SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN TESIS PRESENTA: OCHOA GARCÍA SANDRA IBETH OCHOA GARCÍA SANDRA IBETH OCHOA GARCÍA SANDRA IBETH OCHOA GARCÍA SANDRA IBETH DIRECTOR DE TESIS: M. en C. GABRIEL BACA URBINA MÉXICO, D.F. MAYO 2008 UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS INSTITUTO POLIT CNI CO NACIONAL EL MODELO DE MARKOWITZ EN LA TEORÍA DE PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CI MAESTRO EN CI MAESTRO EN CI MAESTRO EN CIE E ENCIAS EN ADMINISTRACI ÓN NCIAS EN ADMINISTRACI ÓN NCIAS EN ADMINISTRACI ÓN NCIAS EN ADMINISTRACI ÓN
OCHOA GARCÍA SANDRA IBETHOCHOA GARCÍA SANDRA IBETHOCHOA GARCÍA SANDRA IBETHOCHOA GARCÍA SANDRA IBETH
DIRECTOR DE TESIS:
M. en C. GABRIEL BACA URBINA
MÉXICO, D.F. MAYO 2008
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA YCIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS
INSTITUTO POLIT CNICO NACIONAL
EL MODELO DE MARKOWITZ EN LA TEORÍADE PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN
QUE PARA OBTENER EL GRADO DEMAESTRO EN CIMAESTRO EN CIMAESTRO EN CIMAESTRO EN CIEEEENCIAS EN ADMINISTRACIÓNNCIAS EN ADMINISTRACIÓNNCIAS EN ADMINISTRACIÓNNCIAS EN ADMINISTRACIÓN
A mi madre, Juanita, por ser el mejor ejemplo de fortaleza y enseñarme que bajo
cual uier circunstancia se uede salir adelante.A mi esposo, Juan Carlos, por ser mi mejor fuente de inspiración y el motor de mivida, por su gran paciencia, su grandiosa compañía y apoyo incondicional
A mi hermana, Juanita (y complementos), porque juntas hemos caminado muchotiempo, y siempre a pesar de la distancia que nos pudiera separar, estaremos juntas.
A todos mis primos y tíos, por estar siempre presentes y mostrarme loimportante que es convivir
Al Dr. Mauricio Procel Moreno, en quien encontré una persona generosay con su apoyo hizo posible que cumpliera uno de mis mas grandessueños: seguir superándome y terminar mi maestría.
Al Dr. Gabriel Baca Urbina, por su gran apoyo durante el curso de milicenciatura y ahora durante mi maestría. Gracias por ser mi directorde Tesis, orientarme y esclarecer todas mis dudas. Gracias por ser ungran profesor.
A mis grandes amigos: Jesús, Aquino, Lulú, Ernesto, Francisco..quienes fueron y siguen siendo mis mejores maestros, quienesme han enseñado el verdadero valor de la amistad.
A todos mis profesores de la Sección de Posgrado e Investigaciónde UPIICSA, por tener una verdadera vocación de docentes.
A la memoria de mi abuelita, Carlota Esquivel Valle..
MI LOGRO, TAMBIÉN ES DE TODOS USTEDES
Por supuesto: A dios, quien me dio la vida y me ha permitido llegar hastadonde estoy.
ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................... IV
ÍNDICE DE TABLAS ....................................................................................................... V
ÍNDICE DE GRÁFICAS ................................................................................................. VI RESUMEN .................................................................................................................... VII
SUMMARY ................................................................................................................... VIII
OBJETIVO GENERAL ................................................................................................... IX
INTRODUCCIÓN GENERAL ......................................................................................... IX
CAPÍTULO I: INSTRUMENTOS DE INVERSIÓN DISPONIBLES EN MÉXICO
1.7.1 LOS FUTUROS ...................................................................................................... 31 1.7.2 LAS OPCIONES ..................................................................................................... 33
3.4 EL MÍNIMO RIESGO DEL PORTAFOLIO ............................................................... 71 3.5 EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y LA TEORÍA DE PORTAFOLIOS .......... 76
3.5.1 RELACIÓN RIESGO-RENDIMIENTO CUANDO ΡXY =1 ................................................... 76 3.5.2 RELACIÓN RIESGO-RENDIMIENTO CUANDO ΡXY =-1 .................................................. 77 3.5.3 RELACIÓN RIESGO-RENDIMIENTO CUANDO ΡXY =0 ................................................... 78
4.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE LA FRONTERA EFICIENTE .......................... 86
4.2 ANÁLISIS DEL FUNCIONAMIENTO DEL MODELO DE LA FRONTERAEFICIENTE ..................................................................................................................... 96
4.3 DESCRIPCIÓN DEL MODELO DEL PORTAFOLIO ÓPTIMO ................................ 99
4.4 LIMITACIONES DEL MODELO ............................................................................. 101
4.4.1 PRIMER CASO .................................................................................................... 101 4.4.2 SEGUNDO CASO................................................................................................. 103 4.4.3 TERCER CASO ................................................................................................... 105
4.5 MANUAL DEL SOFTWARE DIDÁCTICO QUE PRESENTA DINÁMICAMENTE ELCOMPORTAMIENTO DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIÓN ................................... 106
4.5.1 PRIMER PARTE................................................................................................... 107 4.5.2 SEGUNDA PARTE................................................................................................ 108
1.1 Instrumentos Financieros ........................................................................................... 21.2 La Bolsa Mexicana de Valores ................................................................................... 41.3 Funcionamiento de la Casa de Bolsa ......................................................................... 81.4 Las Casas de Bolsa .................................................................................................. 91.5 Mercados Financieros .............................................................................................. 161.6. Instrumentos Financieros ........................................................................................ 171.7 Naturaleza de los Instrumentos ................................................................................ 171.8 Incremento en el riesgo de los Instrumentos de inversión ....................................... 281.9. Clasificación de los Riesgos .................................................................................... 30
2.1. Elementos Básicos de una Inversión ...................................................................... 40
4.1 Cuadro de dialogo 1 de los parámetros de Solver ................................................... 944.2 Cuadro de Dialogo de las Opciones de Solver ......................................................... 954.3 Cuadro de Dialogo de los Resultados de Solver ...................................................... 964.4 Cuadro de Dialogo 2 de los Parámetros de Solver ................................................ 1004.5 Software Dinámico. Introducción de los Rendimientos Históricos .......................... 1084.6 Software Dinámico. Proporción Destinada al Instrumento X .................................. 1094.7 Presentación Gráfica del Comportamiento del Portafolio ....................................... 1094.8 Selección de coordenadas Rectangulares ............................................................. 1104.9 Comando para borrar rastros ................................................................................. 1114.10 Opción para duplicar hoja……………………………………………………………..111
1.1 Empresas de Servicios a Intermediarios Bursátiles………………………………..…..81.2 Listado de las casas de bolsa…………………………………………………………...10
1.3 Sociedades Valuadoras………………………………………………………………….141.4 Instrumentos de deuda gubernamental……………………………………………..….191.5 Instrumentos de deuda a corto plazo (Emisión privada)….……………………...….211.6 Instrumentos de deuda a mediano plazo…………………….………………………...231.7 Instrumentos de deuda a largo plazo…………………………………………………...24
2.1 Rendimientos por periodo de un instrumento financiero i…………………………....442.2 Cálculo de la Desviación Media y la Varianza………………………………………...452.3 Cálculo del riesgo-rendimiento de diversos instrumentos……………………………482.4 Situación uno: Combinación de dos instrumentos de inversión……………………..492.5 Situación uno: Combinación de dos instrumentos de inversión con riesgo cero….50
2.6 Situación dos: Combinación de dos instrumentos de inversión independientes…..512.7 Situación tres: Combinación de dos instrumentos de inversióncuyo riesgo-rendimiento es el mismo que en el portafolio…………………………...52
2.8 Cálculo de covarianza y coeficiente de correlación…………………………………..56
3.1 Cálculos de covarianza…………………………………………………………………..673.2 Datos históricos de dos instrumentos x, y……………………………………………...713.3 Riesgo-Rendimiento-Proporción……………………………………………………..….723.4 Riesgo-Proporción para diferentes coeficientes de correlación…………………..…783.5 Riesgo-Rendimiento de los instrumentos x,y………………………………………….793.6 Resumen Riesgo-Proporción para diferentes niveles de correlación………………79
4.1 Datos históricos de los instrumentos considerados………………………………......874.2 Cálculo del Promedio, Desviación y Varianza en Excel para “n” instrumentos……884.3 Cálculo del Riesgo-Rendimiento en Excel para “n” instrumentos…………………..894.4 Cálculo de Covarianzas en Excel para “n” instrumentos………………………….....904.5 Matriz de Covarianzas……………………………………………………………………914.6 Restricciones y Celda Objetivo……………………………………………………….....944.7 Comprobación del funcionamiento del modelo……………………………………......974.8 Resultados del Modelo para diferentes niveles de riesgo…………………………....984.9 Cálculo del Portafolio Optimo empleando el modelo………………………………..1004.10 Primer caso de Análisis empleando Geometer’s Sketchpad……………………...1014.11 Segundo caso de Análisis empleando Geometer’s Sketchpad…………………..1034.12 Tercer caso de Análisis empleando Geometer’s Sketchpad………………………105
ANEXOSA1 Cálculo del riesgo empleando Excel……………………………………………..……126A2 Cálculo del riesgo para diferentes niveles de correlación……...……………………129
1.1 Situación en la compra de Futuros……………………………………………………...321.2 Situación en la venta de Futuros………………………………………………………..33
2.1 Construcción de un Portafolio de Inversión………………………………………..…..392.2 Coeficiente de Correlación = 1………………………………………………………….412.3 Coeficiente de Correlación = -1………………………………………………………....422.4 Coeficiente de Correlación = 0…………………………………………………………..422.5 Desviación de los Datos…………………………………………………………………452.6 Desviación de los Rendimientos………………………………………………………..54
3.1 Portafolios preferibles…………………………………………………………………….653.2 Frontera Eficiente y Portafolios Ineficientes……………………….………………..…663.3 Niveles máximos de rendimiento de distintos portafolios………….………………....69
3.4 La línea de Mercado de Capitales………………………………………………………713.5 Rendimiento-Proporción………………………………………………………………….723.6 Riesgo-Proporción………………………………………………………………………..723.7 Riesgo-Rendimiento……………………………………………………………………...733.8 Correlación de los Instrumentos………………………………………………………...733.9 Riesgo-Rendimiento para diferentes niveles de correlación………………………....80
4.1 “N” Portafolios de Inversión………………………………………………...……………854.2 Frontera Eficiente aplicando el modelo…………………………………………….…..994.3 Gráfica de Geometer’s Sketchpad: primer caso……………………………………..1024.4 Geometer’s Sketchpad: primer caso (pausa en otro punto)…………………..……1034.5 Gráfica de Geometer’s Sketchpad: segundo caso…………………………………..1044.6 Gráfica de Geometer’s Sketchpad: tercer caso……………………………………...105
En la presente Tesis se muestra un panorama general sobre las opciones que unapersona tiene cuando toma la decisión de invertir, describiendo el funcionamiento de la
Bolsa de Mexicana de Valores y los distintos instrumentos de inversión disponibles. Laselección de diversos instrumentos de inversión (conformación de un portafolio deinversión) permite compensar los riesgos respectivos de cada instrumento yconjuntamente con la determinación de la proporción adecuada que se invertirá encada activo es posible maximizar los rendimientos, estos son los portafolios que seencuentran en la llamada Frontera Eficiente.
Debido a que la presente Tesis está dirigida a aquellas personas interesadas en lamanera en que es conformado un portafolio de inversión, se presenta un modelosencillo que está desarrollado en Excel, el cual permite obtener los portafolios que seencuentran en la llamada Frontera Eficiente cuyo fundamento teórico es el Modelo de
Markowitz el cual incluye desde la manera de medir el riesgo y rendimiento que tienenlos instrumentos de inversión, hasta la forma de obtener los máximos rendimientosesperados cuando se invierte en un portafolio de inversión. Sin embargo cabemencionar que el Modelo de Markowitz no es el único que permite obtener portafolioseficientes.
El Modelo de Excel es propuesto por Guillermo Buenaventura Vera y Andrés FelipeCuevas, teniendo como objetivo principal mostrar la congruencia de dicho modelo conel soporte teórico presentado, así como también determinar las limitaciones del modeloy desarrollar un software dinámico mediante el cual es posible apreciar numérica ygráficamente el comportamiento de un portafolio de inversión (considerando dosinstrumentos de inversión), con lo cual se pueden simular situaciones hipotéticas ypuede ser empleado de manera didáctica.
Las limitantes que se encontraron del modelo de Excel empleado para determinar losportafolios que se encuentran en la frontera eficiente fueron las siguientes: el modeloes completamente congruente con el soporte teórico (Modelo de Markowitz)presentado, la sencillez del modelo de Excel permite efectivamente que pueda seraplicado por cualquier persona, incluso por personas inexpertas en el ámbito de lasinversiones, no obstante, al aplicar dicho modelo el inversionista se encontrará conalgunas tomas de decisiones importantes que repercuten en los resultados, tales comocuántos instrumentos se recomienda considerar, con cuántos datos históricos serecomienda trabajar, entre otros. También al aplicar el modelo de Excel se encontrarácon el problema de que al variar los niveles de riesgo, éstos podrían estar fuera delintervalo de la frontera eficiente, en este caso los resultados obtenidos no seríanfavorables. Otra situación importante es que existen muchos otros factores y diversosmétodos de medición del riesgo que se deben considerar cuando se ha tomado ladecisión de invertir, tales como la duración, la convexidad, deltas, gammas, el VAR, eltracking error, razón de información, teoría de valores extremos, los métodos desimulación, etc, por lo que se recomienda siempre consultar a un experto.
This thesis presents a general view of the options open to a person taking the
decision to invest, and describes the functioning of the Mexican Stock Market and thedifferent investment instruments available. The selection of diverse instruments ofinvestment (an investment portfolio) allows a reduction of the respective risks of eachinstrument and combined with an adequate sum that will be invested in each sharemakes it possible to maximize the dividends found in the portfolio of the so calledEfficient Frontier.
This thesis is directed towards those people interested in the manner in which aninvestment portfolio is conformed; thus a simple model is presented that is developed inExcel, obtaining the portfolios found in the Efficient Frontier which is basically theMarkowitz Model that includes the way to calculate the risks and dividends of the
investment instrument, thus obtaining the maximum dividends when investing in aninvestment portfolio. However it is important to mention that the Markowitz Model is notthe only one that allows efficient portfolios.
The Excel Model proposed by Guillermo Buenaventura Vera and Andres FelipeCuevas has as principal objective to show the pertinence of the said model with thetheory. Also how to determine the limitations of the model and develope a dynamicsoftware through which it is possible to apreciate numerically and graphically thebehavior of an investment portfolio (having two investment instruments) with whichhypothetical situations can be simulated that can be used in a didactic form.
The constraints found in the Excel Model used to determine the portfolios found inthe Efficient Frontier were the following: the model is completely congruent with thesupport theory presented (Markowitz Model) The simplicity of the Excel Model allows itto be applied by any person, even a non expert in investment, although in the applicationof the model the investor would have to take some important decisions that could effectthe results, such as how many instruments are considered recommending, and takinginto account historical data etc. Also applying the Excel Model given the problem ofvarying the risk levels could cause these to be outside the Efficient Frontier, and in thiscase the obtained results would not be favorable. Another important consideration is thatthere are many other factors and various methods of reducing risk that should beconsidered when taking the decision to invest. These include the length oftime,.convexity, deltas, gammas, VAR, tracking error, information rate, extreme valuestheory, simulation methods etc. For this reason the recommendation is to always consultan expert.
OBJETIVO GENERALEl desarrollo de la tesis tiene como objetivo principal contrastar la congruencia teóricade un modelo desarrollado en Excel el cual permite obtener los portafolios que seencuentran en la frontera eficiente, así como determinar las limitaciones de éste, para lo
cuál se desarrolló un programa empleando un software dinámico Geometer’s Sketchpadmediante el cual es posible apreciar numérica y gráficamente el comportamiento de unportafolio de inversión considerando sólo dos instrumentos de inversión.
INTRODUCCIÓN GENERAL
Algo realmente imprescindible para las sociedades es el dinero, su importancia radicaen que es la base del desarrollo y permite la satisfacción de las necesidades del serhumano, ya que permite el intercambio de bienes y/o servicios, es un medio de
intercambio universal.Toda persona requiere de dinero, y busca la forma de obtenerlo y en la medida que seaposible busca la forma de incrementarlo, ya que el incrementar su dinero le permitirásentir y tener seguridad en muchos aspectos, pues puede incrementar su patrimonio enbienes, disponer de este dinero en una emergencia médica, pagar su educación o la desus hijos, etc.
Una forma de sentir o tener una seguridad económica es el ahorro, el ahorro es lacantidad de dinero que se deja de gastar y se puede invertir. Una de las formas dehacer crecer el dinero es precisamente invirtiendo. La diferencia entre invertir y ahorrar
es que el invertir implica un riesgoEn las sociedades, existen personas (o empresas) que han tomado la decisión deinvertir su dinero, en lugar de gastarlo. Esta decisión esta basada en las expectativas deobtener un buen rendimiento, de obtener una ganancia, de obtener cierta compensacióno pago por posponer el uso de ese dinero.
La gente que invierte deja de gastar su dinero en ese momento, por lo tanto podemosasegurar que deja de obtener cierta utilidad (satisfacción obtenida por los bienes yservicios comprados), es decir, la decisión de compra es pospuesta, porque sepretende que invirtiendo el dinero se generará una mayor utilidad o satisfacción en el
futuro que aquella utilidad que se obtendría al gastar el dinero en el presente.Sin embargo, la decisión de invertir no es algo sencillo, puesto que existen diversasformas de inversión cada una con ventajas y desventajas diferentes, y por supuesto, elinvertir también representa un riesgo.
El tomar la decisión de invertir en un negocio ó en la creación de una empresa no estarea sencilla, esta decisión por supuesto debe basarse en un análisis previo deevaluación del proyecto, en el cual se consideran aspectos como giro, ubicación,tamaño de la empresa, financiamiento requerido, estudios de distribución de planta,rentabilidad, puesta en marcha, etc.. Una vez tomada la decisión de invertir aun
después de haber realizado todo un estudio, no existen garantías de que realmente laempresa o negocio sea rentable, ya que existen otros muchos factores que están fueradel control de los inversionistas, entre éstos se pueden mencionar la competencia, lanueva tecnología que implica la actualización tanto de las empresas como de lostrabajadores, la misma estructura económica del país (niveles de impuestos, políticasgubernamentales, etc), y por supuesto la globalización y apertura de comercializaciónponen en riesgo el funcionamiento de las empresas.
Aún invirtiendo en un negocio o empresa ya establecidos, es decir, ya enfuncionamiento, que actualmente obtuvieran excelentes rendimientos, o que por lomenos las ganancias obtenidas han permitido la sobrevivencia de éstos, tal vez durantevarios años, tampoco es garantía de que la situación continuará así.
Como ya se ha mencionado, el invertir en un negocio o empresa no es la única opción,podría pensarse entonces que lo más fácil y seguro es invertir en el banco, o en la bolsade valores, pero tampoco invirtiendo en la bolsa de valores ó en el banco se aseguratener un buen rendimiento. Existe una amplia diversificación de instrumentos deinversión tales como: títulos de deuda de emisión gubernamental, como cetes,ajustabonos, bondes, udibonos; títulos de deuda de emisión privada como letrasgiradas por bancos, pagares negociables y acciones bursátiles, donde cada una deéstas ofrece diferentes rendimientos (tasas de interés), dependiendo del nivel de riesgode la inversión. Además también se involucran otros factores relevantes para elinversionista, tales como el plazo de la inversión, ya que éste puede ser a corto,mediano, o largo plazo. Se habla de nivel de riesgo, puesto que la tasa de interésdepende no sólo del nivel de inflación, sino también del tipo de cambio y la situaciónfinanciera de la empresa o institución que esté respaldando la inversión, así comotambién de la inestabilidad económica del país, la cual a su vez depende en buenaparte de la estabilidad económica de países con las cuales se tiene una fuerte relacióneconómica, el no hacer una selección adecuada de éste tipo de títulos podría tenercomo consecuencia pérdidas económicas significativas.
Esta tesis titulada como El modelo de Markowitz en la Teoría de Portafolios deInversión, presenta un modelo desarrollado en Excel cuyo fundamento teórico es elModelo de Markowitz el cual incluye desde la manera de medir el riesgo y rendimientoque tienen los instrumentos de inversión, hasta la forma de obtener los máximosrendimientos esperados cuando se invierte en un portafolio de inversión.
El desarrollo de la tesis tuvo como objetivo determinar las limitaciones que tiene elmodelo de Excel, para lo cuál se desarrolló un programa empleando un softwaredinámico (Geometer’s Sketchpad) mediante el cual es posible apreciar numérica ygráficamente el comportamiento de un portafolio de inversión (considerando solo dosinstrumentos de inversión).
Una forma de minimizar los riesgos es mediante la integración de un portafolio deinversión, el cual está integrado por diversos instrumentos de inversión con ciertascaracterísticas (a esto se le conoce como diversificación).
La presente tesis se divide en cuatro capítulos. En el capítulo I, titulado Instrumentos de
Inversión Disponibles en México, se muestra el contexto sobre los portafolios deinversión, con la finalidad de entender el proceso mediante el cual los instrumentosfinancieros se ponen a disposición del público inversionista, se explica elfuncionamiento de la Bolsa Mexicana de Valores y del Mercado Mexicano de Derivados,así como también se describen los organismos reguladores, intermediarios y de apoyoque intervienen en el funcionamiento de la Bolsa. Como organismos intermediarios sedescribe lo que es una casa de Bolsa y una sociedad de inversión así como laimportancia de cada una de éstas. Se describe también la clasificación de los mercadosen México y cada uno de los instrumentos financieros que en éstos se encuentran,describiendo sus respectivas características tales como quién emite dichos valores, quégarantía presentan dichos instrumentos, cuál es el rendimiento que presentan, quéplazos maneja el instrumento, valor nominal, entre otros. Como también es importanteel contexto legal bajo el cual funciona la Bolsa, se presentan los diversos lineamientosexistentes, así como también se realiza una breve descripción de MEXDER y lasoperaciones realizadas en éste.
En el capítulo II titulado Teoría de Portafolios se trata uno de los mayores problemasque se tienen cuando se desea invertir, mejor dicho, cuando se desea conformar unportafolio de inversión, que es ver la manera en que es posible realizar la selección delos instrumentos de inversión que proporcionarán los máximos beneficios, para esto esempleada la “teoría de portafolios Media-Varianza” conocida como modelo deMarkowitz. Además de la selección de los instrumentos de inversión se describen otroselementos que son importantes considerar cuando se realiza una inversión, tales comoel plazo de la inversión, los niveles de riesgo y rendimiento, el nivel de liquidez, entreotros. Se explica de la manera más sencilla posible como es que se mide el riesgo delos instrumentos de inversión y poco a poco se va haciendo una deducción de lasfórmulas empleadas. Son empleados algunos términos matemáticos tales como media,varianza, correlación y covarianza, a los cuales se les define con un enfoque financiero,así como también se presentan algunos ejemplos que dejan en claro la importancia quetiene la correlación entre los instrumentos para realizar una selección óptima de éstos.Se empieza por ver el comportamiento que tienen dos instrumentos de inversión y deaquí se generaliza para n instrumentos. En conclusión en este capítulo se determina laforma de medir el rendimiento y el riesgo de un portafolio de inversión (el cual consta dediversos instrumentos de inversión).
