CAPTULO 1 : CINEMTICA DE LA PARTCULA Movimiento Rectilneo Es el movimiento de un partcula a lo largo de una recta. Para definir este movimiento de 1 gdl debemos establecer su posicin por medio de : - Un punto fijo O llamado Origen sobre la recta de movimiento . - Una variable x llamada Coordenada de Posicin (1 gdl = # de variables para describir su movimiento) la cual mide la posicin de la partcula a lo largo de la recta desde el origen, esta variable x se define paralela a la trayectoria de la partcula P. x Recta de Movimiento

x (+) O P Si se conoce la coordenada de posicin x de una partcula en todo instante t : x = x(t) Se conoce el movimiento de la partcula . Ejem : x(t) = 3t4 + sen (t) , llamada tambin Ley de movimiento Ley horaria. Observacin : - x = x (t) representa POSICION (es decir coordenada) , NO representa distancia recorrida . En la realidad la coordenada de posicin x(t) no se obtiene directamente, mas bien lo que se obtiene de un anlisis inicial de la cintica (2da Ley de Newton) son los siguientes trminos matemticos :

xdtdx &= y x

dtxd &&=2

2

llamados velocidad instantnea y aceleracin instantnea respectivamente, integrando estos trminos podremos hallar entonces x(t). A continuacin se define estos trminos. Desplazamiento Expresin vectorial que se define como el cambio en la posicin ( x ) durante un intervalo de tiempo ( t )

x x

x

x (+) O PP Desplazamiento : rx x x= '

1

Velocidad Media Se define velocidad media ( vm ) como el cociente del desplazamiento (x) entre el intervalo de tiempo t : v x

tm= (m /s) S. I.

Velocidad Instantnea Se define como :

v lim v lim xt

dxdt

xt m t

= = = =0 0 & (m /s) S.I.

v dxdt

x= = & si x crece ( x > x ) v (+) si x decrece ( x < x ) v (-) Observacin : - Al MDULO de la velocidad (v) se le conoce como celeridad rapidez . Aceleracin Media Si se conoce la velocidad de la partcula en dos puntos , P y P : v= v + v v x (+)

P Pt + t

O t

La aceleracin media ( a m ) se define como :

a vtm

= ( m /s2 ) S.I.

Aceleracin Instantnea Se define como :

a ( m /slim a lim vt

dvdt

v d xdt

xt m t

= = = = = = 0 0

2

2& && 2 ) S.I.

a d xdt

x= =2

2 && Para el movimiento hacia la derecha : si v crece (v > v ) a (+) acelera si v decrece ( v < v) a (-) desacelera Para el movimiento hacia la izquierda: si v decrece (v < v ) a (+) desacelera si v crece ( v > v) a (-) acelera

2

Determinacin del movimiento de una partcula En la prctica , pocas veces est definido un movimiento mediante una relacin x (t) , es ms frecuente que las condiciones del movimiento las defina el tipo de aceleracin que gobierna a la partcula , Ejm :

&&x GMx

= 2 xkxm =&& xcxm &&& = En general la aceleracin de la partcula podr expresarse en funcin de una o ms variables x v y t . Se presentan 4 casos : 1) a = f (t) 2) a = f (x) 3) a = f (v) 4) a = cte. En cualquier caso para determinar la Ley de movimiento x (t) ser necesario integrar dos veces en donde podr presentarse integrales complejas . El caso 1 es trivial , para los casos 2 y 3 se tendr que hacer uso de la ecuacin diferencial : adx = vdv En el caso 4 se tiene : Movimiento Rectilneo Uniforme ( a = 0 )

dvdt

a= = 0 v = cte

dx vdtxo

x

o

t = tvxx o += Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado

dvdt

a cte= = integrando dos veces se tendrn las conocidas expresiones : tavv o += 221 tatvxx oo ++= entre las dos ecuaciones anteriores , eliminando el tiempo se tendr : )(222 oo xxavv +=

x M

m x x

a = f (velocidad) a = f (desplazamiento)

3

Movimiento Restringido (Holnomos) Son aquellos movimientos donde los cuerpos estn unidos por medio de ligaduras como por ejemplo cuerdas inextensibles y barras rgidas. En el grfico mostrado se puede observar que los desplazamientos de stos cuerpos estn relacionados, el movimiento de uno depende del otro.

h B sB

sA

A Se debe establecer un relacin entre las coordenadas de posicin de los cuerpos unidos por la ligadura, esta relacin puede obtenerse considerando que la longitud L de la ligadura permanece invariable durante el movimiento, entonces de la geometra del problema se deduce: 22 AB shsL ++= Con la expresin anterior podemos hallar una relacin entre las velocidades de estos cuerpos derivando la expresin respecto del tiempo:

22

0A

AAB

sh

sss ++=

&&

y para obtener una relacin de las aceleraciones, derivamos otra vez:

22

22

22222 )(

0A

A

AAAAAA

B shsh

ssshsss

s +++++=&&&&

&&

conociendo la posicin, velocidad y aceleracin de uno de los cuerpos en un instante dado se podr entonces hallar la velocidad y aceleracin del otro cuerpo. Observaciones: - Para obtener la expresin L = f ( coordenadas de posicin) la eleccin de las coordenadas de

posicin de los cuerpos deben ser elegidas convenientemente de tal manera de involucrarlas en expresiones matemticas conocidas, por ejemplo Teorema de Pitgoras, Ley de Cosenos, etc.

- Habrn tantas expresiones L = f ( coordenadas de posicin) como ligaduras haya.

4

Movimiento Curvilneo Este movimiento ocurre cuando una partcula se mueve describiendo una trayectoria curva sobre el plano, en este caso la partcula tiene 2 gdl se necesitarn 2 variables para describir el movimiento. Oxy : Sistema de referencia fijo r : r rr r t x y= =( ) ( , ) vector posicin define el movimiento de la partcula. r : r r rr r r= , desplazamiento . s : arco PP , s r= r Velocidad media

Se define como : r rv r

tm=

Velocidad instantnea

r r rv lim r

tdrdtt

= =0

r rv drdt

= : vector TANGENTE a la trayectoria . Mdulo de la velocidad (celeridad rapidez) :

v vdrdt

dx dydt

dsdt

= = = + =rr 2 2

v dsdt

= Aceleracin media Si se conocen las velocidades en P ( v ) y en P ( v = v +v ) entonces la velocidad media se define como :

r ra v

tmed=

Aceleracin instantnea

r r r ra lim v

tdvdt

d rdtt

= = =0

2

2

rr

a d rdt

=2

2

x

P

r

r r = r + r

Ps

Trayectoria y

O

5

Resumiendo :

rv

ra

rr

Ps

Po

y

Trayectoria

x r rr r t= ( ) : Vector posicin , llamado tambin Ley de movimiento . r rv dr

dt= : Vector velocidad instantnea o simplemente velocidad , es un vector tangente a

la trayectoria . r ra d r

dt=

2

2 : Vector aceleracin instantnea o simplemente aceleracin , dirigida siempre

hacia la concavidad de la curva . s = s ( t ) : describe la posicin de la partcula P medida a lo largo de la trayectoria desde un punto inicial Po.

Obteniendo el mdulo de la expresin vectorial r rv dr

dt= :

dtrd

vvr

r == : Mdulo de la velocidad, llamado tambin celeridad rapidez .

Recordando adems que ),( dydxrd =r dsdydxrd =+= 22r

dtdsv =

Observacin : Si derivamos la expresin anterior respecto del tiempo, lo que se obtendr ser una componente de la aceleracin total llamada componente tangencial de la aceleracin, como se ver mas adelante.

6

Componentes Rectangulares En ocasiones es posible describir mejor el movimiento de una partcula si se emplea un sistema de referencia fijo x-y , de sta manera la posicin de la partcula estar dada en todo instante por sus coordenadas cartesianas ( x , y ) y ser fcil de obtener la velocidad v y la aceleracin a de la partcula en sus componentes rectangulares simplemente derivando .

