Notasclase Abril

8/16/2019 Notasclase Abril

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

NOTAS DE CLASE ABRIL

CLASE 05-04-16 GRUPO E KAREN, ASTRID, LAURA)

La clase se inicia con la corrección del primer punto del segundo parcial. Se hicieronlos siguientes comentarios:

Cuando se está trabajan do una situación en el espacio, es necesario determinar quéplanos están involucrados para usar los teoremas de geometría plana. Para este caso,algún plano que contenga el radio para poder encontrar una perpendicular a él.. Seevidenció que muchos estudiantes crearon la recta perpendicular sin haber definidoprimero el plano.

Para realizar la demostración, la profesora hace la recomendación de usar el T. recta-infinitos planos o T. esfera- infinitos puntos.

Se procedió a realizar la demostración del primer punto de la comprobación 2.

1. Dada una ⊛ (esfera) y un punto de esta. Describa como se podría construiruna recta ⊥ tal que ∈ . Justifique los pasos de construcción.



∎

La profesora solicitó a los estudiantes que representaran el problema con geometríadinámica, para determinar si existen más rectas perpendiculares por que cumplen lasmismas condiciones de .

Para visualizarlo, se realiza la traza a y al mover a se presenta la siguiente situación.

Con lo anterior se garantiza que existen infinitas rectas , tal que ⊥ y ∈ ; sedebe tener en cuenta que al arrastrar se generan infinitos planos en los que se generan lasinfinitas rectas perpendiculares al .

Dadas estas condiciones surge la pregunta: ¿Están todas las rectas contenidas en un plano?

Tipo de demostración: Directa.Datos: ⊛ y ∈ ⊛ .Aserción: Existe tal que ∈ y ⊥ .

Aserción Datos y Garantía

1. ⊛ , ∈ ⊛ Dado

2. Sea P. Dos puntos recta (1)

3. Sea ∈ ℰ T. Espacio – infinitos puntos

4. Sea , T. Recta- punto plano (3,1)

5. Sea recta , tal que ⊥ y ∈ en el plano

T. Existencia recta perpendicular puntointerno. (2,4)

6. T. Recta- Rayo- Segmento (2)

7. ⊥ y ∈ . D. Recta perpendicular



Al generar un plano determinado por dos rectas y que son perpendiculares al por , se visualiza que las demás rectas perpendiculares también están contenidas en . (Aún no

hay nada teórico que nos garantiza demostrar las situaciones anteriores).

Dicho plano parece ser tangente a ⊛ , por lo que se incluye en nuestro sistema teórico lasiguiente definición.

D. Plano tangente a una esfera: Un plano es tangente a una esfera si y solo si el planointerseca a la esfera en un solo punto.

Dicha definición es similar la dada anteriormente de recta tangente a una circunferencia.

En clases anteriores, se había dado el siguiente teorema:

T. Perpendicular circunferencia-tangente: Si ∈ ⊙ y recta tal que ⊥ , ∈ ,

entonces es tangente a la circunferencia.

En el punto 3 de la comprobación se demostró el reciproco:

T. Tangente circunferencia- perpendicular: Sea una recta tangente a la ⊙ en elpunto A de esta, entonces ⊥ .



Negación de la conclusión

Tipo de demostración: Indirecta con construcción auxiliar

Datos: recta tangente a la ⊙ , ∈ , ∈ ⊙

Aserción: ⊥

Aserción Garantía y datos

1. recta tangente a la ⊙ , ∈ , ∈⊙

Dado

2. no perpendicular Negación de la conclusión

3. Sea recta, ∈ , ⊥ . T. Existencia perpendicular-punto

externo (1)4.

Sea {} = ⋂ T. Intersección de rectas (3)

5. > 0 P. Distancia (1,4)

6. T. Existencia rayo (1,4)

7. Sea opuesto al T. Existencia rayo opuesto (6)

8. Sea ∈ tal que = T. Localización de puntos (6,7)

9. ≅ D. Segmentos congruentes (8)

10. ∠ y ∠ son rectos D. Rectas perpendiculares (3)

11. ∠ ≅ ∠ T. Ángulos rectos congruentes(10)

12. > 0 P. Distancia (1,4)

13. = Propiedad de los reales (12)



14. ≅ D. segmentos congruentes (13)

15.

∆ ≅ ∆ P. LAL (9,11,14)

16. ≅ ; = D. Triángulos congruentes (15)D. Segmentos congruentes

17. ∈ ⊙ D. Circunferencia (1,16)

18. , ∈⊙ ⋂ Conjunción (1,8,17)

D. Intersección

19. no es tangente a la ⊙ D. Recta tangente (18)

20. recta tangente a la ⊙

no es tangente a la ⊙ Conjunción (1,19)

21. ⊥ P.R.A (2,20)

∎

Se determina con ambos teoremas que si una recta es perpendicular al radio de una ⊙ por , dicha recta es tangente y viceversa.

Luego se retomó la misma idea pero para un plano tangente a una esfera. Para ello se utilizógeometría dinámica, con el fin de corroborar si para que una recta sea perpendicular a unplano basta que lo sea a una recta de este.

A través de la situación presentada, se verifica que no basta con una recta.

Ahora la pregunta es: ¿Con cuántas rectas es suficiente?



Por el T. Punto- infinitas rectas sabemos que el plano contiene infinitas rectas por un punto ,donde es la intersección entre el plano y la esfera. La profesora procede a realizar ciertaspreguntas que nos conducen a demostrar que con dos rectas es suficiente.

Para demostrar que ⊥ , basta con encontrar y ∈ tal que ⊥ y ⊥ .

a)

¿Es necesario que la recta que contiene al radio sea perpendicular a todas lasrectas contenidas en el plano perpendicular?b) Dado un plano , un punto tal que ∈ . ¿Existe una recta tal que

⊥ y ∈ ?c) Dada una recta, tal que ∈ . ¿Existe un plano tal que ⊥ y ∈ ?

Para ello se realiza un listado de elementos teóricos que permitan demostrar laperpendicularidad de dos rectas:

Medir un ángulo cuyo resultado sea 90. Mostrar que = y ⊂ . Mostrar ángulos par lineal congruentes.

Se concluye que la mejor manera para demostrar perpendicularidad es a través demediatrices.

Para continuar la clase, se plantea la solución a la pregunta a). De tal manera que:

Sea un plano , rectas tal que , ⊂ , una recta tal que ∩ = { }, ∈ ∩ y ⊥ y ⊥ . Entonces ⊥ para toda toda recta ⊂ y ∈ .



Para encontrar el camino de la demostración, se representó cada plano que se puede generara partir de las rectas involucradas en la situación.

Es en donde se debe validar la perpendicularidad. En el parcial se demostró que las rectas y se pueden volver mediatrices de un segmento de la recta .



Núcleo Pilar

1. , T. Rectas intersecadas plano

2. = ,, ,

i.

Sea un punto en ii. > 0

iii. en , opuesto ,

tal que =

T. Localización de puntos

T. Mediatriz

3 . = , , , T. Mediatriz

4. Sea ∈ y ∈ T. recta infinitos puntos.

Con los ítems i., ii., iii., se recuerda cómo construir dos puntos que equidisten y con ello lamediatriz del segmento que determinan dichos puntos. Como la demostración se realiza en elespacio, es necesario determinar en qué plano está la mediatriz que se construyó, para lo quese plantea la siguiente notación:

,, , ,

Esto significa, la mediatriz del en , un plano determinado por las rectas y .

La demostración se concluirá en la siguiente clase, sin embargo la profesora propone pensarlacomo tarea, no sin antes decir que el problema 3 de la Tarea Extraclase 7 es útil.

3. a) Las rectas y son perpendiculares al en el punto . y son puntos queequidistan de y . Demuestre que si − − , entonces equidista de y .

b) ¿Es perpendicular al ? Justifique su respuesta.



C

LASE

07-04-16)

G

RUPO

F

J

UAN

C

ARLOS

,

D

UVAN

,

W

ALTER

)

La sesión inició con la revisión y desarrollo de la Tarea extra clase 7. Respecto alprimer punto, ítem a:

Sea la bisectriz del ∠. Sea ∈ . Demuestre que la distancia de acada lado del ángulo es igual.

Se formuló la siguiente demostración por núcleos y pilares:

Tipo: Demostración directa con construcción auxiliar.

Dado: bisectriz del ∠, ⊥ , ⊥ , ∈ , ∈ .

Aserción: =

Núcleo Pilares1. , puntos, ∈ , ∈ tal

que ⊥ , ⊥

D. Distancia Punto a recta

2.