En la última parte de este capítulo se analiza un tema de gran importancia que son losmétodos alternativos existentes para la evaluación del riesgo de un portafolio, aunquedebido a la extensión de éste solo es mencionado brevemente, dando al lector algunasreferencias por si desea abundar sobre estos métodos.
En el Capítulo III titulado Portafolios Eficientes, se enfatiza que en la elección de unportafolio de inversión, además de determinar los instrumentos que lo van a conformar,también es preciso determinar la proporción que cada instrumento tendrá dentro de lainversión total que se hará en el portafolio, pues al variar la proporción de cadainstrumento, variará el rendimiento del portafolio, por lo tanto lo que interesa es
determinar las proporciones con las cuales se obtenga el mayor rendimiento esperado.La solución a este problema depende de un modelo de programación lineal, puesto queexiste una función objetivo (maximizar rendimientos) y se encuentra sujeto a ciertasrestricciones, una de ellas es emplear el 100% del monto de la inversión.
Se describe el por qué unos portafolios de inversión son preferibles sobre otros y sedefine que aquellos portafolios de inversión que permiten obtener el máximorendimiento para un cierto nivel de riesgo dado son aquellos que se encuentran en lafrontera eficiente, y se determina la forma en que es posible calcular a ésta. Con lafinalidad de analizar el comportamiento que tienen los portafolios de inversión en cuantoa la relación riesgo rendimiento, se hace un análisis considerando sólo dosinstrumentos de inversión y como la selección de éstos depende de la correlación queexista entre ellos se ven diversos casos que en su conjunto permiten obtenerconclusiones importantes.
En el Capítulo IV titulado Modelo para Calcular Portafolios de Inversión, se describeprecisamente un modelo desarrollado en Excel que requiere un conocimientointermedio del paquete y cuyo objetivo principal es proporcionar a todo tipo de persona,(incluso a aquellos que no son expertos en el tema de inversión) una herramienta paradeterminar portafolios eficientes. En esta parte se cubre con el objetivo de mostrar lacongruencia de las fórmulas aplicadas en el modelo con respecto a la teoría deportafolios (previamente estudiada con la finalidad de que no haya lugar a duda de queel modelo tiene una fundamentación teórica adecuada).
El modelo desarrollado en Excel que permite determinar portafolios eficientes fuepropuesto por Guillermo Buenaventura Vera y Andrés Felipe Cuevas, presentado comoun artículo en la revista Estudios Gerenciales de Colombia y publicado en Internet. Laventaja que presenta el modelo es que es sencillo de aplicar aunquedesafortunadamente la nitidez del documento no permite apreciar claramente lasfórmulas necesarias y tampoco se explica a detalle como es que el modelo escongruente con la teoría de portafolios de inversión.
El modelo es descrito introduciendo algunas modificaciones en cuanto a forma, es decirse proponen otras celdas para la introducción de los datos históricos, esto con lafinalidad de si se desea introducir más instrumentos de inversión se realice con mayorfacilidad. Dentro de la misma explicación del modelo se verifica la congruencia de lasfórmulas con la parte teórica. Se verifican las limitaciones del modelo empleando unsoftware de geometría dinámica, él cual en su momento será explicado.
Antes de adentrarnos en la explicación de los diferentes instrumentos de inversióndisponibles en México, resulta de gran ayuda comprender el funcionamiento de la
Bolsa Mexicana de Valores y del Mercado Mexicano de Derivados, con la finalidadde entender el proceso mediante el cual los instrumentos financieros se ponen adisposición del público inversionista.
Los instrumentos financieros se ponen a disposición del público inversionista através de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) y el Mercado Mexicano deDerivados (Mexder). A través de estas instituciones es posible realizar la compra-venta de instrumentos de inversión, pues es aquí donde se contactan el públicoinversionista con los Emisores de Valores
La figura 1.1 muestra gráficamente la explicación anterior.
La Bolsa Mexicana de Valores, S.A. de C.V. (BMV) es una institución privada y esaquella que se encarga de proveer la infraestructura adecuada y marco regulatorioque permiten que la transacción de instrumentos financieros se lleve a cabo con
transparencia, seguridad y eficacia dentro de un mercado organizado. En estemercado concurren tanto ahorradores (inversionistas que prestan su dinero acambio de recibir cierta ganancia) como compradores (emisores que requieren derecursos financieros).
Las principales funciones de la Bolsa Mexicana de Valores se enlistan acontinuación.
• Proveer las instalaciones necesarias para la compra-venta de instrumentosfinancieros.• Hacer pública la información respecto a los instrumentos financieros
• Establecer un marco regulatorio al cual deben sujetarse los participantes,promoviendo así operaciones transparentes y estandarizadas. En caso de nocumplir con estas normas, BMV también establece lineamientos correctivos.
Erróneamente mucha gente piensa que la Bolsa Mexicana de Valores compra yvende valores, en la BMV se compran y venden acciones pero a través de losagentes, corredores o brokers, que representan a las Casas de Bolsa. En la BMVsólo se efectúan y se registran estas transacciones de compra venta a través delsistema llamado SENTRA (Sistema Electrónico de Negociación, Transacción,Registro y Asignación). Si un inversionista desea comprar o vender valores ó sedesean emitir valores, se debe acudir a un promotor de una Casa de Bolsa y no
directamente a la BMV.
En la figura 1.2 podemos observar los organismos que intervienen en elfuncionamiento de la Bolsa Mexicana de Valores.
Dentro de los organismos Reguladores se encuentran algunas Autoridades que se
encargan de establecer el marco normativo y regulatorio de la operación bursátil,tal y como se muestra en el cuadro 1.2, se encuentra la SHCP, el Banco deMéxico y la CNVB. A continuación se hablará brevemente de las principalesfunciones que confieren a cada una de estas entidades.
• Secretaría de Hacienda y Crédito Público: La principal función que estainstitución desempeña para el funcionamiento de la BMV es que fungecomo órgano regulador, tiene la facultad de establecer lineamientos ypolíticas de operación de las bolsas de valores, instituciones de depósito devalores y casas de bolsa. Como otra de sus funciones es otorgar laslicencias de operación a los distintos intermediarios bursátiles y bolsas de
valores, así como sancionar administrativamente a aquellos que violendichos lineamientos. Si se desea obtener más información sobre lasfunciones que competen a SHCP, se puede consultar su direcciónelectrónica: http://www.shcp.gob.mx/
• CNBV Comisión Nacional Bancaria y de Valores: Es un órganodesconcentrado de la SHCP. Supervisa el correcto funcionamiento de lasoperaciones realizadas en el mercado de Valores, esta supervisión incluyeno sólo el monitoreo de las transacciones, sino también realizaperiódicamente visitas de inspección a los intermediarios bursátiles, y estostambién se encuentran obligados a proporcionar reportes de su situación
financiera y económica. La principal finalidad es que el funcionamiento delMercado de Valores sea eficiente, justo, transparente y líquido, con lo quetambién se procura reducir el riesgo sistemático. Si se desea obtener másinformación sobre las funciones que competen a CNVB se puede consultarsu dirección electrónica www.cnbv.gob.mx
• Banco de México: El Banco de México es una institución Pública cuyafunción principal es la de regular la oferta monetaria a través de la políticafiscal y la política monetaria, teniendo como uno de sus objetivoscontrarrestar los efectos de la inflación, mantener los precios estables,mantener un bajo desempleo y fomentar el aumento del PIB. A esta
institución también le compete mantener bajo su control el correctofuncionamiento del mercado de valores mediante disposiciones que losparticipantes deben seguir, asegurándose de su cumplimiento y en caso deque sean imputados dichos lineamientos establece la sancióncorrespondiente mediante una multa. Si se desea obtener más informaciónsobre las funciones que competen al Banco Central de México , se puedeconsultar su dirección electrónica: http://www.banxico.org.mx/
Se ha hablado sobre el papel que juegan los organismos reguladores, losreglamentos de todas estas instituciones por supuesto se complementan y estospermiten también que el inversionista se sienta protegido y se fomente unambiente de confianza, creando una operación en el mercado que sea justa,eficiente, transparente y líquida, es por lo tanto conveniente explicar cada uno de
estos conceptos.Justo .-Se refiere a que las condiciones de operación sean exactamente lasmismas para todos los participantes sin favorecer a algunos en particular, es decir,brindar igualdad de condiciones.
Eficiente .- El comportamiento de los precios de los valores que cotizan en la BMVdebe reflejar la situación actual en que se encuentra la empresa emisora, cuandoesto sucede se dice que el mercado es eficiente.
Transparente .- Se refiere a que la información que respecta tanto a transaccionescomo a valores y emisoras debe estar a disposición del público de manera veraz yoportuna, ya que esta información es de gran relevancia para todo inversionista,pues de esto dependerá su toma de decisiones.
Liquidez .- Se refiere a la facilidad con la que los valores pueden convertirse enefectivo, es decir, aquellos valores que pueden ser colocados (comprados óvendidos) con facilidad.
Como parte de la normatividad, la información sobre los instrumentos de inversiónsiempre debe de estar disponible al público, para esto hay periódicos y revistasespecializadas como “el financiero”, “el economista”, entre otros ó en la BMV y enBolsatel. Esto permite conocer el desempeño de cada uno de los instrumentos deinversión.
1.1.2 Organismos Intermediarios
Los organismos intermediarios son aquellas personas morales que se encargande poner en contacto a las contrapartes que compran y venden valores, realizanlas transacciones acordadas, brindan asesoría y llevan a cabo la administración deportafolios de inversión. En México existe la Asociación Mexicana deIntermediarios Bursátiles A.C (AMIB) en la cual se enlistan todas las casas deBolsa.
Los intermediarios financieros se enlistan a continuación y entre los principales,organismos intermediarios podemos citar a las Casas de Bolsa y a las sociedadesde inversión, las cuales se describirán con más detalle.
• Instituciones de banca múltiple• Instituciones de banca de desarrollo• Casas de bolsa• Sociedades financieras de objeto limitado• Entidades de ahorro y crédito popular
• Sociedades de inversión• Administradoras de Fondos para el Retiro (Afores)• Instituciones de seguros• Instituciones de fianzas• Arrendadoras financieras• Empresas de factoraje financiero• Almacenes generales de depósito• Casas de cambio• Uniones de crédito• Grupos financieros
En la tabla 1.1 se presentan algunas empresas de servicio a IntermediariosBursátiles.
Casa de Bolsa
La Casa de Bolsa es un intermediario bursátil a través del cual es posible vender ocomprar valores. Los inversionistas que desean comprar o vender valores debenacudir a una Casa de Bolsa y por medio de un promotor, el cual es personalaltamente capacitado que se encuentran registrados y están autorizados por laCNBV (Comisión Nacional Bancaria y de Valores) para llevar a cabo operacionesde compra-venta de valores en la BMV. Un promotor le brinda al clienteinformación en base a sus intereses según los valores disponibles en el mercado,si al inversionista le interesa una oferta de precio (ya sea para comprar o vender),entonces se firma el contrato de intermediación. En dicho contrato, intervienen porsupuesto dos partes, las contrapartes de la operación que se realiza, es decir elcomprador y el vendedor, ambos representados por su respectiva Casa de Bolsa.La operación realizada debe ser registrada en el sistema SENTRA (SistemaElectrónico de Negociación, Transacción, Registro y Asignación). Dos días hábilesposteriores el Indeval (Depósito Central de Valores de México) transfiere losvalores accionarios de la Casa de Bolsa vendedora a la Casa de Bolsacompradora, transfiriendo también el importe de la operación de la Casa de Bolsacompradora a la Casa de Bolsa vendedora, siendo el inversionista el que debeliquidar dicho importe a su Casa de Bolsa representante más el pago de unacomisión previamente acordada por dicha transacción. El la figura 1.3 ilustra ésteproceso.
La tabla 1.2 muestra un listado de las casas de Bolsa en donde se muestra suclave, su razón social, su nombre corto, su estatus actual y su fecha deactualización.
Tabla 1.2 Listado de las casas de bolsa2
Sector 13: Casas de Bolsa Clave Razón Social Nombre
Corto Status Fecha deActualización
13-000 Deutsche Morgan Greenfell, S.A. de C.V. Casa de Bolsa Deutsche Revocada 24/05/2001
13-001 Acciones y Valores Banamex, S.A. de C.V., Casa deBolsa, Integrante del Grupo Financiero Banamex Accival En Operación 29/04/2005
13-002 Casa de Bolsa Bancomer, S.A. de C.V., GrupoFinanciero Bancomer
C.B.Bancomer
Fusionada 06/07/2001
13-003 Operadora de Bolsa Serfín, S.A. de C.V., Casa de Bolsa,Grupo Financiero Serfín O.B. Serfín Revocada 06/07/2001
13-004 Casa de Bolsa Santander, S.A. de C.V., GrupoFinanciero Santander InverMéxico En Operación 03/05/2007
13-005 Scotia Inverlat,Casa de Bolsa, S.A. de C.V., GrupoFinanciero Scotiabank Inverlat
C.B. ScotiaInverlat
En Operación 06/07/2001
13-006 HSBC Casa de Bolsa, S.A. de C.V., Grupo FinancieroHSBC HSBC En Operación 22/11/2004
13-007GBM Grupo Bursátil Mexicano, S.A. de C.V., Casa deBolsa, Grupo Financiero GBM GBM
En Operación31/01/2002
13-009 Abaco Casa de Bolsa, S.A. de C.V. Abaco Revocada 17/04/2000
13-010 Casa de Bolsa BBVA-Bancomer, S.A. de C.V. BBVA-Bancomer En Operación 06/07/2001
13-011 Multivalores Casa de Bolsa, S.A. de C.V., MultivaloresGrupo Financiero Multivalores En Operación 19/08/2002
13-012Casa de Bolsa Finamex, S.A. de C.V., Grupo FinancieroFinamex Finamex En Operación 03/05/2007
13-013 IXE Casa de Bolsa, S.A. de C.V., IXE Grupo Financiero IXE C.B. En Operación 17/04/2000
13-014Anáhuac Casa de Bolsa, S.A. de C.V., Grupo FinancieroAnáhuac Anáhuac Revocada 17/04/2000
13-015 Interacciones Casa de Bolsa, S.A. de C.V., GrupoFinanciero Interacciones
C.B.interaccio En Operación 17/04/2000
13-017 Valores Bursátiles de México, S.A. de C.V., Casa deBolsa, Grupo Financiero Pronorte Valburmex Revocada 13/06/2000
13-018 Casa de Bolsa Arka, S.A. de C.V. Arka En Operación 29/04/2005
13-019 Value, S.A. de C.V., Casa de Bolsa, Value Grupo
Financiero
Value En Operación 06/07/2001
13-020 Actinver Casa de Bolsa, S.A. de C.V. Actinver En Operación 22/11/2004
13-021 Monex Casa de Bolsa, S.A. de C.V. Monex En Operación 19/08/2002
13-022 Estratégia Bursátil, S.A. de C.V., Casa de Bolsa Estrategia Revocada 22/11/2002
Las sociedades de inversión también son conocidas como fondos, la razón de estoes que reúnen recursos monetarios de pequeños y medianos inversionistas hasta
obtener un monto considerable con la finalidad de crear un portafolio de inversión,seleccionando diversos instrumentos financieros con la intención de minimizar losriesgos.
Si estas sociedades de inversión no existieran, sería imposible para algunosinversionistas acceder al mercado de valores, pues en la mayoría de los casos losmontos mínimos exigidos para la adquisición de un instrumento financieroparticular son elevados.
Otra ventaja que tienen las sociedades de inversión es precisamente que cuentancon personal altamente capacitado en el ámbito bursátil.
Las sociedades de inversión operan dentro de las mismas Casas de Bolsa, losBancos y algunas Operadoras Independientes de inversión.
Las sociedades de inversión se clasifican en cuatro tipos:• Sociedades de inversión de renta variable.- Estas sociedades invierten
tanto en instrumentos de renta variable como en instrumentos de deuda. Elrendimiento esta dado por la diferencia entre el precio de venta y el decompra. Las personas físicas que invierten en este tipo de sociedadesestán exentas del pago de impuestos, mientras que las personas moralesno.
• Sociedades de inversión en instrumentos de deuda.- Tal y como sunombre lo dice estas sociedades sólo pueden invertir en instrumentos delmercado de deuda, por lo tanto se caracterizan por representar inversionesde bajo riesgo
• Sociedades de inversión de capitales (SINCAS).- Se caracterizan porinvertir los recursos de manera temporal en las empresas. También seconocen como fondos mutualistas, donde los pequeños y medianosinversionistas no requieren realizar una gran inversión, pues su capitalaportado se junta con el de otros inversionistas y esto hace posible elrecaudar cierto fondo e invertir en un portafolio diversificado obteniendorendimientos proporcionales a la inversión. El monto mínimo para participaren un fondo mutualista es de $3000
• Sociedades financieras de objeto limitado (Sofoles).- Son sociedadesanónimas facultadas para otorgar créditos, los cuales pueden ser créditoshipotecarios, automotrices, agroindustriales, intermediarios o distribuidores,microcréditos, pymes y bienes de capital y transporte. Estas sociedadesestán reguladas por la Ley de Instituciones de Crédito y son supervisadaspor la CNBV.
Existen 601 sociedades de inversión disponibles en México, si se desea tener undespliegue de las sociedades de inversión puede consultar la siguiente direcciónelectrónica:http://www.apartados.hacienda.gob.mx/casfim/contenido/catalogo/xls/sector52.xls,en la cual se muestra la razón social, su nombre corto, su status de operación y su
fecha de actualización.
1.1.3 Organismos de Apoyo
Los organismos de apoyo se desglosan a continuación:
• Instituto para el Depósito de Valores.(INDEVAL)- En estas instituciones sedepositan y administran los valores, en México el INDEVAL es la instituciónencargada de administrar estos depósitos.
• Instituto Mexicano del Mercado de Capitales• Asociación mexicana de Casa de Bolsa• Sociedades Calificadoras de Valores.-Estas sociedades se encargan
precisamente de otorgar una calificación con base en información históricade la empresa, que permita hacer del conocimiento de los inversionistas elgrado de riesgo relativo que tiene cada emisión
• Fondo de contingencia• Asociación Mexicana de Derecho Bursátil• Asociación Mexicana de Intermediarios Bursátiles (AMIB).- Aquí se
encuentran agrupadas todas las casas de Bolsa, AMIB se encarga derepresentar a éstas ante las autoridades y otros organismos nacionales e
internacionales, así como también se encarga del estudio de asuntos deinterés general para las Casas de Bolsa tal como el desarrollo de proyectos.
De estos organismos de apoyo son de gran importancia las SociedadesCalificadoras, pues proporcionan información que es de gran interés para losinversionistas, información relevante para la toma de decisiones sobre la elecciónde cierto instrumento, pues puede conocer un panorama completo de la empresaemisora de valores, incluyendo su situación económica, financiera y jurídica, asícomo un análisis de los riesgos que pudieran presentarse en el futuro. Estainformación es dada a conocer al público en general a través de la BMV y pormedio de los intermediarios bursátiles. Las empresas emisoras están obligadas a
proporcionar información veraz y oportuna de reportes de su situación financiera einformar sobre cualquier acontecimiento relevante en cuanto a su operación,puesto que hay eventos que pudieran afectar el desempeño de sus valores.
Algunas de las sociedades Valuadoras se muestran en la tabla 1.3.
Sector 72: Valuadoras de Acciones de Sociedades de Inversión
Clave Razón Social Nombre Corto StatusFecha de
Actualización
72-001 Covaf, S.A. de C.V. COVAF
En
Operación 26/09/200572-002 Valuadora Gaf, S.A. de
C.V.GAF En
Operación26/09/2005
1.2 PARTICIPANTES
Dentro de los participantes destacan los inversionistas y por supuesto losemisores de valores. Resulta interesante mencionar el por qué las personas seven interesadas en realizar una inversión.
El público inversionista son aquellas personas físicas ó morales que estándispuestas a invertir su dinero a cambio de obtener cierta ganancia. En lassociedades, existen personas (o empresas) que han tomado la decisión de invertirsu dinero, en lugar de gastarlo. Esta decisión esta basada en las expectativas deobtener un buen rendimiento, de obtener una ganancia, de obtener ciertacompensación o pago por posponer el uso de ese dinero.
La gente que invierte deja de gastar su dinero en ese momento, por lo tantopodemos asegurar que deja de obtener cierta utilidad (satisfacción obtenida porlos bienes y servicios comprados), es decir, la decisión de compra es pospuesta,
porque se pretende que invirtiendo el dinero se generará una mayor utilidad osatisfacción en el futuro de aquella utilidad que se obtendría al gastar el dinero enel presente.
Sin embargo, la decisión de invertir no es algo sencillo, puesto que existendiversas formas de inversión cada una con ventajas y desventajas diferentes, ypor supuesto, el invertir también representa un riesgo.
Podría pensarse que lo más fácil y seguro es invertir en el banco, o en la bolsa devalores, pero tampoco invirtiendo en la bolsa de valores ó en el banco se aseguratener un buen rendimiento. Existe una amplia diversificación de instrumentos de
inversión tales como: títulos de deuda de emisión gubernamental, como cetes,ajustabonos, bondes, udibonos; títulos de deuda de emisión privada: letras giradaspor bancos, pagares negociables y acciones bursátiles, donde cada una de estasofrece diferentes rendimientos (tasas de interés), dependiendo del nivel de riesgode la inversión. Además también se involucran otros factores relevantes para elinversionista, tales como el plazo de la inversión, ya que este puede ser a corto,mediano, ó largo plazo.
Se habla de nivel de riesgo, puesto que la tasa de interés depende no sólo delnivel de inflación, sino también del tipo de cambio y la situación financiera de laempresa o institución que esté respaldando la inversión, el no hacer una selecciónadecuada de éste tipo de títulos podría tener como consecuencia pérdidas
económicas significativas. Es evidente que al tener una amplia diversificación deinstrumentos de inversión el público inversionista se encuentra ante el problemade selección de dichos instrumentos, con la finalidad de disminuir su riesgo depérdida. Aunque en la mayoría de los casos el inversionista suele acudir a unespecialista que le resuelva este problema, resulta interesante mostrar cuales sonlas variables y cálculos matemáticos necesarios para realizar esta selección.
Los emisores de valores pueden ser Sociedades Anónimas, organismos públicos,entidades federativas, municipios y entidades financieras, que representados poruna Casa de Bolsa ante la Bolsa Mexicana de Valores pueden poner a disposicióndel público inversionista diferentes instrumentos financieros (entre éstos sepueden mencionar las acciones, los títulos de deuda, entre otros), con la finalidadde que estos sean una fuente opcional de financiamiento, ya sea para suoperación ó para proyectos de expansión o de desarrollo. Aunque no cualquierade estas instituciones puede emitir acciones, es necesario que cumplan conciertos lineamientos establecidos por la BMV.
