Probabilidade e Estatística Básica:Um curso para inocentes com o

companheiro R Ministrado por um bobo.

Teoria da Estimação

Sérgio Mário Lins Galdino

Estimativas não-tendenciosos e Estimativas Eficientes

Estimativas pontuais e Estimativas Intervalares

Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População

Intervalos de Confiança para Médias Intervalos de Confiança para Proporções Intervalos de Confiança para Diferenças e

Somas

Agenda

Uma estimativa é não tendenciosa quando a média ou esperança da estatística é igual ao parâmetro da população.

Quando duas estatísticas da distribuição amostral tem mesma média, a estatística coma menor variância é a mais eficiente.

Estatística eficiente e não tendenciosa nem sempre é possível

Estimativas não-tendenciosos e Estimativas Eficientes

Um estimador pontual de um parâmetro populacional é dado por um único valor.

Um estimador intervalar de um parâmetro populacional é dado por dois números (limites inferior e superior) no qual o parâmetro é considerado pertencer.

Exemplo: Temperatura: 28ºC (pontual) Temperatura: 28±2 (intervalar)

Estimativas pontuais e Estimativas Intervalares

Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População

Sejam s e s a média e o desvio padrão (erro padrão) da distribuição amostral de uma estatística amostral S. Assumindo S normalmente distribuída ( n ≥ 30, lei dos grandes números). Espera-se encontrar S nos intervalos

s ± s , s ±2 s e s ± 3s em cerca de 68,27%, 98,45% e 99,83% das vezes.

Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População

Os números extremos dos intervalosS1.96s e S2.58s, são chamados limites de confiança 1- 95% e 99% (ou 0.95 e 0.99). Os números 1.96, 2.98, etc. são os valores críticos (zc).

Exemplo: > LC= 0.95> ZC = qnorm(1 - (1-LC)/2)> ZC[1] 1.959964

Limite de confiança

99 98 96 95 90 80 50

zc 2.58 2.33 2.05 1.96 1.645 1.28 0.6745

Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População

O limite de confiança (1-)100% onde [0, 1] (LC = 1- ) pode-se determinar um z com∗

P (−z∗ < z < z∗) = 1 − α

z∗ é chamado de z1−α/2 . Em R ele é calculado pela função qnorm

> alpha = c(0.01,0.02,0.04,0.05,0.10,0.20,0.5)> zasterisco = qnorm(1 - alpha/2)> zasterisco[1] 2.5758293 2.3263479 2.0537489 1.9599640 1.6448536 1.2815516 0.6744898>

Amostras grandes ( n ≥ 30). Os limites de confiança para a média da população

são

no caso de uma população infinita, ou por

no caso de amostragem com reposição de uma população finita,

Intervalos de Confiança para Médias

nZX C

1

NnN

nZX C

Exemplo: Encontre os limites de confiança de 95% e 99% de uma amostra de tamanho 30 com média 1.82 e desvio padrão amostral 0.17.

Resposta: Os limites de confiança de 95% são

> qnorm(1-(1-0.95)/2)*0.17/sqrt(30)[1] 0.0608326>

no caso de amostragem com reposição de uma população finita,

Intervalos de Confiança para Médias

06.082.13017.096.182.1

Os limites de confiança de 99% são

> qnorm(1-(1-0.99)/2)*0.17/sqrt(30)[1] 0.07994759>

Intervalos de Confiança para Médias

08.082.13017.058.282.1

Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.

Usa-se a distribuição T (t de Student) para obtenção dos limites de confiança.

Por exemplo -t0.95 e t0.95 são os valores de T para os quais 5% da área pertence a cada lado da distribuição T

Intervalos de Confiança para Médias

95.095.0 ˆ tnS

Xt

Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. pode ser estimado pertencer ao intervalo

com 95% de confiança. Os limites de confiança são

com tc obtido por tabela ou calculado

Intervalos de Confiança para Médias

nStX

nStX

ˆˆ975.0975.0

nStX c

ˆ

Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.

Exemplo: Os valores de tc em R são calculado pela função qt.

> qt(.975, df = c(1:10,20,50,100,1000)) [1] 12.706205 4.302653 3.182446 2.776445 2.570582

2.446912 2.364624 2.306004 2.262157 2.228139 2.085963

[12] 2.008559 1.983972 1.962339>

Intervalos de Confiança para Médias

Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.

Exemplo:x=c(175, 176, 173, 175, 174, 173, 173, 176, 173,

179)n=length(x)xm=mean(x)df=n-1tc=qt(0.975,df)delta.x=tc*sd(x)/sqrt(n)x.inf=xm-delta.xx.sup=xm+delta.x

Intervalos de Confiança para Médias

Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.

Exemplo(continuação)># Intervalo de confiança de 95%> x.inf[1] 173.3076> x.sup[1] 176.0924> # Média de x> xm[1] 174.7> xm/sd(x)*sqrt(10)[1] 283.8161>

Intervalos de Confiança para Médias

Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.

Exemplo(continuação)> t.test(x)

One Sample t-test

data: x t = 283.8161, df = 9, p-value < 2.2e-16alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 173.3076 176.0924 sample estimates:mean of x 174.7

>

Intervalos de Confiança para Médias

Suponha que a estatística S é a proporção de “sucesso” em uma amostra de tamanho n≥30 extraída de uma população binomial em que p é a proporção de sucessos (i. é., probabilidade de sucesso).

Os limites de confiança para a proporção da população são dadas por

para uma amostra de população infinita, ou uma amostra com reposição de uma população finita.

Intervalos de Confiança para Proporções

nppzP

npqzP cc

)1(

(continuação)

Os limites de confiança para a proporção da população são dadas por

se a amostragem é sem reposição , de uma população finita de tamanho N.

Intervalos de Confiança para Proporções

1

NnNzP

npqzP cc

(continuação) Exemplo: Uma amostra aleatória de 600 eleitores de certo

distrito eleitoral dá 55% como favoráveis a determinado candidato A. Determine limites de confiança para a proporção global de eleitores favoráveis ao candidato na base de 99%.

Os limites de confiança de 99% para população são

Conclusão: O candidato A está com 99% de chance para vencer as eleições

Intervalos de Confiança para Proporções

04.055.01000

45.055.058.255.0)1(58.2

nppPP PP

Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas

222121 2121 SScSSc zSSzSS

222121 2121 SScSSc zSSzSS

Se S1 e S2 são duas estatísticas amostrais com distribuições amostrais aproximadamente normais, a expressão

dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros populacionais, e

dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros populacionais, desde que as amostras sejam independentes.

No caso de populações infinitas

dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros

populacionais onde são as respectivas médias, desvios padrões e tamanhos das duas amostras populacionais.

Analogamente,

dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros populacionais, desde que as amostras sejam independentes.

Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas

222121

2121 XXcXXc zXXzXX

2

22

1

112121

)1()1(21 n

ppnppzPPzPP cPPc

22111 ,,,, 2 nXenX