O

P

y

r

Trayectoria x : Vector posicin , generalmente depende del tiempo x = x (t) , y = (t)

),( yxjyixr =+=r

Derivando dos veces :

),( yxjyixdtrdv &&&&rr =+== ),(2

2

yxjyixdt

rda &&&&&&&&rr =+==

Un tpico caso de anlisis del movimiento de una partcula con coordenadas rectangulares es el : Movimiento de proyectiles

vo

y

Po (xo , yo) O x

Movimiento Horizontal .- Si se desprecia la resistencia del aire : a xx = =&& 0 (M.R.U.) a xx = =&& 0 cosovx =& tvxx oo cos+= Movimiento Vertical .- El peso causa una aceleracin : a y gy = = && (M.R.U.V.) a yy = = && g tgsenvy o = & 221 tgtsenvyy oo += Observacin: Si colocamos el origen de coordenadas O en el punto de lanzamiento Po y eliminando el tiempo t se tendr la siguiente ecuacin parablica :

222 cos2tan x

vg

xyo

=

7

Movimiento relativo a ejes en traslacin Existen casos en que la trayectoria del movimiento de una partcula es algo complicada describirla directamente , de modo que podra ser factible analizar su movimiento absoluto tomando dos marcos de referencia, uno de ellos fijo x-y (absoluto) y otro auxiliar en traslacin x-y (relativo) .

rB/ArB

rA A

B

y

y

x O x En la figura , la posicin ABSOLUTA de cada partcula A y B ( rA y r B respectivamente ) se determinan a partir del origen comn O del sistema de referencia fijo x-y . El origen del segundo sistema x-y se une a la partcula A y se desplaza con ella (este sistema solo se traslada) . La posicin RELATIVA de B con respecto de A se designa por medio de un vector de posicin relativo r B/A por medio de la suma vectorial es posible relacionar los tres vectores a partir de la ecuacin :

r r rr r rB A B A= + / derivando podremos obtener las relaciones de velocidades y aceleraciones :

r r rv v vB A B A= + /

r r ra a aB A B A= + / Observacin : Debido a que la suma vectorial forma un tringulo, podr resolverse en forma grfica por medio de la trigonometra ( ley de senos, ley de cosenos) , o bien descomponiendo cada uno de los tres vectores en sus componentes rectangulares o cartesianos .

8

Componentes Tangencial y Normal Llamadas tambin componentes intrnsecas o naturales porque relacionan el movimiento de la partcula con la geometra de su trayectoria .

P

+ d

y C d

eten

Pr

dr

O

C : centro de curvatura . : radio de curvatura . ds : arco PP (dr = ds = d ) et : vector tangencial unitario ,

tiene sentido (+) en el sentido de la velocidad.

en : vector normal unitario , tiene sentido (+) hacia C .

x Se sabe que la velocidad es tangente a la trayectoria : tevv

rr = ............... (1) derivamos (1) respecto del tiempo para hallar la aceleracin :

dted

vedtdv

dtevd

dtvda tt

trrrrr +=== )(

del grfico : jseniet cos +=r

derivando respecto del tiempo : )()cos(dsds

dtdjisen

dted t +=r

)(dsdve

dted

nt rr =

del grfico : dsd = dds

=1

ve

dted

nt r

r=

nt eve

dtdva rrr

2

+=

a dvdtt

= : aceleracin tangencial , modifica el y

mdulo de la velocidad (celeridad) .

a vn =2

: aceleracin normal , modifica la direccin de la velocidad .

anat

a

x

9

CAPTULO 2 : CINTICA DE LA PARTCULA En el captulo anterior se estudi los mtodos necesarios para formular la aceleracin de una partcula en trminos de su velocidad , posicin o del tiempo. En ste captulo se utilizarn esos conceptos al aplicar la 2da. Ley de Newton para estudiar los efectos provocados por una fuerza no equilibrada que acta sobre una partcula . 2da. Ley de Newton Si la fuerza RESULTANTE actuante sobre una partcula no es nula , la partcula poseer una aceleracin de mdulo proporcional al mdulo de esa fuerza resultante y con la direccin de sta . F1 F2

ma

< >

< >

Fi F = FiFn

amF rr =

: Resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula

rF

m : masa de la partcula . ra : aceleracin ABSOLUTA de la partcula , es decir medido respecto de un sistema de ejes fijos o con velocidad cte . Masa y Peso La masa es una cantidad de materia en un determinado volumen , se trata de una cantidad absoluta , ya que es posible medirla en cualquier lugar .Sin embargo el peso de un cuerpo no es absoluto porque se mide en un campo gravitacional y por lo tanto su magnitud depende del lugar donde se realiza la medicin . A partir de la expresin de la 2da Ley de Newton y de la ley que postul acerca de la atraccin mutua entre dos partculas cualesquiera es posible formular una expresin general para encontrar el peso W de una partcula : gmW = .

10

Momento Lineal La 2da. Ley de Newton puede escribirse de la siguiente manera :

dtvdmFrr =

si m es constante dt

vmdF

)( rr = ....... (*) el vector es el llamado momento lineal de partcula , conocido tambin como mpetu lineal o cantidad de movimiento . La ecuacin resultante luego de integrar (*) respecto del tiempo ser til para resolver aquellos problemas que involucren fuerza , velocidad y tiempo .

r rL m v=

Unidades Sistema de unidades empleado : Sistema Internacional ( S.I. ) Magnitudes Fundamentales Unidad Longitud metro (m) Masa kilogramo (kg) tiempo segundo (s) La unidad de Fuerza es una unidad derivada que recibe el nombre de Newton (N) y que por definicin , es la fuerza capaz de comunicar una aceleracin de 1 m/s2 a una masa de 1 kg : 1 (N) = (1 kg ) (1 m/s2 ) = 1 kg . m / s2 Ecuaciones de Movimiento Las ecuaciones de movimiento no son otra cosa que la 2da Ley de Newton descompuesta en sus componentes rectangulares o intrnsecas , segn con qu ejes se est trabajando :

y t n Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) Diagrama Cintico (DC) Componentes Rectangulares : Fx = m ax Fy = m ay Componentes Intrnsecas : Ft = m at Fn = m an

F1 m ayF2 m at x m an< > < >

m axFiFn

11

Equilibrio Dinmico De la 2da ley de Newton:

r rF m a=

m a F < > La 2da. ley de Newton puede expresarse como: 0

rrr = amF

F 0 < >

-m a Visto de este modo la partcula puede considerarse en equilibrio bajo las fuerzas dadas y el vector de inercia - ma . Se dice as que la partcula est en equilibrio dinmico y el problema en cuestin podr resolverse por los mtodos ya desarrollados en Esttica . Momento Angular El momento angular de una partcula respecto del punto O se define como el momento del momento lineal m v r de la partcula en torno de O y se denota como rHo . vmrH o

rrr = m v

r

y

x O Si derivamos respecto del tiempo :

rHo

amrdtvdmrvm

dtrd

dtHd o rrrrrr

=+=

pero: Fam rr = dHdt

r F Mo o

rr r r= =

dHdt

Mo o

r r= .

12

CAPTULO 3 : MTODO DE ENERGA Sabemos que : amF r

r = : Ecuaciones de Movimiento Multiplicando escalarmente por dr : rdamrdF rorro

r =

2

)(2

)( 2vdmvvdmvvdmrd

dtvdmrdamrdF =====

rorrorrorrorro

r

Integrando entre las posiciones 1 y 2 :

22

21

222

1

vmvmrdF

r

r= rr rov

Posicin 1 Posicin 2

rF

v1

v2

Donde : = 21

21

r

rrdFU

r

rro

r : Trabajo que realizan las fuerzas en llevar la partcula

desde la posicin 1 hasta la posicin 2 . Estas fuerzas aparecen en el DCL de la partcula en anlisis.

2

2i

ivm

T = : Ti es la Energa Cintica en la posicin i , vi es la velocidad ABSOLUTA en la posicin i .

U T1 2 2 1 T= : Teorema de la Fuerza Viva .