1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS MERCADOS
Las condiciones del mercado influyen en el comportamiento de los precios engeneral, en el desempeño de las organizaciones y por su puesto en el desempeñode los instrumentos de inversión, por lo que es importante entender la estructurade los mercados. Hay muchas maneras de clasificar los mercados, estos serándescritos a continuación.
1.3.1 Mercados Eficientes
Todos los mercados están obligados a proporcionar información veraz yoportunamente, cuando la información proporcionada se ajusta a la realidad, sedice entonces que los mercados son eficientes, es decir, debido a que los cambiosen la situación económica, política y social son constantes y éstos se reflejan en eldesempeño de las empresas y en el comportamiento de los instrumentos deinversión, existe un desfasamiento entre la información proporcionada y larealidad, incluso se puede dar el caso en que el precio de un mismo instrumentode inversión difiera de una fuente a otra (aún cuando debe ser el mismo) por lasituación ya mencionada. Bajo esta circunstancia el inversionista comprará elinstrumento de inversión al precio mas bajo ó venderá el instrumento de inversiónal precio más alto. A esto se le llama arbitraje. Finalmente los precios se ajustan
porque a mayor compra el precio tiende a aumentar y a mayor venta el preciotiende a disminuir.
1.3.2 Mercado de Valores
En el mercado de valores se encuentran todos los participantes (emisores,inversionistas, intermediarios bursátiles y autoridades), los cuales están sujetos acierta normatividad (Ley de Mercado de Valores), mediante la cual es posible laemisión y colocación de valores.
Por otra parte los instrumentos financieros que están inscritos en la BolsaMexicana de Valores, tienen cada uno diferentes características y se encuentranagrupados en diferentes mercados, que son el mercado de Capitales y el Mercadode Deuda, principalmente, aunque también existe el Mercado de Divisas y elMercado de Metales.
La figura 1.5 resume las características principales de cada uno de estosmercados.
Figura 1.5 Mercados Financieros
Los instrumentos financieros también pueden ser de diversa índole, según lainstitución emisora, tal y como se muestra en la figura1.6
Por la naturaleza de los instrumentos suele hablarse de Mercado de Deuda yMercado de Capitales, la diferencia entre estos radica en la forma en que sepagan las ganancias y en el plazo de la inversión.
Se explicarán cada uno de estos mercados y sus respectivos instrumentosfinancieros con más detalle
Los valores que son negociados en el mercado de deuda son aquellos cuyoprincipal objetivo es financiar proyectos de corto, mediano y largo plazo para lasempresas o instituciones emisoras.
En éste se incluyen valores del tipo:
• Gubernamental• Instrumentos de Deuda a Corto Plazo• Instrumentos de Deuda a Mediano Plazo• Instrumentos de Deuda a Largo Plazo
Mercado de deuda Gubernamental Incluye valores como: Cetes, Udibonos, Bonos de Desarrollo (Bondes), Pagaré deIndemnización Carretero (PIC-FARAC) y Bonos BPAS.
La Tabla 1.4 resume las principales características de cada uno de estos valores.
4 Para llenar todas las tablas que se presentan de la descripción de los instrumentos de deuda se consultaron las páginaselectrónicas de la BMV, la CNBV, BANXICO
TABLA 1.4. Instrumentos de deuda gubernamentalCetes Udibonos Bondes
D E F I N I C
I Ó N
Certificados de la
tesorería de laFederación. Son títulosde crédito al portador
Bonos de Desarrollo
denominados enunidades de inversión(UDIS) Ligado Al INPC.
Bonos de DesarrolloBancario. Son Títulosde Crédito
V A L O R
N O M I N A L
$100 Amortizado enuna sola exhibición. Sepaga al vencimiento.
100 UDIS cada bono $100 ó múltiplos
P L A Z O
Corto Plazo *semanal*28 días *91 días*182 días *364 días
Mediano y Largo Plazo.2 - 5 años con pagossemestrales
Mediano y Largo Plazo.*364 días *532 días*728 días *1092 días
R E N D I M I E N T O
Dado que se colocan adescuento surendimiento sedetermina por eldiferencial entre elprecio de compra y elde venta. Rendimientovaría dependiendo dela emisión.
Se colocan adescuento. Pagan unatasa de interés fija cada128 días.
Rendimiento pagablecada 28 días (Cetes a28 ó TIIE, la que resultemás alta)Como variante existeBonde 91. (rendimientoa 91 días)
G A R A N T Í A
Cero riesgo. Respaldoabsoluto del Gobierno
Federal
Respaldo absoluto delGobierno Federal
Respaldo absoluto delGobierno Federal
E M I T I D O S
P O R :
Gobierno FederalMexicano
Gobierno FederalMexicano, colocadospor el Banco de México
Banco de Desarrollo óSociedad Nacional deCrédito, colocados porel Banco de México.Gobierno FederalMexicano
O B J E T I V O
*Financiar al GobiernoFederal. *Regular elcirculante monetario yde tasas de interés.
Que su valor nominal yde rendimiento no sevea deteriorado por elINPC. *Financiar al
Gobierno Federal
Financiar proyectos deinversión propia de suactividad. *Financiar alGobierno Federal
TABLA 1.4. Instrumentos de deuda gubernamentalPIC-FARAC Bonos BPAS Ajustabonos
D E F I N
I C I Ó N Pagaré de
indemnizaciónCarretero, pertenece al
Fideicomiso de Apoyoal rescate de autopistasconcesionadas
Son emisiones del
Instituto Bancario deProtección al Ahorro Título de crédito
V A L O R
N O M I N A L
100 UDIS cada bono$100 Amortizaciones alvencimiento en unasola exhibición
$100 valor nominalinicial de cada bono.
P
L A Z O
Largo Plazo: 5- 30 años Largo Plazo. 3 añosMediano plazo: 3-5años
R E N D I M I E N T O
Según precio deadquisición, con pagode tasa de interés fijacada 182 días
Se colocan adescuento. Pagan unatasa de interés fija cada28 días.
Se liquida el capitalprestado ajustándosede acuerdo al INPC,referido al valor yadquisición de lostítulos y la tasa real quedevenguen.
G A R A N T Í A
Pagaré avalado por elGobierno Federal
Respaldo absoluto delGobierno Federal
Respaldo absoluto delGobierno Federal
E M I T I D O S P O R :
Banco Nacional deObras y ServiciosS.N.C, en el carácter deFiduciario.
No disponibleGobierno Federalcolocado por el Bancode México
O B J E T I V O
No disponible
Hacer frente a susobligacionescontractuales y reducirgradualmente el costofinanciero asociado aprogramas de apoyo a
ahorradores
Brindar la opción deahorro a largo plazo,sin merma en losrendimientos reales.Financiar al Gobierno
Federal a largo plazo.
Instrumentos de Deuda a Corto Plazo
Incluye valores como: Aceptaciones Bancarias, Papel Comercial, Pagaré conRendimiento Liquidable al Vencimiento (PRLV’S), Certificado Bursátil de CortoPlazo. La Tabla 1.5 resume las principales características de cada uno de estosvalores.
Empresas queparticipan en la BMV,Sociedades Mercantiles, colocados por Casasde Bolsa
Instituciones de crédito
O B J E T I V O
El banco parafondearse coloca laaceptación en elmercado de deudagracias a lo cual no serespalda en losdepósitos del público.Fuente definanciamiento a cortoplazo para lasempresas.
Fuente definanciamiento a cortoplazo para lasempresas que loemiten.
Ayuda a cubrir lacaptación bancaria yalcanzar el ahorrointerno de losparticulares. Financiaroperaciones de créditode los bancos
TABLA 1.5. Instrumentos de deuda a corto plazoCertificado Bursátil a
Corto Plazo Acciones Bursátiles
D E F I N I C I Ó N
Es un título de créditoque se emite en serie óen masa.
Título que ampara lapropiedad de un partealícuota de la empresaemisora. Pueden seracciones comunes ópreferentes
V A L O R
N O M I N A L
Pueden ser pesos,unidades de inversión óindexadas al tipo decambio
No disponible
P L A
Z O
No disponible Variable
R E N D I M I E N T O
Se coloca a descuento Variable
G A R A N T Í A
Amparado por unprograma
Respaldo por el prestigiode la empresa.
E M I T I D O S P O R
:
No disponible Colocadas a través deuna Casa de Bolsa.
O B J E T I V O
No disponibleFuente de financiamientopermanente para lasempresas
Como principales características de estos tipos de valores se puede mencionarque las instituciones que los emiten son S.A., entidades de la AdministraciónPública Federal Paraestatal, entidades Federativas, Municipios y EntidadesFinancieras Fiduciarias.
El valor nominal de estos instrumentos es determinado en cada emisión y será de$100 ó 100 UDIS cada uno, ó en múltiplos de éstos. El plazo es de un año comomáximo (aunque el vencimiento puede ser anticipado), el interés puede ser fijo óvariable, y la garantía la determina el emisor.
Incluye valores como: Obligaciones, Certificados de Participación Inmobiliaria,Certificados de Participación Ordinaria, Certificados Bursátiles, Pagaré conRendimiento Liquidable al Vencimiento a Plazo Mayor un año.
de mediano y largoplazo, la emisión puedeser en pesos o enunidades de inversión
Es un pagaré conocidocomo PRLV'S, donde lainstitución de créditoemisora esta obligada adevolver al tenedor, elcapital más interesesen una fechadeterminada.
V A L O R
N O M I N A L
$100 pesos ó 100 UDISdependiendo de la
modalidad
$1 peso
P L A Z O
Mediano y Largo Plazo.De un año en adelante de un año en adelante
R E N D
I M I E N T O
puede ser a tasarevisable de acuerdo acondiciones demercado por mes,trimestre o semestre,etc. Fijo determinado
desde el inicio de laemisión; a tasa real,etc. El pago deintereses puede sermensual, trimestral,semestral, etc
los intereses sepagarán a la tasapactada por el emisor
precisamente alvencimiento de lostítulos
G A R A N T Í A
quirografaria, avalada,fiduciaria, etc
el patrimonio de lasinstituciones de créditoque lo emite
E M I T I D O
S P O R :
No disponible Instituciones de Crédito
O B J E T I V O
No disponible
Los PRLV's ayudan acubrir la captaciónbancaria y alcanzar elahorro interno de losparticulares
Los valores que son negociados en el mercado de capitales son aquellos cuyo
principal objetivo es financiar proyectos de corto plazo para las empresas oinstituciones emisoras.
En éste se incluyen valores del tipo:
• Acciones• Obligaciones
Acciones Las acciones son una fuente de financiamiento a largo plazo muy importante paralas empresas. Son emitidas por sociedades mercantiles El tenedor de una acción
cuenta con ciertos derechos y es considerado como socio de la empresa, sepuede considerar que el tenedor de una acción posee parte de la empresa. Noexiste un plazo específico, pues este realmente lo fija el tenedor de la acción, ensu momento puede decidir venderla, sin embargo se recomienda que sea a largoplazo.
El precio de la acción es variable, dependiendo de la entidad emisora. Algunos delos factores determinantes en el precio de las acciones es el desempeño mismode la compañía, así como sus expectativas de crecimiento ó desarrollo a futuro.Debido a esto, invertir en acciones resulta riesgoso pues el desempeño de unaempresa se puede ver afectado por múltiples factores, tanto internos como
externos, tal como la situación económica política del país. Es recomendablesiempre acudir a personas capacitadas para evaluar factores externos, tantonacionales como internacionales (análisis técnico), así como factores quecompeten al desempeño de la empresa, como situación financiera, análisis deriesgos, análisis de razones financieras, etc. (análisis fundamental) que puedeninfluenciar en el precio de las acciones. También es recomendable comparar eldesempeño de la empresa con el desempeño de otras compañías que seencuentran en el mismo sector.
Los lineamientos emitidos por los organismos reguladores obligan a las empresasque cotizan en la bolsa a proporcionar información veraz y oportuna de su
desempeño financiero (cada trimestre) y de cualquier situación que pudiera afectarlas condiciones futuras de la empresa, y por supuesto esta información estadisponible al público en general a través de la BMV, revistas especializadas,algunos periódicos y páginas de Internet.
Otro punto que el inversionista debe tener en cuenta al invertir en acciones esprecisamente la liquidez (Se refiere a la facilidad con la que las acciones puedenser colocadas, es decir, compradas ó vendidas sin dificultad).
Cuando se invierte en acciones, es posible monitorear su desempeño minuto aminuto con la información que proporcionan los mercados financieros.
El atractivo de las acciones está en las ganancias que se pueden obtener al
venderlas, es decir, la diferencia entre el precio de compra y venta ó si se deseamantener la acción, es posible obtener ingresos mediante el pago de dividendosque realizan las empresas anualmente que esta en función de las utilidades que laempresa haya obtenido.
La forma de emitir acciones puede ser pública ó privada, y las acciones seclasifican en acciones preferentes ó acciones comunes (ordinarias). La diferenciaentre estos tipos de acciones esta en que las acciones comunes le confieren altenedor el derecho a voto dentro de la organización en las asambleas generalesde accionistas para la toma de decisiones importantes, y las acciones preferentespermiten que el tenedor participe en las ganancias de la empresa, es decir,
confieren algunos privilegios financieros como cobrar dividendos. No obstante, elposeer acciones no solo confiere derechos, sino también ciertas obligaciones.
Obligaciones Son emitidas por empresas privadas, su vencimiento es a largo plazo, entre tres yocho años, se venden a descuento, su valor nominal es de $100 ó múltiplos, suamortización es al término del plazo o en parcialidades previamente anticipadas,su rendimiento es una sobre tasa teniendo como referencia a los Cetes o la TIIE,su garantía es quirografaria, avalada, hipotecaría o prendaría. Su objetivo esfinanciar proyectos de inversión a largo plazo.
En la figura 1.8 se muestra como se va incrementando el riesgo para los diferentestipos de inversión.
1.3.5 Mercado de Divisas
Como principal característica de este mercado se puede mencionar que estabasado en los tipos de cambios fluctuantes, por lo que es altamente especulativo ypor lo tanto de alto riesgo. Aquí se negocian divisas (monedas extranjeras) talescomo el dólar.
1.3.6 Mercado de Metales
Existen algunos metales que nunca se devalúan, al contrario tienden a subir suvalor, entre ellos se puede mencionar a la plata. En este mercado se negociancertificados de plata. El rendimiento es determinado por la cotización que tenga enese momento la onza troy de plata y el tipo de cambio peso dólar. Cada certificadoampara 100 onzas.
Figura 1.8 Incremento en el riesgo de los Instrumentos de inversión
Títulos del gobierno(CETES)
Bonos
Títulos convertibles
Acciones comunes
Opciones
Certificadosde depósito
Accionespreferentes
Fondos
mutualistas
Bienes raíces
Futuros
Riesgo
Tasa librede riesgo
Rendimientoesperado
FUENTE: Apuntes de Ingeniería Financiera del Profesor Baca Urbina Gabriel
1.4 MERCADO PRIMARIO Y SECUNDARIO
Al hablar del mercado primario ó secundario se hace referencia a la fase en quese encuentra la negociación. Los emisores interesados en realizar la oferta públicay colocación de sus valores deben acudir a una casa de bolsa y sólo a través de
éstas es posible realizar estas operaciones. Cuando los valores son emitidos ycolocados por primera vez mediante la Casa de Bolsa, se dice que se realiza en elmercado primario, ya que estos valores han sido colocados previamente en elmercado primario, pueden ser comprados y vendidos (nuevamente a través de laCasa de Bolsa), se dice que estas operaciones se realizan en el mercadosecundario.
1.5 TIPOS DE RIESGO DE LOS INSTRUMENTOS DE INVERSIÓN
A continuación se explicarán el riesgo sistemático y no sistemático que inciden enlas inversiones realizadas en el mercado de valores.
Existen diversos tipos de riesgos cuando se realiza una inversión, el riesgo es unnivel de incertidumbre que implica el no obtener los rendimientos estimados óincluso perder parte de la inversión realizada. Entre los riesgos existentespodemos mencionar a los riesgos de mercado, los riesgos de crédito, los riesgostecnológicos u operativos.
Los riesgos de mercado se dan debido a que las condiciones político económicasdel país y las condiciones exteriores suelen ser cambiantes, y esto ocasiona quehaya turbulencia en los valores de las tasas de interés, en las paridades y porsupuesto en la situación de liquidez. Este tipo de riesgo es también conocido comoriesgo sistemático, y por supuesto es imposible eliminarlo, pues esta fuera del
control de los inversionistas, así que se debe aprender a manejarlo.Los riesgos de crédito se refieren a la posibilidad que existe de incumplimiento decontrato, es decir, que el emisor no liquide su deuda. Esto puede suceder por quenada asegura la solvencia de la compañía, es decir, existe siempre la posibilidadde quiebra.
El riesgo tecnológico ú operativo radica en que las empresas pueden estaroperando con tecnología obsoleta, empleando sistemas inadecuados ó realizaroperaciones de manera equivocada, es decir, cometer errores administrativos, ytodos estos factores por supuesto aumentan la incertidumbre de la inversión.
Mediante la información histórica del comportamiento de los instrumentos deinversión es posible realizar una medición del riesgo, esta medición requiere delempleo de técnicas estadísticas tales como el cálculo de la media ó valorpromedio ( x ), la varianza (S2) y la desviación estándar (S). (Estos conceptos ycálculos se definen posteriormente en el Capítulo II, para lo cual se emplea elmodelo propuesto por Markowitz). Siempre existirán fluctuaciones en el precio, esdecir el valor futuro de un instrumento variará con respecto al valor promedio delmismo, a esta desviación se le conoce como riesgo de precio. Existen otrosmétodos alternativos para realizar la medición del riesgo, los cuales también seránmencionados posteriormente, sin embargo, por el nivel de complejidad que estos
manejan se trabaja únicamente con el modelo propuesto por Markowitz,considerando que en éste se fundamenta el modelo desarrollado en Excel quepermite obtener portafolios eficientes.
Cuando las situaciones en el mercado cambian, el valor de los instrumentos deinversión puede verse afectado, ya sea positivamente ó negativamente, un riesgoque puede minimizar el inversionista es el llamado riesgo no sistemático, el cualtiene que ver con el comportamiento de los instrumentos financieros, y lo que sebusca aquí es que los cambios en los instrumentos financieros seanindependientes, así se busca que no todos los instrumentos financierosdisminuyan al mismo tiempo, reduciendo así el riesgo de pérdida. Para hacer la
elección de este tipo de instrumentos independientes también existen técnicasestadísticas tales como el cálculo del coeficiente de correlación ( ij ρ ) y la
covarianza (σij) que se explicarán con mas detalle en el Capítulo II.
Dentro de la Legislación Financiera existen múltiples lineamientos, dentro de loscuales se pueden enlistar los siguientes5:
• Ley del Mercado de Valores
• Ley de Sociedades de Inversión• Código de Ética Profesional de la Comunidad Bursátil Mexicana• Reglamento Interior de la BMV• Circulares de la Comisión Nacional Bancaria y de Valores.• Ley de instituciones de crédito• Ley para agrupaciones financieras• Ley General de Organizaciones y Actividades Auxiliares del Crédito• Ley de la Comisión Nacional Bancaria y de Valores.• Ley de Ahorro y Crédito Popular• Ley de los Sistemas de Ahorro para el Retiro
• Ley de Protección al Ahorro Bancario• Ley de Transparencia y Fomento a la Competencia en el CréditoGarantizado
• Ley Federal de Instituciones de Fianzas• Ley General de Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros• Ley Orgánica del Banco del Ahorro Nacional y Servicios Financieros• Ley Orgánica del Banco Nacional de Comercio Exterior• Ley Orgánica de Nacional Financiera• Ley Orgánica de Sociedad Hipotecaria Federal• Ley Orgánica de la Financiera Rural• Ley para la Transparencia y Ordenamiento de los Servicios Financieros
• Ley para Regular las Sociedades de Información Crediticia
5 Si se desea consultar cualquiera de los lineamientos puede consultar la siguiente dirección electrónica:http://www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio
Mexder S.A de C.V. es el mercado Mexicano de Derivados, donde se negociancontratos estandarizados de futuros y opciones que se compensan y liquidan através de una Cámara de Compensación la cual hace el papel de contraparte paracada transacción realizada. La Cámara de Compensación es un Fideicomiso deadministración integrada por Socios Liquidadores y Socios Operadores. LosSocios Liquidadores son Bancos ó Casas de Bolsa que precisamente liquidan ócelebran contratos operados en la bolsa. Los Socios Operadores pueden ser tantoBancos, Casas de Bolsa, como personas físicas y/o morales que están facultadasa través del Socio Liquidador para celebrar contratos.
Toda aquella persona que desee adquirir un contrato de compra-venta de futurosu opciones, deposita un margen en la Cámara de Compensación, el margen es undepósito obligatorio (determinado porcentaje del valor del contrato) que le permitecubrir el riesgo asumido, tiene la función de una garantía que asegura elcumplimiento de ambas partes, tanto del vendedor (al cual se le llama corto),como del comprador (al cual se le llama largo).
Mexder es una entidad autorregulada con autorización de la SHCP. Se llamamercado de derivados precisamente por que el valor de los futuros u opcionesderiva ó subyace de un bien financiero, el cual puede ser divisas, índicesaccionarios, tasas de interés ó acciones.
Tanto los futuros como las opciones son herramientas empleadas para neutralizarlos riesgos de tasas de interés, de tasas cambiarías y de precio. Se dice que estoscontratos son estandarizados por que el inversionista no puede fijar fechas devencimiento, tamaños del contrato, condiciones de entrega, lo único que se puedenegociar es el precio.
1.7.1 Los FuturosEn los contratos de futuros se involucran dos partes y en la fecha fijada se estipula
una acción obligatoria ya sea comprar ó vender activos reales (comodities) ófinancieros a un precio previamente acordado sin importar la cotización que setenga en el mercado, es aquí donde la decisión tomada de compra ó venta puederepresentar pérdidas ó ganancias. Se explicará como funcionan los futurosmediante un ejemplo.
Situación en la compra de Futuros Si se decide comprar un contrato de futuros que vence en diciembre del 2007,significa que para esa fecha se está obligado a comprar CETES (el subyacentepuede ser otro) a una tasa de 7.47% (que es la tasa establecida en el contrato
para el futuro y que puede ser consultada en la BMV ó en los periódicos),independientemente del valor de la cotización de mercado que ese día tenga elinterés. La gráfica 1.1 es muy ilustrativa para explicar que pasaría si la tasa deinterés del mercado aumentara o disminuyera con respecto a la tasa fijada en elcontrato de compra.
Gráfica 1.1 Situación en la compra de Futuros.
1541700
1541800
1541900
1542000
1542100
1542200
1542300
1542400
1542500
1542600
1542700
V A L O R D E L I N S T R U M E N T O .
