
Llamándole k a la derivada de la fuerza, se obtiene de nuevo la fuerza recuperadora de Hooke. Aquí radica la importancia del oscilador armónico: supone una primera aproximación para el estudio de un sistema cuando se producen pequeñas oscilaciones en torno a su posición (o estado) de equilibrio.5
[editar]Ejemplos[editar]Circuito LC[editar]Circuito LC sin pérdidas
Circuito LC sin pérdidas.En la figura de la derecha se ha dibujado un circuito oscilante LC ideal, es decir sin pérdidas.Supóngase que, en la situación inicial, el condensador está cargado a una tensión V y que en ese momento se conecta la inductancia. La tensión presente en las extremidades de la inductancia va a hacer aparecer una corriente de sentido inverso a la de la flecha del dibujo, que aumentará con el tiempo. A medida que el condensador suministra corriente a la inductancia, se descarga y la tensión disminuye. La disminución de la tensión hace que la corriente aumente menos rápidamente. La situación continua así, con la tensión del condensador que disminuye cada vez más rápidamente (porque la corriente aumenta) y la corriente que aumenta más lentamente (porque la tensión disminuye). Llega un momento en el cual el condensador está completamente descargado y la corriente ha llegado a un máximo. Ahora la corriente continúa circulando porque la inductancia se lo impone. El condensador comienza a cargarse en el otro sentido y hace aparecer una tensión en los bornes de la inductancia que hace disminuir la corriente. La situación continúa del siguiente modo: el condensador se va cargando cada vez más lentamente (porque la corriente disminuye), mientras que la corriente va disminuyendo cada vez más rápidamente (porque la tensión inversa aumenta). Así, se llega a la situación en la cual la corriente se anula y la tensión del condensador es máxima y del mismo valor que la tensión inicial, pero con sentido opuesto. La situación es análoga a la de una masa sostenida por un resorte. La inductancia juega el papel de la masa. La masa tiene inercia e impide que el movimiento cambie bruscamente. La inductancia impide que la corriente cambie bruscamente. Veamos las ecuaciones.El comportamiento eléctrico del condensador está descrito por la ecuación: . El de la inductancia está descrito por . Como en el esquema es positivo cuando sale del lado positivo de la inductancia, hay que agregar un signo
negativo: . Se tiene, pues, este sistema de ecuaciones diferenciales:
Para eliminar , basta derivar la primera ecuación, para remplazar la derivada de I en la segunda:
que se puede escribir como:
Esta ecuación es la misma que la de la masa con un resorte. es equivalente a la posición . es equivalente a la
masa y es equivalente a la constante del resorte .La solución es:
con
Como de costumbre, y dependen de las condiciones iniciales.[editar]Circuito LC con pérdidas
Circuito LC con pérdidas. La resistencia da cuenta de todas la perdidas posibles.El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con pérdidas. Las pérdidas están representadas por las pérdidas en una resistencia. En un circuito real, las pérdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador, pero también pueden ser resistencias internas de esos componentes. También puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dieléctrico del condensador o en el núcleo de la bobina (si es ferromagnético). También puede haber pérdidas por radiación de ondas electromagnéticas. La resistencia hará que la tensión sobre la bobina sea diferente de la tensión sobre el condensador. La corriente creada será menor que si no hubiese habido pérdidas y cuado la corriente cargue de nuevo el condensador, la tensión a la cual llegará será menor. Por su parte, la amplitud disminuirá y tenderá hacia cero. La ecuación del nuevo sistema es:
La ecuación es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador. Esta vez es el equivalente del coeficiente de rozamiento . La solución es:
con
y
donde es la frecuencia propia del circuito (sin pérdidas).[editar]Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas
Circuito LRC atacado por un generador sinusoidal.El esquema de la derecha muestra un generador conectado a un circuito LC en serie. Si la tensión del generador es , la ecuación es:
La expresión se puede reescribir, dándole un aspecto similar a las formas precedentes:
Como en el ejemplo mecánico, en régimen estacionario la solución es:
donde
y
y son los mismos que en el párrafo precedente. La amplitud de la tensión de salida es máxima a la resonancia (cuando ) y vale veces la tensión de entrada.[editar]Oscilador armónico cuánticoArtículo principal: Oscilador armónico cuántico
Funciones de onda para los primeros seis autoestados, n = 0 a 5. El eje horizontal muestra la posición y en unidades (h/2πmω)1/2. Las gráficas están sin normalizar.
Densidades de probabilidad de los primeros autoestados (dimensión vertical, con los de menor energía en la parte inferior) para las diferentes localizaciones espaciales (dimensión horizontal).Como ya se ha comentado, el oscilador armónico se puede emplear para estudiar sistemas que realicen pequeñas oscilaciones en torno a una posición de equilibrio. En particular, el oscilador armónico cuántico se puede emplear para estudiar las oscilaciones de los átomos de una molécula diatómica, como la de hidrógeno, H2, o la de cloruro de hidrógeno, HCl.6
El oscilador armónico es uno de los casos en los que se puede obtener una solución analítica sencilla de la ecuación de Schrödinger. En esta situación, elhamiltoniano de la partícula considerada estará descrito por:
Nótese que para el caso de moléculas diatómicas, la masa m sería, en realidad, la masa reducida del sistema. Se ve claramente que el primer sumando es un término cinético, mientras que el segundo es el armónico. Como el hamiltoniano no depende del tiempo, sólo resta resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, a fin de hallar los autoestados de la energía E:
Se puede demostrar que las funciones de onda, ψ(y), cuyo módulo al cuadrado describe la densidad de probabilidad de que la partícula tenga una determinada posición y, son el producto de exponenciales por los polinomios de Hermite. La figura de la derecha muestra la forma de dichas funciones para los seis autoestados con energía más baja (el estado de menor energía es el que figura en la parte superior de la misma). En particular, la energía del nivel n-ésimo será:
donde es la constante de Planck.Es importante señalar un par de hechos:Los niveles de energía se encuentran cuantizados, es decir, sólo pueden tomar una serie de valores discretos.El nivel mínimo de energía no es cero, sino . Nótese que la función de onda de dicho estado muestra que la partícula no se encuentra en todo momento en la posición de equilibrio y = 0.En la segunda figura, se muestran las densidades de probabilidad espacial de la partícula para los diferentes autoestados. Nótese que a medida que crece la energía del autoestado considerado (es decir, el orden n), las distribuciones de probabilidad tienden a concentrarse en los puntos de retorno, o máxima amplitud. Esta situación es la que se da en el caso clásico, si se define para él una densidad de probabilidad inversamente proporcional a la velocidad de la partícula en cada punto.7 Por tanto, se cumple el principio de correspondencia (es decir, se pueden predecir los resultados que se obtendrían en el límite clásico).