∆ ≅ ∆ T. LAA

Figura 1

En el primer pilar, y en oposición a considerar el T. Mínima distancia, se emplea la D.Distancia Punto a recta para garantizar que existe un segmento que cumple con lacondición de perpendicularidad para poder hallar la distancia de este a los extremos.El T. Mínima distancia se usa para demostrar que la menor distancia posible entre unpunto y una recta es la determinada por el segmento perpendicular con extremos el



punto y un punto que pertenece a la recta. Por ello, se define distancia de punto arecta de la siguiente manera:

D. La distancia de un punto a una recta es la medida de la longitud del segmentoperpendicular con un extremo en dicho punto y el otro extremo en un punto que

pertenece a la recta.Respecto al punto 1, ítem b::

Sea ∆. Demuestre que las bisectrices de dos ángulos del triángulo seintersecan.

La profesora introduce la siguiente notación para la bisectriz de un ángulo:

ℬ∠, lo cual indica que un rayo es bisectriz del –en este caso- ∠.

Se demuestra que sí se intersecan las bisectrices por medio de una demostracióndirecta, de acuerdo con los siguientes núcleos y pilares:

Tipo: Demostración directa

Dado: ∆, = ℬ∠, = ℬ∠

Aserción: ℬ∠ ∩ ℬ∠ ≠ ∅

Núcleo Pilares

1.

Bisectriz tiene un punto, ∈ ∠

Existe ∈ ℬ∠ ∩ ∠

D. Bisectriz

2. ∩ = {} P. Rayo-segmento

3. ℬ∠ ∩ ≠ ∅ P. Rayo-segmento



Figura 2

De igual forma se plantea otra demostración de tipo indirecta que implica:

Tipo: Demostración indirecta

Dado: ∆, = ℬ∠, = ℬ∠, ℬ∠ ∩ ℬ∠ = ∅

Aserción: ℬ∠ ∩ ℬ∠ ≠ ∅

Núcleo Pilares

1. ∩ = ∅ = ℬ∠, = ℬ∠,

D. Intersección

2. ∠1 y ∠2 suplementarios T. PAINA

3. ∠ < 0 T. 180

P. Medida de ángulos

En esta demostración se analiza la no intersección de las rectas que contienen a dos delas bisectrices del triángulo. No se trabaja con la intersección vacía de las bisectrices

mismas ya que la no intersección de los rayos no implica que estos sean paralelos; portanto, no garantiza que las rectas que contienen a las bisectrices sean paralelas. Paraque esta demostración sea válida, se requiere demostrar que la intersección de lasrectas que contienen a las bisectrices tiene que estar en el interior del ángulo.

Respecto al cuarto punto de la Tarea extra clase 7:



y son segmentos que se bisecan en el punto , > . La recta esperpendicular a cada segmento en . Sea ∈ . ¿Qué relación existe entre,, y ? Justifique su respuesta.

Se tiene que esta descripción se refiere a una situación en el espacio:

Figura 3

De modo que al explicar la relación entre los segmentos, se tiene en primera instanciaque = , = . Pero surge otra relación que algunos no descubrieron; > .

Tipo: Demostración directa

Dado: y son segmentos que se bisecan en el punto , > . La recta esperpendicular a cada segmento en . Sea ∈

Aserción: = , =

Núcleos Pilares

1. = ℳ ,

,

= ℳ ,; ,

T. Mediatriz

T. Rectas- plano (o P. Puntos-plano)

2. = ; = D. Mediatriz

Luego para demostrar que > se tiene que hacer una construcción auxiliar quees el donde es un punto tal que = :



Figura 4

Para lo cual la demostración se tiene que:

Tipo: Demostración directa con construcción auxiliar

Dado: y son segmentos que se bisecan en el punto , > . La recta es

perpendicular a cada segmento en . Sea ∈ , = , ∈

Aserción: >

Núcleos Pilares

1. = , ∈ − −

T. Localización de puntos

T. Desigualdad-interestancia

2. ∠ agudo∠ obtuso

T. triángulo rectángulo, obtusángulo-

agudo

3. > T. Ángulos desiguales- lados desiguales

Respecto al punto 3, se hacen las siguientes aclaraciones. Usar como garantía el T.Existencia del triángulo cuando se menciona algún triángulo no dado en los datos noes correcto porque este teorema garantiza que los triángulos existen (genérico) perono uno específico en una situación determinada. Para una demostración, donde sequiera comprobar que hay un triángulo específico, se emplea D. triángulo, lo cual exige

ver si se cumplen las condiciones que exige la definición, en este caso tres puntos nocoloniales.

Así mismo se discute el uso de la hipótesis gráfica para justificar procedimientos en lademostración- Se establece que se pueden garantizar las siguientes propiedadesusando como garantía hipótesis gráfica:

Colinealidad y no colinealidad de puntos



Existencia de rayos, segmentos, rectas Intersección de rectas

Contenencia Interestancias

Así mismo se hace énfasis en la necesidad de mostrar, en la demostración de laconstrucción de la circunferencia inscrita en el triángulo, que esta es tangente a loslados del mismo. Rsto se podía hacer a través del teorema demostrado en clasesanteriores que dice que si una recta es perpendicular a un radio por su punto en lacircunferencia, entonces dicha recta es tangente a la circunferencia.

Seguido de esto se pide que, haciendo uso de Geogebra o Cabri, se construyan yanalicen algunas construcciones dadas por los diferentes grupos:

Triángulo equilátero inscrito en circunferencia Dado el triángulo, se construyela circunferencia haciendo uso de la bisectrices, que en el caso de los

triángulos equiláteros resultan ser las mediatrices o iniciando por lamediatrices de dos lados del triángulo.

Dada la circunferencia:

Construcción A1.

Sea ⨀ 2. ∈ ⨀ 3. ⊥ , ∈ 4.

, ∈ ∩ ⨀ 5.

punto medio de

6.

⊥ , ∈ 7. , ∈ ∩ ⨀ 8.

△ equilátero

Ahora, ¿cómo justificar la anterior construcción?

Construcción B

1.

Sea ⨀ 2.

diámetro de ⨀ 3. = ℳ 4.

{ , } = ∩ ⨀

5.

△ equilátero

Dichas construcciones resultan ser análogas. Sin embargo la construcción B es máseconómica.

Circunferencia inscrita en triángulo equilátero Dado el triángulo

Construcción A



Haciendo uso de las mediatrices, es necesario especificar la tangencia.

Construcción BHaciendo uso de las bisectrices, teniendo en cuenta el punto 1 de esta mismatarea.

Construcción C1. Sea △ equilátero2.

Sea {} = ℳ ∩ ℳ 3. ⨀ 4. ,, puntos medios de , y respectivamente5.

, , ∈ ⨀ (T. Parcial 2)

Dada la circunferenciaConstrucción:

1.

Sea ⨀ 2.

△ equilátero inscrito en ⨀ 3.

⨀ , ⨀ , ⨀ 4. ∈ ⨀ ∩ ⨀ , ≠ , ∈ ⨀ ∩ ⨀ , ≠ , ∈ ⨀ ∩ ⨀ ,

≠ 5. △ equilátero

De esta última construcción, podemos entonces hacernos la siguiente pregunta:¿Cómo demostrar que las circunferncias se intersecan?

Adicionalmente la maestra propone la siguiente construcción, en la que se usa el T.

Construcción de ángulos como lo indica la figura.

Figura 5



De esta manera se da por terminado el análisis de la tarea. Se continúa con elproblema planteado el día martes:

Si una recta es perpendicular a dos rectas y de un plano , en un punto delplano que es la intersección de las rectas, ¿es ⊥ para una recta del plano

donde ∈ ?Para concluir la demostración comenzada la clase anterior, primero hayque demostrar que existe un punto ∈ que está entre un punto de y un punto de Así se puede usar lo demostrado en el punto 3 de la tarea.

Para esto se toma un punto ∈ y un punto ∈ (T. Recta infinitos puntos) comose ve en la Figura 6; ahora surgen dos casos por la D. de semiplano.

Figura 6

Caso 1(Figura 7): ∉ , . Por P. Separación del plano, existe ∈ tal que − − .

Caso2 (Figura 8): ∈ , . Ahora sea ∈ , tal que − − . Se tiene que ∈ ,¬ (T. Puntos en distintos semiplanos). Por tanto, ∩ ≠ ∅ por P. Separación del plano,y sea {} = ∩ , ∈ . por tanto − − .

Por tanto, se tiene para los dos casos que existe ∈ que está en entre un punto de y un punto de Por el punto 3 de la Tarea extraclase 7 ⊥ .