Unidades : kg mseg

kg mseg

m N m Joule = = =( ) ( )2 2

13

El mtodo del Trabajo y la Energa es til para resolver problemas que involucren: Fuerzas velocidades y desplazamientos . TRABAJO DE UNA FUERZA.- Definimos el Trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr como : dU F dr= r o r ( producto escalar ) Recordando la definicin de producto escalar : dU =F.ds .cos < 90 dU > 0 = 90 dU = 0 > 90 dU < 0 1) Trabajo de una fuerza variable

rF

= 2121 rr rdFUr

rro

r

drr Cuando F est definida por sus componentes rectangulares:

rr 2rr

),( yx FFF =r

dr dx dyr = ( , )

1rr += 2121 )( dyFdxFU yxF o tambin se puede trabajar en componentes tangencial y normal: Ft : Componente tangencial de F, Ft // dr s : mide la distancia recorrida por la partcula a lo largo de la trayectoria .

=== 21 21 2121 cosSS SS t dsFdsFrdFU ror

= 2121 SS tF dsFU

r rr dr+ rr

drr P1P2

ds dr= rr F

Cuando se tenga una fuerza variable, su trabajo se halla simplemente aplicando la definicin:

F

s

Fn

Ft

14

2) Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilneo F : mdulo , direccin y sentido constantes .

== 212121 coscos SSSS dsFdsFU )(cos 1221 ssFU F =

F

s2s1

3) Trabajo de la fuerza gravitatoria ( Peso ) ),0( gmF =r dr dx dyr = ( , )

== 212121 yymg dygmrdFU ror )( 2121 yygmU mg = (*)

x

y

mg y2

y

y1 N.R. 4) Trabajo de la fuerza aplicada por un resorte )0,( xkF =r dr dx dyr = ( , )

== 212121 xxk dxxkrdFU ror

)(2

22

2121 xx

kU k = (*)

Posicin sin deformar del resorte

y

F

x

x2

x1

x

(*) Observar que el trabajo de estas fuerzas NO dependen de la trayectoria sino nicamente de sus posiciones inicial y final .

15

Fuerza Conservativa ( FC ) Es aquella fuerza cuyo trabajo es independiente de la trayectoria que sigue la partcula , slo depende de su posicin inicial y final . Ejm : el Peso , Fuerza de un resorte elstico , etc. Fuerza No Conservativa ( FNC ) Es aquella fuerza cuyo trabajo depende de la trayectoria que sigue la partcula . Ejm : la Friccin , U1 2 f < 0 porque se opone al movimiento ( = 180 ) . Energa Potencial ( V ) Es la Energa que proviene de la posicin de la partcula , medida respecto de un punto o un plano fijo de referencia . Ejm : Energa Potencial Gravitacional : ygmVg = Energa Potencial Elstica : 2

21 = kVk

Trabajo de una Fuerza Conservativa Peso.- Sabemos que : U1 2 mg = mg (y1 - y2 ) = mg.y1 - mg.y2 U Vmg g g1 2 1 2 V= Fuerza Elstica.- Sabemos que : U1 2 k = k ( 12 - 22 ) = k 12 - k 22 U V Vk k k1 2 1 2 = Conservacin de la Energa .-

ro rF dr T T= 2 112 : Teorema de la Fuerza Viva

( ) ( )r r

o rr

o rr

o rr

o rF F dr F dr F dr F dr V V T TFNC FC FNC FC FNC+ = + = + = 12 12 12 1 2 212 1

2

Reordenando : T V U T VFNC1 1 1 2 2+ + = + : Ecuacin del Trabajo y la Energa Si U12 FNC = 0 2211 VTVT +=+ : Principio de la Conservacin de la Energa.

16

MTODO DE MOMENTO LINEAL El mtodo de Momento Lineal es til para resolver problemas que involucren : Fuerzas velocidades y tiempo . De la 2da Ley de Newton ( Ecuaciones de Movimiento) :

dtvdmamFrrr ==

vdmdtF rr = Integrando entre el instante [t1 , t2 ] :

vdmdtF vv

t

t

rr rr = 2121 )( 1221 vvmdtFtt rrr =

22

11vmdtFvm

t

t

rrr =+ : Teorema del Momento Lineal

Donde : : Impulso Lineal Impulso, mide el efecto de la

fuerza resultante F durante el tiempo que sta acta .

dtFpt

t= 2121mI rr

ii vmLrr = : Momento Lineal en el instante i .

Esta expresin VECTORIAL proporciona un medio directo de calcular la velocidad de la partcula despus de un tiempo especfico sin necesidad de hallar aceleraciones .

rv2

Grficamente : + = Como la expresin del Teorema del Momento Lineal es vectorial se puede sustituirla por sus respectivas componentes x e y : Imp x : Imp y :

rImp1 2

2vmr

1vmr

=+ 21 21 )()( tt xxx vmdtFvm

=+ 2m 1 21 )()( tt yyy vmdtFv 17

Caso en que dos partculas interactan Cuando en un problema intervienen dos partculas , cada una debe analizarse por separado y aplicarles a cada DCL el teorema del momento lineal . Alternativamente se podr analizar las dos partculas como un solo sistema formado por dos partculas , en este caso las fuerzas de accin y reaccin entre partculas no aparecen en el DCL pues estas fuerzas forman parejas de fuerzas iguales y opuestas y como el intervalo de t1 a t2 es comn los impulsos de stas fuerzas se anulan y slo es necesario considerar los impulsos de las fuerzas externas al sistema , es decir : 2211 )()mI()( =+ vmpvm ext rrr Si sobre el sistema de dos partculas no actan fuerzas externas o si la suma de las fuerzas externas es cero , es decir ( Imp ext )12 = 0 : 21 )()( = vmvm rr que expresa que el momento lineal del sistema de partculas se conserva . Percusin Es la accin de aplicar sobre una partcula una fuerza muy grande ( Fuerza Impulsiva ) durante un intervalo de tiempo muy corto . Ejm : al patear un baln de ftbol . Cuando sobre una partcula actan fuerzas impulsivas el teorema del momento lineal se redefine como sigue : =+ 21 vmtFvm rrr Toda fuerza que NO sea impulsiva puede despreciarse , pues el correspondiente impulso , Ft

es muy pequeo . Entre las fuerzas no impulsivas se cuentan el peso de un cuerpo , la fuerza ejercida por un resorte , o cualquier otra fuerza de la que se sepa que es despreciable frente a una fuerza impulsiva .Las reacciones desconocidas pueden ser o no impulsivas ; por lo tanto sus impulsos deben incluirse en la ecuacin del teorema del momento lineal en tanto no se comprueben que son despreciables.

En el caso de dos partculas que interactan la ecuacin se redefine como sigue : 21 )()( =+ vmtFvm rrr 18

Choques Es la colisin de dos cuerpos durante un intervalo breve de tiempo y durante el cual se ejercen fuerzas relativamente grandes entre ambos cuerpos . Lnea de Choque Lnea perpendicular (n-n) a la superficie de contacto ( t-t ) entre dos cuerpos. Segn la posicin de los centros de masas de ambos cuerpos respecto de la Lnea de Choque , el choque se divide en : A ) Choque Central Cuando los centros de masas de ambos cuerpos estn sobre la Lnea de Choque . A su vez el Choque Central se divide en dos tipos , segn la direccin de las velocidades de los dos cuerpos respecto de la L .Ch . A.1) Choque Central Directo Cuando las velocidades de ambos cuerpos estn en la misma direccin de la L.Ch. A.2) Choque Central Oblicuo Cuando al menos la velocidad de uno de ellos no est en la direccin de la L.Ch.

nt

t

Superficie de Contacto

Lnea de Choque

L.Ch. CM1

CM2

v1

v2

L.Ch.

v1

v2

L.Ch.

n

19

B) Choque Excntrico Cuando el centro de masas de uno de ellos no est en la L.Ch.

L.Ch. Choque Central Directo y L.Ch.