( P )
7.43% 7.47% 7.51%
VALOR DE COMPRA DEL CETE
G
Se esta obligado a comprar al precio P, mientras que en el mercado podríacomprar al precio P2 si la tasa aumentará, por lo tanto, el inversionista estaríaperdiendo, pues debe pagar una cantidad mayor; mientras que si disminuyeran lastasas de interés estaría pagando el precio P, mientras que en el mercado tendríaque pagar P1, por lo tanto aquí el inversionista estaría ganando la diferencia entreP1 y P.
Situación en la venta de Futuros Si se desea adquirir la venta de un contrato de futuros que vence en diciembre del2007, significa que para esa fecha se está obligado a vender CETES (elsubyacente puede ser otro) a Mexder a la tasa fijada por el contrato 7.47%,independientemente del valor de la cotización de mercado que ese día tenga elinterés. La gráfica 1.2 es muy ilustrativa para explicar que pasaría si la tasa deinterés del mercado aumentará o disminuyera con respecto a la tasa fijada en elcontrato de venta.
El inversionista esta obligado a vender a Mexder al precio P, mientras que en elmercado podría vender al precio P1, por lo tanto, si la tasa de interés del mercadoes menor a la tasa de interés fijada en el contrato, el inversionista estaríaperdiendo.
Por otro lado, si las tasas de interés aumentaran, Mexder está obligada a pagar elprecio P, mientras que en el mercado la empresa sólo puede vender al precio P2,en esta situación el inversionista estaría ganando la diferencia entre P y P2.
El riesgo de las fluctuaciones en las tasas de interés se puede cubrir empleandofuturos, la primera pregunta que debe plantearse es si conviene comprar ó venderfuturos. Esta decisión depende de las expectativas que se tengan con respecto alas tasas de interés. En esta parte la ingeniería financiera es muy importante, puespor medio de la especulación, empleando el análisis de gráficas, es posiblepronosticar tendencias de las tasas de interés y con base a esto tomar decisiones.
1.7.2 Las Opciones
Al igual que los futuros es un contrato entre dos partes, donde también se puedecomprar o vender opciones, pero a diferencia de éstos, en las opciones se tiene elderecho de decidir ejercerla cuando las condiciones son favorables ó no, es decir,las opciones confieren derechos pero no obligaciones.
Cuando se compra una opción se esta especulando a que el precio del activosubirá arriba del precio acordado P*, y sólo entonces ejercerá su derecho decompra, pues la diferencia entre el precio acordado P* y el precio de cotización delmercado en esa fecha P representará su ganancia, es decir, se pagará menos poralgo que vale más (y la contraparte esta obligada a vender al precio P) Lo único
que se puede perder sí el precio de cotización no aumenta es la prima pagada porla compra de la opción.
En caso contrario, cuando se decide adquirir una opción de venta, se estaespeculando a que el precio del activo disminuirá con respecto al precio acordadoP*, y sólo entonces ejercerá su derecho de venta, pues la diferencia entre el preciode cotización del mercado en esa fecha P y el precio acordado P* representará suganancia, es decir, venderá más caro algo que vale menos (y la contraparte estaobligada a comprar al precio P). Lo único que se puede perder sí el precio decotización no disminuye es la prima pagada por la venta de la opción.
En este Capítulo se proporcionó un panorama general sobre el funcionamiento dela Bolsa Mexicana de Valores (BMV) y del Mercado Mexicano de Derivados pues
mediante estas entidades son puestas a disposición del público inversionista losdistintos instrumentos financieros existentes.
Se describió brevemente los Organismos que intervienen en el Funcionamiento dela BMV, entre estos organismos existen aquellos que fungen como Reguladores(Secretaría de Hacienda y Crédito Público, el Banco de México y la ComisiónNacional Bancaria y de Valores). Los que fungen como Intermediarios (Las Casade Bolsa y las Sociedades de Inversión), los Organismos de apoyo (Instituto parael depósito de Valores, la Asociación de Casa de Bolsa, las Calificadoras deValores, entre otros), y por supuesto los participantes que son los Inversionistas ylos Emisores, ya sean privados ó gubernamentales. El papel que juegan todos
estos organismos se complementan y permiten que el inversionista se sientaprotegido fomentando un ambiente de confianza, en el cual las operacionesrealizadas sean justas y trasparentes. Existen por supuesto múltiples lineamientosdentro de la Legislación Financiera, las cuales sólo fueron enlistadas.
Se informó cual es el procedimiento que se debe seguir cuando se toma ladecisión de invertir, es decir, a que entidades se debe acudir, pues erróneamentese piensa que la BMV es quien compra y vende valores, se debe acudir con losorganismos que fungen como Intermediarios que son las diversas Casa de Bolsa ylas Sociedades de Inversión, pues son éstos los que ponen en contacto al públicoinversionista con los Emisores de Valores. La importancia que tienen las
Sociedades de Inversión es que reúnen los recursos monetarios de pequeños ymedianos inversionistas obteniendo así un monto considerable para cubrir losmontos mínimos requeridos para la adquisición de diversos instrumentos deinversión.
Posteriormente se mencionó la Clasificación Financiera de los Mercados, entreellos al Mercado de Capitales, el Mercado de Deuda y el Mercado de Divisas,describiendo a detalle los respectivos instrumentos financieros de los dosprimeros. El Mercado de Deuda incluye valores del tipo gubernamental,instrumentos de deuda a corto, largo y mediano plazo. La descripción de losinstrumentos financieros fue hecha mediante el empleo de tablas, en la cual semuestra el nombre del instrumento, su descripción, su valor nominal, el plazo yrendimiento, la garantía y la entidad que los emite, así como también el objetivo decada instrumento. Los Valores que son negociados en el Mercado de Capitalesincluyen Acciones y Obligaciones, siendo las acciones una fuente definanciamiento muy importante para las empresas a largo plazo.
Entre los tipos de riesgo que tienen los instrumentos de inversión se encuentra elriesgo sistemático y no sistemático, el riesgo sistemático es imposible eliminarlopues está directamente relacionado con las condiciones político económicointernas y externas del país, sin embargo el riesgo no sistemático es aquel quetiene que ver directamente con el comportamiento de los instrumentos financieros
y éste puede ser minimizado realizando una selección adecuada de losinstrumentos.
Finalmente se describe brevemente el Mercado Mexicano de Derivados y loscontratos que se negocian en éste, como son los futuros y las Opciones.
Uno de los problemas existentes cuando se desea invertir es precisamente laamplia gama de alternativas que hay en cuanto a los diferentes instrumentos deinversión (todos con características diferentes), es decir, el inversionista se veinmerso en un conjunto de oportunidades.
Existen algunos principios básicos para realizar la selección de instrumentosfinancieros con la finalidad de obtener un portafolio eficiente.
Elegir entre la gran diversidad de instrumentos de inversión que existen ydeterminar qué proporción de la inversión debe destinarse a cada uno de losinstrumentos financieros elegidos para obtener los máximos beneficios posibles,
es decir, para obtener los máximos rendimientos, no es un proceso sencillo, sinembargo, se cuenta con distintos métodos que ayudan a tomar este tipo dedecisión.
El análisis de portafolio proporciona herramientas para realizar una selecciónidónea (óptima) de los instrumentos de inversión. Entre los métodos empleadosse encuentra “la teoría de portafolios Media-Varianza” conocida como el modelode Markowitz. La selección óptima por supuesto que también está en función delos intereses y necesidades del inversionista.
Es conveniente saber por qué unos portafolios son preferibles sobre otros, y
después se mostrará la manera en que es posible realizar esta selección.
La teoría de portafolios tiene más de 45 años y su implementación ha sido muyfructífera para obtener la maximización de los rendimientos, y para lograr ladiversificación en la elección de los instrumentos juega un papel muy importante.
También son empleados modelos de equilibrio del precio y rendimiento. Elanálisis del comportamiento del precio brinda seguridad por que la informacióndel mercado está siendo constantemente actualizada, cuando la información noestá disponible se requiere de otro tipo de análisis.
Otro de los puntos importantes no sólo es la selección óptima de los instrumentosde inversión sino también el realizar una evaluación del comportamiento delportafolio, es decir, evaluar los resultados y además darle un seguimiento, realizarlas modificaciones que sean convenientes para seguir obteniendo los resultadosesperados, a esto se le conoce como administración del portafolio.
Construir un portafolio significa realizar la selección adecuada de los instrumentosde inversión que lo integrarán, así como también determinar la proporción de la
inversión que se destinará a cada uno de estos instrumentos.
La gráfica 2.1 ilustra la construcción de un portafolio de inversión, donde losinstrumentos que lo conforman son: papel comercial, acciones, pagares, cetes ybonos, y el porcentaje indica la proporción de la inversión destinada a dichoinstrumento.
Gráfica 2.1
2.1.1 Elementos Básicos de una Inversión
Lo atractivo de una inversión por supuesto son los rendimientos obtenidos y éstosdependen no sólo del tipo de instrumento en el que se invierte si no también delplazo en que éste se mantenga y de algunos otros factores. Desafortunadamentela vulnerabilidad de los mercados ante eventos económicos, políticos y socialesinfluye en el desempeño de los instrumentos de inversión, por lo que existe unnivel de incertidumbre sobre los rendimientos esperados, por lo tanto todainversión conlleva cierto nivel de riesgo.
Otro de los elementos que debe considerarse al realizar una inversión es laliquidez del instrumento. La figura 2.1 muestra los elementos básicos de unainversión.
A continuación se menciona cada uno de estos elementos con más detalle.
Rendimiento .Se refiere al % de ganancia que se obtiene con respecto a la inversión durantecierto periodo de tiempo. Generalmente se genera un mayor rendimiento cuandose prolonga el plazo de la inversión. Algunos factores que reducen el nivel derendimiento obtenido son las comisiones e impuestos requeridos para lastransacciones y seguimiento de dicha inversión.
Riesgo .Si no existiera incertidumbre sobre el nivel de rendimiento obtenido, no existiríariesgo, el riesgo precisamente representa la posibilidad de no obtener los
rendimientos esperados o de tener pérdidas sobre la inversión inicial, incluso elpoder perderlo todo.
Plazo Éste es determinado por el inversionista, puede ser a corto, mediano o largoplazo, es el periodo de tiempo durante el cual no se puede disponer del montoinvertido hasta que se cumpla cierto plazo conocido como vencimiento. Es elperiodo en el cual se desea mantener el instrumento.
Liquidez Aunque ésta ya se ha mencionado, es la facilidad con que un activo financiero
puede ser vendido o comprado, esto representa por supuesto la rapidez con lacual puede convertirse en efectivo para el inversionista.
Diversificación Es la elección de diferentes instrumentos de inversión que conforman alportafolio. Dichos elementos tienen características propias distintas entre si, conlo cual se busca disminuir el riesgo total del portafolio, de tal manera que seaposible obtener el rendimiento esperado (estipulado, especulado, deseado) por el
inversionista. La elección de elementos diversificados (que difieren en suscaracterísticas) permite equilibrar las pérdidas y ganancias que se tienen con losdistintos instrumentos.
La seguridad de un instrumento financiero se refiere a la relación existente entre
riesgo y rendimiento. Desafortunadamente éstos guardan una relacióndirectamente proporcional, es decir, a mayor rendimiento mayor riesgo. Si sedesea obtener mayores rendimientos se debe estar dispuesto a aceptar el riesgoinherente por dichos rendimientos, es decir, a aceptar las pérdidas probables deno obtener los rendimientos esperados, perder parte de la inversión e inclusoperderlo todo. Por supuesto que todo mundo esta dispuesto a ganar mas, perodesea que sus probabilidades de perder sean menores.
Para realizar la elección de los diferentes instrumentos de inversión queconformarán el portafolio es necesario considerar el nivel de correlación queexiste entre éstos, a continuación se describe como es que este coeficiente
permite observar como varía el rendimiento de un instrumento con respecto aotro.
Correlación .
El coeficiente de correlación se denota por: ij ρ , con -1< ij ρ < 1.
El coeficiente de correlación se emplea para determinar el grado de correlaciónexistente entre los distintos rendimientos de los instrumentos de inversión queconforman el portafolio. Nos permite observar como varía el rendimiento del
instrumento j al variar el rendimiento del instrumento i. Cuando ij ρ = 1 quiere
decir que los rendimientos de dichos instrumentos varía en forma directamenteproporcional a través del tiempo, es decir, si uno aumenta el otro también lo haráy viceversa. Se puede representar gráficamente esta situación, tal y como seaprecia en la gráfica 2.2.
Gráfica 2.2. Coeficiente de Correlación ij ρ = 1
Ambos rendimientos aumentan óAmbos disminuyen en la misma proporción.
Cuando ij ρ = -1 quiere decir que los rendimientos varían en forma inversamente
proporcional, si uno aumenta, el otro disminuye ó viceversa. Se puederepresentar gráficamente esta situación, tal y como se aprecia en la gráfica 2.3.
Gráfica 2.3 Coeficiente de Correlación ij ρ = -1
Cuando un rendimiento aumenta,el otro disminuye y viceversa.
Cuando ij ρ = 0, indica una ausencia de correlación, no importa como varía el
rendimiento del instrumento i, esto no afectará el rendimiento del instrumento j, esdecir, varían en forma independiente. Se puede representar gráficamente estasituación, tal y como se aprecia en la gráfica 2.4.
Gráfica 2.4 Coeficiente de Correlación ij ρ = 0
ri
rj
Lo deseable por lo tanto es elegir instrumentos de inversión cuyo coeficiente de
correlación sea ij ρ < 0, de esta manera se estarían compensando las
disminuciones en los rendimientos del instrumento i con los aumentos en elrendimiento del instrumento j.
Si se eligen instrumentos financieros con ij ρ > 0, que varían en la misma
proporción, las pérdidas podrían ser muy grandes, pues cuando disminuye elrendimiento del instrumento i, también disminuye el rendimiento del instrumento j.Aunque por supuesto que si sucede lo contrario las ganancias se incrementaríanconsiderablemente, sin embargo, como los mercados son vulnerables, no es
recomendable elegir instrumentos de inversión con este coeficiente decorrelación.
2.2 TEORÍA MEDIA-VARIANZA
Esta teoría es empleada en el Modelo de Markowitz y se desarrollará en elpresente Capítulo.
Un portafolio está integrado por diferentes instrumentos de inversión, los cálculosnecesarios para medir el rendimiento total del portafolio y el riesgo final delportafolio se vuelven un poco más complejos porque ahora se deben considerarlos riesgos y rendimientos respectivos de todos los instrumentos de inversión queconforman el portafolio, pero siguen determinándose mediante el cálculo de lamedia y la desviación estándar. Sin embargo, el nivel de rendimiento también se
verá influenciado por los distintos niveles de correlación existente entre losdiferentes instrumentos de inversión.
Los cálculos necesarios para aplicar el modelo de Markowitz se describen condetalle en el apartado de medición del riesgo y rendimiento de un instrumento deinversión, y posteriormente se amplia para n instrumentos de inversión.
2.3 MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO DE UN INSTRUMENTO DE INVERSIÓN
El rendimiento de un instrumento de inversión es medido mediante el cálculo delvalor promedio. El valor promedio tiene muchos usos estadísticos por ejemplo, sepuede hablar del promedio de edad en que las personas suelen morir endeterminado país, del promedio de autos robados por año, de la calificaciónpromedio que obtiene un alumno durante un curso, etc.
El valor promedio también es conocido como media aritmética, en éste caso seempleará el término de valor promedio, su notación es µ (mu) cuando se trabajacon todos los elementos de la población ó x cuando se trabaja con una muestrade la población. Cuando se trabaja con datos aleatorios (los cuales ocurren concierta probabilidad) se emplea el término de valor esperado con la notación E(x),
también conocido como esperanza matemática.
El cálculo del valor promedio realmente es sencillo), el valor promedio sedetermina sumando todos los datos y dividiendo este resultado entre el númerode observaciones realizadas que será representado por T (número de periodosque se analizan). En este caso se están sumando rendimientos obtenidos durantecierto números de periodos T, así que iRx = . La fórmula empleada para calcularel valor promedio del rendimiento se muestra en la fórmula 2.1.
Donde:Ri = rendimiento del instrumento iRit = rendimiento obtenido del instrumento i en el periodo tT = número de periodos que se analizan
Calculando el rendimiento promedio del instrumento i con los datos que semuestran en la tabla 2.1 se tiene:
Tabla 2.1 Instrumentofinanciero irendimiento
Periodo t Rit1 5%2 8%3 14%
9%3
27%
3
14%8%5%
T
T
1t itR
iR ==++
=
∑==
Por lo tanto el rendimiento que se espera obtener con el instrumento i es de 9%.
2.4 MEDICIÓN DEL RIESGO DE UN INSTRUMENTO DE INVERSIÓN
La medición del riesgo se realiza mediante el cálculo de la desviación estándar.La desviación estándar es una medida de dispersión de los datos, ésta nos diceque tan dispersos se encuentran los valores obtenidos con respecto al valorpromedio, por lo tanto un mayor valor de desviación estándar representará mayorriesgo.
“Una medida de dispersión indica qué tan cercanos ó separados están los datoscon respecto a su valor central, es decir, necesitamos un valor que indique unamedida para comparar las dispersiones de los datos entre diferentes conjuntos”7
7 Gutierrez, Eduardo. “Fundamentos de Estadística Descriptiva e Inferencial para Ingeniería y Ciencias ”,Educación Nauta, 1era edición, México 2006, pg 24.
La variación que existe entre cada uno de los rendimientos obtenidos R it y el valordel rendimiento promedio iR , se puede obtener fácilmente mediante la diferencia
Rit – iR La gráfica 2.5 es representativa de esta situación, mientras los datos seencuentren más alejados del valor promedio, se tendrá una mayor desviación ó
variabilidad de los datos.
Gráfica 2.5. Desviación de los Datos
En la gráfica 2.5 se puede observar que los valores obtenidos de rendimientosdifieren con respecto al valor promedio, sin embargo al obtener las diferenciasRit – iR se obtendrán valores tanto positivos como negativos, de tal manera queal sumar estos resultados se anularán unos valores con otros y el resultado serácero. Por lo tanto la suma de los valores de las diferencias obtenidas no es deutilidad.
Una forma de obtener una medida general de la desviación estándar es calcularel promedio de las desviaciones, pero para que no se anule la suma, se sumanlos valores absolutos y posteriormente se dividen entre T (el número de periodosanalizados).
Otra forma de resolver este problema es elevar al cuadrado cada uno de losresultados de las diferencias, pues el cuadrado de un número es siempre positivoy al sumar valores positivos nunca se anulará el resultado, tal y como se muestraen la tabla 2.2.
Tabla 2.2 Cálculo de la Desviación Media y la VarianzaInstrumento financiero i
RendimientoValor
promedio Desviaciones
x = Rit iR Rit – iR |Rit - iR | (Rit - iR )2
5% 9% -4% 4% 0.16%8% 9% -1% 1% 0.01%
14% 9% 5% 5% 0.25%∑ = 0% 10% 0.42%
DM = 10/3 2=0.42/3
El promedio de las desviaciones absolutas se conoce como desviación media,denotada por DM.
La medida de dispersión que se calcula mediante el promedio de las sumasobtenidas como se muestra en la tabla 2.2, se le conoce con el nombre devarianza. Si a la sumatoria se le divide entre n se le llama varianza sesgada ó
poblacional denotada por 2, la varianza poblacional se puede escribir por lotanto mediante la fórmula 2.2.
( )
T
iRRitT
1t
2
2∑
=
−
=σ
Si se divide entre n – 1 se le llama varianza insesgada ó muestral, denotada porS2. Normalmente cuando se trabaja con datos históricos suele utilizarse S2. Lafórmula mediante cual se calcula la varianza muestral se muestra en la fórmula2.3.
Donde:S2 = varianza muestral
iR = valor promedio del rendimiento del instrumento iRit = rendimiento del instrumento i obtenido en el periodo tT = número de periodos que se analizanS = desviación estándar = la raíz cuadrada de S2
Nota:En el desarrollo del trabajo se estará utilizando constantemente las expresionesdadas en las fórmulas 2.1, y 2.2, por lo cual en algunos casos es convenienteemplear la siguiente notación:
2.2a: )Ri(ET
T
1t itR
iR =
∑== 2.2b:
( )( )2
T
1t
2
2 RiRiET
iRRit
−=
−
=
∑=σ
Esta notación indica que no sólo es posible trabajar con datos históricos, sinotambién con datos aleatorios.
La desviación estándar es denotada por ó por S según se considere a los datospoblacionales ó muéstrales respectivamente. “Se llama desviación estándar de unconjunto de datos a la raíz cuadrada positiva de la varianza, y ésta dependerá deltipo de varianza que se esté empleando”8. El riesgo respectivo del instrumento ise mide mediante la desviación estándar, para la cual se emplea la fórmula 2.4
( )
1-T
iRR
S
T
1t
2it∑
=
−
=
Si se comparan los resultados entre los rendimientos promedios esperados y losvalores de riesgo entre dos instrumentos de inversión i y j, será preferible elinstrumento i cuando:
• iR = jR con Si < Sj
• iR > jR con Si = Sj
• iR > jR con Si < Sj
Lo anterior quiere decir que cuando los rendimientos promedios esperados soniguales se preferirá aquel que presenta menor riesgo; cuando los riesgos soniguales se preferirá aquel que presente mayor rendimiento, y por último, lodeseable es seleccionar el instrumento que tenga mayor rendimiento promedio ymenor riesgo.
Sin embargo no se recomienda que una inversión se realice sobre un soloinstrumento de inversión, lo que se desea es tratar de minimizar los riesgos, es
decir, compensar las pérdidas y ganancias de los instrumentos mediante ladiversificación de éstos. No obstante, la selección de instrumentos no sólo serealiza entre dos instrumentos de inversión, sino mediante la combinación devarios instrumentos que directamente afectan el desempeño del portafolio, enéste caso el cálculo de los rendimientos y riesgos individuales de los instrumentosya no resulta de mucha utilidad.
8 Gutiérrez, Eduardo. “Fundamentos de Estadística Descriptiva e Inferencial para Ingeniería y Ciencias”, Educación Nauka,1era edición, México 2006, pg 25.
Con la finalidad de tener una mejor compresión sobre la influencia de losdiferentes instrumentos de inversión en el rendimiento final del portafolio, serealizará dicho análisis sobre dos instrumentos de inversión y se verá que
relación guarda el comportamiento del rendimiento del instrumento i, con respectoal comportamiento del rendimiento del instrumento j, bajo distintas circunstancias.Posteriormente será más fácil realizar dicho análisis cuando intervienen múltiplesinstrumentos de inversión. Tomando el ejemplo que proponen los autores Edwin J.Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown y William N. Goetzmann9, se analizarántres distintas situaciones con la información proporcionada en la tabla 2.3.
Tabla 2.3 Cálculo del riesgo-rendimiento de diversos instrumentosRendimientos y riesgos de varios instrumentos de inversión
Los rendimientos están en %*Condición
delmercado
Instrumento1
Instrumento2
Instrumento3
Instrumento4
Instrumento5a
1 15 16 1 16 162 9 10 10 10 103 3 4 19 4 4
iR 9 10 10 10 10
2 24 24 54 24 24
= riesgo 4.90 4.90 7.35 4.90 4.90*Se considera que los rendimientos son igualmente probables.
a Los valores de estos rendimientos son independientes a las condiciones delmercado
Empleando la tabla 2.3 se describirán tres situaciones diferentes para ver como
las características individuales de los instrumentos afectan el rendimiento final delportafolio.