Figura 7

Figura 8

De esta manera queda demostrado el siguiente teorema:

T. Fundamental de perpendicularidad, plano-recta. Si plano, recta, ⊄ , ∩ = {}, ⊥ , ⊥ , ∈ , ∈ , , ⊂ , entonces ⊥ .

De igual forma se formulan los siguientes:

T. Existencia recta-plano perpendicular. Dado recta, ⊂ , ∈ entoncesexisten plano tal que ⊥ en .



T. Existencia plano-recta perpendicular. Dado plano, ∈ , punto, entoncesexiste recta ⊥ , ∈ .

Para demostrar estos teoremas, se puede usar la justificación de la construcción de lasituación. Frente a este planteamiento, se formulan las siguientes construcciones:

Para validar el T. Existencia recta-plano perpendicular, se tiene: Construcción:1.

recta, ⊂ , ∈ 2. ⊥ , ⊂ , ∈ 3. punto tal que ∉ (T. Espacio infinitos puntos)4.

⊥ , ⊂ ,, ∈ 5. , ⊥ (T. Fundamental de perpendicularidad plano-recta)

Figura 9

Para validar el T. Existencia plano-recta perpendicular, se tiene:

Construcción 1

1. recta, ⊂ , plano, ∈ , punto

2. ⊥ , ∈ , ⊂ , recta

3. ⊥ , ∈ , ≠ , plano

4. ⊥ , ∈ , ≠ ≠ , plano



5. = ∩ , recta

6. ⊥

Construcción 2

1. recta, ⊂ , plano, ∈ , punto2. ⊥ , ∈ , ≠ , plano

3. ⊂ , ∈ , ⊥

4. ⊥

Estas dos últimas se dejan planteadas para ser analizadas en la próxima tarea.

CLASE 12-04-16 GRUPO G (SERGIO, ANDREA, GERALDINE)

Al iniciar la sesión, la profesora hace una intervención para aclarar en primera instancia que

el día jueves 14 de abril se realizará clase normalmente puesto que las actividades que se

desarrollarán en la jornada del educador matemático iniciarán a partir de las 9:00 a.m.

A continuación se comenzaron a discutir los diferentes problemas de la Tarea Extraclase 8:

En el primero punto se analizaron dos construcciones que surgieron como propuesta para

validar el T. Existencia plano – recta perpendicular. Si las construcciones eran válidas se

tenía que formalizar la demostración.

Construcción 1


2. ⊥ , ∈ , ⊂ , recta

3. ⊥ , ∈ , ≠ , plano

4. ⊥ , ∈ , ≠ ≠ , plano

5. = ∩ , recta

6. ⊥

Respecto a esta construcción, el Grupo A sugiere la siguiente demostración:



Tipo de demostración: Directa con construcciones

Datos: plano , ∈ , punto, plano

Aserción: ⊥ , ∈ , recta

Núcleo Pilares

1. , rectas , ⊂

∈ ∩

T. Puntos- infinitas rectas (plano)

2. ⊥ , ∈ , plano

⊥ , ∈ , planoT. Existencia recta-plano perpendicular

3. = ∩ P. Intersección planos

T. Intersección planos

4. ⊥ T. Fundamental de perpendicularidad

La profesora declara dos cosas importantes: por un lado aunque la construcción reportada

exige inicialmente que ⊥ , se aclara que no es necesaria la perpendicularidad entre las

dos rectas; por otro lado, queda la duda de cómo se podría demostrar que , planos son

diferentes, pues solo así se tendría que la intersección es exactamente una recta. Además,

para eso se tendría que demostrar que “si una recta es perpendicular a un plano entonces

esta es única”. Entonces, ¿es posible demostrar esa afirmación?

Luego se procedió a observar si la Construcción 2 era válida:

Construcción 2




2. ⊥ , ∈ , ≠ , plano

3. ⊂ , ∈ , ⊥

4. ⊥

Dados las representaciones anteriores obtenidas con los anteriores pasos, se concluyó que la

construcción no es del todo concisa. Era necesario decir que larecta , no solo era

perpendicular a la recta sino que se requería otra recta perpendicular, donde , ⊂ .

Con una sola recta perpendicular no se puede inferir que ⊥ .

En el segundo punto se precisó que lo que se quería demostrar en esencia era el T.

Unicidad recta- plano perpendicular. Pero antes de que el grupo D presentara la

demostración que construyó para desarrollar este punto, la profesora mencionó dos cosas

importantes:

Si se tiene que la intersección de dos planos es diferente de vacío, entonces se usa

únicamente el T. Intersección de rectas.

Es importante tener en cuenta que cuando se demuestra uno de estos teoremaspor

contradicción, en los que se habla de rectas perpendiculares, se procurará generar la

situación en que dos rectas sean perpendiculares a una misma en el mismo plano.

Así, se contradice la unicidad de rectas perpendiculares a una misma recta por un

mismo punto.

A continuación se presenta la demostración propuesta por el grupo D.

Tipo de demostración: Indirecta

Datos: planos, ⊥ , , ∈ , ⊥ , ∈ , ≠

Aserción:

EJEMPLO CONTRA EJEMPLO



Núcleo Pilares

1. punto, ∈ , ∉ D. Conjuntos iguales

2. , T. Recta y punto – plano

3. = ∩ y = ∩ T. Intersección planos

4. ⊥ , ⊥

∈ ∩ , ∈ ∩ D. Recta y plano perpendiculares

5. ⊂ , ⊂ D.Intersección de conjuntos

La profesora afirma que la demostración anterior aparece de una manera muy

similar en el libro (Geometría Moderna de Moise y Downs), pero un estudiante

comenta que se presenta de una manera muy confusa.

Respecto al tercer punto, la profesora pide que se exprese lo que se solicita en el problema

de una manera más general. Los estudiantes infieren que la esencia del problema es

demostrar que “Todas las rectas perpendiculares a una recta por un punto , pertenecen a

un mismo plano”. Por tanto, se establece el siguiente teorema:

T. Todas las rectas perpendiculares a una recta dada, por un punto de ella dado, son

coplanares.

Luego de anunciar el teorema, la profesora dice que esta tarea nos permitió comprender

muchas ideas respecto al tema (de la perpendicularidad), aunque posiblemente muchas delas demostraciones no estén correctamente escritas.

A continuación se presenta la demostración propuesta por el Grupo E para la siguiente

afirmación “si recta, plano, ∈ ∩ , punto, ⊥ , y recta, ⊥ , ∈ ,

entonces ⊂ ”.



Además la profesora explicó la diferencia existente entre las expresiones = ∩ y

= ∩ , ya que se encuentran algunos errores en la tarea relacionados con dicha

notación. Si se escribe = ∩ la notación es correcta puesto que ,, son conjuntos

(de puntos) y se puede establecer la igualdad si se habla del mismo tipo de objeto.

Pero si se escribe = ∩ no es correcto, puesto que , son rectas; es decir, son

conjuntos (de puntos) y no se puede establecer la igualdad entre conjuntos y un elemento,

en este caso punto. La notación correcta en este caso es: {} = ∩ .

En el cuarto punto, se presenta el siguiente problema: “ Si es una recta que interseca al

plano en un punto , existe al menos una recta , ⊂ tal que ⊥ ”.

Dado que en la afirmación se usa la expresión “al menos” la profesora aclara que dicha

expresión tiene una interpretación importante: “Se dice al menos ya que pueden darse dos

Tipo de demostración: Directa con construcción auxiliar

Datos: ⊥ , , ∈ ∩ , ⊥ , ∈ , ,

Aserción: ⊂

Núcleo Pilares

1. , T. Rectas intersecadas – plano

2. = ∩ , recta T. Intersección planos

3. ⊥ , , ∈ D. Recta y plano perpendiculares

4. , ⊂ D. Intersección de conjuntos

5.

= T. Unicidad perpendicular a recta en plano



casos: muchas rectas son perpendiculares a la dada, cuando la recta es perpendicular al

plano, y sólo hay una recta perpendicular a la dada, cuando la recta no es perpendicular al

plano. Hay que considerar los dos casos. El caso interesante, que se va a demostrar es

cuando no es perpendicular la recta al plano.”

Luego el Grupo F presenta la siguiente demostración:

La profesora afirma que no es una demostración demasiado complicada. Sin embargo, noshace un llamado de atención puesto que ningún grupo estudió los dos casos. Solo pensaron

en el caso en el que la recta no era perpendicular al plano y no el caso en el que la recta era

perpendicular al plano.