B ABABA

x vA> vB vA vB vA vB

to t1 En la direccin x ,considerando las dos partculas como un sistema aislado , se observa que no hay fuerzas impulsivas externas se conserva el momento lineal en esa direccin : ,, BBAABBAA vmvmvmvm +=+ ......... (1) Coeficiente de Restitucin ( e )

F [ to , tm ] : Perodo de Deformacin [ tm , t1 ] : Perodo de Restitucin

tm t1to

IRID

Fmax

t El rea bajo la curva F vs t representa el impulso que se produce entre ambos cuerpos durante el tiempo en que permanecen en contacto , es decir :

= 121Im tto

dtFp

De la grfica : +=1 1tto ttmtmto dtFdtFdtF

donde : : Impulso de Deformacin (I tmto dtF D )

: Impulso de Restitucin (I 1ttm dtF R ) tm : Instante de mxima deformacin de los cuerpos , en ese instante ambos cuerpos tienen una velocidad comn.

20

Se define coeficiente de restitucin , e , como :

eF dt

F dt

II

v vv v

tm

t

to

tmR

D

B A

B A

=

= =

1, ,

........ ( 2 )

Resolviendo (1) y (2) se obtienen vB y vA . El rango de valores de e es : 0 e 1 . Este valor depende de manera importante de las propiedades de los materiales , de la velocidad de choque , el tamao y forma de los cuerpos en colisin . Choque perfectamente plstico ( e = 0 ) En este caso no existe impulso de restitucin para las partculas ( IR = 0) de modo que despus de la colisin las partculas se acoplan o se pegan ,por lo tanto se mueven con una misma velocidad. LA PRDIDA DE ENERGA ES MXIMA . vA = vB = v mAvA + mBvB = (mA+mB)v Choque perfectamente elstico ( e = 1 ) En este caso el impulso de deformacin ( ID ) es igual al impulso de restitucin ( IR ) . LA ENERGA SE CONSERVA . Choque Central Oblicuo + =

mBvB

mAvA

tt

mAvA

tn n n

mBvB Cuando se tiene este tipo de choque entre dos partculas stas se separan entre s con velocidades de direccin y magnitud desconocida . Suponiendo que se conocen las velocidades iniciales vA y vB , en este problema se presentan cuatro incgnitas , que son las componentes de las velocidades de vA y vB en las direcciones n-n y t -t . En este caso el anlisis consiste en aplicar para cada cuerpo el teorema del momento lineal , adems se tiene el coeficiente de restitucin (e) el cual relaciona las componentes de las velocidades en la direccin de la L .Ch . (n-n) antes y despus del choque ,es decir :

ev vv v

B n A n

B n A n

= ( ) ( )( ) ( )

, ,

Este estudio del choque central oblicuo se ha basado en la hiptesis de que ambas partculas se mueven libremente antes y despus del choque .

21

CAPTULO 4 : SISTEMAS DE PARTCULAS

Ecuaciones de Movimiento Apliquemos la 2da Ley de Newton para la partcula i de un sistema de partculas : y y

rFi

=

rf in m ai i.

r

rri

rf ij

rri

Pn

OXY : Sistema de referencia inercial .

rF : Resultante de las fuerzas EXTERNAS que actan sobre la partcula Pi i .

: Fuerza INTERNA ejercida por Prf ij j sobre Pi .

m : Fuerza EFECTIVA de la partcula i . ai ri Aplicando 2da Ley de Newton sobre Pi :

r r rF f mi ij i

j

n

+ = ai ........... ( 1) podemos tambin tomar momentos respecto de O :

r r r r rr F r f r m ai i i ij i i

j

n

+ = ri ................. (2) Considerando las ecuaciones similares a (1) de las dems partculas y sumndolas :

+ r r rF f partcula i m ai ij i i

j

n

+ = ..................................... .....................................

r r rF f mn nj n

j

n

+ = an partcula n

r r rF f mi ij ai i + = El trmino

r rf ij = 0 pues las fuerzas internas rf ij aparecen por pares ,de igual

magnitud y sentidos contrarios ( accin y reaccin , 3ra ley de Newton ) .

( ) .r rF mii

n

ext i ii

n

= = =

1 1

a

PiPi

O

Pj

x x O

22

Procediendo de la misma forma para la ecuacin ( 2 ) se tendr:

( )i

n

i i ext ii

n

ir F r m a= = =

1 1

r r r ri

( )r r rMo r m ai exti

n

ii

n

i i= = =

1 1

Las dos expresiones halladas indican que el sistema de las fuerzas externas actuantes sobre las partculas y el sistema de fuerzas efectivas de las partculas son EQUIPOLENTES es decir que ambos sistemas tendrn la misma resultante y el mismo momento pero que NO producen el mismo efecto sobre el sistema de partculas dado . Momento Lineal de un Sistema de Partculas

Se define como : r rL mi i

i

n

= =

1

v

derivando esta expresin respecto del tiempo :

dLdt

m dvdt

m a Fii

i

n

i ii

n

i exti

nr r r r= = =

= = =

1 1 1

( )

dLdt

Fi exti

nr r=

= ( )

1

Momento Angular de un Sistema de Partculas

Se define como : r r rH r mo i i

i

n

= =

1

vi

derivando esta expresin respecto del tiempo :

dHdt

drdt

m v r mdvdt

r m a Moo i i i ii

n

i

n

ii

i i ii

n

i exti

nr r r r r r r r= + = =

== =

11 1

( )=

1

dHdt

Moo i exti

nr r=

= ( )

1

Estas expresiones indican que la resultante y el momento resultante respecto a un punto fijo O de las fuerzas externas son iguales respectivamente a las derivadas temporales de los momentos lineal y angular respecto de O del sistema de partculas .

23

Teorema de los Momentos Lineal y Angular para un Sistema de Partculas Integrando las ecuaciones anteriores respecto del tiempo : dL F dtext

r r= ( )

integrando : rr r r

L

L

t

t

extdL F dt1

2 2 = ( )

r r rL F dtt

t

ext11

2+ ( ) L2= Teorema del Momento Lineal Procediendo de la misma forma para los momentos :

r r rHo Mo dt Hoexttt

11

2+ ( ) 2= Teorema del Momento Angular Conservacin de los Momentos Lineal y Angular

Si se tiene : t

t

extF dt1

2 0 =( )r r r rL L1 2=

si tambin se tiene que : ( )r r

Mo dtexttt = 01

2

r rHo Ho1 2= Donde O es un punto fijo cualquiera .

24

Movimiento del Centro de Masas El Centro de Masas del Sistema de Partculas es el punto G definido por el vector posicin

que cumple la relacin : rrCM

===

n

iiiCM

n

ii rmrm

11)( rr

derivando esta expresin respecto del tiempo :

==

=n

i

ii

CMn

ii dt

rdm

dtrd

m11

)(rr

==

==n

iiiCM

n

ii Lvmvm

11)(

rrr

ordenando : =

=n

iCMi vmL

1)( r

r

derivando esta expresin respecto del tiempo :

= =

==n

i

n

iCMi

CMi amdt

vdm

dtLd

1 1

)()( rrr

= =

=n

i

n

iCMiexti amF

1 1)()( r

r

esta expresin define el movimiento del centro de masas G del sistema de partculas .Se puede afirmar por tanto que el centro de masas de un sistema de partculas se mueve como si toda la masa del sistema y todas las fuerzas externas estuvieran concentradas en ese punto . Teorema de la Fuerza Viva para un Sistema de Partculas El teorema de la Fuerza Viva puede aplicarse a cada partcula Pi del sistema : T1 + U1 2 = T2 ,donde U1 2 representa el trabajo realizado por las fuerzas internas fij y las fuerzas externas Fi que actan sobre Pi , es decir : U1 2 = U1 2 EXT + U1 2 INT . Planteando el T.F.V. para cada partcula y sumndolas se tendr : T1 + U1 2 EXT + U1 2 INT = T2

T U TEXT INT1 1 2+ = + 2 Observacin : debe tenerse presente que an cuando las fuerzas internas fij aparecen por pares de la misma magnitud y sentidos opuestos el trabajo de stas fuerzas , U1 2 INT , no se anulan necesariamente .