Situación 1Si se tuviera que elegir entre los instrumentos 2 y 3, como éstos presentan elmismo rendimiento esperado pero diferentes riesgos, lo mas adecuado es elegiraquel que presenta el menor riesgo, es decir, elegir el instrumento 2, no obstanteel objetivo es ver como se ve afectado el rendimiento del portafolio cuando sedecide invertir en ambos instrumentos. Supóngase que se tienen $1 (miles) parainvertir y se decide invertir 50% de esta cantidad en el instrumento 2 y el resto50% en el instrumento 3. La tabla 2.4 muestra los resultados obtenidos de esta
inversión (cantidad final que incluye cantidad invertida más los rendimientosobtenidos) según la condición de mercado que se presente. Por ejemplo, si lasituación del mercado que se presenta es la uno, el rendimiento que se obtendrádel instrumento 2 es el 16% sobre la cantidad invertida en éste, por lo que lacantidad final será 0.5 + 0.5 (0.16) = 0.58 para el instrumento 2.
9 Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown y William N. Goetzmann. “Moder Portfolio Theory And InvestmentAnalysis”, Wiley, Seventh Edition, 2007. pg 47
El rendimiento que se obtendrá del instrumento 3 es el 1% sobre la cantidadinvertida en éste, por lo que la cantidad final será 0.5 + 0.5 (0.01) = 0.505 para elinstrumento 3. La cantidad final obtenida por la combinación de estos dosinstrumentos por lo tanto es: 0.58 + 0.505 = 1.085. Sea i el interés que brinda el
instrumento y m el monto de la inversión en dicho instrumento, la cantidad finalsería m + m(i) , tal que factorizando se tiene que la cantidad final sería m(1 + i).De esta forma son realizados los cálculos que se muestran en la tabla 2.4
Tabla 2.4 Situación uno: Combinación de dos instrumentos de inversión.
Aunque en promedio se espera obtener la misma cantidad al final si se invirtieraen los instrumentos de manera individual que si se realizara una combinación deellos, comparando los niveles individuales de riesgo de los instrumentos 2 y 3 quese muestran en la tabla 2.3, con el nivel de riesgo obtenido mediante lacombinación de estos instrumentos, se puede observar que éste esconsiderablemente menor, incluso tiende a ser cero, precisamente esto es lo quese busca con la diversificación, la elección adecuada de instrumentos de inversiónque compongan el portafolio, de tal manera que las características individuales deéstos compensen las perdidas y ganancias obtenidas, minimizando así el riesgo.
Cabe la pregunta de qué pasará con el valor promedio y el nivel de riesgo si sedestinará otra proporción del monto de la inversión a cada instrumento, porejemplo, la tabla 2.5 muestra estos resultados cuando para la misma cantidad $1(miles), se decide invertir 60% en el instrumento 2 y 40% en el instrumento 3.
El ejemplo anterior muestra por supuesto una situación extrema que deja muy enclaro que al combinar instrumentos de inversión se puede reducir el riesgo finalconsiderablemente tomando una adecuada proporción de la inversión para cadainstrumento. Generalmente esto sucede cuando los instrumentos de inversióntienen el mayor y menor rendimiento de forma inversa, es decir, si se presenta lacondición 1 en el mercado, el instrumento 2 obtendrá su mayor rendimientoposible, mientras que el instrumento 3 obtendrá su menor rendimiento posible, yviceversa. Otro punto importante que se puede resaltar aquí es que bajo estasituación siempre es posible obtener una combinación adecuada en lasproporciones de los instrumentos de tal manera que la cantidad final obtenida seala misma bajo cualquier condición del mercado.
Situación 2.
Consideremos ahora los instrumentos 2 y 5, en la tabla 2.3 se menciona que losrendimientos del instrumento 5 se comportan de manera independiente a lacondición del mercado, esto quiere decir que si la condición del mercado fue la 1,el instrumento 2 obtuvo 16% de rendimiento, sin embargo el instrumento 5 pudohaber obtenido 16%, 10% ó 4%.
Supóngase que se tienen $1 (miles) para invertir y se decide invertir 50% de estacantidad en el instrumento 2 y el resto 50% en el instrumento 5, las posiblescantidades finales que se pueden obtener se muestran en la tabla 2.6.
Explicando la tabla 2.6, si la condición de mercado que se presenta es la 1, de lainversión realizada en el instrumento 2 se obtiene 0.58, pero como losrendimientos del instrumento 5 son independientes a la condición del mercado, deaquí se pueden obtener 0.58 ó 0.55 ó 0.52. De la combinación de los dosinstrumentos las posibles cantidades finales serían lo que se obtiene con elinstrumento 2 más lo que se puede obtener con el instrumento 5, es decir 0.58 +0.58 ó 0.58 + 0.55 ó 0.58 + 0.52, esto es 1.16, 1.13 ó 1.10. De igual manera serealizan los cálculos para las otras condiciones de mercado.
Tabla 2.6. Situación dos: Combinación de dos instrumentos de inversiónindependientes
Cantidadfinal $miles
Posibles cantidadesfinales $miles
Instrumento2 Instrumento 5
Cantidadinvertida(miles)
proporción 50% 50%Condición
delmercado
rendimiento%
segúncondición 16 ó 10 ó 4
Posiblescantidades
finales $miles1
116 0.58
0.58 0.55 0.521.16 1.13 1.10
2 10 0.55 1.13 1.10 1.073 4 0.52 1.10 1.07 1.04
Promedio = 1.10
Varianza = 0.0012
Desviación = 0.034641016
Se puede observar que se tienen 9 posibles resultados, cuya frecuencia deocurrencia es la misma, es decir 1/9; se muestra sombreado el mayor y menorvalor que son los puntos que presentan mayor dispersión con respecto al valorpromedio y por supuesto que éstos pueden ocurrir pero con una menor frecuencia(1/9) pues ahora se tienen mas posibles resultados. Se puede observar que elvalor promedio de estos datos es de $1.10 (miles) y su desviación respectiva esde 0.034. Combinando los instrumentos 2 y 5 el valor promedio sigue siendo elmismo que si se invirtiera independientemente el 100% de la cantidad encualquiera de los dos instrumentos, sin embargo la dispersión con respecto alvalor promedio disminuye considerablemente de 4.9 a 0.034.
Una conclusión que se puede mencionar acerca de esta situación es que esconveniente incluir instrumentos de inversión cuyos rendimientos seanindependientes pues esta es una forma de disminuir el riesgo final del portafolio.
Situación 3.
Supóngase que se eligen los instrumentos 2 y 4, se tienen $1000 para invertir enéstos. Se decide invertir 50% de esta cantidad en el instrumento 2 y el resto en elinstrumento 4. La tabla 2.7 muestra las cantidades finales esperadas para cadacondición del mercado que se presente.
De la tabla 2.7 se puede observar que el inversionista obtendría exactamente lamisma cantidad si hubiera invertido solamente en cualquiera de los dosinstrumentos. En este caso se conservan las características de los instrumentosde inversión. Desde luego que ésta es una situación que difícilmente seencontrará, y menos cuando se combinan más de dos instrumentos de inversión.
Estos ejemplos muestran que las características del portafolio difieren de las delos instrumentos de inversión que lo componen, aunque éstos determinan elcomportamiento del portafolio.
2.6 RENDIMIENTO DEL PORTAFOLIO
Si se observan las tablas presentadas, la información necesaria para calcular elrendimiento del portafolio, son por supuesto los rendimientos históricos de losinstrumentos de inversión y la proporción del monto de la inversión que sedestinará a cada instrumento.
En la tabla 2.4 se puede observar que las variables que intervienen para calcularel rendimiento final del portafolio pR son el monto de la inversión m, elrendimiento del instrumento i y la proporción destinada del monto a cadainstrumento a la cual se le llamará peso y se le denotará con la letra wi, donde elsubíndice i hace referencia al instrumento. El cálculo del rendimiento del portafolioes un promedio ponderado de los rendimientos esperados de cada uno de losinstrumentos que lo componen, la fórmula empleada es la 2.5
iRwRn
1iip ×= ∑
=
Debiéndose cumplir: ∑=
=n
1iiw %100
Donde:pR = rendimiento esperado del portafolio
wi = proporción del monto de la inversión destinada al instrumento i.iR = rendimiento promedio del instrumento i
n = número de instrumentos de inversión que se analizan
Tómese el ejemplo presentado en la tabla 2.5. Se decide invertir 60% de $1000 enel instrumento 2 y el restante 40% en el instrumento 3. Los rendimientosesperados respectivamente de estos instrumentos 10% para cada uno de losinstrumentos (ver tabla 2.3). Desarrollando la fórmula 2.5 se tiene:
2211
2
1iip RwRwRiwR ×+×=×= ∑
=
Donde:n = 2, se tienen dos instrumentos de inversiónw1 =60%, proporción destinada al primer instrumentow2 =40% , proporción destinada al segundo instrumento
1R = 10%, rendimiento esperado del primer instrumento
2R = 10%, rendimiento esperado del segundo instrumento
Sustituyendo esta información se tiene:
10.00.40(0.10)0.60(0.10)RwRwRiwR 2211
2
1iip =+=×+×=×= ∑
=
Por lo tanto el rendimiento del portafolio es de 10%, es decir, la cantidad que seespera tener es el monto de la inversión más el 10% de ésta, como se muestra:
Cantidad final = $1000 + $1000(10%) = $1000 + $100 =$1100, que esprecisamente la cantidad esperada que se muestra en la tabla 2.5 que es $1.1(miles).
2.7 RIESGO DEL PORTAFOLIO
El riesgo del portafolio es un poco más difícil de determinar, pero también seconsidera la variación que existe entre cada uno de los rendimientos realesobtenidos para el portafolio Rp y el valor del rendimiento promedio del portafolio
pR , mientras los rendimientos obtenidos se encuentren más alejados del valor delrendimiento promedio, se tendrá una mayor desviación ó variabilidad de losrendimientos, lo que representa por supuesto un mayor riesgo. La gráfica 2.6representa las posibles variaciones de los rendimientos reales del portafolio conrespecto al rendimiento promedio.
Sin embargo ya se ha mencionado que sumar estas diferencias no serviría denada, puesto que se anularían los resultados, por lo que se calcula el promedio delas diferencias elevadas al cuadrado. Por lo tanto la varianza del portafoliodenotada por: 2
pσ está dada por la fórmula 2.6.
( ) ( )
2T
1t
22
p RpRpEiRRitT
1
σ −=−= ∑=
Considerando que se analizan sólo dos instrumentos de inversión:
Rp=w1R1 + w2R2
Sustituyendo y desarrollando la expresión 2.6:
( )( )222112211
2p RwRwRwRwEσ +−+=
( )2221122112p RwRwRwRwEσ −−+= Factorizando w1 y w2
( ) ( )[ ]2222111
2p RRwRRwEσ −+−=
Desarrollando:
( ) ( )( ) ( )222
22221121
211
21
2p RRwRRRRw2wRRwEσ −+−−+−=
( ) ( )( ) ( )222
22221121
211
21
2p RREwRRRREw2w)RREwσ −+−−+−=
Donde E(Ri – iR )2 se definió mediante la fórmula 2.2b como la varianza, denotada
Anteriormente se mencionó que el valor de la covarianza es un punto importanteen la selección de instrumentos de inversión, sin embargo no se definió como
calcularla, la covarianza se denota mediante ij, donde i y j son los instrumentosque se están analizando. La covarianza se determina con la fórmula 2.7.
( )( ) ( )( ) jRRjiRRiE jRRjtiRRitT
1 T
1tijσ −−=−−= ∑
=
La covarianza es el producto de dos desviaciones, por lo tanto es importante hacer
notar que ij = ji puesto que si se invierten los factores del producto no se alterael resultado. Por lo que la varianza del portafolio se puede escribir como la fórmula2.8
12σσσσ 21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
p w2www ++=
Aquí es importante mencionar los posibles resultados en cuanto a la covarianza,
sí ij>0, quiere decir que ambas diferencias son negativas ó ambas son positivas,por lo tanto los rendimientos obtenidos son ambos mayores a los rendimientosesperados ó ambos son menores, pero los rendimientos se mueven en la mismadirección. La covarianza es una forma de saber como se comportan losrendimientos de dos instrumentos de inversión, es decir, si los dos aumentan, sílos dos disminuyen, si uno aumenta y el otro disminuye ó viceversa.
Los instrumentos que son deseables en el portafolio son aquellos que varían enforma inversa, de esta manera se compensan las pérdidas y ganancias, por lotanto la covarianza tiene un valor negativo. Cuando la covarianza tiende a sercero, quiere decir que los rendimientos no guardan relación alguna.
La covarianza permite obtener el coeficiente de correlación entre dosinstrumentos, el cual es denotado por ijρ y definido por la fórmula 2.9
ji
ijij
σ σ
σ ρ =
El coeficiente de correlación permite interpretar el resultado de la covarianza, éstese encuentra en una escala entre -1 y +1, lo cual sugiere reconocer una fuerterelación lineal.
La tabla 2.8 muestra los cálculos pertinentes para obtener la covarianza y elcoeficiente de correlación entre los instrumentos 2 y 3 que se presentaron en lasituación 1, los instrumentos 2 y 5 que se presentaron en la situación 2 y losinstrumentos 2 y 4 que se mostraron en la situación 3, para lo cual se emplea lafórmula 2.7 y 2.9
Tabla 2.8 Cálculo de covarianza y coeficiente de correlaciónCálculo de covarianza y coeficiente de correlación Producto de las
iσ = riesgo 4.90 7.35 4.90 Coeficiente de correlación= -1 1 0*Recuerde que los rendimientos del instrumento 5 se comportan de maneraindependiente a la condición del mercado
Se han presentado tres situaciones diferentes, se empleará la fórmula 2.8 paradeterminar la varianza de los portafolios, para el caso que se presenta en la tabla2.5, donde se invirtió 60% de $1000 en el instrumento 2 y el restante 40% en elinstrumento 3 se tiene:
0)(-36)2(0.6)(0.454)4.0(24)6.0(222
pσ =++=
Este es precisamente el valor obtenido de la varianza calculado mediante lascantidades finales. Se puede observar en la tabla 2.8 que el coeficiente decorrelación entre los instrumentos 2 y 3 es -1, lo cual significa que elcomportamiento de los rendimientos ocurren de manera inversa, cuando elcoeficiente de correlación tiende a -1 el riesgo del portafolio tiende a ser cero.
Para el caso que se presenta en la tabla 2.6, donde se invirtió 50% de $1000 en elinstrumento 2 y el restante 40% en el instrumento 5, recordando que losrendimientos entre estos instrumentos son independientes por lo que su
coeficiente de correlación y covarianza son cero, se tiene:
1224)5.0(24)5.0( 222pσ =+=
Cuando el coeficiente de correlación es cero, el riesgo del portafolio es menor alriesgo de cada uno de los instrumentos por separado.
Para el caso que se presenta en la tabla 2.7, donde se invirtió 50% de $1000 en elinstrumento 2 y el restante 40% en el instrumento 4, se tiene:
24)24)(5.0)(5.0(224)5.0(24)5.0( 222pσ =++=
Para estos instrumentos el coeficiente de correlación es 1, cuando el coeficientede correlación tiende a 1, ambos rendimientos crecen o ambos decrecen y elriesgo del portafolio no tiende a reducirse.
La fórmula 2.8 para el cálculo de la varianza del portafolio puede generalizarsepara un número n de instrumentos considerando todas las combinaciones posiblesentre estos, como se muestra a continuación:
nnnnn33nn22nn11n
2nn2233222222112
1nn11331122111112p
σww....σwwσwwσww
....
σww....σwwσwwσww
σww....σwwσwwσwwσ
++++
+++++
+++++
+++++=
MMMM
Una consideración importante en esta parte es que en la fórmula 2.8 se puedeapreciar que la varianza de cada instrumento es multiplicada por el cuadrado de la
proporción invertida en este, por lo tanto donde se presenta ij con i=j, este es
igual a i2, es decir la varianza del instrumento, tal y como se demuestra a
continuación si empleamos la fórmula 2.7 de la covarianza:
( )( ) ( ) 2i
2ii iRRiEiRRiiRRiEσ σ=−=−−=
Lo cual puede escribirse mediante una doble sumatoria, generalizando la varianzadel portafolio mediante la fórmula 2.10
∑∑= =
=n
1i
n
1 jij ji
2p σwwσ
La varianza del portafolio también puede obtenerse mediante su forma matricial,
como se muestra:
[ ] [ ]
=
=
nnnn
n
n
n
nnnnn
n
n
n
w
w
w
www
w
w
w
www 2
1
221
22221
11221
212
1
21
22221
11211
212pσ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
Fórmula 2.10Varianza del portafolio
Fórmula 2.11 Varianza del portafolio (Calculada matricialmente)
Nótese que la matriz cuadrada es la matriz de covarianza de los instrumentos, queen su matriz diagonal contiene a la varianza de los instrumentos en consideración.
Sin embargo la fórmula 2.10 también puede escribirse como se muestra en lafórmula 2.12
jicon ≠+= ∑∑∑= ==
,σwwσwn
1i
n
1 jij ji
n
1i
2i
2i
2pσ
Si se considera la misma proporción de la inversión en cada uno de ninstrumentos de inversión, la varianza del portafolio sería:
jicon ≠
+
= ∑∑∑
= ==
,σn
1
n
1σ
n
1 n
1i
n
1 jij
n
1i
2i
22pσ
Factorizando 1/n de la primer sumatoria y (n-1)/n de la segunda puesto que aquíse tiene n-1 instrumentos de inversión considerando que i ≠ j, se tiene:
jiconn
n≠
−+
= ∑∑∑
= ==
,1)-n(n
σ)1(
n
σ
n
1 n
1i
n
1 j
ijn
1i
2i2
pσ
La primer sumatoria es realmente el promedio de las varianzas y la segunda es elpromedio de las covarianzas, puesto que se tienen n(n-1) covarianzas calculadas.Sustituyendo las sumatorias por sus respectivos promedios se tiene:
jiconn
n ≠−+
= ,σ)1(σ
n1
ij2i
2pσ
Esta expresión nos permite apreciar que es lo que sucede cuando se incrementael número de instrumentos de inversión que conforman al portafolio. La varianzade los instrumentos individuales tiende a ser cero cuando la cantidad deinstrumentos de inversión se incrementa, sin embargo, el límite de (n-1)/n tiende auno cuando n crece.
Por lo que la varianza del portafolio tiende a estar dada por el promedio de lacovarianza de los instrumentos que lo conforman.
El riesgo del portafolio es precisamente la raíz cuadrada de la desviaciónestándar, por lo tanto la fórmula empleada para calcular éste está dado por lafórmula 2.13
Como ya se ha mencionado, el riesgo es la probabilidad de que el rendimiento del
portafolio sea distinto al rendimiento esperado. El modelo de Markowitz es sólo unapoyo para realizar la selección de los instrumentos de inversión que compondránel portafolio, sin embargo, es necesario mencionar que la teoría existente sobreportafolios de inversión es muy amplia y el modelo de Markowitz no es el únicoempleado, no obstante es uno de los más sencillos y comprensible sobre todopara aquellas personas que apenas se interesan en el ámbito de las inversiones.A continuación se mencionan brevemente cada uno de estos métodos alternativosde evaluación del riesgo.
Método CAPM (Capital Asset Pricing Model).- este método fue desarrollado porSharpe en 1963 y se basa en el análisis de las variaciones de los precios con
respecto a los precios del mercado considerando también cifras históricas. CAPMconsidera el riesgo sistemático, sin tratar a ningún instrumento aisladamentebuscando de esta manera la compensación de los riesgos.
Método APT (Arbitrage Pricing Theory).- este método fue diseñado por Stephen A.Ross en 1976, el cuál no sólo considera que los indicadores de precio del mercadoes el único factor determinante en el riesgo, sino que también considera a otrosfactores tales como la producción industrial, la inflación, las tasas de interés, elprecio del petróleo, cambios en las reservas internacionales, entre otros. Sinembargo el método APT no es suficiente para tomar decisiones en cuanto alprincipal problema en la selección de un portafolio de inversión, es decir, no
permite tomar la decisión de la proporción idónea que deben tener losinstrumentos de inversión que compondrán al portafolio.
El VAR (Value at Risk).- La medición del VAR requiere de fundamentosestadísticos, el VAR determina la cantidad máxima que es posible perder, dado undeterminado nivel de confianza (por lo regular el estándar de la industria esconsiderar el 95% de confianza o el 99%) en un determinado periodo de tiempo.Normalmente los periodos usados para el cálculo del VAR es un día, 10 días o 1año. Por ejemplo, un VAR 6 a un año quiere decir que existe el 5% de probabilidadde que se tenga una perdida mayor al 6% en ese periodo de tiempo.
Existen varias formas de realizar el cálculo del valor del VAR, se enlistan acontinuación y se da una breve explicación de cada uno de ellos.
a) El método históricob) El método de varianza covarianzac) El método de Simulación de Montecarlo.d) Método de Stress-Testing ó Método de Situaciones Extremas
a) El método histórico toma una consideración importante, y es que asumeque las condiciones pasadas seguirán ocurriendo el futuro, así que setrabaja con datos históricos
b) El método de varianza covarianza.- Este método también es conocido comoDelta Normal, considera que los rendimientos tienen una distribución
normal, así que conociendo la media y varianza de esta distribución, essencillo determinar el porcentaje de observaciones situadas por encima del95%, el cual es el nivel de confianza.
c) El método de Simulación de Montecarlo.- El método de Montecarlo dataaproximadamente de 1994, se basa en la simulación por medio de lageneración de números aleatorios los cuales se emplean para generarposibles escenarios. Un posible escenario se refiere a las distintasproporciones del monto total de la inversión que pueden tomar cada uno delos instrumentos de inversión, de esta manera se determina la posiblepérdida o ganancia del portafolio bajo esas condiciones. Esta informaciónes ordenada de tal manera que permita determinar un nivel de confianzaespecífico10.
d) Método de Stress-Testing ó Método de Situaciones Extremas.- Este métodoprecisamente simula situaciones extremas ó escenarios adversos lo quepermite cuantificar los cambios probables en los rendimientos esperadosdel portafolio. Stress Testing puede ser implementado a través de la teoríade Valores Extremos (EVT) la cual se interesa por el estudio de las colas dela distribución de probabilidad y emplea métodos no paramétricos.