En el quinto punto de la tarea extra clase se propuso demostrar lo siguiente “Demuestre: Si

∈⊙ , y es un diámetro de esta, entonces el ∠ es recto”

Tipo de demostración: Directa

Datos: recta, ⊄ , , {} = ∩

Aserción: ⊂ , ⊥

Núcleo Pilares

1. ⊥ , ∈ T. Existencia recta – plano perpendicular

2. = ∩ T. Intersección planos

3.

⊥ , ⊂ D. Recta y plano perpendiculares



De esta afirmación surgieron dos demostraciones:

1)

Demostración #1

AFIRMACIÓN GARANTÍA y DATOS

1.

∈ ⨀, diámetroDado

2. , ∈ ⨀ , ∈ D. Diámetro (1)

3. , , no colineales T. Circunferencia tres puntos no colineales

(1)(2)

4. △ D. Triángulo (3)

5. − − D. Segmento (2)

6. ∠ D. Ángulo (3)

7. ∈ ∠ T. Punto interior de ángulo (6)(5)

8. ∠ + ∠ = ∠ P. Adición medida de ángulo (7)

9. △ ,△ D. Colinealidad

D. Triángulo (5)(8)

10.

= = D. Circunferencia (1)(2)11. △ ,△ isósceles D. Triángulo isósceles (10)(9)

12. ∠ ≅ ∠ ∠ ≅ ∠

T. Triangulo isósceles (11)

13. ∠ + ∠ + ∠ =180

T. 180 (4)

14. ∠ = ∠ ∠ ≅ ∠

D. Ángulos congruentes (12)

15. ∠ + ∠ + ∠ ++∠ = 180

Sustitución (13)(8)

16. ∠ + ∠ + ∠ +∠ = 180

Sustitución (14)(15)

17.

2∠ + 2∠ = 180 P. Reales (16)18. ∠ + ∠ = 90 P. Reales (17)

19. ∠ = 90 Sustitución (17)(18)

20. ∠ recto D. Ángulo recto (19)

2) Demostración #2



AFIRMACIÓN GARANTÍA y DATOS

1. ∈ ⨀, diámetro Dado

2.

Sea P. Dos puntos recta(1)

3. Sea punto tal que ∈ ⨀ ∩ T. Recta secante (1)(2)

4. diámetro de ∈ ⨀ D. Diámetro (3)

5. − − y − − D. Diámetro (4)

6. ≅ ≅ ≅ D. Circunferencia (1)(3)(5)

7. C punto medio de

C punto medio de

D. Punto medio (5)(6)

8. y se bisecan D. Segmentos bisecados (7)

9. ⊡ paralelogramo T. Condiciones para ser un

paralelogramo(8)

10.

⊡ rectángulo T. Diagonales congruentes rectángulo(9)

11. ∠ es recto D. Rectángulo (10)

Finalmente, después de terminar la corrección de la tarea, se llevó a cabo la siguiente

actividad:

Para cada una de las siguientes situaciones, determine el lugar geométrico de puntos, en el

plano y en el espacio, que satisfacen la propiedad solicitada. Si usa geometría dinámica

para encontrar su respuesta, indique los pasos de construcción y exploración. Formule una

conjetura y si puede justificarla, hágalo. Si no es posible, indique que hace falta para

lograrlo.



Situación 1: Puntos que equidistan de un punto

Situación 2: Puntos que equidistan de dos puntos dados y

Situación 3: Puntos que equidistan de tres puntos no colineales dados , y .

Situación 4: Puntos que equidistan de una recta dada

La profesora da por terminada la clase; recoge lo que los grupos hicieron hasta esemomento de la actividad anteriormente dicha y finalmente aclara que esta actividad se

terminara en la próxima clase.

CLASE 08-03-16, GRUPO H (MANUEL Y CARLOS)

DEFINICIONES Y TEOREMAS ACEPTADOS EN EL SISTEMA TEÓRICO:

D. Equidistancia: Equidistancia es tener la misma distancia al objeto dado; sehabla de equidistancia a un punto, a una recta, a dos puntos, a tres puntos.

D. Lugar Geométrico: es el conjunto de puntos que satisfacen una propiedad.

D. Plano Mediador: El conjunto de puntos del espacio que equidistan de dospuntos dados y se llama plano mediador. Notación:

T. Plano Mediador: El plano mediador de un es el plano perpendicular a

que contiene a punto medio del .

T. Plano Perpendicular Contiene Rectas Perpendiculares (T. PPCRP):Dada una recta y un punto de esta, el plano perpendicular a por ,contiene a todas las rectas perpendiculares a por .

PROBLEMAS PROPUESTOS:

Tarea extra clase 8:

1. En clase se propusieron dos construcciones para validar el T. Existencia plano-recta

perpendicular. Determine si es posible justificar cada una y si el resultado es válido.Escriba la demostración completa.

Construcción 1


2. ⊥ , ∈ , ⊂ , recta



3. ⊥ , ∈ , ≠ , plano

4. ⊥ , ∈ , ≠ ≠ , plano

5. = ∩ , recta

6. ⊥

Construcción 2


2. ⊥ , ∈ , ≠ , plano

3. ⊂ , ∈ , ⊥

4. ⊥

2. En clase demostramos que existe un plano perpendicular a una recta en unpunto de . ¿Existe otro plano , ⊥ , ∈ ? Justifique su respuesta.

3. Demuestre: si recta, plano, ∈ ∩ , punto, ⊥ , y recta, ⊥ , ∈ ,entonces ⊂ .

4. Demuestre: Si es una recta que interseca al plano en un punto , existe almenos una recta , ⊂ tal que ⊥ .

5. Demuestre: Si ∈ ⊙ , y es un diámetro de esta, entonces el ∠ es recto.

DESARROLLO DE LA CLASE:

La clase se inicia con la aclaración de la profesora Carmen respecto a que no haríallamado de lista. Luego de esto prosiguió con los siguientes comentarios variosrespecto a la tarea:

En la primera construcción punto 1, Tarea extra clase 8:



Se volvió a explicar porqué los planos son diferentes: ⊂ , ⊂ y ⊄ entonces ≠ . Luego construimos plano, tal que ⊥ , ⊂ y ⊄ que era lo quefaltaba por asegurar en la clase anterior.

En la segunda construcción:

Sea = ∩ , ahora podemos buscar la recta tal que ⊂ , ⊥ , ∈ .

Para el punto 2 de la tarea, alguien partió de = ∩ ⊥ , ⊥ , e hizo lasiguiente construcción:



En : sea recta, ⊥ , ∈ . Además ⊥ por D. Recta perpendicular a plano.

En : sea ℎ recta, ℎ ⊥ , ∈ ℎ. Además ℎ ⊥ por D. Recta perpendicular a plano. Porotro lado, se tiene ⊥ , por la misma razón. Sea , (plano generado por y ℎ)

De lo anterior surgió la pregunta: ¿ ⊂ ℎ?, a lo que se respondió si porque todas lasrectas perpendiculares a están en el mismo plano.

, ℎ y son perpendiculares a la misma recta por lo tanto son coplanares, “ya que

todas las rectas perpendiculares a una misma recta por el mismo punto son

coplanares”. Entonces en hay dos rectas, y ℎ, perpendiculares a por el punto . Supusimos que y eran dos planos diferentes, por lo que hay contradicción.

Para el punto 4 de la tarea extra clase hay dos casos:

Caso 1:



es perpendicular al plano, entonces hay infinitas rectas.

Caso 2 no es perpendicular al plano:

Usamos para decir: Sea plano, ⊥ , ∈ , = ∩ , ≠ .

Posterior a esto, introducimos en nuestro sistema teórico las definiciones deequidistancia y de lugar geométrico y proseguimos al análisis de los puntosdesarrollados en el trabajo en clase de la sesión anterior.

Equidistancia a un punto:

En el Plano: sabemos que existe en el plano el lugar geométrico, el cuál es lacircunferencia; esto por el T. Localización de puntos.

Ahora por D. Circunferencia, T. Existencia Circunferencia y T. Circunferencia infinitospuntos tenemos como justificarlo

Por otro lado, el lugar geométrico en el espacio es la esfera, y también se puedejustificar con los teoremas que ya tenemos.



Equidistancia a dos puntos dados y .

En el plano: Por definición, el lugar geométrico es la mediatriz; el T. Existencia de lamediatriz garantiza que la mediatriz existe y el T. Mediatriz me dice que es una rectaperpendicular por el punto medio del .

En el espacio: El conjunto de puntos que equidistan de dos puntos dados y es unplano perpendicular a que contiene a punto medio del .