25

CAPTULO 5 : CINEMTICA DEL SLIDO RGIDO

Slido Rgido Es aquel cuerpo cuya distancia entre toda pareja de puntos pertenecientes a ste permanece constante durante el movimiento es decir , es un cuerpo indeformable . Se estudiar tres tipos de movimiento : 1) Traslacin Ocurre si cualquier segmento lineal del cuerpo permanece paralelo a la direccin original durante el movimiento . Trayectoria Rectilnea AB // AB AA // BB

A

B

A

B Trayectoria Curvilnea AB // AB AA // BB

A

B

A

B

Analizando con ms detalle este movimiento , consideremos un cuerpo sometido a un movimiento rectilneo o curvilneo de traslacin : x y : Sistema de referencia fijo a tierra . x y : Sistema de referencia fijo al S. R. De la grafica:

B

A x

r B/A

rA

rB

x

y y

ABAB rrr /rrr +=

derivando respecto del tiempo y teniendo en cuenta que dr

dtB Ar r

/ = 0 : r rv vB A= r ra aB A= Las dos ecuaciones anteriores indican que todos los puntos en un S.R. sujetos a una traslacin rectilnea o curvilnea , se desplazan con la misma velocidad y aceleracin.

26

2) Rotacin alrededor de un eje fijo En este movimiento los puntos que forman el S.R. se mueven en planos paralelos sobre circunferencias con centro en el eje fijo . Si este eje corta al S.R. los puntos situados sobre ste eje tienen velocidad y aceleracin nula . Como cada partcula ( por ejemplo los puntos A

y B ) se mueve en un plano dado , se dice que que la rotacin de un S.R. en torno a un eje fijo es un movimiento plano .

Eje de Rotacin

B

A

P

O Planos Paralelos

xyz : Sistema de Referencia fijo a tierra . z : Eje de rotacin . OB : Proyeccin de OP sobre el eje z . OA : Proyeccin de OP sobre el plano xy . De la figura :

rrP

rr OP = P , r OPP = Posicin de P respecto de los ejes xyz : )cos,,(cos sensensenrr PP =r

A

B R

O

P

z

y

x

Se observa que y rP son constantes , por definicin de S.R. , el OBP es invariable en sus dimensiones . Derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad de P :

)0,cos,( sensensenrdtrd

v PP

P&&

rr ==

)0cos( kjsenisensenrP)))& ++=

adems se sabe que : = ) ) )i k j , ) ) )j k i= , v ) )0 = k k reemplazando : )coscos( kkiksenjksensenrP

))))))& ++= )coscos( kisenjsensenkrP

))))& ++= )coscos()( kisenjsensenrk P

))))& ++= r r rv rP P=

27

Determinando la aceleracin de P :

PPPP

P vkrkdtrkd

dtvd

a r&r&&r&rr +=== )()()(

r r r r r ra rP P= rP + ( ) )( Pn ra

rrrr = a Pt r

rrr = Rotacin de una placa ( S.R.) en el plano xy Si el S.R. es una placa movindose sobre el plano xy , hacemos = 90 r r rrP ,

v PPP rkrrrrr == )(

rrP PPt rkra

rrrr == )( a PPn rr

rrrrr 2)( == , antihorario + , horario -

B

P

z at: Representa la componente tangencial de la aceleracin. Es un vector tangente a la trayectoria descrita por P.

an: Representa la componente normal de la aceleracin. Es un vector dirigido hacia el centro B de la circunferencia descrita .

trayectoria circular

O y x

P

B,O

y

P

B,O

vP

at

an

y

x

x

28

Ecuaciones que definen la rotacin de un S.R. alrededor de un eje fijo La rotacin de un S.R. est determinado cuando su coordenada angular puede expresarse como una funcin conocida del tiempo t, sin embargo tambin puede darse como funcin de . &

Recordando : = ddt

................ ( 1 )

= =ddt

ddt

2

2 ................ ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ) : dd = Ecuaciones similares a las obtenidas para un Movimiento Rectilneo , su integracin puede hacerse por el procedimiento antes expuesto . Casos Particulares Rotacin Uniforme : = 0 = cte = o + .t Rotacin Uniformemente Acelerada : = cte = o + .t = o + o.t + ..t2

2 = o2 + 2..( - o )

29

3 ) Movimiento Plano General Un movimiento plano general de un S.R. puede considerarse como la suma de un movimiento de traslacin y otro de rotacin .

B1

B2A1

Rotacin

A2

Traslacin Velocidad Absoluta y Relativa ABAB vvv /

rrr +=

B

A

vA

B

A vA

vB

B

A (Fijo)

= + vA vB/A

rv Brv A

rvB A/= + TRASLACIN + ROTACIN r r r rv v rB A A B= + / r r rv v AB A= + B r r rv v BA B= + A Expresiones que relacionan las velocidades de dos puntos cualesquiera de un MISMO S.R.

30

Centro Instantneo de Rotacin (C.I.R.) Es aquel punto del S.R. cuya velocidad es nula en el instante considerado .Es el punto alrededor del cual puede suponerse que un cuerpo est girando en un instante dado. Se sabe que :

r r rv v CA C= + A Si C es C.I.R r rvC = 0 r rv C AA = rv CA A

A

C

vA

Esta ltima expresin nos va ser muy til para hallar el C.I.R. grficamente . = 90senCAv A rr vA = (CA) (en mdulo) Observacin : El C.I.R puede encontrarse en el S.R. fuera de l. Ubicacin del C.I.R. 1) Se conoce y

rv Ar

CA v A= C

A

vA

2) Se conocen solamente las direcciones de las velocidades de dos puntos que pertenecen al mismo S.R. A y B mismo S.R.

vB

A

B

C

vA

31

3) Se conocen las velocidades ( magnitud , direccin y sentido ) de dos puntos que pertenecen al mismo S.R. y que estn alineados en una perpendicular comn, a las velocidades . Se presentan tres casos : a) velocidades de diferente mdulo y mismos sentidos : vA

vB

ABC

b) velocidades de diferente mdulo y sentidos contrarios :

vB

vA

AC

B c) velocidades iguales en magnitud , direccin y sentido :

B A

vB vA C En este caso se tiene que el S.R. est en TRASLACIN instantnea = 0 , es decir que para ese instante y posicin todos los puntos tienen la misma velocidad . Observar que algo similar ocurre en el caso ( 2 ) si las direcciones de las velocidades de A y B fueran paralelas .

32

4) Segn el tipo de vnculo externo : a) Apoyo Fijo : b) S.R. (disco, cilindro) que rueda sin deslizar sobre una superficie RUGOSA :

C

C Observacin : - El C.I.R. lo es slo en un instante dado , es decir no tiene necesariamente una posicin constante en el tiempo , por lo tanto el C.I.R. puede estar acelerado : EL C.I.R. SLO ES TIL NICAMENTE PARA HALLAR VELOCIDADES !!! Aceleracin Absoluta y Relativa Si A y B pertenecen a un mismo S.R. :

r r ra a aB A B A= + /

B

A

aA

B

A aA

aB

(Fijo)

a B/A n

B

A = + aA a B/A t TRASLACION + ROTACION

r ra a k AB AB A= + ( $) 2 B

r ra a k BA BA B= + ( $) 2 A

33

CAPITULO 6 : MOVIMIENTO PLANO DEL S.R. : FUERZAS Y ACELERACIONES Ecuaciones de Movimiento Analizando el Momento Lineal : Para un sistema de partculas : == Giii vmvmL rrr )( G : Centro de Masa

derivando respecto del tiempo : === GiGiext amdtvdmFdtLd rrrr

)()(

Para un slido rgido : m : Masa del S.R. mi dm Gext amF r

r = Analizando el Momento Angular :

G

y

x

,

x

ri

ri

rGm vi

Pi

y Para un sistema de partculas Momento Angular respecto de G :