Otro método que permite determinar al portafolio óptimo es un método propuestopor Holland en 1975 conocido como Algoritmo Genético (GA). Este algoritmotambién ha sido empleado para resolver diversos problemas de optimizaciónindustrial, los cuales son difíciles de resolver con los métodos conocidos yempleados tradicionalmente. Primeramente debe emplearse la simulaciónestocástica para calcular el rendimiento esperado y el riesgo, y posteriormente(GA) es empleado para determinar el portafolio óptimo. La explicación de cómo esque funciona el Algoritmo Genético es un poco compleja y debe manejarse unanueva definición del riesgo, distinta a la que se ha venido manejando en estecapítulo, por lo cual sólo se hace una breve mención de su existencia.11
Actualmente existen otros modelos que permiten tener una mejor proyección delos niveles de riesgo futuros, entre ellos se puede citar al modelo deheteroscedasticidad asimétricos, el modelo GARCH y GARCH Asimétrico, asícomo también se puede mencionar que no sólo la distribución normal es empleadapara modelar retornos, sino también la distribución T- Student, la cual presentacolas con mayor masa de probabilidad y por esto se representa mejor ladistribución de rendimientos. Los modelos GARCH mas difundidos fuerondesarrollados en 1986 por Bollersler, también son conocidos como modelos
10 Se puede consultar la siguiente referencia si se desea tener una breve descripción matemática de este método :www.mat.usach.cl/histmat/html/is.html, http://random.mat.sbg.ac/links/monte.html11 Si el lector desea ampliar el tema sobre esta nueva definición del riesgo puede consultar la siguiente página de Internet:www.elsevier.com/locate/ejor
generalizados autorregresivos de heterocedasticidad condicionada, los cualesfueron una generalización de los modelos GARCH desarrollados por Engle en1982. Estos modelos emplean el método de máxima verosimilitud para realizaruna estimación que permite determinar lasa proporciones de los instrumentos quemaximizan los rendimientos12.
Otros modelos que también pueden ser empleados y que consideran la trayectoriaque han seguido los rendimientos es la estimación de modelos de series detiempo, conocidos como ARIMA (p,d,q) ó modelos autorregresivos integrados demedias móviles con orden p, d y q, sin embargo estos modelos requieren de unuso especializado de software econométrico13.
Cada uno de los métodos mencionados presenta sus respectivas ventajas ydesventajas. Aunque tradicionalmente sea considerado que el promedio históricode los rendimientos es en buen estimador del rendimiento futuro, los elementosque deben ser considerados al momento de diseñar un portafolio de inversión sonrealmente bastantes, entre ellos podemos mencionar la duración, la convexidad,deltas, gammas, el VAR, el tracking error, razón de información, teoría de valoresextremos, los métodos de simulación, etc. La complejidad y profundidad de cadauno de estos puntos impide que sean desarrollados en la presente tesis, sinembargo el lector debe estar consciente de esto y tener presente que inclusoexisten factores aunque importantes para diseñar un portafolio de inversióndifíciles de considerar en tal estudio.
12 Para ver un ejemplo donde se emplean modelos GARCH se puede consultar la siguiente dirección electrónica:http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=71603504&iCveNum=5762 13 Si se desea ampliar sobre el tema de modelos de series de tiempo se puede consultar la siguiente bibliografía: HamiltonJ.D. “Time Series análisis” Princeton University Press, 1994Campbell J.Y, Lo. A.W & Mackinlay A.C, “The Econometrics of Financial Markets” Princeton University Press, 1997
En este capítulo se ha definido un portafolio de inversión como aquel que está
compuesto por diversos instrumentos de inversión, en los cuales se invierte ciertaproporción de una cantidad total de dinero, llamado monto de la inversión. Hansido analizados cada uno de las partes elementales a considerar para realizar unainversión, principalmente el riesgo y el rendimiento de los instrumentos deinversión.
Se ha mostrado mediante tres situaciones diferentes como es que el riesgo yrendimiento del portafolio efectivamente depende de las características de losinstrumentos que lo componen, así como también se muestra un desglosematemático de la manera en que el riesgo y rendimiento son calculados.
En la última parte, de manera muy sencilla se describe que existen otros métodosalternativos para realizar la medición del riesgo, sin embargo por su sencillez sedecidió trabajar con el modelo de Markowitz.
En el Capítulo II se ha visto la forma en la cual es posible determinar el riesgo yrendimiento tanto de instrumentos individuales de inversión como de portafolios
de inversión.
Este capítulo se enfoca a determinar la manera en que se puede obtener laproporción idónea a invertir en cada uno de los instrumentos considerados paraintegrar el portafolio de inversión, de tal manera que se maximicen losrendimientos para un cierto nivel de riesgo dado, precisamente el portafolio deinversión que permite esto es llamado “portafolio eficiente”.
El conjunto de portafolios eficientes en los cuales se maximizan los rendimientospara cierto nivel de riesgo dado, permiten obtener la frontera eficiente.
Para fines prácticos es analizado un portafolio integrado por sólo dosinstrumentos de inversión denotados por X y Y, donde a la proporción invertida enX se le llama “a”. Al hacer variar a la proporción “a”, tanto el riesgo como elrendimiento del portafolio cambiaran, esto nos permite obtener ciertas gráficas enlas cuales se puede observar muy claramente que existe un valor de “a” para elcual es posible obtener un riesgo mínimo en el portafolio. La forma de obtener elnivel de riesgo mínimo también será mostrada.
Como parte de este capítulo también se observará mediante una serie de gráficasla relación que guardan el riesgo-rendimiento del portafolio dependiendo del valorque tenga el coeficiente de correlación. Para realizar esto se tomarán primero los
puntos extremos del valor de correlación, es decir: 1xy =ρ y 1xy −=ρ ,posteriormente se toman valores intermedios, que realmente son los quecomúnmente suceden.
Si se observa la gráfica 3.1 se puede ver que existen ciertos portafolios que sonpreferibles sobre otros. Lo deseable es seleccionar aquel portafolio que
proporcione el mayor rendimiento posible, para un nivel de riesgo dado, de estamanera es preferible el portafolio A sobre el portafolio B, es preferible el portafolioC sobre el E, pues al mismo nivel de riesgo, la selección y la proporción de lainversión en los instrumentos de inversión del portafolio C presenta mayorrendimiento. También es preferible el portafolio C sobre los portafolios D y E.
Gráfica 3.1.Portafolios preferibles.
Sin embargo la selección entre los portafolios A y C no resulta del todo sencilla,pues al tener mayor rendimiento en el portafolio C también se incurre en mayorriesgo, la elección entre estos portafolios dependerá de las preferencias delinversor y de su aversión al riesgo. Si no existe otro portafolio que para el mismonivel de riesgo proporcione mayor rendimiento que los portafolios A y C, entoncesse dice que los portafolios A y C se encuentran en la frontera eficiente. Para cadanivel de riesgo siempre existirá algún nivel máximo de rendimiento esperado(estos portafolios son los que se encuentran en la frontera eficiente), tal y comose muestra en la gráfica 3.2.
Referencia: Modern Portfolio Theory And Investment Analysis
Gráfica 3.2. Frontera Eficiente y Portafolios Ineficientes
Nótese que a mayor nivel de riesgo se tiene un mayor rendimiento esperado. Elproblema principal es por supuesto el determinar a aquellos portafolios que seencuentran en la frontera eficiente.
3.2 CÁLCULO DE LA FRONTERA EFICIENTE
La teoría de portafolios expuesta hasta el momento no es algo nuevo, de hecho elpionero de esta teoría fue presentada por Markowitz14 hace más de 50 años, en1956.
En el capítulo anterior se ha establecido la manera de determinar el rendimientoesperado y el riesgo de un portafolio de inversión. Para calcular el rendimientoesperado de cualquier portafolio de inversión se empleó la fórmula 2.5
iRwRn
1iip ×= ∑
=
14 Nació el 24 de agosto de 1927 en Chicago. Cursó estudios en la Universidad de Chicago, donde se doctoró en 1954.Trabajó desde 1952 hasta 1963 en la Rand Corporation, y posteriormente se incorpora a la Universidad de Yale. Sucontribución básica es la "teoría de la elección de cartera". Planteó un modelo para la elección de una cartera de valores encondiciones de incertidumbre en el cual reducía aquélla a un dilema bidimensional: el ingreso esperado y la varianza. Elriesgo no depende sólo del riesgo aislado de cada valor, sino de la aportación de cada uno al total, así como de lascorrelaciones (covarianzas) de cada valor con los demás. Como los ingresos también se encuentran correlacionados, no esposible eliminar el riesgo por grande que sea la cartera. Fue profesor en la City University of New York, obtiene el PremioNobel de Economía en 1990, compartido con Merton M. Miller y William F. Sharpe por su trabajo pionero en la teoría de laeconomía financiera.http://buscabiografias.com/cgi-bin/verbio.cgi?id=8951, (29/03/08)
Mientras que para el cálculo de la desviación estándar mediante la cual se mideel riesgo del portafolio se estableció la fórmula 2.12
jicon ≠+= ∑∑∑= ==
,σwwσwn
1i
n
1 j
ij ji
n
1i
2i
2i
2pσ
Estas fórmulas establecen los datos necesarios para poder realizar el análisis delportafolio, se requiere obtener el rendimiento promedio de cada uno de losinstrumentos de inversión iR que se están considerando para integrar elportafolio. También es necesario obtener la varianza de cada uno de estosinstrumentos 2
iσ para lo cual por supuesto se requiere de datos históricos de losrendimientos de dichos instrumentos de inversión.
Posteriormente es necesario calcular para cada par de instrumentos de inversiónconsiderados para integrar el portafolio, la covarianza entre éstos. El número de
cálculos necesarios para obtener todas las covarianzas crece considerablementemientras más instrumentos de inversión se incluyan en la posible selección. Elnúmero total de cálculos requeridos para obtener las covarianzas si se consideranN instrumentos de inversión serían: (N2 – N)/2 ó bien factorizando N se tendríaN(N–1)/2, esto se deduce por medio del siguiente análisis.
En la tabla 3.1 se representa mediante las covarianzas que son necesariascalcular considerando sólo 5 instrumentos de inversión.
Tabla 3.1 Cálculos de covarianza
Los valores que se encuentran en la diagonal principal son aquellos que
corresponden a ij con i =j, lo cual se mostró en el capítulo anterior que son losvalores que corresponden a las varianzas de los instrumentos, y los valores quese encuentran bajo la diagonal principal no son necesario calcularlos puesto que
ij = ji, por lo tanto al total de entradas de la matriz es N2 se le resta el númerode entradas de la diagonal principal, entonces se tiene N2-N con lo cual seobtiene el total de datos que están fuera de la diagonal principal, de los cualessolo es necesario calcular ya sea la parte superior ó la parte inferior por lo que sedivide entre dos. Es decir, el número de cálculos necesarios de covarianzas para
cuando se analizan 5 instrumentos es (N2 – N)/2 = (52-5)/2 = 10, los cuales semuestran en la tabla 3.1.
Ahora supóngase que se toman a consideración 200 instrumentos de inversión,esto requerirá de un total de 200(200-1)/2 = 19,900 cálculos para determinar
todas las covarianzas de cada par de instrumentos. En un principio el número decálculos necesarios para aplicar el modelo de Markowitz fue una gran limitante,no obstante hoy en día existen varios programas que facilitan dichos cálculos. Asíque ahora el problema principal se centra en obtener la proporción de la inversiónque se destinará a cada uno de los instrumentos de inversión considerados, de talmanera que se maximice el rendimiento esperado para un nivel de riesgo dado, ode manera equivalente para un nivel de rendimiento deseado se buscadeterminar la proporción de la inversión que se destinará a cada uno de losinstrumentos de inversión considerados de tal manera que se minimice el riesgo.Dichas proporciones pueden calcularse mediante la solución de los siguientesmodelos cuadráticos.
a) Max iRwRn
1iip ×= ∑
=
Rendimiento del portafolio
sujeto a:
1) jiconcte ≠=+= ∑∑∑= ==
,σwwσwn
1i
n
1 jij ji
n
1i
2i
2ipσ Riesgo del portafolio
2) ∑=
=n
1iiw %100
3) 0w i ≥ Restricción de signo. Esto indica que no se permiten las ventas encorto15.
La otra alternativa que se tiene se muestra en el siguiente modelo.
b) Min ∑∑∑= ==
+=n
1i
n
1 jij ji
n
1i
2i
2ip σwwσwσ Riesgo del portafolio
sujeto a:
1) cteiRwRn
1iip =×= ∑
=
Rendimiento del portafolio
2) ∑=
=n
1iiw %100 Restricción presupuestaria.
3) 0w i ≥ Restricción de signo.
15 Las ventas en corto se pueden considerar como ventas a crédito, por lo que se vende algo que no se tiene, esto daríaorigen a valores negativos para las proporciones invertidas en los activos
Restricción presupuestaria. (el monto total de la inversióndebe ser distribuido en los instrumentos)
El modelo de Markowitz supone que el rendimiento obtenido históricamente semantendrá para el siguiente periodo, así como la varianza y la covarianzaobtenidas para los instrumentos de inversión también se mantendrán para unfuturo. Para obtener los valores del rendimiento y la varianza de cada uno de losinstrumentos de inversión es necesario establecer un marco temporal para los
datos históricos (periodo a considerar dentro del cual se obtendrán los datoshistóricos).
Supóngase que se toma el primer modelo presentado y se va variando laconstante que representa el nivel de riesgo, obteniendo al resolver el programa elconjunto de proporciones wi que maximizan el nivel de rendimiento esperado
para cada nivel de riesgo dado, de esta manera las parejas obtenidas (p, pR )
son los portafolios que se encuentran en la frontera eficiente, esto se representamediante la gráfica 3.3.
El conocer la frontera eficiente para el inversionista es ventajoso, puesto que deacuerdo a sus preferencias o aversión al riesgo elegirá su portafolio óptimo.
La solución a este tipo de modelos hoy en día puede realizarse con diversospaquetes, los cuales son relativamente sencillos de utilizar, tales como Lindo,Lingo, incluso Excel presenta una opción llamada Solver que también permiteobtener la solución a los modelos presentados.
El modelo de Markowitz presenta la ventaja de que tanto analistas de inversiones,administradores de portafolios (instituciones como casas de bolsa ó sociedadesde inversión) e incluso inversionistas particulares pueden emplear dicho modelo,pues hoy en día el software disponible facilita grandemente los cálculos.
Gráfica 3.3. Niveles máximos de rendimiento de distintos portafolios.
Por lo tanto el modelo empleado para determinar el portafolio óptimo es:
3.4 EL MÍNIMO RIESGO DEL PORTAFOLIO
En la Tabla 3.2 se muestra rendimientos históricos de los instrumentos X y Y.Para estos instrumentos se hace variar las proporciones invertidas (Peso) encada activo, recordando que ∑wi = 1 ó bien ∑wi = 100%, para cada valor de “a”(proporción invertida en el activo X) se obtiene el rendimiento del portafolio con suriesgo respectivo. Ver anexo 1.
La tabla 3,3 muestra el rendimiento y el riesgo del portafolio para cada valor de“a”. De esta tabla se realizan diferentes gráficas, de las cuales se presentanobservaciones importantes Se grafica primeramente la proporción “a” contra elrendimiento obtenido en el portafolio (la proporción invertida en el activo Y porsupuesto es 100% – a). (Gráfica 3.5). Se grafica la proporción “a” contra el riesgodel portafolio (Gráfica 3.6). Por último se muestra la gráfica de rendimiento contrariesgo y la de correlación entre los instrumentos (Gráfica 3.7 y 3.8respectivamente)
Tabla 3.2 Datos históricos de dos instrumentos x, y
Inst. Rendimientos = riesgo varianza iR xyσ
x 0.11 0.09 0.25 0.07 -0.02 0.0872 0.00760 0.10-0.0024
X Y pR % p % 0 100 8 8.4110 90 8.2 7.3320 80 8.4 6.3850 50 9 4.9760 40 9.2 5.2180 20 9.6 6.62100 0 10 8.72
En la gráfica 3.5 se puede observar que el nivel del rendimiento del portafolioaumenta conforme se va incrementando la proporción invertida en el instrumentoX, sin embargo el elegir la proporción idónea depende también de lo que sucede
con el nivel de riesgo. En la gráfica 3.6 se aprecia como cambia el riesgo según laproporción invertida
La relación que tiene el nivel de riesgo con respecto a la proporción invertida noes una relación lineal, y en la gráfica 3.6 se puede observar que existe un valor de“a” para el cual se obtiene un nivel de riesgo mínimo. Aquí también se puedeobservar que existen dos proporciones diferentes para las cuales se obtiene elmismo nivel de riesgo.
En la gráfica 3.7, cada punto representa una diferente proporción invertida en elinstrumento x, la línea sólida representa todas las combinaciones posibles de estaproporción, y nuevamente aquí se observa que existe un nivel de riesgo mínimo.A continuación se mostrará la manera de obtener la proporción “a” con la cual seobtiene este nivel de riesgo mínimo.
Tomando la expresión para calcular el rendimiento esperado de un portafoliodonde se consideran sólo 2 instrumentos de inversión, tenemos:
2211
2
1iip RwRwiRwR +== ∑=
Para fines prácticos las proporciones respectivas se tomarán como a y b y elpromedio de los rendimientos de los instrumentos se denotan como x y y
ybxapR +=
Considerando que a y b son proporciones invertidas en dichos instrumentos queson complementarias, es decir a + b = 1, se puede escribir a “b” en función de “a”,es decir: b = 1 – a, entonces el rendimiento esperado del portafolio puede ser
expresado mediante la ecuación 3.2:
y)a1(xapR −+=
El coeficiente de correlación fue definido en el capítulo anterior, la manera decalcularlo es mediante la fórmula 2.9
Ahora se está haciendo referencia a los instrumentos mediante “x” y “y”.
De aquí que la covarianza pueda escribirse como:
y x xy xyσ σ σ =
La expresión empleada para calcular la varianza del portafolio cuando seconsideran sólo dos instrumentos es la 2.8, en esta expresión también sereemplaza la proporción w1 por “a” y la proporción w2 por b, así como lacovarianza se sustituye con la expresión anterior, se tiene:
y x xyabba σ σ 2w2www 2
y22
x2
2122
2
221
2
12p σσσσσσ 12 ++=++=
Pero como b = 1-a se tiene:
y x xyaaaa σ σ ρ )1(2)1( 2
y22
x22
p σσσ −+−+=
El mínimo riesgo se puede obtener con la mínima varianza del portafolio, la cualpara fines prácticos se han considerado sólo dos instrumentos y se determinamediante la expresión 3.4. Esta expresión es útil en muchos sentidos, pues paraanalizar el comportamiento del portafolio no es necesario conocer la covarianza
entre los instrumentos considerados pues al suponer el nivel de correlación entrelos instrumentos es posible obtener el comportamiento del portafolio en cuantoriesgo y rendimiento. Por el momento se empleará esta ecuación para calcular laproporción de “a” con la cual es posible obtener el mínimo riesgo.
Se determina el punto mínimo igualando a cero la primer derivada parcial conrespecto a “a”, tal y como se muestra:
Si se observa la gráfica 3.8, en la parte superior derecha se muestra el valor deR2, este valor es el cuadrado del coeficiente de correlación, es decir: R2 = 2
ij )ρ( =
(-0.33)2= 0.107. La interpretación de que este valor sea muy pequeño es la
siguiente: los puntos (Rx, Ry) se encuentran muy alejados de la línea de ajuste,esto indica que hay mucha dispersión entre los datos y un ajuste pobre. Mientrasmás cercanos estén estos puntos a la línea de tendencia R2 ≈ 1. Como R2 tieneun valor muy pequeño, esto indica que hay mucha variabilidad en los datos, asíque el rendimiento real del portafolio podría estar muy alejado del valor de pR , al
igual que la varianza real.
3.5 EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y LA TEORÍA DE PORTAFOLIOS
La expresión 3.4 ahora es utilizada para establecer la relación que existe entre losrendimientos esperados y el nivel de riesgo de los distintos portafolios, según elcoeficiente de correlación entre los instrumentos. Se sustituyen los valores de
1xy =ρ , 1xy −=ρ y 0xy =ρ en la expresión 3.4, y haciendo los cálculos respectivos
esta expresión es simplificada, así como también se sustituyen estos valores enla expresión 3.5 para determinar la proporción “a” con la cual se obtiene elmínimo riesgo.
3.5.1 Relación Riesgo-Rendimiento cuando ρxy =1
Ahora si se sustituye el valor de xyρ =1 en la ecuación 3.4, se tiene:
y xaaaa σ σ )1(2)1( 2y
22x
22p σσσ −+−+=
Esta expresión puede ser factorizada
2yx
2p ))1(( σσσ aa −+= Ecuación 3.6
Obteniendo la raíz cuadrada de ambos lados para determinar el riesgo delportafolio:
yxp σσσ )1( aa −+=
Nótese que tanto el rendimiento como el riesgo en un portafolio que tiene uncoeficiente de correlación igual a uno, ambas son funciones lineales.
La proporción “a” con la cual se obtiene el mínimo riesgo cuando xyρ = 1, se
obtiene sustituyendo este valor en la ecuación 3.5.
Esta información es suficiente para hacer variar a “a” (la proporción invertida en elinstrumento X) y obtener para cada valor de “a” el rendimiento del portafolio y suriesgo, empleando para esto la ecuación 3.1 y la ecuación 3.4 respectivamente.(Note que si se emplean estas ecuaciones no es necesario conocer el valor de lacovarianza entre los instrumentos de inversión cuando el nivel de correlación essupuesto). Los niveles de correlación que serán considerados son ρxy=1, ρxy=-0.33, ρxy=0 y ρxy=-1.
Los valores que se muestran en la tabla 3.6 se obtuvieron mediante el uso deExcel (Ver anexo 2). El valor del rendimiento esperado depende sólo de la
proporción invertida en cada instrumento y no del nivel de correlación entre éstos,por lo tanto no varía. La información de la tabla 3.6 es empleada para mostrargráficamente (gráfica 3.9) la relación que se tiene entre el riesgo y rendimiento delportafolio para diferentes niveles de correlación, y esto prevalece así paracualquier portafolio de inversión, sin importar el número de portafolios que seanconsiderados.
Tabla 3.6.Resumen Riesgo-Proporción para diferentes niveles de correlación.
Gráfica 3.9 Riesgo-Rendimiento para diferentes niveles de correlación.
De la gráfica 3.9 se puede apreciar que el portafolio no puede tener mayor riesgoque el que está determinado por la línea AB. El punto A representa el riesgo y elrendimiento del portafolio cuando se invierte 100% en X, el punto B cuando seinvierte el 100% en Y, la línea AB representa el rendimiento y riesgo para todaslas combinaciones posibles de la inversión cuando ρxy=1.
Cuando los instrumentos tienen una correlación perfectamente inversa, es decir,cuando ρxy=-1, la relación entre riesgo y rendimiento está determinada por la líneaABC, para este caso existe una proporción de “a” (cantidad invertida en el
instrumento X) con la cual se obtiene un riesgo cero. La línea AB tiene unapendiente positiva, mientras que la línea BC una pendiente negativa, esto debidoa que la varianza del portafolio cuando ρxy=-1 ( 2
yx2p ))a1(a( σσσ −−= ) puede
ser factorizada de la siguiente manera: [ ]yxp σσσ )a1(a −−±= . En este caso la
proporción de “a” para obtener un riesgo cero es:
( ) ( )%095.49
0841.00872.0
0841.0*yx
ya =+
==σσ
σ+
Sustituyendo este valor para determinar el rendimiento y demostrar que
efectivamente el riesgo es cero, se tiene:
%0)0841.0)(049095.01()0872.0(49095.0)1( yxp σσσ =−−=−−= aa
Los casos mencionados cuando ρxy=-1 ó ρxy=1, son casos extremos, usualmenteel valor del coeficiente de correlación está entre -1 y 1, es decir: -1<ρxy<1, y larelación que guarda el riesgo y rendimiento para estos instrumentos son las
líneas sólidas presentadas en la gráfica, las cuales siempre se encontrarán dentrodel triángulo delimitado por las líneas ABC, y serán siempre convexas, tal y comose aprecia en la gráfica 3.9.