= { | punto , = , ∈ ℰ}, plano

Las otras descripciones que se dieron son:

= , donde = ℳ ,

= ℳ ,

o

= donde ⊥ , ∈ ∩ , punto medio.

Hay que demostrar que se cumplen dos inclusiones:

i. ⊂ ii. ⊂

Hay que demostrar que si los puntos están en el plano descrito ,entonces equidistande y , y que si equidistan de y , están en el plano.

Comentario: La primera vez que nombramos un plano se nombracon una letra grieganueva y el subíndice que indica cómo se genera. Luego de eso, no se vuelve a poner elsubíndice. Ejemplo: inicialmente se escribe , , ,, , y luego , , La profesora

también indicó que para demostrar que un conjunto es subconjunto de otro, se tomaun elemento del primero y se demuestra que pertenece al segundo. Esto no es un datodado, pero es una suposición que se tiene que hacer: el primer conjunto tieneelementos.



Demostración: ⊂


0 = { | punto, = , ∈ ℰ}, plano

Dado

1 punto medio de T. Existencia punto medio (0)

2 = D. Punto medio (1)

3 ∈ D. Pertenencia (0,2)

4 ≠ ϕ D. Conjunto vacío (2)

5 Sea ∈ , ≠ Hipótesis

6 = D. Pertenencia (5)

7 ,, no colineales D. Colineal (5)

8 ,, P. Puntos plano (7)

9 ∈ , D. Mediatriz (6,8)

10 ⊥ T. Mediatriz (1,9)

11 ⊂ T. Plano Perpendicular Contiene RectasPerpendiculares.

12 ∈ D. Subconjunto (11)

Introdujimos a nuestro sistema teórico la D. Plano mediador.

Demostración: ⊂


0 ⊥ , ∈ , punto medio de Dado

1 Sea ∈ , ≠ Hipótesis

2 P. Dos puntos recta

3 ⊂ P. Llaneza del plano

4 ⊥ por D. Recta-plano perpendiculares



5 , T. Rectas intersecadas plano

6 = ℳ , T. Mediatriz (5,4,0)

7 = D. Mediatriz

8 ∈ D. Pertenencia (7)

Luego introdujimos el T. Plano mediador.

Equidistancia a tres puntos , y

En el plano: El lugar geométrico de puntos que equidistan de , y se puededescribir de dos formas:

1.

El centro de la circunferencia que contiene a , y por el T. Puntos nocolineales -circunferencia.

2. {} = ℳ , ∩ ℳ , , ,, por D. Mediatriz.

Posteriormente se da continuidad con la actividad en clase para las situaciones 3 y 4.Luego de esto, la clase finaliza.

CLASE 19-04-16 GRUPO A (NATALIA, YENIFER Y DIÓGENES)

Al iniciar la clase la profesora nos habla del símbolo no perpendicularidad, yamencionado con anterioridad, pues no se encuentra en el Editor de Ecuaciones.Acordamos que la notación sería ¬( ⊥ ) , ya que la que se propuso en clase por unode los compañeros queda como imagen y no es cómodo usarla, y esta es más elegante.

Continuamos con los problemas de la clase anterior, lugares geométricos dada unasituación.

El lugar geométrico es el conjunto de puntos que satisfacen ciertas condiciones,aunque no todo lugar geométrico es un lugar especial, como lo veremos en el siguienteejemplo:

Ejercicio 1. ¿Cuál es el lugar geométrico de puntos que pertenecen a la intersección∠ ∩ ∠?

Lo primero que hicimos es determinar y denotar cuál es el conjunto que estamosbuscando por compresión, que cumpla con las condiciones dadas.

P={ | punto y ∠ ∩ ∠ }



Se presentaron varias propuestas de solución, como las siguientes:

*P igual a la región comprendida en el ∆, es decir el interior del triángulo* =

* = ∪ {}.

Realizamos la gráfica correspondiente para determinar la respuesta, representandocada ángulo con un color diferente:

La correcta es ∪ {}. Esto se observa gráficamente y teóricamente por ladefinición de ángulo.

La profesora nos da este ejemplo para que nos demos cuenta de que el lugargeométrico no siempre es un conjunto o figura especial.

Cuando buscamos un lugar geométrico lo que queremos saber es:

Que podamos mostrar que existe. Si es un conjunto especial.

Cuántos elementos hay en el conjunto.

Algunos ejemplos de lugares geométricos especiales son:

Rectas. Planos.

Circunferencias.

Situación 3.

Puntos que equidistan de tres puntos no colineales dados , .

EN EL PLANO

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de tres puntos no colineales en elplano existe y es un punto.

Surgen dos descripciones



1. El centro de la circunferencia que contiene a los puntos , . Se justifica estocon el T. Puntos no colineales circunferencia. Por el anterior teorema sabemos queexiste este punto , donde es el centro de la circunferencia que contiene a , .Por definición de circunferencia equidista de ,

2. La segunda descripción consta de la intersección de la mediatriz de dos segmentosdeterminados por los puntos. Esto se justifica por D. Mediatriz y por T. Intersecciónde mediatrices, pues sabemos que existe un punto que pertenece a ℳ , ∩ ℳ ,

Ahora tenemos que demostrar que el conjunto que buscamos es el alguno de losconjuntos descritos. Tomaremos la segunda descripción propuesta.

) = { punto| = = }

) ℳ , ∩ ℳ , , ,,

Para demostrar la igualdad entre dos conjuntos nos dirigimos a la definición deigualdad de conjuntos, la cual nos exige confirmar la doble contenencia; es decir, sedemuestra que todo punto que está en un conjunto estará en el otro y viceversa.

Siendo así se tiene:

. ⊂ ℳ ∩ ℳ

. ∩ ⊂

Procedemos a demostrar el caso

Caso . ⊂ ∩



En primer lugar debemos suponer que existe un punto en el conjunto , para que deesta manera logremos llegar a concluir que dicho punto cumple las condiciones delotro conjunto.

Por tanto, podemos proceder a realizar la demostración aunque no sepamos si el

conjunto es o no vacío; podemos suponer que existe un punto en el conjunto, ya que sillegase a existir tendría que pertenecer al otro conjunto.

Aserción Datos-Garantía

1. Sea ∈ Hipótesis(supuesto)

2. = = D. Pertenencia.(1)

3. ∈ ℳ y ∈ ℳ D. Mediatriz.(2)

4. ∈ ℳ ∩ ℳ D. Intersección.(3)

5. ⊂ ℳ ∩ ℳ D. Subconjuntos.(1,4)

Ahora procedemos a realizar el otro caso.

Caso .ℳ ∩ ℳ ⊂


1. Sea ∈ ℳ ∩ ℳ Hipótesis(Supuesto)

2. ∈ ℳ y ∈ ℳ D. Intersección.(1)

3. = y = D. Mediatriz.(2)

4. = = Transitividad(3)

5. ∈ D. Pertenencia.(4)

6. ℳ ∩ ℳ ⊂ D. Subconjuntos.(5,1)

Concluimos, de las anteriores demostraciones, que ⊂ ℳ ∩ ℳ , yℳ

∩ ℳ

⊂ . Entonces, por la definición de igualdad de conjuntos, = ℳ

∩

ℳ

EN EL ESPACIO

Se trabajó con geometría dinámica. Llegamos a que es el conjunto que buscamos ypor medio de esta herramienta encontramos y , los conjuntos que creemos que sonel lugar geométrico que buscamos.



= { punto en ℰ| = = }

= recta , ⊥ ,,, ∈ donde = ℳ ,⋂ℳ ,.

= ⋂

Pasos de construcción

Construir puntos , , no colineales en el plano .(P. Puntos plano.)

Construir , . (T. Existencia segmento.)

Construir plano mediador de . (T. Existencia del plano mediador.)

Construir la intersección entre los planos mediadores.(T. Intersección de planos.)

Construir dos rectas en el plano que contengan al punto de intersección.

Medir el ángulo.

Los dos últimos pasos se pueden reemplazar por

Construir recta perpendicular al plano por el punto. Verificar si son iguales

Por sugerencia de un compañero ya que era necesario, surgió el Teoremaexistencia de plano mediador.



T. Existencia plano mediador Dado , existe el plano mediador .


1. Dado

2.

T.RRS(1)

3. ⊂ , plano T. Recta-Infinitos planos(2)

4.