=

=n

iiiiG vmrH

1

, rrr

O De la figura :

r r rr r ri G= + ,i r r rv v vi G i= + , r r r rv v ri G= + ,i

=

+=n

iiGiiG rvmrH

1

,, )( rrrrr

= =+=

n

iii

n

iiGiiG rmrvmrH

1

,

1

,, rrrrrr

= =

+=n

ii

n

iiiGiiG rrmvmrH

1

,

1

,, )()( rrrrrr

=

=n

iiiG rmH

1

2, )( rr

Para un slido rgido : =

n

iii rm

1

2, dmr 2 IG : Momento Polar de inercia Derivando respecto del tiempo : r

rrrGGextG

G IdtdIM

dtHd === )(

rr GextG IM =)(

34

Principio de DAlambert Las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido son EQUIVALENTES a las fuerzas efectivas de las partculas que forman el cuerpo .

ma1 Sistema ( I ) Sistema ( II ) Sistema ( I ) es equivalente al Sistema ( II ) : = Gext amF rr = rr GextG IM )( En componentes rectangulares : = GXX amF = GYY amF = GG IM En componentes intrnsecas : = Gtt amF = Gnn amF = GG IM Observacin : La expresin de Momentos no solo puede ser respecto de G sino tambin respecto de cualquier punto, en este ltimo caso se sugiere elegir un punto donde concurran la mayor cantidad de fuerzas desconocidas ( incgnitas ).

Fn

F1

maiman

ma2

IG maGG < > < >Fi

M i

35

Casos Particulares 1) Traslacin Pura En este caso se tiene = 0 :

m aG

G

m aGtG Traslacin Curvilnea

m aGn

G

Traslacin Rectilnea

Fn

F1

< > Fi

M i Coordenadas Rectangulares :

= GXx amF = GYy amF MG = 0 Coordenadas Intrnsecas :

= Gtt amF = Gnn amF MG = 0 2) Rotacin Centroidal Cuando una placa gira alrededor de un eje FIJO normal al plano de referencia (xy) y que pasa por su centro de masa G , se dice que el cuerpo ejecuta una rotacin centroidal . En este caso :

r raG = 0

Fn

F1

G

IG < > Fi

M i

= 0xF = 0yF = GG IM

36

Sistemas de Slidos Rgidos Cuando estn conectados varios slidos rgidos , se pueden aislar cada uno de ellos y aplicarles el principio de DAlambert . Existen casos , donde el sistema en su conjunto se puede analizar en un solo diagrama que incluir las fuerzas externas al sistema (Sistema I ) y su equivalente (Sistema II) con las fuerzas efectivas ( I , maG ) asociadas a las distintas partes del sistema , las fuerzas internas en las conexiones entre slido rgido se presentan por parejas de fuerzas iguales y opuestas se anulan . Movimiento Plano Restringido ( Vinculado ) Existen problemas donde el movimiento del S.R. se d bajo ciertas restricciones debido al tipo de conexin , vnculo o apoyo externo o interno de algn punto o puntos del S.R. En estos casos existen relaciones definidas entre las componentes de la aceleracin del centro de masa y su aceleracin angular . raG Dos casos particulares de Movimiento Restringido 1) Rotacin No Centroidal Es el movimiento de un S.R. que rota alrededor de un eje FIJO que no pasa por su centro de masas G . F1

mat

O

G

man

IG

rG

O

G

mg

Oy G

Ox

< > Fn FiO es punto fijo : Articulacin Tomando momentos respecto de O : ( Mo )ext = man ( 0 ) + mat (rG) + IG = 0 + m(rG )(rG) + IG = m()(rG)2 + IG = (m rG2 + IG) Teorema de Steiner = Io Io : Momento de inercia del S.R. respecto al eje fijo que pasa por O .

= OextO IM )(

37

2) Movimiento de Rodadura Este tipo de movimiento involucra discos ,cilindros o cuerpos con forma similar que ruedan sobre una superficie rugosa . Debido a las cargas que se les aplican a estos cuerpos , no se sabe si el el cuerpo rueda sin deslizar si desliza a medida que rueda . P mg

G G

IG G

P < > maGX

C f N Ecuaciones de Movimiento : Fx = maGX ...... (1) Fy = 0 ....... (2) MG = IG ........ (3) Rodadura Sin Deslizamiento No hay movimiento relativo entre el punto C del disco en contacto con la superficie y la superficie misma. f s N ( fS max ) De la cinemtica : aGX = r ........... (4) Observaciones : - aGX , deben ser congruentes en el sentido asumido. - el sentido de f NO se conoce , se tendr que asumirlo. - , porque en este caso C es C.I.R raC = ( , )0 2 r

r)

Rodadura Con Deslizamiento f = k N ............. (4) Observacin: - en este caso el sentido de f SI es conocido , es contrario al movimiento . - , en este caso C NO es C.I.R , ara aC CX= ( , 2 GX r Procedimiento de anlisis 1) Se asume movimiento de rodadura sin deslizamiento . 2) Se calculan f , N , y aG . 3) Se verifica la hiptesis : f s N si cumple Movimiento de rodadura sin deslizamiento : FIN DEL ANLISIS no cumple Movimiento de rodadura con deslizamiento : REPLANTEAR

38

CAPTULO 7 : MTODOS DE ENERGA Y MOMENTOS MTODO DE ENERGA Un slido rgido est formado por n ( n ) partculas de masa mi :

Energa Cintica para este sistema de partculas : T mi ii

n

= =12 21 v ............ (1)

ri : Posicin de la partcula i respecto del centro de masa G . rG : Posicin del centro de masa G respecto del sistema de referencia fijo xy .

rG

ri

G

Pi

ri

y

x

y

O x De la figura : r r rr r ri G i= + , r r rv v vi G i= + , v v v v v v vi i i G i G i

2 = = + +r o r r r o r r( ) ( ), , 2,,22 2 iGiGi vvvvv ++= ror .................. (2) Reemplazando (2) en (1) :

=

++=n

iiGiGi vvvvmT

1

2,,2 )2(21 ror

= ==

++=n

ii

n

iiGi

n

iiGi vmvvmvmT

1

2,

1

,

1

2

21)()(

21 ror

= =

+=n

ii

n

iiGi vmvmT donde :

1

2,

1

2

21)(

21 ,,

ii rv =

= =

+=n

ii

n

iiGi rmvmT

1

22

1

2

21)(

21

Para el slido rgido : mi dm m : masa del S.R. mi ri22 r2 dm IG : momento de inercia respecto de un eje que pasa por G .

2221

21 GG IvmT +=

39

Trabajo de las Fuerzas actuantes sobre un S.R. 1) Fuerzas internas F es la fuerza interna que mantiene unidas a las partculas de un S.R. drB

r

rF rF // BA r F drA

r

B2

B1

A2A1

Relacin entre los desplazamientos pequeos de dos puntos de un S.R. (Teorema de Mohr ) : dr dr d BAA B

r r r= + ( ) Trabajo de las f uerzas : dU F drF A1 2 =r

ro r

dU F drF B1 2 = r

ro r( )

Sumando : dU dU F dr drF F A B1 2 1 2 + = r r

ro r r( )

U F d1 2 12

= BAr o r( ) pero : //

rF BA r o rF d BA( ) = 0

U F1 2 0 =int 2) Fuerzas Externas a) Fuerza F aplicada en un punto A cualquiera del slido :

= 2121 AF rdFU ror x

drA

F

A

rAy

40

b) Peso .- El peso de un slido rgido realiza trabajo slo cuando el centro de masa G sufre un desplazamiento vertical. )( 2121 GGmg yygmU =

G

G mg

yG2yG1 mg N.R. c) Fuerza elstica ( resorte ) .-

)(2

22

2121 = kU k

1

2

P1

P2 d) Par de fuerzas ( Momento ) .-

drBdrA

-FF

B2A2

B1A1

Teorema de Mohr : dr dr d BAA B

r r r= + dU F drF A1 2 =r

ro r

dU F drF B1 2 = ( ) ( )r

ro r

dU dU F dr drF F A B1 2 1 2 + = r r

ro r r( ) ( )