En el presente capítulo se mencionó que la forma de obtener la proporción idóneaa invertir en cada uno de los instrumentos considerados para integrar el portafolio
de inversión, de tal manera que se maximicen los rendimientos para un ciertonivel de riesgo dado, es mediante la solución de un problema de programacióncuadrática.
Se definió que los portafolios que tienen el máximo nivel de rendimiento paraalgún nivel de riesgo dado son aquellos que se encuentran en la fronteraeficiente, la forma de determinar la frontera eficiente es variar la constante delmodelo y resolver el programa mediante las mismas n veces que se varía laconstante, obteniendo al resolver el programa el conjunto de proporciones wi quemaximizan el nivel de rendimiento esperado para cada nivel de riesgo dado, de
esta manera las parejas obtenidas (p, pR ) son los portafolios que se
encuentran en la frontera eficiente. Algunas formas de resolver modelos deprogramación cuadrática es mediante el empleo de ciertos software, tales comoLindo, Lingo, e incluso Excel mediante una herramienta que se llama Solver.Actualmente este tipo de paquetes han permitido que la aplicación del modelo deMarkowitz no presente el mayor problema en cuanto al número de cálculos quees necesario obtener para su aplicación.
En el siguiente Capítulo se planteará la manera de obtener la frontera eficientemediante el uso de Solver, y posteriormente la forma de obtener el PortafolioÓptimo.
En el Capítulo 3 se llegaron a algunas conclusiones importantes, tales como: alconsiderar ciertos instrumentos de inversión, los valores del rendimiento esperado
y el nivel de riesgo del portafolio dependen de la proporción del monto de lainversión destinada a cada instrumento, de tal manera que lo que interesa esdeterminar las proporciones idóneas para maximizar el rendimiento del portafolio.Precisamente éste es el principal objetivo de los portafolios de inversión,determinar la forma de obtener los máximos beneficios. En el presente capítulose presenta un modelo relativamente sencillo de aplicar que cubre este objetivo.
El modelo es desarrollado en Excel y requiere de conocimientos intermedios deluso de este paquete. La ventaja del modelo que es empleado para el cálculo delportafolio de inversión óptimo es que puede ser aplicado por cualquier persona,incluso por aquellos que no son especialistas en el tema de inversión.
Además Excel es un paquete de uso muy difundido que está en la mayoría de lascomputadoras.
En la explicación del funcionamiento del modelo se retoma la parte teórica paramostrar la congruencia de los cálculos y fórmulas introducidas.
El funcionamiento del modelo es probado empleando la información obtenida delejemplo desarrollado en el capítulo 3, y efectivamente es posible obtener lafrontera eficiente y posteriormente emplear ésta para el cálculo del portafolioóptimo.
Una vez definido el modelo y comprobado su funcionamiento, se puede aplicarsobre rendimientos reales de distintos instrumentos de inversión.
Cuando se consideran portafolios con N instrumentos de inversión la relaciónriesgo-rendimiento sigue siendo convexa, tal y como se mostró en el capítuloanterior considerando sólo dos instrumentos, la única diferencia es que alconsiderar N instrumentos de inversión, algunos de ellos se encontrarán (segúnlas proporciones destinadas a cada instrumento) en el interior de la líneadelimitada ABC (Véase gráfica 4.1).
Recuérdese que los portafolios que se encuentran en la frontera eficiente sonaquellos que están sobre la línea AB.
Finalmente se hace uso del programa llamado Geometer’s Sketchpad, el cual esun software de Geometría Dinámica para explorar matemáticas. En este programase introducen los cálculos necesarios que permiten obtener rendimientos delportafolio, se introducen 5 datos históricos para dos instrumentos de inversión,valores que se pueden variar y apreciar el comportamiento del portafolio y de lafrontera eficiente, así como también se puede variar dinámicamente la proporcióninvertida en cada uno de los activos. La ventaja que presenta este programa esque se pueden simular distintos comportamientos de los instrumentosconsiderados y apreciar lo que sucede con el portafolio de inversión.
4.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE LA FRONTERA EFICIENTE
El modelo que es necesario resolver para calcular la frontera eficiente es elsiguiente:
Max iRwRn
1iip ×= ∑
=
Rendimiento del portafolio
sujeto a:
1) jiconcte ≠=+= ∑∑∑= ==
,σwwσwn
1i
n
1 jij ji
n
1i
2i
2ipσ Riesgo del portafolio
2) ∑=
=n
1iiw %100
3) 0Wi ≥ Restricción de signo. Esto indica que no se permiten las ventas encorto
Este modelo puede ser resuelto en Excel, y requiere de un conocimientointermedio del uso de este paquete. Este modelo fue propuesto por GuillermoBuenaventura Vera y Andrés Felipe Cuevas, presentado como un artículo en larevista Estudios Gerenciales de Colombia, aunque este artículo también ha sidopublicado en Internet17. La ventaja que presenta este modelo es que es sencillo deaplicar aunque desafortunadamente la nitidez del documento no permite apreciarclaramente las fórmulas necesarias y tampoco se explica a detalle como es que elmodelo es congruente con la teoría de portafolios de inversión.
A continuación se presenta la explicación del modelo, se han introducido algunasmodificaciones en cuanto a las celdas donde son introducidos los datos históricos,esto con la finalidad de si se desea introducir más instrumentos de inversión serealice con facilidad. Dentro de la misma explicación del modelo se verifica lacongruencia de las fórmulas con la parte teórica. Como parte adicional severifican las limitaciones del modelo, para esto se emplea un software degeometría dinámica, él cual en su momento será explicado.
Es indispensable contar con datos históricos de los rendimientos de los activosfinancieros sobre los cuales se desea invertir. La explicación del modelo se haceconsiderando datos históricos de cuatro periodos y seis activos llamados X1, X2,X3….X6. Aunque para casos reales el número de periodos a considerar debe sermayor, en este caso se consideran sólo cuatro periodos para facilitar laexplicación.
Tabla 4.2. Cálculo del Promedio, Desviación y Varianza en Excel para “n”instrumentos.
Explicación de la tabla 4.2.
Las fórmulas empleadas para el cálculo de la media, la varianza y la desviaciónestándar se muestran en su respectiva columna. Estas fórmulas pueden serintroducidas manualmente como se muestra y posteriormente copiando dichafunción como señalan las flechas. Si los rendimientos históricos fueron
introducidos en forma porcentual, es necesario dividir entre cien, tal y como semuestra en la tabla 4.2, esto no será necesario sí los rendimientos históricosfueron introducidos en fracción decimal.
La fórmula promedio que se encuentra en la celda B19 considera todos los datoshistóricos del activo financiero X1 que se encuentran en el rango especificado (B7:E7). Al copiar esta fórmula hacia abajo también cambiará el rango de selecciónpasando del activo financiero X1 a X2 (B8: E8), y así sucesivamente.
La fórmula de desviación que se muestra en la celda C21 considera todos losdatos históricos del activo financiero X3 que se encuentran en el rango
especificado (B9: E9).La fórmula de varianza que se muestra en la celda D23 considera todos los datoshistóricos del activo financiero X5 que se encuentran en el rango especificado(B11: E11). Aquí cabe señalar que los teóricos de la teoría de portafolios difierenen considerar desviación y varianza muestral (que es la empleada en el modelo) odesviación y varianza poblacional.
Otra opción para introducir estas fórmulas es ir al menú insertar, función yseleccionar la categoría estadística (dentro de esta categoría se encuentran estasfunciones de interés: promedio (con el mismo nombre), desviación típica óestándar (como desvest) y la varianza (como var)), finalmente se debe seleccionarel rango de celdas donde se encuentran los datos históricos del activo financiero
para el cual se desea calcular estas funciones.
La tabla 4.3 muestra de manera general las fórmulas necesarias para obtenerriesgo y rendimiento del portafolio.
Tabla 4.3. Cálculo del Riesgo-Rendimiento en Excel para “n” instrumentos
Esta parte es un poco más complicada que la anterior, sin embargo no debequedar lugar a dudas de que las fórmulas que se están aplicando permitencalcular el riesgo del portafolio.
Con la finalidad de tener visible la última parte se presenta la tabla 4.4, cualquierduda sobre las celdas empleadas con anticipación, se puede recurrir a la tabla 4.3.
Tabla 4.4 Cálculo de Covarianzas en Excel para “n” instrumentos.
Explicación de la tabla 4.4
Es necesario trabajar con dos matrices como se muestra en la tabla 4.4 La matrizde la izquierda que tiene como encabezado segunda parte deberá contener cincocolumnas con la información de los activos financieros a analizar (celda A32), elpeso o proporción de estos activos (Celda B31), el promedio obtenido de losrendimientos históricos de cada uno de los activos (Celda C31), una columnallamada sumaproducto (Celda D32) y por último otra columna llamada Cálculo delriesgo (Celda E31).
Los valores de la columna peso son precisamente las incógnitas, las proporcionesde inversión en cada uno de los activos buscadas de tal manera que se maximicela rentabilidad del portafolio para un cierto nivel de riesgo dado. Sin embargo, elmodelo requiere en primera instancia de valores arbitrarios para cada W i de talmanera que la suma de éstas sea el 100%, es decir éste es el resultado que debearrojar la fórmula de la celda B39.
La columna promedio se refiere a la rentabilidad esperada de cada uno de losactivos financieros, sin embargo como estos ya fueron calculados, basta concopiar el primer dato como se muestra en la celda C33 y arrastrar la fórmula a lasceldas inferiores.
Debido a que jiij σ=σ 18 la matriz anterior se convierte en una matriz simétrica
como se muestra, donde los elementos de la diagonal principal están dados por2iii σ=σ 19 Estas propiedades de la covarianza hace que la sumatoria quede de la
siguiente manera:
26
26363626261616
2662233222
221212
16611331122121
21
6
1i
6
1 jij ji
wwwwwww
wwwwwww
wwwwwwwww
σ++σ+σ+σ
+++++
+σ++σ+σ+σ
+σ++σ+σ+σ=σ∑∑= =
K
MKMMM
K
K
Observe que en el primer renglón de la sumatoria al mantener constante i=1 yvariar j desde 1 hasta n (en este caso 6) es posible entonces factorizar w1, algosimilar sucede en el desarrollo de la sumatoria en el segundo renglón, i =2 semantiene constante y varia el valor de j, por lo tanto también es posible factorizaren este renglón w2, y así sucesivamente factorizar wi hasta que i =n. Al factorizar
wi desde i=1 hasta llegar a n, se tiene:
( )
( )
( )2663632621616
2662332221212
1661331222111
6
1i
6
1 jij ji
wwwww
wwwww
wwwwwww
σ++σ+σ+σ
+++++
+σ++σ+σ+σ
+σ++σ+σ+σ=σ∑∑= =
K
MKMMM
K
K
La función sumaproducto que se muestra en la celda D33 de la tabla 4.4
(=SUMAPRODUCTO($G$31:$L$31,G33:L33)) es un paso intermedio para eldesarrollo de la sumatoria mostrada. Esta función permite obtener la parte que semuestra entre paréntesis, multiplicando el rango de datos ubicados en las celdas$G$31:$L$31 (que son los valores respectivos de wi) por el primer renglón de lamatriz simétrica cuyos datos se encuentran en el rango G33:L33. Esta formula escopiada hacía las celdas inferiores manteniendo el rango de datos $G$31:$L$31
18 Esta demostración se realizó en el capítulo 2.19 Esta demostración se realizó en el capítulo 2.
Una vez activada esta herramienta es necesario posicionar el cursor en la celdadonde se encuentra la fórmula que calcula el rendimiento del portafolio, en la celdaC43, posteriormente seleccionar Solver del menú herramientas, desplegándoseentonces una ventana donde se requieren ciertos parámetros, que deberá serllenada como muestra el cuadro de dialogo de la figura 4.1
Figura 4.1 Cuadro de dialogo 1 de los parámetros de Solver
La celda $C$43 es introducida automáticamente, es necesario elegir la opción demaximizar, en cambiando las celdas se debe escribir el rango donde seencuentran los valores de wi que es de $B$33:$B$38, estos son los valores queserán determinados mediante Solver tales que el rendimiento sea el máximo. El
modelo está sujeto a las restricciones de riesgo a tolerar por el inversionista y aque la suma de las proporciones debe ser 100%. Estas restricciones pueden serintroducidas manualmente ó dando clic en Agregar. La restricción $B$39 = $B$41asegura que la suma de las proporciones será 100%, la restricción $I$43 = $D$45asegura que el riesgo del portafolio es igual al que el inversionista está dispuesto atolerar, ó bien, el valor del riesgo aquí introducido sólo es empleado paradeterminar los portafolios que se encuentran en la frontera eficiente.
Finalmente antes de dar clic en resolver debe dar clic en opciones y aparecerá elcuadro de dialogo de la figura 4.2 como el que se muestra:
Figura 4.2 Cuadro de Dialogo de las Opciones de Solver .
En el cuadro de opciones, los valores que se presentan para tiempo, número deiteraciones, precisión, tolerancia y convergencia, son valores predeterminados porExcel los cuales se consideran adecuados para la mayoría de los problemas. Si lodesea puede dar clic en Ayuda y obtener una breve descripción de cada uno deestas opciones.
Es importante activar la casilla de Asumir no negativos, ya que ésta viene siendola restricción de signo dentro del modelo, la cual indica que los valores de wi nopueden ser menores a cero.
El modelo a resolver es un modelo cuadrático paramétrico, por lo que debe serespecificado en las opciones de Solver. Posteriormente se da clic en aceptar yautomáticamente se presenta el cuadro de dialogo de la figura 4.1 y sólo resta darclic en resolver. Finalmente aparece el cuadro de dialogo de la figura 4.3, dondeen la parte superior dice si se han satisfecho todas las restricciones y porconsiguiente si se ha encontrado una solución. Debe estar seleccionada la casillade utilizar solución de Solver y dar clic en Aceptar.
Figura 4.3 Cuadro de Dialogo de los Resultados de Solver.
La solución del modelo se mostrará en el rango B33:B38, que son lasproporciones a invertir en cada uno de los instrumentos de inversión (activos) conlos cuales se obtiene el rendimiento máximo mostrado en la celda C43.
El modelo debe ser resuelto para diferentes niveles de riesgo, obteniendo así las
parejas ordenadas ( PR , p ) que se encuentran en la frontera eficiente. El cuadrode dialogo de la figura 4.2 sólo debe ser llenado la primera vez, posteriormentesolo es necesario variar el nivel de riesgo, posicionar nuevamente el cursor en lacelda donde se encuentra la fórmula que calcula el rendimiento del portafolio(celda C43), seleccionar Solver del menú herramientas y como ya han sidointroducidas las restricciones dar clic en aceptar en el cuadro de dialogo de lafigura 4.2 y verificar en el cuadro de dialogo de la figura 4.3 que la solución hayasido encontrada, dando clic nuevamente en aceptar, encontrando así la nuevasolución para dicho nivel de riesgo.
4.2 ANÁLISIS DEL FUNCIONAMIENTO DEL MODELO DE LA FRONTERAEFICIENTE
Considérense los rendimientos históricos de los instrumentos presentados en latabla 3.1, aplicando el modelo de la frontera eficiente se tienen los resultadospresentados en la tabla 4.7 (En este caso la desviación y la varianza que semuestran es la poblacional). Como los rendimientos históricos introducidos estánen fracción decimal, el promedio ya no es necesario dividirlo entre 100. Las
modificaciones al modelo fueron únicamente los rangos de selección, pues se hanconsiderado 5 periodos.
Para verificar que efectivamente funciona el modelo podemos tomar cualquiervalor de riesgo presentado en la tabla 3.3 y verificar que efectivamente seobtienen las proporciones mostradas en dicha tabla. Como ejemplo dé el valor de
p = 8.4142735871850620 y corra el modelo, efectivamente la proporción delmodelo será invertir 0 en el instrumento x1 y 100% en el instrumento x2.
Tabla 4.7 Comprobación del funcionamiento del modelo.
20 Recuerde que en la tabla 3.2 no fueron mostrados todos los decimales, en Excel usted decide cuantosdecimales serán mostrados.
Nótese que el modelo sólo presenta solución para los valores de riesgo que seencuentran dentro del intervalo [4.98, 8.72], y estos son los portafolios que seencuentran en la frontera eficiente, la cual se muestra en la gráfica 4.2
Gráfica 4.2 Frontera Eficiente aplicando el modelo.
FRONTERA EFICIENTE
8.4
8.6
8.8
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
10.2
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 8.72
RIESGO
R E N D I M I E N T
4.3 DESCRIPCIÓN DEL MODELO DEL PORTAFOLIO ÓPTIMOPara poder aplicar este modelo deben ser considerados instrumentos de riesgocero dentro del portafolio.
El modelo que es necesario resolver para determinar el portafolio óptimo es elsiguiente:
Maxpσ
r-pRθtan =
Sujeto a:
∑=
=n
1iiw %100
0Wi ≥
Al igual que el modelo anterior, este modelo puede resolverse empleando Solver,sólo es necesario emplear el valor de la tasa libre de riesgo ( r ) , introducir lafórmula para realizar el cálculo de la pendiente de la Línea del Mercado de
Capitales, la cual se desea maximizar m=(E(Rp) – r))/ p y finalmente aplicarSolver de manera similar al modelo anterior.
Introduzca la tasa libre de riesgo en la celda D46 (en este caso se representa porr), introduzca la fórmula de la pendiente en la celda D48, sustituyendo cadavariable por su celda respectiva, es decir en la celda D48 la fórmula introducidadebe ser:(C43-D46)/I43. Esto se muestra en la tabla 4.9.
Tabla 4.9 Cálculo del Portafolio Optimo empleando el modelo.
Para aplicar Solver debe posicionarse en la celda en la cual desea maximizardicha función, es decir, seleccionar la celda D48, activar el menú herramientas yelegir Solver, aparecerá el cuadro de dialogo que debe ser llenado como se
muestra (figura 4.4)
Figura 4.4 Cuadro de Dialogo 2 de los Parámetros de Solver
Las opciones de Solver deben ser llenadas tal y como se mostró en el cuadro dedialogo de la figura 4.2, finalmente se elige resolver y la solución mostrada en elrango B33:B38 son las proporciones que maximizan la pendiente entre elportafolio m (que se encuentra en la frontera eficiente) y la tasa de libre riesgo r.
A continuación se presentan varios casos en los cuales se determinan los valoresen los que el modelo daría la solución buscada, es decir, los portafolios que se
encuentran en la frontera eficiente. Para obtener las gráficas presentadas seempleó el programa llamado Geometer’s Sketchpad, el cual es un software deGeometría Dinámica para explorar matemáticas.
Para el cálculo del rendimiento del portafolio en cada caso fueron considerados 2instrumentos de inversión, considerando 5 datos históricos (ficticios), lo interesanteaquí es que se puede simular el comportamiento del portafolio, inclusoconsiderando situaciones extremas por ejemplo donde todos los rendimientos deun activo son negativos, o un activo repentinamente presenta una pérdidaconsiderable, etc. En la parte superior de cada gráfica se presentan losrendimientos históricos que fueron considerados para obtener dichas gráficas. Las
gráficas presentadas también son muy ilustrativas en el sentido que es posibleapreciar simultáneamente que existe una proporción “a” para la cual se tiene unnivel mínimo de riesgo, y efectivamente coincide con el punto Q. Se apreciatambién que la relación proporción rendimiento es lineal.
4.4.1 Primer Caso
Tabla 4.10 Primer caso de Análisis empleando Geometer’s SketchpadInstrumento Rendimientos iR V(X)
X 0.11 0.08 0.25 0.06 -0.01 0.10 0.0007
Y -0.04 -0.39 0.01 0.20 0.06 -0.03 0.0381Correlación -0.08Covarianza -0.0014
Gráfica 4.3 Gráfica de Geometer’s Sketchpad: primer caso
Para los instrumentos de inversión considerados el modelo solo funcionaría dentrodel intervalo (7.54, 10.34), si se dieran valores menores a 7.54 no habría solución,para los valores mayores a 10.34 aunque el modelo tiene solución, las solucionesencontradas para estos valores no se encontraran en la frontera eficiente. Sepuede apreciar que no para todos los niveles de riesgo sucede que a mayor riesgomayor rendimiento, esto sólo se cumple dentro de la frontera eficiente. La amplitud
del intervalo donde se encuentra la frontera eficiente dependerá de losinstrumentos de inversión considerados. Si al aplicar el modelo e ir aumentandolos niveles de riesgo, el rendimiento esperado disminuye en vez de aumentar, noquiere decir que el modelo no funcione, si no más bien ya se están dando valoresfuera de la frontera eficiente.
En este caso la proporción “a” con la cual se obtiene el nivel mínimo de riesgo esde 82.90%, y el nivel mínimo de riesgo es de 7.54%, con el cual el rendimientoesperado es de 7.47%, el máximo rendimiento que se puede obtener con estosinstrumentos de inversión es de 9.65% cuando se invierte el 100% en elinstrumento X, con un nivel de riesgo de 8.5%. En esta parte lo que se tiene que
evaluar es precisamente si el incremento de riesgo realmente presenta ventajasaceptables o significativas para el inversionista. Los últimos valores mencionadosde nivel de rendimiento máximo con su respectivo riesgo y la proporción invertidaen el instrumento X, pueden ser apreciados en la gráfica 4.4, como ya semencionó el programa Geometer’s Sketchpad es un software dinámico y permitevariar la proporción invertida en el instrumento X llamada “a” y simultáneamentever como varían gráfica y numéricamente el nivel de riesgo y rendimiento.
Gráfica 4.5 Gráfica de Geometer’s Sketchpad: segundo caso
En la gráfica 4.5 se puede observar que el punto T es el que representa el menornivel de riesgo y se obtiene con una proporción de 93.72% invertido en X,
simultáneamente este valor se observa en el punto V, el mínimo riesgo es de2.07% para este portafolio de inversión con un mínimo rendimiento esperado de6.09%. En comparación con el caso uno la correlación entre estos instrumentos esmás cercana a -1, y la ventaja de esto se puede observar principalmente en lafrontera eficiente, pues aquí el inversionista cuenta con un intervalo más ampliopara decidir sobre el riesgo que desea tomar, el riesgo del portafolio se encuentraentre los valores 2.07% y 24.54%, con el mínimo y máximo rendimiento esperadoposible entre los valores 6.09% y 9.18%, aunque el riesgo aumentaconsiderablemente a comparación del rendimiento esperado. En este caso elmodelo fuera del intervalo [2.07,24.54] no tendría solución.