ℓ mediatriz de , ℓ ⊂ ( = ℳ ,)

T. Existencia mediatriz (1)(4)

5. punto, ∉ P. Espacio

6. , P. Recta-Punto-Plano(5)(2)

7. mediatriz , ⊂ ( = ℳ ,)

T. Existencia mediatriz(1)(6)

8. punto medio ∈ ℓ, ∈

T. Existencia del punto medio(1) y T.mediatriz (4,7)

9. ∈ ℓ ∩ D. Intersección (3)

10. ℓ,, plano P. Intersección de rectas-plano(9)

11. ⊥

⊥ T. Mediatriz(7,4)

12. ⊥ T. Fundamental de perpendicularplano- recta (11)(10)

13. ∈ D. Subconjuntos(9,10)

14. es el plano mediador del T. Plano mediador(8,12,13)

Seguimos con la demostración de que = . Para abordar esta demostración se tieneen cuenta la definición de igualdad de conjuntos.



i. ⊂

ii. ⊂

Comenzamos demostrando ⊂ .


0. ∈ donde = ℳ ,⋂ℳ ,. Dado

1.

Sea ∈ Hipótesis

2. ∈ , ⊥ ,, D. Pertenecer a (1)

3. ∉ o ∈ Casos

4. ∉ Caso 1(3)

5. ,, no colineales,, no colineales

,, no colineales

T. Espacio puntos (4)

6. Δ, Δ, Δ. D. Triángulos (5)

7. = = D. Intersección y mediatriz (0)

8. ≅ ≅ D. Segmentos congruentes(7)

9. ≅ Propiedad reflexiva(0)

10. ⊥ , ⊥ , ⊥ . D. Recta plano perpendicular. TR.R.S(2)

11.

∠, ∠, ∠, rectos D. Perpendicular(10)12. ∠ ≅ ∠ ≅ ∠ T. Ángulos rectos (11)

13.

Δ ≅ Δ ≅ Δ. P. LAL (8,9,12)

14. = = D. Triángulos congruentes (13)

15. ∈ ∈ D. Plano Mediador(14)



16. ∈ ∩ D. Intersección de conjuntos(15)

17.

⊂ D. Subconjunto (16)

Ahora demostraremos ⊂ . Es la segunda parte para demostrar la igualdad entre losconjuntos.


1.

Sea ∈ Hipótesis (supuesto)

2. ∈ ∩ D. Pertenecer a (1)

3. ∈ y ∈ D. intersección de conjuntos (2)

4.

= = D. Plano Mediador(3)

5.

Sea ∈ , = = ∈ ∩

Parte a. problema 3 (dado)

6. ∉ o ∈ Casos

7. ∉ Caso 1(6)

8.

P. Dos puntos recta(5,7)

9.

Sea recta, ⊥ , ∈ T. Existencia de la perpendicular recta-

plano(5,7)10. ∈ , ≠ T. Recta infinitos puntos (9)

11.

Δ, Δ, Δ T. Existencia Triangulo( 1,5,10)

12. Δ ≅ Δ ≅ Δ. P. LAL(4,5,9)

13. = = D. Triángulos congruentes (12)

14. {,} ⊂ {, } ⊂ D. Plano mediador(13)

15. ⊂ y ⊂ P. Llaneza del plano(14)

16. = P. Dos puntos recta(9,10)

17. ⊂ ∩ Sustitución y D. Intersección (15,16)

18. = T Unicidad intersección de planos(17,2,5,8)



19. ∈ Caso 2(6)

20.

= T. Unicidad del Circuncentro (4,5)

21. ⊂ D. Subconjunto (18,20)

De lo anterior tenemos ⊂ y ⊂ . De esto concluimos por definición de igualdadde conjuntos que = . A la vez, quedó demostrado que = = .

Nota: Una vez establecido el paso 8 de la demostración, las propuestas sugeridas por

los estudiantes para demostrar que la realmente era perpendicular al plano nose pudieron justificar. Finalmente, un estudiante sugiere usar que existe la recta ,

⊥ , ∈ y mostrar que = .

Taller en clase

A continuación, la profesora nos dejó un taller para realizar y entregar en clase. En lasiguiente clase hablaremos de este.

*Sea ⊛,, y plano tal que ∩⊛,,≠ ∅. ¿Qué lugar geométrico es ∩⊛,,?

Justifique, si es posible su respuesta, sino lo es indique qué elementos teóricos hacenfalta y proponga una posible forma de demostrar.

Y así se dio por finalizada la clase a las 9:56 luego de recoger computadores.

CLASE 21-04-16(JENNY, NIMROD, CRISTIAN G.)

Resumen de la clase:

La clase comienza con la comprobación tres. Luego se realizó la corrección de la tareapropuesta en la sesión anterior. El ejercicio de la tarea es el siguiente:

Sea ⊛ y plano tal que ⊛ ∩ ≠ ∅. Determine queé es ⊛ ∩ . Justifique sies posible, su respuesta. Indique qué elementos teóricos hacen falta y proponga unaposible forma demostrarlos.

Para resolver el problema, se debe tener en cuenta que hay dos casos:

1. sea tangente: ⊛ ∩ = {} ¿Qué condición cumple con respecto a ?, Se descubre que debe cumplirseque ⊥ .



Se menciona que la demostración es muy parecida a la que se hizo con lacircunferencia en el plano. Es decir, hacer una demostración indirecta.

2.

⊛ ∩ tenga por lo menos dos puntos.

Aquí se aclara que pueden ocurrir dos casos.a. ∈⊛ ∩ . Pero este caso ya está demostrado. Ya sabemos que

⊛ ∩ =⊙ .

b. ∉⊛ ∩ . Entonces ⊛ ∩ =⊙ siendo ≠



Con el problema 2b, es necesario garantizar que dado plano y punto tal que ∉ ,entonces existe recta , ⊥ , con ∈ .

Después se revisa la situación cuatro de una tarea propuesta en clase que quedópendiente y que dice así: encontrar el lugar geométrico de puntos que equidistan deuna recta dada .

En el plano: Se descubre que el lugar geométrico determinado por los puntos queequidistan de una recta dada son dos rectas paralelas a la recta dada.

= { | (,) = , recta}, siendo > 0

Se localizan tres puntos , , cuya distancia a la recta es . = . Ahora segenera la siguiente pregunta, ¿es el ∥ ? La respuesta es sí, porque ⊡ esparalelogramo ya que tiene un par de lados paralelos y congruentes (

, ). Se

aclara que estos segmentos son paralelos porque están contenidos en rectas paralelas,cosa que, a su vez, está garantizado por el T. Perpendicular paralelas.

Ahora la pregunta es: ¿ ∈ ? Esto se comprueba, porque ⊡ esparalelogramo con los mismo argumentos del paralelogramo anterior. Entonces



∥

, pero , , ∈ . Luego desde , solo puede existir una rectaparalela a recta dada (P. Paralelas). Ya se sabía que , ∈ , y ∥ ,necesariamente ∈ .

En el espacio:

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de es la unión de las rectas , que son equidistantes a en el plano . Sospechamos que esa unión conforma lo quevisualmente parece ser un cilindro infinito.

Queda de tarea buscar la definición de cilindro.

La profesora da tiempo para que determináramos cómo construir una rectaperpendicular a un plano por un punto externo al plano. Pregunta quién tenía

construcciones para comprobar si son válidas. Surgen dos construcciones:

Construcción uno:

Pasos:

1. , ∈

2. 3. ⊥ talque que ∈ (Se aclara que esto debe suceder en un plano)4.

{} = ∩

5.

⊥ por y ⊂ 6.

⊂ y ⊂ 7. ⊥ tal que ∈ y ⊂

Es importante aclarar que falta: ∩ = {}, ⊥ , ∈ .



Construcción dos:

1.

plano.2.

punto, ∉ 3. , ∈ 4.

5.

plano, ,

6. recta, ⊥ , por 7.

punto, {} = ∩ 8. recta, ⊥ por 9.

plano, ⊂ , ⊂ 10.

punto, ∈

11.

⊂ 12.

recta, ⊥ , ∈ , en 13. punto, {} = ∩ 14. ⊥



Al finalizar la clase, la profesora entregó una hoja que esboza la demostración de la

existencia de la recta perpendicular a un plano desde un punto externo al plano. Queda de

tarea justificar cada paso y completar la demostración.

CLASE 26-04-2016, GRUPO C (ALEJANDRA, MICHAEL, Y CRISTIAN)

La clase inicia con la corrección de la comprobación 3, iniciando con el punto 1.

Sea la ⊛ y el plano . Suponga que ⊛ ∩ tiene por lo menos dos puntos y . Sea

una recta tal que ∈ y ⊥ . Sea ∩ = {}. Demuestre que ⊛ ∩ =⊙

.