= = =r o r r o r r o rF d BA BA F d M d( ) ( )

d

U M1 2 12

= r o r

41

e) Fuerzas de Trabajo nulo .- - Fuerzas aplicadas sobre puntos fijos : U Ax Ay1 2 0 =, - Fuerzas perpendiculares al desplazamiento : U N1 2 0 =

AX

AY

f N

- Friccin en rodadura SIN deslizamiento : U f1 2 0 =

f N

Sistemas de Slidos Rgidos El Teorema de la Fuerza Viva ( T1 + U12 = T2 ) se puede aplicar al sistema completo de slidos rgidos como pueden ser : slidos articulados , bloques y poleas conectados por cables inextensibles , engranajes engranados etc . En todos estos casos mencionados las fuerzas INTERNAS en las conexiones se presentan en parejas de fuerzas del mismo mdulo y sentidos opuestos y cuyos puntos de aplicacin recorren distancias iguales U12 INT = 0 . Tambin puede aplicarse el teorema a cada uno de los componentes del sistema de slidos , en este caso las fuerzas internas se tratan como fuerzas externas. Para la solucin de estos problemas es muy til analizar la cinemtica hallando los C.I.R. de cada slido componente , esto es , colocando la vG de cada componente como funcin de la velocidad angular de uno de ellos , esto siempre se podr hacer pues los sistemas que analizamos en el presente curso son de 1 grado de libertad .

42

METODO DE LOS MOMENTOS Teorema de los momentos lineal Se sabe que para un slido rgido :

dtvd

mamF GGextrrr ==

Gext vdmdtF

rr =)(

Integrando : )()( 122

1 GGext

t

tvvmdtF rr

r =

22

11)( Gext

t

tGvmdtFvm r

rr =+ Teorema del Momento Lineal ( dos ecuaciones , en x e y ) Teorema del Momento Angular

dtdIIM GGextGrrr == )(

rr dIdtM GextG = )(

Integrando : )()( 122

1 rrr = GextGtt IdtM

22

11)( rrr GextGttG IdtMI =+ Teorema del Momento Angular

( 1 ecuacin , en z ) Grficamente : F1dt Mdt

G

m vG2

IG2G

IG1 + = Fndt

m vG1 Fidt

43

Rotacin No Centroidal Si el slido rota alrededor de un punto FIJO O que no sea el centro de masa G :

IG mvGG

O

al tomar momentos respecto de O , la ecuacin anterior se convierte en :

22

11)( rrr OextOttO IdtMI =+

Sistemas de Slidos Rgidos Las ecuaciones anteriores de momento lineal y angular pueden ser aplicadas a todo el sistema de slidos rigdos conectados en este caso se elimina la necesidad de incluir los impulsos de reaccin que ocurren en las conexiones porque stos son internos . Las ecuaciones resultantes de momento lineal y momento angular pueden ser escritas de manera simblica de la siguiente manera : Momento Lineal : Momento Lineal Impulso Lineal Momento Lineal del Sistema del Sistema del Sistema

+ ( )12 ( = ( )2)1 Momento Angular : Momento Angular Impulso Angular Momento Angular del Sistema del Sistema del Sistema

+ ( )O12 = ( )O2 ( )O1 Observacin.- El momento e impulso angulares deben calcularse con respecto del mismo punto FIJO de O referencia para todos los slidos que conforman el sistema . Conservacin del Momento Lineal y Angular Si la suma de los impulsos lineales ( angulares ) que actan sobre un slido sistema de slidos es igual a cero el momento lineal ( angular ) se conserva : Momento Lineal Momento Lineal del Sistema del Sistema

= ( ( )2)1 Momento Angular Momento Angular del Sistema del Sistema

( = ( )O2)O1

44

CAPTULO 8 : VIBRACIONES MECNICAS Es el movimiento peridico de un cuerpo o sistema de cuerpos interconectados que oscilan alrededor de su POSICIN DE EQUILIBRIO . Estos movimientos peridicos o vibraciones incrementan los esfuerzos y las prdidas de energa por lo que es conveniente reducirlas pues pueden conducir a una falla por fatiga de la estructura vehculo o maquinaria . Ejemplo : Vibraciones causadas por : - Maquinarias . - Viento - Explosiones - Oleaje - Sismo Existen dos tipos de vibracin , Libre y Forzada y ambas pueden ser Amortiguadas y No amortiguadas. Vibracin Libre Ocurre cuando el movimiento vibratorio se mantiene debido a fuerzas de restauracin gravitacional (peso) o fuerzas elsticas . Vibracin Forzada Provocada por una fuerza externa peridica que se aplica al sistema. Vibracin Amortiguada Cuando en el movimiento vibratorio de un cuerpo o sistema de cuerpos se consideran las fuerzas internas y externas de friccin .En realidad siempre habr amortiguamiento ya sea en mayor o menor grado. Vibracin No Amortiguada El movimiento vibratorio puede continuar de manera indefinida debido a que para su anlisis se ignora los efectos de friccin .

45

1 ) Vibraciones No Amortiguadas Vibraciones Libres Es el tipo mas sencillo de movimiento vibratorio :

Posicin de Equilibrioest

Posicin sin deformar del resorte k

Posicin Genrica xm

En la posicin de equilibrio: Fr = k est

mg Fy : 0= estkgm ...... (1) En la posicin genrica :

Fr = k (est + x) xm &&

mg

Fy : xmxkgm est &&=+ )( xmxkkgm est &&= 0=+ xkxm && o tambin :

02 =+ xx n&& donde : n km= Al movimiento definido por la ecuacin diferencial anterior se le conoce como : Movimiento Armnico Simple (M.A.S.)

46

La solucin general de esta ecuacin diferencial homognea lineal y de segundo orden es de la forma : x = C1 sen (n t ) + C2 cos (n t ) la cual representa una funcin peridica del tiempo t . La solucin general anterior se puede representar mejor an de la siguiente forma : x(t) = xm sen (n t + ) donde : n : Pulsacin natural frecuencia circular natural xm : Amplitud de la vibracin , es el mximo desplazamiento del cuerpo desde su posicin de equilibrio. : Angulo de fase Las constantes xm y ( C1 y C2 ) DEPENDEN de las condiciones iniciales del movimiento, por ejemplo si la partcula se desplaza desde su posicin de equilibrio xo en t =0 y luego se le suelta sin velocidad inicial xm = xo y = /2 . Como es una funcin peridica tiene perodo : Perodo natural ( n ) Es el tiempo necesario para completar una oscilacin :

n

n 2= (seg)

Frecuencia natural ( fn ) Se define como el nmero de oscilaciones en una unidad de tiempo :

21 nn

nf == ( ciclos/seg , 1/seg , hertz ) x n x = xm sen ( n t + ) xm

t (seg ) / n

El adjetivo natural , es para hacer notar que n , fn y n dependen slo de las propiedades del modelo ( k y m ) , no dependen de las condiciones iniciales impuestas al movimiento. La velocidad y aceleracin se obtendrn derivando x(t) : )cos( += txx nnm& nmm xx =& : velocidad mxima )(2 += tsenxx nnm&& 2nmm xx =&& : aceleracin mxima

47

Pndulo Simple La mayora de las vibraciones que se presentan en la prctica de la ingeniera pueden representarse mediante un M.A.S , otras sin embargo pueden representarse aproximadamente a un M.A.S. con la condicin de que la amplitud del movimiento vibratorio se mantenga pequea , ejemplo : el pndulo simple : n T

mg

L

m

n

mat

mant t < >

Ft : )( &&Lmamsengm t == 0=+ sengmLm &&

0=+ senLg&&

para pequeas oscilaciones : sen (rad)

0=+ Lg&&

cuya solucin es : )()( += tsent nm donde : m : Amplitud de las oscilaciones . n gL= : Pulsacin natural . las velocidades y aceleraciones angulares se obtienen derivando (t) : )cos( += tnnm& nmm =& : velocidad angular mxima )(2 += tsen nnm&& 2nmm =&& : aceleracin angular mxima