Una conclusión importante es precisamente mostrar la importancia que tiene ladiversificación, el observar como se amplía el intervalo del riesgo al considerarinstrumentos de inversión tanto conservadores como mas riesgosos.
Por lo tanto, en este caso el modelo sólo mostrará solución dentro del intervalo[4.52, 7.5], el cual es un intervalo de longitud bastante pequeña. Para valoresdados que estén fuera del intervalo el modelo mostrará solución no encontrada.Las conclusiones que de aquí se obtienen son que aunque la aplicación del
modelo es relativamente sencilla lo complicado es encontrar el intervalo de losvalores de riesgo para los cuales el modelo presenta solución, ó para los cuales lasolución se encuentra dentro de la frontera eficiente.
En el anexo 3 presentado al final de la tesis se muestra el manual del programaGeometer’s Sketchpad mediante el cual fue posible obtener las graficaspresentadas anteriormente, como ya se ha mencionado éste es un softwaredinámico mediante el cual será posible observar el comportamiento del portafoliode inversión para distintos niveles de rendimiento. El programa aquí presentadopuede ser empleado didácticamente para el análisis de distintos casos.
4.5 MANUAL DEL SOFTWARE DIDÁCTICO QUE PRESENTADINÁMICAMENTE EL COMPORTAMIENTO DE UN PORTAFOLIO DEINVERSIÓN
Para poder emplear el software de geometría dinámica llamado Geomoter’sSketchpad, deberá abrir la carpeta llamada Sketchpad que se encuentra en el CD,y dar dos clic en el icono de Instalar Sketchpad, posteriormente se abre un cuadrode dialogo en el cual debe pulsar sucesivamente siguiente. La instalaciónrecomendada es la completa.
El presente software didáctico consta de dos partes, en la primera parte ustedpodrá observar como varía el coeficiente de correlación y la covarianza entre dosinstrumentos de inversión al poder manipular los rendimientos históricos, estavariación también podrá ser observada gráficamente. En la segunda parte, unavez que ya se han introducido los rendimientos históricos a considerar podrámanipular la proporción invertida en el instrumento X y observar gráficamente elcomportamiento del portafolio de inversión, donde se puede identificar losportafolios que se encuentran en la frontera eficiente.
Como el software sólo tiene una aplicación didáctica sólo han sido consideradosdos instrumentos de inversión con sus respectivos 5 rendimientos históricos.
Figura 4.6 Software Dinámico. Proporción Destinada al Instrumento X.
Figura 4.7 Presentación Gráfica del Comportamiento del Portafolio
En ocasiones la escala no será la adecuada para los niveles de rendimientosesperados, se tienen tres opciones de escala: polar, cuadrada y rectangular; se
recomienda emplear la escala rectangular. Para activar la escala rectangular debeactivar el menú graficar, posicionar el cursor en Forma de Cuadricula y activarRectangular, tal y como se muestra en la figura 4.8
Figura 4.8 Selección de coordenadas Rectangulares.
La forma de cuadrícula rectangular permite variar la escala de absisas yordenadas de manera independiente. En ambos ejes se puede observar en lascoordenadas (1,0) y (0,1) dos puntos graficados con los rótulos respectivos Ex y
Ey.(Vea la esquina inferior izquierda de la figura A3.3). No se recomiendamodificar la escala de las absisas (Ex), puesto que la escala propuesta permiteobservar la variación de la proporción invertida en X (llamada “a”) desde 0 hasta el100%. Pero si se desea se puede arrastrar el punto Ex hacía la izquierda parapoder observar más valores de X, ó a la derecha para reducir los valorespresentados. De igual manera arrastrando el punto Ey se puede modificar laescala del eje de las ordenadas, si éste punto es arrastrado hacía arriba la escalade los rendimientos es menor, y si se arrastra hacía abajo se podrán observarvalores mayores de rendimiento.
Cada que se modifica la escala se presentan una serie de rastros en la pantalla,
para limpiar estos se debe dar clic en el menú Presentar y Borrar Rastros, osimplemente pulsar simultáneamente las teclas Ctrl + B, como se muestra en lafigura 4.9
Si se desea conservar los datos que han sido introducidos, el programa sketchpadpermite duplicar paginas, así se podrá modificar la pagina duplicada sin que laoriginal cambie, para esto se debe activar el menú Archivo y posteriormente darclic en Opciones de Documento, aparecerá un cuadro de dialogo como el que semuestra en la Figura 4.10
Figura 4.10 Opción para duplicar hoja
La página que se duplica en este caso, según el ejemplo, es la página 3,posteriormente se da clic en aceptar y automáticamente aparecerá la página
Una vez que se está informado sobre cuales son los instrumentos de inversióndisponibles y se sabe con quien se debe acudir cuando se desea realizar unainversión, ahora el problema es cuál de todos estos instrumentos debe serseleccionado, y como lo que se desea es compensar los riesgos que tienen losrespectivos instrumentos de inversión, cualquier experto jamás recomendarla
invertir en un solo activo, sino mas bien realizar una selección de variosinstrumentos de inversión, los cuales en su conjunto forman un portafolio deinversión.
Lo más seguro si usted desea invertir es que acuda a gente especializada en elámbito de las inversiones, quien sin lugar a dudas le dirá este es el portafolio deinversión, que de acuerdo a sus expectativas mas le conviene. Obviamente ustedconfiará en el experto, sin embargo resulta realmente interesante el saber cual esel criterio que se toma para conformar un portafolio de inversión, cómo es que semide el nivel de riesgo de los instrumentos de manera individual y ya conformadoscomo un portafolio de inversión, cómo es que se decide qué proporción del monto
total de la inversión se debe destinar a cada uno de los instrumentosseleccionados.
La teoría de portafolios de inversión realmente es muy amplía, en esta tesis fueempleado sólo el método conocido como Modelo de Markowitz, el cual desde mipunto vista es uno de los métodos más sencillos, mediante el cual cualquierinversionista interesado en la Teoría de Portafolios puede adentrarse en el tema.
Fueron explicados los elementos básicos que se deben considerar cuando sedecide realizar una inversión, tales como el riesgo que se corre, el nivel derendimiento esperado, el plazo de la inversión, la liquidez, así como la importancia
que tiene el nivel de correlación existente entre los instrumentos consideradospara realizar la selección de éstos.
Se describió a detalle como es que el Modelo de Markowitz también conocidocomo media-varianza determina el riesgo de un instrumento y su rendimientoesperado, definiendo al riesgo como la probabilidad de que los rendimientosobtenidos sean distintos a los rendimientos esperados, es decir, la medición de laposibilidad de tener pérdidas. Las fórmulas de medición de riesgo y rendimiento deun solo instrumento posteriormente son generalizadas para el cálculo de ninstrumentos, lo cual sería el cálculo del riesgo y rendimiento de un portafolio deinversión.
Mediante distintas situaciones, en los cuales intervienen dos distintos instrumentosde inversión, cada uno con sus respectivos rendimientos, se hace notar que elriesgo se puede disminuir, en ocasiones considerablemente cuando se invierte enmás de un instrumento.
Sin embargo, el Modelo de Markowitz no es el único existente en lo que se refierea la teoría de Portafolios de Inversión, por lo que también se destinó un apartadodel Capítulo II donde se mencionan brevemente los métodos alternativos deMedición del Riesgo.
El Modelo de Markowitz determina a los portafolios eficientes. Un portafolioeficiente es aquel que para cierto nivel de riesgo dado, la proporción invertida encada uno de los instrumentos que conforman al portafolio, permite obtener elmáximo rendimiento, esto sugiere que existen otros muchos portafolios queconsiderando los mismos instrumentos de inversión, pero distintas proporciones,los rendimientos obtenidos son menores. El conjunto de Portafolios Eficientes seencuentran precisamente en la conocida como Frontera Eficiente, donde secumple que a mayor nivel de riesgo se tienen un mayor rendimiento esperado.
El modelo mediante en cual se determinan las proporciones idóneas, para algúnnivel de riesgo dado, de tal de maximizar los rendimientos esperados se puede
realizar mediante el uso de distintos programas, tales como Lindo, Lingo e inclusoExcel mediante la herramienta llamada Solver. Dichos programas permiten que laaplicación del Modelo de Markowitz no presente el mayor problema en cuanto alnúmero de cálculos necesarios.
Mediante el análisis del riesgo-rendimiento de dos instrumentos de inversión, sehizo variar la proporción invertida en uno de los instrumentos, a esta proporción sele llamó “a”. Como la suma de las proporciones invertidas en ambos instrumentosdeba sumar el 100%, es decir a + b = 100%, resulta que “b” se puede escribir enfunción de “a”, esto es b = 100% - a, esta consideración permitió obtener una seriede gráficas en las cuales se puede apreciar que existe cierta proporción “a” para lacual existe un nivel de riesgo mínimo.
También se analizó el comportamiento del portafolio de inversión suponiendodiferentes niveles de correlación entre los instrumentos y obteniendo la gráfica deéstos, de la cual se observa que un portafolio de inversión también tiene un nivelmáximo de riesgo.
Se decidió trabajar con un modelo (desarrollado en Excel), propuesto porGuillermo Buenaventura Vera y Andrés Felipe Cuevas el cual permite obtener losportafolios que se encuentran en la llamada Frontera Eficiente. La conveniencia deusar este modelo es que es sencillo de aplicar y requiere un conocimientointermedio del uso de Excel. Desafortunadamente la nitidez del documento originalno permite apreciar claramente las fórmulas necesarias y tampoco se explica adetalle como es que el modelo es congruente con la teoría de portafolios deinversión, por lo que fue necesario introducir algunas modificaciones en cuanto aforma, entre ellas, se propusieron diferentes celdas para la introducción de lasfórmulas necesarias, esto con la finalidad de que sí se desea introducir masinstrumentos de inversión se realice con mayor facilidad. Por supuesto quetambién se resuelve el problema de la nitidez y no queda lugar a dudas de loscálculos que se deben realizar, explicando éstos a detalle y verificando la
Accionistas: Propietarios permanentes o temporales de acciones de unasociedad anónima. Esta situación los acredita como socios de la empresa y los
hace acreedores a derechos patrimoniales y corporativos.Acciones: Partes iguales en que se divide el capital social de una empresa. Parteo fracción del capital social de una sociedad o empresa constituida como tal.Acciones comunes: Aquellas que, de acuerdo con los estatutos sociales de laemisora, no tienen calificación o preferencia alguna. Tienen derecho a votogeneral interviniendo en todos los actos de la vida de la empresa (tales comoelegir al consejo de administración o decidir las políticas de la empresa). Sólotendrán derecho a dividendos después de que se haya cubierto a las accionespreferentes. También se denominan acciones ordinariasAcciones Preferentes: Aquellas que gozan de ciertos derechos sobre las demásacciones que conforman el capital social de una empresa. Dichos derechos se
refieren generalmente a la primacía de pago en el caso de liquidación, así como ala percepción de dividendos. Se emite con un dividendo determinado que debepagarse antes de que se paguen dividendos a los tenedores de accionesordinarias. Generalmente no tienen derecho a voto.Acreedor: Persona que tiene acción o derecho para el cumplimiento o pago deuna cantidad u obligación.Activo Financiero: Son los valores: oro, dinero y créditos contra terceros, asícomo el nombre genérico que se le da a las inversiones mobiliarias (acciones,obligaciones, bonos, etc.)Activo Subyacente: Bien o índice de referencia, objeto de un Contrato de Futuroo de un Contrato de Opción, concertado en la Bolsa de Derivados. Los precios delos productos derivados son una función de los precios del valor de referencia.Estos pueden ser: acciones, un índice o una canasta accionaria.Administración del Riesgo: Es el proceso mediante el cual se identifica, se midey se controla la exposición al riesgo. Es un elemento esencial para la solvencia decualquier negocio. La administración de riesgos asegura el cumplimiento de laspolíticas definidas por los comités de riesgo, refuerza la capacidad de análisis,define metodología de valoración, mide los riesgos y, establece procedimientos ycontroles homogéneos.Ahorro: Es la cantidad monetaria excedente de las personas e instituciones sobresus gastos. También se denomina así a la parte de la renta que después deimpuestos no se consume, en el caso de las personas físicas; ni se distribuye enel caso de la sociedad. Es el ingreso no consumido, es decir la diferencia entre elingreso y el consumo. En una economía abierta debe considerarse el agregado delas transferencias netas del exterior o la sustracción de las transferencias netas alexterior. Para una economía cerrada el ahorro es igual a la inversión (ahorro einversión realizada en contraposición a ahorro e inversión deseada).
22 Para la realización de este glosario se consulto la siguiente página electrónica:http://www.cnbv.gob.mx/recursos/GlosarioA.htm
Ajustabonos: Bonos ajustables del gobierno federal. Instrumentos de crédito alargo plazo. Ajustables periódicamente según las variaciones del Índice Nacionalde Precios al Consumidor y liquidables al vencimiento.Almacenes Generales de Depósito: Organizaciones Auxiliares de Crédito,autorizados por la SHCP y bajo la Supervisión de la CNBV, que tienen por objeto
principal el almacenamiento, guarda y conservación de bienes o mercancíasdepositados en bodegas controladas por ellas y que cuentan con la facultadexclusiva para la emisión de Certificados de Depósito y Bonos Prenda. Pueden serautorizadas también para operar como depósitos fiscales.Asigna: Fideicomiso administrado por Bancomer S.A., identificado como Asigna,compensación y Liquidación, cuyo fin es el de compensar y liquidar contratos deFuturos y Contratos de opciones, y para actuar como contraparte en cadaoperación que se celebre en MexDer.Calificadoras de Valores: Instituciones independientes que dictaminan lasemisiones de instrumentos representativos de deuda, para establecer el grado deriesgo que dicho instrumento representa para el inversionista. Evalúan la certeza
de pago oportuno del principal e intereses y constatan la existencia legal de laemisora, a la vez que ponderan su situación financiera, Así mismo, se dedican aemitir calificaciones de instituciones financieras, productos derivados, compañíasde seguros, finanzas públicas y estructuradas, financiamiento de proyectos, riesgosoberano-país y calificaciones de sociedades de inversión.Cámara de Compensación: Organismo que en los mercados financieros ejerce lafunción de garante de todas las transacciones. La cámara se sitúa de eje de latransacción convirtiéndose en comprador frente al vendedor y en vendedor frenteal comprador.Casas de Bolsa: Intermediarios autorizados para realizar intermediación en elmercado bursátil. Se ocupan de las siguientes funciones: realizar operaciones de
compraventa de valores; brindar asesoría a las empresas en la colocación devalores y a los inversionistas en la constitución de sus carteras; recibir fondos porconcepto de operaciones con valores, y realizar transacciones con valores através de los sistemas electrónicos de la BMV, por medio de sus operadores.Colocación de valores: Es la venta efectiva de activos financieros, por la propiaentidad emisora, o a través de intermediación. Puede conceptuarse también comola actividad conducente a transformar los excedentes de ahorro invirtiéndolos enlos diferentes activos.Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV) : Órgano desconcentrado dela Secretaría de Hacienda y Crédito Público responsable de la supervisión yregulación de las entidades financieras y de las personas físicas, y demás
personas morales cuando realicen actividades previstas en las leyes relativas alsistema financiero, cuyo fin es proteger los intereses del público.Cupón Cero: Título de deuda emitido que no promete otro flujo de efectivo que elpago de su valor nominal en el vencimiento.
Opciones: (options). Una opción es un derecho de comprar o vender bienes comopueden ser acciones, mercancías básicas, divisas, etc., a un precio preestablecidodentro de un periodo predeterminado. Existen 2 clases de opciones de venta(option put) y opciones de compra (option call). Estas opciones se comercian tantoen Bolsa como en el Chicago Board Options Exchange, o en el Chicago Board of
Trade o entre un banco corredor y su cliente. Son utilizados para especular ycubrirse contra las variaciones inesperadas de tasas de interés internacionales yde tipos de cambio.Precio: (price). Es la cantidad de dinero anunciado públicamente, o bien,marcado, que se pide al comprador a cambio de un producto o servicio.Precio/valor en libros: (price/book value). Es el que se determina comparando elprecio de mercado de una acción entre el valor en libros por acción. Esta relaciónse usa mucho con objeto de analizar si el precio de mercado de la acción estáarriba o abajo del valor en libros. Si esta relación nos produce una cifra inferior a launidad, significa que la acción esta vendiendo con “descuento” respecto de suvalor en libros.
Rentabilidad: (performance). La rentabilidad es histórica y no representaganancias futuras. Los rendimientos de la inversión y el valor del principal varía yel inversionista puede obtener ganancias o pérdidas cuando sus acciones sonvendidas.Riesgo financiero: (Financial risk). Riesgo financiero para un inversionista es laincertidumbre que le presenta aportar recursos a una inversión y no tenerseguridad sobre la cantidad que podrá obtener de regreso. En otras palabras,riesgo en la variabilidad del rendimiento esperado. Un inversionista que tiene unmismo rendimiento esperado tendrá que escoger la inversión de menor riesgo.Una inversión riesgosa, para atraer mas recursos, tiene que ofrecer un mayorrendimiento.Tasa de interés activa: (interest rate on loans). La tasa cobrada por la banca enlos créditos otorgados a sus clientes.Tasa de interés neta: (net interest rate). Equivale a la tasa de interés pasivadescontando la retención de los impuestos correspondientes.Tasa de interés nominal: (nominal interest rate). Aquella tasa de interés que seofrece en diversos instrumentos bancarios y no implica reinversión de intereses.Los interésese pagan mensual o periódicamente a los cuentahabientes. Estetérmino se utiliza también para indicar que la tasa de interés no ha sido ajustadapor efecto de la inflación.Tasa de interés real: (effective interest rate). Es la relación que existe entre elcosto de los recursos usados (comisiones, intereses, etc.) y la cantidad de dinerorealmente disponible. Tasa pagada o ganada después de restarle la tasa deinflación.Tasa de rendimiento: (Rate earned). Porcentaje que, aplicado al monto deinversión. Muestra la ganancia de la inversión.Tasa de rendimiento interna (TRI): (internal rate of return). Es la tasa que segana en una proposición de inversión, siendo la tasa de interés la quecorresponde con la inversión inicial (1) con el valor actual (VA) de futuras entradasde efectivo, es decir, a la TRI, 1 = VA, o bien, VAN (valor actual neto) = 0. Deacuerdo con el método de la tasa de rendimiento interna, la regla de decisión es:
Aceptar el proyecto si la TRI excede el costo de capital; de otra manera, rechazardicha proposición.
Tasa libre de riesgo: (Risk free rate). Rendimiento que se devenga con unacertidumbre total, no tiene riesgo alguno. Se dice que es una tasa libre de riesgoporque es una obligación directa del gobierno y, además, por ser a corto plazominimiza los riesgos de inflación de cambios en las tasas de interés.TIIE: Acrónimo de Tasa de Interés Interbancaria Promedio. (average Interbankingequilibrium interest rate). Tasa de interés a distintos plazos, calculada por el Bancode México con base en cotizaciones prestadas por las instituciones de bancamúltiple mediante un mecanismo diseñado para reflejar las condiciones delmercado de dinero en moneda nacional.UDIS: Acrónimo de Unidades de Inversión (Investment Units). La unidad deinversión UDI es una unidad de cuenta de valor real constante, en la que pueden
denominarse tanto títulos de crédito, excepto cheques y en general contratosmercantiles u otros actos de comercio. Su valor lo publica diariamente el Banco deMéxico en el Diario Oficial de la Federación. Su valuación es motivada por lainflación.Valor nominal: (Nominal value). Es el precio que aparece en los títulos de créditoen el momento de su emisión, como expresión de parte del capital contable querepresente y como antecedente para definir el precio de suscripción. En los títulosde deuda, el valor nominal es el valor del título a vencimiento. Sinónimo de valor ala par.Volatilidad: (Volatility). Cálculo de la tendencia de un título a subir o bajar deprecio basado en su trayectoria de precios diarios de los últimos doce meses. Lostítulos con mayor volatilidad tienden a mostrar mayores fluctuaciones en susprecios que los de menor volatilidad. Sinónimo de riesgo.
La fórmula introducida en la celda G7 para calcular el Riesgo es: =DESVESTP(B7:F7), y es coLa fórmula introducida en la celda H7 para calcular la Varianza es: =VARP(B7:F7), y es copiadLa fórmula introducida en la celda I7 para calcular Rendimiento es: =PROMEDIO(B7:F7), y es
En la celda K7 se introduce la proporción de la inversión destinada al instrumento X, denotad
valor que se varía para obtener de manera automática el rendimiento del portafolio y su riesgo
En la celda K8 se encuentra la proporción de la inversión que se destina al instrumento Y,=100-K7 valor que se obtiene automáticamente, y como se puede observar la suma de las prop
La fórmula introducida en la celda K9 es: =SUMAPRODUCTO(I7:I8,K7:K8), esta fórmula obrendimientos y sus respectivos pesos (proporciones), y presenta la suma de estos productos.
−= , como todos estos datos ya son conocidos basta con
reemplazar cada variable por su celda respectiva. La fórmula introducida en lacelda es: =(H8-N10*G7*G8)/(H7+H8-2*N10*G7*G8).
Para obtener la tabla 3.2, se requirió únicamente cambiar los valores de la celdaK7, y registrar el rendimiento y riesgo obtenido para dicha proporción.
Los rendimientos ordenados solo fueron empleados con la finalidad de realizar lagráfica de correlación entre los instrumentos, y la parte sombreada se analizarácon más detalle en el próximo capítulo.
ANEXO 2.Tabla A2 Cálculo del riesgo para diferentes niveles de correlación.
Para obtener los cálculos de la tabla 3.6 la información que debe ser introducidaes el nivel de riesgo y el de rendimiento. El dato que se varía es el de laproporción “a” para un nivel de correlación dado.
La fórmula empleada en la celda C7 para el cálculo de la varianza es: =B7*B7, yes copiada a la celda inferior.
El valor de la celda F8 varía automáticamente al variar el valor de “a”,introduciendo la fórmula: =100-F7.
Para el cálculo del rendimiento esperado del portafolio, en la celda F9, seintrodujo la fórmula: =SUMAPRODUCTO(D7:D8,F7:F8), esta fórmula obtiene elproducto entre los rendimientos y sus respectivos pesos (proporciones), ypresenta la suma de estos productos.
La fórmula empleada para el cálculo del riesgo en la celda combinada H7 fue:=(F7^2*C7+(100-F7)^2*C8+2*F7*(100-F7)*G7*B7*B8)^(1/2). Para introducir estafórmula se empleó la ecuación 3.4:
y x xyaaaa σ σ )1(2)1( 2
y22
x22
p σσσ −+−+= .
Finalmente el valor de “a*” (la proporción que proporciona el mínimo riesgo delportafolio) se determina con la fórmula en la celda D12: =(C8-G7*B7*B8)/(C7+C8-2*G7*B7*B8). Para introducir esta fórmula se empleó la ecuación 3.5:
y
y
xxy2y
2x
xxy2y
2*
σσ
σa
σσρσσρ
−+
−= como todos estos datos ya son conocidos basta con