Pero ¿qué significa “demostrarlo”? En este caso se habla de una intersección de un plano

no tangente a la esfera. En clases pasadas se había hablado de un plano tangente y se

había definido, aunque nunca se demostró cuándo es tangente. No obstante se dijo que al

igual que pasa en la circunferencia, será tangente cuando el plano es perpendicular a un

radio de la esfera. Pero el del parcial es el caso en que el plano no es tangente, pues en la

intersección hay por lo menos dos puntos y . Asi que hay que demostrar dos

contenencias:

i)

⊛ ∩ ⊂ ⊙

ii) ⊙ ⊂ ⊛ ∩

Como se puede observar en las contenencias, no se escribe que la circunferencia está en

el plano . Sin embargo las condiciones que se dan para esa circunferencia y sabiendo que

una circunferencia es una figura coplanar, se concluye que ⊙ ⊂ .



Para demostrar (i), se toma un punto ∈⊛ ∩ , y se demuestra que ∈ ⊙ . Para

ello hay que demostrar que , que sería el centro de la circunferencia, equidista de y .

Núcleos Pilares

1. ∈ ⊛ ∩ Hipótesis

2. ⊥ , ⊥ D. Recta plano perpendicular

3. = = D. Esfera

4.

∆ ≅ ∆ T. Hipotenusa cateto

5. = D. Triángulos congruentes

6. ∈⊙ D. Circunferencia

Al terminar esta primera demostración, la profesora hace énfasis en que no existe el

Teorema Lado Ángulo Ángulo que algunos estudiantes colocan como garantía. Hipotenusa

Cateto es un caso especial de esas condiciones, y se debe tener un triángulo rectángulo.

Para demostrar (ii), se toma un punto , tal que ∈⊙ y se menciona lo

anteriormente dicho: ⊙ ⊂

Núcleos Pilares

1.

∈⊙ Dado

2. ⊙ ⊂ D. Circunferencia (Figura

coplanar)



3. ⊥ , ⊥ D. Recta plano perpendicular

4. = D. Circunferencia (Consta de

puntos equidistantes al centro)

5. ∆ ≅ ∆ P. Lado ángulo lado

6. = D. Triángulos congruentes

7. ∈⊛ ∩ D. Intersección

D. Esfera

El punto 2 del parcial decía:

Sea una recta y un punto tal que ∉ . Demuestre que existe un plano tal que

⊥ y ∈ .


1.

recta, punto, ∉ Dado

2. , T. Punto,recta- plano(1)

3. recta,

⊥ , ∈ , ⊂

T. Existencia perpendicular

punto externo (2)

4.

Sea {} = ∩ T. Intersección de rectas (3)

5. Sea plano, ⊥ , ∈ T. Existencia recta- plano

perpendicular (3,4)



6. Sea recta, ⊂ ,

∈

T. Punto infinitas rectas(4)

7. ⊥ D. Recta plano

perpendicular (5)

8.

⊂ T. Rectas perpendicularescoplanares (4,5)

9. ∈ D. subconjunto (3,8)

Finalmente punto 3 introduce una nueva definición:

D. Una recta es paralela a un plano si no lo interseca

En este punto se presentaban los núcleos de la demostración del siguiente teorema y toca

completar la demostración.

T. Existencia recta paralela a plano: Sea plano. Entonces existe una recta paralela a

.


1. plano Dado

2. ∈ , punto T. Plano infinitos puntos (1)



3. Sea recta, ⊥ ∈ T. Existencia plano-recta

perpendicular (2,1)

4.

Sea punto, ∈ ,

≠

T. Recta infinitos puntos (3)

5.

Sea plano, ⊥ , ∈

T. Existencia recta-planoperpendicular (4,3)

6. recta, ⊂ , ∈ T. Puntos infinitas rectas(en el

plano) (5)

7. ∦ Negación conclusión

8. ∩ ≠ ∅ D. Recta-plano paralelas(7)

9. Sea { } = ∩ ,

∈ , ∈

D. Conjunto vacio(8)

T. Intersección recta plano

10. . , plano, ⊂

∈

T. Rectas intersecadas plano

(4,6)

D. Subconjunto

11. , ∈ ∩ D. Pertenecer a (3,6,9)

12. ∩ = , recta T. Intersección planos (11,10)

13. = P. Dos puntos recta (11,12)

P. Llaneza

14. ⊥ , ∈ D. Plano rectas perpendiculares

(12,5)

15.

, ⊂ D. Intersección (12,10)

16. ⊥ , ∈ D. Rectas-planos

perpendiculares (5,6,9)

17.

∩ = ∅ P.R.A (T. Dos rectas

perpendiculares por mismopunto) (16,14)

18. ∥ D. Recta paralela a un plano



Después de la corrección del parcial, se habló de la Tarea Extra clase 9, refiriéndonos al

punto 1, donde se demostraba: T. Rectas perpendiculares a plano-paralelas: Si dos rectasson perpendiculares a un plano, entonces son paralelas entre sí.

Para este punto nos daba los siguientes núcleos.

Núcleos Pilares

1. = ℳ ,

2. ⊂

3. ⊂ 4. ∥

1. T. Mediatriz

2. P. LAL

3. P. LAL

4. T. Perpendiculares a una misma recta

son paralelas

Para demostrar que dos rectas son paralelas, primero se debe demostrar que son

coplanares y luego que no se intersecan. Entonces tenemos:





Análogamente tomamos un punto en la recta , y

concluimos que =

Por definición de plano mediador , ∈

Como , ∈ ; , ∈ , por el P. Dos puntos recta y

por el P. Llaneza del plano, , ⊂

Por lo anterior tenemos lo primero, que y son

coplanares.

Como anteriormente mencionado , ∈ ,

entonces ⊂ entonces las tres rectas , y

son coplanares

Como ∈ ; ∈ , , por el P. Dospuntos recta

Entonces ⊥ y ⊥ . Por el T. Perpendiculare

una misma recta - paralelas, y como y son

coplanares, entonces ∥

Luego se paso a la Tarea Extra clase 10, punto 4; donde se pedía estudiar 6 definiciones de

cubo para indicar si eran válidas.

Definición 1: Un cubo está formado por 8 puntos en el espacio tal que determinan 6 caras

cuadradas.



No es válida, porque seestá diciendo que

un cubo es solo 8 puntos

Definición 2: Sólido con aristas congruentes y con los ángulos determinados por las aristas

congruentes.

No es válida. Primero se tendrá que definir

sólido, y aristas.

Además existen muchos sólidos con lapropiedad de tener aristas y ángulos

congruentes, como este tetraedro.

Definición 3: Hexaedro regular formado por seis caras que son cuadrados, todas las aristas

son congruentes.

No es válida porque no se sabe ladefinición de hexaedro.

Definición 4: Cubo si ⊡EFBA, ⊡FGCB,⊡HGCD,⊡EFGH,⊡ABCD, ⊡EHDA son cuadrados

que no son coplanares.



No es válida porque no dice exactamente

qué es el cubo. ¿Será la unión de esos

cuadrados?

Definición 5: Paralelepípedo rectángulo con todas las aristas iguales.

Paralelepípedo rectángulo es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulas.

Paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.

A pesar que definieron varios términos

usados, faltó definir prisma, por lo cual noes válida

Definición 6: Dado un plano y un cuadrado en . Sean ,,, puntos que no

están en tal que , , , , , , , son perpendiculares a y

congruentes a . El cubo es la unión de las cuatro regiones poligonales determinadas por

los cuadrados ⊡ ,⊡ ,⊡ , ⊡ ,⊡ , ⊡ .

No es válida,

, , , , , , , so

n perpendiculares a .

, , , no son

perpendiculares a . Además,

sabemos por T. Existencia Recta

perpendicular plano externoque es

imposible que , sean

perpendiculares a .



En conclusión ninguna definición fue válida. Pero entonces ¿Cómo definimos cubo?. La

profesora indica que hay que decidir qué se va a considerar como cubo: un “esqueleto” es

decir solo los segmentos; un “recipiente” donde se puede, por decirlo así, “llenarlo de

agua”; o un “solido” donde se tomaría todos los segmentos posible para “rellenar” el área

conformada por los cuadrados. Se decide definir cubo como “esqueleto”.

Así que empezamos a definirlo de la siguiente manera:

Sean 8 puntos, , , , , , , , tal que , , , ∈ y , , , ∈ , ∥ . Pero

aquí tenemos nuestro primer problema.En nuestro sistema teórico no tenemos planos

paralelos.

Así que se propone, seguir el camino de cómo definimos cuadrado, cuando empezamos

por paralelogramo, rectángulo y finalmente cuadrado; entonces se iniciará primero con la

definición de un paralelepípedo.