48

Vibraciones libres de Slidos Rgidos El anlisis de las vibraciones de un slido rgido o sistema de slidos rgidos de 1 gdl es similar al anlisis de las vibraciones de una partcula . La posicin genrica del cuerpo o del sistema de cuerpos se define en funcin de una variable adecuadamente elegida : un desplazamiento lineal x , un desplazamiento angular . Se tienen dos procedimientos para hallar la pulsacin natural (n) de un movimiento vibratorio : 1er procedimiento Aplicando el principio de DAlambert , es un modo sencillo de obtener la ecuacin diferencial del movimiento , se establece para ello las ecuaciones de movimiento. 2do procedimiento Aplicando el principio de la Conservacin de la Energa , verificando que la energa se conserva para cualquier posicin ,se tomar dos posiciones particulares del slido o sistema de slidos : Posicin 1 DESPLAZAMIENTO DEL SISTEMA ES MXIMO , en esta posicin T1 = 0 ( T1 = Tmin ) y V1 ( V1 = Vmax ) puede expresarse en funcin de la amplitud xm m . Posicin 2 EL SISTEMA PASA POR SU P.E. , en esta posicin V2 = Vmin ( V2 = 0 en muchos casos , segn la eleccin del N.R. ) y T2 ( T2 = Tmax ) puede expresarse en funcin de la velocidad lineal mxima nmm xx =& de la velocidad angular mxima . nmm =& T1 + V1 = T2 + V2 se despeja n

49

50

Vibraciones Forzadas

Este tipo de vibracin es ms frecuente en la ingeniera, por eso su importancia estudiarla.

Tales vibraciones son causadas cuando un sistema est sometido a una fuerza peridica a un

movimiento peridico del apoyo del sistema.

Analizando cada una de esas causas:

Fuerza Peridica

En la posicin genrica :

xm

Fy : xmxkPgm est )(

)( tsenPxkxm fm .......... (1)

Movimiento Peridico del apoyo

En la posicin genrica :

xm

Fy : xmxkgm est )(

)( tsenkxkxm fm ........... (2)

est

x

k

m

Posicin de

Equilibrio Posicin

Genrica

Fr = k ( est + x)

mg

Posicin sin

deformar del

resorte

< >

P = Pm sen( f t )

P

est

x

k

m

Posicin de

Equilibrio Posicin

Genrica

Posicin sin

deformar del

resorte

= m sen ( f t)

Fr = k ( est + x - )

< >

mg

Las ecuaciones diferenciales (1) y (2) son de la misma forma tendrn la misma solucin. La solucin general de estas ecuaciones diferenciales no homogneas de segundo orden consiste en una solucin homognea (xh) y una solucin particular (xp) : x = xh + xp Solucin Homognea : 0=+ xkxm && xh = xmh sen (n t + ) Solucin Particular : )( tsenPxkxm fm =+&& La solucin particular tiene la misma forma que la funcin peridica forzada : xp = xmp sen (f t) reemplazando esta solucin en la ecuacin diferencial : - m xmp f 2 sen(f t) + k xmp sen(f t) = Pm sen(f t) despejando la amplitud de la vibracin forzada :

2f

mmp mk

Px = , pero : n

km

2 = y m mPk=

2)(1

n

f

mmpx

=

En la realidad la vibracin libre ( xh , llamada tambin vibracin transitoria ) se amortiguar (desaparece) al pasar el tiempo a causa de las fuerzas de friccin y la que permanecer ser la vibracin forzada ( xp , llamada tambin vibracin estacionaria ) . Factor de Amplificacin

De la amplitud del movimiento forzado : 2)(1

1

n

fm

mpx

= Factor de Amplificacin

m

mpx

f

n

O xmp < 0 CONTRAFASE

xmp > 0 FASE 1

1

51

2) Vibraciones Amortiguadas Vibraciones Amortiguadas Libres Debido a que todas las vibraciones desaparecen con el paso del tiempo , deber considerarse en el anlisis la presencia de fuerzas de amortiguamiento . Amortiguamiento Es la reduccin de la amplitud en las oscilaciones de un sistema mecnico causada por la disipacin de energa .El amortiguamiento es causado debido a las fuerzas de rozamiento , las cuales pueden ser: Amortiguamiento de Coulomb Provocado por la fuerza de rozamiento entre dos superficies secas, f = N , es independiente de la velocidad. Amortiguamiento Viscoso Provocado por el rozamiento fluido (viscosidad) , se caracteriza por tener una fuerza disipadora proporcional a la velocidad y en contra del movimiento , F = - c v ( c es el coeficiente de amortiguamiento , N.s / m ) , permite el tratamiento matemtico ms simple , simblicamente se le representa por medio de un cilindro - pistn . Amortiguamiento Estructural Asociado a la friccin interna del material .

Posicin de Equilibrioest

Posicin sin deformar del resorte k

Posicin Genrica

En la posicin genrica : xc & xm && Fy : xmxcxkgm est &&& =+ )( 0=++ xkxcxm &&& Ecuacin diferencial homognea lineal de segundo orden.

xm

c

Fr= k (est + x) < >

mg

52

La ecuacin diferencial anterior tiene soluciones de la forma : x e t= tex = & tex = 2.&& Reemplazando en la ecuacin diferencial : 02. =++ ttt ekecem : Ecuacin cuadrtica en 02. =++ kcm dos soluciones para esta ecuacin :

mk

mc

mc = 2)

2(

2.

discriminante : mk

mc = 2)

2(

Amortiguamiento Crtico ( cc ) Definimos amortiguamiento crtico cuando = 0 :

0)2

( 2 =mk

mcc nc mm

kmc 22 == se tendrn tres tipos de amortiguamiento segn el discriminante : 1) Amortiguamiento Fuerte , Sobreamortiguado Supercrtico : > 0 , ( c > cc ) Las races 1 y 2 son reales , negativas y diferentes . Solucin General : tt eCeCx += 21 21 El movimiento que corresponde a esta solucin es no vibratorio , despus de un tiempo muy grande x tiende a su posicin original sin oscilar . 2) Amortiguamiento Crtico : = 0 , ( c = cc ) Las races 1 y 2 son reales , negativas e iguales : 1 = 2 = - n

Solucin General : tnetCCx += )( 21 En este caso tampoco el movimiento es vibratorio , c tiene el valor mnimo necesario para hacer que el sistema sea no vibratorio . Son de inters especial ya que recobran su posicin de equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar .

53

3) Amortiguamiento dbil , Subamortiguado Subcrtico : < 0 , ( c < cc) Las races 1 y 2 son complejas y conjugadas:

Solucin General : )()

2( += tsenexx dtm

c

o

donde : 22 )(1)2

(c

nd cc

mc

mk == : pulsacin de la vibracin

amortiguada.

ccc

: factor de amortiguamiento.

xo y son constantes que se determinan de acuerdo con las condiciones iniciales del movimiento . Se observa que : d < n d > n .

)

2( t

mc

o exx=

d

x

xo

t

- xo

54

Vibraciones Forzadas Amortiguadas La ecuacin diferencial que representa este movimiento es : )( tsenPxkxcxm fm =++ &&& Solucin General : x = xh + xp Solucin Homognea (xh) : 0=++ xkxcxm &&& Debido a que todos los sistemas presentan friccin, sta solucin se amortigua (desaparece) con el tiempo . Solo seguir vigente la solucin particular. Solucin Particular (xp) : )( tsenPxkxcxm fm =++ &&& La solucin particular ser de la forma: xp = xmp sen (f t - ) derivando sucesivamente y reemplazando en la ecuacin diferencial :

222 )()( ff

mmp

cmk

Px +=

2f

f

mkc

tg =

Recordando :

km n= 2 , cn cm =2

222 )](2[])(1[

1

n

f

cn

fm

mp

m

mp

cc

x

kPx

+

==

2)(1

2

n

f

n

f

ccc

tg

=

55

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