D. Dados dos planos y paralelos y ⊡ , ⊡ paralelogramos congruentes,⊡ ⊂ , ⊡ ⊂ , recta, tal que, ∩ ≠ ∅, ∩ ≠ ∅, ∥ , ∥ , ∥

y ∥ . Un paralelepípedo es la unión de los paralelogramos con , , y .

D. Los paralelogramos dados se llaman bases del paralelepípedo.

D. Los segmentos que conforman el paralelepípedo se llaman aristas.

D. Un cubo es un paralelepípedo tal que las bases son cuadradas, la recta ⊥ y todas las

aristas son congruentes.

Para que las definiciones anteriores sean válidas, debemos demostrar el T. Existencia

plano paralelo. Para ellos se dan dos ideas:

Plan A Demostrar: si dos planos son perpendiculares a una misma recta en dos puntos

diferentes, estos planos son paralelos.



Plan B Demostrar que el plano generado por dos rectas paralelas al plano dado, que se

intersecan, es paralelo al dado.

Teoremas y definiciones

T. Dado un plano y una ⊛ , si la intersección del plano y la esfera es por lo menos dos

puntos, entonces la intersección es una circunferencia.

T. Existencia Recta-plano perpendicular punto externo Sea una recta y un punto tal

que ∉ . Entonces existe un plano tal que ⊥ y ∈ .

T. Existencia recta paralela a plano: Sea plano. Entonces existe una recta paralela a

.

D. Una recta es paralela a un plano si no lo interseca.

T. Rectas perpendiculares a plano-paralelas: Si dos rectas son perpendiculares a un plano,

entonces son paralelas entre sí.

D. Dados dos planos y paralelos y ⊡ , ⊡ paralelogramos congruentes,

⊡ ⊂ , ⊡ ⊂ , recta, tal que, ∩ ≠ ∅, ∩ ≠ ∅, ∥ , ∥ , ∥

y ∥ . Un paralelepípedo es la unión de los paralelogramos con , , y .

D. Los paralelogramos dados se llaman bases del paralelepípedo.

D. Los segmentos que conforman el paralelepípedo se llaman aristas.D. Un cubo es un paralelepípedo tal que las bases son cuadradas, la recta ⊥ y todas las

aristas son congruentes.

T. Existencia plano paralelo: Dado un plano , existe un plano tal que ∥ .



CLASE 28-04-16 GRUPO E (CRISTIAN1,LEIDY,LUISA )

Iniciamos la clase analizando dos propuestas para demostrar la existencia un plano paralelo a otro

que contiene un punto que no pertenece al plano dado.

Propuesta 1: Un plano perpendicular a una recta , ∈ , ⊥ , plano.

Propuesta 2: Dados dos rectas , , ⊂ , ⊂ , ∩ = { }. Sean , rectas tal que

∥ , ∈ y ∥ , tal que ∈ , entonces es paralelo a .

Propuesta 1: Si plano, punto, ∉ , entonces existe un plano , ∈ , ∥




1. plano punto

∉

Dado

2.

⊥ , ∈ T. Existencia del plano recta perpendicularexterno (1)

2.1 ∩ = { } T. Intersección recta plano (2)

D. Recta perpendicular a plano

3. ⊥ , ∈ T. Existencia recta-plano –perpendicular

interno (2)

4. Suponga que ∦ Negación conclusión

5. ∩ = ∅ D. Planos paralelos (4)

6. ∈ ∩ , punto D. Conjunto vacío (5)

7. ∈ y ∈ D. Intersección (6)

8. ∉ D. Intersección recta plano (7,2.1)

9. ,, P. Puntos plano (2,2.1, 8)

10. , en P. Dos puntos recta (9)

P. Llaneza del plano

11. ⊥ , ⊂

⊥ , ⊂

D. Recta plano perpendicular (3,2)

12.

En , ⊥ , ⊥ Conjunción (11)

13. ∥ PAR (T. Unicidad recta perpendicular a recta

punto externo) (12)

Propuesta 2: Si plano, , rectas, ∩ = { }, ∥ , ∥ entonces ∥ .


1. plano, , , rectas

∩ = {}

∥ , ∥

Dado

2.

Sea ∈ T. Plano infinitos puntos (1)



3. ∉ y ∉ D. Recta paralela a plano (2)

4. , y , T. Punto y recta- plano (3)

5. ∩ = , ∩ = T. Intersección plano (4)

6.

∈ y

∈ T. Intersección plano, D. pertenecer a (2,4,5)

7.

Sea , T. Rectas intersecadas plano (1)

8.

Supongamos que ∦ Negación de la conclusión

9. ∩ ≠∅ D. Planos paralelos (8)

10. ∈ ∩ D. Conjunto vacio (9)

11. Sea = ∩ , recta T. Intersección planos (10)

12. ⊂ , ⊂ D. Intersección (11)

13.

En , ∥ o ∩ ≠ ∅ Casos

14. ∩ = {} D. Conjunto vacío (Caso 2, 13)

15. ∈ y por tanto ∈ D. Intersección (14, 12)

16. ∈ D. Intersección (14)

17. ∈ y ∈ Conjunción (15,16)

18. ∩ = ∅ PRA (D. Recta paralela a plano, 1,17)

19. ∩ ≠ ∅ T. Secante intersección paralelismo (1,18)

20. ∩ = { } T. Intersección rectas (19)

21. ∈ y por tanto ∈ D. Intersección y D. subconjuntos (20,12)

22. ∈ D. Intersección (20)

23. ∈ ∩ Conjunción (21,22)

24. ∥ PRA (D. Recta paralela a plano, 1,23)

A continuación se representa cada uno de los planos mencionados en la demostración con lasrectas que contiene.



Al terminar la demostración, un estudiante afirma que no son necesarios los pasos del 2 al 6, ya

que no se usan en los pasos siguientes de la demostración. Por lo tanto, suprimiendo los pasos, la

demostración queda de la siguiente manera:


1. plano, , , rectas ∩ = {.}

∥ , ∥

Dado

2.

Sea , T. r{ectas intersecadas plano (1)

3.

Supongamos que ∦ Negación de la conclusión

4. ∩ ≠∅ D. planos paralelos (3)

5. ∈ ∩ D. conjunto vacio (4)

6.

Sea = ∩ , recta T. intersección planos (5)

7. ⊂ , ⊂ D. de intersección (6)

8. En , ∥ o ∩ ≠ ∅ Casos (7)

9. ∩ = {} D. conjunto vacio (8)



10. ∈ y por tanto ∈ D. de intersección (8)

11. ∈ D. de intersección (9)

12. ∈ y ∈ Conjunción (9,10)

13.

∩ = ∅

PAR

14. ∩ ≠ ∅ T. secante intersección paralelismo (13)

15. ∩ = { } T. intersección rectas (14)

16. ∈ y por tanto ∈ D. intersección y D. subconjuntos (15,7)

17. ∈ D. intersección (15)

18. ∈ ∩ Conjunción (17)

19. ∥ PRA(18,4)

T. Existencia plano paralelo por punto :Si plano, punto, ∉ , entonces existe un plano

, ∈ , ∥ .

T. Existencia plano paralelo rectas intersecadas: Si plano, , rectas, ∩ = {}, ∥ , ∥

entonces ∥

Luego de hacer las demostraciones de las propuestas de la existencia de plano paralelo, pasamos a

revisar dos de las propuestas de definición de cubo y los pasos de su construcción.

Primera propuesta:

1.

plano

2. ⊡ ⊂ ,⊡ cuadrado T. Existencia del cuadrado.

3. ⊥ ∈ T. Existencia plano - recta perpendicular

⊥ ∈

⊥ ∈

⊥ ∈

4.

Sea , ∈ , = T. Localización de puntos

5.

Sea ⊥ , ∈ T. Existencia recta-plano perpendicular (interno)

6. ,

7. ⊥ , ∈ , ⊂

8.

∩ = { } 9.

⊂ T. Rectas perpendiculares coplanares

10. ⊂ D. subconjunto

11. , , ⊥ , ∈

12. , , ⊥ , ∈



Propuesta 21.

plano

2. ⊡ ⊂ , ⊡ cuadrado T. Existencia del cuadrado.

3. ⊥ ∈ T. Existencia plano - recta perpendicular

⊥ ∈

⊥ ∈

⊥ ∈ 4.

Sea , ∈ , = T. Localización de puntos

Sea , ∈ , =

Sea , ∈ , =

Sea , ∈ , = 5.

Sea ,, P. Tres puntos -plano

6. ∈ ,, Falta justificar esto.

.



Date post:	05-Jul-2018
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